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  • Einführung in die Theorie der Navier-Stokes Gleichungen

    Sommersemester 2014

    Jörg Wolf 1)

    Inhaltsverzeichnis

    Einführung 2

    1 Modellierung 2 1.1 Masseerhaltung. Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Volumenerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Die Navier-Stokes Gleichungen für inkompressible Strömungen . . . . . 7 1.5 Dimensionen und Reynolds-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 Entdimensionalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2 Singuläre Integraloperatoren 9 2.1 Singuläre Kerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Lp Abschätzungen auf dem Halbraum Rn+ . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Lp Theorie für beschränkte C1-Gebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Helmholtz-Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    3 Das stationäre Stokes-System 24 3.1 Funktionenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 Fundamentallemma der Strömungsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3 Hydrodynamische Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4 Die Stokesgleichung im Halbraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    4 Die stationären Navier-Stokes Gleichungen 38 4.1 Orthogonale Zerlegung für W 1, 20 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Darstellungen für W−1, 20 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3 Schwache Lösung der stationären Navier-Stokes Gleichungen . . . . . . 45

    5 Die instationären Navier-Stokes Gleichungen 47 5.1 Druckdarstellung für schwache Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.2 Existenz schwacher Leray-Hopf Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    1) Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik, Unter den Linden 6, 10099 Berlin: jwolf@math.hu-berlin.de.

    1

  • Einführung

    Literatur:

    • L. D. Landau, E. M. Lifschitz, Lehrbuch der theoretischen Physik, Bd. 6, Hydrodynamik, Harri Deutsch, 1991

    • Roger Temam, Navier-Stokes Equation - Theory and numerical Analysis, North-Holland, 1984

    • H. Sohr, Introduction to the Navier-Stokes equations, Birkhäuser, 2001.

    Physikalischer Anwendungen:

    - Strömungsmechanik: Inkompressible Fluide

    - Geophysik: Strömungen in Atmoshpäre und Ozean

    - Biophysik

    Inhalt der Vorlesung:

    1 Herleitung der Navier-Stokes Gleichungen

    2 Die stationäre Stokes Gleichung

    3 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen der stationären Navier-Stokes Glei- chungen

    4 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen der instationären Navier-Stokes Glei- chungen

    5 Regularität der Navier-Stokes Gleichungen

    1 Modellierung

    1.1 Masseerhaltung. Kontinuitätsgleichung

    Sei ρ = ρ(x, t) : R3 ×R→ R die Dichte eines Gases. Sei Ω ⊂ Rn Testvolumen, welches ein beschränktes Gebiet mit C1-Rand ist. Dann ist

    m(t; Ω) =

    ∫ Ω

    ρ(x, t)dx = Masse des Gases in Ω zur Zeit t > 0.

    Folglich gilt:

    (1.1) ṁ(t; Ω) = d

    dt

    ∫ Ω

    ρ(x, t)dx =

    ∫ Ω

    ∂ρ

    ∂t (x, t)dx.

    2

  • Sei v = v(x, t) : R3 × R→ Rn das Geschwindigkeitsfeld des Gases. Dann ist

    (1.2) j(t; Ω) =

    ∫ ∂Ω

    ρ(x, t)〈v(x, t),−ν〉dS(x) = Teilchenstrom in Ω: Masse/Zeit

    Hierbei nehmen wir an, dass v(t) ∈ C1(R3;R3). Unter Verwendung des Gaußschen Integralsatzes mit f = −ρv erhält man

    j(t; Ω) = − ∫ Ω

    div(ρv)dx.

    Das Gesetz der Masseerhaltung besagt ṁ(t; Ω) = j(t; Ω) , also

    (1.3)

    ∫ Ω

    ∂ρ

    ∂t (x, t)dx+

    ∫ Ω

    div(ρv)dx = 0.

    Wegen der Beliebigkeit des Testvolumens erhält man

    (1.4) ∂ρ

    ∂t + div(ρv) = 0 (Kontinuitätsgleichung).

    1.2 Impulserhaltung

    Sei v : R3×]0, T [ die Geschwindigkeit der Strömung. Wir messen die Geschwindigkeit die Strömung im Ort x = (x1, x2, x3) ∈ Ω, den sogenannten Eulerschen Koordinaten. Mit Φ : R3×[0, T ]→ R3 bezeichnen wir den Fluß bezüglich des Geschwindigkeitsfeldes, so dass

    (1.5) Φ(x, t0) = x ∀x ∈ R3.

    Ferner setzen wir Xx(t) = Φ(x, t) (t ∈ [t0, T ]) die Integralkurve ein Teilchen, welches sich zum Zeitpunkt t = t0 im x befindet. Hierbei heißt Xx Charakeristik, oder auch Lagrangesche Koordinate. Dann genügt Xx der folgenden gewöhnlichen Differential- gleichung

    (1.6) Ẋx(t) = ∂Φ

    ∂t (Xx(t), t) = v(Xx(t), t), Xx(t0) = x.

    Die Gleichung der Impulserhaltung lautet somit

    (1.7) Ẍx(t) = F = F a + F p + F i,

    wobei

    F a = äußere Kraft

    F p = Druckkraft

    F i = innere Kräfte (Spannungen)

    3

  • Unter Verwendung der Kettenregel berechnet man aus (1.6)

    Ẍx(t) = d

    dt v(Xx(t), t) =

    ∂v

    ∂t (Xx(t), t) + Ẋx(t) · ∇v(Xx(t), t)

    = ∂v

    ∂t (Xx(t), t) + v(Xx(t), t) · ∇v(Xx(t), t).

    Für t = t0 erhält man

    (1.8) Ẍx(t0) = Dv

    Dt (x, t0) =

    ∂v

    ∂t (x, t0) + (v(x, t0) · ∇)v(x, t0).

    Die Druckfkraft F p: Sei V ⊂ R3 ein Probevolumen. Die auf V wirkende Druckkraft berechnet sich aus der Summe aller auf ∂V wirkenden Normalenkräfte. Dann berechnet man mithilfe des Gaußschen Integralsatzes

    (1.9)

    ∫ V

    F pdx =

    ∫ ∂V

    −pndS = − ∫ V

    ∇pdx =⇒ F p = −∇p.

    Die inneren Reibungskräfte Fi: Diese sind gegeben durch die inneren Reibungen, wel- che durch die Scherspannungen σ = {σij} erzeugt werden. Wie oben berechnet man mithilfe des Gaußschen Integralsatzes

    (1.10)

    ∫ V

    F idx =

    ∫ ∂V

    σ · ndS = ∫ V

    divσdx =⇒ F i = divσ.

    Aus den Gleichungen (1.8), (1.9) und (1.10) ergibt sich die Gleichung für die Impulser- haltung

    (1.11) ρ (∂v ∂t

    + (v · ∇)v )

    = −∇p+ divσ + F a.

    Das Newtonsche Gesetz: Der Spannungstensor hängt von ∇v,∇2v, . . . ab. Aus Sym- metriegründen erhält man σ = σ(D(v),∆v, . . .), wobei

    D(v) = 1

    2 (∇v + (∇v)t).

    Bei Newtonschen Verhalten ist σ proportional zu D(v), Das Newtonsche Gesetz lautet dann:

    σ = 2µD(v) + (λ− 2 3 µ)I div v.

    Für divσ berechnet man

    Djσij = µDjDjv i + µDjDiv

    j + ( λ− 2

    3 µ ) Di div v

    = µ∆vi + ( λ+

    1

    3 µ ) Di div v.

    4

  • Hierbei ist µ die dynamische Viskosität und λ ist der Zähigkeitskoeffizient. Aus (1.11) folgt

    (1.12) ρ Dv

    Dt = −∇p+ µ∆v +

    ( λ+

    1

    3 µ ) ∇ div v + F a (Impulsgleichung),

    wobei

    Dv

    Dt = ∂v

    ∂t + (v · ∇)v.

    Hierbei heißt Dv Dt

    die substantielle oder marterielle Zeitableitung von v und stellt die Beschleunigung entlang der Partikelbahn dar.

    1.3 Volumenerhaltung

    Sei v = v(x, t) ein glattes Geschwindigkeitsfeld, einer inkompressiblen Strömung, was bedeutet, dass das Volumen stets erhalten bleibt. Sei t0 ≥ 0 fixiert. Sei Ω ⊂ R3 ein Testvolumen zum Zeitpunkt t = t0, welches sich zu einem Volumen Ω(t) zum Zeitpunkt t > t0 verformt hat. Ist x ∈ Ω der Ort eines Partikels zum Zeitpunkt t = t0, so bezeichne Φ(x, t) den Ort des Partikels zum Zeitpunkt t > t0. Die Erhaltung des Volumens impliziert die Gleichung∫

    dx =

    ∫ Ω(t)

    dx ∀ t ≥ t0.

    Ist x ∈ Ω fixiert, so beschreibt t 7→ Xx(t) := Φ(x, t) die Partikelbahn des Teilchens, und ist Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

    Ẋx(t) = ∂Φ

    ∂t (Xx(t), t) = v(Xx(t), t), Xx(t0) = x.

    Die Abbildung (x, t) 7→ Xx(t) = Φ(x, t) ist somit der Fluß zu dem Vektorfeld v.

    • x heißt Eulersche Koordinate (Strömung wird von außen beobachtet und an einem bestimmten Ort x ∈ Ω gemessen)

    • Φ(x, t) heißt Lagrange Koordinate (Beobachter bewegt sich mit der Strömung entlang einer Partikelbahn)

    Wir haben also

    Ω(t)) = Φ(·, t)(Ω).

    Wegen der Volumenerhaltung berechnet man mithilfe der Transformationsformel für das Lebesgue-Integral

    vol(Ω) =

    ∫ Ω

    dx =

    ∫ Ω(t)

    dx =

    ∫ Ω

    | det∇xΦ(x, t)|dx ∀ t ≥ t0.

    5

  • Folglich haben wir wegen Φ(x, t0) = id

    (1.13) det∇xΦ(x, t) = det∇xΦ(x, t0) ≡ 1.

    Unter Verwendung des HS der D.I.R. folgt

    Φ(x, t) = x+ Φ(x, t)−Φ(x, t0)

    = x+

    1∫ 0

    ∂tΦ(x, t0 + s(t− t0))ds(t− t0)

    = x+

    1∫ 0

    Ẋx(t0 + s(t− t0))ds(t− t0)

    = x+

    1∫ 0

    v(Φ(x, t0 + s(t− t0)), t0 + s(t− t0))ds(t− t0)

    Folglich

    ∇xΦ(x, t) = I +B(x, t)(t− t0),

    wobei

    Bij(x, t) =

    1∫ 0

    Djv i(Φ(x, t0+s(t−t0)), t0+s(t−t0))ds→ Djvi(x) für t→ t0.

    Wegen Φ(x, t)→ id für t→ t0 erhält man

    B(x, t)→ ∇xv(x, t0) für t→ t0.

    Unter Verwendung von (1.13) folgt

    1 = det∇xΦ(x, t) = det(I +B(x, t)(t− t0))

    = 1 + n∑ i=1

    Bii(x, t)(t− t0) + C(x, t)(t− t0)2.

    Dies liefert

    div v(x) = lim t→t0

    n∑ i=1