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EINF ¨ UHRUNG IN DER PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2015 11. April 2015 GEORGE MARINESCU

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EINFUHRUNG IN DER PARTIELLENDIFFERENTIALGLEICHUNGEN

201511. April 2015

GEORGE MARINESCU

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EINFUHRUNG IN DER PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2015 1

INHALTSVERZEICHNIS

1. EINFUHRUNG 21.1. Notationen und erste Definitionen 21.2. Beispiele 21.3. Differentialoperatoren 6

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1. EINFUHRUNG

1.1. Notationen und erste Definitionen.

Definition 1.1. Eine partielle Differentialgleichung (PDG) ist eine Gleichung,die eine Funktion von mehreren Variablen und partielle Ableitungen dieserFunktion nach mindestens zwei Variablen enthalt. Enthalt die Gleichung nurpartielle Ableitungen nach einer Variablen, so handelt es sich um eine gewohnlicheDifferentialgleichung, in der die ubrigen Variablen nur als Parameter auftreten.

Notationen (siehe Analysis II):• Vektoren in Rn: x = (x1, . . . , xn), ξ = (ξ1, . . . , ξn) usw.• Ein Multi-index ist ein Vektor α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn

0 . Setze

|α| := α1 + . . .+ αn (Ordnung von α)

α! := α1! . . . αn! (α Fakultat), xα := xα11 . . . xαn

n

• Bezeichne ∂if = ∂xif =∂f

∂xi, ∂µi f :=

∂µf

∂xµiund fur α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn

0 ,

∂αf := ∂α11 · · · ∂αn

n f =∂α1

∂xα11

· · · ∂αn

∂xαnn

f =∂|α|f

∂xα11 · · · ∂xαn

n

.

• Der Gradient-Operator ist grad = ∂ = (∂1, . . . , ∂n).• Sei Ω ⊂ Rn offen. Eine Funktion f : Ω −→ C heißt k-mal stetig diffe-

renzierbar, wenn alle partiellen Ableitungen ∂αf , |α| 6 k, bis zur Ord-nung k von f existieren und stetig sind. Wir bezeichnen mit Ck(Ω) denRaum der k-mal stetig differenzierbaren Abbildungen von Ω.Eine Funktion f : Ω −→ C heißt unendlich oft differenzierbar oder glatt,wenn fur alle k ∈ N alle partiellen Ableitungen ∂αf , α ∈ Nn

0 existierenund stetig sind. Wir bezeichnen mit C∞(Ω) der Raum der unendlich oftdifferenzierbaren Abbildungen von U nach Rm.

Taylorformel mit Lagrange-Restglied: Sei f ∈ Ck+1(Ω,R), und seien a, x ∈ Ωmit [a, x] ⊂ Ω. Dann existiert ξ ∈ [a, x] mit

f(x) =∑|α|6k

1

α!∂αf(a)(x− a)α +

∑|α|=k+1

1

α!∂αf(ξ)(x− a)α .

1.2. Beispiele. Wir beschreiben nun, wie kommt man in der Physik zur wich-tigen partiellen Differentialgleichungen.

(i) Kontinuitatsgleichung. Sei Ω ⊂ R3 offen. Betrachte ein Massenfeld derDichte ρ : Ω × R → R, wobei die Massenteilchen sich mit der Geschwindigkeitv : Ω × R → R3 bewegen. Dabei ist ρ(x, t) bzw. v(x, t) die Massendichte bzw.Geschwindigkeit am Ort x ∈ Ω und Zeit t ∈ R und v wird als zeitabhantikesVektorfeld betrachtet. Wir nehmen an, dass ρ und v der Klasse C1 sind.

Das Massenfeld kann zum Beispiel eine Flußigkeit oder ein Gas sein.

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Massenerhaltungsgesetz: Fur jede offene Teilmenge G ⊂ Ω mit C1-Rand istdie Anderung der Masse in G gleich der uber den Rand ∂G nach G einfließendeMasse. Die Masse in G ist zur Zeit t ist

MG(t) :=

∫G

ρ(x, t)dx

und deren Anderung ist durch die Ableitung nach der Zeit t gegeben:dMG

dt=

d

dt

∫G

ρ(x, t)dx =

∫G

∂ρ

∂t(x, t)dx.

Der nach G einfließende Masse ist∫∂G

〈ρv,−ν〉ds = −∫∂G

〈ρv, ν〉ds

wobei ν das außere Einheitsnormalfeld zu G ist und ds das Flachenelement desRandes ∂G ist.

Wegen dem Divergenzsatz von Gauss gilt∫∂G

〈ρv, ν〉ds =

∫G

divx(ρu)dx,

wobei

divx(v) =3∑i=1

∂vi∂xi

die Divergenz des Vektorfeldes v : R3 → R3 in der Variablen x ist.

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Es gilt also fur alle G ⊂ Ω mit C1-Rand∫G

∂ρ

∂tdx = −

∫∂G

〈ρv, ν〉ds =

∫G

divx(ρu)dx

also ∫G

(∂ρ

∂t+ divx(ρv)

)dx = 0.

Da der Integrand stetig ist, folgt die Kontinuitatsgleichung:

∂ρ

∂t+ divx(ρv) = 0 in Ω× R.

Mit divx(ρv) = 〈gradx ρ, v〉+ ρ divx(v) impliziert das

∂ρ

∂t+ 〈gradx ρ, v〉+ ρ div(v) = 0 in Ω× R,

aquivalent

∂ρ

∂t(x, t) +

n∑j=1

∂ρ

∂xj(x, t)vj(x, t) + ρ(x, t) divx(v)(x, t) = 0 in Ω× R.

Ist v gegeben, so ist das eine PDG erster Ordnung in ρ (die Ableitungen er-ster Ordnung ∂tρ, ∂xjρ treten auf). Man nennt diese Differentialgleichung eineTransportgleichung.

(ii) Laplace-Gleichung. Eine Stromung heißt inkompressibel falls die Dichteρ ein erstes Integral von v ist, aquivalent, ρ ist entlang jeder Integralkurve vonv konstant. Daraus folgt

〈gradx f, v〉 = −∂ρ∂t

(siehe Vorlesung”Gewohnliche Differentialgleichungen“). Damit folgt ρ divx(v) =

0 und somit divx(v) = 0, da ρ 6= 0.Nehmen wir an, dass v stationar (zeitunabhanging) und wirbelfrei (das heißt

rot(v) = 0) ist. Dann ist v auf jede sternformige Teilmenge U ⊂ Ω ein Gradien-tenfeld, das heißt es existiert ein Potential u ∈ C2(U) mit gradu = v. Dann giltdiv(gradu) = 0. Aber

div(grad f) =n∑j=1

∂2f

∂x2j

fur jedes f ∈ C2(U). Der Operator

∆ =n∑j=1

∂2j =n∑j=1

∂2

∂x2j

heißt Laplace-Operator in Rn.

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Fazit: Das Potential u ∈ C2(U) einer stationaren, inkompressiblen und wir-belfreien Stromung erfullt die Laplace-Gleichung

(1.1) ∆u = 0

Die Losungen dieser Gleichungen heißen harmonische Funktionen.Sei f ∈ C(Ω) gegeben. Die Gleichung

∆u = f

mit der unbekannten Funktion u ∈ C2(Ω) heißt Poisson-Gleichung.Die Bedeutung der Laplace-Gleichung umfasst viele Teilbereiche der Physik,

der Geometrie und der Funktionentheorie:• Elektrostatik: Das elektrische Potential im ladungsfreien Raum erfullt

die Laplace-Gleichung.• Hydromechanik: Das Potential einer stationaren, inkompressiblen, wir-

belfreien Stromung erfullt die Laplace-Gleichung.• Die Verallgemeinerung des Laplace-Operators auf Riemannsche Man-

nigfaltigkeiten spielt eine wichtige Rolle in der Geometrie (z.B. durchHodge-Theorie).• Funktionentheorie: Holomorphe Funktionen und deren Real- und Ima-

ginarteil sind harmonisch.Wegen der physikaltischen Interpretation heißt (1.1) auch Potential-Gleichung.

Andere wichtige Gleichungen in der Fluidmechanik sind die Navier-Stokes-Gleichungund die Euler-Gleichung.

(iii) Warmeleitungsgleichung. Die Warmeleitungsgleichung beschreibt denZusammenhang zwischen der zeitlichen Anderung und der raumlichen Anderungder Temperatur an einem Ort in einem Korper.

Sei Ω ⊂ Rn. Gesucht wird u : Ω× [0,∞)→ R, u = u(x, t), mit

∂tu−∆xu =∂u

∂t−

n∑j=1

∂2u

∂x2j= 0 .

Dabei ist u(x, t) die Temperatur des Korpers Ω am Ort x und Zeit t.

(iv) Wellengleichung. Sie beschreibt die Ausbreitung von Wellen. Betrachtenwir ein homogenes, isotropes Medium. Bei Abwesenheit von Dampfung, Senkenund Quellen wird die Schwingung u : Ω × [0,∞) → R, u = u(x, t), durch died’Alembertsche Wellengleichung beschrieben:

∂2t u−∆xu =∂2u

∂2t−

n∑j=1

∂2u

∂x2j= 0 .

Diese Gleichung beschreibt die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen,Schallwellen, Gravitationswellen usw.

Fur Beziehungen der PDG mit der Physik siehe

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The Feynman lectures in Physics or Gerthsen Physik

Herleitung der Gleichungen in Gerthsen: 4.2.2 Die Wellengleichung, 7.4.7 Wel-lengleichung und Telegraphengleichung, 5.4.2 Die Gesetze der Warmeleitung,6.1.3 Spannung und Potential (Herleitung der Poisson-Gleichung).

1.3. Differentialoperatoren. Betrachte die Abbildung

P (x, ∂) : Ck(Ω)→ C(Ω), P (x, ∂)u =∑|α|≤k

aα(x)∂αu,

wobei aα ∈ C(Ω).Eine solche Abbildung heißt linearer Differentialoperator von Ordnung k. Das

Polynom in ξ,

σ(P )(x, ξ) =: P (x, ξ) =∑|α|≤k

aα(x)ξα

heit Symbol des Operators P (x, ∂). Die Komponente vom hochsten Grad

σ0(P )(x, ξ) =:= Pk(x, ξ) :=∑|α|=k

aα(x)ξα

heit Hauptsymbol von P (x, ∂).Beispiele:

∆ =n∑j=1

∂2j ⇒ σ(∆) = σ0(∆) =n∑j=1

ξ2j = ‖ξ‖2

σ(∂t −∆x) = η −n∑j=1

ξ2j = η − ‖ξ‖2 ⇒ σ0(∂t −∆x) = −‖ξ‖2

Definition 1.2. Sei P (x, ∂) ein linearer Differentialoperator und f ∈ C(Ω). DieGleichung

(1.2) P (x, ∂)u = f,

heißt lineare partielle PDG von Ordnung k. Falls f ≡ 0, so handelt es sich umeine homogene Gleichung, sonst von einer inhomogenen Gleichung.

Eine Funktion u ∈ Ck(Ω) heißt (globale) Losung der Gleichung (1.2).

Wie in der Theorie der gewohnlichen Differentialgleichungen (siehe z. B.den Satz von Cauchy-Picard-Lindelof) spielt die lokale Losbarkeit eine wichtigeRolle.

Definition 1.3. Der Operator P (x, ∂) heißt lokal losbar wenn

∀f ∈ C∞(Ω) ∀x0 ∈ Ω ∃U 3 x0 offen ∃u ∈ Ck(U) : P (x, ∂)u = f auf U.

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Ist n = 1, so ist (1.2) eine lineare GDG vom Ordnung k,k∑j=1

aj(x)u(j)(x) = f(x).

Wir wissen, dass solche GDG globale (also auch lokale) Losungen haben. Furn > 1 ist die Lage komplizierter.

Problem: Falls

aα ∈ C∞ und∑|α|=k

|aα(x)| 6= 0 auf Ω,

ist P (x, ∂) lokal losbar?Sind aα und f sind analytisch, so besagt der Satz von Cauchy-Kowalewskaja,

dass die Aussage richtig ist. Fur beliebige glatte Koeffizienten aα ist die Antwortaber negativ. Das zeigt ein Gegenbeispiel von Hans Lewy: Es gibt f ∈ C∞(R3),so dass

∂1u+ i∂2u+ 2i(x1 + ix2)∂3u = f

auf keiner offenen Teilmenge von R3 eine Losung besitzt.Eine große Klasse von Operatoren, die lokal losbar sind, besteht aus Opera-

toren mit konstanten Koeffizienten aα.

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