Einführung in die Informationsverarbeitung Teil Thaller

Stunde VI: Wege und warum man sie geht ...

... Graphen.

Manfred Thaller, Universität zu Köln

Köln 22. Januar 2009

I. Einführung

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Anknüpfungspunkte aus früheren Stunden.

Das Problem

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A* Algorithmus: Schluß

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A* formell

A = Stapel verwendbarer Felder; B Stapel geprüfter Felder

(1) Füge den Startknoten in A ein (2) Wiederhole: (2.1) Wähle den Knoten n mit den niedrigsten Kosten F (n) aus A aus und verschiebe ihn in B (2.2) Für jeden an n direkt angrenzenden Knoten m: (2.2.1)Wenn m nicht betretbar (Hindernis, Wasser, etc.) oder bereits in B ist, ignoriere ihn (2.2.2) Füge m in A ein, wenn er noch nicht enthalten ist (2.2.3) Trage die Kosten F (m) und G(m) ein und vermerke als Vorgänger n bzw. aktualisiere sie wenn m schon enthalten war und ein Weg über n mit kleinerem G(m) gefunden wurde (3) Wenn der Zielknoten in A eingefügt wurde, ist ein Weg gefunden worden. Wenn A leer geworden ist, ohne den Zielknoten zu finden, existiert kein Weg

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Ausgangspunkt I

Möglichkeit möglichst vieler derartiger Probleme auf eine einzige Klasse von Vorgehensweisen zurück zu führen.

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Ausgangspunkt II:

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Königsberger Brückenproblem

Frage: Möglichkeit, alle 7 Brücken hintereinander so zu überqueren, dass jede genau einmal – also nicht mehrmals – überquert wird.

Leonhard Euler (1707 bis 1783).

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Abstraktion I

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Abstraktion II

11

Abstraktion III

B

A

C

D

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Abstraktion IV

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„Ein Graph“

Knoten(Vertex, Nodes)

Kanten(Edges)

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Definition des ProblemsEin Graph G heißt Eulerscher Graph, falls es einen geschlossenen einfachen Kantenzug gibt, der jede Kante von G enthält. Ein solcher Kantenzug heißt dann Eulerscher Kantenzug.

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„Lösung“ des Problems

Sei G ein zusammenhängender Graph. Genau dann ist G ein Eulerscher Graph, wenn jeder Knoten von G geraden Grad hat.

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Ziele der Graphentheorie in der Informatik

(1) Erlaube Aussagen über auf Graphen zurückführbare inhaltliche Probleme.

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Kopf: (2) Beschreibe direkt die

Eigenschaften von Listen,

die wir am Tag 2 als eine

der grundlegenden

Datenstrukturen

kennengelernt haben.

Schwanz:

Ziele der Graphentheorie in der Informatik Atom 1

Atom 2

Atom 3

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Definitionen I

Einfacher, ungerichteter Graph.

Auch „schlichter Graph“.

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Definitionen …

Ist G ein Graph, so sagt man allgemein v ist Knoten (bzw. Ecke) von G, wenn v zu V(G) gehört. Ferner sagt man, falls G•ungerichteter Graph ohne Mehrfachkanten ist und e zu E(G) gehört, e ist eine ungerichtete Kante von G, •gerichteter Graph ohne Mehrfachkanten ist und e zu E(G) gehört, e ist eine gerichtete Kante von G, •ungerichteter Graph mit Mehrfachkanten ist und E(G)(e) > 0, e ist eine ungerichtete Kante von G, •gerichteter Graph mit Mehrfachkanten ist und E(G)(e) > 0, e ist eine gerichtete Kante von G.

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Definitionen II

Einfacher, gerichteter Graph.

Kanten hier: „gerichtete Kanten“, Bögen oder Dikanten.

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Definitionen III

Ungerichteter Graph mit Mehrfachkanten, auch „Multigraph“.

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Definitionen IV

Knotengefärbter Graph.

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Definitionen V

Kantengefärbter Graph.

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Definitionen VI

Ein verbundener - oderzusammenhängender - Graph.

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Definitionen VII

Ein unverbundener -oder unzusammenhängender- Graph.

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Definitionen VIII

Ein Graph mit einerSchleife

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Definitionen IX

Ein Graph mit einem Zyklus.

28

Definitionen IX

Ein Graph mit einem Zyklus.

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Beziehung: Graphen und Matrizen

K1

K3

K4K1

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Beziehung: Graphen und Matrizen

K2

K3

K4K1

1 1 1 0 1 0 2 11 2 0 10 1 1 0

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Konzept Isomorphie I

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Konzept Isomorphie II

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Konzept Isomorphie III

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Konzept Isomorphie IV

Zwei Graphen G1 und G2 sind isomorph, wenn es eine umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen den Ecken von G2 gibt derart, dass die Anzahl der Verbindungskanten zweier Ecken von G1 gleich der Anzahl von Verbindungskanten der entsprechenden Ecken von G2 ist.

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Anwendung Isomorphie

Nachteil: Überschneidungen, Diagramm daher potentiell verwirrend.

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Anwendung Isomorphie

Vorteil: Keine Überschneidungen, Diagramm daher klarer.

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Weitere Begriffe

Grade: Anzahl der Kanten von und zu einem Knoten / allen Knoten.

Eingangsgrade und Ausgangsgrade.

Maximale / Minimale Eingangsgrade / Ausgangsgrade.

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Weitere Begriffe

Verbundenheit:

Ein Graph ist n-verbunden, wenn n Kanten entfernt werden können, ohne dass er unzusammenhängend wird.

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Weitere Begriffe

Durchmesser:

Ein Graph hat den Durchmesser n, wenn der längste nicht-zyklische Kantenzug zwischen zwei Knoten n Knoten durchläuft.

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Weitere Begriffe

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Ein ungerichteter, zusammenhängender Graphohne Zyklen heisst Baum.

D.h., die schwarzen Pfeile im nebenstehenden Diagramm definieren Zeiger nach unserer früheren Definition.

Die roten Linien repräsentieren die Kanten im repräsentierten Graphen.

Literatur

Im empfohlenen Lehrbuch (Gumm / Sommer, Einführung in die Informatik, Oldenbourg, 82008) Kapitel 4.

http://www.mathematik.uni-marburg.de/~gumm/Buch/Dazu gehörige Programme (Kapitel 4) zum Download.

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Danke für heute!