x1

x3

x2

H G

FEA B

CD

S

matheⓈkript

ANALYTISCHE GEOMETRIE EINFÜHRUNG IN DIE VEKTORRECHNUNG

Punkte, Geraden und Ebenen

11. – 12. Klasse

2017

© Jens Möller

Autor: Jens Möller Owingen Tel. 07551-68289 Email: jmoellerowingen@aol.com

7. Auflage Owingen 2017

Bestellungen bei folgender Adresse

matheⓈkript Sonnenhalde 6 88 699 FRICKINGEN-LEUSTETTEN Fax + Tel: 0700-53 87 83 88 Email: Skript@Leustetten.de

VORWORT

Das vorliegende Skript hat sich als Einführung in die Vektorrechnung für 11./12.Klässler sehr be-

währt. Die Inhalte werden in kleinen Schritten entwickelt und regen aufgrund der vielen Übungen

zu selbstständigem Lernen an. Der Stoff kann daher auch in einzelnen Fachstunden erfolgreich be-

handelt und erarbeitet werden.

Vom Niveau her orientieren sich die Inhalte an der Fachhochschulreife-Prüfung in BW.

Wer das ABITUR anstrebt, muss darüber hinaus in späteren Klassen noch weitere Kenntnisse er-

werben, die in diesem Skript teilweise im ANHANG in den Kapiteln Bewegliche Punkte, Spatvo-

lumen, Ebenenscharen und Geradenscharen behandelt werden.

Am Ende sollte der Schüler allein mit Hilfe der FORMELSAMMLUNG (siehe Anhang) dem Skript

entsprechende Aufgaben bewältigen können.

Viel Erfolg und Spaß beim selbstständigen Lernen.

Jens Möller,

Owingen im Mai 2013

INHALT

RÄUMLICHES KOORDINATENSYSTEM 1

EBENEN 2

Achsenabschnittsform 3

Spezielle Ebenengleichungen 4

Koordinatenebenen / Ebenen durch den Ursprung 8

Ebene, Gerade und Durchstoßpunkt (nur Konstruktion) 10

FREIE VEKTOREN 15

Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einem Skalar 16

ORTSVEKTOREN 17

GERADENGLEICHUNG in Parameterform 17

Koordinaten zur Darstellung eines Vektors 18

Betrag eines Vektors 18

„Kopf weniger Fuß – Regel“ 19

Geraden durch zwei Punkte 20

GERADE mit EBENE geschnitten 21

Konstruktion 23

ABSTAND ZWEIER PUNKTE 26

SCHNITT ZWEIER EBENEN 31

Alternative Methode 34

Punktprobe 36

SKALARPRODUKT 37

Winkel zwischen zwei Vektoren 39

Normalenvektor einer Ebene 41

Lot von einem Punkt auf eine Ebene 43

Abstand eines Punktes von einer Ebene 45

Hesse-Normal-Form 47

Abstand eines Punktes von einer Geraden 50

Alle Winkelformeln 54

INHALT

Alle Abstandsformeln 55

GESAMTWIEDERHOLUNGEN 56

EBENENGLEICHUNG in Parameterform 60

Gerade und Punkt bestimmen eine Ebene 61

KREUZPRODUKT bzw. VEKTORPRODUKT 62

Schema zur Bestimmung des Kreuzproduktes / Normalenvektors 63

EBENENGLEICHUNG AUS DREI PUNKTEN 64

Drei Punkte bestimmen eine Ebene 65

SCHNITT ZWEIER GERADEN 68

Gegenseitige Lage zweier Geraden 71

VIERTE ECKE IN EINEM PARALLELOGRAMM 73

Flächeninhalt eines Parallelogramms 75

SPIEGELUNG EINES PUNKTES an einer Ebene 77

GESAMTWIEDERHOLUNGEN 78

ANHANG

KLASSENARBEITEN

BEWEGLICHE PUNKTE

SPATVOLUMEN

EBENENSCHAREN

GERADENSCHAREN

FORMELSAMMLUNG am ENDE

- 1 -

x2

x1

x3

135°

x - Achse

y - Achse

z - Achse

3

5

5

5

4

3

2

432

1

2

4

x1

x3

x2

4

3

5

3

1

5

5

5

4

3

2

432

1

1

2

4

P(3/4/5)

ANALYTISCHE GEOMETRIE = VEKTORRECHNUNG

DAS KOORDINATENSYSTEM

Das räumliche (kartesische) Koordina-

tensystem hat drei paarweise aufeinander

senkrecht stehende Achsen:

Verkürzungsfaktor

auf der x-Achse

12 2 0,7k

Die drei Achsen heißen offiziell 1 2 3, .x Achse x Achse und x Achse

Die Erfassung von Punkten durch Koordinaten:

Beispiel: (3 / 4 / 5)P

gehe 3 nach vorne, 4 zur Seite, 5 nach oben,

wobei die Reihenfolge egal ist.

allgemein: 1 2 3( / / )P x x x

1 2 3, ,x x x heißen Punktkoordinaten

- 2 -

x2

x1

x3

E

a = 5

4

c = 3

2

3

b = 432

1

1

1

2

4

x2

x1

x3

Spurgerade

Spurgerade

Spurgerade

E

S1

4

S3

2

3

S232

1

1

1

2

4

EBENEN UND IHRE GLEICHUNGEN

Das Erfassen von Ebenen durch Achsenabschnitte:

5 / 4 / 3E

allgemein: / /E a b c

a, b und c heißen Achsenabschnitte.

Das Erfassen aller Punkte in einer Ebene (Punktfeld) mit Hilfe einer Gleichung

1 2 3, .S S und S heißen Spurpunkte

- 3 -

MERKE

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen, wobei die Koordinaten

folgendermaßen lauten:

1 2 3( / 0 / 0) (0 / / 0) (0 / 0 / )S a und S b und S c

Spurgeraden sind die Schnittgeraden einer Ebene mit den Koordinatenebenen, wobei die Geraden-

gleichungen folgendermaßen lauten:

3 31 2 1 21 1 1x xx x x x

a b a c b c

Daraus ergibt sich die Ebenengleichung in Achsenabschnittsform:

31 2: 1xx x

Ea b c

Dass diese Gleichung richtig ist, sieht man daran, dass jeder der drei Spurpunkte eingesetzt werden

kann und jedes Mal die Gleichung erfüllt ist. Da eine Ebene genau durch drei Punkte bestimmt ist

und es sich bei der Ebenengleichung um eine lineare Gleichung handelt, hat man damit alles Nötige

gezeigt.

Beispiel: 31 2: 1 |2 3 5

xx xE Punktprobe für 2 (0 / 3/ 0)S

0 3 0

: 1 0 1 0 1 1 12 3 5

E stimmt.

Übung:

Mache ebenso die Punktprobe für die Spurpunkte 1(2 / 0 / 0)S und 3(0 / 0 / 5)S .

- 4 -

x2

x3

x1

b

c

E

4

2

32

1

1

1

4

x1

x3

x2

E

c

a

2

432

1

1

1

2

4

x2

x1

x3

E

b

a

4

3

2

32

1

1

1

2

4

SPEZIELLE EBENENGLEICHUNGEN

a) Parallelebenen zu den Koordinatenachsen:

1:x

E

32 1xx

b c

32: 1xx

Eb c

1 2:x x

Ea

3 1x

c

31: 1xx

Ea c

31 2:xx x

Ea b

1

1 2: 1x x

Ea b

- 5 -

x1

x3

x23

B

C

4

S

A

D

- 2

- 1

4

3

2

3

1

1

1

2

4

AUFGABE

Gegeben ist eine Pyramide durch die Punkte (3 / 2 / 0)A , (3 / 4 / 0)B , ( 1/ 4 / 0)C , ( 1/ 2 / 0)D

und (0 / 0 / 5)S .

Zeichne die Pyramide.

Bestimme die Gleichungen der 4 schrägen Ebenen.

Bestimme das Volumen der Pyramide.

Wie groß sind die Dreiecksflächen?

- 6 -

LÖSUNGEN

Ebene (ABS): 311 : 1 | 15

3 5

xxE (HN) 1 1 3: 5 3 15E x x

Ebene (BCS): 322 : 1 | 20

4 5

xxE 2 2 3: 5 4 20E x x

Ebene (CDS): 313 : 1 | ( 5)

1 5

xxE

3 1 3: 5 5E x x

Ebene (ADS): 324 : 1 | ( 10)

2 5

xxE

4 2 3: 5 2 10E x x

6 4 540

3 3Pyr

G hV VE

DREIECKSFLÄCHEN

2 21 1 6 3 5

3 34 17,52 2ABS

g hFE

2 22 2 4 4 5

2 41 12,82 2BCS

g hFE

2 21 3 6 1 5

3 26 15,32 2CDS

g hFE

2 22 4 4 2 5

2 29 10,772 2ADS

g hFE

- 7 -

x1

x3

x2

a

4

3

2

3

432

1

1

1

x1

x3

x2

b

4

3

2

3

32

1

1

1

2

x2

x1

x3

c

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

54321

b) Ebenen, parallel zu zwei Achsen

1 2:x x

Ea

3x

1

11: 1 :

xE E x a

a

1:x

E

32 xx

b

1

22: 1 :

xE E x b

b

1:x

E

2x

3 1x

c

33: 1 :

xE E x c

c

- 8 -

x2

x1

x3

x3 = 0

x2 = 0

x1 = 0

4

3

2

3

432

1

1

1

2

4

c)

DREI KOORDINATENEBENEN

MERKE

1 1

2 2

3 3

: 0

: 0

: 0

Rückwand E x

Seitenwand E x

Bodenebene E x

d) Ebenen durch den Koordinatenursprung

Ansatz: 31 2:O

xx xE k

a b c

Bedingung: ( / / )O o o o muss die Gleichung erfüllen. Durch Einsetzen folgt:

0 0 0 0k k

Ebenengleichung: 31 2: 0O

xx xE

a b c

Die Ebene OE geht durch den Ursprung und besitzt dieselbe Stellung wie

die Ebene 31 2: 1xx x

Ea b c .

e) Ebenengleichung in Koordinatenform

Jede Ebenengleichung kann auch in Koordinatenform geschrieben werden, indem man mit dem

Hauptnenner durchmultipliziert. Man erhält dann eine Gleichung in der Form:

1 2 3: 0E Ax Bx Cx D

Für D = 0 geht die Ebene durch den Ursprung O.

- 9 -

x2

x1

x3

2,5

4

3

2

3

43

1

1

1

2 x1

x3

x2

2

3

432

1

1

1

2

x1

x3

x2

- 3

- 2

4

3

2

3

432

1

1

1

2

x2

x1

x3

- 3

1,5- 3

3

2

3

2

1

1

1

2

4

1. Aufgabe

a) b)

c) d)

Bestimme alle Ebenengleichungen zunächst in der Achsenabschnittsform. Anschließend schreibe

die Gleichung um in die Koordinatenform.

2. Aufgabe:

Ein Körper wird durch folgende Ebenen begrenzt:

1 3 2 1 3 2 4 1 2 5 3: 0 / : 3 / : 4 / : 4 3 12 0 / : 3E x E x E x E x x E x

Zeichne den Körper.

3. Aufgabe:

Zeichne die Ebenen 1 1 2 3: 12 15 10 60 0E x x x und 2 1 2: 8 3 24 0E x x in dasselbe Koor-

dinatensystem ein. Zeichne jeweils die 3 Spurgeraden. Konstruiere auch die Schnittgerade der bei-

den Ebenen.

- 10 -

x1

x2

x3

s

g '

g

D

Hilfsebene

B '

A '

4

3

3

43

1

1

2

4

A

B

4. Aufgabe:

Gegeben ist die Ebene 1 2 3: 2 8 0E x x x . Eine Gerade g geht durch die Punkte (3 / 4 / 3)A

und (5 / 8 / 5)B .

Bestimme die Koordinaten der Spurpunkte von E. In welchem Punkt D durchstößt die Gerade g die

Ebene E?

Löse die Aufgabe durch Konstruktion.

31 21 2 3 1 2 3: 2 8 0 | 8 2 8 |:8 : 1

8 8 4

xx xE x x x x x x E

Spurpunkte: 1 2 3(8 / 0 / 0) (0 /8 / 0) (0 / 0 / 4)S S S

A und B sind Lotfußpunkte von A und B.

KONSTRUKTIONSBESCHREIBUNG

Die Punkte A, B, A’ und B’ bestimmen eine senkrecht stehende Hilfsebene H. Diese schneidet die

Ebene E in der Geraden s. g und s schneiden sich im Durchstoßpunkt D(2/2/2).

- 11 -

LÖSUNGEN

1. Aufgabe:

a) Bodenfläche: 3 0x

Deckel: 3 3x

Seitenfläche: 2 0x

Rückfläche: 1 0x

Schrägfläche: 1 21 2: 1 5 4 10

2 2,5

x xE x x

b) Bodenfläche: 3 0x

Deckel: 3 2x

Seitenflächen: 2 0x und 2 4x

Rückfläche: 1 0x

Frontfläche: 1 3x

c) 31 21 2 3: 1 3 8 4 12

4 1,5 3

xx xE x x x

31 21 2 3 1 2 3: 1 2 3 2 3 0

3 1,5 3

xx xE x x x oder x x x

31 21 2 3 1 2 3: 1 3 3 0

3 3 3

xx xE x x x oder x x x

31 21 2 3: 1 3 4 4 12

4 3 3

xx xE x x x

Bodenfläche: 3 0x

d) Bodenfläche: 3 0x

1. Dachfläche: 311 3: 1 3 2 6

2 3

xxE x x

2. Dachfläche: 311 3: 1 3 0

3 3

xxE x x

1. Schrägfläche: 31 21 2 3: 1 3 3 2 6

2 2 3

xx xE x x x

2. Schrägfläche: 31 21 2 3: 1 2 3 2 6 0

3 2 3

xx xE x x x

Senkrechte Fläche (rechts): 2 4x

- 12 -

x2

x1

x3

s

8

6

5

4

3

2

3

432

1

1

1

2

4

x1

x2

x3

3

3

432

1

1

1

2

2. Aufgabe:

1 21 2 1 2: 4 3 12 0 4 3 12 1

3 4

x xE x x x x zeichne

(= hintere schräge Fläche)

3. Aufgabe:

31 21 2 3: 12 15 10 60 0 1

5 4 6

xx xE x x x zeichnen

1 21 2 1 2: 8 3 24 0 8 3 24 : 1

3 8

x xE x x x x E zeichnen

- 13 -

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4 -2 2 4 6

1

2

3

4

5

6

1 3 5

x 2

x 3

x 1

WEITERE AUFGABE

1. Zeichne die Ebene 1 1 2 3E : 2x 3x 4x 12 und die Ebene 2 1 2 3E : 3x x x 6 in ein

Koordinatensystem ein. Zeichne die 3 Spurgeraden. Konstruiere die Schnittgerade der beiden

Ebenen.

2. Zeichne einen Würfel mit der Kantenlänge a = 4 LE, so dass drei Kanten des Würfels auf den

positiven Koordinatenachsen liegen.

Die Ebene 1 2 3E : 2x x 4x 12 schneidet den Würfel. Konstruiere die Schnittfläche.

3. Zeichne einen Würfel mit der Kantenlänge a = 4 LE, so dass drei Kanten des Würfels auf den

positiven Koordinatenachsen liegen.

Die Ebene 1 2 3E : 20x 15x 24x 120 schneidet den Würfel. Konstruiere die Schnittflä-

che.

4. Zeichne eine schiefe Pyramide mit den Punkten A(4/0/0), B(4/4/0), C(0/4/0), D(0/0/0) und

S(0/0/6). Schneide die Pyramide mit der Ebene 1 2 3E : 9x 10x 30x 90 Konstruiere die

Schnittfigur.

LÖSUNGEN

- 14 -

4

3

2

1

1

2

3

2 2 4 6 8 10 12 x2

x3

x1

1

2

3

4

5

6

1 3 5

5

4

3

2

1

1

2

3

2 2 4 6 8

x3

x2

x1

1

2

3

4

5

6

1 3 5

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4 2 2 4 6 8

x3

x2

x1

1

2

3

4

5

6

1 9

- 15 -

- a

- a

- a- a

- a

A

A

a

a

a

a

a

a

:

,

.

MERKE

sind

sie haben und

Vektoren Verschiebungen

Richtung Länge

DER FREIE VEKTOR

Ein freier Vektor ist eine Verschiebung des ganzen Punktraumes in einer bestimmten Richtung,

wobei die Intensität der Verschiebung durch die Länge des Vektors ausgedrückt wird.

negativer Vektor

Ist a

ein freier Vektor, so ist a

ein freier Vektor mit entgegengesetzter Richtung und derselben

Länge.

- 16 -

3a

0,5 a

2a

a

a - ba

+ b

- b

a

a + ba

b

b

a

DARSTELLUNG EINES FREIEN VEKTORS

Ein freier Vektor wird nur durch einen einzelnen Pfeil dargestellt. Dieser kann jedoch beliebig

parallel verschoben werden, wobei seine Richtung unverändert bleibt. Auch ist der Ansatzpunkt

des freien Vektors frei wählbar. Nur die Länge und die Richtung dürfen nicht verändert werden.

Addition zweier Vektoren

Parallelogramm Regel

Zwei Vektoren spannen ein Parallelogramm auf. Die Diagonale im Parallelogramm mit demselben

Ansatzpunkt ist die Summe der beiden Vektoren.

Oder man bildet aus beiden Vektoren eine Vektor-Kette. Die direkte Verbindung von Ansatzpunkt

des ersten Vektors mit der Spitze des zweiten Vektors ergibt die resultierende Vektor-Summe.

Subtraktion zweier Vektoren

Die Richtung des zweiten

Vektors wird umgekehrt, so

ergibt sich die andere Diago-

nale im Parallelogramm.

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ( = Zahl)

Wird ein Vektor mit einem Skalar multipliziert, so bedeutet das eine Streckung oder Stauchung

seiner Länge um den entsprechenden Faktor.

- 17 -

x2

x3

4

3

5

x1

O

Ortsvektor

3

1

5

5

4

3

2

432

1

1

2

P(3/4/5)

x3

x2

g

x1

Po(fest)

(variabel)

x

x 0

t · a

a

2

1

4

3

2

1

542

P

1

DER ORTSVEKTOR

Der Ortsvektor steht im Gegensatz zum freien Vektor.

Sein Ansatzpunkt ist fest an den Koordinatenursprung O

gebunden.

.OP Verschiebung eines Punktes von O nach P

Jedem Punkt des Raumes wird daher ein

ganz individueller auf den Koordinatenur-

sprung bezogener Ortsvektor zugeordnet.

Ist ein Ortsvektor bekannt, so ist auch sein

entsprechender Punkt P bekannt - und um-

gekehrt.

GERADEN IM RAUME

0 0x fester Stützvektor OP

x variabler Ortsvektor OP

a Richtungsvektor von g

0t a Vielfaches von a P P

t Parameter

Die Gerade g wird als Punktreihe aufgefasst. 0P wird fest gedacht und heißt Stützpunkt von g,

während P beweglich gedacht wird und alle möglichen Positionen auf g einnehmen kann. Für t = 0

fällt P mit 0P zusammen.

Durchläuft t alle Werte zwischen und , so durchläuft P alle Punkte auf g. Die Vektor-

Gleichung lautet daher in der so genannten Parameterform:

0:g x x t a

In dieser Gleichung sind x

und t die variablen, 0x

und a

die festen Größen.

- 18 -

x2

x3

x1

a

2 i

3 k

4 jk j

i

2

1

5

4

3

2

1

54321

DARSTELLUNG EINES VEKTORS

MIT HILFE VON KOORDINATEN

,i j und k Einheitsvektoren in Richtung der Achsen

Beispiel:

2 2

2 4 3 4 4 ( )

3 3

i

a i j k j Kurzschreibweise

k

allgemein: 1 1

1 2 3 2 2

3 3

( )

a i a

a a i a j a k a j a Kurzschreibweise

a k a

Die drei Einheitsvektoren ,i j und k bilden eine Basis, d.h. jeder Vektor kann als eine Line-

arkombination dieser drei Basisvektoren geschrieben werden.

Ist die Basis bekannt, so benutzt man zur Darstellung eines Vektors die Spaltenschreibweise.

Die Richtung eines Vektors ist allein gegeben durch das Verhältnis der Koordinaten 1 2 3: :a a a .

Dabei bedeutet 1 2 3: :ka ka ka dieselbe Richtung.

Die Länge (= Betrag) eines Vektors lässt sich mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes be-

stimmen:

1 2 3| | ² ² ²a a a a a Betrag Länge

- 19 -

AB

x Bx A

B

A

O

Die Koordinatendarstellung ist unabhängig von der Qualität des Vektors, d.h. es ist egal, ob es

sich um einen freien Vektor oder einen Ortsvektor handelt.

Besonders innig ist der Zusammenhang eines Punktes im Raume mit seinem Ortsvektor.

Punktkoordinaten und Vektorkoordinaten werden nur durch die verschiedene Schreibweise

unterschieden.

1 2 3

1

2

3

( / / )Punkt P x x x Zeilenschreibweise

x

Vektor OP x Spaltenschreibweise

x

RECHENREGELN

Addition / Subtraktion von Vektoren

1 2 3 1 2 3( )a b a i a j a k b i b j b k

| wird neu sortiert

1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )a b a b i a b j a b k

| Zusammenfassung in Spaltenschreibweise

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a b a b

a b a b a b

a b a b

d. h. Vektoren werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert.

Multiplikation mit einem Skalar:

1 1

2 2

3 3

a k a

k a k a k a

a k a

d. h. ein Vektor wird komponentenweise multipliziert.

Kopf-weniger-Fuß-Regel

Sucht man zwischen zwei Punkten A

und B den Richtungsvektor, so gilt die

so genannte Kopf-weniger-Fuß-Regel.

B AAB x x

- 20 -

x3

x2

g

x1

x 2

P2

O

P1

(variabel)

x

x 1

t · a

a

2

1

4

542

P

1

GERADE DURCH ZWEI PUNKTE

1 2

1 2

2 1

,

,

P P feste Punkte P beweglicher Punkt

x x feste Stützvektoren x variabler Ortsvektor

a x x Richtungsvektor

Durch die beiden Punkte 1P und 2P wird die Gerade g im Raume festgelegt. Der Punkt P durch-

läuft die Gerade als variabler Punkt. Indem man die beiden festen Ortsvektoren voneinander ab-

zieht, erhält man den Richtungsvektor a

.

Damit lautet die Geradengleichung in der so genannten Zwei-Punkte-Form:

1 2 2 1 1 2 1 2: ( ) ( )oder oderg x x t x x oder x x t x x

ANMERKUNG

Als Stützvektor darf man sowohl 1x

als auch 2x

einsetzen, als Richtungsvektor sind sowohl der

Differenzvektor 1 2x x

als auch 2 1x x

möglich.

- 21 -

GERADE MIT EBENE GESCHNITTEN

Gegeben ist die Ebene 1 2 3: 2 8 0E x x x .

Eine Gerade g geht durch die Punkte (3 / 4 / 3)A und (5 / 8 / 5)B .

a) Bestimme die Koordinaten der Spurpunkte von E.

b) Stelle die Geradengleichung auf.

c) In welchem Punkt D durchstößt die Gerade g die Ebene E?

d) Wo durchstößt g die Koordinatenebenen?

Rechne und konstruiere.

Mache eine Konstruktionsbeschreibung.

RECHNUNG

a) Spurpunkte von E:

31 21 2 3 1 2 3: 2 8 0 | 8 2 8 |:8 : 1

8 8 4

xx xE x x x x x x E

1 2 3(8 / 0 / 0) (0 /8 / 0) (0 / 0 / 4)S S S

b) Geradengleichung:

3 5 3 3 2

: 4 8 4 4 4

3 5 3 3 2

g x t x t

| Kürzen nur beim Richtungsvektor möglich

3 1

: 4 2

3 1

g x t

c) Durchstoßpunkt von g mit E:

1 2 3: 2 8E x x x

3 2 3 1

: 4 4 : 4 2

3 2 3 1

g x t g x t

oder gekürzt komponentenweise schreiben

Hier die Rechnung mit der gekürzten Version:

1

2

3

3 1

4 2

3 1

x

x t

x

komponentenweise in die Ebenengleichung einsetzen

:g E (3 ) (4 2 ) 2 (3 ) 8 3 4 2 6 2 8t t t t t t

5 13 8 1t t | in die Geradengleichung einsetzen

- 22 -

x1

x2

x3

s

g '

g

D

Hilfsebene

B '

A '

8

8

4

3

3

43

1

1

2

4

A

B

3 1 3 1 2

4 1 2 4 2 2 (2 / 2 / 2)

3 1 3 1 2Dx D

Durchstoßpunkt

d) Wo durchstößt g die Koordinatenebenen

1 0g x setze die 1x Zeile von der Geradengleichung gleich Null:

1

3 1 0

0 3 0 3 4 3 2 2

3 1 0Sx t t einsetzen in g x

1/3 (0 / 2 / 0)S Kontrolle an der Zeichnung.

2 0g x setze die 2x Zeile von der Geradengleichung gleich Null:

2

3 1 1

0 4 2 0 2 4 2 2 0

3 1 1Sx t t einsetzen in g x

2 (1/ 0 /1)S Kontrolle an der Zeichnung.

Weitere Durchstoßpunkte gibt es nicht, weil zwei Punkte zusammenfallen.

A und B sind Lotfußpunkte von A und B.

- 23 -

KONSTRUKTIONSBESCHREIBUNG

Die Punkte A, B, A’ und B’ bestimmen eine senkrecht stehende Hilfsebene H. Diese schneidet die

Ebene E in der Geraden s. g und s schneiden sich im Durchstoßpunkt D(2/2/2).

Das Ergebnis der Konstruktion stimmt mit dem Ergebnis der Rechnung überein.

WIEDERHOLUNGSAUFGABE

Gegeben: 1 2 3: 10 15 12 120 0Ebene E x x x

Gerade g: mit (3 / 3 / 7) (9 /13 / 1)A und B

Gesucht: Spurpunkte von E, Geradengleichung

Durchstoßpunkt von g mit E

Schnittpunkte von g mit den Koordinatenebenen

Konstruiere und rechne

Rechnung:

31 21 2 3: 1 (12 / 0 / 0) (0 / 8 / 0) (0 / 0 /10)

12 8 10

xx xE S S S

3 3

: 3 8

7 4

g x t

:g E

1 2 3

1

2

3

: 10 15 12 120

3 3

: 3 8

7 4

E x x x

x t

g x t

x t

komponentenweise einsetzen in E

1210(3 3 ) 15( 3 8 ) 12(7 4 ) 120 ..... Dt t t t

12

3 3 4,5

3 8 1 (4,5 /1/ 5)

7 4 5Dx D

Kontrolle an der Zeichnung.

1 1

3 3 0

0 3 3 0 1 3 1 8 11 (0 / 11/11)

7 4 11

g x t t x S

1 12 2 8 20 ..... (4 / 0 / 5 )g x S 1

3 3 40 ..... (8 /11/ 0)g x S

- 24 -

x3

x2

x1

s

g '

g

D

B

A

B '

A '

10

8

12

5

32

1

5

4

3

5431

KONSTRUKTION DES DURCHSTOSSPUNKTES

A, B, A’ und B’ bestimmen die senkrecht stehende Hilfsebene H (gestrichelt gezeichnet). H mit E

geschnitten führt zur Schnittgeraden s.

g mit s geschnitten ergibt den Durchstoßpunkt D.

- 25 -

ÜBUNGEN I

1) Bestimme den Durchstoßpunkt der Geraden g mit der Ebenen E rechnerisch.

a) 1 2 3

3 2

: 1 0 : 2 2 3 0

1 1

g x t und E x x x

: 2 (1 / 1 / 3)Lösung t D

b) 1 2 3

8 4

: 3 3 : 6 3 2 1

4 0

g x t und E x x x

: 2 (0 / 3 / 4)Lösung t D

c) 1 2 3

2 2

: 1 1 : 0

1,5 3

g x t und x x Ebene x

: 0,5 (3 / 0,5 / 0)Lösung t D

2) Gegeben ist die Ebene 1 2 3: 2 3 3 12 0E x x x und die Gerade g durch die beiden Punkte

(4 / 4 / 3)A und (6 / 8 / 5)B . Wo durchstößt die Gerade g die Ebene E?

Wo schneidet die Gerade g die 1 3 ?x x Ebene

Löse die Aufgabe rechnerisch und konstruktiv.

Lösungen: 6 5 10 511 11 11 11

4 1

: 4 2 : 1 (2 / /1 )

3 1

g x t g E t D

1 3 : (2 / 0 /1)g x x Ebene S

3) Gegeben ist die Ebene 1 2 3: 2 3 12 0E x x x und die Gerade g durch die beiden Punkte

(5 / 6 / 4)A und (7 / 9 / 7)B . Wo durchstößt die Gerade g die Ebene E?

Wo schneidet die Gerade g die 1 2 ?x x Ebene

Löse die Aufgabe rechnerisch und konstruktiv.

13: (3/ 3/1) (2 / 2 / 0)Lösungen D und S

- 26 -

x2

x1

x3

x A

x B

O

AB

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

5432

A

B

1

ABSTAND ZWEIER PUNKTE

Bestimmung des Differenzvektors: 1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

B A

b a b a

AB x x b a b a

b a b a

Abstand = Betrag des Differenzvektors: 1 1 2 2 3 3| | ( )² ( )² ( )²AB AB b a b a b a

(zum Betrag eines Vektors siehe Seite 18 unten)

2 2 21 1 2 2 3 3

2 2 2

: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Abstandsformel AB b a b a b a

Kurzform AB x y z

Beispiel: A(3/5/2) und B(1/-2/6), bestimme den Abstand AB .

Lösung: ( )² ( )² ( )² 2² 7² 4² 4 49 16 69AB x y z

8,3AB LE

- 27 -

x1

x2

x3

5

4

3

2

1

5

4

3

1

5431

ÜBUNGEN II

1. Die Grundfläche eines 4 LE hohen Quaders ist gegeben durch die Punkte A(7/5/0), B(2/5/0),

C(2/-2/0) und D(7/-2/0).

Gib die Koordinatengleichungen sämtlicher Ebenen an, in denen die Quaderflächen liegen.

Eine Gerade g durch die Punkte P(3/8/2) und Q(6/-1/5) durchstößt zwei der Quaderflächen.

Konstruiere diese Durchstoßpunkte und berechne ihre Koordinaten.

Wie lang ist das Teilstück der Geraden g, das im Inneren des Quaders liegt?

2. Gegeben ist die Ebene 1 2 3: 3 6 2 24E x x x . Der Punkt A(6/6/9) wird mit dem Ursprung

verbunden. Wo durchstößt die Verbindungsgerade die Ebene?

Konstruiere und rechne.

3. Gegeben ist die Ebene 1 2 3: 7E x x x und der Punkt A(6/7,5/7,5). Wo durchstößt die

Gerade AO die Ebene E?

*

4. Ein Würfel mit der Kantenlänge 4 LE wird

von der Ebene 1 2 3: 0E x x x d mit d

geschnitten.

Für welches d berührt die Ebene den Würfel?

Zeichne die Schnittfläche mit dem Würfel für

d = 6. Berechne die Schnittpunkte der Würfel-

kanten mit der Ebene E.

Für welches d ist die Schnittfläche ein gleich-

seitiges Dreieck?

* *

5. Eine quadratische Pyramide mit den Eckpunkten A(0/0/0), B(8/0/0), C(8/8/0), D(0/8/0) und

der Spitze S(4/4/12) wird von der Ebene 1 2 3: 2 5 24E x x x geschnitten. Berechne die

Schnittpunkte mit den Pyramidenkanten.

Fertige eine Zeichnung an.

- 28 -

x1

x2

x3

g

D2

D1

Q '

P '

P

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

521

Q

LÖSUNGEN

1.

Ebenengleichungen: Grundebene: 3 0x

Deckelebene: 3 4x

Seitenebenen: 2 22 5x und x

Frontebenen: 1 17 2x und x

Geradengleichung:

3 3 3 1

: 8 9 8 3 |

2 3 2 1

g x t t Richtungsvektor gekürzt

Durchstoßpunkte: 2 1( 5) 5 8 3 1 (4 / 5 / 3)g Seitenebene x t t D

3 2( 4) 4 2 2 (5 / 2 / 4)g Deckelebene x t t D

Länge: 1 2 1² 3² 1² 11D D LE (Formel auf Seite 25)

2.

0

: 0

0

OA x

6 2

6 ( ) 2

9 3

t gekürzt x t

:OA E 3 2 6 2 2 3 24 24 24 1 (2 / 2 / 3)t t t t t D

- 29 -

x1

x3

x2

6

8

12

12

12

4

1

4

1

4

1

3.

0

: 0

0

OA x

6 4

7,5 ( ) 5

7,5 5

t gekürzt x t

:OA E 4 5 5 7 14 7 0,5 (2 / 2,5 / 2,5)t t t t t D

4. (4 / 4 / 4)A

A in E einsetzen: 1 2 34 4 4 12 : 12d d E x x x

Für d = 6 ergibt sich: 31 21 2 3: 6 1

6 6 6

xx xE x x x zeichnen

Spurgerade 2( 0)x : 1 2

6 6

x x 3 31

11 1 : 46 6 6

x xxund Würfelkante x

33 3 1

41 4 6 2 (4 / 0 / 2)

6 6

xx x P

Analog ergeben sich: 2 (2 / 0 / 4)P 1 2 1 2(0 / 2 / 4) (0 / 4 / 2) (2 / 4 / 0) (4 / 2 / 0)Q Q R R

Gleichseitige Schnittflächen für: 0 4 8 12d oder d

- 30 -

x2

x3

x1

10

D

S

4,8

CB

12

12

24

11

5.

31 21 2 3: 2 5 24 1

24 12 4,8

xx xE x x x

Gerade AS:

4 1 13 3 3

1

1 2 15 24 18 24 A(1 /1 / 4)

3

x t E t t t t t

Gerade BS:

8 1

0 1 8 2 15 24 16 16 1 (7 /1/ 3)

0 3

x t E t t t t t B

Gerade CS:

8 1

8 1 8 16 2 15 24 12 0 0 (8 / 8 / 0)

0 3

x t E t t t t t C

Gerade DS: …………… 3 547 7 7( / 7 /1 )D

- 31 -

x1

x3

x2

g

x3 = 0

SpurgeradeSpurgerade

x1 = 0E2

E1

D3

D1

6

8

6

5

4

3

2

1

5

4

3

2

5421

SCHNITT ZWEIER EBENEN

GLEICHUNG DER SCHNITTGERADEN

Aufgabe:

Gegeben sind die beiden Ebenen 1 1 2 3 2 1 2 3: 2 2 2 0 : 4 3 4 24 0E x x x und E x x x .

Zeichne die beiden Ebenen und konstruieren die Schnittgerade g.

Bestimme rechnerisch die Gleichung von g.

Verfahren:

Man bringt jeweils zwei Spurgeraden zum Schnitt und erhält so 1D und 2D (oder 3D ). Aus 1D und

2D (oder 3D ) kann anschließend die Gleichung der Schnittgeraden g aufgestellt werden.

31 21 : 1

1 2 1

xx xE zeichne

31 22 : 1

6 8 6

xx xE zeichne

- 32 -

Rechnung:

Um die Spurgeraden in der Koordinatenebene ( 1 0x ) zu erhalten, setzt man in beiden Ebenenglei-

chungen die 1x Koordinate gleich Null.

Ebenengleichungen: 1 1 2 3

2 1 2 3

: 2 2 2 0

: 4 3 4 24 0

E x x x

E x x x

1 0Setze x : 12x 2 3

1

2 2 0

4

x x

x

2 33 4 24 0x x | Spurgeraden

Spurgeraden: 2 3

2 3

2 2 0 | 3

3 4 24 0

x x

x x

| Schnittpunkt berechnen

2 3

2 3

3 6 6 0

3 4 24 0

x x

x x

Schnittpunkt: 3 3 2 110 30 0 3 4 (0 / 4 / 3)x x einsetzen x D

Ebenso erhält man

3 0für x 1 2 32 2x x x

1 2 3

2 0

4 3 4x x x

24 0

Spurgeraden: 1 2

1 2

2 2 0 | 3

4 3 24 0

x x

x x

| Schnittpunkt berechnen

1 2

1 2

6 3 6 0

4 3 24 0

x x

x x

Schnittpunkt: 1 1 2 310 30 0 3 4 (3 / 4 / 0)x x einsetzen x D

Man könnte auch durch Vorgabe von 2 0x den Schnittpunkt 2D berechnen. Zum Aufstellen der

Schnittgeraden g benötigt man aber nur zwei Punkte.

Schnittgerade:

3 3 0 3 3 3 1

: 4 4 4 4 0 4 0

0 0 3 0 3 0 1

g x t x t t

Richtungsvektor kürzen

- 33 -

ÜBUNGEN III

1. Stelle die Ebenen 1E und 2E mit Hilfe ihrer Spurgeraden im Koordinatensystem dar. Zeichne

ferner die Schnittgerade g ein (nur zeichnen).

a) 1 1 2 3 2 1 2 3: 4 : 15 10 6 30E x x x und E x x x

b) 1 1 2 3 2 1 2: 3 8 3 24 0 : 3 2 12 0E x x x und E x x

c) Gegeben ist ein Quader durch die Punkte:

A(0/0/0), B(4/0/0), C(4/5/0), D(0/5/0). Die Höhe des Quaders beträgt 3LE. Zeichne den Qua-

der und schneide ihn mit der Ebene 1 1 2 3: 6E x x x .

d) Zeichne den Quader nochmals und bringe ihn zum Schnitt mit der Ebene 2 1 2: 4 3 8E x x .

2. Zeichne die beiden Ebenen 1E und 2E , konstruiere die Schnittgerade g und bestimme rech-

nerisch die Gleichung von g.

a) 1 1 2 3

2 1 2 3

: 3 6 4 24 0

: 6 3 8 30 0

E x x x

E x x x

fürs Umformen beachte 308 3,75

4 4

: : 2 0

0 3

Ergebnis g x t

b) 1 1 2 3

2 1 2

: 2 3 2 12

: 2 8

E x x x

E x x

3 1

: : 2 2

0 2

Ergebnis g x t

3. Bestimme den Schnittpunkt von 1 2 3: 3 4 6 24E x x x mit der Geraden

5 3

: 5,5 4

8 6

g x t

. Rechne und zeichne. : (2 /1,5 / 2)Ergebnis D

4. 1 1 2 3

2 1 2

: 2 8 0

: 2 2 0

E x x x

E x x

Bestimme die Schnittgerade durch Rechnung und Zeichnung.

Beachte jeder Punkt auf g kann Stützpunkt sein, der Richtungsvektor kann gekürzt oder

gestreckt werden.

1 2

: : 0 4

3,5 3

Ergebnis g x t

5. Die beiden Punkte A(3/-3/7) und B(6/5/3) bestimmen eine Gerade g. Wo durchstößt g die

Koordinatenebenen? Rechne und zeichne.

1 1 11 2 38 2 4: (0 / 11/11) (4 / 0 / 5 ) (8 /11/ 0)Ergebnisse S S S

- 34 -

ALTERNATIVE METHODE

Gegeben sind zwei Ebenen 1 2 3 1 2 3: 2 4 12 : 6 3 4 12E x x x und F x x x .

Bestimme die Schnittgerade.

Lösung:

1 2 3

1 2 3

2 4 12

6 3 4 12

x x x

x x x

| ( ) Lasse zunächst eine Variable herausfallen.

1 2 1 25 5 0x x x x

Da das lineare Gleichungssystem (LGS) über 3 Variablen aber nur 2 Gleichungen verfügt, ist es

nicht vollständig bestimmt. Man kann daher über eine Variable frei verfügen und diese gleich t set-

zen.

Wähle z. B. 1 2x t x t und setze in eine der beiden Gleichungen ein:

31 2 3 3 3 42 4 12 2 4 12 3x x x t t x x t .

Die Zusammenfassung der 3 Variablen ergibt dann die Schnittgerade.

Zusammenfassung: 34

0 1 0 4

: 0 1 0 4

3 3 3

g x t x t

Weiteres Beispiel:

1 1 2 3

2 1 2

: 2 3 2 12

: 2 8

E x x x

E x x

1 2 22 8 8 2Setze x t t x x t

32 3 (8 2 ) 2 12t t x

3 32 24 6 2 12 6 2t t x x t

Zusammenfassung:

0 1

: 8 2

6 2

g x t

- 35 -

x2

x1

x3

5

4

3

2

1

4

3

1

4321

WEITERE ÜBUNGEN zu III

a)

01xx2x:Fund1xx3x2:E 321321

Lösung:

0 1

: 2 1

5 1

s x t

b)

1 2 3 1 2 3: 2 7 : 6 7 0E x x x und F x x x

Lösung:

0 1

: 7 13

0 7

s x t

c)

1 3 1 2 3: 5 8 : 1E x x und F x x x

Lösung:

8 5

: 7 4

0 1

s x t

d)

2 1 3: 4 5 : 6 5 0E x und F x x

Lösung:

0 5

: 1,25 0

0 6

s x t

e)

2 3 1 2: 2 3 12 :3 12E x x und F x x

Bestimme die Schnittgerade zeichnerisch und rechnerisch.

Lösung:

0 1

: 12 3

4 2

s x t

f)

1 1 2 3 2 3: 2 3 4 12 : 5 10 0E x x x und E x .

Zeichne und rechne.

Lösung:

2 3

: 0 2

2 0

s x t

- 36 -

x2

x1

x3

g

6

4

3

2

3

432

1

1

1

2

4

6

,

,

, .

PUNKTPROBE

Falls der Stützpunkt im Ergebnis abweichend ist

kann man durch Punktprobe prüfen ob der

alternative Stützpunkt auch auf der Geraden liegt

wenn ja dann sind die Geraden identisch

Siehe auch FORMELSA

.MMLUNG

SCHNITTGERADEN UND PUNKTPROBE

AUFGABE

Gegeben sind die folgenden vier Ebenen:

:1 1 2 3E x x x 4

:2 1 2 3E x x 2x 6

:3 1 2E x 2x 2

:4 1 3E x 2x 6

Bestimme die Schnittgeraden: 1 2E E 1 3E E 1 4E E 3 4E E

Bestimme die Spurpunkte der Geraden : ,

,

2 1

g x 2 t 0 5

4 0 5

Bestimme den Schnittpunkt 2g E

ERGEBNISSE

:1 2

0 1

E E x 2 t 1

2 0

:1 3

2 4

E E x 0 t 2

2 2

:1 4

0 2

E E x 1 t 1

3 1

:3 4

6 2

E E x 2 t 1

0 1

Spurpunkte: ( / / ) ( / / ) ( / / )1 1 2 3g x 0 S 0 1 3 ebenso S 2 0 2 und S 6 2 0

Schnittpunkt: ( / / )2g E D 2 0 2

- 37 -

sF

s

F

s

F

DAS SKALARPRODUKT VON VEKTOREN

am Beispiel der Mechanik (Physik):

F Kraftvektor s Wegvektor

Kraf t Weg Arbeit

Kraft und Weg sind gerichtete Größen - also Vektoren.

Die Arbeit ist ein Skalar, d.h. eine reine Zahl ohne Richtung.

Das Produkt der beiden Vektoren, Kraft und Weg, heißt daher Skalarprodukt.

Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander:

0F s

d. h. es wird keine Arbeit geleistet.

Die Vektoren haben die gleiche Richtung:

| | | |F s F s

d. h. es wird die volle Arbeit geleistet.

Die Vektoren haben beliebige Richtungen:

| | | |F s F s cos

d. h. es wird eine Teil-Arbeit geleistet.

| | cosF

Liegt der Kraft-Vektor schräge zum waagerechten Weg-Vektor, so wird nur der waagerechte Anteil

der Kraft wirksam. Diesen Anteil erhält man, indem man die Kraft mit dem cosinus des Winkels

zwischen Kraft- und Weg-Richtung multipliziert.

- 38 -

b

a

VERALLGEMEINERUNG

Beim so genannten Skalarprodukt von Vektoren wird die Länge des einen Vektors senkrecht auf

die Länge des anderen Vektors projiziert. Der Projektionsfaktor ist durch cos a gegeben. Dabei

sind drei Fälle zu unterscheiden: 90 90 0cos senkrecht stehen

0 0 1cos parallel sein

beliebig 1 1cos sonst

ALLGEMEIN | | | |a b a b cos

SONDERFÄLLE 0a b a b senkrecht stehen

| | | |a b a b a b parallel sein

BERECHNUNG DES SKALARPRODUKTES MIT KOORDINATEN

1 1

2 2 1 2 3 1 2 3

3 3

( ) ( )

a b

a b a b a i a j a k b i b j b k

a b

| 0i j i k j k

2 2 21 1 2 2 3 3

0

a b i a b j a b k gemischte Glieder

| 1i i j j k k

1 1 2 2 3 3a b a b a b

ZUSAMMENFASSUNG

1 1

2 2 1 1 2 2 3 3

3 3

| | | |

Skalarprodukt

a b

a b a b a b a b a b a b cos

a b

- 39 -

ba

= ?

-

+

y

α

y = cos α

360°180°90° 270°

- 1

1

WINKEL ZWISCHEN ZWEI VEKTOREN

Um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen, muss die Formel für das Skalarprodukt

umgestellt werden:

1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3| | | | ² ² ² ² ² ²

a b a b a ba bcos

a b a a a b b b

Beispiel:

Bestimme den Winkel zwischen den beiden Vektoren

6 3

8 4

0 12

a und b

.

Formel: | | | |

a bcos

a b

Lösung: 1

6 3

8 4

0 12 18 32 0 500,3846 |

10 136² 8² 3² 4² 12² 100 169cos cos

112,6 [TR auf DEG einstellen]

Hinweis: Zur Berechnung des Winkels muss man streng darauf achten, dass die beiden

Vektoren den gesuchten Winkel einschließen.

Es gelten dann folgende Regeln:

Zähler in der Formel positiv Winkel kleiner als 90°

Zähler in der Formel negativ Winkel größer als 90°

COSINUSKURVE,

DAS SCHAUBILD

BITTE EINPRÄGEN

- 40 -

ÜBUNGEN IV

1. Berechne jeweils den Winkel zwischen den Vektoren

a)

1 7

4 6

8 6

a und b

b)

7 11

4 2

4 10

a und b

: ) 71,75 ) 77,60Ergebnisse a b

2. Berechne im Dreieck ABC alle Winkel und alle Seitenlängen:

a) (1/ 1/ 2) , (10 /1/ 8) (4 / 3 / 4)A B und C

) 11 , 7 , 14 , 99,72 , 29,53

3. : 50,75

a AB AC BC

Den Winkel bestimme mit Hilfe der Winkelsumme

b) ( 3 / 1/ 2) , ( 3 / 2 / 2) (1/ 2 / 3)A B und C

) 17 , 50 , 33 , 54,33 , 90

3. : 35,67

a AB AC BC

Den Winkel bestimme mit Hilfe der Winkelsumme

3. Eine Pyramide ist gegeben durch (0 / 0 / 0)O , (4 / 6 / 0)A , (0 / 7 / 0)B , (2 / 4 / 6)S .

Zeichne die Pyramide und bestimme den Winkel ASB .

: 35,08Ergebnis

4. Ein Quader ist 8 cm lang, 5 cm breit und 3 cm hoch. A,B,C und D seien die Ecken seiner

Grundfläche, M ist der Schnittpunkt der Raumesdiagonalen.

Zeichne den Quader in ein Koordinatensystem ein.

Berechne AMB und BMC . : 107,83 60,67Ergebnisse und

5. Gegeben sind zwei Ebenen 1 1 2 3

2 1 2 3

: 4 6 3 24

: 6 4 3 24

E x x x

E x x x

a) Zeichne die beiden Ebenen in ein Koordinatensystem und konstruiere die Schnittgerade s.

Bestimme die Gleichung von s.

0 3

: : 0 3

8 10

Ergebnis s x t

b) Eine Gerade g geht durch ( 2 /1/ 0,5)Q und ( 6 / 1/1)R . Berechne den Schnittpunkt von g

mit 2E . : (2 / 3 / 0)Ergebnis D

- 41 -

x2

x3

x1

Ex - x F

x F

x

1

5

4

3

2

1

5432

P

F

1

NORMALENVEKTOR EINER EBENE

normal = senkrecht gesucht ist ein Vektor n

, der auf der Ebene E senkrecht steht.

A

n B

C

F

n Normalenvektor von E

x fester Stützvektor

x variabler Vektor P variabler Punkt in E

Alle Differenzvektoren ( )Fx x

liegen in der Ebene E und stehen senkrecht auf dem Normalen-

vektor n

. Also ist das Skalarprodukt von n

mit ( )Fx x

immer gleich Null.

Damit ergibt sich die Ebenengleichung in Normalform:

( ) 0Fn x x

oder 0Fn x n x

oder Fn x n x

Setzt man für den variablen Vektor 1

2

3

x

x x

x

, für den Normalenvektor

A

n B

C

und für den

festen Vektor 1

2

3

F

f

x f

f

ein, so erhält man:

1 1

2 2

3 3

0

A x A f

B x B f

C x C f

Skalarprodukt auflösen: 1 2 3 1 2 3( ) 0

D

Ax Bx Cx Af Bf Cf

| zusammenf.

Somit ergibt sich die Ebenengleichung in Koordinatenform:

1 2 3 0Ax Bx Cx D

- 42 -

x2

x3

x1

Normalenvektor

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

54321

,

.

Wenn die Ebenengleichung in Koordinatenform gegeben ist

dann ist automatisch auch der Normalenvektor der Ebene

bekannt

NORMALENVEKTOR = LOT

A

n B

C

1 2 3: 0E Ax Bx Cx D

MERKE

- 43 -

x3

x1

x2

Lot l

2F

8

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

543

P

1

LOT VON EINEM PUNKT AUF EINE EBENE

Aufgabe:

Fälle das Lot vom Punkt P(9/6,5/10) auf die Ebene 1 2 3: 4 3 6 24 0E x x x . Bestimme den

Lotfußpunkt F und berechne den Abstand PF . Mache eine Zeichnung.

Lösung: 31 21 2 3: 4 3 6 24 0 : 1

6 8 4

xx xE x x x E zeichnen

1 2 3

4

: 4 3 6 24 0 3

6

E x x x n

= Lot-Richtung ablesen

:Lot l 1

2

3

9 9 4 9 4

6,5 6,5 3 6,5 3

10 10 6 10 6

x t

x t n t x t einsetzen in E

x t

: 4(9 4 ) 3(6,5 3 ) 6(10 6 ) 24 0 1,5FLot E t t t t

Lotfußpunkt:

9 4 3

6,5 1,5 3 2 (3 / 2 /1)

10 6 1Fx F

Abstand: 6² 4,5² 9² 11,715PF LE

- 44 -

x1

x3

x2

Lot

F

L(7 / 8 / 0)

S (7 / 8 / 5,5)

K

4

3

2

3

432

1

1

1

2

4

5

6

EIN STAB WIRFT EINEN SENKRECHTEN SCHATTEN AUF EINE EBENE

Gegeben sind die Ebenengleichung und die Koordinaten des senkrechten Stabes.

Gesucht ist der Schatten.

: :31 21 2 3

3xx x

E 1 E 3x 3x 2x 12 n 34 4 6

2

: / / ,

,

7 3

g x 8 t 3 g E t 2 F 1 2 1 5

5 5 2

0 1/ 2 / 0 7 / 8 / 0F mit L verbinden K

- 45 -

ÜBUNGEN V

1) Fälle das Lot vom Punkt (5 / 4 / 4)P auf die Ebene 1 2 3: 2 3 12 0E x x x . Bestimme den

Lotfußpunkt F und den Abstand PF . Mache eine Zeichnung.

: (3 / 3 /1) 14 Ergebnisse F und PF d

2) Fälle das Lot vom Punkt (1/ 5 / 2)P auf die Ebene 1 2 3: 2 3 6 20 0E x x x . Bestimme

den Lotfußpunkt F und den Abstand PF . Ohne Zeichnung.

: ( 1/ 2 / 4) 7 Ergebnisse F und PF d

3) Fälle das Lot vom Ursprung auf die Ebene 1 2 3: 2 2 12 0E x x x . Bestimme den Lotfuß-

punkt F und den Abstand OF . Mit Zeichnung.

8 843 3 3: ( / / ) 4 Ergebnisse F und d

4) Fälle das Lot vom Punkt (2 / 1/ 4)P auf die Ebene 1 2 3: 2 2 1E x x x . Bestimme den

Lotfußpunkt F und den Abstand PF . Ohne Zeichnung.

: (0 /1 / 3) 3 Ergebnisse F und d

5) Die Punkte O(0/0/0), A(6/0/0), B(0/6/0), C(0/0/6) und E(6/6/6) sind die Eckpunkte eines

Würfels.

Außerdem ist die Ebene 1 2 3: 9E x x x gegeben. Die Ebene schneidet den Würfel in ei-

nem regelmäßigen Sechseck. Zeichne das Sechseck. Gib die Koordinaten der in der

2 3x x Ebene liegenden Eckpunkte des Sechsecks an.

Zeige, dass das Dreieck ABC und das Sechseck den gleichen Umfang haben.

Fälle das Lot vom Ursprung auf die Sechseckfläche. Bestimme den Lotfußpunkt F.

Berechne das Volumen der Pyramide OABC.

1 2: (0 / 6 / 3) (0 / 3 / 6) 18 2 (3 / 3 / 3) 36 Ergebnisse P P U F V VE

- 46 -

x2

x1

x3

d· no

no

x P

x F

O

E

F

P

0 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

| |

An n

n n Bn A B C A B C A B C C

ABSTAND EINES PUNKTES VON EINER EBENE

[MIT HILFE EINER FORMEL]

| | ² ² ²

A

n B Normalenvektor n A B C Länge des Normalenvektors

C

0 1n normierter Normalenvektor mit der Länge

EINHEITSNORMALENVEKTOR

- 47 -

HESSE-NORMAL-FORM

Laut Zeichnung gilt die Vektor-Gleichung: o P Fd n x x

Um diese Gleichung nach d aufzulösen, werden beide Seiten mit on

multipliziert (durch einen Vek-

tor darf man nicht teilen):

2| | 1o P Fo o o o P o F o o P o F od n x x n d n n x n x n n d x n x n

Herleitung der Abstandsformel:

P o F od x n x n

1 1

2 22 2 2

3 3

1| , ,o P F

A x f

n B x x x f einsetzenA B C C x f

1 1

2 2 1 2 3 1 2 3

3 3

1 1( )

² ² ² ² ² ²D

A x A f

d B x B f Ax Bx Cx Af Bf CfA B C A B C

C x C f

1 2 31 2 3

1

² ² ² ² ² ²

Ax Bx Cx Dd Ax Bx Cx D

A B C A B C

1 2 3| |

² ² ²

Ax Bx Cx Dd

A B C

[MERKE: In der Formel setzt man Betrag-Striche, damit sich die Abstände positiv ergeben.]

HESSE – NORMAL – FORM

Man nennt die normierte Ebenengleichung

1 2 3 0² ² ²

Ax Bx Cx D

A B C

die Hesse-Normal-Form (kurz HNF). Diese unterscheidet sich nur wenig von der Koordinaten-

form. Sie benutzt statt eines beliebigen Normalenvektors stets den normierten Normalenvektor.

Deshalb wird die Koordinatenform durch die Länge des Normalenvektors geteilt.

MERKE: Setzt man in die HNF einen Punkt P ein, der auf der Ebene E liegt, so erhält man den

Wert Null. Setzt man jedoch einen Punkt P ein, der außerhalb der Ebene E liegt, so er-

hält man den Abstand des Punktes von der Ebene.

- 48 -

ABSTANDSFORMEL PUNKT – EBENE

1 2 3| |

² ² ²

Ax Bx Cx Dd

A B C

Beispiel:

Gegeben: 1 2 3(2 / 1/ 4) : 4 4 2 2 0P und E x x x

Gesucht: Abstand d = ?

Formel: 1 2 3| | | 4 2 4 ( 1) 2 ( 4) 2 | 18 183

6² ² ² 4² 4² 2² 36

Ax Bx Cx Dd LE

A B C

ABSTAND EINER EBENE VOM URSPRUNG

Die Formel vereinfacht sich, wenn der Punkt P der Ursprung (0 / 0 / 0)O ist:

| 0o

Ad

0B 0C |

² ² ²| |

² ² ²o

D

A B CD

dA B C

Beispiel:

Gegeben: 1 2 3(0 / 0 / 0) : 2 2 30O und E x x x

Gesucht: Abstand ?od

Formel: | | | 30 | 30 30

103² ² ² 2² 1² 2² 9

o

Dd LE

A B C

- 49 -

ÜBUNGEN VI

1) Welchen Abstand hat die Ebene 1 2 3: 2 5 3 15E x x x vom Ursprung?

[ d =2,43 LE]

2) Welchen Abstand hat der Punkt A(2/- 4/7) von der Ebene 1 2 3: 3 4 12 0E x x x ?

[ d = 1,17 LE]

3) Gegeben ist die Ebene 1 2 3: 3 12E x x x und die Gerade

3 1

: 3 1

2 3

g x t

.

Berechne den Durchstoßpunkt.

[ D(3/3/2)]

4) Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Eckpunkten A(3/1/0), B(5/7/0) und C(0/2/0).

a) Zeige, dass das Dreieck rechtwinklig ist. Bestimme den Flächeninhalt.

[ 90 10A FE ]

b) Auf dem Dreieck ABC wird ein Prisma mit der senkrechten Kantenlänge 6 LE errichtet.

Zeichne das Prisma in einem Koordinatensystem. Die Kanten des Prismas werden von der

Ebene 1 2 3: 4 12E x x x geschnitten. Bestimme die Schnittpunkte. Zeichne E.

1 2 3(3 /1/ 2) (5 / 7 / 0) (0 / 2 / 2,5)S S S

5) Durch den Punkt F(4/6/0) geht eine Ebene mit dem Normalenvektor

1

1

2

n

.

a) Stelle die Ebenengleichung auf und verwandle diese in die Achsenabschnittsform.

Für den Ansatz benutze die Normalform: Fn x n x

(siehe Seite 41)

Zeichne die Ebene.

1 2 3[ : 2 10]E x x x

b) Die Gerade

6 1

: 9 2

8 2

g x t

durchstößt die Ebene E im Punkt D. Bestimme D.

[ (3 / 3 / 2)]D

c) Wo durchstößt g die 1 2 ?x x Ebene

[ (2 /1 / 0)]S

- 50 -

ABSTAND EINES PUNKTES VON EINER GERADEN

MERKE n a

Verfahren:

Zunächst stellt man eine Hilfsebene H auf mit Hilfe des Richtungsvektors a

von g und dem Punkt

P, der außerhalb von g liegt.

Ansatz: 1 2 3: 0PH n x n x Ax Bx Cx D

Als nächstes schneidet man g mit H und erhält den Lotfußpunkt F.

Dann bestimmt man den Abstand d PF .

Aufgabe:

Gegeben ist eine Gerade

3 1

: 1 2

2 2

g x t

und ein Punkt (5 / 4,5 / 9)P außerhalb von g.

Bestimme den Abstand des Punktes P von g.

Lösung:

1

2

2

n a

Hilfsebene : PH n x n x

aufstellen.

Hilfsebene: 1

2 1 2 3

3

1 1 5

: 2 2 4,5 : 2 2 5 9 18 22

2 2 9

x

H x H x x x

x

Schnittpunkt: :H g 1(3 ) 2(1 2 ) 2( 2 2 ) 22 3 (0 / 7 / 4)Ft t t t F

Abstand: (5 0)² (4,5 7)² (9 4)² 7,5d PF LE

- 51 -

C(-3/-2/1)

B(2/5/3)

A(1/1/5)

ÜBUNGEN VII

1) Gegeben ist der Normalenvektor

2

3

5

n

einer Ebene und ein fester Punkt (1/ 4 / 2)P in der

Ebene. Bestimme die Gleichung der Ebene.

2) Gegeben ist eine Gerade

2 2

: 1 2

0 1

g x t

und ein Punkt (12 / 0 / 4)P außerhalb der Ge-

raden. Bestimme den Abstand des Punktes P von der Geraden g.

3) Gegeben sind die Punkte A(1/-4/5) und B(-3/-2/7). Bestimme den Abstand der beiden Punkte.

4) Gegeben sind die Ebene 1 2 3: 2 3 4 12E x x x und der Punkt P(15/8/-3) außerhalb der

Ebene. Bestimme den Abstand des Punktes P von der Ebene E mit Hilfe der Abstandsformel.

5) Wie groß ist der Abstand des Punktes Q(5/1/1) von der Geraden

4 3

: 2 4

6 5

g x t

.

6)

Bestimme .

LÖSUNGEN

1) 1 2 3: : 2 3 5 4PE n x n x E x x x

2) : (6 / 3 / 2) 9PH n x n x H g F d PF LE

3) 24d AB 4) 10d LE 5) 3d QF LE

6)

4 1

3 4 105,8

4 2

AC und AB

- 52 -

x3

x1

x2

g

S2

S1

P

QS

CD- 3

BA

- 3

3

2

1

5

4

3

2

1

321

ÜBUNG VIII

AUFGABE

a) Bestimme die Ebenengleichung (BCS).

b) Bestimme die Ebenengleichung (ADS).

c) P(0/-3,5/1) und Q(0/4/6) bestimmen eine Gerade g. Wie lautet die Gleichung von g?

d) Wo schneidet die Gerade g die die beiden Pyramidenebenen [siehe Teil a) und c) ]?

e) Wie lang ist das Stück der Geraden g, das innerhalb der Pyramide verläuft?

f) Wie groß ist der Winkel ASB ?

g) Wie groß ist das Volumen der Pyramide?

h) Wie groß ist die Fläche des Dreiecks ASB?

i) Wie groß ist der Abstand des Punktes Q von der Ebene (BCS), siehe Teil a) ?

*j) Welchen Abstand hat der Punkt A(3/-3/0) von der Pyramidenkante SC?

**k) Wo schneidet g die 3x Achse ?

- 53 -

LÖSUNGEN

a) 1 2 3: 2 6E x x b) 2 2 3: 2 6E x x

c)

0 0 0 0

: 4 7,5 4 3

6 5 6 2

g x t oder gekürzt x t

d) 1 2(0 / 2 / 2) (0 /1/ 4)S und S

e) 1 2 13 3,6S S LE

f) 48,19ASB

g) 13 72V G h VE

h)

2 21 12 2

1 12 2

6 3 6 20,12

sin 54 54 sin 48,19 20,12

A g h FE oder

A AS BS ASB FE

i) 8

3,585

d LE prüfe durch Nachmessen

*j)

0 1

: 0 1

6 2

Kante SC x t

1 2 3: 2 6Hilfsebene H x x x : ( 1 /1 / 4)H g F

Abstand 6,92AF LE

**k) Schneide g mit der Koordinatenebene 2 0x .

12 3

0 04

: 4 3 0 (0 / 0 / 3 )3

6 2

g x t und x t Y

- 54 -

b

a

g2

g1

= ?

n2

n1

E2

E1

g

g

= ?

an

E

ALLE WINKELFORMELN

(1) Winkel zwischen zwei Geraden

| |

| | | |

a bcos

a b

(2) Winkel zwischen zwei Ebenen

1 2

1 2

| |

| | | |

n ncos

n n

(3) Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

| |

| | | |

a ncos

a n

außerdem gilt:

cos sin

| |

| | | |

a nsin

a n

- 55 -

ANMERKUNG

Alle drei Formeln enthalten im Zähler Betragsstriche. Dadurch werden negative Werte vermieden

und man erhält von zwei möglichen Winkeln immer den, der zwischen 0° und 90° liegt.

Die jeweils andere Lösung erhält man, indem man den gefundenen Winkel auf 180° ergänzt, d.h.

das Ergebnis von 180° abzieht.

Beispiel:

1 2 3

2

: 2 4 1 1

4

E x x x n

und

1 2 2

: 3 2 2

2 1 1

g x t a

Bestimme den Winkel zwischen g und E.

Formel:

2 2

2 1

1 4| | | 4 2 4 | | 2 |

| | | | 2² 2² 1² 2² 1² 4² 9 21 3 21

a nsin sin

a n

10,1454 |sin sin

8,36

ALLE ABSTANDSFORMELN

(1) Abstand zweier Punkte: 2 2 21 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )PP x x y y z z

(2) Abstand eines Punktes von einer Ebene (HNF):

1 2 3| |

² ² ²

Ax Bx Cx Dd

A B C

(3) Abstand eines Punktes P von einer Geraden g:

(a) a n

Hilfsebene aufstellen mit dem Ansatz: : PH n x n x

(b) H g Lotfußpunkt F

(c) Abstand PF , siehe Formel (1)

- 56 -

x2

x1

x3

g

B

TETRAEDER

A

D

C- 2

S1

S2

Q

R

8

8

6

5

4

3

2

1

5

4

3

1

54321

ÜBUNG IX

AUFGABE

a) Bestimme die Gleichungen von allen Tetraeder-Ebenen.

b) Bestimme den Winkel ABC .

c) Welchen Winkel bilden die beiden Ebenen (ABD) und (BCD) miteinander?

d) Q(5/-2/3) und R(-4/4/1,5) bestimmen eine Gerade g. Wie lautet die Gleichung von g?

e) Unter welchem Winkel schneidet die Gerade g die Ebene (BCD)?

f) Wo schneidet die Gerade g die Ebene (BCD)?

Wo schneidet die Gerade g die Ebene (ACD)?

g) Wie lang ist das Stück der Geraden g, das innerhalb des Tetraeders verläuft?

h) Welchen Abstand hat der Punkt P(-5/3/3) von der Ebene (BCD)?

i) Wie groß ist das Volumen des Tetraeders?

j) Welchen Abstand hat der Punkt A(6/0/0) von der Tetraederkante BD?

k) Die Ebenen 1 1 2 3 2 1 2 3: 4 3 3 24 : 8 8 8E x x x und E x x x schneiden sich in

einer Geraden s. Bestimme die Gleichung der Schnittgerade s.

l) Zeichne die beiden Ebenen und die Schnittgerade s.

- 57 -

LÖSUNGEN

a) 3( ) : 0E ABC x

2( ) : 0E ACD x

1 2 3( ) : 4 3 3 24E ABD x x x

1 2 3( ) : 4 8E BCD x x x

b) 50,9ABC

c) 66,15 (rechne mit dem Cosinus)

d)

5 9 5 3

: 2 6 2 2

3 1,5 3 0,5

g x t oder gekürzt x t

e) 60,9 (rechne mit dem Sinus)

f) 1 2( 1/ 2 / 2) (2 / 0 / 2,5)S und S

g) 1 2 3,64S S LE

h) 18 4,24d LE

i) 8 81 1 13 3 2 38 85V G h VE

j) 2 3

0 0

: 8 1 : 0 (0 / 4 / 4) 68

0 1

BD x t H x x H g F AF

k)

3 3

: 4 4

0 8

s x t

Schnittgerade l) Zeichnung

- 58 -

x2

x3

x1

- 3

- 3

gR

Q C

D

S

B

A

3

2

1

5

4

3

2

1

54321

ÜBUNGEN X

AUFGABE

a) Bestimme die Gleichungen von allen fünf Pyramiden-Ebenen.

b) Bestimme den Winkel ABC .

c) Welchen Winkel bilden die beiden Ebenen 1 1 2 3: 3 2 2 12E x x x und

2 1 2 3: 2 6E x x x miteinander?

d) Q(3/- 4/3) und R(-3/5/1,5) bestimmen eine Gerade g. Wie lautet die Gleichung von g?

e) Wo schneidet die Gerade g die Ebene (BCS)?

Wo schneidet die Gerade g die Ebene (ADS)?

f) Wie lang ist das Stück der Geraden g, das innerhalb der Pyramide verläuft?

g) Unter welchem Winkel schneidet die Gerade g die Ebene (BCS)?

h) Welchen Abstand hat der Punkt P(-5/4/4) von der Ebene (BCS)?

i) Wie groß ist das Volumen der Pyramide?

j) Welchen Abstand hat der Punkt D(0/-3/0) von der Tetraederkante BS?

[Stelle zunächst die Gleichung der Kante BS auf.]

k) Die Ebenen 1 1 2 3 6 1 2 3: 3 2 2 12 : 6 2 6E x x x und E x x x schneiden sich in einer

Geraden s. Bestimme die Gleichung der Schnittgerade s.

l) Zeichne die beiden Ebenen und die Schnittgerade s.

m) Von P(-5/4/4) aus wird das Lot auf die Ebene 2 1 2 3: 2 6E x x x gefällt. Bestimme die

Koordinaten des Lotfußpunktes F.

n) Schneidet g die 3 ?x Achse

- 59 -

LÖSUNGEN

a) 1 1 2 3( ) : 3 2 2 12E ABS x x x

2 1 2 3( ) : 2 6E BCS x x x

3 1 2 3( ) : 2 2 6E DCS x x x

4 1 2 3( ) : 3 4 2 12E ADS x x x

5 3( ) : 0E ABCD x

b) 60, 25

c) 78,57

d)

3 4

: 4 6

3 1

g x t gekürzt

e) 1 2( 1/ 2 / 2) (1 1/ 2,5)S und S

f) 1 2 3,64S S LE

g) 46,8

h) 4,9d LE

i) 11 23 31,5 63V G h G Dreieck Dreieck FE V VE

j) 6,36d LE

k)

0 2

: 0 3

6 6

s x t

l) ZEICHNUNG

m) ( 1/ 2 / 2)F

n) 3 : (0 / 0 / )Punkt auf der x Achse Y z einsetzen in g Punktprobe

34

23

0 3 4

0 4 6 .

3 1 ....

t

t t Widerspruch es gibt keinen Schnittpunkt

z t

- 60 -

Stützvektor

A, B und C sind feste Punkte ,die ein Dreieck bilden.

Ortsvektor, der zu P gehört

P ist variabler Punktin der Ebene.

Ebene

KoordinatensystemO

P

C

B

A

EBENENGLEICHUNG IN PARAMETERFORM

Oft sind von einer Ebene 3 Punkte gegeben, die ein Dreieck aufspannen, und die Ebenengleichung

ist gesucht. Zum Aufstellen der Ebenengleichung benutzt man die sogenannte Parameterform.

DIE PARAMETERFORM LAUTET

( ) ( )

C A B

C A C B C

x x s a t b oder x x s a t b oder x x s a t b

x x s x x t x x

Anmerkung:

(1) Jeder der 3 Punkte A, B oder C kann Stützpunkt (Stützvektor) sein.

(2) a und b

müssen verschiedene Richtung haben, d.h. sie müssen linear unabhängig sein.

(3) Die Richtungen von a und b

können durch Verwechseln von Kopf und Fuß um 180° gedreht

sein, das spielt aber für die Ebenengleichung keine Rolle, d.h. für die Bestimmung der Rich-

tungsvektoren braucht man die Kopf-weniger-Fuß-Regel nicht zu beachten. Zwischen den 3

Punkte A, B und C kann man auf beliebige Weise zwei verschiedene Richtungsvektoren be-

stimmen.

- 61 -

1. Beispiel: Gegeben: 3 Punkte ( 3 / 3 / 4) (3 / 2 / 2) (6 / 4 / 4)A B C

Gesucht: Ebenengleichung in Parameterform

Lösung:

3 3 ( 3) 6 ( 3) 3 6 9

: 3 2 3 4 3 3 1 1

4 2 4 4 4 4 2 8

E x s t s t

Für die Parameter s und t kann man auch zwei andere Buchstaben

(z.B. und ) wählen.

2. Beispiel: Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt P1 außerhalb von g

1

1 4

: 2 5 (6 / 3 / 2)

0 3

g x s und P

Aus der Geradengleichung erhält man den 1. Richtungsvektor

4

5

3

a t

Durch Differenzbildung erhält man den 2. Richtungsvektor 1 0

6 1 5

3 2 1

2 0 2P Pb x x

Als Stützpunkt kann man 0 1P oder P wählen. Damit ergibt sich als Ebenengleichung in

Parameterform:

1 4 5

: 2 5 1

0 3 2

E x s t

Um nun den Übergang von der Parameterform zur Koordinatenform zu finden, verfahre so wie

auf der folgenden Seite beschrieben.

g

Ebene

KoordinatensystemO

P0

P1

- 62 -

KREUZPRODUKT – VEKTORPRODUKT

Wie findet man zu zwei gegebenen (linear unabhängigen)

Vektoren einen dazu senkrechten Vektor?

Wie bestimmt man einen Normalenvektor?

gegeben: a und b

gesucht: n a b

d.h. n

soll sowohl auf a

als auch b

senkrecht stehen.

Man löst das Problem zunächst für die Einheitsvektoren ,i j und k .

Wie das Koordinatensystem zeigt, stehen ,i j und k paarweise aufei-

nander senkrecht.

Für die Einheitsvektoren gelten folgende Grundregeln:

vorwärts rückwärts sonst

i j k j i k 0i i

j k i k j i 0j j

k i j i k j 0k k

Man überträgt diese Regeln auf beliebige Vektoren:

1 1

2 2 1 2 3 1 2 3

3 3

( ) ( )

a b

a b a b a i a j a k b i b j b k

a b

1 1a b i i 1 2 1 3a b i j a b i k 2 1 2 2a b j i a b j j 2 3a b j k

3 1 3 2 3 3a b k i a b k j a b k k | Grundregeln anwenden

1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2a b k a b j a b k a b i a b j a b i | sortieren und zusammenfassen

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( ) ( ) ( )a b a b i a b a b j a b a b k ............2 3 3 2

3 1 1 3

1 2 2 1

a b a b

a b a b n

a b a b

k

j

i

b

a

n

- 63 -

BESTIMMUNG DES VEKTOR- bzw. KREUZPRODUKTES

1 1a b

a b

2 2a b

3 3a b

1 1a b

2 2

3 3

a b

a b

2 3 2 3 2 3 2 3

3 1 3 1 3 1 3 1

1 2 1 2 1 2 1 2

( )

( )

( )

Zeile streichenerste

a b b a a b b a

a b b a a b b a

a b b a a b b a

letzte Zeile streichen

n

BEISPIEL:

3 1

2 3

4 3

a und b

bestimme n a b

3 1

a b

2 3

4 3

3 1

2 3

4 3

2 3 3 4 6 12 18

4 1 3 3 4 9 5

3 3 1 ( 2) 9 2 11

erste Zeile streichen

letzte Zeile streichen

n

18

5

11

n

steht senkrecht (orthogonal) auf den beiden Vektoren a und b

.

ZWEI PROBEN können das beweisen:

18 3

5 2 18 3 ( 5) ( 2) 11 4 54 10 44 0

11 4

n a

n a

18 1

5 3 18 1 ( 5) 3 11 3 18 15 33 0

11 3

n b

n b

- 64 -

CB

AE

b

a

n

BESTIMMUNG EINER EBENGLEICHUNG AUS DREI PUNKTEN

Gegeben: (1/1/ 3) (2 / 4 / 1) (4 / 4 /12)A B C .

A, B und C bestimmen eine Ebene E.

Gesucht: Ebenengleichung in Parameterform

Ebenengleichung in Koordinatenform

LÖSUNG

(1) Bestimmung von zwei (linear unabhängigen) Richtungsvektoren:

1 4 3

1 4 5

3 12 9A Ca x x

und

2 4 2

4 4 8

1 12 13B Cb x x

(2) Parameterform

1 3 2

: 1 5 8

3 9 13AE x x s a t b x s t

(3) Bestimmung des Normalenvektors der Ebene:

3 2 65 ( 72) 7 1

5 8 ..... ...... 18 39 21 3

9 13 24 ( 10) 14 2

n a b Schema n

(4) Normalform der Ebenengleichung:

A oder B oder Cn x n x

x

steht für ein en beliebigen Punkt der Ebene.

1

2 1 2 3

3

1 1 1

3 3 1 3 2 1 1 3 1 2 3 1 3 6 8

2 2 3

x

x x x x

x

(5) Koordinatenform der Ebenengleichung: 1 2 3: 3 2 8 0E x x x

- 65 -

(6) PROBE

durch Einsetzen für die Punkte A, B und C

(1/1/ 3) 1 3 1 2 3 8 0 1 3 6 8 0 0 0A stimmt

(2 / 4 / 1) 2 3 4 2 ( 1) 8 0 2 12 2 8 0 0 0B stimmt

(4 / 4 /12) 4 3 ( 4) 2 12 8 0 4 12 24 8 0 0 0C stimmt

(Auf die Probe kann verzichtet werden, wenn das Ergebnis bekannt ist.)

ÜBUNGEN XI

DREI PUNKTE BESTIMMEN EINE EBENE

Finde jeweils eine Koordinatengleichung der Ebene E, wenn 3 Punkte gegeben sind.

1) (0 /1/ 2) (2 / 3 / 2) (3 / 5 / 4)A B C

2) (4 / 2 / 5) (1/ 3 / 3) (2 / 2 / 3)A B C

3) (6 / 6 / 0) (2 / 2 / 6) (4 / 5 / 2)P Q R

4) 1 2 3(1/ 6 / 5) (7 / 9 /1) (4 / 3/ 7)P P P

5) (3 / 0 /1) (3 / 4 / 3) ( 1/ 2 / 1)X Y Z

6) (3 / 3 / 0) (3 / 3 / 0) (0 / 0 / 4)A B C

7) ( 2 / 2 /1) (3 / 2 / 3) ( 1/ 2 / 5)P Q R

LÖSUNGEN

1) 1 2 3: 2 2 0E x x x

2) 1 2 3: 1E x x x

3) 1 2 3: 2 2 18 0E x x x

4) 1 2 3: 2 2 5 0E x x x

5) 2 3: 1E x x

6) 1 3: 4 3 12E x x

7) 1 2 3: 2 2 1 0E x x x

- 66 -

WEITERE ÜBUNGEN

Aufgabe 1

Ermittele eine Koordinatengleichung der Ebene, die den Punkt (2 / 1/ 2)A und die Gerade

3 3

: 3 0

1 1

g x t

enthält. Beginne zunächst mit der Parameterform.

Aufgabe 2

Gegeben sind zwei Ebenen

1

0,5 1 0

: 4 0 2

3 1 1

E x r s

und 2

2 4

: 2 2 0

0 3

E x

.

a) Untersuche, ob die beiden Ebenen orthogonal zueinander sind.

b) Bestimme den Abstand des Punktes (2 / 3 / 9)P von der Ebene 2E .

Aufgabe 3

Gegeben sind die Ebenen E und F mit

1 1 1

: 1 0 1

0 2 0

E x s t

und

2 2

: 1 2 0

2 1

F x

Zeige, dass die Ebenen parallel sind. Bestimme den Abstand der beiden Ebenen.

Aufgabe 4

Gegeben sind zwei Geraden

2 5 14 2

: 1 2 : 8 5

3 8 17 4

g x t und h x s

Die beiden Geraden liegen in einer Ebene. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

Beginne zunächst mit der Parameterform.

- 67 -

LÖSUNGEN

Lösg 1

Parameterform

3 3 1

: 3 0 4

1 1 3

E x t s

Koordinatenform 1 2 3: 2 3 6E x x x

Lösg 2

a) 1 1

0,5 1 0 2

: 4 0 2 1

3 1 1 2

E x r s n

und 2

4

2

3

n

1 2 1 2

2 4

1 2 0

2 3

n n E E

b) 2 1 2 3: 4 2 3 12 0E x x x

1 2 3| | | 8 6 27 12 | 2929

² ² ² 4² 2² 3² 29

Ax Bx Cx Dd

A B C

Lösg 3

1 1 1 1 1 2

: 1 0 1 0 1 2

0 2 0 2 0 1EE x s t n

1 2 3: 2 2 8 0F x x x

2

2 1 . . .

1F E Fn n n Parallelität q e d

Abstand: 1 2 3| |

² ² ²

Ax Bx Cx Dd

A B C

| 2 2 8 | 4

1,3332² 2² 1²

d LE

Lösg 4

1 2 3

2 5 2

: 1 2 5 : 32 4 21 123

3 8 4

E x t s E x x x

- 68 -

x2

x3

x1

g2

g1

S

B

B´

A

A´

C

C´

D

D´

5

32

1

5

4

3

1

532

SCHNITT ZWEIER GERADEN

Gegeben ist eine Gerade g1 durch die beiden Punkte A(-2/9/3) und B(10/3/7) und eine Gerade g2

durch die beiden Punkte C(7/12/2) und D(2/2/7). Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

zeichnerisch und rechnerisch.

RECHNUNG

g1:

23

6t

73

10x

Richtungsvektor gekürzt

ACHTUNG wähle verschiedene Parameter (z. B. t und r).

g2:

121

r722

x

Richtungsvektor gekürzt

Die beiden Geradengleichungen kann man komponentenweise gleichsetzen. So erhält man ein

lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten.

- 69 -

GLEICHUNGSSYSTEM MIT 2 UNBEKANNTEN

I: 10 + 6t = 2 + 1r

II: 3 – 3t = 2 + 2r

III: 7 + 2t = 7 – 1r

Wähle zwei Gleichungen aus und bestimme daraus t und r.

I: 10 + 6t = 2 + 1r

III: 7 + 2t = 7 – 1r | (+)

17 + 8t = 9

8t = -8

t = -1 (einsetzen in die Gleichung I oder III)

I: 10 + 6·(-1) = 2 + r

4 = 2 + r

r = 2

Kontrolle für die nicht benutzte Gleichung II:

II: 3 - 3·(-1) = 2 + 2·2

3 + 3 = 2 + 4

6 = 6 → Die Probe stimmt, d.h. dass ein Schnittpunkt S existiert.

Durch Einsetzen in g1 oder g2 erhält man den Schnittpunkt:

g1:

10 6 4

3 1 3 6 (4 / 6 / 5)

7 2 5Sx S

[Kontrolle an der Zeichnung]

ÜBUNGEN XII

1. Gegeben ist eine Gerade g1 durch die beiden Punkte A(2/-2/1,5) und B(8/10/6,5) und eine

Gerade g2 durch die beiden Punkte C(8/2,5/5,5) und D(-1/7/1). Bestimme den Schnittpunkt

der beiden Geraden zeichnerisch und rechnerisch. [ (5 / 4 / 4)]S

2. Gegeben: g1:

021

t122

x

, g2:

011

s113

x

, g3:

501

r632

x

nur rechnerisch lösen:

a) Bestimme den Schnittpunkt von g1 mit g2. [S(2/2/1)]

b) Bestimme den Schnittpunkt von g2 mit g3. [S(1/3/1)]

c) Zeige, dass g1 und g3 zueinander windschief sind, d. h. dass sie keinen Schnittpunkt besitzen.

- 70 -

x2

x1

x3

4

3

2

3

4321

1

1

2

4

3. Gegeben sind die Punkte ( 3 / 3 / 4), (3 / 2 / 2) (6 / 4 / 4)A B und C weiterhin (4 / 5 / 1)D und

(6 / 2 / 0)P . Die Ebene E enthält die Punkte A, B und C.

a) Bestimme ein Koordinatengleichung der Ebene E. Gib die Koordinaten der Spurpunkte 1S ,

2S und 3S von E an. Zeichne E.

b) Vom Punkt D aus wird das Lot auf die Ebene E gefällt. Berechne die Koordinaten des Lot-

fußpunktes L. Berechne den Abstand des Punktes D von E. Zeichne das Lot ein.

Zeige, dass der Punkt P ein Punkt der Ebene E ist.

c) Unter welchem Winkel schneidet die Gerade DP die Ebene E?

d) Die Ebene 1 2 3: 24 16 3 24H x x x schneidet die Ebene E.

Bestimme die Gleichung der Schnittgeraden s. Zeichne H und s.

LÖSUNGEN

a) 1 2 3: 2 6 3 24 0E x x x 1 2 3(12 / 0 / 0) (0 / 4 / 0) (0 / 0 /8)S S S

b) (6 /1/ 2)L 7DL LE

Punktprobe für P: P in E einsetzen 0 0 stimmt

c) Winkel: 72,3

d)

0 3

: 0 3

8 8

s x t

- 71 -

DIE GEGENSEITIGE LAGE ZWEIER GERADEN

Vier verschiedene Fälle sind zu unterscheiden und müssen jeweils erkannt werden:

(1) die Geraden 1 2g und g sind parallel 1 2

,gleiche Richtungen

P liegt nicht auf g

(2) die Geraden 1 2g und g sind identisch 1 2

,gleiche Richtungen

P liegt auf g

(3) die Geraden 1 2g und g sind windschief ,verschiedene Richtungen

es existiert kein Schnittpunkt

(4) die Geraden 1 2g und g schneiden sich ,verschiedene Richtungen

es gibt einen Schnittpunkt

BEISPIELE

(1) 1 2

1 1 0 2

: 2 4 : 3 8

2 2 1 4

g x s und g x t

sind parallel, weil die Richtungsvek-

toren linear abhängig sind und der Punkt 1(1/ 2 / 2)P nicht auf 2g liegt (Nachweis durch Punktpro-

be).

(2) 1 2

1 1 0 2

: 7 4 : 3 8

1 2 1 4

g x s und g x t

sind identisch, weil die Richtungs-

Vektoren linear abhängig sind und der Punkt 1(1/ 7 / 1)P auf 2g liegt (Nachweis durch Punktprobe).

(3) 1 2

1 2 2 0

: 2 0 : 3 1

1 1 4 1

g x s und g x t

sind windschief, weil die Richtungsvek-

toren linear unabhängig sind und die folgende Rechnung zum Widerspruch führt:

1 2

1 2 2 0,5

2 3 1

1 4

s s

g g t t

s t

Probe für die 3. Zeile: 1 0,5 4 ( 1) 1,5 5 !!! Widerspruch

Es gibt also keinen Schnittpunkt, daraus folgt, dass 1 2g und g windschief sind.

- 72 -

ÜBUNG XIII

a) Gegeben sind die Ecken eines Tetraeders durch die Punkte A(12/0/0), B(-3/10/0), C(-3/0/7,5)

und D(-3/0/0).

Zeichne den Tetraeder in ein Koordinatensystem ein. (Ursprung 7cm vom linken Blattrand,

12cm vom oberen Blattrand entfernt)

b) A, B und C sind in der Ebene E1 enthalten. Bestimme die Gleichung von E1 zuerst in Parame-

terform, dann in Koordinatenform, anschließend in Achsenabschnittsform.

c) Bestimme die Spurpunkte von E1.

d) Bestimme den Winkel CAB.

e) Vom Punkt U(5,5/9/11) aus wird das Lot auf die Ebene E1 gefällt. Bestimme den Lotfußpunkt F.

f) Welchen Abstand hat U von E1?

g) Die Punkte P(4/-2/5,5) und Q(0/6/1,5) bestimmen eine Gerade g. Wie lautet die Geradenglei-

chung? Wo durchstößt die Gerade die 1 2x x Ebene ?

h) Eine weitere Gerade

3 1

: 6 2

0 2

h x t

schneidet die Gerade g. Bestimme S.

i) Die Ebene E2: 6x1 + 3x2 + 4x3 = 36 schneidet die Ebene E1. Bestimme die Schnittgerade s.

Zeichne s.

j) Welchen Winkel bilden die Ebenen E1 und E2 miteinander?

k) Welchen Abstand hat der Punkt T(-1/0/6,5) von der Kante AB?

l) Bestimme das Tetraedervolumen.

LÖSUNGEN

b) E1: 2x1 + 3x2 + 4x3 = 24 j) = 28,39°

c) S1(12/0/0), S2(0/8/0), S3(0/0/6) k) d = 9,71 LE

d) = 41,91° l) V = 187,5 VE

e) F(1,5/3/3)

f) d = 10,77 LE

g)

4 1

2 2

5,5 1

: tg x

3 0 1,5 / 9 / 0x R

h) S(1,5/3/3), die rechnerische Kontrolle für die dritte Zeile nicht vergessen!!!

i)

3 0

0 4

4,5 3

: ts x

- 73 -

x2

x3

x1

BC

XCXBXA XD

AD

O

B A

D = ?C

MERKE AD BC

BESTIMMUNG DER 4. ECKE IN EINEM PARALLELOGRAMM

Gegeben: (1/ 3 / 2) (2 / 4 / 1) ( 3 /1/ 5)A B C

Gesucht: D = 4. Ecke vom Parallelogramm

Ansatz: ( )D A A A C Bx x AD x BC x x x

Verschiebung:

3 2 5

1 4 3

5 1 6C BBC x x

Kopf-weniger-Fuß-Regel beachten!!!

1 5 4

3 3 0 ( 4 / 0 / 4)

2 6 4D Ax x BC D

PARALLELOGRAMMFLÄCHE

| | | | sinA a b

mit

1

..... 1

1B Aa x x

und

5

...... 3

6D Ab x x

Winkel ABC : 2 2 2 2 2 2

5 1

3 1

6 1| | 2

| | | | 70 35 3 6 1 1 1

a bcos

a b

82,07

Fläche: 70 3 82,07 14,35| | | | sin sin FEA a b

- 74 -

x2

x1

x3

gD

C

S

BA

3

3

4

2

1

3

1421

2

4

ÜBUNG XIV

Gegeben sind die Punkte (3 /1/ 3) (1/ 3 / 3) ( 1/ 3 / 6)A B und C .

a) Ergänze die Punkte A, B und C zu einem Parallelogramm. Bestimme den 4. Eckpunkt D.

Rechne zuerst, dann zeichne.

b) Bestimme den Winkel DAB. (siehe Zeichnung)

c) Bestimme den Flächeninhalt des Parallelogramms.

d) A, B und C bestimmen eine Ebene. Stelle zuerst eine Gleichung in Parameterform auf. Ver-

wandle diese in eine Koordinatengleichung. Zeichne E.

e) Wo durchstößt

0,5 1

: 1 2

4 1

g x t

die Ebene E?

LÖSUNGEN

a) (1/1/ 6)D

b) 66,91

c) 9,38A FE

d) 1 2 3: 3 3 2 18E x x x

e) (1/ 2 / 4,5)S

- 75 -

n = a x b

|n| = |a||b|sin

b

a

PARALLELOGRAMMFLÄCHE – ALTERNATIVE METHODE

EIGENSCHAFTEN

des Kreuz- bzw.

Vektorproduktes

n

steht sowohl auf a

als auch auf b

senkrecht.

Der Betrag (Länge) von n

ist so groß wie die von den beiden Vektoren a

und b

aufge-

spannte Parallelogrammfläche (siehe Zeichnung).

| | | | | | | |n a b a b sin

Fläche eines Parallelogramms: | |A a b

Fläche eines Dreieckes: 12 | |A a b

[Für die Anwendung der Formeln muss der Winkel zwischen a

und b

nicht bekannt sein.]

BEISPIEL

Parallelogramm: (1 / 3 / 2) (2 / 4 / 1) ( 3 /1 / 5) 4 / 0 / 4A B C D

Fläche gesucht:

5 1 9

a AD 3 und b AB 1 a b 11

6 1 2

FLÄCHE 2 2 2

9

| | 11 9 11 2 14,35

2

A a b FE

- 76 -

x3

x1

x2

s

g

D

B

B '

A

8

8

8

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

4321

ÜBUNG XV

Die Ebene 1E ist gegeben durch die Punkte Q(1/1/6), R(2/2/4) und S(0/8/0).

a) Stelle eine Ebenengleichung für 1E in Koordinatenform auf. Zeichne die Ebene.

b) Q, R, S und T spannen ein Parallelogramm auf. Berechne den 4. Eckpunkt T.

c) Bestimme den Flächeninhalt des Parallelogramms.

d) Die Gerade g geht durch die Punkte A(-1/1,5/0) und B(3/7,5/5). Konstruiere den Durchstoß-

punkt von g mit 1E .

e) Berechne die Koordinaten des Durchstoßpunktes.

f) Die Ebene 2E ist gegeben durch die Gleichung 2

0 0 1

: 0 1 0

8 0 2

E x s t

.

Gib die Ebenengleichung in Koordinatenform an. Zeichne 2E .

g) Bestimme die Gleichung der Schnittgeraden s von 1E und 2E . Zeichne s.

h) Bestimme den Schnittwinkel von 1E und 2E .

i) Fälle das Lot vom Ursprung auf 1E und bestimme den Lotfußpunkt F. Wie groß ist der

Abstand des Ursprunges von 1E ?

LÖSUNGEN

a) 1 1 2 3: 8E x x x

b) ( 1/ 7 / 2)T

c) | |A a b

= . . . 13,86 FE

d)

1 4

: 1,5 6

0 5

g x t Konstruktion von D

e) 1 (1/ 4,5 / 2,5)g E D

f) 2 1 3: 2 8E x x

g)

0 1

: 0 1

8 2

s x t

h) 39, 23

i) 8 8 83 3 3( / / ) 4,62F und OF LE

- 77 -

SPIEGELUNG EINES PUNKTES AN EINER EBENE

Gegeben: 1 2 3(5 /8 / 5,5) : 3 6 4 24P und E x x x

Aufgabe: Spiegele den Punkt P an der Ebene E.

Lösung:

(1) Lot von P auf E:

5 3

8 6

5,5 4

x t

(2) Lot E:

3(5 3 ) 6(8 6 ) 4(5,5 4 ) 24t t t

15 9 48 36 22 16 24 61 85 24 61 61 1Ft t t t t t

(3) [ 1 (2 / 2 /1,5)Ft einsetzen in die Lotgleichung F ]

Schritt (3) kann weggelassen werden.

(4) Verdoppelung des Parameters führt zum gespiegelten Punkt P :

2 2 ( 1) 2 ( 1/ 4 / 2,5)FPt t einsetzen in Lotgleichung P

Lot

SpiegelebeneF

P =?

P (gegeben)

KoordinatensystemO

- 78 -

ÜBUNG XVI

Gegeben ist ein Tetraeder mit A(8/0/0), B(2/6/0), C(0/0/0) und S(2/3/6).

a) Zeichne den Tetraeder. [Die 3x -Achse benötigt 16 LE.]

b) Bestimme die Gleichung der Ebene E1, die durch A, B und S geht, in Koordinatenform.

Zeichne die Ebene.

c) Ergänze das Dreieck SCB zu einem Parallelogramm SCBD. Bestimme D. Zeichne.

d) Bestimme den Flächeninhalt des Dreieckes SCB.

e) Bestimme das Tetraedervolumen.

f) Bestimme die Gleichung der Ebene E2, die durch A, C und S geht.

g) Welchen Abstand hat der Punkt B von der Ebene E2?

h) Spiegele den Punkt B an der Ebene E2 und bestimme die Koordinaten des gespiegelten

Punktes B .

i) Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden g1 und g2 mit

1 2

6 2 2 0

: 1 1 : 6 1

2 2 0 2

g x s und g x t

.

j) Die Ebene 3 1 2 3: 8 4 16E x x x schneidet die Ebene E1. Zeichne die Schnittgerade s und

bestimme die Gleichung von s.

k) Bestimme den Abstand der Tetraederecke C zur Tetraederkante (BS).

LÖSUNGEN

a) Zeichnung

b) 1 1 2 3: 2 2 16E x x x

c) (4 / 9 / 6)D

d) 12 | | ..... 19,20A a b FE

e) 13 ... 48V G h VE f) 2 2 3: 2 0E x x g) 5,36d LE

h) 2, 4 (2 / 3,6 / 4,8)Ft verdoppeln B

i) 1 2 (2 / 3 / 6)g g S j) Schnittgerade

0 1

: 0 1

16 4

s x t

k) Hilfsebene H aufstellen, 2 / 4,8 / 2,4 5,73FH g t F CF LE

- 79 -

ÜBUNG XVII [GESAMTWIEDERHOLUNG]

Gegeben ist ein Tetraeder mit (6 / 2 / 0), (0 / 6 / 0), ( 2 / 2 / 0) (0 / 2 / 8)A B C und S .

a) Zeichne den Tetraeder ABCS. [Die 3x -Achse benötigt 12 LE.]

b) Bestimme die Gleichung der Ebene E1, die durch S, A und B geht, in Koordinatenform.

Zeichne die Ebene. [ 1 1 2 3: 4 3 3 18E x x x ]

c) Ergänze das Dreieck SAB zu einem Parallelogramm SABD. Bestimme D. Zeichne das Paral-

lelogramm. [ ( 6 / 6 / 8)D ]

d) Bestimme den Flächeninhalt des Dreieckes SAB. [ 46,64A FE ]

e) Bestimme das Tetraedervolumen. [ 1385V VE ]

f) Welchen Abstand hat der Punkt C von der Ebene E1? [ 5, 48d LE ]

g) Spiegele den Punkt Q(-2,5/-2/0) an der Ebene E1 und bestimme die Koordinaten des gespie-

gelten Punktes Q . [ (5,5 / 4 / 6)Q ]

h) Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden g1 und g2 mit

1 2

6 3 0 0

: 2 4 : 0 1

0 0 6 1

g x s und g x t

. [ (0 / 6 / 0)R ]

i) Die Ebene 2 1 2 3: 6 6 6E x x x schneidet die Ebene E1. Zeichne die Schnittgerade s und

bestimme die Gleichung von s.

0 3

: 0 2

6 6

s x t

j) Bestimme den Abstand der Tetraederecke C zur Tetraederkante (BS). [ 6d LE ]

k) Die Punkte B, C, D und S bilden ebenfalls ein Tetraeder.

Bestimme das Volumen auf möglichst einfache Weise. [ 1385V VE ]

- 80 -

x2

x1

x3

D

S

C

B

A

6

4

3

2

3

4321

1

1

2

4

ZEICHNUNG

- 81 -

ANHANG

KLASSENARBEITEN

BEWEGLICHE PUNKTE

SPATVOLUMEN

EBENENSCHAREN

GERADENSCHAREN

FORMELSAMMLUNG

- 82 -

x3

x1

x2

g

S

D

C

B

A

Q R

- 4

5

4

3

2

1

4

3

2

1

421

8

6

- 2

S2 S1

ANALYTISCHE GEOMETRIE

KLASSENARBEIT A

a) Bestimmen Sie die Gleichungen von allen 5 Pyramidenebenen in Koordinatenform.

b) Bestimmen Sie den Winkel ABC.

c) Welchen Winkel bilden die folgenden beiden Ebenen miteinander:

E1: 6x1 - 3x2 - 2x3 + 12 = 0 und E2: 3x1 - 6x2 + 4x3 - 24 = 0 ?

d) Q(5/-3/4,5) und R(-4/3/0) bestimmen eine Gerade g. Wie lautet ihre Gleichung?

e) Gegeben ist eine Gerade mit der Gleichung g:

34

6t

31

2x

. Bestimmen Sie die

Schnittpunkte der Geraden mit den Ebenen E1 und E2.

f) Wie lang ist die Strecke QR?

g) Unter welchem Winkel schneidet g die Ebene E1?

h) Welchen Abstand hat der Punkt A von der Ebene E1?

i) Bestimmen Sie das Pyramidenvolumen.

j) Wie groß ist der Abstand des Punktes P(-5/3/2) von der Geraden g?

k) Die Ebenen E3: 3x1 + 6x2 + 4x3 – 24 = 0 und E6: 3x1 – 3x2 + x3 – 6 = 0 schneiden sich in s.

Bestimmen Sie die Gleichung von s.

l) Vom Punkt T(5/8/5,5) aus wird das Lot auf die Ebene E3: 3x1 + 6x2 + 4x3 – 24 = 0 gefällt.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes L und den Abstand d = TL.

m) Wo schneidet die Gerade h:

36

10s

600

x

die Gerade g (siehe Teil e)?

- 83 -

LÖSUNGEN A

a) Achsenabschnitte ablesen Achsenabschnittsform Koordinatenform

3x1 + 6x2 + 4x3 = 24

-6x1 + 3x2 + 2x3 = 12

-6x1 - 3x2 + 2x3 = 12

3x1 - 6x2 + 4x3 = 24

x3 = 0 [4 P]

b) α = 90° [2 P]

c) β = 59,19° [2 P]

d)

5 6

: 3 4

4,5 3

g x t

[2 P]

e) S1(-1/1/1,5) S2(2/-1/3) [4 P]

f) 11,71QR LE [2 P]

g) γ = 50,19° [2 P]

h) d = 8,57 LE [2 P]

i) 13V G h V = 80 VE [2 P]

j) Hilfsebene aufstellen : 1 2 3H 6 x 4 x 3 x 36

/ / ,F 4 3 0 PF 5 2 24LE [4 P]

k)

0 2 4 2

: 0 1 2 1

6 3 0 3

s x t oder x t

[4 P]

l) L(2/2/1,5) d = 7,8 LE [2 P]

m) S(5/-3/4,5) = Q

Die Kontrolle für die nicht benutzte Gleichung nicht vergessen! [4 P]

120% = 36 P

- 84 -

x3

x1

x2

S

D

C

B

A

R

2

Q

- 4

- 8

4

3

2

1

4

3

2

1

6

S2

S1

ANALYTISCHE GEOMETRIE

KLASSENARBEIT B

a) Bestimmen Sie die Gleichungen von allen 5 Pyramidenebenen in Koordinatenform.

b) Bestimmen Sie den Winkel DAB.

c) Welchen Winkel bilden die folgenden beiden Ebenen miteinander:

E1: 3x1 + 6x2 + 2x3 – 12 = 0 und E2: 6x1 + 3x2 – 4x3 + 24 = 0 ?

d) Q(-3/-5/4,5) und R(3/4/0) bestimmen eine Gerade g. Wie lautet ihre Gleichung?

e) Gegeben ist eine Gerade mit der Gleichung g:

3

64

t321

x

. Bestimmen Sie die

Schnittpunkte der Geraden mit den Ebenen E1 und E2.

f) Wie lang ist die Strecke QR?

g) Unter welchem Winkel schneidet g die Ebene E1?

h) Welchen Abstand hat der Punkt C von der Ebene E2?

i) Bestimmen Sie das Pyramidenvolumen.

j) Wie groß ist der Abstand des Punktes P(3/6/4) von der Geraden g?

k) Die Ebenen E3: 6x1 – 3x2 + 4x3 – 24 = 0 und E6: –3x1 – 3x2 + x3 – 6 = 0 schneiden sich in s.

Bestimmen Sie die Gleichung von s.

l) Vom Punkt T(8/-5/5,5) aus wird das Lot auf die Ebene E3: 6x1 – 3x2 + 4x3 – 24 = 0 gefällt.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes L und d = TL.

m) Wo schneidet die Gerade h:

3106

s600

x

die Gerade g (siehe Teil e)?

- 85 -

LÖSUNGEN B

a) Achsenabschnitte ablesen Achsenabschnittsform Koordinatenform

1 1 2 3: 3 6 2 12E x x x

2 1 2 3: 3 6 2 12E x x x

3 1 2 3: 6 3 4 24E x x x

4 1 2 3: 6 3 4 24E x x x

5 :E 3 0x (Sonderfall) [4 P]

b) 53,13 [2 P]

c) 59,19 [2 P]

d)

3 4

: 5 6

4,5 3

g x t

[2 P]

e) 1 2(1/1/1,5) ( 1/ 2 / 3)S und S [4 P]

f) 11,71QR LE [2 P]

g) γ = 50,19° [2 P]

h) d = 3,84 LE [2 P]

i) 13V G h V = 80 VE [2 P]

j) Hilfsebene aufstellen 1 2 3: 4 6 3 36H x x x

g H F(3/4/0) 20 4, 47PF LE [4 P]

k)

0 1 2 1

: 0 2 4 2

6 3 0 3

s x t oder x t

[4 P]

l) L(2/-2/1,5) d = 7,8 LE [2 P]

m) g h S(-3/-5/4,5) = Q

Die Kontrolle für die nicht benutzte Gleichung nicht vergessen! [4 P]

120% = 36 P

- 86 -

x2

x1

x3

S*

2

S

CB

A

3

2

1

4

3

2

1

5431

ANALYTISCHE GEOMETRIE

KLASSENARBEIT C

Gegeben ist ein Tetraeder mit den Ecken A(4/0/0), B(-4/4/0), C(-4/-5/0) und S(-2/0/6).

a) Zeichne den Tetraeder in ein Koordinatensystem ein. [0 P]

b) Bestimme die Gleichung der Ebene (ABS) zuerst in Parameterform,

dann in Koordinatenform. [4 P]

c) Ergänze das Dreieck ABS zu einem Parallelogramm ABSS*. Zeichne und berechne S*. [2 P]

d) Bestimme den Winkel SAB . [2 P]

e) Bestimme den Flächeninhalt des Dreieckes ABS. [2 P]

f) Bestimme das Tetraedervolumen. [2 P]

g) Welchen Abstand hat der Punkt C von der Ebene E1: x1 + 2x2 + x3 = 4 ? [2 P]

h) Spiegele den Punkt C an der Ebene E1 und bestimme die Koordinaten des

gespiegelten Punktes C*. [4 P]

i) Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

1

4 5

: 0 1

0 3

sg x

und 2

4 1

: 4 1

0 1

tg x

[4 P]

j) Die Ebene E2: 12x1 + 4x2 3x3 + 12 = 0 schneidet die Ebene E1.

Zeichne die Schnittgerade und bestimme deren Gleichung rechnerisch. [4 P]

k) Bestimme den Abstand der Tetraederecke C zur Tetraederkante AS. [4 P]

l) Welchen Winkel bilden die Ebene (BCS) und die Kante (AS) miteinander? [4 P]

m) Prüfe durch Rechnung, ob der Punkt P(-2/2/2) auf der Geraden g2 liegt.

Mache die Punktprobe. [2 P]

120% = 36 P

- 87 -

x2

x1

x3

s

A

C*

S*

2

S

CB

4

2

1

4

2

1

5431

LÖSUNGEN C

a)

[0 P]

b) Ebene in Parameterform:

012

t101

s004

x

Richtungsvektoren gekürzt.

bxan

121

012

x101

n

121

n

Ebene in Koordinatenform: 1 1 2 3: 2 4E x x x [4 P]

c) Bestimmung von S*:

64

6

64

2

004

BSxx A*S

*(6 / 4 / 6)S [2 P]

d) 6324,010

2

52

012

101

cos

50,77 [2 P]

e) 12 72 80 50,77 29,39A sin FE [2 P]

f) V = VE726366hG 31

289

31

31 [2 P]

g) | 4 1 5 2 0 1 4 | | 4 10 4 | | 18 |

7,351² 2² 1² 6 6

d LE

[2 P]

h)

4 1

: 5 2

0 1

Lot x t

1 : 4 2 ( 5 2 ) 4Lot E t t t

- 88 -

4 10 4 4 6 18 3Ft t t t t *2 6 (2 / 7 / 6)F Ft verdoppeln t C [4 P]

i) 1 2 :g g 4 5 4

4

3

I s t

II s t

III s t

4 4 1 3II III s s t

4 5 4 3 1 1I Probe stimmt

Schnittpunkt: ( 1/1/ 3)SP [4 P]

j) 1 1 2 3

2 1 2 3

: 2 4

: 12 4 3 12

E x x x

E x x x

: ,3 1lasse x herausfallen dann setze x talternativ

3 221 2 1

3 32

02 4 | 30 10 0 (0 / 0 / 4)

44 3 12

x xxSetze x x D

x xx

1 2 13 1 3

1 2 2

22 4 | ( 2)0 10 20 ( 2 / 3 / 0)

12 34 12

x x xx x D

x x x

0 2 2 2

: 0 3 3 3

4 4 0 4

Schnittgerade x t oder x t

[4 P]

k) Tetraederkante

4 1

: 0 0

0 1

k x t

1 3 1 3

1 4

: 0 5 4 : 4

1 0CH n x n x x x H x x

: 1(4 ) 4 4 4 4 (0 / 0 / 4)FH k t t t t t F

4² 5² 4² 57 7,55d CF LE [4 P]

l) 3 1 3: 3 12E x x

1 3

0 0

1 1 3 163, 43

2 10 20sin

[4 P]

m) Punktprobe machen: 2

2 4 2

2 4 2 .

2 0 2

t t

t t P liegt auf g

t t

[2 P]

- 89 -

x2

x1

x3

S*

S

C

B

A

1

4

3

2

1

1

ANALYTISCHE GEOMETRIE

KLASSENARBEIT D

Gegeben ist ein Tetraeder mit den Ecken A(4/-4/0), B(0/4/0), C(-5/-4/0) und S(0/-2/6).

a) Zeichne den Tetraeder in ein Koordinatensystem ein. [0 P]

b) Bestimme die Gleichung der Ebene (ABS) zuerst in Parameterform,

dann in Koordinatenform. [4 P]

c) Ergänze das Dreieck ABS zu einem Parallelogramm ABSS*. Zeichne und berechne S*. [2 P]

d) Bestimme den Winkel ABS

e) Bestimme den Flächeninhalt des Dreieckes ABS. [4 P]

f) Bestimme das Tetraedervolumen. [2 P]

g) Welchen Abstand hat der Punkt C von der Ebene E1: 2x1 + x2 + x3 = 4 ? [2 P]

h) Spiegele den Punkt C an der Ebene E1. und bestimme die Koordinaten des

gespiegelten Punktes C*. [4 P]

i) Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

1

4 2

: 4 1

0 3

sg x

und 2

0 0

: 4 1

0 1

tg x

[4 P]

j) Die Ebene E2: 4x1 + 12x2 - 3x3 + 12 = 0 schneidet die Ebene E1.

Zeichne die Schnittgerade und bestimme deren Gleichung rechnerisch. [4 P]

k) Bestimme den Abstand der Tetraederecke C zur Tetraederkante BS.

[4 P]

l) Welchen Winkel bildet die Ebene (BCS) mit der Kante (AS) ?

[4 P]

m) Prüfe durch Rechnung, ob der Punkt P(-2/-1/9) auf der Geraden g1 liegt.

Mache die Punktprobe. [2 P]

120% = 36 P

- 90 -

x2

x1

x3

s - 3

- 1

S*

S

C

B

A

1

4

3

2

1

1

LÖSUNGEN D

a)

[0 P]

b) Ebene in Parameterform:

4 2 1

4 1 2

0 3 0

x s t

Richtungsvektoren gekürzt.

n a b

2 1 2

1 2 1

3 0 1

n

2

1

1

n

Ebene in Koordinatenform: 1 1 2 3: 2 4E x x x [4 P]

c) Bestimmung von S*: *

4 0 4

4 6 10

0 6 6S Ax x BS

*(4 / 10 / 6)S [2 P]

d)

0 1

1 2

1 0 20,6324

2 5 10cos

50,77 [2 P]

e) 12 72 80 50,77 29,39A sin FE [2 P]

f) V = VE726366hG 31

289

31

31 [2 P]

g) | 2 ( 5) ( 4) 1 0 4 | | 10 4 4 | | 18 |

7,351² 2² 1² 6 6

d LE

[2 P]

h)

4 2

: 5 1

0 1

Lot x t

1 : 2 ( 5 2 ) 4 4Lot E t t t

- 91 -

10 4 4 2 4 6 18 3Ft t t t *2 6 (7 / 2 / 6)F Ft verdoppeln t C [4 P]

i) 1 2 :g g 4 2 0 2 4 2

4 4

3 3 ( 2) 6

I s s s

II s t

III s t t t

4 ( 2) 4 6 2 2II Probe stimmt

Schnittpunkt: (0 / 2 / 6)SP [4 P]

j) 1 1 2 3

2 1 2 3

: 2 4

: 4 12 3 12

E x x x

E x x x

: ,3 1lasse x herausfallen dann setze x talternativ

3 221 2 1

3 32

04 | 30 15 0 (0 / 0 / 4)

412 3 12

x xxSetze x x D

x xx

1 2 23 2 3

1 2 1

2 24 | ( 2)0 10 20 (3 / 2 / 0)

4 312 12

x x xx x D

x x x

0 3

: 0 2

4 4

Schnittgerade x t

[4 P]

k) Tetraederkante

0 0

: 4 1

0 1

k x t

2 3 2 3

0 5

: 1 4 4 : 4

1 0CH n x n x x x H x x

: 1 (4 ) 4 4 4 4 (0 / 0 / 4)FH k t t t t t F

5² 4² 4² 57 7,55d CF LE [4 P]

l) 3 1 2 3: 8 5 5 60E x x x

4 8

2 5

6 5... 64,3

56 114sin

[4 P]

m) Punktprobe machen: 1

2 4 2 3

1 4 3 .

9 0 3 3

s s

s s P liegt auf g

s s

[2 P]

- 92 -

S

D C

A BP Q

ZELT UND TRAPEZ

ABI 2004

Ein Zelt hat die Form einer senkrechten quadratischen Pyramide. Die Längen der Quadratsei-

ten und die Pyramidenhöhe betragen jeweils 2,0 m.

a) Benachbarte Seitenflächen bilden einen stumpfen Winkel. Wie groß ist dieser?

6 P

b) In der Vorderfläche PQS befindet sich eine Einstiegsöffnung ABCD in Form eines symmetri-

schen Trapezes.

C und D sind die Mitten der Strecke BS bzw. der Strecke AS. Die Strecke AB hat die Länge

1,0 m. Wie viel Prozent der Vorderfläche beansprucht die Einstiegsöffnung?

5 P

c) Zur Beleuchtung wird im Zelt eine Lampe aufgehängt, die im Folgenden als punktförmige

Lichtquelle betrachtet werden soll. Ihr Licht dringt durch die Einstiegsöffnung nach außen

und erzeugt auf dem Boden vor dem Zelt das Bild ABC'D' der Einstiegsöffnung als "Licht-

teppich".

Berechnen Sie die Länge der Strecke C’D’, wenn sich die Lampe 25 cm unter der Zeltspitze

befindet.

5 P

16 P

- 93 -

x1

x3

x2

S

C'D'

CD

AP

BQ

L

2

1

1

1

LÖSUNGEN

a) Ebenengleichungen für zwei benachbarte Seitenflächen:

1 21 :

1

x xE

3

1 3 1

2

1 2 2 02

1

xx x n

(Vorderfläche)

12 :

xE

32

2 3 2

0

1 2 2 21 2

1

xxx x n

(Seitenfläche rechts)

spitzer Winkel:

2 0

0 2

1 1 0 0 10, 2 78,5

55 5cos

stumpfer Winkel: 180 101,5a

b) Dreieckshöhe: 1² 2² 5h (Satz des Pythagoras)

Dreiecksfläche: 12 2 5 5A

Trapezhöhe: 1 12 2 5Trapezh h

- 94 -

Trapezfläche: 38

1 0,5 5 1,55 5

2 2 2 4Trapez

a cA h

Prozentsatz: 3 5

100%Trapezfläche

pDreiecksfläche

8 5100% 37,5%

c)

Koordinaten der Lampe: (0 / 0 /1,75)L

C liegt in der Mitte zwischen B(1/0,5/0) und S(0/0/2). So erhält man die

Koordinaten von C: (0,5 / 0, 25 /1)C

Lampenstrahl LC:

0 0,5

0 0,25

1,75 0,75

x t

3

175 70 1,75 0,75 0

75 3LC x t t

Auftreffpunkte: 7 76 12'( / / 0)C

symmetrisch dazu: 7 76 12'( / / 0)D

Länge der Strecke: 7 7 71412 12 12 6' ' ( ) 1,17C D m

Wenn es doch immer so leicht wäre . . . . . .

- 95 -

BEWEGLICHE PUNKTE

Aufgabe 1 Gegeben ist die Gerade :

3 1

g x 1 t 1

4 2

. Ermitteln Sie die Koordinaten der

beiden Punkte auf g, die von A(-3/1/4) den Abstand 24 haben.

Aufgabe 2 Auf der Geraden :

10 2

g x 8 t 1

23 1

gibt es zwei Punkte, die vom Ursprung den

Abstand 21 haben. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

Aufgabe 3 Gegeben ist die Gerade :

5 2

g x 6 t 2

7 1

.

Zeigen Sie, dass der Punkt P(10/11/5) nicht auf g liegt.

Welche beiden Punkte auf g haben von P den Abstand 27 ?

Aufgabe 4 Gegeben ist die Gerade

0 1

: 2 0

0 0

g x t

.

Bestimmen Sie einen möglichen Punkt C auf g so, dass das Dreieck ABC mit

A(6/4/0) und B(1/4/0) bei C einen rechten Winkel hat.

Lösungen 1

: / / / /

3 1

g x 1 t 1 P 3 1 t 1 1 t 4 2 t und A 3 1 4

4 2

ABSTAND |2 2 2 2 2d 1 t 1 t 4 t 24 6 t 24 t 4

/ / / /1 2t 2 P 1 3 8 und P 5 1 0

Lösungen 2

:

10 2

g x 8 t 1

23 1

/ / / /P 10 2 t 8 1 t 23 1 t und O 0 0 0

ABSTAND |2 2 2

d 10 2t 8 1 t 23 1 t 21 quadrieren

- 96 -

2 2 210 2 t 8 1 t 23 1 t 441

2 2 2100 40 t 4 t 64 16 t 1 t 529 46 t 1 t 441

/2 2

1 2

3252 102 t 6 t 0 t 17 t 42 0 t

14

/ / / /1 2P 4 5 20 und P 18 6 9

Lösungen 3

PUNKTPROBE für / /P 10 11 5

,

,

10 5 2 t 2 5

11 6 t 2 t 2 5 Widerspruch P g

5 7 1 t 2

:

5 2

g x 6 t 2

7 1

/ / / /0P 5 2 t 6 2 t 7 1 t und P 10 11 5

ABSTAND |2 2 2

d 5 2t 5 2 t 2 1 t 27 quadrieren

2 2 25 2t 5 2 t 2 1 t 27

2 2 225 20 t 4 t 25 20 t 4 t 4 4 t 1 t 27

/2 2

1 2

127 36 t 9 t 0 t 4 t 3 0 t

3

/ / / /1 2P 7 8 8 und P 11 12 10

Lösungen 4

0 1

: 2 0 ( / 2 / 0)

0 0

g x t C t beweglicher Punkt

2

6 1

0 2 2 0 ( 6)( 1) 4 0 7 10 0

0 0

t t

AC BC t t t t

1 1 2 22 (2 / 2 / 0) 5 (5 / 2 / 0)t C und t C

- 97 -

c

b

a

D

C

B

A

S

c

b

a

SPATVOLUMEN / SPATPRODUKT

Drei Vektoren ,a b und c

spannen einen Spat auf, sofern die 3 Vektoren nicht in einer Ebene lie-

gen. Die Winkel zwischen den Vektoren sind beliebig.

SPAT

Das Spatvolumen ist sehr leicht zu berechnen:

| ( ) |SpatV a b c

[Der Beweis erfolgt später.]

Aus dem Spatvolumen ergibt sich

das entsprechende Pyramidenvolumen:

13 | ( ) |PyrV a b c

- 98 -

D

B

A

S

c

b

a

n = a x b

|n| = |a||b|sin

b

a

Durch Halbierung der Grundfläche erhält man wiederum das entsprechende Tetraedervolumen:

16 | ( ) |TetraV a b c

Eigenschaften des Kreuz- bzw. Vektorproduktes

Eigenschaften:

n

steht sowohl auf a

als auch auf b

senkrecht.

Der Betrag (Länge) von n

ist so groß wie die von den beiden Vektoren a

und b

aufge-

spannte Parallelogrammfläche (siehe Zeichnung).

| | | | | | | |n a b a b sin

- 99 -

Grundfläche G

ch = |c| cos

n

Damit ergibt sich eine einfache Möglichkeit, die Fläche eines Parallelogramms zu bestimmen:

| |A a b

Ebenso gibt es eine einfache Möglichkeit, die Fläche eines Dreieckes (= halbes Parallelogramms)

zu bestimmen:

12 | |A a b

[Für die Formeln muss der Winkel zwischen a

und b

nicht bekannt sein.]

Beim Spatvolumen ist also | | | |n a b

die Grundfläche des Spates.

Eigenschaften des Skalarproduktes

| | | |n c n c cos

d.h. der Vektor c

wird senkrecht auf den Vektor

n

projiziert.

Dabei erhält man die Höhe | | cosh c

, die

senkrecht auf der Grundfläche G steht.

| | | |n c n h a b h G h

Damit gilt fürs Spatvolumen:

| | | ( ) |SpatV n c a b c

q.e.d.

- 100 -

ÜBUNGEN

1. Berechne das Spatvolumen V, wenn folgende Vektoren bekannt sind:

4 2 2

0 , 5 2

2 0 3

a b und c

Ergebnis: V = 72 VE

2. Berechne das Spatvolumen V, wenn folgende Vektoren bekannt sind:

1 4 3

2 , 5 2

3 4 1

a b und c

Ergebnis: V = 8 VE

3. Berechne das Volumen des Tetraeders ABCD, wenn folgende Punkte gegeben sind:

(1/1/1) (1/ 4 / 4) (4 /1/ 4) (4 / 4 /1)A B C D

Ergebnis: V = 9 VE

4. Berechne das Volumen des Tetraeders ABCD, wenn folgende Punkte gegeben sind:

(0 / 0 / 0) (1/ 2 / 3) (4 / 5 / 6) (7 / 8 / 9)A B C D

Rechne und interpretiere das Ergebnis.

Ergebnis: V = 0 VE, die Vektoren sind komplanar, d.h. sie liegen in einer Ebene.

5. Berechne das Volumen des Tetraeders ABCD, wenn folgende Punkte gegeben sind:

(4 / 4 / 0) (0 / 4 / 0) ( 5 / 4 / 0) (0 / 2 / 6)A B C D

Zeichne und rechne auf möglichst einfache Weise. [Sonderfall]

Ergebnis: V = 72 VE

6. Gegeben ist ein Dreieck ABC mit folgenden Eckpunkten:

(4 / 0 / 0) ( 4 / 4 / 0) ( 2 / 0 / 6)A B C

Bestimme den Flächeninhalt.

Ergebnis: 29,39A FE

7. Berechne das Volumen der Pyramide ABCDS mit

(1/1/ 5) (5 /1/ 5) (2 / 5 / 5) (0 / 3 / 5) (4 /1/ 1)A B C D S

Zuerst zeichne die Pyramide, dann überlege, wie man am besten rechnet.

Ergebnis: V = 22 VE

- 101 -

x2

x1

x3

4

3

2

3

4321

1

1

2

4

EBENENSCHAREN

BEISPIEL

Gegeben ist die Ebenenschar mit der Gleichung

1 2 3: ( 4) 4 4aE a x a x x a

Bestimme die gemeinsame Gerade der Schar.

Zeichne die Ebenenschar für die Parameterwerte 4 ; 6 10a und

RECHNUNG

Wähle 4a 2 34 4 16x x

Wähle 0a 1 34 4 0x x

Setze 3x t 2 24 16 4 4x t x t

1 14 4 0x t x t

Zusammenfassung:

0 1

: 4 1

0 1

g x t

(ist die gemeinsame Gerade)

PROBE darf nicht fehlen g in Ea einsetzen

( 4) (0 ) (4 ) 4 4a t a t t a

at 4t 4a at 4t 4 4 4a a a

Weil die Probe stimmt, enthalten

alle Ebenen der Schar die Gerade g.

Die Gerade g ist also die Träger-

gerade der Ebenenschar.

- 102 -

ÜBUNGEN

1. Gegeben ist die Ebenenschar mit der Gleichung 1 2 3: (4 2 ) 8 (2 ) 3 10tE t x x t x t

a) Ermittle die Schnittpunkte der Ebene E2 mit den Koordinatenachsen.

b) Welche Ebene der Schar geht durch den Punkt (4 / 4 / 7)P ?

c) Bestimme die Schnittgerade der beiden Ebenen 2 2E und E .

d) Zeige, dass die gemeinsame Gerade von 2 2E und E auch in tE liegt.

Ergebnisse:

1 2 3 3(2 / 0 / 0) (0 / 2 / 0)S S S ist der Fernpunkt auf der x Achse . Die Ebene 2E ist parallel zur

3x Achse .

6 1 2 3: 1E x x x enthält den Punkt P.

Schnittgerade:

0 1

: 2 1

3 2

g x t

Probe: tg in E einsetzen die Probe stimmt.

2. Gegeben ist die Ebenenschar mit der Gleichung 1 2 3: 2 ( 3) 0tE x t x t x

a) Bestimme die Schnittgerade der beiden Ebenen 0 3E und E .

b) Zeige, dass die gemeinsame Gerade von 0 3E und E auch in tE liegt.

Ergebnis:

3

: 2

2

g x t

3. Gegeben ist die Ebenenschar mit der Gleichung 1 2 3: 2 4 (13 3 ) 81tE t x x t x

a) Welche Ebene der Schar geht durch den Punkt (6 / 6 / 9)P ?

b) Zeige, dass es eine Gerade g gibt, die in jeder Ebene tE liegt.

c) Welchen Abstand hat die Ebene 2E vom Ursprung?

d) Welche Scharebenen haben vom Ursprung den Abstand 9?

e) Gibt es unter den Scharebenen eine Ebene, die vom Ursprung einen größten Abstand hat?

(schwer)

- 103 -

Ergebnisse:

a) 4t

b)

0 6

: 20,25 13

0 4

g x t

c) 9d

d) 2 2

| 2 0 4 0 (13 3 ) 0 81|9

4 16 9 78 169

t t

t t t

2 2| 81| 9 13 78 185 | 9 | 13 78 185t t t t | quadrieren

2 2 213 78 185 81 13 78 104 0 6 8 0t t t t t t

1 24 2t und t

2 4E und E sind also die beiden Ebenen, die vom Ursprung den Abstand 9 haben.

e) ( ) 2 2 2

| 81| | 81|

4 16 9 78 169 13 78 185td

t t t t t

Der Funktionswert ( )td soll maximal werden. Dieser ist genau dann maximal, wenn das

Quadrat 2( ) ( )( )t tD d maximal ist.

2

( ) 2

| 81|

13 78 185tDt t

ist genau dann maximal, wenn der Nenner minimal ist.

2( ) ( ) ( )13 78 185 26 78 26 0t t tN t t N t N

( ) 0 26 78 0 3tN t t

Die gesuchte Ebene mit maximalem Abstand ist 3E .

- 104 -

x2

x1

x3

4

3

2

3

4321

1

1

2

4

GERADENSCHAREN

BEISPIEL

Gegeben ist die Geradenschar

6 3

: 0 4

0 2 2ag x t a

a

Zeige, dass alle Geraden in einer gemeinsamen Ebene liegen. Bestimme die Ebenengleichung.

Zeichne die Geraden für 0 1a und a .

LÖSUNG

Gemeinsamer Stützpunkt (6 / 0 / 0)S

Zwei Richtungsvektoren:

3 3

0 4

2 0

a und b

Normalenvektor von E:

4

.... 3

6

n a b

1 2 3: 4 3 6 24E x x x

PROBE

ag in E einsetzen : 4(6 3 ) 3 4 6( 2 2 ) 24t at a t

24 12 t 12a t 12 t 12a t 24 24 24 stimmt

- 105 -

ÜBUNGEN

1. Gegeben ist die Geradenschar

4

: 10 2 2

0 1a

a

g x t a

a) Ermittle die Schargerade, die den Punkt (6 / 4 / 1)P enthält.

b) Zeige, dass alle Geraden in einer gemeinsamen Ebene liegen. Bestimme die Ebenengleichung.

c) Jede Schargerade hat vom Ursprung einen Abstand. Welche Gerade hat den kleinsten Abstand

vom Ursprung?

2. Gegeben ist die Geradenschar

1 2

: 2 4ag x t

a a

.

a) Bestimme den gemeinsamen Punkt all dieser Geraden.

b) Zeige, dass alle Geraden in einer gemeinsamen Ebene liegen. Bestimme die Ebenengleichung.

c) Auf welcher Ortslinie liegen alle Punkt (1/ 2 / )H t ?

3. Gegeben ist die Geradenschar

3

: 1

1 2a

a a

g x t a

.

Die Ebene E enthält die Punkte ( 3 / 0 / 0), (0 / 3 / 0) (0 / 0 / 3)A B und C .

a) Gibt es Schargeraden, die zur Ebene E parallel sind?

b) Gibt es Schargeraden, die zur Ebene E orthogonal sind?

c) Gibt es in der Geradenschar zwei zueinander orthogonale Geraden?

d) Gibt es einen gemeinsamen Punkt aller Geraden?

LÖSUNGEN

1. 2

4 2

: 10 6

0 1

g x t

enthält den Punkt (6 / 4 / 1)P .

1 2 3: 2 2 18E x x x unbedingt die Probe machen!!!

Kleinster Abstand Lot vom Ursprung auf die Ebene E (4 / 2 / 4)F

- 106 -

(4 / 2 / 4)F einsetzen in die Geradenschar 0

4 0

: 10 2

0 1

g x t

Die Gerade 0g hat vom Ursprung den kleinsten Abstand.

2.

a) Wähle zwei verschiedene Parameter und schneide die beiden Geraden. Man erhält (3 / 6 / 0)S .

Anschließend muss für S noch die Punktprobe mit der Geradenschar gemacht werden. Wenn

die Probe aufgeht, dann ist (3 / 6 / 0)S der gemeinsame Punkt von allen Geraden der Schar.

b) 1 2: 2 0E x x

c) Es handelt sich um die Gerade

1 0

: 2 0

0 1

h x t

.

3. 1 2 3: 3E x x x

a) 1

1 3

1 0 1

1 2

a

a a g

ist parallel zu E.

b)

1 3 1 3 1 3

1 1 1 0,5 2

1 2 1 2 0,5

a a Widerspruch

a a a a

Es existiert keine Gerade, die zu E orthogonal ist.

c) Wähle zwei verschiedene Geraden mit verschiedenen Parametern a und b:

3 32

0 9 4 0 10 45

2 2

a b

a b ab ab ab ab

Für jeden Parameter 0b gibt es also einen dazugehörigen Parameter a, so dass die

Geraden a bg und g aufeinander senkrecht stehen.

d) Schneide

3

1

1 2

a a

x t a

mit

3

1

1 2

b b

x s b

3 3

1 1

1 2 1 2

a at b bs

at bs

t s s t

Aus s = t folgt auch a = b, was aber nicht sein darf, weil die beiden Geraden verschieden sein

sollen. Die Geradenschar besitzt also keine gemeinsamen Punkte. (keine gemeinsame Ebene)

- 107 -

FORMELSAMMLUNG

ANALYTISCHE GEOMETRIE

- 108 -

1

2

3

1: 0

0

0: 1

0

0: 0

1

x Achse x t

x Achse x t

x Achse x t

!

!

:

:

a b 0

a k b

senkrecht stehen

parallel sein

EBENENGLEICHUNGEN

Koordinatenebenen und Parallelebenen

:

:

:

1 2 3 3

2 3 1 1

1 3 2 2

x x Ebene x 0 und x c

x x Ebene x 0 und x a

x x Ebene x 0 und x b

Achsenabschnittsform

31 2 1 xx x

zum Zeichnena b c

Spurpunkte

/ / / / / /

.1 2 3S a 0 0 S 0 b 0 S 0 0 c

Achsenschnittpunkte werden abgelesen

Koordinatenform

1 2 3 0

0

A x B x C x D

für D Ursprungsebene

Parameterform

0 0 1 0 2

.

x x s x x t x x

a bRichtungsvektoren darf man kürzen

Normalenvektor der Ebene

C

B

A

ban

Normalform der Ebenengleichung

0 0

1

2 0

3

1 2 3

( ) 0

0

n x x n x n x

A x

B x n x D

C x

A x B x C x D

Hesse-Normal-Form

1 2 3

2 2 20

A x B x C x D

A B C

GERADENGLEICHUNGEN

Parameterform

0 0 1:

.

g x x t x x

aDen Richtungsvektor darf man kürzen

Lot auf eine Ebene

: PLot x x t n

Spurgeraden

1 2 3

2 1 3

3 1 2

0 0

0 0

0 0

.

x B x C x D

x A x C x D

x A x B x D

Schnittgeraden einer Ebene

mit den Koordinatenebenen

Achsen

WINKEL

Gerade – Gerade | |

| | | |

a bcos

a b

Ebene - Ebene 1 2

1 2

| |

| | | |

n ncos

n n

Gerade - Ebene | |

| | | |

a nsin

a n

BETRAG = Länge eines Vektors

2 2 21 2 3a a a a

P

C

B

A

n

E

P

C

B

A

n

E

- 109 -

a P

g

F

P0

M

A

B

ABSTÄNDE

Punkt A – Punkt B

2332

222

11 bababaAB oder

232

22

1 xxxAB

Punkt P – Ebene E

(gilt auch für den Abstand zwischen

parallelen Ebenen)

222

321

CBA

DpCpBpAd

Ursprung – Ebene E

222 CBA

Dd

windschiefe Geraden g1 und g2

0:

: P

g x x s a

h x x t b

n a b

0

1 2 3

: 0

: 0

Hilfsebene x x n

H A x B x C x D

1 2 3

2 2 2

A p B p C p Dd

A B C

Punkt P- Gerade g

Stelle eine Hilfsebene : PH n x n x auf

und schneide die Gerade g mit H. Man erhält

den Lotfußpunkt F. d PF

n a

MITTELPUNKT einer Strecke

3 31 1 2 2

2 2 2

a ba b a bM

SCHNITTPUNKTE

Gerade – Ebene

g komponentenweise einsetzen in E (in Koor-

dinatenform) St S

Gerade – Gerade

g1 und g2 komponentenweise gleichsetzen

System mit 3 Gleichungen und 2 Unbek.

aus 2 Zeilen berechne s und t,

für die 3. Zeile mache die Probe.

Falls kein Widerspruch S

SCHNITTGERADE

Ebene - Ebene

1.Mögl.:

E1 (Koordinatenform) und E2 (Koordinaten-

form): Je zwei entsprechende Spurgeraden

schneiden 1 2S und S g

2.Mögl.:

Setze z.B. 1x t 2 3x und x g

3.Mögl.:

E1 (Parameterform) einsetzen in E2 (Koordi-

natenform) s a t b einsetzen in

E1 g in Parameterform

4. Mögl.:

21 nna

und S1 g

- 110 -

GEGENSEITIGE LAGE von Geraden

windschief

ba , d. h. verschiedene Richtungen

und kein Schnittpunkt

Schnitt

ba , d. h. verschiedene Richtungen

und ein Schnittpunkt existiert

parallel

ba ,d. h. gleiche Richtung

und P1,2 liegt nicht auf g2,1 (Punktprobe)

identisch

ba , d.h. gleiche Richtung

und P1,2 liegt auf g2,1 (Punktprobe)

SONSTIGE FORMELN

Flächen

12DreieckA g h Sonderfall

1 12 2| |DreieckA a b oder a b sin

| |ParallelogrA a b oder a b sin

2Trapez

a cA h

2

feARaute

2 2Kreis KreisA r und U r

Volumen

131

3 16

| ( ) |

| ( ) |Pyramide

a b cV G h oder

a b c

Spatvolumen

| ( ) |SPATV G h oder a b c

NORMIERUNG eines Vektors

Wird ein Vektor durch seine Länge geteilt,

erhält man den entsprechenden Einheitsvek-

tor mit der Länge 1.

Dieser heißt normierter Vektor.

1

2

3

2 2 21 2 3

1

0 22 2 21 2 3

3

1

a

VEKTOR a a

a

LÄNGE a a a a

a

NORMIERT a aa a a a

PUNKTPROBE

Beim Einsetzen eines Punktes P in eine Gera-

dengleichung müssen sich 3 gleiche Parame-

terwerte ergeben,, wenn P auf g liegen soll –

sonst liegt P nicht auf g.

BEWEGLICHER PUNKT

Liegt ein Punkt P auf einer Geraden g, so

kann man die Koordinaten des Punktes mit

Hilfe des Parameters t als variable Koordina-

ten darstellen.

:

/ /

BEISPIEL

2 3

g x 5 t 1

4 2

P 2 3t 5 t 4 2t