Einführung in die Methode der Finiten Elemente

Historie

- Ingenieurwissenschaften, Strukturmechanik- Mathematik/Physik: allg. Theorie, anwendbar auf beliebige partielle Differentialgleichungen „PDG“

Harro Schmeling Geophys. Seminar 11. 5. 04

Mathematisch/physikalischer Ansatz der Methode der Finiten Elemente

Ziel:Gegeben: Gebiet GPDG A(f) = 0 in G

A: beliebiger Differentialoperatorf: auf G definierte Funktion

Randbedingung B(f)=0 auf C

G

y

x

C

Lösung f ?

Approximative Lösung fh: ∑=

⋅==≈n

iiih aNaNff

1

Ni - Formfunktion (Ni(x,y,), z.B. einfache Polynome)ai - Koeffizienten

Vorgehen:

1. Theoretische Formulierung des Problems, Variationsansatz2. Gebiet diskretisieren3. Formfunktionsansatz, Auflösen nach Koeffizienten

1. Theoretische Fomulierung des Problems

- Methode der Gewichteten Residuen (später)- Variationsansatz:

PDG A(f) = 0 → Lösung f0

Variationsproblem eines Funktionals I(f)

Def. Funktional I(f): f I f ∈ M (Funktionenraum)I ∈ ℜ

Bsp ∫=b

a

dxfFfI )()(

F: Differentialoperatorx

f

Finde f0 mit I(f0) ≤ I(f) ∀ f∈M ⇒ f0 ist Lsg der „Eulerglg“ (A(f)=0)

Eulerglg ist die zum Funktional zugehörige PDG,Zu jedem Funktional lässt sich eine Eulerglg definieren

Problem: Zusammenhang I(f) ↔ A(f) = 0 ?

Variationsprinzip:

Häufig: I(f) = gesamte potentielle Energie des Systems (=gespeicherte Energie minus in das System gesteckte Energie)

Innere Energie im Gleichgewicht mit der in das System gestecktenEnergie

Beispiel:

Finde f0 mit I(f0) ≤ I(f) ∀ f∈M ⇒ f0 ist Lsg der „Eulerglg“ (A(f)=0)

Eulerglg ist die zum Funktional zugehörige PDG,Zu jedem Funktional lässt sich eine Eulerglg definieren

Problem: Zusammenhang I(f) ↔ A(f) = 0 ?

Häufig: I(f) = gesamte potentielle Energie des Systems (=gespeicherte Energie minus in das System gesteckte Energie)

Allg.: M = unendl. dim. Funktionenraumexakte Lösung des Variationsproblems nicht möglich

Mh = endl. dim. Funktionenraum, fh beschreibbar durch endl viele Parameter. Minimierungsprobem nun:

Finde f0h mit I(f0h) ≤ I(fh) ∀ fh∈Mh Beste Approximation

Variationsprinzip:

2. Schritt: Diskretisierung

- Dreiecke- Vierecke- Tetraeder- Quader

-Nummerierung der Knoten & Elemente → Bandbreite

FEMLAB: automatische Netzgenerierung

-Vermeidung von zu spitzen Winkeln, Gitteranisotropie

3. Schritt: Formfunktionsansatz

Ansatz fhHäufig Polynome 2

62

54321),( ycxcxycycxccyxf eh +++++=

→Lokal gültige Koeffizienten für Element e- stetigkeitsbedingungen an Elementrändern müssen erfüllt sein (konforme Elemente)

1

2

3Häufig: ∑

=

=3

1

),(i

ei

ei

eh ayxNf

ai – Knotenvariablen = fh(xKnoten,yKnoten)

Nie – Formfunktion, Basisfunktion

f

1

1 2

N1e(x)

N2e (x)

f1e(x)

a2a1

x

e

( )

In 2D:

Quadratische Formfunktionen6 Koeffizienten: 6 Knoten

Gesamtnäherung: ∑∑ ==ik

ei

ei

k

ehh

kkk ayxNff,

),(

kjei eeinNmit j ≠= 0

k – Elementnummeri - Knotennummer

Allgemein:

Einsetzen inMinimierungsproblem

∫ ∫ ∑

== dGaNFdGfFI

ik

ei

eih

kk

,

)(

Minimiere I → Lineares Glg.system für keia

Aber... Wie formulieren wir das Minimierungsproblem?

Zurück zum Variationsansatz...

Variationsansatz

Ziel: Finde zu gegebener PDG A(f)=0 eine integrale Darstellung I(f) (Funktional), das ein Extremum annimmt, falls f die Lösung ist:

dCxf

fxEdGxf

fxFfIC i

i

G ii ∫∫

∂∂

+

∂∂

= ,...,,,...,,)( G

y

x

C

F, E : geeignete Differentialoperatoren

Ersetze f durch ∑=

=n

iiih aNf

1

Variiere I durch Variation der ai:

0...22

11

=∂∂

=+∂∂

+∂∂

= ∑i

ii

aaI

aaI

aaI

I δδδδ

f0 : I(f0) ist Extremum ⇔ Variation von I durch Variation von f: δI=0

f

x

f0

f0+δf

f0

δf

I(f)

Achse repräsentiert alle Funktionen aus M

Variation der ai beliebig, daher müssen Ableitungen selbst = 0 sein:

01

=

∂∂

∂∂

=∂∂

n

i

aI

aI

aI

M

n Gleichungenn Unbekannte

Ritz-Rayleigh Verfahren

Wichtiger Spezialfall: I „quadratisch“: F mit fp, (∂f/ ∂x)p,... mit p≤2

1−=∂∂ p

ip

ii

paaa

linear in ai für p≤2

Lineares Gleichungssystem ∑ =+=∂∂

jijij

igaK

aI

0

Kij symmetrisch (wichtiger Vorteil im Vergleich zu anderen Verfahren)

Zusammenhang I(f) PDG A(f)=0 ?

dCxf

fxEdGxf

fxFfIC i

i

G ii ∫∫

∂∂

+

∂∂

= ,...,,,...,,)(Gegeben:

0)()( =+= ∫∫ dCffBdGffAICG

δδδ

Umformen, Kettenregel, partielle Integration, „δf ausklammern“

CauffB

GinfA

0)(

0)(

== Eulergleichungen

Jedes Variationsprinzip ⇒ EulergleichungVariationsprinzip ⇐ jede PDG

Bilde δI: 0=+= ∫∫ dCEdGFICG

δδδ ...+∂∂+

∂∂= x

xf

fFf

fFF δδδ( )

δT „ausklammern“ durch Greens formel (partielle Integration)

∫∫ −=b

a

b

a

ba

vdxuvudxvu '''''Partielle Integration:

Randbedingungen

Natürliche Randbedingung: f wird auf Rand C variiert, und stellt sich bei Variation gemäß B(f) = 0 ein. Von Neumann Randbedingung

Erzwungene Randbedigung. Vorgabe von f auf Rand C. Funktionenraum M ist eingeschränkt: M : ∀f ∈M mit f(C) = fC→ δf = 0 auf C Dirichlet

Variationsprinzip - PDG äquivalent?

Verallgemeinerte Lösung der PDG mit weniger strengen Stetigkeitsbedingungen

Bsp: T einmal stückweise stetig diff.bar beim VariationsprinzipT zweimal stetig diff.bar bei der PDG

Bisher: Funktional erraten. Nun eindeutige Zuordnung PDG - Funktional

Methode der gewichteten Residuen

Anwendbar, auch wenn kein Variationsprinzip existiert!

Prinzip: PDG: A(f) = 0Ziel: Approximation fh ≈ fNun ist A(fh) = r ≠ 0, r = Residuum, r=r(x,y)

Ziel: r möglichst klein machen

x

A(f)A(f) A(fh) = r ≠ 0

ai ?

oder

∑=i

iih aNf

Konstruiere n Bedingungen, z.B.

∫ =

==

jG

j

dGxr

njxr

0)(

,...,1,0)(

Allg.: 0)( =∫ dGxrwG

j wj = Wichtung

...Anwendungen mit FEMLAB...