Einf uhrung in die Statistik -...

Einfuhrung in die Statistikmit Beispielen aus der Biologie

Thomas Fabbro

“The aim of computing is insight, not numbers.”

Zu meiner Person

Ausbildung I Studium der Biologie (Uni Basel)I Masterarbeit in Pflanzenokologie (Uni Basel)I Doktorarbeit in Quantitativer Genetik (Uni

Fribourg)I Nachdiplom in Statistik (Uni Neuchatel)

Momentan I Statistiker an der Clinical Trial Unit(Universitatsspital Basel)

I Mitglied der Ethikkommission beider Basel(EKBB)

Zur Vorlesung

Struktur Uber zwei Semester, eine Stunde Vorlesung, zweiStunden Ubungen am Computer

Unterlagen Sie erhalten ein Handout mit den wichtigstenAbbildungen und einem Glossar. Machen Sie sichNotizen!

Prufung Am Ende der beiden Semester

Was mir wichtig ist fur die Vorlesung

Fragen Immer, sobald etwas nicht ganz klar ist.

Vokabular Es ist wichtig, dass wir ein gemeinsames Vokabularfinden und dieses prazise anwenden, daher gibt es einGlossar.

Selbstverstandlich gilt der zweite Punkt nicht, wennes um den ersten geht!

Was ist Statistik?

Die Statistik als Disziplin (“statistics”) beschaftigt sich mit demSammeln, Organisieren, Analysieren, Interpretieren undPrasentieren von Daten (nach Dodge, Cox und Commenges 2006).

Wieso brauchen wir eigentlich Statistik?

Arten von Variablen

Messbare und Zahlbare Variablen

numeric fur kontinuierlich Variablen, alle Zwischenschrittesind moglich

integer fur Ganze Zahlen

Kategorielle Variablen

factor fur Kategorien (z. B. “Fabaceae”, “Rosaceae”,“Apiaceae”).

logical Eine Variable die nur die Werte TRUE oder FALSEannehmen kann (z. B. “mannlich”, “weiblich”).

Diese Einteilung basiert auf der Klasseneinteilung von R.

Beispiele in R

> weight <- c(0.001, 100, 3200000, 1000, 2.56, 0.001,+ 0.01)

> legs <- as.integer(c(0, 0, 4, 0, 0, 8, 6))

> kingdom <- factor(c("animal", "fungi", "animal",+ "animal", "plant", "animal", "animal"))

> animal <- c(TRUE, FALSE, TRUE, TRUE, FALSE, TRUE,+ TRUE)

Es gibt zwei Arten wie man Variablen beschreiben kann:

I Kenngrossen

I graphischen Darstellungen

Charakteristika kontinuierlicher Variablen

Lage

Streuung

Form

Haufung (”cluster”) Werte treten in Klumpen auf.

Kornung (”granularity”) Nur bestimmte Werte treten auf.

Beispiele

Beispiele

gemessene Werte

Beispiele

gemessene Werte

0 1 2 3 4 5 6

Beispiele

gemessene Werte

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Beispiele

gemessene Werte

140 150 160 170 180 190

Boxplot

Boxplot

gemessene Werte

0 1 2 3 4 5 6

Boxplot

Boxplot

gemessene Werte

0 1 2 3 4 5 6

Boxplot

Boxplot

gemessene Werte

0 1 2 3 4 5 6

●

Boxplot

Drawing the box:Find the median. Then find the median of the datavalues whose ranks are less than or equal to the rank ofthe median. This will be a data value or it will be halfway between two data values.Drawing the whiskers:The maximum length of each whisker is 1.5 times theinterquartile range (IQR). To draw the whisker above the3rd quartile, draw it to the largest data value that is lessthan or equal to the value that is 1.5 IQRs above the 3rdquartile. Any data value larger than that should bemarked as an outlier.

Der Boxplot wurde von Tukey eingefuhrt. Heute gibt es vielverschiedene Formen. Es ist daher gut, wenn man immer angibtwie man den Boxplot konstruiert hat.

Histogramm

Histogramm

gemessene Werte

0 1 2 3 4 5 6

Histogramm

Histogramm

gemessene Werte

Anz

ahl

0 2 4 6

01

23

4

0 1 2 3 4 5 6

Histogramm

Histogramm

gemessene Werte

Dic

hte

0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3 4 5 6

Histogramm

Um ein Histogramm zeichnen zu konnten muss man folgende zweiPunkte festlegen:

I Kastchenbreite bzw. die Anzahl der Kastchen (Kastchen:“bin”)

I Startpunkt

Auch fur dieselben Werte sieht nicht jedes Histogramm gleich aus!

Histogramm

freq

uenc

y

0 2 4 6 8 10 12

0.00

0.05

0.10

0.15

Anzahl Kästchen: 2

freq

uenc

y

0 2 4 6 8 10 12

0.00

0.05

0.10

0.15

Anzahl Kästchen: 4

freq

uenc

y

0 2 4 6 8 10 12

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Anzahl Kästchen: 8

freq

uenc

y

0 2 4 6 8 10 12

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Anzahl Kästchen: 16

Histogramm

x

Den

sity

0 2 4 6 8 10 12

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Startpunkt: 0

x

Den

sity

0 2 4 6 8 10 12

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Startpunkt: −0.6

Den

sity

0 2 4 6 8 10 12

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Startpunkt: −1.2

Den

sity

−2 0 2 4 6 8 10 12

0.00

0.05

0.10

0.15

Startpunkt: −1.8

Empirische Dichte

Empirische Dichte

gemessene Werte

0 1 2 3 4 5 6

Empirische Dichte

Histogramm

gemessene Werte

Dic

hte

0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3 4 5 6

Empirische Dichte

"uniform kernel"

gemessene Werte

Dic

hte

0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3 4 5 6

Empirische Dichte

"gaussian kernel"

gemessene Werte

Dic

hte

0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3 4 5 6

Wahrscheinlichkeitsverteilung


x =1

n

n∑i=1

xi


µx =

1

n

n∑i=1

xi

Kenngrossen fur kontinuierliche Variablen

Lage Mittelwert, Median, Modus

Streuung Spannweite, Quartilsabstand, Varianz

Form Schiefe: z. B. rechtsschief = linkssteil, linksschief =rechtssteilWolbung: steilgipflig, flachgipfligweitere Begriffe: symmetrisch, unimodal, bimodal,multimodal


x

Dic

hte

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


x

Dic

hte

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.1


x

Dic

hte

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.1

6.25


x

Dic

hte

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.1

6.25

0.04


x

Dic

hte

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.1

6.25

0.04

χdf=32

Wahrscheinlichkeitsdichte

x

Dic

hte

0.1

0.2

0.3

0.4

−2 −1 0 1 2


N (µ = 0, σ2 = 1)

x

Dic

hte

0.1

0.2

0.3

0.4

−2 −1 0 1 2


N (µ = 0, σ2 = 1)

x

Dic

hte

0.1

0.2

0.3

0.4

−2 −1 0 1 2

0.05

1.64


N (µ = 0, σ2 = 1)

x

Dic

hte

0.1

0.2

0.3

0.4

−2 −1 0 1 2

0.136

−1−2


N (µ = 0, σ2 = 1)

x

Dic

hte

0.1

0.2

0.3

0.4

−2 −1 0 1 2

0.025

1.96

Quantile-Quantile-Diagramm

Empirische Quantile entstprechen den

geordneten Beobachtungen

The

oret

isch

e Q

uant

ile (

der

Nor

mal

vert

eilu

ng)

−1

0

1

0 1 2 3 4 5 6

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Empirische Quantile

The

oret

isch

e Q

uant

ile

−2

−1

0

1

2

0 2 4 6

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Empirische Quantile

The

oret

isch

e Q

uant

ile

−2

−1

0

1

2

0 2 4 6

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Empirische Quantile

The

oret

isch

e Q

uant

ile

−2

−1

0

1

2

0 2 4 6

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Empirische Quantile

The

oret

isch

e Q

uant

ile

−2

−1

0

1

2

0 2 4 6

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Empirische Quantile

The

oret

isch

e Q

uant

ile

−2

−1

0

1

2

0 2 4 6

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Empirische Quantile

The

oret

isch

e Q

uant

ile

−2

−1

0

1

2

0 2 4 6

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Empirische Quantile

The

oret

isch

e Q

uant

ile

−2

−1

0

1

2

0 2 4 6

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Empirische Quantile

The

oret

isch

e Q

uant

ile

−2

−1

0

1

2

0 2 4 6

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Empirische Quantile

The

oret

isch

e Q

uant

ile

−2

−1

0

1

2

0 2 4 6

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Verteilungsformen und Q-Q-Diagramme

normal

norm

al q

uant

iles

dens

ity

bimodal

norm

al q

uant

iles

dens

ity

leptokurtic

norm

al q

uant

iles

dens

ity

platykurtic

norm

al q

uant

iles

dens

ity

skewed to the right

norm

al q

uant

iles

dens

ity

skewed to the left

norm

al q

uant

iles

dens

ity

Verteilung

Verteilung

Körpergrösse (Frauen)

Dic

hte

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

150 160 170 180

●●● ●● ●● ●● ● ●● ●●● ●● ●●● ● ●● ● ●●● ● ●●

Verteilung


Dic

hte

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

150 160 170 180

● ● ● ●● ● ●●● ●●● ● ●●●●● ●●● ●● ● ●● ● ●● ●● ●● ● ●●● ●●● ●● ●● ●●● ●●●●● ●●●●●● ● ● ● ● ●● ● ●●● ● ● ●●● ●●●● ●●●●●●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●● ●● ●●● ● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ● ●●● ●●

●●●●●● ●●● ● ●● ● ●●● ●● ●● ●●● ● ●●●● ●●● ●●● ●●●● ● ● ●●●●●●● ● ●● ● ● ●●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●● ●● ●●●●● ●● ●● ● ● ●● ●● ●● ●●● ●● ● ●●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●●●● ●●● ●●● ● ●●●● ●●● ●●●● ● ●●● ● ●● ● ●●●

Verteilung


Dic

hte

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

150 160 170 180

● ● ●● ●● ●● ● ●●●●● ●● ●●●●●● ●● ●●●●● ● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ● ● ●●● ●● ●● ●●● ●● ●●● ●● ●●● ●

●●● ● ●● ●●● ●●●● ●●

● ● ●●● ●● ● ●● ●● ● ●●●●● ●● ●●●● ●● ●●● ●●●● ●● ●●● ●●●●●●● ●●●●● ● ●● ● ●●● ●●● ● ●●● ●● ● ●●●● ● ● ●●● ● ●● ● ●● ●● ● ●●●● ●●● ● ●●●● ● ●● ●●●●●● ●●●● ● ●● ● ●●● ● ●● ● ●● ● ● ●●● ● ●●●● ● ●●● ●●●● ●●● ●● ●● ●●● ● ● ●● ● ● ●● ●● ● ●● ●● ●● ● ● ●● ● ●●● ●●● ●●● ● ●● ●●● ●●●●●●● ● ●●●● ●●● ●●● ●●● ● ●● ● ●● ●● ●● ●●●● ●● ●● ● ●● ● ●● ●●● ● ● ●●● ●●● ●●●● ●● ●● ● ●●● ● ●● ●●●● ●●● ●●● ●● ●● ● ●●●●● ●●● ● ●●● ●● ●●● ●● ●●● ●● ●● ●● ●●●● ●● ●● ● ●● ● ●● ●●● ●● ●●●● ● ●

●●●● ●●● ●●● ● ●● ●● ●●● ● ●●● ●● ●●● ●● ● ● ●●● ●●● ●● ●● ●● ● ● ●● ●●●● ●● ●●●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●●● ●●● ●●● ● ●●● ●● ●●●● ●● ●●● ●● ●●● ● ● ●●● ●●

●● ●●●● ● ●●● ●●● ● ● ●● ● ●●● ●● ● ●● ●● ●● ● ●●●● ●● ●● ●●● ●● ● ●● ●● ●● ●●● ●● ●● ●●●● ● ●● ● ●● ●● ●● ●● ● ●●● ● ● ●●●● ●●●● ●●● ●●● ●● ●●●● ●●● ● ●● ●● ● ●● ● ●● ●●● ●● ●●●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●● ● ●● ● ●● ●●● ● ●●● ●●● ● ●●● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●●● ●● ● ● ●●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●●● ●● ● ●● ●● ●● ● ● ●●● ●●● ●● ●●● ●● ●● ● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ● ●●●● ●●● ●●● ●●● ●● ●●●● ●● ●● ●●● ● ●●● ●● ●● ●● ● ● ●●● ●● ●● ●● ●●● ●● ●● ●●● ●●●

●● ●●● ● ●● ● ● ● ●●● ● ●●●● ●●● ● ●● ●●● ● ●● ●● ● ●● ●●● ● ●● ● ●●● ● ●●●● ●● ● ●● ● ●●●● ● ● ●● ●● ●●●● ●●● ● ●● ●● ●●●● ●● ● ●●● ●●● ● ●● ●●● ● ●●●● ●●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●●● ●●● ● ●●● ● ● ●● ● ●●● ●● ●●●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●●●● ●●● ● ●● ●●●● ● ●●●● ● ●● ● ●● ●● ●● ● ●●● ●●● ●●● ● ● ● ●●● ●●●● ●●● ● ●● ●

●● ●● ●●●● ● ●●● ●● ●● ●● ● ● ● ●●●● ●● ●● ●● ●● ● ● ●●● ●● ●● ● ●●●● ●●● ● ● ●●● ●●● ● ●●● ● ● ●● ●●●● ● ●●●●● ●● ●● ●● ● ●●●● ● ●●●● ● ●●●● ●●●● ●●●● ●● ●●●● ●● ●●● ●●● ● ●● ●●●

●●●● ●● ● ●● ● ●● ● ●● ● ●● ●● ●●● ●● ● ●●● ● ●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ●●● ● ●●● ●● ●● ●●●● ● ●● ● ●●● ●●● ●● ●●●● ●●● ●●● ● ● ●● ●● ●●●●● ●● ●●●●

● ●●● ● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ● ●● ●● ●●●● ●●●● ● ● ●● ●●● ● ●●●●

● ●●● ● ●● ●● ●● ●●●●● ●● ●● ●● ● ●● ● ●● ● ●● ●●●● ●●● ● ●● ● ●●● ●● ● ●● ●●●●● ●● ●● ● ● ●●● ● ●●●● ● ●● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●●● ●● ●● ●●● ●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ● ● ●● ●● ●●●● ●● ●●● ●● ●● ●● ● ● ●● ● ●●●● ●● ● ●● ● ●● ●●● ● ●● ● ●●● ●● ●● ●● ●●●● ●● ●● ● ●●●

●● ● ●●●●● ●●● ●●● ●● ●● ● ●● ●●● ●● ● ●●●● ● ●●● ●●● ●● ● ●● ● ● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●●● ●● ● ●●● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●● ●●● ● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●●● ●● ● ●● ● ●● ●●● ● ● ●●● ● ●●●● ●●● ● ● ●●● ●● ●●●● ● ●●●●● ●● ● ● ●●●● ●●●● ●●

●● ● ● ●● ●●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●●●● ●● ● ● ●● ● ●●● ● ●● ●● ●● ●● ●●● ●

●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ● ●●● ●●● ●● ● ● ●● ●●● ●● ● ●●● ●● ●● ●● ●●● ●● ● ●● ● ●● ● ●● ● ●● ● ●● ●●● ● ●●● ●● ● ● ●● ● ●● ●●● ●● ●● ● ●● ●●● ● ●●● ● ●● ● ●●● ●●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ● ●●●● ●●● ●● ●● ● ●●●●●● ●● ●● ● ● ●● ●●● ●● ●● ●●●●● ● ● ●●●● ●● ● ●●● ●●● ● ●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●●●● ●● ●●● ●● ●●● ●● ●● ●● ●●● ●● ●● ●● ●●●● ●● ● ●● ●●● ● ●●●● ● ●● ●● ● ● ●●

● ●● ● ●●● ●● ● ●● ●●●● ●● ● ●●● ● ●●● ●● ●● ●●●● ● ●● ●● ●● ●●●● ●●● ●● ● ●● ●●● ●●●● ●● ●●●● ● ●●● ●●● ● ●●●● ●●● ●●●●● ●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●● ●●●● ●● ● ●● ●● ●● ● ●●●● ●●● ● ●● ●● ●● ●●● ● ● ●●● ●●● ● ●●●● ●●● ●●● ●●● ●● ●● ●●● ●●●●● ● ●● ●● ●●● ●● ●● ● ●● ●●● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ● ●●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ● ● ●● ● ●●● ●●● ● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●●● ●● ● ●● ●●● ●●● ● ●●●● ●● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●●●● ● ● ●● ● ●●● ●● ● ●● ●●● ●● ● ● ●●● ●● ●● ●●● ● ●● ● ●●●●●● ●● ●●● ● ● ●●● ● ●● ●●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●●● ●●●● ●●● ● ●● ●●

● ●●●● ● ●● ● ●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●● ● ●● ●●● ● ●●● ●● ●● ●●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●●● ●●●● ● ●● ●●● ● ● ●●● ●● ● ●●●●● ● ● ●●● ● ●● ●● ●●●● ●● ● ●●●● ●●●● ●●● ●

● ●● ●● ● ●● ● ●● ●● ● ● ●● ●●●● ●●●●●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●●● ●●●● ●● ●● ●●

● ●●●● ●●● ●● ●● ●●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ● ● ●● ●●● ●●●

● ● ●●●● ● ● ● ●●● ● ● ●●● ●●●●● ●●● ●●● ●● ● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●●●● ● ●●● ●● ● ●●● ● ● ●●● ● ●● ● ●●● ● ●● ●●● ●● ● ● ●● ● ● ●●● ●●● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ●●● ●● ●● ●● ●●● ●●●● ● ●● ●● ●●● ● ●● ●●●●● ●●●● ● ● ● ●● ●●● ●● ● ●●●● ●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●●● ● ●●●● ●● ●● ●● ● ●●●● ● ●● ●● ●●● ●● ●● ●●● ●● ●●● ● ●●● ●●● ● ●●●●● ● ●● ● ●● ●● ●●●● ●●● ●●● ● ●● ●●● ● ● ●●● ● ●● ● ●●●● ● ● ● ● ●● ●●● ●●● ●● ●●

● ●●● ● ● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ●●● ●●● ●●●●●● ● ●●● ●●● ●●● ● ● ●●● ●●● ●●● ●● ●●● ● ● ●● ●● ●●●●● ●● ●● ● ● ●●● ●●

●● ● ●●● ● ●● ● ● ●●● ● ●● ● ● ●●● ●●● ●● ●●● ●●●● ● ●●● ●●● ● ●●●● ● ●● ● ●

Verteilung

Körpergrösse bei Frauen

Dic

hte

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

150 160 170 180

Verteilung

Verteilung eines Mittelwertes

. . . eine Stichprobe der Grosse n = 30 ziehen und den Mittelwertberechnen . . .x = (170.51 + 169.43 + 166.39 + 167.03 + 161.82 + 146.94 + 159.71 + 172.03 + 179.61 + 173.50 + 166.13 +165.84 + 166.80 + 164.00 + 163.41 + 167.31 + 162.77 + 154.04 + 164.12 + 160.24 + 177.58 + 167.00 +156.56 + 157.31 + 159.93 + 155.82 + 177.30 + 167.03 + 165.68 + 165.40)/30 = 165.04


x von 30−Körpergrössen (Frauen)

Dic

hte

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

162 164 166 168 170 172

●

Anzahl Mittelwerte: 1



Dic

hte

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

162 164 166 168 170 172

● ●




Dic

hte

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

162 164 166 168 170 172

● ●●




Dic

hte

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

162 164 166 168 170 172

● ●●●




Dic

hte

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

162 164 166 168 170 172

● ●●●●




Dic

hte

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

162 164 166 168 170 172

● ●●●● ●




Dic

hte

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

162 164 166 168 170 172

● ●●●● ●●




Dic

hte

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

162 164 166 168 170 172

● ●●●● ●● ●




Dic

hte

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

162 164 166 168 170 172

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● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ● ● ●● ●●●●●● ●● ● ●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●




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● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ● ● ●● ●●●●●● ●● ● ●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●● ●●●●●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●●●●●● ● ●●●● ●● ●●●●●● ●● ●●●● ●● ●● ● ●●●● ●● ●● ●● ●●●● ● ●● ●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●●




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● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ● ● ●● ●●●●●● ●● ● ●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●● ●●●●●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●●●●●● ● ●●●● ●● ●●●●●● ●● ●●●● ●● ●● ● ●●●● ●● ●● ●● ●●●● ● ●● ●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ● ●●●● ●

●● ●● ●● ●● ●●● ● ●●●●●●●● ●● ●●●● ●● ● ●●● ●● ●●●●● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ● ●●● ● ●● ●●● ●●● ● ●




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● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ● ● ●● ●●●●●● ●● ● ●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●● ●●●●●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●●●●●● ● ●●●● ●● ●●●●●● ●● ●●●● ●● ●● ● ●●●● ●● ●● ●● ●●●● ● ●● ●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ● ●●●● ●

●● ●● ●● ●● ●●● ● ●●●●●●●● ●● ●●●● ●● ● ●●● ●● ●●●●● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ● ●●● ● ●● ●●● ●●● ● ● ●● ●●●●●● ●● ● ●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ●● ●




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162 164 166 168 170 172

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● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ● ● ●● ●●●●●● ●● ● ●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●● ●●●●●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●●●●●● ● ●●●● ●● ●●●●●● ●● ●●●● ●● ●● ● ●●●● ●● ●● ●● ●●●● ● ●● ●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ● ●●●● ●

●● ●● ●● ●● ●●● ● ●●●●●●●● ●● ●●●● ●● ● ●●● ●● ●●●●● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ● ●●● ● ●● ●●● ●●● ● ● ●● ●●●●●● ●● ● ●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ●● ●●●●●●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●●●●●● ● ●●●● ●● ●●●●●● ●● ●●●● ●● ●● ● ●●●● ●● ●

●●● ●● ●● ● ●● ●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ●● ●● ●




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● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ● ● ●● ●●●●●● ●● ● ●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●● ●●●●●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●●●●●● ● ●●●● ●● ●●●●●● ●● ●●●● ●● ●● ● ●●●● ●● ●● ●● ●●●● ● ●● ●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ● ●●●● ●

●● ●● ●● ●● ●●● ● ●●●●●●●● ●● ●●●● ●● ● ●●● ●● ●●●●● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ● ●●● ● ●● ●●● ●●● ● ● ●● ●●●●●● ●● ● ●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ●● ●●●●●●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●●●●●● ● ●●●● ●● ●●●●●● ●● ●●●● ●● ●● ● ●●●● ●● ●

●●● ●● ●● ● ●● ●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ●● ●● ●●●● ●● ●● ●● ●●● ● ●●●●● ●●● ●● ●●●● ●● ● ●●● ●● ●●●●● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●●

●● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ● ●●● ● ●● ●●● ●●● ● ●● ●●●●




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● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ● ● ●● ●●●●●● ●● ● ●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●● ●●●●●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●●●●●● ● ●●●● ●● ●●●●●● ●● ●●●● ●● ●● ● ●●●● ●● ●● ●● ●●●● ● ●● ●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ● ●●●● ●

●● ●● ●● ●● ●●● ● ●●●●●●●● ●● ●●●● ●● ● ●●● ●● ●●●●● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ● ●●● ● ●● ●●● ●●● ● ● ●● ●●●●●● ●● ● ●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ●● ●●●●●●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●●●●●● ● ●●●● ●● ●●●●●● ●● ●●●● ●● ●● ● ●●●● ●● ●

●●● ●● ●● ● ●● ●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ●● ●● ●●●● ●● ●● ●● ●●● ● ●●●●● ●●● ●● ●●●● ●● ● ●●● ●● ●●●●● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●●

●● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ● ●●● ● ●● ●●● ●●● ● ●● ●●●●●●● ●● ● ●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●●●

●● ●●● ●●● ● ● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ●● ●●●●●●




Dic

hte

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

162 164 166 168 170 172

● ●●●● ●● ●●●● ●● ●●● ● ● ●● ●●●●●● ● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●● ●●● ●●● ● ●●● ●● ●●●● ● ●● ●●●● ●● ● ● ●● ● ●● ●●● ● ● ●● ●●●●●● ● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●● ●●● ●●● ● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ●●● ● ●●●●● ●●● ●● ●●●● ●● ● ●●● ●● ●●●●

● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ● ● ●● ●●●●●● ●● ● ●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●● ●●●●●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●●●●●● ● ●●●● ●● ●●●●●● ●● ●●●● ●● ●● ● ●●●● ●● ●● ●● ●●●● ● ●● ●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ● ●●●● ●

●● ●● ●● ●● ●●● ● ●●●●●●●● ●● ●●●● ●● ● ●●● ●● ●●●●● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ● ●●● ● ●● ●●● ●●● ● ● ●● ●●●●●● ●● ● ●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ●● ●●●●●●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●●●●●● ● ●●●● ●● ●●●●●● ●● ●●●● ●● ●● ● ●●●● ●● ●

●●● ●● ●● ● ●● ●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ●● ●● ●●●● ●● ●● ●● ●●● ● ●●●●● ●●● ●● ●●●● ●● ● ●●● ●● ●●●●● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●●

●● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ● ●●● ● ●● ●●● ●●● ● ●● ●●●●●●● ●● ● ●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●●●

●● ●●● ●●● ● ● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ●● ●●●●●● ● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●●●●●● ● ●●●● ●● ●●●●●● ●● ●●●● ●● ●● ● ●●●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ●● ●● ●● ●● ● ●



. . . und nun 1000 Mittelwerte einer Stichprobe von n = 300 . . .



Dic

hte

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

162 164 166 168 170 172

● ●● ●●●●●● ●●●● ●● ●●●● ●● ●●●●●●●●● ●● ●●●●●●●●● ●● ● ●●● ● ●●●● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●●●●● ●●● ●●●● ●●●●● ●●● ●● ●● ●●● ●● ●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●● ●●●● ●●● ●● ●●● ●●●●●●●●● ●●● ●● ●●●●● ● ●●●●● ●●●● ●●● ●●● ●● ●●●●●● ●●●●● ● ●●●● ●●

● ●●● ● ●●●●●● ●●●● ●●●●●● ●● ●●●●●● ●●●● ●●●●● ●●●●● ● ●●●●●●●●● ● ●● ●● ●●●●●●● ●●●● ●●● ●● ●●● ●●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●●●●●● ● ●● ●● ●● ●●●● ●●●● ●●● ● ●●● ●●● ●● ●●●●●

●●●●●● ● ●●●●●●● ●●●● ●● ● ●●●●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ●●●●● ●●●●●● ●●●●● ●●● ●●● ●●● ●●●●●● ●●●●● ● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●●●● ●●●●●●●●● ●● ●● ●●●● ●●● ●●●● ●● ●●●● ●●● ●●● ●●● ●●●● ●●● ●● ●●● ●●● ●●● ●●●● ●● ●●● ●● ●● ●●●●● ●●● ●●● ●●● ●● ●●● ●●● ●●●●● ●●● ● ●●●● ●●●●●●●●●● ●● ●● ● ●●●● ●●●●●●● ●●●

● ●●● ●●●●●● ●●●●● ●●●●●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ●●● ●●●●● ●●●● ●●● ●●● ●●●●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ●●●●● ●●●●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●●● ● ●●●●●●●● ●●● ●● ●●●●●● ●●●●●●● ●●● ●●●● ●●●● ●●●● ●●● ●●● ●● ●●●● ●●●●●●●● ●●●●● ●● ●● ● ●●●●●● ●● ●●●● ●● ●● ●●●●● ● ●● ●●●●●● ●●● ●● ● ●●● ●●● ● ●●●● ●●●● ●●● ●● ●● ●●● ●● ●● ●● ●●● ● ●●● ●●● ●●● ●● ●●●●●● ●●● ● ●●●● ●●● ●●● ● ●● ●● ●●●●●●●●● ●●● ●●●●●● ●●●● ●●●●●● ●● ●●

●●●●● ●● ●●● ●●●● ●●●●● ●●● ●●●●●●●● ● ●● ●●●● ●● ●●● ●● ●●●●● ●●●● ●●● ●●● ●● ●● ●●● ●●●● ●●● ●● ●●● ●●●●●● ●●● ●●●● ●● ●●● ●●●●●● ●● ●●●● ●● ●●●●

●● ●●●●● ●●● ●●● ●● ●● ●●●● ●●


x von 30 bzw. 300−Körpergrössen bei Frauen

Dic

hte

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

162 164 166 168 170 172

Verteilung einer Statistik

I Jede Statistik folgt einer “eigenen” Verteilung

I Die Streuung ist von der Grosse, n, der Stichprobe abhangig

I Die Form der Verteilung ist von der Grosse der Stichprobeunabhangig


Mittelwertx = 1

n

∑ni=1 xi

x

Dic

hte





Mittelwertx = 1

n

∑ni=1 xi

x

Dic

hte

Varianzs2 = 1

n−1

∑ni=1(xi− x)2

s2

Dic

hte




Der Zentrale Grenzwertsatz


Mittelwerte aus 1 Messwerten

Dic

hte

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

2 4 6 8 10



Dic

hte

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

2 4 6 8 10


Die Verteilung des Mittelwertes aus n-Messwerten nahertsich fur wachsende n immer mehr einer Normalverteilungund dies unabhangig von der Verteilung aus welcher dieMesswerte gezogen wurden.

Vertrauensintervall

x (n = 30) Mittlere Körpergrösse

Dic

hte

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

162 164 166 168 170 172

●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

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●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● ●●● ●

Vertrauensintervall


Dic

hte

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

162 164 166 168 170 172

●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

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●●● ● ●●● ●

Vertrauensintervall

Jetzt starten wir wie im richtigen Leben mit einer einzelnenStichprobe:x1 = 166.1, x2 = 178.8, x3 = 169.5, x4 = 165.9, x5 = 172.1, x6 =177.3, x7 = 165.2, x8 = 164.3, x9 = 175.6, x10 = 173.7, x11 =171.8, x12 = 172.2, x13 = 172.6, x14 = 162.6, x15 = 168.6, x16 =172, x17 = 161.3, x18 = 169.7, x19 = 160, x20 = 170.1, x21 =165.1, x22 = 172.9, x23 = 168.1, x24 = 167.5, x25 = 180.1, x26 =172.2, x27 = 157.8, x28 = 177.2, x29 = 167.4, x30 = 174.6

Vertrauensintervall

Zwei Wege:

I Wir konnen eine Annahme Treffen uber dieWahrscheinlichkeitsverteilung aus welcher wir die Stichprobegezogen haben. Dann konnten wir beliebig oft eine Stichprobeder selben Grosse ziehen, den Mittelwert berechnen und so dieVerteilung der Mittelwerte ermitteln.

I Wir konnen den Zentralen Grenzwertsatz anwenden. Dazumussten wir aber die beiden Parameter der Normalverteilungunseres Mittelwertes besser kennen, namentlich denMittelwert und die Varianz.

Vertrauensintervall: Die Lage

Mangels besserer Informationen wahlen wir den Mittelwert unsererStichprobe (x) als Erwartungswert fur die Mittelwerte, ¯x .

Vertrauensintervall: Die Streuung

Der Standardfehler ist die Standardabweichung einer Statistik.Meistens spricht man vom Standardfehler und meint damit dieStandardabweichung des Mittelwertes, welche folgendermassenberechnet wird:

sx =sx√

n

Vertrauensintervall

Mit diesen Angaben konnen wir nun aus unserer Stichprobe dieVerteilung des Mittelwertes veranschaulichen.


Dic

hte

0.0

0.1

0.2

0.3

164 166 168 170 172

Die mittlere Korpergrosse betragt 169.7, 95%-Vertrauensintervall:[167.8; 171.7].

Vertrauensintervall

Mit diesen Angaben konnen wir nun aus unserer Stichprobe dieVerteilung des Mittelwertes veranschaulichen.


Dic

hte

0.0

0.1

0.2

0.3

164 166 168 170 172

● ●●●● ●● ●●●● ●● ●●● ● ● ●● ●●●●●● ● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●● ●●● ●●● ● ●●● ●● ●●●● ● ●● ●●●● ●● ● ● ●● ● ●● ●●● ● ● ●● ●●●●●● ● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●● ●●● ●●● ● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ●●● ● ●●●●● ●●● ●● ●●●● ●● ● ●●● ●● ●●●●● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ● ●●● ● ●●●●●●●● ● ● ●● ●●●●●● ●● ● ●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●

● ● ● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●● ●●●●●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●●●●●● ● ●●●● ●● ●●●●● ● ●● ●●●● ●● ●● ● ●●●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ●●● ● ●●●●● ●●● ●● ●●●● ●● ● ●●● ●● ●●●●● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ● ●●● ● ●● ●●● ●●● ● ● ●● ●●●●●● ●● ● ●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ●● ●●●●●●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●●●●●● ● ●●●● ●● ●●●●● ● ●● ●●●● ●● ●● ● ●●●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●●●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ●● ●● ●●●● ●● ●● ●● ●●● ● ●●●●● ●●● ●● ●●●● ●● ● ●●● ●● ●●●●● ●● ●● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●●●●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ● ●●● ● ●● ●●● ●●● ● ●● ●●●●●●● ●● ● ●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ● ●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ●●● ●●● ● ●● ●●●●●● ● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●●●●●● ● ●●●● ●● ●●●●● ● ●● ●●●● ●● ●● ● ●●●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ●● ●● ●● ●● ● ●

Die mittlere Korpergrosse betragt 169.7, 95%-Vertrauensintervall:[167.8; 171.7].

Vertrauensintervall

Die Formel fur das 1− α-Vertrauensintervall fur den Mittelwertlautet: [

x − z(1−α/2)s√n

; x + z(1−α/2)s√n

].

Mit zα bezeichnen wir das α-Quantil einerStandardnormalverteilung, N (µ = 0, σ2 = 1). Wichtig istbesonders der Wert z(1−α/2) = 1.96.Zum Merken:

Das 95%-Vertrauensintervall umfasst den Mittelwertplus/minus zwei mal den Standardfehler.

Zusammenhange

Gibt es einen Zusammenhang . . .

Lungen-krebs

ein Feuerzeug

mit sichtragen

Aspekte von Zusammenhangen

I Starke

I Folgerichtigkeit

I Spezifitat

I Zeitlichkeit

I Biologischer Gradient

I Plausibilitat

I Stimmigkeit

I Experiment

I Analogie

Austin Bradford Hill, The Environment and Disease: Association or Causation? Proceedings of the RoyalSociety of Medicine, 58 (1965), 295-300.

Zufallige und systematische Fehler

Zufallige und systematische FehlerZufalliger Fehler

Zufallige und systematische FehlerZufalliger Fehler Systematischer Fehler, Bias

Zufallige und systematische FehlerZufalliger Fehler Systematischer Fehler, Bias

Diese beiden Fehler treten in Kombination auf, zwei Beispiele:

Systematischer Fehler (Bias): Definition

“Any process at any stage of inference which tends to produceresults or conclusions that differ systematically from the truth.”

Nach Murphy, The Logic of Medicine, Baltimore: John Hopkins University Press, 1976 aus Sackett, Biasin Analytic Research, Journal of Chronic Disease, 1979.

Wann kann ein systematischer Fehler auftreten?

I Literatursuche

I Festlegen und Auswahlen der Studienpopulation

I Durchfuhren der experimentellen Intervention (“Exposure”)

I Messen von “Exposure” und “Outcome”

I Analysieren der Daten

I Interpretieren der Analyse

I Publizieren der Resultate

Basierend auf dieser Einteilung hat Sackett einen Katalog von 35systematischen Fehlern erstellt.

Sackett, Bias in Analytic Research, Journal of Chronic Disease, 1979.

Design

Zusammenhange

Rauchersein

Lungen-krebs

ein Feuerzeug

mit sichtragen

Bias-Einteilung nach Struktur

Confounding Bias Common causes of exposure and outcome.(“Exposure” und “Outcome” haben einegemeinsame Ursache.)

Selection Bias Conditioning on commen effects of exposureand outcome.(Ein gemeinsamer Effekt von “Exposure” und“Outcome” wird berucksichtigt.)

Information Bias Systematisch fehlerhafte Information uber“Exposure”, “Outcome” oder andere Variabelnwelche fur die Studie herangezogen werden.

z.B. Hernan and Robins, A Structural Approach to Selection Bias, Epidemiology, 2004.

Confounding Bias

gemeinsame Ursache

"Exposure""Outcome"

I Anpassen des Studientypen: Zufallige “Exposure”-Zuweisungerlaubt es, “Confounding” durch bekannte und unbekannteVariablen zu verhindern.

I Anpassen der Datenanalyse: Nur mit Fachwissen ist esmoglich, “Confounder” zu identifizieren, zu messen und mitgewissen Annahmen in der Analyse zu berucksichtigen.

Selection Bias

Herzmiss-bildung

Folsäure

Tod vorder Geburt

Selection Bias

gemeinsamer Effekt"berücksichtigt"

"Exposure""Outcome"

I Kann auch in experimentellen Studien mit zufalliger“Exposure”-Zuweisung vorkommen (z.B. durch fehlendeMesswerte, “loss to follow-up”).

Information Bias

Systematisch fehlerhafte Information uber “Exposure”, “Outcome”oder andere Variabeln welche fur die Studie herangezogen werden.

I Definition ist unabhangig von der kausalen Struktur.

I Wenn es sich um eine kategoriale Messgrosse handelt, sprichtman auch von “Misclassification Bias”.

I Verschiedene Formen konnen unterschiedlich eingeteilt werden(z.B. “differential / non-differential”, “Exposure / Outcome /Covariate Misclassification”).

Hypothesen

Wissenschaftler formulieren gestutzt auf Beobachtungen und vielFachwissen Hypothesen.

Beispiel:Hypothese: Alle Schwane sind weiss.

Falsifikationismus

August Weismann, 1868 meinte, es

lasst sich eine wissenschaftliche Hypothese zwar niemalserweisen, wohl aber, wenn sie falsch ist, widerlegen, undes fragt sich deshalb, ob nicht Thatsachen beigebrachtwerden konnen, welche mit einer der beiden Hypothesenin unaufloslichem Widerspruch stehen und somit dieselbezu Fall bringen.

Hypothesen Test: Analogie zu anderen Testverfahren

Nullhypothese H0: Kein Feuer


Nullhypothese H0: Kein FeuerKein Alarm: H0 akzeptieren



Alternativhypothese HA: Feuer



Alternativhypothese HA: FeuerAlarm: H0 verwerfen, HA akzeptieren




H0 wahr HA wahr

H0 akzeptierenH0 verwerfen




H0 wahr HA wahrkein Feuer





H0 wahr HA wahrkein Feuer Feuer






H0 akzeptieren kein AlarmH0 verwerfen





H0 akzeptieren kein AlarmH0 verwerfen Alarm





H0 akzeptieren kein Alarm �H0 verwerfen Alarm





H0 akzeptieren kein Alarm �H0 verwerfen Alarm Typ I Fehler, α





H0 akzeptieren kein Alarm � (1− α)H0 verwerfen Alarm Typ I Fehler, α

1− α: Vertrauensniveau, misst Vertrauen, dass kein Alarm auchwirklich kein Feuer bedeutet (hohes Vertrauen: falscher Alarmselten)





H0 akzeptieren kein Alarm � (1− α)H0 verwerfen Alarm Typ I Fehler, α �






H0 akzeptieren kein Alarm � (1− α) Typ II Fehler, βH0 verwerfen Alarm Typ I Fehler, α �






H0 akzeptieren kein Alarm � (1− α) Typ II Fehler, βH0 verwerfen Alarm Typ I Fehler, α � (1− β)


1− β: Power: misst Wahrscheinlichkeit, dass Feuer auch Alarmauslost

Wurfelbeispiel

Nullhypothese Die Maschine zeigt den Mittelwert von 4 Wurfenmit einem 20-seitigen Wurfel.

Alternativhypothese Die Maschine zeigt nicht den Mittelwert von4 Wurfen mit einem 20-seitigen Wurfel.

H0 wahr HA wahrH0 akzeptieren � (1-α) Typ II Fehler, βH0 verwerfen Typ I Fehler, α � (1-β)

Wurfelbeispiel




Konventionen des statistischen Testens:

I Wir lehnen die Nullhypothese ab, wenn ein bestimmte“extreme” Statistik beobachtet wird.

I Wir bezeichnen etwas als “extrem”, wenn es mit einerWahrscheinlichkeit von < 5 % auftritt

Wurfelbeispiel




Konventionen des statistischen Testens:

I Wir lehnen die Nullhypothese ab, wenn ein bestimmte“extreme” Statistik beobachtet wird.

I Wir bezeichnen etwas als “extrem”, wenn es mit einerWahrscheinlichkeit von < 5 % auftritt (α < 0.05).

Wurfelbeispiel



Dic

hte

0.00

0.01

0.02

0.03

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Gibt es einen Zusammenhang

zwichen dem Geschlecht und der Korperlange des DreistachligenStichlings in der Bodenseeregion.



“Exposure”



“Exposure” Geschlecht




“Outcome”




“Outcome” Korperlange





Nullhypothese Es gibt keinen Unterschied in der Korperlangezwischen mannlichen und weiblichen Fischen.





Nullhypothese Es gibt keinen Unterschied in der Korperlangezwischen mannlichen und weiblichen Fischen.H0 : µ♀ − µ♂ = 0






Alternativhypothese Es gibt einen Unterschied in der Korperlangezwischen mannlichen und weiblichen Fischen.






Alternativhypothese Es gibt einen Unterschied in der Korperlangezwischen mannlichen und weiblichen Fischen.HA : µ♀ − µ♂ = δ






Alternativhypothese Es gibt einen Unterschied in der Korperlangezwischen mannlichen und weiblichen Fischen.HA : µ♀ − µ♂ = δ

Teststatistik Differenz in der Korperlange zwischen mannlichenund weiblichen Fischen. x♀ − x♂

Hypothesentesten

Hypothesentesten

xweibl. − xmännl.

Dic

hte

Hypothesentesten


Dic

hte

H0 : µweibl. − µmännl. = 0

Hypothesentesten


Dic

hte


−10 −5 0 5 10 15 20

Hypothesentesten


Dic

hte


−10 −5 0 5 10 15 20

kritischer Wert

Hypothesentesten


Dic

hte


−10 −5 0 5 10 15 20

kritischer Wert

α 2

Hypothesentesten


Dic

hte


−10 −5 0 5 10 15 20

kritischer Wert

α 2

kritischer Wert

α 2

Hypothesentesten


Dic

hte


−10 −5 0 5 10 15 20

kritischer Wert

α 2

kritischer Wert

α 2"P−Wert"/ 2"P−Wert"/ 2

Hypothesentesten


Dic

hte


−10 −5 0 5 10 15 20

kritischer Wert

α 2

kritischer Wert


H1 : µweibl. − µmännl. = δ

δ

Hypothesentesten


Dic

hte


−10 −5 0 5 10 15 20

kritischer Wert

α 2

kritischer Wert



δ

β

Hypothesentesten


Dic

hte

−10 −5 0 5 10 15 20

Hypothesentesten


Dic

hte

−10 −5 0 5 10 15 20

α 2α 2

Hypothesentesten


Dic

hte

−10 −5 0 5 10 15 20

α 2α 2

1 − α

Hypothesentesten


Dic

hte


−10 −5 0 5 10 15 20

kritischer Wert

α 2

kritischer Wert



δ

βα 2α 2

1 − α

Alternative Szenarien


Szenario 1:

Grossere Stichprobe und daher weniger Streuung.


x0 − x1

Dic

hte


Szenario 1 (Forts.):

Bei genugend grossen Stichproben konnte man dasSignifikanzniveau senken, ohne wesentlich an Power zu verlieren.


x0 − x1

Dic

hte


Szenario 2:

Wenn der Unterschied zwischen den beiden Gruppen genugendgross ist, konnen relativ kleine Stichprobengrossen ausreichen, umeinen signifikanten Unterschied zu zeigen.


x0 − x1

Dic

hte

Signifikant, oder nicht?

Ein statistischer Test soll helfen zu entscheiden, ob die Daten mitder Nullhypothese im Einklang stehen oder nicht. Wie viele andereTests liefert eine statistischer Test in erster Linie eine “ja/nein”Antwort und dazu braucht es ein Signifikanzniveau, α, welches diekritische Grenze darstellt.


Der “P-Wert” ist ein verfeinertes Mass ob ein Test signifikant istoder nicht. Leider birgt der “P-Wert” einige Probleme:

Interpretation Der “P-Wert” wird sehr haufig falsch interpretiert.Auch die Bezeichnung “P”, welche meist furWahrscheinlichkeiten verwendet wird, ist trugerisch,da sich die Wahrscheinlichkeit nur auf dashypothetische Wiederholen des Experimentes bzw.der Untersuchung bezieht.

Vereinheitlichung Fur jeden statistischen Test kann man einen“P-Wert” berechnen. Jeder statistische Test bestehtjedoch aus einer Nullhypothese und einer Teststatistikund die Wahl dieses Paares beeinflusst den “P-Wert”.Es besteht also die Gefahr, dass man dieser Zahlmehr Beachtung schenkt, als sie es wert ist und sieallzu sorgenlos ohne weitere Angaben nutzt.


Ein Mittelweg zwischen “ja/nein” und dem “P-Wert”: DieSternchen-Konvention

Interpretation Notation

P > 0.05 nicht signifikant (n.s.)0.05 ≥ P > 0.01 schwach signifikant *0.01 ≥ P > 0.001 stark signifikant **0.001 ≥ P sehr stark signifikant ***

Relevant, oder nicht?

I Wie gross muss ein Unterschied sein, dass er in einemstatistischen Test signifikant wird?

I Was bedeutet es, wenn bei einem geplanten Experiment der“P-Wert” sehr stark signifikant wird (P ≤ 0.001).

I Was bedeutet es, wenn bei einem geplanten Experiment einstatistischer Test nicht signifikant wird (P > 0.05).

Relevant, oder nicht?

I Wie gross muss ein Unterschied sein, dass er in einemstatistischen Test signifikant wird?

I Was bedeutet es, wenn bei einem geplanten Experiment der“P-Wert” sehr stark signifikant wird (P ≤ 0.001).

I Was bedeutet es, wenn bei einem geplanten Experiment einstatistischer Test nicht signifikant wird (P > 0.05).

Es ist unerlasslich das Resultat einer Untersuchung uber dieSchatzer zu interpretieren! Die alleinige Aussage, dass einTestresultat signifikant ist erlaubt es nicht dieses zu interpretieren.Genauso kann man nicht sagen, dass ein Unterschied der in einerUntersuchung nicht signifikant wurde nicht relevant sei.

“The abscence of evidence is no evidence for abscence.”Carl Sagan

Ein- oder zweiseitig Testen?

Um den kritischen Wert zu finden fur das Verwerfen derNullhypothese haben wir an beiden Enden der Verteilung jeweilseine Flache von α/2 abgetrennt. Es stellt sich naturlich die Frage,wieso wir nicht einfach α auf einer Seite abtrennen, da wir jasowieso erwarten, dass der Effekt in die bekannte Richtung geht.Sollen wir also ein- oder zweiseitig testen?

Ein- oder zweiseitig Testen?

Um den kritischen Wert zu finden fur das Verwerfen derNullhypothese haben wir an beiden Enden der Verteilung jeweilseine Flache von α/2 abgetrennt. Es stellt sich naturlich die Frage,wieso wir nicht einfach α auf einer Seite abtrennen, da wir jasowieso erwarten, dass der Effekt in die bekannte Richtung geht.Sollen wir also ein- oder zweiseitig testen?Ganz einfach - zweiseitig! Weil wir ja nicht sicher sind, dass derEffekt in diese Richtung geht. Einseitig Testen darf man nur, wennder Effekt aus z.B. physikalischen Grunden nur in eine Richtunggehen kann.

Lage-Vergleich zwischen zwei Stichproben

Ein pragmatischer Ansatz:

I Immer den Rangsummentest von Wilcoxon verwenden.

Nullhyothese H0 : Yg ,i F(i .i .d .)Die Verteilung F kann eine beliebige Verteilung sein,aber alle Messwerte Yg ,i mussen aus der selbenVerteilung sein und unabhangig voneinander.

Alternativhypothese HA : Yg=1,i F1,Yg=2,i F2 wobeiF2(x) = F1(x − δ) und δ 6= 0

Teststatistik Die Teststatistik W wird wie folgt berechnet:Rg ,i =Rang(Yg ,i |Yg=1,i=1 . . .Yg=1,i=n1 ,Yg=2,i=1 . . .Yg=2,i=n2)

Ug=1 =∑i=n1

i=1 Rg=1,i

der grossere der beiden WerteWa = n1n2 + n2(n2+1)

2 −Ug=1 und Wb = n1n2−Ug=1

Gibt es einen Unterschied zwischen weiblichen undmannlichen Stichlingen?

sex bodySize rank sex bodySize rank1 f 88.22 29 16 m 75.55 112 f 90.95 30 17 m 78.04 153 f 78.63 16 18 m 73.82 64 f 81.85 22 19 m 70.57 45 m 69.47 3 20 m 69.38 26 m 87.33 28 21 m 74.55 87 f 75.06 10 22 m 79.62 198 f 78.64 17 23 f 75.89 129 m 65.63 1 24 f 79.3 1810 m 75.91 13 25 f 74.14 711 m 82.8 23 26 f 83.92 2512 m 80.14 21 27 f 80.07 2013 f 84.18 26 28 f 77.64 1414 m 74.68 9 29 f 86.51 2715 m 70.59 5 30 f 83.28 24


W

Dic

hte

0.000

0.005

0.010

0.015

0 50 100 150 200

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

Wahrscheinlichkeitsdichte der Wilcoxon-Statistik(n1 = n2 = 15) unter der Nullhypothese


> wilcox.test(bodySize ~ sex, data = stickleback,+ conf.int = TRUE)

Wilcoxon rank sum test

data: bodySize by sexW = 177, p-value = 0.006568alternative hypothesis: true location shift is not equal to 095 percent confidence interval:1.73 9.92sample estimates:difference in location

5.88

I Der Schatzer “difference in location” entspricht dem Mediander Differenzen zwischen allen moglichen Wertepaaren dieman zwischen den beiden Gruppen bilden kann.

Vergleich der Power zwischen Wilcoxon und T-Test

Wilcoxon Test

Delta, δ

Tota

l sam

ple

size

20

25

30

35

40

45

50

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Power = 0.9

Power = 0.9

0.80.85

0.95

0.80.85

0.95

N=47

θ=1

●

t Test

Delta, δ

Tota

l sam

ple

size

20

25

30

35

40

45

50

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Power = 0.9

Power = 0.90.8

0.85

0.95

0.80.85

0.95

N=44

θ=1

●

Fur diese Abbildungen habe ich Messwerte aus einerNormalverteilung N (µ = 0, σ = 1) bzw. N (µ = δ, σ = 1) gezogenund mit den beiden Tests verglichen.

Multiples Testen


Dic

hte


−10 −5 0 5 10 15 20

kritischer Wert

α 2

kritischer Wert

α 2

Multiples Testen

H0 ist richtig. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir H0

verwerfen?

Anzahl Wenn H0 wahr ist verwerfen wir H0

Tests falschlicherweise mit folgenden(k) Wahrscheinlichkeiten

nie mindestens einmal

Multiples TestenAnzahl Wenn H0 wahr ist verwerfen wir H0



1 0.95 0.05




1 0.95 0.052 0.9025 0.0975




1 0.95 0.052 0.9025 0.09753 0.8574 0.14264 0.8145 0.1855k (1− α′)k 1− (1− α′)k




1 0.95 0.052 0.9025 0.09753 0.8574 0.14264 0.8145 0.1855k (1− α′)k 1− (1− α′)k

Die Dunn-Sidak Methode erlaubt das Signifikanzniveau dereinzelnen Tests (α′) so anzupassen, dass die Fehlerrate fur eineganze Familie von Testen auf dem Niveau von α gehalten werdenkann.

α = 1− (1− α′)kα′ = 1− (1− α)1/k


Tests falschlicherweise mit folgenden(k) Wahrscheinlichkeiten α′


1 0.95 0.05 0.052 0.9025 0.0975 0.02533 0.8574 0.1426 0.0174 0.8145 0.1855 0.0127k (1− α′)k 1− (1− α′)k

Die Dunn-Sidak Methode erlaubt das Signifikanzniveau dereinzelnen Tests (α′) so anzupassen, dass die Fehlerrate fur eineganze Familie von Testen auf dem Niveau von α gehalten werdenkann.

α = 1− (1− α′)kα′ = 1− (1− α)1/k

Lage-Vergleich zwischen mehrerer Stichproben

Auch um die Lage von mehr als zwei Stichproben zu testen gibt eseinen empfehlenswerten Test basierend auf den Rangen derMesswerte, den Kruskal-Wallis-Test. Er tested ob die Lage allerStichproben gleich ist (Nullhypothese).

> library(asuR)> data(pea)> kruskal.test(length ~ trt, data = pea)

Kruskal-Wallis rank sum test

data: length by trtKruskal-Wallis chi-squared = 38.4368, df = 4, p-value= 9.105e-08

Wir mochten uns jedoch hier auch die parametrische Form etwasgenauer anschauen weil diese die Grundlage ist fur das Verstandnisder meisten Formen des “Modellierens”. Die Methode welche eserlaubt Lageparameter (im speziellen Fall Mittelwerte) ausmehreren Stichproben zu vergleichen nennt man Varianzanalyseoder kurz ANOVA (fur “analysis of variance”).

Formulieren eines linearen Modells

Einweg-ANOVA:

E[yij ] = µiyij ∼ indep. N (µi , σ

2)

mit 1, . . . , i Kategorien, jede mit 1, . . . , j Untersuchungseinheiten.

Das tolle an dieser Formulierung ist, dass sie uns erlaubt denErwartungswert der Kategorien und die Streuung der Messwerteseparat zu beschreiben.

Eine ANOVA Session mit R

> library(asuR)> data(pea)> bwplot(~length | trt, layout = c(1, 5), data = pea)> trtSS <- sum(10 * (tapply(pea$length, pea$trt,+ mean) - mean(pea$length))^2)> resSS <- sum((pea$length - rep(tapply(pea$length,+ pea$trt, mean), each = 10))^2)> totSS <- sum((pea$length - mean(pea$length))^2)> model <- lm(length ~ trt, data = pea)> summary.aov(model)> summary(model)

Wahrscheinlichkeitsdichte der F Statistik

F4, 45

Dic

hte

0.0

0.2

0.4

0.6

0 2 4 6 8 10

Wahrscheinlichkeitsdichte der F Statistik(df1 = 4, df2 = 45) unter der Nullhypothese


Einweg-ANOVA:

E[yij ] = µi

yij ∼ indep. N (µi , σ2)


Einweg-ANOVA: am konkreten Beispiel

E[yij ] = µi= β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4

yij ∼ indep. N (µi , σ2)

mit den Kategorien i = 1, 2, 3, 4, 5, jede mit denUntersuchungseinheiten j = 1, . . . , 10.

Kontraste

Wenn man die Lage von mehr als zwei Stichproben beschreibenmochte, ist man meist nicht nur an der Nullhypothese die besagtdass alle Lageparameter gleich sind (H0 : µ1 = µ2 = . . . = µk)interessiert.

Kontraste

Wenn man die Lage von mehr als zwei Stichproben beschreibenmochte, ist man meist nicht nur an der Nullhypothese die besagtdass alle Lageparameter gleich sind (H0 : µ1 = µ2 = . . . = µk)interessiert.Oft mochte man auch einzelne Lageparameter oderLinearkombinationen von Lageparametern vergleichen, man nenntdiese Vergleiche Kontraste, einige Beispiele:

I H0 : µ1 − µ2 = 0 und H0 : µ1 − µ3 = 0 und H0 : µ2 − µ3 = 0Alle paarweisen Vergleiche.

I H0 : µ1 − 12 (µ2 + µ3) = 0, oder besser geschrieben

H0 : 1µ1− 12µ2− 1

2µ3 = 0 zum Testen ob der Mittelwert in derGruppe 1 sich vom Mittel der Gruppen 2 und 3 unterscheidet.

Kontraste

Wenn man die Nullhypothese (die Lage aller Stichproben istidentisch) verwerfen konnte, dann kann man weitere Kontrasteuntersuchen und testen. Allerdings darf man nicht beliebige undauch nicht beliebig viele Kontraste untersuchen. Die Regeln sind:

I Immer nur k − 1 Kontraste konnen getestet werden, wennman k Stichproben untersucht.

I Die Kontraste mussen orthogonal zueinander stehen, d.h. dasProdukt der Koeffizienten muss sich zu Null aufsummieren.Ein Beispiel mit zwei Kontrasten:

1µ1 − 12µ2 − 1

2µ3 = 00µ1 − 1µ2 + 1µ3 = 0

(1× 0) + (−12 ×−1) + (−1

2 ×+1) = 0

Eine ANOVA Session mit R

> contr <- rbind(`control-sugar` = c(1, -1/4, -1/4,+ -1/4, -1/4), `pure-mixed` = c(0, 1/3, 1/3,+ -1, 1/3), `monosaccharides-disaccharides` = c(0,+ 1/2, 1/2, 0, -1), `gluc-fruc` = c(0, 1, -1,+ 0, 0))> ortho(contr)> contrasts(pea$trt) <- mancontr(contr)> model <- lm(length ~ trt, data = pea)> summary(model)

Kontraste: Tukey’s HSD

Student (WS Gosset) hat die Verteilung der t-Statistik entdecktfur zwei Stichproben welche sich nicht im Mittelwertunterscheiden. Wenn es nun k-Stichproben gibt dann gibt esk(k − 1)/2 paarweise Vergleiche mit einem zugehorigen t-Wert.Tukey hat die Verteilung der grossten dieser t-Statistikenbeschrieben. Damit kann man alle paarweisen Vergleiche testenund der Typ I Fehler wird nicht grosser als α. Man nennt dieMethode auch Tukey’s HSD (Honest Significant Difference).

> m0 <- aov(length ~ trt, data = pea)> (t0 <- TukeyHSD(m0))> par.old <- par(mar = c(4, 6, 2, 2))> plot(t0, las = 1)> par(par.old)

Lineare Modelle

Einweg ANOVA:

E[yij ] = µi= β0 + β1x1 + . . .+ βi−1xi−1

yij ∼ indep. N (µ+ αi−1, σ2)

mit i Kategorien, jede mit j Untersuchungseinheiten.

Lineare Modelle

Einweg ANOVA:

E[yij ] = µi= β0 + β1x1 + . . .+ βi−1xi−1

yij ∼ indep. N (µ+ αi−1, σ2)

mit i Kategorien, jede mit j Untersuchungseinheiten.

Regression:

E[yij ] = µ(xi ) = α + βxi = β0 + β1xiyij ∼ indep. N (α + βxi , σ

2)mit j gemessenen Untersuchungseinheiten an i Punkten auf der

kontinuierlichen x-Achse.

Lineare Modelle

Regression:


2)mit j gemessenen Untersuchungseinheiten an i Punkten auf der

kontinuierlichen x-Achse.

Regression

Es wurde der Gewichtsverlust von Tribolium confusum Larven nachsechs Tagen ohne Futter bei verschiedenen Luftfeuchtigkeitengemessen.

Regression

Es wurde der Gewichtsverlust von Tribolium confusum Larven nachsechs Tagen ohne Futter bei verschiedenen Luftfeuchtigkeitengemessen.

0 20 40 60 80 100

0

2

4

6

8

10

12

Relative Luftfeuchtigkeit

Gew

icht

sver

lust

, mg ●

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●

Regression


2)

> summary(lm(weight.loss ~ humidity, data = tribolium))

Call:lm(formula = weight.loss ~ humidity, data = tribolium)

Residuals:Min 1Q Median 3Q Max

-5.1830 -1.4155 0.4941 1.3464 5.3518

Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 8.202155 0.436580 18.787 < 2e-16 ***humidity -0.044845 0.007421 -6.043 4.7e-08 ***---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 2.028 on 79 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.3162, Adjusted R-squared: 0.3075F-statistic: 36.52 on 1 and 79 DF, p-value: 4.697e-08

Regression

Hypothesen Hat die erklarende Variable (X ) einen linearenZusammenhang mit der Zielgrosse (Y ). Dazu testenwir die Nullhypothese H0 : β = 0.

Vorhersage Ein Regressionsmodell erlaubt uns auch fur einegegebene erklarende Variable (X ) eine Vorhersagenfur die Zielgrosse (Y ) zu machen. DieWahrscheinlichkeitsverteilung fur die Vorhersagelautet N (α + βxi , σ

2).

R2 Schatzt wie stark der lineare Zusammenhangzwischen der erklarenden Variable (X ) und derZielgrosse (Y ) ist. Der Wert liegt immer zwischen 0und 1. Leider ist R2 sehr stark von der gewahltenSpannweite der erklarenden Variablen abhangig undkann somit nicht verwendet werden um Modelle vonverschiedenen Datensatzen zu vergleichen.

Voraussetzungen

Das Uberprufen der Voraussetzungen ist ein wesentlicherBestandteil einer Regressionsanalyse. Es geht einerseits darum dieVerletzungen aufzudecken und falsche Ruckschlusse zu vermeidenandererseits aber auch darum ein besseres Modell zu finden.

Residuen I Die Streuung der Residuen ist konstantI Erwartungswert der Residuen ist nullI Residuen sind normalverteilt* Residuen sind unabhangig voneinander

Hebelarm I Alle Messwerte haben denselben Einfluss

Streuung der Residuen

"fitted values"

"Sta

ndar

tisie

rte"

Res

idue

n

−2

−1

0

1

2

4 5 6 7 8

●

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●

I Der Erwartungswert der Residuen ist null

I Die Streuung der Residuen ist konstant

Verteilung der Residuen

Theoretische Quantile

Res

idue

n

−4

−2

0

2

4

−2 −1 0 1 2

●

●

●●

● ●●●

●●●

●●●●●●

●●●●●●●

●●●●●●

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● ● ● ●

●

●

I Residuen sind normalverteilt

Ausreisser

Es gibt zwei Arten von Ausreissern

Y – Ausreisser Messwerte welche weit entfernt vomErwartungswert liegen (grosse Residuen) aber einenkleinen Hebelarm haben.

X – Ausreisser Messwerte welche einen sehr grossen Hebelarm(“leverage”) haben. Der Hebelarm gibt an was fur einPotenzial die einzelnen Werte haben das Modell zubeeinflussen. Im Gegensatz zu Werten mit grossenResiduen mussen Werte mit grossem Hebelarm nichtzwingend problematisch sein.

Ausreisser: Potenzial-Residuen

Der Potenzial-Residuen-Plot zeigt welche Rolle einzelne Punkte im“fitting” Prozess spielen.

Potenzial

Res

idue

n

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●

I Alle Messwerte haben denselben Einfluss

Ausreisser: Potenzial-Residuen-Diagramm

Interpretation des Potenzial-Residuen-Diagramm (nur als grobeFaustregel):

I Gibt es Punkte mit grossem Potenzial und grossen Residuen(Quadrant oben links) ist alles in Ordnung.

I Gibt es Punkte mit grossem Potenzial und kleinen Residuenlohnt es diese genauer zu untersuchen, sie konnten (!) dasModell stark verzerren.

I Gibt es Punkte mit grossen Residuen aber kleinem Potenzial,dann stimmt das Modell fur diese Punkte nicht. Das kann amModell liegen oder an den Punkten

Graphical Excellence

Graphical excellence is that which gi-ves to the viewer the greatest num-ber of ideas in the shortest time withthe least ink in the smallest space.

Edward R Tufte

Menschliche Wahrnehmung von graphischen Elementen

Rang Aspekt

1 Position entlang einer gemeinsamen Achse2 Position auf identischen aber nicht ausgerichteten Achsen3 Lange4 Winkel5 Steigung6 Flache7 Volumen8 Farbsattigung (schlecht sortierbar, gut diskriminierbar)

Cleveland 1985, Graphical Perception and Graphical Methods for Analyzing Scientific Data, Science, 229,828-833.

Einige Ideen

I Zeigen Sie die Messwerte (e.g. rug()), falls diese zu zahlreichsind kann man auch eine zufallige Auswahl zeigen.

I Lassen Sie den Betrachter uber den Inhalt nachdenken stattuber die Methoden.

I Zeigen Sie was im Zentrum der Untersuchung steht. ZeigenSie z.B. die Differenz zwischen zwei Behandlungen mit einemVertrauensintervall statt die Mittelwerte der einzelnenGruppen.

I Ob der Nullpunkt auf der Achse abgebildet sein soll oder nichtmuss sorgfaltig uberdacht werden.

Mittelwert-Differenz Abbildung

70 75 80 85

●

●

Weibchen

Männchen

0 5 10 15

●Differenz

Körpergrösse von Stichlingen im Bodensee

FehlerbalkenFehlerbalken (“error bars”) konnen Verschiedenes zeigen:

I Standardabweichung der Daten

I Standardabweichung einer Statistik (Standardfehler)

I Vertrauensintervall

d

c

b

a

90 100 110

●

●

●

●

●

●

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dcba

90 100 110

●

●

●

●

data

set

Alle vier Datensets haben gleich viele Beobachtungen, denselbenMittelwert und dieselbe Standardabweichung.

Theoriefragen zu den bisherigen Inhalten

I Was ist der Vorteil der geschatzten empirischen Dichtegegenuber einem Histogramm?

I Erklaren Sie den Begriff Vertrauensintervall.

I Was bedeutet der Begriff “Power” genau?

I Was fur Angaben braucht es um das Resultat einesstatistischen Tests zu interpretieren?Ein Beispiel: Sie haben getestet ob sich die Korpergrosse beiStichlingen hinsichtlich der Herkunft unterscheidet und dazuje 100 Stichlinge aus zwei Zuflussen gemessen. DerUnterschied in der Lage ist sehr stark signifikant. WelcheAngaben fehlen noch?

I Sie mochten zeigen, dass die Stichlinge aus dem Obersee unddem Untersee gleich gross sind. Wie gehen Sie vor?

I Welchen Test verwenden Sie fur das Testen ob sich zweiStichproben hinsichtlich der Lage unterscheiden?


I Wie gross darf der P-Wert hochstens sein, damit ein Resultatrelevant ist?

I Was bedeutet beim statistischen Testen ein Typ I und IIFehler?


I Was sind die drei wichtigsten Charakteristika kontinuierlicherVariablen?

I Wenn man die Wahrscheinlichkeitsdichte einer kontinuierlichenVariablen aufzeichnet, welche Grosse tragt man auf dery-Achse auf und wie interpretiert man diese Grosse?

I Beschreiben Sie was “Standardfehler” bedeutet.

I Welche beiden Voraussetzungen mussen erfullt sein fur einConfounding?

I Was ist der Unterschied zwischen einer Beobachtungsstudieund einer experimentellen Studie?

Multivariate Statistik

Multivariate Statistik

Werden an einer Untersuchungseinheit mehrere Variablengemessen, dann erhalt man multivariate Daten.

Korrelation vs. Regression

Sowohl die Korrelation als auch die Regression untersuchen denZusammenhang zwischen zwei Variablen. Trotzdem unterscheidensie sich fundamental:

Korrelation untersucht den Zusammenhang zwischen zwei“gleichberechtigten” Variablen (rY 1,Y 2 = rY 2,Y 1) undist ein rein beschreibendes Mass.

Regression untersucht den Einfluss von einer oder mehreren“erklarenden” Variablen, Xi , auf eine “Zielvariable”, Y .Die Regressionsgerade von X auf Y ist in der Regeleine andere als von Y auf X . Eine Regression erlaubtnicht nur eine Beschreibung des Zusammenhangs,sondern auch eine Vorhersage fur y −Werte wennman die entsprechenden x −Werte kennt.

Pearson Korrelation

Die Pearson Korrelation,

rY 1,Y 2 =1

(n − 1)sy1sy2

n∑i=1

y1iy2i =sy1y2

sy1sy2, (1)

wobei sy1, sy2 die Standardabweichung von y1 und y2 ist und sy1y2

die Kovarianz zwischen y1 und y2.Die Pearson Korrelation liegt zwischen -1 und 1.Die Pearson Korrelation misst “nur” den linearen Zusammenhang.Achtung, auch ein sehr starker nicht linearer Zusammenhang kanneine Pearson Korrelation rY 1,Y 2 = 0 haben!Die Pearson Korrelation ist ganz und gar nicht robust und manmuss immer ein Auge darauf haben, ob es Werte gibt welche dieKorrelation stark beeinflussen (Scatterplot!).

Pearson Korrelation

> library(MASS)> y1y2 <- mvrnorm(100, mu = c(0, 0), Sigma = matrix(c(1,+ 0.5, 0.5, 1), nrow = 2))> cor(x = y1y2, method = "pearson")

[,1] [,2][1,] 1.000000 0.531472[2,] 0.531472 1.000000

Spearman Rangkorrelation

Die Spearman Rangkorrelation,

rY 1,Y 2 =sRangY 1,RangY 2

sRangY 1sRangY 2

, (2)

misst im Gegensatz zur Pearson Korrelation nicht wie stark ein“linearer”, sondern ein “monotoner” Zusammenhang zwischen denVariablen Y 1 und Y 2 ist. Ein weiterer Vorteil der SpearmanRangkorrelation ist auch, dass er ausserst robust ist.

> cor(x = y1y2, method = "spearman")

[,1] [,2][1,] 1.0000000 0.5246205[2,] 0.5246205 1.0000000

Interpretation einer Korrelation

Allgemein ist es schwierig Korrelationen zu interpretieren. Wichtigzu beachten ist, dass ein gefundener Zusammenhang noch beiweitem kein kausaler, ursachlicher Zusammenhang sein muss, auchwenn der Zusammenhang sehr stark ist (siehe auch Design undBias).Eine Korrelation ist ein Schatzer fur einen Parameter - dazubraucht es eine Population. Die Uberlegung wie diese Populationdefiniert werden kann ist oft hilfreich bei der Interpretation.Wozu verwendet man Regressionen

I Studium der Zusammenhange (um die Variation derZielvariable erklaren zu konnen)

I Vorhersage (um die Zielvariable moglichst genau vorhersagenzu konnen)

I Statistische Kontrolle (um die Zielvariable moglichst genaueinstellen zu konnen)

Multiple lineare Regression

Untersucht den Zusammenhang zwischen einer Zielgrosse undmehreren erklarenden Variablen.

E[yijk ] = µ(xi ) = β0 + β1x1i + β2x2j

yijk ∼ indep. N (β0 + β1x1i + β2x2j , σ2)

Tribolium Beispiel

ANCOVA

Untersucht den Zusammenhang zwischen einer Zielgrosse undmindestens einer kontinuierlichen und einer kategoriellenerklarenden Variable.

E[yijk ] = β0 + β1j + β2xiyijk ∼ indep. N (β0 + β1j + β2xi , σ

2)

ANCOVA mit Interaktion

Wenn der Einfluss einer erklarenden Variable von einer weiterenVariable abhangt, spricht von von einer Interaktion dieser beidenVariablen.Fur eine ANCOVA wurde das folgendermassen aussehen:

E[yijk ] = β0 + β1j + β2xi + β3xi jyijk ∼ indep. N (β0 + β1j + β2xi + β3xi j , σ

2)

Eine Ubung:

Fitten Sie eine Regression um mit den Variablen “Grosse” und“Geschlecht” das “Gewicht” zu erklaren.

Grosse Geschlecht Gewicht

150 weiblich 50165 mannlich 55180 mannlich 65

Eine Ubung:

Fitten Sie eine Regression um mit den Variablen “Grosse” und“Geschlecht” das “Gewicht” zu erklaren.

Grosse Geschlecht Gewicht

150 weiblich 50165 mannlich 55180 mannlich 65170 weiblich 70

Zweiweg-ANOVA

E[yijk ] = β0 + β1i + β2j

yijk ∼ indep. N (β0 + β1i + β2j , σ2)

mit 1, . . . , i Kategorien im ersten Faktor und 1, . . . , j Kategorienim zweiten Faktor, jeweils mit 1, . . . , k Untersuchungseinheit.

Zweiweg-ANOVA mit Interaktion

E[yijk ] = β0 + β1i + β2j + β3ij

yijk ∼ indep. N (β0 + β1i + β2j + β3ij , σ2)

Mit diesem Modell kann der Einfluss vom ersten Faktor auf denOutcome abhangig vom zweiten Faktor modelliert werden.

Interaktions-Plot

4050

6070

8090

Allel A

Ert

rag

a A

Allel G

Gg

Datentransformation

Warum transformieren wir?

I Damit wir die geschatzten Werte besser interpretieren konnen(Einheiten, Zentrieren, Skalieren).

I Damit ein Zusammenhang linear wird(und wir ihn mit den bekannten Methoden modellierenkonnen).

I Damit die Residuen “normalverteilt” und die Variationkonstant wird(und daher die Annahmen unserer Methoden nicht verletztwerden).

Exkurs: Allometrie

Beziehung zwischen der Grosse und der Form, Anatomie,Physiologie und auch des Verhaltens eines Organismus.Die klassische Formel

y = axb,

wird in der logarithmischen Form zu

log y = log a + b log x .

In dieser Form konnen wir u.a. durch Anpassen eines linearenModells die Parameter schatzen. Wenn eine Skalierung isometrischist erhalten wir eine Steigung von b = 1. Was fur eine Steigungerwarten wir bei einer isometrischen Skalierung, wenn y eineLangenangabe ist und x ein Volumen (oder Gewicht) darstellt?

Exkurs: Allometrie

Beziehung zwischen der Grosse und der Form, Anatomie,Physiologie und auch des Verhaltens eines Organismus.Die klassische Formel

y = axb,

wird in der logarithmischen Form zu

log y = log a + b log x .

In dieser Form konnen wir u.a. durch Anpassen eines linearenModells die Parameter schatzen. Wenn eine Skalierung isometrischist erhalten wir eine Steigung von b = 1. Was fur eine Steigungerwarten wir bei einer isometrischen Skalierung, wenn y eineLangenangabe ist und x ein Volumen (oder Gewicht) darstellt?Durch Umformen ergibt sich log l = ...+ b log l3 = ...+ 3b log lund daher eine Steigung von 3.

Linearitat erreichen

y = axb,

wird zu log y = log a + b log x .

x

y

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4

b > 1

b = 1

0 < 0 < 1

x

y

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4

−1 < b < 0 b = −1

b < −1

Linearitat erreichen

y = aebx ,

wird durch logarithmieren log y = log a + bx .

x

y

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4

b > 0

x

y

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 1 2 3 4

b < 0

Datentransformation: Logarithmieren

"untransformiert"

gemessene Werte

Dic

hte

0 2 4 6 8 100.

00.

20.

40.

6

Datentransformation: Logarithmieren

"untransformiert"

gemessene Werte

Dic

hte

0 2 4 6 8 100.

00.

20.

40.

6

"log−transformiert"

log(gemessene Werte)

Dic

hte

−2 −1 0 1 2

0.0

0.2

0.4

0.6

Datentransformation: Faustregeln

log(x) x > 1log(x + 1) x ≥ 0log(10000x + 1) 1 > x ≥ 0

√x fur Zahldaten (Poisson)√x + 1

2 falls mit Null

arcsin√

x 0 < x < 1, Prozente und Proportionen12 ln 1+x

1−x −1 < x < 1, Regressionskoeffizienten

Potenztransformationen:xn linksschief√

x schwach rechtsschiefln(x) . . .1/√

x . . .1/x . . .1/xn starkt rechtsschief

Mosteller und Tukey’s bulging rule (Wolbungsregel)

X

Y

X

Y

Voraussetzungen


2)

I Die Streuung der Residuen ist konstant

I Erwartungswert der Residuen ist null

I Residuen sind normalverteilt

I Alle Messwerte haben denselben Einfluss/Hebelarm.

I Residuen sind unabhangig voneinander

Nicht unabhangige Residuen

GruppeA

Kör

perg

ewic

ht (

in k

g)

80

90

100

110

120

●

●

●

●

80

90

110

120


> summary(lm(y ~ 1))$coefficients

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 100 9.128709 10.95445 0.001628625


GruppeA

Kör

perg

ewic

ht (

in k

g)

80

90

100

110

120

●

●

●

●

●

●

●

●

80

90

110

120

79

92

107

122


> summary(lm(y2 ~ 1))$coefficients

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 100 6.032649 16.57647 7.101236e-07


> library(geepack)> summary(geeglm(y2 ~ 1, id = id, data = repData))$coefficients

Estimate Std.err Wald Pr(>|W|)(Intercept) 100 7.962804 157.7132 0

Was fuhrt zu nicht unabhangigen Residuen?

Information in den Daten welche nicht im Modell berucksichtigtwird.

I Zeitliche Abhangigkeiten, z.B. Saisonalitat

I Raumliche Abhangigkeiten

I Genetische Abhangigkeiten

I . . .

Was sind die Folgen von nicht unabhangigen Residuen?

Die Varianz welche geschatzt wird und sich u.a. auf dieStandardfehler der Schatzer und die Signifikanztests ubertragt istfalsch.

Was gibt es fur Losungen

Es muss eine andere Form der Modellierung verwendet werdenwelche es erlaubt die Struktur der Daten richtig zu berucksichtigen.

I Mixed Effects Modelle

I Generalized Estimating Equations (GEE)

I . . .

Ein Beispiel

Sie nehmen auf zwei Feldern (“Field”) jeweils drei Bodenproben(beschriftet mit “MeasurementID”) und bestimmen denStickstoffgehalt. Nun mochten Sie diese Daten analysieren.

> library(geepack)> m.gee <- geeglm(Soilnitrogen ~ Field, id = MeasurementID,+ data = na.omit(nitrogen))

Analyse von kategoriellen Daten

I Was fur Arten von Variabeln kennen Sie?

I Welche Arten von kategoriellen Daten kennen Sie?

Die wichtigsten Verteilungen von kategoriellen Daten

I Binomial Verteilung

I Multinominal Verteilung

I Poisson Verteilung

Binomial Verteilung

Wir gehen davon aus, dass es n unabhangige undidentische Ziehungen y1, y2, ..., yn gibt.

Jede Ziehung ist entweder yi = 0 oder 1 (Misserfolg/ Erfolg, FALSE / TRUE, “kein Event” / “Event”).

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Ziehung ein Erfolgist, bezeichnen wir als π.

Die Summer der Ziehungen folgt einer BinomialVerteilung.

Mittelwert nπ

Varianz nπ(1− π)

Identisch bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgesbei allen Ziehungen dieselbe ist.

Unabhangig bedeutet, dass die Ziehung nicht von anderenZiehungen abhangt.

Multinominale Verteilung

Wie die binomial Verteilung aber jede unabhangige und identischeZiehung fallt in eine von c Kategorien.

Poisson Verteilung

Wenn die Anzahl der Ziehungen nicht festgelegt ist wie bei derbinominal Verteilung, dann folgt die Anzahl der Erfolge einerPoisson Verteilung. Beispiel: Anzahl der totlichen Verkehrsunfallein Italien an einem Tag.Eine Besonderheit der Poisson Verteilung ist, dass die Varianz demMittelwert entspricht. Wenn der Mittelwert gross ist, dann nahertsich die Verteilung einer Normalverteilung.Mittelwert = Varianz = µ

●

●

● ●

●

●

●

●

●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

5 10 15 20

0.00

0.10

0.20

Häu

figke

it

● ● ●●

●

●

●

●● ●

●

●

●

●

●●

● ● ● ●

Overdispersal

Haufig beobachtet man Zahldaten deren Streuung grosser ist alsman aufgrund der Binomial oder Poisson Verteilung erwartenwurde. Dieses “Phanomen” nennt man Overdispersal. Es kommtdaher, dass die einzelnen Ziehungen nicht “identisch” sind, d.h. ausunterschiedlichen Population mit unterschiedlichenErwartungswerten kommen. Streng genommen handelt es sichdann gar nicht um eine Zufallsvariable, sondern um eine Mischungaus Zufallsvariablen.

Kreuztabellen, “contingency tables”

WuchsformFamilie Kraut Busch Baum

Fabaceae 218 56 6 280Rosaceae 76 76 28 180

294 132 34 460

I Beides (Familie und Wuchsform) sind Zielvariablen(“response”, “outcome”) und nicht erklarende Variablen.

I Gibt es einen Zusammenhang zwischen Wuchsform undFamilie?

I Der χ2-Test oder der Fisher-Exakt-Test (nur fur 2 x 2Tabellen) testen dieNullhypothese: Es gibt keinen Zusammenhang.

I Viel wichtiger als der Test ist allerdings die Starke desZusammenhangs.

Testen des Zusammenhangs

Pearson's Chi-squared test

data: table(plants$family, plants$type)X-squared = 67.2916, df = 2, p-value = 2.442e-15

I Was sagt uns dieser Test?

I Was sagt uns dieser Test nicht?



Fabaceae 218 56 6 280Rosaceae 76 76 28 180

294 132 34 460

I Wir erwarten Fabaceae und Rosaceae mit einer Proportionvon 0.61 und 0.39.

I Wir erwarten die Wuchsform Kraut, Busch oder Baum miteiner Proportion von 0.64, 0.29, 0.07.

I Daraus konnen wir die Proportion fur die einzelnen Zellenberechnen (“Erwartungswerte”).

I Um den Ursprung des Testresultates zu untersuchenberechnen wir die “Erwartungswerte” fur die einzelnen Zellenund vergleichen diese mit den Beobachtungen; “Nomenklatur”Erwartungswert (Beobachtete Werte) [Residuen].

I Um die Starke des Zusammenhangs zu beschreiben zerlegenwir die Tabelle in Teile.



Fabaceae 0.39 0.17 0.04

Rosaceae 0.25 0.11 0.03





Fabaceae 0.39 0.17 0.04(0.47) (0.12) (0.01)

Rosaceae 0.25 0.11 0.03(0.17) (0.17) (0.06)





Fabaceae 0.39 0.17 0.04(0.47) (0.12) (0.01)[2.92] [-2.72] [-3.23]

Rosaceae 0.25 0.11 0.03(0.17) (0.17) (0.06)[-3.64] [3.39] [4.03]



Beschreibung von Zusammenhangen kategorieller Variablen

Daten aus einem Pestizidexperimet mit Helothis virescens, einemEulenfalter dessen Larven auf Tabakpflanzen leben.

UberlebenGeschlecht tot lebend

mannlich 4 16 20weiblich 2 18 20

6 34 40

I Differenz zwischen zwei Proportionen, π1 − π2

I Relative Risk, π1/π2

I Odds Ratio

Differenz zwischen zwei Proportionen, π1 − π2

Wird auch als “absolute risk difference” bezeichnet.Wickler Beispiel: pmale − pfemale = 4/20− 2/20 = 1/10

> prop.test(x = c(4, 2), n = c(20, 20))

2-sample test for equality of proportions withcontinuity correction

data: c(4, 2) out of c(20, 20)X-squared = 0.1961, df = 1, p-value = 0.6579alternative hypothesis: two.sided95 percent confidence interval:-0.1691306 0.3691306sample estimates:prop 1 prop 2

0.2 0.1

I Wertebereich: −1, . . . , 1

Relative Risk, π1/π2

Es ist moglich, dass der Unterschied zwischen zwei Differenzenanders zu interpretieren ist, wenn beide π klein oder gross sind, alswenn beide nahe bei 0.5 sind.Wickler Beispiel: pmale/pfemale = (4/20)/(2/20) = 2Das 95% Vertrauensintervall dazu liegt bei [0.43; 7.47].

I Wertebereich: 0, . . . ,∞

Odds Ratio

Fur ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit π sind die Oddsdefiniert als π/(1− π), wie beim Wetten. Im Beispiel sind also dieOdds fur die Mannchen (4/20)/(16/20) = 0.25. Das bedeutet,dass es fur ein Mannchen vier mal weniger wahrscheinlich ist zusterben, als zu uberleben. Das Verhaltnis

θ =π1/(1− π1)

π2/(1− π2)

nennt man “odds ratio”.Es betragt in unserem Beispiel((4/20)/(16/20))/((2/20)/(18/20)) = 2.25

I Das Odds Ratio andert nicht, wenn wir Zeilen und Spaltenvertauschen, d.h. wir mussen uns nicht auf eine Zielvariablefestlegen.

I Wertebereich: 0, . . . ,∞

Struktur von glm’s (generalized linear model)

E[yij ] = β0 + β1x1 + β2x2 + . . .+ βnxnyij ∼ indep. N (β0 + β1x1 + β2x2 + . . .+ βnxn, σ

2)

I Diese Form kennen wir von Regressionen und in fastidentischer Form kennen wir die Form auch von ANOVAs undANCOVAs.

I Das Anwendungsspektrum lasst sich jedoch stark erweitern,wenn man zusatzliche Flexibilitat einfuhrt.

- andere Verteilungen- eine Funktion welche den Zusammenhang zwischen dem

“linearen predictor” und dem Erwartungswert E[yij ] beschreibt.

E[yi ] = h(ηi )

Die Funktion h bezeichnen wir als “response function”. Haufigwird jedoch die Umkehrfunktion h−1 = g beschrieben, welcheals “link function” oder einfach als “link” bezeichnet wird.

Struktur von glm’s (generalized linear model)

Fur eine “gewohnliche” Regression wurde also die Beschreibunglauten:

ηi = β0 + β1x1 + β2x2 + . . .+ βnxn “linear predictor”E[yi ] = h(ηi ) = ηi “response function”

yi ∼ indep. N (ηi , σ2) “Verteilungsannahme”

Logistische Regression

Ein glm welches sehr haufig verwendet wird ist die logistischeRegression.

ηi = β0 + β1x1 + β2x2 + . . .+ βnxnE[yi ] = πi = h(ηi ) = eη

1+eη

yi ∼ indep. B(πi )

I Fur den “linar predictor”ηi gilt das selbe wie bei einerRegression bzw. ANOVA.

I Als “link function” wahlen wir die sogennante “logit” Funktion,h−1(x) = g(x) = log( x

1−x ) (Der Name “logit” stammt von logwie Logarithmus und Odds).

I Als Verteilung wahlt man eine Bernoulli Verteilung, B(πi ), miteinem Parameter, der Wahrscheinlichkeit π des Ereignisses.

Logistische Regression, Interpretation der Koeffizienten

Wir betrachten einige Umformungen:log πi

1−πi = α + βxiπi

1−πi = eα+βxi

= eαeβxi

Wenn wir nun x um eins erhohen, d.h. x ersetzten durch x + 1,πi

1−πi = eαeβ(xi+1)

= eαeβxi eβ

Daraus sehen wir, dass sich die Odds um den Faktor eβ verandern,wenn wir von x nach x + 1 gehen.

Logistische Regression mit kategoriellen Pradiktoren

UberlebenGeschlecht tot lebend

mannlich 4 16 20weiblich 2 18 20

6 34 40

Odds furs Sterben der Mannchen: om = 4/20(1−4/20) = 0.25.

Odds furs Sterben der Weibchen: of = 2/20(1−2/20) = 0.111.

Odds Ratio: OR = omof

= 2.25

Daraus ergibt sich z.B. of OR = om

> y <- cbind(dead = c(2, 4), alive = c(18, 16))> sex <- factor(c("female", "male"))> glm1 <- glm(y ~ sex, family = "binomial")> summary(glm1)$coefficients

Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)(Intercept) -2.1972246 0.745356 -2.9478861 0.003199549sexmale 0.8109302 0.931695 0.8703816 0.384091875

I eα = e−2.2 = 0.11 schatzt uns die Odds fur die Weibchen miteinem Standardfehler.

I e β = e0.81 = 2.25 schatzt uns das Oddsratio, d.h. den Faktormit welchem wir die Odds der Weibchen multiplizieren mussenum die Odds der Mannchen zu erhalten. Auch das Oddsratiowird mit einem Standardfehler geschatzt.

Logistische Regression mit kontinuierlichen Pradiktoren

Im selben Versuch mit Heliothis virescens wurden 6 verschiedeneDosen des selben Wirkstoffes untersucht.

Dosis1 2 4 8 16 32

Geschlecht mannlich 1 4 9 13 18 20weiblich 0 2 6 10 12 16

Wir fokusieren uns zuerst mal nur auf die Mannchen.


Eine mogliche Forschungsfrage konnte lauten:Nimmt die Sterblichkeit mit zunehmender Dosis signifikant zu?


Eine mogliche Forschungsfrage konnte lauten:Nimmt die Sterblichkeit mit zunehmender Dosis signifikant zu?Da wir erwarten, dass sich das Oddsratio jeweils gleich verandert,wenn wir die Dosis verdoppeln, werden wir den Logarithmus derDosis (mit der Basis 2) als Pradiktor verwenden.

> library(asuR)> data(budworm)> glm2 <- glm(cbind(num.dead, num.alive) ~ log2(dose),+ data = budworm[budworm$sex == "male", ], family = "binomial")> summary(glm2)$coefficients

Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)(Intercept) -2.818555 0.5479868 -5.143472 2.697066e-07log2(dose) 1.258949 0.2120655 5.936607 2.909816e-09

> summary(glm2)$coefficients


1 2 4 8 16 32

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Dosis

Wah

rsch

einl

ichk

eit z

u S

terb

en

1916 11 7 2 0

1 4 9 13 18 20

●

●

●

●

●

●

0.05

0.25

0.82

1.86

9

Inf

I eβ = e1.26 = 3.52 gibt an um welchen Faktor die Oddszunehmen wenn wir die Dosis um den Faktor 2 erhohen.

I −α/β gibt uns die Dosis an wo die Halfte der Tiere sterben.

> summary(glm2)$coefficients


1 2 4 8 16 32

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Dosis

Wah

rsch

einl

ichk

eit z

u S

terb

en

1916 11 7 2 0

1 4 9 13 18 20

●

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●

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0.05

0.25

0.82

1.86

9

Inf

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I eβ = e1.26 = 3.52 gibt an um welchen Faktor die Oddszunehmen wenn wir die Dosis um den Faktor 2 erhohen.

I −α/β gibt uns die Dosis an wo die Halfte der Tiere sterben.

Multivariate logistische Regression

Selbstverstandlich wurde es uns jetzt interessieren mit demDatensatz ein multivariates Modell zu rechnen. Damit konnten wirdie Sterblichkeit mit zwei Pradiktoren Dosis und Geschlechtgleichzeitig erklaren. Dadurch lasst sich u.a. die Frage beantwortenob die Sterblichkeit unterschiedlich ist zwischen den Geschlechtern.


> glm3 <- glm(cbind(num.dead, num.alive) ~ log2(dose) ++ sex, data = budworm, family = "binomial")> summary(glm3)$coefficients

Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)(Intercept) -3.473155 0.4685202 -7.413032 1.234445e-13log2(dose) 1.064214 0.1310775 8.118971 4.701542e-16sexmale 1.100743 0.3558271 3.093478 1.978249e-03

Multivariate logistische Regression> glm3 <- glm(cbind(num.dead, num.alive) ~ log2(dose) ++ sex, data = budworm, family = "binomial")> summary(glm3)$coefficients

Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)(Intercept) -3.473155 0.4685202 -7.413032 1.234445e-13log2(dose) 1.064214 0.1310775 8.118971 4.701542e-16sexmale 1.100743 0.3558271 3.093478 1.978249e-03

1 2 4 8 16 32

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Dosis

Wah

rsch

einl

ichk

eit z

u S

terb

en

1916 11 7 2 0

1 4 9 13 18 20

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2018 14 10 8 4

0 2 6 10 12 16

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femalemale

... mit Interaktion

Ganz analog zu einer ANCOVA konnen wir auch hier untersuchen,ob die Zusahme der Sterbilichkeit mit steigender Dosis bei beidenGeschlechtern gleich stark ist. Dazu fitten wir ein Modell mit einemInteraktionsterm und testen ob dieser statistisch signifikant ist.


> glm4 <- glm(cbind(num.dead, num.alive) ~ log2(dose) *+ sex, data = budworm, family = "binomial")> round(summary(glm4)$coefficients, 3)

Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)(Intercept) -2.994 0.553 -5.416 0.000log2(dose) 0.906 0.167 5.422 0.000sexmale 0.175 0.778 0.225 0.822log2(dose):sexmale 0.353 0.270 1.307 0.191


> glm5 <- glm(cbind(num.dead, num.alive) ~ I(log2(dose) -+ 3) * sex, data = budworm, family = "binomial")> round(summary(glm5)$coefficients, 3)

Estimate Std. Error z value(Intercept) -0.275 0.231 -1.195I(log2(dose) - 3) 0.906 0.167 5.422sexmale 1.234 0.377 3.273I(log2(dose) - 3):sexmale 0.353 0.270 1.307

Pr(>|z|)(Intercept) 0.232I(log2(dose) - 3) 0.000sexmale 0.001I(log2(dose) - 3):sexmale 0.191


> glm6 <- glm(cbind(num.dead, num.alive) ~ I(log2(dose) -+ 3) + sex, data = budworm, family = "binomial")> round(summary(glm6)$coefficients, 3)

Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)(Intercept) -0.281 0.243 -1.154 0.249I(log2(dose) - 3) 1.064 0.131 8.119 0.000sexmale 1.101 0.356 3.093 0.002

Overdispersion

Wenn wir eine logistische Regression rechnen ist der sog.“dispersion parameter” immer auf eins gesetzt. Das ist fast einbisschen so wie wenn wir in einer gewohnlichen Regression denStandardfehler, σ, auf eins setzten wurden.Um zu uberprufen, ob die beobachtete Variation grosser ist, als wirunter idealen Bedingungen einer logistischen Regression annahmen,konnen wir den “dispersion parameter” schatzten.Dazu fitten wir ein quasibinomiales GLM.

I Wir sehen wie der “dispersion parameter” geschatzt wird.

I Wir sehen ob das Berucksichtigen des “dispersion parameters”unsere Resultate qualitativ verandert.

Overdispersion> glm6.quasi <- glm(cbind(num.dead, num.alive) ~+ I(log2(dose) - 3) + sex, data = budworm, family = "quasibinomial")> summary(glm6.quasi)

Call:glm(formula = cbind(num.dead, num.alive) ~ I(log2(dose) - 3) +

sex, family = "quasibinomial", data = budworm)

Deviance Residuals:Min 1Q Median 3Q Max

-1.10540 -0.65343 -0.02225 0.48471 1.42944

Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) -0.2805 0.1867 -1.503 0.16714I(log2(dose) - 3) 1.0642 0.1006 10.574 2.24e-06 ***sexmale 1.1007 0.2732 4.029 0.00298 **---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for quasibinomial family taken to be 0.5895578)

Null deviance: 124.8756 on 11 degrees of freedomResidual deviance: 6.7571 on 9 degrees of freedomAIC: NA

Number of Fisher Scoring iterations: 4

GLM FamilienVerteilung mogliche Link-Funktiongaussian identity

log

inverse

binomial logit (logistisch)probit (normal)cauchit

log

cloglog complementary log-logGamma inverse

identity

log

poisson log

identity

sqrt

inverse.gaussian 1/mu^2

inverse

identity

log

Hinweis: Modelle mit dem selben linearen Pradiktoren, η, aber miteiner unterschiedlichen Link-Funktion, g , konnen nur informellverglichen aber nicht “getestet” werden.

Mixed Effects Models

Eine Unterscheidung welche nur auf kategorielle Pradiktorenzutrifft.

“Fixed Effects” Wenn es eine endliche Zahl an Kategorien (“levels”)gibt denen wir einen Effekt zuordnen und wir an denEffekten der einzelnen Kategorien interessiert sind.Das Interesse liegt beim Schatzen der Mittelwerte.

“Random Effects” Wenn es unendlich viele Kategorien gibt abernur ein zufalliger Teil davon in unserer Stichprobegelandet ist und wir nicht an den Effekten dereinzelnen Kategorien interessiert sind. Das Interesseliegt beim Schatzen der Varianz.

Oft ist es direkt aus der Fragestellung moglich zu unterscheiden obein “Random Effect” oder ein “Fixed Effect” vorliegt.

Mixed Effects Models: Ein Beispiel

Sie mochten wissen, ob Knaben (5. Schuljahr) bessere Schulnotenim Fach Mathe haben als Madchen.Dazu haben Sie die Schulnoten eines ganzen Bezirkes erhalten undwissen zu jedem Schuler das Geschlecht, die Bezeichnung derSchule und die Bezeichnung der Klasse.

Schulnote, y Response

Geschlecht, β Fixed Effect

Schule, s Random Effect

Klasse, c Random Effect (genested in Schule)

Mixed Effects Models: Ein Beispiel

Sie mochten wissen, ob Knaben (5. Schuljahr) bessere Schulnotenim Fach Mathe haben als Madchen.Dazu haben Sie die Schulnoten eines ganzen Bezirkes erhalten undwissen zu jedem Schuler das Geschlecht, die Bezeichnung derSchule und die Bezeichnung der Klasse.

Schulnote, y Response

Geschlecht, β Fixed Effect

Schule, s Random Effect

Klasse, c Random Effect (genested in Schule)

E[ytijk | si , cij ] = µ+ βt + si + cijytijk | si , cij ∼ indep. N (µ+ βt + si + cij ; σ2

s + σ2c + σ2)

Bootstrapping

Bootstrapping

x =1

n

n∑i=1

xi

Bootstrapping

µx =

1

n

n∑i=1

xi

Bootstrapping

I Name: “bootstrap” (Stiefelschlaufe), nach dem englischenSpruch “pull oneself over a fence by one’s bootstraps”.

I Eine Resamplingmethode zum bestimmen der Genauigkeiteines Schatzers.

I Eine sehr einfache Methode die oft auch gut funktioniert.Leider gibt es keine Garantie dafur!

Bootstrapping

I Es gibt viele verschiedene Arten wie wiederholt eine Stichprobegezogen werden kann. Ich mochte kurz auf das parametrischeund das nicht-parametrische Bootstrapping eingehen.

I Das wiederholte Ziehen (“resampling”) fuhrt immer dazu, dassman neben dem Schatzer, t, fur den Parameter, θ, sehr vieleweiter Bootstrap-Schatzer, t∗ generiert. Die Anzahl derZiehungen bezeichnet man meist als R.

I Aus diesen kann dann ein Vertrauensintervall berechnetwerden. Dazu gibt es verschiedene Moglichkeiten. Das sog.“basic” Vertrauensintervall lautet

2t − t∗((R+1)(1−α/2)), 2t − t∗((R+1)(α/2)).

Parametrisches Bootstrapping

I Aus der Stichprobe wird der Mittelwert x und die Varianz σ2

der Population geschatzt.

I Mit diesen Angaben wird die Verteilung beschrieben N (x , σ2)aus der dann wiederholt gezogen wird.

Das Parametrische Bootstrapping liefert oft bessere Resultate alsandere Verfahren.

Nichtparametrisches Bootstrapping

I Das wiederholte Ziehen erfolgt direkt aus der Stichprobe.


I Was misst die Pearson bzw. die Spearman Korrelation?

I Wann verwendet man eine Korrelation, wann eine Regression?

I Durfen die Messungen von verschiedenen Individuen in einerRegression korreliert sein? Begrunden Sie?

I Warum transformieren wir Daten?


I Was bedeutet Overdispersal?

I Wieso tritt bei der gewohnlichen Regression nicht auchOverdispersal auf?

I Was untersucht der χ2-Test oder der Fisher-Exakt-Test?

I Welches sind die drei haufigsten Arten wie man denZusammenhang zwischen Proportionen beschreibt?

I Was ist ein Odds Ratio?


I Nennen Sie die drei Aspekte die man verwenden kann um einGLM zu charakterisieren.

I Wie lautet die Linkfunktion einer logistischen Regression?

I Wie gross ist der “dispersion parameter” in einem GLM?

Affiliation and copyright

Vielen Dank an Dr. Thomas Zumbrunn und Dr. Stefanie von Feltenvon denen ich mehrere Ideen und Beispiele ubernommen habe.© Thomas Fabbro 2012

This work is licensed under the Creative CommonsAttribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Switzerland Licence.

To view a copy of this licence, visithttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/ch/

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Einf uhrung in die Statistik -...

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