Zsitachr. f. mah. Logik und Grundlagen d. Math. Bd. 24, S. 211-212 (1976)

EIN REIUJRSIV DEFINIERTES GEORDNETES PAAR

von CHRISTIAX MAURER in West-Berlin

In dieser Note sol1 die Existenz eines geordneten Paares gezeigt werden, das fiir die einzelnen Stufen der (etwa in [3] erwiihnten, fur die Kategorientheorie wichtigen) Hierarehie Meagen, Klassen, 8wprklussen w w . simultan und vertriiglich ein kartesi- s c h Prdukt liefert. Im Gegensatz zu den bekannten Definitionen (siehe [2]) werden weder der Rang (im unendlichen Fall) angehoben noch in der Definition Fallunter- scheidungen (wie in [4] nach dem Vorkommen natiirlicher Zahlen) vorgenommen.

Zupndegelegt wird die iibliche (fundierte) ZERMELO-FBAENKELsChe Mengenlehre mit ,,virtuellen" Klassen, z. B. nach fl] oder [5]. Das KuaATowsKr-Paar {{a}, {a, b}} sei kurz mit (a, b) bezeichnet. Fur jede Relation R auf einer Klasse K schreiben wir xRy fur ( x , y ) E R und R(z) fur die Klasse {y I y E K A yRx] der R-Vorgiinger von x E K. Dann hea t R vorkkin, wenn R ( x ) fiir jedes x E K eine Menge ist, extensional, wenn fur je zwei Mengen x , y E K gilt: R(x) = R(y) * x = y , und fundiert, wenn jede nichtleere Teilklasse L c K ein R-minimales Element enthdt.

Definition 1. Im folgenden sei A eine Klasse und E eine nichtreflexive Relation

(i) A enthiilt ein E-minimales Element a,, und (u) es gibt ein von a, verschiedenes a, E A mit a,, als einzigem E-Vorgiinger, d. h.

auf A , die den Bedingungen

ma,) = {a01

geniigt. Dann ist durch

( x , y) R(a, b) o x , y, a, b E A A ( x = a, A yEa v x = a, A yEb) eine Relation R auf A x A gegeben, fiir die folgendes gdt :

Lemma 1. Ist E mrklein, so auch R. Beweis. Auf Grund der Definition hat man

&, b) c {a,, a1} x (E(4 u E ( b ) ) . Lemma 2. I d E exte?lsionaZ, so aueh R. Beweis. Bolgt wegen a, + a, dmch elementare logische Umformung.

Lemma 3. Ist E fundiert, so l~mh R. Beweis. Zuniichst bemerkeu wir, dai3 die R-Vorganger von (a,,, b) fur jedes b E A

wegen der E-Minimalitiit von u@ nur von der Form (al, y) sein k6nnen. Sei nunmehr M c A x A eine nichtleera Teilklasse. Wir betreohten zuerst den Fall, daO H kejn Paar der Form (ul, y) enthiilt. Dann ist zu jedem Paar (u, b) E M die Situation (x , y) R(a, b) hochsbns noch moglich, wenn x = a, und yEa, und Paare der Form (a,, y) sind in diesem Fall nach der obigen Bemerkung R-minimal. Im zweiten Fall ist die Klasse B = {g I 3 E A A (a,, y) E M ) nicht leer, daher existiert ein E-minimales

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bo E R. Der einzig mogliche R-Vorgihger von (al, b,) ist dann nur noch (a,, b,), denn nach Konstruktion von b, scheidet (al , y) R(al, b,) mit (al , y) E M aus. Damit existiert in beiden Fallen ein R-minimales Element in M .

Fiir dic: €-Relation auf der Klasse V aller Mengen sind mit a, = 0 = B und a, = 1 = (0)

die Bedingungen der Definition 1 erfiillt, und wir erhalten auf Grund des Extensiona- litats- und des Fundierungsaxioms als Anwendung der drei Lemmata clas

Korol la r . Die durch ( ~ , y ) R ( a , b ) - x = O A y G a v x = l ~ y ~ b

auf V dcfinierte Relation ist vorklein, extensional und fundiert.

Durch Anwendung des Satzes von MOSTOWSKI (siehe z. B. [l], ch. 111, oder [5], Theorem 12.8) erhalten wir daher eine transitive Klasse B und einen Isomorphismus

I : V X P - + B mit (x, y) R(a, b ) o I ( r , y) E I ( a , b ) fur alle x, y, a, b E V . Mit der

Def in i t ion 2. ( a , b ) = I (a , b ) fur Q, b E V liefert uns die (rekursive) Konstruktion von I sofort den

Sstz 1. Fur j e zwei Mengen a und b ist auch

( a , b ) = ( ~ I 3 y ( y ~ a ~ ~ = < O , y ) } u ( ~ l I y ( y ~ b ~ \ ~ =(1,y)} eine Menge, und fur alle a, b, a ' , b' E I' gilt

( a , b ) = (a ' , b') t> a = a' A b = b', d. h., <-, -): V x V + V ist ein geordnetes P a r .

Beispiele. (0 ,O) = 0, ( 1 , O ) = 1, (0 , l ) = (l}, allgemein (1, n ) = n + l fur n EW. Die Funktion (-, -) ist nicht surjektiv: Man sieht leicht, dal3 die Menge ((1)) weder von der Form (0, x) noch von der Form (1 , y) ist, damit ist (((1))) kein Paar ( a , b) .

Der Vorteil dieser Definition des geordneten Paares gegeniiber dem KURATOWSKI- Pam und verwandten Konstruktionen liegt darin, dal3 sich der Rang im wesentlichen nicht Bndert: Bezeichne a @ b das kartesische Produkt zweier Mengen (oder Klassen) mit unserem Paar, d. h.

Q @ b = ( Z I 3 X 3 y ( ~ € a A y € b A ~ = ( s , / / ) ) , dann gilt f u r die durch

V , = 0 und V a = U {P(Pfl) I B E Q A P < &) definierten VON NEUMANNschen Stufen (Q = Klasse der Ordinalzahlen)

S a t z 2. ( i ) V , @ V , c Vnfl fiir jedes B. EO,

(ii) V , @ V , c V , f u r jedes a E Q mit 01 2 (u.

Bew eis. (j) Man errechnet leicht (siehe Beispiele) V, @ V , = Po = 0,

V a @ r2 = v, = q 2 ) . V , @ V , = V, = 1 c V , = 2 = ( O , l ] , und

EIEi REKmSIV DEFINERlZ!S GEORDIWIlWj PAAR 213

Fiir n E w , n > 2, gelte v k @ Vk c V,,, fur alle k E (o mit k < n. Seien a , b E V,,. Fii+ i d e s x E a (hw. y E b) gibt es dann ein k E W mit 2 5 k < n und x E vk (y E V,) und folglich (0, x) E V k (B V , c V,,, c V,, ( ( 1 , y) E V J . Damit gilt (a , b ) c V,, d. h. (a, b) EP(V,) = VB4, . (ii) Wegen V , = U {V,, I n E OJ> folgt aus (i) sofort V , 8 V, c V,. Sei a E B, a > u), und es gelte V, @I V, c V, fur alle /3 E SZ mit o ,!I < a. Wir machen die Fallunterscheidung :

a) Es gibt ein E SZ mit a = #I + 1. Seien a, b E V , . Wie in (i) existiert dann fur jedes x E a (bzw. fur jedes y E b) y ED mit OJ 5 y < 01 und x E V , (y E V, ) ; folglich gilt (0, z) E V, @ V, c V , c V , ((1, y) E V,). Insgesamt (a , b) c V, , d.h. ( a , 6) E V,. b) 01 ist eine Iheszahl. Dann gilt V , = U { V , 1 B E SZ A w 5 @ < a) , was aiif Grund

der Induktionsannahme sofort die Behauptung liefert.

lWt der Rangdefinition

r ang(u )=min{a laEDAuc V,)

lessen sich wegen (a , 6 ) = (a , 0) v (0, b) die Teile (i) und (ii) des Satzes 2 sofort zu- sammenfassen zu

Sa tz 2'. Fur j e zwei Mengen a wnd b mit a 4 V , oder b I$ V , gil t

rang((a, b ) ) = 1 + max {rang(a), rang(b)).

(Reihenfolge der Summanden im Sinne der Ordinalarith metik.)

den) E-Baum der Elemente ihrer transitiven Hiille, so ist anhand der Beziehung Veranschaulichen wir uns die Struktur einer Menge als den (auf dem Kopf stehen-

(1 ,~) ={O}u<O,a) = { O ) W ( Y I ~ ~ ( ~ E ~ A ( ~ , @ = y ) f

zu sehen, daI3 das Paar (0, a ) aus der Menge a dadurch entsteht, daf3 an jeder ,,A& gabel" der transitiven Hiille ein Ast der LLnge 1, d. h. die leere Menge angehiingt wird (hi dem Pmr (1,a) zusiitzlich noch ein ,,Asti' an der Wurzel). Genau fur den Fall endlicher Ordinalzahlen stimmt diese Prozedur mit der iiblichen Nachfolgeopera- tion iiberein :

Satz 3. Fur jede Menge a gilt: (1, a ) = a v {a} e a E u).

Beweis. (1, n) = 12 + 1 = n w I n ) fur 7t E w folgt durch Induktion (siehe Bei- spiele). Gelte umgekehrt (1, a) = a v {a], dann hat man wegen rang(a u {a}) = = ray(a) + 1 nach Satz 2': 1 + rang(a) = m?zg(a) + 1, folglich (wegen 1 + a = a fixr jedes a E 52 mit a 2 w) ran&) E o. Nun gilt entweder a = 0 oder wir haben O E U und fur alle n E a n c o : ~ + l = { l , n ) ~ ( l , a ) = a w ( a ) , d.h. n + I E a oder n + 1 = a. Der Pall a $: n fur alle n E w wiirde daher u) c a n w c a zur Folge haben, was ein Widerspruch zu rang(u) E o ist.

AbschlieDend sei bemerkt, daD die iibliche Definition der disjunkten V e r e w n g zweier Mengen a und b

a \ j b = {O)X a w { l } x b

fur das mit unserem Paar gebildete kartesisohe Produkt @ gerade a 6 b = ( a , b)

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liefert; d. h. (a, b) spielt mit den durch il(x) = (0, x) und Qx) = (1, x) definierten Injektionen die Rolle eines Koproduktes in der Kategorie der Mengen, woraus wir fur die Kardinalitat die Beziehung

card ((a, b) ) = card (a) + card (6) erhalten.

Literatur [l] KRIVINE, J. L., Introduction to Axiomatic Set Theory. Dordrecht 1971. [a] KUHNRICH, M., Zur Definition des geordneten Paares. Diese Zeitschr. 13 (1967), 379-380. [3] KUIINRICII, M., Eine Mengentheorie mit Superklassen. Theory of sets and topology. Berlin 1972,

[4] QUINE, W. V. O., On Ordered Pairs and Relations. Selected Logic Papers. Kew York 1966,

[ii] TAKEUTI, G., und W. M. ZARING, Introduction to Axiomatic Set Theory. Xew York 1971.

8. 333-353.

S. 110-113.

(Eingegangen am 3. Februar 1975)