1

主要主要主要主要領域領域領域領域：：：： 數學數學數學數學

參賽者姓名參賽者姓名參賽者姓名參賽者姓名：：：： 黃芳玉黃芳玉黃芳玉黃芳玉、、、、沈書宇沈書宇沈書宇沈書宇

學校名稱學校名稱學校名稱學校名稱：：：： 台北市私立靜心國民中小學台北市私立靜心國民中小學台北市私立靜心國民中小學台北市私立靜心國民中小學（（（（小學部小學部小學部小學部））））

壹壹壹壹、、、、 教 學 背 景 說教 學 背 景 說教 學 背 景 說教 學 背 景 說 明明明明

對大多數的人而言，學習數學的印象和經驗都是需要透過大量的紙筆計算，然而如同其他領

域的學習一般，數學也可以透過其他方式來學習，例如畫圖或動手操作等，甚至是利用閱讀，也

是獲得數學知識與概念的一種途徑。再者，數學雖然常常都是一個人的腦部思考活動，但其實透

過小組合作競爭的方式，有時更能使學生們腦力激盪，激發出思考的火花。因此，我們希望設計

一個數學活動，讓學生運用小組合作的模式，並且相互競賽，從中體會到數學學習的多元性。

世界上最早的骨牌是中國人於宋朝時發明的，稱為「牙牌」或「牌九」，後來被義大利人推

廣至全世界，因而稱為「多米諾骨牌（domino）」。多米諾骨牌於 1849 年成為世界性體育運動的

代稱，早期骨牌的主要作用是用來訓練耐性，演變到現在，全世界最熟悉的則是骨牌堆疊遊戲。

但其實運用多米諾骨牌上的數字點，可以進行許多數學益智遊戲，例如「數字接龍」、「圍城之戰」

等，皆是運用 28 張多米諾骨牌，進行數字的腦力激盪。由這幾年的全國中小學科展中，也常可

見討論多米諾骨牌的研究，從這些研究中可發現多米諾骨牌是可以從小學一年級玩到六年級的遊

戲，我們也認為透過多米諾骨牌遊戲，可讓孩子從中不知不覺地強化數字概念。

對於我們的學生能力與目前的教學環境來看，DISCOVER 課程模式確實是能套用設計的課程

模式，因此，我們以 DISCOVER 課程模式出發，設計一連串的數學教學活動。我們先將骨牌問題

與遊戲分析成五大類型，再進行實際教學，我們期望能藉由探究骨牌遊戲過程中，激發學生的數

字感，並培養他們問題解決的能力，讓學生突破既有的思考空間，培養創新的思維習慣，有系統

地從多角度進行客觀分析。

貳貳貳貳、、、、 教學策略與實教學策略與實教學策略與實教學策略與實施施施施

讓學生能夠運用所學來解決問題，讓學習本身意義化、趣味化，就如同是遊戲或是競賽一樣。

我們透過協同教學方式，先運用 DISCOVER 課程模式，將骨牌問題分析成五大類型，讓學生進行

合作學習、同儕評量、分組競賽、創作發表，讓學生經由觀察、預測、分析、驗證、創造、發表

等歷程，不斷提升邏輯思考與分析歸納能力。此外，我們也運用遊戲式教學法，採取寓教於樂的

方式，讓學生在快樂的學習環境之中，從遊戲中體驗數學學習的樂趣。

一一一一、、、、 教學理論教學理論教學理論教學理論

配合南一版教材第十二冊第七單元「怎樣解題」，所設計之延伸學習教材，希望學生能夠運

用數感與空間感，以及所學的代數觀念，更加深入探究問題情境中的數字關係。延伸教材的設計

是以 DISCOVER 課程模式為依據，先將數字骨牌問題分析成五大類型，依次讓學生進行思考與研

究，從比較封閉式的骨牌緣起以及架構，到開放式的探究其中的排列組合規律，最後讓學生設計

出新的骨牌遊戲。整體課程設計從自由探索、找出規律性、創新玩法，讓學生體驗分析歸納與創

造的歷程。

數感數感數感數感: 數字感是對於數字的一種直覺，能夠多樣化的表徵、解釋運算與數字之間的關係，並

且對於運算結果作一個合理判斷的能力。它也可以解釋為個人對於數字的認知，以及理解數字和

運算的一般特性，據此發展出有效的解題策略，來處理日常生活中包括數字和運算之情境的相關

問題。

2

空間空間空間空間感感感感::::運用骨牌九宮方陣的排列與轉換，引導學生進行數字概念與平面空間轉換，將腦中

的數字概念很快的轉化成圖像式的思考輸出，並且分析與欣賞數字與圖形的規律及結構。

DISCOVER DISCOVER DISCOVER DISCOVER 課程模式課程模式課程模式課程模式: : : : DISCOVER 以問題的結構性、解決問題的方法、答案的開放性，做為問

題分類的依據，將問題分成五個類型。問題解決是 DISCOVER 課程模式的主要成分，也是評量與

課程設計的基礎。而問題解決的技能以及整體學習力，可以透過優勢智能的學習而獲得提升。

二二二二、、、、教學目標教學目標教學目標教學目標

1.能夠分析骨牌的基本架構。

2.能夠排出邊數和 2-16的骨牌九宮方陣。

3.能夠歸納出九宮方陣的排列組合與規律。

4.能夠運用指定的骨牌，排出 2-3種不同數字和的九宮方陣。

5.能夠運用數字骨牌設計出新的遊戲。

三三三三、、、、教學活動歷程教學活動歷程教學活動歷程教學活動歷程

運用 DISCOVER 課程模式，，，，將骨牌問題設計成五大類型的教學活動。

表一 DISCOVER 問題類型與教學實施架構表 活動活動活動活動

名稱名稱名稱名稱 探究骨牌探究骨牌探究骨牌探究骨牌 架構架構架構架構

九宮方陣九宮方陣九宮方陣九宮方陣 大風吹大風吹大風吹大風吹

數學骨牌數學骨牌數學骨牌數學骨牌 大賽大賽大賽大賽

九宮方陣九宮方陣九宮方陣九宮方陣 的秘密的秘密的秘密的秘密

骨牌家族骨牌家族骨牌家族骨牌家族 大集合大集合大集合大集合

創意變形創意變形創意變形創意變形 骨牌遊戲骨牌遊戲骨牌遊戲骨牌遊戲

Type1 Type2 Type3 Type4 Type4 Type5

問問問問

題題題題 類類類類

型型型型

一副骨牌是

由 0-6 這些

數字排列組

合而成，請問

一副數字骨

牌會有幾

張?

1. 請排出每

邊數字和

相同的九

宮方陣。

可以排出

多少種? 2. 可以排出

的數字和

範圍是多

少？

運用指定的

骨牌，排出

2-3 種不同

數字和的九

宮方陣。

1. 探索與歸

納九宮方

陣的排列

規律。 2. 將發現的

規律記錄

下來。

利用 28 張骨

牌，同時排出

7 個不同的

九宮方陣。

利用 28 張數

字骨牌，設計

出新的數學

骨牌遊戲。

多多多多

元元元元 智智智智

能能能能

運運運運

用用用用

邏輯數學

語言智能

邏輯數學 空間智能 語言智能 身體動覺 人際智能

邏輯數學 空間智能 語言智能 身體動覺 人際智能

邏輯數學 空間智能 語言智能 身體動覺 人際智能 內省智能

邏輯數學 空間智能 語言智能 身體動覺 人際智能 內省智能

邏輯數學 空間智能 語言智能 身體動覺 人際智能 內省智能

教教教教

學學學學 實實實實

施施施施

討論與發表 合作學習

實作與探究

以班級或學

年為單位，進

行數學遊戲

競賽

合作學習 討論與歸納

合作學習 實作與探究 討論與歸納

專題報告

評評評評

量量量量 方方方方

式式式式

口頭發表 小組討論

小組討論 口頭發表 實作評量 書面報告

闖關評量 動態評量 實作評量

小組討論 口頭發表 實作評量 書面報告

小組討論 口頭發表 實作評量

小組討論 口頭發表 實作評量 書面報告

3

((((一一一一) ) ) ) 數字骨牌大探索數字骨牌大探索數字骨牌大探索數字骨牌大探索

單元名稱 數字骨牌大探索 教學年級 高年級

配合單元 南一版第 12 冊第 7 單元『怎樣解題』 教學節數 四節課

1.能夠分析骨牌的基本架構。

2.能夠排出邊數和 2-16 的骨牌九宮方陣。

3.能夠歸納出九宮方陣的排列組合與規律。

4.能夠運用數字骨牌設計出新的遊戲。 教

學

目

標

對應九年一貫能力指標:

A-3-4 能比較生活情境中數量關係的異同及其表徵式的異同與使用時機。

A-3-5 能察覺簡易數量模式與數量模式之間的關係。

C-T-2 能把情境中數量形之關係以數學語言表出。

C-C-5 用數學語言呈現解題的過程。

C-C-8 能尊重他人解決數學問題的多元想法。

教

材

研

究

一一一一、、、、教材分析教材分析教材分析教材分析

配合南一教材第十二冊第七單元「怎樣解題」，所設計之延伸學習教材，希望學生能

夠運用數感與空間感，以及所學的代數觀念，更加深入探究問題情境中的數字關係。延

伸教材的設計是以 Discover 課程模式為依據，先將數字骨牌問題分析成五大類型，依次

讓學生進行思考與研究，從比較封閉式的骨牌緣起以及架構，到開放式的探究其中的排

列組合規律，最後讓學生設計出新的骨牌遊戲。整體課程設計從自由探索、找出規律性、

創新玩法，讓學生體驗分析歸納與創造的歷程。

二二二二、、、、學生經驗學生經驗學生經驗學生經驗

在學習本單元之前，學生已經會使用 x、y……等代數式表徵生活情境中的未知量與

變量，並能夠透過具體觀察與探索，察覺簡易的數量 pattern。本次教學活動將以培養學

生探索精神，發展學生的數感、空間感、歸納、推理能力為主，讓學生從遊戲中自由探

索，進而找出共同結構與規律，並進行驗證，提升規律關係的觀察力與分析力。

教學目標教學目標教學目標教學目標 教學流程教學流程教學流程教學流程 評量重點評量重點評量重點評量重點

1.能夠分析

骨牌的基本

架構。

～～～～第一節課第一節課第一節課第一節課～～～～

一一一一、、、、準備活動準備活動準備活動準備活動

老師用故事方式介紹骨牌的起源。

二二二二、、、、發展活動發展活動發展活動發展活動

【活動一】探究骨牌架構 【【【【問題類型問題類型問題類型問題類型 Type1Type1Type1Type1】】】】

◎布題

一副骨牌是由 0-6 這些數字排列組合而成，扣掉重複的情形，像是 0-1

與 1-0算是同一組，請問一副數字骨牌會有幾張?

◎分組討論

引導學生運用觀察、猜測、驗證等方式，分析一副數字骨牌的排列組

合方式，將想法記錄下來。

◎小組發表

發表解題歷程與重要發現。

遞增型遞增型遞增型遞增型 1+2+3+4+5+6+7=28 1+2+3+4+5+6+7=28 1+2+3+4+5+6+7=28 1+2+3+4+5+6+7=28

能夠專心聆聽。

能夠觀察與分析

一副骨牌的基本

架構。

4

2.能夠排出

邊數和2-16

的骨牌九宮

方陣。

【活動二】九宮方陣大風吹 【【【【問題類型問題類型問題類型問題類型 Type2Type2Type2Type2】】】】

◎布題

運用這 28張骨牌，排出每邊數字和相同的九宮方陣。

可以排出多少種？可以排出的數字和範圍是多少？

例如:邊數和 4 的排法:

(每張骨牌為 1×2 的長方形，要排成九宮方陣需要四張骨牌，並且用

直放或橫放的方式。只要符合四邊和相等的條件，不考慮骨牌的旋轉

與倒放)

◎分組實作與討論

以小組為單位，實際排出九宮方陣，並且將結果記錄下來。

◎小組發表

發表解題歷程與重要發現

三三三三、、、、綜合活動綜合活動綜合活動綜合活動

綜合歸納:

1.一副骨牌有 28張。

2.能排出的九宮方陣邊數和，最小是 2，最大是 16。

回家作業:

整理與分析所有九宮方陣的排法，記錄在數學心得筆記。

--------------------～～～～第一節課結束第一節課結束第一節課結束第一節課結束～～～～------------------

能夠排出邊數和

相同的九宮方陣。

能夠以小組合作

學習的方式，思考

不同邊數和的排

列方式。

能夠與他人溝通

與分享排列過程

中的重要發現。

能夠說出課堂學

習重點。

金字塔型金字塔型金字塔型金字塔型 1

+1 +2 +2 +3 +3 +4 +3 +3 +2 +2 +1 +1 28

0 0

1 0 1

1 0

2

5

3.能夠歸納

出九宮方陣

的排列組合

與規律。

4.能夠運用

數字骨牌設

計出新的遊

戲。

～～～～第二節課第二節課第二節課第二節課～～～～

一一一一、、、、準備活動準備活動準備活動準備活動

請學生先整理與分析所有九宮方陣的排法，記錄在數學心得筆記。

二二二二、、、、發展活動發展活動發展活動發展活動

【活動三】九宮方陣的秘密 【【【【問題類型問題類型問題類型問題類型 Type4Type4Type4Type4】】】】

◎小組活動

將每個人所發現的九宮方陣規律或是排列秘訣，先在小組內進行發表

與分享，並且歸納整理出最重要的三點發現，記錄在小白板上。

◎分組發表

每一組發表重要的發現，全班共同進行討論與整理。

三三三三、、、、綜合活動綜合活動綜合活動綜合活動

將課堂中所討論的九宮方陣秘密，整理與紀錄於數學心得筆記中。

-------------------～～～～第二節課結束第二節課結束第二節課結束第二節課結束～～～～--------------------

～～～～第三節課第三節課第三節課第三節課～～～～

一一一一、、、、準備活動準備活動準備活動準備活動

請學生先整理與分析所有九宮方陣的排法，記錄在數學心得筆記。

二二二二、、、、發展活動發展活動發展活動發展活動

【活動四】骨牌家族大集合 【【【【問題類型問題類型問題類型問題類型 TypeTypeTypeType4444】】】】

◎佈題

前幾節課已經知道一組完整的骨牌共有 28張，想一想，如果將 28張

骨牌全部用上，排出 7個九宮方陣，該怎麼排呢？

◎分組活動

每一組成員進行討論、實作，找出最完整的排法。

◎小組發表

每一組發表重要的發現，全班共同進行討論與整理。

三三三三、、、、綜合活動綜合活動綜合活動綜合活動

將課堂中所討論的九宮方陣秘密，整理與紀錄於數學心得筆記中。

-------------------～～～～第三第三第三第三節課結束節課結束節課結束節課結束～～～～--------------------

能夠進行小組討

論與分享。

能夠整理與分析

九宮方陣的秘密。

能 夠 與 他 人 合

作，運用新的規

律，設計出新的骨

牌遊戲。

能夠與他人溝通

與分享設計與解

題歷程。

6

～～～～第四節課第四節課第四節課第四節課～～～～

一一一一、、、、準備活動準備活動準備活動準備活動

經過上一節課，學生找出九宮方陣的規律性之後，這節課，希望學生

能夠以小組合作學習的方式，自行設計一個新的骨牌遊戲。

二二二二、、、、發展活動發展活動發展活動發展活動

【活動五】創意變型骨牌遊戲 【【【【問題類型問題類型問題類型問題類型 Type5Type5Type5Type5】】】】

◎布題

以小組為單位，設計出新的數學骨牌遊戲。

◎ 分組實作與討論：

以小組為單位，實際排出九宮方陣，並且將結果記錄下來。

◎分組報告與遊戲

小組報告自己所設計的遊戲規則與玩法，並且讓其他組實際進行遊

戲，分析其中的解題秘訣。

三三三三、、、、綜合活動綜合活動綜合活動綜合活動

將課堂中所進行的各種變形骨牌遊戲，整理與紀錄於數學心得筆記中。

～～～～第四節課結束第四節課結束第四節課結束第四節課結束～～～～

((((二二二二) ) ) ) 數學骨牌大賽數學骨牌大賽數學骨牌大賽數學骨牌大賽

主 題 數學骨牌大賽

設計者 沈書宇、黃芳玉

年 級 五、六年級

背景說明

此次，我們配合一年一度的教學博覽會，設計了運用多米諾骨牌進行的數學遊戲，

希望讓高年級學生藉由親自動手操作的過程以及小組團體合作的力量，共同感受到數

學之美。

特色介紹

強調合作學習與腦力激盪強調合作學習與腦力激盪強調合作學習與腦力激盪強調合作學習與腦力激盪

以往的數學學習多為個人單槍匹馬，但合作學習是我們的孩子未來必須面對到的

學習模式，因此我們希望透過簡單的數學遊戲，培養孩子合作學習的能力，並經由合

作的過程，相互腦力激盪，讓數學學習得到最大成效。

將數字概念將數字概念將數字概念將數字概念轉化為圖像思考轉化為圖像思考轉化為圖像思考轉化為圖像思考

數學的學習分為圖像、數字符號以及量感等三大部分，此次的活動學生必須將腦

中的數字概念很快的轉化成圖像式的思考輸出，這中間的過渡對大多數的高年級孩子

來說，並不具有困難度，然而他們缺乏了這樣的訓練、學習過程，因此這樣的活動設

計，還可以幫助孩子們在大腦裡進行不同概念的轉化，給予學習數學更多面向的挑戰。

發表型態 初賽初賽初賽初賽：班級內進行小組競賽，各班選出前四強，進行全學年複賽。 複賽複賽複賽複賽：各班 4 組代表學生，全學年共 24 組進行計時淘汰賽。

7

情境佈置或場

地規劃

初賽初賽初賽初賽：在各班級教室內進行。

複賽複賽複賽複賽：在中正堂進行，24 組學生同時進行計時淘汰賽，各組一位裁判，立即做出晉級

判斷。

期待與回饋

由小組合作學習由小組合作學習由小組合作學習由小組合作學習，，，，相互腦力激盪相互腦力激盪相互腦力激盪相互腦力激盪

活動規定必須四位同學一組，共同完成挑戰任務，期望學生能藉此學會如何與他

人溝通、合作，善用小組合作的力量與特性，並訓練彼此問題解決的能力，在限定時

間內完成任務。

建立正面建立正面建立正面建立正面、、、、積極的數學學習態度積極的數學學習態度積極的數學學習態度積極的數學學習態度

活動要求必須在規定時間內完成任務者方可晉級，因此學生不能選擇逃避困難，

必須透過小組合作，彼此互相激勵、分工，運用所學。藉以培養學生積極面對困境，

努力克服的態度。

透過數學具體操作透過數學具體操作透過數學具體操作透過數學具體操作，，，，連結數字概念與圖像符號連結數字概念與圖像符號連結數字概念與圖像符號連結數字概念與圖像符號

多米諾骨牌是由 0 到 6 個黑點所設計的，學生在進行挑戰時，必須先自行將點數

轉換成數字，再進行挑戰。我們期待學生可以從這個操作活動裡，學會如何將圖像符

號和數字概念互相連結，並運用優異的數字邏輯性來完成任務。

由數學遊戲的過程裡由數學遊戲的過程裡由數學遊戲的過程裡由數學遊戲的過程裡，，，，認識數學的多元性認識數學的多元性認識數學的多元性認識數學的多元性

數學遊戲的進行，我們期望孩子們能認識數學的多元面貌，在輕鬆、活潑的氣氛

下，也能夠學到數學，改變以往「數學是艱深的領域」的刻板印象，而也期待利用遊

戲學數學的方式，讓孩子們更喜歡接觸數學，未來能更積極面對各種挑戰。

學生回應

8

參參參參 、、、、 教 學 成 效 評教 學 成 效 評教 學 成 效 評教 學 成 效 評 估估估估

在學生學習成效部分，我們發現學生在知識力的提升、情意表現力的展現、思考力的發展、

問題發現與解決力的強化等幾個面向有良好的成長，以下就這四個面向加以說明：

一、知識力的提升

數字的規律性探究可以幫助學生建立良好的數字感，而以黑點表示點數的骨牌，學生在完成

九宮格挑戰的同時，必須先將點數轉化成數字，再進行計算，才會迅速，因此將圖像轉化成數字

這個過程，也有助於學生在數學知識力上的提升。此外，我們的學生在全校高年級的數學骨牌大

賽裡擔任裁判的工作，也是讓老師們有不同的方式是來檢驗這些學生是否真的學會了。

二、情意表現力的展現

分組討論、競賽的方式讓學生不得不進行小組合作，並且

需要在有限的時間內完成挑戰，如果未能同心協力，反而會造

成各自為陣，無法將眾人智慧的成果發揮到極大，所以學生必

須放下成見，思考小組合作的技巧和最大成效，合作找到最適

合自己小組的進行方式，這在在展現了學生的情意表現力。我

們也發現，透過骨牌大賽的進行，學生開始會主動找時間練習，

並思考解題策略，甚至還自編了解題秘笈，由這些現象，我們

可以說這樣的活動設計安排確實引發了學生的學習興趣。

三、思考力的發展

類型四或類型五的問題結構不明顯，學生必須自己融入創意發揮，亦即運用到擴散式思考模

式，這是在一般的學習活動裡比較不常見的，但也是學生在學習數學時更應學會的思考方式。如

果學生的數學學習一直停留在運用封閉式思考的階段，許多數學內容就會變得公式化，然而學數

學的人都知道，數學問題往往是擴散式的而非封閉式的。透過活動四、活動五，我們發現了學生

確實在思考力上有所提升與發展。

9

數字骨牌拼圖題目 成功解出數字骨牌拼圖

小組合作學習腦力激盪 運用猜測法

找出只有一種可能的骨牌定位 同時考慮所有含 0的骨牌組

以 L型的方式為一組進行思考 運用解數獨的解法來進行推理

四、 問題發現與解決力的強化

DISCOVER 課程模式裡，我們可以將解決問題的方法做

為問題分類的依據，如果要解決類型一的問題，只有一種途

徑，但如果要解決類型五的問題，就有多種的解題途徑，此

時學生必須要思考的是何種途徑是又快又準確又適當的，這

個思考過程就有助於發展學生的批判思考能力。因此我們深

信，透過有層次的活動設計，可以讓學生在問題發現與解決

力上有足夠的強化。

右圖是一位學生在課堂上進行完活動五，自行設計骨牌

遊戲之後，將小組設計的結果寫在該週的心得筆記，他們結

合了骨牌的特性和撲克牌遊戲的經驗，發展出不同的遊戲規

則，可見他們不僅解決了需要自行設計遊戲的這個問題，也

適度的運用了過去玩撲克牌的經驗，老師們都認為這是很棒

的成果。

10

肆肆肆肆、、、、 教 學 省教 學 省教 學 省教 學 省 思思思思

從我們的教學過程裡，發現學生喜愛思考也熱愛探究，我們也從師生互動以及教師間的專業

研討之中，獲得省思回饋。

在此次的教學活動設計當中，隨著問題與答案的逐漸開放，學生慢慢地會發現解題策略不能

一直在暴力解題法中打轉，必須要找出九宮方陣的數字規律性，才會在短時間之內解決問題，如

果問題一直停留在類型一或類型二，學生僅需使用暴力解題法就足夠面對問題，那麼學生就不容

易主動去探究是否有更多不同的可能或是隱藏其中的規則，這樣就失去了發展問題解決能力的機

會。所以一開始在設計教學活動時，我們即希望能涵蓋類型一到類型五的問題類型，完整的幫助

學生學習。

整個教學活動設計包含了在我們自己的班上進行的分組活動和全校高年級進行的數學骨牌

大賽兩個部分，名副其實的是一次全校高年級一起動手玩數學的活動，很盛大也很有趣，看著高

年級的班級沉浸在玩數學的氣氛裡，真的是很令我們感動，也希望藉由這樣的活動，幫助學生更

願意動腦思考數學。但願這是一個好的開始，讓我們為台灣的數學教育撒下一些希望的種子。