notendur.hi.is · Efnisyﬁrlit 1 Formáli 1 2 Gagnlegar upplýsingar 3 2.1 Námsefnið. . . . . ....

NAME DocumentationÚtgáfa 2021

jan. 27, 2021

Efnisyfirlit

1 Formáli 1

2 Gagnlegar upplýsingar 32.1 Námsefnið . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Fyrirlestrar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Dæmatímar og vinnustofur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Skiladæmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.5 Námsmat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.6 Tölvunotkun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.7 Að taka námskeiðið í annað sinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.8 Viðtalstímar kennara og fyrirspurnir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Hlutafleiðujöfnur 73.1 Inngangur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Dæmi um hlutafleiðujöfnur í eðlisfræði . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Hliðarskilyrði. Vel framsett verkefni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Fyrsta stigs jöfnur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Fourier-raðir 134.1 Inngangur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Fourier-raðir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Samleitni Fourier-raða . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.4 Ágrip um samleitni Fourier-raða . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.5 Úrlausn á hlutafleiðujöfnum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Eigingildisverkefni 255.1 Eigingildisverkefni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Aðskilnaður breytistærða . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3 Virkjar af Sturm-Liouville-gerð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 Eigingildisverkefni af Sturm–Liouville–gerð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.5 Green-föll fyrir jaðargildisverkefni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.6 Eiginfallaliðun og Green–föll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.7 Úrlausn hlutafleiðujafa með eiginfallaröðum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.8 Áfram um eigingildisverkefni - aðskilnaður breytistærða . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.9 Tvöfaldar Fourier-raðir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.10 Almennt um eiginfallaraðir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6 Fourier-ummyndun 436.1 Fourier-ummyndun. Reiknireglur. Plancerel-jafnan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.2 Andhverfuformúla Fouriers. Afleiðujöfnur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.3 Úrlausn á hlutafleiðujöfnum með Fourier-ummyndun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

i

6.4 Fourier-ummyndun og leifareikningur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.5 Laplace-ummyndun og leifareikningur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7 Mismunaaðferðir 577.1 Mismunaaðferð fyrir venjulegar afleiðujöfnur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.2 Heildun yfir hlutbil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.3 Mismunaaðferð fyrir hlutaafleiðujöfnur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.4 Almenn mismunaaðferð á rétthyrningi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8 Bútaaðferðir 758.1 Hlutheildun, innfeldi og tvílínulegt form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.2 Aðferð Galerkins fyrir Dirichlet-verkefnið . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.3 Bútaaðferð í einni vídd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.4 Aðferð Galerkins með almennum jaðarskilyrðum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.5 Bútaaðferð í tveimur víddum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9 Viðauki 1019.1 Kennsluáætlun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

ii

KAFLI 1

Formáli

Þetta kennsluefni er haft til hliðsjónar í fyrirlestrum í áfanganum Stærðfræðigreining IV við Háskóla Íslands. Þaðer aðgengilegt sem vefsíða, http://notendur.hi.is/vgmp/stae401, og verður aðgengilegt sem pdf-skjal sem hent-ar til útprentunar. Efnið byggir að miklu leyti á bókinni Tvinnfallagreining, afleiðujöfnur, Fourier-greining oghlutafleiðujöfnur eftir Ragnar Sigurðsson. Bók Ragnars er einnig kennslubók námskeiðsins.

Janúar 2021, Valentina Giangreco og Watse Sybesma

1

http://notendur.hi.is/vgmp/stae401

https://notendur.hi.is/vgmp/stae401/stae401.pdf

NAME Documentation, Útgáfa 2021

2 Kafli 1. Formáli

KAFLI 2

Gagnlegar upplýsingar

2.1 Námsefnið

Aðallesefni námskeiðsins er bók Ragnars Sigurðssonar sem þið finnið í námsefnismöppunni á UGLU.

2.2 Fyrirlestrar

Fyrirlestrar verða á mánudögum 8:20–9:50 og á miðvikudögum 10:00–11:30. Í fyrirlestraáætlun og á dæmablöð-unum er sagt nánar frá efni fyrirlestra hverrar viku og vísað á viðeigandi efnisgreinar í kennsluefni. Að mestuverður fylgt þeirri efnisröð sem er í fyrirlestranótum Ragnars. Í fyrirlestrum mun aðeins gefast tími til að farayfir helstu atriði námsefnisins og verðið þið sjálf að kynna ykkur mikinn hluta af námsefninu upp á eigin spýtur.Yfirferð námsefnisins er hröð og farið er yfir mikið efni.

2.3 Dæmatímar og vinnustofur

Sameiginlegur dæmatími með dæmareikningi á töflu verður á mánudögum 15:00–16:30 og á miðvikudögum13:20-14:50 (nema í fyrstu vikunni). Í námskeiðinu er einnig boðið upp á vinnustofur síðdegis á miðvikudög-um, 15:00-16:30 og fimmtudögum, 15:50-17:20 (nema í fyrstu vikunni) sem eru hugsaðar þannig að þið getiðkomið og fengið aðstoð við dæmareikning eða fengið nánari útskýringar á atriðum sem hafa vafist fyrir ykkur.

2.4 Skiladæmi

Á misserinu eru skiladæmi, alls 8 talsins sem sett eru fyrir samkvæmt kennsluáætlun í viðauka. Ætlast er til aðlausnir séu sjálfstæðar og afritaðar lausnir, hvorki frumrit né afrit eru teknar gildar. Þó eruð þið að sjálsögðu hvötttil að skiptast á skoðunum og hugmyndum við að leysa verkefnin.

Athugið: Til að fá próftökurétt þarf nemandi að skila dæmum í að minnsta kosti 5 af 8 skiptum.

3


Til að fá skil metin þarf að hafa leyst í hvert skipti að minnsta kosti helming dæmanna (við munum ekki gefaeinkunn fyrir skiladæmi en þið getið hugsað þetta þannig að þið þurfið að fá a.m.k. 5 fyrir skiladæmi til að þaugildi) og frágangur þarf að vera sómasamlegur. Þið eigið að miða við að úrlausnin sé þannig að jafningjar ykkarættu að geta lesið og skilið hana frá upphafi til enda án hjálpargagna. Takið vinsamlegast tillit til eftirfarandi atriða

1. Merkið lausnina ykkar efst hægra megin á forsíðu.

2. Skrifið upp dæmatextann og tilgreinið hvar lausnin byrjar.

3. Hafið útreikninga og röksemdafærslur í vel uppsettum texta og hafið í huga að stærðfræðitexti lýtur sömureglum og venjulegt skrifað mál, t.d. byrja setningar á stórum staf og enda á punkti. Stærri formúlur er gottað afmarka sérstaklega en stundum fer betur á því að hafa smærri formúlur inni í texta. Dæmi:

Athugið:

Fallið 𝑓(𝑥) = sin(𝑥)/𝑥2 hefur afleiðuna

𝑓 ′(𝑥) =cos(𝑥)𝑥2 − 2 sin(𝑥)𝑥

𝑥4.

Takið eftir að málsgreinin hefst á stórum staf og endar á punkti, jafnvel þótt formúla sé í lok málsgreinar. Smærriformúlan er inni í texta en sú stærri er afmörkuð sérstaklega.

2.5 Námsmat

Tvisvar á misserinu verða próf sem gilda 15% hvort en þó aðeins til hækkunar. Stefnt er að því að hafa prófiná dagsetningum sem koma fram í kennsluáætlun í viðauka. Þá verður prófað úr lesnu efni, skilgreiningum ogsetningum (u.þ.b. 25%) og jafnframt úr skiladæmunum (u.þ.b. 75%).

Undir lok námskeiðs er eitt stórt skilaverkefni þar sem fengist er við töluleg verkefni. Verkefnið gildir 20% aflokaeinkunn en þó aðeins til hækkunar. Nauðsynlegt er að fá einkunnina 5 eða hærra í verkefninu til að ljúkanámskeiðinu. Nemendur vinna 2-3 saman í hóp að verkefninu. Nánari fyrirmæli verða gefin síðar.

Í lok námskeiðsins er þriggja tíma skriflegt próf sem gildir 50%. Nauðsynlegt er að þið fáið a.m.k. 5 í lokaprófinutil að standast námskeiðið. Engin hjálpargögn eru heimil í lokaprófinu, nema hvað prófverkefni fylgir formúlublaðsem má finna á UGLU í námsefnis möppunni.

2.6 Tölvunotkun

Í Stærðfræðigreiningu IV er hluti umfjöllunarefnisins tölulegar aðferðir við að leysa hlutafleiðujöfnur og mun þvíreyna meira á notkun tölvukerfa en í fyrri stærðfræðigreiningarnámskeiðum. Við munum notast við Octave/Matlabí stærri tölulegum verkefnum.

Í dæmareikningi getur verið gagnlegt að nota aðstoð reiknikerfa til að sannreyna niðurstöður og teikna myndir.Forritin Octave/Matlab geta hentað vel til þess og einnig getur verið gagnlegt að nota Geogebra, Sage eða Wolframalpha. Athugið að hægt er að keyra létta reikninga í Octave í vafra http://octave-online.com. Athugið samt að áprófi þurfið þið að reikna sjálf án aðstoðar vasareikna og tölvukerfa.

2.7 Að taka námskeiðið í annað sinn

Þau sem sátu námskeiðið í fyrra og unnu sér inn próftökurétt þá halda próftökuréttinum en eldri próftökurétturgildir ekki. Vinsamlegast sendið tölvupóst á kennara ef þið viljið halda próftökuréttinum frá því í fyrra. Einkunnirúr miðmisserisprófum/ vetrareinkunn gilda ekki frá því í fyrra. Við hvetjum ykkur eindregið til að taka þátt ínámskeiðinu af fullum krafti og skila dæmum þó svo að þið hafið eldri próftökurétt.

4 Kafli 2. Gagnlegar upplýsingar

http://octave-online.com


2.8 Viðtalstímar kennara og fyrirspurnir

Kennarar námskeiðsins eru Valentina Giangreco M Puletti (fyrri hluti) og Watse Sybesma (síðari hluti) og þau erumeð skrifstofur 309 og 308 á 3. hæð í Tæknigarði. Viðtalstímar við kennara eru samkvæmt samkomulagi.

Við munum notast við Piazza vefinn þar sem þið getið spjallað um efni námskeiðsins, skipulag, heimaverkefni ogfleira. Ég legg áherslu á að þetta er hugsað sem vettvangur fyrir ykkur til að ræða saman og þið getið ekki treystþví að öllum fyrirspurnum verði svarað þar samstundis.

Mikilvægt: Þar sem mjög margir nemendur eru í námskeiðinu biðjum við ykkur um að íhuga áður en þið sendiðtölvupóst hvort svarið við spurningunni sé að finna í þessu skjali eða hvort þið gætuð borið spurninguna fram ífyrirlestri, dæmatíma, stoðtíma, á Piazza vefnum eða í viðtalstíma.

2.8. Viðtalstímar kennara og fyrirspurnir 5


6 Kafli 2. Gagnlegar upplýsingar

KAFLI 3

Hlutafleiðujöfnur

3.1 Inngangur

Mörg verkefni í t.a.m. verkfræði og eðlisfræði krefjast þess að ákvarða fall af mörgum breytistærðum sem lýsireinhverjum eiginleika kerfis. Slíkum föllum er oft lýst með afleiðujöfnum þar sem hlutafleiður með tilliti tilmismunandi breytistærða koma við sögu. Slíkar afleiðujöfnur nefnast hlutafleiðujöfnur.

Ef 𝑢 er fall af breytistærðunum 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑚 skrifum við hlutafleiður þess með tilliti til 𝑥𝑗 með einhverjumeftirfarandi tákna

𝜕𝑗𝑢,𝜕𝑢

𝜕𝑥𝑗, 𝜕𝑥𝑗𝑢, 𝑢′𝑥𝑗

eða 𝑢𝑥𝑗 .

Í sumum tilfellum hefur skapast venja að nota ákveðið táknmál fyrir breytistærðirnar. Til dæmis er 𝑡 gjarnan notaðfyrir tíma og 𝑥, 𝑦, 𝑧 fyrir rúmvíddirnar þrjár.

Þegar breytistærðirnar eru margar getur verið þægilegt að nota eftirfarandi rithátt:

3.1.1 Ritháttur - Fjölvísir

Ef 𝛼 = (𝛼1, . . . , 𝛼𝑚) er vigur af ekki neikvæðum heiltölum skilgreinum við hlutafleiðuvirkjann 𝜕𝛼 með

𝜕𝛼𝑢 = 𝜕𝛼11 · · · 𝜕𝛼𝑚

𝑚 𝑢.

Vigurinn 𝛼 nefnist í þessu samhengi fjölvísir.

3.1.2 Ritháttur - Laplace-virki

Virkinn

∆ = 𝜕2𝑥1+ · · · + 𝜕2𝑥𝑚

kallast Laplace-virkinn í 𝑚 breytistærðum.

7


3.1.3 Skilgreining - Stig hlutafleiðu og hlutafleiðujöfnu

Hlutafleiðan 𝜕𝛼𝑢 hefur stig |𝛼| = 𝛼1 + · · · + 𝛼𝑚. Hæsta stig á afleiðu sem kemur fyrir í hlutafleiðujöfnu nefniststig hlutafleiðujöfnunnar.

Við munum skoða dæmi um hlutafleiðujöfnur og læra mismunandi aðferðir við að leysa þær. Í sumumtilfellum má leysa jöfnurnar og skrifa niður beina lausn en oft þarf að nota tölulegar aðferðir til að leysa verkefnin.Töluleg verkefni verða viðfangsefni síðara hluta námskeiðsins.

3.1.4 Línulegar hlutafleiðujöfnur

Við munum eingöngu fást við línulegar hlutafleiðujöfnur í þessu námskeiði. Hlutafleiðujafna er sögð vera línulegtef hægt er að rita hana á forminu ∑

|𝛼|≤𝑚

𝑎𝛼(𝑥)𝜕𝛼𝑢(𝑥) = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋 ⊆ R𝑛.

Fallið 𝑢 er óþekkta stærðin sem við viljum reikna, 𝑎𝛼(𝑥) eru stuðlar sem geta verið háðir 𝑥 og fallið 𝑓 er gefið. Ef𝑓 er núllfallið segjum við að hlutafleiðujafan sé óhliðruð en annars að hún sé hliðruð.

Við munum einnig nota ritháttin

𝐿𝑢 = 𝑓

þar sem við lítum á

𝐿 =∑

|𝛼|≤𝑚

𝑎𝛼(𝑥)𝜕𝛼

sem línulegan virkja 𝐿 : 𝐶𝑚(𝑋) → 𝐶(𝑋), 𝑋 ⊆ R𝑛 sem úthlutar falli línulegri samantekt af fallinu sjálfu oghlutafleiðum þess upp að stigi 𝑚. Virkinn 𝐿 er línulegur því

𝐿(𝑎𝑢+ 𝑏𝑣) = 𝑎𝐿(𝑢) + 𝑏𝐿(𝑣)

fyrir hvaða tölur 𝑎 og 𝑏 sem er. Kjarni eða núllrúm virkjans 𝐿 er skilgreint sem mengi allra þeirra 𝑢 ∈ 𝐶𝑚(𝑋)sem eru lausnir á óhliðruðu jöfnunni 𝐿𝑢 = 0. Ef 𝑢𝑝 er lausn á 𝐿𝑢 = 𝑓 þá er sérhver önnur lausn á forminu𝑢 = 𝑣 + 𝑢𝑝 þar sem 𝑣 er í núllrúminu.

3.2 Dæmi um hlutafleiðujöfnur í eðlisfræði

3.2.1 Varmaleiðnijafnan

Ef 𝑇 er fall af 𝑚+ 1 breytistærðum 𝑥1, . . . , 𝑥𝑚, 𝑡 kallast jafnan

𝜕𝑇

𝜕𝑡− 𝜅∆𝑇 = 𝑓(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚, 𝑡)

varmaleiðnijafnan í 𝑚 rúmvíddum. Talan 𝜅 ákvarðast af eiginleikum þess kerfis sem fengist er við og fallið 𝑓svarar til ytri áhrifa á kerfið.

Varmaleiðnijafnan lýsir því hvernig hitastig 𝑇 í hlut breytist með tíma. Þá svarar 𝑓 til áhrifa ytri varmagjafa.Jafnan getur einnig lýst dreifingu efnis sem leyst er upp í vökva og er þá gjarnan nefnd sveimjafna.

3.2.2 Bylgjujafnan

Ef 𝑢 er fall af 𝑚+ 1 breytistærðum 𝑡, 𝑥1, . . . , 𝑥𝑚 kallast jafnan

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2− 𝑐2∆𝑢 = 𝑓(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚, 𝑡)

8 Kafli 3. Hlutafleiðujöfnur


bylgjujafnan í 𝑚 rúmvíddum. Talan 𝑐 hefur einingu hraða og ákvarðast af eiginleikum þess kerfis sem fengist ervið og fallið 𝑓 svarar til svarar til ytri áhrifa á kerfið.

Bylgjujafnan kemur mjög víða við sögu í eðlisfræði. Hún getur til dæmis lýst sveiflu á einvíðum streng eða tvívíðritrommu en þá táknar 𝑢 færslu strengsins eða trommuskinnsins frá jafnvægisstöðu og 𝑓 svarar til ytri krafts, t.d. efstrengurinn er plokkaður eða tromman slegin. Annað dæmi er lýsing á útbreiðslu rafsegulbylgna en í því tilfellimá leiða bylgjujöfnuna út frá jöfnum Maxwells.

3.2.3 Dæmi - Sveifla á einvíðum streng

Hér má sjá lausn á bylgjujöfnunni

𝜕2𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2− 𝑐2

𝜕2𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥2= 0

fyrir 𝑥 á bilinu [0, 𝐿] með jaðarskilyrðunum 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0 (strengurinn er fastur í báða enda) og upphafs-skilyrðunum 𝑢(𝑥, 0) = 𝑎(𝑥), 𝜕𝑡𝑢(𝑥, 0) = 𝑏(𝑥). Upphaflegu stillingarnar eru 𝐿 = 2𝜋, 𝑎(𝑥) = sin(2𝑥) + sin(3𝑥)og 𝑏(𝑥) = sin(𝑥).

polarggb.png

3.3 Hliðarskilyrði. Vel framsett verkefni

Skoðum verkefnið að ákvarða fall 𝑢 sem uppfyllir hlutafleiðujöfnu 𝐿𝑢 = 𝑓 á mengi 𝑋 × 𝐼 ∈ R𝑛+1, þar sem𝑋 ⊆ R𝑛 er opið mengi og 𝐼 ⊆ R er bil. Hugsum um breytuna 𝑥 ∈ 𝑋 sem rúmbreytu og breytuna 𝑡 ∈ 𝐼 sem tíma.

Til að ákvarða 𝑢 ótvírætt þarf oft hliðarskilyrði á fallið. Þau geta verið á eftirfarandi formi.

3.3.1 Upphafsskilyrði

Þá eru gildi á fallinu 𝑢 og einhverjum tímaafleiðum þess 𝜕𝑡𝑢, 𝜕2𝑡 𝑢, . . . gefin á ákveðnum upphafstíma. Nefnasteinnig Cauchy-skilyrði.

3.3.2 Jaðarskilyrði

Skilgreinum stefnuafleiðu 𝑢 út um jaðar 𝑋 með

𝜕𝑢

𝜕𝑛= ∇𝑢 ·

þar sem ∇ er stigull með tilliti til rúmbreytanna og er einingarþvervigur sem stefnir út úr 𝑋 (þegar það hefurmerkingu).

Mikilvæg jaðarskilyrði sem koma upp víða í eðlisfræði eru á eftirfarandi formi

3.3. Hliðarskilyrði. Vel framsett verkefni 9


1. Lausnin 𝑢 er tilgreind á jaðri svæðisins. Nefnist Dirichlet-skilyðri eða fallsjaðarskilyrði.

2. Stefnuafleiðan 𝜕𝑢/𝜕𝑛 er tilgreind á jaðri svæðisins. Nefnist Neumann-skilyrði eða flæðisskilyrði.

3. Línuleg samantekt af 𝑢 og 𝜕𝑢/𝜕𝑛 er tilgreind á jaðri svæðis. Nefnist Robin-skilyrði eða blandað jaðarskil-yrði.

Athugið að jaðarskilyrði fyrir venjulegar afleiðujöfnur eru yfirleitt í 1 eða 2 punktum en jaðar mengis 𝑋 ⊆ Rgetur verið mjög almennur.

3.3.3 Vel framsett verkefni

Úrlausn á hlutafleiðujöfnu með hliðarskilyrðum nefnist vel framsett verkefni, ef eftirfarandi þrjú skilyrði eru upp-fyllt:

1. Tilvist: Til er lausn sem uppfyllir jöfnuna og öll hliðarskilyrðin.

2. Ótvíræðni: Aðeins ein lausn er til.

3. Stöðugleiki: Lausnin er stöðug í þeim skilningi að lítilsháttar frávik frá hliðarskilyrðum kemur fram ílítilsháttar fráviki frá lausninni. Í hverju verkefni um sig þarf að skigreina hvaða mælikvarði er lagður áfrávik í hliðarskilyrðum og í lausn.

Við munum leggja mesta áherslu á skilyrðið 1. Tilvist í þessu námskeiði.

3.4 Fyrsta stigs jöfnur

Línuleg fyrsta stigs hlutafleiðujafna af tveimur breytistærðum (𝑥, 𝑦) er af gerðinni

𝑎(𝑥, 𝑦)𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑏(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑐(𝑥, 𝑦)𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦).

Skoðum aðferðir við að leysa slíkar jöfnur.

3.4.1 Kennilínuaðferðin

3.4.2 Setning

Fall 𝑢 ∈ 𝐶1(R2) er lausn á jöfnunni

𝑎𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑏

𝜕𝑢

𝜕𝑦= 0

þar sem (𝑎, 𝑏) ∈ R2 og (𝑎, 𝑏) = (0, 0) þá og því aðeins að 𝑢 sé af gerðinni

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑏𝑥− 𝑎𝑦)

með 𝑓 ∈ 𝐶1(R).

3.4.3 Setning

Upphafsgildisverkefnið 𝑎𝜕𝑢𝜕𝑥 + 𝑏𝜕𝑢𝜕𝑦 = 0, (𝑥, 𝑦) ∈ R2,

𝑢(𝑥, 0) = 𝜑(𝑥), 𝑥 ∈ R

þar sem 𝜑 ∈ 𝐶1(R) er gefið fall og 𝑏 = 0 hefur ótvírætt ákvarðaða lausn

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝜑(𝑥− 𝑎𝑦/𝑏).



3.4.4 Skilgreining

Lína sem hefur stefnuvigur samsíða (𝑎, 𝑏) nefnist kennilína afleiðuvirkjans 𝑎𝜕𝑥 + 𝑏𝜕𝑦 .

3.4.5 Skilgreining

Sérhver lausn á afleiðujöfnuhneppinu

𝜉′ = 𝑎(𝜉, 𝜂), 𝜂′ = 𝑏(𝜉, 𝜂),

nefnist kenniferill eða kennilína afleiðuvirkjans

𝑎(𝑥, 𝑦)𝜕

𝜕𝑥+ 𝑏(𝑥, 𝑦)

𝜕

𝜕𝑦

3.4.6 Reikniaðferð

Finna skal lausn á upphafsgildisverkefninu𝑎(𝑥, 𝑦)𝜕𝑢

𝜕𝑥 + 𝑏(𝑥, 𝑦)𝜕𝑢𝜕𝑦 = 0, (𝑥, 𝑦) ∈ R2,

𝑢(𝑥, 0) = 𝜑(𝑥), 𝑥 ∈ R.

1. Tökum punkt (𝑥, 𝑦) í (𝜉, 𝜂) plani. Leysum verkefnið

𝜉′ = 𝑎(𝜉, 𝜂), 𝜂′ = 𝑏(𝜉, 𝜂), 𝜉(0) = 𝑥, 𝜂(0) = 𝑦.

2. Ef til er ótvírætt ákvörðuð lausn (𝜉(𝑡), 𝜂(𝑡)) á einhverju opnu bili fyrir sérhvert (𝑥, 𝑦) og ferillinn sker𝜉-ásinn í nákvæmlega einum punkti (𝑠(𝑥, 𝑦), 0) þá er lausnin gefin með formúlunni

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝜑(𝑠(𝑥, 𝑦)).

3.4.7 Úrlausn með Laplace-ummyndun

Laplace ummyndun er gagnleg þegar leysa skal upphafsgildisverkefni og virkar einnig þegar um hlutafleiðujöfnurer að ræða. Eftirfarandi reikniaðferð má beita á fyrsta stigs hlutafleiðujöfnu falls 𝑢(𝑥, 𝑡) þegar stuðlarnir eru ekkiháðir 𝑡.

1. Tökum Laplace-mynd af báðum hliðum miðað við breytistærðina 𝑡. Gert er ráð fyrir að víxla megi áafleiðum og heildum þar sem þarf.

2. Þá fæst fyrsta stigs venjuleg afleiðujafna í 𝑥 fyrir fallið

𝑈(𝑥, 𝑠) = ℒ𝑢(𝑥, 𝑡)(𝑠) =

∫ ∞

0

𝑒−𝑠𝑡𝑢(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡

sem má leysa með almennri lausnarformúlu.

3. Lausn upphaflega verkefnisins fæst með því að taka andhverfu Laplace-myndina af 𝑈(𝑥, 𝑠).

3.4.8 Dæmi

Upphafsgildisverkefnið 𝜕𝑢𝜕𝑡 + 𝑥𝜕𝑢

𝜕𝑥 + 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑡), 𝑥 > 0, 𝑡 > 0,𝑢(𝑥, 0) = 𝑢(0, 𝑡) = 0.

hefur lausnina

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑥−1

∫ 𝑥

0

𝐻(𝑡− ln(𝑥/𝜉))𝑓(𝜉, 𝑡− ln(𝑥/𝜉))𝑑𝜉

þar sem 𝐻 táknar Heaviside-fallið.

3.4. Fyrsta stigs jöfnur 11

KAFLI 4

Fourier-raðir

4.1 Inngangur

Rifjum upp að ef við höfum grunn af vigrum 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 í R𝑛 má rita sérhvern vigur 𝑦 sem

𝑦 = 𝑎1𝑥1 + · · · + 𝑎𝑛𝑥𝑛

þar sem stuðlarnir 𝑎1, . . . , 𝑎𝑛 eru ótvírætt ákvarðaðir. Við munum nú spyrja okkur spurningarinnar, er hægt að geraeitthvað sambærilegt þegar vigurrúmið er óendanlega vítt, t.d. þegar það samanstendur af föllum. Við þekkjumdæmi um slíkt, þegar rita má óendanlega oft diffranlegt fall 𝑓 með Taylor-röð þess

𝑓(𝑥) = 𝑎0 · 1 + 𝑎1𝑥+ 𝑎2𝑥2 + · · · , þar sem 𝑎𝑛 =

𝑓 (𝑛)(0)

𝑛!.

Í þessum kafla munum við skilgreina svokallaðar Fourier-raðir sem líta svipað út en í stað fallanna 1, 𝑥, 𝑥2, . . .munum við liða lotubundin föll 𝑓 í grunn sem samanstendur af hornaföllum (eða jafngilt, veldisvísisföllum), finnaformúlur fyrir stuðlunum í framsetningunni og loks skoða hvernig má nota raðirnar við lausn hlutafleiðujafna.

4.1.1 Skilgreining

Fall 𝑓 : R → R er sagt vera 𝑇 -lotubundið ef 𝑓(𝑥+ 𝑇 ) = 𝑓(𝑥) fyrir öll 𝑥 ∈ R.

4.2 Fourier-raðir

Við munum skoða tilfellið þegar föllin eru lotubundin með lotu 2𝜋 og sjá hvaða skilyrði tryggja að hægt sé að liðaslík föll í grunn sem samanstendur af hornaföllunum sin(𝑛𝑥) og cos(𝑛𝑥) annars vegar eða 𝑒𝑛𝑖𝑥 hins vegar, þarsem 𝑛 ≥ 0.

4.2.1 Skilgreining

Látum 𝐼 ⊆ R vera bil.

1) Rúmið 𝐿1(𝐼) er mengi þeirra falla 𝑓 : 𝐼 → C þannig að

13


∫𝐼

|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 <∞.

2) Rúmið 𝐿2(𝐼) er mengi þeirra falla 𝑓 : 𝐼 → C þannig að∫𝐼

|𝑓(𝑥)|2𝑑𝑥 <∞.

Ef 𝑓 og 𝑔 eru föll í 𝐿2(𝐼) kallast

⟨𝑓, 𝑔⟩ =1

|𝐼|

∫𝐼

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥

innfeldi þeirra (misjafnt er hvort deilt er með |𝐼|, lengdinni á 𝐼 , í skilgreiningunni). Ef ⟨𝑓, 𝑔⟩ = 0 segjum við að 𝑓og 𝑔 séu hornrétt.

Athugið: 𝐿𝑗(𝐼), 𝑗 = 1, 2 eru vigurrúm, af því að

1. Ef 𝑓 ∈ 𝐿𝑗(𝐼) og 𝑔 ∈ 𝐿𝑗(𝐼) þá er fallið 𝑓 + 𝑔 ∈ 𝐿𝑗(𝐼)

2. Ef 𝑓 ∈ 𝐿𝑗(𝐼) þá er 𝛼𝑓 ∈ 𝐿𝑗(𝐼), þar sem 𝛼 ∈ R

4.2.2 Skilgreining

Ef 𝑓 ∈ 𝐿1([−𝜋, 𝜋]) er 2𝜋-lotubundið þá skilgreinum við Fourier-stuðla þess með

𝑐𝑛 = 𝑐𝑛(𝑓) =1

2𝜋

∫ 𝜋

−𝜋

𝑒−𝑖𝑛𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑛 = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . ,

Fourier-kósínus-stuðla 𝑓 með

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛(𝑓) =1

𝜋

∫ 𝜋

−𝜋

𝑓(𝑥) cos(𝑛𝑥)𝑑𝑥, 𝑛 = 0, 1, 2, . . . ,

og Fourier-sínus-stuðla 𝑓 með

𝑏𝑛 = 𝑏𝑛(𝑓) =1

𝜋

∫ 𝜋

−𝜋

𝑓(𝑥) sin(𝑛𝑥)𝑑𝑥, 𝑛 = 1, 2, . . . .

Raðirnar

𝑎02

+∑𝑛≥1

(𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥) + 𝑏𝑛 sin(𝑛𝑥)) og∞∑

𝑛=−∞𝑐𝑛𝑒

𝑖𝑛𝑥

kallast Fourier-raðir 𝑓 og til aðgreiningar er sú fyrri oft nefnd hornafallaröð 𝑓 .

polarggb.png

14 Kafli 4. Fourier-raðir


2𝜋-lotubundna fallið er skilgreint með því að gefa formúlu fyrir því á bilinu [0, 2𝜋].

Athugið: Þegar 𝑇 -lotubundið fall er heildað yfir eina lotu skiptir ekki máli hvar upphafspunktur heildisins ervalinn, þ.e. ∫ 𝑇/2

−𝑇/2

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =

∫ 𝑇

0

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =

∫ 𝛼+𝑇

𝛼

𝑓(𝑥)𝑑𝑥, fyrir öll 𝛼 ∈ R.

4.2.3 Setning - Reiknireglur

Látum 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿1([−𝜋, 𝜋]) vera 2𝜋-lotubundin föll.

1. Fourier-stuðlarnir eru línulegar varpanir á 𝐿1([−𝜋, 𝜋]),

𝑎𝑛(𝛼𝑓 + 𝛽𝑔) = 𝛼𝑎𝑛(𝑓) + 𝛽𝑎𝑛(𝑔)

𝑏𝑛(𝛼𝑓 + 𝛽𝑔) = 𝛼𝑏𝑛(𝑓) + 𝛽𝑏𝑛(𝑔)

𝑐𝑛(𝛼𝑓 + 𝛽𝑔) = 𝛼𝑐𝑛(𝑓) + 𝛽𝑐𝑛(𝑔)

2. Eftirfarandi samband gildir

𝑎0 = 2𝑐0, 𝑎𝑛 = 𝑐𝑛 + 𝑐−𝑛, 𝑏𝑛 = 𝑖(𝑐𝑛 − 𝑐−𝑛),

𝑐0 =𝑎02, 𝑐𝑛 =

1

2(𝑎𝑛 − 𝑖𝑏𝑛), 𝑐−𝑛 =

1

2(𝑎𝑛 + 𝑖𝑏𝑛), 𝑛 ≥ 1.

3. Ef 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 𝛼) , þar sem 𝛼 ∈ R þá er 𝑐𝑛(𝑔) = 𝑒𝑖𝑛𝛼𝑐𝑛(𝑓) fyrir öll 𝑛 = 0,±1,±2, . . ..

4. Ef 𝑓 er raungilt fall þá eru 𝑎𝑛(𝑓) og 𝑏𝑛(𝑓) rauntölur og 𝑐−𝑛(𝑓) = 𝑐𝑛(𝑓).

5. Ef 𝑓 er jafnstætt fall þá er 𝑏𝑛(𝑓) = 0 fyrir öll 𝑛 = 1, 2, 3, . . . og

𝑎𝑛(𝑓) =2

𝜋

∫ 𝜋

0

𝑓(𝑥) cos(𝑛𝑥)𝑑𝑥.

6 Ef 𝑓 er oddstætt fall þá er 𝑎𝑛(𝑓) = 0 fyrir öll 𝑛 = 0, 1, 2, . . . og

𝑏𝑛(𝑓) =2

𝜋

∫ 𝜋

0

𝑓(𝑥) sin(𝑛𝑥)𝑑𝑥.

7. Ef 𝑓, 𝑓 ′, . . . , 𝑓 (𝑚) eru í 𝐿1([−𝜋, 𝜋]) þá er

𝑐𝑛(𝑓 (𝑘)) = (𝑖𝑛)𝑘𝑐𝑛(𝑓), 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚, 𝑛 ∈ Z.

4.2.4 Skilgreining

Ef 𝑓 ∈ 𝐿1([−𝑇/2, 𝑇/2]) er 𝑇 -lotubundið þá setjum við 𝜔 = 2𝜋/𝑇 og skilgreinum Fourier-stuðla þess með

𝑐𝑛 = 𝑐𝑛(𝑓) =1

𝑇

∫ 𝑇/2

−𝑇/2

𝑒−𝑖𝑛𝜔𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑛 = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . ,

Fourier-kósínus-stuðla 𝑓 með

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛(𝑓) =2

𝑇

∫ 𝑇/2

−𝑇/2

𝑓(𝑥) cos(𝑛𝜔𝑥)𝑑𝑥, 𝑛 = 0, 1, 2, . . . ,

4.2. Fourier-raðir 15


og Fourier-sínus-stuðla 𝑓 með

𝑏𝑛 = 𝑏𝑛(𝑓) =2

𝑇

∫ 𝑇/2

−𝑇/2

𝑓(𝑥) sin(𝑛𝜔𝑥)𝑑𝑥, 𝑛 = 1, 2, . . . .

Raðirnar

𝑎02

+∑𝑛≥1

(𝑎𝑛 cos(𝑛𝜔𝑥) + 𝑏𝑛 sin(𝑛𝜔𝑥)) og∞∑


𝑖𝑛𝜔𝑥

kallast Fourier-raðir 𝑓 og til aðgreiningar er sú fyrri oft nefnd hornafallaröð 𝑓 .

Athugið: Sambærilegar reiknireglur fyrir 𝑇 -lotubundin fást út frá reglunum fyrir 2𝜋-lotubundin föll, með þvíað „skipta 2𝜋 út fyrir 𝑇 “ á viðeigandi stöðum.

4.3 Samleitni Fourier-raða

Í þessari grein fjöllum við um skilyrði sem tryggja samleitni Fourier-raða falls og hvenær og í hvaða skilningifallið er jafnt Fourier-röð sinni. Við munum notast talsvert við innfeldið sem skilgreint er á 𝐿2([−𝜋, 𝜋]) og setjumþví fram nokkrar reiknireglur um innfeldi

4.3.1 Reiknireglur um innfeldi

Ef 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝐿2([−𝜋, 𝜋]) og 𝛼, 𝛽 ∈ C þá gilda eftirfarandi reiknireglur

⟨𝛼𝑢+ 𝛽𝑣,𝑤⟩ = 𝛼⟨𝑢,𝑤⟩ + 𝛽⟨𝑣, 𝑤⟩,⟨𝑢, 𝛼𝑣 + 𝛽𝑤⟩ = 𝛼⟨𝑢, 𝑣⟩ + 𝛽⟨𝑢,𝑤⟩,

⟨𝑢, 𝑣⟩ = ⟨𝑣, 𝑢⟩,⟨𝑢, 𝑢⟩ ≥ 0.

Síðasta reglan leyfir okkur að skilgreina lengd eða staðal fallsins 𝑢 sem

‖𝑢‖ =√

⟨𝑢, 𝑢⟩.

Ein mikilvægasta ójafna stærðfræðinnar er Cauchy-Schwarz ójafnan

4.3.2 Cauchy-Schwarz ójafna

Fyrir 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐿2([−𝜋, 𝜋]) gildir

|⟨𝑢, 𝑣⟩| ≤ 1

2𝜋

∫ 𝜋

−𝜋

|𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)|𝑑𝑥 ≤ ‖𝑢‖‖𝑣‖.

Athugum nú að föllin 𝑒𝑖𝑛𝑥 og 𝑒𝑖𝑚𝑥 eru hornrétt ef 𝑛 = 𝑚 því þá gildir

⟨𝑒𝑖𝑛𝑥, 𝑒𝑖𝑚𝑥⟩ =1

2𝜋

∫ 𝜋

−𝜋

𝑒(𝑛−𝑚)𝑖𝑥𝑑𝑥 =

[𝑒(𝑛−𝑚)𝑖𝑥

𝑖(𝑛−𝑚)

]𝜋−𝜋

= 0.

Ef 𝑛 = 𝑚 gildir hins vegar að ⟨𝑒𝑖𝑛𝑥, 𝑒𝑖𝑚𝑥⟩ = 1.

Ef rita má 2𝜋-lotubundið fall 𝑓 með röð á forminu

𝑓(𝑥) =

∞∑𝑛=−∞

𝑐𝑛𝑒𝑖𝑛𝑥



og ef víxla má á heildi og óendanlegri summu í eftirfarandi reikningum þá fæst

1

2𝜋

∫ 𝜋

−𝜋

𝑓(𝑥)𝑒−𝑖𝑚𝑥𝑑𝑥 = ⟨𝑓, 𝑒𝑖𝑚𝑥⟩ =

∞∑𝑛=−∞

𝑐𝑛⟨𝑒𝑖𝑛𝑥, 𝑒−𝑖𝑚𝑥⟩ = 𝑐𝑚.

Þar með eru stuðlarnir 𝑐𝑛 ótvírætt ákvarðaðir og jafnir Fourier-stuðlum fallsins 𝑓 og 𝑓 er jafnt Fourier-röð sinni. Íframhaldinu munum við fjalla betur um þessa reikninga og undir hvaða skilyrðum þeir eru rættlætanlegir.

4.3.3 Regla Pýþagórasar

Ef 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐿2[−𝜋, 𝜋] eru hornrétt, þá er

‖𝑢+ 𝑣‖2 = ‖𝑢‖2 + ‖𝑣‖2.

Nokkuð einfalt er að sanna eftirfarandi ójöfnu.

4.3.4 Bessel-ójafnan

Ef 𝑓 ∈ 𝐿2([−𝜋, 𝜋]) er 2𝜋–lotubundið og hefur Fourier-stuðla 𝑐𝑛 = 𝑐𝑛(𝑓), þá er

+∞∑𝑛=−∞

|𝑐𝑛|2 ≤ 1

2𝜋

∫ 𝜋

−𝜋

|𝑓(𝑥)|2 𝑑𝑥.

Losaralegir reikningar leyfa okkur að færa rök fyrir því að sterkari niðurstaða gildir, ójafnan er í raun jafna:

Ef rita má

𝑓(𝑥) =

∞∑𝑛=−∞


og að því gefnu að víxla megi á óendanlegum summum og heildum í eftirfarandi reikningum þá er

1

2𝜋

∫ 𝜋

−𝜋

|𝑓(𝑥)|2 𝑑𝑥 = ⟨𝑓, 𝑓⟩ = ⟨∞∑


𝑖𝑛𝑥,

∞∑𝑚=−∞

𝑐𝑚𝑒𝑖𝑚𝑥⟩

=

∞∑𝑛=−∞

∞∑𝑚=−∞

𝑐𝑛𝑐𝑚⟨𝑒𝑖𝑛𝑥, 𝑒𝑖𝑚𝑥⟩ =

∞∑𝑛=−∞

∞∑𝑚=−∞

𝑐𝑛𝑐𝑚𝛿𝑛𝑚 =

∞∑𝑛=−∞

|𝑐𝑛|2.

Táknið 𝛿𝑛𝑚 sem kallast Kronecker-𝛿 og uppfyllir 𝛿𝑚𝑛 = 1 ef 𝑚 = 𝑛 en 𝛿𝑚𝑛 = 0 annars. Það er talsvert flóknaraað réttlæta þessa niðurstöðu með fullnægjandi hætti en það er hægt og við ræðum niðurstöðuna aftur þegar viðfjöllum um Parseval-jöfnuna.

4.3.5 Skilgreining

Fall 𝑓 á R er sagt vera samfellt deildanlegt á köflum ef skipta má R í endanlega mörg bil með skiptipunktum𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑘 þannig að fallið er samfellt diffranlegt á opnu bilunum ]𝑥𝑗 , 𝑥𝑗+1[ og afleiðan hefur markgildi fráhægri í vinstri endapunkti bils og markgildi frá vinstri í hægri endapunkti bils. Mengi falla sem eru samfelltdeildanleg á köflum er táknað með 𝑃𝐶1(R).

Við munum skoða föll sem eru 2𝜋-lotubundin og tilheyra menginu 𝑃𝐶1(R) ∩ 𝐶(R), þ.e. eru samfellt diffranlegá köflum og samfelld. Dæmi um slíkt fall er 2𝜋-lotubundna fallið sem er skilgreint með formúlunni 𝑓(𝑥) = 𝑥2 á[−𝜋, 𝜋].

4.3. Samleitni Fourier-raða 17


4.3.6 Setning

Ef 𝑓 ∈ 𝑃𝐶1(R) ∩ 𝐶(R) er 2𝜋–lotubundið, þá er 𝑐𝑛(𝑓 ′) = 𝑖𝑛𝑐𝑛(𝑓),

+∞∑𝑛=−∞

|𝑐𝑛(𝑓)| < +∞,

og þar með er Fourier–röðin∑+∞

−∞ 𝑐𝑛(𝑓)𝑒𝑖𝑛𝑥 samleitin í jöfnum mæli á R.

Meginniðurstaða þessarar greinar er eftirfarandi setning sem sýnir undir hvaða skilyrðum og í hvaða skilningi faller jafnt Fourier-röð sinni. Rifjum upp ritháttinn

𝑓(𝑥+) = lim𝑦→𝑥+

𝑓(𝑦) og 𝑓(𝑥−) = lim𝑦→𝑥−

𝑓(𝑦)

4.3.7 Setning - Andhverfuformúla Fouriers

Ef 𝑓 ∈ 𝑃𝐶1(R) er 2𝜋–lotubundið fall með Fourier–stuðla 𝑐𝑛 = 𝑐𝑛(𝑓), Fourier-kósínus–stuðla 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛(𝑓) ogFourier–sínus–stuðla 𝑏𝑛 = 𝑏𝑛(𝑓), þá gildir

12

(𝑓(𝑥+) + 𝑓(𝑥−)

)=

+∞∑𝑛=−∞

𝑐𝑛𝑒𝑖𝑛𝑥 = lim

𝑁→+∞

𝑁∑𝑛=−𝑁


= 12𝑎0 +

∞∑𝑛=1

(𝑎𝑛 cos𝑛𝑥+ 𝑏𝑛 sin𝑛𝑥

).

Í punktum 𝑥 þar sem 𝑓 er samfellt gildir 𝑓(𝑥) = 12

(𝑓(𝑥+) + 𝑓(𝑥−)

)og þar með er

𝑓(𝑥) =

+∞∑𝑛=−∞

𝑐𝑛𝑒𝑖𝑛𝑥 = 1

2𝑎0 +

∞∑𝑛=1

(𝑎𝑛 cos𝑛𝑥+ 𝑏𝑛 sin𝑛𝑥

).

Ef 𝑓 ∈ 𝑃𝐶1(R) ∩ 𝐶(R), þá eru raðirnar samleitnar í jöfnum mæli á R.

Þegar 2𝜋-lotubundið fall 𝑓 ∈ 𝐿2([−𝜋, 𝜋]) er ósamfellt gildir almennt ekki að það sé jafnt Fourier-röð sinni íósamfelldnipunktunum. Við getum samt spurt okkur hvort hægt sé að tala um að fallið sé jafnt Fourier-röð sinni íeinhverjum öðrum skilningi. Eftirfarandi setning segir okkur að hlutsumman

𝑠𝑁 =

𝑁∑𝑛=−𝑁

𝑐𝑛(𝑓)𝑒𝑖𝑛𝑥

stefnir á fallið 𝑓 í staðlinum ‖ · ‖ á 𝐿2([−𝜋, 𝜋]).

4.3.8 Setning - Parseval-jafnan

Ef 𝑓 ∈ 𝐿2[−𝜋, 𝜋] er 2𝜋–lotubundið, þá gildir

‖𝑓 − 𝑠𝑁‖2 =1

2𝜋

∫ 𝜋

−𝜋

|𝑓(𝑥) −𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝑐𝑛(𝑓)𝑒𝑖𝑛𝑥|2 𝑑𝑥→ 0, 𝑁 → +∞

og af þessu leiðir jafna Parseval

+∞∑𝑛=−∞

|𝑐𝑛(𝑓)|2 =1

2𝜋

∫ 𝜋

−𝜋

|𝑓(𝑥)|2 𝑑𝑥,



Athugið: Mismunurinn ‖𝑓 −∑𝑁

𝑛=−𝑁 𝑐*𝑛𝑒𝑖𝑛𝑥‖2 nefnist ferskekkja nálgunar 𝑓 með

∑𝑁𝑛=−𝑁 𝑐*𝑛𝑒

𝑖𝑛𝑥. Hægt erað sýna að lágmarks ferskekkja fæst með því að velja stuðlana 𝑐*𝑛 = 𝑐𝑛(𝑓).

4.4 Ágrip um samleitni Fourier-raða

4.4.1 Inngangur

Við viljum setja fall 𝑓 fram með Fourier-röð ℱ .

1. Hvenær er ℱ samleitin?

2. Hvenær og í hvaða skilningi er fallið jafnt Fourier-röð sinni, þ.e.a.s. 𝑓 = ℱ?

3. Hve góð er framsetningin?

4.4.2 𝐿2-föll

Gerum ráð fyrir að 𝑓, 𝑔 : [−𝜋, 𝜋] → R(C) séu 2𝜋-lotubundin föll og 𝑔, 𝑓 ∈ 𝐿2([−𝜋, 𝜋]). Athugum að

||𝑓 ||2 = ⟨𝑓, 𝑓⟩ =1

2𝜋

∫ 𝜋

−𝜋

|𝑓(𝑥)|2𝑑𝑥 ,

⟨𝑓, 𝑔⟩ =1

2𝜋

∫ 𝜋

−𝜋

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 .

Þá gildir

1. Cauchy-Schwarz ójafnan:

|⟨𝑓, 𝑔⟩| ≤ ||𝑓 || ||𝑔|| .2. Regla Pýþagórasar: ef 𝑓, 𝑔 eru hornrétt, þ.e.a.s. ⟨𝑓, 𝑔⟩ = 0, þá gildir

||𝑓 + 𝑔||2 = ||𝑓 ||2 + ||𝑔||2 .3. Bessel-ójafnan:

∞∑𝑛=−∞

|𝑐𝑛(𝑓)|2 ≤ 1

2𝜋

∫ 𝜋

−𝜋

|𝑓(𝑥)|2𝑑𝑥 ,

þar sem 𝑐𝑛(𝑓) eru Fourier-stuðlar fallsins 𝑓 .

4. Af Bessel-ójafnunni leiðir að

lim𝑛→±∞

𝑐𝑛(𝑓) = 0 .

5. ‘‘Skekkjan“ stefnir á núll

lim𝑁→∞

||𝑓 − 𝑠𝑁 ||2 = lim𝑁→∞

∫ 𝜋

−𝜋

|𝑓(𝑥) − 𝑠𝑁 (𝑥)|2 𝑑𝑥2𝜋

= 0 ,

þar sem

𝑠𝑁 (𝑥) =

𝑁∑𝑛=−𝑁

𝑐𝑛(𝑓)𝑒𝑖𝑛𝑥 .

6. Parseval-jafna:∞∑

𝑛=−∞|𝑐𝑛(𝑓)|2 =

1

2𝜋

∫ 𝜋

−𝜋

|𝑓(𝑥)|2𝑑𝑥 ,

þar sem 𝑐𝑛(𝑓) eru Fourier-stuðlar fallsins 𝑓 .

4.4. Ágrip um samleitni Fourier-raða 19


4.4.3 𝑃𝐶1-föll

Gerum ráð fyrir að 𝑓 : [−𝜋, 𝜋] → R(C) sé 2𝜋-lotubundið fall og 𝑓 ∈ 𝑃𝐶1(R). Þá gildir

1. Andhverfuformúla Fouriers:𝑓(𝑥+) + 𝑓(𝑥−)

2=

lim𝑁→∞

𝑁∑𝑛=−𝑁

𝑐𝑛(𝑓)𝑒𝑖𝑛𝑥 =

∞∑𝑛=−∞


=

𝑎02

+ lim𝑁→∞

𝑁∑𝑛=1

𝑎𝑛(𝑓) cos(𝑛𝑥) + 𝑏𝑛(𝑓) sin(𝑛𝑥)

=

𝑎02

+

∞∑𝑛=1

𝑎𝑛(𝑓) cos(𝑛𝑥) + 𝑏𝑛(𝑓) sin(𝑛𝑥) ,

þ.e.a.s. Fourier-röðin fallsins 𝑓 stefnir á 𝑓(𝑥+)+𝑓(𝑥−)2 í hverjum punkti.

4.4.4 𝑃𝐶1 ∩ 𝐶-föll

Gerum ráð fyrir að 𝑓 : [−𝜋, 𝜋] → R(C) sé 2𝜋-lotubundið fall og 𝑓 ∈ 𝑃𝐶1(R) ∩ 𝐶(R). Þá gildir

1. Andhverfuformúla Fouriers:

𝑓(𝑥) =

lim𝑁→∞

𝑁∑𝑛=−𝑁

𝑐𝑛(𝑓)𝑒𝑖𝑛𝑥 =

∞∑𝑛=−∞


=

𝑎02

+ lim𝑁→∞

𝑁∑𝑛=1

𝑎𝑛(𝑓) cos(𝑛𝑥) + 𝑏𝑛(𝑓) sin(𝑛𝑥) =𝑎02

+

∞∑𝑛=1

𝑎𝑛(𝑓) cos(𝑛𝑥) + 𝑏𝑛(𝑓) sin(𝑛𝑥) ,

þ.e.a.s. Fourier-röðin fallsins 𝑓 stefnir á 𝑓(𝑥) í hverjum punkti.

2. Fourier-röð fallsins 𝑓 er samleitin í jöfnum mæli á R.

3. Reikniregla Fourier-stuðla:

𝑐𝑛(𝑓 ′) = 𝑖𝑛 𝑐𝑛(𝑓) , 𝑎𝑛(𝑓 ′) = 𝑛 𝑏𝑛(𝑓) , 𝑏𝑛(𝑓 ′) = −𝑛𝑎𝑛(𝑓) .

4.5 Úrlausn á hlutafleiðujöfnum

Í þessari grein munum við líta á dæmi þar sem hagnýta má Fourier-raðir við lausn jaðargildisverkefna. Byrjum átveimur mikilvægum skilgreiningum.

Þegar fengist er við ákveðnar tegundir jaðargildisverkefna getur verið gagnlegt að skilgreina lotubundna framleng-ingu af falli á bili sem annað hvort er oddstæð eða jafnstæð. Með þeim hætti má skilgreina raðir sem uppfyllasjálfkrafa jaðarskilyrðin sem gefin eru.



4.5.1 Jafnstæð framlenging og kósínus-röð

Ef 𝐿 > 0 og 𝑓 : [0, 𝐿] → C er fall á endanlegu bili skilgreinum við jafnstæða 2𝐿-lotubundna framlengingu á 𝑓með því að setja

𝑓𝐽(𝑥) =

𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ [0, 𝐿],

𝑓(−𝑥), 𝑥 ∈ [−𝐿, 0],

og framlengja 𝑓𝐽 í 2𝐿-lotubundið fall.

Jafnstæð framlenging falls 𝑓 : [0, 𝐿] → C í 2𝐿 -lotubundið fall 𝑓𝐽 .

Fourier-stuðlar 𝑓𝐽 eru gefnir með

𝑎𝑛(𝑓𝐽) =1

𝐿

∫ 𝐿

−𝐿

𝑓𝐽(𝑥) cos𝑛𝜋

𝐿𝑥𝑑𝑥

=2

𝐿

∫ 𝐿

0

𝑓𝐽(𝑥) cos𝑛𝜋

𝐿𝑥𝑑𝑥

=2

𝐿

∫ 𝐿

0

𝑓(𝑥) cos𝑛𝜋

𝐿𝑥𝑑𝑥, 𝑛 = 0, 1, 2, . . . ,

𝑏𝑛(𝑓𝐽) = 0 𝑛 = 1, 2, 3, . . . .

Stuðlarnir 𝑎𝑛 nefnast Fourier–kósínus–stuðlar fallsins 𝑓 og röðin

12𝑎0 +

∞∑𝑛=1

𝑎𝑛 cos𝑛𝜋

𝐿𝑥

kallast Fourier–kósínus–röð fallsins 𝑓 .

4.5.2 Oddstæð framlenging og sínus-röð

Ef 𝐿 > 0 og 𝑓 : [0, 𝐿] → C er fall á endanlegu bili skilgreinum við oddstæða 2𝐿-lotubundna framlengingu á 𝑓með því að setja

𝑓𝑂(𝑥) =

⎧⎪⎨⎪⎩𝑓(𝑥), 𝑥 ∈]0, 𝐿],

0, 𝑥 = 0,

−𝑓(−𝑥), 𝑥 ∈] − 𝐿, 0[,

og framlengja 𝑓𝑂 í 2𝐿-lotubundið fall.

4.5. Úrlausn á hlutafleiðujöfnum 21


Oddstæð framlenging falls 𝑓 : [0, 𝐿] → C í 2𝐿 -lotubundið fall 𝑓𝑂.

Fourier-stuðlar 𝑓𝑂 eru gefnir með

𝑎𝑛(𝑓𝑂) = 0 𝑛 = 0, 1, 2, . . . ,

𝑏𝑛(𝑓𝑂) =1

𝐿

∫ 𝐿

−𝐿

𝑓𝑂(𝑥) sin𝑛𝜋

𝐿𝑥𝑑𝑥

=2

𝐿

∫ 𝐿

0

𝑓𝑂(𝑥) sin𝑛𝜋

𝐿𝑥𝑑𝑥

=2

𝐿

∫ 𝐿

0

𝑓(𝑥) sin𝑛𝜋

𝐿𝑥𝑑𝑥, 𝑛 = 1, 2, . . . .

Stuðlarnir 𝑏𝑛 nefnast Fourier–sínus–stuðlar fallsins 𝑓 og röðin

∞∑𝑛=1

𝑏𝑛 sin𝑛𝜋

𝐿𝑥

kallast Fourier–sínus–röð fallsins 𝑓 .

Athugið: Hægt er að yfirfæra allar reiknireglur og fræðilegar niðurstöður líkt og t.d. andhverfusetningunabeint á Fourier-kósínus og Fourier-sínus raðir. Vísað er í kennslubók fyrir frekari smáatriði.

4.5.3 Setning

Látum 𝑃 vera margliðu af stigi 𝑚 og lítum á jöfnuna

𝑃 (𝐷)𝑢 = (𝑎𝑚𝐷𝑚 + 𝑎𝑚−1𝐷

𝑚−1 + · · · + 𝑎1𝐷 + 𝑎0)𝑢 = 𝑓(𝑥),

þar sem 𝑓 ∈ 𝑃𝐶1(R) ∩ 𝐶(R) er 𝑇–lotubundið fall og setjum 𝜔 = 2𝜋/𝑇 . Ef 𝑐𝑛(𝑓) = 0 fyrir öll 𝑛 þannig að𝑃 (𝑖𝑛𝜔) = 0, þá fæst 𝑇–lotubundin lausn af gerðinni

𝑢(𝑥) =

+∞∑𝑛=−∞

𝑃 (𝑖𝑛𝜔) =0

𝑐𝑛(𝑓)

𝑃 (𝑖𝑛𝜔)𝑒𝑖𝑛𝜔𝑥, 𝑥 ∈ R.

Eftirfarandi dæmi má finna í kennslubók og þar eru reikningar framkvæmdir í smáatriðum.

4.5.4 Dæmi

Notum Fourier-raðir til að leysa jaðargildisverkefnið

𝑢′′ + 𝜔2𝑢 = 𝑓(𝑥), 𝑢(0) = 𝑢(1) = 0.



Það hefur ótvírætt ákvarðaða lausn fyrir sérhvert 𝑓 ef og aðeins ef 𝜔 er ekki heiltölumargfeldi af 𝜋. Prófum aðliða 𝑢 í Fourier-sínus-röð en þá eru jaðarskilyrðin uppfyllt.

Lausnin er

𝑢(𝑥) =

∞∑𝑛=1

𝑓𝑛𝜔2 − 𝑛2𝜋2

sin(𝑛𝜋𝑥)

þar sem 𝑓𝑛 eru Fourier-sínus-stuðlar fallsins 𝑓 .

4.5.5 Dæmi - Sveiflandi strengur

Lítum á einvíðan streng af lengd 𝐿 sem festur er í báða enda. Táknum frávik hans frá jafnvægi í punkti 𝑥 á tíma 𝑡með 𝑢(𝑥, 𝑡). Fallið 𝑢(𝑥, 𝑡) uppfyllir þá bylgjujöfnuna í einni rúmbreytu ásamt jaðarskilyrðunum

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2− 𝑐2

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2= 0, 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0.

Gerum einnig ráð fyrir því að upphafsstaðan og hraðinn séu þekkt

𝑢(𝑥, 0) = 𝜙(𝑥), 𝜕𝑡𝑢(𝑥, 0) = 𝜓(𝑥), 𝑥 ∈]0, 𝐿[.

Þetta verkefni má leysa með því að liða 𝑢(𝑥, 𝑡) í Fourier-sínus–röð með miðað við breytuna 𝑥. Þannig eru jaðar-skilyrðin sjálfkrafa uppfyllt.

Lausnin verður

𝑢(𝑥, 𝑡) =

∞∑𝑛=1

(𝜙𝑛 cos

(𝑛𝜋𝑐𝑡/𝐿

)+𝜓𝑛𝐿

𝑛𝜋𝑐sin

(𝑛𝜋𝑐𝑡/𝐿

))sin(𝑛𝜋𝑥/𝐿)

þar sem 𝜑𝑛 og 𝜓𝑛 eru Fourier-sínus-stuðlar fallanna 𝜑 og 𝜓.

Lausnina má einnig rita

𝑢(𝑥, 𝑡) =

∞∑𝑛=1

𝐶𝑛 cos(𝑛𝜋𝑐𝑡/𝐿− 𝛼𝑛

)sin(𝑛𝜋𝑥/𝐿)

þar sem

𝐶𝑛 =√𝜙2𝑛 + (𝜓𝑛𝐿/𝑛𝜋𝑐)2

kallast sveifluvídd og 𝛼𝑛 kallast fasahliðrun og uppfyllir

cos𝛼𝑛 = 𝜙𝑛/𝐶𝑛, sin𝛼𝑛 = (𝜓𝑛𝐿)/(𝑛𝜋𝑐𝐶𝑛).

4.5.6 Dæmi - Varmaleiðni

Reiknum út hitastig 𝑢(𝑥, 𝑡), í punkti 𝑥 á tíma 𝑡, í einvíðri stöng af lengd 𝐿, sem er einangruð í báðum endapunkt-unum. Jaðarskilyrðin eru þá að ekkert varmaflæði er í endapunktum stangarinnar, sem þýðir að afleiða hitastigsinser núll í jaðarpunktunum 0 og 𝐿. Fallið 𝑢 uppfyllir varmaleiðnijöfnuna og við höfum því eftirfarandi jaðargildis-verkefni ⎧⎨⎩

𝜕𝑢

𝜕𝑡− 𝜅

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2= 𝑓(𝑥, 𝑡), 0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0,

𝜕𝑥𝑢(0, 𝑡) = 𝜕𝑥𝑢(𝐿, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0

með upphafsskilyrðinu

𝑢(𝑥, 0) = 𝜙(𝑥), 𝑥 ∈]0, 𝐿[.

Föllin 𝑓 og 𝜑 eru ótiltekin.

Fallið 𝑢 er liðað í Fourier-kósínus-röð til þess að jaðarskilyrði séu uppfyllt. Þá má sýna að lausnin er

𝑢(𝑥, 𝑡) =

∞∑𝑛=0

(𝜙𝑛𝑒

−𝜅(𝑛𝜋/𝐿)2𝑡 +

∫ 𝑡

0

𝑒−𝜅(𝑛𝜋/𝐿)2(𝑡−𝜏)𝑓𝑛(𝜏) 𝑑𝜏

)cos(𝑛𝜋𝑥/𝐿)

þar sem 𝜑𝑛 og 𝑓𝑛 eru Fourier-kósínus-stuðlar fallanna 𝜑 og 𝑓 .

4.5. Úrlausn á hlutafleiðujöfnum 23

KAFLI 5

Eigingildisverkefni

5.1 Eigingildisverkefni

Verkefnið að leysa afleiðujöfnu

𝐿𝑢 = 𝜆𝑢, 𝑥 ∈ 𝐼

þar sem

𝐿 = 𝑎𝑚(𝑥)𝐷𝑚 + · · · + 𝑎1(𝑥)𝐷 + 𝑎0(𝑥)

𝜆 er tvinntala og 𝐼 er bil, ásamt jaðalskilyrðum á 𝑢 á 𝐼 , kallast eigingildisverkefni. Verkefnið felst í að finna öll𝜆 ∈ C þannig að afleiðujafnan hafi lausn, segjum 𝑢𝜆, sem uppfyllir gefin jaðarskilyrði og er ekki núllfallið. Slíkgildi á 𝜆 kallast eigingildi verkefnisins og tilsvarandi lausnir 𝑢𝜆 kallast eiginföll.

Athugið: Athugið að ef við lítum á föll sem vigra og línulega virkja sem línulegar varpanir þá er greinilegsamsvörun milli eigingildisverkefna og að finna eigingildi og eiginvigra fylkis eins og við þekkjum úr línulegrialgebru.

Eigingildisverkefni koma til að mynda upp þegar hlutafleiðujöfnur eru leystar með aðskilnaði breytistærða eins ogverður fjallað um síðar.

Hugmyndin að baki eigingildisverkefnum er sú að ef eiginföllinn mynda grunn í einhverju fallarúmi þá má ritasérhvert fall í því sem línulega (mögulega óendanlega) samantekt af eiginföllum. Lítum til dæmis á verkefnið

𝐿𝑢 = 𝑓

þar sem 𝐿 hefur eiginföll 𝑣𝑗 með tilssvarandi eigingildum 𝜆𝑗 . Ef liða má 𝑓 í grunn eiginvigranna

𝑓 =∑𝑗

𝑐𝑗𝑣𝑗

þá fæst með losaralegum reikningum að

𝐿∑𝑗

𝑐𝑗𝜆𝑗𝑣𝑗 =

∑𝑗

𝑐𝑗𝜆𝑗𝐿𝑣𝑗 =

∑𝑗

𝑐𝑗𝜆𝑗𝜆𝑗𝑣𝑗 = 𝑓

og þar með er 𝑢 =∑

𝑗𝑐𝑗𝜆𝑗𝑣𝑗 lausn á verkefninu.

25


5.1.1 Dæmi

Ef 𝐿 = 𝐷 þá er sérhvert fall 𝑢𝛼(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥 eiginfall með eigingildi 𝛼 því

𝐿𝑢𝛼(𝑥) = 𝐷𝑒𝛼𝑥 = 𝛼𝑒𝛼𝑥 = 𝛼𝑢𝛼(𝑥).

Ef 𝐿 = 𝑃 (𝐷) þar sem 𝑃 er margliða með fasta stuðla þá er sérhvert fall 𝑢𝛼(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥 eiginfall með eigingildi𝑃 (𝛼) því

𝐿𝑢𝛼(𝑥) = 𝑃 (𝐷)𝑒𝛼𝑥 = 𝑃 (𝛼)𝑒𝛼𝑥 = 𝑃 (𝛼)𝑢𝛼(𝑥).

Í síðara tilfellinu er formleg lausn á verkefninu

𝐿𝑢 = 𝑓

á forminu

𝑢(𝑥) =∑𝑗

𝑐𝑛(𝑓)

𝑃 (𝛼𝑗)𝑒𝛼𝑗𝑥

ef 𝑃 (𝛼𝑗) = 0 fyrir öll 𝑗, eins og við þekkjum úr umræðunni um Fourier-raðir.

Eins og dæmið gefur til kynna má líta á Fourier-raðir sem sértilfelli af þeirri almennu hugmynd að liða föll í grunneiginfalla afleiðuvirkja. Lítum nú nánar á það í næstu dæmum. Skoðum eigingildisverkefnið

𝑇𝑢 = 𝜆𝑢, 𝑥 ∈]0, 𝐿]

þar sem 𝑇 = −𝐷2 og 𝐿 > 0, með ýmsum ólíkum jaðarskilyrðum. Tökum sérstaklega eftir því hvernig ólíkjaðarskilyrði geta gefið ólík eigingildi og/eða ólík eiginföll.

5.1.2 Fallsjaðarskilyrði í báðum endapunktum

Lítum á jaðarskilyrðin

𝑢(0) = 𝑢(𝐿) = 0.

Ef 𝜆 = 0 er lausnin á forminu 𝑢(𝑥) = 𝐴+𝐵𝑥 en jaðarskilyrðin ákvarða𝐴 = 𝐵 = 0 svo núllfallið er eina lausnin.Þar með er 0 ekki eigingildi.

Ef 𝜆 = 0 þá er lausnin á forminu 𝑢(𝑥) = 𝐴 sin(𝛽𝑥) +𝐵 cos(𝛽𝑥) þar sem 𝛽 er tvinntala sem uppfyllir 𝛽2 = 𝜆 ogmá velja þannig að Re(𝛽) ≥ 0. Skilyrðið 𝑢(0) = 0 gefur 𝐵 = 0 en skilyrðið 𝑢(𝐿) = 0 gefur

0 = sin(𝛽𝐿)

en þessi jafna hefur lausn þegar 𝛽𝐿 er heilt margfeldi af 𝜋 svo eigingildin eru

𝜆𝑛 =(𝑛𝜋𝐿

)2

, 𝑛 = 1, 2, 3, . . .

og tilsvarandi eiginföll

𝑢(𝑥) = sin(𝑛𝜋𝑥/𝐿).

Línulegar samantektir eiginfallanna∞∑

𝑛=1

𝐶𝑛 sin(𝑛𝜋𝑥/𝐿)

eru Fourier-sínus-raðir á bilinu [0, 𝐿].

26 Kafli 5. Eigingildisverkefni


5.1.3 Afleiðuskilyrði í báðum endapunktum


𝑢′(0) = 𝑢′(𝐿) = 0.

Með svipuðum hætti og áður fæst að eigingildin eru

𝜆𝑛 =(𝑛𝜋𝐿

)2

, 𝑛 = 0, 1, 2, . . .

(athugið að 𝜆 = 0 er núna með) og tilsvarandi eiginföll

𝑢(𝑥) = cos(𝑛𝜋𝑥/𝐿).

Línulegar samantektir eiginfallanna

∞∑𝑛=0

𝐶𝑛 cos(𝑛𝜋𝑥/𝐿)

eru Fourier-kósínus-raðir á bilinu [0, 𝐿].

5.1.4 Fallsjaðarskilyrði í öðrum endapunkti og afleiðuskilyrði í hinum


𝑢(0) = 𝑢′(𝐿) = 0.

Með svipuðum hætti og áður fæst að eigingildin eru

𝜆𝑛 =

((𝑛− 1/2)𝜋

𝐿

)2

, 𝑛 = 1, 2, . . .

og tilsvarandi eiginföll

𝑢(𝑥) = sin((𝑛− 1/2)𝜋𝑥/𝐿).

Í kennslubók má lesa eitt viðamikið sýnidæmi til viðbótar þar sem blönduð jaðarskilyrði eru í báðum endapunktumbilsins.

5.2 Aðskilnaður breytistærða

Við lausn línulegra óhliðraðra hlutafleiðujafna þar sem breyturnar 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑘 koma við sögu getur verið gagn-legt að leita að lausnum sem eru á forminu 𝑋1(𝑥1)𝑋2(𝑥2) · · ·𝑋𝑘(𝑥𝑘), þ.e.a.s. lausnir sem má þátta í föll semhvert um sig er háð aðeins einni breytistærð. Línuleg samantekt lausna á slíku formi er einnig lausn en ekki endi-lega þáttanleg eins og gildir um sérhvern lið samantektarinnar. Í sumum tilfellum mynda lausnir á þessu formigrunn þannig að liða má föll upp í línulegar samantektir af grunnföllunum. Þannig má finna almenna lausn áhlutafleiðujöfnunni.

Þessi aðferð, að skoða lausnir sem þáttast, kallast aðskilnaður breytistærða og þegar henni er beitt fást venjulegaeigingildisverkefni fyrir hvert fall í þáttuninni. Lítum á kunnuglegt dæmi.

5.2.1 Sveiflandi strengur - aftur

Lítum á einvíðan streng af lengd 𝐿 sem festur er í báða enda. Táknum frávik hans frá jafnvægi í punkti 𝑥 á tíma 𝑡með 𝑢(𝑥, 𝑡). Fallið 𝑢(𝑥, 𝑡) uppfyllir þá bylgjujöfnuna í einni rúmbreytu ásamt jaðarskilyrðunum

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2− 𝑐2

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2= 0, 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0.

5.2. Aðskilnaður breytistærða 27


Leysum verkefnið með aðskilnaði breytistærða. Leitum að lausn á forminu 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑇 (𝑡)𝑋(𝑥). Stingum slíkrilausn inn í afleiðujöfnuna og fáum

𝑇 ′′(𝑡)𝑋(𝑥) − 𝑐2𝑇 (𝑡)𝑋 ′′(𝑥) = 0

sem má umrita í𝑇 ′′(𝑡)

𝑐2𝑇 (𝑡)=𝑋 ′′(𝑥)

𝑋(𝑥).

Vinstri hliðin er aðeins háð 𝑡 og sú hægri aðeins háð 𝑥 og þar með hlýtur hvor um sig að vera jöfn fasta, köllumhann 𝜆. Fáum því afleiðujöfnu

−𝑇 ′′(𝑡) = 𝑐2𝜆𝑇

og eigingildisverkefni

−𝑋 ′′(𝑥) = 𝜆𝑋 𝑋(0) = 𝑋(𝐿) = 0.

Eigingildisverkefnið hefur eigingildi 𝜆𝑛 = (𝑛𝜋/𝐿)2 og tilsvarandi eiginföll sin(𝑛𝜋𝑥/𝐿), 𝑛 = 1, 2, 3, . . .. Af-leiðujafnan fyrir 𝑇 hefur því lausn, fyrir 𝜆 = 𝜆𝑛, á forminu

𝐴𝑛 cos(𝑛𝜋𝑐𝑡/𝐿) +𝐵𝑛 sin(𝑛𝜋𝑐𝑡/𝐿).

Lausnin á hlutafleiðujöfnunni er því á forminu

𝑇 (𝑡)𝑋(𝑥) = (𝐴𝑛 cos(𝑛𝜋𝑐𝑡/𝐿) +𝐵𝑛 sin(𝑛𝜋𝑐𝑡/𝐿)) sin(𝑛𝜋𝑥/𝐿).

Almenn lausn hlutafleiðujöfnunnar er línulega samantekt af svona liðum

𝑢(𝑥, 𝑡) =∑𝑛≥1

(𝐴𝑛 cos(𝑛𝜋𝑐𝑡/𝐿) +𝐵𝑛 sin(𝑛𝜋𝑐𝑡/𝐿)) sin(𝑛𝜋𝑥/𝐿)

og stuðlarnir 𝐴𝑛 og 𝐵𝑛 ákvarðast af upphafsskilyrðum

𝑢(𝑥, 0) = 𝜙(𝑥), 𝜕𝑡𝑢(𝑥, 0) = 𝜓(𝑥), 𝑥 ∈]0, 𝐿[.

5.2.2 Annað dæmi

Notum aðskilnað breytistærða til að leysa

𝑎𝜕2𝑡 𝑢+ 𝑏𝜕𝑡𝑢+ 𝑐𝑢− ∆𝑢 = 0, 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ [0, 1], 𝑡 > 0

þar sem 𝑢 er fall af tíma 𝑡 og þremur rúmbreytum 𝑥, 𝑦 og 𝑧 og ∆ = 𝜕2𝑥 + 𝜕2𝑦 + 𝜕2𝑧 er Laplace–virkinn miðað viðrúmbreyturnar. Gerum ráð fyrir jaðarskilyrðunum 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 0 ef eitthvert hnitanna 𝑥, 𝑦, 𝑥 er jafnt 0 eða 1.

Leitum að lausn á forminu 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑇 (𝑡)𝑋(𝑥)𝑌 (𝑦)𝑍(𝑧). Stingum henni inn og umritum á formið

𝑎𝑇 ′′(𝑡) + 𝑏𝑇 (𝑡)′ + 𝑐𝑇 (𝑡)

𝑇 (𝑡)− 𝑋 ′′(𝑥)

𝑋(𝑥)− 𝑌 ′′(𝑦)

𝑌 (𝑦)=𝑍 ′′(𝑧)

𝑍(𝑧).

Hægri hlið er háð 𝑧 en sú vinstri ekki. Ályktum að hægri hlið sé fasti og með sömu rökum að sérhver liður íjöfnunni sé fasti. Vegna jaðarskilyrða fáum við því þrjú eigingildisverkefni

−𝑋 ′′(𝑥) = 𝜆𝑋(𝑥), 𝑋(0) = 𝑋(1) = 0

−𝑌 ′′(𝑦) = 𝜆𝑌 (𝑧), 𝑌 (0) = 𝑌 (1) = 0

−𝑍 ′′(𝑧) = 𝜆𝑍(𝑧), 𝑍(0) = 𝑍(1) = 0

og afleiðujöfnu

𝑎𝑇 ′′(𝑡) + 𝑏𝑇 ′(𝑡) + (𝑐+ 𝜆+ 𝜇+ 𝜈)𝑇 = 0,

þar sem 𝜆, 𝜇 og 𝜈 eru fastar. Við þekkjum lausnir eigingildisverkefnana og þáttanlega lausnin er á forminu

𝑢ℓ,𝑚,𝑛(𝑥) = 𝑇ℓ,𝑚,𝑛(𝑡) sin(ℓ𝜋𝑥) sin(𝑚𝜋𝑦) sin(𝑛𝜋𝑧), ℓ,𝑚, 𝑛 = 1, 2, 3, . . . ,

þar sem 𝑇ℓ,𝑚,𝑛 uppfyllir afleiðujöfnuna

𝑎𝑇 ′′ + 𝑏𝑇 ′ +(𝑐+ 𝜋2(ℓ2 +𝑚2 + 𝑛2)

)𝑇 = 0.



5.3 Virkjar af Sturm-Liouville-gerð

Í þessari grein munum við skoða eigingildisverkefni virkja af tiltekinni gerð. Við byrjum á því að ræða virkjannog fjöllum því næst um jaðarskilyrðin sem skilgreina eigingildisverkefnið.

Við lítum á annars stigs afleiðuvirkja af eftirfarandi gerð

𝐿𝑢 = 𝑃 (𝑥,𝐷)𝑢 = 𝑎2(𝑥)𝑢′′ + 𝑎1(𝑥)𝑢′ + 𝑎0(𝑥)𝑢,

þar sem 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2 eru samfelld raungild föll á bili [𝑎, 𝑏] og 𝑎2(𝑥) = 0 fyrir öll 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Í útreikningum hentarbetur að setja virkjann fram á svokölluðu Sturm-Liouville formi

𝐿𝑢 =1

𝜚

(− 𝑑

𝑑𝑥

(𝑝𝑑𝑢

𝑑𝑥

)+ 𝑞𝑢

).

Athugið: Sambandið milli framsetninganna tveggja er eftirfarandi. Veljum

𝑝(𝑥) = exp

(𝐶 +

∫ 𝑥

𝑎

𝑎1(𝜉)

𝑎2(𝜉)𝑑𝜉

), 𝑞(𝑥) =

−𝑎0(𝑥)𝑝(𝑥)

𝑎2(𝑥), 𝜚(𝑥) =

−𝑝(𝑥)

𝑎2(𝑥),

þar sem 𝐶 er einhver ótiltekinn fasti.

Þar sem 𝑎2(𝑥) = 0 fyrir öll 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], má gera ráð fyrir að 𝑎2(𝑥) < 0. Þar með gildir

𝑝 ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏], 𝑝(𝑥) > 0, 𝑞, 𝜚 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], 𝑞(𝑥) ∈ R, 𝜚(𝑥) > 0, 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].

5.3.1 Skilgreining

Við segjum að virki 𝐿 af Sturm–Liouville–gerð sé reglulegur ef föllin 𝑝, 𝑞 og 𝜚 uppfylla þessi skilyrði.

5.3.2 Skilgreining

Á rúmið 𝐶[𝑎, 𝑏] skilgreinum við formið

⟨𝑢, 𝑣⟩ =

∫ 𝑏

𝑎

𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)𝜚(𝑥) 𝑑𝑥, 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏],

og á rúmið 𝐶1[𝑎, 𝑏] skilgreinum við formið

⟨𝑢, 𝑣⟩𝐿 =

∫ 𝑏

𝑎

(𝑝(𝑥)𝑢′(𝑥)𝑣′(𝑥) + 𝑞(𝑥)𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)

)𝑑𝑥, 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏].

Bæði eru þessi form línuleg í fyrri breytistærðinni, en andlínuleg í þeirri síðari. Það þýðir að

⟨𝛼𝑢+ 𝛽𝑣,𝑤⟩ = 𝛼⟨𝑢, 𝑣⟩ + 𝛽⟨𝑢,𝑤⟩,⟨𝑢, 𝛼𝑣 + 𝛽𝑤⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩ + 𝛽⟨𝑢,𝑤⟩,

fyrir öll 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], 𝛼, 𝛽 ∈ C. Fyrst 𝜚 > 0, þá er formið ⟨·, ·⟩ innfeldi og tilheyrandi staðal táknum við með,

‖𝑢‖ =√

⟨𝑢, 𝑢⟩.

Athugið: Við segjum að formið sé innfeldi á vigurrúmi samfelldra falla á [𝑎, 𝑏], 𝐶[𝑎, 𝑏], því það uppfyllir þærreiknireglur sem hið kunnuglega innfeldi endanlegra vigra uppfyllir. Við getum því unnið með það með samahætti og gamla góða innfeldið. Athugið einnig að þegar 𝑟ℎ𝑜(𝑥) = 1

𝑏−𝑎 fæst sama innfeldi og sami staðall ogvið skilgreindum á 𝐿2. Almennt jákvætt fall 𝑟ℎ𝑜 sem kemur fyrir í innfeldi af þessu tagi er oft kallað vigt.

5.3. Virkjar af Sturm-Liouville-gerð 29


Við munum nú skoða hvernig setja má fram jaðarskilyrði af tiltekinni gerð og athugum svo eigingildisverkefninsem þau skilgreina ásamt virkjanum 𝐿 sem unnið er með. Jaðargildisvirki 𝐵 er vörpun sem úthlutar samfelltdeildanlegu falli 𝑢 ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏] punkti 𝐵𝑢 = (𝐵1𝑢,𝐵2) þar sem

𝐵1𝑢 = 𝛼11𝑢(𝑎) + 𝛼12𝑢′(𝑎) + 𝛽11𝑢(𝑏) + 𝛽12𝑢

′(𝑏)

𝐵2𝑢 = 𝛼21𝑢(𝑎) + 𝛼22𝑢′(𝑎) + 𝛽21𝑢(𝑏) + 𝛽22𝑢

′(𝑏)

þar sem stuðlarnir 𝛼𝑗𝑘 og 𝛽𝑗𝑘 eru rauntölur. Við gerum ráð fyrir í hvorum virkjanna 𝐵1 og 𝐵2 sé að minnsta kostieinn stuðull frábrugðinn núlli.

5.3.3 Skilgreining

Rúmið 𝐶2𝐵 [𝑎, 𝑏] er skilgreint sem mengi allra 𝑢 ∈ 𝐶2[𝑎, 𝑏] sem uppfylla óhliðruðu jaðarskilyrðin 𝐵𝑢 = 0.

5.3.4 Skilgreining

Við segjum að virkinn 𝐿 sé samhverfur á 𝐶2𝐵 [𝑎, 𝑏] eða samhverfur með tilliti til jaðarskilyrðanna 𝐵𝑢 = 0 ef

⟨𝐿𝑢, 𝑣⟩ = ⟨𝑢, 𝐿𝑣⟩, 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐶2𝐵 [𝑎, 𝑏].

5.3.5 Formúla Greens

Eftirfarandi formúla er kennd við Green

⟨𝐿𝑢, 𝑣⟩ − ⟨𝑢, 𝐿𝑣⟩ = 𝑝(𝑏)

𝑢(𝑏) 𝑢′(𝑏)𝑣(𝑏) 𝑣′(𝑏)

− 𝑝(𝑎)

𝑢(𝑎) 𝑢′(𝑎)𝑣(𝑎) 𝑣′(𝑎)

.

Af formúlu Greens sést að virki er samhverfur þá og því aðeins

𝑝(𝑏)

𝑢(𝑏) 𝑢′(𝑏)𝑣(𝑏) 𝑣′(𝑏)

= 𝑝(𝑎)

𝑢(𝑎) 𝑢′(𝑎)𝑣(𝑎) 𝑣′(𝑎)

fyrir öll 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐶2

𝐵 [𝑎, 𝑏].

Við höfum einkum áhuga á eftirfarandi tveimur tilfellum sem hægt er að sannfæra sig um að eru samhverf meðþví að nota skilyrðið úr formúlu Greens.

5.3.6 Setning og skilgreining

(i) Ef jaðarskilyrðin eru aðskilin, þ.e.a.s.

𝐵1𝑢 = 𝛼1𝑢(𝑎) − 𝛽1𝑢′(𝑎), 𝐵2𝑢 = 𝛼2𝑢(𝑏) + 𝛽2𝑢

′(𝑏),

þar sem 𝛼1, 𝛽1, 𝛼2, 𝛽2 ∈ R, (𝛼1, 𝛽1) = (0, 0) og (𝛼2, 𝛽2) = (0, 0), þá er 𝐿 samhverfur á 𝐶2𝐵 [𝑎, 𝑏].

(ii) Ef 𝑝(𝑎) = 𝑝(𝑏) og jaðarskilyrðin eru lotubundin, þ.e.a.s.

𝐵1𝑢 = 𝑢(𝑎) − 𝑢(𝑏), 𝐵2𝑢 = 𝑢′(𝑎) − 𝑢′(𝑏),

þá er 𝐿 samhverfur á 𝐶2𝐵 [𝑎, 𝑏].

Nú erum við reiðubúin að fjalla um eigingildisverkefni sem svara til virkja af Sturm-Liouville gerð með jaðarskil-yrðum af þessu tagi.



5.4 Eigingildisverkefni af Sturm–Liouville–gerð

Lítum á eigingildisverkefnið

𝐿𝑢 = 𝜆𝑢, 𝐵𝑢 = 0,

þar sem 𝐿 er virki af Sturm–Liouville–gerð og 𝐵 er almennur jaðargildisvirki.

Línulega rúmið sem spannað er af öllum eiginföllum með tilliti til eigingildisins 𝜆 köllum við eiginrúmið meðtilliti til eigingildisins 𝜆 og við táknum það með 𝐸𝜆.

5.4.1 Skilgreining

Ef 𝐿 er reglulegur virki af Sturm–Liouville–gerð, þá segjum við að eigingildisverkefnið sé reglulegt.

5.4.2 Setning

Gerum ráð fyrir að virkinn 𝐿 af Sturm–Liouville–gerð sé samhverfur á 𝐶2𝐵 [𝑎, 𝑏]. Þá eru öll eigingildin rauntölur

og eiginföllin sem svara til ólíkra eigingilda eru innbyrðis hornrétt. Að auki má velja grunn í eiginrúminu 𝐸𝜆 semsamanstendur af raungildum föllum.

5.4.3 Setning

Öll eigingildin eru ≥ 0 í tilfellunum:

(i) 𝑞(𝑥) ≥ 0 fyrir öll 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], jaðarskilyrðin eru aðskilin, 𝐵1𝑢 = 𝛼1𝑢(𝑎) − 𝛽1𝑢′(𝑎) = 0, 𝐵2𝑢 = 𝛼2𝑢(𝑏) +

𝛽2𝑢′(𝑏) = 0, 𝛼1 ≥ 0, 𝛽1 ≥ 0, 𝛼2 ≥ 0 og 𝛽2 ≥ 0.

(ii) 𝑞(𝑥) ≥ 0 fyrir öll 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑝(𝑎) = 𝑝(𝑏) og jaðarskilyrðin eru lotubundin, 𝐵1𝑢 = 𝑢(𝑎) − 𝑢(𝑏) = 0 og𝐵2𝑢 = 𝑢′(𝑎) − 𝑢′(𝑏) = 0.

Eftirfarandi setning er meginniðurstaða þessarar umfjöllunar. Hún alhæfir það sem við höfum áður fjallað um meðFourier-röðum.

5.4.4 Setning

Gerum ráð fyrir að

𝐿𝑢 = 𝜆𝑢, 𝐵𝑢 = 0,

sé reglulegt Sturm–Liouville–eigingildisverkefni og að 𝐿 sé samhverfur með tilliti til jaðarskilyrðanna 𝐵𝑢 =0. Þá er til óendanleg runa 𝜆0 < 𝜆1 < 𝜆2 · · · → +∞ af eigingildum og tilsvarandi raungildum eiginföllum𝑢0, 𝑢1, 𝑢2, . . ., sem uppfylla

⟨𝑢𝑗 , 𝑢𝑘⟩ =

1, 𝑗 = 𝑘,

0, 𝑗 = 𝑘,

og sérhvert fall 𝑢 ∈ 𝐶2𝐵 [𝑎, 𝑏] er unnt að liða í eiginfallaröð

𝑢(𝑥) =

∞∑𝑛=0

𝑐𝑛(𝑢)𝑢𝑛(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏],

sem er samleitin í jöfnum mæli á [𝑎, 𝑏] og stuðlarnir eru gefnir með formúlunni

𝑐𝑛(𝑢) = ⟨𝑢, 𝑢𝑛⟩ =

∫ 𝑏

𝑎

𝑢(𝑥)𝑢𝑛(𝑥)𝜚(𝑥) 𝑑𝑥.

5.4. Eigingildisverkefni af Sturm–Liouville–gerð 31


5.4.5 Skilgreining

Fyrir sérhvert heildanlegt fall 𝑓 á [𝑎, 𝑏], þá skilgreinum við Fourier–stuðul fallsins 𝑓 með tilliti til eiginfallsins 𝑢𝑛með

𝑐𝑛(𝑓) = ⟨𝑓, 𝑢𝑛⟩ =

∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥)𝑢𝑛(𝑥)𝜚(𝑥) 𝑑𝑥

og eiginfallaröðina af 𝑓 með tilliti til eiginfallanna (𝑢𝑛)∞𝑛=0 með

∞∑𝑛=0

𝑐𝑛(𝑓)𝑢𝑛(𝑥).

Athugið: Við höfum einnig andhverfuformúlu fyrir eiginfallaraðir af föllum sem eru samfellt deildanleg áköflum sem er samhljóða andhverfuformúlu Fouriers.

5.5 Green-föll fyrir jaðargildisverkefni

Lítum á línulegan jaðargildisvirkja 𝐵 á [𝑎, 𝑏] á forminu⎧⎨⎩𝐵 : 𝐶𝑚−1[𝑎, 𝑏] → C𝑚, 𝐵𝑢 = (𝐵1𝑢, . . . , 𝐵𝑚𝑢),

𝐵𝑗𝑢 =𝑚∑𝑙=1

𝛼𝑗𝑙𝑢(𝑙−1)(𝑎) + 𝛽𝑗𝑙𝑢

(𝑙−1)(𝑏).

Gerum ráð fyrir því að fyrir sérhvert 𝑗 sé að minnsta kosti ein talnanna 𝛼𝑗𝑙, 𝛽𝑗𝑙, 𝑙 = 1, . . . ,𝑚 frábrugðin 0.Skilgreinum 𝐶𝑚

𝐵 [𝑎, 𝑏] sem rúm allra 𝑢 ∈ 𝐶𝑚[𝑎, 𝑏] sem uppfylla óhliðruðu jaðarskilyrðin 𝐵𝑢 = 0.

5.5.1 Setning

Látum 𝑃 (𝑥,𝐷) = 𝑎𝑚(𝑥)𝐷𝑚 + · · ·+ 𝑎1(𝑥)𝐷+ 𝑎0(𝑥) vera afleiðuvirkja á [𝑎, 𝑏] með samfellda stuðla, gerum ráðfyrir að 𝑎𝑚(𝑥) = 0 fyrir öll 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], látum 𝐵 : 𝐶𝑚−1[𝑎, 𝑏] → C𝑚 vera jaðargildisvirkja og gerum ráð fyrir að𝜆 = 0 sé ekki eigingildi 𝑃 (𝑥,𝐷) á 𝐶𝑚

𝐵 [𝑎, 𝑏]. Þá hefur jaðargildisverkefnið

𝑃 (𝑥,𝐷)𝑢 = 𝑓(𝑥), 𝐵𝑢 = 0,

ótvírætt ákvarðaða lausn sem uppfyllir

𝑢(𝑥) =

∫ 𝑏

𝑎

𝐺𝐵(𝑥, 𝜉)𝑓(𝜉) 𝑑𝜉,

þar sem fallið 𝐺𝐵 hefur eftirtalda eiginleika:

(i) 𝜕𝑘𝑥𝐺𝐵(𝑥, 𝜉) er samfellt á [𝑎, 𝑏] × [𝑎, 𝑏] fyrir 𝑘 = 0, . . . ,𝑚− 2.

(ii)𝜕𝑚−1𝑥 𝐺𝐵(𝑥, 𝜉) er samfellt í öllum punktum á [𝑎, 𝑏] × [𝑎, 𝑏] fyrir utan línuna 𝑥 = 𝜉 og tekur stökkið 1/𝑎𝑚(𝜉)

yfir hana.

(iii) 𝑃 (𝑥,𝐷𝑥)𝐺𝐵(𝑥, 𝜉) = 0 ef 𝑥 = 𝜉.

(iv) 𝐵𝐺𝐵(·, 𝜉) = 0 ef 𝜉 ∈]𝑎, 𝑏[, þ.e. 𝐺𝐵 uppfyllir óhliðruð jaðarskilyrði, sem fall af fyrri breytistærðinni.

Skilyrðin (i)-(iv) ákvarða fallið 𝐺𝐵 ótvírætt.



5.5.2 Setning

Látum 𝑃 (𝑥,𝐷) = 𝑎2(𝑥)𝐷2 + 𝑎1(𝑥)𝐷 + 𝑎0(𝑥) vera annars stigs afleiðuvirkja, þar sem 𝑎2(𝑥) = 0 fyrir öll𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], og gerum ráð fyrir að jaðarskilyrðin séu aðskilin, þ.e.a.s.

𝐵1𝑢 = 𝛼1𝑢(𝑎) − 𝛽1𝑢′(𝑎), 𝐵2𝑢 = 𝛼2𝑢(𝑏) + 𝛽2𝑢

′(𝑏),

og (𝛼1, 𝛽1) = (0, 0), (𝛼2, 𝛽2) = (0, 0). Gerum ráð fyrir að 𝑢1 og 𝑢2 myndi grunn í núllrúmi virkjans og

𝐵1𝑢1 = 0, 𝐵2𝑢2 = 0.

Þá er Green-fallið fyrir jaðargildisverkefnið

𝑃 (𝑥,𝐷)𝑢 = 𝑓(𝑥), 𝐵𝑢 = 0,

gefið með formúlunni

𝐺𝐵(𝑥, 𝜉) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩𝑢1(𝜉)𝑢2(𝑥)

𝑎2(𝜉)𝑊 (𝑢1, 𝑢2)(𝜉), 𝑎 ≤ 𝜉 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏,

𝑢1(𝑥)𝑢2(𝜉)

𝑎2(𝜉)𝑊 (𝑢1, 𝑢2)(𝜉), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝜉 ≤ 𝑏,

þar sem 𝑊 (𝑢1, 𝑢2) er Wronski-ákveða fallanna 𝑢1 og 𝑢2.

5.6 Eiginfallaliðun og Green–föll

5.6.1 Reikniaðferð

Eftirfarandi losaralegu reikningar gera okkur kleift að finna Green-fall fyrir jaðargildisverkefnið

𝐿𝑢 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈]𝑎, 𝑏[, 𝐵𝑢 = 0,

þar sem

• 𝐿 er virki af Sturm–Liouville–gerð

• 𝐿 er reglulegur og samhverfur með tilliti til jaðarskilyrðanna 𝐵𝑢 = 0.

Nú fæst líkt og fyrir Fourier-raðir að

𝑢(𝑥) =

∞∑𝑛=0𝜆𝑛 =0

𝑐𝑛(𝑓)

𝜆𝑛𝑢𝑛(𝑥)

er lausn ef röðin er nógu hratt samleitin þannig að víxla megi á diffrun og óendanlegri röð.

Ef 𝜆 = 0 er eigingildi, þá gerum við ráð fyrir að 𝑓 sé hornrétt á eiginrúmið 𝐸0.

Stingum inn formúlunni fyrir stuðlana 𝑐𝑛(𝑓) og fáum

𝑢(𝑥) =

∞∑𝑛=0

1

𝜆𝑛

(∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝜉)𝑢𝑛(𝜉)𝜚(𝜉) 𝑑𝜉

)𝑢𝑛(𝑥)

=

∫ 𝑏

𝑎

𝜚(𝜉)

( ∞∑𝑛=0

𝑢𝑛(𝑥)𝑢𝑛(𝜉)

𝜆𝑛

)𝑓(𝜉) 𝑑𝜉.

Green–fallið fyrir jaðargildisverkefnið er ótvírætt ákvarðað, svo

𝐺𝐵(𝑥, 𝜉) = 𝜚(𝜉)

∞∑𝑛=0

𝑢𝑛(𝑥)𝑢𝑛(𝜉)

𝜆𝑛.

5.6. Eiginfallaliðun og Green–föll 33


5.7 Úrlausn hlutafleiðujafa með eiginfallaröðum

Við höldum nú áfram að fjalla um hvernig eigingildisverkefni koma við sögu í úrlausn hlutafleiðujafna. Viðmunum nálgast umfjöllunina með því að taka dæmi, sum þeirra kunnugleg en önnur ný. Það koma aðallega viðsögu tvennskonar lausnaraðferðir

• Sett er fram lausnartilgáta á hlutafleiðujöfnu með hliðarskilyrðum í formi eiginfallaraðar með tilliti tileinnar breytistærðarinnar þar sem stuðlarnir eru háðir hinni breytistærðinni.

– Eiginfallaröðin er valin þannig að hún innihaldi eiginföll þess hluta virkjans í verkefninu sem svarartil breytunnar sem liðað er með tilliti til og þannig að eiginföllin uppfylli jaðarskilyrðin.

– Tilgátunni er stungið inn í hlutafleiðujöfnuna og gert ráð fyrir að víxla megi á óendanlegu röðinni ogþeim afleiðum sem koma við sögu.

– Þá fæst (hlut)afleiðujafna fyrir stuðlana ásamt hliðarskilyrðum sem mögulega má leysa.

• Aðskilnaði breytistærða er beitt og þá fást eigingildisverkefni sem þarf að leysa og lausnir þeirra gefafjölskyldu af ólíkum aðgreinanlegum lausnum, eina fyrir hvert eigingildi. Lausn upphaflega verkefnisinsmá rita sem línulega samantekt af slíkum aðgreinanlegum lausnum.

Byrjum á að líta á dæmi um aðferðina sem líst er í fyrri punktinum.

Margar af mikilvægustu hlutafleiðujöfnum sem fengist er við til að mynda í eðlisfræði innihalda Laplace-virkjannog við byrjum á stuttri umfjöllun um Laplace-jöfnuna. Þegar Laplace-jafnan er leyst á gefnu mengi með fallsjað-arskilyrðum kallast verkefnið Dirichlet-verkefnið.

5.7.1 Dirichlet-verkefnið á rétthyrningi

Lítum á verkefnið ⎧⎪⎨⎪⎩∆𝑢 = 0, 0 < 𝑥 < 𝐿, 0 < 𝑦 < 𝑀,

𝑢(𝑥, 0) = 𝜙1(𝑥), 𝑢(𝑥,𝑀) = 𝜙2(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝐿,

𝑢(0, 𝑦) = 𝜓1(𝑦), 𝑢(𝐿, 𝑦) = 𝜓2(𝑦), 0 < 𝑦 < 𝑀.

Mynd 1: Mynd: Dirichlet verkefnið á rétthyrningi.

Skiptum því í fjóra hluta⎧⎪⎨⎪⎩∆𝑢1 = 0,

𝑢1(𝑥, 0) = 𝜙1(𝑥), 𝑢1(𝑥,𝑀) = 0,

𝑢1(0, 𝑦) = 𝑢1(𝐿, 𝑦) = 0,

⎧⎪⎨⎪⎩∆𝑢2 = 0,

𝑢2(𝑥, 0) = 0, 𝑢2(𝑥,𝑀) = 𝜙2(𝑥),

𝑢2(0, 𝑦) = 𝑢2(𝐿, 𝑦) = 0,



⎧⎪⎨⎪⎩∆𝑢3 = 0,

𝑢3(𝑥, 0) = 𝑢3(𝑥,𝑀) = 0,

𝑢3(0, 𝑦) = 𝜓1(𝑦), 𝑢3(𝐿, 𝑦) = 0,

⎧⎪⎨⎪⎩∆𝑢4 = 0,

𝑢4(𝑥, 0) = 𝑢4(𝑥,𝑀) = 0,

𝑢4(0, 𝑦) = 0, 𝑢4(𝐿, 𝑦) = 𝜓2(𝑦).

Ef 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 og 𝑢4 eru lausnir þá er 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑢1(𝑥, 𝑦) + 𝑢2(𝑥, 𝑦) + 𝑢3(𝑥, 𝑦) + 𝑢4(𝑥, 𝑦) lausn upphaflegaverkefnis.

Nóg er að leysa verkefnið fyrir 𝑢1 því lausnina á hinum má skrifa niður út frá þeirri lausn.

• Vegna jaðarskilyrða 𝑢1(0, 𝑦) = 𝑢1(𝐿, 𝑦) = 0 liðum við 𝑢1(𝑥, 𝑦) í Fourier-sínusröð í breytistærðinni 𝑥, meðstuðla sem eru háðir 𝑦

𝑢1(𝑥, 𝑦) =

∞∑𝑛=1

𝑢1𝑛(𝑦) sin(𝑛𝜋𝑥/𝐿

),

• Ákvörðum stuðlana 𝑢1𝑛(𝑦), með því að víxla á óendanlegu röðinni og ∆ og stingum svo inn jaðarskilyrð-unum.

• Fáum þá að 𝑢1𝑛 er lausn á jaðargildisverkefninu𝑢1𝑛

′′(𝑦) − (𝑛𝜋/𝐿)2𝑢1𝑛(𝑦) = 0, 0 < 𝑦 < 𝑀,

𝑢1𝑛(0) = 𝑏𝑛(𝜙1), 𝑢1𝑛(𝑀) = 0.

þar sem 𝑏𝑛(𝜙1) er 𝑛-ti Fourier-sínus-stuðull 𝜙1. Lausn þessa verkefnis er

𝑢1𝑛(𝑦) = 𝑏𝑛(𝜙1) cosh(𝑛𝜋𝑦/𝐿

)− 𝑏𝑛(𝜙1)

cosh(𝑛𝜋𝑀/𝐿

)sinh

(𝑛𝜋𝑀/𝐿

) sinh(𝑛𝜋𝑦/𝐿

)= 𝑏𝑛(𝜙1)

sinh(𝑛𝜋𝑀/𝐿

)cosh

(𝑛𝜋𝑦/𝐿

)− cosh

(𝑛𝜋𝑀/𝐿

)sinh

(𝑛𝜋𝑦/𝐿

)sinh

(𝑛𝜋𝑀/𝐿

)= 𝑏𝑛(𝜙1)

sinh(𝑛𝜋(𝑀 − 𝑦)/𝐿

)sinh

(𝑛𝜋𝑀/𝐿

) .

Fáum svo 𝑢2 með því að skipta á 𝑦 og 𝑀 − 𝑦 og 𝑢3 og 𝑢4 með því að skipta á hlutverkum 𝑥 og 𝑦. Lokaniðurstaðner því

𝑢(𝑥, 𝑦) =

∞∑𝑛=1

𝑏𝑛(𝜙1)sinh

(𝑛𝜋(𝑀 − 𝑦)/𝐿

)sinh

(𝑛𝜋𝑀/𝐿

) sin(𝑛𝜋𝑥/𝐿

)+

∞∑𝑛=1

𝑏𝑛(𝜙2)sinh

(𝑛𝜋𝑦/𝐿

)sinh

(𝑛𝜋𝑀/𝐿


)+

∞∑𝑛=1

𝑏𝑛(𝜓1)sinh

(𝑛𝜋(𝐿− 𝑥)/𝑀

)sinh

(𝑛𝜋𝐿/𝑀

) sin(𝑛𝜋𝑦/𝑀

)+

∞∑𝑛=1

𝑏𝑛(𝜓2)sinh

(𝑛𝜋𝑥/𝑀

)sinh

(𝑛𝜋𝐿/𝑀

) sin(𝑛𝜋𝑦/𝑀

).

Athugið: Það reyndist mikilvægt í þessari aðferð að föllin sin(𝑛𝜋𝑥/𝐿) uppfylla gefnu jaðarskilyrðin og erueiginföll 𝜕2𝑥.

5.7.2 Dirichlet-verkefnið á skífu

Lítum á sama verkefni á hringskífu⎧⎨⎩∆𝑢 =𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+𝜕2𝑢

𝜕𝑦2= 0, 𝑥2 + 𝑦2 < 𝑎2,

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝜙(𝑥, 𝑦), 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎2.

5.7. Úrlausn hlutafleiðujafa með eiginfallaröðum 35


Þar sem svæðið er skífa er eðlilegt að umrita verkefnið með því að nota pólhnit. Laplace-virkjann er í pólhnitum

∆ =1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟

(𝑟𝜕

𝜕𝑟

)+

1

𝑟2𝜕2

𝜕𝜃2,

og því má rita verkefnið á forminu⎧⎨⎩1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟

(𝑟𝜕𝑣

𝜕𝑟

)+

1

𝑟2𝜕2𝑣

𝜕𝜃2= 0, 𝑟 < 𝑎, 𝜃 ∈ R,

𝑣(𝑎, 𝜃) = 𝜓(𝜃), 𝜃 ∈ R.

með 𝑣(𝑟, 𝜃) = 𝑢(𝑥(𝑟, 𝜃), 𝑦(𝑟, 𝜃)).

Mynd 2: Mynd: Dirichlet verkefnið á skífu.

• Þar sem 𝑣 og 𝜓 eru 2𝜋-lotubundin föll prófum við lausnartilgáta sem er Fourier-röðum með tilliti til 𝜃 meðstuðlum sem geta verið háðir 𝑟

𝑣(𝑟, 𝜃) =

+∞∑𝑛=−∞

𝑣𝑛(𝑟)𝑒𝑖𝑛𝜃.

og liðum 𝜓 sömuleiðis í Fourier-röð

𝜓(𝜃) =

+∞∑𝑛=−∞

𝜓𝑛𝑒𝑖𝑛𝜃.

• Ákvörðum stuðlana 𝑣𝑛(𝑟), með því að víxla á óendanlegu röðinni fyrir 𝑣 og ∆ og stingum svo inn jaðar-skilyrðunum.

• Fáum þá að 𝑣𝑛 er lausn á jaðargildisverkefninu⎧⎨⎩𝑟𝑑

𝑑𝑟

(𝑟𝑑𝑣𝑛𝑑𝑟

)− 𝑛2𝑣𝑛 = 0, 𝑟 < 𝑎,

𝑣𝑛(𝑎) = 𝜓𝑛, 𝑣𝑛(𝑟) takmarkað ef 𝑟 → 0.

Þetta er Euler-jafna og því stingum við inn lausnartilgátu 𝑣𝑛(𝑟) = 𝑟𝛼

𝑟𝑑

𝑑𝑟

(𝑟𝑑

𝑑𝑟𝑟𝛼

)= 𝛼2𝑟𝛼 = 𝑛2𝑟𝛼.

og sjáum að 𝛼 = ±𝑛. Almenn lausn afleiðujöfnunar er því

𝑣𝑛(𝑟) =

𝐴𝑛𝑟

|𝑛| +𝐵𝑛𝑟−|𝑛|, 𝑛 = 0

𝐴0 +𝐵0 ln 𝑟, 𝑛 = 0.



Til þess að lausnin geti verið takmörkuð í 𝑟 = 0, þá útilokum við liðina með neikvæðum veldisvísi og logrann.Skilyrðið 𝑣𝑛(𝑎) = 𝜓𝑛 gefur að 𝐴𝑛 = 𝜓𝑛/𝑎

|𝑛|. Þar með er lausnin fundin

𝑣(𝑟, 𝜃) =

+∞∑𝑛=−∞

𝜓𝑛

(𝑟

𝑎

)|𝑛|

𝑒𝑖𝑛𝜃.

Athugið: Það reyndist mikilvægt í þessari aðferð að föllin 𝑒𝑖𝑛𝜃 eru eiginföll 𝜕2𝜃 .

5.7.3 Varmaleiðnijafnan með tímaháðum jaðarskilyrðum

Reiknum hitastig í jarðvegi sem fall af tíma 𝑡 og dýpi 𝑥.

Hitastigið á yfirborði er gefið sem fall af tíma 𝑓(𝑡) og gert ráð fyrir að það sé 𝑇 -lotubundið fall (t.d.vegna árstíða-sveiflna). Ritum

𝑓(𝑡) =

+∞∑𝑛=−∞

𝑐𝑛(𝑓)𝑒𝑖𝑛𝜔𝑡, 𝜔 = 2𝜋/𝑇.

Setjum upp jaðargildisverkefnið ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩𝜕𝑢

𝜕𝑡− 𝜅

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2= 0, 𝑥 > 0, 𝑡 ∈ R,

𝑢(0, 𝑡) = 𝑓(𝑡), 𝑡 ∈ R,𝑢(𝑥, 𝑡) takmarkað ef 𝑥→ +∞.

• Prófum lausn 𝑢(𝑥, 𝑡) sem er 𝑇 -lotubundið fall af 𝑡 fyrir fast 𝑥. Liðum það í 𝑢 í Fourier-röð miðað við 𝑡 meðstuðla sem geta verið háðir 𝑥

𝑢(𝑥, 𝑡) =

+∞∑𝑛=−∞

𝑢𝑛(𝑥)𝑒𝑖𝑛𝜔𝑡.

• Ákvörðum stuðlana 𝑢𝑛(𝑥), með því að víxla á óendanlegu röðinni fyrir 𝑣 og virkjanum𝜕

𝜕𝑡− 𝜅

𝜕2

𝜕𝑥2og

stingum svo inn jaðarskilyrðunum.

• Fáum þá að 𝑢𝑛 er lausn á ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩𝑢𝑛

′′(𝑥) − 𝑖𝑛𝜔

𝜅𝑢𝑛(𝑥) = 0,

𝑢𝑛(0) = 𝑐𝑛(𝑓),

𝑢𝑛(𝑥) er takmarkað ef 𝑥→ +∞.

Kennijafna afleiðujöfnunnar er

𝜆2 − 𝑖𝑛𝜔

𝜅= 0

og núllstöðvar hennar eru 𝜆 = ±𝑘𝑛, þar sem

𝑘𝑛 =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

(1√2

+𝑖√2

)√𝑛𝜔/𝜅, 𝑛 > 0,

0, 𝑛 = 0,(1√2− 𝑖√

2

)√|𝑛|𝜔/𝜅, 𝑛 < 0.

Lausnin er því

𝑢𝑛(𝑥) =

𝐴𝑛𝑒

−𝑘𝑛𝑥 +𝐵𝑛𝑒𝑘𝑛𝑥, 𝑛 = 0

𝐴0 +𝐵0𝑥, 𝑛 = 0.

5.7. Úrlausn hlutafleiðujafa með eiginfallaröðum 37


Til þess að lausnin haldist takmörkuð ef 𝑥 → +∞, þá verður 𝐵𝑛 = 0 að gilda fyrir öll 𝑛. Jaðarskilyrðið𝑢𝑛(0) = 𝑐𝑛(𝑓) gefur að 𝐴𝑛 = 𝑐𝑛(𝑓). Við höfum því að

𝑢𝑛(𝑥) = 𝑐𝑛(𝑓)𝑒−√

|𝑛|𝜔/2𝜅𝑥𝑒−𝑖sign(𝑛)√

|𝑛|𝜔/2𝜅𝑥,

og þar með er lausnin fundin

𝑢(𝑥, 𝑡) =

+∞∑𝑛=−∞

𝑐𝑛(𝑓)𝑒−√

|𝑛|𝜔/2𝜅𝑥𝑒𝑖(𝑛𝜔𝑡−sign(𝑛)√

|𝑛|𝜔/2𝜅𝑥).

Við sjáum að sveifluvíddin og fasahliðrunin í liðnum 𝑢𝑛(𝑥)𝑒𝑖𝑛𝜔𝑡 í lausninni eru háð dýpi og tíðninni 𝑛𝜔.

5.8 Áfram um eigingildisverkefni - aðskilnaður breytistærða

Í þessum síðustu greinum kaflans munum við fara í gegnum fleiri reikniaðferðir sem beita má við lausn hlutaf-leiðujafna. Við reynum að koma almennum hugmyndum til skila en styðjumst þó að mestu við ákveðin dæmi tilað skýra hugmyndirnar.

5.8.1 Dirichlet-verkefnið á rétthyrningi - aftur

Skoðum aftur Dirchlet-verkefnið á rétthyrningi. Lítum á jöfnu 2 af jöfnunum fjórum sem komu áður fyrir⎧⎪⎨⎪⎩∆𝑢 = 𝜕2𝑥𝑢+ 𝜕2𝑦𝑢 = 0, 0 < 𝑥 < 𝐿, 0 < 𝑦 < 𝑀,

𝑢(0, 𝑦) = 𝑢(𝐿, 𝑦) = 0, 0 < 𝑦 < 𝑀,

𝑢(𝑥, 0) = 0, 𝑢(𝑥,𝑀) = 𝜙(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝐿,

þar sem 𝜙 er gefið fall á [0, 𝐿].

• Leitum fyrst að öllum lausnum af gerðinni 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥)𝑌 (𝑦) sem uppfylla jöfnuna og óhliðruðu jaðar-skilyrðin.

• Stingum næst 𝑣 inn í hlutafleiðu jöfnuna og fáum

𝑋 ′′(𝑥)𝑌 (𝑦) +𝑋(𝑥)𝑌 ′′(𝑦) = 0.

• Deilum í gegnum jöfnuna með 𝑋(𝑥)𝑌 (𝑦) og fáum þá

−𝑋′′(𝑥)

𝑋(𝑥)=𝑌 ′′(𝑦)

𝑌 (𝑦).

Fallið vinstra megin er einungis háð 𝑥, en fallið hægra megin er einungis háð 𝑦. Því hlýtur hvor hlið að vera föst.Við höfum því

−𝑋 ′′(𝑥) = 𝜆𝑋(𝑥) og 𝑌 ′′(𝑦) = 𝜆𝑌 (𝑦),

þar sem 𝜆 er fasti.

• Lítum nú á jaðarskilyrðin

𝑋(0)𝑌 (𝑦) = 𝑋(𝐿)𝑌 (𝑦) = 0, 𝑋(𝑥)𝑌 (0) = 0,

og sjáum að 𝑋 er lausn á eigingildisverkefninu

−𝑋 ′′ = 𝜆𝑋, 𝑋(0) = 𝑋(𝐿) = 0.

Þetta höfum við leyst áður og fengum eigingildin 𝜆 = 𝜆𝑛 =(𝑛𝜋/𝐿

)2, 𝑛 = 1, 2, 3, . . ., og tilsvarandi eiginföll

𝑋𝑛(𝑥) = 𝐶𝑛 sin(𝑛𝜋𝑥/𝐿

), 𝑛 = 1, 2, 3, . . . .



Leysum næst

𝑌 ′′(𝑦) =(𝑛𝜋/𝐿

)2𝑌 (𝑦), 𝑌 (0) = 0.

Þessi jafna hefur greinilega lausnina

𝑌𝑛(𝑦) = 𝐷𝑛 sinh(𝑛𝜋𝑦/𝐿

), 𝑛 = 1, 2, 3, . . . .

Nú eru allar lausnir á Laplace-jöfnunni af gerðinni 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥)𝑌 (𝑦) með óhliðruðu jaðarskilyrðunum gefnarmeð formúlunni

𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝐶𝑛𝐷𝑛 sin(𝑛𝜋𝑥/𝐿

)sinh

(𝑛𝜋𝑦/𝐿

), 𝑛 = 1, 2, 3, . . . .

Getum valið 𝐷𝑛 = 1. Tökum óendanlega línulega samatekt af þessum lausnum

𝑢(𝑥, 𝑦) =

∞∑𝑛=1

𝐶𝑛 sin(𝑛𝜋𝑥/𝐿

)sinh

(𝑛𝜋𝑦/𝐿

).

Síðasta jaðarskilyrðið, 𝑢(𝑥,𝑀) = 𝜙(𝑥) er uppfyllt ef

𝑢(𝑥,𝑀) =

∞∑𝑛=1

𝐶𝑛 sin(𝑛𝜋𝑥/𝐿

)sinh

(𝑛𝜋𝑀/𝐿

)=

∞∑𝑛=1

𝑏𝑛(𝜙) sin(𝑛𝜋𝑥/𝐿

)= 𝜙(𝑥),

þar sem 𝑏𝑛(𝜙) er Fourier-sínusstuðull fallsins 𝜙.

Samanburður á stuðlum gefur

𝑢(𝑥, 𝑦) =

∞∑𝑛=1

𝑏𝑛(𝜙)sinh

(𝑛𝜋𝑦/𝐿

)sinh

(𝑛𝜋𝑀/𝐿


).

5.8.2 Dirichlet-verkefnið á skífu - aftur

Leysum aftur Dirichlet-verkefnið á hringskífu með aðskilnaði breytistærða,⎧⎨⎩1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟

(𝑟𝜕𝑣

𝜕𝑟

)+

1

𝑟2𝜕2𝑣

𝜕𝜃2= 0, 𝑟 < 𝑎, 𝜃 ∈ R,

𝑣(𝑎, 𝜃) = 𝜓(𝜃), 𝜃 ∈ R,

þar sem föllin 𝑣 og 𝜓 eru 2𝜋-lotubundin í 𝜃.

• Leitum fyrst að öllum lausnum af gerðinni 𝑤(𝑟, 𝜃) = 𝑅(𝑟)Θ(𝜃).

• Stingum tilgátunni inn í hlutafleiðujöfnuna og fáum

𝑟(𝑟𝑅′(𝑟)

)′Θ(𝜃) +𝑅(𝑟)Θ′′(𝜃) = 0.

• Deilum í gegn með 𝑅(𝑟)Θ(𝜃) og fáum

𝑟(𝑟𝑅′(𝑟)

)′/𝑅(𝑟) = −Θ′′(𝜃)/Θ(𝜃).

Vinstri hliðin er eingöngu háð 𝑟 en hægri hliðin er eingöngu háð 𝜃. Þar með eru báðar hliðar jafnar fasta, segjum𝜆. Fáum þá jöfnurnar

−Θ′′(𝜃) = 𝜆Θ(𝜃), 𝑟𝑑

𝑑𝑟

(𝑟𝑑𝑅

𝑑𝑟(𝑟)

)= 𝜆𝑅(𝑟).

• Almenn lausn á fyrri jöfnunni er

5.8. Áfram um eigingildisverkefni - aðskilnaður breytistærða 39


Θ(𝜃) =

𝐴𝑒𝑖𝛽𝜃 +𝐵𝑒−𝑖𝛽𝜃, 𝜆 = 𝛽2 = 0,

𝐴0 +𝐵0𝜃, 𝜆 = 0.

Þar sem fallið Θ er 2𝜋-lotubundið fæst að einu gildin sem 𝜆 getur tekið eru 𝜆 = 𝜆𝑛 = 𝑛2, 𝑛 = 0, 1, 2, . . ., og𝐵0 = 0. Þar með er

Θ(𝜃) =

𝐴𝑛𝑒

𝑖𝑛𝜃 +𝐵𝑛𝑒−𝑖𝑛𝜃, 𝑛 = 1, 2, 3, . . . ,

𝐴0, 𝜆 = 0.

• Lítum næst á afleiðujöfnuna fyrir 𝑅(𝑟) með 𝜆 = 𝑛2. Þetta er Euler-jafna. Með því að leita að lausn afgerðinni 𝑅(𝑟) = 𝑟𝛼 sjáum við að 𝛼 = ±𝑛. Almenn lausn á seinni afleiðujöfnunni fyrir 𝑅(𝑟) með 𝜆 = 𝑛2

er því

𝑅(𝑟) =

𝐶𝑛𝑟

𝑛 +𝐷𝑛𝑟−𝑛, 𝑛 = 1, 2, 3, . . . ,

𝐶0 +𝐷0 ln 𝑟, 𝑛 = 0.

Þar sem lausnin verður að gilda í 𝑟 = 0 þarf 𝐷𝑛 = 0, 𝑛 = 0, 1, 2, . . .. Þar með er

𝑅(𝑟) =

𝐶𝑛𝑟

𝑛, 𝑛 = 1, 2, 3, . . . ,

𝐶0, 𝑛 = 0.

• Allar lausnir á verkefninu af gerðinni 𝑤(𝑟, 𝜃) = 𝑅(𝑟)Θ(𝜃) eru þá

𝑤(𝑟, 𝜃) = 𝐶𝑛𝑟𝑛(𝐴𝑛𝑒

𝑖𝑛𝜃 +𝐵𝑛𝑒−𝑖𝑛𝜃

), 𝑛 = 0, 1, 2, . . . ,

þar sem 𝐴𝑛, 𝐵𝑛 og 𝐶𝑛 eru fastar. Veljum 𝐶𝑛 = 1.

Almenn lausn hlutafleiðujöfnunnar er línuleg samantekt þessara lausna

𝑣(𝑟, 𝜃) =

+∞∑−∞

𝐴𝑛𝑟|𝑛|𝑒𝑖𝑛𝜃,

þar sem við höfum sett 𝐴𝑛 = 𝐵−𝑛 ef 𝑛 < 0.

• Notum nú jaðarskilyrðið í 𝑟 = 𝑎,

𝑣(𝑎, 𝜃) =

+∞∑−∞

𝐴𝑛𝑎|𝑛|𝑒𝑖𝑛𝜃 =

+∞∑−∞

𝑐𝑛(𝜓)𝑎|𝑛|𝑒𝑖𝑛𝜃 = 𝜓(𝜃).

Með samanburði á stuðlum fæst að 𝐴𝑛 = 𝑐𝑛(𝜓)/𝑎|𝑛| og þar með fæst

𝑣(𝑟, 𝜃) =

+∞∑−∞

𝑐𝑛(𝜓)

(𝑟

𝑎

)|𝑛|

𝑒𝑖𝑛𝜃.

5.9 Tvöfaldar Fourier-raðir

Látum 𝜙 : 𝐷 → C vera samfellt deildanlegt á 𝐷 = (𝑥, 𝑦); 0 < 𝑥 < 𝐿, 0 < 𝑦 < 𝑀 og samfellt á lokuninni 𝐷.Ef 𝜙 er jafnt 0 á jaðrinum 𝜕𝐷, þá getum við liðað 𝜙 í Fourier-sínusröð með tilliti til 𝑦

𝜙(𝑥, 𝑦) =

∞∑𝑚=1

𝜙𝑚(𝑥) sin(𝑚𝜋𝑦/𝑀

).

Fallið 𝜙𝑚 er samfellt deildanlegt og tekur gildið 0 í 𝑥 = 0 og 𝑥 = 𝐿, svo við getum einnig liðað það í Fourier-sínusröð

𝜙𝑚(𝑥) =

∞∑𝑛=1

𝑏𝑛,𝑚 sin(𝑛𝜋𝑥/𝐿).

Höfum því framsetningu á 𝜙 með tvöfaldri Fourier-röð

𝜙(𝑥, 𝑦) =

∞∑𝑛=1

∞∑𝑚=1

𝑏𝑛,𝑚 sin(𝑛𝜋𝑥/𝐿

)sin

(𝑚𝜋𝑦/𝑀

).



5.9.1 Dæmi - Rétthyrnd tromma

Himna er strekkt á rétthyrndan ramma með hliðarlengdir 𝐿 og 𝑀 og sveiflast þar. Lóðrétt færsla hennar frájafnvægi í punkti (𝑥, 𝑦) á tíma 𝑡 er táknuð með 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡) og uppfyllir tvívíðu bylgjujöfnuna. Ef staða og hraðitrommunnar eru gefin við tímann 𝑡 = 0, þá er 𝑢 lausn verkefnisins⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2− 𝑐2

(𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+𝜕2𝑢

𝜕𝑦2

)= 0, 0 < 𝑥 < 𝐿, 0 < 𝑦 < 𝑀, 𝑡 > 0,

𝑢(0, 𝑦, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑦, 𝑡) = 0, 0 < 𝑦 < 𝑀, 𝑡 > 0,

𝑢(𝑥, 0, 𝑡) = 𝑢(𝑥,𝑀, 𝑡) = 0, 0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0,

𝑢(𝑥, 𝑦, 0) = 𝜙(𝑥, 𝑦), 𝜕𝑡𝑢(𝑥, 𝑦, 0) = 𝜓(𝑥, 𝑦), 0 < 𝑥 < 𝐿, 0 < 𝑦 < 𝑀.

Lítum á lausnartilgátu á formi tvöfaldrar Fourier-raðar

𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡) =

∞∑𝑛=1

∞∑𝑚=1

𝑢𝑛,𝑚(𝑡) sin(𝑛𝜋𝑥/𝐿

)sin

(𝑚𝜋𝑦/𝑀

).

Stingum henni inni í hlutafleiðujöfnuna og víxlum á hlutafleiðuvirkjanum og óendanlegu röðinni. Fáum þá jöfnuna

𝑢𝑛,𝑚′′(𝑡) + 𝑐2𝜋2(𝑛2/𝐿2 +𝑚2/𝑀2)𝑢𝑛,𝑚 = 0,

sem hefur almenna lausn

𝑢𝑛,𝑚(𝑡) = 𝐴𝑛,𝑚 cos(√

𝑛2/𝐿2 +𝑚2/𝑀2 𝜋𝑐𝑡)

+𝐵𝑛,𝑚 sin(√

𝑛2/𝐿2 +𝑚2/𝑀2 𝜋𝑐𝑡).

Út frá upphafsskilyrðunum fæst

𝐴𝑛,𝑚 = 𝑏𝑛,𝑚(𝜙) og 𝐵𝑛,𝑚 =𝑏𝑛,𝑚(𝜓)√

𝑛2/𝐿2 +𝑚2/𝑀2 𝜋𝑐.

Mögulegar tíðnir í sveiflunni eru því

𝜋2

√𝑛2/𝐿2 +𝑚2/𝑀2 𝑐;𝑛,𝑚 = 1, 2, 3, . . . .

Lægsta tíðnin 𝜋2

√1/𝐿2 + 1/𝑀2 𝑐 nefnist grunntíðni og hinar tíðnirnar nefnast yfirtíðnir. Yfirtíðnirnar eru ekki

heiltölumargfeldi af grunntíðninni eins og gildir fyrir sveiflandi streng. Þetta er skýringin á því hvers vegnatrommur gefa ekki frá sér hreinan tón eins og strengir.

5.10 Almennt um eiginfallaraðir

Við ljúkum umfjöllun þessa kafla á að taka dæmi sem undirstrikar það að lausnaraðferðirnar sem við höfum veriðað beita þar sem eiginfallaraðir koma við sögu eru almennar og ekki bundnar við notkun hefbundinna Fourier-raða.Með þessa hugmynd að leiðarljósi er í sumum tilfellum hægt að komast langt í að skrifa niður lausn verkefnis ánþess að þekkja eiginföllin og eigingildin.

5.10.1 Dæmi - Alhæft varmaleiðniverkefni

Látum 𝑃 (𝑥,𝐷𝑥) vera afleiðuvirkja af Sturm-Liouville gerð. Látum 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) vera fall af tveimur breytistærðumog 𝐵1 og 𝐵2 samhverfa jaðargildisvirkja. Skoðum verkefnið⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑃 (𝑥, 𝜕𝑥)𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑡), 𝑥 ∈]𝑎, 𝑏[, 𝑡 > 0,

𝑢(𝑥, 0) = 𝜙(𝑥), 𝑥 ∈]𝑎, 𝑏[,

𝐵1𝑢(·, 𝑡) = 𝐵2𝑢(·, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0.

𝐵𝑗𝑢(·, 𝑡) táknar að 𝐵𝑗 verki með tilliti til fyrri breytistærðarinnar 𝑥.

5.10. Almennt um eiginfallaraðir 41


Gerum eftirfarandi lausnartilgátu

𝑢(𝑥, 𝑡) =

∞∑𝑛=0

𝑐𝑛(𝑡)𝑢𝑛(𝑥),

þar sem 𝑢𝑛(𝑥) eru eiginföll virkjans 𝑃 (ásamt jaðarskilyrðum) með tilsvarandi eigingildi eru 𝜆𝑛 og 𝑐𝑛(𝑡) eruFourier-stuðlar 𝑢(𝑥, 𝑡) með tilliti til eiginfallanna.

Liðum föllin 𝑓 og 𝜙 einnig í eiginfallaraðir

𝑓(𝑥, 𝑡) =

∞∑𝑛=0

𝑓𝑛(𝑡)𝑢𝑛(𝑥), 𝜙(𝑥) =

∞∑𝑛=0

𝜙𝑛𝑢𝑛(𝑥).

Stignum lausnatilgátunni inn í hlutafleiðujöfnuna og víxlum á hlutafleiðuvirkjanum og óendanlegu röðinni. Þáfæst

𝜕𝑢

𝜕𝑡(𝑥, 𝑡) + 𝑃 (𝑥, 𝜕𝑥)𝑢(𝑥, 𝑡) =

∞∑𝑛=0

(𝑐𝑛

′(𝑡) + 𝜆𝑛𝑐𝑛(𝑡)

)𝑢𝑛(𝑥)

=

∞∑𝑛=0

𝑓𝑛(𝑡)𝑢𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑡),

ásamt upphafsskilyrðinu

𝑢(𝑥, 0) =

∞∑𝑛=0

𝑐𝑛(0)𝑢𝑛(𝑥) =

∞∑𝑛=0

𝜙𝑛𝑢𝑛(𝑥) = 𝜙(𝑥).

Með því að bera saman stuðlana í jöfnunum fæst upphafsgildisverkefni fyrir 𝑐𝑛(𝑡),𝑐𝑛

′(𝑡) + 𝜆𝑛𝑐𝑛(𝑡) = 𝑓𝑛(𝑡),

𝑐𝑛(0) = 𝜙𝑛.

Þetta er fyrsta stigs jafna með fastastuðla, svo

𝑐𝑛(𝑡) = 𝜙𝑛𝑒−𝜆𝑛𝑡 + 𝑒−𝜆𝑛𝑡

∫ 𝑡

0

𝑒𝜆𝑛𝜏𝑓𝑛(𝜏) 𝑑𝜏.

Athugið að við gátum skrifað niður lausn án þess að þekkja eiginföllin 𝑢𝑛 og tilsvarandi eigingildi 𝜆𝑛.


KAFLI 6

Fourier-ummyndun

6.1 Fourier-ummyndun. Reiknireglur. Plancerel-jafnan

6.1.1 Skilgreining á 𝐿1(R)

Við byrjum á að skilgreina rúm heildanlegra falla 𝐿1(R). Við táknum 𝐿1(R) mengi allra falla 𝑓 þannig að |𝑓 | erheildanlegt á R. ∫ ∞

−∞|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 <∞ .

𝐿1(R) er vigurrúm, af því að

1. Ef 𝑓 ∈ 𝐿1(R) og 𝑔 ∈ 𝐿1(R) þá er fallið 𝑓 + 𝑔 ∈ 𝐿1(R)∫ ∞

−∞|𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 ≤

∫ ∞

−∞|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 <∞ +

∫ ∞

−∞|𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 <∞ .

2. Ef 𝑓 ∈ 𝐿1(R) þá er 𝛼𝑓 ∈ 𝐿1(R), þar sem 𝛼 ∈ R∫ ∞

−∞|𝛼𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 = |𝛼|

∫ ∞

−∞|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 <∞ .

6.1.2 Skilgreining á Fourier-ummyndun

Fyrir sérhvert fall 𝑓 ∈ 𝐿1(R) skilgreinum við fallið

ℱ𝑓(𝑘) =

∫ ∞

−∞𝑒−𝑖𝑘𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , 𝑘 ∈ R .

Við köllum fallið ℱ𝑓 Fourier-mynd fallsins 𝑓 og við táknum hana með ℱ𝑓 eða 𝑓 .

Við köllum vörpun ℱ Fourier-ummyndun. Hún er skilgreind á 𝐿1(R) og varpar falli 𝑓 ∈ 𝐿1(R) á Fourier-myndsína ℱ𝑓 .

Athugið: Skilgreiningin á Fourier-ummyndun er ekki stöðluð.

43


6.1.3 Sýnidæmi

Skilgreinum fall 𝑓𝑎 á eftifarandi hátt

𝑓𝑎(𝑥) =

1, |𝑥| < 𝑎 ,

0, |𝑥| ≥ 𝑎, 𝑓𝑎 : R → R , 𝑎 > 0 .

Við sjáum að 𝑓 ∈ 𝐿1(R). Við reiknum nú Fourier-mynd fallsins 𝑓

𝑓𝑎(𝑘) =

∫ 𝑎

𝑎

𝑒−𝑖𝑘𝑥𝑑𝑥 =𝑒−𝑖𝑎𝑘 − 𝑒𝑖𝑎𝑘

−𝑖𝑘= 2

sin 𝑎𝑘

𝑘.

6.1.4 Reiknireglur

Við byrjum á að skoða reiknireglur fyrir Fourier-ummyndanir.

1. Látum 𝑓 og 𝑔 vera tvö föll í 𝐿1(R). Látum 𝛼 og 𝛽 vera tvær tölur í C. Þá gildir

ℱ 𝛼𝑓 + 𝛽𝑔 (𝑘) =∫ ∞

−∞𝑒−𝑖𝑘𝑥 (𝛼𝑓(𝑥) + 𝛽𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = 𝛼

∫ ∞

−∞𝑒−𝑖𝑘𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥+ 𝛽

∫ ∞

−∞𝑒−𝑖𝑘𝑥𝑔(𝑥)𝑑𝑥

=

𝛼ℱ𝑓(𝑘) + 𝛽 ℱ𝑔(𝑘) ,

Þ.e.a.s. að Fourier-ummyndun er línuleg vörpun.

2. Látum 𝑓 ∈ 𝐿1(R) og 𝛼 ∈ Rr 0. Þá gildir

ℱ 𝑓(𝛼𝑥) (𝑘) =1

|𝛼|ℱ𝑓(𝑥)

(𝑘

𝛼

), 𝑘 ∈ R

sem segir okkur hvernig Fourier-ummyndun breytist þegar 𝑥→ 𝛼𝑥.

3. Látum 𝑓 ∈ 𝐿1(R) og 𝛼 ∈ R. Þá gildir

ℱ 𝑓(𝑥− 𝛼) (𝑘) = 𝑒−𝑖𝛼𝑘ℱ𝑓(𝑥) (𝑘) , 𝑘 ∈ R

sem segir okkur hvernig Fourier-ummyndun breytist þegar 𝑥→ 𝑥− 𝛼.

4. Látum 𝑓 ∈ 𝐿1(R) og 𝛼 ∈ R. Þá gildir

ℱ𝑒𝑖𝛼𝑥𝑓(𝑥)

(𝑘) = ℱ𝑓(𝑥) (𝑘 − 𝛼) , 𝑘 ∈ R

sem segir okkur hvernig Fourier-ummyndun breytist þegar 𝑘 → 𝑘 − 𝛼.

5. Látum 𝑓 ∈ 𝐿1(R). Þá gildir

ℱ𝑓(𝑥)(𝑘) = ℱ𝑓(𝑥) (−𝑘) , 𝑘 ∈ R .

Athugum að ef 𝑓 ∈ 𝐿1(R) er raungilt, þ.e. 𝑓 : R → R, þá gildir

ℱ 𝑓(𝑥) (𝑘) = ℱ𝑓(𝑥) (−𝑘) , 𝑘 ∈ R .

6. Látum 𝑓 ∈ 𝐿1(R) vera jafnstætt. Þá gildir

ℱ 𝑓(𝑥) (𝑘) = 2

∫ ∞

0

cos(𝑘 𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , 𝑘 ∈ R .

7. Látum 𝑓 ∈ 𝐿1(R) vera oddstætt. Þá gildir

ℱ 𝑓(𝑥) (𝑘) = −2𝑖

∫ ∞

0

sin(𝑘 𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , 𝑘 ∈ R .

8. Látum 𝑓 ∈ 𝒞1(R). Gerum ráð fyrir að 𝑓 og 𝑓 ′ séu í 𝐿1(R). Þá gildir

44 Kafli 6. Fourier-ummyndun


ℱ 𝑓 ′(𝑥) (𝑘) = 𝑖𝑘ℱ 𝑓(𝑥) (𝑘) , 𝑘 ∈ R .

Regla 8 tengir Fourier-mynd fallsins 𝑓 og Fourier-mynd afleiðu þess 𝑓 ′.

Ef 𝑓 ∈ 𝒞𝑚(R) og 𝑓, 𝑓 ′, . . . , 𝑓 (𝑚) ∈ 𝐿1(R), þá gildir

ℱ𝑓 (𝑗)(𝑥)

(𝑘) = (𝑖𝑘)𝑗ℱ 𝑓(𝑥) (𝑘) , 𝑘 ∈ R , 𝑗 = 0, 1, . . . 𝑚 .

9. Gerum ráð fyrir að föll 𝑓 og 𝑥𝑓 séu í 𝐿1(R). Þá gildir

ℱ 𝑥𝑓(𝑥) (𝑘) = 𝑖𝑑

𝑑𝑘ℱ 𝑓(𝑥) (𝑘) , 𝑘 ∈ R .

Regla 9 segir okkur hver afleiða Fourier-myndar fallsins 𝑓 er.

Gerum ráð fyrir að föll 𝑓, 𝑥𝑓, . . . , 𝑥𝑗𝑓 séu í 𝐿1(R). Þá gildir

ℱ𝑥𝑗𝑓(𝑥)

(𝑘) = 𝑖𝑗

𝑑𝑗

𝑑𝑘𝑗ℱ 𝑓(𝑥) (𝑘) , 𝑘 ∈ R .

6.1.5 Sýnidæmi

Við skoðum núna dæmi um hvernig nota má reiknireglurnar til þess að reikna Fourier-mynd falla.

Athugum fall 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑎𝑥2/2 þar sem 𝑎 > 0. Fallið 𝑓 uppfyllir afleiðujöfnu

𝑓 ′(𝑥) + 𝑎𝑥𝑓(𝑥) = 0 .

Ef við reiknum Fourier-myndina af þessari jöfnu og notum reiknireglur 9, þá fáum við

0 = 𝑖𝑘 𝑓(𝑘) + 𝑖𝑎𝑑

𝑑𝑘𝑓(𝑘) .

Þetta er bara fyrsta stigs afleiðujafna fyrir Fourier-mynd fallsins 𝑓 , og lausnin er

𝑓(𝑘) = 𝐶𝑒−𝑘2

2𝑎 , 𝐶 ∈ R .

Til þess að finna fastann 𝐶, getum notað

𝐶 = 𝑓(0) =

∫ ∞

−∞𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =

∫ ∞

−∞𝑒−𝑎𝑥2/2𝑑𝑥 =

√2𝜋

𝑎.

Að lokum, fáum við

ℱ(𝑒−𝑎𝑥2/2)(𝑘) =

√2𝜋

𝑎𝑒−

𝑘2

2𝑎 .

6.1.6 Eiginleikar Fourier-myndar

Nú viljum við skoða eiginleika Fourier-myndar. Gerum ráð fyrir að fall 𝑓 sé t.d. samfellt eða diffranlegt og svoframvegis, hvaða eiginleika hefur Fourier-mynd fallsins 𝑓?

Setning (Riemann-Lebesgue setning)

Ef 𝑓 ∈ 𝐿1(R), þá er ℱ𝑓 ∈ 𝐶(R) og

lim𝜉→±∞

ℱ𝑓(𝜉) = 0.

Ef við táknum mengi falla sem eru samfelld og stefna á núll þegar breytan stefnir á óendanlegt með 𝐶0(R) =𝐹 ∈ 𝐶(R) ; lim|𝜉|→+∞ 𝐹 (𝜉) = 0, þá þýðir setningin að Fourier-ummyndun ℱ varpar rúminu 𝐿1(R) í 𝐶0(R).

Setning

Gerum ráð fyrir að fall 𝑓 ∈ 𝐿1(R) og að 𝑓 sé takmarkað. Gerum ráð fyrir að Fourier-mynd ℱ𝑓 fallsins 𝑓 séjákvæð fyrir öll 𝑘, þ.e. ℱ𝑓(𝑘) ≥ 0. Þá er ℱ ∈ 𝐿1(R).

Athugum að ef fall 𝑓 ∈ 𝐿1(R) er takmarkað (þ.e. |𝑓 | ≤𝑀 ), þá er 𝑓 ∈ 𝐿2(R) (af því að |𝑓 |2 ≤𝑀 |𝑓 |).

6.1. Fourier-ummyndun. Reiknireglur. Plancerel-jafnan 45


6.1.7 Plancerel-jafnan

Til þess að einfalda rithátt, táknum við hér Fourier-mynd falls 𝑓 með 𝑓 .

Gerum ráð fyrir að 𝑓 ∈ 𝐿1(R) og að 𝑓 sé takmarkað. Þá gildir∫ ∞

−∞|𝑓(𝑥)|2𝑑𝑥 =

1

2𝜋

∫ ∞

−∞| 𝑓(𝑘)|2𝑑𝑘 .

Þetta er Plancherel-jafnan. Hún er alhæfing af Parseval-jöfnu fyrir Fourier-ummyndunina.

6.2 Andhverfuformúla Fouriers. Afleiðujöfnur

6.2.1 Andhverfuformúla Fouriers

Við viljum nú finna fall 𝑓 ef við gerum ráð fyrir að Fourier-myndin ℱ𝑓 sé gefin. Við munum skoða og reikna útFourier-myndina af Fourier-mynd falls 𝑓 , þ.e.a.s. ℱ(ℱ𝑓). Hugmyndin að baki er að Fourier-myndin af Fourier-mynd fallsins 𝑓 gefur fallið 𝑓 . Þetta er þó ekki svo einfalt. Fyrsta vandamál er að jafnvel þótt 𝑓 ∈ 𝐿1(R) þýðirþað ekki nauðsynlega að ℱ𝑓 sé í 𝐿1(R) (svo Fourier-mynd hennar er ekki endilega vel skilgreind).

Ef við gerum ráð fyrir að bæði föllin 𝑓 og ℱ𝑓 séu í 𝐿1(R) og séu samfelld, þá er

(ℱℱ𝑓)(𝑥) =

∫ +∞

−∞𝑒−𝑖𝑥𝜉 𝑓(𝜉)𝑑𝜉 =

∫ +∞

−∞𝑒−𝑖𝑥𝜉

(∫ +∞

−∞𝑒−𝑖𝑦𝜉𝑓(𝑦) 𝑑𝑦

)𝑑𝜉

=

∫ +∞

−∞

(∫ +∞

−∞𝑒−𝑖(𝑥+𝑦)𝜉𝑓(𝑦) 𝑑𝑦

)𝑑𝜉 .

Vandamálið nú er að við getum ekki skipt á röð heildanna, við getum ekki heildað fyrst yfir 𝜉 og svo yfir 𝑦 af þvíað heildið

∫ +∞−∞ 𝑒−𝑖(𝑥+𝑦)𝜉𝑑𝜉 er ekki samleitið. Til að leysa málið, stingum við falli 𝑒−𝜀|𝜉| inn í heildið og tökum

síðan markgildi 𝜀→ 0+. Nú getum við reiknað út heildið að ofan og við fáum

(ℱℱ𝑓)(𝑥) = lim𝜀→0

∫ +∞

−∞𝑒−𝜀|𝜉|

(∫ +∞

−∞𝑒−𝑖𝑡𝜉𝑓(𝑡− 𝑥) 𝑑𝑡

)𝑑𝜉

= lim𝜀→0

∫ +∞

−∞𝑓(𝑡− 𝑥)ℱ𝑒−𝜀|𝜉|(𝑡) 𝑑𝑡

= lim𝜀→0

∫ +∞

−∞𝑓(𝑡− 𝑥)ℱ𝑒−|𝜉|(𝑡/𝜀)𝜀−1 𝑑𝑡

= lim𝜀→0

∫ +∞

−∞𝑓(𝜀𝑡− 𝑥)ℱ𝑒−|𝜉|(𝑡) 𝑑𝑡

= 𝑓(−𝑥)

∫ +∞

−∞

2

1 + 𝑡2𝑑𝑡 = 2𝜋𝑓(−𝑥).

Að lokum getum við tekið þetta saman í eftirfarandi setningu

Setning (Andhverfuformúla Fouriers)

Gerum ráð fyrir að fall 𝑓 ∈ 𝐿1(R) ∩ 𝒞(R) og 𝑓 ∈ 𝐿1(R) ∩ 𝒞(R). Þá gildir

𝑓(𝑥) =1

2𝜋

∫ +∞

−∞𝑒𝑖𝑥𝜉 𝑓(𝜉) 𝑑𝜉 =

1

2𝜋(ℱℱ𝑓)(−𝑥), 𝑥 ∈ R.

Setningin segir okkur að fallið 𝑓 sé samfelld samantekt (superposition á ensku) af veldisvísisföllum 𝑒𝑖𝑥𝜉. Húnalhæfir framsetningu á lotubundnum föllum með Fourier-röðum til falla sem eru ekki lotubundin.

Fylgisetning

Ef 𝑓 = 𝑔, þá er 𝑓 = 𝑔.

Sýnidæmi



Andhverfuformúlan getur verið mjög gagnleg til þess að reikna Fourier-mynd. Við sjáum þetta með dæmi. Ef viðviljum reikna Fourier-mynd falls 𝑓(𝑥) = sin 𝑎𝑥

𝑥 , getum við notað andhverfuformúlu Fouriers og sýnidæmi 4.1.3,það er

ℱ(

sin 𝑎𝑥

𝑥

)=

𝜋 , |𝜉| < 𝑎

0 , annars.

Ef við viljum reikna Fourier-mynd fallsins 𝑓 beint út frá skilgreiningu þess, er það erfitt!

6.2.2 Földun og Fourier-ummyndun

Skilgreining

Látum 𝑓 og 𝑔 vera tvö föll á R. Við skilgreinumn földun þeirra með

𝑓 * 𝑔(𝑥) =

∫ +∞

−∞𝑓(𝑥− 𝑡)𝑔(𝑡) 𝑑𝑡,

fyrir öll 𝑥 ∈ R þannig að heildið sé til.

Eiginleikar

1. Gerum ráð fyrir að heildið að ofan sé til, þá er

𝑓 * 𝑔(𝑥) =

∫ +∞

−∞𝑓(𝑥− 𝑡)𝑔(𝑡) 𝑑𝑡 =

∫ ∞

−∞𝑓(𝑠)𝑔(𝑥− 𝑠)𝑑𝑠 = 𝑔 * 𝑓(𝑥) ,

þar sem við höfum notað 𝑠 = 𝑥− 𝑡.

2. Ef 𝑓 ∈ 𝐿1(R) og 𝑔 er takmarkað, þá er földun þeirra skilgreind á R.

3. Ef 𝑓 ∈ 𝐿1(R) og líka 𝑔 ∈ 𝐿1(R), þá er földunin vel skilgreind, og ennfremur gildir að 𝑓 * 𝑔 er í 𝐿1(R).

4. Földunin uppfyllir sömu reglur og venjulegt margfeldi uppfyllir:

𝑓 * (𝛼𝑔 + 𝛽ℎ) = 𝛼(𝑓 * 𝑔) + 𝛽(𝑓 * ℎ) , ∀𝛼, 𝛽 ∈ R .𝑓 * 𝑔 = 𝑔 * 𝑓 ,𝑓 * (𝑔 * ℎ) = (𝑓 * 𝑔) * ℎ ,

þar sem 𝑓, 𝑔, ℎ eru föll á R, þ.a. földun þeirra sé vel skilgreind.

5. Gerum ráð fyrir að fall 𝑓 sé diffranlegt og faldanir 𝑓 * 𝑔 og 𝑓 ′ * 𝑔 séu vel skilgreindar. Þá er 𝑓 * 𝑔 diffranlegtog (𝑓 * 𝑔)′ = 𝑓 ′ * 𝑔. Ef 𝑔 er líka diffranlegt, þá gildir (𝑓 * 𝑔)′ = 𝑓 * 𝑔′.

Við getum alhæft niðurstöðuna að ofan ef til dæmis fallið 𝑓 er 𝑚-sinnum diffranlegt og 𝑓, 𝑓 ′, . . . 𝑓 (𝑚) eru tak-mörkuð, þá er 𝑓 * 𝑔 ∈ 𝒞𝑚(R) og

(𝑓 * 𝑔)(𝑘)(𝑥) = (𝑓 (𝑘) * 𝑔)(𝑥) , 𝑥 ∈ R 𝑘 = 0, . . . ,𝑚.

Setning

Frá eiginleika 3, fáum við eftirfarandi setningu

Ef 𝑓 ∈ 𝐿1(R) og líka 𝑔 ∈ 𝐿1(R), þá er földunin 𝑓 * 𝑔 í 𝐿1(R) og

ℱ𝑓 * 𝑔(𝜉) = ℱ𝑓(𝜉)ℱ𝑔(𝜉), 𝜉 ∈ R.

6.2.3 Afleiðujöfnur og Fourier-ummyndun

Við byrjum á að skoða afleiðujöfnu með fasta stuðla

𝑃 (𝐷)𝑢 = (𝑎𝑚𝐷𝑚 + · · · + 𝑎1𝐷 + 𝑎0)𝑢 = 𝑓(𝑥).

Til þess að finna lausn á jöfnunni getum við notað Fourier-ummyndun, ef t.d. 𝑓 ∈ 𝐿1(R). Munið eftir reiknireglu8, ef við gerum ráð fyrir að 𝑢 og afleiður þess séu í 𝐿1(R). Þá fáum við eftirfarandi niðurstöðu

Setning

6.2. Andhverfuformúla Fouriers. Afleiðujöfnur 47


Gerum ráð fyrir að 𝑓 ∈ 𝐿1(R) og 𝑓 ∈ 𝐿1(R). Gerum ráð fyrir að 𝑃 (𝑖𝜉) = 0. Þá hefur afleiðujafnan(ref) lausn 𝑢 ∈ 𝐿1(R) ∩ 𝒞𝑚(R) sem gefin er með formúlunni

𝑢(𝑥) =1

2𝜋

∫ +∞

−∞𝑒𝑖𝑥𝜉

𝑓(𝜉)

𝑃 (𝑖𝜉)𝑑𝜉, 𝑥 ∈ R.

Við sjáum að fallið 𝑢 sem skilgreint er að ofan uppfyllir jöfuna

𝑃 (𝐷)𝑢(𝑥) =1

2𝜋

∫ +∞

−∞𝑃 (𝐷𝑥)𝑒𝑖𝑥𝜉

𝑓(𝜉)

𝑃 (𝑖𝜉)𝑑𝜉 =

1

2𝜋

∫ +∞

−∞𝑃 (𝑖𝜉)𝑒𝑖𝑥𝜉

𝑓(𝜉)

𝑃 (𝑖𝜉)𝑑𝜉

=1

2𝜋

∫ +∞

−∞𝑒𝑖𝑥𝜉 𝑓(𝜉) 𝑑𝜉 = 𝑓(𝑥).

Afleiðujöfnur, Fourier-ummyndun og földun

Gerum ráð fyrir að 𝑃 (𝑖𝜉) = 0 fyrir öll 𝜉 ∈ R. Ef við táknum andhverfu Fourier-mynd falls 1𝑃 (𝑖𝜉) (athugum að

1𝑃 (𝑖𝜉) ∈ 𝐿1(R)) með

𝐸(𝑥) =1

2𝜋

∫ ∞

−∞

𝑒𝑖𝑥𝜉

𝑃 (𝑖𝜉)𝑑𝜉 , 𝑥 ∈ R ,

þá fæst

𝐸 * 𝑓(𝑥) =

∫ ∞

−∞𝐸(𝑥− 𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =

∫ ∞

−∞

(1

2𝜋

∫ ∞

−∞

𝑒𝑖(𝑥−𝑡)𝜉

𝑃 (𝑖𝜉)𝑑𝜉

)𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =

=1

2𝜋

∫ ∞

−∞

𝑒𝑖𝑥𝜉

𝑃 (𝑖𝜉)

(∫ ∞

−∞𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜉𝑡𝑑𝑡

)𝑑𝜉 =

1

2𝜋

∫ ∞

−∞

𝑒𝑖𝑥𝜉

𝑃 (𝑖𝜉)𝑓(𝜉) 𝑑𝜉 = 𝑢(𝑥).

Setning

Gerum ráð fyrir að 𝑃 sé margliða af stigi 𝑚 með ólikar núllstöðvar 𝜆1, . . . , 𝜆ℓ með margfeldni 𝑚1, . . . ,𝑚ℓ, að𝑃 (𝑖𝜉) hafi enga núllstöð á R, að 𝑄 sé margliða af stigi ≤ 𝑚−1 og að stofnbrotaliðun á ræða fallinu 𝑄/𝑃 sé gefinmeð

𝑄(𝜁)

𝑃 (𝜁)=

ℓ∑𝑘=1

𝑚𝑘∑𝑗=1

𝐴𝑗𝑘

(𝜁 − 𝜆𝑘)𝑗.

Þá er andhverfa Fourier-mynd fallsins 𝜉 ↦→ 𝑄(𝑖𝜉)/𝑃 (𝑖𝜉) gefin með formúlunni

𝑓(𝑥) =∑

Re𝜆𝑘<0

𝑚𝑘∑𝑗=1

𝐴𝑗𝑘1

(𝑗−1)!𝐻(𝑥)𝑥𝑗−1𝑒𝜆𝑘𝑥

−∑

Re𝜆𝑘>0

𝑚𝑘∑𝑗=1

𝐴𝑗𝑘1

(𝑗−1)!𝐻(−𝑥)𝑥𝑗−1𝑒𝜆𝑘𝑥, 𝑥 = 0.

Sýnidæmi

Skoðum jöfnu

−𝑢′′ + 𝜔2𝑢 = 𝑒−|𝑥| = 𝑓(𝑥), 𝜔2 = 1, 𝑥 ∈ R.

Við sjáum að 𝑃 (𝑋) = −𝑋2 + 𝜔2, og 𝑃 (𝑖𝜉) = 𝜉2 + 𝜔2. Fourier-mynd fallsins 𝑒−|𝑥| = 𝑓(𝑥) er 𝑓(𝜉) = 21+𝜉2 .

Tökum Fourier-mynd jöfnunnar, þá fáum við

𝜉2𝑢(𝜉) + 𝜔2𝑢(𝜉) =2

1 + 𝜉2, 𝜉 ∈ R.

Þá er

𝑢(𝜉) =2

(𝜔2 + 𝜉2)(1 + 𝜉2)=

1

1 − 𝜔2

(1

𝜔ℱ𝑒−𝜔|𝑥|(𝜉) −ℱ𝑒−|𝑥|(𝜉)

).

Nú getum við notað andhverfuformúlu og þá fæst loks að

𝑢(𝑥) =1

1 − 𝜔2

(1

𝜔𝑒−𝜔|𝑥| − 𝑒−|𝑥|

).



6.3 Úrlausn á hlutafleiðujöfnum með Fourier-ummyndun

6.3.1 Einviða bylgjujafnan og d’Alembert-formúla

Við skoðum einviðu bylgjujöfnuna

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2− 𝑐2

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2= 0,

þar sem fallið 𝑢(𝑥, 𝑡) er skilgreint fyrir öll 𝑥 ∈ R og 𝑡 ∈ R. Leitum að slíkri lausn.

Skiptum um hnit með 𝑥 = 𝜉+𝜂2 og 𝑡 = 𝜉−𝜂

2𝑐 og skrifum bylgjujöfnuna sem

𝜕2𝑡 𝑢(𝑡, 𝑥) − 𝑐2𝜕2𝑥𝑢(𝑡, 𝑥) = −4 𝑐2𝜕2𝜉𝜂𝑣(𝜂, 𝜉) 𝑣(𝜂, 𝜉) = 𝑢(𝑥(𝜂, 𝜉), 𝑡(𝜂, 𝜉)).

Athugum að við notum að 𝜕2𝑡,𝑥 = 𝜕2𝑥,𝑡, sem gildir til dæmis ef lausnin er tvisvar sinnum samfellt deildanleg.

Almenn lausn á jöfnunni að ofan er 𝑢(𝜂, 𝜉) = 𝑓(𝜉) + 𝑔(𝜂), þar sem föllin 𝑓(𝜉), 𝑔(𝜂) eru ótiltekin. Þá er

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝜉(𝑥, 𝑡)) + 𝑔(𝜂(𝑥, 𝑡)) = 𝑓(𝑥+ 𝑐𝑡) + 𝑔(𝑥− 𝑐𝑡) .

Þá fæst niðurstaðan:

Setning Sérhver lausn 𝑢 ∈ 𝐶2(R2) á bylgjujöfnunni er af gerðinni 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 + 𝑐𝑡) + 𝑔(𝑥 − 𝑐𝑡), þar sem𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶2(R). Ef 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑓1(𝑥+ 𝑐𝑡) + 𝑔1(𝑥− 𝑐𝑡) er önnur slík framsetning á lausninni, þá er til fasti 𝐴þannig að 𝑓1(𝑥) = 𝑓(𝑥) +𝐴 og 𝑔1(𝑥) = 𝑔(𝑥) −𝐴.

Fyrir gefið 𝑡0 > 0, er graf fallsins 𝑔(𝑥𝑐𝑡0) næstum því eins og graf fallsins 𝑔(𝑥), eini munurinn er að grafið𝑔(𝑥𝑐𝑡0) er hliðrað um 𝑐𝑡0 til hægri. Við túlkum því fallið 𝑔(𝑥𝑐𝑡) sem bylgju sem hreyfist til hægri með hraða 𝑐 ogköllum það framáttarbylgju. Á svipaðan hátt er graf fallsins 𝑓(𝑥+ 𝑐𝑡0) hliðrað um 𝑐𝑡0 til vinstri, fallið 𝑓(𝑥+ 𝑐𝑡)táknar bylgju sem hreyfist til vinstri með hraða 𝑐 og kallast það bakáttarbylgja.

Við skoðum nú bylgjujöfnuna með upphafsskilyrðum, það er

⎧⎨⎩𝜕2𝑢

𝜕𝑡2− 𝑐2

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2= 0, 𝑥 ∈ R, 𝑡 > 0,

𝑢(𝑥, 0) = 𝜙(𝑥), 𝜕𝑡𝑢(𝑥, 0) = 𝜓(𝑥), 𝑥 ∈ R.

Við viljum finna lausn sem er í 𝐶2(R2), sem gefin er í setningunni að ofan. Þá þurfum við tengja 𝑓(𝑥+ 𝑐𝑡), 𝑔(𝑥−𝑐𝑡) við 𝜙(𝑥), 𝜓(𝑥). Niðurstaðan er

Setning

Upphafsgildisverkefnið að ofan hefur otvirætt akvarðaða lausn sem gefin er með formúlunni

𝑢(𝑥, 𝑡) =1

2

(𝜙(𝑥+ 𝑐𝑡) + 𝜙(𝑥− 𝑐𝑡)

)+

1

2𝑐

∫ 𝑥+𝑐𝑡

𝑥−𝑐𝑡

𝜓(𝜉) 𝑑𝜉.

Formúlan kallst d’Alembert-formúlan. Hún gefur almenna lausn í 𝐶2(R2) á upphafsgildisverkefninu.

polarggb.png

6.3. Úrlausn á hlutafleiðujöfnum með Fourier-ummyndun 49


6.3.2 Bylgjujafnan, Fourier-ummyndun og földun

Við getum skrifað d’Alembert-formúluna sem földunarheildi: Skilgreinum fall 𝐸𝑡 sem

𝐸𝑡(𝑥) = 𝐸(𝑥, 𝑡) =

1/2𝑐, |𝑥| ≤ 𝑐𝑡,

0, |𝑥| > 𝑐𝑡.

þá er

1

2𝑐

∫ 𝑥+𝑐𝑡

𝑥−𝑐𝑡

𝜓(𝑦) 𝑑𝑦 =

∫ +∞

−∞𝐸𝑡(𝑥− 𝑦)𝜓(𝑦) 𝑑𝑦 =

(𝐸𝑡 * 𝜓

)(𝑥),

1

2

(𝜙(𝑥+ 𝑐𝑡) + 𝜙(𝑥− 𝑐𝑡)

)=

𝜕

𝜕𝑡

(1

2𝑐

∫ 𝑥+𝑐𝑡

𝑥−𝑐𝑡

𝜙(𝑦) 𝑑𝑦

)=

𝜕

𝜕𝑡𝐸𝑡 * 𝜙(𝑥),

og lausnin verður

𝑢(𝑥, 𝑡) =𝜕

𝜕𝑡

(𝐸𝑡 * 𝜙

)(𝑥) + 𝐸𝑡 * 𝜓(𝑥).

Við viljum nú leiða þessa formúlu út með því að nota Fourier-ummyndun. Tökum Fourier-mynd af öllum liðumsem koma fyrir í upphafsgildisverkefninu. Fyrst þurfum við að finna Fourier-myndir 𝜕𝑡𝑢 og 𝜕𝑥𝑢.

ℱ𝜕2𝑡 𝑢(𝜉, 𝑡) =

+∞∫−∞

𝑒−𝑖𝑥𝜉𝜕2𝑡 𝑢(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥 = 𝜕2𝑡

+∞∫−∞

𝑒−𝑖𝑥𝜉𝑢(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥 = 𝜕2𝑡 𝑢(𝜉, 𝑡).

ℱ𝜕2𝑥𝑢(𝜉, 𝑡) =

+∞∫−∞

𝑒−𝑖𝑥𝜉𝜕2𝑥𝑢(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥 = (𝑖𝜉)2𝑢(𝜉, 𝑡) = −𝜉2𝑢(𝜉, 𝑡),

þar sem við höfum notað reikniregluna 8 í 4.1.4.

Að lokum verður upphafsgildisverkefnið𝜕2𝑡 𝑢(𝜉, 𝑡) + 𝑐2𝜉2𝑢(𝜉, 𝑡) = 0, 𝜉 ∈ R, 𝑡 > 0,𝑢(𝜉, 0) = 𝜙(𝜉), 𝜕𝑡𝑢(𝜉, 0) = 𝜓(𝜉), 𝜉 ∈ R.

Athugum að 𝜕2𝑡 𝑢(𝜉, 𝑡) + 𝑐2𝜉2𝑢(𝜉, 𝑡) = 0 er annars stigs venjuleg afleiðujafna i 𝑡, og 𝜉 er bara fasti. Þá er lausnin

𝑢(𝜉, 𝑡) = cos(𝑐𝑡𝜉)𝜙(𝜉) +sin(𝑐𝑡𝜉)

𝑐𝜉𝜓(𝜉)

En, ef við reiknum Fourier-myndin fallsins 𝐸𝑡 sem við skilgreindum að ofan, þá er

𝐸𝑡(𝜉) =

∫ +∞

−∞𝑒−𝑖𝑥𝜉𝐸𝑡(𝑥) 𝑑𝑥 =

1

2𝑐

∫ 𝑐𝑡

−𝑐𝑡

𝑒−𝑖𝑥𝜉 𝑑𝑥

=1

2𝑐

[𝑒−𝑖𝑥𝜉

−𝑖𝜉

]𝑐𝑡−𝑐𝑡

=sin(𝑐𝑡𝜉)

𝑐𝜉.

Það þýðir að við getum umritað lausnina sem

𝑢(𝜉, 𝑡) =𝜕

𝜕𝑡𝐸𝑡(𝜉)𝜙(𝜉) + 𝐸𝑡(𝜉) 𝜓(𝜉).



og niðurstaðan fyrir 𝑢 fæst svo með því að taka andhvefa Fourier-mynd og nota földunarreglur.

Hliðraða bylgjujafnan

Við skoðum ⎧⎨⎩𝜕2𝑢

𝜕𝑡2− 𝑐2

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2= 𝑓(𝑥, 𝑡), 𝑥 ∈ R, 𝑡 > 0,

𝑢(𝑥, 0) = 𝜕𝑡𝑢(𝑥, 0) = 0, 𝑥 ∈ R,

Leitum að sérlausn á þessu verkefni. Eins og áður notum við Fourier-ummyndun og fáum𝜕2𝑡 𝑢(𝜉, 𝑡) + 𝑐2𝜉2𝑢(𝜉, 𝑡) = 𝑓(𝜉, 𝑡), 𝜉 ∈ R, 𝑡 > 0,𝑢(𝜉, 0) = 𝜕𝑡𝑢(𝜉, 0) = 0, 𝜉 ∈ R.

Green-fall afleiðuvirkjans𝐷2𝑡 +𝑐2𝜉2 er𝐺𝜉(𝑡, 𝜏) = 𝑔(𝜉, 𝑡−𝜏) = sin(𝑐(𝑡−𝜏)𝜉)/𝑐𝜉. Athugum að 𝑔(, 𝑡) = 𝐸𝑡(𝜉) =𝐸(𝜉, 𝑡).

Þá er Fourier-mynd lausnarinnar á jöfnunni

𝑢(𝜉, 𝑡) =

∫ 𝑡

0

𝑔(𝜉, 𝑡− 𝜏) 𝑓(𝜉, 𝜏) 𝑑𝜏 =

∫ 𝑡

0

𝐸(𝜉, 𝑡− 𝜏) 𝑓(𝜉, 𝜏) 𝑑𝜏.

Til þess að finna 𝑢 þurfum við að nota andhverfuformulu Fouriers, þá er

𝑢(𝑥, 𝑡) =1

2𝜋

∫ +∞


(∫ 𝑡

0

𝐸(𝜉, 𝑡− 𝜏) 𝑓(𝜉, 𝜏) 𝑑𝜏

)𝑑𝜉

=

∫ 𝑡

0

(1

2𝜋

∫ +∞

−∞𝑒𝑖𝑥𝜉 𝐸(𝜉, 𝑡− 𝜏) 𝑓(𝜉, 𝜏) 𝑑𝜉

)𝑑𝜏

=

∫ 𝑡

0

∫ +∞

−∞𝐸(𝑥− 𝑦, 𝑡− 𝜏)𝑓(𝑦, 𝜏) 𝑑𝑦 𝑑𝜏.

Ef við viljum skrifa þetta sem földunarheildi þurfum við að framlengja föllin fyrir öll 𝑡. Við höfum 𝐸(𝑥, 𝑡) = 0ef 𝑡 < 0 og ef við skilgreinum 𝑓(𝑥, 𝑡) = 0 fyrir 𝑡 < 0, þá fæst

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐸 * 𝑓(𝑥, 𝑡), 𝑥 ∈ R, 𝑡 > 0

þar sem * stendur hér fyrir földun falla af tveimur breytistærðum sem er skilgreind með sambærilegum hætti ogáður.

Þetta má einnig rita sem

𝑢(𝑥, 𝑡) =

∫ 𝑡

0

∫ +∞

−∞𝐸(𝑥− 𝑦, 𝑡− 𝜏)𝑓(𝑦, 𝜏) 𝑑𝑦 𝑑𝜏

=1

2𝑐

∫ 𝑡

0

∫ 𝑥+𝑐(𝑡−𝜏)

𝑥−𝑐(𝑡−𝜏)

𝑓(𝑦, 𝜏) 𝑑𝑦𝑑𝜏

=1

2𝑐

∫∫𝑇 (𝑥,𝑡)

𝑓(𝑦, 𝜏) 𝑑𝑦𝑑𝜏,

þar sem 𝑇 (𝑥, 𝑡) er þrihyrningurinn i (𝑦, 𝜏)-planinu með hornpunktana (𝑥, 𝑡), (𝑥𝑐𝑡, 0) og (𝑥 + 𝑐𝑡, 0). Þríhyrning-urinn kallast *ákvörðunarsvæði punktins (𝑥, 𝑡).

6.3.3 Varmaleiðnijafnan, Fourier-ummyndun og földun

Við lítum nú á varmaleiðnijöfnuna með upphafsskilyrðum

⎧⎨⎩𝜕𝑢

𝜕𝑡− 𝜅

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2= 0, 𝑥 ∈ R, 𝑡 > 0,

𝑢(𝑥, 0) = 𝜙(𝑥), 𝑥 ∈ R,



Eins og áður viljum við finna lausn með því að nota Fourier-ummmyndun. Tökum Fourier-mynd af ollum liðunumog þá fæst að Fourier-mynd fallsins 𝑢 þarf að uppfylla

𝜕𝑡𝑢(𝜉, 𝑡) + 𝜅𝜉2𝑢(𝜉, 𝑡) = 0, 𝜉 ∈ R, 𝑡 > 0,𝑢(𝜉, 0) = 𝜙(𝜉), 𝜉 ∈ R.

Nú verður jafnan 𝜕𝑡𝑢(𝜉, 𝑡) + 𝜅𝜉2𝑢(𝜉, 𝑡) = 0 einfaldlega fyrsta stigs afeiðujafna i 𝑡, og lausn hennar er 𝑢(𝜉, 𝑡) =

𝑒−𝜅𝑡𝜉2 𝜙(𝜉).

Við viljum finna lausn sem földunheildi. Athugum að

𝑒−𝜅𝑡𝜉2 = ℱ(𝐸)(𝜉) 𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐸𝑡(𝑥) =

⎧⎨⎩1√

4𝜋𝜅𝑡𝑒−𝑥2/4𝜅𝑡, 𝑥 ∈ R, 𝑡 > 0,

0, 𝑥 ∈ R, 𝑡 ≤ 0.

Þá er 𝑢(𝜉, 𝑡) = 𝑒−𝜅𝑡𝜉2 𝜙(𝜉) = 𝐸𝑡(𝜉)𝜙(𝜉).

Fallið 𝐸 kallast hitakjarni eða varmaleiðnikjarni.

Til þess að skilja lausnina er gott að skoða eiginleika hitakjarnans 𝐸:

1. lim𝑡→0+

𝐸𝑡(𝑥) =

+∞, 𝑥 = 0,

0, 𝑥 = 0,

2.

∫ +∞

−∞𝐸𝑡(𝑥) 𝑑𝑥 =

∫ +∞

−∞

1√𝜋𝑒−𝑦2

𝑑𝑦 = 1 ,

3. (𝜕𝑡 − 𝜅𝜕2𝑥)𝐸(𝑥, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0 .

Þá getum við notað andhverfuformulu Fouriers og við fáum:

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐸𝑡 * 𝜙(𝑥) =

∫ +∞

−∞

1√4𝜋𝜅𝑡

𝑒−(𝑥−𝑦)2/4𝜅𝑡𝜙(𝑦) 𝑑𝑦, 𝑡 > 0.

Það er ekki erfitt að sjá að lausn 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐸𝑡 * 𝜙(𝑥) uppfyllir upphafsgildisverkefnið að ofan með því að notaeingileika hitakjarnans 𝐸:

(𝜕𝑡 − 𝜅𝜕2𝑥)𝑢(𝑥, 𝑡) =

∫ +∞

−∞(𝜕𝑡 − 𝜅𝜕2𝑥)𝐸(𝑥− 𝑦, 𝑡)𝜙(𝑦) 𝑑𝑦 = 0.

lim𝑡→0+

𝑢(𝑥, 𝑡) = lim𝑡→0+

𝐸𝑡 * 𝜙(𝑥)

=

∫ +∞

−∞


lim𝑡→0+

𝜙(𝑥−√

4𝜅𝑡𝑦) 𝑑𝑦

= 𝜙(𝑥)

∫ +∞

−∞


𝑑𝑦 = 𝜙(𝑥).

Þá skiljum við eftirfarandi setningu

Setning

Gerum ráð fyrir að 𝜙 sé samfellt og takmarkað fall á R. Þá hefur upphafsgildisverkefnið að ofan lausn𝑢 sem gefin er með formúlunni

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐸𝑡 * 𝜙(𝑥) =

∫ +∞

−∞𝐸𝑡(𝑥− 𝜉)𝜙(𝜉) 𝑑𝜉, 𝑥 ∈ R, 𝑡 > 0,

þar sem hitakjarninn er gefinn með formúlunni

𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐸𝑡(𝑥) = 𝐻(𝑡)1√

4𝜋𝜅𝑡𝑒−𝑥2/4𝜅𝑡, (𝑥, 𝑡) = (0, 0).

Hliðraða varmaleiðnijafnan með óhliðruðum upphafsskilyrðum

Við lítum nú á hliðruðu varmaleiðnijöfnuna með óhliðruðu upphafsskilyrði, þ.e.



⎧⎨⎩𝜕𝑢

𝜕𝑡− 𝜅

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2= 𝑓(𝑥, 𝑡), 𝑥 ∈ R, 𝑡 > 0,

𝑢(𝑥, 0) = 0, 𝑥 ∈ R.

Leitum að sérlausn á henni. Við tökum Fourier-myndina af ollum liðunum𝜕𝑡𝑢(𝜉, 𝑡) + 𝜅𝜉2𝑢(𝜉, 𝑡) = 𝑓(𝜉, 𝑡), 𝜉 ∈ R, 𝑡 > 0,𝑢(𝜉, 0) = 0, 𝜉 ∈ R.

Skoðum jöfnuna að ofan: hún er fyrsta stigs hliðruð afleiðujafna í 𝑡. Við getum notað Green-fall, og það er𝐺𝜉(𝑡, 𝜏) = 𝑒−𝜅(𝑡−𝜏)𝜉2 = 𝐸𝑡−𝜏 (𝜉).

Eins og áður við skrifum við Fourier-mynd lausnar og eftir það tökum við andhverfu Fourier-myndina. Þá er

𝑢(𝜉, 𝑡) =

∫ 𝑡

0

𝑒−𝜅(𝑡−𝜏)𝑥2 𝑓(𝜉, 𝜏) 𝑑𝜏 =

∫ 𝑡

0

𝐸𝑡−𝜏 (𝜉) 𝑓(𝜉, 𝜏) 𝑑𝜏.

𝑢(𝑥, 𝑡) =1

2𝜋

∫ +∞


(∫ 𝑡

0

𝐸𝑡−𝜏 (𝜉) 𝑓(𝜉, 𝜏) 𝑑𝜏

)𝑑𝜉

=

∫ 𝑡

0

(1

2𝜋

∫ +∞

−∞𝑒𝑖𝑥𝜉 𝐸𝑡−𝜏 (𝜉) 𝑓(𝜉, 𝜏) 𝑑𝜉

)𝑑𝜏

=

∫ 𝑡

0

∫ +∞

−∞𝐸(𝑥− 𝑦, 𝑡− 𝜏)𝑓(𝑦, 𝜏) 𝑑𝑦𝑑𝜏

= 𝐸 * 𝑓(𝑥, 𝑡)

Við fáum eftirfarandi niðurstöðu

Setning

Gerum ráð fyrir að 𝑓 sé samfellt fall á opna efra hálfplaninu (𝑥, 𝑡); 𝑡 > 0, sé takmarkað á lokuninni(𝑥, 𝑡); 𝑡 ≥ 0 og taki gildið 0 á neðra hálfplaninu (𝑥, 𝑡); 𝑡 < 0. Gerum ráð fyrir að 𝜙 sé samfellttakmarkað fall á R. Þá hefur upphafsgildisverkefnið að ofan ótvírætt ákvarðaða lausn 𝑢, sem gefin ermeð formúlunni

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐸𝑡 * 𝜙(𝑥) + 𝐸 * 𝑓(𝑥, 𝑡), 𝑥 ∈ R, 𝑡 > 0,

þar sem 𝐸 táknar hitakjarnann, sem skilgreindur er með formúlunni

𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐸𝑡(𝑥) = 𝐻(𝑡)1√

4𝜋𝜅𝑡𝑒−𝑥2/4𝜅𝑡, (𝑥, 𝑡) = (0, 0).

Hliðraða varmaleiðnijafnan með hliðruðu upphafsskilyrði

Upphafsgildisverkefnið er núna⎧⎨⎩𝜕𝑢

𝜕𝑡− 𝜅∆𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑡), 𝑥 ∈ R𝑛, 𝑡 > 0,

𝑢(𝑥, 0) = lim𝑡→0+

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝜙(𝑥), 𝑥 ∈ R𝑛,

Við gerum ráð fyrir að 𝑓 sé samfellt fall á (𝑥, 𝑡) ∈ R𝑛 × R; 𝑡 ≥ 0, 𝜙 sé samfellt fall á R𝑛 og bæði 𝑓 og 𝜙 séutakmörkuð.

Hitakjarninn er

𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐸𝑡(𝑥) = 𝐻(𝑡)1(

4𝜋𝜅𝑡)𝑛/2 𝑒−𝑥2/4𝜅𝑡, 𝑥 ∈ R𝑛, (𝑥, 𝑡) = (0, 0),

og lausnin verður

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐸𝑡 * 𝜙(𝑥) + 𝐸 * 𝑓(𝑥, 𝑡), 𝑥 ∈ R𝑛, 𝑡 > 0.



6.4 Fourier-ummyndun og leifareikningur

Við skoðum hér hvernig við getum reiknað Fourier-myndir og andhverfu þeirra með því að nota leifareikning. Viðbyrjum á að setja fram fyrstu niðurstöðu fyrir Fourier-myndir.

Munið að við táknum með 𝒪(𝑋) mengi allra fagaðra falla a 𝑋 .

6.4.1 Fourier-myndir reiknaðar með leifareikningi

Setning

Látum fall 𝑓 ∈ 𝐿1(R) ∩ 𝒪(C ∖ 𝐴), þar sem 𝐴 er endanlegt mengi. Gerum ráð fyrir aðlim𝑟→∞

max|𝑧|=𝑟 |𝑓(𝑧)| = 0. Táknum efra hálfplanið með 𝐻+ = 𝑧 ∈ C; Im 𝑧 > 0 og neðra

hálfplanið með 𝐻− = 𝑧 ∈ C; Im 𝑧 < 0. Þá er

𝑓(𝜉) =

2𝜋𝑖

∑𝛼∈𝐴∩𝐻+

Res(𝑒−𝑖𝑧𝜉𝑓(𝑧), 𝛼), 𝜉 < 0,

−2𝜋𝑖∑

𝛼∈𝐴∩𝐻−Res(𝑒−𝑖𝑧𝜉𝑓(𝑧), 𝛼), 𝜉 > 0.

Sýnidæmi

Skoðum fall 𝑓(𝑥) = 1/(1 +𝑥2), 𝑥 ∈ R. Athugum að fallið 𝑓 er jafnstætt, svo samkvæmt reglu 6 er Fourier-myndþess jafnstæð. Þá getum við reiknað Fourier-mynd fyrir 𝜉 < 0, og eftir það framlengjt hana samkvæmt því. Fallið𝑓 hefur eitt skaut í 𝑥 = 𝑖 á 𝐻+ og max|𝑧|=𝑟 |𝑓(𝑧)| ≤ 1

𝑟2−1 sem stefnir á 0 þegar 𝑟 stefnir á óendanlegt. Þá beitumvið setningunni að ofan og fáum

𝑓(𝜉) = 2𝜋𝑖Res

(𝑒−𝑖𝑧𝜉

1 + 𝑧2, 𝑖

)= 𝜋𝑒𝜉, 𝜉 < 0.

Að lokum fæst

𝑓(𝜉) = 𝜋𝑒−|𝜉|, 𝜉 ∈ R.

6.4.2 Andhverfar Fourier-myndir reiknaðar með leifareikningi

Á svipaðan hátt höfum við niðurstöðu fyrir andhverfar Fourier-myndir.

Setning

Gerum ráð fyrir því að 𝑓 ∈ 𝐿1(R) ∩ 𝑃𝐶1(R), að það sé hægt að framlengja skilgreiningar-svæði Fourier–myndarinnar 𝑓 , þannig að 𝑓 ∈ 𝒪(C ∖ 𝐴), þar sem mengið 𝐴 er endanlegt og

lim𝑟→+∞

max|𝜁|=𝑟 | 𝑓(𝜁)| = 0. Þá er

12 (𝑓(𝑥+) + 𝑓(𝑥−)) =

⎧⎪⎨⎪⎩𝑖

∑𝛼∈𝐴∩𝐻+

Res(𝑒𝑖𝑥𝜁 𝑓(𝜁), 𝛼

), 𝑥 > 0

−𝑖∑

𝛼∈𝐴∩𝐻−

Res(𝑒𝑖𝑥𝜁 𝑓(𝜁), 𝛼

), 𝑥 < 0.

Athugum að ef fallið 𝑓 er samfellt þá er 12 (𝑓(𝑥+) + 𝑓(𝑥−)) = 𝑓(𝑥).

Sýnidæmi

Lítum á 𝑓(𝜉) = 𝜉/(𝜉2 + 4𝜉 + 5). Fallið 𝑓 hefur tvö skaut í 𝑧𝑒𝑡𝑎1 = −2 + 𝑖 ∈ 𝐻+ og 𝜁2 = −2 − 𝑖 ∈ 𝐻−.Ennfremur er það hvorki jafnstætt né oddstætt, svo við þurfum að reikna báðar leifar:

𝑖Res

(𝑒𝑖𝑥𝜁𝜁

𝜁2 + 4𝜁 + 5,−2 + 𝑖

)= (−1 + 𝑖/2)𝑒−𝑥−2𝑖𝑥,

−𝑖Res

(𝑒𝑖𝑥𝜁𝜁

𝜁2 + 4𝜁 + 5,−2 − 𝑖

)= (−1 − 𝑖/2)𝑒𝑥−2𝑖𝑥.



Að lokum fáum við samkvæmt setningunni að ofan

𝑓(𝑥) =

(−1 + 𝑖/2)𝑒−𝑥−2𝑖𝑥 , 𝑥 > 0

(−1 − 𝑖/2)𝑒𝑥−2𝑖𝑥 , 𝑥 < 0

sem við getum umskrifað líka sem 𝑓(𝑥) = −(1 − 𝑖sign(𝑥)/2)𝑒−|𝑥|−2𝑖𝑥, fyrir öll 𝑥 ∈ R.

6.5 Laplace-ummyndun og leifareikningur

Rifjum upp að

1. Ef fall 𝑓 á R+ er af veldisvísisgerð, þá eru til fastar 𝑀 > 0 og 𝑐 > 0 þ.a.

|𝑓(𝑡)| ≤𝑀𝑒𝑐𝑡, 𝑡 ∈ R+. (6.1)

2. Skilgreining á Laplace-mynd er

ℒ𝑓(𝑠) =

∫ ∞

0

𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡 , 𝑠 ∈ C , (6.2)

þar sem 𝑓 er skilgreint á R+ með gildi í C, og er heildanlegt á sérhverju lokuðu og takmörkuðu bili á R+.

6.5.1 Andhverfar Laplace-myndir

Setning: Andhverfuformúla Fourier-Mellin

Gerum ráð fyrir að fall 𝑓 : R+ → C sé í 𝑃𝐶1(R) og sé af veldisvísisgerð (6.1). Þá gildir um sérhvert𝜉 > 𝑐 og sérhvert 𝑡 > 0 að

12 (𝑓(𝑡+) + 𝑓(𝑡−)) = lim

𝑅→+∞

1

2𝜋

∫ +𝑅

−𝑅

𝑒(𝜉+𝑖𝜂)𝑡ℒ𝑓(𝜉 + 𝑖𝜂) 𝑑𝜂

= lim𝑅→+∞

1

2𝜋𝑖

∫ 𝜉+𝑖𝑅

𝜉−𝑖𝑅

𝑒𝜁𝑡ℒ𝑓(𝜁) 𝑑𝜁.

Ef ℒ𝑓(𝜉 + 𝑖𝜂) ∈ 𝐿1(R) sem fall af 𝜂, þá er 𝑓 samfellt í 𝑡 og

𝑓(𝑡) =1

2𝜋

∫ +∞

−∞𝑒(𝜉+𝑖𝜂)𝑡ℒ𝑓(𝜉 + 𝑖𝜂) 𝑑𝜂

=1

2𝜋𝑖

∫ 𝜉+𝑖∞

𝜉−𝑖∞𝑒𝜁𝑡ℒ𝑓(𝜁) 𝑑𝜁.

Athugum að∫ 𝜉+𝑖∞𝜉−𝑖∞ og

∫ 𝜉+𝑖𝑅

𝜉−𝑖𝑅tákna heildi eftir línunni 𝜉 + 𝑖𝜂; 𝜂 ∈ R.

Setning

Látum 𝑓 og 𝑔 vera tvö samfelld föll af veldisvísisgerð á R+, og gerum ráð fyrir að ℒ𝑓(𝛼𝑗) = ℒ𝑔(𝛼𝑗), þar sem𝛼𝑗 er runa af ólíkum punktum, 𝛼𝑗 → 𝛼,Re𝛼𝑗 > 𝑐,Re𝛼 > 𝑐. Þá er 𝑓(𝑡) = 𝑔(𝑡).

6.5.2 Andhverfar Laplace-myndir reiknaðar með leifareikningi

Hér viljum við hafa praktiskar aðferðir til þess að reikna heildi í setningunni. Við getum notað leifareikning ogvið byrjum á að skoða niðurstöðuna fyrst.

𝑀𝑟 táknar hálfhringinn sem stikaður er með 𝛾𝑟(𝜃) = 𝜉 + 𝑖𝑟𝑒𝑖𝜃, 𝜃 ∈ [0, 𝜋].

Setning

Gerum ráð fyrir að fall 𝑓 : R+ → C sé í 𝑃𝐶1(R) og sé af veldisvísisgerð (6.1). Gerum ráð fyrirað hægt sé að framlengja ℒ𝑓 yfir í fágað fall á C ∖ 𝐴, þar sem 𝐴 er endanlegt mengi. Ef 𝜉 > 𝑐 og

lim𝑟→+∞

max𝜁∈𝑀𝑟|ℒ𝑓(𝜁)| = 0, þá er

6.5. Laplace-ummyndun og leifareikningur 55


1

2(𝑓(𝑡+) + 𝑓(𝑡−)) =

∑𝛼∈𝐴

Res(𝑒𝜁𝑡ℒ𝑓(𝜁), 𝛼) 𝑡 > 0. (6.3)

Ef 𝑓 er samfellt, þá er

𝑓(𝑡) =∑𝛼∈𝐴

Res(𝑒𝜁𝑡ℒ𝑓(𝜁), 𝛼).

6.5.3 Andhverfar Laplace-myndir og afleiðujöfnur

Við skoðum afleiðujöfnu með fastastuðla

𝑃 (𝐷)𝑢 = (𝐷𝑚 + 𝑎𝑚−1𝐷𝑚−1 + · · · + 𝑎1𝐷 + 𝑎0)𝑢 = 𝑓(𝑡).

Til þess að leysa jöfnuna getum við notað Green-fallið 𝐺(𝑡, 𝜏) = 𝑔(𝑡− 𝜏). Munið að Laplace-mynd fallsins 𝑔 ergefin með

ℒ𝑔(𝜁) =1

𝑃 (𝜁).

Nú samkvæmt setningunni, getum við reiknað út Green-fallið 𝑔 með formúlunni (6.3). Þá er

𝑔(𝑡) =∑

𝛼∈𝒩 (𝑃 )

Res

(𝑒𝑡𝜁

𝑃 (𝜁), 𝛼

). (6.4)

6.5.4 Sýnidæmi

Lítum á afleiðujöfnu

𝑃 (𝐷)𝑢 = (𝐷4 − 2𝐷3 + 2𝐷2 − 2𝐷 + 1)𝑢 = 𝑓(𝑡)

með óhliðruðu upphafsskilyrðunum

𝑢(0) = · · · = 𝑢(3)(0) = 0.

Við reiknum út Green-fallið með því að nota Laplace-ummyndun og leifareikning. Samkvæmt formúlunni (6.4),þurfum við að reikna kennimargliðuna 𝑃 (𝜁). Þá er

𝑃 (𝜁) = 𝜁4 − 2𝜁3 + 2𝜁2 − 2𝜁 + 1 = (𝜁 − 1)2(𝜁 − 𝑖)(𝜁 + 𝑖).

1𝑃 (𝜁) hefur skaut í 1, 𝑖,−𝑖, og við fáum

𝑔(𝑡) =∑

𝛼=1,𝑖,−𝑖

Res

(𝑒𝜁𝑡

(𝜁 − 1)2(𝜁 − 𝑖)(𝜁 + 𝑖), 𝛼

)

=𝑑

𝑑𝜁

𝑒𝜁𝑡

(𝜁 − 𝑖)(𝜁 + 𝑖)

𝜁=1

+𝑒𝑖𝑡

(𝑖− 1)2(2𝑖)+

𝑒−𝑖𝑡

(−𝑖− 1)2(−2𝑖)

=𝑡𝑒𝜁𝑡

𝜁2 + 1

𝜁=1

+𝑒𝜁𝑡(−2𝜁)

(𝜁2 + 1)2

𝜁=1

+𝑒𝑖𝑡

4+𝑒−𝑖𝑡

4

= 12 𝑡𝑒

𝑡 − 12𝑒

𝑡 + 12 cos 𝑡.

Að lokum er lausnin gefin með

𝑢(𝑡) =

∫ 𝑡

0

𝐺(𝑡, 𝜏)𝑓(𝜏)𝑑𝜏 =

∫ 𝑡

0

(12 (𝑡− 𝜏)𝑒(𝑡−𝜏) − 1

2𝑒(𝑡−𝜏) + 1

2 cos(𝑡− 𝜏))𝑓(𝜏)𝑑𝜏


KAFLI 7

Mismunaaðferðir

Við byrjum á að skoða praktískar og tölulegar aðferðir til þess að nálga lausnir á afleiðujöfnum og hlutafleiðujöfn-um með upphafs- og jaðarskilyrðum.

Fyrsta aðferðin sem við ætlum að fjalla um er mismunaaðferð. Það eru ýmsar útgáfur fyrir mismunaaðferðir, enaðalatriði mismunaaðferða er að þær umbreyta afleiðujöfnum (eða hlutafleiðujöfnum) í algebrujöfnuhneppi.

7.1 Mismunaaðferð fyrir venjulegar afleiðujöfnur

Við skoðum fyrst jaðargildisverkefni fyrir almenna annars stigs afleiðujöfnu á bili [𝑎, 𝑏]:⎧⎪⎨⎪⎩𝐿𝑢 = 𝑎2𝑢

′′ + 𝑎1𝑢′ + 𝑎0𝑢 = 𝑓, á ]𝑎, 𝑏[

𝐵1𝑢 = 𝛼1𝑢(𝑎) − 𝛽1𝑢′(𝑎) = 𝛾1, (𝛼1, 𝛽1) = (0, 0),

𝐵2𝑢 = 𝛼2𝑢(𝑏) + 𝛽2𝑢′(𝑏) = 𝛾2, (𝛼2, 𝛽2) = (0, 0).

(7.1)

Við gerum ráð fyrir að raungildu föllin 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2 séu samfelld í [𝑎, 𝑏] og fallið 𝑓 sé raungilt.

Við veljum skiptingu á bilinu [𝑎, 𝑏], þ.e.

𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < · · · < 𝑥𝑁 = 𝑏.

Til þess að einfalda reikninga getum við valið að skipta bilinu í jafna hluta, þ.e.

ℎ :=𝑏− 𝑎

𝑁, 𝑥𝑗 = 𝑎+ 𝑗ℎ, 𝑗 = 0, . . . , 𝑁.

Athugum að þá gildir 𝑥𝑗−1 = 𝑥𝑗 − ℎ og 𝑥𝑗+1 = 𝑥𝑗 + ℎ.

Við finnum gildi afleiðujöfnunnar í punktunum 𝑥𝑗 :⎧⎪⎨⎪⎩𝛼1𝑢(𝑥0) − 𝛽1𝑢

′(𝑥0) = 𝛾1,

𝑎2(𝑥𝑗)𝑢′′(𝑥𝑗) + 𝑎1(𝑥𝑗)𝑢

′(𝑥𝑗) + 𝑎0(𝑥𝑗)𝑢(𝑥𝑗) = 𝑓(𝑥𝑗), 𝑗 = 1, . . . , 𝑁 − 1,

𝛼2𝑢(𝑥𝑁 ) + 𝛽2𝑢′(𝑥𝑁 ) = 𝛾2.

Við þurfum að finna nálgun fyrir afleiður 𝑢′(𝑥𝑗), 𝑢′′(𝑥𝑗). Það er eðlilegt að nálga afleiður 𝑢′(𝑥𝑗), 𝑢′′(𝑥𝑗) meðsamsvarandi mismunakvóta.

Við ætlum að nota eftirfarandi nálgun

57


1. Í vinstri endapunkti 𝑥0 = 𝑎, notum við

𝑢′(𝑥) ≈ 𝑢(𝑥+ ℎ) − 𝑢(𝑥)

ℎ

2. Í innri punktum bilsins 𝑥1, . . . , 𝑥𝑁−1, notum við

𝑢′(𝑥) ≈ 𝑢(𝑥+ ℎ) − 𝑢(𝑥− ℎ)

2ℎog 𝑢′′(𝑥) ≈ 𝑢(𝑥− ℎ) − 2𝑢(𝑥) + 𝑢(𝑥+ ℎ)

ℎ2, (7.2)

3. Í hægri endapunkti 𝑥𝑁 = 𝑏, notum við

𝑢′(𝑥) ≈ 𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑥− ℎ)

ℎ,

Hugmyndin er að umrita hneppi (7.1) með nálgununum að ofan og finna lausnir 𝑢(𝑥𝑗).

Af hverjum veljum við nálgunarformúlur (7.1)? Við metum skekkju í nálgunarformúlunum sem við höfum skrifaðað ofan. Gerum ráð fyrir að fall 𝜙 ∈ 𝐶4(𝐼) á bili 𝐼 , og 𝑥, 𝑥+ ℎ, 𝑥− ℎ séu í 𝐼 . Þá er

𝜙(𝑥+ ℎ) = 𝜙(𝑥) + 𝜙′(𝑥)ℎ+ 12𝜙

′′(𝑥)ℎ2 + 16𝜙

′′′(𝑥)ℎ3 + 124𝜙

(4)(𝜉)ℎ4,

𝜙(𝑥− ℎ) = 𝜙(𝑥) − 𝜙′(𝑥)ℎ+ 12𝜙

′′(𝑥)ℎ2 − 16𝜙

′′′(𝑥)ℎ3 + 124𝜙

(4)(𝜂)ℎ4,

þar sem 𝜉 ∈ (𝑥, 𝑥+ ℎ) og 𝜂 ∈ (𝑥− ℎ, 𝑥).

Við berum saman mismunandi nálgunarformúlur fyrir fyrsta stigs afleiður:

𝜙′(𝑥) − 𝜙(𝑥+ ℎ) − 𝜙(𝑥)

ℎ= − 1

2𝜙′′(𝑥)ℎ− 1

6𝜙′′′(𝑥)ℎ2 − 1

24𝜙(4)(𝜉)ℎ3,

𝜙′(𝑥) − 𝜙(𝑥) − 𝜙(𝑥− ℎ)

ℎ= 1

2𝜙′′(𝑥)ℎ− 1

6𝜙′′′(𝑥)ℎ2 + 1

24𝜙(4)(𝜂)ℎ3,

𝜙′(𝑥) − 𝜙(𝑥+ ℎ) − 𝜙(𝑥− ℎ)

2ℎ= − 1

6𝜙′′′(𝑥)ℎ2 − 1

48

(𝜙(4)(𝜉) − 𝜙(4)(𝜂)

)ℎ3.

Fyrir annars stigs afleiður höfum við:

𝜙′′(𝑥) − 𝜙(𝑥− ℎ) − 2𝜙(𝑥) + 𝜙(𝑥+ ℎ)

ℎ2= − 1

24

(𝜙(4)(𝜉) + 𝜙(4)(𝜂)

)ℎ2.

Við sjáum að ef við notum nálgunarformúluna (7.2) þá er skekkjan af öðru stigi í ℎ. Ef við notum fyrstu tværformúlurnar, þá er skekkjan af fyrsta stigi í ℎ. Það segir okkur að þegar ℎ ≪ 1, þá stefnir skekkjan í nálgunar-formúlunni sem við viljum nota hraðar á núll, sem er auðvitað miklu betra.

Til þess að einfalda rithátt skrifum við 𝑢𝑗 = 𝑢(𝑥𝑗) og 𝑓𝑗 = 𝑓(𝑥𝑗). Ennfremur, til þess að leggja áherslu á að𝑢𝑗 = 𝑢(𝑥𝑗) er óþekkt stærð sem við viljum reikna út, setjum við að lokum 𝑐𝑗 í staðinn fyrir 𝑢𝑗 = 𝑢(𝑥𝑗).

Mismunajafna í vinstri endapunkti

Í vinstri endapunkti 𝑥0 = 𝑎 höfum við

𝛼1𝑢(𝑥0) − 𝛽1𝑢′(𝑥0) = 𝛾1.

Við nálgum afleiðuna eins og að ofan, þá fáum við

𝛼1𝑢0 − 𝛽1𝑢1 − 𝑢0

ℎ≈ 𝛾1,

og að lokum notum við 𝑐𝑗

𝛼1𝑐0 − 𝛽1𝑐1 − 𝑐0ℎ

= 𝛾1.

Mismunajafna í innri punktum bilsins

Í innri punktum bilsins 𝑥1, . . . , 𝑥𝑁−1, notum við nálgunarformúlur (7.2), og að lokum fáum við

𝑎2(𝑥𝑗)𝑢𝑗−1 − 2𝑢𝑗 + 𝑢𝑗+1

ℎ2+ 𝑎1(𝑥𝑗)

𝑢𝑗+1 − 𝑢𝑗−1

2ℎ+ 𝑎0(𝑥𝑗)𝑢𝑗 ≈ 𝑓𝑗 ,

58 Kafli 7. Mismunaaðferðir


og fyrir 𝑐𝑗

𝑎2(𝑥𝑗)𝑐𝑗−1 − 2𝑐𝑗 + 𝑐𝑗+1


𝑐𝑗+1 − 𝑐𝑗−1

2ℎ+ 𝑎0(𝑥𝑗)𝑐𝑗 = 𝑓𝑗 .

Mismunajafna í hægri endapunkti

Í hægri endapunkti 𝑥𝑁 = 𝑏, notum við nálgarformúluna að ofan, þá fæst

𝛼2𝑢𝑁 + 𝛽2𝑢𝑁 − 𝑢𝑁−1

ℎ≈ 𝛾2,

og fyrir 𝑐𝑁−1 og 𝑐𝑁 þá er

𝛼2𝑐𝑁 + 𝛽2𝑐𝑁 − 𝑐𝑁−1

ℎ= 𝛾2.

Hneppið

Að lokum tökum við saman nálgunarjöfnurnar í (𝑁 + 1) × (𝑁 + 1) hneppi:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩𝛼1𝑐0 − 𝛽1

𝑐1 − 𝑐0ℎ

= 𝛾1,

𝑎2(𝑥𝑗)𝑐𝑗−1 − 2𝑐𝑗 + 𝑐𝑗+1


𝑐𝑗+1 − 𝑐𝑗−1

2ℎ+ 𝑎0(𝑥𝑗)𝑐𝑗 = 𝑓𝑗 ,

𝛼2𝑐𝑁 + 𝛽2𝑐𝑁 − 𝑐𝑁−1

ℎ= 𝛾2,

sem við getum umskrifað sem⎧⎪⎨⎪⎩(𝛼1 + 𝛽1

ℎ

)𝑐0 − 𝛽1

ℎ 𝑐1 = 𝛾1,(𝑎2(𝑥𝑗)ℎ2 − 𝑎1(𝑥𝑗)

2ℎ

)𝑐𝑗−1 +

(− 2𝑎2(𝑥𝑗)

ℎ2 + 𝑎0(𝑥𝑗))𝑐𝑗 +

(𝑎2(𝑥𝑗)ℎ2 +

𝑎1(𝑥𝑗)2ℎ

)𝑐𝑗+1 = 𝑓𝑗 , 𝑗 = 1, . . . , 𝑁 − 1,

−𝛽2

ℎ 𝑐𝑁−1 +(𝛼2 + 𝛽2

ℎ

)𝑐𝑁 = 𝛾2.

(7.3)

7.1.1 Sýnidæmi

Við lítum á eftirfarandi jaðargildisverkefni:⎧⎪⎨⎪⎩(𝑥2 + 1

)𝑢′′(𝑥) − 2𝑥𝑢′(𝑥) + 2𝑢(𝑥) = 1, 𝑥 ∈]0, 1[

𝑢′(0) + 𝑢(0) = 0,

𝑢(1) = 1.

Fyrst skiptum við bilinu jafnt í tvo hluta, þ.e.

𝑥0 = 0, 𝑥1 = 1/2, 𝑥2 = 1, 𝑁 = 2, ℎ =1

2,

og við notum nálgunarjöfnurnar (7.3), og þá fáum við⎧⎪⎨⎪⎩2𝑐1 − 𝑐0 = 0,

𝑐2 − 1 = 0,

6𝑐0 − 8𝑐1 + 4𝑐2 = 1

sem gefur okkur

𝑐0 = −3

2, 𝑐1 = −3

4, 𝑐2 = 1.

Ef við veljum 𝑁 = 4, þ.e.

𝑥0 = 0, 𝑥1 = 1/4, 𝑥2 = 1/2, 𝑥3 = 3/4, 𝑥4 = 1, 𝑁 = 4, ℎ =1

4,

7.1. Mismunaaðferð fyrir venjulegar afleiðujöfnur 59


þá fáum við ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

3𝑐0 − 4𝑐1 = 0,

𝑐4 = 1,

−18𝑐0 + 32𝑐1 − 16𝑐2 = −1,

22𝑐1 − 38𝑐2 + 18𝑐3 = 1,

28𝑐2 − 48𝑐3 + 22𝑐4 = 1.

Lausnin er

𝑐0 = −5

6, 𝑐1 = −5

8, 𝑐2 = −1

4, 𝑐3 =

7

24, 𝑐4 = 1.

Lausnir fyrir 𝑁 = 4, 10, 100 og lausn 𝑢(𝑥) = 12 (2𝑥2 + 𝑥− 1).

Skekkjan |𝑢𝑗 − 𝑐𝑗 | í 𝑥 = 1/2 sem fall af 𝑁 .



7.2 Heildun yfir hlutbil

Við skoðum nú tilfelli þegar afleiðuvirkinn er af Sturm-Liouville gerð, þ.e.

𝐿𝑢 = −(𝑝𝑢′)′ + 𝑞𝑢,

þar sem við gerum ráð fyrir að fallið 𝑝 sé samfellt diffranlegt á bili [𝑎, 𝑏], og fallið 𝑝 sé samfellt á [𝑎, 𝑏].

Jaðargildisverkefnið er af gerðinni ⎧⎪⎨⎪⎩𝐿𝑢 = −(𝑝𝑢′)′ + 𝑞𝑢 = 𝑓, á ]𝑎, 𝑏[

𝛼1𝑢(𝑎) − 𝛽1𝑢′(𝑎) = 𝛾1,

𝛼2𝑢(𝑏) + 𝛽2𝑢′(𝑏) = 𝛾2.

Látum [𝑐, 𝑑] vera hlutbil af bilinu [𝑎, 𝑏]. Við heildum jöfnuna yfir 𝑥 ∈ [𝑐, 𝑑], þá er

𝑝(𝑐)𝑢′(𝑐) − 𝑝(𝑑)𝑢′(𝑑) +

∫ 𝑑

𝑐

𝑞(𝑥)𝑢(𝑥) 𝑑𝑥 =

∫ 𝑑

𝑐

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥.

Við viljum finna nálgunarjöfnur fyrir jöfnuna að ofan. Við notum mismunakvóta til þess að nálga afleiður. Viðveljum skiptingu

𝑥0 < 𝑥1 < · · · < 𝑥𝑁 .

Við nálgum heildi með Riemann-summu með miðpunktsnálgun:∫ 𝑥𝑁

𝑥0

𝜙(𝑥)𝑑𝑥 =

𝑁−1∑𝑗=0

𝜙(𝑚𝑗)ℎ,

þar sem 𝑚𝑗 eru miðpunktar hlutbilanna

𝑚𝑗 =𝑥𝑗 + 𝑥𝑗+1

2, 𝑗 = 0, . . . , 𝑁 − 1,

ℎ =𝑥𝑁 − 𝑥0

𝑁,

𝑥𝑗 = 𝑥0 + 𝑗ℎ, 𝑗 = 0, . . . , 𝑁.

Athugum að

𝑚𝑗 =𝑥𝑗 + 𝑥𝑗+1

2= 𝑥𝑗 +

1

2ℎ, 𝑗 = 0, . . . , 𝑁 − 1.

Eins og við gerðum í 5.1, þurfum við að skoða jaðarskilyrðin hvert í sínu lagi.

Til þess að einfalda rithátt, fyrir öll 𝑗 táknum við

𝑢𝑗 = 𝑢(𝑥𝑗), 𝑓𝑗 = 𝑓(𝑥𝑗), 𝑝𝑗 = 𝑝(𝑥𝑗), 𝑞𝑗 = 𝑞(𝑥𝑗),

𝑝𝑗+ 12

= 𝑝(𝑚𝑗).

Mismunajafna í vinstri endapunkti bilsins

Við heildum yfir hlutbilið [𝑥0,𝑚0]. Athugum að 𝑚0 − 𝑥0 = 12ℎ. Við fáum

𝑝(𝑥0)𝑢′(𝑥0) − 𝑝(𝑚0)𝑢′(𝑚0) +

∫ 𝑚0

𝑥0

𝑞𝑢 𝑑𝑥 =

∫ 𝑚0

𝑥0

𝑓 𝑑𝑥,

sem gefur okkur

𝑢′(𝑥0) =1

𝑝(𝑥0)

(𝑝(𝑚0)𝑢′(𝑚0) −

∫ 𝑚0

𝑥0

𝑞(𝑥)𝑢(𝑥) 𝑑𝑥+

∫ 𝑚0

𝑥0

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

).

7.2. Heildun yfir hlutbil 61


Við nálgum heildið með ∫ 𝑚0

𝑥0

𝑞(𝑥)𝑢(𝑥)𝑑𝑥 ≈ 1

2ℎ𝑞(𝑥0)𝑢(𝑥0) =

1

2ℎ𝑞0𝑢0,∫ 𝑚0

𝑥0

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ 1

2ℎ𝑓(𝑥0) =

1

2ℎ𝑓0.

Við nálgum afleiðuna 𝑢′(𝑚0) með mismunakvóta:

𝑢′(𝑚0) ≈ 𝑢(𝑥1) − 𝑢(𝑥0)

2ℎ/2=𝑢1 − 𝑢0

ℎ.

Þá er 𝑢′(𝑥0)

𝑢′(𝑥0) ≈ 1

𝑝0

(𝑝 1

2

𝑢1 − 𝑢0ℎ

− 1

2ℎ𝑞0𝑢0 +

1

2ℎ𝑓0

).

Nú notum við jaðarskilyrði í 𝑥0:

𝛼1𝑢(𝑎) − 𝛽1𝑢′(𝑎) = 𝛾1

sem er nú

𝛼1𝑢0 −𝛽1𝑝0

(𝑝 1

2

𝑢1 − 𝑢0ℎ

− 12ℎ𝑞0𝑢0 + 1

2ℎ𝑓0

)≈ 𝛾1.

Eins og áður setjum við 𝑐0, 𝑐1 í staðinn fyrir 𝑢0, 𝑢1 til þess að tákna óþekkta stærð:

𝛼1𝑐0 −𝛽1𝑝0

(𝑝 1

2

𝑐1 − 𝑐0ℎ

− 12ℎ𝑞0𝑐0 + 1

2ℎ𝑓0

)= 𝛾1.

Mismunajafna í hægri endapunkti

Við gerum svipað fyrir hlutbilið [𝑚𝑁−1, 𝑥𝑁 ]:

𝑢′(𝑥𝑁 ) =1

𝑝(𝑥𝑁 )

(𝑝(𝑚𝑁−1)𝑢′(𝑚𝑁−1) +

∫ 𝑥𝑁

𝑚𝑁−1

𝑞(𝑥)𝑢(𝑥) 𝑑𝑥−∫ 𝑥𝑁

𝑚𝑁−1

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

).

Við nálgum heildið með ∫ 𝑥𝑁

𝑚𝑁−1

𝑞(𝑥)𝑢(𝑥) 𝑑𝑥 ≈ 12ℎ𝑞𝑁𝑢𝑁 ,∫ 𝑥𝑁

𝑚𝑁−1

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≈ 12ℎ𝑓𝑁 ,

og afleiðuna 𝑢′(𝑥𝑁−1) með formúlunni

𝑢′(𝑚𝑁−1) ≈ 𝑢𝑁 − 𝑢𝑁−1

ℎ.

Þá getum við nálgað jaðarskilyrðið í 𝑥𝑁

𝛼2𝑢(𝑥𝑁 ) + 𝛽2𝑢′(𝑥𝑁 ) = 𝛾2

með

𝛼2𝑢𝑁 +𝛽2𝑝𝑁

(𝑝𝑁− 1

2

𝑢𝑁 − 𝑢𝑁−1

ℎ+ 1

2ℎ𝑞𝑁𝑢𝑁 − 12ℎ𝑓𝑁

)≈ 𝛾2.

Mismunajöfnur í innri punktum skiptingarinnar

Nú skoðum við hlutbilin [𝑚𝑗1,𝑚𝑗 ] fyrir 𝑗 = 1, . . . , 𝑁 − 1. Athugum að 𝑥𝑗 eru miðpunktar bilanna [𝑚𝑗1,𝑚𝑗 ].



Við heildum jöfnuna yfir [𝑚𝑗1,𝑚𝑗 ]

𝑝(𝑚𝑗−1)𝑢′(𝑚𝑗−1) − 𝑝(𝑚𝑗)𝑢′(𝑚𝑗) +

∫ 𝑚𝑗

𝑚𝑗−1

𝑞(𝑥)𝑢(𝑥) 𝑑𝑥 =

∫ 𝑚𝑗

𝑚𝑗−1

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥.

Við nálgum heildið með miðpunktsnálgun∫ 𝑚𝑗

𝑚𝑗−1

𝑞(𝑥)𝑢(𝑥) 𝑑𝑥 ≈ ℎ 𝑞𝑗𝑢𝑗 og∫ 𝑚𝑗

𝑚𝑗−1

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≈ ℎ 𝑓𝑗 ,

og afleiður með mismunakvótum

𝑢′(𝑚𝑗) ≈𝑢𝑗+1 − 𝑢𝑗

ℎog 𝑢′(𝑚𝑗−1) ≈ 𝑢𝑗 − 𝑢𝑗−1

ℎ.

Þá verður jafnan

𝑝𝑗− 12

𝑢𝑗 − 𝑢𝑗−1

ℎ− 𝑝𝑗+ 1

2

𝑢𝑗+1 − 𝑢𝑗ℎ

+ ℎ𝑞𝑗𝑢𝑗 ≈ ℎ𝑓𝑗 ,

og þegar við stingum 𝑐𝑗 í jöfnuna í staðinn fyrir 𝑢𝑗 , fáum við

𝑝𝑗− 12

𝑐𝑗 − 𝑐𝑗−1

ℎ2− 𝑝𝑗+ 1

2

𝑐𝑗+1 − 𝑐𝑗ℎ2

+ 𝑞𝑗𝑐𝑗 = 𝑓𝑗 .

Nálgunarjöfnuhneppið

Að lokum, er línulega jöfnuhneppið fyrir nálgunargildin⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(𝛼1 +

𝛽1𝑝0

(𝑝 1

2

ℎ+ 1

2ℎ𝑞0

))𝑐0 −

𝛽1𝑝 12

𝑝0ℎ𝑐1 = 𝛾1 + 1

2

𝛽1ℎ𝑓0𝑝0

,

−𝑝𝑗− 1

2

ℎ2𝑐𝑗−1 +

(𝑝𝑗− 1

2+ 𝑝𝑗+ 1

2

ℎ2+ 𝑞𝑗

)𝑐𝑗 −

𝑝𝑗+ 12

ℎ2𝑐𝑗+1 = 𝑓𝑗 , 𝑗 = 1, . . . , 𝑁 − 1,

−𝛽2𝑝𝑁− 1

2

𝑝𝑁ℎ𝑐𝑁−1 +

(𝛼2 +

𝛽2𝑝𝑁

(𝑝𝑁− 1

2

ℎ+ 1

2ℎ𝑞𝑁

))𝑐𝑁 = 𝛾2 + 1

2

𝛽2ℎ

𝑝𝑁𝑓𝑁 .

7.2.1 Sýnidæmi

Við endurtökum nú sýnidæmi 5.1.1. Við sjáum að

𝑝(𝑥) =1

𝑥2 + 1, 𝑞(𝑥) = − 2

(𝑥2 + 1)2 , 𝜌 = − 1

(𝑥2 + 1)2 ,

ℒ𝑢 =1

𝜌(−(𝑝𝑢′)′ + 𝑞𝑢) = 𝑓,

⇒ (−(𝑝𝑢′)′ + 𝑞𝑢) = 𝜌 𝑓 := 𝑓,

þar sem 𝑓(𝑥) = − 1(𝑥2+1)2

. Þá er jaðargildisverkefnið af gerðinni⎧⎪⎨⎪⎩𝑢′′(𝑥) − 2𝑥𝑢′(𝑥)

𝑥2+1 + 2𝑢(𝑥)𝑥2+1 = 1

𝑥2+1 ,

𝑢′(0) + 𝑢(0) = 0,

𝑢(1) = 1.

Við notum nálgunarformúlurnar að ofan fyrir 𝑁 = 4. Athugum að

𝑥0 = 0, 𝑥1 =1

4, 𝑥2 =

1

2, 𝑥3 =

3

4, 𝑥4 = 1,

𝑚0 =1

8, 𝑚1 =

3

8, 𝑚2 =

5

8, 𝑚3 =

7

8.

Línulega hneppið er ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1398𝑐0 − 2048𝑐1 = −65,

𝑐4 = 1,

84388𝑐0 − 150038𝑐1 + 75140𝑐2 = 4745,

142400𝑐1 − 246206𝑐2 + 116800𝑐3 = 6497,

282500𝑐2 − 484886𝑐3 + 222500𝑐4 = 10057,

7.2. Heildun yfir hlutbil 63


sem gefur okkur

𝑐0 = −0.4895, 𝑐1 = −0.3024, 𝑐2 = 0.0091, 𝑐3 = 0.4434, 𝑐4 = 1.

Er þetta betra en í dæmi 5.1.1? Skoðum myndina.

7.2.2 Línuleg brúun og þúfugrunnföll

Við höfum reiknað út lausnir 𝑐𝑗 á nálgunarformúlunni. Hvernig getum við endurgert fallið 𝑢 sem uppfyllir 𝑢𝑗 ≈𝑐𝑗? Við getum notað línulega samantekt til að finna nálgunarfall 𝑣 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], þ.a. 𝑣(𝑥𝑗) = 𝑐𝑗 og svo 𝑣𝑗 ≈ 𝑢𝑗 .

Fyrst skilgreinum við þúfugrunnföllin 𝜙𝑗(𝑥), fyrir 𝑗 = 0, . . . , 𝑁 , þ.a.

1. 𝜙𝑗(𝑥) eru samfelld,

2. 𝜙𝑗(𝑥𝑖) = 𝛿𝑖,𝑗 .

Við tökum t.d. jafna skiptingu á bilinu [𝑎, 𝑏]

𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < · · · < 𝑥𝑁 = 𝑏, 𝑥𝑗 = 𝑎+ 𝑗ℎ, 𝑗 = 0, . . . , 𝑁,

þá eru föllin 𝜙𝑗(𝑥) af gerðinni

𝜙0(𝑥) =

𝑥1−𝑥

ℎ , 𝑥 ∈ [𝑥0, 𝑥1],

0, annars,𝜙′0(𝑥) =

−1ℎ , 𝑥 ∈]𝑥0, 𝑥1[,

0, 𝑥 ∈ R ∖ [𝑥0, 𝑥1],

𝜙𝑗(𝑥) =

⎧⎪⎨⎪⎩𝑥−𝑥𝑗−1

ℎ , 𝑥 ∈ [𝑥𝑗−1, 𝑥𝑗 [,𝑥𝑗+1−𝑥

ℎ , 𝑥 ∈ [𝑥𝑗 , 𝑥𝑗+1],

0, annars.𝜙′𝑗(𝑥) =

⎧⎪⎨⎪⎩1ℎ , 𝑥 ∈]𝑥𝑗−1, 𝑥𝑗 [,−1ℎ , 𝑥 ∈ [𝑥𝑗 , 𝑥𝑗+1],

0, 𝑥 ∈ R ∖ [𝑥𝑗−1, 𝑥𝑗+1].

𝜙𝑁 (𝑥) =

𝑥−𝑥𝑁−1

ℎ , 𝑥 ∈ [𝑥𝑁−1, 𝑥𝑁 ],

0, annars.𝜙′𝑁 (𝑥) =

1ℎ , 𝑥 ∈ [𝑥𝑚−1, 𝑥𝑚],

0, annars.

Athugum að föllin 𝜙𝑗(𝑥) eru samfelld á [𝑎, 𝑏].



Þúfugrunnföllin 𝜙𝑗(𝑥) fyrir dæmin 5.1.1 og 5.2.1. Hér 𝑁 = 4.

Þá skilgreinum við nálgunarfall 𝑣, með því að setja

𝑣(𝑥) = 𝑐0𝜙0(𝑥) + · · · + 𝑐𝑁𝜙𝑁 (𝑥),

þar sem 𝑐𝑗 eru lausnir á nálgunarformúlunni. Það er ljóst að 𝑣 er samfellt á bilinu [𝑎, 𝑏], og

𝑣(𝑥𝑗) =

𝑁∑𝑖=0

𝑐𝑖𝜙𝑖(𝑥𝑗) = 𝑐𝑗 .

Nálgunarföllin 𝑣 fyrir dæmin 5.1.1 og 5.2.1. Hér 𝑁 = 4.

7.3 Mismunaaðferð fyrir hlutaafleiðujöfnur

Nú lítum við á verkefnið að nálga lausnir á hlutafleiðujöfnum með upphafs- og jaðarskilyrðum.

Látum 𝐷 vera svæði í 𝑅2 og skoðum eftirfarandi jaðargildisverkefni⎧⎨⎩𝐿𝑢 = −∇ · (𝑝∇𝑢) + 𝑞𝑢 = −𝑝∇2𝑢−∇𝑝 · ∇𝑢+ 𝑞𝑢 = 𝑓, á 𝐷

𝛼𝑢+ 𝛽𝜕𝑢

𝜕𝑛= 𝛾, á 𝜕𝐷.

7.3. Mismunaaðferð fyrir hlutaafleiðujöfnur 65


Við gerum ráð fyrir að 𝑝 ∈ 𝐶1(R2) og 𝑞, 𝑓 séu samfelld á R2. 𝛼, 𝛽 og 𝛾 séu gefin föll á jaðrinum 𝜕𝐷 þ.a.(𝛼, 𝛽) = (0, 0) á 𝜕𝐷.

Látum 𝜕𝐷1 vera þann hluta jaðarsins þ.a. 𝛽 = 0, þá er 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝛾(𝑥, 𝑦)/𝛼(𝑥, 𝑦) fyrir öll (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜕𝐷1. Þáskiptum við jaðrinum í tvö sundurlæg mengi 𝜕𝐷 = 𝜕𝐷1 ∪ 𝜕𝐷2, og við umskrifum jaðargildisverkenið sem⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

𝐿𝑢 = −∇ · (𝑝∇𝑢) + 𝑞𝑢 = 𝑓, á 𝐷𝑢 = 𝛾, á 𝜕1𝐷,


𝜕𝑛= 𝛾, á 𝜕2𝐷,

(7.4)

þar sem höfum við táknað 𝛾(𝑥, 𝑦)/𝛼(𝑥, 𝑦) með 𝛾 á 𝜕1𝐷 að ofan.

Til þess að nálga lausn 𝑢 á jaðargildisverkefninu (7.4) þurfum við að undirbúa net á svipaðan hátt og við gerðumí 5.1. Það sem er ólíkt hér er að við erum í R2, þ.e.a.s. við þurfum að byggja skiptingu eftir 𝑥 og 𝑦.

Net

Gerum ráð fyrir að svæðið 𝐷 sé innihaldið í rétthyrningi

𝑅 = (𝑥, 𝑦) ; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑.

Við tökum ℎ > 0 og við skiptum bilunum á eftirfarandi hátt

𝑥𝑚 = 𝑎+𝑚ℎ og 𝑦𝑛 = 𝑐+ 𝑛ℎ, 𝑚, 𝑛 ∈ N ∪ 0.

Dæmi af 𝐷 ⊂ 𝑅 ⊂ R2.

Hnútpunktar í netinu eru (𝑥𝑖, 𝑦𝑘) og línurnar gegnum hnútpunktana eru stikaðar með

R ∋ 𝑡 ↦→ (𝑎+𝑚ℎ, 𝑡) og R ∋ 𝑠 ↦→ (𝑠, 𝑐+ 𝑛ℎ).

Við sjáum að línurnar skera 𝐷 = 𝐷 ∪ 𝜕𝐷 í punktinum (𝑥𝑖, 𝑦𝑘) , 𝑖 = 1, . . . ,𝑀1 og 𝑘 = 1, . . . ,𝑀2.

Við þurfum að velja hvernig við viljum raða punktunum sem eru í 𝐷. Til þess að einfalda nálgunarformúlur, ergott að raða punktunum á eftirfarandi hátt:

Setjum 𝑀 = 𝑀1 ×𝑀2, og

• Allir hnútpunktar eru (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) þar sem 𝑗 = 1, . . . ,𝑀 ,

• Hnútpunktar (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) fyrir 𝑗 = 1,+𝑑𝑜𝑡𝑠,𝑁 ≤𝑀 eru í 𝐷 ∪ 𝜕𝐷2,

• Hnútpunktar (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) fyrir 𝑗 = 𝑁 + 1, . . . ,𝑀 eru í 𝜕𝐷1.



Hugmyndin að baki þessu er að fallgildi 𝑢 eru þekkt á 𝜕𝐷1 af því að 𝑢 uppfyllir Dirichlet-jaðarskilyrði þar.

Heildun yfir hlutsvæði

Gerum ráð fyrir að hlutsvæði Ω sé í 𝐷, t.d. getur Ω verið hlutrétthyrningur milli (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) fyrir 𝑗 = 1, . . . 4.

Við heildum jöfnuna yfir Ω og við notum Gauss-setninguna sem gefur okkur∫∫Ω

∇ ·(𝑝∇𝑢

)𝑑𝑥𝑑𝑦 =

∫𝜕Ω

𝑝𝜕𝑢

𝜕𝑛𝑑𝑠,

þá er jafnan í (7.4)

−∫𝜕Ω

𝑝𝜕𝑢

𝜕𝑛𝑑𝑠+

∫∫Ω

𝑞𝑢 𝑑𝑥𝑑𝑦 =

∫∫Ω

𝑓 𝑑𝑥𝑑𝑦.

Við ætlum að nota þessi heildi til þess að nálga lausn 𝑢 í punktunum (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) fyrir 𝑗 = 1, . . . , 𝑁 .

7.3.1 Nálgunarjafna

Nú erum við tilbúin til að leiða út nálgunarjöfnur fyrir jaðargildisverkenið (7.4). Eins og áður greinum við á milliinnri punkta og jaðarpunkta.

Nálgunarjafna í innri punkti

Látum (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) vera innri punkt í 𝐷, og Ω𝑗 vera ferninginn með miðju í (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) og kantlengdina ℎ. Látumgrannpunkta (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) vera (𝑥𝑙, 𝑦𝑙), (𝑥𝑟, 𝑦𝑟), (𝑥𝑠, 𝑦𝑠) og (𝑥𝑡, 𝑦𝑡). Við táknum með 𝑚𝑗,𝑘 miðpunkt línunnar milli(𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) og (𝑥𝑘, 𝑦𝑘), og með 𝑆𝑗,𝑘 hlið af 𝜕Ω𝑗 sem er milli (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) og (𝑥𝑘, 𝑦𝑘). Athugum að hér eru 𝑗, 𝑙, 𝑟, og 𝑠gefin, á meðan lagt er saman yfir 𝑘 = 𝑙, 𝑟, 𝑠, 𝑡.

Við sjáum á myndinni hér:

Dæmi af innri punktum (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗).

Þá er yfir Ω𝑗 ∫∫Ω𝑗

∇ ·(𝑝∇𝑢

)𝑑𝑥𝑑𝑦 =

∫𝜕Ω𝑗

𝑝𝜕𝑢

𝜕𝑛𝑑𝑠 =

∑𝑘=𝑙,𝑟,𝑠,𝑡

∫𝑆𝑗,𝑘

𝑝𝜕𝑢

𝜕𝑛𝑑𝑠.

Við nálgun heildið yfir 𝑆𝑗,𝑘 með því að finna gildi fallsins 𝑝 og afleiðunnar 𝜕𝑢𝜕𝑛 í miðpunktum 𝑚𝑗,𝑘, þá er∫

𝑆𝑗,𝑘

𝑝𝜕𝑢

𝜕𝑛𝑑𝑠 ≈ 𝑝(𝑚𝑗,𝑘)

𝜕𝑢

𝜕𝑛(𝑚𝑗,𝑘)ℎ ≈ 𝑝(𝑚𝑗,𝑘)

𝑢(𝑥𝑘, 𝑦𝑘) − 𝑢(𝑥𝑗 , 𝑦𝑗)

ℎℎ.



Liðirnir sem eftir standa eru nálgaðir með∫∫Ω𝑗

𝑞𝑢 𝑑𝑥𝑑𝑦 ≈ 𝑞(𝑥𝑗 , 𝑦𝑗)𝑢(𝑥𝑗 , 𝑦𝑗)ℎ2,

∫∫Ω𝑗

𝑓 𝑑𝑥𝑑𝑦 ≈ 𝑓(𝑥𝑗 , 𝑦𝑗)ℎ2.

Til þess að einfalda rithátt, setjum við 𝑢𝑘 = 𝑢(𝑥𝑘, 𝑦𝑘), 𝑞𝑘 = 𝑞(𝑥𝑘, 𝑦𝑘), 𝑓𝑘 = 𝑓(𝑥𝑘, 𝑦𝑘) og 𝑝𝑗,𝑘 = 𝑝(𝑚𝑗,𝑘), og aðlokum fáum við að jafnan (7.4) er nálguð með

−∫𝜕Ω

𝑝𝜕𝑢

𝜕𝑛𝑑𝑠+

∫∫Ω

𝑞𝑢 𝑑𝑥𝑑𝑦 =

∫∫Ω

𝑓 𝑑𝑥𝑑𝑦

⇒ −𝑝𝑗,𝑙(𝑢𝑙 − 𝑢𝑗) − 𝑝𝑗,𝑟(𝑢𝑟 − 𝑢𝑗) − 𝑝𝑗,𝑠(𝑢𝑠 − 𝑢𝑗) − 𝑝𝑗,𝑡(𝑢𝑡 − 𝑢𝑗) + 𝑞𝑗𝑢𝑗ℎ2 ≈ 𝑓𝑗ℎ

2.

Við notum 𝑐𝑘 í staðinn fyrir 𝑢𝑘 fyrir 𝑘 = 𝑗, 𝑙, 𝑟, 𝑠, 𝑡, og þá er nálgunarformúlan fyrir innri punktana(ℎ−2

(𝑝𝑗,𝑙 + 𝑝𝑗,𝑟 + 𝑝𝑗,𝑠 + 𝑝𝑗,𝑡

)+ 𝑞𝑗

)𝑐𝑗

−ℎ−2𝑝𝑗,𝑙𝑐𝑙 − ℎ−2𝑝𝑗,𝑟𝑐𝑟 − ℎ−2𝑝𝑗,𝑠𝑐𝑠 − ℎ−2𝑝𝑗,𝑡𝑐𝑡 = 𝑓𝑗 .(7.5)

Í sértilfellinu þegar 𝑝 = 1, þá fáum við(4ℎ−2 + 𝑞𝑗

)𝑐𝑗 − ℎ−2𝑐𝑙 − ℎ−2𝑐𝑟 − ℎ−2𝑐𝑠 − ℎ−2𝑐𝑡 = 𝑓𝑗 . (7.6)

Nálgunarjafna í jaðarpunkti

Látum (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) vera jaðarpunkt í 𝜕𝐷2. Látum grannpunkta (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) vera (𝑥𝑙, 𝑦𝑙), (𝑥𝑠, 𝑦𝑠) og (𝑥𝑡, 𝑦𝑡). Við gerumráð fyrir að línan 𝑆𝑗 milli miðpunktanna 𝑚𝑗,𝑠 og 𝑚𝑗,𝑡 sé í 𝜕𝐷2. Athugum að hér er 𝑘 = 𝑠, 𝑙, 𝑡, og hér er flatarmálsvæðisins Ω𝑗 ℎ

2/2.

Við sjáum á myndinni hér:

Dæmi af jaðarpunktum (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗).

Við höfum ∫∫Ω𝑗

∇ ·(𝑝∇𝑢

)𝑑𝑥𝑑𝑦 =

∫𝜕Ω𝑗

𝑝𝜕𝑢

𝜕𝑛𝑑𝑠 =

∑𝑘=𝑙,𝑠,𝑡

∫𝑆𝑗,𝑘

𝑝𝜕𝑢

𝜕𝑛𝑑𝑠+

∫𝑆𝑗

𝑝𝜕𝑢

𝜕𝑛𝑑𝑠.

Heildið yfir 𝑆𝑗 er ∫𝑆𝑗

𝑝𝜕𝑢

𝜕𝑛𝑑𝑠 ≈ 𝑝𝑗

𝜕𝑢

𝜕𝑛(𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) ≈ 𝑝𝑗

𝛾𝑗 − 𝛼𝑗𝑢𝑗𝛽𝑗

ℎ,



þar sem við höfum notað jaðarskilyrði á 𝜕𝐷2 fyrir𝜕𝑢

𝜕𝑛(𝑥𝑗 , 𝑦𝑗), og táknað 𝛾(𝑥𝑗 , 𝑦𝑗), 𝛼(𝑥𝑗 , 𝑦𝑗), 𝛽(𝑥𝑗 , 𝑥𝑗) með

𝛾𝑗 , 𝛼𝑗 , 𝛽𝑗 .

Heildið yfir 𝑆𝑗,𝑙 er ∫𝑆𝑗,𝑙

𝑝𝜕𝑢

𝜕𝑛𝑑𝑠 ≈ 𝑝𝑗,𝑙

𝑢𝑙 − 𝑢𝑗ℎ

ℎ,

en heildin yfir 𝑆𝑗,𝑠 og 𝑆𝑗,𝑡 eru gefin með∫𝑆𝑗,𝑠

𝑝𝜕𝑢

𝜕𝑛𝑑𝑠 ≈ 𝑝𝑗,𝑠

𝑢𝑠 − 𝑢𝑗ℎ

12ℎ og

∫𝑆𝑗,𝑡

𝑝𝜕𝑢

𝜕𝑛𝑑𝑠 ≈ 𝑝𝑗,𝑡

𝑢𝑡 − 𝑢𝑗ℎ

12ℎ.

Að lokum þurfum við að nálga heildið með föllum 𝑓 og 𝑞∫∫Ω𝑗

𝑞𝑢 𝑑𝑥𝑑𝑦 ≈ 𝑞𝑗𝑢𝑗12ℎ

2 og∫∫

Ω𝑗

𝑓 𝑑𝑥𝑑𝑦 ≈ 𝑓𝑗12ℎ

2.

Að lokum að lokum setjum við saman alla liði og þá er(2ℎ−2𝑝𝑗,𝑙 + ℎ−2𝑝𝑗,𝑠 + ℎ−2𝑝𝑗,𝑡 + 2ℎ−1𝑝𝑗

𝛼𝑗

𝛽𝑗+ 𝑞𝑗

)𝑐𝑗

−2ℎ−2𝑝𝑗,𝑙𝑐𝑙 − ℎ−2𝑝𝑗,𝑠𝑐𝑠 − ℎ−2𝑝𝑗,𝑡𝑐𝑡 = 𝑓𝑗 + 2ℎ−1𝑝𝑗𝛾𝑗

𝛽𝑗.

(7.7)

þar sem við höfum skrifað 𝑐𝑗 í staðinn fyrir 𝑢𝑗 .

Í sértilfellinu þegar 𝑝 = 1, þá fáum við(4ℎ−2 + 𝑞𝑗 + 2ℎ−1 𝛼𝑗

𝛽𝑗

)𝑐𝑗 − 2ℎ−2𝑐𝑙 − ℎ−2𝑐𝑠 − ℎ−2𝑐𝑡 = 𝑓𝑗 + 2ℎ−1 𝛾𝑗

𝛽𝑗(7.8)

Samantekt

Til þess að nálga lausnagildi á jaðargildisverkefninu (7.4) getum við leyst eftirfarandi jöfnuhneppi:

Fyrir (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) ∈ 𝐷: (ℎ−2

(𝑝𝑗,𝑙 + 𝑝𝑗,𝑟 + 𝑝𝑗,𝑠 + 𝑝𝑗,𝑡

)+ 𝑞𝑗

)𝑐𝑗

−ℎ−2𝑝𝑗,𝑙𝑐𝑙 − ℎ−2𝑝𝑗,𝑟𝑐𝑟 − ℎ−2𝑝𝑗,𝑠𝑐𝑠 − ℎ−2𝑝𝑗,𝑡𝑐𝑡 = 𝑓𝑗 .

Fyrir (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) ∈ 𝜕𝐷2: (2ℎ−2𝑝𝑗,𝑙 + ℎ−2𝑝𝑗,𝑠 + ℎ−2𝑝𝑗,𝑡 + 2ℎ−1𝑝𝑗

𝛼𝑗

𝛽𝑗+ 𝑞𝑗

)𝑐𝑗

−2ℎ−2𝑝𝑗,𝑙𝑐𝑙 − ℎ−2𝑝𝑗,𝑠𝑐𝑠 − ℎ−2𝑝𝑗,𝑡𝑐𝑡 = 𝑓𝑗 + 2ℎ−1𝑝𝑗𝛾𝑗

𝛽𝑗.

Fyrir (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) ∈ 𝜕𝐷1:

𝑐𝑗 = 𝛾𝑗 .

7.3.2 Sýnidæmi: Dirichlet-verkefni á ferningi

Látum 𝐷 vera 𝐷 = (𝑥, 𝑦) ; 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑦 < 1. Við viljum leysa Dirichlet-verkefnið yfir 𝐷:−∇2𝑢+ 𝑞𝑢 = 𝑓, í 𝐷,𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝛾(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜕𝐷.

Hér erum við í sértilfellinu þegar 𝑝 = 1, og 𝜕𝐷2 er ekki til.

Setjum ℎ = 13 . Við röðum punktum þ.a. punktar (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) fyrir 𝑗 = 1, . . . , 4 eru innri punktar og (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) fyrir

𝑗 = 5, . . . , 16 eru jaðarpunktar. Við sjáum þetta á eftirfarandi mynd



Fyrir punkta (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) með 𝑗 = 1, . . . , 4, notum við nálgunarjöfnur (7.6), og þá er

(36 + 𝑞1)𝑐1 − 9𝑐2 − 9𝑐3 − 9𝑐6 − 9𝑐9 = 𝑓1,

(36 + 𝑞2)𝑐2 − 9𝑐1 − 9𝑐4 − 9𝑐7 − 9𝑐10 = 𝑓2,

(36 + 𝑞3)𝑐3 − 9𝑐1 − 9𝑐4 − 9𝑐11 − 9𝑐14 = 𝑓3,

(36 + 𝑞4)𝑐4 − 9𝑐2 − 9𝑐3 − 9𝑐12 − 9𝑐15 = 𝑓4.

Fyrir punkta (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) með 𝑗 = 5, . . . , 16, notum við Dirichlet jaðarskilyrði, og þá er


Það þýðir að við getum leyst jöfnuhneppið fyrir 𝑐1, . . . , 𝑐4 og þá höfum við⎡⎢⎢⎣36 + 𝑞1 −9 −9 0−9 36 + 𝑞2 0 −9−9 0 36 + 𝑞3 −90 −9 −9 36 + 𝑞4

⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣𝑐1𝑐2𝑐3𝑐4

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣𝑓1 + 9𝛾6 + 9𝛾9,𝑓2 + 9𝛾7 + 9𝛾10,𝑓3 + 9𝛾11 + 9𝛾14,𝑓4 + 9𝛾12 + 9𝛾15.

⎤⎥⎥⎦ .

7.3.3 Sýnidæmi: Jaðargildisverkefni á ferningi með blandað jaðarskilyrði

Lítum nú á jaðargildisverkefni á 𝐷 = (𝑥, 𝑦) ; 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑦 < 1⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−∇2𝑢+ 𝑞𝑢 = 𝑓, í 𝐷,𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝛾(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜕𝐷1,

𝛼(𝑥, 𝑦)𝑢(𝑥, 𝑦) +𝜕𝑢

𝜕𝑛(𝑥, 𝑦) = 𝛾(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜕𝐷2,

þar sem

𝜕𝐷1 = (𝑥, 𝑦) ; 0 < 𝑥 < 1, 0 = 𝑦, 𝑦 = 1, og 0 < 𝑦 < 1, 𝑥 = 0,𝜕𝐷2 = (𝑥, 𝑦) ; 0 < 𝑦 < 1, 𝑥 = 1.

Athugum að hér er 𝑝 = 1 og 𝛽 = 1. Setjum ℎ = 13 , og röðum punktum þ.a. (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) fyrir 𝑗 = 1, . . . , 6 eru í 𝜕𝐷2

og (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) fyrir 𝑗 = 7, . . . , 16 eru í 𝜕𝐷1. Við sjáum þetta á eftirfarandi mynd



Fyrir punkta (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) með 𝑗 = 7, . . . , 16, þá er


Fyrir punkta (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) með 𝑗 = 1, 2, 4, 5 notum við nálgunarjöfnur (7.6), fyrir punkta (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) með 𝑗 = 3, 6 notumvið nálgunarjöfnur (7.8), og þá er

(36 + 𝑞1)𝑐1 − 9𝑐2 − 9𝑐4 − 9𝑐8 − 9𝑐11 = 𝑓1,

(36 + 𝑞2)𝑐2 − 9𝑐1 − 9𝑐3 − 9𝑐5 − 9𝑐9 = 𝑓2,

(36 + 𝑞3 + 6𝛼3)𝑐3 − 18𝑐2 − 9𝑐6 − 9𝑐10 = 𝑓3 + 6𝛾3,

(36 + 𝑞4)𝑐4 − 9𝑐1 − 9𝑐5 − 9𝑐12 − 9𝑐14 = 𝑓4.

(36 + 𝑞5)𝑐5 − 9𝑐2 − 9𝑐4 − 9𝑐6 − 9𝑐15 = 𝑓5.

(36 + 𝑞6 + 6𝛼6)𝑐6 − 9𝑐3 − 18𝑐5 − 9𝑐16 = 𝑓6 + 6𝛾6.

Við getum skrifað þetta með fylkjajöfnu⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣36 + 𝑞1 −9 0 −9 0 0−9 36 + 𝑞2 −9 0 −9 00 −18 36 + 𝑞3 + 6𝛼3 0 0 −9−9 0 0 36 + 𝑞4 −9 00 −9 0 −9 36 + 𝑞5 −90 0 −9 0 −18 36 + 𝑞6 + 6𝛼6

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝑐1𝑐2𝑐3𝑐4𝑐5𝑐6

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝑓1 + 9𝛾8 + 9𝛾11

𝑓2 + 9𝛾9𝑓3 + 9𝛾10 + 6𝛾3𝑓4 + 9𝛾12 + 9𝛾14

𝑓5 + 9𝛾15𝑓6 + 9𝛾16 + 6𝛾6

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ .

7.4 Almenn mismunaaðferð á rétthyrningi

Við lítum nú á almennt jaðargildisverkefni⎧⎨⎩−∇ ·(𝑝∇𝑢

)+ 𝑞𝑢 = 𝑓, í 𝐷,


𝜕𝑛= 𝛾, á 𝜕𝐷,

(7.9)

á rétthyrningi 𝐷 in 𝑅2

𝐷 = ]𝑎, 𝑏[×]𝑐, 𝑑[ = (𝑥, 𝑦) ; 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, 𝑐 < 𝑦 < 𝑑.

7.4. Almenn mismunaaðferð á rétthyrningi 71


Við gerum ráð fyrir að (𝛼, 𝛽) = (0, 0) fyrir (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜕𝐷.

Athugum að í hornunum geta föllin 𝛼, 𝛽 og 𝛾 verið ósamfelld og afleiðan𝜕𝑢

𝜕𝑛getur einnig verið ekki vel skilgreind.

Nú skiptum við rétthyrningnum 𝐷 í reglulegt net með kantlengdina ℎ. Setjum 𝑁 = (𝑏−𝑎)/ℎ og 𝑀 = (𝑑− 𝑐)/ℎ,þ.a. 𝑁 og 𝑀 eru náttúrlegar tölur.

Hvernig getum við tölusett netpunkta í 𝐷?

Hnit netpunkta í (𝑥, 𝑦) plani

Það þýðir að við veljum skiptingu á bilinu í jafna hluta, þ.e.

𝑎 = 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 << 𝑥(𝑁+1) = 𝑏, 𝑐 = 𝑦1 < 𝑦2 < 𝑦3 << 𝑦(𝑀+1) = 𝑑,

og

𝑥𝑗 = 𝑎+ (𝑗 − 1)ℎ, 𝑗 = 1, . . . , 𝑁 + 1 , 𝑦𝑘 = 𝑎+ (𝑘 − 1)ℎ, 𝑘 = 1, . . . ,𝑀 + 1.

Athugum að hér notum við 𝑗, 𝑘 sem byrja frá 1 (í staðinn fyrir 0), af því að við höfum í huga að Matlab (eðaOctave, eða Mathematica, . . . ) byrja í 1 í tölusetningu vigra.

1. Tvívíð tölusetning netpunkta

Hér setjum við 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑁 + 1 og 1 ≤ 𝑘 ≤𝑀 + 1, og við tölusetjum netpunktana með (𝑥𝑗 , 𝑦𝑘).

2. Einföld tölusetning netpunkta

Hér tölusetjum við netpunktana með (𝑥𝑖, 𝑦𝑖) þar sem 𝑖 = 𝑗 + (𝑘 − 1)(𝑁 + 1). Til dæmis setjum við 𝑘 = 1 ogskoðum punkta með 𝑖 = 𝑗 + (𝑘− 1)(𝑁 + 1) = 𝑗, þar sem 𝑗 = 1, . . . , 𝑁 + 1. Síðan veljum við 𝑘 = 2 og skoðumpunkta með 𝑖 = 𝑗 + (𝑘 − 1)(𝑁 + 1) = 𝑗 + (𝑁 + 1), þar sem 𝑗 = 1, . . . , 𝑁 + 1, og svo framvegis.

Uppbygging forrits

Til þess að byggja upp jöfnuhneppi𝐴c = b sem nálgar gildi lausna 𝑢(𝑥𝑗 , 𝑦𝑘) á (7.9), þurfum við líta á eftirfaranditilvik:

1. Innri punktar

Skoðum innri punkta (𝑥𝑗 , 𝑦𝑘) þar sem 1 < 𝑗 < 𝑁+1 og 1 < 𝑘 < 𝑀+1. Við notum nálgunarjöfnuna(7.7) hér, og við fáum fylkjastök 𝑎𝑖,𝑖−ℓ, 𝑎𝑖,𝑖−1, 𝑎𝑖,𝑖+1, 𝑎𝑖,𝑖+ℓ og 𝑎𝑖,𝑖, þar sem ℓ = 𝑁 + 1. Í hægri hliðhneppisins er 𝑓𝑖 = 𝑓(𝑥𝑗 , 𝑦𝑘).

2. Punktar á jöðrum en ekki hornpunktar

Skoðum punkta á jaðrinum 𝜕𝐷 sem eru ekki hornpunktar. Ef 𝛽(𝑥𝑗 , 𝑦𝑘) = 0, þá gildir að

𝑐𝑖 = 𝛾(𝑥𝑗 , 𝑦𝑘)/𝛼(𝑥𝑗 , 𝑦𝑘).

Það þýðir að jöfnuhneppið hér er 𝑎𝑖,𝑖 = 1 og í hægri hliðinni 𝑏𝑖 = 𝛾(𝑥𝑗 , 𝑦𝑘)/𝛼(𝑥𝑗 , 𝑦𝑘).

Ef 𝛽(𝑥𝑗 , 𝑦𝑘)) = 0, þá þurfum við nota nálgunarjöfnuna (7.7).

3. Hornpunktar

Ef 𝛽(𝑥𝑗 , 𝑦𝑘) = 0, vitum við eins og áður hvaða gildi fallið 𝑢 hefur í punktunum.

Ef 𝛽(𝑥𝑗 , 𝑦𝑘)) = 0, þurfum við að fara varlega, af því að föllin 𝛼, 𝛽 og 𝛾 geta verið ósamfelld. Gotter að sjá fyrir sér hvað er að gerast í hornpunktinum, og skrifa upp mismunajöfnur.

4. Gefin gildi í einstaka netpunktum

Ef við viljum (eða vitum) að fallið 𝑢 tekur gefið gildi 𝑈𝑠 í einhverjum netpunktum, með 𝑠 = 1, . . . , 𝜇.Við tölusetjum slíka punkta með 𝑖. Þá gildir að einu stök fylkisins 𝐴 í línu 𝑖 sem eru ekki núll eru𝑎𝑖,𝑖 = 1. Á hægri hliðinni höfum við 𝑏𝑖 = 𝑈𝑠.

Þegar við höfum reiknað út fylkið 𝐴 og vigurinn 𝑏, þá getum við notað t.d. Matlab, (eða Octave eða Mathematicaeða Maple. . . ), til þess að fá nágunargildin 𝑐𝑖. T.d. getum við skrifað í Matlab:

S=sparse(A);



og 𝑐 = 𝑆∖𝑏

Það er líka gott að teikna graf lausnarinnar. T.d. getum við skrifað í Matlab:

surf(x,y,W’),

og jafnhæðarlínur hennar má teikna með contour(x,y,W’).

7.4. Almenn mismunaaðferð á rétthyrningi 73

KAFLI 8

Bútaaðferðir

Í þessum kafla fjöllum við um bútaaðferð. Eins og fyrir mismunaaðferðir eru til ólíkar útgáfur og við ætlum aðskoða einföldustu tilfellin. Ennfremur, ætlum við að læra bútaaðferðir fyrir jaðargildisverkefni í R og R2.

8.1 Hlutheildun, innfeldi og tvílínulegt form

8.1.1 Jaðargildisverkefni í R

Jaðargildisverkefnin í R sem við viljum leysa eru⎧⎪⎨⎪⎩𝐿𝑢 = −(𝑝𝑢′)′ + 𝑞𝑢 = 𝑓, á ]𝑎, 𝑏[,

𝐵1𝑢 = 𝛼1𝑢(𝑎) − 𝛽1𝑢′(𝑎) = 𝛾1, (𝛼1, 𝛽1) = (0, 0),

𝐵2𝑢 = 𝛼2𝑢(𝑏) + 𝛽2𝑢′(𝑏) = 𝛾2, (𝛼2, 𝛽2) = (0, 0).

(8.1)

Þá er afleiðuvirkinn af Sturm-Liouville gerð, og við gerum ráð fyrir að 𝑝 sé samfellt diffranlegt á bili [𝑎, 𝑏] og 𝑞 sésamfellt á [𝑎, 𝑏].

Við skilgreinum 𝑉 sem mengi raungildra falla sem eru samfelld og samfellt diffranleg á köflum á bilinu [𝑎, 𝑏],þ.e.a.s.

𝑉 = 𝜙 : [𝑎, 𝑏] ⊂ R → R ;𝜙 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] ∩ 𝑃𝐶1[𝑎, 𝑏].

Athugum að

1. 𝜙′ er heildanlegt fall á bilinu [𝑎, 𝑏] og undirstöðusetningin gildir í 𝑉 , þ.e.a.s.

𝜙(𝑥) = 𝜙(𝑐) +

∫ 𝑥

𝑐

𝜙′(𝑡) 𝑑𝑡, 𝑥, 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏],

af því að enda þótt 𝜙 sé ekki diffranlegt t.d. í 𝑥ℓ, þá er 𝜙 í 𝑃𝐶1[𝑎, 𝑏], þ.e.a.s. markgildi frá vinstri og hægri afafleiðunni 𝜙′ eru til í 𝑥ℓ,þ.e. 𝜙′(𝑥ℓ+) og 𝜙′(𝑥ℓ−) eru til og eru endanleg. Með öðrum orðum getum við alltafskilgreint afleiðuna í 𝑥ℓ með

𝜙′(𝑥ℓ) = 12

(𝜙′(𝑥ℓ+) + 𝜙′(𝑥ℓ−)

).

2. Ennfremur gildir hlutheildun, þ.e. ef 𝜙,𝜓 ∈ 𝑉 þá er

75


−∫ 𝑑

𝑐

𝜓′(𝑥)𝜙(𝑥) 𝑑𝑥 =

∫ 𝑑

𝑐

𝜓(𝑥)𝜙′(𝑥) 𝑑𝑥−[𝜓(𝑥)𝜙(𝑥)

]𝑑𝑐

𝑐, 𝑑 ∈ [𝑎, 𝑏].

Munið að í 3.2.2 skilgreindum við

I. Innfeldi

Fyrir tvö raungild heildanleg föll 𝜙 og 𝜓 á bilinu [𝑎, 𝑏], þá er innfeldi þeirra skilgreint með

⟨𝜙,𝜓⟩ =

∫ 𝑏

𝑎

𝜙(𝑥)𝜓(𝑥) 𝑑𝑥 =

∫ 𝑏

𝑎

𝜙𝜓 𝑑𝑥.

Ljóst er að innfeldi er vel skilgreint fyrir föllin í 𝑉 .

II. Tvílínulegt form sem 𝐿 gefur af sér

Látum 𝐿 vera afleiðuvirkja af Sturm-Liouville gerð. Við skilgreinum tvílínulega formið sem 𝐿 gefur af sér með

⟨𝜙,𝜓⟩𝐿 =

∫ 𝑏

𝑎

(𝑝𝜙′𝜓′ + 𝑞𝜙𝜓

)𝑑𝑥, 𝜙, 𝜓 ∈ 𝑉.

Nú ætlum við að nota þetta til þess að undirbúa nálgunarformúlur fyrir (8.1). Við tökum 𝜙 ∈ 𝑉 og 𝑣 ∈ 𝒞2([𝑎, 𝑏])og við reiknum eftirfarandi innfeldi út

⟨𝐿𝑣, 𝜙⟩ =

−∫ 𝑏

𝑎

𝑑

𝑑𝑥

(𝑝(𝑥)

𝑑𝑣

𝑑𝑥

)𝜙𝑑𝑥+

∫ 𝑏

𝑎

𝑞(𝑥)𝑣(𝑥)𝜙(𝑥)𝑑𝑥

=

−[𝑝𝑣′𝜙

]𝑏𝑎

+

∫ 𝑏

𝑎

(𝑝𝑣′𝜙′ + 𝑞𝑣𝜙

)𝑑𝑥.

Við sjáum að það er

⟨𝐿𝑣, 𝜙⟩ = ⟨𝑣, 𝜙⟩𝐿 −[𝑝𝑣′𝜙

]𝑏𝑎.

1. Ef við gerum ráð fyrir að 𝜙 uppfylli eftirfarandi jaðarskilyrði

𝜙(𝑎) = 𝜙(𝑏) = 0

þá verður innfeldið ⟨𝐿𝑣, 𝜙⟩

⟨𝐿𝑣, 𝜙⟩ = ⟨𝑣, 𝜙⟩𝐿 .

2. Ef við gerum ráð fyrir að 𝑣 = 𝑢 sé lausn á afleiðujöfnunni (8.1), þá er 𝐿𝑢 = 𝑓 og innfeldið verður

⟨𝑓, 𝜙⟩ = ⟨𝑢, 𝜙⟩𝐿, 𝜙 ∈ 𝑉, 𝜙(𝑎) = 𝜙(𝑏) = 0 . (8.2)

8.1.2 Jaðargildisverkefnin í R2

Við viljum halda áfram á svipaðan hátt í R2. Nú er jaðargildisverkefnið í 𝐷 ⊂ R2⎧⎨⎩𝐿𝑢 = −∇ · (𝑝∇𝑢) + 𝑞𝑢 = 𝑓, á 𝐷,


𝜕𝑛= 𝛾, á 𝜕𝐷,

(8.3)

og 𝑝 ∈ 𝐶1(𝐷), 𝑞 of 𝑓 eru samfelld á 𝐷. Athugum að 𝑝, 𝑞, 𝑓 eru föll á 𝐷 ⊂ R2, og 𝛾, 𝛼, 𝛽 eru föll á 𝜕𝐷 ⊂ R2.

Athugum

1. Leibniz reglan í R𝑛

76 Kafli 8. Bútaaðferðir


∇ ·(𝜙𝑝∇𝑢

)=

(∇ · (𝑝∇𝑢)

)𝜙+ 𝑝∇𝑢 · ∇𝜙,

af því að

∇ · (𝜙V) = (∇ ·V)𝜙+ V · ∇𝜙,

og hér V = 𝑝∇𝑢.

2. Gauss setning ∫∫𝐷

∇ · (𝜙𝑝∇𝑢) 𝑑𝐴 =

∫𝜕𝐷

𝑝𝜕𝑢

𝜕𝑛𝜙𝑑𝑠

3. Hlutheildun í R2

Við sjáum að úr 1. og 2. fáum við

−∫∫𝐷

∇ ·(𝑝∇𝑢

)𝜙𝑑𝐴 = −

∫𝜕𝐷

𝑝𝜕𝑢

𝜕𝑛𝜙𝑑𝑠+

∫∫𝐷

𝑝∇𝑢 · ∇𝜙𝑑𝐴.

Munið að

1. Innfeldi

Gerum ráð fyrir að 𝜙 og 𝜓 séu tvö raungild heildanleg föll á = 𝐷 ∩ 𝜕𝐷, þá er innfeldi þeirra

⟨𝜙,𝜓⟩ =

∫∫𝐷

𝜙(𝑥, 𝑦)𝜓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 =

∫∫𝐷

𝜙𝜓 𝑑𝐴.

2. Tvílínulegt form sem 𝐿 gefur af sér

Látum 𝐿 vera hlutafleiðuvirkja eins og í verkefninu (8.1), og gerum ráð fyrir að 𝜙 og 𝜓 séu þ.a. fyrsta stigshlutafleiður þeirra séu vel skilgreindar og takmarkaðar á 𝐷. Þá skilgreinum við tvílínulega formið með

⟨𝜙,𝜓⟩𝐿 =

∫∫𝐷

(𝑝∇𝜙 · ∇𝜓 + 𝑞 𝜙𝜓

)𝑑𝐴.

Við skoðum nú innfeldi milli 𝐿𝑣 og 𝜑, þar sem 𝐿 er virkinn í (8.3). Við gerum ráð fyrir að 𝑣 ∈ 𝐶2(𝐷). Þá er

⟨𝐿𝑣, 𝜙⟩ =

∫∫𝐷

(𝐿𝑣

)𝜙𝑑𝐴 =

∫∫𝐷

(𝑝∇𝑣 · ∇𝜙+ 𝑞𝑣𝜙

)𝑑𝐴−

∫𝜕𝐷

𝑝𝜕𝑣

𝜕𝑛𝜙𝑑𝑠

= ⟨𝑣, 𝜙⟩𝐿 −∫𝜕𝐷

𝑝𝜕𝑣

𝜕𝑛𝜙𝑑𝑠.

Við sjáum að

1. Ef 𝜙 er núll á jaðrinum 𝜕𝐷, þá er

⟨𝐿𝑣, 𝜙⟩ = ⟨𝑣, 𝜙⟩𝐿2. Ef 𝑣 = 𝑢 er lausn á jaðarverkefni (8.3), þá gildir

⟨𝑢, 𝜙⟩𝐿 = ⟨𝑓, 𝜙⟩, 𝜙 ∈ 𝐶1(𝐷), 𝜙 = 0 á 𝜕𝐷. (8.4)

8.2 Aðferð Galerkins fyrir Dirichlet-verkefnið

8.2.1 Galerkin-aðferðir í einni vídd fyrir Dirichlet-verkefni

Við lítum á jaðargildisverkefnið (8.1) í sértilfellinu þegar 𝛽1 = 𝛽2 = 0, þ.e.a.s. við höfum Dirichlet-verkefni:𝐿𝑢 = −(𝑝𝑢′)′ + 𝑞𝑢 = 𝑓, á ]𝑎, 𝑏[,

𝑢(𝑎) = 𝛾1/𝛼1, 𝑢(𝑏) = 𝛾2/𝛼2.(8.5)

8.2. Aðferð Galerkins fyrir Dirichlet-verkefnið 77


Aðalatriðið í Galerkin-aðferð er að smíða nálgunarfall 𝑣(𝑥) fyrir lausn 𝑢 á Dirichlet-verkefninu að ofan á eftirfar-andi hátt

𝑣(𝑥) = 𝜓0(𝑥) + 𝑐1𝜙1(𝑥) + · · · + 𝑐𝑁𝜙𝑁 (𝑥),

þar sem

1. fallið 𝜓0(𝑥) er valið þ.a. það uppfyllir jaðarskilyrðin í (8.5), þ.e.a.s.

𝜓0(𝑎) = 𝛾1/𝛼1, 𝜓0(𝑏) = 𝛾2/𝛼2,

2. föllin 𝜙1, . . . , 𝜙𝑁 eru valin þ.a. þau uppfylla óhliðruðu jaðarskilyrðin, þ.e.a.s.

𝜙𝑗(𝑎) = 𝜙𝑗(𝑏) = 0, 𝑗 = 1, . . . , 𝑁,

3. stuðlanir 𝑐1, . . . , 𝑐𝑁 eru óþekktir, og markmiðið er að reikna þá út.

Það er ljóst að nálgunarfallið 𝑣 uppfyllir jaðarskilyrðin í (8.5) by construction, þ.e.a.s.

𝑣(𝑎) = 𝛾1/𝛼1, 𝑣(𝑏) = 𝛾2/𝛼2.

Hvernig getum við fundið nálgunargildi 𝑐1, . . . , 𝑐𝑁? Við krefjumst að 𝑣 uppfylli jöfnu (8.2), þá er

⟨𝑣, 𝜙𝑗⟩𝐿 = ⟨𝑓, 𝜙𝑗⟩, 𝑗 = 1, 2, . . . , 𝑁.

Við sjáum að þetta er jafngilt því að

⟨𝜓0, 𝜙𝑗⟩𝐿 +

𝑁∑𝑘=1

𝑐𝑘⟨𝜙𝑘, 𝜙𝑗⟩𝐿 = ⟨𝑓, 𝜙𝑗⟩, 𝑗 = 1, . . . , 𝑁.

Nú höfum við 𝑁 ×𝑁 jöfnuhneppi fyrir 𝑁 nálgunargildi, af því að⎡⎢⎢⎢⎣⟨𝜙1, 𝜙1⟩𝐿 ⟨𝜙1, 𝜙2⟩𝐿 . . . ⟨𝜙1, 𝜙𝑁 ⟩𝐿⟨𝜙2, 𝜙1⟩𝐿 ⟨𝜙2, 𝜙2⟩𝐿 . . . ⟨𝜙2, 𝜙𝑁 ⟩𝐿

......

. . ....

⟨𝜙𝑁 , 𝜙1⟩𝐿 ⟨𝜙𝑁 , 𝜙2⟩𝐿 . . . ⟨𝜙𝑁 , 𝜙𝑁 ⟩𝐿

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣𝑐1𝑐2...𝑐𝑁

⎤⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎣−⟨𝜓0, 𝜙1⟩𝐿 + ⟨𝑓, 𝜙1⟩−⟨𝜓0, 𝜙2⟩𝐿 + ⟨𝑓, 𝜙2⟩

...−⟨𝜓0, 𝜙𝑁 ⟩𝐿 + ⟨𝑓, 𝜙𝑁 ⟩

⎤⎥⎥⎥⎦ . (8.6)

Almennt, ef afleiðuvirki er línulegur, þá er hneppið að ofan línulegt.

Þyðing og sambandið við jaðargildisverkefnin

Við sjáum að hugmyndin að baki aðferð Galerkins er frekar ólik m.v. mismunaaðferð. Í mismunaaðferðumfáum við algebrujöfnuhneppi úr afleiðujöfnum með því að nálga afleiður með mismunakvótum. Hér fáum viðalgebrujöfnuhneppi með því þess að krefjast þess að nálgunarfall uppfylli veika framsetningu afleiðujöfnunnar,sem er (8.2).

Munið að ⟨𝑣, 𝜙𝑗⟩𝐿 = ⟨𝐿𝑣, 𝜙𝑗⟩, þá segir jafnan (8.2) okkur að

⟨(𝐿𝑣 − 𝑓), 𝜙𝑗⟩ = 0.

Ef 𝑢 er nákvæm lausn á jöfnunni (8.5), það þýðir að 𝐿𝑢 = 𝑓 , svo (𝐿𝑣 − 𝑓) er mismunur milli nálgunarfallsins 𝑣og lausnarinnar 𝑢, og við krefjumst þess að mismunur þeirra sé þverstæður m.t.t. fallanna 𝜙𝑗 sem við notum tilþess að smiða nálgunarfallið 𝑣.

Af hverju? Aðalatriðið er að mismunurinn er lágmarkaður ef hann er þverstæður m.t.t. plansins sem er spannaðaf 𝜙𝑗 , 𝑗 = 1, . . . , 𝑁 , þ.e.

⟨𝐿(𝑣 − 𝑢), 𝜙𝑗⟩ = 0.

Athugið: Föllin 𝜙𝑗 𝑗 = 1, . . . , 𝑁 þurfa að vera línulega óháð! Annars hefur fylkið í (8.6) ekki max stétt!



8.2.2 Galerkin-aðferðir í tveimur víddum fyrir Dirichlet-verkefni

Við lítum á jaðargildisverkefnið (8.3) í sértilfellinu þegar 𝛽1 = 𝛽2 = 0 á 𝜕𝐷, þ.e𝐿𝑢 = −∇ · (𝑝∇𝑢) + 𝑞𝑢 = 𝑓, á 𝐷,𝑢 = 𝛾/𝛼, á 𝜕𝐷.

(8.7)

Við höldum áfram á svipaðan hátt, og við skilgreinum nálgunarfall 𝑣

𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝜓0(𝑥, 𝑦) + 𝑐1𝜙1(𝑥, 𝑦) + · · · + 𝑐𝑁𝜙𝑁 (𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ ,

þ.a.

1. fall 𝜓0(𝑥, 𝑦) uppfyllir eftirfarandi jaðarskilyrði

𝜓0(𝑥, 𝑦) = 𝛾(𝑥, 𝑦)/𝛼(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜕𝐷

2. föllin 𝜑𝑗 𝑗 = 1, . . . , 𝑁 uppfylla eftirfarandi jaðarskilyrði

𝜙𝑗(𝑥, 𝑦) = 0, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜕𝐷, 𝑗 = 1, . . . , 𝑁,

Það er ljóst að nálgunarfallið uppfyllir a.m.k. jaðarskilyrðin í (8.7). Eins og áður er markmiðið að reikna stuðlana𝑐𝑗 , og til þess að ákvarða þá notum við skilyrði (8.4),

⟨𝑣, 𝜙𝑗⟩𝐿 = ⟨𝑓, 𝜙𝑗⟩ , 𝑗 = 1, . . . , 𝑁,

sem gefur okkur 𝑁 skilyrði fyrir 𝑐𝑗

⟨𝜓0, 𝜙𝑗⟩𝐿 +

𝑁∑𝑘=1

𝑐𝑘⟨𝜙𝑘, 𝜙𝑗⟩𝐿 = ⟨𝑓, 𝜙𝑗⟩, 𝑗 = 1, . . . , 𝑁.

Eins og áður getum við skrifað 𝑁 ×𝑁 hneppi, þ.a. [𝐴]𝑐 = , þar sem

𝐴𝑗𝑘 = ⟨𝜙𝑘, 𝜙𝑗⟩𝐿 = ⟨𝜙𝑗 , 𝜙𝑘⟩𝐿, 𝑗, 𝑘 = 1, . . . , 𝑁,

og

𝑏𝑗 = ⟨𝑓, 𝜙𝑗⟩ − ⟨𝜓0, 𝜙𝑗⟩𝐿, 𝑗 = 1, . . . , 𝑁.

Formlega höfum við sömu hneppi eins og í R. En nú erum við í R2, þ.e.a.s. innfeldið og tvílínulega formiðinnihalda tvöfalt heildi (yfir 𝑥, 𝑦), sjáið 6.1.2.

8.3 Bútaaðferð í einni vídd

Hér beinum við athygli okkar að jaðargildisverkefni í einni vídd þar sem við veljum þúfugrunnföllin til þess aðnálga lausn.

Almennt er jaðargildisverkefnið gefið með (8.1). Við veljum skiptingu á bili [𝑎, 𝑏], þ.e.

𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < · · · < 𝑥𝑁 = 𝑏, ℎ := (𝑏− 𝑎)/𝑁, 𝑥𝑗 = 𝑎+ 𝑗ℎ, 𝑗 = 0, . . . , 𝑁.

Munið líka að miðpunktar eru gefnir með

𝑚𝑗 = 𝑥𝑗 + ℎ, 𝑗 = 0, . . . , 𝑁 − 1.

Munið að þúfugrunnföllin eru skilgreind þ.a. 𝜙𝑗(𝑥𝑖) = 𝛿𝑖𝑗 , sjáið 5.2.2. Sérstaklega, þýðir það að þúfugrunnföllineru í 𝑉 , og að 𝜙0(𝑎) = 1 og 𝜙𝑁 (𝑏) = 1.

8.3. Bútaaðferð í einni vídd 79


8.3.1 Blönduð jaðarskilyrði í báðum endapunktum

Við gerum ráð fyrir að 𝛽1 = 0 og 𝛽2 = 0.

Við skilgreinum nálgunarfallið

𝑣(𝑥) = 𝑐0𝜙0(𝑥) + · · · + 𝑐𝑁𝜙𝑁 (𝑥).

Munið kafla 6.1.2, almennt höfum við

⟨𝑢, 𝜙⟩𝐿 + 𝑝(𝑎)𝑢′(𝑎)𝜙(𝑎) − 𝑝(𝑏)𝑢′(𝑏)𝜙(𝑏) = ⟨𝑓, 𝜙⟩, 𝜙 ∈ 𝑉. (8.8)

Við sjáum núna að 𝜙(𝑎), 𝜙(𝑏) eru ekki núll almennt, svo við þurfum að skoða jaðarliði líka. Fyrst notum viðjaðarskilyrði í (8.1), þá fáum við

⟨𝑢, 𝜙⟩𝐿 +𝑝(𝑎)

𝛽1(𝛼1𝑢(𝑎) − 𝛾1)𝜙(𝑎) +

𝑝(𝑏)

𝛽2(𝛼2𝑢(𝑏) − 𝛾2)𝜙(𝑏) = ⟨𝑓, 𝜙⟩.

Nú stingum við í jöfnuna að nálgunarfallið er gefið með samantekt af þúfugrunnföllum og notum 𝜙𝑗 í staðinn fyrir𝜙. Þá er fyrir 𝑗 = 0, . . . , 𝑁

𝑁∑𝑖=0

𝑐𝑖⟨𝜙𝑖, 𝜙𝑗⟩𝐿 +𝑝(𝑎)

𝛽1(𝛼1

𝑁∑𝑖=0

𝑐𝑖𝜙𝑖(𝑎) − 𝛾1)𝜙𝑗(𝑎) +𝑝(𝑏)

𝛽2(𝛼2

𝑁∑𝑖=0

𝑐𝑖𝜙𝑖(𝑏) − 𝛾2)𝜙𝑗(𝑏) = ⟨𝑓, 𝜙𝑗⟩.

Það er gagnlegt að skrifa nálgunarformúlur á fylkjaformi, þ.e.a.s.

𝐴c = b, þar sem 𝐴 =(𝑎𝑗𝑘

)𝑁𝑗,𝑘=0

.

Stök fylkisins 𝐴 eru gefin með

𝑎𝑗𝑖 = ⟨𝜙𝑖, 𝜙𝑗⟩𝐿 +𝑝(𝑎)𝛼1

𝛽1𝜙𝑖(𝑎)𝜙𝑗(𝑎) +

𝑝(𝑏)𝛼2

𝛽2𝜙𝑖(𝑏)𝜙𝑗(𝑏), 𝑖, 𝑗 = 0, . . . , 𝑁,

og stuðlar vigursins b eru gefnir með

𝑏𝑗 = ⟨𝑓, 𝜙𝑗⟩ +𝑝(𝑎)𝛾1𝛽1

𝜙𝑗(𝑎) +𝑝(𝑏)𝛾2𝛽2

𝜙𝑗(𝑏), 𝑗 = 0, . . . , 𝑁.

Við viljum skoða jöfnuhneppið nánar. Munið

T.d. fyrir 𝑗 = 0 þurfum við bara að reikna eftirfarandi stök

𝑎00 =

∫ 𝑥1

𝑥0

(𝑝(𝜙′

0)2 + 𝑞𝜙20

)𝑑𝑥+

𝑝(𝑎)𝛼1

𝛽1

𝑎01 =

∫ 𝑥1

𝑥0

(𝑝𝜙′

0𝜙′1 + 𝑞𝜙0𝜙1

)𝑑𝑥

af því að 𝜙0 hefur stoð á bili [𝑥0, 𝑥1], 𝜙𝑗 með 𝑗 = 1, . . . , 𝑁 − 1 er ekki núll bara yfir bilið [𝑥𝑗−1, 𝑥𝑗+1] og 𝜙𝑁 erekki núll á bili [𝑥𝑁−1, 𝑥𝑁 ].

Lítum nú a stuðla hægri hliðarinnar, þá er

𝑏0 =

∫ 𝑥1

𝑥0

𝑓𝜙0 𝑑𝑥+𝑝(𝑎)𝛾1𝛽1

≈ ℎ𝑓(𝑚0)

2+𝑝(𝑎)𝛾1𝛽1

,

af því að 𝜙0(𝑎) = 1 og 𝜙0(𝑏) = 0.

Nú viljum við nálga heildið að ofan, við getum haldið áfram eins og áður, t.d.

𝑎00 =

∫ 𝑥1

𝑥0

(𝑝(𝜙′

0)2 + 𝑞𝜙20

)𝑑𝑥+

𝑝(𝑎)𝛼1

𝛽1≈ 𝑝(𝑚0)

ℎ+ℎ𝑞(𝑚0)

3+𝑝(𝑎)𝛼1

𝛽1

𝑎01 =

∫ 𝑥1

𝑥0

(𝑝𝜙′

0𝜙′1 + 𝑞𝜙0𝜙1

)𝑑𝑥 ≈ −𝑝(𝑚0)

ℎ+ℎ𝑞(𝑚0)

6.

𝑏0 =

∫ 𝑥1

𝑥0

𝑓𝜙0 𝑑𝑥+𝑝(𝑎)𝛾1𝛽1

≈ ℎ𝑓(𝑚0)

6+𝑝(𝑎)𝛾1𝛽1

.



Fyrir 𝑗 = 1, . . . , 𝑁 − 1 þurfum við að reikna stökin 𝑎𝑗𝑗−1, 𝑎𝑗𝑗 , 𝑎𝑗𝑗+1 og líka b𝑗 . Við notum sömu nálgun fyrirheildið, þá er

𝑎𝑗,𝑗−1 =

∫ 𝑥𝑗

𝑥𝑗−1

(𝑝𝜙′

𝑗−1𝜙′𝑗 + 𝑞𝜙𝑗−1𝜙𝑗

)𝑑𝑥 ≈ −𝑝(𝑚𝑗−1)

ℎ+ℎ𝑞(𝑚𝑗−1)

6,

𝑎𝑗,𝑗 =

∫ 𝑥𝑗+1

𝑥𝑗−1

(𝑝(𝜙′

𝑗)2 + 𝑞𝜙2

𝑗

)𝑑𝑥 ≈ 𝑝(𝑚𝑗−1)

ℎ+𝑝(𝑚𝑗)

ℎ+

(𝑞(𝑚𝑗−1) + 𝑞(𝑚𝑗))ℎ

3,

𝑎𝑗,𝑗+1 =

∫ 𝑥𝑗+1

𝑥𝑗

(𝑝𝜙′

𝑗𝜙′𝑗+1 + 𝑞𝜙𝑗𝜙𝑗+1

)𝑑𝑥 ≈ −𝑝(𝑚𝑗)

ℎ+ℎ𝑞(𝑚𝑗)

6,

𝑏𝑗 =

∫ 𝑥𝑗+1

𝑥𝑗−1

𝑓𝜙𝑗 𝑑𝑥 ≈ ℎ(𝑓(𝑚𝑗−1) + 𝑓(𝑚𝑗))

2.

Að lokum þurfum við að skoða 𝑗 = 𝑁 , nú höfum við að 𝜙𝑁 (𝑏) = 1, þá fáum við

𝑎𝑁,𝑁−1 =

∫ 𝑥𝑁

𝑥𝑁−1

(𝑝𝜙′

𝑁−1𝜙′𝑁 + 𝑞𝜙𝑁−1𝜙𝑁

)𝑑𝑥 ≈ −𝑝(𝑚𝑁−1)

ℎ+ℎ𝑞(𝑚𝑁−1)

6,

𝑎𝑁𝑁 =

∫ 𝑥𝑁

𝑥𝑁−1

(𝑝(𝜙′𝑁

)2+ 𝑞𝜙2

𝑁

)𝑑𝑥+

𝑝(𝑏)𝛼2

𝛽2≈ 𝑝(𝑚𝑁−1)

ℎ+ℎ𝑞(𝑚𝑁−1)

3+𝑝(𝑏)𝛼2

𝛽2,

𝑏𝑁 =

∫ 𝑥𝑁

𝑥𝑁−1

𝑓𝜙𝑁 𝑑𝑥+𝑝(𝑏)𝛾2𝛽2

≈ ℎ𝑓(𝑚𝑁−1)

2+𝑝(𝑏)𝛾2𝛽2

.

8.3.2 Fallsjaðarskilyrði

Lítum á jaðargildisverkefnið (8.1).

Við gerum ráð fyrir að 𝛽1 = 0, þ.e.a.s. að við höfum Dirchlet jaðarskilyrði í vinstri endapunktinum, þ.e. 𝑢(𝑎) =𝛾1/𝛼1.

Þá setjum við 𝑐0 = 𝛾1/𝛼1, svo að nálgunarfallið 𝑣 tekur gildi 𝛾1/𝛼1 í punktinum 𝑎. Það þýðir að fyrir 𝑗 = 0setjum við

𝑎00 = 1, 𝑎0𝑗 = 0, 𝑗 = 1, . . . , 𝑁, 𝑏0 = 𝛾1/𝛼1,

og jöfnuhneppið er eins og áður.

Ef við höfum Dirchlet jaðarskilyrði í hægri endapunktinum, þ.e.a.s. að 𝛽2 = 0, þá veljum við 𝑐𝑁 = 𝛾2/𝛼2, svoað nálgunarfallið uppfyllir rétt jaðarskilyrði í 𝑏. Þess vegna setjum við

𝑎𝑁𝑁 = 1, 𝑎𝑁𝑗 = 0, 𝑗 = 0, . . . , 𝑁 − 1, 𝑏𝑁 = 𝛾2/𝛼2.

8.4 Aðferð Galerkins með almennum jaðarskilyrðum

Við lítum á jaðargildisverkefnið (8.1) og (8.3). Hér viljum við ekki tilgreina grunn fyrir nálgunarfall, en ætlumfrekar að ákvarða skilyrði og nálgunarformúlur almennt.

Við skilgreinum veika framsetningu á jaðargildisverkefnunum með formúlu

⟨𝑢, 𝜙⟩𝐿,𝐵 = ⟨𝑓, 𝜙⟩ + 𝑇𝐵(𝜙), 𝜙 ∈ 𝑉𝐵 , (8.9)

þar sem

1. (𝜓,𝜙) ↦→ ⟨𝜓,𝜙⟩𝐿,𝐵 er tvílínulegt form sem er bæði háð virkjanum 𝐿 og jaðarskilyrðunum 𝐵,

2. 𝜙 ↦→ 𝑇𝐵(𝜙) er línulegt form sem er háð jaðarskilyrðunum 𝐵,

3. 𝑉𝐵 er mengi af föllum, sem skilgreint er út frá jaðarskilyrðunum.

8.4. Aðferð Galerkins með almennum jaðarskilyrðum 81


Við veljum 𝜓0 þ.a. fallið uppfylli viðeigandi jaðarskilyrði, og eftir það veljum við 𝜙1, . . . , 𝜙𝑁 ∈ 𝑉𝐵 og krefjumstþess að nálgunarfallið 𝑣 = 𝜓0 + 𝑐1𝜙1 + · · · + 𝜙𝑁 uppfylli línulega jöfnuhneppið (8.9).

Þá er almennt

⟨𝑣, 𝜙𝑗⟩𝐿,𝐵 = ⟨𝑓, 𝜙𝑗⟩ + 𝑇𝐵(𝜙𝑗), 𝑗 = 1, . . . , 𝑁.

Á fylkjaformi höfum við

𝑎𝑗𝑘 =

⟨𝜙𝑘, 𝜙𝑗⟩𝐿,𝐵 = ⟨𝜙𝑗 , 𝜙𝑘⟩𝐿,𝐵 , 𝑗, 𝑘 = 1, . . . , 𝑁,

𝑏𝑗 =

⟨𝑓, 𝜙𝑗⟩ + 𝑇𝐵(𝜙𝑗) − ⟨𝜓0, 𝜙𝑗⟩𝐿,𝐵 , 𝑗 = 1, . . . , 𝑁,

sem gefur okkur jöfnuhneppið á fylkjaformi:

𝐴c = b, þar sem 𝐴 =(𝑎𝑗𝑘

)𝑁𝑗,𝑘=1

.

Þá höfum við 𝑁 algebrujöfnur fyrir 𝑁 nálgunargildi 𝑐𝑗 , 𝑗 = 1, . . . , 𝑁 , og við getum reiknað þau út.

8.4.1 Í einni vídd

Við skoðum nú (8.9) í ólíkum tilfellum. Munið samkvæmt kafla 6.1.2, höfum við almennt

⟨𝑢, 𝜙⟩𝐿 + 𝑝(𝑎)𝑢′(𝑎)𝜙(𝑎) − 𝑝(𝑏)𝑢′(𝑏)𝜙(𝑏) = ⟨𝑓, 𝜙⟩, 𝜙 ∈ 𝑉. (8.10)

I. Dirichlet-jaðarskilyrði

Þá er verkefnið eins og (8.5) sem við fjölluðum um í 6.2.1. Þá veljum við 𝜓0 þ.a. 𝜓0(𝑎) = 𝛾1/𝛼1 og 𝜓0(𝑏) =𝛾2/𝛼2.

Hér skilgreinum við mengi falla

𝑉𝐵 = 𝜙 ∈ 𝑉 ; 𝜙(𝑎) = 𝜙(𝑏) = 0,

og þá er

⟨𝑢, 𝜙⟩𝐿 = ⟨𝑓, 𝜙⟩,

sem segir okkur að

⟨𝜙,𝜓⟩𝐿,𝐵 = ⟨𝜙,𝜓⟩𝐿 og 𝑇𝐵(𝜙) = 0 𝜙,𝜓 ∈ 𝑉𝐵 .

II. Dirichlet jaðarskilyrði í vinstri endapunkti

Lítum á ⎧⎪⎨⎪⎩𝐿𝑢 = −(𝑝𝑢′)′ + 𝑞𝑢 = 𝑓,

𝐵1𝑢 = 𝛼1𝑢(𝑎) = 𝛾1,

𝐵2𝑢 = 𝛼2𝑢(𝑏) + 𝛽2𝑢′(𝑏) = 𝛾2, 𝛽2 = 0.

Nú tökum við

𝑉𝐵 = 𝜙 ∈ 𝑉 ; 𝜙(𝑎) = 0,

og notum jaðarskilyrði í hægri endapunkti til þess að einfalda tvílínulega formið (8.10), þ.e.a.s.

⟨𝑢, 𝜙⟩𝐿 +𝑝(𝑏)𝛼2

𝛽2𝑢(𝑏)𝜙(𝑏) = ⟨𝑓, 𝜙⟩ +

𝑝(𝑏)𝛾2𝛽2

𝜙(𝑏), 𝜙 ∈ 𝑉𝐵 .

Ef við berum jöfnuna að ofan saman við jöfnu (8.9), sjáum við að

⟨𝜙,𝜓⟩𝐿,𝐵 = ⟨𝜙,𝜓⟩𝐿 +𝑝(𝑏)𝛼2

𝛽2𝜙(𝑏)𝜓(𝑏), og 𝑇𝐵(𝜙) =

𝑝(𝑏)𝛾2𝛽2

𝜙(𝑏), 𝜙, 𝜓 ∈ 𝑉𝐵 .



III. Dirichlet jaðarskilyrði í hægri endapunkti

Lítum á ⎧⎪⎨⎪⎩𝐿𝑢 = −(𝑝𝑢′)′ + 𝑞𝑢 = 𝑓,

𝐵1𝑢 = 𝛼1𝑢(𝑎) − 𝛽1𝑢′(𝑎) = 𝛾1, 𝛽1 = 0

𝐵2𝑢 = 𝛼2𝑢(𝑏) = 𝛾2,

og höldum áfram eins og áður. Við skilgreinum

𝑉𝐵 = 𝜙 ∈ 𝑉 ; 𝜙(𝑏) = 0,

og með því að nota jaðarskilyrði verður formið (8.10)

⟨𝑢, 𝜙⟩𝐿 +𝑝(𝑎)𝛼1

𝛽1𝑢(𝑎)𝜙(𝑎) = ⟨𝑓, 𝜙⟩ +

𝑝(𝑎)𝛾1𝛽1

𝜙(𝑎), 𝜙 ∈ 𝑉𝐵 .

Á svipaðan hátt berum við jöfnuna að ofan saman við (8.9), og sjáum að hér gildir

⟨𝜙,𝜓⟩𝐿,𝐵 = ⟨𝜙,𝜓⟩𝐿 +𝑝(𝑎)𝛼1

𝛽1𝜙(𝑎)𝜓(𝑎) og 𝑇𝐵(𝜙) =

𝑝(𝑎)𝛾1𝛽1

𝜙(𝑎), 𝜙, 𝜓 ∈ 𝑉𝐵 .

IV. Blönduð jaðarskilyrði í báðum endapunktum

Jaðargildisverkefnið er ⎧⎪⎨⎪⎩𝐿𝑢 = −(𝑝𝑢′)′ + 𝑞𝑢 = 𝑓,

𝐵1𝑢 = 𝛼1𝑢(𝑎) − 𝛽1𝑢′(𝑎) = 𝛾1, 𝛽1 = 0,

𝐵2𝑢 = 𝛼2𝑢(𝑏) + 𝛽2𝑢′(𝑏) = 𝛾2, 𝛽2 = 0.

Ef 𝛽1 = 0 og 𝛽2 = 0, tökum við 𝜓0 sem núllfallið, þá er nálgunarfallið gefið með

𝑣(𝑥) = 𝑐1𝜙1(𝑥) + · · · + 𝑐𝑁𝜙𝑁 (𝑥), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].

Við getum notað jaðarskilyrðin til þess að einfalda tvílínulega formið (8.10), þ.e.a.s.

⟨𝑢, 𝜙⟩𝐿 +𝑝(𝑎)

𝛽1(𝛼1𝑢(𝑎) − 𝛾1)𝜙(𝑎) +

𝑝(𝑏)

𝛽2(𝛼2𝑢(𝑏) − 𝛾2)𝜙(𝑏) = ⟨𝑓, 𝜙⟩.

Ef við berum jöfnuna að ofan saman við jöfnu (8.9), skiljum við nú hvað 𝑇𝐵 er og restin, þ.e.a.s mengi fallanna er

𝑉𝐵 = 𝑉,

línulega formið 𝑇𝐵 er gefið með

𝑇𝐵(𝜙) =𝑝(𝑎)𝛾1𝛽1

𝜙(𝑎) +𝑝(𝑏)𝛾2𝛽2

𝜙(𝑏), 𝜙 ∈ 𝑉𝐵 ,

og tvílínulega formið ⟨𝜙,𝜓⟩𝐿,𝐵 er gefið með

⟨𝜙,𝜓⟩𝐿,𝐵 = ⟨𝜙,𝜓⟩𝐿 +𝑝(𝑎)𝛼1

𝛽1𝜙(𝑎)𝜓(𝑎) +

𝑝(𝑏)𝛼2

𝛽2𝜙(𝑏)𝜓(𝑏), 𝜙, 𝜓 ∈ 𝑉𝐵 .

8.4.2 Í tveimur víddum

Við viljum skoða veiku framsetninguna (8.9) fyrir jaðargildisverkefni í R2. Fyrst er gagnlegt að skrifa jaðargild-isverkefnið sem ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

𝐿𝑢 = −∇ · (𝑝∇𝑢) + 𝑞𝑢 = 𝑓, á 𝐷𝑢 = 𝛾, á 𝜕𝐷1,


𝜕𝑛= 𝛾, á 𝜕𝐷2,



þar sem

𝜕1𝐷 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜕𝐷 ; 𝛽(𝑥, 𝑦) = 0 og 𝜕2𝐷 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜕𝐷 ; 𝛽(𝑥, 𝑦) = 0,

og 𝜕𝐷 = 𝜕1𝐷 ∪ 𝜕2𝐷 (munið 5.3). Við gerum alltaf ráð’fyrir að 𝑝 ∈ 𝐶1 og 𝑞, 𝑓 séu samfelld á ⊂ R2.

Við höldum áfram eins og áður, þ.e.a.s.

1. Fyrst veljum við fallið 𝜓0 þ.a. 𝜓0(𝑥, 𝑦) = 𝛾(𝑥, 𝑦) fyrir öll (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜕𝐷1.

2. Eftir það, veljum við föllin 𝜙 þ.a. 𝜙(𝑥, 𝑦) = 0 fyrir (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜕𝐷1. Það þýðir að við veljum

𝑉𝐵 = 𝜙 ∈ 𝒞2(R) : 𝜙(𝑥, 𝑦) = 0, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜕𝐷1.

3. Að lokum skilgreinum við nálgunarfallið með 𝑣 = 𝜓0 + 𝑐1𝜙1 + · · · + 𝑐𝑁𝜙𝑁 og við krefjumst þess að 𝑣uppfylli veiku framsetninguna (8.9).

Við sjáum nú hvað framsetningin (8.9) gefur okkur í R2. Munið að í kafla 6.1.2 reiknuðum við að

⟨𝐿𝑢, 𝜙⟩ = ⟨𝑢, 𝜙⟩𝐿 −∫𝜕𝐷

𝑝𝜕𝑢

𝜕𝑛𝜙𝑑𝑠 ,

en nú tökum við 𝜙 ∈ 𝑉𝐵 og jaðarinn er 𝜕𝐷 = 𝜕1𝐷 ∪ 𝜕2𝐷, þá getum við skrifað

⟨𝐿𝑢, 𝜙⟩ = ⟨𝑢, 𝜙⟩𝐿 −∫𝜕𝐷2

𝑝𝜕𝑢

𝜕𝑛𝜙𝑑𝑠 = ⟨𝑢, 𝜙⟩𝐿 −

∫𝜕𝐷2

𝑝𝛾 − 𝛼𝑢

𝛽𝜙𝑑𝑠 ,

þar sem í síðasta skrefi höfum við notað jaðarskilyrði í 𝜕𝐷2. Nú erum við búin að skrifa niður veiku framsetning-una (8.9) fyrir nálgunarfallið 𝑣 í R2, þá er

⟨𝑣, 𝜙⟩𝐿 +

∫𝜕𝐷2

𝑝𝛼𝑣

𝛽𝜙𝑑𝑠 = ⟨𝑓, 𝜙⟩ +

∫𝜕𝐷2

𝑝𝛾

𝛽𝜙𝑑𝑠, 𝜙 ∈ 𝑉𝐵 . (8.11)

Við berum formúluna (8.11) saman við almennu stæðuna (8.9), og við sjáum að hér höfum við

⟨𝜙,𝜓⟩𝐿,𝐵 = ⟨𝜙,𝜓⟩𝐿 +

∫𝜕2𝐷

𝑝𝛼

𝛽𝜙𝜓 𝑑𝑠 𝜙, 𝜓 ∈ 𝑉𝐵 ,

og

𝑇𝐵(𝜙) =

∫𝜕2𝐷

𝑝𝛾

𝛽𝜙𝑑𝑠, 𝜙, 𝜓 ∈ 𝑉𝐵 .

8.4.3 Sýnidæmi

Lítum á eftirfarandi jaðargildisverkefni⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−∇2𝑢 = −𝜕2𝑢

𝜕𝑥2− 𝜕2𝑢

𝜕𝑦2= 1 á 𝐷,

𝑢(𝑥, 0) = 1 − 𝑥, 0 < 𝑥 < 1,𝜕𝑢

𝜕𝑛(0, 𝑦) = 1 − 𝑦, 0 < 𝑦 < 1,

𝜕𝑢

𝜕𝑛(𝑥, 1 − 𝑥) + 𝑢(𝑥, 1 − 𝑥) = 0, 0 < 𝑥 < 1,

(8.12)

þar sem 𝐷 er

𝐷 = (𝑥, 𝑦) ; 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑦 < 1 − 𝑥.

Hér höfum við að

𝜕𝐷1 = (𝑥, 0) ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,

𝜕𝐷2 = (0, 𝑦) ; 0 < 𝑦 ≤ 1 ∪ (𝑥, 1 − 𝑥) ; 0 < 𝑥 < 1.



Við viljum nota aðferð Galerkins til þess að ákvarða nálgunarlausn af gerðinni

𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑎+ 𝑏𝑥+ 𝑐𝑦 + 𝑑𝑥𝑦.

Við byrjum á að skoða Dirichlet skilyrði í 𝜕𝐷1, og við veljum fallið 𝜓0 þ.a. 𝜓0(𝑥, 0) = 1 − 𝑥, fyrir 𝑥 ∈ [0, 1]. Þágetum við valið

𝜓0(𝑥, 𝑦) = 1 − 𝑥, (𝑥, 𝑦) ∈ .

Nú veljum við 𝜙 þ.a. 𝜙(𝑥, 0) = 0, fyrir 𝑥 ∈ [0, 1], þ.e.a.s.

𝑉𝐵 = 𝜙 ∈ 𝐶2() : 𝜙(𝑥, 𝑦) = 0 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜕𝐷1.

Við þurfum að velja 𝜙, en með þetta val á fallinu 𝜓0, er það jafngilt að setja 𝑎 = 1 og 𝑏 = −1. Það vantar bara aðvelja föll 𝜙1, 𝜙2, sem þurfa að vera núll á jaðrinum 𝜕𝐷1. Við sjáum að einliður 𝑦 og 𝑥𝑦 eru núll á jaðrinum 𝜕𝐷1,þá getum við tekið

𝜙1(𝑥, 𝑦) = 𝑦, 𝜙2(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦.

Við beitum (8.11), en fyrst skoðum við jaðarliði í (8.11). Athugum að 𝑝(𝑥, 𝑦) = 1, 𝛼(0, 𝑦) = 0 fyrir 𝑦 ∈]0, 1], og𝛾(𝑥, 1 − 𝑥) = 0 fyrir 𝑥 ∈]0, 1[, þá er

∫𝜕𝐷2

𝑝𝛼𝑣

𝛽𝜙𝑑𝑠 =

√2

∫ 1

0

𝑣(𝑥, 1 − 𝑥)𝜙(𝑥, 1 − 𝑥)𝑑𝑥,

∫𝜕𝐷2

𝑝𝛾

𝛽𝜙𝑑𝑠 =

∫ 1

0

(1 − 𝑦)𝜙(0, 𝑦)𝑑𝑦.

Athugum að

∇𝜓0(𝑥, 𝑦) = (−1, 0)𝑇 , ∇𝜙1(𝑥, 𝑦) = (0, 1)𝑇 , ∇𝜙2(𝑥, 𝑦) = (𝑦, 𝑥)𝑇 .

Fyrir 𝜙1 verður veika framsetningin (8.11)

∫𝐷

∇𝑣 · ∇𝜙1𝑑𝐴+√

2

∫ 1

0

𝑣(𝑥, 1 − 𝑥)𝜙1(𝑥, 1 − 𝑥)𝑑𝑥 =

∫𝐷

𝜙1𝑑𝐴+

∫ 1

0

(1 − 𝑦)𝜙1(0, 𝑦)𝑑𝑦,

𝑐1

∫𝐷

𝑑𝐴+ 𝑐2

∫𝐷

𝑥𝑑𝐴+√

2

∫ 1

0

(1 + 𝑐1 + 𝑐2𝑥) (1 − 𝑥)2𝑑𝑥 =

∫𝐷

𝑦𝑑𝐴+

∫ 1

0

(1 − 𝑦)𝑦𝑑𝑦,

sem gefur okkur

𝑐1( 12 +

√23 ) + 𝑐2( 1

6 +√2

12 ) = (13 +

√23 ).

Við höldum áfram á svipaðan hátt fyrir 𝑗 = 2, þá er

∫𝐷

∇𝑣 · ∇𝜙2𝑑𝐴+√

2

∫ 1

0

𝑣(𝑥, 1 − 𝑥)𝜙2(𝑥, 1 − 𝑥)𝑑𝑥 =

∫𝐷

𝜙2𝑑𝐴+

∫ 1

0

(1 − 𝑦)𝜙2(0, 𝑦)𝑑𝑦,

∫𝐷

(−𝑦)𝑑𝐴+ 𝑐1

∫𝐷

𝑥𝑑𝐴+ 𝑐2

∫𝐷

(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝐴+√

2

∫ 1

0

(1 + 𝑐1 + 𝑐2𝑥)𝑥(1 − 𝑥)2𝑑𝑥 =

∫𝐷

𝑥 𝑦𝑑𝐴,

sem gefur okkur

𝑐1( 16 +

√2

12 ) + 𝑐2( 16 +

√2

30 ) = ( 524 −

√2

12 ).

Að lokum fáum við

𝑐1 = −0.4360, 𝑐2 = 1.0034,

þá er nálgunarfallið gefið með

𝑣(𝑥, 𝑦) = 1 − 𝑥− 0.4360 𝑦 + 1.0034𝑥𝑦.



8.5 Bútaaðferð í tveimur víddum

Við ætlum að líta á jaðargildisverkefni (8.3), og hér við viljum nota aðferð Galerkins þar sem svæðinu er skiptí sammengi lokaðra þríhyrninga og nálgunarfallið er línuleg samantekt af þúfugrunnföllum.

8.5.1 Net með þríhyrningum

Við skiptum svæðinu í þríhyrninga, eins og í myndunum að neðan.

Hálfri skífu skipt í þríhyrninga.

Rétthyrningi skipt í þríhyrninga. Hér er 𝑁 = 4 og 𝑀 = 2.

Við skoðum dæmi með rétthyrningnum 𝐷

𝐷 = (𝑥, 𝑦) ∈ R2, 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, 𝑐 < 𝑦 < 𝑑 .

Þar höfum við skiptingu á 𝑥-ás

𝑎 = 𝑥1 < 𝑥2 < · · · < 𝑥𝑁 = 𝑏, 𝑥𝑗 = 𝑎+ (𝑗 − 1)ℎ , 𝑗 = 1, . . . , 𝑁 + 1 ,

þar sem ℎ = (𝑏− 𝑎)/𝑁 , og skiptingu á 𝑦-ás

𝑐 = 𝑦1 < 𝑦2 < · · · < 𝑦𝑀 = 𝑑, 𝑦𝑝 = 𝑐+ (𝑝− 1)𝑘 , 𝑝 = 1, . . . ,𝑀 + 1 ,



þar sem 𝑘 = (𝑑− 𝑐)/𝑀 . Hornpunktar (𝑥𝑗 , 𝑦𝑝) þríhyrninganna eru allir í . Við veljum að raða punktunum einsog í myndinni, þ.e.a.s. við notum vörpun

𝜎 : (𝑗, 𝑝) → 𝛼 = 𝜎(𝑗, 𝑝) = 𝑗 + (𝑝− 1)(𝑁 + 1) , 𝑗 = 1, . . . , 𝑁 + 1 , 𝑝 = 1, . . . ,𝑀 + 1 ,

svo er 𝛼 = 1, . . . , (𝑀 + 1)(𝑁 + 1).

Sérhverjum þríhyrningi er lýst sem mengi

𝑇𝐴,𝐵,𝐶 = (𝑥, 𝑦) = (1 − 𝑠− 𝑡)(𝑥𝐴, 𝑦𝐴) + 𝑠(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵) + 𝑡(𝑥𝐶 , 𝑦𝐶) ; 𝑠, 𝑡 ∈ [0, 1], 𝑠+ 𝑡 ≤ 1,

þar sem (𝑥𝐴, 𝑦𝐴), (𝑥𝐵 , 𝑦𝐵) og (𝑥𝐶 , 𝑦𝐶) eru hornpunktar þríhyrningsins. Á myndinni sjáum við t.d. þríhyrninginnmeð hornpunkta 1, 2, 6, við táknum hann með 𝑇1,2,6.

Athugið: Röð punktanna skiptir máli hér! Við röðum punktunum rangsælis eftir jaðri þríhyrningsins.

Athugum líka að

𝑇1,2,6 = 𝑇6,1,2 = 𝑇2,6,1.

Það er gagnlegt að skoða einingarþríhyrning með hornpunkta (0, 0), (1, 0) og (0, 1). Við táknum hann með 𝐸 ogþá er

𝐸 = (𝑠, 𝑡) ; 𝑠, 𝑡 ∈ [0, 1], 𝑠+ 𝑡 ≤ 1.

Þá getum við notað vörpun 𝑡𝐴,𝐵,𝐶 til þess að varpa einingarþríhyrningnum í þríhyrninginn 𝑇𝐴,𝐵,𝐶 , þá er

𝑡𝐴,𝐵,𝐶 : 𝐸 → 𝑇𝐴,𝐵,𝐶

(𝑠, 𝑡) ↦→ (𝑥, 𝑦) = (1 − 𝑠− 𝑡)(𝑥𝐴, 𝑦𝐴) + 𝑠(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵) + 𝑡(𝑥𝐶 , 𝑦𝐶).

Við getum umritað vörpunina á fylkjaform á eftirfarandi hátt[𝑥𝑦

]=

[𝑥𝐴𝑦𝐴

]+

[𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 𝑥𝐶 − 𝑥𝐴𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 𝑦𝐶 − 𝑦𝐴

] [𝑠𝑡

]. (8.13)

Athugum að vörpunin er gagntæk, og andhverfan 𝑡−1𝐴,𝐵,𝐶 er gefin með

𝑡−1𝐴,𝐵,𝐶 : 𝑇𝐴,𝐵,𝐶 → 𝐸[

𝑥𝑦

]↦→

[𝑠𝑡

]=

1

𝑑

[𝑦𝐶 − 𝑦𝐴 −(𝑥𝐶 − 𝑥𝐴)

−(𝑦𝐵 − 𝑦𝐴) 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴

] [𝑥− 𝑥𝐴𝑦 − 𝑦𝐴

],

þar sem 𝑑 er ákveða fylksins í (8.13).

Seinna munum við nota flatarmál þríhyrningsins 𝑇𝐴,𝐵,𝐶 og massamiðju 𝑀𝐴,𝐵,𝐶 , og þau eru gefin með

𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑇𝐴,𝐵,𝐶) =|𝑑|2,

𝑀𝐴,𝐵,𝐶 = 13

((𝑥𝐴, 𝑦𝐴) + (𝑥𝐵 , 𝑦𝐵) + (𝑥𝐶 , 𝑦𝐶)

).

8.5.2 Þúfugrunnföll

Við ætlum að nota þúfugrunnföll til þess að nálga lausn á (8.3). Við skilgreinum þúfugrunnföll á á eftirfarandihátt:

𝜙𝐴 : 𝑇𝐴,𝐵,𝐶 → [0, 1] , þ.a. 𝜙(𝑥𝐴, 𝑦𝐴) = 1 , 𝜙(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵) = 𝜙(𝑥𝐶 , 𝑦𝐶) = 0

𝜙𝐴 er samfellt og línulegt.

8.5. Bútaaðferð í tveimur víddum 87


Við sjáum í dæmi að neðan graf fallsins 𝜙3 fyrir einingarþrihyrninginn 𝐸1,2,3. Það er ljóst að graf fallsins 𝜙𝐴 erplan í R3 sem tengir punktana

(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 1), (𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 , 0), (𝑥𝐶 , 𝑦𝐶 , 0).

Dæmi um graf fallsins 𝜙3 skilgreint yfir einingarþríhyrninginn 𝐸1,2,3.

Við skilgreinum fall 𝜙𝐸 eins og grunnfallið á einingarþríhyrningnum 𝐸 sem tekur gildið 1 í punktinum (0, 0). Þáer

𝜙𝐸(𝑠, 𝑡) = 1 − 𝑠− 𝑡, (𝑠, 𝑡) ∈ 𝐸,

og við fáum 𝜙𝐸(0, 0) = 1 og 𝜙𝐸(1, 0) = 𝜙𝐸(0, 1) = 0.

Hvernig getum við smíðað fallið 𝜙𝐴 alment? Við notum vörpunina 𝑡𝐴,𝐵,𝐶 , þ.e.a.s. við vörpum þríhyrningnum𝑇𝐴,𝐵,𝐶 í einingarþríhyrninginn 𝐸 og við lesum úr því 𝜙𝐸 , þ.e.

𝜙𝐴(𝑥, 𝑦) = 𝜙𝐸(𝑡−1𝐴,𝐵,𝐶(𝑥, 𝑦)).

Ef við viljum t.d. skrifa niður 𝜙𝐴, þá er

𝜙𝐴(𝑥, 𝑦) = 1𝑑 ((𝑥𝐶 − 𝑥𝐵)𝑦 − (𝑦𝐶 − 𝑦𝐵)𝑥+ 𝑥𝐵𝑦𝐶 − 𝑥𝐶𝑦𝐵) , (8.14)

og það er ljóst að 𝜙𝐴(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵) = 𝜙𝐴(𝑥𝐶 , 𝑦𝐶) = 0 og 𝜙𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴) = 1.

Athugum að fallið 𝜙𝐵 á 𝑇𝐴,𝐵,𝐶 , sem er skilgreint eins og 𝜙𝐵(𝑥𝐴, 𝑦𝐴) = 𝜙𝐵(𝑥𝐶 , 𝑦𝐶) = 0 og 𝜙𝐵(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵) = 1,er gefið með

𝜙𝐵(𝑥, 𝑦) = 1𝑑 ((𝑥𝐴 − 𝑥𝐶)𝑦 − (𝑦𝐴 − 𝑦𝐶)𝑥+ 𝑥𝐶𝑦𝐴 − 𝑥𝐴𝑦𝐶) . (8.15)

Það er hjálplegt að skoða einginleika fallanna 𝜙𝐴, af því að við ætlum að nota þá til þess að reikna út veikuframsetningu jaðargildisverkefnisins.

Eiginleikar þúfugrunnfallanna

Fyrst ætlum við að skoða eiginleika þúfugrunnfallanna sem við munum nota seinna. Við lítum á 𝜙𝐴 og 𝜙𝐵 semeru skilgreind á (8.14) og (8.15).

1. Stigull fallsins 𝜙𝐴 er gefinn með

∇𝜙𝐴(𝑥, 𝑦) =1

𝑑(−(𝑦𝐶 − 𝑦𝐵), (𝑥𝐶 − 𝑥𝐵)) .

2. Þá er eftirfarandi heildi gefið með



∫𝑇𝐴,𝐵,𝐶

∇𝜙𝐴 · ∇𝜙𝐴 𝑑𝑥𝑑𝑦 =1

2|𝑑|((𝑥𝐶 − 𝑥𝐵)2 + (𝑦𝐶 − 𝑦𝐵)2

).

3. Fyrir eftirfarandi heildi, fáum við∫𝑇𝐴,𝐵,𝐶

∇𝜙𝐴 · ∇𝜙𝐵 𝑑𝑥𝑑𝑦 =1

2|𝑑|(−(𝑥𝐵 − 𝑥𝐶)(𝑥𝐴 − 𝑥𝐶) − (𝑦𝐵 − 𝑦𝐶)(𝑦𝐴 − 𝑦𝐶)) .

4. Athugum að

𝜙𝐴(𝑀𝐶,𝐵,𝐶) = 𝜙𝐴

(13 (𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶), 13 (𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶)

)= 1

3 .

Ritháttur í kennslubókinni

Við getum notað sama rithátt og í kennslubókinni, þá skilgreinum við eftirfarandi hliðarvigra

l𝐴 = (𝑥𝐶 − 𝑥𝐵 , 𝑦𝐶 − 𝑦𝐵), l𝐵 = (𝑥𝐴 − 𝑥𝐶 , 𝑦𝐴 − 𝑦𝐶), l𝐶 = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴, 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴).

Við sjáum að hliðarvigrarnir liggja á mótlægum hliðum 𝑇𝐴,𝐵,𝐶 við hornpunkta númer 𝐴,𝐵 og 𝐶 miðað viðrangsælis umferðarstefnu eftir jaðrinum.

Við snúum hliðarvigrunum um 𝜋/2 réttsælis og þá fáum við

l𝑅𝐴 = (𝑦𝐶 − 𝑦𝐵 ,−𝑥𝐶 + 𝑥𝐵 , ), l𝑅𝐵 = (𝑦𝐴 − 𝑦𝐶 ,−𝑥𝐴 + 𝑥𝐶 , ), l𝑅𝐶 = (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴,−𝑥𝐵 + 𝑥𝐴, ).

Vigrarnir l𝑅𝐴, l𝑅𝐵 , l

𝑅𝐶 eru hornréttir á hliðarnar á móti hornum númer 𝐴,𝐵 og 𝐶 og snúa í stefnu ytri þvervigurs.

Sjáið mynd fyrir einingarþríhyrninginn 𝐸.

Hliðarvigrarnir l𝐴, l𝐵 , l𝐶 (rautt, blátt og grænt) til vinstri og vigrarnir l𝑅𝐴, l𝑅𝐵 , l

𝑅𝐶 til hægri (rautt, blátt og grænt).

Þá getum við notað hliðarvigrana til þess að skrifa niður eiginleika þúfugrunnfallanna, þ.e.

1. Stigull fallsins 𝜙𝐴 er gefinn með

∇𝜙𝐴(𝑥, 𝑦) = − l𝑅𝐴𝑑,

og líka fyrir föllin 𝜙𝐵 , 𝜙𝐶 ,

∇𝜙𝐵(𝑥, 𝑦) = − l𝑅𝐵𝑑, ∇𝜙𝐶(𝑥, 𝑦) = − l𝑅𝐶

𝑑.

2. Innfeldi stiglanna er gefið með

∇𝜙𝛼(𝑥, 𝑦) · ∇𝜙𝛽(𝑥, 𝑦) =l𝑅𝛼 · l𝑅𝛽𝑑2

=l𝛼 · l𝛽𝑑2

, 𝛼, 𝛽 = 𝐴,𝐵,𝐶.



8.5.3 Dirichlet-verkefni


Munið að við viljum finna lausn á eftirfarandi jaðargildisverkefni𝐿𝑢 = −∇ · (𝑝∇𝑢) + 𝑞𝑢 = 𝑓, á 𝐷𝑢 = 𝛾, á 𝜕𝐷 ,

þar sem 𝐷 er gefið með

𝐷 = (𝑥, 𝑦) ∈ R2, 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, 𝑐 < 𝑦 < 𝑑 .

Við gerum alltaf ráð fyrir að 𝑝 ∈ 𝐶1 og 𝑞, 𝑓 séu samfelld á ⊂ R2.

Við skiptum 𝐷 í þríhyrninga eins og í mynd að ofan og eins og við gerðum í 6.5.1.

Við táknum með

1. 𝑆 sammengi þríhyrninganna á svæðinu ,

2. 𝑄 mengi talna sem svara til punktanna á 𝜕𝐷 sem uppfylla Dirichlet jaðarskilyrði,

3. 𝑅 mengi talna sem svara til punktanna á 𝐷,

4. 𝑃 fjölda allra punkta, athugum að 𝑃 = (𝑁 + 1)(𝑀 + 1),

Við skilgreinum nálgunarfallið sem

𝑣(𝑥, 𝑦) =

𝑃∑𝛼=1

𝑐𝛼𝜙𝛼(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑆.

Athugum að 𝛼 = 1, . . . , 𝑃 og við notun vörpunina 𝛼 = 𝜎(𝑗, 𝑝) = 𝑗 + (𝑝− 1)(𝑁 + 1).

I. Innri punktar

Fyrir innri punkta þurfum við að finna nálgunarformúlur, og við notum veiku framsetninguna. Munið að veikaframsetningin er þá

⟨ℒ𝑢, 𝜙𝛽⟩ = ⟨𝑢, 𝜙𝛽⟩𝐿 = ⟨𝑓, 𝜙𝛽⟩, 𝛽 ∈ 𝑅.

Nú erum við búin og getum reiknað út veiku framsetninguna fyrir nálgunarfallið og 𝜙𝛽 með 𝛽 ∈ 𝑅.

Á vinstri hliðinni höfum við

⟨𝑣, 𝜙𝛽⟩𝐿 =

𝑃∑𝛼=1

𝑐𝛼

∫𝑆

(𝑝∇𝜙𝛼 · ∇𝜙𝛽 + 𝑞𝜙𝛼𝜙𝛽) 𝑑𝐴.



Á hægri hliðinni höfum við

⟨𝑓, 𝜙𝛽⟩ =

∫𝑆

𝑓𝜙𝛽𝑑𝐴.

Á fylkjaformi 𝐴c = b er

𝑎𝛽,𝛼 =

∫𝑆

(𝑝∇𝜙𝛼 · ∇𝜙𝛽 + 𝑞𝜙𝛼𝜙𝛽) 𝑑𝐴 ,

𝑏𝛽 =

∫𝑆

𝑓𝜙𝛽𝑑𝐴 .

Nú þurfum við að reikna út heildin að ofan. Við nálgum þau með því að nota reglu „miðpunktanna“, það þýðir aðfyrir sérhvert samfellt fall 𝜓 nálgum við heildi yfir þríyrning 𝑇𝐴,𝐵,𝐶 á eftirfarandi hátt∫

𝑇𝐴,𝐵,𝐶

𝜓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ≈ 𝜓(𝑥𝐴+𝑥𝐵+𝑥𝐶

3 , 𝑦𝐴+𝑦𝐵+𝑦𝐶

3

)𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑇𝐴,𝐵,𝐶) =

|𝑑|2𝜓(𝑀𝐴,𝐵,𝐶)

þar sem 𝑀𝐴,𝐵,𝐶 er massmiðja þríhyrningsins 𝑇𝐴,𝐵,𝐶 .

Við skoðum ýmsa liði.

1. Í 𝑏𝛽 höfum við ∫𝑆

𝑓𝜙𝛽𝑑𝐴 ≈∑𝑇𝛽

𝑓(𝑀(𝛽))|𝑑|6,

af því að 𝜙𝛽(𝑀(𝛽)) = 13 . Athugum að summan hér þýðir að við þurfum að summa bara yfir þríhyrninga sem hafa

punkt 𝛽 fyrir hornpunkt (munið skilgreinguna á þúfugrunnföllum).

2. Í 𝑏𝛽 og í 𝑎𝛽𝛼 höfum við∫𝑆

𝑝∇𝜙𝛼 · ∇𝜙𝛽𝑑𝐴 ≈∑𝑇𝛽

𝑝(𝑀(𝛽))l𝑅𝛼 · l𝑅𝛽2|𝑑|

=∑𝑇𝛽

𝑝(𝑀(𝛽))l𝛼 · l𝛽2|𝑑|

,

þar sem summan er yfir þríhyrninga sem hafa punkt 𝛽 fyrir hornpunkt. Munið að innfeldi ∇𝜙𝛼 · ∇𝜙𝛽 er ekki núllaðeins ef 𝛼 og 𝛽 eru tveir hornpunktar 𝑇𝛽 .

3. Í 𝑏𝛽 og í 𝑎𝛽𝛼 höfum við ∫𝑆

𝑞𝜙𝛼𝜙𝛽𝑑𝐴 ≈∑𝑇𝛽

𝑞(𝑀(𝛽))|𝑑|18,

af því að 𝜙𝛽(𝑀(𝛽)) = 13 . Aftur, við summun yfir þríhyrninga sem hafa punkt 𝛽 fyrir hornpunkt.

Í kennslubókinni er heildið að ofan nálgað á eftirfarandi hátt∫𝑇𝐴,𝐵,𝐶

𝜓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 ≈ |𝑑|6

(𝜓𝐴,𝐵 + 𝜓𝐵,𝐶 + 𝜓𝐶,𝐴

),

þar sem 𝜓 er samfellt fall, 𝜓𝐴,𝐵 , 𝜓𝐵,𝐶 og 𝜓𝐶,𝐴 tákna gildi fallsins 𝜓 í miðpunktum hliðanna 𝐴𝐵,𝐵𝐶 og 𝐶𝐴.

Af 2. og 3. leiðir að∫𝑆

(𝑝∇𝜙𝛼 · ∇𝜙𝛽 + 𝑞𝜙𝛼𝜙𝛽) 𝑑𝐴 ≈∑𝑇𝛽

(𝑝(𝑀(𝛽))

l𝛼 · l𝛽2|𝑑|

+ 𝑞(𝑀(𝛽))|𝑑|18

).

Í kennslubókinni er heildið að ofan nálgað á eftirfarandi hátt∫𝑆

(𝑝∇𝜙𝛼 · ∇𝜙𝛽 + 𝑞𝜙𝛼𝜙𝛽

)𝑑𝐴 ≈

∑𝑇𝛽

𝑝(𝑀(𝛽))

2|𝑑|l𝛼 · l𝛽 +

∑𝑇𝛽

112𝑞(𝑀(𝛽)) |𝑑|, 𝛼 = 𝛽,124𝑞(𝑀(𝛽)) |𝑑|, 𝛼 = 𝛽.



Að lokum, fáum við fyrir innri punktana

𝑎𝛽𝛼 =∑𝑇𝛽

(𝑝(𝑀(𝛽))


+ 𝑞(𝑀(𝛽))|𝑑|18

)

𝑏𝛽 =∑𝑇𝛽

𝑓(𝑀(𝛽))|𝑑|6

þar sem 𝛽 ∈ 𝑅, summan∑

𝑇𝛽þýðir að við þurfum að summa bara yfir þríhyrninga sem hafa punkt 𝛽 fyrir

hornpunkt, og innfeldi l𝛼 · l𝛽 er núll ef 𝛼 og 𝛽 eru ekki tveir hornpunktar 𝑇𝛽 .

2. Punktar á jaðrinum

Við þurfum að krefjast að 𝑣 uppfyllir Dirichlet-jaðarskylirði, þess vegna setjum við

𝑎𝛽𝛽 = 1 ,

𝑎𝛼𝛽 = 0 , ef 𝛼 = 𝛽

𝑏𝛽 = 𝛾(𝑥𝑗 , 𝑦𝑝) ,

fyrir 𝛽 ∈ 𝑄.

8.5.4 Sýnidæmi


Við lítum á Dirichlet jaðarskilyrði, þ.e. −∇2𝑢+ 𝑞𝑢 = 𝑓 𝐷

𝑢 = 𝛾 𝜕𝐷,

þar sem svæði 𝐷 er 𝐷 = (𝑥, 𝑦) ∈ R2 : 𝑥 ∈]𝑎, 𝑏[, 𝑦 ∈]𝑐, 𝑑[. Við notum net eins og á myndinni að ofan, einsog við gerðum í 6.5.1.

Hornpunktar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 14 og 15 eru í 𝜕𝐷1. Innri punktar eru 7,8 og 9.

Skoðum 𝛽 = 8. Það eru 6 þríhyrningar sem hafa 𝛽 = 8 fyrir hornpunkt. Það þýðir að þegar við reiknum 𝑎𝛽=8,𝛼,eru einu stök fylkisins sem eru ekki núll þau sem hafa 𝛼 = 7, 3, 4, 9, 13, 12.



Þegar við skiptum bilinu í jafna hluta, eins og við gerðum í 6.5.1, þá er

𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑇 ) =|𝑑|2

=ℎ𝑘

2,

og ∫𝑆

∇𝜑𝛽 · ∇𝜑𝛽𝑑𝐴 =1

2ℎ𝑘

(2ℎ2 + 2𝑘2 + 2(𝑘2 + ℎ2)

)=

2

ℎ𝑘

(𝑘2 + ℎ2

),

∫𝑆

𝑞𝜑𝛽𝜑𝛽𝑑𝐴 =ℎ𝑘

18(𝑞(𝑀1) + 𝑞(𝑀2) + 𝑞(𝑀3) + 𝑞(𝑀4) + 𝑞(𝑀5) + 𝑞(𝑀6)) ,

þar sem 𝑀𝑖 eru miðjupunktar fyrir 6 þríhyrninga sem hafa 𝛽 fyrir hornpunkt.

Þetta gefur fyrir 𝛽 = 8

𝑎𝛽,𝛽 = 2ℎ𝑘 (𝑘2 + ℎ2) +

ℎ𝑘

18(𝑞(𝑀1) + 𝑞(𝑀2) + 𝑞(𝑀3) + 𝑞(𝑀4) + 𝑞(𝑀5) + 𝑞(𝑀6)) .

Fyrir 𝛼 = 𝛽 = 8, fáum við

1. ∫𝑆

∇𝜑𝛼 · ∇𝜑𝛽𝑑𝐴 = 0 𝛼 = 4, 12

af því að hliðarvigrarnir l𝛼, l𝛽 eru hornréttir. Ennfremur höfum við∫𝑆

𝑞𝜑𝛼𝜑𝛽𝑑𝐴 =ℎ𝑘

18(𝑞(𝑀2(5)) + 𝑞(𝑀3(6))) 𝛼 = 4, 12,

og það gefur

𝑎𝛽,𝛼 =ℎ𝑘

18(𝑞(𝑀2(5)) + 𝑞(𝑀3(6))) með 𝛼 = 𝜎(𝑗 + 1, 𝑝− 1), 𝛼 = 𝜎(𝑗 − 1, 𝑝+ 1).

Athugum að við notum 𝛽 = 𝜎(𝑗, 𝑝).

2. ∫𝑆

∇𝜑𝛼 · ∇𝜑𝛽𝑑𝐴 = − ℎ2

2ℎ𝑘2 = −ℎ

𝑘𝛼 = 3, 13,

af því að hliðarvigurinn l𝛼 er láréttur, og það eru tveir þríhyrningar sem hafa 𝛼, 𝛽 fyrir hornpunkta.

Ennfremur höfum við ∫𝑆


18(𝑞(𝑀1(4)) + 𝑞(𝑀2(5))) 𝛼 = 3, 13,

og það gefur

𝑎𝛽,𝛼 = −ℎ𝑘

+ℎ𝑘

18(𝑞(𝑀1(4)) + 𝑞(𝑀2(5))) með 𝛼 = 𝜎(𝑗, 𝑝− 1), 𝛼 = 𝜎(𝑗, 𝑝+ 1).

3. ∫𝑆

∇𝜑𝛼 · ∇𝜑𝛽𝑑𝐴 = − 𝑘2

2ℎ𝑘2 = −𝑘

ℎ𝛼 = 7, 9,

af því að hliðarvigurinn l𝛼 er lóðréttur, og það eru tveir þríhyrningar sem hafa 𝛼, 𝛽 fyrir hornpunkta.



18(𝑞(𝑀6(4)) + 𝑞(𝑀1(3))) 𝛼 = 7, 9,

og það gefur

𝑎𝛽,𝛼 = −𝑘ℎ

+ℎ𝑘

18(𝑞(𝑀6(4)) + 𝑞(𝑀1(3))) með 𝛼 = 𝜎(𝑗 − 1, 𝑝), 𝛼 = 𝜎(𝑗 + 1, 𝑝).



Skoðum vigurinn b, þá er

𝑏𝛽 = ⟨𝑓, 𝜙𝛽⟩ =ℎ𝑘

6(𝑓(𝑀1) + 𝑓(𝑀2) + 𝑓(𝑀3) + 𝑓(𝑀4) + 𝑓(𝑀5) + 𝑓(𝑀6)) .

Við þurfum að endurtaka aðferðina fyrir 𝛽 = 7, 8, 9.

Fyrir jaðarpunkta þurfum við að setja

𝑎𝛽,𝛽 = 1, 𝑏𝛽 = 𝛾(𝑥𝑗 , 𝑦𝑝),

þar sem 𝛽 = 𝜎(𝑗, 𝑝).

8.5.5 Jaðargildisverkefni með Neumann jaðarskilyrðum


Við viljum finna lausn á eftirfarandi jaðargildisverkefni⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩𝐿𝑢 = −∇ · (𝑝∇𝑢) + 𝑞𝑢 = 𝑓, á 𝐷𝑢 = 𝛾, á 𝜕𝐷1,𝜕𝑢

𝜕𝑛= 0, á 𝜕𝐷2,

þar sem


og 𝜕𝐷 = 𝜕1𝐷 ∪ 𝜕2𝐷 (munið 5.3). Við gerum alltaf ráð fyrir að 𝑝 ∈ 𝐶1 og 𝑞, 𝑓 séu samfelld á ⊂ R2.

Ennfremur, 𝐷 er 𝐷 = (𝑥, 𝑦) ∈ R2 : 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, 𝑐 < 𝑦 < 𝑑. Við notum net eins og á myndinni að ofan, einsog við gerðum í 6.5.1.

Við táknum með


2. 𝑄 mengi talna sem svara til punktanna á 𝜕𝐷1 sem uppfylla Dirichlet jaðarskilyrði,

3. 𝑅 mengi talna sem svara til punktanna á 𝜕𝐷2 ∪𝐷,



𝑣(𝑥, 𝑦) =

𝑃∑𝛼=1

𝑐𝛼𝜙𝛼(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑆.



Munið að 𝛼 = 𝜎(𝑗, 𝑝) = 𝑗 + (𝑁 + 1)(𝑝− 1).

Við þurfum að finna nálgunarformúlur, eins og áður viljum við nota veiku framsetninguna. Athugum að við ætlumað nota veiku framsetninguna eins og í 6.5.3.

Þá gildir fyrir 𝜙𝛽 með 𝛽 ∈ 𝑅

⟨ℒ𝑢, 𝜙𝛽⟩ = ⟨𝑢, 𝜙𝛽⟩𝐿 = ⟨𝑓, 𝜙𝛽⟩, 𝛽 ∈ 𝑅.

Nú erum við búin og getum reiknað út veiku framsetninguna fyrir nálgunarfallið og 𝜙𝛽 með 𝛽 ∈ 𝑅. Við nálgunheildi eins og í 6.5.3.

Skoðum

1. Innri punkta og punkta á 𝜕𝐷2

Við getum notað niðurstöður úr kafla 6.5.3. Þá er

𝑎𝛽𝛼 =∑𝑇𝛽

(𝑝(𝑀(𝛽))


+ 𝑞(𝑀(𝛽))|𝑑|18

)

𝑏𝛽 =∑𝑇𝛽

𝑓(𝑀(𝛽))|𝑑|6

þar sem 𝛽 ∈ 𝑅, summan∑

𝑇𝛽þýðir að við þurfum að summa bara yfir þríhyrninga sem hafa punkt 𝛽 fyrir

hornpunkt, og innfeldi l𝛼 · l𝛽 er núll ef 𝛼 og 𝛽 eru ekki tveir hornpunktar 𝑇𝛽 .

Athugið að mismunurinn á innri punktunum og punktunum á 𝜕𝐷2 er í fjölda þríhyrninga sem hafa punkt 𝛽 fyrirhornpunkt. Ef 𝛽 er á 𝜕𝐷2, þá höfum við aðeins þrjá þríhyrninga sem hafa punkt 𝛽 fyrir hornpunkt (en ekki sexþríhyrninga eins og fyrir innri punkta).

2. Punktar á 𝜕𝐷1

Eins og áður höfum við

𝑎𝛽𝛽 = 1 ,

𝑎𝛼𝛽 = 0 , ef 𝛼 = 𝛽

𝑏𝛽 = 𝛾(𝑥𝑗 , 𝑦𝑝) ,

fyrir 𝛽 ∈ 𝑄.



8.5.6 Sýnidæmi


Lítum á eftirfarandi jaðagildisverkefni⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩𝐿𝑢 = −∇ · ∇𝑢+ 𝑞𝑢 = 𝑓, á 𝐷𝑢 = 𝛾, á 𝜕𝐷1,𝜕𝑢

𝜕𝑛= 0, á 𝜕𝐷2,

þar sem

𝐷 = (𝑥, 𝑦) ∈ R2, 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, 𝑐 < 𝑦 < 𝑑 ,

𝜕𝐷1 = (𝑥, 𝑦) ∈ R2, (𝑎, 𝑦), 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 ∪ (𝑥, 𝑦) ∈ R2, (𝑏, 𝑦), 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 ,

𝜕𝐷2 = 𝜕𝐷 ∖ 𝜕𝐷1 .

og 𝑞, 𝑓 séu samfelld á ⊂ R2. Við skiptum 𝐷 í þríhyrninga eins og í mynd að ofan og eins og við gerðum í6.5.1.

Hornpunktar 1, 6, 11 og 5, 10, 15 eru í 𝜕𝐷1. Innri punktar eru 7, 8 og 9. Hornpunktar 2, 3, 4 og 12, 13, 14 eru í𝜕𝐷2.

1. Innri punktar.

Fyrir innri punkta fáum við niðurstödur eins og í sýnidæmi.

2. Punktar á 𝜕𝐷2.

Skoðum 𝛽 = 3 (sjáið mynd að ofan). Það eru 3 þríhyrningar sem hafa 𝛽 = 3 fyrir hornpunkt. Það þýðir að þegarvið reiknum 𝑎𝛽=3,𝛼, eru einu stök fylkisins sem eru ekki núll þau sem hafa 𝛼 = 2, 3, 4, 7, 8.

2a. Ef 𝛼 = 3:

𝑎𝛽,𝛽 = 12ℎ𝑘 (𝑘2 + ℎ2 + 𝑘2 + ℎ2) +

ℎ𝑘

18(𝑞(𝑀1) + 𝑞(𝑀2) + 𝑞(𝑀3))

= 𝑘2+ℎ2

ℎ𝑘 +ℎ𝑘

18(𝑞(𝑀1) + 𝑞(𝑀2) + 𝑞(𝑀3)) .

Fyrir 𝛼 = 𝛽 = 3, fáum við



2b. Ef 𝛼 = 2, 4: ∫𝑆

∇𝜑𝛼 · ∇𝜑𝛽𝑑𝐴 = − 𝑘2

2ℎ𝑘 𝛼 = 2, 4,

af því að hliðarvigurinn l𝛽 er lóðréttur, og það er einn þríhyrningur sem hefur 𝛼, 𝛽 fyrir hornpunkta.∫𝑆


18𝑞(𝑀1(3)) 𝛼 = 2, 4,

og það gefur

𝑎𝛽,𝛼 = − 𝑘2ℎ +

ℎ𝑘

18𝑞(𝑀1(3)) með 𝛼 = 𝜎(𝑗 − 1, 𝑝), 𝛼 = 𝜎(𝑗 + 1, 𝑝).

Athugum að við notum 𝛽 = 𝜎(𝑗, 𝑝).

2c. Ef 𝛼 = 8: ∫𝑆

∇𝜑𝛼 · ∇𝜑𝛽𝑑𝐴 = − ℎ2

2ℎ𝑘2 = −ℎ

𝑘𝛼 = 8,

Athugið að það eru tveir þríhyrningar sem hafa 𝛼, 𝛽 fyrir hornpunkta.



18(𝑞(𝑀2) + 𝑞(𝑀3)) 𝛼 = 8,

og það gefur

𝑎𝛽,𝛼 = −ℎ𝑘

+ℎ𝑘

18(𝑞(𝑀2)) + 𝑞(𝑀3)) með 𝛼 = 𝜎(𝑗, 𝑝+ 1).

2d. Ef 𝛼 = 7: ∫𝑆

∇𝜑𝛼 · ∇𝜑𝛽𝑑𝐴 = 0 með 𝛼 = 7,

af því að hliðarvigrarnir l𝛼 og l𝛽 eru hornréttir.



18(𝑞(𝑀1) + 𝑞(𝑀2)) 𝛼 = 7

af því að það eru tveir þríhyrningar sem hafa 𝛼, 𝛽 fyrir hornpunkta,

og það gefur

𝑎𝛽,𝛼 =ℎ𝑘

18(𝑞(𝑀1) + 𝑞(𝑀2)) með 𝛼 = 𝜎(𝑗 − 1, 𝑝+ 1).

Skoðum vigurinn b, þá er

𝑏𝛽 = ⟨𝑓, 𝜙𝛽⟩ =ℎ𝑘

6(𝑓(𝑀1) + 𝑓(𝑀2) + 𝑓(𝑀3)) .

Við þurfum að endurtaka aðferðina fyrir 𝛽 = 2, 3, 4.

3. Fyrir jaðarpunkta á 𝜕𝐷1 þurfum við að setja

𝑎𝛽,𝛽 = 1, 𝑏𝛽 = 𝛾(𝑥𝑗 , 𝑦𝑝),

þar sem 𝛽 = 𝜎(𝑗, 𝑝).



8.5.7 Jaðargildisverkefni með almennum jaðarskilyrðum eins og kennslubók-inni


Munið að við viljum finna lausn á eftirfarandi jaðargildisverkefni⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩𝐿𝑢 = −∇ · (𝑝∇𝑢) + 𝑞𝑢 = 𝑓, á 𝐷𝑢 = 𝛾

𝛼 , á 𝜕𝐷1,


𝜕𝑛= 𝛾, á 𝜕𝐷2,

þar sem


og 𝜕𝐷 = 𝜕1𝐷 ∪ 𝜕2𝐷 (munið 5.3). Við gerum alltaf ráð fyrir að 𝑝 ∈ 𝐶1 og 𝑞, 𝑓 séu samfelld á ⊂ R2.

Við táknum með


2. 𝑄 mengi talna sem svara til punktanna á 𝜕𝐷1 sem uppfylla Dirichlet jaðarskilyrði,

3. 𝑅 mengi talna sem svara til punktanna á 𝜕𝐷2 ∪𝐷,


5. 𝜕𝑆1 sammengi línustrika sem tengja hornpunkta á 𝜕𝐷1 (athugum að ef t.d. er rétthyrningur, þá er𝜕𝑆1 = 𝜕𝐷1)

6. 𝜕𝑆2 sammengi línustrika sem nálga 𝜕𝐷2.


𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝜓0(𝑥, 𝑦) +∑𝛼∈𝑅

𝑐𝛼𝜙𝛼(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑆.

Við veljum fallið 𝜓0 þ.a. það hefur gildi 𝛾𝛼 á jaðrinum 𝜕𝐷1, þá er

𝜓0(𝑥, 𝑦) =∑𝛼∈𝑄

𝛾𝛼𝛼𝛼

𝜙𝛼(𝑥, 𝑦),

þar sem við höfum táknað 𝛾(𝑥𝑖, 𝑦𝑗) með 𝛾𝛼 og munið að 𝛼 = 𝜎(𝑖, 𝑗) = 𝑖 + (𝑁 + 1)(𝑗 − 1) og (𝑥𝑖, 𝑦𝑗) ∈ 𝜕𝐷1.Athugum að 𝛾𝛼

𝛼𝛼er bara rauntala.



Þá gildir fyrir 𝜙𝛽 með 𝛽 ∈ 𝑅

⟨ℒ𝑢, 𝜙𝛽⟩ = ⟨𝑢, 𝜙𝛽⟩𝐿 −∫𝜕𝑆2

𝑝𝜕𝑢

𝜕𝑛𝜙𝛽𝑑𝑠 = ⟨𝑢, 𝜙𝛽⟩𝐿 +

∫𝜕𝑆2

𝑝𝛼

𝛽𝑢𝜙𝛽𝑑𝑠−

∫𝜕𝑆2

𝑝𝛾

𝛽𝜙𝛽𝑑𝑠.

Veika framsetningin er þá

⟨𝑢, 𝜙𝛽⟩𝐿 +

∫𝜕𝑆2

𝑝𝛼

𝛽𝑢𝜙𝛽𝑑𝑠 = ⟨𝑓, 𝜙𝛽⟩ +

∫𝜕𝑆2

𝑝𝛾

𝛽𝜙𝛽𝑑𝑠, 𝛽 ∈ 𝑅.

Nú erum við búin og getum reiknað út veiku framsetninguna fyrir nálgunarfallið og 𝜙𝛽 með 𝛽 ∈ 𝑅.

Á vinstri hliðinni höfum við

⟨𝑣, 𝜙𝛽⟩𝐿 =∑𝛼∈𝑅

𝑐𝛼

∫𝑆

(𝑝∇𝜙𝛼 · ∇𝜙𝛽 + 𝑞𝜙𝛼𝜙𝛽) 𝑑𝐴+∑𝛼∈𝑄

𝛾𝛼𝛼𝛼

∫𝑆

(𝑝∇𝜙𝛼 · ∇𝜙𝛽 + 𝑞𝜙𝛼𝜙𝛽) 𝑑𝐴,

∫𝜕𝑆2

𝑝𝛼

𝛽𝑣𝜙𝛽𝑑𝑠 =

∑𝛼∈𝑅

𝑐𝛼

∫𝜕𝑆2

𝑝𝛼

𝛽𝜙𝛼𝜙𝛽𝑑𝑠+

∑𝛼∈𝑄

𝛾𝛼𝛼𝛼

∫𝜕𝑆2

𝑝𝛼

𝛽𝜙𝛼𝜙𝛽𝑑𝑠 .

Á hægri hliðinni höfum við

⟨𝑓, 𝜙𝛽⟩ =

∫𝑆

𝑓𝜙𝛽𝑑𝐴

∫𝜕𝑆2

𝑝𝛾

𝛽𝜙𝛽𝑑𝑠 .

Á fylkjaformi 𝐴c = b er

𝑎𝛽,𝛼 =

∫𝑆

(𝑝∇𝜙𝛼 · ∇𝜙𝛽 + 𝑞𝜙𝛼𝜙𝛽) 𝑑𝐴+

∫𝜕𝑆2

𝑝𝛼

𝛽𝜙𝛼𝜙𝛽𝑑𝑠,

𝑏𝛽 =

∫𝑆

𝑓𝜙𝛽𝑑𝐴+

∫𝜕𝑆2

𝑝𝛾

𝛽𝜙𝛽𝑑𝑠−

∑𝛼∈𝑄

𝛾𝛼𝛼𝛼

(∫𝑆

(𝑝∇𝜙𝛼 · ∇𝜙𝛽 + 𝑞𝜙𝛼𝜙𝛽) 𝑑𝐴+

∫𝜕𝑆2

𝑝𝛼

𝛽𝜙𝛼𝜙𝛽𝑑𝑠

).

Nú þurfum við að reikna út heildin að ofan. Við nálgum þau með því að nota reglu „miðpunktanna“, það þýðir aðfyrir sérhvert samfellt fall 𝜓 nálgum við heildi yfir þríyrning 𝑇𝐴,𝐵,𝐶 á eftirfarandi hátt∫

𝑇𝐴,𝐵,𝐶

𝜓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ≈ 𝜓(𝑥𝐴+𝑥𝐵+𝑥𝐶

3 , 𝑦𝐴+𝑦𝐵+𝑦𝐶

3

)𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑇𝐴,𝐵,𝐶) =

|𝑑|2𝜓(𝑀𝐴,𝐵,𝐶)

þar sem 𝑀𝐴,𝐵,𝐶 er massmiðja þríhyrningsins 𝑇𝐴,𝐵,𝐶 .

Við skoðum ýmsa liði.

1. Í 𝑏𝛽 höfum við ∫𝑆

𝑓𝜙𝛽𝑑𝐴 ≈∑𝑇𝛽

𝑓(𝑀(𝛽))|𝑑|6,

af því að 𝜙𝛽(𝑀(𝛽)) = 13 . Athugum að summan hér þýðir að við þurfum að summa bara yfir þríhyrninga sem hafa

punkt 𝛽 fyrir hornpunkt (munið skilgreinguna á þúfugrunnföllum).

2. Í 𝑏𝛽 og í 𝑎𝛽𝛼 höfum við∫𝑆

𝑝∇𝜙𝛼 · ∇𝜙𝛽𝑑𝐴 ≈∑𝑇𝛽

𝑝(𝑀(𝛽))l𝑅𝛼 · l𝑅𝛽2|𝑑|

=∑𝑇𝛽

𝑝(𝑀(𝛽))l𝛼 · l𝛽2|𝑑|

,

þar sem summan er yfir þríhyrninga sem hafa punkt 𝛽 fyrir hornpunkt. Munið að innfeldi ∇𝜙𝛼 · ∇𝜙𝛽 er ekki núllaðeins ef 𝛼 og 𝛽 eru tveir hornpunktar 𝑇𝛽 .



3. Í 𝑏𝛽 og í 𝑎𝛽𝛼 höfum við ∫𝑆

𝑞𝜙𝛼𝜙𝛽𝑑𝐴 ≈∑𝑇𝛽

𝑞(𝑀(𝛽))|𝑑|18,

af því að 𝜙𝛽(𝑀(𝛽)) = 13 . Aftur, við summun yfir þríhyrninga sem hafa punkt 𝛽 fyrir hornpunkt.

Í kennslubókinni er heildið að ofan nálgað á eftirfarandi hátt∫𝑇𝐴,𝐵,𝐶

𝜓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 ≈ |𝑑|6

(𝜓𝐴,𝐵 + 𝜓𝐵,𝐶 + 𝜓𝐶,𝐴

),

þar sem 𝜓 er samfellt fall, 𝜓𝐴,𝐵 , 𝜓𝐵,𝐶 og 𝜓𝐶,𝐴 tákna gildi fallsins 𝜓 í miðpunktum hliðanna 𝐴𝐵,𝐵𝐶 og 𝐶𝐴.

Af 2. og 3. leiðir að∫𝑆

(𝑝∇𝜙𝛼 · ∇𝜙𝛽 + 𝑞𝜙𝛼𝜙𝛽) 𝑑𝐴 ≈∑𝑇𝛽

(𝑝(𝑀(𝛽))


+ 𝑞(𝑀(𝛽))|𝑑|18

).

Í kennslubókinni er heildið að ofan nálgað á eftirfarandi hátt∫𝑆

(𝑝∇𝜙𝛼 · ∇𝜙𝛽 + 𝑞𝜙𝛼𝜙𝛽

)𝑑𝐴 ≈

∑𝑇𝛽

𝑝(𝑀(𝛽))

2|𝑑|l𝛼 · l𝛽 +

∑𝑇𝛽

112𝑞(𝑀(𝛽)) |𝑑|, 𝛼 = 𝛽,124𝑞(𝑀(𝛽)) |𝑑|, 𝛼 = 𝛽.

4. Í síðasta skrefi þurfum við að nálga jaðarheildin yfir 𝜕𝑆2 í veiku framsetningunni. Við notum reglu Simp-sons, sem segir að ∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 ≈ 16

(𝑓(𝑎) + 4𝑓( 1

2 (𝑎+ 𝑏)) + 𝑓(𝑏))(𝑏− 𝑎)

Við táknum opna línustrikið sem liggur í 𝜕𝑆2 milli punkta𝐴 og𝐵 með 𝑆𝐴,𝐵 , lengd þess með |𝑆𝐴,𝐵 |, og miðpunktþess með 𝑚𝐴,𝐵 .

Athugum að

𝜙𝐴(𝑚𝐴,𝐵) = 𝜙𝐵(𝑚𝐴,𝐵) = 12 𝜙𝐶(𝑚𝐴,𝐵) = 0.

Þá fáum við ∫𝑆𝐴,𝐵

𝜓 𝜙2𝛼 𝑑𝑠 ≈ 1

6

(𝜓(𝑥𝛼, 𝑦𝛼) + 𝜓(𝑚𝐴,𝐵)

)|𝑆𝐴,𝐵 |, 𝛼 = 𝐴,𝐵,∫

𝑆𝐴,𝐵

𝜓 𝜙𝐴𝜙𝐵 𝑑𝑠 ≈ 16𝜓(𝑚𝐴,𝐵)|𝑆𝐴,𝐵 |,∫

𝑆𝐴,𝐵

𝜓 𝜙𝛼 𝑑𝑠 ≈ 16

(𝜓(𝑥𝛼, 𝑦𝛼) + 2𝜓(𝑚𝐴,𝐵)

)|𝑆𝐴,𝐵 | 𝛼 = 𝐴,𝐵.

Að lokum fáum við fyrir jaðarheildin∫𝑆𝐴,𝐵

𝑝𝛼

𝛽𝜙2𝛼 𝑑𝑠 ≈

1

6

(𝑝(𝑥𝛼, 𝑦𝛼)

𝛼(𝑥𝛼, 𝑦𝛼)

𝛽(𝑥𝛼, 𝑦𝛼)+ 𝑝(𝑚𝐴,𝐵)

𝛼(𝑥𝐴, 𝑦𝐴) + 𝛼(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵)

𝛽(𝑥𝐴, 𝑦𝐴) + 𝛽(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵)

)|𝑆𝐴,𝐵 |, 𝛼 = 𝐴,𝐵.

∫𝑆𝐴,𝐵

𝑝𝛼

𝛽𝜙𝐴𝜙𝐵 𝑑𝑠 ≈

1

6𝑝(𝑚𝐴,𝐵)

𝛼(𝑥𝐴, 𝑦𝐴) + 𝛼(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵)

𝛽(𝑥𝐴, 𝑦𝐴) + 𝛽(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵)|𝑆𝐴,𝐵 |.∫

𝑆𝐴,𝐵

𝑝𝛾

𝛽𝜙𝛼 𝑑𝑠 ≈

1

6

(𝑝(𝑥𝛼, 𝑦𝛼)

𝛾(𝑥𝛼, 𝑦𝛼)

𝛽(𝑥𝛼, 𝑦𝛼)+ 2𝑝(𝑚𝐴,𝐵)

𝛾(𝑥𝐴, 𝑦𝐴) + 𝛾(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵)

𝛽(𝑥𝐴, 𝑦𝐴) + 𝛽(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵)

)|𝑆𝐴,𝐵 |, 𝑗 = 𝐴,𝐵.

Til þess að reikna út jaðarheildi yfir 𝜕𝑆2 þurfum við að summa yfir öll línustrikin sem liggja í 𝜕𝑆2.


KAFLI 9

Viðauki

9.1 Kennsluáætlun

Með fyrirvara um smávægilegar breytingar. Engir dæmatímar eða vinnustofur eru í fyrstu viku.

Dagsetning Efni Lesefni11.01.21.

1. Dæmi um hlutafleiðujöfnur íeðlisfræði.

11.1-11.2.

13.01.21. 2. Hliðarskilyrði. Vel framsettverkefni. Fyrsta stigs jöfnur.

11.3-11.4,12.1-12.3.

18.01.21.3. Fourier-raðir.

13.1-13.3.

20.01.21.4. Samleitni Fourier-raða.

13.4-13.6.

22.01.21. Skiladæmi 1.25.01.21. 5. Úrlausn hlutafleiðujafa með

Fourier-röðum.13.7-13.8.

27.01.21. 6. Eigingildisverkefni. Aðskilnað-ur breytistærða.

14.1-14.3

29.01.21. Skiladæmi 2.01.02.21.

7. Virkjar af Sturm-Liouville-gerð.

14.4-14.7

03.02.21. 8. Úrlausn hlutafleiðujafa með eig-infallaröðum.

15.1-4.

05.02.21. Skiladæmi 3.08.02.21. 9. Áfram um eigingildisverkefni -

aðskilnaður breytistærða.15.5-7

Framhald á næstu síðu

101


Tafla 1 – framhald frá fyrri síðuDagsetning Efni Lesefni10.02.21. 10. Fourier-ummyndun. Reikni-

reglur. Plancerel-jafnan.16.1-2.

12.02.21. Skiladæmi 4.15.02.21. 11. Andhverfuformúla Fouriers.

Afleiðujöfnur.16.3-6

17.02.21. 12. Úrlausn hlutafleiðajafa meðFourier-ummyndun.

18.1-4,19.1-2

Ákveðið síðar Próf 122.02.21.

13. Fourier-ummyndun og leifa-reikningur.

16.7

24.02.21.14. Laplace-ummyndun og

leifareikningur.

16.8-9.

26.02.21. Skiladæmi 5.01.03.21.

15. Fourier-ummyndun.Laplace-ummyndun.

16.7-9.

03.03.21. 16. Mismunaaðferð fyrir venjuleg-ar afleiðujöfnur.

21.1-2.

05.03.21. Skiladæmi 6.08.03.21.

17. Heildun yfir hlutbil.21.3.

10.03.21. 18. Mismunaaðferð fyrir hlutaaf-leiðujöfnur.

21.5.

12.03.21. Skiladæmi 7.15.03.21. 19. Almenn mismunaaðferð á rétt-

hyrningi.21.6.

17.03.21. 20. Hlutheildun, innfeldi og tví-línulegt form.

22.1-2.

19.03.21. Skiladæmi 8.22.03.21. 21. Aðferð Galerkins fyrir

Dirichlet-verkefnið.22.3.

24.03.21. 22.Bútaaðferð í einni vídd. 22.5Ákveðið síðar Próf 229.03.21. 23. Aðferð Galerkins með almenn-

um jaðarskilyrðum.22.4.

Umræður um heimaverkefni31.03.21. 24. Aðferð Galerkins með almenn-

um jaðarskilyrðum.22.4

Umræður um heimaverkefni05.04.21.

25. Bútaaðferð í tveimur vídd-um.

22.6.

07.04.21.26. Bútaaðferð í tveimur vídd-

um.

22.6.

Framhald á næstu síðu

102 Kafli 9. Viðauki


Tafla 1 – framhald frá fyrri síðuDagsetning Efni Lesefni12.04.21.

27. Dæmatími

14.04.21. 28. Upprifjun og undirbúningurfyrir Próf. Valin prófdæmi.

16.04.21. Skil á heimaverkefni

Í dálkinum Lesefni er vísað í kennslubók Ragnars Sigurðssonar.

• genindex

• Pdf-útgáfa

9.1. Kennsluáætlun 103

notendur.hi.is · Efnisyﬁrlit 1 Formáli 1 2 Gagnlegar upplýsingar 3 2.1 Námsefnið. . . . . ....

Documents

Transcript of notendur.hi.is · Efnisyﬁrlit 1 Formáli 1 2 Gagnlegar upplýsingar 3 2.1 Námsefnið. . . . . ....