実解析学シンポジウム - Osaka Kyoiku...

実解析学シンポジウム

2002 鹿児島

於鹿児島大学稲盛会館

平成 14 年 11 月 7 日～ 11 月 9 日

「平成 14 年度科学研究費補助金基盤 (B)(1)(一般) 　　　　　課題番号 14340051 (研究代表者宮地晶彦)」の援助による　「平成 14 年度科学研究費補助金基盤 (C)(1)(企画調査) 　　　課題番号 14604007 (研究代表者河添健）」の調査対象となる

実解析学シンポジウム 2002 目次

黒川隆英（鹿児島大理）高次Riesz変換の種々の定義について - - - - - - - - - - 1

岡本茂雄（大阪教育大教育附属高校池田校舎附属天王寺中学非常勤講師）中井英一（大阪教育大教育）Tangential boundary behavior of the Poisson integrals of functions in thepotential space with the Orlicz norm - - - - - - - - - - 11

越昭三（北大名誉教授）Convex sets and ordered linear space - - - - - - - - - - 21

大久保幸夫（鹿児島国際大経済）後藤和雄（鳥取大教育地域科学)ある種の指数和と差異の評価について - - - - - - - - - - 31

高橋泰嗣（岡山県立大情報工）加藤幹雄（九工大工）Schaeffer type constant and uniform normal structure for Banachspaces - - - - - - - - - - 41

井上昭彦（北大理）Prediction of fractional Brownian motion with Hurst index less than 1/2

- - - - - - - - - - 51

和泉澤正隆（東海大理）Norm Inequality for Operators of Matrix Type on Tangent or SubordinateMartingale Difference Sequences - - - - - - - - - - 61

三浦毅（山形大工）宮島静雄（東京理大）高橋眞映（山形大工）線形微分作用素の Hyers-Ulam stability - - - - - - - - - - 71

松岡勝男（日大経済）sharp 関数と Banach 空間 Bp

0 - - - - - - - - - - 81

平澤剛（非常勤講師）A topology for semiclosed operators in Hilbert space - - - - - - - - - - 91

春日龍郎（熊本電波高専）酒井良二（愛知県立足助高校）GENERAL FREUD-TYPE WEIGHTS を持つ直交多項式と高次のHERMITE-FEJER INTERPOLATION POLYNOMIALS - - - - - - - - 101

丹羽（旧姓：久保）美由紀（奈良女大人間文化研究科D3）Lorentz-Zygmund 空間上の補間定理 - - - - - - - - - - 111

i

尾形尚子（神戸学院大薬非常勤講師）小島浩文（新日鉄ソリューソンズ株式会社）Fourier級数の絶対収束性と連続率について - - - - - - - - - - 121

宮本孝志（神戸学院大薬非常勤講師）On sine and cosine series with quasi-monotone cofficients and generalizedLorentz-Zygmund spaces - - - - - - - - - - 131

笠原雪夫（東大工）連続時間の Szego直交多項式と偏相関関数について - - - - - - - - - - 141

立澤一哉（北大理）A generalization of Birman-Solomyak’s theorem - - - - - - - - - - 151

冨田直人（阪大理学研究科D1）Multiresolution Approximation in Weighted Lp spaces - - - - - - - - - - 161

高木悟（早大理工学研究科D3）On Renormalized Solutions for Nonlinear Degenerate Problems - - - - - 171

堀内利郎（茨城大理）On the minimal solution for quasilinear degenerate elliptic equation and itsblow-up - - - - - - - - - - 181

Amiran Gogatishvili（チェコ科学アカデミー数学研究所，岡山大教育）Integral operators defined on non-homogeneous spaces - - - - - - - - - - 191

今井淳（京大情報学研究科）川崎泰裕（ NTT DoCoMo 九州）佐藤坦（九大数理）Sierpinski gasket 上の Martin 距離の Lipschitz 同値性 - - - - - - - - - - 201

柳研二郎（山口大工）連続時間ガウス型通信路の容量の性質について - - - - - - - - - - 211

中村昭宏（東海大開発工）複素指数関数系の BASIS PROPERTY - - - - - - - - - - 221

米田薫（阪府大総合科）三角級数とある測度 - - - - - - - - - - 231

張雲峰（東北大情報科学研究科D3）ハーディー空間を特徴づける最大関数の積分可能性について - - - - - - - 241

実解析学シンポジウム 2002 プログラム - - - - - - - - - - 251

実解析学シンポジウム 2002 参加者名簿 - - - - - - - - - - 254

記録はすべて著者の原稿をそのまま掲載しました

ii

　

高次 Riesz 変換の種々の定義について黒川隆英（鹿児島大学理学部）

実解析学シンポジウム 2002

2002.11.7～9　鹿児島大学

1. Definitions of higher Riesz transforms

A function k(x) on Rn is called a smooth Calderon-Zygmund kernel if k(x) satisfies

the following three conditions:

(1) k(x) ∈ C∞(Rn − 0),(2) k(x) is homogeneous of degree − n,

(3)∫S1

k(x)dS1(x) = 0

where S1 is the unit sphere |x| = 1 and dS1 is the surface element of S1. For a

smooth Calderon-Zygmund kernel k(x) we consider singular integral

Kf(x) = limε→0

∫|x−y|≥ε

k(x − y)f(y)dy.

By the L2-theory of singular integrals [Sad: §2 in Chap. 6] we have

Proposition. For f ∈ L2(Rn),

(i) Kf(x) exists for almost every x ∈ Rn,

(ii) ||Kf ||2 ≤ C||f ||2,(iii) F(Kf)(x) = σ(x)Ff(x)

where σ(x) is homogeneous of degree 0 and∫S1

σ(x)dS1(x) = 0.

It is clear that the functions Γ((n+1)/2)

π(n+1)/2

xj

|x|n+1 (j = 1, · · · , n) are smooth Calderon

-Zygmund kernels. The singular integrals for the kernels Γ((n+1)/2)

π(n+1)/2

xj

|x|n+1 (j =

1, · · · , n) are called the Riesz transforms and denoted by Rj. Namely

Rjf(x) = limε→0

Γ((n + 1)/2)

π(n+1)/2

∫|x−y|≥ε

xj − yj

|x − y|n+1f(y)dy.

In this talk we are concerned with the higher Riesz transforms. We introduce four

kinds of the higher Riesz transforms. First, for a multi-index α = (α1, · · · , αn) we

define Rα as follows:

Rα = Rα11 · · ·Rαn

n

1

(S.G.Samko [Sam:§4]). Secondly, we note that the kernelsΓ((n+1)/2)π(n+1)/2

xj

|x|n+1 are partial derivatives of the Riesz kernel κ1(x) of order 1. Namely

Γ((n + 1)/2)

π(n+1)/2

xj

|x|n+1= −Djκ1(x), qquadx = 0.

For a positive integer m, the Riesz kernel κm(x) of order m is given by

κm(x) = γm,n

|x|m−n, m − n /∈ 2N

(δm,n − log |x|)|x|m−n, m − n ∈ 2N

where γm,n and δm,n are the normalizing constants. We consider partial derivatives

of order m of the Riesz kernel κm(x). For a multi-index α, the partial derivative

Dακm(x) has the following form: for x = 0

Dακm(x) =

Pm,α(x)

|x|n−m+2|α| , m − n /∈ 2N or m− n ∈ 2N, |α| ≥ m − n + 1−Dα|x|m−n

γm,nlog |x| + Pm,α(x)

|x|n−m+2|α| , m − n ∈ 2N, |α| ≤ m− n

where Pm,α(x) is a homogeneous polynomial of degree |α|. Since Dακm(x) is a

smooth Calderon-Zygmund kernel for |α| = m, we can consider singular integral

Sαmf(x) = lim

ε→0

∫|x−y|≥ε

Dακm(x)(x − y)f(y)dy, |α| = m.

Thirdly, we note that Γ((n+1)/2)π(n+1)/2 xj is a homogeneous harmonic polynomial of degree

1. For a homogeneous harmonic polynomial P (x) of degree m, it is clear that P (x)|x|n+m

is a smooth Calderon-Zygmund kernel. Hence we can consider singular integral

T Pmf(x) = lim

ε→0

∫|x−y|≥ε

P (x − y)

|x − y|n+mf(y)dy

(E.M.Stein [St: §3 in Chap. III]).

Finally, we note that P2,α(x) is a homogeneous harmonic polynomial of degree |α|for any α. Hence P2,α(x)

|x|n+|α| is a smooth Calderon-Zygmund kernel. So for any α we

can consider singular integral

Nαf(x) = limε→0

∫|x−y|≥ε

P2,α(x − y)

|x − y|n+|α|f(y)dy.

2. Relations among Rα, Sαm, T P

m and Nα

2

We need the following lemmas. We denote Mk = α : |α| = k, and let Pk be

the set of all homogeneous polynomials of degree k. We note that Pm,α ∈ Pk for

α ∈ Mk.

Lemma 2.1. Let k,m be positive integers and k < m. If m − n /∈ 2N or

m − n ∈ 2N, k ≥ m − n − 1, then Pm,α : α ∈ Mk are linearly independent.

For a multi-index β we set Mk + β = α + β : α ∈ Mk. Further, for a set

E ⊂ Mk, Mk \ E means Mk \E = α ∈ Mk : α /∈ E.

Lemma 2.2. Let k ≥ m.

(i) If m is an odd number, then Pm,α : α ∈ Mk are linearly independent.

(ii) If m is an even number 2, then for each η ∈ M, P2,α : α ∈ Mk \ (Mk−2 +

2η) are linearly independent.

We denote by Vm,k the subspace generated by Pm,α : α ∈ Mk, and we denote

by A the set of polyharmonic functions on Rn of degree .

Lemma 2.3. Let ,m be positive integers and u ∈ C∞(Rn−0) be homogeneous

of degree m. Then for x = 0

∆(u(x)

|x|n−2+2m) =

∆u(x)

|x|n−2+2m.

Lemma 2.4. For any α, P2,α(x) ∈ A.

Lemma 2.5. (I) Let k < m. If m − n /∈ 2N or m − n ∈ 2N, k ≥ m − n − 1,

then Vm,k = Pk and Pm,α : α ∈ Mk is a basis of Vm,k.

(II) Let k ≥ m.

(i) If m is an odd number, then Vm,k = Pk and Pm,α : α ∈ Mk is a basis of Vm,k.

(ii) If m is an even number 2, then V2,k = Pk ∩ A and for each η ∈ M,

P2,α : α ∈ Mk \ (Mk−2 + 2η) is a basis of V2,k.

Relations among Rα, Sαm, T α

m and Nα are given by the following theorems.

Theorem 2.6. Let |α| = m. Then

Rα = (−1)mSαm + cm,αI

3

where

cm,α =(−i)m

σn

∫S1

xαdS1(x)

and σn is the surface area of the unit sphere.

Theorem 2.7. Let α be a multi-index with |α| = m. Then

Sαm =

∑j=0

TPj

m−2j

where = [(m − 1)/2] and Pj is a homogeneous harmonic polynomial of degree

m − 2j, (j = 0, 1, · · · , ).

Theorem 2.8. Let P be a homogeneous harmonic polynomial of degree k. Then

T Pk =

∑α∈Mk

cαNα, k = 1∑α∈Mk\(Mk−2+2ej ) cαNα, k ≥ 2

where ej is the multi-index which has 1 in the jth spot and 0 everywhere else

(j = 1, · · · , n).

References

[Sad] C.SADOSKY, Interpolation of operators and singular integrals, Dekker,

New York, 1979.

[Sam] S.G.SAMKO, On spaces of Riesz potentials, Math. USSR Izv. 10(1976),

1089-1117.

[St] E.M.STEIN, Singular integrals and differentiability properties of functions,

Princeton Univ. Press, Princeton, 1970.

4

実解析学シンポジウム 2002 報告集, 11–17

Tangential boundary behavior of the Poissonintegrals of functions in the potential space

with the Orlicz norm

岡本茂雄（大阪教育大学教育学部附属高等学校池田校舎、附属天王寺中学校）

[email protected]

中井英一（大阪教育大学教育学部）[email protected]

1. 導入

函数 f ∈ Lp(Rn) の Poisson 積分 u(x, y) = P [f ](x, y) = Py ∗ f(x), x ∈ Rn,

y > 0, について、y → 0 の極限を考えたとき、非接極限 (nontangential limit)

については、ほとんどいたるところ存在して f(x) に等しいことがよく知られている。これに対し、極限をとる領域が R

n に接しているときの極限 (tangential

limit) は、一般には存在するとは限らないことも知られている。核 (kernel) K : R

n \ 0 → R+ を可積分で radial decreasing とする。すなわち、

K ∈ L1(Rn),

K(|x|) = K(|x′|) if |x| = |x′|,K(|x|) ≥ K(|x′|) if |x| ≤ |x′|.

Nagel, Rudin and Shapiro [1] は、potential 空間

LpK(Rn) = K ∗ F : F ∈ Lp(Rn) ⊂ Lp(Rn)

に属する函数のPoisson積分に対する接極限を考察し、極限をとる領域の接し方と Py ∗K の Lp′-ノルムとの関係を与えた。ただし、1/p + 1/p′ = 1 とする。

Definition 1.1 (Nagel, Rudin and Shapiro [1]). A function u on Rn+1+ is said

to have ΩpK -limit L at a point x0 ∈ R

n if it is true for every 0 < β < ∞ that

u(x, y) → L as (x, y) → (x0, 0) within ΩpK,β(x0).

Theorem 1.1 (Nagel, Rudin and Shapiro [1]). If f ∈ LpK(Rn) and u = P [f ],

then, for almost all x0 ∈ Rn, the Ωp

K-limit of u exists at x0 and equals f(x0).

ここでは、この結果をOrlicz ノルムで定義される potential空間LΦK(Rn) に拡

張し、極限をとる領域の接し方と Py ∗ K の LΦ-ノルムとの関係を与える。ただ

し、Φ は Φ の complementary function とする。11

2. 定義

Φ : [0, +∞) → [0, +∞) が N-function であるとは、連続、凸、狭義増加で、

limr→+0

Φ(r)/r = 0, limr→+∞

Φ(r)/r = +∞であることを言う。その complementary function は

Φ(r) = suprs − Φ(s) : s ≥ 0, r ≥ 0,

と定義される。∃C > 0 s.t. Φ(2r) ≤ CΦ(r) のとき Φ ∈ ∆2 と書き、∃k >

1 s.t. Φ(r) ≤ 12k

Φ(kr) のとき Φ ∈ ∇2 と書く。Φ ∈ ∆2 ⇔ Φ ∈ ∇2 である。

LΦ(Rn) =

f ∈ L1

loc(Rn) :

∫n

Φ(ε|f(x)|) dx < +∞ for some ε > 0

,

MΦ(Rn) =

f ∈ L1

loc(Rn) :

∫n

Φ(k|f(x)|) dx < +∞ for all k > 0

,

‖f‖Φ = inf

λ > 0 :

∫n

Φ

( |f(x)|λ

)dx ≤ 1

と定義する。LΦ = LΦ(Rn)はノルム ‖f‖Φ で Banach空間になる。MΦ = MΦ(Rn)

は、その閉部分空間である。

LΦK = K ∗ F : F ∈ LΦ, MΦ

K = K ∗ F : F ∈ MΦとおく。Φ ∈ ∆2 ⇔ LΦ(Rn) = MΦ(Rn) である。函数列 fjj ⊂ LΦ について、j → +∞ のとき fj → 0 in LΦ ならば、∫

n

Φ(|fj(x)|) dx → 0 as j → +∞.(2.1)

Φ ∈ ∆2 のときまたそのときに限り逆が成り立つ。

‖f‖Φ,B = inf

λ > 0 :

1

|B|∫

B

Φ

( |f(x)|λ

)dx ≤ 1

for ball B

とおく。核 K, N-function Φ, 0 < β < ∞ に対して、領域 ΩΦK,β(x0), x0 ∈ R

n, を

ΩΦK,β(x0) = (x, y) ∈ R

n+1+ : k(|x − x0|, y) < β,

where k(r, y) = |B(0, r)|‖Py ∗ K‖Φ,B(0,r)

と定義する。B(0, r) は原点中心で半径 r > 0 の球 (ball) である。β ≤ β ′ ならばΩΦ

K,β ⊂ ΩΦK,β′ である。

K ∈ LΦ かつ F ∈ LΦ ならば f = K ∗ F は連続であるから、u = P [f ] の接極

限は常に存在する。Φ ∈ ∇2, K /∈ LΦ と仮定する。

τβ(y) = supr > 0 : k(r, y) < β.(2.2)

とおくと、ΩΦK,β(x0) = (x, y) ∈ R

n+1+ : |x− x0| < τβ(y) と表される。τβ(y) は y

について連続、単調増加で、τβ(y) → 0 as y → 0, τβ(y)/y → +∞ as y → 0 であるから、領域 ΩΦ

K,β(x0) は、点 x0 で境界に接していることが分かる。12

3. 結果

領域 ΩΦK,β(x0) に関する maximal function を

(M[ΩΦK,β ]f)(x0) = sup|u(x, y)| : (x, y) ∈ ΩΦ

K,β(x0), u = P [f ]

で定義する。

Theorem 3.1. Let Φ be an N-function and Φ ∈ ∇2. Then there exists a constant

C > 0 such that, for all f ∈ LΦK and for all t > 0,∣∣x ∈ R

n : (M[ΩΦK,β ]f)(x) > t∣∣ ≤ C(β + ‖K‖1)

∫n

Φ

( |f(x)|t

)dx.

Definition 3.1. A function u on Rn+1+ is said to have ΩΦ

K -limit L at a point

x0 ∈ Rn if it is true for every 0 < β < ∞ that u(x, y) → L as (x, y) → (x0, 0)

within ΩΦK,β(x0).

Theorem 3.2. Let Φ be an N-function and Φ ∈ ∇2. If f ∈ MΦK and u = P [f ],

then, for almost all x0 ∈ Rn, the ΩΦ

K-limit of u exists at x0 and equals f(x0).

Corollary 3.3. Let Φ be an N-function and Φ ∈ ∆2 ∩ ∇2. If f ∈ LΦK and

u = P [f ], then, for almost all x0 ∈ Rn, the ΩΦ

K-limit of u exists at x0 and equals

f(x0).

以上の結果は、次の意味で最適な結果である。

Proposition 3.4. Let ω be a positive continuous function, and

(M[Ω]f)(x0) = sup|u(x, y)| : (x, y) ∈ Ω(x0), u = P [f ],

where Ω(x0) = (x, y) ∈ Rn+1+ : |x−x0| < ω(y). If there exists C > 0 such that,

for all f ∈ LΦK(Rn) and for all t > 0,

|x ∈ Rn : (M[Ω]f)(x) > t| ≤ C

∫n

Φ

( |f(x)|t

)dx,

then there exists β > 0 such that, for all y > 0, ω(y) ≤ τβ(y).

そこで、つぎの接極限を定義する。

Definition 3.2. For R : (0,∞) → (0,∞) and for 0 < b < ∞, let

ΩR,b(x0) = (x, y) ∈ Rn+1+ : |x − x0| < bR(y), x0 ∈ R

n.

A function u on Rn+1+ is said to have ΩR-limit L at a point x0 ∈ R

n if it is true

for every 0 < b < ∞ that u(x, y) → L as (x, y) → (x0, 0) within ΩR,b(x0).

このとき、次の性質が得られる。13

Proposition 3.5. Let Φ be an N-function, Φ ∈ ∇2 and K /∈ LΦ(Rn). Let τβ,

0 < β < ∞, be as in (2.2). Then there exists a continuous increasing function

R : (0,∞) → (0,∞) with R(y) → 0 as y → 0 such that,∀b > 0 ∃β > 0 ∀y > 0 : bR(y) ≤ τβ(y),

∀β > 0 ∃b > 0 ∀y > 0 : τβ(y) ≤ bR(y).

In this case the ΩΦK-limit and the ΩR-limit are the same.

4. 具体例

以下、K(x) = Kρ(x) = ρ(|x|)/|x|n, ρ : (0,+∞) → (0,+∞) に対して、Propo-

sition 3.5 の R(y) を具体的に計算する。

Example 4.1. Let Φ(r) = rp with 1 0,

then

R(y) =

y1−αp/n when 0 < α < n/p,(

log1

y

)−(p−1)/n

when α = n/p.

Bessel 核 Jα(x), 0 < α < n, x ∈ Rn は、その Fourier 変換が Jα(ξ) = (1 +

|ξ|2)−α/2, ξ ∈ Rn である。このとき Jα(x) ∼ Kρ(x) for small |x| with ρ(r) = rα

for small r > 0 である。この場合については [1] や [2] でも調べられている。

Example 4.2. Let Φ(r) = rp with 1 0

with 0 ≤ α ≤ n/p and −∞ < β < +∞, then

R(y) =

y

(log

1

y

)(β−1)p/n (log log

1

y

)γp/n

when α = 0, β > 1,

y1−αp/n

(log

1

y

)βp/n

when 0 < α < n/p,(log

1

y

)−(1−1/p−β)p/n

when α = n/p, β < 1 − 1/p.

Example 4.3. Let Φ(r) = rp with 1 014

with 0 ≤ α ≤ n/p, −∞ < β < +∞ and −∞ < γ < +∞, then

R(y) =

y

(log log

1

y

)(γ−1)p/n

when α = 0, β = 1, γ > 1,

y

(log

1

y


1

y

)γp/n

when α = 0, β > 1,

y1−αp/n

(log

1

y

)βp/n (log log

1

y

)γp/n


1

y

)−(1−1/p−β)p/n (log log

1

y

)γp/n

when α = n/p, β < 1 − 1/p,(log log

1

y

)−(1−1/p−γ)p/n

when α = n/p, β = 1 − 1/p, γ < 1 − 1/p,(log log log

1

y

)−(p−1)/n

when α = n/p, β = 1 − 1/p, γ = 1 − 1/p.

Example 4.4. Let 1 0,

rp(log(1/r))−θp for small r > 0.

Then

Φ(r) ∼

rp′(log r)−θp′ for large r > 0,

rp′(log(1/r))θp′ for small r > 0.

For constants α and β with 0 ≤ α ≤ n/p and −∞ < β < +∞, let ρ(r) =

rα(log(1/r))−β for small r > 0. Then

R(y) =

y

(log

1

y


1

y

)θp/n

when α = 0, β > 1,

y1−αp/n

(log

1

y

)(β+θ)p/n


1

y

)−(1−1/p−β−θ)p/n

when α = n/p, 1 − 1/p > β + θ,(log log

1

y

)−(p−1)/n

when α = n/p, 1 − 1/p = β + θ.

5. 証明の概略

Maximal function MΦf を次のように定義する。

MΦf(x) = supBx

‖f‖Φ,B ,

where the supremum is taken over all balls B containing x.15

Lemma 5.1 ([6]). There exists C > 0 such that, for all F ∈ LΦ(Rn) and for all

t > 0,

|x ∈ Rn : MΦF (x) > t| ≤ C

∫n

Φ

( |F (x)|t

)dx.

Theorem 5.2. Let Φ and Φ be a complementary pair of N-functions. If F ∈ LΦ,

and u is defined in Rn+1+ by

u(x, y) = (Py ∗ K ∗ F )(x),

then

|u(x, y)| ≤ C(MΦF )(x0) (‖K‖1 + k(|x − x0|, y)) ,

where k(r, y) = |B(0, r)|‖Py ∗ K‖Φ,B(0,r) and x0 ∈ R

n.

Proof of Theorem 3.1. If u = P [f ] and f = K ∗ F , Theorem 5.2 shows that

|u(x, y)| ≤ C(MΦF )(x0)(β + ‖K‖1)(5.1)

in ΩΦK,β(x0). Thus

M[ΩΦK,β]f(x0) ≤ C(β + ‖K‖1)MΦF (x0) for all x0 ∈ R

n.

Combining Lemma 5.1, we have Theorem 3.1.

Proof of Theorem 3.2. Let

E = E(β, ε) =

x0 ∈ R

n : lim sup(x,y)∈ΩΦ

K,β ,(x,y)→(x0,0)

|u(x, y)− f(x0)| > ε

.

We shall prove that |E|=0 for all β and for all ε. For each j ∈ N, there exists

Gj ∈ Ccomp(Rn) such that

‖F −Gj‖Φ ≤ 1/j.

Let gj = K ∗ Gj and vj(x, y) = Py ∗ gj(x). Then

‖f − gj‖Φ ≤ ‖K‖1‖F − Gj‖Φ → 0 as j → +∞.

We can use (2.1) for 3(F −Gj)/ε and 3(f − gj)/ε. Let

E1,j =

x0 ∈ R


K,β,(x,y)→(x0,0)

|u(x, y)− vj(x, y)| > ε/3

,

E2,j =

x0 ∈ R


K,β,(x,y)→(x0,0)

|vj(x, y)− gj(x0)| > ε/3

,

E3,j = x0 ∈ Rn : |gj(x0) − f(x0)| > ε/3 .

Then E ⊂ E1,j ∪ E2,j ∪ E3,j for j = 1, 2, · · · . By Theorem 3.1 we have

|E1,j | ≤ C(β + 1)

∫n

Φ

( |F (x) − Gj(x)|ε/3

)dx → 0 as j → ∞.

16

Since vj is continuous on the closure of Rn+1+ ,

lim sup(x,y)∈ΩΦ

K,β,(x,y)→(x0,0)

|vj(x, y)− gj(x0)| = 0.

Hence we have |E2,j | = 0. And we have

|E3,j | =

∫E3,j

dx ≤ 1

Φ(1)

∫n

Φ

( |gj(x) − f(x)|ε/3

)dx → 0

as j → ∞.

References

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spaces and the Campanato spaces, Proceedings of the International Conference ”FunctionSpaces, Interpolation Theory and Related Topics” in honour of Jaak Peetre on his 65thbirthday held at Lund University, Sweden, August 17–22, 2000. Edited by Michael Cwikel,Miroslav Englis, Alois Kufner, Lars-Erik Persson and Gunnar Sparr. Walter de Gruyter,Berlin, New York, 2002, 389–401.

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[7] M. M. Rao and Z. D. Ren, Theory of Orlicz Spaces, Marcel Dekker, Inc., New York, Baseland Hong Kong, 1991.

17

Convex sets and Ordered linear space

Shozo Koshi (Emeritus Professor of Hokkaido University)

Abstract

We shall explain how equivalent relations on convex sets are benefit to solve some

problem. We shall show typical examples i.e. embedding problem and order completion

of ordered linear space in this note.

1 Embedding problem

Let E be a locally convex linear space and C be a family of all convex closed subsets of

E. We shall consider it is possible that C can be embedded in some linear space.

We shall define

A ⊕ B = (A + B)− for A, B ∈ C.

Lemma 1. C is an additive semigroup with zero and defining α ·A = αA, i.e.C becomes a

cone.

Lemma 2. (cancellation law ) C has a cancellation law i.e. A ⊕B = A ⊕ C imply that

B = C for A, B, C,∈ C.

We consider the product space C × C , and equivalence relation in C ×C as follows:

(A, B) ∼ (C, D) if A ⊕ D = B ⊕ C . We shall denote equivalence class of C × C by G.

Lemma 3. (A, A) ∼ (B, B) for all A, B ∈ C.

Lemma 4. If we define (A, B) + (C, D) = ((A + C)−, (B + D)−) and λ(A, B) = (λA, λB)

for λ ≥ 0,it is invariant under the euivalence relation ∼ . i.e. if (A, B) ∼ (A′, B ′) and

(C, D) ∼ C ′, D′), then (A, B) + (C, D) ∼ (A′, B ′) + (C ′, D′).Lemma 5. G is a linear space and C can be embedded in G in the sense that

C A → equivalent class of (A, 0) ∈ G.

In particular, (A, B) = −(B, A) in equivalence sense.

21

Zero element of G is equivalent class of (0, 0) or (A, A) for all A ∈ C, where 0 is

considered as a convex subset consisting of zero element of E.

Lemma 6. E ⊂ C so that E can be embedded in G.

Now we consider the topoloy in G related to E or C. Let γ be a fundamental system of

semi-norms on E. We define for A, B ∈ C

Eγ(A, B) = ε, A ⊂ B + Uγ(ε), B ⊂ A + Uγ(ε) where Uγ(ε) = x ∈ E, γ(x) ≤ ε and

dγ(A, B) = infEγ(A, B).

dγ is called Hausdorff semi-distance.

We can define also dγ(A, B) for bounded convex subsets A and B in E. We have

Lemma 7. dγ(A + C, B + C) = dγ(A, B) for A, B, C ∈ C . If (A, B) ∼ (C, D), then we

have dγ(A, B) = dγ(C, D). dγ defines a semi-norm on G and the family of such

semi-norms makes G a locally convex Hausdorff linear space.

Now we introduce an order relation in G by defining

(A, B) ≤ (C, D) if (A + D)− ⊂ (B + C)−.

Lemma 8. G is a Riesz space and semi-norm dγ is order-preserving i.e.

(0, 0) ≤ (A, B) ≤ (C, D) imply dγ(A, B) ≤ dγ(C, D).

Lemma 9. dγ define a fundamental system of semi-norms of locally convex topology on G.

Let H be a topological completion of a locally convex Hausdorff Riesz space of G with

fundamental system of norm preserving semi-norms. By Lemma 1 to Lemma 9, we get

the following theorem.

Theorem 1. Let E be a loclly convex Hausdorff space with fundamental system of

semi-norms dγ, γ ∈ Γ and C be a family of all bounded convex subset in E. Then,

there exists a complete Hausdorff locally convex solid Riesz space H of type M such that

C is embedded in H and linear hull of C is dense in H, where solid Riesz space is a Riesz

space with order preserving semi-norms which define a locally convex topology .

This theory will be found in [16].

2 Order completion

Let E be a linear space with real scalor field R. Let P be a convex cone of E satisfying

(P 1) E = P − P ,

(P 2) P ∩ (−P ) = 0.We shall define x ≤ y if y − x ∈ P for x, y ∈ E , then ≤ is an order relation. We use the

notation y ≥ x instead of x ≤ y. So, P is called an order or positive cone in E and a

linear space E equipped with an order P is called a (partially )ordered linear space

denoted by (E, P ).

22

For a subset A of E , an element x is called an upper bound of A if a ≤ x for all a ∈ A.

The totality of all upper bounds of A is denoted by U(A). Similarly we can define a lower

bound of a subset A and it is denoted by L(A). So, we have:

U(A) = x ∈ E ; a ≤ x for all a ∈ A,L(A) = y ∈ E ; y ≤ a for all a ∈ A.

If U(A) = ∅, then the set A is called upper bounded and similarly we can define a lower

bounded set in E. A subset A is called bounded if A is upper bounded and lower

bounded at the same time. Let B and B′ be the family of all upper bounded convex

subset and lower bounded convex subsets in E respectively, i.e.

B = A ⊂ E, A : convex | A = ∅, U(A) = ∅B′ = A′ ⊂ E, A : convex | A′ = ∅, L(A′) = ∅.

We define an equivalent relation ∼ in B by

A ∼ B ⇔ U(A) = U(B) (A, B ∈ B).

Let X be the quotient set B/ ∼= [A] | A ∈ B where [A] denotes the equivalent class of

A.

Lemma 10 For a subset A of E we have

U(A) =⋂

a∈A(a + P )

Lemma 11 If [A] = [B], then we have [A ∪ B] = [A] = [B]

Lemma 12 U(L(U(A)) = U(A) and L(U(L(A)) = L(A)

Lemma 13 U(−A) = −L(A) and L(−A) = −U(A)

Lemma 14 U(A) + U(B) ⊂ U(A + B)

L(A) + L(B) ⊂ L(A + B)

Proofs of above Lemmas are quite easy from definitions.

Lemma 15 [L(U(A)) − U(A)] = [−P ] = [0]Proof. It is clear that L(U(A)) − U(A) ⊂ −P . On the other hand, we have

L(U(A)) − U(A) = L(U(A)) + L(−A) 0 and so we have

[L(U(A) −A)] = [−P ]. q.e.d.

Lemma 16 For A, B ∈ B,we have

U(A + B) = U(L(U(A)) + L(U(B))).

Proof. A + B ⊂ L(U(A)) + LU(B)) is clear and so we have

U(A + B) ⊃ U(L(U(A)) + L(U(B))). For x ∈ U(A + B) , a0 ∈ L(U(A)) and

b0 ∈ L(U(B)), let a ∈ A and b ∈ B, x− b ∈ U(A), i.e.x − b ≥ a0 . Hence x − a0 ≥ b0.

This means that x ≥ a0 + b0 i.e. U(A + B) ⊂ U(L(U(A)) + U(L(U(B))). q.e.d.

We shall assume that E is a finite dimensional space and the order P is closed, but almost

all results in the sequel in this note are also true even if E is an infinite dimensional space

under some conditions. For simplicity, we shall deal with only finite dimensional cases.

For an upper bounded set A i.e. A ∈ B, we can characterize U(A) by using the support

function and the dual cone P ∗ = x∗ ∈ E∗, < x∗, x > ≥ 0, x ∈ P with E∗ being

the dual of E. Since E is finite dimensional and P is closed, we have

P = P ∗∗ = x ∈ E; < x∗, x > ≥ 0, x∗ ∈ P ∗.

23

The support function is defined as :

fA(x∗) = supx∈A < x∗, x >.

It is easy to find fA(x∗) is finite valued on P ∗.Theorem 2. For an upper bounded set A , we have

U(A) =⋂

x∗∈∂P ∗x; < x∗, x >≥ fA(x), where ∂P ∗ is the boundary of P ∗.The proof is found in [3].

Corollary Let A, B ∈ B and suppose that fA(x∗) = fB(x∗) on ∂P ∗, then [A] = [B] .

For every [A], [B] ∈ X, we shall define additive operation and scalar multiplication as

follows :

[A] + [B] = [L(U(A)) + L(U(B))]

and for scalar λ ,

λ[A] = [λL(U(A)] if λ > 0

= [λL(U(A)] = [−P ] = [0] if λ = 0

= [λU(A)] if λ < 0.

Theorem 3. By the additive operation and scalar multiiplication defined above, X

becomes a linear space.

Proof. By Lemma 6, for every [A] ∈ X , we have −[A] = [−U(A)]. It is easy to see that

X satisfies axioms of a linear space.

Now we shall define order relation in X as follows:

[A] ≤ [B] ⇔ U(B) ⊂ U(A).

Lemma 17 By the order in X thus defined, if a family of elements of X : [Aσ](σ ∈ Σ)

is upper bounded, then there exists an element x of E such that x is an upper bound for

every L(U(Aσ))(σ ∈ Σ) in E.

Proof. U(A) a ⇔ a + P = U(a) ⊂ U(A) by definition. If the family [Aσ](σ ∈ Σ) is

upper bounded, then there exists [A] ∈ X such that U(A) ⊂ U(Aσ)(σ ∈ Σ). Hence a is

upper bound for all Aσ.

Theorem 4. By the order defined above, X becomes a complete vector lattice. The

ordered linear space E is considered as a subspace of X and every element [A] of X is

written by the supremum of a subset consisting of elements from E.

The proof of this theorem will be found in [3]. Every element [A] of X is written as the

supremum of elements a ∈ A , in other words [A] = supa∈A[a].

We shall state here some minor properties of the order operation of X.

Proposition 1 For [A], [B] ∈ X we have

[A] ∨ [B] = [L(U(A) ∩ U(B))]

[A] ∧ [B] = [L(U(A)) ∩ L(U(B))]

Proposition 2 For an upper bounded system [Aσ], Aσ ∈ B,

∪σ[Aσ] = [L(U(∩σU(Aσ)] = [L(U(∪σAσ))].

24

3 Example of order completion

In this section we consider examples of order completion of a ordered linear space with a

closed order. We see that the order completion depends on the order as follows.

Example 1. Let E = R3 and let P be the cone defined by

P = x = (x0, x1, x2) ∈ R3 ; x0 ≥| x1 | + | x2 | = x ∈ R3 ; < ai, x > ≥ 0 (i =

1, 2, 3, 4),where a1 = (1, 1, 1), a2 = (1,−1, 1), a3 = (1, 1,−1), a4 = (1,−1,−1).

Then the dual cone P ∗ is given by

P ∗ = x = (x0, x1, x2) ∈ R3 ; x0 ≥ max| x1 | + | x2 | = K(a1, a2, a3, a4) ,

where K(a1, a2, a3, a4) denote the cone generated by a1, a2, a3, a4. It is easy to see that

(R3, P ) is not order complete. We can prove that the order completion R3 is 4

dimensional space with the basis :

[Aj] = x ∈ R3 ; < aj, x > ≤ δi,j (i = 1, 2, 3, 4) (j = 1, 2, 3, 4).

Example 2

Let us define an ordr as follows : P = x = (x0, x1, x2); x0 ≥ (x21 + x2

2)1/2. Then, the

order completion of (R3, P ) is infinite dimensional.

Proof of this fact will appear in next paper.

References

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25

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S.Koshi, Kitaku Tonden 2-2-4-8,Sapporo,Japan.(e)[email protected]

26

ある種の指数和と差異の評価について

大久保幸夫 (鹿児島国際大学）後藤和雄 (鳥取大学)

1 定義

実数xに対して，x = maxn ∈ N : n ≤ x，x = minn ∈ N : x ≤ n，x = x−xと表す。

定義 1 ([5]). 実数列 xnが法 1で一様分布 (uniformly distributed, u. d. と略記 )とは，任意の [a, b) ⊂ [0, 1)について，次の関係が成り立つことである：

limN→∞

1N

N∑n=1

χ[a, b)(xn) = b− a,

ここで，χ[a, b)(x) は区間 [a, b)の法を 1 とする特性関数，すなわち x ∈ [a, b) ならばχ[a,b)(x) = 1，そうでなければ χ[a, b)(x) = 0とする。

定義 2 ([5], [2]). (xn) (n = 1, 2, . . .) を実数列とする。数列 (xn)の差異 (discrepancy)は次で定義される：

DN(xn) = sup0≤a<b≤1

∣∣∣∣∣ 1N

N∑n=1

χ[a, b)(xn) − (b− a)

∣∣∣∣∣ ,ここで，N ∈ Nである。

数列 (xn)が u. d. mod 1であるための必要十分条件は limN→∞DN = 0であることが知られている ([5])。

定義 3 ([1]). f(x) を [X,∞)上の正の可側関数 (X はある正数 )とする。もし，ある実数 ρ

が存在して

limx→∞

f(λx)f(x)

= λρ for each λ > 0,

であるならば，f は index ρの regularly varying functionと呼ばれ，f ∈ Rρと書く。特に，index ρ = 0の regularly varying functionは slowly varyingと呼ばれる。

– 31 –

定義 4 ([5]). α を無理数，ψ を少なくともすべての正整数上で定義された非減少な正の関数とする。α が type < ψ であるとは，任意の正整数 hについて h‖αh‖ > 1/ψ(h) が成り立つときをいう。もし，ψ が定数関数ならば，type < ψ の α は constant typeと呼ばれる。η を正数とするとき，無理数 α が finite type η であるとは，η = infτ ∈ R :there exists a positive constant C = C(τ, α) such that α is of type < ψ, where ψ(q) =Cqτ−1となることである。

定義 5. 1, α1, . . . , αs はZ上一次独立とする。α = (α1, . . . , αs)，h = (h1, . . . , hs) ∈ Zs

に対して r(h) =∏s

i=1 max1, |hi| とする。もし，ある正定数 c が存在して，すべてのh = 0 ∈ Zs について r(h)‖h · α‖ ≥ c ならば，α は constant typeと呼ばれる。.

αが無理数，β = 0が実数のとき，(αn+β logn)−型数列の差異について上と下からの評価について報告する。

2 上からの評価

定理 1 ([6]). α が finite type ηの無理数で，β が非零の実数ならば，任意の ε > 0 とすべての正整数 N について

DN(αn+ β log n) ≤ C(β, ε)N− 1η+1/2

+ε

が成り立つ，ここで，C(β, ε)は βと εに依存する定数。一方，α が constant type で β が非零の実数ならば，すべての正整数 N について

DN(αn + β logn) ≤ C(β)N− 23 logN

が成り立つ。

多次元の場合については次の結果を得た。

定理 2 ([3]). α = (α1, . . . , αs) ∈ Rs ，β = (β1, . . . , βs) = 0 ∈ Rs とする。もし1, α1, . . . , αs が Z上一次独立で，α が constant typeならば，

DN (nα + (log n)β) N− 23 (logN )s

が成り立つ。

さらに一般的結果として次を得た。

– 32 –

定理 3 ([4]). f(x) を x ≥ 1で 2階微分可能な実数値関数とする。ある finite type ηの無理数 α が存在して x ≥ 1 上で

f ′(x) > α, f ′′(x) < 0 または f ′(x) < α, f ′′(x) > 0

かつ，f ′(x) = α+ O(|f ′′(x)|1/2)と仮定する。このとき，任意の ε > 0について

DN (f(n)) N− 1

η+1/2+ε.

が成り立つ。

3 下からの評価

定理 4. α を無理数，その連分数展開を α = [a0, a1, a2, . . . ]，近似分数をpn/qn = [a0, a1, . . . , an]とする。あるX0 ≥ 0について，x > X0上の実数値関数 f(x)が次の条件を満たすとする：

(i) f ′(x) → 0 (x→ ∞)；(ii) f ′′(x) → 0 (x→ ∞)；(iii) f ′′′ ∈ R−3 または −f ′′′ ∈ R−3；(iv) |f ′′′(x)| は xが十分大きいとき非増加；(v) 関数 x|f ′(x)| は xが十分大きいとき非減少。

もし f ′′′ ∈ R−3ならば hm = q2m+1，km = p2m+1，もし −f ′′′ ∈ R−3 ならば hm = q2m，km = p2mとするとき，任意の正整数 mに対して，cmを f ′(cm) = km/hm −αで定義する。このとき，cm → ∞ (m→ ∞)であり，かつ十分大きなmに対して次の評価を得る：

DNm(αn+ f(n)) ≥ C(f ′(Nm))1/4

N1/2m

,

ここで Nm = 2cm，Cは正定数である。

定理 4を f(x) = β(log x)sとして応用すると，次の系が導かれる。

系 1. α を無理数，その連分数展開を α = [a0, a1, a2, . . . ]，近似分数をpn/qn = [a0, a1, . . . , an]とする。β = 0実数，s ≥ 1とする。任意の正整数mに対して，もし β > 0ならば hm = q2m+1，km = p2m+1，もし β < 0ならば hm = q2m，km = p2mとするとき，cmは βsc−1

m (log cm)s−1 = km/hm − αによって定義され，さらに Nm = 2cmとする。このとき，十分大きな整数mについて

DNm(αn + β(log n)s) ≥ C(β, s)(logNm)(s−1)/4

N3/4m

が成り立つ。

– 33 –

4 いくつかの補題と指数和に関する結果

定理 4を得るために，差異の下からの評価に関する次の一般的不等式を使う。

補題 1 ([5]). (xn)を実数列とする。このとき，任意の正整数 hについて次の不等式が成り立つ：

14h

∣∣∣∣∣ 1N

N∑n=1

e(hxn)

∣∣∣∣∣ ≤ DN(xn),

ここで，e(x) = e2πixである。

この補題に現れる指数和を下から評価することを考える。そのために saddle-point theoremと呼ばれる次の補題に注目する。

補題 2 ([7]). g(x)を区間 [a, b]上の実数値関数，g(x)は次の条件を満たすとする：(i) g′′′ は [a, b]上で連続；(ii) [a, b]上で g′′ > 0　または　 [a, b]上で g′′ < 0；(iii) ある正数 m2 が存在して，[a, b]上で g′′(x) m2；(iv) ある正数 m3 が存在して，[a, b]上で g′′′(x) m3；(v) ある c ∈ [a, b]に対して，g′(c) = 0。

このとき，次の関係が成り立つ：∫ b

ae(g(x))dx =|g′′(c)|−1/2e

(g(c) +

18

sgn(g′′(c)))

+O(m−1

2 m1/33

)

+ O

(min

(1

|g′(a)| , m−1/22

))+ O

(min

(1

|g′(b)| , m−1/22

))。

ところで，我々の目的のためには上の結果では不十分なので，これを改良した次の補題を応用する：

補題 3. g(x) と ϕ(x) は区間 [a, b]上での実数値関数で次の条件を満たすとする：(i) g′′′ は連続，ϕ′′ は存在する；(ii) g′′ > 0 または g′′ < 0；(iii) ある m2 > 0 が存在して，g′′(x) m2;(iv) あるm3 が存在して，g′′′(x) m3；(v) あるH0, H1, H2 が存在して，

ϕ(x) H0, ϕ′(x) H1, ϕ′′(x) H2；

– 34 –

(vi) ある c ∈ [a, b]に対して g′(c) = 0。このとき，∫ b

aϕ(x)e(g(x))dx =ϕ(c)|g ′′(c)|−1/2e

(g(c) +

18sgn(g′′(c))

)

+ O(H0m−12 m

1/33 ) +O(H1m

−12 ) + O(H2m

−12 (b− a))

+ O(H1m−22 m3(b− a)) +O(H2m

−22 m3(b − a)2)

+ O(H0 min(m−1/22 , |g′(a)|−1)) +O(H0 min(m−1/2

2 , |g′(b)|−1))。

この補題を応用すると，次の結果を得る。

補題 4. α を無理数，h を正整数とする。あるX0 ≥ 0に対して，x > X0上で実数値関数f(x) が次の条件を満たすとする：

(i) f ′(x) → 0 (x→ ∞)；(ii) f ′′(x) → 0 (x→ ∞)；(iii) either f ′′′ ∈ R−3 or −f ′′′ ∈ R−3；(iv) |f ′′′(x)| は十分大きな xに対して非増加；(v) ある c = c(h) > X0に対して f ′(c) = k/h− α，

ここで，もし f ′′′ > 0ならば k = αh，もし f ′′′ < 0ならば k = αhとする。このとき，|αh− k| < 1/2を満たす十分大きな hについて次が成り立つ：

∑c/2<n≤2c

e(h(αn + f(n))) =1

h1/2(−f ′′(c))1/2e

(g(c)− 1

8

)

+ O

(1

h2/3(f ′(c))1/3(−f ′′(c))1/3

)+O

(1

hf ′(c)

)+O(1),

ここで，g(x) = (αh− k)x+ hf(x)。

∑1<n≤2/c e(h(αn+ f(n)))については，van der Corputの方法を使うと次が導かれる。

補題 5. α を無理数，h を正整数とする。あるX0 ≥ 0について，x > X0上の実数値関数f(x)が次の条件を満たすとする：

(i) f ′ ∈ R−1かつ f ′′ < 0，または，−f ′ ∈ R−1かつ f ′′ > 0；(ii) f ′′(x) は十分大きな xについて単調；(iii) ある c = c(h) > X0について，f ′(c) = k/h− α，

ここで，もし f ′′ < 0ならば k = αh，もし f ′′ > 0ならば k = αh。このとき，次の不等式が成り立つ：

∑1≤n≤c/2

e(h(αn+ f(n))) h + h1/2

(sup

1≤x≤c/2xf ′(x)

)1/2

log(h+

12

)+

1hf ′(c)

。

– 35 –

上の 2つの補題より次の結果が得られる。

定理 5. α を無理数，h を正整数とする。あるX0 ≥ 0について，x > X0上の実数値関数f(x)は次の条件を満たすとする：

(i) f ′(x) → 0 (x→ ∞)；(ii) f ′′(x) → 0 (x→ ∞)；(iii) f ′′′ ∈ R−3 または −f ′′′ ∈ R−3；(iv) |f ′′′(x)| は十分大きな xについて非増加；(v) ある c = c(h) > X0について f ′(c) = k/h− α，

ここで，もし f ′′′ ∈ R−3ならば k = αh，もし−f ′′′ ∈ R−3ならば k = αhとする。このとき，c = c(h) → ∞（h→ ∞）であり，かつ |αh− k| < 1/2を満たす十分大きな hについて次が成り立つ：

∑1≤n≤2c

e(h(αn + f(n))) =1

h1/2(−f ′′(c))1/2e

(g(c) − 1

8

)

+ O

(1

h2/3(f ′(c))1/3(−f ′′(c))1/3

)+O

(1

hf ′(c)

)+O(h)

+ O

h1/2

(sup

1≤x≤c/2xf ′(x)

)1/2

log(h+

12

) ,

ここで，g(x) = (αh− k)x+ hf(x)である。

補題 1と定理 5より定理 4を得ることができる。

参考文献

[1] H. Bingham, C.M. Goldie and J.L. Teugels, Regular Variation, (Cambridge UniversityPress, Cambridge, 1987)

[2] M. Dromota and R. F. Tichy, Sequences, Discrepancies and Applications, LectureNotes in Mathematics 1651, (Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York, 1997).

[3] K. Goto and Y. Ohkubo, The Discrepancy of the Sequence (nα + (log n)β), ActaMath. Hungarica 86(3), (2000), 39–47.

[4] K. Goto and Y. Ohkubo, Discrepancy of Some Special Sequences, in C. Jia and K.Matsumoto (Eds.), Analytic Number Theory, (Kluwer Academic Publishers, 2002),143–155.

[5] L. Kuipers and H. Niederreiter, Uniform Distribution of Sequences (John Wiley andSons, New York, 1974).

– 36 –

[6] Y. Ohkubo, Notes on Erdos-Turan Inequality, J. Austral. Math. Soc. (Series A), 67,(1999), 51–57.

[7] E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-function, 2nd ed. revised byD. R. Heath-Brown (Clarendon Press, Oxford, 1986).

Yukio Ohkubo: Department of Business Administration, The International University ofKagoshima, Kagoshima-shi, 891-0191, JAPAN

Kazuo Goto: Department of Mathematics, Tottori University, Tottori-shi, 680-0945,JAPAN

– 37 –

Schaffer type constant and uniform normal

structure for Banach spaces

高橋泰嗣 (Yasuji Takahashi) 岡山県立大情報工加藤幹雄 (Mikio Kato) 九州工大工

バナッハ空間Xの幾何学的性質の”度合い”を記述しようとすれば，幾何学的定数

の考察が必要となる。例えば Schaffer定数 S(X)はX の uniform non-squarenessの

度合いを表す．2001年度実解析学シンポジウムでは，この定数を拡張した概念であ

る Schaffer型定数 SX,p(τ)を導入し，一様凸性などの幾何学的性質をこれらの定数

との関係で考察した．他方，不動点定理に関連した重要な概念である一様正規構造

について，バナッハ空間が一様正規構造をもつための十分条件が James定数や von

Neumann-Jordan定数との関連で知られている．James定数 J(X)と Schaffer定数

S(X)との関係から，S(X) > 4/3 であればX が一様正規構造をもつことがわかる．

ここでは Schaffer型定数 SX,p(τ)の詳細な考察から，一様正規構造をもつための十分

条件をこれらの定数を用いて与える．以下Xをバナッハ空間とする.

1. Definitions (i) X is called uniformly non-square in the sense of James when

there exists δ > 0 such that

min(‖x + y‖, ‖x − y‖) ≤ 2(1 − δ) if ‖x‖ = ‖y‖ = 1.

(ii) The James constant is defined by

J(X) := sup min(‖x + y‖, ‖x − y‖) : ‖x‖ = ‖y‖ = 1.

(iii) X is called uniformly non-square in the sense of Schaffer when there exists

λ > 1 such that

max(‖x + y‖, ‖x − y‖) ≥ λ if ‖x‖ = ‖y‖ = 1.

(iv) The Schaffer constant is defined by

S(X) := inf max(‖x + y‖, ‖x − y‖) : ‖x‖ = ‖y‖ = 1.

It is obvious that X is uniformly non-square in the sense of James, resp., Schaffer

if and only if J(X) < 2, resp., S(X) > 1. On the other hand it is known that

41

J(X)S(X) = 2 for any Banach space X (cf. [3, 7]); therefore, these two notions are

equivalent.

2. Definition (Schaffer type constant): Let 1 ≤ p ≤ ∞. We define for τ ≥ 0

SX,p(τ) :=

inf

(‖x + τy‖p + ‖x − τy‖p

2

)1/p

: ‖x‖ = ‖y‖ = 1

if p < ∞,

inf

max(‖x + τy‖, ‖x − τy‖) : ‖x‖ = ‖y‖ = 1

if p = ∞.

It is easily seen that for all p and X,

SX,p(τ) ≥ max1, τ

and, if p = 1, SX,1(τ) = max1, τ for all X. Therefore we assume that 1 < p ≤ ∞in what follows. It is also clear that

SX,∞(1) = S(X).

3. Definitions (i) The modulus of convexity of X is

δX(ε) = inf

1 −

∥∥∥∥x + y

2

∥∥∥∥ : ‖x‖ = ‖y‖ = 1, ‖x − y‖ = ε

(0 ≤ ε ≤ 2).

(ii) X is called uniformly convex if δX(ε) > 0 for all 0 < ε ≤ 2.

4. Theorem Let 1 1.

(ii) SX,∞(τ) > 1.

(iii) δX(2τ) > 0.

5. Corollary Let 1 1.

(iii) SX,p(τ) > 1 (0 < ∃τ < 1).

6. Corollary Let 1 1 (0 < ∀τ < 1).

42

7. Definitions (i) X is said to have normal structure provided for any bounded

convex subset K of X with diamK > 0,

r(K) < diamK,

where diamK := sup‖x − y‖; x, y ∈ K and r(K) := infx∈K supy∈K ‖x − y‖. If

there exists some c (0＜ c＜ 1) for which

(1) r(K) ≤ c · diamK

holds for all such K, X is said to have uniform normal structure. The smallest

c (0 < c ≤ 1) satisfying (1) is called the normal structure coefficient of X and is

denoted by N(X).

(ii) X is said to have fixed point property (FPP) (for non-expansive mappings)

provided for any non-empty bounded convex subset K of X, every non-expansive

mapping T : K → K has a fixed point.

8. It is easily seen that 1/2 ≤ N(X) ≤ 1, and clearly X has uniform normal

structure if and only if N(X) < 1. It is also well known ([5]) that; (i) if X is reflexive

and has normal structure, X has FPP; (ii) if X has uniform normal structure, then

X is reflexive, whence X has FPP.

9. Theorem If SX,p(1/2) > 1, then X has uniform normal structure.

10. Remark There exists a Banach space X which fails to have normal structure

such that SX,p(1/2) = 1 and SX,p(τ) > 1 (1/2 < ∀ τ < 1).

参考文献[1] J. Banas and B. Rzepka, Functions related to convexity and smoothness of normed

spaces, Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 46 (1997), 395-424.[2] B. Beauzamy, Introduction to Banach Spaces and their Geometry, 2nd ed., North-

Holland, 1985.[3] E. Casini, About some parameters of normed linear spaces, Atti. Acad. Naz. Lincei,

VIII. Ser., Rend., Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 80 (1986), 11-15.[4] J. Gao and K. S. Lau, On the geometry of spheres in normed linear spaces, J. Austral.

Math. Soc. Ser. A 48 (1990), 101-112.[5] K. Goebel and W. A. Kirk, Topics in metric fixed point theory, Cambridge University

Press, 1990.[6] R. C. James, Uniformly non-square Banach spaces, Ann. of Math. 80 (1964), 542-550.

43

[7] M. Kato, L. Maligranda and Y. Takahashi, On James, Jordan-von Neumann constantsand the normal structure coefficients of Banach spaces, Studia Math. 144 (2001), 275-295.

[8] J. J. Schaffer, Geometry of spheres in normed spaces, LN in Pure Appl. Math. 20,Marcel Dekker, 1976.

Yasuji TakahashiDepartment of System Engineering,Okayama Prefectural University,Soja 719-1197, Japane-mail: [email protected]

Mikio KatoDepartment of Mathematics,Kyushu Institute of Technology,Kitakyushu 804-8550, Japane-mail: [email protected]

44

Prediction of fractional Brownian motion

with Hurst index less than 1/2

Akihiko Inoue (with V. V. Anh)

Department of Mathematics, Faculty of Science, Hokkaido Universityhttp://www.math.hokudai.ac.jp/˜inoue/

We can define fractional Brownian motion (BH(t) : t ∈ R) with Hurst index H ∈(0, 1) \ 1/2 by the following “moving-average” representation: for t ∈ R,

BH(t) =1

Γ(12

+ H)

∫ ∞

−∞

((t − s)+)H−(1/2) − ((−s)+)H−(1/2)

dW (s),(1)

where (W (t) : t ∈ R) is a standard Brownian motion on a probability space (Ω,F , P )and (x)+ := max(x, 0) for x ∈ R. This process, abbreviated fBm, is a centered Gauss-ian process with stationary increments; it has been widely used to model various phe-nomena in hydrogy, network traffic, finance etc, which exhibit long-range dependence.We refer to Samorodnitsky and Taqqu [ST] for background.

We consider a natural class of centered Gaussian processes with stationary in-crements, which includes fBm with H ∈ (0, 1/2) as a typical example. The case1/2 < H < 1, which requires a different approach, is considered in [AI2]. Thus weconsider a process (X(t) : t ∈ R) that admits the following moving-average represen-tation

X(t) =

∫ ∞

−∞c(t − s) − c(−s) dW (s) (t ∈ R),(2)

where the “MA(∞) coefficient” c(·) is a function of the form

c(t) = I(0,∞)(t)

∫ ∞

0

e−tsν(ds) (t ∈ R)(3)

with ν being a Borel measure on (0,∞) satisfying∫ ∞

0

1

1 + sν(ds) < ∞(4)

and some extra conditions. In particular, in the main theorem (Theorem 1), we willassume

limt→0+

c(t) = ∞,(5)

c(t) = O(tq) as t → 0+ for some q > −1/2,(6)

c(t) ∼ 1

Γ(12

+ H)t−( 1

2−H)(t) (t → ∞),(7)

where (·) is a slowly varying function at infinity and H is a constant such that

0 < H < 1/2.(8)

A typical example of such ν is

ν(ds) =cos(πH)

πs−( 1

2+H)ds on (0,∞)(9)

51

with (8) (Example 2). For this ν, we have

c(t) = I(0,∞)(t)1

Γ(12

+ H)t−( 1

2−H) (t ∈ R),(10)

whence (X(t)) reduces to (BH(t)). One advantage of this class is that we can considerprocesses which have two different indices corresponding to the local properties (suchas path properties) and the long-time behavior, respectively (Example 3).

Our central concern is the prediction of the process (X(t)). More specifically, ourproblem is to represent the conditional expectation

E [X(T )| σ(X(s) : −t0 ≤ s ≤ t1)] ,

using the segment (X(u) : −t0 ≤ u ≤ t1) and some deterministic quantities, where t0,t1, and T are real constants such that

−∞ < −t0 ≤ 0 ≤ t1 < T < ∞, −t0 < t1.(11)

The conditional expectation above stands for the expectation of the future value X(T )based on the partial data X(u) (−t0 ≤ u ≤ t1). It should be noticed that such pre-diction from a finite segment of the past is generally a difficult problem. For example,the Krein theory on finite prediction of stationary processes is clearly deeper (but lessmanageable) than the Szego–Kolmogorov–Wiener theory on infinite prediction (seeDym–McKean [DM]).

It turns out that the existence of a good “AR(∞) coefficient”, in addition to theMA(∞) coefficient c(·), is a key to our solution to the problem above. Here we definethe AR(∞) coefficient a(·) by

a(t) := −dα

dt(t) (t > 0),(12)

where the function α(·) on (0,∞), in turn, is defined by

−iz

(∫ ∞

0

eiztc(t)dt

) (∫ ∞

0

eiztα(t)dt

)= 1 (z > 0).(13)

We see that a(·) has a good integral representation similar to (3). In particular, a(·)is a positive decreasing function on (0,∞).

To state the main theorem, we introduce some functions which are given explicitlyin terms of c(·) and a(·). We define b(t, s) by

b(t, s) :=

∫ s

0

c(u)a(t + s − u)du (t, s > 0).(14)

We put

t2 := t0 + t1, t3 := T − t1.(15)

For t, s ∈ (0,∞) and n ∈ N, we define bn(t, s) = bn(t, s; t2) iterately by

b1(t, s) := b(t, s),

bn(t, s) :=

∫ ∞

0

b(t, u)bn−1(t2 + u, s)du (n = 2, 3, . . . ).(16)

We define bn(s) = bn(s; t3, t2) by

bn(s) := bn(s, t3) (s > 0, n = 1, 2, . . . ),(17)

52

and a nonnegative function h(s) = h(s; t3, t2) by

h(s) :=

∞∑k=1

b2k−1(t2 − s) + b2k(s) (0 < s < t2).(18)

For s > 0, we define Dn(s) = Dn(s; t3, t2) by

Dn(s) :=

c(t3 − s) (n = 0),∫ ∞

0

bn(t2 + s + v)c(v)dv (n = 1, 2, . . . ).(19)

Here is the main theorem.

Theorem 1. We assume (2)–(8). Then∫ t2

0

h(t)dt = 1,(20)

E [X(T )| σ(X(s) : −t0 ≤ s ≤ t1)] =

∫ t1

−t0

h(s + t0)X(s)ds,(21)

E |XT − E [X(T )| σ(X(s) : −t0 ≤ s ≤ t1)]|2 =

∞∑n=0

∫ ∞

0

Dn(s)2ds.(22)

Example 2. For H ∈ (0, 1/2), let ν be as in (9). Then we have (10); and so (4)–(8)are satisfied. The resulting process (X(t)) is the fractional Brownian motion (BH(t))which has the representation (1). We refer to Nuzman and Poor [NP, Theorem 4.4]for the explicit prediction formula of fBm with 0 < H < 1/2 which corresponds toTheorem 1. See also Yaglom [Y] and Gripenberg and Norros [GN] for relevant work.

Example 3. Let f(·) be a nonnegative, locally integrable function on (0,∞). ForH0, H ∈ (0, 1/2) and slowly varying functions 0(·) and (·) at infinity, we assume

f(s) ∼ cos(πH)

πs−( 1

2+H)(1/s) (s → 0+),

f(s) ∼ cos(πH0)

πs−( 1

2+H0)0(s) (s → ∞).

We put ν(ds) = f(s)ds on (0,∞). By Abelian theorems for Laplace transforms(cf. [BGT, Section 1.7]), we have (7) and

c(t) ∼ 1

Γ(12

+ H0)t−( 1

2−H0)0(1/t) (t → 0+),

whence (4)–(8) are satisfied. The index H corresponds to the long-time behavior of(X(t)), while H0 to its local properties such as path properties.

References

[AI1] V. V. Anh and A. Inoue, Prediction of fractional Brownian motion-type processes: the case0 < H < 1/2, submitted.

[AI2] V. V. Anh and A. Inoue, Prediction of fractional Brownian motion-type processes with long-range dependence, submitted.

[BGT] N. H. Bingham, C. M. Goldie and J. L. Teugels, Regular Variation, 2nd ed., CambridgeUniversity Press, Cambridge, 1989.

[DM] H. Dym and H. P. McKean, Gaussian Processes, Function Theory, and the Inverse SpectralProblem, Academic Press, New York, 1976

53

[GN] G. Gripenberg and I. Norros, On the prediction of fractional Brownian motion, J. Appl.Probab. 33 (1996), 400–410.

[NP] C. J. Nuzman and H. V. Poor, Linear estimation of self-similar processes via Lamperti’stransformation, J. Appl. Probab. 37 (2000), 429–452.

[ST] G. Samorodnitsky and M. S. Taqqu, Stable Non-Gaussian Random Processes: StochasticModels with Infinite Variance, Chapman and Hall, New York, 1994.

[Y] A. M. Yaglom, Correlation theory of processes with random stationary nth increments (Rus-sian), Mat. Sb. N.S. 37 (1955), 141–196. English translation in Am. Math. Soc. TranslationsSer. (2) 8 (1958), 87–141.

54

Norm Inequality for Operators of Matrix Typeon Tangent or Subordinate Martingale Difference Sequences

和泉澤正隆東海大学理学部

E-mail : [email protected]

　１．始めに（定義と結果など）　確率空間上のフィルタレーション（sub-σ-fieldsの増大列）F = (Fn)n≥1に関するマルチンゲールとその difference sequenceならびに作用素を

(Xn)n≥1 , xn = Xn −Xn−1 (ただし x1 = X1) 　

X∗ = supn≥1

|Xn|, S(X) =

( ∞∑n=1

x2n

)1/2

　　　とする。

　関数Φ : [ 0, ∞) → [ 0, ∞)はnon-decreasing continuousで　Φ(0) = 0かつ　growth条件　Φ(2t) ≤ cΦ(t) (t ≥ 0) 　をみたすものをmoderate関数と呼び、 lim

t→∞ Φ(t) = Φ(∞)

とする。　Burkholder,Davis,Gundy[1,3,4,6]により、不等式

C1E[Φ(S(X))] ≤ E[Φ(X∗)] ≤ C2E[Φ(S(X))] (1)

さらに、一般のB-G型行列作用素 U, V に対する不等式

E[Φ(U∗∗(X))] ≤ C3E[Φ(V ∗(X))] (2)

が得られている。（１），（２）で Φ(t) は moderate convex 関数である。ここで、B-G型 [Burkholder-Gundy type ]行列とは、確率変数の行列 (ujk)j,k≥1で、　　 ujk が k に関して predictable（すなわち、Fk−1－可測）、

　　ある定数 d > 1が存在し任意の k ≥ 1に対して1

d≤

∞∑j=1

u2jk ≤ d であること。

そして、B-G型行列作用素を

U(X) =

∞∑

j=1

lim supn→∞

∣∣∣∣∣n∑

k=1

ujkxk

∣∣∣∣∣2

1/2

, Un(X) =

∞∑

j=1

∣∣∣∣∣n∑

k=1

ujkxk

∣∣∣∣∣2

1/2

,

U∗n(X) = sup

n≥kUk(X), U∗∗

n (X) =

∞∑

j=1

supi≤n

∣∣∣∣∣i∑

k=1

ujkxk

∣∣∣∣∣2

1/2

,

U∗(X) = U∗∞(X), U∗∗(X) = U∗∗

∞ (X)

と定める。特に、単位行列、列ベクトル（成分はすべて 1）に対応するのが S(X), X∗

である。不等式 (2)は、２つのB-G型行列 (ujk)j,k≥1, (vjk)j,k≥1 作用素についての比較である。

61

マルチンゲール　X, Y の diff. seq. (xn), (yn)について

|xn | ≤ | yn | ∀n

が成り立つとき、X is strongly differentially subordinate to Y という。そして、

E[|xn|2|Fn−1] ≤ E[|yn|2|Fn−1] ∀nが成り立つとき、X is L2-conditionally subordinate to Y という。さらに、条件付期待値に関して、より一般に、

E[ψ(|xn|)|Fn−1] ≤ E[ψ(|yn|)|Fn−1]

for each posit. increas. function ψ on [ 0, ∞)

が成り立つとき、X is conditionally subordinate to Y という。また、mart. diff. seq. が (Fn−1)に関して条件付き同分布、すなわち、

P (xn ≥ t|Fn−1) = P (yn ≥ t|Fn−1) a.s. for each real number t

であるとき、X, Y は tangentという。

X is strongly differentially subordinate to Y であれば、明らかにconditionally subordinate であり、L2-conditionally subordinate である。

X is differentially subordinate to Y のとき

　Burkholder,Wang[2,12] for 1 t) ≤ 2 supnE[|Yn|] for each real number t

が成り立つ。X, Y が tangent のとき　Hitczenko,He,Liu[7,8,9]

E[Φ(X∗)] ≤ C4E[Φ(Y ∗)] (3)

が成り立つ。

62

Theorem 1. Φ(t) を moderate関数、U, V をB-G型行列作用素とする。マルチンゲール　X, Y で　X is L2-conditionally subordinate to Y

かつ　 predictable increasing process D = (Dn)n≥1　が存在して、|xn| = |Xn −Xn−1| ≤ Dn ∀n ならば、

E[ Φ(U∗∗(X)) ] ≤ c5E[ Φ(V ∗(Y ) +D∞) ]

が成り立つ。

Theorem 2. Φ(t) を convex moderate関数、U, V をB-G型行列作用素とする。マルチンゲール　X, Y で、X is strongly differentially subordinate to Y ならば、

E[Φ(U∗∗(X))] ≤ C6E[Φ(V ∗(Y ))] (4)

が成り立つ。

　２．証明の概略　定理 1の証明は、次の good λ 不等式

P (U∗∗(X) > β λ, V ∗(Y ) ∨D∞ ≤ δ λ ) ≤ cd,β,δ P (U∗∗(X) > λ ) (5)

を示し、Burkholderの補題を利用する。

Lemma (Burkholder[1]) 実数 β > 1, δ > 0, ε > 0 、 moderate 関数 Φ でγ = sup

λ>0Φ(βλ)/Φ(λ), η = sup

λ>0Φ(λ/δ)/Φ(λ) とする。非負可測関数 f, g が

P ( f > β λ, g ≤ δ λ ) ≤ ε P ( f > λ ) ∀λ > 0.

をみたし、 γε < 1　ならば

E[ Φ(f) ] ≤ γη

1 − γεE[ Φ(g) ] が成り立つ。

不等式（５）は、stopping times

τ = infn ; U∗∗n (X) > λ , µ = infn ; U∗∗

n (X) > β λ ,σ = infn ; V ∗

n (Y ) ∨Dn+1 > δ λ ,を使用し、マルチンゲール xk = xk Iτ<k≤σ , Xn =

∑nk=1 xk と集合

A = U∗∗(X) > β λ, V ∗(Y ) ∨D∞ ≤ δ λ = τ <∞⋂µ <∞⋂σ = ∞を定義する。不等式 (a + b+ c)2 ≤ 3 (a2 + b2 + c2) を用い、集合A上

(n∑

k=1

ujk xk

)2

≤ 3

(

τ−1∑k=1

ujk xk

)2

+ |ujτxτ |2 +

n∑

k=τ+1

ujk xk

2

そして、

supn

(n∑

k=1

ujk xk I τ<k

)2

≥ 1

3sup

n

(n∑

k=1

ujk xk

)2

− supn

n∧(τ−1)∑

k=1

ujk xk

2

− |ujτxτ |2

63

となっていることやDoob の maximal inequality も利用して、集合Aに関する不等式

E[ IA |Fτ ] = E[ IA I τ<σ |Fτ ] ≤ ε I τ<σ ≤ ε I τ<∞

として証明する。

　定理 2に関しては、不等式（２）を S(X), S(Y ) に適用し、X is strongly differentially

subordinate to Y の定義を使えば容易に結果は得られるが、不等式（２）を用いることなく、マルチンゲールのDavis分解と定理 1を利用し、直接的に証明する。　　Davis分解

Dn = supk≤n−1

|yk|, D1 = 0, Bk = |yk| ≥ 2Dk ,hk = xk IBk

= xkI |yk|≥2 Dk , hk = E[ hk |Fk−1],

Hn =n∑

k=1

hk, Hn =n∑

k=1

hk , Ln =n∑

k=1

E[ |hk| |Fk−1],

Zn = Xn − (Hn − Hn ) .

ここで、 D = (Dn ) は pred. increas. proc. でマルチンゲール Z = (Zn ) は|zn| = |Zn − Zn−1| ≤ 4Dn かつ E[ | zk |2 |Fk−1] ≤ 4E[| yk |2 |Fk−1]

となっていて、Z is L2-conditionally subordinate to 2Y である。また、 H を H の the predictable projection process と呼ぶ。

Xn = Zn + (Hn − Hn ) であり U∗∗(X) ≤ U∗∗(Z) + U∗∗(H) + U∗∗(H)

さらに、 Φ(U∗∗(X) ) ≤ c Φ(U∗∗(Z) + Φ(U∗∗(H) + U∗∗(H)) なので

E[ Φ(U∗∗(X) ) ] ≤ c E[ Φ(U∗∗(Z) ) ] + E[ Φ(U∗∗(H) + U∗∗(H)) ]

定理 1より、 E[ Φ(U∗∗(Z) ) ] ≤ c E[ Φ (V ∗( 2Y ) + 4D∞ ) ] が成り立つ。そして、| yn | ≤

√d Vn(Y ) + Vn−1(Y ) ≤ 2

√d V ∗

n (Y ) なので D∞ ≤ 2√dV ∗(Y ) だから、

E[ Φ(D∞ ) ] ≤ E[ Φ( 2√d V ∗(Y ) ) ] ≤ C7E[ Φ(V ∗(Y ) ) ]　　 (6)

ならびに E[ Φ(U∗∗(Z) ) ] ≤ C8E[ Φ(V ∗(Y ) ) ] 　　 (7)　を得る。

U∗∗(H) , U∗∗(H) に関しては、Lenglart,Lepingle and Pratelliの補題をもとにした、次の補題 3を利用する。Lemma 3 F 適合過程 H と非負確率変数 g があり、

条件∞∑

k=1

|hk| ≤ g をみたしていると仮定する。

Ln =n∑

k=1

E[ |hk| |Fk−1] とし、H を H の pred. proj. proc. とする。

　このとき、 H と g には関係しない定数 c, c′ があり、moderate convex 関数 Φ に対して

E[ Φ(L∞ ) ] ≤ cE[ Φ( g ) ], E[ Φ(U∗∗(H) + U∗∗(H) ) ] ≤ c′E[ Φ( g ) ]

が成り立つ。

64

Lemma (Lenglart,Lepingle and Pratelli[11]) pred.increas. proc. L = (Ln)と非負確率変数 g があり、条件

E[ L∞ − LTIT <∞ ] ≤ E[ gIT <∞ ] ∀T st.time

をみたしていると仮定する。moderate convex 関数Φ 、その右側導関数を φとすれば、定数 c = c(Φ) があり

E[ Φ(L∞) ] ≤ E[ g φ(L∞) ], E[ Φ(L∞) ] ≤ cE[ Φ(g) ] が成り立つ。

　補題 3の証明では

U∗∗(H)2 =∞∑

j=1

supn

(n∑

k=1

ujk hk

)2

≤∞∑

j=1

( ∞∑k=1

|ujk|2 |hk|) ( ∞∑

k=1

|hk|)≤ d

( ∞∑k=1

|hk|)2

≤ d g2

より　 U∗∗(H) ≤ √d g 、そして、

|ujk hk | ≤ E[ |ujk| |hk| |Fk−1] = |ujk|E[ |hk| |Fk−1] ≤√dE[ |hk| |Fk−1]

より　 U∗∗(H) ≤ √dL∞ となることを利用する。

　また、補題 3の条件について、Davis分解では

∞∑k=1

|hk | =∞∑

k=1

|xk | IBk≤

∞∑k=1

| yk | IBk≤

∞∑k=1

2 (Dk+1 − Dk) IBk≤ 2D∞

となるので、 g = 2D∞ とし補題 3 を適用する。さらに、補題 3の結果に不等式（６）を再度利用し E[ Φ(U∗∗(H) + U∗∗(H) ) ] ≤ c′E[ Φ( 2D∞ ) ] ≤ C9E[ Φ(V ∗(Y ) ) ]

で（７）と合わせて定理 2 の結論が得られる。

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551.

66

線形微分作用素のHyers-Ulam stability

　　　　　　　　　　　三浦　毅　　　山形大学工学部　　　　　　　　　　　　　宮島　静雄　　東京理科大学理学部　　　　　　　　　　　高橋　眞映　　山形大学工学部　　

1 Introduction and results

C. Alsina and R. Ger [1]は指数関数の不等式に関連して，その主定理から導かれる注意として，微分方程式 y′ = yの安定性に関する次の結果に言及した．ここではその注意を定理として述べることにする．

定理 (Alsina and Ger [1]) ε > 0, J をRの開区間，f : J → Rは微分可能な関数で

|f ′(t) − f(t)| ≤ ε (∀t ∈ J)

をみたすとする．このとき g′ = gをみたす微分可能な関数 g : J → Rで

|f(t) − g(t)| ≤ 3ε (∀t ∈ J)

となるものが存在する．

Alsina and Gerは上の結果を微分方程式 y′ = yの Hyers-Ulam stabilityと呼んでいる．Hyers-Ulam stabilityの歴史及び様々な関数方程式のHyers-Ulam stabilityについては，例えば [4]を参照されたい．我々はAlsina and Gerとは全く異なる方法によって，複素Banach

空間値関数に対する同様の結果を得た．

定理 (Takahasi, M., and Miyajima [12]) ε ≥ 0, λ ∈ C, X を複素 Banach空間とする．

(a) Re λ = 0であるとき，関数 f : R → X が強微分可能，すなわち全ての t ∈ Rに対し

て ∃f ′(t) def= lim

∆t→0

f(t + ∆t) − f(t)

∆tであり，さらに

‖f ′(t) − λf(t)‖ ≤ ε (∀t ∈ R)

をみたせば

g′(t) = λg(t)かつ ‖f(t) − g(t)‖ ≤ ε

|Re λ| (∀t ∈ R)

となる強微分可能関数 g : R → X が存在する．さらに 1/|Re λ|は上の不等式をみたす定数の中で最小である．

(b) Re λ = 0であるとき，強微分可能関数 f0 : R → X が存在して，

‖f0′(t) − λf0(t)‖ ≤ 1 (t ∈ R)かつ sup

t∈‖f0(t) − g(t)‖ = ∞

71

をみたす．ここに g : R → X は g′ = λgとなる任意の強微分可能関数である．

もしもλが実数であれば，Xを実Banach空間としても全く同様の議論によって上と同様の結果が得られることが分かる．したがってTakahasi, M. and Miyajima [12]の結果はAlsina and Ger [1]の注意の拡張となっている．さらに λ = 1とすれば，Alsina and Ger

の与えた誤差 3εは実は εでよいことも分かる．

D = d/dtを微分作用素，Iを恒等作用素とするとき，我々の結果は全ての t ∈ Rに対して ‖(D − λI)f(t)‖ ≤ εをみたす ε > 0と強微分可能な関数 f : R → Xに対して

(D − λI)g = 0かつ ‖f(t) − g(t)‖ ≤ ε

|Re λ| (∀t ∈ R)

をみたす関数 gが必ず存在し，しかも ‖f(t) − g(t)‖/εは，f 及び εのとり方に関わらず，高々1/|Reλ|で評価できることを主張している．この結果を微分作用素D − λIのある種の安定性と考え，より一般の微分作用素のHyers-Ulam stabilityを定義しよう．

そこで以下ではX = 0をノルム ‖ · ‖をもつ複素 Banach空間, C(R, X)を連続関数f : R → X全体のなす複素線形空間とする. また n ∈ Nに対して，n階強微分可能な関数f で f (n) ∈ C(R, X)となるもの全体からなるC(R, X)の部分空間をCn(R, X)とする.

定義 1 微分作用素 T : Cn(R, X) → C(R, X)に対して次をみたす定数K ≥ 0が存在するとき, T はHyers-Ulam stabilityをもつという：

‖Tu− v‖∞ ≤ εとなる任意の ε ≥ 0, v ∈ T (Cn(R, X))及び u ∈ Cn(R, X)に対して，Tu0 = vかつ ‖u− u0‖∞ ≤ Kεとなる u0 ∈ Cn(R, X)が存在する. ここに ‖a‖∞ def

= sup‖a(t)‖ : t ∈ R ≤ ∞である．

また，上の定数K ≥ 0を T の（1つの）HUS定数と呼ぶ．

このように Hyers-Ulam stabilityを定義したとき，どの様な微分作用素が Hyers-Ulam

stabilityをもつだろうか．またBanach空間の幾何学に関連して，Hyers-Ulam stabilityをもつ微分作用素 T の最良の HUS定数を決定することは重要である．ここに T の最良のHUS定数とは，最小のHUS定数を表すことにする．ただし，一般にHUS定数の下限がまたHUS定数になるかどうかは，少なくとも我々は知らない．

まず定数係数の n階線形微分作用素P (D) : Cn(R, X) → C(R, X)のHyers-Ulam stabil-

ityに関して次の結果が得られた.

定理 1 (M., Miyajima and Takahasi [7]) D = d/dtを微分作用素，P (z)を複素係数n次多項式とする．このとき微分作用素 P (D)がHyers-Ulam stabilityをもつための必要十分条件は，方程式 P (z) = 0が純虚数解をもたないことである．さらに作用素 P (D)が Hyers-Ulam stabilityをもつとき，‖P (D)u − v‖∞ < ∞となる

u ∈ Cn(R, X)及び v ∈ C(R, X)に対して

P (D)u0 = vかつ ‖u − u0‖∞ < ∞

となる u0 ∈ Cn(R, X)はただ 1つである．

72

次にもう 1つの拡張として，定数係数とは限らない 1階の線形微分作用素を考える．h : R → Cを連続関数とする．このとき Th : C1(R, X) → C(R, X)を以下で定義する：

Thu = Du + hu (u ∈ C1(R, X)).

我々は Thが Hyers-Ulam stabilityをもつための特徴付けを与えた．その結果を述べるために，次の記号を導入する．

Chdef= sup

t∈

1

|h(t)|∫ ∞

t

|h(s)|ds,

Dhdef= sup

t∈

1

|h(t)|

∫ t

−∞|h(s)|ds,

Ehdef= sup

t∈

1

|h(t)|

∣∣∣∣∫ t

0

|h(s)|ds

∣∣∣∣ここに h(t)

def= exp

∫ t

0h(s)ds (t ∈ R)である．

定理 2 (M., Miyajima and Takahasi [8]) Ch, Dh, Ehのうちの少なくとも 1つが有限であれば，Th : C1(R, X) → C(R, X)はHyers-Ulam stabilityをもつ．さらに Ch < ∞またはDh < ∞であるとき，‖Thu − v‖∞ < ∞となる v ∈ C(R, X)及

び u ∈ C1(R, X)に対して

() Thu0 = v かつ ‖u− u0‖∞ < ∞

をみたす u0 ∈ C1(R, X)は唯一つである．

定理 3 (M., Miyajima and Takahasi [8]) Th : C1(R, X) → C(R, X) が Hyers-Ulam

stabilityをもつとき，次が成り立つ．

(a) inft∈[0,∞) |h(t)| = 0ならばCh < ∞となり，さらにChが最良のHUS定数である．(b) inft∈(−∞,0] |h(t)| = 0ならばDh < ∞となり，さらにDhが最良のHUS定数である．(c) inft∈|h(t)| > 0ならばEh < ∞となる．(d) inft∈(−∞,0] |h(t)|及び inft∈[0,∞) |h(t)|のいずれか一方は正である．定理 2，定理 3をまとめると，微分作用素 Th : C1(R, X) → C(R, X)が Hyers-Ulam

stabilityをもつための次の特徴付けが得られる．

系 4 (M., Miyajima and Takahasi [8]) h : R → Cを連続関数とする．このとき微分作用素 ThがHyers-Ulam stabilityをもつための必要十分条件は，Ch, Dh, Ehのいずれか1つが有限となることである．

2 Proof of results

定理 1に関しては，紙面の関係上証明その他を割愛させていただく．詳細は [7]をご覧頂きたい．

73

h : R → Cを定数とは限らない連続関数，Th : C1(R, X) → C(R, X)を Th = D + hI で定められる線形微分作用素とする．このとき任意の v ∈ C(R, X)に対して Thu = vの解は

u(t) =1

h(t)

x0 +

∫ t

0

h(s)v(s)ds

(t ∈ R)

で与えられる．ここに x0はXの任意の元である．このことから，特に Thは全射である．

定理 2の証明　 ‖Thu − v‖∞ ≤ εをみたす ε ≥ 0, v ∈ C(R, X)及び u ∈ C1(R, X)をとり，w

def= Thu − vとおく．このとき

u(t) =1

h(t)

u(0) +

∫ t

0

h(s)(v(s) + w(s))ds

=1

h(t)

∫ t

0

h(s)v(s)ds +1

h(t)

u(0) +

∫ t

0

h(s)w(s)ds

(∀t ∈ R)

とかける．まず Ch < ∞の場合を考える．‖w‖∞ ≤ ε であるから

∫ ∞0

h(t)w(t)dsが存在する．そこで

u0(t)def=

1

h(t)

(u(0) +

∫ ∞

0

h(s)w(s)ds

)+

∫ t

0

h(s)v(s)ds

(∀t ∈ R)

とおくと Thu0 = vであり，さらに

‖u(t) − u0(t)‖ =1

|h(t)|

∥∥∥∥∫ ∞

t

h(s)w(s)ds

∥∥∥∥≤ ε

|h(t)|∫ ∞

t

|h(s)|ds ≤ Chε (∀t ∈ R)

をみたす．よって ThはHyers-Ulam stabilityをもち，Chが Thの 1つのHUS定数であることが示された．Dh < ∞の場合も同様にして証明される．

Eh < ∞の場合，

u1(t)def=

1

h(t)

u(0) +

∫ t

0

h(s)v(s)ds

(∀t ∈ R)

を考えると Thu1 = vであり，さらに

‖u(t) − u1(t)‖ =1

|h(t)|

∥∥∥∥∫ t

0

h(s)w(s)ds

∥∥∥∥≤ ε

|h(t)|

∣∣∣∣∫ t

0

|h(s)|ds

∣∣∣∣ ≤ Ehε (∀t ∈ R)

をみたす．すなわち ThはHyers-Ulam stabilityをもち，Ehが 1つのHUS定数となる．最後にCh < ∞またはDh < ∞であるとき，‖Thu− v‖∞ < ∞をみたす各 v ∈ C(R, X)

及び u ∈ C1(R, X)に対して，

Thu0 = v かつ ‖u− u0‖∞ < ∞

74

となる u0 ∈ C1(R, X)はただ 1つであることを示す．実際このような u0 ∈ C1(R, X) が存在することは上でみた通りである．そこで u2, u3 ∈ C1(R, X)が

Thuj = v かつ ‖u− uj‖∞ ≤ Mj < ∞ (j = 2, 3)

をみたしたとする．このとき Thuj = vであるから，

uj(t) =1

h(t)

xj +

∫ t

0

h(s)v(s)ds

(∀t ∈ R)

となる xj ∈ Xが存在し，さらに

‖x2 − x3‖ = |h(t)| ‖u2(t) − u3(t)‖ ≤ |h(t)|(M2 + M3)

が全ての t ∈ Rに対して成り立つ．いまCh < ∞またはDh < ∞であるから |h|は [0,∞)

または (−∞, 0]で可積分，すなわち inft∈|h(t)| = 0である．よって x2 = x3を得る．以上より u2 = u3である．

定理 3の証明　 x0 ∈ Xを ‖x0‖ = 1となるようにとり，関数

u(t)def=

1

h(t)

∫ t

0

x0|h(s)|ds =1

h(t)

∫ t

0

h(s)|h(s)|h(s)

x0 ds (∀t ∈ R)

を考える．このとき Thu = |h|x0/hであるから，‖Thu‖∞ = 1となる．さて，Kを Thの任意のHUS定数とする（いま ThはHyers-Ulam stabilityをもつと仮定しているので，ThのHUS定数が少なくとも 1つ存在する）．このとき

Thu0 = 0 and ‖u − u0‖∞ ≤ K

をみたす u0 ∈ C1(R, X)が存在するが，Thu0 = 0であるから，ある x1 ∈ X に対してu0(t) = x1/h(t) (t ∈ R)とかける．よって次の不等式が成り立つ：

∥∥∥∥∫ t

0

x0|h(s)|ds − x1

∥∥∥∥ ≤ K|h(t)| (∀t ∈ R). (1)

(a) もしも inf t∈[0,∞) |h(t)| = 0ならば

tn ∞ (n → ∞) かつ |h(tn)| <1

n(∀n ∈ N) (2)

をみたす単調増加数列 tnn∈⊂ [0,∞)が存在する．よって(1)より∣∣∣∣∫ tn

0

|h(s)|ds − ‖x1‖∣∣∣∣ ≤ K|h(tn)| <

K

n(∀n ∈ N).

を得る．このことから x1 =∫ ∞0

x0|h(s)|dsとなることが分かる．したがって(1)より

∫ ∞

t

|h(s)|ds =

∥∥∥∥∫ t

0

x0|h(s)|ds − x1

∥∥∥∥ ≤ K|h(t)| (∀t ∈ R) (3)

75

を得る．すなわちCh ≤ K < ∞が示された．Ch < ∞であるとき，定理 2よりChは 1つの HUS定数となり，さらにK は任意の HUS定数であったから，Chが最良の HUS定数であることが示された．

(b) inft∈(−∞,0] |h(t)| = 0のときDh < ∞であり，かつDhが最良の HUS定数であることが (a)と同様にして示される．

(c) inft∈|h(t)| > 0のとき

supt∈

‖u0(t)‖ = supt∈

‖x1‖|h(t)| =

‖x1‖inft∈

|h(t)| < ∞

である．よって全ての t ∈ Rに対して ‖x1‖ ≤ ‖u0‖∞ |h(t)| となる．したがって(1)より∣∣∣∣∫ t

0

|h(s)|ds

∣∣∣∣ =

∥∥∥∥∫ t

0

x0|h(s)|ds

∥∥∥∥ ≤ (K + ‖u0‖∞)|h(t)| (∀t ∈ R)

を得る．すなわちEh < ∞である．(d) inft∈[0,∞) |h(t)| = 0とする．このとき inft∈(−∞,0] |h(t)| > 0を示せばよい．そこで，

そうでないとして矛盾を導く：inft∈(−∞,0] |h(t)| = 0と仮定すると

sn −∞ (n → ∞)かつ |h(sn)| < 1/n (∀n ∈ N)

をみたす単調減少数列 snn∈⊂ (−∞, 0]が存在する．ここで inft∈[0,∞) |h(t)| = 0であるから，(a)と同様にして(3)が得られることに注意する．よって

∫ ∞

sn

|h(s)|ds ≤ K|h(sn)| <K

n(∀n ∈ N)

となるがこれは矛盾．

3 Remarks

注意 1 定数Ch, Dh, Ehのうちの 2つ以上が同時に有限になることはない．まず Ch < ∞またはDh < ∞ならば Eh = ∞となることをみる．実際 Ch < ∞ならば |h|は [0,∞)で可積分であるから inft∈[0,∞) |h(t)| = 0でなければならない．このとき(2)をみたす単調増加数列 tnn∈が存在するので

Eh ≥ 1

|h(tn)|

∣∣∣∣∫ tn

0

|h(s)|ds

∣∣∣∣ > n

∫ tn

0

|h(s)|ds → ∞ (n → ∞)

を得る．すなわちEh = ∞である．全く同様にしてDh < ∞の場合も示される．次にCh < ∞ならばDh = ∞であることをみる．実際Ch < ∞ならば inft∈[0,∞) |h(t)| =

0 であり，また定理 2 及び定理 3 の (d) により inft∈(−∞,0] |h(t)| > 0 を得る．よって∫ 0

−∞ |h(t)|dt = ∞，すなわちDh = ∞である．以上によりCh < ∞ならばDh = Eh = ∞であることが示された．また，Ch = Dh = Eh = ∞となる関数 hも存在する．実際 h(t) = −2tを考えると，

h(t) = exp

∫ t

0

(−2s)ds = e−t2 (∀t ∈ R)

76

であるから，limt→∞ h(t) = limt→−∞ h(t) = 0となる．特に

inft∈[0,∞)

|h(t)| = inft∈(−∞,0]

|h(t)| = 0

であるので，定理 3の (d)より ThはHyers-Ulam stabilityをもたない．したがって系 4によりCh = Dh = Eh = ∞であることが分かる．

注意 2 Ch < ∞またはDh < ∞であるとき，()をみたす u0 ∈ C1(R, X)はただ 1つであることは定理 2で述べたが，Eh < ∞であるときは状況が全く異なる．詳しく述べると，定数K > 0を Eh < K < ∞となるように任意に固定すると，‖Thu − v‖∞ ≤ εをみたすいかなる ε > 0, v ∈ C(R, X)及び u ∈ C1(R, X)に対しても

Thw = v かつ ‖u − w‖∞ ≤ Kε (4)

となるw ∈ C1(R, X)が無数に存在する．実際‖Thu−v‖∞ ≤ εをみたす ε > 0, v ∈ C(R, X)

及び u ∈ C1(R, X)を任意に選ぶ．いま Eh < ∞であるから，定理 2より Thu0 = vかつ‖u − u0‖∞ ≤ Ehεをみたす u0 ∈ C1(R, X)が存在する．このとき

u0(t) =1

h(t)

u0(0) +

∫ t

0

h(s)v(s)ds

(∀t ∈ R)

とかけることに注意する．さて，いまEh < ∞であるから，注意 1でみたようにCh = Dh = ∞となる．したがっ

て定理 2及び定理 3 より rdef= inft∈|h(t)| > 0となることが分かる．そこで ‖x−u0(0)‖ ≤

r(K −Eh)εとなる x ∈ X を任意に固定し，関数

ux(t) =1

h(t)

x +

∫ t

0

h(s)v(s)ds

(∀t ∈ R)

を考えると，この uxが求めるものである．実際，Thux = vであり，さらに

‖u(t) − ux(t)‖ ≤ ‖u(t) − u0(t)‖ + ‖u0(t) − ux(t)‖≤ Ehε +

1

|h(t)|‖u0(0) − x‖

≤ Ehε +r

|h(t)|(K − Eh)ε ≤ Kε

をみたす．

注意 3 Ch < ∞またはDh < ∞であるときは，それぞれCh, Dhが最良の HUS定数であることは定理 2で述べた．これに対してEh < ∞であるときには，まず最良のHUS定数が存在するのか，もし存在したときにそれはEhと一致するか，ということは分かっていない．

最後に hを実係数多項式としたときにCh, Dh, Ehの有限性をみる．詳細は [8, Example

2.1]を参照されたい．

例 1 n ∈ N ∪ 0, an ∈ R \ 0とする．また h(t) =∑n

k=0 aktkを実係数多項式とすると

次が成り立つ．

77

(a) nが偶数で an < 0ならばCh < ∞となる．(b) nが偶数で an > 0ならばDh < ∞となる．(c) nが奇数で an > 0ならばEh < ∞となる．(d) nが奇数で an < 0ならばCh = Dh = Eh = ∞となる．

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[14] S. M. Ulam, “Sets, Numbers, and Universes. Selected Works,” Part III, Mit Press,

Cambridge, MA, 1974.

78

SHARP関数と BANACH空間 Bp0

松岡勝男（日本大学経済学部）

1. Preliminaries

最初に, Banach 空間 Bp, その部分空間 Bp0 , そしていわゆるBeurling algebra Ap を

定義する ([CL], [G] 参照).

Definition 1. 1 0 の open ball である;

Bp0 = Bp

0(Rn)

=

f ∈ Bp : lim

R→∞1

|B(0, R)|∫

B(0,R)

|f(x)|pdx = 0

;

Ap = Ap(Rn)

=

f : ‖f‖Ap = inf

ω∈Ω

(∫n

|f(x)|pω(x)−(p−1)dx

)1/p

< ∞

,

ここで, Ω は positive, radial, |x| に関して nonincreasing, そして

ω(0) +

∫n

ω(x)dx = 1

である Rn 上の関数 ω の class である.

このとき, 次の duality theorem が成り立つ ([B], [CL], [G] 参照).

Theorem 2. 1 < p, p′ < ∞ with1

p+

1

p′= 1 とする. このとき,

(Ap)∗ = Bp′,

であり, duality が

〈f, g〉 =

∫n

f(x)g(x)dx(f ∈ Ap, g ∈ Bp′

)で与えられる. また,

(Bp0)

∗= Ap′.

である.81

次に, [CL] と [G] による, 2 つの関数空間を定義する.

Definition 3. 1 < p < ∞ のとき, f ∈ Lploc(R

n) が central mean oscillation of order p の関数の class , CMOp, に属するとは,

‖f‖CMOp = supR≥1

(1

|B(0, R)|∫

B(0,R)

|f(x) − mR(f)|pdx

)1/p

< ∞

を満たすことである. ここで, B(0, R) ∈ Rn は中心 0, 半径R > 0 の open ball であり,

mR(f) =1

|B(0, R)|∫

B(0,R)

f(x)dx

である.

Definition 4. 1 < p < ∞ とする. このとき, Hardy 空間 HAp associated to Ap を

HAp = f ∈ Ap : f real, f∗ ∈ Ap ,

と定義する. ここで, f∗ は f の Poisson積分のnontangential maximal関数, i.e. ∀x ∈ Rn

に対して,

f∗(x) = sup|y−x|<t

| (f ∗ Pt) (y)|

= sup|y−x|<t

∣∣∣∣∣cn

∫n

f(y − x′)t

(t2 + |x′|2)(n+1)/2dx′

∣∣∣∣∣ , cn =Γ

(n+1

2

)π(n+1)/2

,

である. また, norm ‖ · ‖HAp を

‖f‖HAp = ‖f∗‖Ap,

で定義する.

次の定理は Fefferman-Stein’s H1-BMO duality の analog である ([CL], [G] 参照).

Theorem 5. 1 < p, p′ < ∞ with1

p+

1

p′= 1 とする. このとき,

(HAp)∗

= CMOp′,

であり, duality が

〈f, g〉 =

∫n

f(x)g(x)dx(f ∈ HAp, g ∈ CMOp′

)で与えられる.

2. Maximal function

Bp の関数に対して, Hardy-Littlewood maximal theoremの analogが成り立つ ([CL],[G] 参照).

Theorem 6. 1 < p < ∞ のとき,

f ∈ Bp =⇒ Mf ∈ Bp,

そして‖Mf‖Bp ≤ Cp‖f‖Bp.

ただし, Cp は n と p だけに依存する定数である.82

また, [G] は grand maximal function Mf を用いて, HAp の characterization を示した.

Definition 7. N を positive integer とし,

AN

=

φ ∈ S(Rn) : sup

|α|≤N,|β|≤N

‖φ‖α,β = sup|α|≤N,|β|≤N

supx∈n

∣∣xα∂βx φ(x)

∣∣ ≤ 1

とする. ここで, S(Rn) は Schwarz class であり, α と β は自然数の n-tuple である. このとき, ∀関数 f on R

n に対して, grand maximal function MNf を

(MNf)(x) = supφ∈AN

sup

|y−x|<t

|(f ∗ φt)(y)|

(x ∈ Rn) ,

で定義する. ただし, φt(x) = t−nφ(x/t) (t > 0) である. ここで, もし N が sufficientlylarge ならば, N は fix され, MN の代わりに notation M を用いる.

Theorem 8. 1 < p < ∞ とし, f を実関数 on Rnとするとき, 次の条件は同値である:

(i) f ∈ HAp;(ii) Mf ∈ Ap.

さらに,‖f‖HAp ≈ ‖Mf‖Ap .

3. Sharp 関数

Bp の関数に対して, sharp 関数についての次の定理が成り立つ.

Theorem 9. 1 < p < ∞ とするとき,

f ∈ Bp =⇒ f ∈ Bp,

そして‖f ‖Bp ≤ Cp‖f‖Bp.

ただし, Cp は n と p だけに依存する定数である.

次の sharp 関数と grand maximal function に対する duality inequality は [St, p.147] により示された.

Proposition 10. g ∈ H1 と f : bounded, に対して, duality inequality∣∣∣∣∫n

f(x)g(x)dx

∣∣∣∣ ≤ c

∫n

f (x)(Mg)(x)dx

が成り立つ.

Proposition 10 を用いると, 次の f ∈ Bp0 の CMOp norm と f の Bp norm の間の不

等式が成り立つ ([M]).

Theorem 11. 1 < p < ∞ のとき, f ∈ Bp0 ならば,

‖f‖CMOp ≤ Cp‖f ‖Bp,

が成り立つ. ただし, Cp は n と p だけに依存する定数である.

83

Proof. 証明は [St, p. 148] の Theorem 2 の証明と同様である.

∀f ∈ Bp0 に対して,

∃fk ⊂ C∞c (Rn) such that fk → f in Bp,

であるから, Theorem 6 により,fk

→ f in Bp.

ここで, Proposition 10 により,1

p+

1

p′= 1 のとき, ∀g ∈ HAp′ に対して,∣∣∣∣

∫n

fk(x)g(x)dx

∣∣∣∣ ≤ c

∫n

fk(x)(Mg)(x)dx.

よって, Theorem 2 と Theorem 8 により, f ∈ Bp0 と g ∈ HAp′ に対して,∣∣∣∣

∫n

f(x)g(x)dx

∣∣∣∣ ≤ c

∫n

f (x)(Mg)(x)dx.

従って,1

p+

1

p′= 1 のとき,∣∣∣∣

∫n

f(x)g(x)dx

∣∣∣∣ ≤ cp′‖f ‖Bp · ‖g‖HAp′ .

故に, Theorem 5 により,

‖f‖CMOp = sup‖g‖

HAp′≤1

∣∣∣∣∫n

f(x)g(x)dx

∣∣∣∣ ≤ Cp‖f ‖Bp.

が得られる.

References

[B] A. Beurling, Construction and analysis of some convolution algebra, Ann. Inst. Fourier, 14 (1964),1–32.

[CL] Y. Chen and K. Lau, Some new classes of Hardy spaces, J. Func. Anal., 84 (1989), 255–278.[G] J. Garcia-Cuerva, Hardy spaces and Beurling algebras, J. London Math. Soc. (2), 39 (1989), 499–

513.[M] K. Matsuoka, On the sharp function on Banach spaces Bp

0 , Research Bulletin of Nihon DaigakuKeizaigaku Kenkyukai, 30 (2000), 129–134.

[St] E. M. Stein, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals,Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1993.

84

A topology for semiclosed operators

in Hilbert space

平澤　剛

非常勤講師

1 準備

(H, ‖ · ‖) : 無限次元複素ヒルベルト空間

H 上で定義された線形作用素 A が有界であることを次で定義

します.

∃α > 0 s.t. ‖Au‖ ≤ α‖u‖, u ∈ H.

B(H) : H 上の有界作用素の集合

定義域 domS をもつ線形作用素 S が閉であることを, 直積

ヒルベルト空間 H × H におけるグラフ

G(S) := (x, Sx) ∈ H × H : x ∈ domS

が閉であることで定義する.

また, 線形作用素 S が半閉 (semiclosed) であるとはそのグ

ラフ G(S) が半閉であることで定義する.

91

ここで, ヒルベルト空間 H の部分空間 M が半閉であるとは

次の条件を満たすことである.

• ある内積〈 , 〉M が存在して, (M, 〈 , 〉M) は完備である.

• 包含写像 I : (M, 〈 , 〉M) → (H, 〈 , 〉) は連続である.

C(H) : 閉作用素の集合

S(H) : 半閉作用素の集合

とすると,

B(H) ⊂ C(H) ⊂ S(H).

ちなみに, 次は半閉部分空間の特徴付けとして知られている. Proposition 1.1 (’71, P.Fillmore, J.Williams) H の部

分空間 M が半閉であることと, H 上のある有界作用素 C

が存在して M = CH と表されることは同値である.

92

2 半閉作用素の特徴

Theorem 2.1 (’79, W.Kaufman) 次は同値である.

(i) S ∈ S(H)

(ii) domS は半閉部分空間, かつ

S : (domS, ‖ · ‖0) → H (有界作用素)

i.e. ∃α > 0 s.t. ‖Sx‖ ≤ α‖x‖0, x ∈ domS.

(iii) S は作用素商である.

∃A,B ∈ B(H) s.t. ker A ⊂ ker B かつ S = B/A.

すなわち,

B/A : Au → Bu, u ∈ H.

Theorem 2.2 (’79, W.Kaufman) 半閉作用素クラスは閉

作用素を含むクラスの中で和 (or 積 ) で閉じている最小の

クラスである. 注.半閉作用素クラス S(H) はベクトル空間ではない.

Theorem 2.3 (半閉グラフ定理) ヒルベルト空間 H 全体で

定義された半閉作用素は有界である.

93

3 半閉作用素クラスの位相

S.R.Caradus は

“ Semiclosed operators, Pacific J. Math. (1973) ”

において, バナッハ空間上の半閉作用素クラスに位相 (局所凸)

を入れて, 和や積の連続性を述べております.

さて, 我々はヒルベルト空間上の半閉作用素クラスに位相を

入れて考察していこうと思います.

T ∈ S(H) に対して作用素商 T = B/A と表しておく.

このとき, V (T ;A, ε), (ε > 0) を次で定義する.

V (T ;A, ε) := S ∈ S(H) : S = D/A, ‖B − D‖ < ε

これは近傍の条件を満たすので, これから入る位相を τ とする.

まず, 近傍に関して次が成り立ちます. Lemma 3.1 T ∈ S(H) に対して, T = B/A = D/C と２つ

作用素商表現しておくと, 任意の近傍 V (T ;A, ε) に対して,

V (T ;A, ε) ⊇ V (T ;C, δ)

となる δ > 0 が存在する. 従って, ε = 1/n (n = 1, 2, ...) と

すれば T = B/A は可算基本近傍系をもつことがわかる.

94

Proposition 3.2 (S(H), τ) は, 第一可算な局所凸 (ハウス

ドルフ )位相空間である.（位相線形空間ではない.）

Proposition 3.3 (S(H), τ) は, 和やスカラー倍に関して連

続である. （jointly continuous ）

Proposition 3.4 (S(H), τ) は, 積について左側に関して連

続である.

Proposition 3.5 (S(H), τ) は連結でない. 特に, 連結成分

は次で与えられる. D を H の半閉部分空間とすると,

T ∈ S(H) : D = domT.

さらに, 上の連結成分は B(D, H) と同相である.

特に, D = H とすれば, B(H,H) = B(H) は１つの連結成

分になっている.

95

Proposition 3.6 (S(H), τ) は, 距離付け可能である.

問題. 閉作用素クラス C(H)との関係はどうなっているのか？

これについては次の程度までは分かっています．

Tn, T ∈ C(H), (n = 1, 2, ...) で Tn → T in τ ならば

δ(Tn, T ) → 0 in gap metric δ.

ここで，gap metric δ(S, T ) := ‖P − Q‖, (P , Q はそれぞ

れ S, T のグラフへの直交射影).

References

[1] S.R.Caradus, Semiclosed operators, Pacific J. Math., 44

(1973), 75-79.

[2] P.A.Fillmore and J.P.Williams, On operator ranges, Ad-

vance in Math., 7 (1971), 254-281.

[3] S. Izumino, Quotients of bounded operators, Proc. Amer.

Math. Soc., 106 (1989), 427-435.

[4] W.E.Kaufman, Semiclosed operators in Hilbert space, Proc.

Amer. Math. Soc., 76 (1979), 67-73.

96

ORTHONORMAL POLYNMALS FOR GENERALIZED

FREUD-TYPE WEIGHTS

AND

HIGHER ORDER HERMITE-FEJER INTERPOLATION

POLYNOMIALS

春日　龍郎（熊本電波工業高等専門学校）酒井　良二（愛知県立足助高等学校）

1 INTRODUCTION

　1970年代初期にG. FreudはR上の古典的な Hermite weight W2(x) =

exp(−x2)を拡張し、いわゆる Freud weightを持つ R上の直交多項式列について研究を始めた。最近、Lubinsky と彼の共著者たちは Freud weight

を持つ R 上の直交多項式列 Pn(W 2Q; x)∞n=0 を研究し, 数多くの興味あ

る結果を得た ([LL])。彼らの結果はどれも厳密で、応用上非常に有効である。　一方、直交多項式の zeros 上の Hermite-Fejer 補間多項式の収束・発散について研究が始められたのは 1900年代初期の 1916年 Fejer([Fe]) の頃からであると思われる。それは、古典的な Lagrange 補間多項式がどのf ∈ C(R)に対しても収束するとは限らない (Faber) という欠点を補うものとして意義深い研究となった。Hermite-Fejer 補間は、その後有限区間上の Chebyshev または Jacobi weight を持つ直交多項式の zeros 上で研究が進められてきたが、それらは order 2 の補間多項式 Ln(2, f ; x) の研究が殆どであり、1965年に Krilov-Steyermann多項式 Ln(4, f ; x) に対して O. Florica がその収束を示した以外は目立った研究は見出だせない。　 1980年に入って、酒井はより一般的な order ν ≥ 1 の高次の Hermite-

Fejer 補間多項式を研究し始めた。1980年代後半になって P. Vertesi、酒井、酒井・Vertesi([Sa][SV])等によって Jacobi weight を持つ直交多項式の zeros 上の高次の Hermite-Fejer 補間多項式の収束・発散について詳しい研究が成された。　それまでの有限区間における問題を R 上に移したのは 1994年の勘甚・酒井の研究からである ([KS])。今現在 Freud-type weights W 2

rQ(x)を持つ直交多項式 Pn(W 2

rQ; x) 及び、その zeros 上の高次の Hermite-Fejer 補間

101

多項式の研究を春日・酒井が始めている。Pn(W 2rQ; x)の属性については、

Lebin and Lubinsky の諸結果の analogy として研究を終了している。今はこれまでの諸結果の応用として、高次補間多項式 Ln(ν, W 2

rQ; x) の一様及び平均収束の条件に関する興味ある結果を追求している。　この報告では、直交多項式 Pn(W 2

rQ; x) について、そしてその zeros 上の高次の Hermite-Fejer 補間多項式の収束・発散について調べる。ここでは主立った結果だけを、証明抜きに報告する。　Q : R → Rは evenで continuous in R, Q′ は continuous in R, Q′ > 0

in (0,∞) であるとし、更に、Q′′ は continuous in (0,∞)、Q は次を満たすとする。

1 < A ≤ (d/dx)(xQ′(x))/Q′(x) ≤ B, x ∈ (0,∞) (1.1)

ここに、A、B は定数である。そのとき WQ(x) = exp(−Q(x)) は Freud

weight であると言われ、その典型的な case は次のようである。

Wα(x) = exp(−|x|α), α > 1,

Lubinsky と彼の共著者たちが直交多項式 Pn(W 2Q; x)∞n=0 の多くの属

性を研究したあと、Lubinsky and Matjila [LMa] は Freud weights (0.2)

を持つ Lagrange 補間多項式の平均収束について１つの興味ある結果を示した。我々はある一般化された Freud-type weights

WrQ(x) = |x|rexp(−Q(x)) (x ∈ R, 2r > −1), (1.2)

を扱い、weights (0.3) を持つ直交多項式 Pn(W 2rQ; x)∞n=0 の列を研究す

るだろう。直交多項式 Pn(W 2rQ; x)∞n=0 は次によって構成される。∫ ∞

−∞Pi(W

2rQ; t)Pj(W

2rQ; t)W 2

rQ(t)dt = δij (Kronecker’s delta),

i, j = 0, 1, 2, . . . .

order ν の Hermite-Fejer 補間多項式 Ln(ν, f ; x) ∈ ∏νn−1 は次のように

定義される。各整数 ν > 0 と f ∈ C(R) に対して、

Ln(ν, f ; xkn) = f(xkn), k = 1, 2, . . . , n,

L(i)n (ν, f ; xkn) = 0, k = 1, 2, . . . , n, i = 1, 2, . . . , ν − 1.

Ln(1, f ; x) は Lagrange 補間多項式, Ln(2, f ; x) は一般の Hermite-Fejer

補間多項式で、Ln(4, f ; x) は Krilov-Stayermann 補間多項式である。

102

ここに我々は、更なる仮定の追加を必要とする。ν = 1 の場合は (0.1)

を仮定し、ν ≥ 2 に対しては我々は Q ∈ C(ν+1)(R) で、かつ (0.1) を満たした上で、更に次のような正定数 B があるとする。

0 ≤ xQ(j+1)(x)/Q(j)(x) ≤ B, j = 2, 3, . . . , ν,

Q(ν+1)(x) ↑ (nondecreasing), x ∈ (0,∞). (1.3)

もし、ν = 1, 2, 3, . . . に対して、Q が条件 (0.1) そして (0.4)を満たしているなら、そのとき exponent Q は条件 C(ν) を満たしていると言おう。　更に operator Ln(ν, f ; x)を一般化しよう。lは非負整数とする。ν−1 ≥ l

である。f ∈ C(l)(R) に対して、(l, ν)-order Hermite-Fejer 補間多項式Ln(l, ν, f ; x) ∈ ∏

νn−1 を次のように定める。k = 1, 2, . . . , n である。

Ln(l, ν, f ; xkn) = f(xkn), L(j)n (l, ν, f ; xkn) = f (j)(xkn), j = 1, 2, . . . , l,

L(j)n (l, ν, f ; xkn) = 0, j = l + 1, l + 2, . . . , ν − 1.

特に、Ln(0, ν, f ; x) は Ln(ν, f ; x) に等しい。

2 ORTHONORMAL POLYNOMIALS

　この後、Theorem 1.10 までは Condition C(1)、即ち、(0.1) のみを仮定する。先ず、基本的な定義をする。

Pn(x) = Pn(W 2rQ; x) = γnxn + . . . , γn = γn(W

2rQ) > 0, n = 1, 2, 3, . . . .

zeros を −∞ < xnn < xn−1,n < · · · < x2n < x1n < ∞ とする。Mhaskar-Rahmanov-Saff number au：

u = (2/π)

∫ 1

0

autQ′(aut)(1 − t2)−1/2dt, u > 0.

以下、主な結果を羅列する。次は r = 0 に対して [LL2, Theorem 1.8]

で与えられた infinite-finite range inequalities と呼ばれているものの拡張である。

Theorem 1.1. We supose that pr > −1 if 0 0 is a constant. Then for every P ∈ ∏n we have

‖PWrQ‖Lp(R) ≤ C‖PWrQ‖Lp(|x|≤an(1−Kn−2/3)).

103

Theorem 1.2. There is a certain constant C such that

|(x1n/an) − 1| ≤ Cn−2/3.

　 zeros xin, i = 1, 2, . . . , n, について次を得る。

Theorem 1.3. Uniformly for 2 ≤ j ≤ n, n = 2, 3, 4, . . .

xj−1,n − xj,n ∼ (an/n)[maxn−2/3, 1 − |xjn|/an]−1/2.

次を定義する。

(x)r =

0 (r ≥ 0),

x (r < 0).

Theorem 1.4. For |x| ≤ an(1 + Ln−2/3) we have

|Pn(x)|WQ(x)(|x| + (an

n)r)

r ≤ Ca−1/2n [maxn−2/3, 1 − (|x|/an]−1/4.

　 P ′n(xin), i = 1, 2, . . . , n の estimate:

Theorem 1.5. (i) If n is odd, then we have

|Pn−1(0)| ∼ (n/an)ra−1/2

n , |P ′n(0)| ∼ (n/an)

rna−3/2n .

(ii) For xjn = 0, we see

|(d/dx)Pn(x)WrQ(x)x=xjn| = |P ′n(xjn)WrQ(xjn)|

∼ na−3/2n [maxn−2/3, 1 − (|xjn|/an)]1/4.

Theorem 1.6. Let |x| ≤ ηan, 0 < η < 1.

(i) Let n be odd. For 0 < δan/n ≤ x ≤ x[n/2],n − δan/n, δ > 0, we see

|Pn(x)| ∼ (n/an)ra−1/2

n ,

104

and there is a constant δ′ > 0 such that for |x| ≤ δ′an/n

|P ′n(x)| ∼ (n/an)

rna−3/2n .

Let n be even. For −x[n/2],n + δan/n ≤ x ≤ x[n/2],n − δan/n, δ > 0,

|Pn(x)| ∼ (n/an)ra−1/2

n .

(ii) When xkn > 0 or xk−1,n < 0 we have for xkn + δan/n ≤ x ≤xk−1,n − δan/n, δ > 0, we see

|Pn(x)WrQ(x)| ∼ a−1/2n ,

and there is a constant δ′ > 0 such that for xkn − δ′an/n ≤ x ≤ xkn +

δ′an/n, xkn = 0

|P ′n(x)WrQ(x)| ∼ na−3/2

n .

Theorem 1.7. Let Q(0) = 0. We have

supx∈R

|Pn(x)|WQ(x)(|x| + (an

n)r)

r ∼ a−1/2n n1/6.

Theorem 1.8. Let Q(0) = 0, and let r ≥ 0. We have

supx∈R

|P ′n(x)WrQ(x)| ∼ na−3/2

n n1/6.

　以下２つの定理はQ は条件 (0.1) を充たしていて、weight (0.3) では r ≥ 0 とする。

Theorem 1.9. Given 0 4,

where WrQn(x) is defined as follows.

WrQn(x) =

(an/n)rWQ(x) ∼ (an/n)r, |x| ≤ an/n,

WrQ(x), an/n < |x|,

105

Theorem 2.3 (cf. [KS]). Let ν ≥ 1 be an odd integer, and let Q satisfy

the condition C(ν + 1). Then there is a function f ∈ C(R) such that for

any fixed constant M > 0,

lim supn→∞

max−M≤x≤M

|Ln(ν, f ; x)| = ∞.

4 CONDITIONS FOR UNIFORM OR MEAN CONVERGENCE

　ここでは、Q(0) = 0 であるとし、ν = 1 ならば (0.1) を、ν ≥ 2 ならば A ≥ 2 でもって (0.1) を、更に (0.4) を仮定する。また、weight (0.3)

に対して r ≥ 0 を仮定しよう。このとき、Ln(ν, f ; x) の一様または平均収束の条件を与える。この節では Q(x) は条件 C(ν +1) を満たすとする。次の結果を得る。η は (3.1) によって定める。　

Theorem 3.1. Let ν = 2, 4, 6, . . . , α ≥ 0, and let 0 ≤ τ < 1. For every

function f ∈ C(R) satisfying

lim|x|→∞

(1 + |x|)α+(1+ν/6)η−τW νrQ(x)|f(x)| = 0,

we have

limn→∞

‖ (1 + |x|)−νη/6W νrQ(x)Ln(ν, f ; x) − f(x) ‖L∞(R)= 0,

Theorem 3.2(cf.[LMa]). Let ν = 1, 1 0. Then for

limn→∞

‖ (1 + |x|)−∆WQ(x)Ln(f ; x) − f(x) ‖Lp(R)= 0 (4.1)

to hold for every continuous function f : R → R satisfying

lim|x|→∞

(1 + |x|)αWQ(x)|f(x)| = 0, (4.2)

if p ≤ 4, it is necessary and sufficient that

∆ > 1/p− α ,

107

and if p > 4, and α = 1, it is necessary and sufficient that

a1/p−(∆+α)n n(1/6)(1−4/p) = 0(1), n → ∞,

and if p > 4 and α = 1, it is necessary and sufficient that

a1/p−(∆+1)n n(1/6)(1−4/p) = 0(1/ log(1 + n)), n → ∞.

Let ν = 3, 5, 7, . . . , 1 1. Then for (6.2) to hold for

every f ∈ C(R) satisfying (6.1), it is necessary and sufficient that the

followings are true.

∆ > 1/p − 1 if 1 4/ν.

REFERENCES

[Fe] L. Fejer, Uber interpolation, Nachr. Gesell. Gott.(1916), 66-91.

[KS] Y. Kanjin and R. Sakai, Pointwise Convergence of Hermite-Fejer

Interpolation of Higher Order for Freud Weights, Tohoku Math. J.

46(1994) 181-206.

[LL] A. L. Levin and D. S. Lubinsky, Christoffel Functions, Orthogonal

Polynomials, and Nevai’s Conjecture for Freud Weights, Constr. Approx.

8(1992), 463-535.

[LMa] D. S. Lubinsky and D. M. Matjila, Necessary and sufficient con-

ditions for mean convergence of Lagrange interpolation for freud weights,

SIAM J. Math Anal. 26(1995), 238-262.

[Sa] R. Sakai, Hermite-Fejer interpolation prescribing higher order deriva-

tives, Progress in Approximation Theory (edited by P. Nevai and A.

Pinkus), Academic Press, Inc. 1991), 731-759.

[SV] R. Sakai and P. Vertesi, Hermite-Fejer interpolation of higher

order.III, Studia Sci. Math. Hungar., 28(1993), 87-97.

108

Interpolation theorem on Lorentz spacesover weighted measure spaces

丹羽　美由紀　 (奈良女子大学　人間文化研究科)

本研究は，岡山大学の曽布川拓也氏と奈良女子大学の森藤紳哉氏との共同研究です．

1 背景本稿では，重みつき Lorentz 空間上での補間定理について述べる．1966年, Calderon [3] と Hunt [5] は Lorentz 空間での補間定理を証明し，一方

1958年には，Stein と Weiss [9] が重みつき Lp空間での補間定理を証明した。そこで，2つを合わせた形の，重みつき Lorentz 空間での補間定理が考えられるのは自然であるが，1997年，Ferreyra [4] がこれに対して反例を与えた．我々はこれまで，重みつき Lorentz 空間での補間について考えてきた。昨年の実解析シンポジウムでは，次の結果を発表した [6].

Theorem 1.1. i = 0, 1とする．0 < p0 < p1 ≤ ∞, 0 < ri ≤ ∞, r0 = r1, 0 <

qi, si ≤ ∞, 0 < θ < ∞ とする．vi, wi を任意の非負可測函数とする．さらに1/p = (1 − θ)/p0 + θ/p1, 1/r = (1 − θ)/r0 + θ/r1, D = (−α,−α) ∈ R2, ここで α > 1 とする．擬線型作用素 T が Lpiqi,viから Lrisi,wiへの有界な作用素ならば，supports が disjoint な 2つの特性関数の一次結合である fに対して，q ≤ s のとき

‖Tf‖rs,,w ≤ C‖f‖pq,v

である．

今回我々は, 上のタイプの不等式を任意の可測函数 f に対して示す．

2 準備(M, M, µ), (N, N, ν) は σ-有限な測度空間とし，これらの空間上の実数値あるいは複素数値可測函数について考える．作用素 T は (M, M, µ)上の可測函数の集合から (N, N, ν) 上の可測函数の集合への作用素とする．

Definition 2.1. wはM上の非負可測函数とする．このとき f のwに関する分布関数 λf,wは次のように定義される:

λf,w(y) = w(x ∈ M ; |f(x)| > y), y > 0,

111

ここで任意の A ∈ M に対して w(A) =∫

Awdµ とする．また，f のwに関する非

増加再配列関数 f∗wは次のように定義される:

f∗w(t) = infy; λf,w(y) ≤ t, t > 0.

f のwに関する平均関数 f∗∗w は次のように定義される:

f∗∗w (t) =

1

t

t∫0

f∗w(y)dy.

Definition 2.2. wはM 上の非負可測函数とする．このとき重みつき Lorentz 空間 Lpq,w とは

‖f‖pq,w =

q

p

∞∫0

[t1/pf∗w(t)]q

dt

t

1/q

< ∞, 1 ≤ p, q < ∞,

supt>0

t1/pf∗w(t) < ∞, 1 ≤ p ≤ ∞, q = ∞.

を満たす函数全体の集合である．一般には ‖ · ‖pq,w はMinkowski の不等式を満たさないためノルムではない．しかし上の ‖f‖pq,w の定義において f∗

wの代わりに f∗∗w

を用いることで，ノルム ‖ · ‖(pq),w を得る．

次は ‖ · ‖pq,wと ‖ · ‖(pq),wの同値性を示している:

Lemma 2.3. f ∈ L(pq,w)とする．1 < p ≤ ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ ならば

‖f‖pq,w ≤ ‖f‖(pq),w ≤ p

p − 1‖f‖pq,w.

Proof. 例えば [2]を見よ．

Definition 2.4. wはM 上の非負可測函数とする．このとき重みつき Lorentz-

Zygmund 空間 Lpq,,w , D = (α, β) ∈ R2 とは

‖f‖pq,,w =

q

p

∞∫0

[t1/pf∗w(t)]q(log t)

dt

t

1/q

< ∞, 1 ≤ p, q < ∞,

supt>0

t1/pf∗w(t)(log t) < ∞, 1 ≤ p ≤ ∞, q = ∞.

ここで

(log t) =

(1 − log t)α, 0 < t < 1,

(1 + log t)β , 1 < t < ∞.

を満たす函数全体の集合である．

Definition 2.5. 作用素 T が擬線型作用素であるとは，

|T (f + g)| ≤ K(|Tf |+ |Tg|), |T (λf)| = |λ| · |Tf | (λ ∈ C)

を満たす f と gに無関係な定数Kが存在することである．

112

3 補題と定理我々の主定理の証明には次の Lemma を必要とする:

Lemma 3.1. f ∈ Lp1,vとするとき，定数C1とC2が存在して，次を満たす:

C1

∞∑k=−∞

2k/pf∗w(2k) ≤ ‖f‖p1,w ≤ C2

∞∑k=−∞

2k/pf∗w(2k)

Proof. t ∈ [2k, 2k+1] とする．f∗wは非増加函数なので，f∗

w(2k+1) ≤ f∗w(t) ≤ f∗

w(2k)

となる．一方，

‖f‖p1,w =1

p

∞∫0

t1/pf∗w(t)

dt

t

=1

p

∞∑k=−∞

2k+1∫2k

t1/pf∗w(t)

dt

t

≤ 1

p

∞∑k=−∞

2k+1∫2k

t1/pf∗w(2k)

dt

t

=

∞∑k=−∞

f∗w(2k)(2(k+1)/p − 2k/p)

= (21/p − 1)∞∑

k=−∞2k/pf∗

w(2k)

を得る．また，

‖f‖p1,w ≥ 1

p

∞∑k=−∞

2k+1∫2k

t1/pf∗w(2k+1)

dt

t

=∞∑

k=−∞f∗

w(2k+1)(2(k+1)/p − 2k/p)

= (1 − 2−1/p)

∞∑k=−∞

2(k+1)/pf∗w(2k+1)

も得る．

我々の主定理は次である [7]:

Theorem 3.2. i = 0, 1とする．1 ≤ p0 < p1 ≤ ∞, 1 ≤ ri ≤ ∞ (r0 = r1), 0 <

qi, si ≤ ∞ とする．0 < θ < 1に対して，1/p = (1 − θ)/p0 + θ/p1, 1/r = (1 −

113

θ)/r0 + θ/r1とおき，v, wi は任意の非負可測函数とする．擬線型作用素 T がLpiqi,v

から Lrisi,wi への有界な作用素ならば，定数Cが存在して，

‖Tf‖r∞,w ≤ C‖f‖p1,v

である．ここで w1/r = w(1−θ)/r0

0 wθ/r1

1 .

Proof. f はM 上の任意の可測函数とする．互いに disjoint なM 上の可測な部分集合Enを考える:

En = x ∈ M ; f∗v (2n+1) < |f(x)| ≤ f∗

v (2n), n = 0,±1,±2, . . . .

函数 f を次の函数の和として表す [8]:

fn(x) =

f(x), x ∈ En,

0, その他.

Lemma 2.3から，‖Tf‖(r∞),w ≤ ∑∞n=−∞ ‖Tfn‖(r∞),w ≤ r/(r−1)

∑∞n=−∞ ‖Tfn‖r∞,w

なので, ‖Tfn‖r∞,w を評価していけばよい. T は Lpiqi,vから Lrisi,wi への有界な作用素なので,

t1/ri(Tfn)∗wi

(t) ≤ C‖fn‖piqi,v

を得る．変数変換 t = λTfn,wi(s) によって,

s(λTfn,wi(s))1/ri ≤ C‖fn‖piqi,v. (1)

Holder の不等式と 1/r = (1 − θ)/r0 + θ/r1, w1/r = w(1−θ)/r0

0 wθ/r1

1 を用いると，

s(λTfn,w(s))1/r

= s( ∫x;|T fn(x)|>s

w(x)dµ(x))1/r

≤ s( ∫x;|T fn(x)|>s

w0(x)dµ(x))(1−θ)/r0

( ∫x;|T fn(x)|>s

w1(x)dµ(x))θ/r1

=[s(λTfn,w0(s))

1/r0

]1−θ[s(λTfn,w1(s))

1/r1

]θ

.

(2)

式 (1)と (2)から,

s(λTfn,w(s))1/r ≤ C‖fn‖1−θp0q0,v‖fn‖θ

p1q1,v.

したがって，

‖Tfn‖r∞,w ≤ C ‖fn‖1−θp0q0,v‖fn‖θ

p1q1,v.

114

‖fn‖p0q0,vを計算すると,

‖fn‖p0q0,v =

q0

p0

∞∫0

[t1/p0(fn)∗v(t)]q0

dt

t

1/q0

≤q0

p0

v(En)∫0

[t1/p0f∗v (2n)]q0

dt

t

1/q0

= f∗v (2n)(v(En))

1/p0.

同様に，‖fn‖p1q1,vも計算すると，

‖fn‖p1q1,v ≤ f∗v (2n)(v(En))

1/p1.

1/p = (1 − θ)/p0 + θ/p1 を用いると，

‖Tfn‖r∞,w ≤ Cf∗v (2n)(v(En))

1/p = Cf∗v (2n) · 2n/p.

Lemma 3.1 を適用すると，

‖Tf‖r∞,w ≤ C∞∑

n=−∞f∗

v (2n) · 2n/p ≤ C‖f‖p1,v.

これで証明された．

上の定理から，すぐに次の Corollary を得る:

Corollary 3.3. i = 0, 1 とする. 1 ≤ pi, ri ≤ ∞, 0 < qi, si ≤ ∞, D = (−α,−α) ∈R2, ここで α > 1 とする. 0 < θ < 1 に対して，1/p = (1 − θ)/p0 + θ/p1, 1/r =

(1 − θ)/r0 + θ/r1 とおき，v, wi は非負可測函数とする．擬線型作用素 T がLpiqi,v

から Lrisi,wi への有界な作用素ならば，定数Cが存在して，

‖Tf‖rs,,w ≤ C‖f‖p1,v

である．ここで r > 1, s ≥ 1 and w1/r = w(1−θ)/r0

0 wθ/r1

1 .

Proof. Theorem 3.2 から，‖Tf‖r∞,w ≤ C‖f‖p1,v を得る．これと，D = (−α,−α),

α > 1 に対して，∫ ∞0

(log t)dt/t ≤ C < ∞ であるという事実から，

‖Tf‖rs,,w =

(s

r

∞∫0

[t1/r(Tf)∗w]s(log t)dt

t

)1/s

≤ ‖Tf‖r∞,w

(s

r

∞∫0

(log t)dt

t

)1/s

≤ C‖f‖p1,v.

115

4 block-Lorentz 空間の応用定理 3.2に対して，block-Lorent 空間 [1]を適用すると，下の Theorem 4.2を得ることができる．これは A. Gogatishivili 氏の助言による．block-Lorentz 空間は，2001年，Asekritova, Krugljak, Maligranda, Nikolova, Persson 達が定義したもので，この空間を用いて次の Corollary を得ている．この結果は Stein-Weiss の補間定理 [9]の拡張となっている:

Corollary 4.1 (Stein-Weiss interpolation theorem for Lorentz spaces).

0 < p0, p1, q0, q1 < ∞ とする．そのとき，補間空間

L = (Lp0q0,w0, Lp1q1,w1)θ,q

は block-Lorentz 空間で，ノルム

‖f‖L ≈

( ∞∑k=−∞

(‖fχΩk‖Lpq,w)q

)1/q

,

をもつ．ここで

Ωk = x; 2k ≤ w0(x)/w1(x) < 2k+1, k = 0,±1,±2, . . . ,

1/p = (1 − θ)/p0 + θ/p1, 1/q = (1 − θ)/q0 + θ/q1, w1/p = w(1−θ)/p0

0 wθ/p1

1 .

我々は次の結果を得た:

Theorem 4.2. i = 0, 1 とする. 1 ≤ p0 < p1 ≤ ∞, 1 ≤ ri ≤ ∞, r0 = r1, 0 <

qi, si ≤ ∞ とする. 0 < θ < 1 に対して 1/p = (1−θ)/p0 +θ/p1, 1/r = (1−θ)/r0 +

θ/r1 とおく．v, wi を非負可測函数とする．擬線型作用素 T が Lpiqi,vから Lrisi,wi

への有界な作用素ならば，定数Cが存在して，

‖Tf‖r,w ≤ C‖f‖ps,v

ここで s < r, w1/r = w(1−θ)/r0

0 wθ/r1

1 .

Proof. 1/s = (1 − θ)/s0 + θ/s1 とする. 実補間法を仮定に適用すると，

T : (Lp0q0,v, Lp1q1,v)θ,s −→ (Lr0s0,w0 , Lr1s1,w1)θ,s.

domain 空間は Lorentz 空間 Lps,v に等しい (詳しくは [2]など). target 空間はblock-Lorentz space L に等しい (Corollary 4.1).

s < rであるので，

‖Tf‖L =( ∞∑

k=−∞(‖(Tf)χΩk

‖rs,w)s)1/s

≥( ∞∑

k=−∞(‖(Tf)χΩk

‖rr,w)r)1/r

= ‖Tf‖Lr,w .

したがって，T は Lps,vから Lr,wへの有界な作用素であることがわかった.

116

参考文献[1] I. Asekritova, N. Krugljak, L. Maligranda, L. Nikolova, L. E. Persson : Lions-

Peetre reiteration formulas for triples and their applications. Studia Math.

145(3) (2001), 219–254.

[2] C. Bennett, R. Sharpley : Interpolation of operators. Academic Press. (1988).

[3] A. P. Calderon : Spaces between L1 and L∞ and the theorem of Marcinkiewicz.

Studia Math. 26 (1966), 273–299.

[4] E. V. Ferreyra : On a negative result concerning interpolation with change of

measures for Lorentz spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997), 1413–1417.

[5] R. A. Hunt : On L(p, q) spaces. Enseign. Math. 12 (1966), 249–276.

[6] M. Kubo (Niwa), S. Moritoh : An approach to Marcinkiewicz type interpola-

tion theorem. Annual Report of Graduate School of Human Culture 16 (2000),

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[7] S. Moritoh, M. Niwa, T. Sobukawa : Interpolation theorem on Lorentz spaces

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[8] T. Sobukawa : The relation between the extrapolation estimate, (in Japanese).

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[9] E. M. Stein, G. Weiss : Interpolation of operators with change of measures.

Trans. Amer. Math. Soc. 87 (1958), 159-172.

117

Fourier級数の絶対収束性と連続率について

神戸学院大学薬学部非常勤講師　尾形尚子新日鉄ソリューソンズ株式会社　小島浩文

f を実数値関数かつ周期 2πのL1関数とすると、次のようにFourier級数に展開される。

f(x) ∼ 12a0 +

∞∑k=1

(ak cos kx + bk sin kx) ≡∞∑

k=−∞f(k)eikx .

ただし、

ak =1π

∫ π

−πf(x) cos kxdx (k = 0, 1, 2, · · ·)

bk =1π

∫ π

−πf(x) sinkxdx (k = 1, 2, · · ·)

かつ、f(0) =12a0 , f(k) =

12

(ak − ibk) (k > 0) , f(k) = f(−k) (k < 0) である。

f の 2次積分連続率 ω(2)(δ, f)を

ω(2)(δ, f) = sup0<h≤δ

(∫ π

−π|f(x + h) − f(x − h)|2dx

)12

と定義する。この連続率と絶対収束に関して次のTheorem Aが示されている。

Theorem A[6].

条件∞∑

k=1

ω(2)(πk , f)√k

< ∞ を満たすならば、∞∑

k=−∞|f(k)| < ∞ が成立する。

次に、f の k階 2次積分連続率 ω(2)∗k (δ, f) を

ω(2)∗k (δ, f) = sup

0<h≤δ

(∫ π

−π

∣∣∣∆khf(x)

∣∣∣2dx

)12

と定義する。ただし、k ∈ N かつ

∆khf(x) =

12k−1

k∑j=0

(−1)k−j

(k

j

)f (x + (2j − k)h)

である。この階差付きの連続率について、次のことがいえる。

121

Proposition[2, (ref. p.13)].

ω(2)∗k+1(δ, f) ≤ ω

(2)∗k (δ, f) .

Proof.

ω(2)∗k+1(δ, f) = sup

0<h≤δ

(∫ π

−π

∣∣∣∣12[∆k

hf(x + h) − ∆khf(x − h)

]∣∣∣∣2dx

)12

≤ 12

sup0<h≤δ

(∫ π

−π

∣∣∣∆khf(x + h)

∣∣∣2dx

)12

+(∫ π

−π

∣∣∣∆khf(x − h)

∣∣∣2dx

)12

=12

sup0<h≤δ

(∫ π

−π

∣∣∣∆khf(x)

∣∣∣2dx

)12

+(∫ π

−π

∣∣∣∆khf(x)

∣∣∣2dx

)12

≤ 12

sup

0<h≤δ

(∫ π

−π

∣∣∣∆khf(x)

∣∣∣2dx

)12

+ sup0<h≤δ

(∫ π

−π

∣∣∣∆khf(x)

∣∣∣2dx

)12

= ω(2)∗k (δ, f) .

この連続率の階差を動かすことによって、連続率と絶対収束に関して、次のTheoremBが示されている。

Theorem B[2, 定理 4-2]. mkを任意の自然数列とする。このとき、

条件∞∑

k=1

mk14

ω(2)∗mk (π

k , f)√k


k=−∞|f(k)| < ∞が成立する。

Theorem Bにおいて、mk ≡ 1のときTheorem A である。

次に、f が lacunary Fourier級数の場合、どのような条件の下でその絶対収束を導くことができるか考察する。f を L1関数とし、lacunary Fourier級数

∞∑k=1

(ankcosnkx + bnk

sinnkx)

に展開されるとする。ただし、nkk∈N は狭義単調増加な自然数列である。また、複素型では、

∞∑k=−∞

f(nk)einkx ,

と表される。ただし、n0 = 0, nk = −n−k(k < 0)かつ f(n0) = 0, f(nk) =12

(ank− ibnk

)(k >

0) , f(nk) = f(n−k) (k < 0) である。

122

ここで、自然数列 nkk∈N における２つの gap 条件 (Hadamard gap, B2) について述べる。(ref. [1, Vol.II, p.232]).まず、Hadamard gapについて述べる。自然数列 nkk∈N がある定数 λ > 1に対して

nk+1

nk≥ λ (k = 1, 2, · · ·)

を満たすとき、nkk∈Nは Hadamard gapであるという。次に、B2について述べる。自然数列 nkk∈N を n−k = −nk (k > 0), n0 = 0となるよ

うに負の方向にも拡張して数列 nkk∈Z を作る。このとき、次の正整数 j の表し方の個数を σ(j)とおく。

σ(j) = (p, q) : |np − nq| = j, np, nq ∈ nkk∈Z, p = q

,

ただし、Sは集合 Sの要素の個数とする。数列 nkk∈N がB2であるとは、supj

σ(j) < ∞であることをいう。

Hadamard gap数列は、B2であることが知られている。

ここでは、自然数列 nkk∈N の希薄性を測るある 1つの指標として σ(j)を導入する。

次に、f の重み付き k階 2次積分連続率 ω(2)∗k (δ, f, α) を

ω(2)∗k (δ, f, α) = sup

0<h≤δ

(∫ π

−π

∣∣∣∆khf(x)

∣∣∣2α(x)dx

)12

と定義する。ただし、k ∈ N かつ

∆khf(x) =

12k−1

k∑j=0

(−1)k−j

(kj

)f (x + (2j − k)h)

である。

Theorem C [4]. f(x) ∼∞∑

k=−∞f(nk)einkx . 関数α(x)は、

∞∑j=1

|α(j)|2 σ(j) < ∞ [た

だし、α(j) := 0 , (σ(j) = ∞) ]かつ∫ π

−πα(x)dx = 1 の非負値関数とする。このとき、条件

∞∑k=1

ω(2)∗M

(πnk

, f, α)

√k


k=−∞|f(nk)| < ∞ が成立する。

Note. Theorem C は、J.R.Patadia, V.M.Shah の結果 (ref. [5]) [nk : B2 かつα(x) = χE(x) （ただし、Eは [−π, π]上の任意の測度正の集合）]の一般化となっている。

123

Theorem Cにおいて連続率の階差を動かすと、次のTheorem 1が示される。ここではTheorem Bに倣い、連続率では min

1≤j≤k+1

[ω

(2)∗j (δ, f, α)

]≤ min

1≤j≤k

[ω

(2)∗j (δ, f, α)

]の性質

を利用した。Theorem Bで mkが任意の単調増加自然数列である場合において、次のように一般化した。

Theorem 1. f(x) ∼∞∑

k=−∞f(nk)einkx . 関数 α(x)は、

∞∑j=1

|α(j)|2 σ(j) < ∞ [ただ

し、α(j) := 0 , (σ(j) = ∞) ]かつ∫ π

−πα(x)dx = 1 の非負値関数とする。mkは、任意の

単調増加自然数列とする。このとき、条件

∞∑k=1

mk14 min

1≤j≤k

[ω(2)∗

mj(

π

nk, f, α)

]√

k< ∞ を満たすならば、

∞∑k=−∞

|f(nk)| < ∞ が成立する。

Note. Theorem 1において、次のことがいえる。

• nk = kのとき、Theorem Bに一致する。nk = kのとき σ(j) ≡ ∞なので、∞∑

j=1

|α(j)|2 σ(j) < ∞を満たすαは、α(x) = χ[−π,π](x)である。ゆえに、前述のProposition

より、 min1≤j≤k

[ω(2)∗

mj(

π

nk, f, α)

]= min

1≤j≤k

[ω(2)∗

mj(

π

nk, f)

]= ω(2)∗

mk(

π

nk, f) がいえる。

• mk = M(Constant)のとき、Theorem C に一致する。

• nk = k , mk ≡ 1 のとき、Theorem Aに一致する。

さらに、concaveな増加関数を用いることにより、絶対収束の一般化として絶対収束より強い収束を導いたのが、次の Theorem D、そのうえ、その連続率の階差を動かしたのがTheorem 2である。

Theorem D. (ref. [3]) f(x) ∼∞∑

k=−∞f(nk)einkx. ϕ(u) は u ≥ 0 で定義された

ϕ(0) = 0 の concaveな増加関数とする。関数 α(x) は、∞∑

j=1

|α(j)|2 σ(j) < ∞ [ただし、

α(j) := 0 , (σ(j) = ∞) ]かつ∫ π

−πα(x)dx = 1 の非負値関数とする。このとき、条件

∞∑k=1

ϕ

ω

(2)M

(πnk

, f, α)

√k

< ∞ かつ

∞∑k=1

ϕ

(1√

k nkM

)< ∞ を満たすならば、

∞∑k=−∞

ϕ(|f(nk)|

)< ∞ が成立する。

124

Theorem 2. f(x) ∼∞∑

k=−∞f(nk)einkx. ϕ(u) は u ≥ 0で定義された ϕ(0) = 0 の

concaveな増加関数とする。関数α(x)は、∞∑

j=1

|α(j)|2 σ(j) < ∞ [ただし、α(j) := 0, (σ(j) =

∞) ]かつ∫ π

−πα(x)dx = 1 の非負値関数とする。mkは、任意の単調増加自然数列とする。

このとき、条件

∞∑k=1

ϕ

mk14 min

1≤j≤k

[ω(2)∗

mj(

π

nk, f, α)

]√

k

< ∞ かつ

∞∑k=1

ϕ

(1√k

max1≤j≤k

[mj

14

nkmj

])< ∞

を満たすならば、∞∑

k=−∞ϕ(|f(nk)|

)< ∞ が成立する。

Note. Theorem 2において、次のことがいえる。• ϕ(u) = uのとき、Theorem 1に一致する。• mk = M(Constant)のとき、Theorem D に一致する。

References

[1] N.K.Bary “A Treatise on Trigonometric Series”, Vol.I & II Pergamon Press, 1964.

[2] 小島浩文“Fourier級数の絶対収束性について”,大阪府立大学大学院、修士論文、(2001).

[3] N.Ogata “On the absolute convergence of lacunary Fourier series”, Math. Japonica,49 No.2 (1999), 241-245.

[4] N.Ogata “On the absolute convergence of lacunary Fourier series”, Scientiae Mathe-maticae, Vol.2 No.3 (1999), 337-343.

[5] J.R.Patadia and V.M.Shah “On the absolute convergence of lacunary Fourier series”,J. Indian Math. Soc., 44 (1980), 267-273.

[6] O.Szasz “Fourier series and mean moduli of continuity”, Trans. American Math. Soc.,42 (1937), 366-395.

125

ON SINE AND COSINE SERIES WITH

QUASI-MONOTONE COEFFICIENTS AND

GENERALIZED LORENTZ-ZYGMUND SPACES

宮本孝志（神戸学院大学非常勤講師）

1. Introduction

an ≥ 0, limn→∞ an = 0 とする。このとき、数列 an∞n=1 が、quasi-monotone

decreasing であるとは、数列annβ

∞

n=1が単調減少数列になる β > 0 が存在する

ことである。この条件は、任意の自然数 n に対して、

(1.1) an+1 ≤(1 +

α

n

)an

となる α > 0 が存在することと同値である。

an =

1

log(n+ 1), (nが奇数)

1log(n+ 1)

+α

n log(n+ 1), (nが偶数)

を考える。ただし、αは (1.1)で述べた実数である。この数列は、明らかに、quasi-monotone decreasing であるが、単調減少数列でも、さらに、有界変分でもない。

この講演録では、quasi-monotone decreasing である an∞n=1 に対して、次の 2 つの級数

∞∑n=1

an sinnx,∞∑n=1

an cosnx

を考える。

αn :=∞∑n=1

akk, βn := an + ααn

とおく。数列 αn∞n=1 は、単調減少数列である。(1.1) より

βn+1 − βn = an+1 − an − αann

= an+1 −(1 +

α

n

)an ≤ 0

131

なので、βn∞n=1 も単調減少数列である。だから、単調減少数列を係数ともつ sine級数は、(0, π) の至る所で収束するという事実 ([5], p.4 参照) を用いると、

∞∑n=1

an sinnx =∞∑n=1

βn sinnx− α∞∑n=1

αn sinnx

なので、∞∑n=1

an sinnx は、(0, π) の至る所で収束する。同様に、∞∑n=1

an cosnx も

(0, π) の至る所で収束する。だから、

∞∑n=1

an sinnx =: S(x),∞∑n=1

an cosnx =: C(x)

とおく。この講演録では、上の 2つの関数S と C の generalized Lorentz-Zygmund空間に対する可積分性とその Fourier 級数の係数 an∞n=1 の間の関連を示す。

関数 ϕ が、slowly varying function であるとは、任意の δ > 0 に対して、十分大きな t に対し、tδϕ(t) が単調増加で、t−δϕ(t) が単調減少である (詳細は、[5], p.186 を参照せよ)。

Lorentz 空間 Lp,q の一般化である generalized Lorentz-Zygmund 空間Lp,qϕ(L) を考える。

0 < p, q ≤ ∞ とする。

(1.2) ‖f‖p,q,ϕ :=

∫ π

0

(t

1pϕ(

1t

)f∗(t)

)q dtt

1q

, (q < +∞)

sup0<t<π

t1pϕ(

1t

)f∗(t), (q = +∞)

とする。関数 f が Lp,qϕ(L) に属するとは、‖f‖p,q,ϕ < +∞ が成り立つことである。

(1.3) ‖bn‖p,q,ϕ :=

∞∑n=1

1n

(n

1pϕ(n)b∗n

)q 1q

, (q < +∞)

supn∈N

n1pϕ(n)b∗n, (q = +∞)

とする。数列 bn∞n=1 が lp,qϕ(l) に属するとは、‖bn‖p,q,ϕ < +∞ が成り立つことである。ただし、f∗, b∗n∞n=1 はそれぞれ、f, bn∞n=1 の再配列非増加関数、数列である。

f∗∗(t) :=1t

∫ t

0

f∗(s)ds, b∗∗n :=1n

n∑k=1

b∗k

132

とする。

(1.2) 式で f∗ を f∗∗、f に置き換えた式をそれぞれ、‖f‖(p,q,ϕ), |||f |||p,q,ϕとする。関数 f が、L(p,q)ϕ(L)、Lp,qϕ(L) に属するとは、それぞれ、‖f‖(p,q,ϕ) <+∞, |||f |||p,q,ϕ < +∞ が成り立つことである。

(1.3) 式で b∗n を b∗∗n 、bn に置き換えた式をそれぞれ、‖bn‖(p,q,ϕ),

|||bn|||p,q,ϕ とする。数列 bn∞n=1 が、l(p,q)ϕ(l)、lp,qϕ(l) に属するは、それぞ

れ、‖bn‖(p,q,ϕ) < +∞, |||bn|||p,q,ϕ < +∞ が成り立つことである。

この講演録では A は定数を表すが、必ずしも、同じ定数を表すとは限らない。上で述べたいくつかの空間に対して、次の性質が成り立つ。

Proposition. ([1], 4章 §4 を参照）(i) ϕ が、定数関数ならば、

Lp,pϕ(L) = Lp, Lp,qϕ(L) = Lp,q , lp,pϕ(l) = lp, lp,qϕ(l) = lp,q

(ii) p1 ≤ p2, q1 < q2, ϕ1(t) ≤ ϕ2(At) (A > 0) とする。そのとき、

Lp1,qϕ(L) ⊃ Lp2,qϕ(L), lp1,qϕ(l) ⊂ lp2,qϕ(l),

Lp1,qϕ(L) ⊃ Lp2,qϕ(L), lp1,qϕ(l) ⊂ lp2,qϕ(l),

Lp,q1ϕ(L) ⊂ Lp,q2ϕ(L), lp,q1ϕ(l) ⊂ lp,q2ϕ(l)

Lp,qϕ1(L) ⊃ Lp,qϕ2(L), lp,qϕ1(l) ⊃ lp,qϕ2(l)

Lp,qϕ1(L) ⊃ Lp,qϕ2(L), lp,qϕ1(l) ⊃ lp,qϕ2(l)

(iii) 0 < q < +∞ とする。そのとき、

L∞,q = 0, L∞,qϕ(L) = 0,(∫ π

0

ϕ(

1t

)q dtt< +∞

),

l∞,q = 0, L∞,q = 0(iv)　 0 < p, q ≤ +∞ とする。そのとき、

Lp,qϕ(L) ⊃ Lp,qϕ(L), lp,qϕ(l) ⊃ lp,qϕ(l), (p < q),

Lp,qϕ(L) = Lp,qϕ(L), lp,qϕ(l) = lp,qϕ(l), (p = q, ϕ(t) ≡ A),

Lp,qϕ(L) ⊂ Lp,qϕ(L), lp,qϕ(l) ⊂ lp,qϕ(l), (p > q),

(v) α > 0 とする。そのとき、

L∞,∞(logL)−α = expL1α , L∞,∞(log L)−α ⊂ expL

1α ,

(vi) 1 < p ≤ +∞, 1 ≤ q ≤ +∞ とする。このとき、

L(p,q)ϕ(L) = Lp,qϕ(L)

(vii)L(1,∞) = L1, L(1,1) = L1 logL

Lorentz 空間に対して、次の Theorem が示されている。

133

Theorem 1. ([4], Yoram Sagher). 1 < p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ とする。an∞n=1 を quasi-monotone decreasing とする。このとき、

(i) S ∈ Lp,q ⇐⇒ S ∈ Lp,q ⇐⇒ an∞n=1 ∈ lp′,q ⇐⇒ an∞n=1 ∈ lp

′,q

(ii) C についても、上と同じ結果が、成り立つ。

2. Results

我々は、generalized Lorentz-Zygmund空間に対して、Theorem 1 と同様な定理を示す。

Theorem 2. 1 < p <∞, 1 ≤ q ≤ ∞とする。an∞n=1 を quasi-monotonedecreasing で ϕ を slowly varying function とする。このとき、

(i) S ∈ Lp,qϕ(L) ⇐⇒ S ∈ Lp,qϕ(L) ⇐⇒an∞n=1 ∈ lp

′,qϕ(l) ⇐⇒ an∞n=1 ∈ lp′,qϕ(l)

(ii) C についても、上と同じ結果が、成り立つ。

1960 年に、S.Igari は論文 [2] で an∞n=1 が単調減少数列のときに、上と同様な定理を示している。

我々は、p = 1 と p = +∞ の場合に対する次の 3 つの Theorem を得る。

Theorem 3. 1 ≤ q ≤ ∞ とする。an∞n=1 を quasi-monotone decreasingで ϕ を slowly varying function とする。もし C が L(∞,q)ϕ(L) に属すれば、そのとき、 an∞n=1 は l1,qϕ(l) に属する。

Theorem 4. 　 1 ≤ q ≤ ∞とする。an∞n=1 を quasi-monotone decreasingで ϕ を slowly varying function とする。このとき、S が L∞,qϕ(L) に属する為の必要十分条件は、an∞n=1 が l1,qϕ(l) に属することである。

Theorem 5. an∞n=1 を quasi-monotone decreasing で ϕ を単調増加なslowly varying function とする。もし、S が L1,1ϕ(L) に属すれば、そのとき、an∞n=1 は、l∞,1ϕ(l) に属する。

3. Proof of Theorems

Proof of Theorem 2 (i). 我々は、まず、[S ∈ Lp,qϕ(L) ⇒ an∞n=1 ∈lp,qϕ(l)] を示す。

S1(x) =∫ x

0

S(u)du

134

とする。そのとき、

S1(x) =∫ x

0

S(u)du =∞∑n=1

ann

(1 − cosnx) =∞∑n=1

ann

sin2 nx

2

となる。今、π

4(n+ 1)≤ x <

π

4nとすると、

S1(x) ≥ 2n∑

k=[ n2 ]

akk

sin2 π

16≥ A

n

n∑k=[ n

2 ]

ak ≥ A

n

n∑k=[ n

2 ]

akkβ

≥ A

n

annβ

(n2

)β n2≥ Aan

が成り立つ。ただし，[x] は、x 以上の最少の整数である。

それゆえに、

(3.1) an ≤ AS1(x)(x ∈

[π

4(n+ 1),π

4n

))　

が成り立つ。だから、

|||an|||qp′,q,ϕ ≤∞∑n=1

∫ π4n

π4(n+1)

dx4n(n+ 1)

π

(n1− 1

pϕ(n)an)q

n

≤ A∞∑n=1

∫ π4n

π4(n+1)

(1x

)1+q− qpϕ(

1x

)qS1(x)qdx

≤ A

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣S1(x)x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣qp,q,ϕ

≤ A|||S|||qp,q,ϕ

が成り立つ。それゆえに、[S ∈ Lp,qϕ(L) ⇒ an∞n=1 ∈ lp,qϕ(l)] は証明される。

次に、我々は、[an∞n=1 ∈ lp,qϕ(l) ⇒ S ∈ Lp,qϕ(L)] を示す。

∞∑k=n

|ak − ak+1| ≤∞∑k=n

kβ[akkβ

− ak+1

(k + 1)β

]+

∞∑k=n

kβak+1

[1kβ

− 1(k + 1)β

]

≤ an + A∞∑k=n

akk

|S(x)| ≤∣∣∣∣∣n∑k=1

ak sin kx

∣∣∣∣∣+∞∑

k=n+1

|ak − ak+1||Dk(x)|

≤ xn∑k=1

kak +A

x

∞∑k=n+1

|ak − ak+1| ≤ xnn∑n=1

ak +A

xan +

A

x

∞∑k=n

akk

135

このとき、

|||S|||qp,q,ϕ =∞∑n=1

∫ πn

πn+1

|x 1pϕ(

1x

)S(x)|q dx

x

≤ A

[ ∞∑n=1

(n

n∑k=1

ak

)q ∫ πn

πn+1

(x

1p +1ϕ

(1x

))q dxx

+∞∑n=1

aqn

∫ πn

πn+1

(x

1p−1ϕ

(1x

))q dxx

+∞∑n=1

( ∞∑k=n

akk

)q ∫ πn

πn+1

(x

1p−1ϕ

(1x

))q dxx

]

≤ A

[ ∞∑n=1

(n∑n=1

ak

)qnqn−( 1

p +1)qϕ(n)qnn−2

+∞∑n=1

[aqn +

( ∞∑k=n

akk

)q]n(1− 1

p)qϕ(n)qnn−2

]

≤ A

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1n

n∑k=1

ak + an +∞∑k=n

akk

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣q

p′,q,ϕ

≤ A|||an|||qp′,q,ϕ

それゆえに、[an∞n=1 ∈ lp,qϕ(l) ⇒ S ∈ Lp,qϕ(L)] は証明される。

次に、我々は、[S ∈ Lp,qϕ(L) ⇒ an∞n=1 ∈ lp,qϕ(l)] を示す。

S2(x) :=∞∑n=1

αn sinnx, S3(x) :=∞∑n=1

βn sinnx

とおく。S2(x) に関して、

S2(x) =∞∑n=1

annDn(x)

=− cos x

2

2 sin x2

∞∑n=1

ann

(cos nx− 1) +12

∞∑n=1

ann

sinnx =: S2,1(x) + S2,2(x)

S2,1(x) に関して、

|S2,1(x)| ≤ A

x

∫ x

0

|S(u)|du ≤ AS∗∗(x)

よって、S∗2,1(t) ≤ AS∗∗(t) となる。だから、

‖S2,1‖p,q,ϕ ≤ A‖S‖(p,q,ϕ) ≤ A‖S‖p,q,ϕ

136

S2,2(x) に関して、

S2,2(x) =12π

∫ π

−πS(x)h(x)dx

ただし、h(x) =∞∑n=1

1n

sinnx =12(π− x) である。だから、‖h‖p′,q′,ψ < +∞ とな

る。ここで、ψ =1ϕである。よって、

‖S2,2‖p,q,ϕ ≤ ‖S2,2‖∞,∞ ≤ A‖S‖p,q,ϕ

それゆえに、‖S2‖p,q,ϕ ≤ A‖S‖p,q,ϕ となる。次に、S3(x) = S(x) + αS2(x) なので、‖S3‖p,q,ϕ ≤ A‖S‖p,q,ϕ となる。ここで、αn∞n=1 と βn∞n=1 は、単調減少数列なので、論文 [3] の定理によって、

‖αn‖p′,q,ϕ ≤ A‖S2‖p,q,ϕ ≤ A‖S‖p,q,ϕ

‖βn‖p′,q,ϕ ≤ A‖S3‖p,q,ϕ ≤ A‖S‖p,q,ϕが、成り立つ。よって、an = βn − ααn なので、

‖an‖p′,q,ϕ ≤ A (‖βn‖p′,q,ϕ + ‖αn‖p′,q,ϕ) ≤ ‖S‖p,q,ϕ

それゆえに、[S ∈ Lp,qϕ(L) ⇒ an∞n=1 ∈ lp,qϕ(l)] は、証明される。

次に、我々は、[an∞n=1 ∈ lp,qϕ(l) ⇒ S ∈ Lp,qϕ(L)] を示す。

Hardyの不等式より、‖αn‖p′,q,ϕ ≤ A‖an‖p′,q,ϕ となり、βn = an+ααnなので、‖βn‖p′,q,ϕ ≤ A‖an‖p′,q,ϕ となる。論文 [3] の定理より

‖S2‖p,q,ϕ ≤ A‖αn‖p′,q,ϕ ≤ A‖an‖p′,q,ϕ

‖S3‖p,q,ϕ ≤ A‖βn‖p′,q,ϕ ≤ A‖an‖p′,q,ϕよって、

‖S‖p,q,ϕ ≤ A (‖S2‖p,q,ϕ + ‖S3‖p,q,ϕ) ≤ A‖an‖p′,q,ϕそれゆえに、[an∞n=1 ∈ lp,qϕ(l) ⇒ S ∈ Lp,qϕ(L)] は証明される。

最後に、[an∞n=1 ∈ lp,qϕ(l) ⇔ an∞n=1 ∈ lp,qϕ(l)]は、論文 [4] の Theorem3 の証明と同様に示されるので、以上で、Theorem 2(i) は、示される。

Theorem 2 (ii) と Theorems 3 と 4 は、同様に示すことができる。

Proof of Theorem 5.

∞∑n=1

anϕ(n)n

=∞∑n=1

anϕ(n)n

=1π

∫ π

−πS(x)h(x)dx

137

となる。ただし、h(x) =∞∑n=1

ϕ(n)n

sinnx である。今、ϕ(n)n

∞

n=1

∈ l1,∞ψ(l)

である。ただし、ψ :=1ϕである。

ϕ(n)n

∞

n=1

は単調減少数列なので、quasi-

monotone decreasing である。Theorem 4 より、

h ∈ L∞,∞ψ(L)

となる。よって、∫ π

−πS(x)h(x)dx ≤ 2

∫ π

0

|S(x)||h(x)|dx ≤ 2|||S|||1,1,ϕ|||h|||∞,∞,ψ < +∞

が成り立つ。それゆえに、Theorem 5 は示される。

References

[1] C.Bennett and R.Shapley, Interpolation of Operators, Pure and Applied Math.

＃ 129,Academic Press, 1988.

[2] S.Igari, Some integrability theorems of trigonometric series and monotone decreasing func-tion, tohoku Math. J. 12 (1960), 139–146.

[3] T.Miyamoto, On sine and cosine series with monotone decreasing coefficients and gener-

alized Lorentz-Zygmund spaces 投稿中.

[4] Y.Sagher, An application of interpolation theory to Fourier series (1972), Studia Math.T.XLI, 169-181.

[5] A.Zygmund, Trigonometric Series, Cambridge, 1968.

(T.Miyamoto) Faculty of Pharmacy,

Kobe-Gakuin University, Nishi-ku Kobe 651-2113, Japan

e-mail address : [email protected]

138

連続時間の Szego 直交多項式と偏相関関数について

笠原雪夫（東大工）

離散時間の弱定常過程を有限の過去から予測する問題は Szego 直交多項式の

理論で説明できる。その理論の連続時間版を得るための予備的な考察として、鏡

映正値性をもつ定常過程について調べている。この報告では、そこで得た結果を

重み付き L2 空間の言葉で紹介したい。§1, 2 でそれぞれ（本来の）Szego 直交多

項式と偏相関関数について復習し、§3 で結果を述べる。

§1 Szego 直交多項式

(−π, π) 上の非負の可積分関数 ∆ は不等式∫ π

−πlog ∆(θ)dθ > −∞ (1)

を満たすと仮定して、重み付き L2 空間H := L2((−π, π), ∆(θ)dθ) を考える。H

には標準的な内積とノルムを導入する：

(f, g) :=∫ π

−πf(θ)g(θ)∆(θ)dθ, ‖f‖ := (f, f)1/2.

集合 I ⊂ R に対して

HI := en : n ∈ I ∩ Z で生成される H の閉部分空間

と定める。ただし、en(θ) := e−inθ (θ ∈ (−π, π))。このとき H = HR が成り立つ。

また H から HI への直交射影作用素を PI で表す。

n = 0, 1, . . . に対して、多項式の列 Fn を

F0 := e0, Fn := e0 − P[−n,−1]e0 (n ∈ N) (2)

で定める。実際、P[−n,−1]e0 =∑n

k=1 φnke−k と書けば、これらは

F0(z) = 1, Fn(z) = 1 −n∑

k=1

φnkzk (n ∈ N)

なる多項式を H の元とみなしたものである；(1) は en : n ∈ Z の一次独立性を保証する。

H 上の写像 f → e−in·f (n ∈ Z) は unitary だから ek − P[0,k−1]ek = e−ik·Fk

(k ∈ N) が成り立つ。従って

e−ik·Fk : k = 0, 1, . . . , n は H[0,n] の直交基底 (n = 0, 1, . . .). (3)

141

また、同じような単純な幾何的考察から

Fn−1 = Fn + αnein·Fn−1 (n ∈ N)

が成り立つことが分かる。ここで、

αn :=(Fn−1, e

in·Fn−1)

‖Fn−1‖2(n ∈ Z). (4)

更に、(1) により単位円盤における Hardy class H2 に属する outer function

h(z) :=√

2π exp

[1

4π

∫ π

−π

eiθ + z

eiθ − zlog ∆(θ)dθ

](|z| < 1)

が定義できるが、Szegoの定理によれば

Fn(z) =h(0)

h(z)+

∞∑k=n+1

αkzkFk−1(1/z) (|z| < 1). (5)

§2 偏相関関数

X = (Xn : n ∈ Z) を確率空間 (Ω,F , P ) 上で定義された平均 0 の実弱定常時

系列とする。弱定常とは

E[Xm+kXn+k] = E[XmXn] (m, n, k ∈ Z)

が成り立つこと、即ち E[XmXn] = γ(m − n) （m − n の関数）と書けることを

意味する。ここでは偏相関関数について復習するが、簡単のため、X は (1) を満

たすスペクトル密度関数 ∆ （遇関数）を持つと仮定する：

γ(n) =∫ π

−πe−inθ∆(θ)dθ (n ∈ Z).

このとき Xn : n ∈ Z はL2(Ω,F , P ) で一次独立になる。尚、ここでは考えない

が、一般に γ(n) は有限 Borel 測度 M の Fourier 係数である（Herglotz の定理）：

γ(n) =∫[−π,π)

e−inθdM(θ) (n ∈ Z).

さて、X の偏相関関数は、次のように定義される：α(1) := γ(1)/γ(0),

α(n) :=E[(Xn − P[1,n−1]Xn)(X0 − P[1,n−1]X0)]

E[(Xn − P[1,n−1]Xn)2]1/2 · E[(X0 − P[1,n−1]X0)2]1/2(n = 2, 3, . . .)

ただし、 P[1,n−1] は L2(Ω,F , P ) において X1, X2, . . . , Xn−1 によって張られる閉部分空間への直交射影作用素とする。前節の (4) 式から

αn =(e−in·Fn−1, Fn−1)

‖e−in·Fn−1‖ · ‖Fn−1‖ =(en − P[1,n−1]en, e0 − P[1,n−1]e0)

‖en − P[1,n−1]en‖ · ‖e0 − P[1,n−1]e0)‖ .

142

また、Xn : n ∈ Z で張られる L2(Ω,F , P ) の閉部分空間から ∆ で重み付けら

れた L2 空間 H への unitary 作用素でXn → en (n ∈ Z) を満たすものが存在す

る。従って、上で定めた偏相関関数 α(n) と前節の αn は同じものである。

私と北大の井上昭彦先生は、共同で定常過程の時間的な自己依存構造につい

て調べている。特に、長時間の記憶を持つ定常時系列に対する偏相関関数の漸近

挙動に興味をもっている（末尾の参考文献参照）。

§3 結果

(0,∞) 上の有限 Borel 測度 σ (= 0) に対して、∆ ∈ L1(R, dx) を次で定める：

∆(x) :=1

π

∫ ∞

0

λ

x2 + λ2dσ(λ) (x ∈ R \ 0).

これは鏡映正値的定常過程 (Xt : t ∈ R) のスペクトル密度関数である：

R(t) := E[XtX0] =∫ ∞

−∞e−itx∆(x)dx =

∫ ∞

0e−|t|λdσ(λ) (t ∈ R).

不等式 ∫ ∞

−∞log ∆(x)

x2 + 1dx > −∞

に注意して、上半平面における Hardy class H2+ の outer funciton h を

h(z) :=√

2π exp

[1

2πi

∫ ∞

−∞1 + xz

x − z

log ∆(x)

x2 + 1dx

](z > 0)

で定めるとき、非負の定数 a, b と (0,∞) 上の Borel 測度 µ, ν （必ずしも有限で

あるとは限らない）が存在して

h(iy) =∫ ∞

0

1

y + λdν(λ) =

[ay + b + y

∫ ∞

0

1

(y + λ)λdµ(λ)

]−1

(y > 0)

次が成り立つ。ここで関数 A, C 次のように定める：

A(t) :=∫ ∞

0e−tλdµ(λ), C(t) :=

∫ ∞

0e−tλdν(λ) (t > 0).

さて、複素 Hilbert 空間 H := L2(R, ∆(x)dx) を考えよう。H には標準的な

内積を入れる：(f, g) :=∫ ∞−∞ f(x)g(x)∆(x)dx. 集合 I ⊂ R に対して

HI := et : t ∈ I で生成される H の閉部分空間

と定める。ただし、et(x) := e−itx (x ∈ R)。このとき H = HR が成り立つ。また

H から HI への直交射影作用素を PI で表す。f ∈ H[s,t] (−∞ < s < t < ∞) に

143

対して、f(x) = g(x) (a.e. x ∈ R) を満たす整関数 g(z) が一意的に存在するが、

これをもって f と g を同一視し、f(z) := g(z) (z ∈ C) と書くことにする。

次の定理は、少し奇妙に見えるが、(2) 式の類似のつもりである。

定理 1. t > 0 に対して、次を満たす整関数 F (t, z) が存在する：

F (t, z) = limε↓0

∫ ε

0C(s)ds

−1

(e0 − P[−t−ε,−ε]e0)(z) (z ∈ C).

次の定理は、(5) 式の類似である。

定理 2. 次を満たす関数 α : (0,∞) → R が存在する：t > 0 に対して

F (t, z) = h(z)−1 +∫ ∞

tα(u)eiuzF (u, z)du (z > 0).

上の２つの定理では「存在する」と主張したが、実際は、存在を示すという

よりむしろ、(eε − P[−t,0]eε)(z) の具体的な表現から出発してひたすら具体的な計

算を続け、その結果として具体的な表現を得ただけである。関数 α は

α(t) :=∞∑

n=1

β2n−1(t, 0) (t > 0)

で与えられる。ただし、

β(t) :=∫ ∞

0A(t + u)C(u)du (t > 0).

とおいて、二変数関数の列 βn; n ∈ N を次式で帰納的に定める：

β1(t, s) := β(t + s), βn(t, s) :=∫ ∞

0β(t + s + u)βn−1(t, u)du (t > 0, s ≥ 0).

I0 := 0(∈ H) とおく。また t > 0 に対して、It ∈ H を次で定める：

It(x) :=∫ t

0e−iuxF (u, x)du (x ∈ R).

命題 3. t ≥ 0 と s ≥ 0 に対して、次が成り立つ：

(It, Is) = mint, s, (e0, It) = 0, (et, It+s − It) = 0.

この命題から It(x) : t ≤ 0 は直交増分を持つこと、更に、

H0 ⊕ H(0,t] ⊂ H[0,t], H[0,s] ⊕ H(s,t] ⊂ H[0,t] (0 < s < t)

144

が成立することが分かる。ただし、0 ≤ s < t < ∞ に対して

H(s,t] := It′ − Is′ : s ≤ s′ < t′ ≤ t で生成される H の閉部分空間.

上の２つの式で逆の包含関係が成立すれば (3) の類似になる。

後で説明するが、次の定理は (4) の類似のつもりである。

定理 4. t > 0 に対して、次が成り立つ：

α(t) = limε↓0

ε−2(It+ε − It, StT [It+ε − It]).

ただし、St, T はそれぞれ H 上の shift および reflection 作用素：(Stf)(x) :=

e−itxf(x), (Tf)(x) := f(x) (x ∈ R).

命題 3 より、定理の等式は次のようにも書ける：

α(t) = limε↓0

1

ε

(It+ε − It, StT [It+ε − It])

‖It+ε − It‖2.

一方 (4) 式は、§1 の設定で Sn, T を考えることにより

αn =(e−i(n−1)·Fn−1, SnT [e−i(n−1)·Fn−1])

‖e−i(n−1)·Fn−1‖2.

It+ε − It =∫ t+εt e−iu·F (u, ·)du だから、類似になっているようにも思われる。

以下の主張では、a > 0 という条件をつけるが、これの意味付けとして

a > 0 ⇐⇒ C(0+) = 1/a ⇐⇒ −R(0+) = 1/2a2

に注意する。尚、a = 0 については、次が成り立つ：

a = 0 ⇐⇒ C(0+) = ∞ ⇐⇒ −R(0+) = ∞

次の定理は (3) の類似である。

定理 5. a > 0 ならば、t > 0 に対して次が成り立つ：

H0 ⊕ H(0,t] = H[0,t].

次の定理は (4) の類似である。

定理 6. a > 0 ならば、t > 0 に対して次が成り立つ：

α(t) = limt→∞

∫ ε

0C(u)du

−2

(et+ε − P[0,t]et+ε, e−ε − P[0,t]e−ε)

145

定理 1 と定理 6 では∫ ε0 C(u)duで割った量の極限を考えたが、最後にこれに

ついて少し述べる。a > 0 の場合、∫ ε

0C(u)du ∼ √

ε‖et+ε − P[0,t]et+ε‖ (ε → 0+)

が成り立つ。従って、定理 1、定理 6 の式はそれぞれ次のように書ける：

F (t, z) = limε↓0

1√ε

(e0 − P[−t−ε,−ε]e0)(z)

‖e0 − P[−t−ε,−ε]e0‖ ,

α(t) = limt→∞

1

ε

(et+ε − P[0,t]et+ε, e−ε − P[0,t]e−ε)

‖et+ε − P[0,t]et+ε‖ · ‖e−ε − P[0,t]e−ε‖ .

参考文献

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process, J. Anal. Math. 81 (2000), 61–109.

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ARIMA processes, submitted.

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submitted.

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a stationary process, in “Trend in Probability and Related Analysis” (N. Kono

and N. R. Shieh, Eds.), 207–218, World Scientific, Singapore, 1999.

A. Inoue and Y. Kasahara, Asymptotics for prediction errors of stationary pro-

cesses with reflection positivity, J. Math. Anal. Appl. 250, 299–319 (2000).

A. Inoue and Y. Kasahara, Partial autocorrelation functions of fractional ARIMA

processes with negative degree of differencing, J. Multivariate Anal., to appear.

Y. Kasahara, The asymptotic behavior of the prediction error of the continuous

time fractional ARIMA process, submitted.

Y. Okabe, On KMO-Langevin equations for stationary Gaussian processes with

T-positivity, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 33 (1986), 1–56.

146

A generalization of Birman-Solomyak’s theorem

Kazuya Tachizawa

Dept. Math. Hokkaido Univ.

1 Introduction

Let H be a Hilbert space and L = L(H) be the set of all bounded linear operatorson H. Let Q : H → H be a compact operator. The singular numbers of Q are thenonzero eigenvalues of the compact, nonnegative, self-adjoint operator (Q∗Q)1/2 in H.We denote the singular numbers of Q by s1(Q) ≥ s2(Q) ≥ . . . . Let ν(s ;Q) be thenumber of singular numbers of Q greater than s.

The class of compact operators Q for which sn(Q) = O(n−1/p) or, what is the same,ν(s ;Q) = O(s−p), s → +0 for 1 0

spν(s ;Q))1/p

= supn>0

n1/psn(Q).

Let d ≥ 3. Let H1 = H1(Rd) be the completion of C∞0 (Rd) with respect to the

metric∫d

|∇u|2 dx1/2

.

Let V ∈ L1loc(R

d). Under suitable assumptions on V there exists a compact operatorB(V ) on H1 such that

(B(V )u, v)H1 =∫dV uv dx, (u, v ∈ H1),

where

(u, v)H1 =∫d

∇u∇v dx.

Let

N (V ) = ν(1, B(V )).

N (V ) corresponds to the number of negative eigenvalues of the Schrodinger operator−∆ − |V |.

151

Theorem 1.1. (Cwikel-Lieb-Rozenbljum, 1972–77, [2],[5],[7],[8]) Let d ≥ 3, V ∈Ld/2(Rd). Then there exists a positive constant c = c(d) such that

N (V ) ≤ c

∫d

|V |d/2 dx.

Theorem 1.2. (Egorov-Kondrat’ev,1989,[3]) Let d ≥ 3, q ≥ d/2, and∫d

|V |q|x|2q−d dx <∞.

Then there exists a positive constant c = c(d, q) such that

N (V ) ≤ c

∫d

|V |q|x|2q−d dx.

Theorem 1.1 is sharp in the following sense.

Theorem 1.3. (Birman, Simon) Let d ≥ 3, V ∈ Ld/2(Rd). Then there exists a positiveconstant c = c(d) such that

limα→∞

N (αV )αd/2

= c

∫d

|V |d/2 dx.

Theorem 1.2 is not sharp in the following sense.

Theorem 1.4. (Birman-Solomyak,1992,[1]) Let d ≥ 3, q > d/2 and∫d

|V |q|x|2q−d dx <∞.

Then

limα→∞

N (αV )αq

= 0.

The following is a sharp version of Theorem 1.2.

Theorem 1.5. (Birman-Solomyak,1992,[1]) Let d ≥ 3, q > d/2, and

supt>0

(tq∫|x|2|V (x)|≥t

|x|−d dx

)<∞.

Then there exists a positive constant c = c(d, q) such that

N (V ) ≤ c supt>0

(tq∫|x|2|V (x)|≥t

|x|−d dx

).

Proposition 1.1. (Birman-Solomyak,1992,[1]) Let d ≥ 3, q > d/2. Then there existV ≥ 0 and c > 0 such that

supt>0

(tq∫|x|2V (x)≥t

|x|−d dx

)<∞

and

limα→∞

N (αV )αq

= c.

152

2 Main result

In this article we give a generalization of Theorem 1.5. Let w be a non-negative, locallyintegrable function on R

d. We say that w is an Ap-weight for 1 < p <∞ if there existsa positive constant C such that

1|Q|

∫Qw(x) dx

(1|Q|

∫Qw(x)−1/(p−1)dx

)p−1

≤ C

for all cubes Q ⊂ Rd. For example, w(x) = |x|α is an Ap-weight when −d < α < d(p−1)

(c.f.[4],[9]).

Proposition 2.1. Let d ≥ 3, m ∈ N, w ∈ A2, and |x|−2mw ∈ A2. Then we have∫d

|u|2 w

|x|2mdx ≤ c

∑|α|=m

∫d

|Dαu|2w dx

for all u ∈ C∞0 (Rd).

We assume d ≥ 3, m ∈ N, w ∈ A2 and |x|−2mw ∈ A2. Let Hm(w) be the completionof C∞

0 (Rd) in the metric of

‖u‖Hm(w) =

∑

|α|=m

∫d

|Dαu|2w dx

1/2

.

Let V ∈ L1loc(R

d). Under suitable assumptions on V there exists a compact operatorB(V ) in Hm(w) such that

(B(V )u, v)Hm(w) =∫d

V uv dx (u, v ∈ Hm(w)),

where

(u, v)Hm(w) =∑

|α|=m

∫dDαuDαv w dx.

We set

N (V ) = ν(1, B(V )).

Theorem 2.1. Let d ≥ 3, m ∈ N and q > d/(2m). Let w ∈ A2, |x|−2mw ∈ A2, andw−d/(2m) ∈ Ad/(2m). We assume that a measurable function V on R

d satisfies

supt>0

(tq∫|x|2m|V (x)|≥tw(x)

|x|−d dx

)<∞.

Then there exists a positive constant c such that

N (V ) ≤ c supt>0


|x|−d dx

).

153

3 Proof

Proposition 3.1. ([10]) Let d ≥ 3 and m ∈ N. Let w ∈ A2, |x|−2mw ∈ A2, andw−d/(2m) ∈ Ad/(2m). We assume that a measurable function V on R

d satisfies

∫d

( |V |w

)d/(2m)

dx <∞

Then there exists a positive constant c such that

N (V ) ≤ c

∫d

( |V |w

)d/(2m)

dx.

We remark that N (V ) = ν(1 ;B(V )) and ν(s ;B(V )) = ν(1 ;B(s−1V )) for s > 0.Because

ν(s ;B(V ))

= supF⊂Hm(w)

dimF :∫d

|u|2|V | dx > s∑

|α|=m

∫d

|Dαu|2w dx, u ∈ F, u = 0

= supF⊂Hm(w)

dimF :∫d

|u|2|s−1V | dx >∑

|α|=m

∫d

|Dαu|2w dx, u ∈ F, u = 0

= ν(1 ;B(s−1V )).

Let ψ = |x|−2mw. Then we have

V/ψ ∈ L∞(Rd) = L∞(|x|−d) =⇒ B(V ) ∈ L, ‖B(V )‖ ≤ c‖V/ψ‖∞and

V/ψ ∈ Ld/(2m)(|x|−d) =⇒ B(V ) ∈ Sd/(2m),∞,

‖B(V )‖d/(2m),∞ ≤ c‖V/ψ‖Ld/(2m)(|x|−d).

Hence by the real interpolation we have, for q > d/(2m),

V/ψ ∈ Lq,∞(|x|−d) =⇒ B(V ) ∈ Sq,∞,

‖B(V )‖q,∞ ≤ c‖V/ψ‖Lq,∞(|x|−d).

This means

sqν(s ;B(V )) ≤ c supt>0


|x|−d dx

)

for all s > 0. Hence we have

N (V ) ≤ c supt>0


|x|−d dx

).

154

References

[1] Birman, M. Sh.and Solomyak, M. Z. Schrodinger operator. Estimates for num-ber of bound states as function-theoretical problem. Spectral theory of operators(Novgorod, 1989), 1–54, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 150, Amer. Math. Soc.,Providence, RI, 1992.

[2] Cwikel M., Weak type estimates for singular values and the number of bound states

of Schrodinger operators. Ann. Math. 106 (1977), 93–100.

[3] Egorov Y.V. and Kondrat’ev V.A., On the estimation of the number of points of

the negative spectrum of the Schrodinger operator. Math. USSR-Sb. 62 (1989),no. 2, 551–566.

[4] Garcıa-Cuerva J. and Rubio de Francia J.L., Weighted norm inequalities and re-

lated topics, North-Holland Mathematics Studies 116, North-Holland, 1985.

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[6] Reed M. and Simon B., Methods of modern mathematical physics. IV. Analysis of

operators. Academic Press, 1978.

[7] Rozenbljum G.V., Distribution of the discrete spectrum of singular differential

operators. Soviet Math. Dokl. 13 (1972), 245–249.

[8] Rozenbljum G.V., Distribution of the discrete spectrum of singular differential

operators. Soviet Math. (Iz. VUZ) 20 (1976), 63–71.

[9] Stein E.M., Harmonic analysis : real-variable methods, orthogonality, and oscil-

latory integrals. Princeton Mathematical Series 43, Princeton University Press,1993.

[10] Tachizawa K., On the moments of the negative eigenvalues of elliptic operators. J.Fourier Analysis and Applications. 8 (2002), 233–244.

155

Multiresolution Approximation in

Weighted Lp-spaces

大阪大学　冨田直人

関数 ψ ∈ L2(R)がウェーブレットとは、ψj,kj,k∈が L2(R)の完全正規直交系となるものをいう。但し、ψj,k(x) = 2

j2ψ(2jx− k)である。つま

り、１つの L2関数を伸張、平行移動することにより、L2(R)の完全正規直交系を得ることができる。そして適切な性質をもつウェーブレットは、L2(R)の完全正規直交系となるばかりでなく、Lp(R) (1 < p <∞)の無条件基底となる。Lp関数を近似する別の方法として、multiresolution approximation が

ある。ここで、スケーリング関数 ϕを与えたときに、関数 f ∈ Lp(R)のmultiresolution approximation Pjfj∈は、

Pjf(x) =∑

k∈〈f, ϕj,k〉ϕj,k(x)

である。multiresolution approximationを用いる利点の１つは、p = 1, ∞の場合も考えることができることである。multiresolution approximation

に関する定理として、次のものが知られている。(参照　 [1, 第５章、系3.18])

定理 1 ϕ をスケーリング関数で、対称減少 L1 優関数をもつとする。さらに、ϕ(0) = 1 とすると次のことが成り立つ。

(1)1 ≤ p <∞ limj→∞

‖Pjf − f‖p = 0 (∀f ∈ Lp(R))

(2)p = ∞ f が有界かつ、一様連続ならば limj→∞

‖Pjf − f‖∞ = 0

[1]で与えられた方法を基本とし、multiresolution approximationの近似の精度、重みつきルベーグ空間でのmultiresolution approximationを考え、次の結果を得た。

161

定理 2 1 < p ≤ ∞, ω ∈ Ap, N ∈ N とし、ϕ を Rn 上の関数で次を満た

すものとする。

|ϕ(x)| ≤ C

(1 + |x|)N+n+ε(x ∈ R

n)

ϕ(0) = 1, ϕ(2π) = 0 ( ∈ Zn \ 0)

∂αϕ(2π) = 0 (1 ≤ |α| ≤ N − 1, ∈ Zn)

このとき、f ∈ CN(Rn) が f, ∂αf ∈ Lp(ω) (|α| = N) であるならば、

‖Pjf − f‖Lp(ω) = O(hNj ) hj =

1

2j

が成り立つ。

定理 2において、ω ≡ 1の場合には、p = 1でも定理 2は成り立つ。これは、ω ≡ 1の場合には、定理 2は定理 1に収束のオーダーを与えた結果となっていることを意味する。

考察今回のシンポジウムにおいて、定理２は重みを付けない場合 (ω ≡ 1)

には、Strang-Fix条件の話としてすでに結果が出ていることが分かった。

[1]ヘルナンデ–ワイス, 芦野隆一・萬代武史・浅川秀一訳, ウェーブレットの基礎, 科学技術出版, 2000.

162

On Renormalized Solutions for NonlinearDegenerate Problems

Satoru Takagi∗

Department of Mathematical Sciences

Graduate School of Science and Engineering

Waseda University

3-4-1 Ohkubo, Shinjuku-ku, Tokyo 169-8555 Japan

1 Introduction

Let Ω be a bounded domain in RN , N ≥ 1, and let T > 0. When N ≥ 2 we

assume that Ω has a Lipschitz boundary ∂Ω. We consider the initial-boundaryvalue problem

(E)

∂g(u)

∂t−4b(u) + divφ(u) = f in Q = (0, T )×Ω,

b(u) = 0 on Σ = (0, T )× ∂Ω,

g(u)(0, ·) = g(u0) in Ω,

where g, b : R→ R are continuous and nondecreasing functions satisfying thenormalization conditions g(0) = b(0) = 0, and φ : R → R

N is a continuousN -dimensional vector-valued function satisfying φ(0) = 0. We also assumethat f ∈ L1(Q) and u0 : Ω → R is measurable with g(u0) ∈ L1(Ω), whereR = [−∞,∞].

Many authors have considered the problems like (E) as well as the sta-tionary problems under various assumptions on the vector field and have in-troduced several different notions of solutions for these problems in order toprove existence and uniqueness of such solutions, see [1], [2], [4] and [8], forexample.

Due to the possible degeneracy of b and g, in general, we are not ableto expect that solution in the sense of distribution for (E) is unique. We

∗E-mail: [email protected]

171

thus consider the problem (E) adopting the notion of renormalized solutions.The notion of renormalized solutions was introduced by DiPerna and Lions intheir papers [6] and [7] dealing with existence of a solution for the Boltzmannequation. We can also treat the problem in the case of large data in a sense byutilizing this theory. In this talk we shall prove uniqueness and a comparisonresult of renormalized solutions for the problem (E) with no growth conditionapplying the method of doubling variables both in space and time introducedby Kruzhkov [10]. As to some studies of renormalized solutions, see [3], [5],[9], [11]-[13], for example.

We shall mention the notations and definitions. For k > 0 we define atruncate function Tk by

Tk(u) =

k if u > ku if |u| ≤ k−k if u < −k

as usual. We introduce the following functions

S(r) =

1 if r > 0

[0, 1] if r = 00 if r < 0

and

S0(r) =

1 if r > 00 if r ≤ 0

,

and also define nonnegative functions r+ and r− by r+ = max(r, 0) and r− =−min(r, 0), respectively.

We now define a renormalized solution.

Definition 1.1. A renormalized solution of (E) is a measurable functionu : Q→ R satisfying

(R1) g(u) ∈ L1(Q),

(R2) Tk(u) ∈ L2(0, T ;H10 (Ω)) for any k > 0,

(R3) b(Tk(u)) ∈ L2(0, T ;H10 (Ω)) for any k > 0,

(R4) φ(Tk(u)) ∈ L2(Q)N for any k > 0,

(R5) for all h ∈ C10(R) and ξ ∈ C∞0 ([0, T )×Ω),∫

Q

ξt

∫ u

u0

h(r)dg(r) dxdt+

∫Q

ξfh(u) dxdt

=

∫Q

(∇b(u)− φ(u))·∇(h(u)ξ) dxdt, (1.1)

moreover,∫Q∩n≤|u|≤n+1

∇b(u)·∇u dxdt → 0 as n→∞. (1.2)

172

Remark 1.2. Note that each integral in (1.1) and (1.2) is well-defined. Infact, the right-hand side of (1.1) is identified with∫

Q∩|u|<k(∇b(Tk(u))− φ(Tk(u)))·∇(h(Tk(u))ξ) dxdt

for k > 0 such that supph ⊂ (−k, k). Similarly, the integral in (1.2) has to beunderstood as ∫

Q∩n≤|u|≤n+1∇b(Tn+1(u))·∇Tn+1(u) dxdt.

2 Main theorem

We obtain the following comparison result.

Theorem 2.1. Suppose that (H1) and (H3) hold. Let u0i : Ω → R be mea-surable with g(u0i) ∈ L1(Ω), fi ∈ L1(Q) and let ui be a renormalized solutionof (Ei) for i = 1, 2, where

(Ei)

∂g(ui)

∂t−4b(ui) + div φ(ui) = fi in Q = (0, T )×Ω,

b(ui) = 0 on Σ = (0, T )× ∂Ω,

g(ui)(0, ·) = g(u0i) in Ω.

Then there exists κ ∈ S(u1 − u2) such that for a.e. τ ∈ (0, T ),∫Ω

(g(u1)(τ, x)− g(u2)(τ, x))+ dx

≤∫Ω

(g(u01)(x)− g(u02)(x))+ dx+

∫ τ

0

∫Ω

κ(f1(t, x)− f2(t, x)) dxdt.

(2.1)

Moreover, for any u0 satisfying (H2) there exists a unique solution for (E).

In order to prove our main theorem, we start with the following lemma.

Lemma 2.2. Let u be a renormalized solution of (E). Then∫Q

S0(u− k)

((h(u)(∇b(u)− φ(u)) + h(k)φ(k))·∇ξ

−ξfh(u)− ξt∫ u

k

h(r)dg(r) + ξh′(u)(∇b(u)− φ(u))·∇u)dxdt

≤∫Ω

ξ(0, x)S0(u0 − k)

∫ u0

k

h(r)dg(r) dx (2.2)

173

and∫Q

S0(−k − u)

((h(u)(∇b(u)− φ(u)) + h(−k)φ(−k))·∇ξ

−ξfh(u)− ξt∫ u

−kh(r)dg(r) + ξh′(u)(∇b(u)− φ(u))·∇u

)dxdt

≥∫Ω

ξ(0, x)S0(−k − u0)

∫ u0

−kh(r)dg(r) dx (2.3)

for any h ∈ C10(R)+ and for any pair (k, ξ) satisfying

(k, ξ) ∈ R× C∞0 ([0, T )×Ω)+ or (k, ξ) ∈ R+ × C∞0 ([0, T )×Ω)+, (2.4)

where R+ = [0,∞) and X+ denotes all nonnegative functions which belong to

X with X = C10(R), C∞0 ([0, T )×Ω) or C∞0 ([0, T )×Ω).

We next show the following key inequality.

Lemma 2.3. Let u0i : Ω → R be measurable with g(u0i) ∈ L1(Ω), fi ∈ L1(Q)and let ui be a renormalized solution of (Ei) for i = 1, 2. Then there existsκ ∈ S(u1 − u2) such that for a.e. t ∈ (0, T ),

−∫Q∩u1>u2

ξt

∫ u1

u2

h(r)dg(r) dxdt

−∫Ω∩u01>u02

ξ(0, x)

∫ u01

u02

h(r)dg(r) dx

+

∫Q∩u1>u2

(h(u1)(∇b(u1)− φ(u1))

− h(u2)(∇b(u2)− φ(u2)))·∇ξ dxdt

+

∫Q∩u1>u2

ξ(h′(u1)(∇b(u1)− φ(u1))·∇u1

− h′(u2)(∇b(u2)− φ(u2))·∇u2) dxdt

≤∫Q

ξκ(f1h(u1)− f2h(u2)) dxdt (2.5)

for all h ∈ C10(R)+ and all ξ ∈ C∞0 ([0, T )×Ω)+.

174

3 Proof of the main theorem

We finally give the proof of our main result.

Proof of Theorem 2.1. Let ui be a renormalized solution of (Ei) for i = 1, 2.Choosing ξ = α⊗ 1 with α ∈ C∞0 ([0, T )) in (2.5) there exists κ ∈ S(u1 − u2)

−∫Q

αt

(S0(u1 − u2)

∫ u1

u2

h(r)dg(r)− S0(u01 − u02)

∫ u01

u02

h(r)dg(r)

)dxdt

+

∫Q∩u1>u2

α(h′(u1)(∇b(u1)− φ(u1))·∇u1

−h′(u2)(∇b(u2)− φ(u2))·∇u2) dxdt

≤∫Q

ακ(f1h(u1)− f2h(u2)) dxdt (3.1)

for any h ∈ W 1,∞(R) with compact support. We now define the functionhn ∈ W 1,∞(R) by hn(r) = inf((n + 1 − |r|)+, 1) and replace h by hn in (3.1).As to the second integral on the left we divide as∫

Q∩u1>u2αhn

′(u1)∇b(u1)·∇u1 dxdt−∫Q∩u1>u2

αhn′(u2)∇b(u2)·∇u2 dxdt

−∫Q∩u1>u2

α(hn′(u1)φ(u1)·∇u1 − hn′(u2)φ(u2)·∇u2) dxdt.

Since u1, u2 are renormalized solutions we see from (1.2) that the first twointegrals on the right tend to 0 as n→∞. Moreover, thanks to the divergencetheorem we have

−∫Q∩u1>u2

α(hn′(u1)φ(u1)·∇u1 − hn′(u2)φ(u2)·∇u2) dxdt

=

∫Q

α div

(−∫ u1

inf(u1,u2)

hn′(r)φ(r)dr

)dxdt = 0.

Therefore the second integral on the left in (3.1) converges to 0 as h = hn → 1and it implies that

−∫Q

αt((g(u1)(t, x)− g(u2)(t, x))+ − (g(u01)(x)− g(u02)(x))+) dxdt

≤∫Q

ακ(f1(t, x)− f2(t, x)) dxdt

for all α ∈ C∞0 ([0, T )). We thus conclude the proof of our main theorem.

175

References

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176

On the minimal solution for

quasilinear degenerate elliptic equation

and its blow-up

Toshio Horiuchi (Ibaraki University, Japan)

Peter Kumlin ( Chalmers University, Goteborg, Sweden)

January 8, 2003

1 アブストラクト

N を正整数、 Ω をRN のなめらかな有界領域とする。準線形楕円型方程式の正値解は物質

の自然発火や（爆発的）燃焼などの現象を数学的に記述することが知られている。本講演では、p 調和方程式に代表される退化型の準線形楕円型方程式のディリクレ境界値問題の挙動を、最小解とその爆発現象を中心に報告する。基礎となる方程式は

Lp(u) = λf(u) in Ω,

u = 0 on ∂Ω,

ここで、 Lp(·) は p-Laplace 作用素で Lp(·) = − div(|∇ · |p−2∇·)). p > 1 で λ は非負のパ

ラメーターとする。非線形項 f は荒くいって、正値で連続微分可能な [0, +∞)上の単調増加凸関数とする。典型的な例は f(t) = et と (1 + t)q 但し q > p − 1である。

p = 2 の場合（すなわち線形の場合）、以下のことがよく知られている。「ある有限な数 λ∗ があって、上の問題は２階微分可能な古典解を 0 < λ < λ∗の範囲に λ

があるときに限ってもつ。そして、λ > λ∗のときには弱解さえ存在しない。」この値 λ∗ は extremal value と呼ばれ、そのときの解を extremal という。この extremal

value や extremal の研究は既に多くの成果があるが、いわゆる Hardy の不等式の精密化とも関連し非常に興味深い。本講演では同様の問題を退化型準線形作用素 Lp(u) (p > 1) に対して取り扱う試みをした

い。線形の場合 (p = 2) と準線形 (p = 2) との場合の一番大きな違いは、準線形 (p = 2) の場合には線形化作用素が退化することと、その定義域がパラメーター λ と共に変化することである。そのため通常の陰関数定理や分岐理論が有効に働かず取り扱いが困難である。ここで線形化作用素は

L′p(u)(·) = − div

(|∇u|p−2

(∇ · +(p − 2)(∇u,∇·)|∇u|2 ∇u

)).

となる。従って、Lp(u) はすべての u ∈ W 1,p0 (Ω) では Frechet 微分可能でないことがわか

る。特に 1 2 では主要部が退化している。このために陰関数定理はこのままでは使うことができない。

181

さて、 uλ で最小解をあらわすことにする。すなわち、最小解 uλ ∈ C1(Ω) (0 < σ < 1)はすべての有界な解（古典解）の中で最小の解である。そして、extremal solution は uλ asλ → λ∗ ( the extremal value ) のときの単調増加極限として定義する。これらの準備の下で、最小解と線形化方程式との関係を注意深く調べることにより、最小解の存在と左連続性や可微分性などの基本的性質を陰関数定理を直接用いずに示すことができる。この理由をもう少し説明しよう。ヒルベルト空間 Vλ,p(Ω) と uλ に依存する admissible class of directions

Vλ,p(Ω) ⊂ Vλ,p(Ω) を導入することにより、Lp(·) は最小解 uλ において Vλ,p(Ω)の方向にガトー微分可能になるようにできる。これで、線形化作用素 L′

p(uλ)(·) が Lp(·) を近似する枠組みができたことになり、実解析的な手法により L′

p(uλ)(·)　がコンパクトな逆作用素をもつことがわかる。この重要な性質は次の埋め込み作用素がコンパクトであることが本質的に用いて示すことができる。

Vλ,p(Ω) −→ L2(Ω) λ ∈ (0, λ∗)

さらに、Vλ,p(Ω) × Vλ,p(Ω) 上のコアシブな双線形形式を用いて L′p(uλ) − λf ′(uλ) は自然に

L2(Ω) 上の自己共役作用素に拡張される。そのとき、十分小さな正数 λ に対して、線形化作用素L′

p(uλ)−λf ′(uλ) の第一固有値の正値性を示すことができる。さらに、付加的条件 (AC)（後半のDefinition 1.3 参照）のもとで、すべての 0 < λ < λ∗ に対して L′

p(uλ) − λf ′(uλ) の第一固有値の非負性を示すことができる。これは、次の重み付きハーディの不等式と同値である。∫

Ω

|∇uλ|p−2(|∇ϕ|2 + (p − 2)

(∇uλ,∇ϕ)2

|∇uλ|2)

dx ≥ λ

∫Ω

f ′(uλ)ϕ2 dx for∀ϕ ∈ Vλ,p(Ω).

但し Vλ,p(Ω)はVλ,p(Ω) = ϕ : ||ϕ||Vλ,p< +∞, ϕ = 0 on ∂Ω, ||ϕ||Vλ,p

=

( ∫Ω|∇uλ(x)|p−2|∇ϕ|2 dx

) 12

特に、Ω = B = x ∈ RN : |x| < 1, uλ = −p log |x|, λ = pp−1(N − p), f(u) = eu とする

と上の不等式は ∫B

|∇ϕ|2|x|2−p dx ≥ p(N − p)

p − 1

∫B

ϕ2|x|−p dx

となる。これは古典的な重み付きハーディの不等式の一種であり、右辺の積分の前のベスト

コンスタントは(

N−p2

)2

である。従って、N ≥ pp+3p−1の場合に限り、λ = λ∗, uλ = u∗

λ と結

論できる。このようにして、最小解 uλ の挙動を安定性を含めて詳しく調べることができたので、いよいよ λ → λ∗ の極限の様子を調べることになる。まず u∗

λ が弱解として一意存在し、λ > λ∗ の場合には、弱解も存在しないことが付加的な条件（ＧＣ）（後半のDefinition1.4参照）の下でわかる（この条件は非線形項の増大度に関する条件で先に述べた例はこの条件を満たしている）。もし、u∗

λ が古典解ならば爆発は起こらず、λ = λ∗ はいわゆるターニングポイントとなる。そこで、u∗

λ が非有界な場合を考えよう。この場合は重み付きハーディーの不等式を用いてu∗

λ と λ∗ の特徴付けを行うことができる。まだ完全に満足する結果とはいえないが、簡単にいえば p ≥ 2 の場合はハーディーの不等式が成立することと λ = λ∗ が成立することが同値となり、1 < p < 2 の場合も付加的条件の下で同様の特徴付けができる。さらに具体的な場合には、λ = λ∗ のときの線形化作用素 L′

p(uλ)− λf ′(uλ) の性質を精密化されたハーディーの不等式を利用して調べることができる。詳しくは講演で説明したい。但し、ここでいう精密化されたハーディーの不等式とは次を指している。

182

Lemma 1.1 N + α > 2 とする。そのとき ∀u ∈ H10 (Ω) に対して∫

Ω

|∇u|2|x|α dx ≥ H(N,∇, α)

∫Ω

|u|2|x|α−2 dx + λ1

(ωN

|Ω|) 2

N

∫Ω

|u|2|x|α dx.

ここで H(N,∇, α) =(

N−2+α2

)2

, ωN は N-次元単位球の体積, λ1 は次のディリクレ問題の

第一固有値；

λ1 = inf

[∫B2

1

|∇2v|2 dx : v ∈ W 1,20 (B2

1),

∫B2

1

v2 dx = 1

],

ここで B21 と ∇2 はそれぞれ２次元単位球と２次元のグラディエントをあらわす。

参考のため、本講演のもとになるプレプリント（ To appear in Chalmers University preprintseries ) の Introduction の部分を付けます。

1.1 （後半）Introduction in Preprint

Let N be a positive integer and let Ω be a bounded open set of RN whose

boundary ∂Ω is of class C2. In connection with combustion theory and other

applications, we are interested in the study of positive solutions of the quasi-

linear elliptic boundary value problemLp(u) = λf(u) in Ω,

u = 0 on ∂Ω,(1.1)

where Lp(·) is the p-Laplace operator defined by Lp(·) = −div(|∇ · |p−2∇·)).

Here p > 1, λ is a nonnegative parameter and the nonlinearity f is, roughly

speaking, continuously differentiable, positive, increasing and strictly convex

on [0,+∞). (See also the condition (2.2)). Typical examples are f(t) = et

and (1+t)q for q > p−1. When p = 2, it is known that there is a finite numberλ∗ such that (1.1) has a classical positive solution u ∈ C2(Ω) if 0 < λ < λ∗.On the other hand no solution exists, even in the weak sense, for λ > λ∗.This value λ∗ is often called the extremal value and solutions for this extremalvalue are called extremal solutions. It has been a very interesting problem to

find and study the properties of these extremal solutions.

In this paper we shall study similar problems for the quasilinear operator

Lp(u) (p > 1). In §2 we explain our general setting and prepare resultsconcerned with p-Laplace operator, which are basic in the present paper.

The minimal solution uλ ∈ C1(Ω) (0 < σ < 1) is defined by Definition 2.2

183

as the smallest solution among all possible bounded solutions, and then theextremal solution is introduced as an increasing limit of uλ as λ → λ∗ ( the

extremal value ). For the precise definition, see Definitions 1.1 below ( See

also Definition 2.3.). Under some additional conditions, we first establishthe existence of the minimal solutions to (1.1) and study their behaviors in

connection with the linearized operator defined by

L′p(u)(·) = −div

(|∇u|p−2(∇ · +(p − 2)

(∇u,∇·)|∇u|2 ∇u

)). (1.2)

Since Lp(u) is not always differentiable at any point u ∈ W 1,p0 (Ω) in the

sense of Frechet, we shall employ the directional derivatives at the minimal

solution uλ. More precisely we introduce in §3 a Hilbert space Vλ,p(Ω) and

an admissible class of directions Vλ,p(Ω) ⊂ Vλ,p(Ω) which depend essentially

upon uλ. Then the operator Lp(·) becomes differentiable at uλ in the directionto Vλ,p(Ω) (See Proposition 3.1).

Although L′p(uλ)(·) is, roughly speaking, a degenerate elliptic operator,

it will be shown in §4 that L′p(uλ)(·) has a compact inverse from L2(Ω) to

itself. This crucial property is based on the compactness of the imbedding;

Vλ,p(Ω) −→ L2(Ω) for λ ∈ (0, λ∗) (See Proposition 4.1). It is also shown

that L′p(uλ) − λf ′(uλ) is extended as a self-adjoint operator on L2(Ω) by

virtue of a coercive quadratic form on Vλ,p(Ω) × Vλ,p(Ω) defined in §3. Thenthe positivity of the first eigenvalue of L′

p(uλ) − λf ′(uλ) will be proved in

case that λ is sufficiently small. From this fact we can show the smooth

dependency of uλ on λ in §§6 and 7. We shall also prove in §§8 and 9 thenonnegativity of the first eigenvalue of L′

p(uλ)−λf ′(uλ) under the assumption

(AC) below on the first eigenfunction.

In order to describe the main results of this paper, here we prepare the

precise definition of the extremal value λ∗.

Definition 1.1 ( Extremal value λ∗) The extremal value λ∗ is defined asthe supremum of µ such that:

(a) For any λ ∈ (0, µ] there exists the minimal solution uλ of (1.1).

(b) The following Hardy type inequality is valid :∫Ω|∇uλ|p−2

(|∇ϕ|2 + (p − 2)

(∇uλ,∇ϕ)2

|∇uλ|2)

dx ≥ λ

∫Ω

f ′(uλ)ϕ2 dx (1.3)

184

for any ϕ ∈ Vλ,p(Ω). Here Vλ,p(Ω) is defined by

Vλ,p(Ω) = ϕ : ||ϕ||Vλ,p< +∞, ϕ = 0 on ∂Ω, (1.4)

||ϕ||Vλ,p=

( ∫Ω|∇uλ(x)|p−2|∇ϕ|2 dx

) 12

. (1.5)

Remark 1.1 The validity of the Hardy type inequality (1.3) is equivalent to

the nonnegativity of the first eigenvalue of L′p(uλ)−λf ′(uλ) for λ ∈ (0, λ∗) as

usual. ( See Theorem 9.1 in §5 and Theorem 8.1 in §8.)Theorem 1.1 Assume that 1 < p < +∞ and f satisfies the conditions (2.1)and (2.2). Then we have the followings: (1) The extremal value λ∗ is positive.

Moreover the first eigenvalue of L′p(uλ) − λf ′(uλ) is positive provided that λ

is suficiently small.

(2) Let uλ ∈ C1(Ω) be the minimal solution of (1.1) for λ ∈ (0, λ∗). We haveas λ → λ∗ a finite limit a.e.

uλ∗(x) = limλ→λ∗

uλ(x). (1.6)

Moreover uλ∗ ∈ W 1,p0 (Ω) and uλ∗ is a weak solution of (1.1) with λ = λ∗.

Theorem 1.2 Assume that p ∈ [2,∞) and λ ∈ (0, λ∗). Then the followingstatements are equivalent:

(1) The self-adjoint operator L′p(uλ) − λf ′(uλ) on L2(Ω) has a positive first

eigenvalue.

(2) uλ is differentiable at λ in Vλ,p(Ω). Moreover the derivative vλ ∈ Vλ,p(Ω)satisfies the boundary value problem

L′p(uλ)vλ − λf ′(uλ)vλ = f(uλ), in Ω

vλ = 0, on ∂Ω.(1.7)

Remark 1.2 In the case that 1 < p < 2 we have a similar result , seeCorollary 7.1.

Definition 1.2 ( First eigenfunction ϕλ) Let uλ be the minimal solution

of (1.1) for λ ∈ (0, λ∗). By ϕλ we denote the first eigenfunction of the self-

adjoint operator L′p(uλ)−λf ′(uλ) on L2(Ω), which is nonnegative and unique

up to a multiplication by constants.

185

Definition 1.3 ( Accessibility Condition ) The first eigenfunction ϕλ issaid to satisfy the accessibility condition (AC) if for any ε > 0 there exists a

nonnegative ϕ ∈ Vλ,p(Ω) such that

L′p(uλ)(ϕ − ϕλ) + |ϕ − ϕλ| ≤ εmax(ϕλ, dist(x, ∂Ω)) in Ω. (1.8)

Here Vλ,p(Ω) is given by Definition (3.6) in §3.Theorem 1.3 Assume that 1 0.

In addition we assume that the first eigenfunction ϕλ satisfies the accessiblitycondition (AC). Then the first eigenvalue of L′

p(uλ)−λf ′(uλ) is nonnegative.

Theorem 1.4 Let uλ∗ be the singular (unbounded) extremal solution. As-

sume that f(t) satisfies the growth condition (GC) in addition to (2.2). Thenthere is no solution to (1.1) provided that λ > λ∗. Here the growth condition

(GC) is defined below ( see also Definition 10.1 in §10).Definition 1.4 ( Growth Condition ) For p > 1, a function f(t) ∈C1([0,∞)) is said to satisfy the growth condition (GC) if f is increasing,

strictly convex with f(0) > 0 and f ′(t)

f(t)p−2p−1

is nondecreasing on [0,∞).

We shall give characterizations for the extremal solutions according to the

range of p.

Proposition 1.1 Assume that p ≥ 2. Let uλ∗ be the extremal solution. Then

we have∫Ω|∇uλ∗|p−2

(|∇ϕ|2 + (p − 2)

(∇uλ∗,∇ϕ)2

|∇uλ∗ |2)

dx ≥ λ∗∫

Ωf ′(uλ∗)ϕ2 dx, (1.9)

for any ϕ ∈ Vλ∗,p(Ω).

Remark 1.3 If 1 0, let uλ be the minimalsolution or possibly the extremal solution. Let u ∈ W 1,p

0 (Ω) be a weak energy

solution of (1.1) such that∫Ω|∇u|p−2(|∇ϕ|2 + (p − 2)

(∇u,∇ϕ)2

|∇u|2)dx ≥ λ

∫Ω

f ′(u)ϕ2 dx, (1.10)

186

for any ϕ ∈ Vλ,p(Ω). Moreover, if 1 2, we have somewhat weaker result. See Proposition 10.4.For the precise definition of a weak energy solution, see Definition 2.1

When Ω is a ball, in §12 we investigate these problems rather precisely byusing the weighted Hardy type inequality with a sharp missing term

established in §11. The extremal solutions are determined in most cases and

the continuity of the minimal solution uλ on λ is also shown in the case that1 < p ≤ 2.

187

Integral operators defined on non-homogeneous spaces

Amiran Gogatishvili

Mathematical Institute

Academy of Sciences of the Czech Republic

We arw defined maximal operators and fractional integrals on a metric spaces

endowed with non-doubling measure. We give a characterization of weights for wich

this operators are bounded in weighed Lebesgue spaces.

191

Sierpinski gasket 上の Martin 距離の Lipschitz 同値性

今井淳京大情報川崎泰裕 NTT DoCoMo 九州

佐藤坦九大数理

1. 準備

A を, N (N ≥ 2) 個の文字から成る集合: A := 1, 2, . . . , N とする. この原稿を通じて, よく使う記号を, 以下の (1) から (4) にまとめる.

1. 0 ≤ n ≤ ∞ に対して, A の n 個の直積: An を Wn とおく: Wn := An. 但し,W0 = A0 := ∅ (∅: 空語), 更に W∞ を A の片側無限直積,

W :=∞⋃

n=0

Wn

を言葉の空間と呼ぶ. 以後, W∞ の元を文字列, W の元を言葉と呼ぶ.2. 言葉, 文字列の長さ: x ∈ Wn (0 ≤ n ≤ ∞) に対して, d(x) := n とし, これを x の長さと呼ぶ.

3. 文字の冪: 文字: x ∈ A の n 乗: xn を (0 ≤ n ≤ ∞)

xn :=

∅ if n = 0,n 個︷︸︸︷

xx · · ·x otherwise

で定義する.

4. 長さ n (1 ≤ n < ∞) の言葉: w = w1w2 · · ·wn ∈ Wn に対して, τ (w) を, w の最後の文字: τ (w) := wn とする. 更に, w− を, w から τ (w) を取り去ったもの:

w− :=

∅ if n = 1,

w1w2 · · ·wn−1 if n ≥ 2.

とする.

2. Sierpinski gasket

を, RN−1 に於ける N 個の点 p1, p2, . . . , pN ∈ R

N−1 を頂点をする, 各辺の長さが等しい単体 (simplex) の内部及び境界とする. 例えば, N = 2 の時は, 閉区間: [p1, p2] を表し, N = 3 の時は, 頂点を p1, p2, p3 とする, 正三角形の内部及び境界を表す.

次に, fi : → (i ∈ A) を, pi を不動点とする, 相似比 1/2 の相似変換とし,

fx :=

恒等変換 if x = ∅,

fx1 fx2 · · · fxn if x = x1x2 · · · xn, n ≥ 1201

とおく. この時, RN−1 に於いて, S =

⋃Ni=1 fi(S) を充たす, 空でない compact 距離空間: S

が存在することが知られている. この S を Sierpinski gasket と呼ぶ. しかも, この S は

S =

∞⋂n=0

⋃x∈Wn

fx()

を充たす.

補題 2.1. xn := x1x2 · · ·xn ∈ Wn (n ≥ 1) に対して,∞⋂

n=0

fxn() (⊂ S)

は 1 点集合 (singleton).

3. 共軛な言葉, 共軛な文字列

補題 2.1 は, S 上の任意の点には, 必ず対応する文字列が存在していることを教示している. 例えば, p1, p2 ∈ S には 1∞, 2∞ ∈ W∞ が (各々) 対応する. しかしながら, 12∞ と 21∞

は S 上の同じ点を表していることからも判る様に, その対応は 1 対 1 ではない.

そこで, w ∈ W ∪W∞ に対して, w の共軛 w# を

w# :=

w0ba

n if w = w0abn where w0 ∈ W, a, b ∈ A (a = b), 0 ≤ n ≤ ∞w otherwise,

とする. このとき, 全ての w ∈ W ∪W∞ に対して w## = w が成り立つ.

W∞ 上に二項関係: ∼ をx ∼ y

定義⇐⇒ x = y または x# = y

で定義すると, “∼”はW∞ 上の同値関係となる. W∞ を, この “∼”で割った空間: W∞/∼が S を表すことは, よく知られた事実である.

命題 3.1. (W∞/∼) ∼= S.

4. Green 凾数と Martin 核

W 上の遷移確率 p を

p(x, y) :=11x(y−) + 11x# (y−)

2Nx, y ∈ W

で定義する. 但し,

11x(y) :=

1 if x = y,

0 if x = y.

更に n 段階の遷移確率 p(n : x, y) を

p(n : x, y) :=

11x(y) if n = 0,∑

u∈W p(n − 1 : x, u)p(u, y) if n ≥ 1

で定義する. 即ち, W を状態空間とする Markov 連鎖: Xnn を定義する. この時, (W上の) Green 凾数 g を

g(x, y) :=∞∑

n=0

p(n : x, y) = p(d(y) − d(x) : x, y) x, y ∈ W202

によって定めると (W 上の) Martin 核 k は

k(x, y) :=g(x, y)

g(∅, y)x, y ∈ W

で定義される. Denker と佐藤は, 論文 [1] で, この Martin 核の精密評価を得ることに成功した.

命題 4.1. [1, 5] x, y ∈ W が k(x, y) > 0 を充たしているならば, 以下の (1) か (2) のいづれかが成り立つ:

(1) d(x) = d(y) ならば x = y で且つ k(x, y) = Nd(x).

(2) d(x) + 1 ≤ d(y) ならば, y は, 或る文字 y0, y1, . . . , yn, c ∈ A が在ってy = x−y0y1 · · · ync 又は y = x#−y0y1 · · · ync

と表され, もし y = x−y0y1 · · · ync ならば

k(x, y) = k(x#, y) =1 + 11x(x#)

4Nd(x)

( n∑k=0

11τ (x)(yk)

2k+

11τ (x)(yn)

2n

).

5. W 上の Martin 距離

a = an を, 実数列とする. この時,

ρa(x, y) := |2−d(x) − 2−d(y)| +maxd(x), d(y)∑

n=1

an

Nnsup

u∈Wn

|k(u, x) − k(u, y)|

によって, 写像: ρa : W ×W → R が定義される.

補題 5.1. ρa が W 上の距離となる為の必要十分条件は a ∈ +1 . 但し,

+1 :=

a = ann

∣∣∣∣ ∞∑n=1

an < ∞, an > 0 for ∀n ∈ N

.

距離: ρa を, a ∈ +1 を重みとする (W 上の) Martin 距離と呼ぶ.

6. Martin 境界と Sierpinski gasket

補題 6.1. 異なる重み: a, b に対して, W 上の列: xn が ρa-Cauchy 列であることとρb-Cauchy 列であることは同値である.

W を,距離: ρaによるW の完備化とすると (補題 6.1より, W は a ∈ +1 の採り方に依ら

ない), W は compact距離空間になる. 更に, u ∈ W を固定した時, 写像: k(u, ·) : W → R

は一様連続なので ρa は W 上の距離:

ρa(x∗, y∗) = |2−d(x∗) − 2−d(y∗)| +

∞∑n=1

an

Nnsup

u∈Wn

|k(u, x∗) − k(u, y∗)| x∗, y∗ ∈ W

に拡張される.

Denker と佐藤は, 論文 [1] で Sierpinski gasket S を, Martin 境界: M := W \W として表現することに成功した:

命題 6.2. [1, 5] M ∼= (W∞/∼). つまり命題 3.1 によりM ∼= S.203

この命題は, S 上に, Euclid 距離とは異なる Martin 距離:

ρa(ξ, η) =∞∑

n=1

an

Nnsup

u∈Wn

|k(u, ξ) − k(u, η)| ξ, η ∈ S (6.1)

が定義されることをも示唆している. 以後, (6.1) を a ∈ +1 を重みとする S 上の Martin

距離と呼ぶ.

7. S 上の Martin 距離の Lipschitz 同値性

フラクタル解析に於ける, Hausdorff 次元等の重要な特性量は, 互いに Lipschitz 同値な距離でないと保存されない. 従って,

「重み: a ∈ +1 の, どんな条件の下で, ρa の Lipschitz 同値性が特徴付けられるか ?」

は, 当然考察せねばならない問題である. この節では, Martin 距離の Lipschitz 同値性について調べた結果を挙げる.

先づ, 「Lipschitz 連続」と「Lipschitz 同値」の意味を明確にしておく.

定義 7.1. d1 と d2 は S 上に定義された 2 つの距離とする. この時,

(1) d1 が d2-Lipschitz 連続であるとは, ξ, η ∈ S に無関係な定数 C > 0 が在って

d1(ξ, η) ≤ Cd2(ξ, η) ∀ξ, η ∈ Sを充たす時を言う.

(2) d1 と d2 が Lipschitz 同値であるとは ξ, η ∈ S に無関係な定数 C1, C2 (0 < C1 ≤C2 < ∞) が在って

C1d1(ξ, η) ≤ d2(ξ, η) ≤ C2d1(ξ, η) ∀ξ, η ∈ Sを充たす時を言う.

以下の命題で S 上の, Euclid 距離: ‖ · ‖ と Martin 距離から入る 2 つの位相の関係について述べる.

命題 7.2. a ∈ +1 とする. この時

(1) S 上の 2 つの距離: ρa と ‖ · ‖ は同じ位相を定める.

(2) ‖ · ‖ は ρa-Lipschitz 連続である.

次に, この節の主定理として, 異なる重みを持つ, 2 つの Martin 距離の Lipschitz 同値性について述べる.

定理 7.3. 異なる重み: a = an, b ∈ +1 を持つ S 上の 2 つの距離: ρa と ρb が,

Lipschitz 同値である為の必要十分条件は

0 < lim infn→∞

Ga(n)

Gb(n)≤ lim sup

n→∞

Ga(n)

Gb(n)< ∞.

但し,

Ga(n) :=n∑

k=1

2k−nak +∞∑

k=n+1

ak.

最後に, ρa と ‖ · ‖ の Lipschitz 同値性について述べる.

定理 7.4. S 上の, 重み: a = ann を持つ ρa と ‖ · ‖ が Lipschitz 同値である為の必要十分条件は

∞∑n=1

2nan < ∞.

204

8. Hausdorff 次元の評価

前節では, Martin 距離から入る S の位相の構造, 異なった重みを持つMartin 距離同士のLipschitz 同値性, Martin 距離と Euclid 距離の関係, 等が判った. この節では, 前節で得られた結果を使って, S 上の (重みを伴った) Martin 距離に関する Hausdorff 次元を評価したことを報告する. Hausdorff 次元は, その空間に定義される距離に依存しているので,以後, 距離: d に関する S の Hausdorff 次元を dimd S で表す.

先づ, 以下で, 良く知られている, Hutchinson や Moran によって得られた, dim‖·‖ S の値を挙げておく.

命題 8.1. [3, 4] dim‖·‖ S = (log N)/ log 2.

註 8.2. 命題 7.2-(2) で ‖ · ‖ は ρa-Lipschitz 連続であることがわかっているので, 命題8.1 より

dimρa S ≥ dim‖·‖ S = (log N)/ log 2.

始めに, 特別な重み: a = a(γ) := γn ∈ +1 を持つ ρa(γ) に関する S のHausdorff 次元:

dimρa(γ)S を以下で与える.

定理 8.3.

dimρa(γ)S =

(log N)/ log 2 if 0 < γ < 1/2,

−(log N)/ log γ if 1/2 ≤ γ < 1.

定理 7.3, 註 8.2, 及び, この定理 8.3 を手掛かりにして, 一般の重み: a ∈ +1 に対する

dimρa S を評価した結果が, 以下の定理 8.4 である.

定理 8.4. a = an ∈ +1 とする. この時,

(1)∑∞

n=1 2nan < ∞ ならば, dimρa S = (log N)/ log 2.

(2)∑∞

n=1 2nan = ∞ ならば,

−(log N)/ log Γ(a) ≤ dimρa S ≤ −(log N)/ log Γ(a).

但し,

Γ(a) := sup

1/2 ≤ γ < 1

∣∣∣∣lim infn→∞

γ−nGa(n) > 0

,

Γ(a) := inf

1/2 < γ ≤ 1

∣∣∣∣lim supn→∞

γ−nGa(n) < ∞

.

References

1. M. Denker and H. Sato: Sierpinski gasket as a Martin boundary I: Martin kernels. Potential Anal. 14(2001), 211–232.

2. : Sierpinski gasket as a Martin boundary II: The intrinsic metric. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 35(1999), 769–794.

3. J. E. Hutchinson: Fractals and self-similarity. Indiana Univ. Math. J. 30 (1981), 713–747.4. P. A. P. Moran: Additive functions of intervals and Hausdorff measure. Proc. Cambridge Philos. Soc. 42

(1946), 15–23.5. 佐藤坦: Sierpinski gasket as a Martin boundary. 実解析学シンポジウム 1997 仙台 (報告集), 96–100.6. : An intrinsic metric on the Sierpinski gasket. 実解析学シンポジウム 2000 福岡 (報告集), 77–80.

電子メールアドレス:今井: [email protected]川崎: [email protected]佐藤: [email protected]

205

連続時間ガウス型通信路の容量の性質について

柳　研二郎 (山口大・工)

1 連続型ガウス型通信路

この論文では Volterra 型線型フィードバックをもつ連続時間ガウス型通信路の容量の性質を扱う. (Ω,F , P ) をもとになる確率空間とする. Z = Z(t); 0 ≤ t ≤ T (< ∞) は雑音を表す平均 0 の可分ガウス過程で次を満たすとする.

∫ T

0

E[Z(t)2]dt < ∞,

メッセージ X は (Ω,F , P ) 上で定義され, 一般的にはある可測空間に値をもつ確率変数である. しかし X = X(t); 0 ≤ t ≤ Tを確率過程とみなすこともできる. フィードバックをもつガウス型通信路のモデルは次のように与えられる.

Y (t) = S(t) + Z(t), (1)

ただし S(t) = S(t); 0 ≤ t ≤ T と Y = Y (t); 0 ≤ t ≤ Tはそれぞれ (Ω,F , P ) 上で定義された入力過程と出力過程である. ここで次のような仮定が必要である.

(A) X は Z と独立である.

(B) 各 t に対して S(t) は F(X) ∨ Ft(Y ) 可測である. ただし Ft(Y ) は Y (u), 0 ≤ u ≤ t

によって生成される σ-algebra であり F(X) は X(u), 0 ≤ u ≤ T によって生成され

る σ-algebra である. さらに F(X) ∨ Ft(Y ) は両方の σ-algebra によって生成されるσ-algebra である.

(C) 確率方程式 (1)は unique な解 Y (·) をもつ.

仮定 (B) はガウス型通信路がフィードバックをもつことを意味している. つまり S(t) は X

と Y t0 = Y (s); 0 ≤ s ≤ t のある函数である. フィードバックをもたないガウス型通信路に

対しては (B) の代わりに次の仮定を課する.

(B1) 各 t に対して S(t)は F(X) 可測である.

仮定 (B1)の下では X と S は同一視できることに注意する. I(X,Y ) または I(X,S + Z)はメッセージ X と出力過程 Y = Y (t); 0 ≤ t ≤ T の間の相互情報量で次のように定義される.µX と µY をそれぞれ X,Y のよって生成された確率測度, µXY を µX と µY の結合確率測

度, µX ⊗ µY を µX と µY の直積測度とする. このとき µXY µX ⊗ µY のとき,

I(X,Y ) =∫

logdµXY

dµX ⊗ µY(x, y)dµXY (x, y),

211

その他のとき I(X,Y ) = ∞ である.また容量を求める時に必要な拘束条件を課する. つまり

(D) E‖S‖2W ≤ P ,

ただし ‖ · ‖W は Z とは異なる W の再生核 Hilbert 空間 HW のノルムを表す.Λ = (X,S); (X,S)は条件 (A), (B), (C), (D)を満たすとすることにより拘束条件 Λ の下でのフィードバックをもつ不適合型ガウス型通信路の容量 Cf(P ) は次のように定義される.

Cf (P ) = supI(X,Y ); (X,S) ∈ Λ.

このとき容量はガウス系で Λ0 に制限できることが知られている. ただし

Cf(P ) = supI(X,Y ); (X,S) ∈ Λ0.

L(L2[0, T ])は L2[0, T ] 上で定義される有界線型作用素の全体を表し, S(L2[0, T ]), T (L2[0, T ])はそれぞれ Hilbert-schmidt class operators の全体, trace-class operators の全体を表すものとする. さらに s(T ) は T ∈ L(L2[0, T ]) のスペクトラム (spectrum)とする. ここで次の定義を導入する.

Definition 1 operator T が　T ∈ S(L2[0, T ]) かつ s(T ) = 0 のとき Volterra operator,T ∈ T (L2[0, T ]) かつ s(T ) = 0 のとき strongly Volterra operator という.

さらに次の３条件を仮定する.

(E) X のほとんどすべての passが HW に属する. つまり

µX [HW ] = 1. (2)

(F1) µW の RKHS は µZ の RKHS に含まれる. つまり

range(R1/2W ) = HW ⊂ HZ = range(R1/2

Z ). (3)

(G1) フィードバックは線型に制限する. つまり

S = X − TY,

ただし T は L2[0, T ] 上の Volterra operator であり次を満たすとする.

range(T ) ⊂ HW .

RX , RW , RZ , RS , . . .をそれぞれ µX , µW , µZ , µS , . . .の covariance operatorsとする. (2)より

R1/2X = R

1/2W W, (4)

となる bounded linear operator W ∈ S(L2[0, T ])が存在する. すなわち

RX = R1/2W W ∗WR

1/2W , WW ∗ ∈ T (L2[0, T ]).

212

また (3) よりRZ = R

1/2W (I + K)R1/2

W (5)

となる L2[0, T ]上の densely defined self-adjoint linear operator Kが存在する. S = X−TY =X − T (S + Z) だから (I + T )S = X − TZ となる. したがって

S = (I + T )−1X − T (I + T )−1Z. (6)

(D), (4), (5), (6) および X と Z の独立性より次を得る.

Tr[R−1/2W (I + T )−1R

1/2W WW ∗R1/2

W (I + T ∗)−1R1/2W

+R−1/2W (I + T )−1TR

1/2W (I + K)R1/2

W T ∗(I + T ∗)−1R−1/2W ] ≤ P. (7)

I + T は one-to-oneだからガウス型メッセージ X と対応するガウス型出力信号 Y の間の相

互情報量は次のように表される.

I(X,Y ) = I(X, (I + T )Y ) = I(X,X + Z)

=12Tr[logI + (I + K)−1/2WW ∗(I + K)−1/2].

したがって

Cf(P ) = supI(X,Y );W ∈ S(L2[0, T ])と Volterra operatorT は条件 (7)を満たす

ここで Cf(P )を計算することは容易ではないがフィードバックをもたない場合の容量 C0(P )はBaker [3]によって詳しく得られている. θを (5)によって定義される operator K の spectrumの最小の limit pointsとする. K の spectrumの limit pointsは infinite multiplicityの eigenvalues, distinct eigenvalues の limit points, continuous spectrum の points から成り立つ. θ

より小さい K の eigen valuesを λn;n ≥ 1とする. このとき λ1 ≤ λ2 ≤ · · ·としておく. もちろんこれは空集合である場合もある.

2 容量についての性質

Cf(P ) の upper bounds についての結果を得る.

Theorem 1 条件 (E), (F1), (G1) の下では C0(P ) ≤ Cf(P ) ≤ C0(P1), ただし

P1 = sup‖(I+DR1/2W )−1‖2(P−Tr[DRZD∗]);D ∈ L(L2[0, T ])s.tDR

1/2W areVolterra operators

であり, P1 < P < ∞ となる.

ここで (F1), (G1) より強い次のような条件を導入する.

(F2) µW は µZ と strongly equivalent, つまり HW = HZ で (5) を満たす K ∈ T (L2[0, T ])が存在する.

(G2) (G1)における T は strongly Volterra operator である.

213

(D) よりR

1/2S = R

1/2W U, U ∈ S(L2[0, T ])

と仮定することができる. RSZ を µS と µZ の joint probability measure µSZ の crosscovariance operator とする. このとき Baker [1] より

RSZ = R1/2S V R

1/2Z , ‖V ‖ ≤ 1

が成り立つ. (G2)が成り立つとき X と Y の間の相互情報量は次のように表される.

Lemma 1

I(X,Y ) =12Tr[logI+(I+K)−1/2UU∗(I+K)−1/2+(I+K)−1/2UV Q+Q∗V ∗U∗(I+K)−1/2].

ここで次の３定理を得る.

Theorem 2 条件 (E), (F1), (G2) の下では C0(P ) ≤ Cf(P ) ≤ 2C0(P ).

Theorem 3 条件 (E), (F1), (G2) の下では次が成り立つ.

(1) C0(P ) ≤ Cf(P ) ≤ 12‖(I + K)−1‖P ,

(2) W = Z のとき, すなわち K = 0 のとき C0(P ) = Cf(P ) =P

2,

(3) θ < ∞ 　かつ λn = ∅ のとき C0(P ) = Cf (P ) =P

2(1 + θ).

Theorem 4 条件 (E), (F2), (G2) の下では次が成り立つ.

(1) C0(P ) ≤ Cf(P ) ≤ 12Tr[K − log(I + K)] +

12(P + 2

√Pσ[K(I + K)−1/2]),

ただし σ[·] は Hilbert-Schmidt norm を表す.

(2) 任意の α >12に対して lim

P→∞Cf(P ) − C0(P )

Pα= 0.

(3) limP→∞

Cf (P )C0(P )

= 1.

さらに Theorem 2 の精密化と関連した結果を得る.

Theorem 5 条件 (E), (F1), (G2) の下では次が成り立つ. 任意の P > 0, α > 0 に対して

C0(P ) ≤ Cf (P ) ≤ (1 +1α

)C0(αP ).

214

ここで次の記号を導入する.

G(α,P ) = (1 +1α

)C0(αP ), Γ = P > 0;G(1, P ) = minα>0

G(α,P ).

また #λn;n ≥ 1 = ∞ のとき∑は

∑∞n=1 を表し, #λn;n ≥ 1 = L のとき

∑は

∑Ln=1

を表すとする. このとき次を得る.

Theorem 6 条件 (E), (F2), (G2) の下で λn;n ≥ 1 = ∅ のとき次が成り立つ.

(1)∑

λn − log(1 + λn) <∑

|λn| ならば Γ = ∅.

(2)∑

λn − log(1 + λn) =∑

|λn| ならば #Γ = 1.

(3)∑

λn − log(1 + λn) >∑

|λn| ならば #Γ = 2.

Theorem 7 条件 (E), (F1), (G2)の下では次が成り立つ. 任意の P > 0と任意の 0 < α ≤ 1に対して

αCf(P

α) ≤ Cf (P ).

3 Proofs

紙面の都合でいくつかの定理の証明のみを与える. 次の記号を用いる.

Γ = (I + K)−1/2UU∗(I + K)−1/2,

∆ = (I + K)−1/2UV Q.

Proof of Theorem 2 Lemma 1 より

I(X,S + Z) =12Tr[logI + Γ + ∆ + ∆∗].

同様にして

I(X,S − Z) =12Tr[logI + Γ − ∆ − ∆∗].

一方 log x(x > 0)は operator concave function であるので次の一連の式を得る.

12Tr[logI + Γ]

=12Tr[log1

2I + Γ + ∆ + ∆∗ +

12I + Γ − ∆ − ∆∗]

≥ 12Tr[

12

logI + Γ + ∆ + ∆∗ +12I + Γ − ∆ − ∆∗]

=12I(X,S + Z) +

12I(X,S − Z)

≥ 12I(X,S + Z).

215

まず E‖S‖2W ≤ P で左辺の supremum をとりその後同じ拘束条件で右辺の supremumm を

とることにより次を得る.C0(P ) ≥ 1

2Cf(P ).

したがって

C0(P ) ≤ Cf(P ) ≤ 2C0(P ).

q.e.d.

Proof of Theorem 5 任意の α > 0に対して次を得る.

α

1 + α

12Tr[logI + Γ + ∆ + ∆∗]

≤ α

1 + α

12Tr[logI + Γ + ∆ + ∆] + 1

1 + α

12Tr[logI + α2Γ − α∆ − α∆∗]

=12Tr[

α

1 + αlogI + Γ + ∆ + ∆∗ +

11 + α

logI + α2Γ − α∆ − α∆∗]

≤ 12Tr[log α

1 + αI + Γ + ∆ + ∆∗ +

11 + α

I + α2Γ − α∆ − α∆∗]

=12Tr[logI + αΓ]

=12Tr[logI + (I + K)−1/2αUU∗(I + K)−1/2].

まず E‖S‖2W ≤ P で左辺の supremum をとりその後同じ拘束条件で右辺の supremum をと

ることにより次を得る.α

1 + αCf (P ) ≤ C0(αP ).

したがって

Cf (P ) ≤ 1 + α

αC0(αP ).

q.e.d.

Proof of Theorem 7 任意の 0 < α ≤ 1に対して次を得る.

αI(X,1√α

S + Z)

= α12Tr[logI +

1α

Γ +1√α

∆ +1√α

∆∗]

= α12Tr[logI +

1α

Γ +1√α

∆ +1√α

∆∗] + (1 − α)12Tr[log I]

=12Tr[α logI +

1α

Γ +1√α

∆ +1√α

∆∗ + (1 − α) log I]

≤ 12Tr[logI + Γ +

√α∆ +

√α∆∗].

まず E‖S‖2W ≤ P で左辺の supremum をとりその後同じ拘束条件で右辺の supremum をと

ることにより次を得る.αI(X,

1√α

S + Z) ≤ Cf(P ).

216

したがって

αCf(P

α) ≤ Cf (P ).

q.e.d.

参考文献

[1] C.R.Baker, Joint measures and cross-covariance operators, Trans. Amer. Math. Soc.,vol.186, pp.273-289, 1973.

[2] C.R.Baker, Capacity of the Gaussian channel without feedback, Information and Con-trol, vol.37, pp.70-89, 1978.

[3] C.R.Baker, Capacity of the mismatched Gaussian channel, IEEE Trans. InformationTheory, vol.33, pp.802-812, 1987.

[4] H.W.Chen and K.Yanagi, Refinements of the half-bit and factor-of-two bounds forcapacity in Gaussian channel with feedback, IEEE Trans. Information Theory, vol.45,pp.319-325, 1999.

[5] H.W.Chen and K.Yanagi, Upper bounds on the capacity of discrete-time blockwisewhite Gaussian channels with feedback, IEEE Trans. Information Theory, vol.46,pp.1125-1131, 2000.

[6] T.M.Cover and S.Pombra, Gaussian feedback capacity, IEEE Trans. Information The-ory, vol.35, pp.37-43, 1989.

[7] K.Yanagi, On some properties of Gaussian channels, J. Math. Anal. Appl., vol.88,pp.364-377, 1982.

[8] K.Yanagi, An upper bound to the capacity of discrete time Gaussian channel withfeedback, Lecture Notes in Math., pp.565-570, 1988.

[9] K.Yanagi, On some properties of the continuous time Gaussian channels with stronglyVolterra linear feedback, Proc. ISITA, pp.1342-1346, 1992.

217

実解析学シンポジウム 2002 報告集, 221-228

複素指数関数系の Basis Property II中村　昭宏

東海大学開発工学部

概要

λn = n−αn, λ−n = −λn, n > 0, 1/4 < αn < 3/4 とするとき, L2[−π, π]において,複素指数関数系 eiλnt がRiesz basis または basisとなるかどうかを調べる.

1 Introduction

昨年, このシンポジウムで以下の結果を報告した：“次のように定義される λ = λn,

λn =

n − α, n > 0,

n + α, n < 0(1.1)

について, e(λ) ≡ eiλnt が 1/4 < α < 3/4 のときは Riesz basis となる.” しかし, この結果は, L2[−π, π]上の isomorphism

φ(t) −→ eit2 φ(t)

により, Kadecの結果に含まれることが指摘された. そこで, 今回は 1/4 ≤ αn ≤ 3/4 として,

λn =

n − αn, n > 0,

n + αn, n < 0(1.2)

の場合について, e(λ) がRiesz basisとなるかどうか, さらにはbasisとなるのかどうかを調べた結果を報告する. 問題の 1つは αn = 3/4 − εn, εn > 0 としたとき,

εn → 0 as n → ±∞ かつ∑

n

εn = ∞

となる場合に, e(λ) が basisとなるかどうかである.

221

2 Preliminaries

λ = λn は −∞ < n < ∞ に対する複素数列とし, e(λ) = eiλnt とする.

Definition 1.

e(λ) が L2[−π, π]において basis であるとは, 任意の f(t) ∈ L2[−π, π] に対して, 唯一な数列 cn が存在して

f(t) =∑

n

cneiλnt

と, ノルムについて表されるときをいう. また, e(λ) が, それによって生成された部分空間の basisとなるときを, basic sequenceであるという.

Definition 2.

e(λ) が以下の条件を満たすとき, Riesz basis であるという.

(i) basisである.

(ii) どんな順番で並べ換えても収束し, かつ和は変わらない (unconditional convergence).(iii)

0 < infn‖eiλnt‖ ≤ sup

n‖eiλnt‖ < ∞.

e(λ) がRiesz basisのときは, 以下のParsevalの等式の一般化が成り立つことが知られている.

A∑

n

|cn|2 ≤ ‖f‖2 ≤ B∑

n

|cn|2

for f(t) =∑

n cneiλnt. また, e(λ) がそれによって生成される閉部分空間の Riesz basisと

なるならば, e(λ) は Riesz sequence であるという.

Definition 3.

任意の f(t) ∈ L2[−π, π] と任意の ε > 0に対して,適当な数 ck を有限個選んで,∥∥∥∥∥∥f(t) −∑|k|≤n

ckeiλkt

∥∥∥∥∥∥ < ε

とできるならば, eiλntは complete であるという.

Definition 4.

eiλntによって張られる閉部分空間を [eiλnt

]と表すとき, eiλntに属する各 eiλktについ

て, ,

eiλkt ∈ [eiλnt

]n=k

がいえるならば, eiλntは minimal であるという.

　明らかに, Riesz basisならば basisであり, basisならば completeかつminimalである.

222

Definition 5.

λ = λn のとき, e(λ) が excess N をもつとは, e(λ) から, N 個の eiλnt を取り除いたとき, その残りが complete かつ minimal になるときをいい,

E(λ) = N

と表す. また, 逆に, e(λ) に, これに属さないN 個の

eiµ1t, · · · , eiµN t

を付け加えたとき, その加えられた系が complete かつ minimal になるならば,

E(λ) = −N

と表す.

　 excessの概念は, Paley-Wienerによって, 最初に導入された. excessは除いたり加えたりする eiγt の選び方によらず,一定であることが示されている (Levinson, 1940). e(λ) がcomplete かつminimalならば E(λ) = 0 となる.

　今回の報告では以下の 3つの “stability results”が重要である.

Theorem A ([Young, 1975]).

e(λ) が L2[−π, π] のRiesz basisならば, 正定数 L が存在して,

|λn − µn| ≤ L for ∀n

を満たす数列 µ = µn に対して, e(µ) も L2[−π, π] のRiesz basisとなる.

Theorem B ([Young, 1975]).

e(λ) は L2[−π, π] の basisであり, supn

|Im λn| < ∞ とする. このとき, 数列 µ = µn が∑

n

|λn − µn| < ∞

を満たすならば, e(µ) も L2[−π, π] の basisとなる.

Corollary.

supn

|Im λn| < ∞ とするとき, e(λ) が basisならば, λ = λn の任意有限個の λn を, 同

じ個数の相異なる別の数で置き換えても basisとなる. 従って, Riesz basisについても同じことが成り立つ.

Remark 1. Theorem Aは excessが有限である “Riesz sequence”としても成り立つ. ここで, 扱う複素指数関数系は全て, excessが有限である場合である. Theorem Aに相当するbasisに関する stability theoremは, 著者の知る限りでは得られていない.

なお, excessについては, 以下の結果がある：

223

Theorem C ([R, Theorem 14]).

∑n

|λn − µn|1 + |Im λn| + |Im µn| < ∞

を満たすならば, E(λ) = E(µ) が成り立つ.

3 Results

ここで, 我々は 1/4 ≤ αn ≤ 3/4 として,

λn =

n − αn, n > 0,

n + αn, n < 0(3.1)

と定義した, λ = λnについて, e(λ) がRiesz basisとなるかどうか, さらにはbasisとなるのかどうかを調べる.

まず, αn = α のとき,

λn =

n − α, n > 0,

n + α, n < 0(3.2)

を考える.

(I) α = 1/4 または α = 3/4 のとき.

α = 1/4 のとき, e(λ) が basisでないことは, [Y2]で示された.

α = 3/4 のときは

λn = n − 3

4= (n − 1) +

1

4, n > 0,

λn = n +3

4= (n + 1) − 1

4, n < 0

と書けるから,

µn =

n + 14, n > 0,

0, n = 0,

n − 14, n < 0

(3.3)

とおくと, E(µ) = 0 より, E(λ) = 1 となるから, e(λ) は basisでない.

(II) 1/4 < α < 3/4 のとき.

L2[−π, π]上の isometiric isomorphism


を考えると, Kadecの 1/4-Theorem

224

“実数列 λn が|λn − n| ≤ L <

1

4, n = 0,±1,±2, . . . ,

を満たすならば e(λ) は L2[−π, π] のRiesz basisとなる”

は“実数列 λn が ∣∣∣∣λn −

(n +

1

2

)∣∣∣∣ ≤ L <1

4, n = 0,±1,±2, . . . ,

を満たすならば e(λ) は L2[−π, π] のRiesz basisとなる”

となる. (3.2)において, n ≥ 0 とすると,

λn = (n + 1) − α

となるから, n < 0 のときも合わせて,∣∣∣∣(

n +1

2

)− λn

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣α − 1

2

∣∣∣∣ <1

4

となり, e(λ) はRiesz basisとなる (これが昨年の報告の全てである).

次に, (3.1)の検討をする.

Proposition.

(3.1)において, 我々は以下の結果を得る：

(1) 1/4 < infn

αn ≤ supn

αn < 3/4 の場合.

αn = α の場合と同じく, e(λ) はRiesz basisとなる.

(2) αn = 1/4 + εn, εn ≥ 0 の場合.

(i) εn → 0 as n → ±∞ の場合.

e(λ) はRiesz basisとならない.

(ii)∑

n

εn < ∞ の場合.

e(λ) は basisとならない.

(3) αn = 3/4 − εn, εn ≥ 0 の場合.

(i) εn → 0 as n → ±∞ の場合.

e(λ) はRiesz basisとならない.

(ii)∑

n


e(λ) は basisとならない.

Proof. (1)は (II)と同様である. 次に, (3)について述べる.

εn > 0 に対して, αn = 3/4 − εn とする. そのとき,(3.1)は

λn =

n − 3

4+ εn, n > 0,

n + 34− εn, n < 0

225

となる. さて,

γn =

n − 3

4, n > 0,

n + 34, n < 0

(3.4)

とおくと, (I)より, e(γ) は basisでない.

(i) εn → 0 as n → ±∞ の場合. ここでの議論は, [RY, p.107, Corollary]を参考にした.

もし, e(λ) がRiesz basisとすると, Theorem Aより, 正定数 L が存在して,

|λn − δn| ≤ L for ∀n

ならば e(δ) もRiesz basisとなる. 仮定より, ある自然数 n0 を選ぶと,

|λn − γn| = εn ≤ L for ∀|n| ≥ n0

とできる. それゆえ, eiλnt

|n|<n0

⋃ eiγnt

|n|≥n0

は Riesz basisとなる. 従って, Theorem BのCorollaryより, e(γ) もRiesz basisとなって矛盾する. よって, e(λ) はRiesz basisとはならない.

(ii)∑

n


(I)より, E(γ) = 1 であったから, Theorem Cより, E(λ) = 1 となり, e(λ) は basisでない.

最後に, (2)について述べる. (2)は αn = α のときに用いた, isometiric isomorphism


により, (3.4)の γn の代わりに

µn =

n + 14, n > 0,

0, n = 0,

n − 14, n < 0

(3.5)

なる µn について, e(µ) が [Y3]において, basisでないことが示されていることを用いれば, (3)と同様に議論できる.

4 Further Discussion

これまでの検討から, 残っている問題の 1つは (2.1)において, αn = 3/4 − εn, εn > 0 としたとき,

εn → 0 as n → ±∞ かつ∑

n

εn = ∞

226

の場合に, e(λ) が basisまたは basic sequence となる場合があるか, ということである. そこで,

λn =

n − αn = (n − 1) + 1

4+ εn, n > 0,

n + αn = (n + 1) − 14− εn, n < 0

と表す. ここで,

λ′n =

n + 14

+ εn, n > 0,

0, n = 0,

n − 14− εn, n < 0

と λ′ = λ′n を定義すると, E(λ − λ1) = E(λ′) であり, e(λ − λ1) と e(λ′) の basisと

しての性質はThedorem BのCorollaryより, 同じである.

1. e(λ′) が completeのとき.

E(λ − λ1) = E(λ′) ≥ 0

だから, E(λ) ≥ 1 となり, e(λ) は basisでない. このことは, 例えば [R, p.45]より,∑n

εn

|n|+ 1< ∞ (4.1)

ならば起こり得る.

2. e(λ′) が completeでないとき.

εn が (2.6)を満たさない場合として, Redhefffer and Youngは次の結果を得た：

Theorem D ([RY, Theorem 3]).

λ′n =

0, n = 0,

1, n = 1,

n +1

4+

β

log n, n ≥ 2

−λ′−n, n < 0

と, λ′ = λ′n を定義すると, 0 ≤ β ≤ 1/4 ならば e(λ′) は completeとなり, β > 1/4

ならば e(λ′) は completeでない.

より正確には, [R, Theorem 47]と [FNR]より, 0 ≤ β ≤ 1/4 ならばE(λ′) = 0, β > 1/4

ならば E(λ′) = −1 となることがわかる. そこで, 当面の問題として, 最初に述べた次の問題が考えられる.

問題. β > 1/4 のとき, e(λ′) は basic sequenceとなるか？あるいは同値な問題として,

λ1 =1

4, λ−1 = −λ1

227

かつ

λn =

n − 3

4+

β

log n, n ≥ 2,

−λ−n, n ≤ −2,

とするとき, β > 1/4 のとき, e(λ) は basis となるか？

参考文献[FNR] N. Fujii, A. Nakamura and R. M. Redheffer, On the Excess of Sets of Complex

Exponentials, Proc. Amer. Math. Soc. 127 (1999), 1815-1818.

[N] A. Nakamura, On the excess of a sequence of exponentials with perturbations at some

subsequences of integers, Hokkaido Mathematical Journal, Vol.29, No.2 (2000), 303

- 313.

[R] R. M. Redheffer, Completeness of Sets of Complex Exponentials, Advances in Math-

ematics 24 (1977), 1-62.

[RY] R. M. Redheffer and R. M. Young, Completeness and Basis Properties of Complex

Exponentials, Trans. Amer. Math. Soc. 277(1983), 93 - 111.

[Y1] R. M. Young, An Introduction to Nonharmonic Fourier Series, Academic Press 1980.

[Y2] R. M. Young, On a Theorem of Ingham on Nonharmonic Fourier Series , Proc.

Amer. Math. Soc. Vol.92(1984), 549 - 553.

[Y3] R. M. Young, On the Stability of Exponential Bases in L2[−π, π], Proc. Amer. Math.

Soc. Vol.100(1987), 117 - 122.

[Y4] R. M. Young, An Introduction to Nonharmonic Fourier Series, revised first edition,

Academic Press 2001.

228

三角級数とある測度

　（Trigonometric Series and Some Kind of Measure)

米田　薫（大阪府立大学・総合科学部）

１　はじめにルベーグ積分は、高さが aで巾が bである長方形の面積を abと定め

るところから始まる。故にルベーグ積分の基礎になる関数は階段関数である。それに対して古典的フーリエ解析の基礎にある関数は三角関数、cos x, sin x である。とすると古典的フーリエ解析の構築を三角関数から始めるというのは自然ではあるまいか。測度、積分などが三角関数を出発点として構築できれば、それこそ古典的フーリエ解析にふさわしいとは言えないだろうか。古典的フーリエ解析の奧には三角関数を基礎とした測度論が潜んでいるのではないか、またそこから得られる測度は従来の測度と異なった様相を見せるのではないだろうか。以上のような視点から三角級数の世界を見直してみたい。フーリエ級数でない三角級数が関わる問題には三角級数の単一性 (unique-

ness)の問題がある。この問題には過去から多くの数学者が取り組んできた。

２．記号

まず初めにこれから使う記号を列挙しておく。ここではχE(t)は集合E

の定義関数とする。さらに tは変数とし、xを固定する。

(1) H(x : h)(t) ≡ Hχ[x−h,x+h)(t);

(2) H (x : h)(t) ≡ H

2h(x + 2h − t)χ[x,x+2h)(t);

(3) H (x : h)(t) ≡ H

2h(t − x + 2h)χ[x−2h,x)(t);

(4) ∗H(x : h+, h−)(t) ≡ H(x : h+)(t) + H(x : h−)(t);

(5) H(x : h)(t) ≡ ∗H(x : h, h)(t).

231

３　フーリエ級数から・・・

f(t) を L[−π, π]で、2π−周期の関数とし、そのフーリエ級数を

(6)1

2a0 +

∞∑k=1

(ak cos kt + bk sin kt)

とする。この級数を１回形式的に不定積分すると、

L(t) =∫ t

−πf(u)du =

1

2a0t + A +

∞∑k=1

(ak sin kt − bk cos kt)

k

となり、このとき右辺は一様収束し、L(t)は連続関数になる。([B] vol.1.

p.192)　 h = 0のとき、

（７）L(x + h) − L(x− h)

2h=

1

2a0 +

∞∑k=1

(ak cos kx + bk sin kx)(sin kh

kh

)

である。これは形式的に

(8)(1

2a0 +

∞∑k=1

(ak cos k · +bk sin k·))∗

(1

2+

∞∑k=1

(sin kh

kh) cos k·

)(x)

のようにフーリエ級数 (6)と 12

+∞∑

k=1

(sin kh

kh

)cos ktの convolutionに書

ける。1

2+

∞∑k=1

(sin kh

kh

)cos k(t − x) = π

2h(x : h)(t)

であるから (8)はファジイ (fuzzy)集合 π2h

(x : h)(t)に対してある種の測度を与えているものと考えられる。そこでこれを

m( π2h

(x : h))

と書くことにする。このような測度を与えるためには三角級数は必ずしもフーリエ級数である必要はない。例えば、

1

2|a0| +

∞∑k=1

|ak| + |bk|k

< ∞

を満たす三角級数からは上記の測度を与えることが出来る。mが以下の性質を満たすことは明らかであろう。αを実数として

232

(9) 　m(α π2h

(x : h)) = αm( π2h

(x : h)) = m(απ2h

(x : h)),

h′ + h′′ = h, x− h = x′ − h′, x + h = x′′ + h′′のとき

(10) m( π2h

(x : h)) = m( π2h

(x′ : h′)) + m( π2h

(x′′ : h′′)).

(9)と (10)はmがファジイ集合 π2h

(x : h)(t)上の加法的測度になっていることを示している。逆に (9), (10)を満たすファジイ集合上の測度mが与えられたとすれば、

(11)L(x + h) − L(x − h)

2h= m( π

2h(x : h))

を満たすL(t)の存在を示すことが出来る。但し、これは定数の差を除いて一意的である。さらに L(t)が (7)のように表現できるとは限らない。

４　もう少し広いクラスで・・・

前の節ではフーリエ級数に近い三角級数について考えたが、ここでは少しそれよりは広いクラスの三角級数について考えよう。少なくとも

(12)1

2|a0| +

∞∑k=1

|ak| + |bk|k2

< ∞

は満たしているとする。(12)を満たす三角級数を形式的に２回続けて不定積分すると

(13) F (t) =1

4a0t

2 + At + B −∞∑

k=1

(ak cos kt + bk sin kt)

k2

であり、右辺は仮定により絶対収束している。これからは (12)以外でも各 tで (13)の右辺が収束しているときを考え

ることにしよう。このとき

(14)F (x + 2h) − 2F (x) + F (x− 2h)

4h2=

1

2a0+

∞∑k=1

(ak cos kx+bk sin kx)(sin kh

kh

)2

が成り立ち、右辺は形式的には

(1

2a0 +

∞∑k=1

(ak cos k · +bk sin k·))∗

(1

2+

∞∑k=1

(sin kh

kh

)2cos k·

)(x)

233

　と convolutionに書ける。xを固定し、tを変数とすると

1

2+

∞∑k=1

(sin kh

kh

)2cos k(t − x) ≡ π

2h(x : h)(t)

であるから (14)はファジイ集合 π2h

(x : h)(t)に与えられた測度と考えられるのでこれを

m( π2h

(x : h))

と書く。このとき、αを実数とすれば、以下の関係式がなりたつ。

(15) m(α π2h

(x : h)) = αm( π2h

(x : h)) = m(ααπ2h

(x : h));

かつ

(16) m( π2h

(x : h)) = m(α π4h

(x :h

2))+2m( π

4h(x :

h

2))+m( π

4h(x :

h

2)).

(16)からmは広い意味で加法性を満たしていると言えるだろう。逆に (15)(16)を満たすファジイ集合関数mが与えられたとき、

m( π2h

(x : h)) =F (x + 2h) − 2F (x) + F (x− 2h)

4h2

と書ける F (t)が存在するかどうかと言う問題については答えは「否」である。そのためにはmがもう少し広いファジイ集合のクラスに与えられた測度でなければならない。

L(t)とF (t)が同時に導かれるような三角級数について考える。L(t)をファジイ集合 πχ(−∞,x)(t)に与えられる測度とする。故にこれより

m( π2h

(x : h)) =L(x + h) − L(x − h)

2h

としてファジイ集合 π2h

(x : h)(t)の測度が決まる。同様にF (t)よりファジイ集合 π(x− t)χ(−∞,x)(t)に測度を与える。それをM1とすると

M1(π(x− ·)χ(−∞,x)) = F (x)

続いて

M1(π(x + 2h − ·)χ(−∞,x+2h)) − M1(π(x− ·)χ(−∞,x)) = F (x + 2h) − F (x)

234

とすると、これはファジイ集合

min(2πh, π(x + 2h − ·)χ(−∞,x+2h)(·))

に与えられる測度である。改めて

M2(min(2πh, π(x + 2h − ·)χ(−∞,x+2h)(·)) = F (x + 2h) − F (x)

とし、さらに

M2(min(2πh, π(x+2h−·)χ(−∞,x+2h)(·))−M2(min(2πh, π(x−2h−·)χ(−∞,x−2h)(·))

≡ m(2πh(x : h))

が成り立つ。また

M2(min(2πh, π(x + 2h − ·)χ(−∞,x+2h)) − 1

2hL(x) ≡ m(2πh(x : h))

である。故に

F (x + 2h) − F (x)

2h− L(x) = m(π(x : h))

が成り立つ。以上のことにより、L(t)と F (t)からファジイ集合 H(x : h)(t)の測度

が決まる。ところで

H(x : h)(t) − H(x − h : h)(t) = H(x + h : h)(t)

だから

m(H(x : h)) − m(H(x− h : h)) = m(H(x + h : h))

となって H(x : h)(t)に対しても測度が決まる。また

∗H(x : h+, h−)(t) = H(x : h+)(t) + H(x : h−)(t)

だから非対称なファジイ集合∗H(x : h+, h−)(t)に対しても測度が決まる。

三角級数∑∞

n=1 n sin nxはフーリエ級数ではない。形式的には

L(t) = −1

2−

∞∑n=1

n cos nx;

235

F (t) = −1

2t + B −

∞∑n=1

sin nt

n

としてよいであろう。しかし、L(t)の右辺は収束しないので L(t)は決まらない。故に、この場合は F (t)によってのみファジイ集合の測度を決めなければならない。

m( π2h

(x : h)) =∞∑

n=1

n sinnx(sinnh

nh

)2=

F (x + 2h) − 2F (x) + F (x− 2h)

4h2

ところで∞∑

n=1

n sinnx(sinnh

nh

)2=

1

h2

∞∑n=1

sinnx

n(sinnh)2

=1

2h2

( ∞∑n=1

sinnx

n− 1

2

( ∞∑n=1

sinn(x + 2h)

n+

∞∑n=1

sinn(x − 2h)

n

))

である。ここで右辺は各点で∞∑

n=1

sinnx

n= −1

2

((x + π)χ[−π,0)(x) + (x− π)χ[0,π)(x)

)

である。故にlim

h→0+m( π

2h(x : h)) = 0

が全ての点で成り立つ。このことはリーマン総和法による三角級数の単一性 (uniqueness)が成立しないことを示している。

F (t)が与えられると、ファジイ集合∗H(x : h+, h−)(t)に測度を与える

ことが出来る。逆については肯定的である。すなわちファジイ集合∗H(x :

h+, h−)(t)に測度を与えることが出来ることと、ファジイ集合π(x−t)χ(−∞,x](t)

に測度 F (t)が与えられることとは全く同値である。しかし

F (t) =1

4a0t

2 + At + B − (2π−周期の関数)

としたとき、

(17) m( π2h

(x : h)) =1

2a0 +

∞∑k=1

(ak cos kx + bk sin kx)(sin kh

kh

)2

と書ける三角級数は存在するか、と言う問題に対しては否定的である。なぜなら

F (0) = 1, F (t) = 0 (t = 0)

236

とすると、いかなる三角級数、総和法によっても (17) は

m( π2h

(x : h)) =F (x + 2h) − 2F (x) + F (x− 2h)

4h2

と表すことが出来ないからである。

８．一般の三角級数の場合

1

2a0 +

∞∑k=1

(ak cos kx + bk sin kx)

を一般の三角級数とする。この級数がどのようなファジイ集合に測度を与えるかを考える。そのためには次のような関数があればよいことが解る。

Λn(t) =1

2+

n∑k=1

λ(n)k cos kt

ここでΛn(t)は次の条件を満たす。

(i) Λn(t) ≥ 0; (ii) limn→∞λ

(n)k = 1　 (k=1,2,· · ·)

(iii) Π∞j=kλ

(j)k (収束) (k=1,2,· · ·).

このような関数はD.K.Dimitrov（私信による）によって

λ(n)k =

n − k + 1

n + 2cos

( kπ

n + 2

)+

sin( k+1n+2

π)

(n + 2) sin( πn+2

)

とすれば十分であることが解る。今

Vn(x)(t) ≡ 1

2+

n∑k=1

Π∞j=kλ

(j)k cos k(x− t)

とおくと、三角級数との convilution は

(1

2a0+

∞∑k=1

(ak cos k·+bk sin k·))∗Vn(·)(x) =

1

2a0+

∞∑k=1

(ak cos kx+bk sin kx)Π∞j=kλ

(j)k

≡ m(Vn(x))

となり、

m(Vn(x)) = m((Vn+1 ∗ Λn)(x)) =1

π

∫ π

−πm(Vn+1(u))Λn(x − u)du

237

と書ける。これは広い意味でm(Vn(x))がm(Vn+1(u)) に分解され、mが広い意味で加法的になっていることを示している。

「参考文献」

[B] Bary,N.K., A Treatise on Trigonometric Series vol.1 Pergamon Press(1964).

238

On the integrabilities of maximal functionscharacterizing the Hardy spaces

Yunfeng ZHANG （ GSIS, Tohoku Univ. ）

1 Maximal functions

We give here the definitions of some maximal functions of a function F

on Rn+1+ = Rn × (0,∞).

We define the vertical maximal function F † by

F †(x) = supt>0

| F (x, t) |

and the non-tangential maximal function F ∗a by

F ∗a (x) = sup

(y, t)∈Γa(x)

| F (y, t) |,

where a > 0 and Γa(x) = (y, t) ∈ Rn+1+ | |x − y| < a t. When a = 1,

we refer to Γa(x) and F ∗a (x) as Γ(x) and F ∗(x), respectively. Furthermore

we also consider a modification F ∗∗,N of F ∗a . The function F ∗∗,N is defined

by

F ∗∗,N(x) = sup(y, t)∈Rn+1

+

|F (y, t)|(

1 +|x− y|t

)−N.

For a given Schwartz function φ ∈ S(Rn), the dilation φt is defined byφt(x) = t−nφ(t−1x). Let us assume that a tempered distribution f ∈ S′(Rn)is given. For it we set

F (x, t) = (f ∗ φt)(x)and apply the above definitions of maximal functions to this F . Then weget new functions on Rn. We write them as follows :

(Mφf)(x) = F †(x), (M∗φf)(x) = F ∗(x) and (M∗∗,N

φ f)(x) = F ∗∗,N(x),

respectively.Now let F be a finite collection of pairs of multi-indices

(α, β) ∈ Zn+ × Zn+,

where Z+ = 0, 1, 2, . . ., and set

SF = ψ ∈ S(Rn) | ‖ψ‖α,β ≤ 1 ((α, β) ∈ F),

241

where

‖ψ‖α,β = supx∈Rn

|xα(∂

∂x

)β

ψ(x)|.

By making use of SF we define the grand maximal function MFf by

(MFf)(x) = supψ∈SF

(Mψf)(x).

We would like also to consider the Poisson intgral of f . The Poissonkernel

Pt(x) =cn t

(|x|2 + t2)(n+1)/2

is not in S(Rn). Therefore f ∗ Pt cannot be defined in general. But if fis a bounded distribution, then the difficulty can be avoided. We use themethod introduced in Stein’s book[2]. We say that f is a bounded tempereddistribution, if

f ∗ ψ ∈ L∞(Rn) (ψ ∈ S(Rn)).

For such a bounded tempered distribution f , the Poisson integral uf ofit can be defined by

< uf(·, t ), ψ > =∫Rn

(f ∗ ψ)(x)Pt(x)dx (ψ ∈ S(Rn)),

where ψ(x) = ψ(−x). We know that uf ∈ C∞(Rn+1+ ). Applying the defini-

tions of the verticl maximal function and nontangential maximal functionto the function uf on Rn+1

+ , we get u†f and u∗f , respectively.

2 L∗Φ space

Let a left-continuous function Φ :

(0,∞) −→ [0,∞)

satisfy the condition

∃A > 0 , ∃p > 0 : Φ(θt) ≤ AθpΦ(t) (0 < θ ≤ 1, 0 < t <∞).(1)

Such a function Φ is said to be of lower type p in S. Janson[1].For the above Φ, it is easy to prove the existence of an equivalent function

Φ0 which has such properties that (i) Φ0 is left-continuous and nondecreas-ing, (ii) limt→+∞ Φ0(t) = +∞, Φ0(+0) = 0 and (iii) Φ0(t)/tp is alsonondecreasing. The equivalence means that there exist positive constantsC1 and C2 such that

C1 Φ(t) ≤ Φ0(t) ≤ C2 Φ(t) (0 < t < +∞).

242

Therefore we assume that

Φ(0) = 0 and Φ(+∞) = +∞,

when we treat a function Φ of lower type p. With such a Φ , we introducethe space of functions

L∗Φ(Rn) = g | ∃λ > 0 such that

∫Rn

Φ(λ−1|g(x)|)dx <∞.

By making use of these notations we put our assertions into a theorem inthe next section.

3 Conclusion

Theorem 1 Assume 0 < p <∞ and Φ is left-continuous and is of

lower type p

( i.e. Φ satisfies (1) ). Then the following statements (i) ∼ (x) with respectto a tempered distribution f ∈ S′(Rn) are equivalent.

(i)

∃φ ∈ S(Rn) ;∫Rn

φ(x)dx = 0 and Mφf ∈ L∗Φ(Rn).

(ii)

∃φ ∈ S(Rn) ;∫Rn

φ(x)dx = 0 and M∗φf ∈ L∗

Φ(Rn).

(iii)

∃N , ∃φ ∈ S(Rn) ;∫Rn

φ(x)dx = 0 and M∗∗,Nφ f ∈ L∗

Φ(Rn).

(iv)∃finite family F ⊂ Zn+ ×Zn+ ; MFf ∈ L∗

Φ(Rn).

(v) The f is a bounded tempered distribution and its Poisson integral ufsatisfies u†f ∈ L∗

Φ(Rn).

(vi) The distribution f is bounded and u∗f ∈ L∗Φ(Rn).

(vii)∀φ ∈ S(Rn) , Mφf ∈ L∗

Φ(Rn).

243

(viii)∀φ ∈ S(Rn) , M∗

φf ∈ L∗Φ(Rn).

(ix)∀N > n/p , ∀φ ∈ S(Rn) , M∗∗,N

φ f ∈ L∗Φ(Rn).

(x) Let N0 = minN | N > n/p. If a finite collection F ⊂ Zn+ × Zn+satisfies (α, β) | |α| ≤ 2(1 + n) + N0, |β| ≤ 1 + n + N0 ⊂ F , tnenMFf ∈ L∗

Φ(Rn).

4 Remarks

For a system

F = uj1,j2,...,jk , j1, j2, . . . , jk = 0, 1, . . . , n,

of (n+ 1)k harmonic functions satisfying the generalized Cauchy-Riemannequations, we can prove the following.

Let us set

pk = (n− 1)/(n− 1 + k) and assume pk 0,

and if Φ is absolutely continuous, then∫Rn

Φ(2−1/pk(|F |)∗(x))dx ≤ C(n)p

p− pksupt>0

∫Rn

Φ(|F (x, t)|)dx,(2)

where

|F | =n∑

j1,j2,...,jk=0

|uj1,j2,...,jk |.

Furthermore, if the right-hand side of (2) is finite, then we can show theexistence of the bounded tempered distributions

fj1,j2,...,jk

satisfyinguj1,j2,...,jk = ufj1,j2,...,jk

.

244

Now we consider the possibility of atomic decomposition. We would liketo consider such a bounded function a on Rn that satisfies

supp a ⊂ B, B is a ball in Rn, ‖a‖L∞(Rn) ≤ Φ−1(|B|−1) and∫Rn

xα a(x) dx = 0 (|α| ≤ n(p−1 − 1)).

And we call such a function Φ-atom and the ball appearing in the definitionthe supporting ball of Φ. To deal with such a Φ-atom, we add the followingconditions that

0 < p ≤ 1 and Φ is continuous and strictly increasing

to the hypotheses of Φ.For a Φ-atom a with the supporting ball B, we can show that∫

Rn

Φ((Mφa)(x))dx ≤ C ′Φ(C ′′Φ−1(|B|−1))|B|

with some constants C ′ and C ′′.Next we would like to introduce the space

HΦ−at = f ∈ S′(Rn) | ∃λk and ∃ a sequence ak of Φ-atoms

such that f =∑k

λkak in S′(Rn) and∑k

Φ(|λk|) < +∞.

To connect the space to our preceeding arguments we add further the

subadditivity of Φ

and such a condition that there exist constants C3 and C4 such that

C3Φ(s)Φ(t) ≤ Φ(st) ≤ C4Φ(s)Φ(t) (0 < s, t < +∞)

to our assumptions of Φ. Under these conditions we can prove that a tem-pered distribution f satisfies∫

Rn

Φ((Mφf)(x))dx < +∞

for some φ ∈ S(Rn) such that∫Rn

φ(x)dx = 0

if and only iff ∈ HΦ−at.

And in this case ∫Rn

Φ((Mφf)(x))dx ∼ inf∑k

Φ(|λk|).

245

References

[1] Janson, S. (1980), Generalizations of Lipschitz spaces and an appli-cation to Hardy spaces and bounded mean oscillation, Duke Math. J. 47,959-982.

[2] Stein, E.M. (1993), Harmonic Analysis : Real-Variable Method, Or-thogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press, Prince-ton, New Jersey.

246

実解析学シンポジウム 2002 1 プログラム責任者　中井英一2　

井上昭彦　立澤一哉　

会場責任者　北　広男3　

期日 2002 年 11 月 7 日（木）13 時～ 11 月 9 日（土）12 時会場鹿児島大学稲盛会館（890-0065 鹿児島市郡元１丁目）ホームページ http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/˜enakai/j-sympo/

1 日目： 11 月 7 日（木）

13:00–14:20

1 黒川隆英（鹿児島大理）高次Riesz変換の種々の定義について 25 分

2 岡本茂雄（大阪教育大教育附属高校池田校舎附属天王寺中学非常勤講師）中井英一（大阪教育大教育）Tangential boundary behavior of the Poisson integrals of functions inthe potential space with the Orlicz norm 25 分

3 越昭三（北大名誉教授）Convex sets and ordered linear space 25 分

14:30–15:20

4 大久保幸夫（鹿児島国際大経済）後藤和雄（鳥取大教育地域科学)ある種の指数和と差異の評価について 25 分

5 高橋泰嗣（岡山県立大情報工）加藤幹雄（九工大工）Schaeffer type constant and uniform normal structure for Banachspaces 25 分

15:30–16:20

6 井上昭彦（北大理）Prediction of fractional Brownian motion with Hurst index less than1/2 25 分

7 和泉澤正隆（東海大理）Norm Inequality for Operators of Matrix Type on Tangent or Subor-dinate Martingale Difference Sequences 25 分

1「科学研究費補助金基盤 (B)(1)(一般) 代表宮地晶彦」の援助による。また、「科学研究費補助金基盤 (C)(1)(企画調査) 代表河添健」の調査対象になっています。

2中井英一 582-8582 大阪府柏原市旭ヶ丘 4-698-1 大阪教育大学教育学部数学教育講座TEL&FAX 0729-78-3424 [email protected]

3北広男 890-0065 鹿児島市郡元１丁目 20-6 鹿児島大学教育学部TEL&FAX 099-285-7829 [email protected]

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16:30–17:30

8 三浦毅4（山形大工）宮島静雄（東京理大）高橋眞映（山形大工）線形微分作用素の Hyers-Ulam stability 60 分

2 日目： 11 月 8 日（金）

9:00–9:50

9 松岡勝男（日大経済）sharp 関数と Banach 空間 Bp

0 25 分

10 平澤剛（非常勤講師）A topology for semiclosed operators in Hilbert space 25 分

10:00–10:50

11 春日龍郎（熊本電波高専）酒井良二5（愛知県立足助高校）GENERAL FREUD-TYPE WEIGHTS を持つ直交多項式と高次のHERMITE-FEJER INTERPOLATION POLYNOMIALS 25 分

12 丹羽（旧姓：久保）美由紀（奈良女大人間文化研究科D3）Lorentz-Zygmund 空間上の補間定理 25 分

11:00–11:50

13 尾形尚子（神戸学院大薬非常勤講師）小島浩文（新日鉄ソリューソンズ株式会社）Fourier級数の絶対収束性と連続率について 25 分

14 宮本孝志（神戸学院大薬非常勤講師）On sine and cosine series with quasi-monotone cofficients and general-ized Lorentz-Zygmund spaces 25 分

13:20–14:10

15 笠原雪夫（東大工）連続時間の Szego直交多項式と偏相関関数について 25 分

16 立澤一哉（北大理）A generalization of Birman-Solomyak’s theorem 25 分

14:20–15:10

17 冨田直人（阪大理学研究科D1）Multiresolution Approximation in Weighted Lp spaces 25 分

4予め決まっている講演者5予め決まっている講演者

252

18 高木悟（早大理工学研究科D3）On Renormalized Solutions for Nonlinear Degenerate Problems 25 分

15:20–16:20

19 堀内利郎（茨城大理）On the minimal solution for quasilinear degenerate elliptic equationand its blow-up 60 分

16:30–17:30

20 Amiran Gogatishvili（チェコ科学アカデミー数学研究所，岡山大教育）Integral operators defined on non-homogeneous spaces 60 分

3 日目： 11 月 9 日（土）

9:00–9:50

21 今井淳（京大情報学研究科）川崎泰裕（ NTT DoCoMo 九州）佐藤坦（九大数理）Sierpinski gasket 上の Martin 距離の Lipschitz 同値性 25 分

22 柳研二郎（山口大工）連続時間ガウス型通信路の容量の性質について 25 分

10:00–10:50

23 中村昭宏（東海大開発工）複素指数関数系の BASIS PROPERTY 25 分

24 米田薫（阪府大総合科）三角級数とある測度 25 分

11:00–12:00

25 張雲峰（東北大情報科学研究科D3）ハーディー空間を特徴づける最大関数の積分可能性について 60 分

懇親会日時 11 月 8 日（金）18:30–20:30場所ホテルタイセイアネックス（西鹿児島駅から徒歩２分）参加費 6000円（学割 4000円）

253

氏　　　　名所　　　　　属

安西　一夫香川大学教育学部和泉澤　正隆東海大学理学部井上　昭彦北海道大学大学院理学研究科今井　淳京都大学情報学研究科大久保　幸夫鹿児島国際大学経済学部大橋　勝弘福島大学経済学部尾形　尚子神戸学院大学薬学部岡田　達也福島県立医科大学医学部岡本　茂雄大阪教育大学教育学部附属高等学校池田校舎，附属天王寺中学笠原　雪夫東京大学大学院情報理工学系研究科加藤　幹雄九州工業大学金子　誠東北大学大学院情報科学研究科勘甚　裕一金沢大学工学部菊池　万里富山大学理学部北　広男鹿児島大学教育学部北田　俊之弘前大学教育学部倉坪　茂彦弘前大学理学部黒川　隆英鹿児島大学理学部小泉　澄之慶応義塾大学名誉教授Amiran Gogatishvili チェコ科学アカデミー数学研究所越　昭三北海道大学名誉教授後藤　和雄鳥取大学教育地域科学部小森　康雄東海大学開発工学部坂　光一秋田大学工学資源学部酒井　良二愛知県立足助高等学校榊原　暢久茨城大学工学部佐竹　誠金沢学院短期大学佐藤　圓治山形大学理学部佐藤　邦夫山形大学工学部佐藤　秀一金沢大学教育学部佐藤坦九州大学大学院数理学研究院佐藤　亮太郎岡山大学自然科学研究科曽布川　拓也岡山大学教育学部高木　悟早稲田大学大学院理工学研究科高橋　眞映山形大学工学部高橋　泰嗣岡山県立大学情報工学部立澤　一哉北海道大学大学院理学研究科舘岡　淳秋田大学教育文化学部谷垣　美保東北大学大学院理学研究科張　雲峰東北大学情報科学科冨田　直人大阪大学大学院理学研究科富山　淳華東師範大学中井　英一大阪教育大学教育学部永瀬　範明弘前大学理学部中西　シヅ大阪府立大学名誉教授中村　昭宏東海大学開発工学部西岡　健太郎鹿児島大学理学部西垣　誠一沼津高専教養科西白保　敏彦琉球大学理学部丹羽（久保）美由紀奈良女子大学人間文化研究科羽鳥　理新潟大学東　正和鹿児島大学理学部平澤　剛藤田　景子佐賀大学文化教育学部堀内　利郎茨城大学理学部松岡　勝男日本大学経済学部三浦　毅山形大学工学部宮本　孝志神戸学院大学薬学部丹羽　典朗大阪電気通信大学柳　研二郎山口大学工学部米田　薫大阪府立大学総合科学部　

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実解析学シンポジウム - Osaka Kyoiku...

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