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Third International Conference on Energy, Materials, Applied Energetics and Pollution.

ICEMAEP2016, October 30-31, 2016, Constantine,Algeria.

M.KADJA, A.ZAATRI, Z.NEMOUCHI, R.BESSAIH, S.BENISSAAD and K. TALBI (Eds.).

EFFET DE LA DEFORMATION RADIALE DU CYLINDRE INTERIEUR SUR

L’ECOULEMENT DANS LE SYSTEME DE TAYLOR-COUETTE A SURFACE

LIBRE

Ali ABDELALI, Hamid OUALLI2, Ahcèn BOUABDALLAH3

1 LMF, EMP BP 17 Bordj El-Bahri, 16111 Alger, Algérie 2 LMF, EMP BP 17 Bordj El-Bahri, 16111 Alger, Algérie

3TSE, USTHB, BP 32 El-Alia, Bab-Ezzouar

RÉSUMÉ

Le présent travail consiste à étudier numériquement et expérimentalement l’écoulement dans un système de

Taylor-Couette modifié. Le cylindre intérieur est en rotation, alors que le cylindre extérieur est fixe. Le fluide est

limité en haut par une surface libre en contact direct avec l’air. Le contrôle actif consiste en l’application d’une

déformation radiale au niveau du cylindre intérieur tournant. L’objectif principal est d’observer l’influence de

cette oscillation radiale, en présence d’une surface libre, sur l’évolution de la structure des vortex de Taylor

relatifs à l’apparition de la première instabilité d’une part, et sur la destruction de ces vortex d’autre part. Une

étude comparative a été établie entre les deux approches : numérique et expérimentale. Les résultats montrent

que l’application de ce contrôle actif retarde considérablement l’apparition de la première instabilité de

Tac1=44.8 à Tac1=69.4 correspondant à ε=1.5%. Il est établi aussi qu’avec une certaine fréquence, les rouleaux de

Taylor sont complètement détruits, et le fluide passe à l’état de turbulence développée.

Mots Clés: Déformation Radiale, Cellules de Taylor, Instabilité, Surface Libre

NOMENCLATURE

Symboles : jeu radial

Ta nombre de Taylor rapport des rayons

d entrefer mm Indices:

r rayon variable mm c critique

f fréquence Hz

Lettres grecques :

ε amplitude %

Γ taux de charge

1. INTRODUCTION

L’effet de la surface libre sur l’écoulement dans un système de Taylor-Couette a été introduit par plusieurs

auteurs ; Orr et Scriven [1] ont utilisé deux méthodes itératives pour l’étude de la tension superficielle, de la

viscosité, du champ gravitationnel et des forces inertielles des surfaces libres des écoulements. Mahamadia et

Bouabdellah [2] ont montré par voie expérimentale l’effet du nombre de Reynolds et le taux de remplissage sur

la stabilité de l’écoulement. Djeridi et al [3] et Atkhen et al [4] ont étudié expérimentalement le mouvement des

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bulles d’air capturées près d’une surface libre. Watanabe et al [5,6] ont montré numériquement et

expérimentalement l’évolution de la surface libre d’un écoulement entre deux cylindres concentriques et à

grandes vitesses de rotation.

A travers cette étude, nous essayons d’observer l’effet de la surface libre conjugué à la déformation du cylindre

intérieur tournant sur le comportement de l’écoulement. Les résultats numériques sont obtenus par le code de

calcul FLUENT pour les écoulements incompressibles. Le système de base à une hauteur de 170 mm, l’entrefer

entre les deux rayons est d= R2-R1, le rapport des rayons est de 9,0 , le taux de charge correspondant à la

hauteur du système est de Γ=28,5 et le jeu radial des deux cylindre est de .1,0

En premier lieu, l’étude a porté sur le comportement de l’écoulement dans le cas nominal sans contrôle. Les

résultats montrent que l’apparition de la première instabilité est remarquablement retardée lorsque le taux de

charge des cylindres diminue.

Dans la deuxième étape de l’étude, on applique une déformation sinusoïdale au niveau du cylindre intérieur

tournant où l’amplitude s’étale sur un intervalle de ε = 0 à 1,5% du rayon intérieur, avec une fréquence fixe égale

à f=48Hz. Il est aussi reporté que l’application de cette vibration induit une augmentation du nombre des

rouleaux de Taylor selon les élévations du niveau de la surface libre, tout en retardant l’apparition de la

première instabilité de l’écoulement (la relaminarisation). En fin, la visualisation montre que la surface libre

contribue fortement à la destruction des vortex de Taylor.

2. PARAMETRAGE NUMERIQUE

Les rayons du cylindre intérieur et du cylindre extérieur sont respectivement R1 et R2. Les axes des cylindres

sont verticaux et parallèles à la direction gravitationnelle. Le disque inférieur du système de Taylor-Couette est

fixe. Le fluide est en contact avec l’air à travers une surface libre. La déformation radiale du cylindre tournant

est définie par 𝒓 = 𝑹𝟏(𝟏 + |𝜺 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅𝒇|), où r est le rayon variable, 𝜺 =𝒓−𝑹𝟏

𝑹𝟏 est l’amplitude de déformation, et f

est la fréquence de déformation. Cette fréquence est indépendante de celle de la vitesse de ration du cylindre

intérieur.

L’étude numérique est basée sur la résolution des équations de Navier-Stockes, en utilisant le code de calcul

FLUENT. La méthode de suivi d’interface utilisée est le Volume Of Fluid (VOF). Pour la discrétisation du

temps, le schéma explicite a été choisi. Le pas de temps a été fixé égal à Δt = 0,0002 s. Le mouvement

oscillatoire du cylindre intérieur a été établi grâce au sous-module de Fluent : Dynamic mesh.

3. CONDITIONS EXPERIMENTALES

L’idée consiste à appliquer une déformation pulsatile sur le cylindre intérieur. Pour satisfaire cette condition, le

cylindre intérieur est fabriqué d’une gomme déformable assez dure pour revenir à l’état initiale.

Un mécanisme de déformation épouse la forme du cylindre de l’intérieur. Il est constitué principalement d’une

came (de 4 bosses) fixée sur l’arbre du moteur tournant, des poutres métalliques posées sur la came et porte-

poutres assurant un seul degré de liberté des poutres (direction radiale), voir la figure 1.

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3. RESULTATS

1. Cas nominal (sans déformation): apparition de la première instabilité pour différents taux de

charge :

Une étude comparative entre les résultats numériques et expérimentaux a été établie. La figure 2 montre que

lorsque le taux de charge diminue, l’apparition de la première instabilité est retardée (de Γ=28,5 correspondant à

Tac1=44,8 à Γ=2,5 correspondant à Tac1=64). Cependant, on note que pour les deux approches (numérique et

expérimentale) l’établissement du même nombre de rouleaux de Taylor. Globalement, la variation entre ces

deux approches en termes de valeurs de nombre de Taylor critique Tac égale à 3%.

Position initiale du cylindre intérieur

(sans déformation radiale)

Cylindre intérieur

(élastique)

Came

Arbre du moteur

tournant

Poutres

Porte-poutres

Position finale du cylindre intérieur

(avec déformation radiale aprés 1/8 de tour)

Figure 1 : Vues en plan radial de différentes

positions du cylindre intérieur.

Γ = 2,85

(Tc= 64)

(Tc=65.66)

2 rouleaux

Surface

libre

Γ = 5,71

(Tc= 54.1) (Tc= 55.88)

3 rouleaux

Surface

libre

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2. Cas contrôlé (avec déformation) :

Le contrôle consiste à appliquer une déformation sinusoïdale sur le cylindre intérieur. L’écoulement étant

considérablement influencé par cette oscillation, notamment en :

a- Relaminarisation de l’écoulement (retard de l’apparition de la première instabilité) :

Il ressort de cette étude que le nombre de Taylor critique Tac1 caractérisant l’apparition de l’empilement des

vortex de Taylor, augmente de façon significative. En effet, pour le cas nominal sans contrôle, Tac1=44,8 et pour

une amplitude de déformation égale à 1,5% la valeur de Tac1=69,4 correspondant à un taux d’augmentation

d’environ 55% relativement au cas naturel. La première instabilité est, alors, considérablement retardée, dans son

apparition, relativement à l’évolution naturelle de l’écoulement.

Figure 2: Etablissement de la première instabilité pour différents taux de charge.

Étude comparative.

Γ = 17,14

(Tc= 51.4) (Tc= 52.61)

9 vortices

Free

surface

Γ = 11,42

(Tc= 54.1) (Tc= 55.88)

6 rouleaux

Surface

libre

Γ = 22.85 (Tc= 47.1)

(Tc= 48.53)

12 rouleaux

Surface

libre

(Tc=44.8)

9 rouleaux

Surface

libre

Γ = 28,57 (Tc= 46.28)

13 rouleaux

Surface

libre

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b- Nombre des vortex :

A chaque amplitude appliquée, une certaine élévation de la surface libre est enregistrée. Il ressort que le nombre

des vortex de Taylor (rouleaux) augmente avec le taux d’élévation.

La figure 3 montre l’évolution du nombre des vortex avec la croissance de l’amplitude. Il passe de 26 rouleaux

lorsque ε = 0 (cas nominal) à 34 rouleaux lorsque ε = 1,5% du rayon intérieur.

c- Destruction des vortex

La figure 4 montre le processus en détail de la destruction des vortex, correspondant à l’amplitude ε =

1,25%. Ce processus passe par plusieurs étapes suivant les fréquences de déformation appliquées. Lorsque f

=1,6Hz, une dislocation apparait au niveau des rouleaux suivant une certaine direction. En augmentant

davantage la fréquence de déformation, jusqu’à 3,1 Hz, on remarque l’établissement de la destruction

partielle des rouleaux de Taylor, où le tourbillon d’Ekman résiste encore à ce niveau de fréquence. Avec une

fréquence qui égale à f = 22 Hz, l’écoulement de Taylor-Couette est complètement agité, la surface libre se

trouve à une élévation maximale, et toutes les structures tourbillonnaires sont détruites dans le système.

Figure 3: Variation du nombre des vortex

avec l’augmentation de l’amplitude de

déformation.

Rupture des

rouleaux

Direction

privilégiée

f =0Hz f =1,3Hz f =1,6Hz

f=1,9Hz f = 3,1Hz f=22Hz

Figure 4: Destruction des vortex

dans le système de Taylor-Couette

avec surface libre.

Résultats numériques.

Couche

d’Ekman

Destruction

partielle

Destruction

totale

Début de la

dislocation

Vortex

Ondulés

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4. CONCLUSIONS

Le retard de l’apparition de la première instabilité (relaminarisation de l’écoulement) a été étudié par deux

méthodes: différents taux de charge et l’application d’une déformation pulsatile du cylindre intérieur. Ce

dernier contrôle actif affecte considérablement l’écoulement de Taylor-Couette. Il ressort que, selon une

amplitude et une fréquence bien déterminée, et conjointement avec l’agitation de la surface libre, toutes les

structures tourbillonnaires sont complètement détruites, et le fluide devient turbulent. Ce phénomène s’appelle

le « mixing », c’est le passage volontaire de l’état de l’écoulement laminaire-turbulent, où la surface libre

contribue fortement dans cette transition.

5. REFERENCES

[1] Orr and Scriven , Rimming flow: Numerical simulation of steady, viscous, free surface flow with surface

tension, J. Fluid Mech, vol. 84, part one,1978.

[2] Mahamdia and Bouabdellah , Ecoulement de Tylor-Couette en géométrie finie sur à surface libre, The

Canadian Journal Of Chemical Engineering, 2003.

[3] Djeridi et al. , Two phases Couette-Taylor flow: Arrangement of the dispersed phase and effets on the

flow tructures, Phy. Fluids 16 (128) 2004.

[4] Atkhen et al. , Air bubbles in a Couette-Taylor flow, C.R. Acad. Sci. Paris. 327. Serie II.

[5] Watanabe et al. , Development of free surface flow between concentric cylindres with vertical axis,

J,Phys.Conf. series 14, pp 9-19, 14th INT CT, WORKSHOP, 2005.

[6] Watanabe et al. , Mode formation of free surface rotating flow between concentric vertical cylinders,

Journal of Physics: Conference Series 137, 2008.

Figure 4: Destruction des cellules de Taylor avec agitation de la surface libre.

Résultats expérimentaux.

Destruction totale des vortex Couche d’Ekman

Agitation forte de la surface

libre

Destruction partielle

Empilement des vortex

de Taylor