EFEKTIVITAS PEMBELAJARAN MATEMATIKA …lib.unnes.ac.id/5306/1/skripsi_OK.pdf · Semarang pada...
Transcript of EFEKTIVITAS PEMBELAJARAN MATEMATIKA …lib.unnes.ac.id/5306/1/skripsi_OK.pdf · Semarang pada...
EFEKTIVITAS PEMBELAJARAN MATEMATIKA
DENGAN PENDEKATAN OPEN-ENDED BERNUANSA
APLIKASI LEARNING TO KNOW, LEARNING TO DO,
LEARNING TO LIVE TOGETHER, DAN LEARNING TO
BE TERHADAP HASIL BELAJAR PESERTA DIDIK
SKRIPSI
disajikan sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
oleh
Prapti Nugraha Duhita
4101405051
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2009
ii
PENGESAHAN
Skripsi ini telah dipertahankan di hadapan sidang Panitia Ujian Skripsi FMIPA Unnes
pada tanggal 20 Agustus 2009.
Panitia:
Ketua Sekretaris
Dr. Kasmadi Imam S, M. S. Drs. Edy Soedjoko, M. Pd.
NIP. 130 781 011 NIP. 131 693 657
Penguji
Drs. Edy Soedjoko, M. Pd.
NIP. 131 693 657
Penguji/Pembimbing I Penguji/Pembimbing II
Drs. St. Budi Waluya, M. Si, Ph. D. Dr. Iwan Junaedi, S. Si, M. Pd.
NIP. 132 046 848 NIP. 132 231 406
iii
PERNYATAAN
Saya menyatakan bahwa isi skripsi ini tidak terdapat karya yang pernah
diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu Perguruan Tinggi, dan
sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah
ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis dirujuk dalam
skripsi ini dan disebutkan dalam Daftar Pustaka.
Semarang, Agustus 2009
Prapti Nugraha Duhita
NIM . 4101405051
iv
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
MOTTO :
1. " Sesungguhnya hanya orang-orang yang shabar yang dipenuhi pahalanya tanpa batas” (Q.S.
Azzumar :10)
2. “ Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan ”
(Q.S. Al Insyiroh :6)
3. Bersabar atas sesuatu yang tidak disukai dan bersabar dalam menghadapi kesulitan adalah
jalan menuju kemenangan, kesuksesan, dan kebahagiaan.
PERSEMBAHAN :
Dengan mengucap syukur kepada Allah SWT skripsi ini
kupersembahkan untuk :
1. Ibu dan Bapak tercinta, atas do’a, perhatian, cinta kasih, dan
motivasi yang selalu diberikan tanpa henti;
2. Kakak-kakakku, mba ii, mas edy, mas sidik, mba etty, mas didi, mba
vivi, dan adikku titi, yang membuatku tak kenal rasa putus asa;
3. Mas Andri, yang telah menjadikanku lebih bersabar dan bersikap
dewasa dalam menghadapi masalah;
4. Saudara-saudaraku di Tri Sanja 2;
5. Teman-teman seperjuangan pendidikan matematika Reg B ’05;
v
KATA PENGANTAR
Puji Syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan
hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ” Efektivitas
Pembelajaran Matematika dengan Pendekatan Open-Ended Bernuansa Aplikasi
Learning To Know, Learning To Do, Learning To Live Together, dan Learning To Be
terhadap Hasil Belajar Peserta Didik”.
Dengan selesainya penyusunan skripsi ini perkenankanlah penulis
mengucapkan terima kasih kepada:
1. Prof. Dr. Sudijono Sastroatmojo, M.Si., Rektor Universitas Negeri Semarang.
2. Dr. Kasmadi Imam S, M.S., Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Negeri Semarang.
3. Drs. Edy Soedjoko, M.Pd., Ketua Jurusan Matematika Universitas Negeri
Semarang.
4. Dr. Iwan Junaedi, S.Si, M.Pd, Dosen wali pendidikan matematika kelas B reguler.
5. Drs. St. Budi Waluya, M.Si, P.hD, Dosen pembimbing I yang telah memberikan
bimbingan, arahan, dan saran selama penyusunan skripsi.
6. Dr. Iwan Junaedi, S.Si, M.Pd, Dosen pembimbing II yang telah memberikan
bimbingan, arahan, dan saran selama penyusunan skripsi.
7. Drs. Bambang N. M, M.Ed., Kepala SMA N 6 Semarang yang telah memberikan
izin penelitian.
8. Dra. Wiji Eni N. R, Guru matematika SMA N 6 Semarang yang telah membantu
terlaksananya penelitian ini.
9. Peserta didik kelas XI IPA 2, XI, IPA 3, dan XI IPA 4 SMA N 6 Semarang tahun
pelajaran 2008/2009 atas kesediaanya menjadi responden dalam pengambilan
data penelitian ini.
10. Bapak/ Ibu guru dan karyawan SMA N 6 Semarang atas segala bantuan yang
diberikan.
vi
11. Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak dapat
disebutkan satu persatu.
Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat kepada penulis khususnya dan
kepada para pembaca pada umumnya, serta dapat memberikan sumbangan pemikiran
pada perkembangan pendidikan selanjutnya.
Semarang, Agustus 2009
Penulis
vii
ABSTRAK
Duhita, Prapti Nugraha (4101405051). 2009. Efektivitas Pembelajaran Matematika
dengan Pendekatan Open-Ended Bernuansa Aplikasi Learning To Know, Learning To
Do, Learning To Live Together, dan Learning To Be terhadap Hasil Belajar Peserta
Didik. Skripsi, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam, Universitas Negeri Semarang. Pembimbing Utama:Drs. St. Budi Waluya, M.Si,
P.hD dan Pembimbing Pembantu: Dr. Iwan Junaedi, S. Si, M. Pd.
Kata Kunci: Pembelajaran Matematika, Pendekatan Open-ended, Hasil Belajar.
Keberhasilan pembelajaran di sekolah merupakan suatu hal yang sangat
diharapkan. Keberhasilan peserta didik dalam pembelajaran diukur menggunakan
Kriteria Ketuntasan Minimum. Pencapaian keberhasilan tersebut seharusnya
bersamaan dengan adanya partisipasi aktif peserta didik dan dapat memberikan
keleluasaan berpikir secara aktif dan mampu mengundang peserta didik untuk
menjawab permasalahan melalui berbagai strategi sehingga memacu perkembangan
matematikanya sehingga tercipta suasana belajar yang bermakna. Salah satu cara untuk
menciptakan suatu pembelajaran matematika yang bermakna adalah dengan
menerapkan pendekatan open-ended dalam pembelajaran.
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui efektivitas pembelajaran dengan
pendekatan open-ended terhadap hasil belajar peserta didik, untuk mengetahui apakah
dengan pendekatan open-ended peserta didik dapat mencapai tuntas belajar, dan
mengetahui apakah minat peserta didik berpengaruh terhadap hasil belajarnya.
Penelitian ini merupakan penelitian eksperimen yang dilaksanakan di SMA Negeri 6
Semarang pada semester kedua tahun pelajaran 2008/2009 dengan menggunakan kelas
XI IPA sebagai populasi penelitian. Data yang diukur adalah data hasil belajar peserta
didik dan data minat peserta didik. Teknik pengumpulan data pada penelitian ini
dengan metode tes dan metode angket.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa rata-rata hasil belajar peserta didik kelas
eksperimen adalah 73,29 dengan presentase peserta didik yang mencapai tuntas belajar
adalah 85,37%, sedangkan rata-rata hasil belajar peserta didik kelas kontrol adalah
67,80 dengan presentase peserta didik yang mencapai tuntas belajar adalah 58,54%.
Minat peserta didik pada kelas eksperimen menunjukkan 21,95% sangat tinggi,
41,46% tinggi, 16,63 % rendah, 21,95% sangat rendah. Minat berpengaruh terhadap
hasil belajar peserta didik sebesar 66,92%, sedangkan 33,08% nya dipengaruhi oleh
faktor lain. Secara keseluruhan, dapat disimpulkan bahwa hasil belajar peserta didik
pada kelas eksperimen lebih baik daripada kelas kontrol, menggunakan pendekatan
open-ended peserta didik dapat mencapai tuntas belajar, dan minat berpengaruh
terhadap hasil belajar peserta didik. Sehubungan dengan hasil penelitian ini, maka
saran bagi para guru untuk dapat menerapkan pembelajaran dengan pendekatan open-
ended terutama pada saat mengulang materi yang telah diajarkan. Pembelajaran
viii
dengan pendekatan open-ended perlu dikembangkan sebagai salah satu inovasi dalam
pembelajaran matematika.
ix
DAFTAR ISI
Halaman Judul ............................................................................................ i
Lembar Pengesahan .................................................................................... ii
Pernyataan ................................................................................................... iii
Motto dan Persembahan ............................................................................ iv
Kata Pengantar ........................................................................................... v
Abstrak ......................................................................................................... vii
Daftar Isi ...................................................................................................... viii
Daftar Tabel ................................................................................................ xii
Daftar Lampiran ......................................................................................... xiii
1. PENDAHULUAN ........................................................................... 1
1.1 Latar Belakang .................................................................................. 1
1.2 Rumusan Masalah ............................................................................. 5
1.3 Tujuan Penelitian .............................................................................. 6
1.4 Kegunaan Penelitian ......................................................................... 7
1.5 Penegasan Istilah ............................................................................... 8
1.6 Sistematika Skripsi ............................................................................ 10
2. LANDASAN TEORI ...................................................................... 12
2.1. Teori Belajar David Ausubel ............................................................ 12
2.2. Belajar dan Pembelajaran ................................................................ 12
2.3. Hasil Belajar ...................................................................................... 14
2.4. Pembelajaran dengan Pendekatan Open-ended ................................ 16
2.5. Learning to know, Learning to do, Learning to live together, dan Learning to
be ....................................................................................................... 25
2.5.1. Learning to know ............................................................................... 25
2.5.2. Learning to do .................................................................................... 26
2.5.3. Learning to live together .................................................................... 26
2.5.4. Learning to be .................................................................................... 27
2.6. Minat ................................................................................................ 27
x
2.7. Uraian Materi Limit Fungsi .............................................................. 29
2.7.1. Limit Fungsi di Satu Titik ................................................................. 29
2.7.2. Limit Fungsi Aljabar yang Berbentuk )(lim xfax
............................... 31
2.7.3. Limit Fungsi Aljabar yang Berbentuk )(lim xfx
.............................. 35
2.7.4. Limit Fungsi Trigonometri ............................................................... 37
2.7.5. Teorema Limit .................................................................................. 38
2.8. Kerangka Berpikir ............................................................................. 41
2.9. Hipotesis ........................................................................................... 44
3. METODE PENELITIAN ............................................................... 45
3.1. Metode Penentuan Obyek Penelitian ................................................ 45
3.1.1. Populasi ............................................................................................. 45
3.1.2. Sampel ............................................................................................... 45
3.1.3. Teknik Sampling ................................................................................ 45
3.2. Variabel Penelitian ............................................................................ 46
3.3. Disain Penelitian ............................................................................... 46
3.4. Teknik Pengumpulan Data ................................................................ 50
3.4.1. Metode Tes ........................................................................................ 51
3.4.2. Metode Angket .................................................................................. 51
3.5. Analisis Uji Coba Instrumen Penelitian ............................................ 52
3.5.1. Analisis Instrumen Nontes ................................................................ 52
3.5.2. Analisis Uji Coba Instrumen Tes ...................................................... 53
3.5.2.1.Validitas ............................................................................................ 53
3.5.2.2.Taraf Kesukaran ................................................................................ 54
3.5.2.3.Daya Pembeda .................................................................................. 55
3.5.2.4.Reliabilitas ........................................................................................ 56
3.6. Analisis Data Awal ........................................................................... 57
3.6.1. Uji Homogenitas ............................................................................... 58
3.6.2. Uji Normalitas .................................................................................... 58
3.6.3. Uji Kesamaan Rata-rata .................................................................... 60
3.7. Analisis Data Akhir ........................................................................... 61
xi
3.7.1. Uji Normalitas .................................................................................... 62
3.7.2. Uji Homogenitas ............................................................................... 63
3.7.3. Uji Perbedaan Rata-rata .................................................................... 64
3.7.4. Uji Ketuntasan Belajar ....................................................................... 66
3.7.5. Uji Pengaruh Minat terhadap Hasil Belajar Matematika .................. 66
3.7.5.1.Uji Korelasi ....................................................................................... 67
3.7.5.2.Uji Keberartian Koefisien Regresi ..................................................... 67
3.7.5.3.Uji Kelinearan Model Regresi .......................................................... 68
3.7.6. Hasil Analisis Uji Coba Instrumen ................................................... 69
3.7.6.1.Hasil Analisis Uji Coba Instrumen Tes ............................................ 69
3.7.6.2.Hasil Analisis Uji Coba Instrumen Nontes ....................................... 71
4. HASIL PENELITIAN .................................................................... 75
4.1. Hasil Penelitian ................................................................................. 75
4.1.1. Analisis Data Tahap Awal ................................................................ 75
4.1.1.1.Uji Normalitas .................................................................................... 75
4.1.1.2.Uji Homogenitas ............................................................................... 76
4.1.1.3.Uji Kesamaan Rata-rata .................................................................... 76
4.1.2. Analisis Data Tahap Akhir ................................................................ 77
4.1.2.1.Uji Normalitas .................................................................................... 77
4.1.2.2.Uji Homogenitas ............................................................................... 78
4.1.2.3.Uji Perbedaan Rata-rata .................................................................... 79
4.1.2.4.Uji Ketuntasan Belajar ....................................................................... 79
4.1.2.5.Uji Pengaruh Minat terhadap Hasil Belajar Matematika .................. 80
4.2. Pembahasan ....................................................................................... 82
5. PENUTUP ........................................................................................ 86
5.1 Simpulan ........................................................................................... 86
5.2 Saran ................................................................................................. 86
Daftar Pustaka ............................................................................................ 88
Lampiran ..................................................................................................... 9
xii
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
Tabel 2.1 Nilai x pada contoh penyelesaian 1 .................................... 59
Tabel 2.2 Nilai x pada contoh penyelesaian 2 .................................... 59
Tabel 2.3 Nilai x pada cara penyelesaian 1.a ..................................... 59
Tabel 2.4 Nilai x pada cara penyelesaian 1.b ..................................... 59
Tabel 3.1 Disain penelitian ......................................................................... 59
Tabel 3.2 Analisis Varians .......................................................................... 59
Tabel 3.3 Hasil Analisis Validitas Instrumen Uji Coba .............................. 61
Tabel 3.4 Hasil Analisis Tingkat Kesukaran Instrumen Uji Coba .............. 61
Tabel 3.5 Hasil Analisis Daya Beda ........................................................... 62
Tabel 3.6 Hasil Varians Butir Soal ............................................................. 62
Tabel 3.7 Hasil Validitas Butir Soal Angket ............................................... 63
Tabel 3.8 Hasil Distribusi Jawaban Butir Soal Angket .............................. 64
Tabel 4.1 Hasil Perhitungan Uji Normalitas Data Awal .............................. 67
Tabel 4.2 Hasil Perhitungan Uji Homogenitas Data Awal .......................... 67
Tabel 4.3 Hasil Perhitungan Uji Kesamaan Rata-Rata Data Awal .............. 68
Tabel 4.4 Hasil Perhitungan Uji Normalitas Data Akhir ............................. 69
Tabel 4.5 Hasil Perhitungan Uji Homogenitas Data Akhir ......................... 69
Tabel 4.6 Hasil Perhitungan Perbedaan Rata-Rata ...................................... 70
Tabel 4.7 Hasil Perhitungan Uji Ketuntasan Belajar ................................... 71
Tabel 4.8 Hasil Perhitungan Persamaan Regresi ......................................... 71
Tabel 4.9 Hasil Perhitungan Analisis Varians ............................................. 72
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran Halaman
Lampiran 1. Daftar Nama Peserta Didik Kelas Uji Coba ............................ 90
Lampiran 2. Daftar Nama Peserta Didik Kelas Eksperimen ....................... 91
Lampiran 3. Daftar Nama Peserta Didik Kelas Kontrol .............................. 92
Lampiran 4. Daftar Nilai UAS Semester 1 ................................................... 93
Lampiran 5. Analisis Normalitas Data Awal Kelas Eksperimen ................ 94
Lampiran 6. Analisis Normalitas Data Awal Kelas Kontrol ....................... 95
Lampiran 7. Analisis Homogenitas Data Awal ............................................ 96
Lampiran 8. Analisis Kesamaan Rata-rata Data Awal ................................. 97
Lampiran 9. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran I Kelas Eksperimen ....... 98
Lampiran 10. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran II Kelas Eksperimen ...... 107
Lampiran 11. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran III Kelas Eksperimen .... 115
Lampiran 12. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Kelas Kontrol ................ 124
Lampiran 13. Kisi-kisi Soal Tes Uji Coba ..................................................... 135
Lampiran 14. Soal Tes Uji Coba ................................................................... 136
Lampiran 15. Jawaban Soal Tes Uji Coba ..................................................... 137
Lampiran 16. Analisis Tes Uji Coba ............................................................. 146
Lampiran 17. Contoh Perhitungan Tes Uji Coba ......................................... 147
Lampiran 18. Kisi-kisi Soal Tes ................................................................... 153
Lampiran 19. Soal tes ................................................................................... 154
Lampiran 20. Jawaban Soal Tes .................................................................... 155
Lampiran 21. Daftar Nilai Tes Hasil Belajar Kelas Eksperimen ................... 162
Lampiran 22. Daftar Nilai Tes Hasil Belajar Kelas Kontrol ......................... 163
Lampiran 23. Analisis Uji Normalitas Data Akhir Kelas Eksperimen .......... 164
Lampiran 24. Analisis Uji Normalitas Data Akhir Kelas Kontrol ................ 165
Lampiran 25. Analisis Uji Homogenitas Data Akhir ..................................... 166
Lampiran 26. Uji Hipotesis 1 ........................................................................ 167
Lampiran 27. Uji Hipotesis 2 ........................................................................ 168
xiv
Lampiran 28. Uji Hipotesis 3 (Analisis Regresi) .......................................... 169
Lampiran 29. Kisi-kisi Uji Coba Angket Minat Peserta Didik ..................... 173
Lampiran 30. Uji Coba Angket Minat Peserta Didik .................................... 174
Lampiran 31. Analisis Uji Coba Angket Minat Peserta Didik ...................... 177
Lampiran 32. Kisi-kisi Angket Minat Peserta Didik ..................................... 182
Lampiran 33. Angket Minat Peserta Didik .................................................... 183
Lampiran 34. Analisis Angket Minat Peserta Didik Kelas Eksperimen ....... 185
Lampiran 35. Analisis Angket Minat Peserta Didik Kelas Kontrol .............. 186
Lampiran 36. Surat Penetapan Dosen Pembimbing ...................................... 187
Lampiran 37. Surat Izin Observasi ................................................................ 188
Lampiran 38. Surat Izin Penelitian ................................................................ 189
Lampiran 39. Surat Rekomendasi Penelitian/ Research ................................ 190
Lampiran 40. Surat Keterangan Telah Melaksanakan Penelitian .................. 191
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kualitas kehidupan bangsa Indonesia harus ditingkatkan dalam era globalisasi
ini. Pendidikan adalah faktor utama yang menentukan kualitas sebuah bangsa. Kualitas
sebuah bangsa terbentuk dari berbagai aspek moral, spiritual, kognitif, emosional
maupun sosial. Melalui sekolah, perkembangan kepribadian seseorang dalam cara
berpikir, bersikap, maupun cara berperilaku diantarkan ke alam kedewasaan, sehingga
terbentuk generasi bangsa yang berkualitas. Oleh karena sekolah memegang peranan
penting dalam peningkatan kualitas kehidupan bangsa, maka sudah seharusnya sekolah
dijadikan tempat belajar yang menyenangkan bagi siswa.
Salah satu ilmu pengetahuan yang dipelajari di sekolah yang selain dapat
meningkatkan kemampuan kognitif tetapi juga dapat membentuk kepribadian adalah
matematika. Johnson dan Rising (dalam Suherman, 2003:17) dalam bukunya
mengatakan bahwa matematika adalah pola berpikir, pola mengorganisasikan,
pembuktian yang logik, dan matematika adalah bahasa yang menggunakan istilah yang
didefinisikan dengan cermat, jelas, dan akurat, sehingga matematika membantu
manusia memahami dan menguasai permasalahan sosial, ekonomi, dan alam. Dalam
pembelajaran matematika, siswa dibiasakan untuk memperoleh pemahaman melalui
pengalaman tentang sifat-sifat yang dimiliki dan yang tidak dimiliki dari sekumpulan
objek (abstraksi). Dengan pengamatan terhadap contoh-contoh dan bukan contoh
2
diharapkan siswa mampu menangkap pengertian suatu konsep. Selanjutnya dengan
abstraksi ini, siswa dilatih untuk membuat perkiraan, terkaan, atau kecenderungan
berdasarkan kepada pengalaman atau pengetahuan yang dikembangkan melalui
contoh-contoh khusus (generalisasi).
Brownell (dalam Suherman, 2003:48) mengemukakan bahwa belajar
matematika harus merupakan belajar bermakna dan belajar pengertian. Brownell
menegaskan bahwa belajar pada hakikatnya merupakan suatu proses yang bermakna.
Sedangkan untuk menciptakan suasana belajar bermakna sekaligus untuk menjawab
tantangan global adalah dengan menerapkan empat pilar pendidikan (UNESCO) di
sekolah. Empat pilar pendidikan (UNESCO) yang diimplementasikan di sekolah
adalah learning to know, learning to do, learning to live together, dan learning to be.
Pencapaian belajar bermakna dalam pembelajaran matematika dapat dilakukan dengan
mengatur pembelajaran sehingga mendorong peserta didik belajar sesuatu yang baru
sebagai hasil komunikasi baik dengan guru maupun temannya. Salah satu cara untuk
mewujudkan belajar bermakna di dalam kelas, guru dapat menggunakan open-ended
approach (Becker & Shimada dalam Takahashi, 2008:2).
Proses pembelajaran yang ditetapkan agar tercipta proses belajar bermakna
haruslah mampu memotivasi peserta didik untuk berpartisipasi aktif, serta memberikan
ruang yang cukup bagi berkembangnya kreativitas dan kemandirian sesuai dengan
bakat dan minat peserta didik sesuai dengan pasal 19 PP nomor 19 tahun 2005 tentang
standar nasional pendidikan. Peserta didik diberikan kesempatan untuk berpikir bebas
dalam mengungkapkan ide-ide matematika sesuai kemampuannya yang juga sesuai
dengan lampiran peraturan menteri pendidikan nasional nomor 22 tahun 2006.
3
Pembelajaran matematika yang mencakup pemberian masalah tertutup dengan solusi
tunggal, pemberian masalah terbuka dengan solusi tidak tunggal, dan pemberian
masalah dengan berbagai cara penyelesaian merupakan pembelajaran yang difokuskan
dalam standar isi yang ditetapkan oleh BSNP. Pembelajaran dengan pendekatan open-
ended sesuai dengan pembelajaran yang tercantum dalam standar isi, mengingat
pembelajaran dengan pendekatan open-ended memberikan masalah terbuka dengan
solusi tidak tunggal atau dapat diselesaikan dengan berbagai cara oleh peserta didik.
Pembelajaran dengan pendekatan open-ended merupakan pembelajaran yang
memberikan keleluasaan berpikir secara aktif dan mampu mengundang peserta didik
untuk menjawab permasalahan melalui berbagai strategi sehingga memacu
perkembangan matematikanya. Mengenai hal tersebut didasari oleh Haddens dan
Shimada (dalam Yaniawati, 2002) serta Suherman (2003:124) kebiasaan berpikir pada
pembelajaran matematika menggunakan pembelajaran dengan pendekatan open-ended
akan memudahkan peserta didik dalam memahami suatu topik keterkaitannya dengan
topik lain, baik dalam pelajaran matematika maupun pelajaran lain atau dalam
kehidupan sehari-hari. Dalam pembelajaran dengan menggunakan pendekatan open-
ended, sebagai penilaiannya menggunakan open-ended problems. Foong (2002)
berpendapat bahwa open-ended problems adalah permasalahan tidak lengkap dengan
tidak adanya prosedur yang tepat yang menjamin sebuah jawaban benar. Sehingga
peserta didik perlu memperluas pengetahuan yang dimilikinya dengan memandang
masalah yang diberikan dari sudut pandang yang lain. Selain itu, Van den Heuvel
Panhuizen (dalam Eric, 2008:2) mengatakan bahwa pembelajaran yang menggunakan
open-ended problems mempunyai beberapa keuntungan yaitu peserta didik terlatih
4
dalam menyelesaikan masalah dalam kehidupan nyata dan bagi guru dapat
memberikan informasi bermakna tentang bagaimana peserta didik melaksanakan
proses penyelesaian masalah.
Para ahli dari beberapa negara telah melakukan penelitian tentang penggunaan
pendekatan open-ended dalam pembelajaran. Begitu pun di Indonesia. Salah satu hasil
dari penelitian tentang penggunaan pendekatan open-ended dalam pembelajaran di
Indonesia yang dilakukan oleh Subagjo pada tahun 2004 adalah sebagai berikut
banyaknya siswa yang menyelesaikan masalah open-ended baik secara individual
maupun secara kelompok mengalami peningkatan. Presentase banyaknya siswa yang
menyelesaikan masalah open-ended secara mandiri meningkat sebagai berikut 5%,
60%, 87,5%. Sedangkan presentase banyaknya siswa yang menyelesaikan masalah
open-ended secara kelompok meningkat sebagai berikut 0%, 25%, 55%. Sedangkan
75% dari siswa berminat untuk mengikuti kegiatan belajar mengajar berikutnya seperti
yang telah diikuti (Subagjo, 2004).
Sekarang ini di seluruh dunia, telah diimplementasikan pembelajaran yang
berdasar pada empat pilar pendidikan seperti yang telah ditetapkan UNESCO. Guru
harus lebih kreatif untuk menerapkan suatu pendekatan, metode, dan model
pembelajaran pada aplikasi empat pilar pendidikan tersebut. Penggunaan model atau
pendekatan dalam pembelajaran matematika masih sangat minimal, karena bagi
beberapa guru, penggunaan model maupun pendekatan hanya akan menghabiskan
banyak waktu saja. Tuntutan kurikulum yang sangat padat, tidak memberikan
kesempatan kepada peserta didik untuk bereksplorasi dan menemukan pengetahuan
yang bermakna bagi dirinya. Sobel dan Maletsky dalam Nuriana (2005: 3) menyatakan
5
bahwa masih banyak sekali guru matematika yang menggunakan waktu pelajaran
dengan kegiatan membahas tugas-tugas lalu, memberi pelajaran baru, dan memberi
tugas kepada siswa. Pembelajaran seperti di atas yang rutin dilakukan hampir tiap hari
dikategorikan sebagai 3M, yaitu membosankan, membahayakan, dan merusak seluruh
minat siswa.
Oleh karena itu, pembelajaran dengan pendekatan open-ended dapat diterapkan
dalam pembelajaran matematika karena dapat memberikan keleluasaan berpikir secara
aktif dan mampu mengundang peserta didik untuk menjawab permasalahan melalui
berbagai strategi sehingga memacu perkembangan matematikanya. Selain itu,
pembelajaran dengan pendekatan open-ended sangat cocok diterapkan dalam aplikasi
learning to know, learning to do, learning to live together, dan learning to be sebagai
sarana untuk menciptakan suasana belajar matematika yang bermakna.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas, maka permasalahan yang akan diteliti adalah
sebagai berikut.
(1) Apakah hasil belajar matematika peserta didik dengan pembelajaran
menggunakan pendekatan open ended bernuansa aplikasi learning to know,
learning to do, learning to live together, dan learning to be lebih baik daripada
pembelajaran konvensional?
(2) Apakah ketuntasan belajar matematika peserta didik dapat tercapai dengan
pembelajaran menggunakan pendekatan open ended bernuansa aplikasi learning
to know, learning to do, learning to live together, dan learning to be?
6
(3) Apakah minat sebagai hasil belajar dalam pembelajaran menggunakan
pendekatan open ended bernuansa aplikasi learning to know, learning to do,
learning to live together, dan learning to be berpengaruh terhadap hasil belajar
matematika?
1.3 Tujuan Penelitian
Berdasarkan permasalahan di atas, maka penelitian mempunyai tujuan sebagai
berikut.
(1) Untuk mengetahui apakah hasil belajar matematika peserta didik dengan
pembelajaran menggunakan pendekatan open ended bernuansa aplikasi learning
to know, learning to do, learning to live together, dan learning to be lebih baik
daripada pembelajaran konvensional.
(2) Untuk mengetahui apakah ketuntasan belajar matematika peserta didik dapat
tercapai dengan pembelajaran menggunakan pendekatan open ended bernuansa
aplikasi learning to know, learning to do, learning to live together, dan learning
to be.
(3) Untuk mengetahui apakah minat sebagai hasil belajar dalam pembelajaran
menggunakan pendekatan open ended bernuansa aplikasi learning to know,
learning to do, learning to live together, dan learning to be berpengaruh terhadap
hasil belajar matematika.
1.4 Manfaat Penelitian
Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai berikut.
7
1.4.1 Bagi siswa
Dapat memberi pengaruh yang positif terhadap hasil belajar matematika
peserta didik dalam mengikuti pelajaran matematika, serta dapat memudahkan peserta
didik dalam memahami suatu topik keterkaitannya dengan topik lain, baik dalam
pelajaran matematika maupun pelajaran lain atau dalam kehidupan sehari-hari. Selain
itu dapat melatih peserta didik untuk berpikir aktif dan tidak terpaku pada satu
penyelesaian masalah sehingga kemampuan berpikir peserta didik dapat berkembang
secara maksimal.
1.4.2 Bagi Guru
Guru mendapat pengetahuan dan pengalaman dalam pelaksanaan pembelajaran
dengan pendekatan open-ended. Selain itu juga dapat meningkatkan kemampuan guru
dalam menciptakan strategi pembelajaran yang bervariatif dan inovatif sehingga
memberikan pengaruh yang positif terhadap hasil belajar peserta didik.
1.4.3 Bagi Sekolah
Dengan pengaruh positif yang ditimbulkan dengan diterapkannya pembelajaran
dengan pendekatan open-ended terhadap hasil belajar peserta didik, dapat menjadi
acuan bagi sekolah dalam menentukan arah kebijakan untuk kemajuan sekolah dan
sekolah akan memperoleh hasil pengembangan ilmu. Selain itu, dapat dijadikan
sebagai motivasi sekolah untuk meningkatkan kualitas mutu hasil pendidikan.
1.4.4 Bagi Peneliti
Mendapat pengalaman dan dapat mengetahui hasil dari pelaksanaan
pembelajaran dengan pendekatan open-ended bernuansa aplikasi learning to know,
learning to do, learning to live together, dan learning to be.
8
1.5 Penegasan Istilah
Untuk menyamakan persepsi atau pandangan mengenai pengertian dari judul
skripsi ini, perlu ditegaskan beberapa istilah berikut.
1.5.1 Efektivitas
Efektivitas berasal dari kata dasar efektif yang dalam Kamus Besar Bahasa
Indonesia berarti dapat membawa hasil atau berdaya guna. (Purwadarminta,
2002:226). Efektifitas dalam penelitian ini ditunjukkan dengan hasil belajar
matematika peserta didik pada kelas eksperimen lebih baik daripada kelas kontrol,
ketuntasan belajar matematika peserta didik pada pembelajaran dengan pendekatan
open ended dapat tercapai, dan minat peserta didik berpengaruh terhadap hasil belajar
matematikanya.
1.5.2 Pembelajaran dengan pendekatan open-ended
Menurut Briggs (dalam Sugandi, 2004:9) menjelaskan bahwa pembelajaran
adalah seperangkat peristiwa yang mempengaruhi si belajar sedemikian rupa sehingga
si belajar itu memperoleh kemudahan dalam berinteraksi berikutnya dengan
lingkungan. Pembelajaran dengan pendekatan open-ended merupakan pembelajaran
yang memberikan keleluasaan berpikir secara aktif dan mampu mengundang peserta
didik untuk menjawab permasalahan melalui berbagai strategi sehingga memacu
perkembangan matematikanya. Didasari oleh Haddens dan Speer Shimada (dalam
Yuniawati, 2002) serta Suherman (2003:124).
1.5.3 Hasil Belajar
Hasil belajar merupakan perubahan perilaku yang diperoleh siswa setelah
mengalami aktivitas belajar (Chatarina, 2004:5). Hasil belajar matematika peserta
9
didik berarti kemampuan peserta didik untuk mempelajari matematika dengan hasil
yang diperoleh secara maksimal, ditunjukkan dengan nilai tes atau angka yang
diberikan oleh guru. Penilaian hasil belajar mata pelajaran matematika meliputi tiga
aspek yaitu aspek pemahaman konsep, penalaran dan komunikasi, dan pemecahan
masalah. Dalam penelitian ini hasil belajar matematika adalah nilai yang diperoleh
peserta didik setelah melaksanakan tes penelitian dengan menggunakan open-ended
problems sebagaimana terlampir, sehingga aspek hasil belajar yang ditekankan dalam
penelitian ini adalah aspek pemecahan masalah. Sedangkan minat sebagai hasil belajar
ranah afektif.
1.5.4 Ketuntasan Belajar
Ketuntasan belajar peserta didik dalam setiap pelajaran dirumuskan dalam
suatu Kriteria Ketuntasan Minimum (KKM) yang ditentukan dengan
mempertimbangkan kompleksitas kompetensi, daya dukung atau sumber daya
pendukung dalam penyelenggaraan pembelajaran, dan tingkat kemampuan (intake)
rata-rata peserta didik (Safari, 2008:27). Ketuntasan belajar matematika peserta didik
dalam penelitian ini tercapai jika peserta didik dapat menguasai materi lebih dari atau
sama dengan 67%.
1.5.5 Pembelajaran Konvensional
Menurut Poerwadarminta (1999:522) konvensional artinya menurut apa yang
sudah menjadi kebiasaan. Jadi, pembelajaran konvensional adalah pembelajaran yang
biasa dilakukan oleh guru. Pembelajaran konvensional dalam penelitian ini adalah
pembelajaran yang biasa dilakukan oleh guru dan tidak menggunakan pendekatan open
ended.
10
1.6 Sistematika Skripsi
Skripsi ini terdiri atas beberapa bagian yang masing-masing diuraikan sebagai
berikut.
(1) Bagian awal skripsi, terdiri dari: halaman judul, halaman pengesahan, motto dan
persembahan, abstrak, kata pengantar, daftar isi, daftar gambar, dan daftar
lampiran.
(2) Bagian isi merupakan bagian pokok dalam skripsi yang terdiri dari lima bab
sebagai berikut.
Bab I : Pendahuluan berisi tentang latar belakang, permasalahan, tujuan
penelitian, manfaat, dan sistematika penulisan.
Bab II : Landasan teori dan hipotesis berisi tentang teori-teori yang
mendukung dalam pelaksanaan penelitian dan hipotesis yang
dirumuskan.
Bab III : Metode penelitian berisi tentang populasi dan sampel, variabel
penelitian, dan metode pengumpulan data.
Bab IV : Laporan hasil penelitian berisi tentang hasil penelitian dan
pembahasannya.
Bab V : Simpulan dan saran tentang kesimpulan hasil penelitian dan saran-
saran peneliti.
(3) Bagian Akhir, merupakan bangian yang terdiri dari daftar pustaka yang digunakan
sebagai acuan, lampiran-lampiran yang melengkapi uraian pada bagian isi, dan
tabel-tabel yang digu
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Teori Belajar David Ausubel
Teori belajar menurut David Ausubel dibedakan menjadi dua yaitu, pertama,
kegiatan belajar yang bermakna (meaningful learning) jika peserta didik mencoba
menghubungkan pengetahuan baru dengan pengetahuan yang dimilikinya. Ketika
pengetahuan yang baru tidak berkaitan dengan pengetahuan yang ada maka
pengetahuan yang baru itu akan dipelajari peserta didik sebagai hafalan. Kedua,
kegiatan belajar tidak bermakna (rote learning) di mana peserta didik hanya menghafal
apa yang diberikan oleh guru tanpa mengetahui apa makna yang dihafal (Suherman,
2003:32). Dalam penelitian ini, teori belajar David Ausubel ini berhubungan erat
ketika menyusun hasil temuan atau hasil diskusi pada kelompok, mereka selalu
mengkaitkan dengan pengertian-pengertian yang telah mereka miliki sebelumnya.
2.2 Belajar dan Pembelajaran
Belajar merupakan proses penting bagi perubahan perilaku manusia dan ia
mencakup segala sesuatu yang dipikirkan dan dikerjakan. Belajar memegang peranan
penting di dalam perkembangan, kebiasaan, sikap, keyakinan, tujuan, kepribadian, dan
bahkan persepsi manusia. Oleh karena itu dengan menguasai prinsip-prinsip dasar
tentang belajar, seseorang mampu memahami bahwa aktivitas belajar itu memegang
peranan penting dalam proses psikologis (Chatarina, 2004:2).
12
Menurut Thorndike (Dimyati, 2002:46) belajar adalah pembentukan hubungan
antara stimulus dan respons dan pengulangan terhadap pengalaman-pengalaman itu
memperbesar peluang timbulnya respons benar. Pengulangan bertujuan untuk melatih
daya jiwa, membentuk respons yang benar dan membentuk kebiasaan-kebiasaan.
Pendekatan Bruner terhadap belajar (dalam Dahar 1989:98) didasarkan pada
dua asumsi yaitu perolehan pengetahuan merupakan suatu proses yang interaktif dan
orang mengkonstruksi pengetahuannya dengan menghubungkan informasi yang masuk
dengan informasi yang disimpan sebelumnya. Bruner yakin bahwa orang yang belajar
berinteraksi dengan lingkungan secara aktif, maka perubahan yang terjadi tidak hanya
di lingkungan tetapi juga dalam diri orang itu sendiri.
Prinsip-prinsip belajar (Suherman, 2003:4) antara lain belajar harus mempunyai
tujuan yang jelas, proses belajar akan terjadi apabila seseorang dihadapkan situasi yang
problematik, belajar dengan pemahaman akan lebih bermakna dibanding belajar
dengan hafalan, belajar secara menyeluruh akan lebih berhasil dibanding belajar secara
terbagi, belajar memerlukan kemampuan untuk menangkap intisari pelajaran, belajar
merupakan proses kontinu, proses belajar memerlukan metode yang tepat, dan belajar
memerlukan minat dan perhatian peserta didik. Prinsip-prinsip tersebut mengacu pada
empat pilar pendidikan yaitu learning to know, learning to do, learning to live
together, dan learning to be.
Brigss (dalam Sugandi, 2004:9) menjelaskan bahwa pembelajaran adalah
seperangkat peristiwa yang mempengaruhi si belajar sedemikian rupa sehingga si
belajar itu memperoleh kemudahan dalam berinteraksi berikutnya dengan lingkungan.
Bila pembelajaran ditinjau dari segi internal dan eksternal maka teori pembelajaran
13
atau instruksional adalah penerapan prinsip-prinsip teori belajar, teori tingkah laku,
dan prinsip pengajaran dalam usaha mencapai tujuan belajar dengan penekanan pada
prosedur yang telah terbukti berhasil secara konsisten (Sukamto dalam Sugandi,
2004:10). Dengan demikian prinsip belajar menurut teori belajar tertentu, teori tingkah
laku, dan prinsip-prinsip pengajaran dalam implementasinya akan berintegrasi menjadi
prinsip-prinsip pembelajaran.
2.3 Hasil Belajar
Hasil belajar merupakan perubahan perilaku yang diperoleh siswa setelah
mengalami aktivitas belajar. Perolehan aspek-aspek perubahan perilaku tersebut
tergantung pada apa yang dipelajari oleh siswa. Oleh karena itu apabila siswa
mempelajari pengetahuan tentang konsep, maka perubahan perilaku yang diperoleh
adalah berupa penguasaan konsep. Dalam pembelajaran, perubahan perilaku yang
harus dicapai oleh siswa setelah melaksanakan aktivitas belajar dirumuskan dalam
tujuan pembelajaran (Chatarina, 2004:5). Penilaian hasil belajar mata pelajaran
matematika meliputi tiga aspek yaitu aspek pemahaman konsep, penalaran dan
komunikasi, dan pemecahan masalah. Dalam penelitian ini hasil belajar matematika
adalah nilai yang diperoleh peserta didik setelah melaksanakan tes penelitian dengan
menggunakan open-ended problems sebagaimana terlampir, sehingga aspek hasil
belajar yang ditekankan dalam penelitian ini adalah aspek pemecahan masalah. Gagne
(dalam Suherman, 2003:34) menyatakan bahwa, dalam pemecahan masalah, ada lima
langkah yang harus dilakukan, yaitu:
(1) menyajikan masalah dalam bentuk yang jelas;
(2) menyatakan masalah dalam bentuk yang operasional;
14
(3) menyusun hipotesis-hipotesis alternatif dan prosedur kerja yang diperkirakan
baik;
(4) mengetes hipotesis dan melakukan kerja untuk memperoleh hasilnya;
(5) mengecek kembali hasil yang sudah diperoleh.
Tujuan belajar merupakan komponen yang sangat penting dalam belajar,
karena tujuan menjadi pedoman bagi seluruh aktivitas belajar. Tujuan belajar harus
dirumuskan dengan jelas karena tujuan yang efektif dan efisien akan memudahkan
baik bagi guru atau siswa untuk mencapainya. Tujuan belajar juga dapat dipakai
sebagai kriteria internal bagi siswa untuk menilai keberhasilan dalam belajar.
Kegunaan tujuan belajar ialah untuk memandu guru menciptakan kondisi belajar yang
menunjang pencapaian tujuan belajar itu sendiri. Tujuan belajar yaitu membentuk guru
menyusun alat evaluasi yang digunakan untuk mengetahui apakah proses belajar dan
pembelajaran berhasil atau gagal. Tujuan belajar yang lain antara lain : untuk
mendapatkan pengetahuan, penanaman konsep dan keterampilan, dan pembentukan
sikap.
Hasil belajar yang diperoleh peserta didik dipengaruhi oleh dua faktor utama
yakni faktor dari dalam diri peserta didik itu dan faktor yang datang dari luar diri
peserta didik atau faktor lingkungan. Faktor yang datang dari diri peserta didik
terutama kemampuan yang dimilikinya. Faktor kemampuan peserta didik besar sekali
pengaruhnya terhadap prestasi belajar yang dicapai. Disamping faktor kemampuan
yang dimiliki peserta didik, juga ada faktor yang lain, seperti motivasi belajar, minat
dan perhatian, sikap dan kebiasaan belajar, ketekunan, sosial ekonomi, faktor fisik dan
psikis.
15
Tujuan pendidikan yang ingin dicapai dapat dikategorikan menjadi tiga bidang
yakni bidang kognitif (penguasaan intelektual), bidang afektif (berhubungan dengan
sikap dan nilai) serta bidang psikomotorik (kemampuan atau keterampilan, bertindak
atau berperilaku). Ketiganya tidak berdiri sendiri, tapi merupakan satu kesatuan yang
tidak terpisahkan, bahkan membentuk hubungan hirarki. Sebagai tujuan yang hendak
dicapai, ketiganya harus tampak sebagai hasil belajar siswa di sekolah. Oleh sebab itu
ketiga aspek tersebut harus dipandang sebagai hasil belajar siswa, dari proses
pembelajaran (Sudjana, 2002:49).
2.4 Pembelajaran dengan Pendekatan Open-ended
Pembelajaran dengan pendekatan open-ended merupakan pembelajaran yang
memberikan keleluasaan berpikir secara aktif dan mampu mengundang peserta didik
untuk menjawab permasalahan melalui berbagai strategi sehingga memacu
perkembangan matematikanya. Mengenai hal tersebut didasari oleh Haddens dan
Speer, Shimada (dalam Yuniawati, 2002) serta Suherman (2003:124) kebiasaan
berpikir pada pembelajaran matematika menggunakan pembelajaran dengan
pendekatan open-ended akan memudahkan peserta didik dalam memahami suatu topik
keterkaitannya dengan topik lain, baik dalam pelajaran matematika maupun pelajaran
lain atau dalam kehidupan sehari-hari.
Dalam pembelajaran dengan pendekatan open-ended, peserta didik diminta
mengembangkan metode, cara, atau pendekatan yang berbeda dalam menjawab
permasalahan yang diberikan dan bukan berorientasi pada jawaban (hasil) akhir.
Menurut Shimada (1997) dalam pembelajaran matematika, rangkaian dari
pengetahuan, keterampilan, konsep, prinsip, atau aturan diberikan kepada peserta didik
16
biasanya melalui langkah demi langkah tidak sebagai hal yang terpisah atau saling
lepas, namun harus disadari sebagai rangkaian yang terintegrasi dengan kemampuan
dan sikap dari setiap peserta didik, sehingga di dalam pikirannya akan terjadi
pengorganisasian intelektual yang optimal.
Tujuan dari pembelajaran dengan pendekatan open-ended menurut Nohda
(dalam Suherman, 2003:124) ialah untuk membantu mengembangkan kegiatan kreatif
dan pola pikir matematis peserta didik melalui problem solving secara simultan.
Dengan kata lain kegiatan kreatif dan pola pikir matematis peserta didik harus
dikembangkan semaksimal mungkin sesuai dengan kemampuan setiap peserta didik.
Hal yang dapat digarisbawahi adalah perlunya memberi kesempatan peserta didik
untuk berpikir dengan bebas sesuai dengan minat dan kemampuannya. Aktivitas kelas
yang penuh dengan ide-ide matematika ini pada gilirannya akan memacu kemampuan
berpikir tingkat tinggi peserta didik. Sehingga peserta didik terlatih dalam
menyelesaikan masalah terutama dalam aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari.
Suherman (2003:124) mengatakan bahwa perlu digarisbawahi bahwa kegiatan
matematik dan kegiatan siswa disebut terbuka jika memenuhi ketiga aspek berikut.
1. Kegiatan siswa harus terbuka
Yang dimaksud kegiatan siswa harus terbuka adalah kegiatan pembelajaran harus
mengakomodasikan kesempatan siswa untuk melakukan segala sesuatu secara
bebas sesuai kehendak mereka.
2. Kegiatan matematik adalah ragam berpikir
17
Kegiatan matematika adalah kegiatan yang di dalamnya terjadi proses
pengabstraksian dari pengalaman nyata dalam kehidupan sehari-hari ke dalam
dunia matematika atau sebaliknya.
3. Kegiatan siswa dan kegiatan matematik merupakan satu kesatuan
Dalam pembelajaran matematika, guru diharapkan dapat mengangkat
pemahaman siswa dalam memecahkan permasalahan dan perluasan serta pendalaman
dalam berpikir matematika sesuai dengan kemampuan individu. Suherman (2003:130)
mengatakan bahwa problem yang akan ditampilkan di kelas harus memperhatikan.
1. Problem harus kaya dengan konsep-konsep matematika dan berharga
Problem harus mendorong siswa untuk berpikir dari berbagai sudut pandang.
2. Level matematika dari problem itu cocok untuk siswa
Pada saat siswa menyelesaikan problem open ended, mereka harus menggunakan
pengetahuan dan keterampilan yang telah mereka punyai.
3. Problem mengundang pengembangan konsep matematika lebih lanjut.
Problem harus memiliki keterkaitan dengan konsep-konsep matematika yang
lebih tinggi sehingga memacu siswa untuk berpikir tingkat tinggi.
Apabila kita telah memformulasi problem mengikuti kriteria yang telah
dikemukakan, menurut Suherman (2003:131) langkah selanjutnya adalah
mengembangkan rencana pembelajaran yang baik. Pada tahap ini hal-hal yang harus
diperhatikan adalah sebagai berikut.
1. Tuliskan respon siswa yang diharapkan
2. Tujuan dari problem itu diberikan harus jelas
3. Sajikan problem semenarik mungkin
18
4. Lengkapi prinsip 'posing problem' sehingga siswa memahami dengan mudah
maksud dari problem itu
5. Berikan waktu yang cukup kepada siswa untuk mengeksplorasi problem.
Langkah-langkah pembelajaran dalam pendekatan open ended diungkapkan
Takahashi (2008:6) dalam rencana pembelajarannya.
Flow of the lesson :
1. Introduction
An introductory activity to let student understand how to use their knowledge.
2. Posing problem
The students are given open ended problem to compare and discuss variety of ways
to solve the problem. This type of open ended problem is known as a problem with
multiple solution.
3. Solving problem
Because of the nature of open ended approach, the main concern of the teacher
during this lesson is to facilitate discussion meaningfully by including all the
students in the class. To find the solving prblem, the students work
individual/group then write their discussion results.
4. Sharing the students solving problem
The students share their solving problem with their calssmates. The teacher
carefully examine during students’ individual/group work and plan the discussion
immediately following students individual/group work.
5. Summing up
Reflect what we learned by looking at the board writing. Let students write their
learning experience as a journal reflection.
Langkah-langkah pembelajaran dalam pendekatan open-ended menurut
Takahashi.
1. Pengenalan
Kegiatan pengenalan ditujukan supaya peserta didik mengerti bagaimana
menggunakan pengetahuan mereka.
2. Pemberian masalah
Peserta didik diberi open-ended problem untuk membandingkan dan
mendiskusikan berbagai cara atau strategi dalam menyelesaikan masalah. Open-
19
ended problem di sini diketahui sebagai masalah dengan berbagai cara
penyelesaian.
3. Penyelesaian masalah
Perhatian utama selama pembelajaran dengan pendekatan open-ended adalah
menfasilitasi diskusi bermakna dengan melibatkan seluruh peserta didik di dalam
kelas. Untuk menyelesaikan masalah, peserta didik bekerja secara
individual/kelompok kemudian menulis hasil diskusinya.
4. Bertukarpikiran tentang penyelesaian masalah
Peserta didik bertukarpikiran tentang penyelesaian masalahnya dengan temannya.
Guru menilai kerja kelompok peserta didik dan merencanakan diskusi peserta
didik.
5. Refleksi
Refleksi dilakukan dengan melihat kembali ke papan tulis. Guru memberi waktu
kepada peserta didik untuk menuliskan pengalamannya dalam menyelesaiakan
masalah.
Penerapan pembelajaran dengan pendekatan open-ended bernuansa aplikasi
learning to know, learning to do, learning to live together, dan learning to be dapat
dilihat dalam contoh kegiatan rencana pembelajaran berikut ini.
1. Pendahuluan
a. Apersepsi
b. Memeriksa kehadiran peserta didik sebelum materi disampaikan.
c. Menyampaikan indikator pembelajaran yang hendak dicapai.
d. Menyampaikan tujuan pembelajaran.
e. Menyampaikan penggunaan pembelajaran dengan pendekatan open-ended
bernuansa aplikasi empat pilar pendidikan.
20
f. Motivasi
Untuk menunjukkan nuansa learning to be, guru menginformasikan pentingnya
materi ini dikuasai dengan baik karena sangat relevan dengan materi yang lain
dan juga relevan dengan kehidupan sehari-hari.
2. Kegiatan Inti
Flow of the lesson :
1. Introduction (orientasi peserta didik pada masalah)
Guru mengawali pelajaran dengan memperkenalkan aktivitas hari ini, yaitu
dengan memberikan masalah limit fungsi aljabar yang sederhana beserta cara-
cara penyelesaiannya (nuansa learning to know). Hal ini sebagai modal peserta
didik untuk mengikuti kegiatan belajar hari ini.
2. Posing problem
Guru memberikan masalah limit fungsi aljabar kepada peserta didik untuk
diselesaikan sesuai dengan kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki.
Peserta didik menyelesaikan masalah limit fungsi aljabar yang diberikan oleh
guru dengan mendiskusikannya dalam kelompok. (nuansa learning to live
together).
3. Solving problem
Peserta didik menyelesaikan masalah limit fungsi aljabar yang diberikan guru
dengan berbagai alternatif penyelesaian. Masing-masing anggota kelompok,
harus dapat menjelaskan alternatif penyelesaian yang mereka gunakan. (nuansa
learning to do and lerning to live together)
Selama kegiatan pembelajaran, guru harus dapat membuat diskusi yang terjadi
menjadi bermakna dengan cara melibatkan semua peserta didik dalam kelas.
Selain itu, guru membimbing peserta didik dengan memeriksa pekerjaan
peserta didik selama diskusi berlangsung.
4. Sharing the students solving problem
Peserta didik mempresentasikan hasil pekerjaan mereka di depan kelas.
Setiap jawaban yang berbeda dari peserta didik didiskusikan bersama.
Guru memberikan kesempatan yang sama kepada setiap peserta didik untuk
menyampaikan pendapatnya.
21
5. Summing up
Peserta didik merefleksi apa yang telah dipelajari dalam kegiatan pembelajaran
hari ini dengan melihat kembali ke papan tulis.
Guru membimbing peserta didik untuk menyimpulkan hasil pembelajaran hari
ini dan menyampaikan bahwa materi ini harus benar-benar dipahami karena
merupakan dasar dari beberapa materi yang lain (nuansa learning to live
together).
3. Penutup
a. Guru mengevaluasi jalannya diskusi dan hasil diskusi yang telah dilakukan.
b. Guru menyampaikan bahwa peserta didik akan mempelajari aplikasinya tidak
hanya pada mata pelajaran matematika tetapi juga pada mata pelajaran yang
lain sehingga peserta didik harus benar-benar memahami materi ini (nuansa
learning to live together).
c. Guru memberikan tugas rumah kepada peserta didik secara berkelompok.
Soal open-ended memungkinkan ragam jawaban siswa, sehingga guru kesulitan
menilai hasil pekerjaan siswa. Untuk menilai hasil kerja pembelajaran dengan
pendekatan open-ended yang menggunakan open-ended problem sebagai alat
evaluasinya salah satu caranya adalah dengan menentukan skoring dan jawaban siswa
melalui “rubrik”. Rubrik ini merupakan skala penilaian baku yang digunakan untuk
menilai jawaban siswa dalam soal-soal open-ended. Banyak jenis rubrik berbeda yang
digunakan oleh individu dan sekolah.
Salah satu contoh rubrik yang digunakan untuk menentukan skoring jawaban
siswa dalam soal-soal open-ended menurut Shimada (dalam Poppy, 2003:4) adalah
sebagai berikut.
1. Memberi skor 4 jika jawaban siswa itu lengkap. Ciri-ciri jawaban siswa ini adalah.
a. Jawaban yang dikemukakan lengkap dan benar.
22
b. Menggambarkan problem solving, reasoning serta kemampuan berkomunikasi.
c. Jika respon dinyatakan terbuka, semua jawaban benar.
d. Hasil digambarkan secara lengkap.
e. Kesalahan kecil, misalnya pembulatan mungkin ada.
2. Memberikan skor 3 jika jawaban siswa itu menggambarkan kompetensi dasar. Ciri-
ciri dari jawaban siswa ini adalah.
a. Jawaban yang dikemukakan benar.
b. Menggambarkan problem solving, reasoning serta kemampuan berkomunikasi.
c. Jika respon dinyatakan terbuka, maka hampir semua jawaban benar.
d. Hasilnya dijelaskan.
e. Beberapa kesalahan kecil yang matematik mungkin ada.
3. Memberikan skor 2 jika jawaban siswa sebagian. Ciri-ciri dari jawaban siswa ini
adalah.
a. Beberapa jawaban mungkin sudah dihilangkan.
b. Menggambarkan problem solving, reasoning serta kemampuan berkomunikasi.
c. Terlihat kurangnya tingkat pemikiran yang tinggi.
d. Kesimpulan dinyatakan namun tidak akurat
e. Beberapa batasan mengenai pemahaman konsep matematika digambarkan.
f. Kesalahan kecil yang matematik mungkin muncul.
4. Memberikan skor 1 jika jawaban siswa hanya sekadar upaya mendapatkan
jawaban. Ciri-ciri dari jawaban siswa ini adalah.
a. Jawaban dikemukakan namun tidak pernah mengembangkan ide-ide
matematik.
23
b. Masih kurang ide dalam problem solving, reasoning serta kemampuan
berkomunikasi.
c. Beberapa perhitungan dinyatakan salah.
d. Hanya sedikit terdapat penggambaran pemahaman matematik.
e. Siswa sudah berupaya menjawab soal
5. Memberikan skor 0 siswa tidak menjawab. Ciri-ciri dari jawaban siswa ini adalah.
a. Jawaban betul-betul tidak tepat.
b. Tidak ada penggambaran tentang problem solving, reasoning atau kemampuan
komunikasi.
c. Tidak menyatakan pemahaman matematik sama sekali.
d. Tidak mengemukakan jawaban.
2.5 Learning to know, Learning to do, Learning to live together, dan
Learning to be.
Empat pilar pendidikan (UNESCO) yang diimplementasikan di sekolah adalah.
2.5.1 Learning to know
Learning to know bukan sebatas mengetahui dan memiliki materi informasi
sebanyak-banyaknya, menyimpan dan mengingat selama-lamanya dengan setepat-
tepatnya, sesuai dengan petunjuk-petunjuk yang telah diberikan, namun juga
kemampuan dalam memahami makna di balik materi ajar yang telah diterimanya.
Dengan learning to know, kemampuan menangkap peluang untuk melakukan
pendekatan ilmiah diharapkan dapat berkembang yang tidak hanya melalui logika
empirisme semata, tetapi juga secara transendental, yaitu kemampuan mengaitkannya
dengan nilai-nilai spiritual (Suwarno, 2008:76).
24
Belajar hendaknya mampu mengarahkan para peserta didik untuk mengetahui
sesuatu atau untuk memperoleh pengetahuan sebagi bentuk terujudnya pembelajara
bermakna. Sehingga diharapkan, melalui pendidikan hendaknya mampu menciptakan
budaya belajar sepanjang masa atau long life education. Belajar tidak hanya terjadi di
sekolah dan pada suatu kurun waktu tertentu, tapi dapat terjadi di mana saja dan kapan
saja, sehingga terjadi perubahan mindset dan paradigma belajar di kalangan
masyarakat Indonesia dari schooling be learning.
2.5.2 Learning to do
Belajar sambil berbuat ( learning by doing ) atau belajar sambil mengetahui (
experiential learning ) dan belajar membuat sesuatu dengan memanfaatkan
pengetahuan yang sudah ada. Belajar demikian itu merupakan belajar yang tidak hanya
mengetahui teori tetapi juga dapat mengaplikasikan apa yang diketahui.
Learning to do merupakan aplikasi dari learning to know. Kelemahan model
pendidikan dan pengajaran yang selama ini berjalan adalah mengajarkan ”omong”
(baca:teori), dan kurang menuntun orang untuk ”berbuat” (praktik). Semangat retorika
lebih besar dari action. Learning to do bukanlah kemampuan berbuat mekanis dan
pertukangan tanpa pemikiran. Dengan demikian peserta didik akan terus belajar
bagaimana memperbaiki dan menumbuhkembangkan kerja, juga bagaimana
mengembangkan teori atau konsep intelektualitasnya (Suwarno, 2008:77).
2.5.3 Learning to live together
Para pelajar dimotivasi dan dibimbing untuk belajar hidup bersama dalam
situasi yang terwujud atas dasar prinsip kebersamaan, kekeluargaan, kesejajaran,
kemitraan, dan kerjasama yang dilandasi oleh rasa kasih sayang dan kepercayaan
25
antara satu dengan yang lain. Dengan prinsip ini sekolah hendaknya selalu
menciptakan suasana belajar yang menghargai keberagaman dan kesetaraan antara
siswa satu dengan yang lain sehingga ketika mereka terjun di masyarakat sudah
terbiasa dengan nilai-nilai kesetaraan, keberagaman (pluralisme) dan demokrasi.
Learning to live together ini merupakan kelanjutan yang tidak dapat
dielakkan dari pilar-pilar pendidikan yang lain. Oleh karena itu premis ini menuntut
seseorang untuk hidup bermasyarakat dan menjadi educated person yang bermanfaat
baik bagi diri dan masyarakatnya maupun bagi seluruh umat manusia (Suwarno,
2008:78).
2.5.4 Learning to be
Pelajar dibimbing untuk tetap menjadi dirinya sendiri dengan segala
karakteristiknya yang berbeda satu sama lain. Proses pembelajaran di sekolah
hendaknya mampu memberikan inspirasi dan stimulasi tentang gambaran masa depan
karier dan pekerjaan yang hendak dijalani oleh si siswa. Para praktisi pendidikan, baik
guru ataupun kepala sekolah hendaknya selalu berpegang teguh kepada empat pilar
tersebut, sehingga proses pembelajaran di sekolah lebih bermakna dan sesuai dengan
kebutuhan tenaga kerja di masyarakat.
Crussoe (dalam Suwarno, 2008:77) berpendapat bahwa manusia itu hidup
sendiri tanpa kerja sama atau saling tergantung dengan manusia lain. Manusia di era
sekarang ini bisa hanyut ditelan masa jika tidak berpegang teguh pada jati dirinya.
Learning to be akan menuntun peserta didik menjadi ilmuwan sehingga mampu
menggali dan menentukan nilai kehidupannya sendiri dalam hidup bermasyarakat
sebagai hasil belajarnya.
26
2.6 Minat
Menurut Getzel (dalam Mardapi, 2008:106) minat adalah suatu disposisi yang
terorganisir melalui pengalaman yang mendorong seseorang untuk memperoleh objek
khusus, aktivitas, pemahaman, dan keterampilan untuk tujuan perhatian atau
pencapaian. Hal penting pada minat adalah intensitasnya. Secara umum minat
termasuk karakteristik afektif yang memiliki intensitas tinggi.
Menurut Safari (2008:32) bahwa minat merupakan pilihan kesenangan dalam
melakukan kegiatan dan dapat membangkitkan gairah seseorang untuk memenuhi
kesediaannya dalam belajar. Minat erat sekali hubungannya dengan suka atau tidak
suka, tertarik atau tidak tertarik dan senang atau tidak senang. Minat tidak tercetus
dengan sendirinya, tetapi sesuatu yang terwujud disebabkan pengaruh-pengaruh
tertentu seperti guru yang baik serta penguasaan materi pelajaran. Dalam hal ini minat
merupakan kecenderungan pada diri peserta didik yang berhubungan dengan perasaan
senang atau tidak senang dan tertarik atau tidak tertarik terhadap mata pelajaran
tertentu.
Perasaan senang akan menimbulkan minat, yang diperkuat lagi oleh sikap yang
positif. Yang jelas adalah perasaan tidak senang menghambat dalam belajar, karena
tidak melahirkan sikap positif dan tidak menunjang minat belajar, selain itu motivasi
juga sukar berkembang.
Penyebab turunnya minat belajar peserta didik antara lain karena kurangnya
motivasi dalam diri siswa itu sendiri. Mereka jarang sekali berpikir melakukan sesuatu
yang sebenarnya banyak bermanfaat bagi mereka. Turunnya minat belajar ini akan
berdampak negatif pada hasil belajar. Karena sesuatu yang dilakukan tanpa dilandasi
27
niat, kemauan, dan usaha yang keras hanya akan sia-sia dan memberikan hasil yang
tidak maksimal. Suherman (1993: 78), menyatakan minat mempengaruhi proses
belajar, jika peserta didik tidak berminat untuk mempelajari sesuatu maka tidak dapat
diharapkan akan berhasil dengan baik dalam mempelajari hal tersebut. Sebaliknya jika
siswa belajar sesuai dengan minatnya maka dapat diharapkan hasilnya akan lebih baik.
Minat peserta didik terhadap mata pelajaran matematika dapat diketahui dari
hasil pengukuran dengan menggunakan angket. Adapun indikator minat menurut
Mardapi (2001:112), meliputi.
1. Manfaat belajar matematika
2. Usaha memahami matematika
3. Membaca buku matematika
4. Mengerjakan soal-soal matematika
5. Bertanya di kelas
6. Bertanya pada teman
7. Bertanya pada orang lain
2.7 Uraian Materi Limit Fungsi
2.7.1 Limit Fungsi di Satu Titik
Konsep limit sering kali digunakan dalam bidang nonmatematis. Contoh
permasalahannya adalah sebagai berikut.
Di suatu pabrik, produksi maksimum dari suatu mesin dalam menghasilkan
satu produk dinyatakan dalam satuan jam. Produksi maksimum mesin
28
tersebut dinyatakan dalam suatu fungsi 2,2
42
x
x
xxf , sehingga
nilai produksi mesin tersebut dapat didekati dengan nilai 1x .
Untuk menyelesaikan masalah tersebut, dapat digunakan limit fungsi dalam
penyelesaiannya. Dalam kasus ini, pengertian limit fungsi di suatu titik dapat dipahami
dengan cara menghitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau.
Contoh penyelesaian:
Permasalahan tersebut dapat dinotasikan 2,2
4lim
2
1
x
x
x
x.
Contoh penyelesaian 1.
Untuk mendapatkan nilai limit fungsi tersebut, kita dapat memilih beberapa nilai
x yang mendekati 1 dari kiri maupun dari kanan, seperti pada tabel 2.1. berikut
ini.
x mendekati 1 dari kiri x mendekati 1 dari kanan
x 0,8 0,9 0,99 0,9999 1 1,000001 1,0001 1,001 1,05 1,1
xf 2,8 2,9 2,99 2,9999 3 3,000001 3,0001 3,001 3,05 3,1
xf mendekati 3 xf mendekati 3
Tabel 2.1.
Pada tabel 2.1. di pilih nilai yang mendekati 1 dari kiri adalah 0,8, 0,9, 0,99, dan
0,9999, untuk nilai yang mendekati 1 dari kanan adalah 1,000001, 1,001, 1,05, dan 1,1.
Dari tabel 2.1. diperoleh 2,32
4lim
2
1
x
x
x
x.
Jadi, mesin tersebut dapat memproduksi satu buah produk dalam waktu kurang lebih 3
jam.
Contoh penyelesaian 2.
29
Dengan cara yang sama, kita dapat memilih nilai-nilai lain yang mendekati 1 baik dari
kiri maupun dari kanan, dapat dilihat pada tabel 2.2. berikut ini.
Dipilih, nilai-nilai yang mendekati 1 dari kiri adalah 0,992, 0,994, 0,996, 0,998, untuk
yang dari kanan adalah 1,0001, 1,0002, 1,0003, 1,0004.
x mendekati 1 dari kiri x mendekati 1 dari kanan
x 0,99
2
0,99
4
0,99
6
0,999
8 1 1,0001 1,0002 1,0003 1,0004 1,0005
xf
2,8 2,9 2,99
2,999
9 3 3,0001 3,0002 3,0003 3,0004 3,0005
xf mendekati 3 xf mendekati 3
Tabel 2.2.
Dari tabel 2.2. diperoleh 2,32
4lim
2
1
x
x
x
x.
Jadi, mesin tersebut dapat memproduksi satu buah produk dalam waktu kurang lebih 3
jam.
Untuk alternatif cara yang lain, dapat dipilih nilai-nilai x yang mendekati 1 dari
kiri maupun dari kanan yang lain.
2.7.2 Limit Fungsi Aljabar yang Berbentuk )(lim xfax
Ada beberapa cara untuk menentukan nilai )(lim xfax
menurut Wirodikromo
(2003:148), meliputi:
1. Metode Substitusi Langsung
Untuk memahami cara menentukan limit fungsi aljabar yang berbentuk )(lim xfax
dengan metode substitusi langsung, simaklah beberapa contoh berikut ini.
a) 52lim1
xx
30
b) 23lim2
xx
c) 1
1lim
1
x
x
x
Penyelesaian :
a) 35)1(252lim1
xx
Jadi, 352lim1
xx
.
b) 242)2(323lim2
xx
Jadi, 223lim2
xx
.
c) 02
0
11
11
1
1lim
1
x
x
x
Jadi, 01
1lim
1
x
x
x
.
2. Metode Pemfaktoran
Perhatikan limit fungsi berbentuk 2
4lim
2
2
x
x
x
. Apabila dikerjakan dengan
substitusi langsung diperoleh :0
0
22
42
2
4lim
22
2
x
x
x
.
Pada pertemuan sebelumnya telah disebutkan bahwa 0
0 disebut bentuk tak tentu
dan 0
0 tidak didefinisikan. Maka digunakan metode pemfaktoran untuk
meyelesaikannya.
2
22lim
2
4lim
2
2
2
x
xx
x
x
xx
, sebab 2x atau 02 x .
31
42lim2
xx
.
3. Contoh Open-ended Problem
Limit fungsi aljabar berbentuk )(lim xfax
dalam bentuk open-ended problem
dapat dilihat dalam contoh-contoh berikut ini.
a. Hitunglah dengan berbagai cara nilai dari 3,3
9lim
2
2
x
x
x
x.
b. Pada setiap atraksi, kerja maksimum suatu roda sirkus untuk pemakaian 3 jam
dapat dinyatakan dalam putaran. Putaran maksimum roda tersebut dalam 3 jam,
dinyatakan dalam suatu fungsi 10,10
10003
x
x
xxf . Tentukan putaran
maksimum roda sirkus tersebut.
Penyelesaian :
a. Cara 1, menggunakan limit fungsi di satu titik.
Untuk mendapatkan nilai 3,3
9lim
2
2
x
x
x
x, kita dapat memilih beberapa nilai x
yang mendekati 2 dari kiri maupun dari kanan, seperti pada tabel 2.3. berikut ini.
x mendekati 2 dari kiri x mendekati 2 dari kanan
x 1,8 1,9 1,99 1,9999 2 2,000001 2,0001 2,001 2,05 2,1
xf 4,8 4,9 4,99 4,9999 3 5,000001 5,0001 5,001 5,05 5,1
xf mendekati 5 xf mendekati 5
Tabel 2.3.
Dari tabel 2.3. diperoleh 3,53
9lim
2
2
x
x
x
x.
Jadi, nilai dari 3,53
9lim
2
2
x
x
x
x.
32
Cara 2, menggunakan metode substitusi.
3,51
5
32
92lim
3
9lim
2
2
2
2
x
x
x
xx
Cara 3, menggunakan metode pemfaktoran.
3,5323lim
3
33lim
3
9lim
22
2
2
xx
x
xx
x
x
xxx
b. Cara 1 menggunakan limit fungsi di satu titik.
Untuk mendapatkan nilai 10,10
1000lim
3
3
x
x
x
x, kita dapat memilih beberapa nilai
x yang mendekati 3 dari kiri maupun dari kanan, seperti pada tabel 2.3. berikut
ini.
x mendekati 2 dari kiri x mendekati 2 dari kanan
x 2,8 2,9 2,99 2,999 3 3,00
1
3,00
2
3,00
3
3,00
4
3,00
5
f(x) 138,8 138,9 138,99 138,99
9 138
139,
001
139,
002
139,
003
139,
004
139,
005
xf mendekati 5 xf mendekati 5
Tabel 2.4.
Dari tabel 2.3. diperoleh 10,13910
1000lim
3
3
x
x
x
x.
Jadi, nilai dari 10,13910
1000lim
3
3
x
x
x
x.
Cara 2, menggunakan metode substitusi.
10,1397
973
103
10003lim
10
1000lim
3
3
3
3
x
x
x
xx
Jadi, nilai dari 10,13910
1000lim
3
3
x
x
x
x.
33
Cara 3, menggunakan metode pemfaktoran.
10
1001010lim
10
1000lim
2
3
3
3
x
xxx
x
x
xx
10,13910030310010lim 22
3
xxx
x
Jadi, nilai dari 10,13910
1000lim
3
3
x
x
x
x.
2.7.3 Limit Fungsi Aljabar yang Berbentuk )(lim xfx
Ada beberapa cara untk menentukan )(lim xfx
menurut Wirodikromo
(2003:159), meliputi:
1. Membagi dengan pangkat tertinggi dari penyebut
Limit fungsi berbentuk )(
)(lim
xg
xf
x
dapat diselesaikan dengan cara membagi
bagian pembilang )(xf dan bagian penyebut )(xg dengan nx dengan n adalah
pangkat tertinggi dari )(xf atau )(xg .
Contoh :
Hitunglah 23
143lim
2
2
xx
xx
x!
Penyelesaian :
Cara 1 : 3001
003
231
143
lim23
143
lim23
143lim
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
xx
x
xx
x
xx
xx
xx
xxx
Jadi, 323
143lim
2
2
xx
xx
x.
34
Cara 2 :
31
3
2
13
lim2
13lim
12
113lim
23
143lim
2
2
xx
xxx
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xxxx
Jadi, 323
143lim
2
2
xx
xx
x.
2. Mengalikan dengan faktor lawan
Limit fungsi berbentuk )()(lim xgxfx
dapat diselesaikan dengan cara
mengalikan dengan faktor lawan, yaitu )()(
)()(
xgxf
xgxf
.
Contoh :
Hitunglah xxx
1lim !
Penyelesaian :
xx
xxxxxx
xx
1
11lim1lim
xx
xx
x
1
1lim
xxx
1
1lim
11
1
1
lim
x
xx
11
0lim
x
0
35
1tan
limtan
lim00
x
x
x
x
xx
1sin
limsin
lim00
x
x
x
x
xx
Jadi, 01lim
xxx
.
2.7.4 Limit Fungsi Trigonometri
Pengertian limit fungsi trigonometri menurut Wirodikromo (2003:173).
)(xfLimax
dengan )(xf adalah fungsi-fungsi yang memuat perbandingan
trigonometri, maka bentuk limit fungsi tersebut disebut limit fungsi trigonometri.
Penyelesaian limit fungsi trigonometri sama seperti penyelesaian limit fungsi aljabar
yaitu dengan metode substitusi langsung atau dengan metode pemfaktoran.
Rumus-rumus limit fungsi trigonometri :
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut :
1) x
x
x 2
6sinlim
0
2) 20
)12cos(lim
x
x
x
Penyelesaian :
1) x
x
x 2
6sinlim
0
Cara 1 : Dimisalkan ux 6 , maka ux6
1 . Jika 0x maka 0u , sehingga :
36
313sin
lim3sin
3lim
6
12
sinlim
2
6sinlim
00
u
u
u
u
u
u
x
x
ouuoux.
Cara 2 : x
x
x 2
6sinlim
0=
x
x
x
x
x 2
6
6
6sinlim
0
=
x
x
x
x
xx 2
6lim
6
6sinlim
00 = 3lim1
0
x= 3.
Jadi, 32
6sinlim
0
x
x
x
2) 20
)12cos(lim
x
x
x
xx 2sin212cos , maka xxx 22 sin21)sin21(12cos .
Cara 1 : 2)1(2sin
lim2sin2
lim)12cos(
lim 2
2
02
2
020
x
x
x
x
x
x
xxx.
Jadi, 2)12cos(
lim20
x
x
x.
2.7.5 Teorema Limit
Menurut Djumanta (2008:176) dalam bukunya sifat-sifat limit meliputi:
Jika )(xf dan xg adalah fungsi dan k konstanta maka.
1. xgxfxgxfaxaxax
limlimlim
2. xgxfxgxfaxaxax
limlimlim
3. xgxfxgxfaxaxax
limlimlim
4.
0lim,
lim
limlim
xg
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
ax
5. Konstanta,limlim
kxfkxfkaxax
6. bulatbilangan dengan ,limlim nxfxfn
ax
n
ax
37
7. 0limdengan ,limlim
xfxfxfax
nax
n
ax
Contoh pengggunaan teorema limit :
Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut :
a) 52lim2
xx
b) 2
34lim x
x
c) x
x
x
7lim
2
3
Penyelesaian :
a) Cara 1 : 15)2(25lim2lim5lim2lim52lim22222
xxxxx
xxx .
Cara 2 : 15)2(25limlim252lim222
xxx
xx .
Jadi, 152lim2
xx
.
b) Cara 1 : 3634lim44lim4lim22
3
2
3
2
3
xxx
xxx.
Cara 2 : 363lim4lim4lim44lim2
3
2
3
2
3
2
3
xxxxxxx .
Jadi, 364lim 2
3
x
x.
c)
3
7limlim
3
7lim
lim
7lim7lim
3
2
3
2
3
3
2
3
2
3
xxx
x
x
x
xx
x
x
x
x
3
7lim3
3
7limlimlim
3
2
3
2
3
3
xxx
x
x
3
4 . .
38
Jadi, 3
47lim
2
3
x
x
x.
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut :
a) xxx
2cos4
sinlim 22
2
b) 20
4tan5sinlim
x
xx
x
c) 20 9
3sinlim
x
xx
x
Penyelesaian :
a) xxx
2cos4
sinlim 22
2
xxxx
2coslim4
sinlim 2
2
2
2
2
2
2
2
2coslim4
sinlim
xxxx
2
2
2
22
2coslim42
sinlim
xx
2
2
2
2
coslim2
sinlim
xx
22 11
11
2 .
39
Jadi, 22cos4
sinlim 22
2
xxx
b) 20
4tan5sinlim
x
xx
x
914154
4sin4lim
5
5sin5lim
4tanlim
5sinlim
4tan5sinlim
00
000
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
xxx
Jadi, 94tan5sin
lim20
x
xx
x.
c) 9
11
3
1
33
3sinlim
9
3sinlim
9
3sinlim
81
3sinlim
22
0
2
02
2
02
2
0
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxxJadi,
9
1
9
3sinlim
20
x
xx
x.
2.8 Kerangka Berpikir
Pembelajaran dengan pendekatan open ended adalah yang memberikan
keleluasaan berpikir secara aktif dan mampu mengundang peserta didik untuk
menjawab permasalahan melalui berbagai strategi sehingga memacu perkembangan
matematikanya. Dalam pembelajaran ini, siswa diminta mengembangkan metode, cara,
atau pendekatan yang berbeda dalam menjawab permasalahan yang diberikan dan
bukan berorientasi pada hasil akhir. Penggunaan pengalaman dalam menyelesaikan
masalah yang diberikan, diharapkan peserta didik dapat memperoleh pembelajaran
bermakna. Selain itu, dengan pembelajaran bermakna tersebut, minat peserta didik
dalam pembelajaran akan semakin baik. Minat merupakan modal awal seseorang
40
dalam melakukan sesuatu. Modal awal yang bagus, akan membawa hasil yang bagus
pula.
Selain itu, hal ini akan membantu peserta didik mengembangkan kegiatan
kreatif dan pola pikir matematis sehingga kemampuan berpikir matematika siswa dapat
berkembang secara maksimal. Sehingga siswa juga dilatih untuk memandang dan
menghadapi suatu permasalahan melalui berbagai strategi.
Dalam pembelajaran, seringkali peserta didik dihadapkan pada ketidakpahaman
pada suatu masalah. Hal ini dapat disebabkan karena pengaruh internal maupun
eksternal dari diri peserta didik. Untuk pengaruh eksternal dalam kelas, maka gurulah
yang memegang tanggung jawab paling besar karena gurulah yang mengatur suasana
di dalam kelas. Oleh karena itu, seorang guru selain harus mengerti keadaan siswanya,
juga harus kreatif dalam mengatur kondisi kelas sehingga peserta didik tidak merasa
bosan apalagi malas untuk belajar. Serta harus dapat menumbuhkan minat pada diri
peserta didik dalam mengikuti pembelajaran. Sehingga berpengaruh baik pada hasil
belajarnya.
Masalah tidak hanya timbul dalam kelas atau pada saat belajar. Tetapi juga
dalam kehidupan sehari-hari kita selalu menghadapi banyak permasalahan.
Permasalahan-permasalahan itu tentu saja tidak semuanya merupakan masalah
matematis, namun matematika mamiliki peranan sentral dalam menjawab
permasalahan keseharian itu. Selain itu, dengan adanya tantangan global, kita
diharapkan dapat menghadapi dan menyelesaikan masalah tidak hanya terpaku pada
satu solusi tetapi memiliki beberapa solusi yang mungkin dapat dipakai jika solusi
pertama kurang efektif.
41
Kerangka berpikir secara singkat dapat dilihat pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1. Kerangka Berpikir
Peserta didik kelas XI IPA
Hasil belajar baik Minat baik
Pembelajaran dengan
pendekatan open-ended
1. Peserta didik memperoleh materi
pembelajaran dengan menggunakan
pendekatan open-ended.
2. Peserta didik diberi latihan yang berisi
masalah open-ended.
Minat belajar
peserta didik
dalam
mengikuti
pembelajaran
harus baik
Banyak masalah
dalam kehidupan
sehari-hari
berhubungan dengan
matematika yang
membutuhkan solusi
tidak hanya satu
Penggunaan
pengalaman dalam
menyelesaikan
masalah
(Teori Ausubel)
Mencapai Tuntas Belajar
42
2.9 Hipotesis
Berdasarkan uraian-uraian di atas maka hipotesis yang diajukan dalam
penelitian ini adalah .
1. Hasil belajar matematika peserta didik dengan pembelajaran menggunakan
pendekatan open ended bernuansa aplikasi learning to know, learning to do,
learning to live together, dan learning to be lebih baik daripada pembelajaran
konvensional.
2. Ketuntasan belajar matematika peserta didik dapat tercapai dengan pembelajaran
menggunakan pendekatan open ended bernuansa aplikasi learning to know,
learning to do, learning to live together, dan learning to be.
3. Minat sebagai hasil belajar dalam pembelajaran menggunakan pendekatan open
ended bernuansa aplikasi learning to know, learning to do, learning to live
together, dan learning to be berpengaruh terhadap hasil belajar matematika.
BAB 3
43
METODE PENELITIAN
3.1 Metode Penentuan Obyek Penelitian
3.1.1 Populasi
Populasi adalah keseluruhan objek penelitian (Arikunto, 2002:108). Populasi
dalam penelitian ini adalah seluruh peserta didik kelas XI IPA semester II SMA Negeri
6 Semarang tahun pelajaran 2008/2009.
3.1.2 Sampel
Sampel adalah sebagian atau wakil dari populasi yang diteliti (Arikunto,
2002:109). Sampel yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagian siswa kelas
XI IPA SMA Negeri 6 Semarang tahun pelajaran 2008/2009 yaitu kelas XI IPA 3
sebagai kelas eksperimen dan kelas XI IPA 4 sebagai kelas kontrol, dengan masing-
masing kelas memiliki 41 peserta didik.
3.1.3 Teknik Sampling
Pengambilan sampel dalam penelitian ini menggunakan teknik random
sampling dengan mengambil dua kelas yaitu satu kelas eksperimen dan satu kelas
kontrol.
Dalam penelitian ini digunakan teknik random sampling dengan pertimbangan
sebagai berikut.
(1) Peserta didik mendapat materi berdasarkan kurikulum yang sama
(2) Peserta didik yang menjadi objek penelitian duduk di kelas paralel yang sama
(3) Peserta didik mendapatkan perlakuan yang sama dalam pembelajaran matematika
dengan materi pelajaran dan jangka waktu yang sama.
45
44
(4) Mendapat soal-soal yang sama.
3.2 Variabel Penelitian
Variabel dapat diartikan sebagai suatu konsep yang memiliki nilai ganda, atau
dengan perkataan lain suatu faktor yang jika diukur akan menghasilkan skor yang
bervariasi (Rianto, 1996:9). Variabel dalam penelitian ini dibedakan sebagai berikut.
(1) Variabel bebas
Variabel bebas adalah variabel yang akan dipelajari pengaruhnya terhadap
variabel terikat (Rianto, 1996:12). Dalam penelitian ini variabel bebasnya adalah
pembelajaran dengan pendekatan open-ended.
(2) Variabel terikat
Variabel terikat adalah variabel yang menjadi titik pusat permasalahan (Rianto,
1996:12). Dalam penelitian ini variabel terikatnya adalah hasil belajar
matematika peserta didik.
3.3 Disain Penelitian
Disain penelitian dalam penelitian ini adalah disain penelitian eksperimen.
Menurut Furchan (2005:358) disain eksperimental adalah kerangka konseptual
pelaksanaan eksperimen. Disain penelitian ini termasuk disain eksperimen sejati (true
experimental) dengan kriteria, disain yang hanya menggunakan pasca test dengan
subyek diacak dan memiliki dua kelompok. Disain ini adalah disain eksperimen sejati
yang paling sederhana.
45
Disain penelitian ini dapat dilihat pada tabel 3.1 berikut ini.
Kelompok Variabel bebas Pasca test
E X Y2
K - Y2
Keterangan:
Kelompok E : kelompok eksperimen yaitu kelompok yang diberi
perlakuan.
Kelompok K : kelompok kontrol yaitu kelompok yang tidak diberi
perlakuan.
X : variabel bebas yaitu pembelajaran dengan pendekatan
open-ended bernuansa aplikasi empat pilar pendidikan.
Y2 : variabel terikat yaitu hasil belajar matematika yang
diperoleh setelah diberi perlakuan.
Penelitian ini hanya mengambil penilaian pada akhir pembelajaran yaitu setelah
kelompok eksperimen diberi perlakuan. Pada kelompok kontrol tidak diberi perlakuan
apapun. Sedangkan untuk analisis normalitas, homogenitas, dan kesamaan rata-rata,
digunakan nilai ulangan akhir semester.
Langkah-langkah yang akan dilakukan dalam penelitian ini adalah.
(1) Tahap I : Perencanaan
Pada tahapan ini kegiatan yang akan dilakukan adalah sebagai berikut.
a. Peneliti merancang kelas yang akan dijadikan sampel
b. Peneliti membuat instrumen penelitian yang akan digunakan dalam
penelitian.
46
Untuk kepentingan penelitian, instrumen yang digunakan dalam penelitian ini
adalah instrumen tes. Tes yang peneliti gunakan berupa tes uraian, yaitu sejenis tes
untuk mengukur hasil belajar siswa yang memerlukan jawaban yang bersifat
pembahasan atau uraian kata-kata, soal bentuk ini menuntut kemampuan siswa untuk
dapat mengorganisir, menginterpretasikan, dan menghubungkan pengertian-pengertian
yang telah dimiliki, dengan kata lain tes uraian menuntut siswa untuk dapat mengingat
kembali dan terutama harus mempunyai daya kretivitas yang tinggi. Tes uraian di sini,
digunakan tes uraian soal terbuka yaitu tes uraian yang soalnya mempunyai lebih dari
satu cara untuk memperoleh jawaban yang benar. Untuk penskorannya, digunakan
penskoran holistik (menyeluruh) yang didasarkan pada respons peserta didik secara
keseluruhan. Skor terhadap respons peserta didik bervariasi dari rendah sampai tinggi
tergantung pada tingkat respons peserta didik (Suwarno, 2008:110).
Adapun kebaikan-kebaikan tes bentuk uraian menurut Arikunto (2002:163)
adalah :
a. Mudah disiapkan dan disusun
b. Tidak memberi banyak kesempatan untuk berspekulasi dan untung-untungan
c. Mendorong siswa untuk berani mengemukakan penadapat serta menyusun dalam
kalimat yang bagus
d. Dapat diketahui sejauh mana siswa mendalami suatu masalah yang diteskan.
Sedangkan langkah-langkah pembuatan instrumen penelitian ini adalah sebagai
berikut :
a. Pembatasan terhadap bahan yang diteskan;
b. Menentukan waktu yang disediakan
47
c. Menentukan jumlah soal
d. Menentukan tipe soal
e. Menentukan kisi-kisi soal.
(2) Tahap II : Pelaksanaan
Pada tahapan ini kegiatan yang akan dilakukan adalah sebagai berikut.
a. Peneliti melaksanakan pembelajaran pada sampel penelitian, pada pembelajaran ini
diterapkan pembelajaran bernuansa open-ended.
b. Peneliti melaksanakan uji coba, menganalisis, dan menetapkan instrumen
penelitian.
(3) Tahap III : Observasi
Pada tahap ini peneliti mengumpulkan data-data yang diperlukan dalam
penelitian pada sampel dengan angket untuk mengukur minat peserta didik sebagai
hasil belajar pada ranah afektif dan dengan tes untuk mengukur hasil belajar
matematika siswa yang diukur menggunakan open-ended problem sebagai.
(4) Tahap IV : Evaluasi
Pada tahap ini peneliti menganalisis atau mengolah data yang telah
dikumpulkan dengan metode-metode yang telah ditentukan. Sehingga diketahui
apakah hasil-hasil yang diperoleh sesuai dengan yang diharapkan.
(5) Tahap V : Penyusunan Laporan
Pada tahap ini peneliti menyusun dan melaporkan hasil-hasil penelitian yang
diperoleh setelah melaksanakan keseluruhan rangkaian penelitian.
48
Desain penelitian secara singkat dapat dilihat pada Gambar 3.1.
Gambar 3.1 Langkah-langkah Penelitian
3.4 Teknik Pengumpulan Data
Mengumpulkan data merupakan kegiatan penting dalam penelitian. Dengan
adanya data-data itulah peneliti menganalisisnya untuk kemudian dibahas dan
disimpulkan dengan panduan serta referensi-referensi yang berhubungan dengan
Data hasil UAS peserta didik kelas XI semester II SMA N 6
Dipilih satu kelas eksperimen dan satu kelas kontrol dengan
kemampuan seimbang
Kelas XI IPA 3
Kelas pembelajaran
dengan pendekatan
open-ended.
Kelas XI IPA 4
Kelas pembelajaran
Konvensional
Kelas XI IPA 2
Uji Coba Instrumen
Tes dan Nontes
Analisis untuk
menentukan
instrumen tes dan
Nontes
Uji normalitas dan
homogenitas
PBM
Tes hasil belajar dan pemberian angket minat.
Analisis tes hasil belajar dan angket minat
Menyusun hasil penelitian
49
penelitian tersebut. Sedangkan yang dimaksud dengan data adalah catatan peneliti,
baik berupa fakta maupun angka (Arikunto, 2002.96).
Adapun metode pengumpulan data dalam penelitian ini adalah.
3.4.1 Metode Tes
Tes adalah serentetan latihan yang digunakan untuk mengukur keterampilan,
pengetahuan, sikap, intelegensi, kemampuan, atau bakat yang dimiliki individu atau
kelompok (Rianto,1996:83). Tes dibuat untuk mengukur keberhasilan siswa dan
efisiensi pembelajaran yang dilakukan. Sebelumnya perlu dilakukan analisis butir soal
dari soal tes tersebut. Pemberian tes dalam penelitian ini digunakan untuk memperoleh
data tentang hasil belajar matematika peserta didik. Sedangkan tes yang digunakan
adalah tes uraian dengan soal terbuka.
3.4.2 Metode Angket
Angket adalah alat untuk mengumpulkan data yang berupa daftar pertanyaan
yang disampaikan kepada responden untuk dijawab secara tertulis. Jenis angket yang
dipergunakan adalah jenis angket tertutup. Angket tertutup merupakan angket yang
menghendaki jawaban pendek atau jawabannya diberikan dengan membubuhkan tanda
tertentu. Daftar pertanyaan disusun dengan disertai alternatif jawaban. Responden
diminta untuk memilih salah satu jawaban dari alternatif jawaban yang tersedia
(Rianto,1996:70). Dalam penelitian ini angket dibuat untuk mengukur minat peserta
didik dalam pembelajaran dengan pendekatan open-ended. Angket ini diberikan
kepada siswa setelah pembelajaran dilakukan atau setelah dikenai kondisi buatan.
Menurut Rianto (1996:73), prosedur penyusunan imstrumen yang berupa angket secara
operasional dapat diuraikan sebagai berikut :
50
a. Merumuskan tujuan yang akan dicapai melalui kuisioner atau angket
b. Setelah tujuan dirumuskan, ditetapkan variabel-variabel yang akan diangkat dalam
penelitian
c. Dari variabel-variabel yang telah ditetapkan, jabarkan indikator-indikator
variabelnya
d. Dari indikator variabel tersebut, jabarkan ke dalam dreskiptor-deskriptor yang
selanjutnya dirumuskan dalam item pertanyaan.
Dalam penskoran angket menggunakan skala pengukuran yaitu skala likert.
Khusus untuk angket didalam penskorannya antara yang positif dan yang negatif
berbeda, untuk yang positif penskorannya adalah a(1), b(2), c(3), dan d(4). Sedangkan
untuk aturan yang negatif penskorannya adalah a(4), b(3), c(2), dan d (1).
3.5 Analisis Uji Coba Instrumen Penelitian
3.5.1 Analisis Instrumen Nontes
Pada Instrumen Nontes, digunakan angket untuk mengetahui minat peserta
didik dalam pembelajaran matematika. Analisis uji coba angket dalam penelitian ini
untuk mengetahui validitas, distribusi jawaban, dan reliabilitas butir soal angket.
Adapun analisis yang digunakan adalah iteman. Pada hasil iteman, untuk validitas
setiap butir soalnya dilihat melalui item-Scale Correlation, untuk melihat sebaran
jawabannya dilihat melalui Proportion Endorsing, dan untuk reliabilitasnya dilihat dari
alpha.
3.5.2 Analisis Uji Coba Instrumen Tes
Uji coba instrumen merupakan langkah penting dalam proses pengembangan
instrumen, karena dari uji coba inilah diketahui informasi mengenai mutu instrumen
51
yang digunakan. Uji coba dalam penelitian ini, dilakukan dengan cara memberikan tes
kepada kelompok yang bukan merupakan sampel penelitian, melainkan kelompok
yang lain yang masih satu populasi, serta kelompok uji coba ini harus normal dan
homogen. Pada analisis ini dilaksanakan melalui langkah berikut ini.
3.5.2.1. Validitas
Sebuah tes dikatakan valid apabila tes tersebut dapat mengukur apa yang
hendak diukur (Arikunto,2002:65).
Dalam penelitian ini, validitas yang dicari adalah validitas isi karena
instrumen yang digunakan bertujuan untuk mengukur hasil belajar siswa terhadap
materi pelajaran. Adapun rumus yang digunakan untuk mencari validitas instrumen tes
adalah rumus korelasi product moment menurut Arikunto (2002:72), yaitu :
})()}{)({ 2222 YYNXXN
YXXYNrxy
Keterangan :
xyr = koefisiwen korelasi tiap item
N = banyaknya objek uji coba
X = jumlah skor item
Y = jumlah skor total
2X = jumlah kuadrat skor item
2Y = jumlah kuadrat skor total
XY = jumlah perkalian skor item dan skor total
52
Kemudian hasil xyr dikonsultasikan dengan tabelr product moment dengan
%5 , jika tabelhitung rr , maka alat ukur dikatakan valid.
3.5.2.2. Taraf Kesukaran
Teknik perhitungan taraf kesukaran butir soal adalah menghitung berapa
persen testi yang gagal menjawab benar atau ada di bawah batas lulus (passing grade)
untuk tiap-tiap item.
Adapun rumus yang digunakan untuk mencari taraf kesukaran soal bentuk
uraian adalah :
%100 tespesertaJumlah
gagal yang tiJumlah tesTK
Dalam penelitian ini testi dikatakan gagal jika tingkat kebenaran dalam
menjawab kurang dari 65%.
Untuk menginterpolasikan nilai taraf kesukaran soal, Arifin (1991:135)
dalam bukunya menggunakan tolak ukur sebagai berikut :
%27%0 TK soal mudah
%72%27 TK soal sedang
%100%72 TK soal sukar
Untuk memperoleh hasil belajar yang baik, sebaiknya proporsi antara tingkat
kesukaran item dijabarkan dengan asumsi bahwa kelompok siswa (testi) itu
distribusinya secara normal sehingga proporsi tersebut dapat diatur sebagai berikut :
Item sukar 25%, item sedang 50%, item mudah 25% atau
Item sukar 20%, item sedang 60%, item mudah 20% atau
Item sukar 15%, item sedang 70%, item mudah 15%.
53
Dapat dikatakan bahwa penyusunan suatu item dilakukan dengan
mempertimbangkan tingkat kesukaran item, maka diharapkan hasil yang didapat siswa
dapat menggambarkan prestasi yang sesungguhnya.
3.5.2.3. Daya Pembeda
Teknik yang digunakan untuk menghitung daya pembeda bagi tes bentuk
uraian adalah dengan menghitung dua rata-rata (mean) yaitu antara rata-rata dari
kelompok atas dengan rata-rata kelompok bawah dari tiap-tiap soal. Untuk menghitung
daya pembeda soal uraian menurut Arifin (1991:141) dapat digunakan rumus :
)1(
)(
2
2
2
1
ii nn
xx
MLMHt
Keterangan :
t = daya pembeda
MH = rata-rata dari kelompok atas
ML = rata-rata dari kelompok bawah
2
1x = jumlah kuadrat deviasai individual dari kelompok atas
2
2x = jumlah kuadrat deviasai individual dari kelompok bawah
in = 27% x N
N = banyaknya peserta tes
1n = banyak peserta tes kelompok atas
2n = banyak peserta tes kelompok bawah
Jika tabelhitung tt dengan derajat kebebasan = (n1-1) + (n2-2) dengan taraf
signifikan 5% maka daya pembeda soal tersebut signifikan.
54
3.5.2.4. Reliabilitas
Reliabilitas adalah ketetapan suatu tes apabila diteskan kepada subyek yang
sama (Arikunto, 2002:90). Suatu tes dikatakan reliabel jika dapat memberikan hasil
yang tetap apabila diteskan berkali-kali, atau dengan kata lain tes dikatakan reliabel
jika hasil-hasil tes tersebut menunjukkan ketetapan. Adapun rumus yang digunakan
untuk mencari reliabilitas soal tes bentuk uraian menurut Arikunto (2003:109) adalah
rumus alpha, yaitu :
2
2
11 11
t
i
n
nr
Keterangan :
11r = reliabilitas yang dicari
2
i = jumlah varians skor tiap-tiap item
2
t = varians total
N = banyak item
Rumus varians item soal menurut Arikunto (2003:97), yaitu :
n
n
xx
i
22
2
)(
Keterangan :
x = jumlah item soal
2x = jumlah kuadrat item soal
55
n = banyak item
Rumus varians total yaitu :
n
n
YY
t
22
2
)(
Keterangan :
Y = jumlah skor soal
2Y = jumlah kuadrat skor soal
n = banyak item
Kriteria pengujian reliabilitas tes dikonsultasikan dengan hargha r
product moment pada tabel, jika tabelhitung rr maka item tes yang diujicobakan
reliabel.
3.6 Analisis Data Awal
Analisis awal dilaksanakan sebelum diberikan perlakuan, hal ini dilaksanakan
untuk mengetahui apakah kelas eksperiman dan kelas kontrol memiliki kondisi yang
sama. Pada analisis awal ini dilaksanakan uji sebagai berikut ini.
3.6.1 Uji Homogenitas
Hipotesis yang digunakan dalam uji homogenitas adalah sebagai berikut :
Ho : 2
2
2
1 ss (kelas sampel homogen)
Ha : 2
2
2
1 ss (kelas sampel tidak homogen)
Rumus untuk uji kesamaan dua varians menurut Sudjana (2002:250) sebagai
berikut:
56
terkecilvarians
terbesarvariansF
Untuk menguji apakah kedua varians tersebut sama atau tidak, maka Fhitung
dikonsultasikan dengan Ftabel dengan taraf signifikan 5%. Jika Fhitung <)(
2
12,1 vva
F dk
pembilang = )1( bn dan dk penyebut = )1( kn maka dapat dikatakan kedua sampel
homogen.
3.6.2 Uji Normalitas
Uji normalitas merupakan langkah awal dalam menganalisis data, yang paling
penting adalah untuk menentukan apakah menggunakan statistik parametrik atau non
parametrik. Langkah–langkahnya sebagai berikut :
(1) Menyusun data dan mencari nilai tertinggi dan terendah.
(2) Membuat interval kelas dan menentukan batas kelas.
Rentang = nilai tertinggi – nilai terendah
Banyak kelas = 1 + 3,3 log n.
Panjang kelas = kelasbanyak
rentang (Sudjana, 2002:47).
(3) Menghitung rata-rata dan simpangan baku.
(4) Membuat tabulasi data ke dalam interval kelas.
(5) Menghitung nilai z dari setiap batas kelas dengan rumus: s
xz i
i
x
dimana s adalah simpangan baku dan x adalah rata-rata sampel (Sudjana,
2002:99).
(6) Mengubah harga z menjadi luas daerah kurva normal dengan menggunakan tabel.
57
(7) Menghitung frekuensi harapan berdasarkan kurva
K
E i
2
ii2
iE
EOχ
Keterangan :
2χ = Chi–kuadrat
Oi = frekuensi pengamatan
Ei = frekuensi yang diharapkan (Sudjana, 2002:273).
(8) Membandingkan harga Chi-kuadrat dengan tabel Chi-kuadrat dengan taraf
signifikan 5%.
(9) Menarik kesimpulan, jika tabel22 hitung , maka data berdistribusi normal.
Hipotesis yang akan diuji adalah sebagai berikut:
Ho : data berdistribusi normal
Ha : data tidak berdistribusi normal
Statistika yang digunakan untuk menguji hipotesis menurut Sudjana (2002:273)
adalah rumus Chi-Kuadrat ( 2 ) , yaitu :
K
E i
2
ii2
iE
EOχ
Keterangan :
2 : harga Chi-Kuadrat
Oi : frekuensi hasil pengamatan
Ei : frekuensi yang diharapkan
58
Setelah didapat nilai hitung2 kemudian dibandingkan dengan nilai tabel
2
dengan taraf signifikan 5% dan dk = (k-3). Jika tabel2
hitung2 , maka data
berdistribusi normal.
3.6.3 Uji Kesamaan Rata-Rata
Analisis data dengan uji t digunakan untuk menguji hipotesis :
Ho : 21 μμ
Ha : 21 μμ
1μ = rata-rata kelas eksperimen
2μ = rata-rata kelas kontrol,
Berdasarkan hasil dari uji kesamaan varians, ditunjukkan bahwa kedua kelas
sampel mempunyai varians yang sama sehingga untuk pengujian hipotesis digunakan
rumus
21
21
n
1
n
1s
t
xx dengan
2
)1()1(
21
2
22
2
11
nn
snsns
Keterangan:
1x : Rata-rata nilai kelas eksperimen
2x : Rata-rata nilai kelas kontrol
s2
: Varians gabungan
s12
: Varians kelas eksperimen
s22
: Varians kelas kontrol
n1 : Banyaknya anggota kelas eksperimen
59
n2 : Banyaknya anggota kelas kontrol
Kriteria pengujian adalah terima Ho jika )2)(
2
11()2)(
2
11( 2121
nna
hitungnna
ttt
(Sudjana, 2002:239).
3.7 Analisis Data Akhir
Jika telah diketahui bahwa kedua kelompok sampel memiliki kemampuan awal
yang sama, selanjutnya dilakukan eksperimen atau perlakuan. Perlakuan yang
diberikan kepada kelompok eksperimen adalah pembelajaran dengan pendekatan open-
ended bernuansa aplikasi learning to know, learning to do, learning to live together,
dan learning to be. Sedangkan dalam kelompok kontrol diberikan pembelajaran
konvensional yaitu pembelajaran yang biasa dilakukan oleh guru selain pemeblajaran
dengan pendekatan open-ended. Setelah semua perlakuan berakhir, kemudian peserta
didik diberi tes hasil belajar matematika. Data yang diperoleh dari hasil tes kemudian
dianalisis untuk mengetahui apakah hasilnya sesuai dengan hipotesis yang diharapkan.
3.7.1 Uji Normalitas
Uji normalitas digunakan untuk menentukan statistik yang akan digunakan
dalam mengolah data, yang terpenting adalah untuk menentukan apakah statistik
parametrik atau nonparametrik. Langkah–langkahnya sebagai berikut :
(1) Menyusun data dan mencari nilai tertinggi dan terendah.
(2) Membuat interval kelas dan menentukan batas kelas.
Rentang = nilai tertinggi – nilai terendah
Banyak kelas = 1 + 3,3 log n
60
Panjang kelas = kelasbanyak
rentang (Sudjana, 2002:47).
(3) Menghitung rata-rata dan simpangan baku.
(4) Membuat tabulasi data ke dalam interval kelas.
(5) Menghitung nilai z dari setiap batas kelas dengan rumus: s
xz i
i
x
dimana s adalah simpangan baku dan x adalah rata-rata sampel (Sudjana,
2002:99).
(6) Mengubah harga z menjadi luas daerah kurva normal dengan menggunakan tabel.
(7) Menghitung frekuensi harapan berdasarkan kurva
K
E i
2
ii2
iE
EOχ
Keterangan :
2χ = Chi–kuadrat
Oi = frekuensi pengamatan
Ei = frekuensi yang diharapkan (Sudjana, 2002:273).
(8) Membandingkan harga Chi-kuadrat dengan tabel Chi-kuadrat dengan taraf
signifikan 5%.
(9) Mvarienarik kesimpulan, jika tabel22 hitung , maka data berdistribusi normal.
Hipotesis yang akan diuji adalah sebagai berikut:
Ho : data berdistribusi normal
Ha : data tidak berdistribusi normal
61
Statistika yang digunakan untuk menguji hipotesis menurut Sudjana (2002:273)
adalah rumus Chi-Kuadrat ( 2 ) , yaitu :
K
E i
2
ii2
iE
EOχ
Keterangan :
2 : harga Chi-Kuadrat
Oi : frekuensi hasil pengamatan
Ei : frekuensi yang diharapkan
Setelah didapat nilai hitung2 kemudian dibandingkan dengan nilai tabel
2
dengan taraf signifikan 5% dan dk = (k-3). Jika tabel2
hitung2 , maka data
berdistribusi normal.
3.7.2 Uji Homogenitas
Uji homogenitas dilakukan untuk memperoleh asumsi bahwa sampel penelitian
memiliki kondisi yang sama atau homogen. Uji homogenitas dilakukan dengan
menyelidiki apakah kedua sampel mempunyai varians yang sama atau tidak. Hipotesis
yang digunakan dalam uji homogenitas adalah sebagai berikut :
Ho : 2
2
2
1 ss (kelas sampel homogen)
Ha : 2
2
2
1 ss (kelas sampel tidak homogen)
Rumus untuk uji kesamaan dua varians menurut Sudjana (2002:250) sebagai
berikut:
terkecilvarians
terbesarvariansF
62
Untuk menguji apakah kedua varians tersebut sama atau tidak, maka Fhitung
dikonsultasikan dengan Ftabel dengan taraf signifikan 5%. Jika Fhitung <)(
2
12,1 vva
F dk
pembilang = )1( bn dan dk penyebut = )1( kn maka dapat dikatakan kedua sampel
homogen.
3.7.3 Uji Perbedaan Rata-rata antara Kelas Eksperimen dan Kelas Kontrol
Hipotesis statistik yang digunakan untuk uji beda rata-rata antara kelas
eksperimen dan kelas kontrol adalah sebagai berikut.
H0 : μ1 ≤ μ2 (rata-rata hasil belajar matematika peserta didik pada kelas eksperimen
kurang dari atau sama dengan rata-rata hasil belajar matematika peserta didik pada
kelas kontrol).
H1 : μ1 > μ2 (rata-rata kemampuan menyelesaikan masalah open-ended peserta
didik pada kelas eksperimen lebih dari rata-rata kemampuan menyelesaikan masalah
open-ended peserta didik pada kelas kontrol).
Untuk menguji kebenaran hipotesis yang diajukan digunakan uji t satu pihak
(pihak kanan). Rumus yang digunakan adalah sebagai berikut.
(1) Jika kedua kelompok sampel mempunyai varians sama atau 21 maka
digunakan rumus sebagai berikut.
21
21
11
nns
xxt
dengan
2
)1()1(
21
2
22
2
112
nn
snsns
Keterangan:
1X = rata-rata nilai peserta didik pada kelas eksperimen
63
2X = rata-rata nilai peserta didik pada kelas kontrol
n1 = jumlah peserta didik pada kelas eksperimen
n2 = jumlah peserta didik pada kelas kontrol
s = simpangan baku
s1 = simpangan baku kelas eksperimen
s2 = simpangan baku kelas kontrol
Kriteria penolakan Ho adalah jika 21 21 nnhitung tt dengan taraf signifikansi
5%.(Sudjana, 2002:243)
(2) Jika kedua kelompok sampel mempunyai varians berbeda atau 21 maka
digunakan rumus sebagai berikut.
21
2211'ww
twtwt
dengan
1,121,11
1
2
22
1
2
11 21
dan ,,, nn ttttn
sw
n
sw .
Kriteria pengujiannya adalah tolak H0 jika 21
2211'ww
twtwt
(Sudjana, 2002:243).
3.7.4 Uji Ketuntasan Belajar
Keberhasilan penelitian dapat diketahui dengan mengukur variabel yang telah
ditentukan. Pada kemampuan menyelesaikan masalah open-ended peserta didik, skor
minimal didasarkan pada Kriteria Ketuntasan Minimal (KKM).
Hipotesis statistik yang digunakan untuk variabel kemampuan menyelesaikan
masalah open-ended adalah.
64
H0 : μ1 < skor minimal KKM (rata-rata kemampuan menyelesaikan masalah open-
ended peserta didik kelas eksperimen < 67)
H1 : μ1 ≥ skor minimal KKM (rata-rata kemampuan menyelesaikan masalah open-
ended peserta didik kelas eksperimen ≥ 67)
Uji t satu sampel yang dibandingkan dengan indikator ketuntasan belajar yang
diprogramkan.
Rumus uji t yang digunakan menurut Sudjana (2002:227).
n
s
xt 0
Keterangan :
x : rata-rata kemampuan menyelesaikan masalah open-ended
μ0 : skor minimal KKM
s : simpangan baku
n : jumlah siswa
3.7.5 Uji Pengaruh Minat terhadap Hasil Belajar Matematika
Dalam penelitan ini analisis regresi dilakukan untuk mengetahui apakah minat
berpengaruh terhadap hasil belajar matematika peserta didik.
Menurut Sudjana (1996:312) model persaman regresi linear sederhana adalah :
Ŷ = a + bX
Keterangan : Ŷ = hasil belajar matematika peserta didik
X = minat peserta didik
Menurut Sugiyono (2006: 245), dari model persaman regresinya dapat
diperoleh dengan :
65
22
2
ii
iiiii
XXn
YXXXYa dan
22
ii
iiii
XXn
YXYXnb
3.7.5.1. Uji Korelasi
Uji korelasi ini digunakan untuk mengetahui apakah minat dan hasil belajar
peserta didik ada hubungan atau tidak.
Menurut Sudjana (1996:368-369), garis linear yang terbaik untuk
sekumpulan data berbentuk linear, derajat hubungan akan dinyatakan dengan r yang
sering disebut koefisien korelasi. Dengan rumus r adalah
2222 YYNXXN
YXXYNrxy
3.7.5.2. Uji Keberartian Koefisien Regresi.
Hipotesis yang digunakan dalam uji keberartian koefisien regresi adalah
sebagai berikut.
Ho : koefisien regresi tidak berarti.
H1 : koefisien regresi berarti.
Dengan pengembilan kepercayan adalah α = 5%.
Menurut Sudjana (2003:18) dalam penelitian ingin mengetahui apakah
koefisien regresi berarti atau tidak, maka pengujiannya menggunakan statistik F yang
dibentuk oleh perbandingan dua KT.
Dalam pengujiannya kriteria yang dipakai untuk menolak hipotesis adalah
Fhitung ≥ F(1-α)(1,n-2). Untuk perhitungan statistik residu
regresi
hitungS
SF
2
2
, dan selanjutnya
dengan distribusi F beserta tabelnya dengan dk pembilang satu dan penyebut (n-2).
66
Tabel 3.2. Analisis Varians
Sumber
Variasi
dk JK KT F
Total
n
2
iY
-
-
Regresi (a)
Regresi (b|a)
Residu
1
1
n-2
( iY )2/n
JKreg =
b{n
YXYX
ii
ii
))((}
JKres =2)ˆ( ii YY
( iY )2/n
s2
reg = JKreg
s2
res = JKres / (n-2)
-
s2
reg / s2
res
-
3.7.5.3. Uji Kelinearan Model Regresi.
Menurut Sudjana (2003:18), uji kelinearan regresi ini dilakukan untuk
mengetahui apakah model linear yang dipakai cocok ataukah tidak dalam hal ini
hipotesis yang dipakai adalah
Ho : koefisien regresi tidak linear.
H1 : koefisien regresi linear.
Untuk tingkat kepercayan yang dipakai adalah α = 5%.
Pengujian ini membandingkan pula 2 KT dengan statistik yang dipakai
adalah statistik F, untuk kriterianya adalah tolak hipotesis model regresi linear jika
Fhitung ≥ F(1-α)(k-2,n-k). Perhitungan statistiknya adalah G
TC
hitungS
SF
2
2
, yang
selanjutnya digunakan distribusi F beserta tabelnya dengan dk pembilangnya adalah k-
2 dan dk penyebutnya adalah n-k.
67
3.7.6 Hasil Analisis Uji Coba Instrumen
3.7.6.1. Hasil Analisis Uji Coba Instrumen Tes
Hasil analisis uji coba instrumen tes ini meliputi:
(1) Hasil Analisis Validitas
Berikut hasil perhitungan untuk menentukan validitas instrumen uji coba
disajikan berikut ini. Untuk perhitungan selengkapnya, dapat dilihat pada lampiran 16
halaman 123.
Tabel 3.3. Hasil Analisis Validitas Instrumen Uji Coba
Butir Soal 1 2 3 4 5 6
Vali
dit
as
∑x 121 123 89 86 139 134
∑x² 387 395 225 244 471 440
∑xy 2079 2082 1538 1539 2313 2201
rxy 0.736 0.502 0.634 0.791 0.368 -0.103
rtabel 0.304 0.304 0.304 0.304 0.304 0.304
Kriteria Valid Valid Valid Valid Valid TIDAK
Dari tabel di atas, diperoleh butir soal yang valid adalah butir dengan nomor
1, 2, 3, 4, dan 5.
(2) Hasil Analisis Tingkat Kesukaran
Berikut hasil perhitungan untuk menentukan tingkat kesukaran instrumen uji
coba disajikan berikut ini. Untuk perhitungan selengkapnya, dapat dilihat pada
lampiran 16.
68
Tabel 3.4. Hasil Analisis Tingkat Kesukaran Instrumen Uji Coba
Butir Soal 1 2 3 4 5 6
Tin
gk
at
Kes
uk
aran
Gagal 13 11 31 25 1 3
TK 30.952 26.190 73.809 59.524 2.3809 7.143
Kriteria Sedang Mudah Sukar Sedang Mudah Mudah
Dari tabel di atas, diperoleh butir soal dengan kriteria Sukar adalah butir
dengan nomor 3, butir soal dengan kriteria sedang adalah butir dengan nomor 1 dan 4,
dan butir dengan kriteria mudah adalah butir dengan nomor 2, 5, dan 6. Perhitungan
selengkapnya dapat dilihat pada lampiran 16.
(3) Hasil Analisis Daya Pembeda
Berikut hasil perhitungan untuk menentukan daya pembeda instrumen uji
coba disajikan berikut ini. Untuk perhitungan selengkapnya, dapat dilihat pada
lampiran 16.
Tabel 3.5. Hasil Analisis Daya Beda
Butir Soal 1 2 3 4 5 6
Da
ya B
eda
MH 3.73 3.45 2.73 3.27 3.45 3.00
ML 1.91 2.36 1.36 0.73 3.00 3.18
∑ x12
4.18 4.73 6.18 4.18 2.73 2.00
∑ x22 8.91 8.55 4.55 10.18 2.00 3.64
ni 11 11 11 11 11 11
t 5.175 3.077 4.303 6.896 2.129 -0.780
ttabel 2.093 2.093 2.093 2.093 2.093 2.093
Kriteria Sign Sign Sign Sign Sign Tidak
Dari tabel di atas, diperoleh butir soal yang signifikan adalah butir dengan
nomor 1, 2, 3, 4, dan 5.
69
(4) Reliabilitas
Berikut hasil perhitungan untuk menentukan reliabilitas instrumen uji coba
disajikan pada tabel 3.6. Untuk perhitungan selengkapnya, dapat dilihat pada lampiran
16.
Tabel 3.6. Hasil Varians Butir Soal
Butir Soal 1 2 3 4 5 6 ∑σ2
σ2 0.937 0.848 0.888 1.656 0.268 0.3048 4.901
Dengan rumus alpha r11 diperoleh nilai rhitung adalah 0,495. Sedangkan rtabel
dengan N=42 dan α=5% adalah 0,304. Sehingga diperoleh rhitung > rtabel maka item tes
yang diujicobakan reliabel.
Dari analisis yang telah dilakukan, maka butir tes uji coba instrumen yang
dapat digunakan adalah butir dengan nomor 1, 2, 3, 4, dan 5.
3.7.6.2. Hasil Analisis Uji Coba Instrumen Nontes
(1) Validitas
Sebuah butir soal angket dikatakan valid jika minimum besarnya 0,3 (dalam
Mardapi, 2002:50). Untuk iteman, nilai validitas ditunjukkan dari nilai item-scale
correlation. Berikut hasil perhitungan validitas butir soal angket dengan menggunakan
iteman. Untuk selengkapnya dapat dilihat di lampiran 31. Secara singkat, hasil analisis
validitas butir soal angket dapat dilihat pada tabel 3.7.
Tabel 3.7. Hasil Validitas Butir Soal Angket
No Soal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Va
lid
ita
s
0,204 0.026 0,411 0,389 0,216 0,060 0,215 0,313 0,300 0,218
Tidak Tidak Valid Valid Tidak Tidak Tidak Valid Valid Tidak
70
No Soal 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Va
lid
ita
s
0,113 0,337 0,126 0,380 0,480 0,629 0,193 0,301 0,331 0,149
Tidak Valid Tidak Valid Valid Valid Tidak Valid Valid Tidak
No Soal 21 22 23 24 25
Va
lid
ita
s
0,332 0,344 0,560 0,388 0,103
Valid Valid Valid Valid Tidak
Dari tabel di atas, diperoleh butir soal yang valid adalah butir nomor 3, 4, 8,
9, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 23, dan 24.
(2) Distribusi Jawaban
Butir soal angket dikatakan baik jika mempunyai distribusi jawaban
menyebar. Butir soal angket dikatakan mempunyai distribusi jawaban yang menyebar
jika semua pilihan jawaban yang diberikan dipilih oleh peserta tes sehingga variasi
skornya besar (dalam Mardapi, 2008:122). Untuk distribusi jawaban dapat dilihat pada
propotion endorsing. Hasil perhitungan distribusi jawaban dapat dilihat pada tabel 3.8.
Selengkapnya dapat dilihat di lampiran 29.
Tabel 3.8. Hasil Distribusi Jawaban Butir Soal Angket
No
Soal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dis
trib
usi
Jaw
aban
Menye Tidak Menye Menye Tidak Menye Menye Menye Menye Menye
bar bar bar bar bar bar bar bar
71
No
Soal 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Dis
trib
usi
Jaw
aban
Menye Menye Tidak Menye Menye Menye Menye Menye Tidak Menye
bar bar bar bar bar bar bar bar
No
Soal 21 22 23 24 25
Dis
trib
usi
Jaw
aban
Menye Menye Menye Menye Tidak bar bar bar bar
Dari tabel di atas, diperoleh butir soal angket yang berdistribusi jawaban
menyebar adalah butir dengan nomor 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18,
20, 21, 22, 23, dan 24.
Butir soal yang dipakai sebagai instrumen penelitian adalah butir soal angket
yang valid dan berdistribusi jawaban menyebar adalah butir soal dengan nomor 3, 4, 8,
9, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 23, dan 24.
(3) Reliabilitas
Reliabilitas dari instrumen uji coba untuk mengukur minat ini menunjukkan
indeks homogenitas tes/skala atau kesahihan instrumen. Adapun kriteria reliabilitas
soal disajikan berikut ini.
a. 0,00 – 0,20 rendah sekali
b. 0,21 – 0,40 rendah
c. 0,41 – 0,70 sedang
d. 0.71 – 1,00 sangat tinggi
72
Dari hasil pengukuran, diperoleh nilai reliabilitas 0,523. Jadi, reliabilitas soal
pada instrumen uji coba ini tergolong sedang. Untuk perhitungan selengkapnya, dapat
dilihat pada lampiran 31.
BAB 4
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
4.1 Hasil Penelitian
4.1.1 Analisis Data Tahap Awal
4.1.1.1 Uji Normalitas
Langkah awal untuk menganalisis data adalah menguji kenormalan distribusi
sampel. Perhitungan uji normalitas untuk sampel dengan menggunakan data nilai ujian
akhir semester I peserta didik kelas XI tahun pelajaran 2008/2009, data dapat dilihat
dalam lampiran. Dari hasil uji normalitas kelas eksperimen diperoleh 1007,72
sedangkan dari daftar distribusi frekuensi chi kuadrat diperoleh 8147,73;95,02 .
Jadi, 2
3;95,02 sehingga dapat disimpulkan bahwa kelas eksperimen berdistribusi
normal. Perhitungan selengkapnya dapat dilihat pada lampiran 5. Dari hasil uji
normalitas kelas kontrol diperoleh 1566,72 sedangkan dari daftar distribusi
frekuensi chi kuadrat diperoleh 8147,73;95,02 . Jadi,
23;95,0
2 sehingga dapat
disimpulkan bahwa kelas kontrol berdistribusi normal. Perhitungan selengkapnya
dapat dilihat pada lampiran 6.
Berikut hasil perhitungan uji normalitas kelas eksperimen dan kelas kontrol
sebelum perlakuan yaitu pemberian pembelajaran dengan pendekatan open-ended
yang disajikan dalam tabel berikut 4.1.
74
Tabel 4.1 Hasil Perhitungan Uji Normalitas
Kelas hitung2 dk ltabe
2 Kriteria Simpulan
Eksperimen 7,1007 3 7,8147 tabel2
hitung2 Ho diterima
Kontrol 7,1566 3 7,81 tabel2
hitung2 Ho diterima
4.1.1.2 Uji Homogenitas
Dari hasil uji homogenitas antara kelas eksperimen dan kelas kontrol,
diperoleh 3034,1F . Sedangkan dari tabel distribusi F diperoleh 8604,1tabelF . Jadi,
tabelFF sehingga dapat disimpulkan bahwa varians antara kelas eksperimen dan
kelas kontrol tidak ada perbedaan yang signifikan atau dengan kata lain kelas
eksperimen dan kelas kontrol homogen. Perhitungan selengkapnya dapat dilihat pada
lampiran 7.
Berikut hasil perhitungan untuk menentukan homogenitas kedua sampel
disajikan dalam tabel berikut.
Tabel 4.2 Hasil Perhitungan Uji Homogenitas
Kelas Varians Banyak siswa Fhitung 41,410.025F
Eksperimen 59,324 42 1.3034 1.8604
Kontrol 45,5151 42
4.1.1.3 Uji Kesamaan Rata-rata
Dari hasil uji kesamaan rata-rata antara kelas eksperimen dan kelas kontrol
diperoleh 160,1t . Sedangkan dari tabel distribusi t diperoleh 992,1tabelt . Jadi,
tabeltabel ttt sehingga dapat disimpulkan bahwa rata-rata antara kelas eksperimen
75
dan kelas kontrol tidak ada perbedaan yang signifikan. Perhitungan selengkapnya
dapat dilihat pada lampiran 8.
Hasil perhitungan uji kesamaan rata-rata disajikan dalam tabel 4.3 berikut.
Tabel 4.3 Hasil Perhitungan Uji Kesamaan Rata-Rata
s thitung Kriteria Simpulan
7,24014 1,160 -1.99 < thitung < 1.99 Ho diterima
4.1.2 Analisis Data Tahap Akhir
4.1.2.1 Uji Normalitas
Sebelum menguji hipotesis diajukan terlebih dahulu dilakukan uji normalitas.
Hal ini dilakukan untuk menentukan statistik yang digunakan dalam pengujian
hipotesis. Untuk menguji kenormalan data digunakan uji chi-kuadrat. Data yang
digunakan adalah data hasil tes kemampuan penyelesaian masalah open-ended materi
pokok limit.
Dari hasil uji normalitas kelas eksperimen diperoleh 4348,72 sedangkan
dari daftar distribusi frekuensi chi kuadrat diperoleh 8147.73;95,02 . Jadi,
2
3;95,02 sehingga dapat disimpulkan bahwa kelas eksperimen berdistribusi
normal. Perhitungan selengkapnya dapat dilihat pada lampiran 23. Dari hasil uji
normalitas kelas kontrol diperoleh 995,62 sedangkan dari daftar distribusi
frekuensi chi kuadrat diperoleh 8147.73;95,02 . Jadi,
23;95,0
2 sehingga dapat
disimpulkan bahwa kelas kontrol berdistribusi normal. Perhitungan selengkapnya
dapat dilihat pada lampiran 24.
76
Berikut hasil perhitungan uji normalitas kelas eksperimen dan kelas kontrol
sebelum perlakuan yang disajikan dalam tabel berikut.
Tabel 4.4 Hasil Perhitungan Uji Normalitas
Kelas hitung2 dk ltabe
2 Kriteria Simpulan
Eksperimen 7,4348 3 7,8147 tabel2
hitung2 Ho diterima
Kontrol 6,995 3 7,8147 tabel2
hitung2 Ho diterima
4.1.2.2 Uji Homogenitas
Dari hasil uji homogenitas pada data akhir antara kelas eksperimen dan kelas
kontrol, diperoleh 1385,1F . Sedangkan dari tabel distribusi F diperoleh
8752,1tabelF . Jadi, tabelFF sehingga dapat disimpulkan bahwa varians antara kelas
eksperimen dan kelas kontrol tidak ada perbedaan yang signifikan atau dengan kata
lain kelas eksperimen dan kelas kontrol homogen. Perhitungan selengkapnya dapat
dilihat pada lampiran 25.
Berikut hasil perhitungan untuk menentukan homogenitas kedua sampel
disajikan dalam tabel 4.5 berikut.
Tabel 4.5 Hasil Perhitungan Uji Homogenitas
Kelas Varians Banyak siswa Fhitung 37,390.025F
Eksperimen 103,2622 41 1.1385 1.8752
Kontrol 117,5610 41
77
ix2
is
4.1.2.3 Uji Perbedaan Rata-rata
Dari hasil uji perbedaan rata-rata pada data tahap akhir antara kelas
eksperimen dan kelas kontrol, diperoleh 365,2t . Sedangkan dari tabel distribusi t,
diperoleh 990,1tabelt . Jadi, tabeltt sehingga dapat disimpulkan rata-rata
kemampuan menyelesaikan masalah open-ended kelas eksperimen lebih baik daripada
kelas kontrol. Perhitungan selengkapnya dapat dilihat pada lampiran 26.
Dari perhitungan homogenitas data akhir, diperoleh bahwa data memiliki
varians yang sama. Sehingga untuk uji perbedaan rata-rata, digunakan rumus (1).
Perhitungannya sebagai berikut.
Tabel 4.6 Hasil Perhitungan Perbedaan Rata-Rata
Sampel
n s thitung
Kontrol 67,80 117.5610 41 10.50769 2.364658
Eksperimen 73,29 103.2622 41
4.1.2.4 Uji Ketuntasan Belajar
Setelah dilaksanakan uji ketuntasan belajar matematika peserta didik kelas
eksperimen, diperoleh 9651,3t . Sedangkan dari tabel distribusi t, diperoleh
021,2tabelt . Jadi, tabeltt sehingga dapat disimpulkan bahwa rata-rata kemampuan
menyelesaikan masalah open-ended pada kelas eksperimen lebih dari batas tuntas yaitu
67 atau dengan kata lain, peserta didik dapat dikatakan tuntas belajar.
Setelah diperoleh nilai t, maka akan dibandingkan dengan ttabel dan kriteria
pengujiannya adalah tolak H0 jika thitung ≥ ttabel , dengan ttabel diperoleh dari daftar
distribusi t dengan peluang (1-α), taraf signifikansi 5% dan dk = (n-1).
78
Tabel 4.7 Hasil Perhitungan Uji Ketuntasan Belajar
rata-rata 71.292683
s 10.1618
xo 67
n 41
thitung 3,965127
ttabel 2,021075
Dari perhitungan diperoleh thitung ≥ ttabel sehingga H0 ditolak. Ini berarti rata-
rata kemampuan menyelesaikan masalah open-ended peserta didik kelas eksperimen
lebih dari atau sama dengan skor minimal KKM. Dengan kata lain, peserta didik kelas
eksperimen tuntas belajar. Untuk perhitungan selengkapnya, terdapat pada lampiran
27.
4.1.2.5 Uji Pengaruh Minat terhadap Hasil Belajar Matematika
Setelah dilakukan uji pengaruh minat terhadap hasil belajar matematika
dengan menggunakan uji regresi, diperoleh hasil perhitungan sebagai berikut.
Tabel 4.8 Hasil Perhitungan Persamaan Regresi
ix iy 2
ix 2
iy ii yx n
1616 601 64852 8975 24046 41
Dengan rumus
22
2
ii
iiiii
XXn
YXXXYa dan
22
ii
iiii
XXn
YXYXnb , diperoleh nilai 4795,2a dan 3090.0b . Sehingga
diperoleh persamaan regresi linear sederhana sebagai berikut Ŷ = 2,4795 + 0,3090 X.
Perhitungan selengkapnya, dapat dilihat pada lampiran 28.
79
Selanjutnya, dilakukan uji keberartian regresi sehingga diperoleh
8878,78F . Sedangkan dari tabel distribusi F diperoleh 091,4tabelF . Jadi,
tabelFF sehingga dapat disimpulkan bahwa koefisien regresi berarti. Langkah
berikutnya, dilakukan uji kelinearan persamaan regresi sehingga diperoleh
7343,0F . Sedangkan dari tabel distribusi F diperoleh 211,2tabelF . Jadi, tabelFF
sehingga dapat disimpulkan bahwa persamaan regresi linear.
Tabel 4.9 Hasil Perhitungan Analisis Varians
Sumber
Variasi db JK KT F F (tabel)
Total 41 8975
Koefisien (a) 1 8809.780488 8809.780488
Regresi (b|a) 1 110.561074 110.561074 78.88776 4.091278
Sisa 39 54.65843819 1.40
Tuna Cocok 9 9.866771526 1.096307947 0.734271 2.210697
Galat 30 44.79166667 1.493055556
Untuk mengetahui adanya hubungan atau tidak antara minat dan hasil belajar
matematika peserta didik dilakukan perhitungan koefisien korelasi sehingga diperoleh
81803,0r . Sedangkan dari tabel r product moment, diperoleh 308,0tabelr . Jadi,
tabelrr sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat hubungan antara minat dan hasil
belajar matematika peserta didik dengan nilai signifikan sebesar 0,856. Untuk
mengetahui berapa besar minat mempengaruhi hasil belajar peserta didik, dapat dilihat
dari koefisien determinasi. Penentuan koefisien determinasi dilakukan dengan
mengkuadratkan koefisien korelasi kemudian dikali 100%, sehingga diperoleh
koefisien determinasi 6692,02 r . Sehingga dapat disimpulkan bahwa minat
80
berpengaruh terhadap hasil belajar peserta didik sebesar 66,92% sedangkan 33,08%
dipengaruhi oleh faktor lainnya.
4.2 Pembahasan
Pada analisis awal diperoleh data yang menunjukkan bahwa semua kelas
berdistribusi normal dan populasi mempunyai varians yang sama atau homogen. Hal
ini berarti sampel berasal dari kondisi atau keadaan yang sama, yaitu pengetahuan awal
yang sama. Oleh akrena itu untuk menentukan sampel yang akan dijadikan kelas
eksperimen dan kelas kontrol tidak terikat pada salah satu kelas saja.
Penentuan sampel dari populasi yang ada dengan tehnik random sampling
sehingga diperoleh kelas ekperimen yang dikenai model pembelajaran dengan
pendekatan open-ended dan kelas kontrol yang mendapatkan pembelajaran
konvensional. Dalam penelitian ini waktu pembelajaran yang digunakan adalah 3 x
pertemuan (5 jam pelajaran).
Hasil belajar matematika materi pokok limit dengan pembelajaran
menggunakan pendekatan open-ended lebih baik dibanding hasil belajar matematika
dengan pembelajaran konvensional pada peserta didik kelas XI IPA SMA N 6
Semarang tahun pelajaran 2008/2009. Hal ini dapat dilihat dari hasil perhitungan uji
perbedaan rata-rata.
Tingginya hasil belajar peserta didik yang mendapat pembelajaran dengan
menggunakan pendekatan open-ended bila dibandingkan dengan kelas yang mendapat
pembelajaran konvensional disebabkan dalam proses pembelajaran peserta didik
terlibat secara aktif. Selain itu, kebiasaan berpikir peserta didik dalam pembelajran
dengan pendekatan open-ended akan memudahkan peserta didik dalam memahami
81
suatu topik keterkaitannya dengan topik lain, baik dalam pelajaran matematika maupun
pelajaran lain atau dalam kehidupan sehari-hari. Selain itu, pembelajaran dengan
pendekatan open-ended dapat diterapkan dalam pembelajaran matematika karena dapat
memberikan keleluasaan berpikir secara aktif dan mampu mengundang peserta didik
untuk menjawab permasalahan melalui berbagai strategi sehingga memacu
perkembangan matematikanya. Sehingga dengan pembelajaran open-ended,
pembelajaran akan lebih bermakna.
Dalam awal pembelajaran guru mengalami kesulitan karena peserta didik
tidak terbiasa untuk menyelesaikan permasalahan open-ended. Peserta didik
menganggap bahwa matematika adalah ilmu pasti yang hanya memiliki sebuah
jawaban benar. Sedikit demi sedikit peserta didik dilatih untuk menyaelesaikan
permasalahan open-ended, sehingga mereka terbiasa. Untuk pembelajaran dalam
kelompok, peserta didik tidak mengalami masalah, karena sebagian besar dari mereka
telah memiliki kelompok belajar sendiri, sehingga mereka terbiasa untuk saling
menghargai pendapat orang lain. Pada pembelajaran terakhir, peserta didik telah
terbiasa untuk menyelesaikan permasalahan yang memiliki lebih dari satu
penyelesaian.
Berdasarkan uji ketuntasan belajar peserta didik, diperoleh bahwa dengan
pembelajaran menggunakan pendekatan open-ended yang bernuansa aplikasi learning
to know, learning to do, learning to live together, dan learning to be dalam materi limit
dapat mencapai ketuntasan belajar yaitu dengan memenuhi KKM yang telah
ditentukan oleh SMA Negeri 6 Semarang.
82
Berdasarkan hasil observasi kegiatan peserta didik yang difokuskan pada
minat peserta didik dalam proses pembelajaran pada kelas eksperimen diperoleh
kategori minat peserta didik dalam pembelajaran sebesar 22% sangat tinggi, 41%
tinggi, 15% rendah, dan 22% sangat rendah. Dengan demikian secara klasikal, peserta
didik dapat dinyatakan memiliki minat yang positif dalam pembelajaran. Dari hasil
analsis regresi, diperoleh persamaan regresi linear sederhana sebagai berikut Ŷ =
2,4795 + 0,3090 X. Ini berarti, jika minat bertambah maka bertambah pula hasil
belajar matematika peserta didik. Dari koefisien determinasi diperoleh bahwa 66,92%
hasil belajar peserta didik dipengaruhi oleh minat, sedangkan sisanya sebesar 33,08%
dipengaruhi oleh faktor lainnya. Sehingga dapat disimpulkan bahwa minat
berpengaruh besar terhadap hasil belajar matematika peserta didik.
Keuntungan menggunakan pendekatan open-ended dalam pembelajaran
adalah peserta didik berpartisipasi lebih aktif dalam pembelajaran dan dapat
mengekspresikan idenya untuk menyelesaikan masalah dengan cara mereka sendiri,
serta memiliki pengalaman dalam menemukan berbagai solusi dari suatu permasalahan
yang mereka hadapi. Adapun kelemahan dari pembelajaran dengan pendekatan open-
ended adalah ada sebagaian peserta didik yang merasa tidak menikmati dalam
mengikuti pembelajaran karena kesulitan yang meraka hadapi dan pada awalnya
sangat sulit bagi guru mengemukakan atau memperkenalkan permasalahan open-ended
kepada peserta didik. Pembelajaran dengan pendekatan open-ended sangat bagus untuk
mengulang materi yang telah diajarkan sebagai variasi dalam pembelajaran supaya
peserta didik tidak merasa bosan.
83
Hasil analisis penelitian dapat diketahui bahwa hasil belajar siswa kelas
eksperimen lebih baik daripada kelas kontrol. Hal ini didukung dengan minat peserta
didik di kelas eksperimen yang cukup tinggi. Secara umum terjadinya perbedaan hasil
belajar dimungkinkan karena dalam pembelajaran dengan pendekatan open-ended
yang memberikan keleluasaan berpikir secara aktif dan mampu mengundang peserta
didik untuk menjawab permasalahan melalui berbagai strategi sehingga memacu
perkembangan matematikanya. Selain itu, pembelajaran dengan pendekatan open-
ended dapat membantu mengembangkan kegiatan kreatif dan pola pikir matematis
peserta didik melalui problem solving secara simultan. Dengan kata lain kegiatan
kreatif dan pola pikir matematis peserta didik harus dikembangkan semaksimal
mungkin sesuai dengan kemampuan setiap peserta didik. Dengan adanya keleluasaan
berpikir aktif, minat peserta didik untuk mengikuti pembelajran pun diharapkan lebih
meningkat, sehingga dapat meningkatkan hasil belajar matematikanya.
BAB 5
PENUTUP
4.3 Simpulan
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dapat ditarik kesimpulan sebagai
berikut.
(1) Hasil belajar matematika materi pokok limit peserta didik yang memperoleh
pembelajaran dengan pendekatan open-ended bernuansa aplikasi learning to
know, learning to do, learning to live together, dan learning to be. lebih baik
dibanding peserta didik yang memperoleh pembelajaran konvensional.
(2) Ketuntasan belajar matematika peserta didik dapat tercapai dengan
pembelajaran menggunakan pendekatan open ended bernuansa aplikasi
learning to know, learning to do, learning to live together, dan learning to be.
(3) Minat sebagai hasil belajar dalam pembelajaran menggunakan pendekatan
open ended bernuansa aplikasi learning to know, learning to do, learning to
live together, dan learning to be berpengaruh terhadap hasil belajar
matematika.
4.4 Saran
Hasil penelitian diharapkan dapat memberikan sedikit sumbangan pemikiran
sebagai usaha meningkatkan kemampuan dalam bidang pendidikan khususnya bidang
matematika. Saran yang dapat penyusun sumbangkan sehubungan dengan hasil
penelitian ini sebagai berikut.
85
(1) Guru diharapkan dapat melaksanakan pembelajaran dengan pendekatan open-
ended bernuansa aplikasi learning to know, learning to do, learning to live
together, dan learning to be pada materi-materi matematika yang lain, melalui
pembelajaran ini diharapakan peserta didik dapat lebih memahami suatu topik
keterkaitannya dengan topik lain, baik dalam pelajaran matematika maupun
pelajaran lain atau dalam kehidupan sehari-hari sehingga peserta didik
memperoleh hasil belajar yang lebih baik.
(2) Guru sebaiknya dapat menumbuhkan minat peserta didik dalam pembelajaran,
sehingga dapat meningkatkan pula hasil belajar matematika peserta didik.
(3) Perlu adanya penelitian lebih lanjut tentang hasil belajar afektif yang terkait
dengan pembelajaran bermakna yaitu kreativitas, kemandirian, dan bakat
sebagai pengembangan dari penelitian ini. Selain itu, perlu perlu adanya
penelitian tentang pendekatan yang dapat digunakan untuk menciptakan
pembelajaran bermakna dalam kelas.
86
DAFTAR PUSTAKA
Arifin, Z. 1991. Evaluasi Instruksional : Prinsip, Teknik, Prosedur. Bandung:Remaja
Rosdakarya.
Arikunto, S. 2002. Prosedur Penelitian. Yogyakarta:Rineka Cipta.
--------------. 2003. Dasar-dasar Evaluasi Pendidikan. Jakarta: Bumi Aksara.
Chatarina. 2004. Psikologi belajar. Semarang:UPT MKK UNNES.
Dahar, R W. 1989. Teori-teori Belajar. Jakarta:Erlangga.
Darsono, M. 2000. Belajar dan Pembelajaran. Semarang:IKIP Semarang Press.
Dimyati, M. 2002. Belajar dan Pembelajaran. Jakarta:Depdikbud dan PT Rineka
Cipta.
Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas
XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta : Pusat Perbukuan
Departemen Pendidikan Nasional.
Eric. 2008. Using Open-Ended Mathematics Problems A Classroom Experience
(Primary). 3 Februari 2009.
Foong, P.Y. (2002). The role of problems to enhance pedagogical practice. The
Mathematics Educator, 6(2), 15-31.
Furchan, A. 2005. Pengantar Penelitian dalam Pendidikan. Yogyakarta : Pustaka
Pelajar.
Japar. 2009. Pembelajaran Matematika dengan Pendekatan Open-Ended. Jurnal Diklat
Vol. V, No. 3, November 2008. Pusdiklat Tenaga Teknis Keagamaan Depag. 7
Mei 2009.
Mardapi, D. 2008. Teknik Penyusunan Instrumen Tes dan Nontes. Yogyakarta:Mitra
Cendikia Press.
Nuriana. 2005. Model Pembelajaran Creative Problem Solving dengan Video Compact
Disc dalam Pembelajaran Matematika. Online pada
http://www.mathematic.transdigit.com/index.php/mathematic-journal/ model-
87
pembelajaran-creative-problem-solving-dengan-video-compact-disk-dalam-
pembelajaran-matematika.html (diakses 27/04/2007).
Poerwadarminta, W.J.S. 1999. Kamus Umum Bahasa Indonesia. Jakarta : Balai
Pustaka.
Rianto, Y. 1996. Metodologi Penelitian Pendidikan suatu Tinjauan Dasar.
Surabaya:SIC Surabaya.
Safari. 2008. Penulisan Butir Soal Berdasarkan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan
(KTSP). Jakarta:APSI Pusat.
Subagjo, A. 2004. Pembelajaran Kooperatif dengan Pendekatan Open-Ended pada
Pokok Bahasan Garis-Garis Sejajar untuk Siswa Kelas 2 SMP Negeri II
Palangkaraya. Tesis, Program Studi Pendidikan Matematika, Program
Pascasarjana Universitas Negeri Surabaya.
Sudjana. 2003. Metode Statistika. Bandung : Alfa Beta
Sugandi, A. dkk. 2004. Teori Pembelajaran. Semarang : UPT MKK UNNES.
Sugiyono. 2006. Statistik untuk Penelitian. Bandung : Alfa Beta.
Suharyono. 1996. Strategi Belajar Mengajar I. Semarang:IKIP Press.
Suherman, dkk. 2003. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer.
Bandung:UPI.
Suwarno, W. 2008. Dasar-dasar Ilmu Pendidikan. Yogyakarta:Ar-Ruzz Media Group.
Takahashi, A. 2008. Communication As A Process For Students To Learn
www.criced.tsukuba.ac.jp/math/apec/apec2008/papers/PFF/14.Akihiko_Takahas
hi_USA.pdf-. 3 Februari 2009.
Wirodikromo, S. 2003. Matematika 2000 untuk SMU Jilid 3 Kelas 2. Jakarta :
Erlangga.
Yaniawati, R.P. 2002. Pembelajaran Dengan pendekatan Open-Ended dalam upaya
meningkatkan kemampuan koneksi matematika siswa (Studi eksperimen pada
SMU X di
bandung).http://64.233.179.104/search?q=cache:5GtKvwMyIwJ:www.jurnal-
kopertis4.org/file/1-Poppy-2002.pdf+koneksi+matematik+openended&hl
=en.
88
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Nama Sekolah : SMA Negeri 6 Semarang
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/ Semester : XI/ 2
Materi Pokok : LIMIT
Sub Materi Pokok : Limit Fungsi Aljabar
Pertemuan ke : 1
Alokasi Waktu : 2 x 45 menit
Standar Kompetensi : 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan
fungsi dalam pemecahan masalah
I. Kompetensi Dasar
6.2 Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga.
II. Indikator
1. Menyelesaikan soal yang berhubungan dengan limit fungsi di suatu titik
2. Menyelesaikan soal yang berhubungan dengan limit fungsi di tak hingga.
III. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, diharapkan peserta didik dapat :
1. Menyelesaikan soal yang berhubungan dengan limit fungsi di suatu titik
2. Menyelesaikan soal yang berhubungan dengan limit fungsi di tak hingga.
IV. Bahan/ Alat
1. Whiteboard
2. Board marker
V. Pembelajaran dengan Pendekatan Open-ended Bernuansa Aplikasi Empat
Pilar Pendidikan.
Flow of the lesson :
6. Introduction
7. Posing problem
8. Solving problem
9. Sharing the students solving problem
10. Summig up
89
(Takahashi, 2008:6)
VI. Materi Pokok
Limit Fungsi Aljabar
1. Menentukan Limit Fungsi Aljabar yang Berbentuk )(lim xfax
a. Metode Substitusi Langsung
b. Metode Pemfaktoran
2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar yang Berbentuk )(lim xfx
a. Membagi dengan pangkat tertinggi dari penyebut
b. Mengalikan dengan faktor lawan
VII. Kegiatan Pembelajaran
4. Pendahuluan
g. Apersepsi
h. Memeriksa kehadiran peserta didik sebelum materi disampaikan.
i. Menyampaikan indikator pembelajaran yang hendak dicapai.
j. Menyampaikan tujuan pembelajaran.
k. Menyampaikan penggunaan pembelajaran dengan pendekatan open-ended
bernuansa aplikasi empat pilar pendidikan.
l. Motivasi
Untuk menunjukkan nuansa learning to be, guru menginformasikan
pentingnya materi ini dikuasai dengan baik karena sangat relevan dengan
materi yang lain dan juga relevan dengan kehidupan sehari-hari.
5. Kegiatan Inti
Flow of the lesson :
6. Introduction (orientasi peserta didik pada masalah)
Guru mengawali pelajaran dengan memperkenalkan aktivitas hari ini, yaitu
dengan memberikan masalah limit fungsi aljabar yang sederhana beserta
cara-cara penyelesaiannya (nuansa learning to know). Hal ini sebagai modal
peserta didik untuk mengikuti kegiatan belajar hari ini.
7. Posing problem
90
Guru memberikan masalah limit fungsi aljabar kepada peserta didik untuk
diselesaikan sesuai dengan kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki.
Peserta didik menyelesaikan masalah limit fungsi aljabar yang diberikan
oleh guru dengan mendiskusikannya dalam kelompok. (nuansa learning to
live together).
8. Solving problem
Peserta didik menyelesaikan masalah limit fungsi aljabar yang diberikan
guru dengan berbagai alternatif penyelesaian. Masing-masing anggota
kelompok, harus dapat menjelaskan alternatif penyelesaian yang mereka
gunakan. (nuansa learning to do and lerning to live together)
Selama kegiatan pembelajaran, guru harus dapat membuat diskusi yang
terjadi menjadi bermakna dengan cara melibatkan semua peserta didik
dalam kelas. Selain itu, guru membimbing peserta didik dengan memeriksa
pekerjaan peserta didik selama diskusi berlangsung.
9. Sharing the students solving problem
Peserta didik mempresentasikan hasil pekerjaan mereka di depan kelas.
Setiap jawaban yang berbeda dari peserta didik didiskusikan bersama.
Guru memberikan kesempatan yang sama kepada setiap peserta didik untuk
menyampaikan pendapatnya.
10. Summing up
Peserta didik merefleksi apa yang telah dipelajari dalam kegiatan
pembelajaran hari ini dengan melihat kembali ke papan tulis.
Guru membimbing peserta didik untuk menyimpulkan hasil pembelajaran
hari ini dan menyampaikan bahwa materi ini harus benar-benar dipahami
karena merupakan dasar dari beberapa materi yang lain (nuansa learning to
live together).
6. Penutup
d. Guru mengevaluasi jalannya diskusi dan hasil diskusi yang telah
dilakukan.
e. Guru menyampaikan bahwa peserta didik akan mempelajari aplikasinya
tidak hanya pada mata pelajaran matematika tetapi juga pada mata
91
pelajaran yang lain sehingga peserta didik harus benar-benar memahami
materi ini (nuansa learning to live together).
f. Guru memberikan tugas rumah kepada peserta didik secara berkelompok.
VIII. Sumber
1. Buku matematika SMA untuk kelas XI
2. LKS MGMP Semarang
3. Internet
IX. Penilaian
1. Jenis tagihan : tugas
2. Teknik : latihan soal
3. Bentuk instrumen : uraian
4. Tindak lanjut : pembahasan bersama
Semarang, April 2009
Pembimbing II
Dr. Iwan Junaedi, S.Si, M.Pd.
NIP. 132 231 406
Pembimbing I
Drs. St. Budi Waluya, M.Si, P.hD.
NIP. 132 046 848
92
LATIHAN SOAL!
1. Hitunglah dengan cara substitusi langsung dan pemfaktoran :
a. 2
23lim
2
2
x
xx
x
b. 1
1lim
3
0
x
x
x
c. 2
2lim
2
2
x
xx
x
2. Tentukan cara apakah yang termudah untuk menghitung limit fungsi berikut ini
kemudian hitunglah !
a. 12
5lim
2
2
1
xx
xx
x
b. 1
33lim
23
2
x
xxx
x
c. 9
27lim
2
3
3
x
x
x
d. 3
33lim
23
1
x
xxx
x
3. Hitunglah :
a.
31
32lim
2
2
xxx
x
x
b.
18
21lim
4
2
x
x
x
c. 124lim 2
xxxx
d. 23lim
xxx
Diketahui fungsi-fungsi cbxaxxf 2)( dan rqxpxxg 2)( . Jika pa ,
tunjukkan bahwa
a
qbxgxf
x 2)()(lim !
93
JAWABAN DAN PEDOMAN PENSKORAN LATIHAN SOAL
1. Penyelesaian :
a. 2
23lim
2
2
x
xx
x
Substitusi langsung :
34
12
22
2232
2
23lim
22
2
x
xx
x………………………….. 3
Pemfaktoran :
3121lim2
12lim
2
23lim
22
2
2
x
x
xx
x
xx
xxx……….. 3
b. 1
1lim
3
0
x
x
x
Substitusi langsung :
11
1
10
10
1
1lim
33
0
x
x
x………………………………………….. 3
Pemfaktoran :
11001lim1
)1(1lim
1
1lim 22
0
2
0
3
0
xx
x
xxx
x
x
xxx... 3
c. 2
2lim
2
2
x
xx
x
Substitusi langsung :
24
8
22
222
2
2lim
22
2
x
xx
x…………………………..………… 3
Pemfaktoran :
2lim2
2lim
2
2lim
22
2
2
x
x
xx
x
xx
xxx………………………………. 3
2. Penyelesaian :
a. 12
5lim
2
2
1
xx
xx
x
Cara termudah yang digunakan adalah substitusi langsung
.…………...….... 1
94
14
4
4
51
1121
15)1(
12
5lim
2
2
2
2
1
xx
xx
x……………………. 2
b. 1
33lim
23
2
x
xxx
x
Cara termudah yang digunakan adalah pemfaktoran …………………… ..
1
5322232lim
1
321lim
1
33lim
22
2
2
2
23
2
xx
x
xxx
x
xxx
x
xx …… 2
c. 9
27lim
2
3
3
x
x
x
Cara termudah yang digunakan adalah pemfaktoran …..…… ……… 1
3
11
6
22
33
4333
3
43lim
33
3lim
9
27lim
2
2
332
3
3
x
xx
xx
x
x
x
xxx
……//…… ….….. 2
d. 3
33lim
23
1
x
xxx
x
Cara termudah yang digunakan adalah substitusi langsung ……….….……
1
04
0
31
31131
3
33lim
2323
1
x
xxx
x………..… 2
3. Penyelesaian :
a.
31
32lim
2
2
xxx
x
x0
1
0
321
9124
lim32
9124lim
32
32
3
2
xx
xxx
xx
xx
xx….…
3
b.
18
144lim
18
21lim
4
2
4
2
x
xx
x
x
xx
95
22
2
22
4
8
4
18
144
lim
2
2
x
xxx
…………………..….……… 3
c. 124lim 2
xxxx
22 124lim
xxxx
1224
12241224lim
22
2222
xxxx
xxxxxxxx
x
1224
36lim
22
xxxx
x
x
22
121
241
36
lim
xxxx
xx
32
6
……………………………………………………………………… 5
d. 23lim
xxx
23
2323lim
xx
xxxx
x
23
1lim
xxx
xx
xx 2
13
1
1
lim
02
0 ………………………………………………………………. 4
4. Diketahui : fungsi-fungsi cbxaxxf 2)( dan rqxpxxg 2)( .
96
Buktikan : Jika pa , maka a
qbxgxf
x 2)()(lim
Bukti :
rqxpxcbxaxxgxfxx
22lim)()(lim
rqxpxcbxax
rqxpxcbxaxrqxpxcbxax
x
22
22
22lim
rqxpxcbxax
rcxqb
x
22lim
22
lim
x
r
x
qp
x
c
x
ba
x
rcqb
x
a
qb
2
(terbukti)
…………………………………...………… 5
Pedoman Penilaian :
Jumlah skor maksimal= 50.
Nilai maksimal 100105
50 .
Jadi, Nilai 105
skorjumlah
.
97
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Nama Sekolah : SMA Negeri 6 Semarang
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/ Semester : XI/ 2
Materi Pokok : LIMIT
Sub Materi Pokok : Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri
Pertemuan ke : 2
Alokasi Waktu : 2 x 45 menit
Standar Kompetensi : 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan
fungsi dalam pemecahan masalah
I. Kompetensi Dasar
6.2 Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi
aljabar dan trigonometri.
II. Indikator
1. Menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri di satu titik.
2. Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit.
III. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, diharapkan peserta didik dapat :
1. Menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri di satu titik.
2. Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit.
IV. Bahan/ Alat
1. Whiteboard
2. Board marker
V. Pembelajaran dengan Pendekatan Open-ended bernuansa aplikasi empat
pilar pendidikan.
Flow of the lesson :
1. Introduction
2. Posing problem
3. Solving problem
4. Sharing the students solving problem
Lampiran 10
98
5. Summig up
(Takahashi, 2008:6)
VI. Materi Pokok
1. Limit Fungsi Trigonometri
2. Sifat-sifat Limit
VII. Kegiatan Pembelajaran
1. Pendahuluan
a. Apersepsi
b. Memeriksa kehadiran peserta didik sebelum materi disampaikan.
c. Menyampaikan indikator pembelajaran yang hendak dicapai.
d. Menyampaikan tujuan pembelajaran.
e. Menyampaikan penggunaan pembelajaran dengan pendekatan open-ended
bernuansa aplikasi empat pilar pendidikan.
f. Motivasi
Untuk menunjukkan nuansa learning to be, guru menginformasikan
pentingnya materi ini dikuasai dengan baik karena sangat relevan dengan
materi yang lain dan juga relevan dengan kehidupan sehari-hari.
2. Kegiatan Inti
Flow of the lesson :
1. Introduction (orientasi peserta didik pada masalah)
Guru mengawali pelajaran dengan memperkenalkan aktivitas hari ini, yaitu
dengan memberikan masalah limit fungsi trigonometri yang sederhana
beserta cara-cara penyelesaiannya dengan menggunakan sifat-sifat limit
(nuansa learning to know). Hal ini sebagai modal peserta didik untuk
mengikuti kegiatan belajar hari ini.
2. Posing problem
Guru memberikan masalah limit fungsi trigonometri kepada peserta didik
untuk diselesaikan sesuai dengan kemampuan dan pengetahuan yang
dimiliki.
99
Peserta didik menyelesaikan masalah limit fungsi trigonometri yang
diberikan oleh guru dengan mendiskusikannya dalam kelompok. (nuansa
learning to live together).
3. Solving problem
Peserta didik menyelesaikan masalah limit fungsi trigonometri trigonometri
yang diberikan guru dengan berbagai alternatif penyelesaian dengan
menggunanakan siaft-sifat limit. Masing-masing anggota kelompok, harus
dapat menjelaskan alternatif penyelesaian yang mereka gunakan. (nuansa
learning to do and lerning to live together)
Selama kegiatan pembelajaran, guru harus dapat membuat diskusi yang
terjadi menjadi bermakna dengan cara melibatkan semua peserta didik
dalam kelas. Selain itu, guru membimbing peserta didik dengan memeriksa
pekerjaan peserta didik selama diskusi berlangsung.
4. Sharing the students solving problem
Peserta didik mempresentasikan hasil pekerjaan mereka di depan kelas.
Setiap jawaban yang berbeda dari peserta didik didiskusikan bersama.
Guru memberikan kesempatan yang sama kepada setiap peserta didik untuk
menyampaikan pendapatnya.
5. Summig up
Peserta didik merefleksi apa yang telah dipelajari dalam kegiatan
pembelajaran hari ini dengan melihat kembali ke papan tulis.
Guru membimbing peserta didik untuk menyimpulkan hasil pembelajaran
hari ini dan menyampaikan bahwa materi ini harus benar-benar dipahami
karena merupakan dasar dari beberapa materi yang lain (nuansa learning to
live together).
3. Penutup
a. Guru mengevaluasi jalannya diskusi dan hasil diskusi yang telah dilakukan.
b. Guru menyampaikan bahwa peserta didik akan mempelajari aplikasinya
tidak hanya pada mata pelajaran matematika tetapi juga pada mata
100
pelajaran yang lain sehingga peserta didik harus benar-benar memahami
materi ini (nuansa learning to live together).
c. Guru memberikan tugas rumah kepada peserta didik secara individu.
VIII. Sumber
1. Buku matematika SMA untuk kelas XI
2. LKS MGMP Semarang
3. Internet
IX. Penilaian
1. Jenis tagihan : tugas
2. Teknik : latihan soal
3. Bentuk instrumen : uraian
4. Tindak lanjut : pembahasan bersama
Semarang, April 2009
Pembimbing II
Dr. Iwan Junaedi, S.Si, M.Pd.
NIP. 132 231 406
Pembimbing I
Drs. St. Budi Waluya, M.Si, P.hD.
NIP. 132 046 848
101
LATIHAN SOAL!
1. Hitunglah limit fungsi trigonometri berikut :
a. 22sin
44lim
1
x
x
x
b. 12tan
24sinlim
2
1
x
x
x
c.
1
1sinlim
21
x
x
x
2. Hitunglah limit fungsi trigonometri berikut :
a. xx
x
x 3sin
6lim
0
b.
4
2sin22lim
22
x
xx
x
c. h
h
h
3
1sin
3
1sin
lim0
3. Tuliskan teorema-teorema limit yang digunakan pada penyelesaian masalah-
masalah di atas !
102
JAWABAN DAN PEDOMAN PENSKORAN LATIHAN SOAL
1. Penyelesaian :
d. 22sin
44lim
1
x
x
x
22sin
222lim
1
x
x
x
22sin
22lim2
1
x
x
x
212 …………………………………………………………………… 3
e. 12tan
24sinlim
2
1
x
x
x
12tan
12sin2lim
2
1
x
x
x
12tan
12sinlim2
2
1
x
x
x
212
…………………………………………………………….……… 3
….………………………………… 3
Atau :
12tan
12sin2lim
12tan
24sinlim
2
1
2
1
x
x
x
x
xx
12tan
12sinlim2
2
1
x
x
x
12tan
12
12
12sinlim2
2
1
x
x
x
x
x
1112 …………………
103
f.
1
1sinlim
21
x
x
x
11
1sinlim
1
xx
x
x
11sin
1
1lim
1
x
x
xx
2
11
11
1
……………………………………………………………………. 3
2. Penyelesaian :
a. xx
x
x 3sin
6lim
0
x
xxx
6
3sin
1lim
0
x
x
x
x
x
x
6
3sin
6lim
1lim
0
0
x
x
x
x
xx
x
6
3sinlim
6lim
1lim
00
0
x
x
x 32
3sinlim
6
1
1
0
2
3
4
6
6
4
1
12
1
6
1
1
3
3sinlim
2
1
6
1
1
0
x
x
x
…………………………………… 8
b.
4
2sin22lim
22
x
xx
x
22
2sin22lim
2
xx
xx
x
2
2sin
2
22lim
2
x
x
x
x
x
104
2
2sinlim
2
22lim
22
x
x
x
x
xx
2
3
4
61
22
222
……………………………………….………..…. 4
c. h
h
h
3
1sin
3
1sin
lim0
h
hh
h
3
1
3
1
2
1sin
3
1
3
1
2
1cos2
lim0
h
hh
h
sin2
1
6
2cos2
lim0
h
hh
hh
sinlim
2
1
3
1coslim2
00
112
121
3
1cos2
…………………………………………… 5
3. Teorema-teorema limit yang digunakan :
Misalkan f(x) dan g(x) adalah fungsi dan k konstanta.
a. )(lim)(lim xfkxfkaxax
, k adalah konstanta …………………… 1
b. )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax
……………………………….... 1
c. )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax
…………………………………… 1
d. )(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
, 0)(lim
xg
ax …………………………………… 1
Pedoman Penilaian :
Jumlah skor maksimal= 30.
Nilai maksimal 100103
30 .
Jadi, Nilai 103
skorjumlah
.
105
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Nama Sekolah : SMA Negeri 6 Semarang
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/ Semester : XI/ 2
Materi Pokok : LIMIT
Sub Materi Pokok : Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri
Pertemuan ke : 3
Alokasi Waktu : 1 x 45 menit
Standar Kompetensi : 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan
fungsi dalam pemecahan masalah
I. Kompetensi Dasar
6.2 Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi
aljabar dan trigonometri.
II. Indikator
1. Menghitung limit fungsi aljabar dengan menggunakan sifat-sifat limit.
2. Menghitung limit fungsi trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat limit.
III. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, diharapkan peserta didik dapat :
1. Menghitung limit fungsi aljabar dengan menggunakan sifat-sifat limit.
2. Menghitung limit fungsi trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat limit.
IV. Bahan/ Alat
1. Whiteboard
2. Board marker
V. Pembelajaran dengan Pendekatan Open-ended bernuansa aplikasi empat
pilar pendidikan.
Flow of the lesson :
1. Introduction
2. Posing problem
3. Solving problem
4. Sharing the students solving problem
Lampiran 11
106
5. Summig up
(Takahashi, 2008:6)
VI. Materi Pokok
Pengggunaan sifat-sifat limit pada :
1. Limit fungsi aljabar
2. limit fungsi trigonometri
VII. Kegiatan Pembelajaran
1. Pendahuluan
a. Apersepsi
b. Memeriksa kehadiran peserta didik sebelum materi disampaikan.
c. Menyampaikan indikator pembelajaran yang hendak dicapai.
d. Menyampaikan tujuan pembelajaran.
e. Menyampaikan penggunaan pembelajaran dengan pendekatan open-ended
bernuansa aplikasi empat pilar pendidikan.
f. Motivasi
Untuk menunjukkan nuansa learning to be, guru menginformasikan
pentingnya materi ini dikuasai dengan baik karena sangat relevan dengan
materi yang lain dan juga relevan dengan kehidupan sehari-hari.
2. Kegiatan Inti
Flow of the lesson :
1. Introduction (Orientasi peserta didik)
Guru mengawali pelajaran dengan memperkenalkan aktivitas hari ini, yaitu
dengan memberikan masalah limit fungsi aljabar dan trigonometri yang
sederhana beserta cara-cara penyelesaiannya dengan menggunakan sifat-
sifat limit (nuansa learning to know). Hal ini sebagai modal peserta didik
untuk mengikuti kegiatan belajar hari ini.
2. Posing problem
Guru memberikan masalah limit fungsi aljabar dan trigonometri kepada
peserta didik untuk diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat limit
sesuai dengan kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki.
107
Peserta didik menyelesaikan masalah limit fungsi aljabar dan trigonometri
yang diberikan oleh guru dengan mendiskusikannya dalam kelompok.
(nuansa learning to live together).
3. Solving problem
Peserta didik menyelesaikan masalah limit fungsi trigonometri aljabar dan
trigonometri yang diberikan guru dengan berbagai alternatif penyelesaian
dengan menggunakan sifat-sifat limit. Masing-masing anggota kelompok,
harus dapat menjelaskan alternatif penyelesaian yang mereka gunakan
(nuansa learning to do and lerning to live together).
Selama kegiatan pembelajaran, guru harus dapat membuat diskusi yang
terjadi menjadi bermakna dengan cara melibatkan semua peserta didik
dalam kelas. Selain itu, guru membimbing peserta didik dengan memeriksa
pekerjaan peserta didik selama diskusi berlangsung.
4. Sharing the students solving problem
Peserta didik mempresentasikan hasil pekerjaan mereka di depan kelas.
Setiap jawaban yang berbeda dari peserta didik didiskusikan bersama.
Guru memberikan kesempatan yang sama kepada setiap peserta didik untuk
menyampaikan pendapatnya.
5. Summig up
Peserta didik merefleksi apa yang telah dipelajari dalam kegiatan
pembelajaran hari ini dengan melihat kembali ke papan tulis.
Guru membimbing peserta didik untuk menyimpulkan hasil pembelajaran
hari ini dan menyampaikan bahwa materi ini harus benar-benar dipahami
karena merupakan dasar dari beberapa materi yang lain (nuansa learning to
live together).
3. Penutup
a. Guru mengevaluasi jalannya diskusi dan hasil diskusi yang telah dilakukan.
b. Guru menyampaikan bahwa peserta didik akan mempelajari aplikasinya
tidak hanya pada mata pelajaran matematika tetapi juga pada mata
108
pelajaran yang lain sehingga peserta didik harus benar-benar memahami
materi ini (nuansa learning to live together).
c. Guru memberikan tugas kepada peserta didik secara berkelompok.
VIII. Sumber
1. Buku matematika SMA untuk kelas XI
2. LKS MGMP Semarang
3. Internet
IX. Penilaian
1. Jenis tagihan : tugas
2. Teknik : latihan soal
3. Bentuk instrumen : uraian
4. Tindak lanjut : pembahasan bersama
Semarang, April 2009
Pembimbing II
Dr. Iwan Junaedi, S.Si, M.Pd.
NIP. 132 231 406
Pembimbing I
Drs. St. Budi Waluya, M.Si, P.hD.
NIP. 132 046 848
109
LATIHAN SOAL!
1. Hitungah limit fungsi aljabar berikut ini dengan menggunakan teorema limit yang
telah dipelajari :
a.
42
2
2
82lim
22
2 x
xx
x
x
x
b. Diketahui fungsi 24)( xxxf , dengan daerah asal xxDf .
Hitunglah 1
)1()(lim
21
x
fxf
x.
c. Diketahui fungsi-fungsi )(xf , )(xg , )(xh dengan 3)(lim
xfbx
,
2)(lim
xgbx
, 0)(lim
xhbx
. Hitunglah nilai limit berikut ini.
)(2
)(5
3)(
3
2
limxg
xhxf
bx
2. Hitungah limit fungsi trigonometri berikut ini dengan menggunakan teorema limit
yang telah dipelajari :
a. x
xx
x 3tan
2sin7lim
2
22
0
b.
xx
x
x 3sin
2sinlim
22
2
0
c. Diketahui xxxf cossin3)( . Tentukan nilai dari h
xfhxf
h
)()(lim
0
.
110
JAWABAN DAN PEDOMAN PENSKORAN LATIHAN SOAL
1. Penyelesaian :
a.
42
2
2
82lim
22
2 x
xx
x
x
x
42
2lim
2
82lim
2
2
2
2 x
xx
x
x
xx
22
2lim
2
42lim
2
2
2 x
xx
x
x
xx
2lim
2
222lim
22
x
x
xx
xx
2lim22lim
22
xx
xx
xxxx 22lim
2
12lim2
22
1222 9
……………………………………………………………. 7
b. Diketahui fungsi 24)( xxxf , dengan daerah asal xxDf .
Penyelesaian :
1
1144lim
1
)1()(lim
2
22
121
x
xx
x
fxf
xx
1
54lim
2
2
1
x
xx
x
11
15lim
1
xx
xx
x
11
51
3
………………………………………………………..….
. 5
111
c. Diketahui fungsi-fungsi )(xf , )(xg , )(xh dengan 3)(lim
xfbx
, 2)(lim
xgbx
,
0)(lim
xhbx
.
Penyelesaian :
)(2
)(5
3)(
3
2
limxg
xhxf
bx
)(2lim
)(5
3lim)(
3
2lim
xg
xhxf
bx
bxbx
)(lim2
)(lim5
3)(lim
3
2
xg
xhxf
bx
bxbx
22
05
33
3
2
2
1
4
2
……………………………………………………. 5
2. Penyelesaian :
a. x
xx
x 3tan
2sin7lim
2
22
0
x
x
x
x
xx 3tan
2sinlim
3tan
7lim
2
2
02
2
0
9
2
3tan
3
3tan
3
2
2sinlim
9
1
3tan
3
3tan
3lim7
2
2
00
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
9
2111
9
1117 1
9
2
9
7
…………………………………………… 5
b.
xx
x
x 3sin
2sinlim
22
2
0
2
220
2sin
3sin
1lim
x
xxx
112
2
2
02
2
0 2sin
3sinlim
2sinlim
1
x
x
x
x
xx
2
9
2sin
2
3
3sin
3
3sinlim
2
1
2sin
2lim
1
2
2
02
2
0
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
2
9111
2
11
1
5
1
2
10
1
…………………………………………………… 5
c. Diketahui xxxf cossin3)(
Penyelesaian :
h
xfhxf
h
)()(lim
0
h
xxhxhx
h
cossin3cossin3lim
0
h
xhxxhx
h
coscos)sin(sin3lim
0
h
xhxxhxxhxxhx
h
2
1sin
2
1sin2
2
1sin
2
1cos23
lim0
h
hhxhhx
h
2
1sin
2
1sin2
2
1sin
2
1cos23
lim0
h
hhx
h
hhx
hh
2
1sin
2
1sin2
lim2
1sin
2
1cos6
lim00
2
1
2
12
1sin
limsin22
1
2
12
1sin
limcos600
h
h
x
h
h
xhh
2
11sin2
2
11cos6 xx xx sincos3
……………………………. 8
113
Pedoman Penilaian :
Jumlah skor maksimal = 35.
Nilai maksimal 10010035
35 .
Jadi, Nilai 10035
skorjumlah
.
114
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
SEKOLAH : SMA Negeri 6 Semarang
MATA PELAJARAN : MATEMATIKA
KELAS/SEMESTER : XI IPA/ 2
STANDAR KOMPETENSI : Menggunakan konsep limit fungsi dan
turunan fungsi dalam pemecahan
masalah
KOMPETENSI DASAR : menjelaskan secara intuitif arti limit
fungsi di suatu titik dan di tak hingga
INDIKATOR :
1 menjelaskan arti limit fungsi di satu
titik melalui perhitungan nilai-nilai
di sekitar titik tersebut
2 menjelaskan arti limit fungsi di tak
berhingga melalui grafik dan
perhitungan
3 Menyelesaikan soal yang
berhubungan dengan limit fungsi di
satu titik dan limit fungsi di tak
hingga.
ALOKASI WAKTU : 12 x 45 menit (6 Pertemuan)
A. TUJUAN PEBEAJARAN
1 Peserta didik dapat menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui
perhitungan nilai-nilai di sekitar titik tersebut
Lampiran 12
115
2 Peserta didik dapat menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui
grafik dan perhitungan
3 Peserta didik dapat menyelesaikan soal yang berhubungan dengan limit
B. MATERI PEMBELAJARAN:
Uraian Materi:
Definisi limit fungsi:
Suatu fungsi xfy didefinisikan utuk ax sekitar di , maka
LxfxfLaxax
limlim jika hanyadan jika lim--ax
C. METODE PEMBELAJARAN:
1. Inkuiri
2. Tanya jawab
3. Penugasan
D. LANGKAH LANGKAH KEGIATAN PEMBELAJARAN
a. Tatap Muka
NO KEGIATAN WAKTU
1 Pendahuluan
Apersepsi:
- Memeriksa kehadiran siswa sebelum materi disampaikan
- Mengingatkan kembali tentang materi sebelumnya
- Menyampaikan indikator pembelajaran yang hendak
dicapai
- Menyampaikan tujuan pembelajaran
- Menyampaikan model pembelajaran
- Menyampaikan metode pembelajaran
Motivasi:
Menginformasikan pentingnya materi ini dikuasai dengan
baik karena sangat relevan dengan materi yang lain dan juga
relevan dengan kehidupan sehari– hari.
10 Menit
2 Kegiatan Inti
1. Guru menjelaskan materi pembelajaran tentang definisi
limit fungsi di satu titik
70 Menit
116
2. Guru memberikan beberapa contoh soal
3. Guru memberi kesempatan kepada peserta didik untuk
mengajukan pertanyaan jika ada materi yang belum
dimengerti.
4. Guru memberikan Lembar Tugas Siswa (LTS) kepada
peserta didik untuk dikerjakan secara berkelompok 2
atau 3 anak.
5. Guru menyuruh peserta didik untuk mempresentasikan
hasil kerja kelompoknya di depan kelas.
3 Penutup
1. Guru dan peserta didik melakukan
refleksi/menyimpulkan
2. Guru memberikan tugas/PR
10 Menit
b. Tugas Terstruktur
Peserta didik diminta mengerjakan soal-soal latihan tentang limit fungsi di satu
titik di LKS dan LTS
c. Tugas Mandiri Tidak Terstruktur
Peserta didik diminta untuk mencari soal-soal latihan dari sumber belajar yang
lain untuk dikerjakan secara berkelompok di rumah, kemudian dipresentasikan
di depan kelas pada pertemuan berikutnya.
E. SUMBER PEMBELAJARAN
1. Buku Matematika Kelas XI IPA PEMKOT
2. Buku Matematika XI IPA Penerbit Erlangga karangan Sartono W
3. Lembar Kerja Siswa (LKS)
4. PENILAIAN
1. Tehnik : Tes tertulis
2. Bentuk Instrumen : Tes uraian
3. Soal Instrumen :
117
Contoh soal:
1. Diketahui fungsi f(x) dirumuskan dengan
xf
3untuk ,1 xx
Hitunglah nilai f(x) disekitar x = 3
2. Hitunglah nilai 47
9
2
2
3
x
xLimx
Pembahasan:
1. Nilai-nilai f(x) disekitar x = 3 disajikan dalam tabel berikut ini:
Tabel:
x 2,7 2,8 2,99 2,999 000,3
3,001 3,01 3,1 3,2
F(x) 2,4 2,6 2,98 2,998 ………… 2,001 2,01 2,1 2,2
Dari tabel diatas terlihat bahwa ketika x mendekati 3, nilai fungsi f(x) tidak
akan pernah menuju kesuatu nilai tertentu.
Jadi , limit xfLimx 3
tidak ada.
Perlu diperhatikan bahwa fungsi f(x) mempunyai limit kiri dan limit kanan,
akan tetapi nilainya berbeda:
Limit kiri kananlimit dan 33
xfLimx
23
xfLimx
2. 47
47
47
9lim
47
9
2
2
2
2
2
2
3
x
x
x
x
x
xLimx
=
16)7(
4792
22
3
x
xxLimx
=
9
4792
22
3
x
xxLimx
= 847347 22
3
xLim
x
3untuk ,32 xx
118
Jadi,
47
9
2
2
3
x
xLimx
= 8
Semarang, Januari 2009
Mengetahui,
Kepala SMA N 6 Semarang Guru Mata Pelajaran
Drs. H. Bambang N. M, M.Ed Dra. Wiji Eni N. R
NIP. 131642108 NIP. 131429872
119
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
SEKOLAH : SMA Negeri 6 Semarang
MATA PELAJARAN : MATEMATIKA
KELAS/SEMESTER : XI IPA/ 2
STANDAR KOMPETENSI : Menggunakan konsep limit fungsi
dan turunan fungsi dalam
pemecahan masalah.
KOMPETENSI DASAR : Menggunakan sifat limit fungsi
untuk menghitung bentuk tak tentu
fungsi aljabar dan trigonometri
INDIKATOR :
1. Menghitung limit fungsi aljabar dan
trigonometri di satu titik
2. Menjelaskan sifat-sifat yang
digunakan dalam perhitungan limit
3. Menjelaskan arti bentuk taktentu
dari limit fungsi
4. Menghitung limit fungsi aljabar dan
trigonometri dengan menggunakan
sifat-sifat limit
ALOKASI WAKTU : 10 x 45 menit (5 Pertemuan)
A. TUJUAN PEMBELAJARAN
1. Peserta didik dapat menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri di
satu titik
2. Peserta didik dapat menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam
perhitungan limit
3. Peserta didik dapat Menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri
dengan menggunakan sifat-sifat limit
120
B. MATERI PEMBELAJARAN:
Limit Fungsi Aljbar
Secara intuitif, pengertian limit fungsi dapat didefinisikan sebagai:
L nilai mendekati maka, mendekati bahwa berarti yang
lim
xfaxax
Lxfax
1. Limit fungsi 0,untuk aaxxf
Perhitungan limit fungsi 0,untuk aaxxf atau di tulis xfax
lim ,
dapat dilakukan melalui tiga cara, yaitu subtitusi langsung, e
Jika dengan cara subtitusi langsung dihasilkan bentuk tak tentu
0
0limatau
0
0
xg
xf
ax
, maka perhitungan limit dilakukan dengan cara
pemfaktoran atau rasionalisasi bentuk akar.
2. Limit fungsi 0untuk xxf
Perhitungan Limit fungsi 0untuk xxf atau di tulis xfax
lim , pada
prinsipnya sama seperti perhitungan pada 0,untuk aaxxf
3. Limit fungsi xxf untuk ∞
Perhitungan limit fungsi yang berbentuk xg
xf
x lim jika disubtitusikan
langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu
. Sehingga
perhitungannya di lakukan dengan cara membagi pembilang f(x) dan
penyebut g(x) dengan xn, yang mana n adalah pangkat tertinggi dari
penyebut f(x).
Perhitungan limit fungsi yang berbentuk .lim xgxfx
jika
disubtitusikan langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu .
Sehingga perhitungannya dilakukan dengan cara mengalikan dengan factor
lawan, yaitu:
xgxf
xgxf
121
Dalam perhitungan limit fungsi aljabar untuk x , berlaku:
Untuk setiap n bilangan positif dan a bilangan real, maka:
0lim nx x
a
Limit Fungsi Trigonomeri
Limit fungsi trigonometri memiliki bentuk ,lim xfax
dengan f(x) adalah fungsi-
fungsi yang memuat perbandingan trigonometri.
Rumus - rumus limit fungsi trigonometri:
1. 1sin
limsin
lim00
x
x
x
x
xx
2. 1tan
limtan
lim00
x
x
x
x
xx
Dari rumus-rumus limit fungsi trigonometri diatas dapat diperoleh rumus-
rumus limit fungsi trigonometri yang lain, yaitu:
1. b
a
bx
ax
bx
ax
bx
ax
xxx
sin
sinlim
sinlim
sinlim
000
2. b
a
bx
ax
bx
ax
bx
ax
xxx
tan
tanlim
tanlim
tanlim
000
3. b
a
bx
ax
bx
ax
xx
sin
tanlim
tan
sinlim
00
C. METODE PEMBELAJARAN:
1. Inkuiri
2. Tanya jawab
3. Penugasan
122
D. LANGKAH LANGKAH KEGIATAN PEMBELAJARAN
a. Tatap Muka
NO KEGIATAN WAKTU
1 Pendahuluan
Apersepsi:
- Memeriksa kehadiran siswa sebelum materi disampaikan
- Mengingatkan kembali tentang materi sebelumnya
- Menyampaikan indikator pembelajaran yang hendak
dicapai
- Menyampaikan tujuan pembelajaran
- Menyampaikan model pembelajaran
- Menyampaikan metode pembelajaran
Motivasi:
Menginformasikan pentingnya materi ini dikuasai dengan
baik karena sangat relevan dengan materi yang lain dan juga
relevan dengan kehidupan sehari– hari.
10 Menit
2 Kegiatan Inti
1. Guru menjelaskan materi pembelajaran tentang limit
fungsi aljabar dan limit fungsi trigonometri
2. Guru memberikan beberapa contoh soal
3. Guru memberi kesempatan kepada peserta didik untuk
mengajukan pertanyaan jika ada materi yang belum
dimengerti.
4. Guru memberikan Lembar Tugas Siswa (LTS) kepada
peserta didik untuk dikerjakan secara berkelompok 2
atau 3 anak.
5. Guru menyuruh peserta didik untuk mempresentasikan
hasil kerja kelompoknya di depan kelas.
70 Menit
3 Penutup
1. Guru dan peserta didik melakukan
refleksi/menyimpulkan
2. Guru memberikan tugas/PR
10 Menit
123
b. Tugas Terstruktur
Peserta didik diminta mengerjakan soal-soal latihan tentang limit fungsi aljabar
dan limt fungsi trigonometri di LKS dan LTS
c. Tugas Mandiri Tidak Terstruktur
Peserta didik diminta untuk mencari soal-soal latihan dari sumber belajar yang
lain untuk dikerjakan secara berkelompok di rumah, kemudian dipresentasikan
di depan kelas pada pertemuan berikutnya.
E. SUMBER PEMBELAJARAN
1. Buku Matematika Kelas XI IPA PEMKOT
2. Buku Matematika XI IPA Penerbit Erlangga karangan Sartono W
3. Lembar Kerja Siswa
F. PENILAIAN
1. Tehnik : Tes tertulis
2. Bentuk Instrumen : Tes uraian
3. Soal Instrumen
Contoh soal:
1. Hitunglah nilai limit fungsi berikut ini
a. )523( 2
1
xxLim
x
b. xLimx
sin
4
2. Hitunglah x
xLimx 3sin
4tan
0
Pembahasan:
1. a. )523( 2
0
xxLim
x
= 5lim2lim311
2
1
xxxxxLim
= 1
2
1limlim2lim3
xx
xx
= 6512132
124
Jadi, )523( 2
1
xxLim
x
=6
b. xLimx
sin
4
= 22
1
4sin
2. x
xLimx 3sin
4tan
0
Untuk x
xx
x
xx
3sin
3.4tan.
3sin
4tan,0
x
x
x
x
x
xLim
xx 3sin
3
4
4tan
3
4lim
3sin
4tan
00
= 3
411
3
4
3sin
3lim
4
4tanlim
3
4
00
x
x
x
x
xx
Jadi, x
xLimx 3sin
4tan
0
=3
4
Semarang, Januari 2009
Mengetahui,
Kepala SMA N 6 Semarang Guru Mata Pelajaran
Drs. H. Bambang N. M, M.Ed Dra. Wiji Eni N. R
NIP. 131642108 NIP. 131429872
125
KISI-KISI SOAL TES UJI COBA INSTRUMEN
Jenis Sekolah : SMA / MA Jumlah Soal : 6
Mata Pelajaran : Matematika Alokasi Waktu : 2 x 45’
Kurikulum : KTSP Penyusun : Prapti Nugraha Duhita
No.
Urut
Standar
Kompetensi
Kompetensi
Dasar
Kelas /
Semester Materi
Indikator
Soal
Bentuk Tes
(Tertulis/Prak
tik)
No.
Soal
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
1. Menggunakan
konsep limit
fungsi dan
turunan fungsi
dalam
pemecahan
masalah.
6.1 Menafsirkan secara
intuitif arti limit fungsi
di satu titik dan di tak
hingga
XI IPA /
2
Limit
Fungsi
Peserta didik dapat menyelesaikan soal
yang berhubungan dengan limit fungsi
di satu titik.
Peserta didik dapat menyelesaikan soal
yang berhubungan dengan limit fungsi
di tak hingga.
Tertulis /
Uraian
Tertulis /
Uraian
1, 4
5
6.2 Menggunakan sifat-
sifat limit fungsi untuk
menghitung bentuk tak
tentu fungsi aljabar
dan trigonometri
XI IPA /
2
Limit
Fungsi
Peserta didik dapat menghitung limit
fungsi trigonometri di satu titik.
Peserta didik dapat menghitung limit
fungsi aljabar dan trigonometri dengan
menggunakan sifat-sifat limit.
Tertulis /
Uraian
Tertulis /
Uraian
3
2, 6
126
SOAL TES UJI COBA INSTRUMEN
Mata Pelajaran : Matematika
Materi Pokok : Limit
Kelas/Semester : XI IPA / 2
Alokasi Waktu : 2 x 45’
Petunjuk :
1. Berdoalah terlebih dahulu sebelum mengerjakan.
2. Tulis nama dan nomor absen Anda pada lembar jawab
3. Periksa kembali pekerjaan Anda sebelum dikumpulkan
Kerjakanlah soal-soal berikut ini!
1. Buatlah berbagai macam soal limit fungsi aljabar yang berkaitan dengan
masalah laju perubahan fungsi, kemudian selesaikanlah soal limit fungsi
tersebut!
2. Jika diketahui fungsi-fungsi )(),(),( xhdanxgxf dengan 3)(lim
xfbx
,
2)(lim
xgbx
, dan 0)(lim
xhbx
.Gunakan sifat-sifat limit fungsi untuk
menghitung
7)()(3
)(lim 2 xhxg
xf
bx dengan berbagai cara.
3. Buatlah berbagai macam soal limit fungsi trigonometri yang berkaitan dengan
masalah gradien, kemudian selesaikanlah soal limit fungsi tersebut.
4. Dengan berbagai cara, hitunglah
54
413lim
2
2
1
xx
x
x!
5. Dengan berbagai cara, hitunglah 2
4
2
84lim
x
xx
x
!
6. Tentukan gradien garis singgung pada kurva 3xxf di titik yang berabsis
3. Gunakanlah sifat-sifat limit fungsi dalam menentukan gradien tersebut.
127
JAWABAN SOAL TES UJI COBA INSTRUMEN
1. Contoh penyelesaian soal nomor 1:
Contoh 1:
Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukannya setelah x
detik memenuhi persamaan 236)( xxxf , dengan )(xf dinyatakan dalam
meter. Tentukan kecepatan sesaat benda pada 2x detik.
Penyelesaian :
x
fxfv
x
22lim
0
x
xx
x
2323
0
226226lim
x
xxxxx
x
524461286lim
232
0
x
xxx
x
526377652lim
32
0
x
xxx
x
32
0
63776lim
2
063776lim xx
x
2
000lim6lim3776lim xxxxx
760603776
Jadi, kecepatan sesaat benda pada 2x detik adalah 76 meter/detik.
Lampiran 15
128
Contoh 2:
Sebuah benda bergerak sehingga jarak yang ditempuh memenuhi persamaan
tttfs 32 . Tentukanlah laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu t.
Penyelesaian :
t
tfttf
dt
df
dt
ds
t
0lim
t
tttttt
t
33lim
22
0
t
tttttttt
t
3332lim
222
0
t
tttt
t
2
0
32lim
ttt
32lim0
ttttt
000
lim3lim2lim
32032 tt
Jadi, laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu t adalah 32 t .
2. Contoh penyelesaian soal nomor 2:
Diketahui : fungsi-fungsi dengan 3)(lim
xfbx
, 2)(lim
xgbx
, dan 0)(lim
xhbx
.
Cara 1:
7)()(3
)(lim 2 xhxg
xf
bx
7lim)(lim)(lim3
)(lim
2
bxbxbxbxxhxg
xf
129
7lim0lim2lim3
3lim 2
bxbxbxbx
7021
8 .
Cara 2:
7)()(3
)(lim 2 xhxg
xf
bx
7lim)(lim)(lim3
)(lim
2
bxbxbxbxxhxg
xf
7lim0lim2lim3
3lim
2
bxbxbxbx
7021 2
8 .
Cara 3:
7)()(3
)(lim 2 xhxg
xf
bx
7lim)(lim)(lim)(lim3
1 2
bxbxbxbxxhxgxf
7lim0lim2lim3lim3
1 2
bxbxbxbx
7lim0lim2lim3lim3
1 2
bxbxbxbx
70233
1 2
130
3. Contoh penyelesaian soal nomor 3:
Contoh
Tentukan persamaan gradien garis singgung kurva xxf cos .
Penyelesaian :
xxf cos
x
xxxxfm
x
coscoslim'
0
x
xxxxx
x
cossinsincoscoslim
0
x
xxxxx
x
sinsincoscoscoslim
0
x
xx
x
xxx
xx
sinsinlim
coscoscoslim
00
x
xx
x
xx
xx
sinlimsin
1coslimcos
00
xxx sin1sin0cos .
Jadi, persamaan gradient garis singgung kurva xxf cos adalah xm sin .
Contoh 2:
Tentukan persamaan gradien garis singgung kurva xxxf 2sin .
Penyelesaian :
xxxf 2sin
x
xxxxxxxfm
x
2sin2sinlim'
0
131
x
xxxxxxxx
x
2sin22sincoscossinlim
0
x
xxxxxx
x
2sincossincossinlim
0
x
x
x
xx
x
xx
xxx
000lim2
sinlimcos
1coslimsin
2cos121cos0sin xxx
Jadi persamaan gradient garis singgung xxxf 2sin adalah 2cos xm .
4. Contoh penyelesaian soal nomor 4:
Cara 1: Cara 2:
54
413lim
2
2
1
xx
x
x
54
413lim
2
2
1
xx
x
x
54
4169lim
2
2
1
xx
xx
x
15
213213lim
1
xx
xx
x
54
369lim
2
2
1
xx
xx
x
15
3313lim
1
xx
xx
x
15
1133lim
1
xx
xx
x
15
1313lim
1
xx
xx
x
5
133lim
1
x
x
x
5
133lim
1
x
x
x
51
1133
51
1133
26
12 . 2
6
12 .
132
5. Contoh penyelesaian soal nomor 5:
Cara 1: Cara 2:
2
4
2
84lim
x
xx
x
2
4
2
84lim
x
xx
x
2
2
44
4
2
84
lim
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x
xx
x 84
84
2
84lim
4
4
2
4
2
04lim
x
xxx
xx
x 842
84lim
42
4
12
4 .
xxx
xxx
x 842
822
lim42
22
Cara 3: xx
xx
x 84
82
lim4
2
2
4
2
84lim
x
xx
x
44
4
32
2
84
82
lim
x
x
x
x
xx
x
x
2
3
2
2
214
limx
xx
x
04
02lim
x
14
2 .
133
2
3
2
2
212
limx
xx
x
3
21lim
xx
01lim x
11
6. Contoh penyelesaian soal nomor 6:
Diketahui : kurva 3xxf dan titik pada kurva berabsis 3.
Ditanya : gradien garis singgung pada kurva (digunakan sifat-sifat limit untuk
menyelesaikan masalah tersebut)
Penyelesaian :
x
fxfm
x
33lim
0
Cara 1:
x
fxfm
x
33lim
0
x
x
x
33
0
33lim
x
xxx
x
2792727lim
32
0
x
xxx
x
32
0
927lim
134
x
xxx
x
2
0
927lim
2
0927lim xx
x
2
000lim9lim27lim xxxxx
0027 =27.
Cara 2:
x
fxfm
x
33lim
0
x
x
x
33
0
33lim
x
xxx
x
2792727lim
32
0
x
xxx
x
32
0
927lim
x
x
x
x
x
x
xxx
3
0
2
00lim
9lim
27lim
2
000limlim927lim xxxxx
200927 =27.
Cara 3:
x
fxfm
x
33lim
0
x
x
x
33
0
33lim
135
x
xxx
x
2792727lim
32
0
x
xxx
x
32
0
927lim
x
x
x
x
x
x
xxx
3
0
2
00limlim9lim27
27009127 2 .
136
KISI-KISI SOAL TES
Jenis Sekolah : SMA / MA Jumlah Soal : 5
Mata Pelajaran : Matematika Alokasi Waktu : 2 x 45’
Kurikulum : KTSP Penyusun : Prapti Nugraha Duhita
No.
Urut
Standar
Kompetensi
Kompetensi
Dasar
Kelas /
Semester Materi
Indikator
Soal
Bentuk Tes
(Tertulis/Pra
ktik)
No.
Soal
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
1. Menggunakan
konsep limit
fungsi dan
turunan fungsi
dalam
pemecahan
masalah.
6.3 Menafsirkan secara
intuitif arti limit
fungsi di satu titik
dan di tak hingga
XI IPA /
2
Limit
Fungsi
Peserta didik dapat menyelesaikan
soal yang berhubungan dengan limit
fungsi di satu titik.
Peserta didik dapat menyelesaikan
soal yang berhubungan dengan limit
fungsi di tak hingga.
Tertulis /
Uraian
Tertulis /
Uraian
1, 4
5
6.4 Menggunakan sifat-
sifat limit fungsi
XI IPA /
2
Limit
Fungsi
Peserta didik dapat menghitung limit
fungsi trigonometri di satu titik.
Tertulis /
Uraian
3
Lampiran 18.
137
untuk menghitung
bentuk tak tentu
fungsi aljabar dan
trigonometri
Peserta didik dapat menghitung limit
fungsi aljabar dan trigonometri
dengan menggunakan sifat-sifat
limit.
Tertulis /
Uraian
2
138
SOAL TES UJI COBA INSTRUMEN
Mata Pelajaran : Matematika
Materi Pokok : Limit
Kelas/Semester : XI IPA / 2
Alokasi Waktu : 2 x 45’
Petunjuk :
4. Berdoalah terlebih dahulu sebelum mengerjakan.
5. Tulis nama dan nomor absen Anda pada lembar jawab
6. Periksa kembali pekerjaan Anda sebelum dikumpulkan
Kerjakanlah soal-soal berikut ini!
7. Buatlah berbagai macam soal limit fungsi aljabar yang berkaitan dengan
masalah laju perubahan fungsi, kemudian selesaikanlah soal limit fungsi
tersebut!
8. Jika diketahui fungsi-fungsi )(),(),( xhdanxgxf dengan 3)(lim
xfbx
,
2)(lim
xgbx
, dan 0)(lim
xhbx
.Gunakan sifat-sifat limit fungsi untuk
menghitung
7)()(3
)(lim 2 xhxg
xf
bx dengan berbagai cara.
9. Buatlah berbagai macam soal limit fungsi trigonometri yang berkaitan dengan
masalah gradien, kemudian selesaikanlah soal limit fungsi tersebut.
10. Dengan berbagai cara, hitunglah
54
413lim
2
2
1
xx
x
x!
11. Dengan berbagai cara, hitunglah 2
4
2
84lim
x
xx
x
!
139
JAWABAN SOAL TES UJI COBA INSTRUMEN
7. Contoh penyelesaian soal nomor 1:
Contoh 1:
Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukannya setelah x
detik memenuhi persamaan 236)( xxxf , dengan )(xf dinyatakan dalam
meter. Tentukan kecepatan sesaat benda pada 2x detik.
Penyelesaian :
x
fxfv
x
22lim
0
x
xx
x
2323
0
226226lim
x
xxxxx
x
524461286lim
232
0
x
xxx
x
526377652lim
32
0
x
xxx
x
32
0
63776lim
2
063776lim xx
x
2
000lim6lim3776lim xxxxx
760603776
Jadi, kecepatan sesaat benda pada 2x detik adalah 76 meter/detik.
Lampiran 20
140
Contoh 2:
Sebuah benda bergerak sehingga jarak yang ditempuh memenuhi persamaan
tttfs 32 . Tentukanlah laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu t.
Penyelesaian :
t
tfttf
dt
df
dt
ds
t
0lim
t
tttttt
t
33lim
22
0
t
tttttttt
t
3332lim
222
0
t
tttt
t
2
0
32lim
ttt
32lim0
ttttt
000
lim3lim2lim
32032 tt
Jadi, laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu t adalah 32 t .
8. Contoh penyelesaian soal nomor 2:
Diketahui : fungsi-fungsi dengan 3)(lim
xfbx
, 2)(lim
xgbx
, dan 0)(lim
xhbx
.
Cara 1:
7)()(3
)(lim 2 xhxg
xf
bx
7lim)(lim)(lim3
)(lim
2
bxbxbxbxxhxg
xf
141
7lim0lim2lim3
3lim 2
bxbxbxbx
7021
8 .
Cara 2:
7)()(3
)(lim 2 xhxg
xf
bx
7lim)(lim)(lim3
)(lim
2
bxbxbxbxxhxg
xf
7lim0lim2lim3
3lim
2
bxbxbxbx
7021 2
8 .
Cara 3:
7)()(3
)(lim 2 xhxg
xf
bx
7lim)(lim)(lim)(lim3
1 2
bxbxbxbxxhxgxf
7lim0lim2lim3lim3
1 2
bxbxbxbx
7lim0lim2lim3lim3
1 2
bxbxbxbx
70233
1 2
142
9. Contoh penyelesaian soal nomor 3:
Contoh
Tentukan persamaan gradien garis singgung kurva xxf cos .
Penyelesaian :
xxf cos
x
xxxxfm
x
coscoslim'
0
x
xxxxx
x
cossinsincoscoslim
0
x
xxxxx
x
sinsincoscoscoslim
0
x
xx
x
xxx
xx
sinsinlim
coscoscoslim
00
x
xx
x
xx
xx
sinlimsin
1coslimcos
00
xxx sin1sin0cos .
Jadi, persamaan gradient garis singgung kurva xxf cos adalah xm sin .
Contoh 2:
Tentukan persamaan gradien garis singgung kurva xxxf 2sin .
Penyelesaian :
xxxf 2sin
x
xxxxxxxfm
x
2sin2sinlim'
0
143
x
xxxxxxxx
x
2sin22sincoscossinlim
0
x
xxxxxx
x
2sincossincossinlim
0
x
x
x
xx
x
xx
xxx
000lim2
sinlimcos
1coslimsin
2cos121cos0sin xxx
Jadi persamaan gradient garis singgung xxxf 2sin adalah 2cos xm .
10. Contoh penyelesaian soal nomor 4:
Cara 1: Cara 2:
54
413lim
2
2
1
xx
x
x
54
413lim
2
2
1
xx
x
x
54
4169lim
2
2
1
xx
xx
x
15
213213lim
1
xx
xx
x
54
369lim
2
2
1
xx
xx
x
15
3313lim
1
xx
xx
x
15
1133lim
1
xx
xx
x
15
1313lim
1
xx
xx
x
5
133lim
1
x
x
x
5
133lim
1
x
x
x
51
1133
51
1133
26
12 . 2
6
12 .
144
11. Contoh penyelesaian soal nomor 5:
Cara 1: Cara 2:
2
4
2
84lim
x
xx
x
2
4
2
84lim
x
xx
x
2
2
44
4
2
84
lim
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x
xx
x 84
84
2
84lim
4
4
2
4
2
04lim
x
xxx
xx
x 842
84lim
42
4
12
4 .
xxx
xxx
x 842
822
lim42
22
Cara 3: xx
xx
x 84
82
lim4
2
2
4
2
84lim
x
xx
x
44
4
32
2
84
82
lim
x
x
x
x
xx
x
x
2
3
2
2
214
limx
xx
x
04
02lim
x
14
2 .
145
2
3
2
2
212
limx
xx
x
3
21lim
xx
01lim x
11
146
KISI-KISI ANGKET MINAT PESERTA DIDIK TERHADAP MATA
PELAJARAN MATEMATIKA
No Indikator Jumlah
Butir Nomor Butir
Pernyataan
Positif Negatif
1. Manfaat belajar matematika 5 1, 2, 3, 4, 5 1, 2, 5 3, 4
2. Usaha memahami matematika 5 6, 7, 8, 9, 10 6, 9, 10 7, 8
3. Membaca buku matematika 5 11, 12, 13, 14, 15 13, 14 11, 12, 15
4. Bertanya di kelas, pada teman 5 16, 17, 18, 19, 20 17, 18 16, 19, 20
5. Mengerjakan soal matematika 5 21, 22, 23, 24, 25 21, 22, 25 23, 24
147
ANGKET MINAT PESERTA DIDIK TERHADAP MATA PELAJARAN
MATEMATIKA
Petunjuk :
Baca dan pahamilah pernyataan berikut ini dan kemudian nyatakanlah apakah isinya
sesuai dengan keadaan diri Anda dengan cara menyilang huruf pilihan sebagai berikut
:
STS : Sangat tidak setuju
TS : Tidak setuju
S : Setuju
SS : Sangat setuju
1. Belajar matematika dapat mendukung saya dalam mengerjakan soal-soal pada mata
pelajaran lain, seperti fisika, kimia, dan biologi.
a. STS b. TS c. S d. SS
2. Matematika sangat diperlukan dalam kehidupan sehari-hari misalnya dalam dunia
bisnis khususnya dalam perdagangan.
a. STS b. TS c. S d. SS
3. Saya tidak pernah memanfaatkan mata pelajaran matematika dalam kehidupan
sehari-hari.
a. STS b. TS c. S d. SS
4. Belajar matematika hanya membuat saya bingung saja.
a. STS b. TS c. S d. SS
5. Belajar matematika menunjang saya untuk meraih cita-cita.
a. STS b. TS c. S d. SS
6. Saya selalu memperhatikan dan mendengarkan apa yang dijelaskan oleh guru
matematika saya.
a. STS b. TS c. S d. SS
7. Untuk memahami matematika tidak perlu banyak latihan soal, karena hafal rumus
saja sudah cukup.
Lampiran 30
148
a. STS b. TS c. S d. SS
8. Saya tidak menyukai jika guru sedang menerangkan penurunan rumus, karena
penurunan rumus tidak penting.
a. STS b. TS c. S d. SS
9. Saya selalu mencatat apa yang telah dijelaskan oleh guru matematika saya.
a. STS b. TS c. S d. SS
10. Pulang sekolah saya mengulangi pelajaran matematika yang telah dipelajari di
sekolah.
a. STS b. TS c. S d. SS
11. Saya tidak pernah membaca buku matematika, karena memperhatikan dan
mendengarkan penjelasan guru sudah cukup.
a. STS b. TS c. S d. SS
12. Saya jarang membaca buku matematika.
a. STS b. TS c. S d. SS
13. Saya senang membaca buku matematika untuk menambah pengetahuan.
a. STS b. TS c. S d. SS
14. Membaca buku matematika sangat membantu saya dalam mengerjakan tugas-tugas
ang diberikan oleh guru.
a. STS b. TS c. S d. SS
15. Membaca buku matematika membuat saya menjadi pusing.
a. STS b. TS c. S d. SS
16. Saya takut dan malu jika bertanya pada guru di kelas saat pelajaran matematika.
a. STS b. TS c. S d. SS
17. Saya segera bertanya kepada guru matematika saya jika saya belum paham.
a. STS b. TS c. S d. SS
18. Jika saya tidak dapat mengerjakan beberapa PR, saya bertanya pada teman saya
sampai saya paham cara mengerjakannya.
a. STS b. TS c. S d. SS
19. Saya tidak pernah bertanya di kelas saat pelajaran matematika.
a. STS b. TS c. S d. SS
20. Saya malu jika bertanya pada teman tentang pelajaran matematika.
149
a. STS b. TS c. S d. SS
21. Semakin banyak mengerjakan soal-soal matematika semakin membuat saya
paham.
a. STS b. TS c. S d. SS
22. Saya sangat senang jika mendapatkan PR atau tugas-tugas matematika.
a. STS b. TS c. S d. SS
23. Saya jarang mengerjakan PR matematika.
a. STS b. TS c. S d. SS
24. Hanya sedikit soal-soal matematika yang pernah saya kerjakan.
a. STS b. TS c. S d. SS
25. Saya senang mengerjakan soal-soal matematika yang menantang.
a. STS b. TS c. S d. SS
150
KISI-KISI ANGKET MINAT PESERTA DIDIK TERHADAP MATA
PELAJARAN MATEMATIKA
No Indikator Jumlah
Butir Nomor Butir
Pernyataan
Positif Negatif
1. Manfaat belajar matematika 2 3, 4 3, 4
2. Usaha memahami matematika 2 8, 9 9 8
3. Membaca buku matematika 3 12, 14, 15 14 12, 15
4. Bertanya di kelas, pada teman 3 16, 18, 19 18 16, 19
5. Mengerjakan soal matematika 4 21, 22, 23, 24 21, 22 23, 24
151
ANGKET MINAT PESERTA DIDIK TERHADAP MATA PELAJARAN
MATEMATIKA
Petunjuk :
Baca dan pahamilah pernyataan berikut ini dan kemudian nyatakanlah apakah isinya
sesuai dengan keadaan diri Anda dengan cara menyilang huruf pilihan sebagai berikut
:
STS : Sangat tidak setuju
TS : Tidak setuju
S : Setuju
SS : Sangat setuju
26. Saya tidak pernah memanfaatkan mata pelajaran matematika dalam kehidupan
sehari-hari.
a. STS b. TS c. S d. SS
27. Belajar matematika hanya membuat saya bingung saja.
a. STS b. TS c. S d. SS
28. Saya tidak menyukai jika guru sedang menerangkan penurunan rumus, karena
penurunan rumus tidak penting.
a. STS b. TS c. S d. SS
29. Saya selalu mencatat apa yang telah dijelaskan oleh guru matematika saya.
a. STS b. TS c. S d. SS
30. Saya jarang membaca buku matematika.
a. STS b. TS c. S d. SS
31. Membaca buku matematika sangat membantu saya dalam mengerjakan tugas-tugas
yang diberikan oleh guru.
a. STS b. TS c. S d. SS
32. Membaca buku matematika membuat saya menjadi pusing.
a. STS b. TS c. S d. SS
33. Saya takut dan malu jika bertanya pada guru di kelas saat pelajaran matematika.
Lampiran 33
152
a. STS b. TS c. S d. SS
34. Jika saya tidak dapat mengerjakan beberapa PR, saya bertanya pada teman saya
sampai saya paham cara mengerjakannya.
a. STS b. TS c. S d. SS
35. Saya tidak pernah bertanya di kelas saat pelajaran matematika.
a. STS b. TS c. S d. SS
36. Semakin banyak mengerjakan soal-soal matematika semakin membuat saya
paham.
a. STS b. TS c. S d. SS
37. Saya sangat senang jika mendapatkan PR atau tugas-tugas matematika.
a. STS b. TS c. S d. SS
38. Saya jarang mengerjakan PR matematika.
a. STS b. TS c. S d. SS
39. Hanya sedikit soal-soal matematika yang pernah saya kerjakan.
a. STS b. TS c. S d. SS