北京文登学校辅导系列

历年考研数学试题详解

数学（四）

（１９８７—２００４）

北京文登学校 编

图书在版编目 （ＣＩＰ） 数据

历年考研数学试题详解／北京文登学校编—北京：中国财政经济出版社，２００５３（北京文登学校辅导系列）

ＩＳＢＮ７－５００５－７９８７－Ｘ

Ⅰ历 Ⅱ北 Ⅲ高等数学－研究生－入学考试－习题 Ⅳ０１３－４４

中国版本图书馆ＣＩＰ数据核字 （２００５） 第０１３６４７号

北京文登学校辅导系列

历年考研数学试题详解

数学 （四）

（１９８７—２００４）

北京文登学校 编

出版

ＵＲＬ：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗｃｆｅｐｈｃｎ

Ｅ－ｍａｉｌ：ｃｆｅｐｈ＠ｃｆｅｐｈｃｎ（版权所有 翻印必究）

社址：北京市海淀区阜成路甲２８号 邮政编码：１０００３６发行处电话：８８１９０４０６ 财经书店电话：６４０３３４３６

××印刷厂印刷 各地新华书店经销

７８７×１０９２毫米 １６开 １１５印张 ２７９０００字

２００５年３月第１版 ２００５年３月北京第１次印刷

定价 （全四册）：６０００元

ＩＳＢＮ７－５００５－７９８７－Ｘ／Ｏ·００３２（图书出现印装问题，本社负责调换）

目 录

前言 （０－３）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

一、全国硕士研究生招生考试数学（四）试题部分 （１－１）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９８７年试题 （１－１）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９８８年试题 （１－３）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９８９年试题 （１－４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９９０年试题 （１－７）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９９１年试题 （１－９）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９９２年试题 （１－１１）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９９３年试题 （１－１３）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９９４年试题 （１－１４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９９５年试题 （１－１６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９９６年试题 （１－１８）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９９７年试题 （１－２０）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９９８年试题 （１－２２）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９９９年试题 （１－２４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

２０００年试题 （１－２６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

２００１年试题 （１－２８）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

２００２年试题 （１－３１）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

２００３年试题 （１－３３）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

２００４年试题 （１－３５）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

二、全国硕士研究生招生考试数学（四）试题解答部分 （２－１）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９８７年试题参考答案 （２－１）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９８８年试题参考答案 （２－５）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９８９年试题参考答案 （２－１０）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９９０年试题参考答案 （２－１４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９９１年试题参考答案 （２－１９）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９９２年试题参考答案 （２－２４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９９３年试题参考答案 （２－２９）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９９４年试题参考答案 （２－３３）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９９５年试题参考答案 （２－３８）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９９６年试题参考答案 （２－４４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

０－１

１９９７年试题参考答案 （２－５０）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９９８年试题参考答案 （２－５６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９９９年试题参考答案 （２－６１）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

２０００年试题参考答案 （２－６９）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

２００１年试题参考答案 （２－７５）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

２００２年试题参考答案 （２－８３）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

２００３年试题参考答案 （２－８８）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

２００４年试题参考答案 （２－９６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

三、附录 （３－１）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９８５年上海交大等八院校硕士研究生招生考试高等数学试题（附：参考答案）

（３－１）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９８５年同济大学等八院校硕士研究生招生考试高等数学试题（附：参考答案）

（３－８）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９８６年上海交大等十院校硕士研究生招生考试高等数学试题（附：参考答案）

（３－１２）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９８６年华东六省一市硕士研究生高等数学试题（附：参考答案） （３－１８）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１９８７年全国硕士研究生招生考试数学（五）试题（副题） （３－２２）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

历年考研数学试题详解·数学（四）０－２

前 言

为帮助我国大学生学好数学，本书汇编了１９８７年以来硕士研究生招生全国统考试题及其

详解的参考答案．应该申明的是：书中给出的解答，也许不是最简的，但从中可以了解重点，突

破难点，把握考点，它至少是很好地适应了同学们复习、迎试、竞赛和考研的需要．全书按不同专业招生的试题，共分为数学（一）、数学（二）、数学（三）、数学（四）等四个分

册．书末还附录了全国硕士生招生统考前两年（即１９８５年和１９８６年）部分院校联合命题的试

卷及参考答案，从中也可看出考研数学试卷不断演化与完善的历程．俗说“温故知新”，历史也许不会重复，但考试却不然，几年、十几年前的题目，又会被改头

换面地拿出来，甚至原封不动地“克隆”．了解这些看上去也许有些“陈旧”的试题，细细品味，有

时仍感新鲜、别致，不信就请查一查近年的考卷，你总会有“似曾相识”之感，因为正如后文所

说：数学内容就那么多，好的试题也就那么一些．这恰似时尚的流行，一个周期下来，便是旧时

尚的复制与翻版（当然不是简单的重复）．学好数学除了要“做”题外，还要会“读”题，可以毫不夸张地说：对绝大多数人来讲，做数学

只是一种模仿或类比，能有发现、创新者实在廖廖，既便是对于以数学为职业的人士．这样对考研题乃至竞赛题的了解与赏析，往往会使我们开阔眼界、打通思路，因为这些题

目中的匠心、立意、解法、技巧，不仅使我们阅后会有茅塞顿开之感，有时更会让我们恍然大悟，

甚至大吃一惊，啊哈！原来如此．看来，了解历年考研试题中的动向，学会解题方法，掌握必要技巧，对我们的复习应考关系

重大．而学会分析、梳理、归类、总结，更是立于不败之地的重要法宝．从１９７８年起，国家开始恢复研究生招生工作，这无疑给各路学子们提供了一个继续深造

的极好契机．由于大多数理工类和某些文科类（如经济、管理等）专业对于数学的需求日深，“高等数学”

便成为一门重要的考试科目．起初，试卷由各院校自行命题．由于这些试卷水平难易不一，这往

往给研究生录取工作带来了一定的困难（标准无法统一），特别是当考生需要进行院校乃至专

业调剂时．１９８５年，上海交大、天津大学、浙江大学等八院校率先采取联合命题，同时同济大学、上海

海运学院、上海工业大学等八校也采用联合命题方式；１９８６年上海交大、天津大学、浙江大学

等联合命题院校扩大到了十所（使用该试卷的院校不止它们），且以此方式联合命题的院校越

来越多．从１９８７年起，国家教委决定全国高校工学各专业、经济学部分专业硕士研究生招生中，数

学考试进行全国统一命题，理、医、农、管各专业，一般亦由招生院校按专业性质，选用相应的试

题种类．当时试题共分五套，分别称为数学（一）、数学（二）、数学（三）、数学（四）和数学（五），各

类试题包含的数学科目大体如下表所列：

０－３

类 型 试卷包含科目

数学（一）

数学（二）

数学（三）

数学（四）

数学（五）

微积分、线性代数；此外概率论与复变函数任选一门

微积分、线性代数

微积分

微积分、线性代数、概率论

微积分、线性代数、概率论

考试题型为填空题、选择题、判断题（仅数学（四）、数学（五）有此题型，且于１９９０年以后取

消）和计算与证明题．每份试卷填空、选择题各约４～５道，计算、证明题１０道左右；１９９０年以后各试卷填空、选

择题各５道，计算、证明题８道或１０道（数学（二）、数学（三）８道，数学（一）、（四）、（五）为１０道）．

下表给出当时五套试题所适用的专业范围：

类 型 适用的招生专业

数学（一）

力学、仪器仪表、动力机械及工程热物理、电工、电子学及通信、计算机

科学与技术、自动控制、管理工程、船舶、原子能科学与技术、航空与宇

航技术、兵器科学与技术．

数学（二）

机械设计与制造、金属材料、土壤、水利、测绘、非金属材料、化学工程

和工业化学、地质勘探、矿业石油、铁道、公路、水运等，以及建筑学、纺

织、轻工、林业工程和技术科学史几个学科中对数学要求较高的专业．

数学（三）建筑学、纺织、轻工、林业工程和技术科学史几个学科中对数学要求较

低的某些专业．

数学（四）国民经济计划和管理（含经济系统分析）、工业经济、运输经济、基本建

设经济、技术经济、工业企业管理、统计学、数量经济学．

数学（五）农业经济、商业经济、物资经济、国际贸易、劳动经济、农业企业管理、

商业企业管理、财政学、货币银行学（含保险）、国际金融、会计学．

注 记政治经济学、世界经济、经济地理学三个专业是否选用统考试题，由招

生单位自定．

１９９７年，国家考试中心据１９９６年重新修订的全国工学、经济学硕士研究生入学考试《数

学考试大纲》，对数学试卷内容和卷种作了调整：

调整前试卷编号 调整后试卷编号 试卷包含的科目

数学（一）、（二）

数学（三）

数学（四）

数学（五）

合并为数学（一）

改为数学（二）

改为数学（三）

改为数学（四）

微积分、线性代数、概率论（含数理统计）

微积分、线性代数

微积分、线性代数、概率论（含数理统计）

微积分、线性代数、概率论

调整后题型仍为三大类：填空题、选择题和计算、证明题（包括综合和应用题）．试题总量为

２１道左右，填空、选择题各５～６道，计算、证明题９～１０道．主、客观性试题在试卷中所占分数

历年考研数学试题详解·数学（四）０－４

比例约为７∶３．试卷命题原则为：以考查数学基本概念、基本方法和基本原理为主，在此基础上加强对考

生运算能力、抽象概括能力、逻辑思维能力、空间想象能力和综合运用所学知识解决实际问题

能力的考查．具体地讲，填空题以考查基本概念、基本方法和基本原理为宗旨，一般无大的计算

和证明，难度中等；选择题主要考查考生对数学基本概念、性质的理解，能通过简单计算、推理、

判断和比较，作出正确选择；计算、证明题（综合题）则是对考生运算、推理、抽象、概括、逻辑思

维、综合（各学科分支的有机结合），以及实际应用能力（结合考生报考的具体专业所具有的共

性相关背景知识）的全面考查．另外，各试卷种类中诸学科分支内容所占比例大致为下表：

试 卷 种 类学科分支所占试卷题目分数比例

微 积 分 线 性 代 数 概 率 论

数学（一）

数学（二）

数学（三）

数学（四）

６０％８０％５０％５０％

２０％２０％２５％２５％

２０％０％２５％２５％

由于数学在各学科研究中的重要地位，为增加数学在考试中的权重，从２００３年起，数学试

卷卷面总分为１５０分．填空、选择各６道，计算、证明题１０题；２００４年试卷中，填空、选择题各６道，计算、证明题１１道．

考研辅导专家们曾对报考研究生的考生提出过忠告，且给出了“法宝”（或经验），数学复习

应采取的方法是：一是认真领会掌握基本概念；二是看、做考研真题；三是多动手训练（做题）．对于如何看、做考研试题我们想说几句，之前，除了复习好必要的基础知识外，还要了解、

掌握一些解题思想与方法．数学解题中有一个重要的思想即化归与转化．其实说穿了，解数学

题就是将未知（或要求、要证）的结论，转化为（或利用）已知结论的过程，这种转化不仅贯穿数

学解题过程的始终，也贯穿数学自身发展的始终．在演算数学问题时，如果你能从中找出这种

转化关系，乃至能将一类问题之间的联系看清、摸透，你的解题能力和技巧将会大有提高，因为

你此时至少已经掌握了这一类问题（而非一道问题）的解法．要做到这一点，重要的是要对各类试卷

去做综合、分析、比较，看看能否找到规律性的东西．各种数学试卷难免会有交叉、重复，再者也要注

意问题的演化规律．这里想以下面一道行列式计算为例，看看近年来这类问题在考研试题中的演化及变形．１９９７年数学（四）中（以下简记如（１９９７④），余类同）有问题（填空题）：

问题★ （１９９７④）设ｎ阶矩阵Ａ＝

０ １ １ ⋯ １ １１ ０ １ ⋯ １ １１ １ ０ ⋯ １ １

１ １ １ ⋯ ０ １１ １ １ ⋯

烄

烆

烌

烎１ ０

，则｜Ａ｜＝ ．

其实它是行列式

前 言 ０－５

Ｄ＝

ａ ｂ ｂ ⋯ ｂ ｂｂ ａ ｂ ⋯ ｂ ｂｂ ｂ ａ ⋯ ｂ ｂ

ｂ ｂ ｂ ⋯ ａ ｂｂ ｂ ｂ ⋯ ｂ ａ

（）

或它的推广

槇Ｄ＝

ａ１ ｂ ｂ ⋯ ｂ ｂｃ ａ２ ｂ ⋯ ｂ ｂｃ ｃ ａ３ ⋯ ｂ ｂ

ｃ ｃ ｃ ⋯ ａｎ－１ ｂｃ ｃ ｃ ⋯ ｃ ａｎ

（）

或其他变形的特例．该行列式及它的衍生或变形是线性代数中较典型的一类，其计算方法有四五种之多．此前或尔

后的试题中与该行列式计算有关的命题很多，比如：

１．涉及矩阵运算的问题

问题１：（１９９３④）已知三阶矩阵Ａ的逆矩阵Ａ－１＝１ １ １１ ２ １烄

烆

烌

烎１ １ ３

，试求其伴随矩阵的逆．

它的变形或引申问题是：

问题２：（２００３③）设三阶矩阵Ａ＝ａ ｂ ｂｂ ａ ｂ烄

烆

烌

烎ｂ ｂ ａ

，若Ａ的伴随矩阵的秩为１，则必有 （ ）

（Ａ）ａ＝ｂ或ａ＋２ｂ＝０ （Ｂ）ａ＝ｂ或ａ＋２ｂ≠０（Ｃ）ａ≠ｂ且ａ＋２ｂ＝０ （Ｄ）ａ≠ｂ且ａ＋２ｂ≠０问题再推广或引申：

问题３：（２００１①）设矩阵Ａ＝

ｋ １ １ １１ ｋ １ １１ １ ｋ １１ １ １

烄

烆

烌

烎ｋ

，且秩ｒ（Ａ）＝３．则ｋ＝ ．

该命题的又一次引申或推广形式为（从３阶、４阶，终于推广到了ｎ阶的情形，如果从命题年份

上看，前者例是后者的特例）：

问题４：（１９９８③）设ｎ（ｎ≥３）阶矩阵

Ａ＝

１ ａ ａ ⋯ ａ ａａ １ ａ ⋯ ａ ａａ ａ １ ⋯ ａ ａ ａ ａ ａ ⋯ １ ａａ ａ ａ ⋯ ａ

烄

烆

烌

烎１

，

历年考研数学试题详解·数学（四）０－６

若矩阵Ａ的秩为ｎ－１，则ａ必为 （ ）

（Ａ）１ （Ｂ）１１－ｎ

（Ｃ）－１ （Ｄ）１ｎ－１

２．涉及方程组的问题

问题５：（１９８９③）齐次线性方程组

λｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝０，

ｘ１＋λｘ２＋ｘ３＝０，

ｘ１＋ｘ２＋λｘ３＝０烅烄

烆 ．仅有零解，则λ应满足的条件是 ．

显然，该方程组的系数矩阵为Ａ＝λ １ １１ λ １１ １

烄

烆

烌

烎λ．

而下面的问题则与问题５几乎无异，只不过由齐次方程组改变成非齐次方程组而已．

问题６：（１９９７②）设方程组

ａ １ １１ ａ １１ １

烄

烆

烌

烎ａ

ｘ１ｘ２ｘ

烄

烆

烌

烎３

＝１１

烄

烆

烌

烎－２

有无穷多组解，则ａ＝ ．

问题７：（１９９５④）对于线性方程组

λｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝λ－３，

ｘ１＋λｘ２＋ｘ３＝－２，

ｘ１＋ｘ２＋λｘ３＝－２烅烄

烆 ．讨论λ取何值时，方程组无解、有惟一解和无穷多组解．在方程组有无穷多组解时，试用其导出组的

基础解系表示全部解．此问题是前面问题的再度引申或推广（变形），下面的问题终于将方程组从３元推广到了ｎ元

（相应的行列式或矩阵也由３阶推广到ｎ阶）．问题８：（２００２③）设齐次线性方程组

ａｘ１＋ｂｘ２＋ｂｘ３＋⋯＋ｂｘｎ＝０，

ｂｘ１＋ａｘ２＋ｂｘ３＋⋯＋ｂｘｎ＝０，

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

ｂｘ１＋ｂｘ２＋ｂｘ３＋⋯＋ａｘｎ＝０

烅

烄

烆 ．其中ａ≠０，ｂ≠０，ｎ≥２．试讨论ａ，ｂ为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解

时，求出其全部解，并用基础解系表示全部解．

显然方程组的系数矩阵Ａ＝

ａ ｂ ｂ ⋯ ｂｂ ａ ｂ ⋯ ｂｂ ｂ ａ ⋯ ｂ

ｂ ｂ ｂ ⋯

烄

烆

烌

烎ａ

，问题的实质是将它可化为计算｜Ａ｜即计

算前面行列式（）的问题．问题再次引申即为下面的试题：

问题９：（２００３③）已知齐次线性方程组

前 言 ０－７

（ａ１＋ｂ）ｘ１＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋⋯＋ａｎｘｎ＝０，

ａ１ｘ１＋（ａ２＋ｂ）ｘ２＋ａ３ｘ３＋⋯＋ａｎｘｎ＝０，

ａ１ｘ１＋ａ２ｘ２＋（ａ３＋ｂ）ｘ３＋⋯＋ａｎｘｎ＝０，

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

ａ１ｘ１＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋⋯＋（ａｎ＋ｂ）ｘｎ＝０

烅

烄

烆 ．

其中ｎ

ｉ＝１ａｉ≠０．试讨论ａ１，ａ２，⋯，ａｎ和ｂ满足何种关系时：

（１）方程组仅有零解；

（２）方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．显然它是问题８的变形，容易看出，这个问题虽是求解线性方程组，但其关键仍是要计算行列

式（它们是行列式（）的引申）

｜Ａ｜＝

ａ１＋ｂ ａ２ ａ３ ⋯ ａｎａ１ ａ２＋ｂ ａ３ ⋯ ａｎａ１ ａ２ ａ３＋ｂ ⋯ ａｎ

ａ１ ａ２ ａ３ ⋯ ａｎ＋ｂ

＝ｂｎ－１ｂ＋ｎ

ｉ＝１ａ（ ）ｉ ．

接下来的问题几乎与上面的问题无异（或者视为它的特例）．问题１０：（２００４①）设有齐次线性方程组

（１＋ａ）ｘ１＋ｘ２＋⋯＋ｘｎ＝０，

２ｘ１＋（２＋ａ）ｘ２＋⋯＋２ｘｎ＝０，

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

ｎｘ１＋ｎｘ２＋⋯＋（ｎ＋ａ）ｘｎ＝０

烅

烄

烆 ．（ｎ≥２）试问ａ取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

显然，这也是要考虑方程组系数矩阵或其行列式

Ａ＝

１＋ａ １ １ ⋯ １２ ２＋ａ ２ ⋯ ２３ ３ ３＋ａ ⋯ ３

ｎ ｎ ｎ ⋯ ｎ＋

烄

烆

烌

烎ａ

，

｜Ａ｜＝

１＋ａ １ １ ⋯ １２ ２＋ａ ２ ⋯ ２３ ３ ３＋ａ ３

ｎ ｎ ｎ ⋯ ｎ＋ａ

＝ ａ＋ｎ（ｎ＋１）［ ］２ ａｎ－１．

注意该问题只是问题９的特例或变形而已（注意它们的系数矩阵间转置关系）．显然２００４年数学（二）中的问题：只是上面问题１０的特例情形（对于数学（二）和数学（四）试卷

而言，常有与之类同的情形，比如同年份试卷中，数学（二）、（四）中的某些题目往往是数学（一）、（三）

中某些问题的简化或特例情形，但其解题思想是类同的）．

历年考研数学试题详解·数学（四）０－８

问题 （２００４②）设有齐次线性方程组

（１＋ａ）ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＝０，

２ｘ１＋（２＋ａ）ｘ２＋２ｘ３＋２ｘ４＝０，

３ｘ１＋３ｘ２＋（３＋ａ）ｘ３＋３ｘ４＝０，

４ｘ１＋４ｘ２＋４ｘ３＋（４＋ａ）ｘ４＝０

烅

烄

烆 ．试问ａ取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

３．涉及矩阵特征问题

问题１１：（１９９２④）矩阵Ａ＝

１ １ １ １１ １ １ １１ １ １ １

烄

烆

烌

烎１ １ １ １

的非零特征值是 ．

注意到｜Ａ－λＩ｜＝ｄｅｔ

１－λ １ １ １１ １－λ １ １１ １ １－λ １１ １ １ １－

烄

烆

烌

烎λ

，它亦化为前述行列式（）的计算．

这个问题稍稍推广又出现在了１９９９年数学（一）试题中．请看：

问题１２：（１９９９①）设ｎ阶矩阵Ａ的元素全为１，则Ａ的ｎ个特征值是 ．显然该问题是问题１１的推广（由４阶推广至ｎ阶），当然关键还是计算行列式（）．五年之后，同样的问题（只是稍加推广与引申）又出现在了２００４年数学（三）试卷中．问题１３：（２００４③）设ｎ阶矩阵

Ａ＝

１ ｂ ⋯ ｂｂ １ ⋯ ｂ

ｂ ｂ ⋯

烄

烆

烌

烎１

．

（Ⅰ）求Ａ的特征值和特征向量；

（Ⅱ）求可逆矩阵Ｐ，使得Ｐ－１ＡＰ为对角矩阵．其实它的解答无非还是计算行列式（）而已．我们简单回顾或复述一下这个问题的解法．讨论ｂ

的取值：

（１）当ｂ≠０时，考虑

λＩ－Ａ ＝

λ－１ －ｂ ⋯ －ｂ－ｂ λ－１ ⋯ －ｂ

－ｂ －ｂ ⋯ λ－１

＝［λ－１－（ｎ－１）ｂ］［λ－（１－ｂ）］ｎ－１，

得Ａ的特征值为 λ１＝１＋（ｎ－１）ｂ，λ２＝⋯＝λｎ＝１－ｂ．然后再解线性方程组求解特征向

量．（２）当ｂ＝０时，则由

前 言 ０－９

λＩ－Ａ ＝

λ－１ ０ ⋯ ００ λ－１ ⋯ ０

０ ０ ⋯ λ－１

＝（λ－１）ｎ，

知Ａ的特征值为λ１＝⋯＝λｎ＝１，此时任意非零向量均为其特征向量．４．涉及二次型问题

熟悉了上面诸问题，下面的问题你当然不会感到陌生．

问题１４：（２００１①）设Ａ＝

１ １ １ １１ １ １ １１ １ １ １

烄

烆

烌

烎１ １ １ １

，Ｂ＝

４ ０ ０ ００ ０ ０ ００ ０ ０ ０

烄

烆

烌

烎０ ０ ０ ０

，则Ａ与Ｂ （ ）

（Ａ）合同且相似 （Ｂ）合同但相似

（Ｃ）不合同但相似 （Ｄ）不合同且不相似

问题显然是要讨论它们的特征值情况，因而最终还是化归计算．

｜Ａ－λＩ｜＝

１－λ １ １ １１ １－λ １ １１ １ １－λ １１ １ １ １－λ

，

进而解｜Ａ－λＩ｜＝０的问题．至此我们已经看到了上述诸问题与我们介绍的行列式（）与（）间的关系，这也可从下图中看

得更为清晰（这里→表示转化关系）：

行列式（）（

→

）

行列式问题

问题←

★↓ ↑

矩阵问题

问题１～问题６→←

线性方程组问题

问题７～问题１０←

矩阵特征问题

问题１１～问题１３←

二次型问题

问题１４

↓

这样一来，如果再遇到这类问题，不管它以何形式或面目出现，你总不会感到陌生、感到无从下

手了，这对于各种考试（不仅仅是考研）来讲，还有何愁？

我们再从另一角度看看一道考研不等式问题演化的历程．全国硕士研究生入学考试１９９３年数学（二）试卷中有这样一道题目：

问题１：设函数ｆ（ｘ）在［０，ａ］上有连续导数，且ｆ（０）＝０．试证∫ａ

ｂｆ（ｘ）ｄｘ ≤Ｍａ

２

２，这里Ｍ＝

ｍａｘ０≤ｘ≤ａ

｜ｆ′（ｘ）｜．（１９９３②）

它的证明不很难，比如有下面证法：

证１： 任取ｘ∈（０，ａ］，由微分中值定理

ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ′（ξ）ｘ，ξ∈（０，ｘ）．又由ｆ（０）＝０，则ｆ（ｘ）＝ｆ′（ξ）ｘ，ｘ∈（０，ｘ）．故

历年考研数学试题详解·数学（四）０－１０

∫ａ

０ｆ（ｘ）ｄｘ ＝∫

ａ

０ｆ′（ξ）ｘｄｘ ≤∫

ａ

０ｆ′（ξ）ｘｄｘ≤Ｍ∫

ａ

０ｘｄｘ＝Ｍ２ａ

２．

证２： 设ｘ∈（０，ａ］，由ｆ（０）＝０，知

∫ｘ

０ｆ′（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（ｘ）．

令Ｍ ＝ ｍａｘ０≤ｘ≤ａ

｜ｆ′（ｘ）｜，由积分性质及题设有

ｆ（ｘ）＝∫ｘ

０ｆ′（ｔ）ｄｔ ≤∫

ｘ

０ｆ′（ｔ）ｄｔ≤Ｍ∫

ｘ

０Ｍｄｔ＝Ｍｔ，

故 ｆ（ｘ）＝∫ｘ

０ｆ′（ｔ）ｄｔ ≤∫

ｘ

０ｆ′（ｔ）ｄｔ≤∫

ａ

０Ｍｘｄｘ＝Ｍ２ａ

２．

该问题其实只是下面一个较为经典问题的特例而已，这个问题是：

问题２：设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，且ｆ（ａ）＝０．试证

２（ｂ－ａ）２∫

ｂ

ａｆ（ｘ）ｄｘ ≤ｍａｘ

ｘ∈［ａ，ｂ］ｆ′（ｘ）．

仿照上面的解法不难证得该问题．下面再给出一个较为新颖的证法：

证： 由积分性质且注意到ｆ（ａ）＝０有∫ｂ

ａｆ（ｘ）ｄｘ＝∫

ｂ

ａｄｘ∫

ｘ

０ｆ′（ｔ）ｄｔ，ａ≤ｘ≤ｂ．

故 ∫ｂ

ａｆ（ｘ）ｄｘ ＝∫

ｂ

ａ∫ｘ

ａｆ′（ｔ）ｄｔｄｘ ≤∫

ｂ

ａ∫ｘ

ａｆ′（ｔ）ｄｔｄｘ

≤ ｍａｘｘ∈［ａ，ｂ］

ｆ′（ｘ）∫ｂ

ａ（ｘ－ａ）ｄｘ

＝ ｍａｘｘ∈［ａ，ｂ］

ｆ′（ｘ）·（ｘ－ａ）２

２ｂ

ａ

＝ ｍａｘｘ∈［ａ，ｂ］

ｆ′（ｘ）·（ｂ－ａ）２

２ ．即要证不等式成立．与题２类似的问题还有：

问题３：设ｆ（ｘ）的一阶导数在［ａ，ｂ］上连续，且ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝０，则

ｍａｘｘ∈［ａ，ｂ］

ｆ′（ｘ）≥ ４（ｂ－ａ）２∫

ｂ

ａ｜ｆ（ｘ）｜ｄｘ．

这里题目的条件中多了一个ｆ（ｂ）＝０的条件，如此一来它的结论稍有加强．证： 若ｘ∈（ａ，ｂ），在［ａ，ｘ］及［ｘ，ｂ］上对ｆ（ｘ）应用Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理有

ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）＝ｆ′（ξ１）（ｘ－ａ），ａ＜ξ１＜ｘ， ①ｆ（ｘ）－ｆ（ｂ）＝ｆ′（ξ２）（ｘ－ｂ），ａ＜ξ２＜ｂ， ②

又 ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝０，由ｆ′（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，故｜ｆ′（ｘ）｜在［ａ，ｂ］上亦连续，则｜ｆ′（ｘ）｜必有最大值Ｍ，即

｜ｆ′（ｘ）｜≤ ｍａｘａ≤ｘ≤ｂ

｜ｆ′（ｘ）｜＝Ｍ．再由式①，②有｜ｆ′（ｘ）｜≤Ｍ（ｘ－ａ），｜ｆ′（ｘ）｜≤Ｍ（ｂ－ｘ）．

故 ４（ｂ－ａ）２∫

ｂ

ａ｜ｆ′（ｘ）｜ｄｘ＝ ４

（ｂ－ａ）４∫ａ＋ｂ２

ａ｜ｆ（ｘ）｜ｄｘ＋∫

ｂ

ａ＋ｂ２｜ｆ（ｘ）｜ｄ［ ］ｘ

≤ ４（ｂ－ａ）２∫

ａ＋ｂ２

ａＭ（ｘ－ａ）ｄｘ＋∫

ｂ

ａ＋ｂ２Ｍ（ｂ－ｘ）ｄ［ ］ｘ

前 言 ０－１１

＝ ４Ｍ（ｂ－ａ）２

１２ａ＋ｂ２ －（ ）ａ

２＋１２ ｂ－

ａ＋ｂ（ ）２［ ］２

＝Ｍ ＝ ｍａｘａ≤ｘ≤ｂ

｜ｆ′（ｘ）｜．当然它（问题３）的特例情形是：

问题４：设函数ｆ（ｘ）的一阶导数在［０，１］上连续，且ｆ（０）＝ｆ（１）＝０．试证明

∫１

０ｆ（ｘ）ｄｘ ≤１４ ｍａｘ

ｘ∈［０，１］｜ｆ′（ｘ）｜．

证： 对于积分计算可先凑微分，再用分部积分，这样可有

∫１

０ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫

１

０ｆ（ｘ）ｄｘ－（ ）１２ ＝ ｘ－（ ）１２ ｆ（ｘ［ ］）

１

０－∫

１

０ｆ′（ｘ）ｘ－（ ）１２ ｄｘ

＝－∫１

０ｆ′（ｘ）ｘ－（ ）１２ ｄｘ，

而 ∫１

０ｆ（ｘ）ｄｘ ≤ ｍａｘ

ｘ∈［０，１］｜ｆ′（ｘ）｜∫

１

０ｘ－１２ ｄｘ

＝ ｍａｘｘ∈［０，１］

｜ｆ′（ｘ）｜∫１２

０

１２－（ ）ｘｄｘ＋∫

１

１２ｘ－（ ）１２ ｄ｛ ｝ｘ

＝１４ ｍａｘｘ∈［０，１］

｜ｆ′（ｘ）｜，

故 ∫１

０ｆ（ｘ）ｄｘ ≤１４ ｍａｘ

ｘ∈［０，１］ｆ′（ｘ）．

问题３的另外变形是一道原苏联大学生数学竞赛题：

问题５：函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上有二阶导数，又ｆ′（ａ）＝ｆ′（ｂ）＝０．试证在（ａ，ｂ）内至少存在一点

ξ满足 ｆ″（ξ）≥ ４（ｂ－ａ）２ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）．

证： 由ｆ（ｘ）在ｃ＝ａ＋ｂ２点Ｔａｙｌｏｒ展开且注意到ｆ′（ａ）＝０，可有

ｆ（ｃ）＝ｆ（ａ）＋ｆ′（ａ）·（ｃ－ａ）＋ｆ″（ξ１）２

（ｃ－ａ）２

＝ｆ（ａ）＋ｆ″（ξ１）８

（ｂ－ａ）２ （ａ＜ξ１＜ｃ），

又 ｆ（ｃ）＝ｆ（ｂ）＋ｆ′（ｂ）·（ｃ－ｂ）＋ｆ″（ξ２）２

（ｂ－ａ）２

＝ｆ（ｂ）＋ｆ″（ξ２）８

（ｂ－ａ）２ （ｃ＜ξ２＜ｂ），

故 ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝１２（ｂ－ａ）２ｆ″（ξ２）－ｆ″（ξ１）

≤１８（ｂ－ａ）２［ｆ″（ξ２）＋ ｆ″（ξ１） ］

≤１４（ｂ－ａ）２ｆ″（ξ） ，

即 ｆ″（ξ）≥ ４（ｂ－ａ）２ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）．

其中 ｆ″（ξ）＝ｍａｘ｛ｆ″（ξ１） ，ｆ″（ξ２）｝．问题６：设函数ｆ（ｘ）的二阶导数连续，且ｆ（０）＝ｆ（１）＝０，又 ｍｉｎ

ｘ∈［０，１］ｆ（ｘ）＝－１，试证

历年考研数学试题详解·数学（四）０－１２

ｍａｘｘ∈［０，１］

ｆ″（ｘ）≥８．证： 设ｆ（ｘ）在ａ处取得最小值，显然ａ∈（０，１）．则 ｆ′（ａ）＝０，ｆ（ａ）＝－１．依Ｔａｙｌｏｒ公式有（式中ξ在ｘ，ａ之间）

ｆ（ｘ）＝ｆ（ａ）＋ｆ′（ａ）（ｘ－ａ）＋１２！ｆ″（ξ）（ｘ－ａ）２＝－１＋１２ｆ″（ξ）（ｘ－ａ）２．

因 ｆ（０）＝ｆ（１）＝０， 故 当ｘ＝０，ｘ＝１时：

０＝－１＋ｆ″（ξ１）·ａ２２

，ｆ″（ξ１）＝２ａ２．

０＝－１＋ｆ″（ξ２）·１２

（１－ａ）２，ｆ″（ξ２）＝２

（１－ａ）２．

故 ａ＜１２时，ｆ″（ξ１）＞８；ａ≥１２

时，ｆ″（ξ２）≥８．即知 ｍａｘｘ∈［０，１］

ｆ″（ｘ）≥８．注： 下面的问题是本例的变形或对偶问题：

设函数ｆ（ｘ）的二阶导数连续，且ｆ（０）＝ｆ（１）＝０，又 ｍａｘｘ∈［０，１１］

ｆ（ｘ）＝２．试证 ｍｉｎｘ∈［０，１］

ｆ″（ｘ）≤－１６．

问题３的另外变形或引申可见（它曾作为北方交通大学１９９４年大学生数学竞赛题）：

问题７：若ｆ（ｘ）在［０，１］上有二阶连续导数，且ｆ（０）＝ｆ（１）＝０．又ｘ∈（０，１）时ｆ（ｘ）≠０．试证

∫１

０

ｆ″（ｘ）

ｆ（ｘ）ｄｘ≥４．

证： 记Ｍ＝ ｆ（ｘ０）＝ｍａｘ０≤ｘ≤１

ｆ（ｘ） ，在区间［０，ｘ０］和［ｘ０，１］上分别对ｆ（ｘ）使用微分中值定

理，有

ｆ（ｘ０）＝ｆ′（ξ１）ｘ０，０＜ξ１＜ｘ０，

及 －ｆ（ｘ０）＝ｆ′（ξ２）（１－ｘ０），ｘ０＜ξ２＜１．

则 ∫１

０

ｆ″（ｘ）

ｆ（ｘ）ｄｘ≥∫１

０

ｆ″（ｘ）

Ｍ ｄｘ＝ １Ｍ∫

ｘ０

０ｆ″（ｘ）ｄｘ＋∫

１

ｘ０ｆ″（ｘ）ｄ［ ］ｘ

≥ １Ｍ∫

ξ２

２ξ１ｆ″（ｘ）ｄｘ ＝４．

作为 ｍａｘａ≤ｘ≤ｂ

ｆ′（ｘ） 下界的对偶问题可有（它是上海交通大学１９９１年大学生数学竞赛题）：

问题８：设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上有连续导数，试证 １ｂ－ａ∫

ｂ

ａｆ（ｘ）ｄｘ ＋∫

ｂ

ａｆ′（ｘ）ｄｘ≥ｍａｘ

ａ≤ｘ≤ｂ

ｆ（ｘ）．证：由设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，故 ｆ（ｘ） 在［ａ，ｂ］上也连续，从而有ｘ０∈［ａ，ｂ］，使

ｆ（ｘ０）＝ｍａｘａ≤ｘ≤ｂ

ｆ（ｘ）．

又由积分中值定理有 １ｂ－ａ∫

ｂ

ａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ），ξ∈［ａ，ｂ］，故

１ｂ－ａ∫

ｂ

ａｆ（ｘ）ｄｘ ＋∫

ｂ

ａｆ′（ｘ）ｄｘ＝ ｆ（ξ）＋∫

ｂ

ａｆ′（ｘ）ｄｘ

≥ ｆ（ξ）＋∫ｘ０

ξｆ′（ｘ）ｄｘ ＝ ｆ（ξ）＋ ｆ（ｘ０）－ｆ（ξ）

≥ ｆ（ξ）－ｆ（ｘ０）－ｆ（ξ）＝ ｆ（ｘ０）＝ ｍａｘａ≤ｘ≤ｂ

ｆ（ｘ）．当然问题还可写如：

前 言 ０－１３

ｍａｘａ≤ｘ≤ｂ

ｆ′（ｘ）≤ ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）

ｂ－ａ ＋∫ｂ

ａｆ′（ｘ）ｄｘ，

只须注意到∫ｂ

ａｆ′（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）即可．

这样与题２结合可有不等式（注意到ｆ（ａ）＝０）：

２（ｂ－ａ）２∫

ｂ

ａｆ（ｘ）ｄｘ ≤ｍａｘ

ａ≤ｘ≤ｂｆ′（ｘ）≤ ｆ

（ｂ）

ｂ－ａ ＋∫ｂ

ａｆ′（ｘ）ｄｘ．

作为题８的特例或引申便是研究生入学考试１９９６数学（一）的题目：

问题９：设ｆ（ｘ）在［０，１］上具有二阶导数，且满足条件｜ｆ（ｘ）｜≤ａ，｜ｆ″（ｘ）｜≤ｂ，其中ａ，ｂ都是

非负常数，ｃ是（０，１）内任意一点．证明｜ｆ′（ｃ）｜≤２ａ＋ｂ２．（１９９６①）

证： 由上面一阶泰勒公式，分别令ｘ＝０和ｘ＝１，则有

ｆ（０）＝ｆ（ｃ）－ｆ′（ｃ）ｃ＋ｆ″（ξ１）２！ｃ

２，０＜ξ１＜ｃ＜１，

ｆ（１）＝ｆ（ｃ）＋ｆ′（ｃ）（１－ｃ）＋ｆ″（ξ２）２！

（１－ｃ）２，０＜ｃ＜ξ２＜１．

两式相减得

ｆ（１）－ｆ（０）＝ｆ′（ｃ）＋１２！［ｆ″（ξ２）（１－ｃ）２＋ｆ″（ξ１）ｃ２］．

因此 ｜ｆ′（ｃ）｜≤｜ｆ（１）｜＋｜ｆ（０）｜＋１２｜ｆ″（ξ２）｜（１－ｃ）２＋１２｜ｆ″

（ξ１）｜ｃ２

≤ａ＋ａ＋ｂ２［（１－ｃ）２＋ｃ２］．

又因ｃ∈（０，１），有 （１－ｃ）２＋ｃ２≤１，故｜ｆ′（ｃ）｜≤２ａ＋ｂ２．由上我们已经看出这些问题间的内在联系：

问题４↑特 例

问题３

↓引 申

问题７

问题１１９９３年数（二）试题

↑↓

特 例 推 广

←引申

问题２ →变形

↓引申 对偶

问题８↑特例 引申

问题９１９９６年数（一）试题

问题５↑特 例

问题６

搞清这些问题之间的关联，从中不仅可以学会掌握解这类问题的方法，更重要的可以看清这些

问题彼此间是如何联系及转化的，如前所言解数学问题就是将未知转化为已知的过程．此外弄清这

些关系，也可看透拟题者的匠心与立意，因为特例、推广、引申和对偶也是拟造数学命题的重要手段

和方法．

历年考研数学试题详解·数学（四）０－１４

本书由北京文登学校《历年考研数学试题详解》编写组专家编写，执笔为吴振奎教授。在编写

过程中参阅了陈文灯教授等专家的大量文献，北京文登学校也提供了极为宝贵的资料，谨在此向其

致以谢意．

编 者

于２００５年３月

前 言 ０－１５

解题步骤的一个框图

已 知 是 什 么？

↓结论（要证或要求解的）是什么？

↓是否曾见过同类问题？

↓根据题目条件选择方法

［分析法？综合法？归纳法（数学

归纳法）？反证法？⋯］

↓拟 定 解 题 方 案

↓成 功 否？

↓回 顾 与 总 结

↓解题过程可否简化？

（有无重复论证？有无多余步骤？

有无复杂而不必要的推理或计算？

⋯）

↓有 无 别 的 解 法？

↓命题条件能否减弱？

结论能否改进、加强与拓广？

→否

←是

推导过程有无错误？

↓题设条件使用有无遗漏？

（包括题中蕴含的条件）

↓方法是否恰当？

↓再 拟 方 案

历年考研数学试题详解·数学（四）０－１６

一、全国硕士研究生招生考试

数学（四）试题部分

１９８７年试题

一、判断是非题（本题共５个小题，每小题２分，满分１０分）

（１）极限ｌｉｍｘ→０ｅ１ｘ＝∞． （ ）

（２）若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内严格单调增加，则ｘ∈（ａ，ｂ）时，总有ｆ′（ｘ）＞０． （ ）

（３）积分∫π

－πｘ４ｓｉｎｄｘ＝０． （ ）

（４）设Ａ为ｎ阶方阵，ｋ为常数，则｜ｋＡ｜＝ｋ｜Ａ｜． （ ）

（５）连续型随机变量取任何给定值的概率均为０． （ ）

二、选择题（本题共５个小题，每小题２分，满分１０分）

（１）函数在其定义域连续的是 （ ）

（Ａ）ｆ（ｘ）＝１ｘ（Ｂ）ｆ（ｘ）＝

ｓｉｎｘ，ｘ≤０，

ｃｏｓｘ，ｘ＞０｛ ．

（Ｃ）ｆ（ｘ）＝ｘ＋１，ｘ＜０，

０， ｘ＝０，

ｘ－１，ｘ＞０烅烄

烆 ．

（Ｄ）ｆ（ｘ）＝１ｘ

，ｘ≠０，

０， ｘ＝０烅烄

烆 ．（２）若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内可导且ａ＜ｘ１＜ｘ２＜ｂ，则至少存在一点ξ，使得

（Ａ）ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ′（ξ）（ｂ－ａ），（ａ＜ξ＜ｂ）

（Ｂ）ｆ（ｂ）－ｆ（ｘ１）＝ｆ′（ξ）（ｂ－ｘ１），（ｘ１＜ξ＜ｂ）

（Ｃ）ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）＝ｆ′（ξ）（ｘ２－ｘ１），（ｘ１＜ξ＜ｘ２）（Ｄ）ｆ（ｘ２）－ｆ（ａ）＝ｆ′（ξ）（ｘ２－ａ），（ａ＜ξ＜ｘ２）（３）下列广义积分收敛的是 （ ）

（Ａ）∫＋∞

ｅ

ｌｎｘｘｄｘ

（Ｂ）∫＋∞

ｅ

１ｘｌｎｘｄｘ

（Ｃ）∫＋∞

ｅ

１ｘ（ｌｎｘ）２ｄｘ （Ｄ）∫

＋∞

ｅ

１ｘ ｌｎ槡 ｘ

ｄｘ

（４）设ｎ阶方阵Ａ的秩ｒ（Ａ）＜ｎ，则在Ａ的ｎ个行量中 （ ）

（Ａ）必有ｒ个行向量线性无关

（Ｂ）任意ｒ个行向量均可构成极大无关组

（Ｃ）任意ｒ个行向量均线性关组

（Ｄ）任一个行向量均可由其他ｒ个行向量线性表示

（５）设Ａ，Ｂ为两个事件，则Ｐ（Ａ－Ｂ）等于 （ ）

（Ａ）Ｐ（Ａ）－Ｐ（Ｂ） （Ｂ）Ｐ（Ａ）－Ｐ（Ｂ）＋Ｐ（ＡＢ）

（Ｃ）Ｐ（Ａ）－Ｐ（ＡＢ） （Ｄ）Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）

１－１

１

三、（本题满分４分）设ｙ＝ｌｎ １＋ｘ槡 ２－１１＋ｘ槡 ２＋１

，求ｙ′．

四、（本题满分４分）求极限 ｌｉｍｘ→＋∞

ｌｎ１＋１（ ）ｘａｒｃｃｏｔｘ ．

五、（本题满分４分）求不定积分∫ ｘｘ４＋２ｘ２＋５

ｄｘ．

六、（本题满分４分）计算定积分∫１

１２ｅ２ｘ－槡 １ｄｘ．

七、（本题满分８分）设某产品的成本函数Ｃ（ｘ）＝４００＋３ｘ＋１２ｘ２，而需求函数ｐ＝１００

槡ｘ，

其中ｘ为产量（假定等于需求量），ｐ为价格．试求（１）边际成本；（２）边际收益；（３）边际利润；

（４）收益的价格弹性．八、（本题满分８分）考虑函数ｙ＝ｘ２，其中０≤ｘ≤１（如

右图）．问（１）ｔ取何值时，图中阴影部分的面积Ｓ１ 与Ｓ２ 之和

Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２最小？

（２）ｔ取何值时，面积Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２最大？

九、（本题满分４分）若ｚ＝ａｒｃｔａｎｘ＋ｙｘ－ｙ，求ｄｚ．

十、（本题满分５分）计算二重积分Ｉ＝Ｄ

ｅｘ２

ｄｘｄｙ，其中Ｄ是第一象限中由直线ｙ＝ｘ和

曲线ｙ＝ｘ３所围成的封闭区域．十一、（本题满分７分）设矩阵Ａ和Ｂ满足关系式ＡＢ＝Ａ＋２Ｂ，其中

Ａ＝４ ２ ３１ １ ０

烄

烆

烌

烎－１ ２ ３

，

求矩阵Ｂ．十二、（本题满分７分）解线性方程组

２ｘ１－ｘ２＋４ｘ３－３ｘ４＝－４，

ｘ１＋ ｘ３ －ｘ４＝－３，

３ｘ１＋ｘ２＋ ｘ３ ＝１，

７ｘ１＋ ７ｘ３－３ｘ４＝３

烅

烄

烆 ．十三、（本题满分６分）求矩阵

Ａ＝－３ －１ ２０ －１ ４

烄

烆

烌

烎－１ ０ １的实特征值及对应的特征向量．

十四、（本题满分６分）假设有两箱同种零件：第一箱内装５０件，其中１０件一等品；第二

箱内装３０件，其中１８件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取两个零

历年考研数学试题详解·数学（四）１－２

件（取出的零件均不放回）．试求

（１）先取出的零件是一等品的概率ｐ；

（２）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率ｑ．十五、（本题满分８分）已知离散型随机变量Ｘ的概率分布为：

Ｐ｛Ｘ＝１｝＝０．２，Ｐ｛Ｘ＝２｝＝０．３，Ｐ｛Ｘ＝３｝＝０．５．（１）写出Ｘ的分布函数Ｆ（ｘ）；（２）求Ｘ的数学期望和方差．

１９８８年试题

一、判断是非题（本题共５个小题，每小题２分，满分１０分）

（１）若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）与ｌｉｍ

ｘ→ｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）均存在，则ｌｉｍ

ｘ→ｘ０ｇ（ｘ）必存在． （ ）

（２）若函数ｆ（ｘ）的极点是ｘ０，则必有ｆ′（ｘ０）＝０． （ ）

（３）对任意实数ａ，等式∫ａ

０ｆ（ｘ）ｄｘ＝－∫

ａ

０ｆ（ａ－ｘ）ｄｘ总成立． （ ）

（４）若Ａ与Ｂ均为ｎ阶非零方阵，且ＡＢ＝Ｏ，则秩ｒ（Ａ）＜ｎ． （ ）

（５）若事件Ａ、Ｂ、Ｃ满足等式Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｃ，则Ａ＝Ｂ． （ ）

二、填空题（本题共４个小题，每小题２分，满分８分）

（１）已知函数ｆ（ｘ）＝∫ｘ

０ｅ－ｔ２

２ｄｔ，－∞＜ｘ＜＋∞，则

①ｆ′（ｘ）＝ ；

②ｆ（ｘ）的单调性： ；

③ｆ（ｘ）的奇偶性： ；

④ｆ（ｘ）的图形的拐点： ；

⑤ｆ（ｘ）的图形的凹、凸性（凹凸区间）： ；

⑥ｆ（ｘ）的图形的水平渐近线： ．

（２）行列式Ｄ＝

１ １ １ ０１ １ ０ １１ ０ １ １０ １ １ １

＝ ．

（３）若矩阵Ａ＝

０ ０ ０ １０ ０ １ ００ １ ０ ０

烄

烆

烌

烎１ ０ ０ ０

，则Ａ－１＝ ．

（４）假设Ｐ（Ａ）＝０．４，Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝０．７，则若Ａ与Ｂ互不相容，则Ｐ（Ｂ）＝ ；若Ａ与Ｂ相互独立，则Ｐ（Ｂ）＝ ．

三、（本题满分６分）确定常数ａ和ｂ，使函数

ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ，ｘ＞１，

ｘ２， ｘ≤１烅烄烆 ．

在（＋∞，－∞）内处处可导．

四、（本题满分４分）求极限ｌｉｍｘ→１

（１－ｘ２）ｔａｎπ２ｘ．

１９８８年试题 １－３

１

五、（本题满分８分）将长为ａ的铁丝切成两段．一段围成正方形，另一段围成圆形，问这

两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？

六、（本题满分４分）求定积分∫３

０

ｄｘ（１＋ｘ）槡ｘ

．

七、（本题满分４分）已知ｕ＝ｅｘｙ，求

２ｕｘｙ．

八、（本题满分４分）求二重积分∫π６

０ｄｙ∫

π６

ｙ

ｃｏｓｘｘ ｄｘ．

九、（本题满分８分）在曲线ｙ＝ｘ２（ｘ≥０）上某点Ａ处作一切线，使之与曲线以及Ｏｘ轴

所围图形的面积为１１２

，试求（１）切点Ａ的坐标；（２）过切点Ａ的切线方程；（３）由上述所围平面

图形绕Ｏｘ轴旋转一周所成旋转体的体积．十、（本题满分６分）已知ｎ阶方阵Ａ满足矩阵Ａ２－３Ａ－２Ｉ＝Ｏ，其中Ａ给定，而Ｉ是单

位矩阵．证明Ａ可逆，并求出其逆矩阵Ａ－１．十一、（本题满分６分）已知向量组α１、α２、αｓ（ｓ≥２）线性无关，设β１＝α１＋α２，β２＝α２＋

α３，⋯，βｓ－１＝αｘ－１＋αｓ，βｓ＝αｓ＋α１．试讨论向量组β１、β２、⋯、βｓ的线性相关性．十二、（本题满分６分）已知线性方程组

ｘ１ ＋ｘ２ ＋２ｘ３ ＋３ｘ４＝１，

ｘ１＋３ｘ２ ＋６ｘ３ ＋ｘ４＝３，

３ｘ１ －ｘ２－ｋ１ｘ３＋１５ｘ４＝３，

ｘ１－５ｘ２－１０ｘ３＋１２ｘ４＝ｋ２

烅

烄

烆 ．当ｋ１，ｋ２各取何值时，方程组无解？有惟一解？有无穷多解？在方程组有无穷多组解的情况

下，试求出一般解．十三、（本题满分６分）玻璃杯成箱出售，每箱２０只，假设各箱含０、１、２只残次品的概率

相应为０．８，０．１和０．１，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地

察看４只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回．试求

（１）顾客买下该箱的概率α；

（２）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率β．十四、（本题满分５分）假设随机变数Ｘ 在区间（１，２）上服从均匀分布，试求随机变量

Ｙ＝ｅ２Ｘ的概率密度ｆ（ｙ）．十五、（本题满分６分）假设有十只同种电器元件，其中有两只废品．装配仪器时，从这批

元件中任取一只，如是废品则扔掉重新任取一只；如仍是废品则扔掉再取一只．试求在取到正

品之前，已取出的废品只数的概率分布、数学期望和方差．

１９８９年试题

一、填空题（本题满分１５分，每小题３分）

（１）曲线ｙ＝ｘ＋ｓｉｎ２ｘ在点 π２

，１＋π（ ）２ 处的切线方程是 ．

（２）某商品的需求量Ｑ与价格ｐ的函数关系为Ｑ＝ａｐｂ，其中ａ和ｂ为常数，且ａ≠０，则

需求量价格ｐ的弹性是 ．

历年考研数学试题详解·数学（四）１－４

（３）行列式

１ －１ １ ｘ－１１ －１ ｘ＋１ －１１ ｘ－１ １ －１ｘ＋１ －１ １ －１

＝ ．

（４）设随机变量Ｘ１、Ｘ２、Ｘ３相互独立，其中Ｘ１在［０，６］上服从均匀分布，Ｘ２服从正态分

布Ｎ（０，２２），Ｘ３服从参数为３的泊松（Ｐｏｉｓｓｏｎ）分布，记Ｙ＝Ｘ１－２Ｘ２＋３Ｘ３，则ｙ的方差

Ｄ（Ｙ）＝ ．（５）设随机变量Ｘ的分布函数为

Ｆ（ｘ）＝０，

Ａｓｉｎｘ，

１烅烄

烆 ，

若ｘ＜０，

若０≤ｘ≤π／２，

若ｘ＞π／２．

则Ａ＝ ，Ｐ｛｜Ｘ｜＜π６｝＝ ．

二、选择题（本题满分１５分，每小题３分）

（１）设ｆ（ｘ）＝２ｘ＋３ｘ－２，则当ｘ→０时 （ ）

（Ａ）ｆ（ｘ）与ｘ是等阶无穷小量 （Ｂ）ｆ（ｘ）与ｘ同阶但非等价无穷小量

（Ｃ）ｆ（ｘ）是比ｘ较高阶的无穷小量 （Ｄ）ｆ（ｘ）是比ｘ较低阶的无穷小量

（２）在下列等式中，正确的结果是 （ ）

（Ａ）∫ｆ′（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ） （Ｂ）∫ｄｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）

（Ｃ）ｄｄｘ∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ） （Ｄ）ｄ∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）

（３）设Ａ为ｎ阶方阵且｜Ａ｜＝０，则 （ ）

（Ａ）Ａ中必有两行（列）的元素对应成比例

（Ｂ）Ａ中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合

（Ｃ）Ａ中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合

（Ｄ）Ａ中至少有一行（列）的元素全为０（４）设ｎ元齐次线性方程组Ａｘ＝０的系数矩阵Ａ的秩为ｒ，则Ａｘ＝０有非零解的充分必

要条件是 （ ）

（Ａ）ｒ＝ｎ （Ｂ）ｒ＞ｎ （Ｃ）ｒ≥ｎ （Ｄ）ｒ＞ｎ（５）以Ａ表示事件｛甲种产品畅销，乙种产品滞销｝，则其对立事件Ａ为

（Ａ）｛甲种产品滞销，乙种产品畅销｝ （Ｂ）｛甲、乙两种锄品均畅销｝

（Ｃ）｛甲种产品滞销｝ （Ｄ）｛甲种产品滞销或乙种产品畅销｝

三、计算题（本题满分２０分，每小题５分）

（１）求极限 ｌｉｍｘ→＋∞

（ｘ＋ｅｘ）１ｘ．

（２）已知ｚ＝ａ ｘ２－ｙ槡 ２

，其中ａ＞０，ａ≠１，求ｄｚ．

（３）求∫ｘ＋ｌｎ（１－ｘ）

ｘ２ ｄｘ．

１９８９年试题 １－５

１

（４）求二重积分Ｄ

１－ｘ２－ｙ２１＋ｘ２＋ｙ２

ｄｘｄｙ，其中Ｄ是ｘ２＋ｙ２＝１，ｘ＝０和ｙ＝０所围成的区

域在第一象限部分．四、（本题满分６分）已知某企业的总收入函数Ｒ＝２６ｘ－２ｘ２－４ｘ３，总成本函数Ｃ＝８ｘ

＋ｘ２，其中ｘ表示产品的产量，求利润函数、边际收入函数、边际成本函数，以及企业获得最大

利润时的产量和最大利润．

五、（本题满分１２分）已知函数ｙ＝ ２ｘ２（１－ｘ）２

，试求其单调区间，极值点及图形的凹凸性、

拐点和渐近线，并画出函数的图形．六、（本题满分５分）已知Ｘ＝ＡＸ＋Ｂ，其中

Ａ＝０ １ ０－１ １ １烄

烆

烌

烎－１ ０ －１

，Ｂ＝１ －１２ ０烄

烆

烌

烎５ －２

，

求矩阵Ｘ．七、（本题满分６分）讨论向量组

α１＝（１，１，０）， α２＝（１，３，－１）， α３＝（５，３，ｔ）

的线性相关性．八、（本题满分６分）设矩阵

Ａ＝－１ ２ ２２ －１ －２

烄

烆

烌

烎２ －２ －２．

（１）试求矩阵Ａ的特征值；

（２）利用（１）小题的结果，求矩阵Ｉ＋Ａ－１的特征值，其中Ｉ是三阶单位矩阵．九、（本题满分８分）已知随机变量Ｘ和Ｙ的联合概率分布为：

（ｘ，ｙ） （０，０） （０，１） （１，０） （１，１） （２，０） （２，１）

Ｐ｛Ｘ＝ｘ，Ｙ＝ｙ｝ ０．１０ ０．１５ ０．２５ ０．２０ ０．１５ ０．１５

试求（１）Ｘ的概率分布；

（２）Ｘ＋Ｙ的概率分布；

（３）Ｚ＝ｓｉｎπ（Ｘ＋Ｙ）

２的数学期望．

十、（本题满分８分）某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都

服从同一指数分布，分布密度为

ｆ（ｘ）＝１６００ｅ

－ｘ６００， 若ｘ＞０，

０， 若ｘ≤０烅烄

烆 ．试求在仪器使用的最初２００小时内，至少有一只电子元件损坏的概率α．

历年考研数学试题详解·数学（四）１－６

１９９０年试题

一、填空题（本题满分１５分，每小题３分）

（１）极限ｌｉｍｎ→∞

（ ｎ＋３槡槡 ｎ－ ｎ－槡槡 ｎ）＝ ．（２）设函数ｆ（ｘ）有连续的导函数，ｆ（０）＝０且ｆ′（０）＝ｂ，若函数

Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ａｓｉｎｘ

ｘ，

Ａ烅烄

烆 ，

ｘ≠０，

ｘ＝０．在ｘ＝０处连续，则常数Ａ＝ ．

（３）曲线ｙ＝ｘ２与直线ｙ＝ｘ＋２所围的平面图形的面积为 ．（４）若四元线性方程组

ｘ１＋ｘ２ ＝－ａ１，

ｘ２＋ｘ３ ＝ａ２，

ｘ３＋ｘ４＝－ａ３，

ｘ１ ＋ｘ４＝ａ４

烅

烄

烆 ．有解，则题设常数ａ１，ａ２，ａ３，ａ４应满足条件 ．

（５）已知随机变量Ｘ～Ｎ（－３，１），Ｙ～Ｎ（２，１），且Ｘ，Ｙ相互独立，设随机变量Ｚ＝Ｘ－２Ｙ＋７，则Ｚ～ ．

二、选择题（本题满分１５分，每小题３分）

（１）设函数ｆ（ｘ）＝ｘｔａｎｘ·ｅｓｉｎｘ，则ｆ（ｘ）是 （ ）

（Ａ）偶函数 （Ｂ）无界函数 （Ｃ）周期函数 （Ｄ）单调函数

（２）设函数ｆ（ｘ）对任意ｘ均满足等式ｆ（１＋ｘ）＝ａｆ（ｘ），且有ｆ′（０）＝ｂ，其中ａ，ｂ为非

零常数，则 （ ）

（Ａ）ｆ（ｘ）在ｘ＝１处不可导 （Ｂ）ｆ（ｘ）在ｘ＝１处可导，且ｆ′（１）＝ａ（Ｃ）ｆ（ｘ）在ｘ＝１处可导，且ｆ′（１）＝ｂ （Ｄ）ｆ（ｘ）在ｘ＝１处可导，且ｆ′（１）＝ａｂ（３）向量组α１，α２，⋯，αｓ线性无关的充分条件是 （ ）

（Ａ）α１，α２，⋯，αｓ均不为零向量

（Ｂ）α１，α２，⋯，αｓ中任意两个向量的分量成正比例

（Ｃ）α１，α２，⋯，αｓ中任意一个向量均不能由其余ｓ－１个向量线性表示

（Ｄ）α１，α２，⋯，αｓ中有一部分向量线性无关

（４）设Ａ是ｎ阶可逆矩阵，Ａ是Ａ的伴随矩阵，则 （ ）

（Ａ）｜Ａ｜＝｜Ａ｜－１ （Ｂ）｜Ａ｜＝｜Ａ｜ （Ｃ）｜Ａ｜＝｜Ａ｜ｎ （Ｄ）｜Ａ｜＝｜Ａ－１｜（５）已知随机变量Ｘ服从二项分布，且Ｅ（Ｘ）＝２．４，Ｄ（Ｘ）＝１．４４，则二项分布的参数ｎ，

ｐ的值为 （ ）

（Ａ）ｎ＝４，ｐ＝０．６ （Ｂ）ｎ＝６，ｐ＝０．４（Ｃ）ｎ＝８，ｐ＝０．３ （Ｄ）ｎ＝２４，ｐ＝０．１三、计算题（本题满分２０分，每小题５分）

１９９０年试题 １－７

１

（１）求极限ｌｉｍｘ→∞

１ｘ∫

ｘ

０（１＋ｔ２）ｅｔ

２－ｘ

２

ｄｔ．

（２）求不定积分∫ｘｃｏｓ４ｘ２ｓｉｎ３ｘ ｄｘ．

（３）设ｘ２＋ｚ２＝ｙφｚ（ ）ｙ ，其中φ为可微函数，求ｚ

ｙ．

（４）计算二重积分Ｄ

ｘｅ－ｙ２

ｄｘｄｙ，其中Ｄ是曲线ｙ＝４ｘ２和ｙ＝９ｘ２在第一象限所围成的

区域．四、（本题满分９分）某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统

计资料，销售收入Ｒ（万元）与电台广告费用ｘ１（万元）及报纸广告费用ｘ２（万元）之间的关系

有如下经验公式：

Ｒ＝１５＋１４ｘ１＋３２ｘ２－８ｘ１ｘ２－２ｘ２１－１０ｘ２２．（１）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；

（２）若提供的广告费用为１５万元，求相应的最优广告策略．五、（本题满分６分）证明不等式

１＋ｘｌｎ（ｘ＋ １＋ｘ槡 ２）≥ １＋ｘ槡 ２，－∞＜ｘ＜＋∞．六、（本题满分４分）设Ａ为１０×１０矩阵，

Ａ＝

０ １ ０ ⋯ ０ ００ ０ １ ⋯ ０ ０

０ ０ ０ ⋯ １ ００ ０ ０ ⋯ ０ １１０１０ ０ ０ ⋯

烄

烆

烌

烎０ ０

，

计算行列式｜Ａ－λＩ｜，其中Ｉ为１０阶单位矩阵，λ为常数．七、（本题满分４分）设方阵Ａ 满足条件ＡＴＡ＝Ｉ，其中ＡＴ是Ａ 的转置矩阵，Ｉ为单位

阵，试证明Ａ的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于１．八、（本题满分４分）已知线性方程组

ｘ１ ＋ｘ２ ＋ｘ３ ＋ｘ４ ＋ｘ５＝ａ，

３ｘ１＋２ｘ２ ＋ｘ３ ＋ｘ４－３ｘ５＝０，

ｘ２＋２ｘ３＋２ｘ４＋６ｘ５＝ｂ，

５ｘ１＋４ｘ２＋３ｘ３＋３ｘ４ －ｘ５＝２

烅

烄

烆 ．

（１）ａ，ｂ为何值时，方程组有解？

（２）方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系；

（３）方程组有解时，求出方程组的全部解．九、（本题满分５分）从０，１，２，⋯，９十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件

的概率：Ａ１＝｛三个数字中不含０与５｝；Ａ２＝｛三个数字中不含０或５（既不含０又不含５）｝；

Ａ３＝｛三个数字中含０但不含５｝．

历年考研数学试题详解·数学（四）１－８

十、（本题满分６分）甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为０．２，乙的命中

率为０．５，以Ｘ和Ｙ分别表示甲和乙的命中次数．试求Ｘ和Ｙ的联合概率分布．十一、（本题满分６分）

某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩７２分，９６分以上的占考生总数的２．３％，试求考生的外语成绩在６０分至８４分之间的概率．

附表 表中的Φ（ｘ）是标准正态分布函数

ｘ ０ ０．５ １．０ １．５ ２．０ ２．５ ３．０

Φ（ｘ） ０．５００ ０．６２９ ０．８４１ ０．９３３ ０．９７７ ０．９９４ ０．９９９

１９９１年试题

一、填空题（本题满分１５分，每小题３分）

（１）设ｚ＝ｅｓｉｎｘｙ，则ｄｚ＝ ．（２）设曲线ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ａｘ与ｇ（ｘ）＝ｂｘ２＋ｃ都通过点（－１，０），且在该点有公共切线，

则ａ＝ ；ｂ＝ ；ｃ＝ ．（３）设ｆ（ｘ）＝ｘｅｘ，则ｆ（ｎ）（ｘ）在点ｘ＝ 处取极小值 ．

（４）ｎ阶行列式Ｄｎ＝

ａ ｂ ０ ⋯ ０ ００ ａ ｂ ⋯ ０ ００ ０ ａ ⋯ ０ ０

０ ０ ０ ⋯ ａ ｂｂ ０ ０ ⋯ ０ ａ

＝ ．

（５）设Ａ，Ｂ为随机事件，Ｐ（Ａ）＝０．７，Ｐ（Ａ－Ｂ）＝０．３，则Ｐ（ＡＢ）＝ ．二、选择题（本题满分１５分，每小题３分；每小题都给出代号为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的四个结论，其

中只有一个是正确的，凡你认为正确的结论代号写在题后的圆括号内，每小题选对得３分，不

选或选错一律得０分）

（１）下列各式中正确的是 （ ）

（Ａ）ｌｉｍｘ→０＋

１＋１（ ）ｘｘ＝１ （Ｂ）ｌｉｍ

ｘ→０＋１＋１（ ）ｘ

ｘ＝ｅ

（Ｃ）ｌｉｍｘ→∞

１－１（ ）ｘｘ＝－ｅ （Ｄ）ｌｉｍ

ｘ→∞１＋１（ ）ｘ

－ｘ＝ｅ

（２）设数列的通项为

ｘｎ＝

ｎ２＋槡ｎｎ

，若ｎ为奇数，

１ｎ

， 若ｎ为偶数

烅

烄

烆 ．

则当ｎ→∞时，ｘｎ 是 （ ）

（Ａ）无穷大量 （Ｂ）无穷小量 （Ｃ）有界变量 （Ｄ）无界变量

（３）设Ａ，Ｂ为ｎ阶方阵，满足等式ＡＢ＝Ｏ，则必有 （ ）

（Ａ）Ａ＝Ｏ或Ｂ＝Ｏ （Ｂ）Ａ＋Ｂ＝Ｏ

１９９１年试题 １－９

１

（Ｃ）｜Ａ｜＝０或｜Ｂ｜＝０ （Ｄ）｜Ａ｜＋｜Ｂ｜＝０（４）设Ａ是ｍ×ｎ矩阵，Ａｘ＝０是非齐次线性方程组Ａｘ＝ｂ所对应的齐次线性方程组

（导出组），则下列结论正确的是 （ ）

（Ａ）若Ａｘ＝０仅有零解，则Ａｘ＝ｂ有惟一解

（Ｂ）若Ａｘ＝０有非零解，则Ａｘ＝ｂ有无穷多个解

（Ｃ）若Ａｘ＝ｂ有无穷多个解，则Ａｘ＝０仅有零解

（Ｄ）若Ａｘ＝ｂ有无穷多个解，则Ａｘ＝０有非零解

（５）设Ａ和Ｂ是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是

（Ａ）Ａ和Ｂ不相容 （Ｂ）Ａ与Ｂ相容

（Ｃ）Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ） （Ｄ）Ｐ（Ａ－Ｂ）＝Ｐ（Ａ）

三、（本题满分５分）求极限 ｌｉｍｘ→＋∞

（ｘ＋ １＋ｘ槡 ２）１ｘ．

四、（本题满分５分）求定积分Ｉ＝∫１

－１（２ｘ＋｜ｘ｜＋１）２ｄｘ．

五、（本题满分５分）求不定积分Ｉ＝∫ ｘ２１＋ｘ２

ａｒｃｔａｎｘｄｘ．

六、（本题满分５分）已知ｘｙ＝ｘｆ（ｚ）＋ｙｇ（ｚ），ｘｆ′（ｚ）＋ｙｇ′（ｘ）≠０，其中ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）是

ｘ和ｙ的函数，求证［ｘ－ｇ（ｚ）］ｚｘ＝

［ｙ－ｆ（ｚ）］ｚｙ．

七、（本题满分５分）假设曲线Ｌ１：ｙ＝１－ｘ２（０≤ｘ≤１），Ｏｘ轴和Ｏｙ轴所围成区域被曲

线Ｌ２：ｙ＝ａｘ２分为面积相等的两部分，其中ａ是大于零的常数，试确定ａ的值．八、（本题满分８分）某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为ｐ１和ｐ２，

销售量分别为ｑ１和ｑ２，需求函数分别为ｑ１＝２４－０２ｐ１和ｑ２＝１０－００５ｐ２，总成本函数为

Ｃ＝３５＋４０（ｑ１＋ｑ２），

试问厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少？

九、（本题满分６分）证明不等式ｌｎ１＋１（ ）ｘ ＞ １１＋ｘ

，这里０＜ｘ＜＋∞．十、（本题满分５分）设ｎ阶矩阵Ａ和Ｂ满足条件Ａ＋Ｂ＝ＡＢ．（１）试证矩阵Ａ－Ｉ可逆

（其中Ｉ为ｎ阶单位矩阵）；（２）若矩阵

Ｂ＝１ －３ ０２ １ ０烄

烆

烌

烎０ ０ ２

，

求矩阵Ａ．十一、（本题满分７分）设有三维列向量

α１＝（１＋λ，１，１）Ｔ，α２＝（１，１＋λ，１）Ｔ，α３＝（１，１，１＋λ）Ｔ，β＝（０，λ，λ２）Ｔ．问λ为何值时，

（１）β可由α１，α２，α３线性表示，且表达式惟一？

（２）β可由α１，α２，α３线性表示，但表达式不惟一？

（３）β不能由α１，α２，α３线性表示？

历年考研数学试题详解·数学（四）１－１０

十二、（本题满分７分）已知向量α＝（１，ｋ，１）Ｔ是矩阵Ａ＝２ １ １１ ２ １烄

烆

烌

烎１ １ ２

的逆矩阵Ａ－１的特

征向量，试求常数ｋ的值．十三、（本题满分７分）一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每

个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等．以Ｘ

表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数．（１）求Ｘ的概率分布；（２）求Ｅ １１＋（ ）Ｘ ．

十四、（本题满分７分）在电源电压不超过２００Ｖ、在２００Ｖ～２４０Ｖ和超过２４０Ｖ三种情况

下，某种电子元件损坏的概率分别为０．１，０．００１和０．２．假设电源电压Ｘ 服从正态分布

Ｎ（２２０，２５２）．试求

（１）该电子元件损坏的概率ａ；

（２）该电子元件损坏时，电源电压在２００Ｖ～２４０Ｖ的概率β．附表 表中Φ（ｘ）是标准正态分布函数

ｘ ０．１０ ０．２０ ０．４０ ０．６０ ０．８０ １．００ １．２０ １．４０

Φ（ｘ） ０．５３０ ０．５７９ ０．６５５ ０．７２６ ０．７８８ ０．８４１ ０．８８５ ０．９１９

１９９２年试题

一、填空题（本题共５个小题，每小题３分）

（１）设ｆ（ｔ）＝ｌｉｍｘ→∞ｔｘ＋ｔｘ－（ ）ｔ

ｘ，则ｆ′（ｔ）＝ ．

（２）设商品的需求函数为Ｑ＝１００－５ｐ，其中Ｑ，ｐ分别表示需求量和价格．如果商品需

求弹性的绝对值大于１，则商品价格的取值范围是 ．（３）已知ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ，又ｆ［φ（ｘ）］＝１－ｘ２，则φ（ｘ）＝ 的定义域为 ．

（４）矩阵Ａ＝

１ １ １ １１ １ １ １１ １ １ １

烄

烆

烌

烎１ １ １ １

的非零特征值是 ．

（５）设对于事件Ａ、Ｂ、Ｃ，有Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ｃ）＝１４，Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（ＢＣ）＝０，Ｐ（ＡＣ）＝

１８

，则Ａ，Ｂ，Ｃ三个事件至少出现一个的概率为 ．

二、选择题（本题共５个小题，每小题３分，满分１５分．在每小题给出的四个答选项中，只

有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（１）设Ｆ（ｘ）＝ ｘ２ｘ－ａ∫

ｘ

ａｆ（ｔ）ｄｔ，其中ｆ（ｘ）为连续函数，则ｌｉｍ

ｘ→ａＦ（ｘ）等于 （ ）

（Ａ）ａ２ （Ｂ）ａ２ｆ（ａ） （Ｃ）０ （Ｄ）不存在

（２）当ｘ→０时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量 （ ）

（Ａ）ｘ２ （Ｂ）１－ｃｏｓｘ （Ｃ） １－ｘ槡 ２－１ （Ｄ）ｘ－ｓｉｎｘ（３）设Ａ、Ｂ、Ａ＋Ｂ以及Ａ－１＋Ｂ－１均为ｎ阶可逆矩阵，则（Ａ－１＋Ｂ－１）－１等于 （ ）

１９９２年试题 １－１１

１

（Ａ）Ａ－１＋Ｂ－１ （Ｂ）Ａ＋Ｂ （Ｃ）Ａ（Ａ＋Ｂ）－１Ｂ （Ｄ）（Ａ＋Ｂ）－１

（４）设α１，α２，⋯，αｍ 均为ｎ维向量，那么下列结论正确的是 （ ）

（Ａ）若ｋ１α１＋ｋ２α２＋⋯＋ｋｍαｍ＝０，则α１，α２，⋯，αｍ 线性相关

（Ｂ）若对任意一组不全为零的数ｋ１，ｋ２，⋯，ｋｍ，都有ｋ１α１＋ｋ２α２＋⋯＋ｋｍαｍ≠０，则α１，

α２，⋯，αｍ 线性无关

（Ｃ）若α１，α２，⋯，αｍ 线性相关，则对任意一组不全为零的数ｋ１，ｋ２，⋯，ｋｍ，都有

ｋ１α１＋ｋ２α２＋⋯＋ｋｍαｍ＝０（Ｄ）若０α１＋０α２＋⋯＋０αｍ＝０，则α１，α２，⋯，αｍ 线性无关

（５）设当事件Ａ与Ｂ同时发生时，事件Ｃ必发生，则

（Ａ）Ｐ（Ｃ）≤Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－１ （Ｂ）Ｐ（Ｃ）≥Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－１（Ｃ）Ｐ（Ｃ）＝Ｐ（ＡＢ） （Ｄ）Ｐ（Ｃ）＝Ｐ（Ａ∪Ｂ）

三、（本题满分５分）求极限ｌｉｍｘ→１

ｌｎｃｏｓ（ｘ－１）

１－ｓｉｎπ２ｘ．

四、（本题满分５分）计算Ｉ＝∫ａｒｃｃｏｔ（ｅｘ）

ｅｘｄｘ．

五、（本题满分５分）求连续函数ｆ（ｘ），使它满足∫１

０ｆ（ｔｘ）ｄｔ＝ｆ（ｘ）＋ｘｓｉｎｘ．

六、（本题满分５分）设ｚ＝ｓｉｎ（ｘｙ）＋φ ｘ，ｘ（ ）ｙ ，其中函数φ（ｕ，ｖ）有二阶偏导数，

求２ｚ

ｘｙ．

七、（本题满分６分）设生产某产品的固定成本为１０，而产量为ｘ 的边际成本函数

ＭＣ＝４０－２０ｘ＋３ｘ２，边际收益函数为ＭＲ＝３２－１０ｘ．试求

（１）总利润函数；

（２）使总利润最大的产量．八、（本题满分６分）求证方程ｘ＋ｐ＋ｑｃｏｓｘ＝０恰有一个实根，其中ｐ，ｑ为常数，且

０＜ｑ＜１．

九、（本题满分８分）给定曲线ｙ＝１ｘ２，

（１）求曲线在横坐标为ｘ０的点处的切线方程；

（２）求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度．

十、（本题满分５分）设矩阵Ａ＝１ ０ １０ ２ ０烄

烆

烌

烎１ ０ １

，矩阵Ｘ满足ＡＸ＋Ｉ＝Ａ２＋Ｘ，其中Ｉ为三

阶单位矩阵，试求出矩阵．十一、（本题满分５分）已知三阶矩阵Ｂ≠Ｏ，且Ｂ的每一个列向量都是以下方程组的解：

ｘ１＋２ｘ２－２ｘ３＝０，

２ｘ１－ｘ２＋λｘ３＝０，

３ｘ１＋ｘ２ －ｘ３＝０烅烄

烆 ．即若方程组的系数矩阵为Ａ，有ＡＢ＝Ｏ．（１）求λ的值；（２）证明｜Ｂ｜＝０．

历年考研数学试题详解·数学（四）１－１２

十二、（本题满分６分）已知实数矩阵Ａ＝（ａｉｊ）３×３满足条件：ａｉｊ＝Ａｉｊ（ｉ，ｊ＝１，２，３），其中

Ａｉｊ是ａｉｊ的代数余子式；ａ１１≠０．计算行列式｜Ａ｜．十三、（本题满分７分）假设测量的随机误差Ｘ～Ｎ（０，１０２），试求在１００次独立重复测量

中，至少有三次测量误差的绝对值大于１９．６的概率α，并利用泊松分布求出α的近似值．（要

求小数点后取两位有效数字）

附表 某些ｅ－λ的值

λ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ⋯

ｅ－λ ０．３６８ ０．１３５ ０．０５０ ０．０１８ ０．００７ ０．００２ ０．００１ ⋯

十四、（本题满分７分）一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率

相应为０．１０，０．２０和０．３０．假设各部件的状态相互独立，以Ｘ表示同时需要调整的部件数，试

求Ｘ的概率分布，数学期望Ｅ（Ｘ）和方差Ｄ（Ｘ）．

１９９３年试题

一、填空题（本题共５个小题，每小题３分，满分１５分，把答案填在题中横线上）

（１）ｌｉｍｎ→∞

［ １＋２＋⋯＋槡 ｎ－ １＋２＋⋯＋（ｎ－１槡 ）］＝ ．

（２）已知ｙ＝ｆ３ｘ－２３ｘ（ ）＋２，ｆ′（ｘ）＝ａｒｃｓｉｎｘ２，则ｄｙ

ｄｘ ｘ＝０＝ ．

（３）∫ ｄｘ（２－ｘ） １－槡 ｘ

＝ ．

（４）设四阶方阵Ａ的秩为２，则其伴随矩阵Ａ的秩为 ．（５）设１０件产品中有４件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，则另

一件也是不合格品的概率为 ．二、选择题（本题共５个小题，每小题３分，满分１５分）

（１）设函数

ｆ（ｘ）＝｜ｘ槡 ｜ｓｉｎ１ｘ２

，ｘ≠０，

０， ｘ＝０烅烄

烆 ．则ｆ（ｘ）在ｘ＝０处 （ ）

（Ａ）极限不存在 （Ｂ）极限存在但不连续 （Ｃ）连续但不可导 （Ｄ）可导

（２）若设ｆ（ｘ）为连续函数，且Ｆ（ｘ）＝∫ｌｎｘ

１ｘｆ（ｔ）ｄｔ，则Ｆ′（ｘ）等于 （ ）

（Ａ）１ｘｆ

（ｌｎｘ）＋１ｘ２ｆ１（ ）ｘ （Ｂ）ｆ（ｌｎｘ）＋ｆ １（ ）ｘ

（Ｃ）１ｘｆ

（ｌｎｘ）－１ｘ２ｆ１（ ）ｘ （Ｄ）ｆ（ｌｎｘ）－ｆ １（ ）ｘ

（３）若α１，α２，α３，β１，β２都是四维列向量，且４阶行列式｜（α１，α２，α３，β１）｜＝ｍ，同时

｜（α１，α２，β２，α３）｜＝ｎ，则４阶行列式｜（α３，α２，α１，β１＋β２）｜等于 （ ）

（Ａ）ｍ＋ｎ （Ｂ）＝－（ｍ＋ｎ） （Ｃ）ｎ－ｍ （Ｄ）ｍ－ｎ

（４）设λ＝２是非奇异矩阵Ａ的一个特征值，则矩阵 １３Ａ（ ）２

－１有一特征值等于 （ ）

１９９３年试题 １－１３

１

（Ａ）４３

（Ｂ）３４

（Ｃ）１２

（Ｄ）１４

（５）随机变量Ｘ与Ｙ 均服从正态分布，且Ｘ～Ｎ（μ，４２），Ｙ～Ｎ（μ，５２），又ｐ１＝Ｐ｛Ｘ≤

μ－４｝，ｐ２＝Ｐ｛Ｘ≤μ＋５｝，则下列结论正确的是 （ ）

（Ａ）对任何实数μ，都有ｐ１＝ｐ２ （Ｂ）对任何实数μ，都有ｐ１＜ｐ２（Ｃ）只对μ的个别值，才有ｐ１＝ｐ２ （Ｄ）对任何实数μ，都有ｐ１＞ｐ２三、（本题满分５分）设ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）是由方程ｚ－ｙ－ｘ＋ｘｅｚ－ｙ－ｘ＝０所确定的二元函

数，求ｄｚ．

四、（本题满分７分）已知ｌｉｍｘ→∞

ｘ－ａｘ＋（ ）ａ

ｘ＝∫

＋∞

ａ４ｘ２ｅ－２ｘｄｘ，求常数ａ的值．

五、（本题满分７分）已知某厂生产ｘ件产品的成本Ｃ＝２５０００＋２００ｘ＋１４０ｘ２（元），问

（１）要使平均成本最小，应生产多少件产品？

（２）若产品以每件５００元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

六、（本题满分７分）设ｐ，ｑ是大于１的常数，且１ｐ＋

１ｑ＝１

，证明对任意ｘ＞１，有

１ｐｘ

ｐ＋１ｑ≥ｘ．

七、（本题满分７分）运用导数的知识作函数ｙ＝（ｘ＋６）ｅ１ｘ的图形．

八、（本题满分８分）已知三阶矩阵Ａ 的逆阵为Ａ－１＝１ １ １１ ２ １烄

烆

烌

烎１ １ ３

，试求Ａ 的伴随矩阵

Ａ的逆矩阵．九、（本题满分８分）设Ａ是ｍ×ｎ矩阵，Ｂ是ｎ×ｍ 矩阵，Ｉ是ｎ阶单位矩阵（ｍ＞ｎ）．

已知ＢＡ＝Ｉ．试判断Ａ的列向量是否线性相关？为什么？

十、（本题满分８分）设随机变量Ｘ和相互独立，且都在区间［１，３］上服从均匀分布，今引

进事件Ａ＝｛Ｘ≤ａ｝，Ｂ＝｛Ｙ＞ａ｝．

（１）若已知Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝７９，求常数ａ；

（２）求１Ｘ

的数学期望．十一、（本题满分８分）假设一大型设备在任何长为ｔ的时间内发生故障的次数Ｎ（ｔ）服

从参数为λ的泊松（Ｐｏｉｓｓｏｎ）分布．（１）求相继两次故障之间时间间隔Ｔ的概率分布；

（２）求在设备已无故障工作８小时的情形下，再无故障运行８小时的概率ｐ．

１９９４年试题

一、填空题（本题满分１５分，每小题３分）

（１）∫２

－２

ｘ＋｜ｘ｜２＋ｘ２

ｄｘ＝ ．

历年考研数学试题详解·数学（四）１－１４

（２）已知ｆ′（ｘ０）＝－１，则ｌｉｍｘ→０

ｘｆ（ｘ０－２ｘ）－ｆ（ｘ０－ｘ）＝ ．

（３）设方程ｅｘｙ＋ｙ２＝ｃｏｓｘ确定ｙ为ｘ的函数，则ｄｙｄｘ＝ ．

（４）设ａｉ≠０，其中ｉ＝１，２，⋯，ｎ，且矩阵

Ａ＝

０ ａ１ ０ ⋯ ００ ０ ａ２ ⋯ ０

０ ０ ０ ⋯ ａｎ－１ａｎ ０ ０ ⋯

烄

烆

烌

烎０

，

则Ａ－１＝ ．（５）假设一批产品中一、二、三等品各占６０％、３０％、１０％，从中随意取出一件，结果不是三

等品，则取到的是一等品的概率为 ．二、选择题（本题共５个小题，每小题３分，满分１５分）

（１）曲线ｙ＝ｅ１ｘ２ ａｒｃｔａｎ ｘ２＋ｘ－１

（ｘ＋１）（ｘ－２）的渐近线有 （ ）

（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条

（２）函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，且ｆ（ｘ）＞０，则方程

∫ｘ

０ｆ（ｔ）ｄｔ＋∫

ｘ

ｂ

１ｆ（ｔ）ｄｔ＝０

在区间（ａ，ｂ）内的根有 （ ）

（Ａ）０个 （Ｂ）１个 （Ｃ）２个 （Ｄ）无穷个

（３）设Ａ，Ｂ都是ｎ阶非零矩阵，且ＡＢ＝Ｏ，则Ａ和Ｂ的秩 （ ）

（Ａ）必有一个等于零 （Ｂ）都小于ｎ（Ｃ）一个小于ｎ，一个等于ｎ （Ｄ）都等于ｎ（４）向量组α１＝（１，－１，２，４），α２＝（０，３，１，２），α３＝（３，０，７，１４），α４＝（１，－２，２，０），

α５＝（２，１，５，１０）的极大线性无关组是 （ ）

（Ａ）α１，α２，α３ （Ｂ）α１，α２，α４ （Ｃ）α１，α２，α５ （Ｄ）α１，α２，α４，α５（５）设０＜Ｐ（Ａ）＜１，及０＜Ｐ（Ｂ）＜１，又Ｐ（Ａ｜Ｂ）＋Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝１，则

（Ａ）事件Ａ和Ｂ互不相容 （Ｂ）事件Ａ和Ｂ互相对立

（Ｃ）事件Ａ和Ｂ互不独立 （Ｄ）事件Ａ和Ｂ相互独立

三、（本题满分５分）求极限ｌｉｍｘ→∞

ｘ－ｘ２ｌｎ１＋１（ ）［ ］ｘ ．

四、（本题满分５分）已知ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ２ａｒｃｔａｎｙｘ－ｙ２ａｒｃｔａｎｘｙ

，求２ｆ

ｘｙ．

五、（本题满分６分）已知ｓｉｎｘｘ

是ｆ（ｘ）的一个原函数，求∫ｘ３ｆ′（ｘ）ｄｘ．六、（本题满分８分）某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养ｘ（万尾），乙种鱼放养ｙ（万尾），

收获时两种鱼的收获量分别为

（３－αｘ－βｙ）ｘ和（４－βｘ－２αｙ）ｙ （α＞β＞０），

１９９４年试题 １－１５

１

求使产鱼总量最大的放养数．七、（本题满分８分）已知曲线ｙ＝ 槡ａ ｘ（ａ＞０）与曲线ｙ＝ｌｎ槡ｘ在点（ｘ０，ｙ０）处有公共切

线，试求

（１）常数ａ及切点（ｘ０，ｙ０）；

（２）两曲线与Ｏｘ轴围成的平面图形的面积Ｓ．八、（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）可导，且

ｆ（０）＝０， Ｆ（ｘ）＝∫ｘ

０ｔｎ－１ｆ（ｘｎ－ｔ２）ｄｔ，

证明ｌｉｍｘ→０

Ｆ（ｘ）

ｘ２ｎ ＝１２ｎｆ′

（０）．

九、（本题满分８分）若α１，α２，α３是方程组Ａｘ＝０的一个基础解系，则α１＋α２，α２＋α３，

α３＋α１也是方程组的一个基础解系．

十、（本题满分８分）设Ａ＝０ ０ １ｘ １ ｙ烄

烆

烌

烎１ ０ ０

有三个线性无关的特征向量，求ｘ和ｙ应满足的

条件．十一、（本题满分７分）设随机变量Ｘ的概率密度为

ｆ（ｘ）＝２ｘ，

０｛ ，

０＜ｘ＜１，

其他．现对Ｘ进行ｎ次独立重复观测，以Ｖｎ 表示观测值不大于０．１的次数．试求随机变量Ｖｎ 的概

率分布．十二、（本题满分８分）假设由自动线加工的某种零件的内径Ｘ（毫米）服从正态分布

Ｎ（μ，１），内径小于１０或大于１２为不合格品，其余为合格品．销售每件合格品获利，销售每件

不合格品亏损，已知销售利润Ｔ（单位：元）与销售零件的内径Ｘ有如下关系：

Ｔ＝－１， 若Ｘ＜１０，

２０， 若１０≤Ｘ≤１２，

－５ 若Ｘ＞１２烅烄

烆 ．

问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

１９９５年试题

一、填空题（本题满分１５分，每小题３分）

（１）设ｌｉｍｘ→＋∞

１＋ｘ（ ）ｘａｘ＝∫

ａ

－∞ｔｅｔｄｔ，则常数ａ＝ ．

（２）设ｚ＝ｘｙｆｙ（ ）ｘ ，ｆ（ｕ）可导，则ｘｚ′ｘ＋ｙｚ′ｙ＝ ．

（３）设ｆ′（ｌｎｘ）＝１＋ｘ，则ｆ（ｘ）＝ ．

（４）设Ａ＝１ ０ ０２ ２ ０烄

烆

烌

烎３ ４ ５

，Ａ是Ａ的伴随矩阵，则（Ａ）－１＝ ．

历年考研数学试题详解·数学（四）１－１６

（５）设Ｘ是一个随机变量，其概率密度为

ｆ（ｘ）＝１＋ｘ，－１≤ｘ≤０，

１－ｘ，０＜ｘ≤１，

０， 其他

烅烄

烆 ．则方差Ｄ（Ｘ）＝ ．

二、选择题（本题共５个小题，每小题２分，满分１０分）

（１）设ｆ（ｘ）为可导函数，且满足条件ｌｉｍｘ→０

ｆ（１）－ｆ（１－ｘ）

２ｘ ＝－１，则曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点

（１，ｆ（１））处的切线斜率为 （ ）

（Ａ）２ （Ｂ）－１ （Ｃ）１２

（Ｄ）－２（２）下列反常（广义）积分发散的是 （ ）

（Ａ）∫１

－１

１ｓｉｎｘｄｘ

（Ｂ）∫１

－１

１１－ｘ槡 ２

ｄｘ （Ｃ）∫＋∞

０ｅ－ｘ

２

ｄｘ （Ｄ）∫＋∞

０

１ｘｌｎ２ｘｄｘ

（３）设ｎ维行向量α＝ １２

，０，⋯，０，（ ）１２ ，矩阵Ａ＝Ｉ－αＴα，又Ｂ＝Ｉ＋２αＴα，其中Ｉ为ｎ阶单位矩阵，则ＡＢ等于 （ ）

（Ａ）Ｏ （Ｂ）－Ｉ （Ｃ）Ｉ （Ｄ）Ｉ＋αＴα（４）设矩阵Ａ∈Ｒｍ×ｎ的秩为ｒ（Ａ）＝ｍ＜ｎ，又Ｉｍ 为ｍ 的阶单位矩阵，则下述结论中正

确的是 （ ）

（Ａ）Ａ的任意ｍ 个列向量必线性无关

（Ｂ）Ａ的任意一个ｍ 的阶子式不等于零

（Ｃ）Ａ通过初等行变换，必可以化为（ＩｍＯ）的形式

（Ｄ）非齐次线性方程组Ａｘ＝ｂ一定有无穷多解

（５）设随机变量Ｘ服从正态分布Ｎ（μ，σ２），则随σ的增大，概率Ｐ｛Ｘ－μ｜＜σ｝ （ ）

（Ａ）单调增大 （Ｂ）单调减少 （Ｃ）保持不变 （Ｄ）增减不定

三、（本题满分６分）设函数

ｆ（ｘ）＝

２ｘ２

（１－ｃｏｓｘ）， ｘ＜０，

１， ｘ＝０，

１ｘ∫

ｘ

０ｃｏｓｔ２ｄｔ， ｘ＞０

烅

烄

烆 ．

讨论ｆ（ｘ）在ｘ＝０处的连续性和可导性．

四、（本题满分６分）求不定积分∫（ａｒｃｓｉｎｘ）２ｄｘ．五、（本题满分７分）设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）在区间［－ａ，ａ］（ａ＞０）上连续，ｇ（ｘ）为偶函数，且

ｆ（ｘ）满足条件ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）＝Ａ（Ａ为常数）．

（１）证明∫ａ

－ａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝Ａ∫

ａ

０ｇ（ｘ）ｄｘ；

（２）利用（１）的结论计算定积分∫π２

－π２｜ｓｉｎｘ｜ａｒｃｔａｎｅｘｄｘ．

１９９５年试题 １－１７

１

六、（本题满分７分）设某产品的需求函数Ｑ＝Ｑ（ｐ），收益函数Ｒ＝ｐＱ，其中ｐ为产品

价格，Ｑ为需求量（产品的产量），Ｑ（ｐ）是单调减函数．如果当价格为ｐ０，对应产量为Ｑ０时，

边际收益ｄＲｄＱ Ｑ＝Ｑ０

＝ａ＞０，收益对价格的边际效应ｄＲｄｐ ｐ＝ｐ０

＝ｃ＜０，需求对价格的弹性Ｅｐ＝

ｂ＞１，求ｐ０和Ｑ０．七、（本题满分７分）设ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，证明在（ａ，ｂ）内至少

存在一点ξ，使

ｂｆ（ｂ）－ａｆ（ａ）

ｂ－ａ ＝ｆ（ξ）＋ξｆ′（ξ）．

八、（本题满分９分）求二元函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ２ｙ（４－ｘ－ｙ）在由直线ｘ＋ｙ＝６与Ｏｘ轴和Ｏｙ轴所围成的闭区域Ｄ上的极值、最大值与最小值．

九、（本题满分９分）λ为何值时，方程组

λｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝λ－３，

ｘ１＋λｘ２＋ｘ３＝－２，

ｘ１＋ｘ２＋λｘ３＝－２烅烄

烆 ．有惟一解、无解和无穷多组解？在方程组有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示全部解．

十、（本题满分９分）若３维向量

ａ１＝（１，２，２）Ｔ，ａ２＝（２，－２，１）Ｔ，ａ３＝（－２，－１，２）Ｔ，

又Ａ∈Ｒ３×３即为３阶矩阵，且 Ａａｋ＝ｋａｋ（ｋ＝１，２，３），试求矩阵Ａ．十一、（本题满分９分）假设一厂家生产的每台仪器，以概率０．７０可以直接出厂，以概率

０．３０需进一步调试．经调试后以概率０．８０可以出厂，以概率０．２０定为不合格品不能出厂．现该厂生产了ｎ（ｎ≥２）台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）．求（只列式子不算得数）

（１）全部能出厂的概率α；

（２）其中恰好有两件不能出厂的概率β；

（３）其中至少有两件不能出厂的概率γ．十二、（本题满分７分）假设随机变量Ｘ服从参数为２的指数分布，证明Ｙ＝１－ｅ－２Ｘ在

区间（０，１）上服从均匀分布．

１９９６年试题

一、填空题（本题共５个小题，每小题３分，满分１５分，把答案填在题中横线上）

（１）设方程ｘ＝ｙｙ确定ｙ是ｘ的函数，ｄｙ＝ ．

（２）设不定积分∫ｘｆ（ｘ）ｄｘ＝ａｒｃｓｉｎｘ＋Ｃ，则∫ １ｆ（ｘ）ｄｘ＝ ．

（３）设ｙ＝ｌｎ（ｘ＋ １＋ｘ槡 ２），则ｙ｜ｘ 槡＝３＝ ．

（４）五阶行列式Ｄ＝

１－ａ ａ ０ ０ ０－１ １－ａ ａ ０ ００ ０ －１ １－ａ ａ０ ０ ０ －１ １－ａ

＝ ．

（５）一实习生用同一台机器接连独立地制造了三个同种零件，第ｉ个零件为不合格品的

历年考研数学试题详解·数学（四）１－１８

概率Ｐｉ＝１ｉ＋１

（ｉ＝１，２，３），以Ｘ表示三个零件中合格品个数，则Ｐ｛Ｘ＝２｝＝ ．二、选择题（本题共５个小题，每小题３分，满分１５分，每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（１）设ｆ′（ｘ０）＝ｆ″（ｘ０），ｆ（ｘ０）＞０．则下列选项正确的是 （ ）

（Ａ）ｆ′（ｘ０）是ｆ′（ｘ）的极大值 （Ｂ）ｆ（ｘ０）是ｆ（ｘ）的极大值

（Ｃ）ｆ（ｘ０）是ｆ（ｘ）的极小值 （Ｄ）（ｘ０，ｆ（ｘ０））是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点

（２）设ｆ（ｘ）处处可导，则 （ ）

（Ａ）当 ｌｉｍｘ→＋∞

ｆ′（ｘ）＝＋∞时，必有 ｌｉｍｘ→＋∞

ｆ（ｘ）＝＋∞（Ｂ）当 ｌｉｍ

ｘ→＋∞ｆ（ｘ）＝＋∞时，必有 ｌｉｍ

ｘ→＋∞ｆ′（ｘ）＝＋∞

（Ｃ）当 ｌｉｍｘ→－∞

ｆ′（ｘ）＝－∞时，必有 ｌｉｍｘ→－∞

ｆ（ｘ）＝－∞（Ｄ）当 ｌｉｍ

ｘ→－∞ｆ（ｘ）＝－∞时，必有 ｌｉｍ

ｘ→－∞ｆ′（ｘ）＝－∞

（３）设ｎ阶矩阵Ａ非奇异（ｎ≥２），Ａ是Ａ的伴随矩阵，则 （ ）

（Ａ）（Ａ）＝｜Ａ｜ｎ－１Ａ （Ｂ）（Ａ）＝｜Ａ｜ｎ＋１Ａ（Ｃ）（Ａ）＝｜Ａ｜ｎ－２Ａ （Ｄ）（Ａ）＝｜Ａ｜ｎ＋２Ａ（４）设有任意两个ｎ维向量组α１，α２，⋯，αｍ 和β１，β２，⋯，βｍ，若存在两组不全为零的数

λ１，λ２，⋯，λｍ 和ｋ１，ｋ２，⋯，ｋｍ，使（λ１＋ｋ１）α１＋（λ２＋ｋ２）α２＋⋯＋（λｍ＋ｋｍ）αｍ＋（λ１－ｋ１）

β１＋（λ２－ｋ２）β２＋⋯＋（λｍ－ｋｍ）βｍ＝０，则 （ ）

（Ａ）α１，α２，⋯，αｍ 和β１，β２，⋯，βｍ 都线性相关

（Ｂ）α１，α２，⋯，αｍ 和β１，β２，⋯，βｍ 都线性无关

（Ｃ）α１＋β１，α２＋β２，⋯，αｍ＋βｍ，α１－β１，α２－β２，⋯，αｍ－βｍ 线性无关

（Ｄ）α１＋β１，α２＋β２，⋯，αｍ＋βｍ，α１－β１，α２－β２，⋯，αｍ－βｍ 线性相关

（５）设Ａ，Ｂ为任意两个事件，且ＡＢ，又Ｐ（Ｂ）＞０则下列选项必然成立的是 （ ）

（Ａ）Ｐ（Ａ）＜Ｐ（Ａ｜Ｂ） （Ｂ）Ｐ（Ａ）≤Ｐ（Ａ｜Ｂ）

（Ｃ）Ｐ（Ａ）＞Ｐ（Ａ｜Ｂ） （Ｄ）Ｐ（Ａ）≥Ｐ（Ａ｜Ｂ）

三、（本题满分６分）设函数

ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）－ｅ－ｘ

ｘ，

０烅烄

烆 ，

若ｘ≠０，

若ｘ＝０．其中ｇ（ｘ）有二阶连续导数，且ｇ（０）＝１，ｇ′（０）＝－１．

（１）求ｆ′（ｘ）；

（２）讨论ｆ′（ｘ）在（－∞，＋∞）上的连续性．

四、（本题满分７分）设ｆ（ｘ，ｙ）＝∫ｘｙ

０ｅ－ｔ

２

ｄｔ．求ｘｙ·

２ｆｘ２

－２２ｆｘｙ

＋ｙｘ

·２ｆｙ２．

五、（本题满分６分）计算∫＋∞

０

ｘｅ－ｘ（１－ｅ－ｘ）２ｄｘ．

六、（本题满分７分）设某种商品的单价为ｐ时，售出的商品数量Ｑ可以表示成

Ｑ＝ ａｐ＋ｂ－ｃ

，

１９９６年试题 １－１９

１

其中ａ，ｂ，ｃ均为正数，且ａ＞ｂｃ．（１）求ｐ在何范围变化时，使相应销售额增加或减少；

（２）要使销售额最大，商品单价ｐ应取何值？最大销售额是多少？

七、（本题满分９分）已知一抛物线通过ｘ轴上的两点Ａ（１，０），Ｂ（３，０）．（１）求证两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于Ｏｘ轴与该抛物线所围图形的面积；

（２）计算上述两平面图形绕Ｏｘ轴旋转一周所产生的两旋转体体积之比．八、（本题满分５分）设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，且

１ｂ－ａ∫

ｂ

ａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｂ）．

求证在（ａ，ｂ）内至少存在一点ξ，使ｆ′（ξ）＝０．九、（本题满分９分）已知线性方程组

ｘ１ ＋ｘ２－２ｘ３＋３ｘ４＝０，

２ｘ１ ＋ｘ２－６ｘ３＋４ｘ４＝－１，

３ｘ１＋２ｘ２＋ｐｘ３＋７ｘ４＝－１，

ｘ１ －ｘ２－６ｘ３ －ｘ４＝ｔ

烅

烄

烆 ．讨论参数ｐ，ｔ取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解．

十、（本题满分７分）设有４阶方阵Ａ满足条件｜槡２Ｉ＋Ａ｜＝０，ＡＡＴ＝２Ｉ，｜Ａ｜＜０，其中

Ｉ是４阶单位阵．求方阵Ａ的伴随矩阵Ａ的一个特征值．十一、（本题满分７分）假设一部机器在一天内发生故障的概率为０．２，机器发生故障时全

天停止工作，若一周５个工作日里无故障，可获利润１０万元；发生一次故障仍可获利润５万

元；发生二次故障所获利润０元；发生三次或三次以上故障就要亏损２万元，求一周内期望利

润是多少？

十二、（本题满分７分）假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故

障工作时间都服从参数为λ＞０的指数分布．当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整

个电路不能正常工作．试求电路正常工作的时间Ｔ的概率分布．

１９９７年试题

一、填空题（本题共５个小题，每小题３分，满分１５分，把答案填在题中横线上）

（１）设ｙ＝ｆ（ｌｎｘ）ｅｆ（ｘ），其中ｆ可微，则ｄｙ＝ ．

（２）设ｆ（ｘ）＝ １１＋ｘ２＋

ｘ３∫１

０ｆ（ｘ）ｄｘ，则∫

１

０ｆ（ｘ）ｄｘ＝ ．

（３）设ｎ阶矩阵Ａ＝

０ １ １ ⋯ １ １１ ０ １ ⋯ １ １１ １ ０ ⋯ １ １

１ １ １ ⋯ ０ １１ １ １ ⋯

烄

烆

烌

烎１ ０

，则｜Ａ｜＝ ．

（４）设Ａ，Ｂ是任意两个随机事件，则Ｐ｛（珚Ａ∪Ｂ）（Ａ∪Ｂ）（珚Ａ∪珚Ｂ）（Ａ∪珚Ｂ）｝＝ ．（５）设随机变量Ｘ服从参数为（２，ｐ）的二项分布，随机变量Ｙ 服从参数为（３，ｐ）的二项

历年考研数学试题详解·数学（四）１－２０

分布，若Ｐ｛Ｘ≥１｝＝５９，则Ｐ｛Ｙ≥１｝＝ ．

二、选择题（本题共５个小题，每小题３分，满分１５分，每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（１）设ｆ（ｘ）、φ（ｘ）在点ｘ＝０的某邻域内连续，且当ｘ→０时，ｆ（ｘ）是φ（ｘ）的高阶无穷

小，则当ｘ→０时，∫ｘ

０ｆ（ｔ）ｓｉｎｔｄｔ是∫

ｘ

０ｔφ（ｔ）ｄｔ的 （ ）

（Ａ）低阶无穷小 （Ｂ）高阶无穷小

（Ｃ）同阶但不等价的无穷小 （Ｄ）等价无穷小

（２）若ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）（－∞＜ｘ＜＋∞），在（－∞，０）内ｆ′（ｘ）＞０且ｆ″（ｘ）＜０，则在

（０，＋∞）内有 （ ）

（Ａ）ｆ′（ｘ）＞０，ｆ″（ｘ）＜０ （Ｂ）ｆ′（ｘ）＞０，ｆ″（ｘ）＞０（Ｃ）ｆ′（ｘ）＜０，ｆ″（ｘ）＜０ （Ｄ）ｆ′（ｘ）＜０，ｆ″（ｘ）＞０（３）设向量α１，α２，α３线性无关，则下列向量组中线性无关的是 （ ）

（Ａ）α１＋α２，α２＋α３，α３－α１（Ｂ）α１＋α２，α２＋α３，α１＋２α２＋α３（Ｃ）α１＋２α２，２α２＋３α３，３α３＋α１（Ｄ）α１＋α２＋α３，２α１＋３α３－２α３，３α１＋５α２－５α３（４）非齐次线性方程Ａｘ＝ｂ中未知量个数为ｎ，方程矩阵Ａ的秩为ｒ，则 （ ）

（Ａ）ｒ＝ｍ 时，方程组Ａｘ＝ｂ有解

（Ｂ）ｒ＝ｎ时，方程组Ａｘ＝ｂ有惟一解

（Ｃ）ｍ＝ｎ时，方程组Ａｘ＝ｂ有惟一解

（Ｄ）ｒ＜ｎ时，方程组Ａｘ＝ｂ有无穷多解

（５）设Ｘ是一随机变量，且Ｅ（Ｘ）＝μ，Ｄ（Ｘ）＝σ２（μ，σ＞０常数），则对任意常数ｃ，必有

（ ）

（Ａ）Ｅ（Ｘ－ｃ）２＝Ｅ（Ｘ２）－ｃ２ （Ｂ）Ｅ（Ｘ－ｃ）２＝Ｅ（Ｘ－μ）２

（Ｃ）Ｅ（Ｘ－ｃ）２＝Ｅ（Ｘ－μ）２ （Ｄ）Ｅ（Ｘ－ｃ）２≥Ｅ（Ｘ－μ）２

三、（本题满分６分）求极限ｌｉｍｘ→０

ａｘ－

１ｘ２－ａ（ ）２ｌｎ（１＋ａｘ［ ］）（ａ≠０）．

四、（本题满分６分）设ｕ＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）有连续偏导数，ｙ＝ｙ（ｘ）和ｚ＝ｚ（ｘ）分别由方程

ｅｘｙ－ｙ＝０和ｅｚ－ｘｚ＝０所确定，求ｄｕｄｘ．

五、（本题满分６分）假设某种商品的需求量Ｑ 是单价ｐ（单位：元）的函数：Ｑ＝１２０００－８０ｐ，商品的总成本Ｃ是需求量Ｑ的函数：Ｃ＝２５０００＋５０Ｑ，每单位商品需求纳税２元，试求

使销售利润最大的商品单价和最大利润额．六、（本题满分７分）求曲线ｙ＝ｘ２－２ｘ，ｙ＝０，ｘ＝１，ｘ＝３所围成的平面图形的面积Ｓ，

并求该平面图形绕Ｏｙ轴旋转一周所得旋转体的体积Ｖ．

七、（本题满分７分）设函数ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）内连续．且Ｆ（ｘ）＝∫ｘ

０（ｘ－２ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ．

试证

１９９７年试题 １－２１

１

（１）若ｆ（ｘ）为偶函数，则Ｆ（ｘ）也是偶函数；

（２）若ｆ（ｘ）单调不增，则Ｆ（ｘ）单调不减．八、（本题满分６分）设Ｄ是以点Ｏ（０，０），Ａ（１，２）和Ｂ（２，１）为顶点的三角形区域，求二

重积分Ｄ

ｘｄｘｄｙ．

九、（本题满分７分）设Ａ为ｎ阶非奇异矩阵，α为ｎ维列向量，ｂ为常数，记分块矩阵

Ｐ＝Ｉ ０

－αＴＡ ｜Ａ烄烆

烌烎｜

， Ｑ＝Ａ ααＴ烄烆

烌烎ｂ．

其中Ａ是矩阵Ａ的伴随矩阵，Ｉ为ｎ阶单位矩阵．（１）计算并化简ＰＱ；

（２）证明矩阵Ｑ可逆的充分必要条件是αＴＡ－１α≠ｂ．十、（本题满分９分）若矩阵Ａ与Ｂ相似，其中

Ａ＝１ －１ １２ ４ －２－３ －３

烄

烆

烌

烎ａ

， Ｂ＝２

２烄

烆

烌

烎ｂ

，

（１）求ａ，ｂ的值；

（２）求可逆阵Ｐ使Ｐ－１ＡＰ＝Ｂ．

十一、（本题满分８分）假设随机变量Ｘ的绝对值不大于１，且Ｐ｛Ｘ＝－１｝＝１８，Ｐ｛Ｘ＝１｝

＝１４．在事件｛－１＜Ｘ＜１｝出现的条件下，Ｘ在（－１，１）内的任一子区间上取值的条件概率与

该子区间长度成正比，试求：

（１）Ｘ的分布函数Ｆ（ｘ）＝Ｐ｛Ｘ≤ｘ｝；

（２）Ｘ取负值的概率ｐ．十二、（本题满分８分）假设随机变量Ｙ服从参数为λ＝１的指数分布，随机变量

Ｘｋ＝０， Ｙ≤ｋ，

１， Ｘ＞ｋ｛ ，（ｋ＝１，２）．

（１）求Ｘ１和Ｘ２的联合概率分布；

（２）求Ｅ（Ｘ１＋Ｘ２）．

１９９８年试题

一、填空题（本题共５个小题，每小题３分，满分１５分）

（１）设曲线ｆ（ｘ）＝ｘｎ 在点（１，１）处的切线与Ｏｘ轴的交点为（ξｎ，０）则ｌｉｍｎ→∞ｆ（ξｎ）＝

．

（２）积分∫ｌｎｘ－１ｘ２ ｄｘ＝ ．

（３）设矩阵Ａ，Ｂ满足ＡＢＡ＝２ＢＡ－８Ｉ，其中

Ａ＝１ ０ ００ －２ ０烄

烆

烌

烎０ ０ １

，

历年考研数学试题详解·数学（四）１－２２

Ｉ为单位矩阵，又Ａ为Ａ的伴随矩阵，则Ｂ＝ ．（４）设Ａ，Ｂ均为ｎ阶矩阵，且｜Ａ｜＝２，｜Ｂ｜＝－３，则｜２ＡＢ－１｜＝ ．（５）设在一次试验中，事件Ａ发生的概率为ｐ．现进行ｎ次独立试验，则Ａ至少发生一次

的概率为 ；而事件Ａ至多发生一次的概率为 ．

二、选择题（本题共５个小题，每小题３分，满分１５分）

（１）设周期函数ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）内可导，其周期为４，又ｌｉｍｘ→０

ｆ（１）－ｆ（１－ｘ）

２ｘ ＝－１，则

曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（５，ｆ（５））处的斜率为 （ ）

（Ａ）１２

（Ｂ）０ （Ｃ）－１ （Ｄ）－２

（２）设函数ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｎ→∞

１＋ｘ１＋ｘ２ｎ

，讨论函数ｆ（ｘ）的间断点，其结论为 （ ）

（Ａ）不存在间断点 （Ｂ）存在间断点ｘ＝１（Ｃ）存在间断点ｘ＝０ （Ｄ）存在间断点ｘ＝－１（３）若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则 （ ）

（Ａ）α必可由β，γ，δ线性表示 （Ｂ）β必不可由α，γ，δ线性表示

（Ｃ）δ必可由α，β，γ的线性表示 （Ｄ）δ必不可由α，β，γ线性表示

（４）设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个相互独立的随机事件，且０＜Ｐ（Ｃ）＜１．则在下列给定的四对事件

中不相互独立的是 （ ）

（Ａ）Ａ∪Ｂ与Ｃ （Ｂ）ＡＣ与Ｃ （Ｃ）Ａ－Ｂ与Ｃ （Ｄ）ＡＢ与Ｃ（５）设Ｆ１（ｘ）与Ｆ２（ｘ）分别为随机变量Ｘ１和Ｘ２的分布函数，为使Ｆ（ｘ）＝ａＦ１（ｘ）－

ｂＦ２（ｘ）是某一随机变量的分布函数，在下列给出的各组数值中应取 （ ）

（Ａ）ａ＝３５，ｂ＝－２５

（Ｂ）ａ＝２３，ｂ＝－２３

（Ｃ）ａ＝－１２，ｂ＝３２

（Ｄ）ａ＝１２，ｂ＝－３２

三、（本题满分６分）求ｌｉｍｎ→∞

ｎｔａｎ１（ ）ｎｎ２

（ｎ为自然数）．

四、（本题满分６分）设ｚ＝（ｘ２＋ｙ２）ｅ－ａｒｃｔａｎｙｘ，求ｄｚ与

２ｚｘｙ．

五、（本题满分５分）设Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ２＋ｙ２≤ｘ｝，求Ｄ

槡ｘｄｘｄｙ．

六、（本题满分６分）设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假定ｔ＝０）就售出，总收入为

Ｒ０（元）．如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售，ｔ年末总收入为Ｒ＝Ｒ０ｅ２５槡ｔ．假定银行的年利

率为ｒ，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求ｒ＝０．０６时的

ｔ值．七、（本题满分６分）设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，且ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝１，试证

存在ξ，η∈（ａ，ｂ），使得

ｅη－ξ［ｆ（η）＋ｆ′（η）］＝１．八、（本题满分９分）设直线ｙ＝ａｘ与抛物线ｙ＝ｘ２所围成图形的面积为Ｓ１，它们与直线

１９９８年试题 １－２３

１

ｘ＝１所围成的图形面积为Ｓ２，并且ａ＜１．（１）试确定ａ的值，使Ｓ１＋Ｓ２达到最小，并求出最小值；

（２）求该最小值所对应的平面图形绕Ｏｘ轴旋转一周所得

旋转体的体积．九、（本题满分９分）设向量α＝（ａ１，ａ２，⋯，ａｎ）Ｔ，β＝

（ｂ１，ｂ２，⋯，ｂｎ）Ｔ，它们为非０向量，但ｎ 阶矩阵αＴβ＝０．记

Ａ＝αβＴ．求（１）Ａ２；（２）Ａ的特征根和特征向量．十、（本题满分７分）已知下列非齐次线性方程组（Ⅰ）、（Ⅱ）分别为

（Ⅰ）

ｘ１＋ｘ２ －２ｘ４＝－６，

４ｘ１－ｘ２－ｘ３ －ｘ４＝－１，

３ｘ１－ｘ２－ｘ３ ＝３烅烄

烆 ．

（Ⅱ）

ｘ１＋ｍｘ２－ｘ３ －ｘ４＝－５，

ｎｘ２－ｘ３－２ｘ４＝－１１，

ｘ３－２ｘ４＝１－ｔ烅烄

烆 ．

（１）求解方程组（Ⅰ）（用其导出组基础解系表出）；

（２）ｍ，ｎ，ｔ为何值时，方程组（Ⅰ）、（Ⅱ）同解？

十一、（本题满分９分）设某种商品每周的需求量Ｘ是服从区间［１０，３０］上均匀分布的随

机变量，而经销商店进货数量为区间［１０，３０］中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利

５００元；若供大于求则削价处理，每处理１单位商品亏损１００元；若供不应求，则可从外部调剂

供应，此时每１单位商品仅获利３００元，为使商店所获利润期望值不少于９２８０元，试确定最少

进货量．十二、（本题满分７分）某箱装有１００件产品，其中一、二和三等品分别为８０件，１０件和

１０件，现在从中随机抽取一件，记

Ｘｉ＝１， 若抽到ｉ等品，

０｛ ， 其他，（ｉ＝１，２，３）．

试求：（１）随机变量Ｘ１与Ｘ２的联合分布；（２）随机变量Ｘ１与Ｘ２的相关系数ρ．

１９９９年试题

一、填空题（本题共５个小题，每小题３分，满分１５分，把答案填在题中横线上）

（１）设函数ｆ（ｘ）＝ａｘ（ａ＞０，ａ≠１），则ｌｉｍｎ→∞

１ｎ２ｌｎ

［ｆ（１）ｆ（２）⋯ｆ（ｎ）］＝ ．

（２）设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｅｘｙｚ２，其中ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）是由ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｘｙｚ＝０确定的隐函数，则

ｆ′ｘ（０，１，－１）＝ ．

（３）设矩阵Ａ＝１ ０ １０ ２ ０烄

烆

烌

烎１ ０ １

，而ｎ≥２为正整数，则ｆ（Ａ）＝Ａｎ－２Ａｎ－１＝ ．

（４）已知ＡＢ－Ｂ＝Ａ，其中Ｂ＝１ －２ ０２ １ ０烄

烆

烌

烎０ ０ ２

，则Ａ＝ ．

（５）设随机变量Ｘ服从参数为λ的泊松（Ｐｏｉｓｓｏｎ）分布π（λ），且已知Ｅ｛（Ｘ－１）（Ｘ－２）］

＝１，则λ＝ ．

历年考研数学试题详解·数学（四）１－２４

二、选择题（本题共５个小题，每小题３分，满分１５分，每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（１）设ｆ（ｘ）是连续函数，Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的原函数，则 （ ）

（Ａ）当ｆ（ｘ）是奇函数时，Ｆ（ｘ）必为偶函数

（Ｂ）当ｆ（ｘ）是偶函数时，Ｆ（ｘ）必为奇函数

（Ｃ）当ｆ（ｘ）是周期函数时，Ｆ（ｘ）必为周期函数

（Ｄ）当ｆ（ｘ）是单调增函数时，Ｆ（ｘ）必为单调增函数

（２）设ｆ（ｘ，ｙ）连续，且ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ＋Ｄｆ（ｕ，ｖ）ｄｕｄｖ，其中Ｄ是由ｙ＝０，ｙ＝ｘ２，ｘ＝１

所围区域，则ｆ（ｘ，ｙ）等于 （ ）

（Ａ）ｘｙ （Ｂ）２ｘｙ （Ｃ）ｘｙ＋１８（Ｄ）ｘｙ＋１

（３）设向量β可由向量组α１，α２，⋯，αｍ 线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：α１，α２，⋯，

αｍ－１线性表示，记向量组（Ⅱ）：α１，α２，⋯，αｍ－１，β，则 （ ）

（Ａ）αｍ 不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示

（Ｂ）αｍ 不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示

（Ｃ）αｍ 可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示

（Ｄ）αｍ 可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示

（４）设随机变量Ｘ和Ｙ的方差存在且不为０，则Ｄ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｄ（Ｘ）＋Ｄ（Ｙ）是Ｘ和Ｙ（ ）

（Ａ）不相关的充分条件，但不是必要条件 （Ｂ）独立的必要条件，但不充分条件

（Ｃ）不相关的充分必要条件 （Ｄ）独立的充分必要条件

（５）假设随机变量Ｘ服从指数分布，则随机变量Ｙ＝ｍｉｎ｛Ｘ，２｝的分布函数是 （ ）

（Ａ）是连续函数 （Ｂ）至少有两个间断点 （Ｃ）是阶梯函数 （Ｄ）恰好有一个间断点

三、（本题满分６分）曲线ｙ＝ １槡ｘ

的切线与Ｏｘ轴和Ｏｙ轴围成一个图形，记切点的横坐标

为α，试求切线方程和这个图形的面积，以及当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势

如何？

四、（本题满分７分）计算二重积分Ｄｙｄｘｄｙ，其中Ｄ是直线ｘ＝－２，ｙ＝０，ｙ＝２以及曲

线ｘ＝－ ２ｙ－ｙ槡 ２所围成的平面区域．五、（本题满分６分）设生产某种产品必须投入两种要素，ｘ１和ｘ２分别为两要素的投入

量，Ｑ为产出量．若生产函数为Ｑ＝２ｘα１ｘβ２，其中α，β为正的常数，且α＋β＝１．假设两种要素

的价格分别为ｐ１和ｐ２，试问当产出量为１２时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？

六、（本题满分６分）设Ｆ（ｘ）为ｆ（ｘ）的原函数，且当ｘ≥０时，

ｆ（ｘ）Ｆ（ｘ）＝ ｘｅｘ２（１＋ｘ）２．

已知Ｆ（０）＝１，Ｆ（ｘ）＞０，试求ｆ（ｘ）．

１９９９年试题 １－２５

１

七、（本题满分６分）已知ｆ（ｘ）连续，∫ｘ

０ｔｆ（ｘ－ｔ）ｄｔ＝１－ｃｏｓｘ，求∫

π２

０ｆ（ｘ）ｄｘ的值．

八、（本题满分６分）证明当０＜ｘ＜π时，有ｓｉｎｘ２＞ｘπ．

九、（本题满分７分）设矩阵

Ａ＝３ ２ －２－ｋ －１ ｋ烄

烆

烌

烎４ ２ －３

，

问当ｋ为何值时，存在可逆阵Ｐ使Ｐ－１ＡＰ化成对角阵？并求出Ｐ和相应的对角阵．十、（本题满分９分）已知线性方程组

ｘ１ ＋ｘ２ ＋ｘ３＝０，

ａｘ１ ＋ｂｘ２ ＋ｃｘ３＝０，

ａ２ｘ１＋ｂ２ｘ２＋ｃ２ｘ３＝０烅烄

烆 ．（１）ａ、ｂ、ｃ满足何种关系时，方程组仅有零解？

（２）ａ、ｂ、ｃ满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解．十一、（本题满分９分）设二维随机变量（Ｘ，Ｙ）在矩形Ｇ＝｛（ｘ，ｙ）｜０≤ｘ≤２，０≤ｙ≤１｝

上服从均匀分布，试求边长为Ｘ和Ｙ的矩形面积Ｓ的概率密度ｆ（ｓ）．十二、（本题满分８分）已知随机变量Ｘ１和Ｘ２的概率分布分别为

Ｘ１～－１ ０ １１４

１２

烄

烆

烌

烎１４

， Ｘ２～０ １１２

烄

烆

烌

烎１２．

而且Ｐ｛Ｘ１Ｘ２＝０｝＝１．（１）求Ｘ１，Ｘ２的联合分布；

（２）问Ｘ１和Ｘ２是否独立？为什么？

２０００年试题

一、填空题（本题共５个小题，每小题３分，满分１５分，把答案填在题中横线上）

（１）积分∫ａｒｃｓｉｎ槡ｘ槡ｘｄｘ＝ ．

（２）若ａ＞０，ｂ＞０均为常数，则ｌｉｍｘ→０

ａｘ＋ｂｘ（ ）２

３ｘ＝ ．

（３）设α＝（－１，０，－１）Ｔ，又矩阵Ａ＝ααＴ，且ｎ为正整数，ａ为常数，则｜ａＩ－Ａｎ｜＝．

（４）已知四阶矩阵Ａ相似于Ｂ，又Ａ的特征值分别为２，３，４，５．且Ｉ为四阶单位矩阵，则

｜Ｂ－Ｉ｜＝ ．（５）设随机变量Ｘ在区间［－１，２］上服从均匀分布，随机变量

Ｙ＝１，

０，

－１烅烄

烆 ，

若Ｘ＞０，

若Ｘ＝０，

若Ｘ＜０．

历年考研数学试题详解·数学（四）１－２６

则方差Ｄ（Ｙ）＝ ．二、选择题（本题共５个小题，每小题３分，满分１５分，每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（１）设对任意的ｘ∈（－∞，＋∞），总有φ（ｘ）≤ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ），且ｌｉｍｘ→∞

［ｇ（ｘ）－φ（ｘ）］＝０，

则ｌｉｍｘ→∞ｆ（ｘ） （ ）

（Ａ）存在且一定等于零 （Ｂ）存在但不一定为零

（Ｃ）一定不存在 （Ｄ）不一定存在

（２）设函数ｆ（ｘ）在点ｘ＝ａ处可导，则函数｜ｆ（ｘ）｜在点ｘ＝ａ处不可导的充分条件是

（ ）

（Ａ）ｆ（ａ）＝０且ｆ′（ａ）＝０ （Ｂ）ｆ（ａ）＝０且ｆ′（ａ）≠０（Ｃ）ｆ（ａ）＞０且ｆ′（ａ）＞０ （Ｄ）ｆ（ａ）＜０且ｆ′（ａ）＜０（３）设α１，α２，α３，是四元非齐次线性方程组Ａｘ＝ｂ的三个解向量，且ｒ（Ａ）＝３，又α１＝

（１，２，３，４）Ｔ，α２＋α３＝（０，１，２，３）Ｔ，ｃ为任意常数，则线性方程组Ａｘ＝ｂ的通解ｘ＝ （ ）

（Ａ）

烄

烆

烌

烎

１２３４

＋ｃ

烄

烆

烌

烎

１１１１

（Ｂ）

烄

烆

烌

烎

１２３４

＋ｃ

烄

烆

烌

烎

０１２３

（Ｃ）

烄

烆

烌

烎

１２３４

＋ｃ

烄

烆

烌

烎

２３４５

（Ｄ）

烄

烆

烌

烎

１２３４

＋ｃ

烄

烆

烌

烎

３４５６

（４）设Ａ、Ｂ、Ｃ三个事件两两独立，则Ａ、Ｂ、Ｃ相互独立的充分必要条件是 （ ）

（Ａ）Ａ与ＢＣ独立 （Ｂ）ＡＢ与Ａ∪Ｃ独立

（Ｃ）ＡＢ与ＡＣ独立 （Ｄ）Ａ∪Ｂ与Ａ∪Ｃ独立

（５）在电炉上安装了四个温控器，其显示温度的误差是随机的．在使用过程中，只要有两

个温控器显示的温度不低于临界温度ｔ０，电炉就断电，以Ｅ表示事件“电炉断电”，而Ｔ（１）≤Ｔ（２）≤Ｔ（３）≤Ｔ（４）为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件Ｅ等于 （ ）

（Ａ）｛Ｔ（１）≥ｔ０｝ （Ｂ）｛Ｔ（２）≥ｔ０｝ （Ｃ）｛Ｔ（３）≥ｔ０｝ （Ｄ）｛Ｔ（４）≥ｔ０｝

三、（本题满分６分）已知ｚ＝ｕｖ，ｕ＝ｌｎ ｘ２＋ｙ槡 ２，ｖ＝ａｒｃｔａｎｙｘ，求ｄｚ．

四、（本题满分６分）计算Ｉ＝∫＋∞

１

ｄｘｅ１＋ｘ＋ｅ３－ｘ

．

五、（本题满分６分）假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的

需求函数分别是ｐ１＝１８－２Ｑ１，ｐ２＝１２－Ｑ２，其中ｐ１和ｐ２分别表示该产品在两个市场的价

格（单位：万元／吨），Ｑ１和Ｑ２分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨），并

且该企业生产这种产品的总成本函数是Ｃ＝２Ｑ＋５，其中Ｑ表示该产品在两个市场的销售总

量，即Ｑ＝Ｑ１＋Ｑ２．（１）如果该企业实行价格差异策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业

获得最大利润；

（２）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价

格，使该企业的总利润最大化，并比较两种价格策略下的总利润大小．

六、（本题满分７分）求函数ｙ＝（ｘ－１）ｅπ２＋ａｒｃｔａｎｘ的单调区间和极值，并求该函数图形的渐

２０００年试题 １－２７

１

近线．七、（本题满分６分）设函数

ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ２ｙ，１≤ｘ≤２，０≤ｙ≤ｘ，

０， 其他烅烄烆 ．

求Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ２＋ｙ２≥２ｘ｝．

八、（本题满分６分）设函数ｆ（ｘ）在区间［０，π］上连续，且

∫π

０ｆ（ｘ）ｄｘ＝０，∫

π

０ｆ（ｘ）ｃｏｓｘｄｘ＝０．

试证在（０，π）内至少存在两个不同的点ξ１，ξ２，使ｆ（ξ１）＝ｆ（ξ２）＝０．九、（本题满分８分）若向量

α１＝（ａ，２，１０）Ｔ， α２＝（－２，１，５）Ｔ， α３＝（－１，１，４）Ｔ，β＝（１，ｂ，ｃ）Ｔ．问ａ、ｂ、ｃ满足什么条件时

（１）β可由α１，α２，α３线性表出，且表示不惟一？

（２）β不能由α１，α２，α３线性表出？

（３）β可由α１，α２，α３线性表出，但不惟一？并写出一般表达式．十、（本题满分９分）设矩阵

Ａ＝１ －１ １ｘ ４ ｙ烄

烆

烌

烎－３ －３ ５有三个线性无关的特征向量，且特征根λ１＝λ２＝２（λ＝２是Ａ 的二重根）．求可逆矩阵Ｐ使

Ｐ－１ＡＰ为对角阵．十一、（本题满分８分）设二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的密度函数为

ｆ（ｘ，ｙ）＝１２［φ１（ｘ，ｙ）＋φ２（ｘ，ｙ）］，

其中φ１（ｘ，ｙ）和φ２（ｘ，ｙ）都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分

别为１３

和－１３．它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是０，方差都是１．

（１）求随机变量Ｘ和Ｙ的密度函数ｆ１（ｘ）和ｆ２（ｘ）及Ｘ与Ｙ的相关系数ρＸＹ（可直接利

用二维正态密度的性质）．（２）问Ｘ与Ｙ是否独立？为什么？

十二、（本题满分８分）设Ａ，Ｂ是二随机事件又随机变量

Ｘ＝１，

－１｛ ，

若Ａ出现，

若Ａ不出现．Ｙ＝

１，

－１｛ ，

若Ｂ出现，

若Ｂ不出现．试证随机变量Ｘ和Ｙ不相关的充分必要条件是事件Ａ与Ｂ相互独立．

２００１年试题

一、填空题（本题共５个小题，每小题３分，满分１５分）

（１）设生产函数为Ｑ＝ＡＬαＫβ，其中Ｑ是产出量，Ｌ是劳动投入量，Ｋ 是资本投入量．而

历年考研数学试题详解·数学（四）１－２８

Ａ、α、β均为大于零的参数，则当Ｑ＝１时Ｋ关于Ｌ的弹性为 ．

（２）设ｚ＝ｅ－ｘ－ｆ（ｘ－２ｙ），且当ｙ＝０时，ｚ＝ｘ２，则ｚｘ＝ ．

（３）设行列式Ｄ＝

３ ０ ４ ０２ ２ ２ ２０ －７ ０ ０５ ３ －２ ２

，则其第四行各元素余子式之和的值为 ．

（４）设矩阵 Ａ＝

ｋ １ １ １１ ｋ １ １１ １ ｋ １１ １ １

烄

烆

烌

烎ｋ

，且秩ｒ（Ａ）＝３，则ｋ＝ ．

（５）设随机变量Ｘ和Ｙ 的数学期望分别为－２和２，方差分别为１和４，而相关系数为

－０．５，则根据切比雪夫（Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ）不等式Ｐ｛｜Ｘ＋Ｙ｜≥６｝≤ ．二、选择题（本题共５个小题，每小题３分，满分１５分）

（１）设ｆ（ｘ）的导数在ｘ＝ａ处连续，又ｌｉｍｘ→ａ

ｆ′（ｘ）

ｘ－ａ＝－１，则 （ ）

（Ａ）ｘ＝ａ是ｆ（ｘ）的极小值点

（Ｂ）ｘ＝ａ是ｆ（ｘ）的极大值点

（Ｃ）（ａ，ｆ（ａ））是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点

（Ｄ）ｘ＝ａ不是ｆ（ｘ）的极值点，（ａ，ｆ（ａ））也不是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点

（２）设ｇ（ｘ）＝∫ｘ

０ｆ（ｕ）ｄｕ，其中

１２

（ｘ２＋１），若０≤ｘ＜１，

１２

（ｘ－１）， 若１≤ｘ≤２烅

烄

烆 ．则ｇ（ｘ）在区间（０，２）内

（ ）

（Ａ）无界 （Ｂ）递减 （Ｃ）不连续 （Ｄ）连续

（３）设四阶矩阵Ａ＝

ａ１１ ａ１２ ａ１３ ａ１４ａ２１ ａ２２ ａ２３ ａ２４ａ３１ ａ３２ ａ３３ ａ３４ａ４１ ａ４２ ａ４３ ａ

烄

烆

烌

烎４４

，Ｂ＝

ａ１４ ａ１３ ａ１２ ａ１１ａ２４ ａ２３ ａ２２ ａ２１ａ３４ ａ３３ ａ３２ ａ３１ａ４４ ａ４３ ａ４２ ａ

烄

烆

烌

烎４１

，又设矩阵

Ｐ１＝

０ ０ ０ １０ １ ０ ００ ０ １ ０

烄

烆

烌

烎１ ０ ０ ０

， Ｐ２＝

１ ０ ０ ００ ０ １ ００ １ ０ ０

烄

烆

烌

烎０ ０ ０ １

．

其中Ａ可逆，则Ｂ－１等于 （ ）

（Ａ）Ａ－１Ｐ１Ｐ２ （Ｂ）Ｐ１Ａ－１Ｐ２ （Ｃ）Ｐ１Ｐ２Ａ－１ （Ｄ）Ｐ２Ａ－１Ｐ１

（４）对于任意二事件Ａ和Ｂ，与Ａ∪Ｂ＝Ｂ不等价的是 （ ）

（Ａ）ＡＢ （Ｂ）ＢＡ （Ｃ）ＡＢ＝ （Ｄ）ＡＢ＝（５）将一枚硬币重复掷ｎ次，以Ｘ和Ｙ分别表示正面向上和反面向上的次数，则Ｘ和Ｙ

２００１年试题 １－２９

１

的相关系数等于 （ ）

（Ａ）－１ （Ｂ）０ （Ｃ）１２

（Ｄ）１三、（本题满分６分）设ｕ＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）有连续的一阶偏导数，又函数ｙ＝ｙ（ｘ）及ｚ＝ｚ（ｘ）

分别由下列两式确定：ｅｘｙ－ｘｙ＝２和ｅｘ＝∫ｘ－ｚ

０

ｓｉｎｔｔ ｄｔ

，求ｄｕｄｘ．

四、（本题满分６分）已知ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）内可导，且

ｌｉｍｘ→∞ｆ′（ｘ）＝ｅ， ｌｉｍ

ｘ→∞

ｘ＋ｃｘ－（ ）ｃ

ｘ＝ｌｉｍｘ→∞

［ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ－１）］，

求ｃ的值．

五、（本题满分６分）求二重积分Ｄｙ１＋ｘｅ

１２

（ｘ２＋ｙ

２

［ ］）ｄｘｄｙ的值，其中Ｄ是由直线ｙ＝ｘ，

ｙ＝－１及ｘ＝１围成的平面区域．六、（本题满分７分）某商品进价为ａ（元／件），根据以往经验，当销售价为ｂ（元／件）时，销

售量为ｃ件（ａ，ｂ，ｃ均为正常数，且ｂ≥４３ａ）．市场调查表明，销售价每下降１０％，销售量可增

加４０％．现决定一次性降价，试问当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润．七、（本题满分６分）设ｆ（ｘ）在区间［０，１］上连续，在（０，１）内可导，且满足

ｆ（１）＝３∫１３

０ｅ１－ｘ

２

ｆ（ｘ）ｄｘ，

证明存在ξ∈（０，１），使得ｆ′（ξ）＝２ξｆ（ξ）．

八、（本题满分６分）设ｆ（ｘ）在（０，＋∞）内连续，且ｆ（１）＝５２，又对所有ｘ，ｔ∈（０，＋∞），

均满足条件

∫ｘｔ

０ｆ（ｕ）ｄｕ＝ｔ∫

ｘ

１ｆ（ｕ）ｄｕ＋ｘ∫

ｔ

１ｆ（ｕ）ｄｕ，

求ｆ（ｘ）．九、（本题满分９分）设矩阵

Ａ＝１ １ ａ１ ａ １ａ

烄

烆

烌

烎１ １

，β＝１１

烄

烆

烌

烎－２．

已知线性方程组Ａｘ＝β有解但不惟一，试求（１）ａ的值；（２）正交矩阵Ｑ，使ＱＴＡＱ为对角矩

阵．十、（本题满分８分）设αｉ＝（ａｉ１，ａｉ２，⋯，ａｉｎ）Ｔ（ｉ＝１，２，⋯，ｒ，ｒ＜ｎ）是ｎ维实向量，且

α１，α２，⋯，αｒ线性无关．又β＝（ｂ１，ｂ２，⋯，ｂｎ）Ｔ是线性方程组

ａ１１ｘ１＋ａ１２ｘ２＋⋯＋ａ１ｎｘｎ＝０，

ａ２１ｘ１＋ａ２２ｘ２＋⋯＋ａ２ｎｘｎ＝０，

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

ａｒ１ｘ１＋ａｒ２ｘ２＋⋯＋ａｒｎｘｎ＝０

烅

烄

烆 ．

的非零解，试判断向量组α１，α２，⋯，αｒ，β的相关性．

历年考研数学试题详解·数学（四）１－３０

十一、（本题满分８分）一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的．假设每箱平

均重５０千克，标准差为５千克．若用最大载重量为５吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明

每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于０．９７７．（注：Φ（２）＝０．９７７，其中Φ（ｘ）是标准正态分布函数）

十二、（本题满分８分）设随机变量Ｘ和Ｙ的联合分布在以点（０，１），（１，０），（１，１）为顶点

的三角形区域上，且服从均匀分布，试求随机变量Ｕ＝Ｘ＋Ｙ的方差．

２００２年试题

一、填空题（本题共５个小题，每小题３分，满分１５分）

（１）设常数ａ≠１２，则ｌｉｍ

ｎ→∞ｌｎｎ－２ｎａ＋１ｎ（１－２ａ［ ］）｛ ｝

ｎ＝ ．

（２）已知函数ｆ（ｘ）的一个原函数为ｌｎ２ｘ，则∫ｘｆ′（ｘ）ｄｘ＝ ．

（３）设矩阵Ａ＝１ －１（ ）２ ３

，Ｂ＝Ａ２－３Ａ＋２Ｉ，则Ｂ－１＝ ．

（４）设向量组α１＝（ａ，０，ｃ），α２＝（ｂ，ｃ，０），α３＝（０，ａ，ｂ）线性无关，则ａ、ｂ、ｃ必满足关

系式 ．（５）设随变量Ｘ和Ｙ的联合概率分布

Ｙ

Ｘ

概率 －１ ０ １

０１

０．０７０．０８

０．１８０．３２

０．１５０．２０

则Ｘ和Ｙ的相关系数ρ＝ ．二、选择题（本题共５个小题，每小题３分，满分１５分）

（１）设函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上有定义，在开区间（ａ，ｂ）内可导，则 （ ）

（Ａ）当ｆ（ａ）ｆ（ｂ）＜０时，存在ξ∈（ａ，ｂ），使ｆ（ξ）＝０（Ｂ）对任何ξ∈（ａ，ｂ），有ｌｉｍ

ｘ→ξ［ｆ（ｘ）－ｆ（ξ）］＝０

（Ｃ）当ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）时，存在ξ∈（ａ，ｂ），使ｆ′（ξ）＝０（Ｄ）存在ξ∈（ａ，ｂ），使ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ′（ξ）＝（ｂ－ａ）

（２）设函数ｆ（ｘ）连续，则下列函数中，必为偶函数的是 （ ）

（Ａ）∫ｘ

０ｆ（ｔ２）ｄｔ （Ｂ）∫

ｘ

０ｆ２（ｔ）ｄｔ

（Ｃ）∫ｘ

０ｔ［ｆ（ｔ）－ｆ（－ｔ）］ｄｔ （Ｄ）∫

ｘ

０ｔ［ｆ（ｔ）＋ｆ（－ｔ）］ｄｔ

（３）设Ａ 、Ｂ 为ｎ 阶 矩 阵，Ａ、Ｂ分 别 为Ａ、Ｂ 对 应 的 伴 随 矩 阵．分 块 矩 阵Ｃ＝Ａ Ｏ（ ）Ｏ Ｂ

，则Ｃ的伴随矩阵Ｃ＝ （ ）

（Ａ）（｜Ａ｜Ａ Ｏ

Ｏ ｜Ｂ｜Ｂ） （Ｂ）（｜Ｂ｜Ｂ Ｏ

Ｏ ｜Ａ｜Ａ）

２００２年试题 １－３１

１

（Ｃ）（｜Ａ｜Ｂ Ｏ

Ｏ ｜Ｂ｜Ａ） （Ｄ）（｜Ｂ｜Ａ Ｏ

Ｏ ｜Ａ｜Ｂ）（４）设Ｘ１和Ｘ２是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为ｆ１（ｘ）

和ｆ２（ｘ），分布函数分别为Ｆ１（ｘ）和Ｆ２（ｘ），则 （ ）

（Ａ）ｆ１（ｘ）＋ｆ２（ｘ）必为某一随机变量的概率密度

（Ｂ）Ｆ１（ｘ）Ｆ２（ｘ）必为某一随机变量的分布函数

（Ｃ）Ｆ１（ｘ）＋Ｆ２（ｘ）必为某一随机变量的分布函数

（Ｄ）ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ）必为某一随机变量的概率密度

（５）设随机变量Ｘ１，Ｘ２，⋯，Ｘｎ 相互独立，Ｓｎ＝Ｘ１＋Ｘ２＋⋯＋Ｘｎ，则根据列维－林德伯

格（ＬｅｖｙＬｉｎｄｂｅｒｇ）中心极限定理，当ｎ充分大时，Ｓｎ 近似服从正态分布，只要Ｘ１，Ｘ２，⋯，Ｘｎ（ ）

（Ａ）有相同的数学期望 （Ｂ）有相同的方差

（Ｃ）服从同一指数分布 （Ｄ）服从同一离散型分布

三、（本题满分５分）求极限

ｌｉｍｘ→０

∫ｘ

０∫ｕ２

０ａｒｃｔａｎ（１＋ｔ）ｄ［ ］ｔｄｕｘ（１－ｃｏｓｘ） ．

四、（本题满分７分）设函数ｕ＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）有连续偏导数，且ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）由方程ｘｅｘ－ｙｅｙ＝ｚｅｚ所确定，求ｄｕ．

五、（本题满分６分）设ｆ（ｓｉｎ２ｘ）＝ ｘｓｉｎｘ，求∫ 槡ｘ

１－槡 ｘｆ（ｘ）ｄｘ．

六、（本题满分６分）设闭区域Ｄ：ｘ２＋ｙ２≤ｙ，又ｘ≥０．ｆ（ｘ，ｙ）为Ｄ上的连续函数，且

ｆ（ｘ，ｙ）＝ １－ｘ２－ｙ槡 ２－８πＤｆ（ｕ，ｖ）ｄｕｄｖ．

求ｆ（ｘ，ｙ）．七、（本题满分７分）设某商品需求量Ｑ是价格ｐ的单调减少函数Ｑ＝Ｑ（ｐ），其需求弹

性η＝２ｐ２

１９２－ｐ２＞０．

（１）设Ｒ为总收益函数，证明ｄＲｄｐ＝Ｑ

（１－η）；

（２）求ｐ＝６时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义．八、（本题满分６分）设函数ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，且ｇ（ｘ）＞０．利用闭区间上连

续函数性质，证明存在一点ξ∈［ａ，ｂ］，使

∫ｂ

ａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）∫

ｂ

ａｇ（ｘ）ｄｘ．

九、（本题满分８分）设四元齐次线性方程组（Ⅰ）为

２ｘ１＋３ｘ２－ｘ３ ＝０，

ｘ１＋２ｘ２＋ｘ３－ｘ４＝０烅烄

烆 ．

且已知另一四元齐次线性方程（Ⅱ）的一个基础解系为

历年考研数学试题详解·数学（四）１－３２

α１＝（２，－１，ａ＋２，１）Ｔ， α２＝（－１，２，４，ａ＋８）Ｔ．（１）求方程组（Ⅰ）的一个基础解系；

（２）当ａ为何值时，方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零

公共解．十、（本题满分８分）设实对称矩阵

Ａ＝ａ １ １１ ａ －１１ －１

烄

烆

烌

烎ａ

，

求可逆矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ为对角形矩阵，并计算行列式｜Ａ－Ｉ｜的值．十一、（本题满分８分）设Ａ、Ｂ 是任意二事件，其 中Ａ 的 概 率 不 等 于０和１，证 明

Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ｜Ａ）是事件Ａ与Ｂ独立的充分必要条件．十二、（本题满分８分）假设一设备开机后无故障工作的时间Ｘ服从指数分布，平均无故

障工作的时间Ｅ（Ｘ）为５小时．设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工

作２小时便关机．试求该设备每次开机无故障工作的时间Ｙ的分布函数Ｆ（ｙ）．

２００３年试题

一、填空题（本题共６个小题，每小题４分，满分２４分．把答案填在题中横线上）

（１）极限ｌｉｍｘ→０

［１＋ｌｎ（１＋ｘ）］２ｘ＝ ．

（２）积分∫１

－１（｜ｘ｜＋ｘ）ｅ－｜ｘ｜ｄｘ＝ ．

（３）设给定常数ａ＞０，又函数ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）＝ａ，

０｛ ，

若０≤ｘ≤１，

其他，而Ｄ表示全平面，则二

重积分Ｉ＝Ｄｆ（ｘ）ｇ（ｙ－ｘ）ｄｘｄｙ＝ ．

（４）设Ａ，Ｂ均为三阶矩阵，Ｅ是三阶单位矩阵．已知ＡＢ＝２Ａ＋Ｂ，且矩阵

Ｂ＝２ ０ ２０ ４ ０烄

烆

烌

烎２ ０ ２

，

则（Ａ－Ｅ）－１＝ ．（５）设ｎ维向量α＝（ａ，０，⋯０，ａ）Ｔ，ａ＜０，Ｅ为ｎ阶单位矩阵，矩阵

Ａ＝Ｅ－ααＴ，Ｂ＝Ｅ＋１ａααＴ，

其中Ａ的逆矩阵为Ｂ，则ａ＝ ．（６）设随机变量Ｘ和Ｙ 的相关系数为０．５，Ｅ（Ｘ）＝Ｅ（Ｙ）＝０，Ｅ（Ｘ２）＝Ｅ（Ｙ２）＝２，则

Ｅ（Ｘ＋Ｙ）２＝ ．二、选择题（本题共６个小题，每小题４分，满分２４分．每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（１）曲线ｙ＝ｘｅ１ｘ２ （ ）

（Ａ）仅有水平渐近线 （Ｂ）仅有铅直渐近线

２００３年试题 １－３３

１

（Ｃ）既有铅直又有水平渐近线 （Ｄ）既有铅直又有斜渐近线

（２）设函数ｆ（ｘ）＝｜ｘ３－１｜φ（ｘ），其中φ（ｘ）在ｘ＝１处连续，则φ（１）＝０是ｆ（ｘ）在

ｘ＝１处可导的 （ ）

（Ａ）充分必要条件 （Ｂ）必要但非充分条件

（Ｃ）充分但非必要条件 （Ｄ）既非充分也非必要条件

（３）设可微函数ｆ（ｘ，ｙ）在点（ｘ０，ｙ０）取得极小值，则下列结论正确的是 （ ）

（Ａ）ｆ（ｘ０，ｙ）在ｙ＝ｙ０处的导数等零 （Ｂ）ｆ（ｘ０，ｙ）在ｙ＝ｙ０处的导数大于零

（Ｃ）ｆ（ｘ０，ｙ）在ｙ＝ｙ０处的导数小于零 （Ｄ）ｆ（ｘ０，ｙ）在ｙ＝ｙ０处的导数不存在

（４）设矩阵

Ｂ＝０ ０ １０ １ ０烄

烆

烌

烎１ ０ ０

，

又已知矩阵Ａ相似于矩阵Ｂ，则 秩（Ａ－２Ｅ）与秩（Ａ－Ｅ）之和等于 （ ）

（Ａ）２ （Ｂ）３ （Ｃ）４ （Ｄ）５（５）对于任意二事件Ａ和Ｂ （ ）

（Ａ）若ＡＢ≠，则Ａ、Ｂ一定独立 （Ｂ）若ＡＢ≠，则Ａ、Ｂ有可能独立

（Ｃ）若ＡＢ＝，则Ａ、Ｂ一定独立 （Ｄ）若ＡＢ＝，则Ａ、Ｂ一定不独立

（６）设随机变量Ｘ和Ｙ都服从正态分布，且它们不相关．则 （ ）

（Ａ）Ｘ与Ｙ一定独立 （Ｂ）（Ｘ，Ｙ）服从二维正态分布

（Ｃ）Ｘ与Ｙ未必独立 （Ｄ）Ｘ＋Ｙ服从一维正态分布

三、（本题满分８分）设

ｆ（ｘ）＝ １ｓｉｎπｘ－

１πｘ－

１π（１－ｘ）

，ｘ∈ ０，（ ］１２ ，

试补充定义ｆ（０），使得ｆ（ｘ）在 ０，［ ］１２ 上连续．

四、（本题满分８分）设ｆ（ｕ，ｖ）具有二阶连续偏导数，且满足２ｆｕ２＋

２ｆｖ２＝１

，又ｇ（ｘ，ｙ）＝

ｆｘｙ，１２

（ｘ２－ｙ２［ ］） ，求２ｇｘ２＋

２ｇｙ２．

五、（本题满分８分）计算二重积分

Ｉ＝Ｄ

ｅ－（ｘ２＋ｙ２－π）ｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ，

其中积分区域 Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ２＋ｙ２≤π｝．六、（本题满分９分）设ａ＞１，ｆ（ｔ）＝ａｔ－ａｔ在（－∞，＋∞）内的驻点ｔ（ａ）．问ａ为何值

时，ｔ（ａ）最小？并求出最小值．七、（本题满分９分）设ｙ＝ｆ（ｘ）是第一象限内连续点Ａ（０，１），Ｂ（１，０）的一段连续曲线，

Ｍ（ｘ，ｙ）为该曲线上任意一点，点Ｃ为Ｍ 在Ｏｘ轴上的投影，Ｏ 为坐标原点．若梯形ＯＣＭＡ

的面积与曲边三角形ＣＢＭ 的面积之和为ｘ３

６＋１３

，求ｆ（ｘ）的表达式．八、（本题满分８分）设某商品从时刻０到时刻ｔ的销售量为ｘ（ｔ）＝ｋｔ（ｋ＞０），其中

历年考研数学试题详解·数学（四）１－３４

ｔ∈［０，Ｔ］．欲在Ｔ时将数量为Ａ的该商品销售完，试求

（１）ｔ时的商品剩余量，并确定ｋ的值；

（２）在时间段［０，Ｔ］上的平均剩余量．九、（本题满分１３分）设有向量组（Ⅰ）

α１＝（１，０，２）Ｔ， α２＝（１，１，３）Ｔ， α３＝（１，－１，α＋２）Ｔ

和向量组（Ⅱ）

β１＝（１，２，α＋３）Ｔ，β２＝（２，１，α＋６）Ｔ，β３＝（２，１，α＋４）Ｔ．试问当ａ为何值时，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价？当ａ为何值时，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价？

十、（本题满分１３分）设矩阵Ａ＝２ １ １１ ２ １１ １

烄

烆

烌

烎ａ

可逆，向量α＝１ｂ烄

烆

烌

烎１

是矩阵Ａ的一个特征

向量，λ是α对应的特征值，其中Ａ是矩阵Ａ的伴随矩阵．试求ａ，ｂ和λ的值．十一、（本题满分１３分）设随机变量Ｘ的概率密度为

ｆ（ｘ）＝

１３

３ｘ槡 ２

，

０烅

烄

烆，

若ｘ∈［１，８］，

其他．

Ｆ（ｘ）是Ｘ的分布函数．随机变量Ｙ＝Ｆ（Ｘ）的分布函数．十二、（本题满分１３分）若对于任意二事件Ａ和Ｂ，均有０＜Ｐ（Ａ）＜１，及０＜Ｐ（Ｂ）＜１．又

ρ＝Ｐ（ＡＢ）－Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）

Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ槡 ）

称做事件Ａ和Ｂ的相关系数，其中Ａ，Ｂ分别为Ａ，Ｂ的补事件．（１）证明事件Ａ和Ｂ独立的充分必要条件是其相关系数等于零；

（２）利用随机变量相关系数的基本性质，证明｜ρ｜≤１．

２００４年试题

一、填空题（本题共６个小题，每小题４分，满分２４分．把答案填在题中横线上）

（１）若ｌｉｍｘ→０

ｓｉｎｘｅｘ－ａ

（ｃｏｓｘ－ｂ）＝５，则ａ＝ ，ｂ＝ ．

（２）设函数ｙ＝ａｒｃｔａｎｅｘ－ｌｎ ｅ２ｘ

ｅ２ｘ槡 ＋１，则 ｄｙｄｘ ｘ＝１

＝ ．

（３）设函数ｆ（ｘ）＝ｘｅｘ

２

，－１２≤ｘ＜１２

，

－１，ｘ≥１２

烅

烄

烆 ，

则∫２

１２ｆ（ｘ－１）ｄｘ＝ ．

（４）设矩阵

Ａ＝０ －１ ０１ ０ ０烄

烆

烌

烎０ ０ －１

， Ｂ＝Ｐ－１ＡＰ，

其中Ｐ为三阶可逆矩阵，则Ｂ２００４－２Ａ２＝ ．

２００４年试题 １－３５

１

（５）设Ａ＝ ａｉ（ ）ｊ ３×３是实正交矩阵，且ａ１１＝１，ｂ＝（１，０，０）Ｔ，则线性方程组Ａｘ＝ｂ的解

是 ．（６）设随机变量Ｘ服从参数为λ的指数分布，则Ｐ｛Ｘ＞ Ｄ（Ｘ槡 ）｝＝ ．二、选择题（本题共６个小题，每小题４分，满分２４分．每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（７）函数ｆ（ｘ）＝ ｘｓｉｎ（ｘ－２）

ｘ（ｘ－１）（ｘ－２）２在下列哪个区间内有界． （ ）

（Ａ）（－１，０） （Ｂ）（０，１） （Ｃ）（１，２） （Ｄ）（２，３）

（８）设函数ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）内有定义，且ｌｉｍｘ→∞ｆ（ｘ）＝ａ，又函数

ｇ（ｘ）＝ｆ １（ ）ｘ ，ｘ≠０，

０， ｘ＝０烅烄

烆 ，

则 （ ）

（Ａ）ｘ＝０必是ｇ（ｘ）的第一类间断点

（Ｂ）ｘ＝０必是ｇ（ｘ）的第二类间断点

（Ｃ）ｘ＝０必是ｇ（ｘ）的连续点

（Ｄ）ｇ（ｘ）在点ｘ＝０处的连续性与ａ的取值有关

（９）设ｆ（ｘ）＝ ｘ（１－ｘ） ，则 （ ）

（Ａ）ｘ＝０是ｆ（ｘ）的极值点，但（０，０）不是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点

（Ｂ）ｘ＝０不是ｆ（ｘ）的极值点，但（０，０）是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点

（Ｃ）ｘ＝０是ｆ（ｘ）的极值点，且（０，０）是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点

（Ｄ）ｘ＝０不是ｆ（ｘ）的极值点，（０，０）也不是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点

（１０）设函数

ｆ（ｘ）＝１， ｘ＞０，

０， ｘ＝０，

－１，ｘ＜０烅烄

烆 ．Ｆ（ｘ）＝∫

ｘ

０ｆ（ｔ）ｄｔ．

则 （ ）

（Ａ）Ｆ（ｘ）在ｘ＝０点不连续

（Ｂ）Ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）内连续，但在ｘ＝０点不可导

（Ｃ）Ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）内可导，且满足Ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ）

（Ｄ）Ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）内可导，但不一定满足Ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ）

（１１）设ｆ′（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，且ｆ′（ａ）＞０，ｆ′（ｂ）＜０，则下列结论中错误的是 （ ）

（Ａ）至少存在一点ｘ０∈（ａ，ｂ），使得ｆ（ｘ０）＞ｆ（ａ）

（Ｂ）至少存在一点ｘ０∈（ａ，ｂ），使得ｆ（ｘ０）＞ｆ（ｂ）

（Ｃ）至少存在一点ｘ０∈（ａ，ｂ），使得ｆ′（ｘ０）＝０（Ｄ）至少存在一点ｘ０∈（ａ，ｂ），使得ｆ（ｘ０）＝０（１２）设ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ等价，则必须 （ ）

（Ａ）当 Ａ ＝ａ（ａ≠０）时，Ｂ ＝ａ （Ｂ）当 Ａ ＝ａ（ａ≠０）时，Ｂ ＝－ａ（Ｃ）当 Ａ ≠０时，Ｂ ＝０ （Ｄ）当 Ａ ＝０时，Ｂ ＝０

历年考研数学试题详解·数学（四）１－３６

（１３）设随机变量Ｘ服从正态分布Ｎ（０，１），对给定的α∈（０，１），数ｕα满足Ｐ｛Ｘ＞ｕα｝＝α，若Ｐ｛Ｘ ＜ｘ｝＝α，则ｘ等于 （ ）

（Ａ）ｕα２

（Ｂ）ｕ１－α２ （Ｃ）ｕ１－α２

（Ｄ）ｕ１－α（１４）设随机变量Ｘ１，Ｘ２，⋯，Ｘｎ（ｎ＞１）独立同分布，且方差σ２＞０．令随机变量Ｙ ＝

１ｎ∑

ｎ

ｉ＝１Ｘｉ，则 （ ）

（Ａ）Ｄ（Ｘ１＋Ｙ）＝ｎ＋２ｎ σ２ （Ｂ）Ｄ（Ｘ１－Ｙ）＝ｎ＋２ｎ σ

２

（Ｃ）ｃｏｖ（Ｘ１，Ｙ）＝σ２

ｎ（Ｄ）ｃｏｖ（Ｘ１，Ｙ）＝σ２

三、解答题（本题共９个小题，满分９４分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

（１５）（本题满分８分）求ｌｉｍｘ→０

１ｓｉｎ２ｘ－

ｃｏｓ２ｘｘ（ ）２ ．

（１６）（本题满分８分）求Ｄ

（ ｘ２＋ｙ槡 ２＋ｙ）ｄσ，其中Ｄ是由

圆ｘ２＋ｙ２＝４和（ｘ＋１）２＋ｙ２＝１所围成的平面区域（如图）．（１７）（本题满分８分）设ｆ（ｕ，ｖ）具有连续偏导数，且满足

ｆｕ′（ｕ，ｖ）＋ｆｖ′（ｕ，ｖ）＝ｕｖ．求ｙ（ｘ）＝ｅ－２ｘｆ（ｘ，ｘ）所满足的一阶微分方程，并求其通解．

（１８）（本题满分９分）设某商品的需求函数为Ｑ＝１００－５Ｐ，其中价格Ｐ∈（０，２０），Ｑ 为

需求量．（Ⅰ）求需求量对价格的弹性Ｅｄ（Ｅｄ＞０）；

（Ⅱ）推导ｄＲｄＰ＝Ｑ

（１－Ｅｄ）（其中Ｒ为收益），并用弹性Ｅｄ 说明价格在何范围内变化时，

降低价格反而使收益增加．

（１９）（本题满分９分）设Ｆ（ｘ）＝ｅ２ｘ， ｘ≤０，

ｅ－２ｘ，ｘ＞０烅烄

烆 ．Ｓ表示夹在Ｏｘ轴与曲线ｙ＝Ｆ（ｘ）之间

的面积．对任何ｔ＞０，Ｓ１（ｔ）表示矩形－ｔ≤ｘ≤ｔ，０≤ｙ≤Ｆ（ｔ）的面积．求（Ⅰ）Ｓ（ｔ）＝Ｓ－Ｓ１（ｔ）的表达式；

（Ⅱ）Ｓ（ｔ）的最小值．（２０）（本题满分１３分）设线性方程组

ｘ１ ＋λｘ２ ＋μｘ３ ＋ｘ４＝０，

２ｘ１ ＋ｘ２ ＋ｘ３＋２ｘ４＝０，

３ｘ１＋（２＋λ）ｘ２＋（４＋μ）ｘ３＋４ｘ４＝１烅烄

烆 ．

已知（１，－１，１，－１）Ｔ是该方程的一个解．试求

（Ⅰ）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示它们；

（Ⅱ）该方程组满足ｘ２＝ｘ３的全部解．（２１）（本题满分１３分）设三阶实对称矩阵Ａ的秩为２，λ１＝λ２＝６是Ａ的二重特征值．若

α１＝（１，１，０）Ｔ，α２＝（２，１，１）Ｔ，α３＝（－１，２，３）Ｔ都是Ａ的属于特征值６的特征向量．

２００４年试题 １－３７

１

（Ⅰ）求Ａ的另一特征值和对应的特征向量；

（Ⅱ）求矩阵Ａ．

（２２）（本题满分１３分）设Ａ、Ｂ为两个随机事件，且Ｐ（Ａ）＝１４，Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝１３

，Ｐ（Ａ｜Ｂ）

＝１２，若令

Ｘ＝１，Ａ发生，

０，Ａ不发生｛ ．Ｙ＝

１，Ｂ发生，

０，Ｂ不发生｛ ．（Ⅰ）求二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率分布；

（Ⅱ）求Ｘ与Ｙ的相关系数ρＸＹ；

（Ⅲ）求Ｚ＝Ｘ２＋Ｙ２的概率分布．（２３）（本题满分１３分）设随机变量Ｘ在区间（０，１）上服从均匀分布，在Ｘ＝ｘ（０＜ｘ＜１）

的条件下，随机变量Ｙ在区间（０，ｘ）上服从均匀分布，求

（Ⅰ）随机变量Ｘ和Ｙ的联合概率密度；

（Ⅱ）Ｙ的概率密度；

（Ⅲ）概率Ｐ｛Ｘ＋Ｙ＞１｝．

历年考研数学试题详解·数学（四）１－３８

二、全国硕士研究生招生考试

数学（四）试题解答部分

１９８７年试题参考答案

一、判断是非题

（１）解：因当ｘ→０时，１ｘ→－∞

，故ｅ１ｘ→０；当ｘ→０＋时，１

ｘ→＋∞．

因此极限ｌｉｍｘ→０ｅ１ｘ不存在，但其也非无穷大量．

故填非．（２）解：例如ｆ（ｘ）＝ｘ３在（－∞，＋∞）内严格单调增加，但ｆ′（ｘ）＝３ｘ２，ｆ′（０）＝０．故填非．

（３）解：由于ｆ（ｘ）＝ｘ４ｓｉｎｘ为奇函数且积分区间为对称区间，故∫π

－πｘ４ｓｉｎｄｘ＝０．

故填是．（４）解：注意到行列式性质有

｜ｋＡ｜＝

ｋａ１１ ｋａ１２ ⋯ ｋａ１ｎｋａ２１ ｋａ２２ ⋯ ｋａ２ｎ

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

ｋａｎ１ ｋａｎ２ ⋯ ｋａｎｎ

＝ｋｎ

ｋａ１１ ｋａ１２ ⋯ ｋａ１ｎｋａ２１ ｋａ２２ ⋯ ｋａ２ｎ

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

ｋａｎ１ ｋａｎ２ ⋯ ｋａｎｎ

＝ｋｎ｜Ａ｜．

故填非．

（５）设连续型随机变量Ｘ的概率密度为ｆ（ｘ），则由定义Ｐ｛Ｘ≤ｘ０｝＝∫ｘ０

－∞ｆ（ｘ）ｄｘ．则

Ｐ｛Ｘ＝ｘ０｝＝Ｐ｛ｘ０≤Ｘ≤ｘ０｝＝∫ｘ０

ｘ０ｆ（ｘ）ｄｘ＝０．

故填是．二、选择题

（１）解：由题设及初等函数性质知ｆ（ｘ）＝１ｘ在其定义域（－∞，０）∪（０，＋∞）上连续．

故选（Ａ）．（２）解：使用拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）定理条件为：函数在闭区间上连续，在开区间上可导．而

选项（Ａ）、（Ｂ）和（Ｄ）在区间端点不满足前一条件．只有（Ｃ）符合定理条件．故选（Ｃ）．

（３）解：由∫＋∞

ｅ

ｄ（ｌｎｘ）

ｘ（ｌｎｘ）ｋ ＝∫＋∞

ｅ

ｄ（ｌｎｘ）（ｌｎｘ）ｋ ＝

１（１－ｋ）（ｌｎｘ）ｋ－１

＋∞

ｋ，这里ｋ≠１．

故知当ｋ＞１时，反常积分收敛．

２－１

２

故选（Ｃ）．（４）解：由矩阵秩的定义，Ａ 的ｎ个行向量构成的向量组的秩也为ｒ，则必存在（但非任

意）ｒ个线性无关的行向量．故选（Ａ）．

（５）解：由于以下三式成立：

Ａ＝Ａ（Ｂ∪Ｂ）＝ＡＢ∪ＡＢ， （ＡＢ）（Ａ珚Ｂ）＝ＡＡＢ珚Ｂ＝， Ａ珚Ｂ＝Ａ－Ｂ，

则 Ｐ（Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）＋Ｐ（Ａ珚Ｂ），即 Ｐ（Ａ－Ｂ）＝Ｐ（Ａ珚Ｂ）＝Ｐ（Ａ）－Ｐ（ＡＢ）．故选（Ｃ）．

三、解：设ｙ＝ｌｎ（ １＋ｘ槡 ２－１）－ｌｎ（ １＋ｘ槡 ２＋１），这样

ｙ′＝ １１＋ｘ槡 ２－１

· ｘ１＋ｘ槡 ２

－ １１＋ｘ槡 ２＋１

· ｘ１＋ｘ槡 ２

＝ ２ｘ １＋ｘ槡 ２

．

四、解：注意到代换ｌｎ（１＋ｔ）～ｔ（ｔ充分小），这里ｔ＝１ｘ，再用洛必达（Ｌ′Ｈｏｓｐｉｔａｌ）法则有

ｌｉｍｘ→＋∞

ｌｎ１＋１（ ）ｘａｒｃｃｏｔｘ ＝ｌｉｍ

ｘ→＋∞

１ｘ

ａｒｃｃｏｔｘ＝ｌｉｍｘ→＋∞

－１ｘ２

－ １１＋ｘ２

＝ｌｉｍｘ→＋∞

１＋ｘ２ｘ２ ＝１．

五、解：注意到下面式子变换（凑微分）可有

∫ ｘｘ４＋２ｘ２＋５

ｄｘ＝１２∫ ｄ（ｘ２）（ｘ２＋１）２＋４

＝１２∫ ｄ（ｘ２＋１）（ｘ２＋１）２＋２２

＝１４ａｒｃｔａｎｘ２＋１２ ＋Ｃ．

六、解：设 ２ｘ槡 －１＝ｔ，则ｘ＝１＋ｔ２

２，ｄｘ＝ｔｄｔ．当ｘ＝１２

时，ｔ＝０；当ｘ＝１时，ｔ＝１．因此

∫１

１２ｅ２ｘ－槡 １ｄｘ＝∫

１

０ｔｅｔｄｔ＝ｔｅｔ

１０－∫

１

０ｅｔｄｔ＝ｅ－ｅｔ

１０＝１．

七、解：由题设可得

（１）边际成本函数 ｄＣ（ｘ）

ｄｘ ＝３＋ｘ．

（２）因收益Ｒ＝ｐｘ＝１００槡ｘ，故边际收益函数 ｄＲ（ｘ）

ｄｘ ＝５０槡ｘ．

（３）因利润Ｌ（ｘ）＝Ｒ（ｘ）－Ｃ（ｘ），故边际利润为 ｄ［Ｒ（ｘ）－Ｃ（ｘ）］

ｄｘ ＝５０槡ｘ－３－ｘ．

（４）因收益Ｒ（ｐ）＝ｐｘ，而ｐ＝１００槡ｘ

知ｘ＝１００２

ｐ２，故 Ｒ（ｐ）＝１００

２

ｐ ．收益对价格的弹性为

ｐＲ（ｐ）

·ｄＲ（ｐ）

ｄｐ ＝ ｐ（ ）１００

２－１００

２

ｐ（ ）２ ＝－１．

八、解：由定积分几何意义有

Ｓ１＝ｔ２－∫ｔ

０ｘ２ｄｔ＝２３ｔ

３， Ｓ２＝∫１

ｔｘ２ｄｘ－（１－ｔ）ｔ２＝２３ｔ

３－ｔ２＋１３，

则 Ｓ＝Ｓ（ｔ）＝Ｓ１＋Ｓ２＝４３ｔ

３－ｔ２＋１３，

历年考研数学试题详解·数学（四）２－２

令Ｓ′（ｔ）＝４ｔ２－２ｔ＝２ｔ（２ｔ－１）＝０，在（０，１）内得ｔ＝１２，有Ｓ（ ）１２ ＝１４．

又Ｓ（ｔ）在［０，１］两端点处的值为 Ｓ（０）＝１３，Ｓ（１）＝２３．

比较以上３点的函数值知：当ｔ＝１２时，Ｓ最小；当ｔ＝１时，Ｓ最大．

九、解：由题设首先可有

ｚｘ＝

１

１＋ ｘ＋ｙｘ－（ ）ｙ２·－２ｙ

（ｘ－ｙ）２＝－ｙ

ｘ２＋ｙ２， ｚｙ＝

１

１＋ ｘ＋ｙｘ－（ ）ｙ２·

２ｘ（ｘ－ｙ）２＝

ｘｘ２＋ｙ２

．

故 ｄｚ＝ｚｘｄｘ＋ｚｙｄｙ＝

－ｙｄｘ＋ｘｄｙｘ２＋ｙ２

．

十、解：由题设及重积分性质有

Ｉ＝∫１

０ｄｘ∫

ｘ

ｘ３ｅｘ

２

ｄｙ＝∫１

０（ｘ－ｘ３）ｅｘ

２

ｄｘ （令ｔ＝ｘ２）

＝∫１

０

１２

（１－ｔ）ｅｔｄｔ＝１２（１－ｔ）ｅ［ ］ｔ １

０＋１２∫

１

０ｅｔｄｔ

＝ｅ２－１．十一、解：由ＡＢ＝Ａ＋２Ｂ，有ＡＢ－２Ｂ＝Ａ，即 （Ａ－２Ｉ）Ｂ＝Ａ．从而

（Ａ－２Ｉ）＝２ ２ ３１ －１ ０

烄

烆

烌

烎－１ ２ １

（Ａ－２Ｉ）－１＝１ －４ －３１ －５ －３

烄

烆

烌

烎－１ ６ ４．

故 Ｂ＝（Ａ－２Ｉ）－１Ａ＝１ －４ －３１ －５ －３

烄

烆

烌

烎－１ ６ ４

４ ２ ３１ １ ０

烄

烆

烌

烎－１ ２ ３＝３ －８ －６２ －９ －６

烄

烆

烌

烎－２ １２ ９．

十二、解：对题设方程组的增广矩阵珚Ａ＝（Ａｂ）作行初等变换：

珚Ａ＝

２ －１ ４ －３ －４１ ０ １ －１ －３３ １ １ ０ １

烄

烆

烌

烎７ ０ ７ －３ ３

将第１列

化为ｅ→２

０ －１ ２ －１ ２１ ０ １ －１ ３０ １ －２ ３ １０

烄

烆

烌

烎０ ０ ０ ４ ２４

将第２列

化为ｅ→１

０ １ －２ １ －２１ ０ １ －１ －３０ ０ ０ １ ６

烄

烆

烌

烎０ ０ ０ ０ ０

将第４列

化为ｅ→３

０ １ －２ ０ －８１ ０ １ ０ ３０ ０ ０ １ ６

烄

烆

烌

烎０ ０ ０ ０ ０

．

由此看到ｒ（珚Ａ）＝ｒ（Ａ）＝３，知原方程组有解，其同解方程组为

ｘ１＝－ｘ３＋３，

ｘ２＝２ｘ３－８，

ｘ４＝６烅烄

烆 ．

（）

由此同解方程组写出原方程组通解的方法有以下两种：

方法１：令ｘ３＝０，得β０＝（３，－８，０，６）Ｔ是原方程组的一个特解．再令常数项为零，得原方程组的齐次方程组的同解方程组：

１９８７年试题参考答案 ２－３

２

ｘ１＝－ｘ３，

ｘ２＝２ｘ３，

ｘ４＝０烅烄

烆 ．令ｘ３＝１得β１＝（－１，２，１，０）Ｔ是基础解．于是原方程组的通解为（这里ｋ为任意常数）

ｘ１ｘ２ｘ３ｘ

烄

烆

烌

烎４

＝ｋ

－１烄

烆

烌

烎

２１０

＋

３－８烄

烆

烌

烎０６

．

方法２：令ｘ３＝ｋ（任意常数），由方程组（）得通解（其中ｋ为任意常数）

ｘ１ｘ２ｘ３ｘ

烄

烆

烌

烎４

＝

－ｋ＋３２ｋ－８ｋ

烄

烆

烌

烎６

＝ｋ

－１烄

烆

烌

烎

２１０

＋

３－８烄

烆

烌

烎０６

．

十三、解：由题设有Ａ的特征方程

｜Ａ－λＩ｜＝－３－λ －１ ２０ －１－λ ４－１ ０ １－λ

＝（１－λ）（λ２＋４λ＋５）＝０，

解得Ａ的惟一的实特征值λ＝１．设与λ＝１相应的Ａ的特征向量ｘ＝（ｘ１，ｘ２，ｘ３）Ｔ，则有齐次方程组

（Ａ－Ｉ）ｘ＝－４ －１ ２０ －２ ４

烄

烆

烌

烎－１ ０ ０

ｘ１ｘ２ｘ

烄

烆

烌

烎３

＝０．

即得同解方程组ｘ１＝０，

ｘ２＝２ｘ３烅烄

烆 ．解得相应的特征向量

ｘ＝ｋ（０，２，１）Ｔ，其中ｋ≠０为任意实常数．

十四、解：设Ａｉ＝｛第ｉ箱被挑出｝（ｉ＝１，２），其为完备事件集，且Ｐ（Ａ１）＝Ｐ（Ａ２）＝１２．

又设Ｂｊ＝｛第ｊ次取出的零件是一等品｝（ｊ＝１，２）．这样可有

（１）由全概率公式，先取出的零件是一等品的概率

Ｐ（Ｂ１）＝Ｐ（Ｂ１｜Ａ１）Ｐ（Ａ１）＋Ｐ（Ｂ１｜Ａ２）Ｐ（Ａ２）＝１５

·１２＋

３５

·１２＝

２５．

（２）由条件概率的定义和全概率公式，有

Ｐ（Ｂ２｜Ｂ１）＝Ｐ（Ｂ１Ｂ２）Ｐ（Ｂ１）

＝ １Ｐ（Ｂ１）

［Ｐ（Ｂ１Ｂ２｜Ａ１）Ｐ（Ａ１）＋Ｐ（Ｂ１Ｂ２｜Ａ２）Ｐ（Ａ２）］

＝５２Ｃ２１０Ｃ２５０

·１２＋Ｃ２１８Ｃ２３０

·（ ）１２ ＝１４９４９＋

５１（ ）２９ ＝０．４８６．十五、解：（１）由题设知Ｘ的分布函数为

历年考研数学试题详解·数学（四）２－４

Ｆ（ｘ）＝Ｐ｛Ｘ≤ｘ｝＝

０， ｘ＜１，

０．２，１≤ｘ＜２，

０．５，２≤ｘ＜３，

１， ｘ≥３

烅

烄

烆 ．（２）由上及设知Ｘ的数学期望和方差分别为

Ｅ（Ｘ）＝１·０．２＋２·０．３＋３·０．５＝２．３，

Ｄ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ２）－［Ｅ（Ｘ）］２＝１·０．２＋４·０．３＋９·０．５－２．３２＝０．６１．

１９８８年试题参考答案

一、判断是非题

（１）解：可 举 反 例 说 明 结 论 不 真：例 如ｌｉｍｘ→０ｘ＝０，ｌｉｍ

ｘ→０ｘｓｉｎ１（ ）ｘ ＝０，此 即 说ｌｉｍ

ｘ→０ｘ 与

ｌｉｍｘ→０ｘ·ｓｉｎ１（ ）ｘ 存在，但ｌｉｍ

ｘ→０ｓｉｎ１（ ）ｘ 不存在．

故填非．（２）解：用反例说明结论不真：例如ｆ（ｘ）＝｜ｘ｜，在ｘ＝０点取极小值，但ｆ′（０）不存在．故填非．

（３）解：由于在∫ａ

０（ｘ－ａ）ｄｘ中令ａ－ｘ＝ｔ，则∫

０

ａｆ（ｔ）（－ｄｔ）＝∫

ａ

０ｆ（ｔ）ｄｔ＝∫

ａ

０ｆ（ｘ）ｄｘ．

知积分等式∫ａ

０ｆ（ｘ）ｄｘ＝－∫

ａ

０ｆ（ｘ）ｄｘ一般不成立（在ａ＝０时成立）．

故填非．（４）解：结论正确．可用反证法．若秩ｒ（Ａ）＝ｎ，则Ａ可逆，则Ａ－１ＡＢ＝Ａ－１Ｏ，即Ｂ＝Ｏ．这与题设矛盾，所以必有秩ｒ（Ａ）＜ｎ．故填是．

（５）解：可举反例说明结论不真．例如Ａ＝｛１，２，３｝，Ｂ＝｛１，２，４｝，Ｃ＝｛２，３，４｝．则

Ａ＋Ｃ＝｛１，２，３，４｝， Ｂ＋Ｃ＝｛１，２，３，４｝，

即Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｃ，但Ａ≠Ｂ．故填非．二、填空题

（１）解：①根据变上限积分求导公式有ｆ′（ｘ）＝∫ｘ

０ｅ－１２ｔ

２

ｄ（ ）ｔ′＝ｅ－ｘ２

２．

②当ｘ∈（－∞，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＝ｅ－ｘ２

２＞０，故ｆ（ｘ）单调增加．

③因为ｆ（－ｘ）＝∫－ｘ

０ｅ－ｔ２

２ｄｔ（令ｕ＝－ｘ）＝－∫ｘ

０ｄｕ＝－ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）为奇函数．

④、⑤由ｆ′（ｘ）＝ｅ－ｘ２

２ 且ｆ″（ｘ）＝－ｘｅ－ｘ２

２ 及ｆ″（０）＝０，则可知：

当ｘ＜０时，ｆ″（ｘ）＞０，函数下凸；当ｘ＞０时，ｆ″（ｘ）＜０，函数下凹．从而知ｘ＝０为拐点．⑥因为

ｌｉｍｘ→＋∞∫

ｘ

０ｅ－ｔ２

２ｄｔ＝ π槡２，ｌｉｍｘ→－∞∫

ｘ

０ｅ－ｔ２

２ｄｔ＝－ π槡２，

１９８８年试题参考答案 ２－５

２

所以函数图象有两条水平渐近线．（２）解：将该行列式第１，２，３行加到第４行后提取３：

Ｄ＝３·

１ １ １ ０１ １ ０ １１ ０ １ １１ １ １ １

第２、３、４列

减第１

列 ３

１ ０ ０ －１１ ０ －１ ０１ －１ ０ ０１ ０ ０ ０

按第４

行展开 －３．

（３）解：用记录矩阵法求逆．在（ＡＩ）中交换Ａ的１，４行，交换Ａ的２，３行且Ｉ同时交

换有

１ １１ １

１ １

烄

烆

烌

烎

→

１ １

１ １１ １１ １

烄

烆

烌

烎１ １

．

由上故得矩阵Ａ的逆Ａ－１＝

１１

１

烄

烆

烌

烎１

－１

＝

１１

１

烄

烆

烌

烎１

．

注：此题结论可以推广至ｎ阶的情形（解法仿上）．此外，它可由分块矩阵求逆公式计算．

Ｏ Ａ（ ）Ｂ Ｏ

－１

＝（ Ｏ Ｂ－１

Ａ－１ Ｏ）

（４）解：①注意到若Ａ，Ｂ互不相容则

Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ａ∪Ｂ）－Ｐ（Ａ）＝０．７－０．４＝０．３．②由设Ａ，Ｂ相互独立故 Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ），则

Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ），

得 Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ａ∪Ｂ）－Ｐ（Ａ）

１－Ｐ（Ａ） ＝０．７－０．４１－０．４ ＝０．５．三、解：当ｘ＜１和ｘ＞１时，ｆ（ｘ）都是多项式函数，处处可导．为使ｆ（ｘ）在ｘ＝１处可导，首先要满足连续条件，即

ｆ（１＋０）＝ｆ（１－０）＝ｆ（１）， 有 ａ＋ｂ＝１．其次要满足可导条件，即ｆ＋′（１）＝ｆ－′（１），又ｆ＋′（１）＝ａ，ｆ－′（１）＝２，有 ａ＝２．将ａ＝２代入ａ＋ｂ＝１中，得ｂ＝－１．故当ａ＝２，ｂ＝－１时，ｆ（ｘ）处处可导．

四、解：将０·∞型化为００

型，由Ｌ′Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则有

ｌｉｍｘ→１

（１－ｘ２）ｔａｎπ２ｘ＝ｌｉｍｘ→１１－ｘ２

ｃｏｔπ２ｘ＝ｌｉｍｘ→１

－２ｘ－π２ｃｓｃ

２π２ｘ＝４π．

五、解：设圆的周长为ｘ，则正方形的周长为ａ－ｘ，两图形的面积之和

Ｓ＝ ａ－ｘ（ ）４２＋π ｘ２（ ）π

２＝４＋π１６πｘ

２－ａ８ｘ＋ａ２１６

，

由 Ｓ′＝４＋π８πｘ－ａ８

，及 Ｓ″＝４＋π８π＞０．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－６

令Ｓ′＝０，解得惟一驻点ｘ＝πａ４＋π，其为极小值点．

故当圆的周长ｘ＝πａ４＋π，正方形的周长为ａ－ｘ＝４ａ４＋π

时，两图形的面积之和为最小．六、解１：先凑微分，再由公式可有

∫３

０

ｄｘ槡ｘ（１＋ｘ）

＝∫３

０

２１＋（槡ｘ）２

ｄ（槡ｘ）＝２ａｒｃｔａｎ槡ｘ３０＝２π３．

解２：设槡ｘ＝ｔ，则ｘ＝ｔ２，ｄｘ＝２ｔｄｔ．当ｘ＝０时，ｔ＝０；当ｘ＝３时，ｔ＝槡３．因此

∫３

０

ｄｘ槡ｘ（１＋ｘ）

＝∫槡３

０

２１＋ｔ２

ｄｔ＝２ａｒｃｔａｎ槡３０ ＝

２π３．

七、解：ｕｘ＝

１ｙｅ

ｘｙ，

２ｕｘｙ＝

ｙ

１ｙｅ

ｘ（ ）ｙ ＝－ １ｙ（ ）２ ｅｘｙ－ ｘ

ｙ（ ）３ ｅｘｙ＝－ｘ＋ｙｙ３ ｅｘｙ．

八、解：交换积分次序后再计算可有

原式＝∫π６

０ｄｘ∫

ｘ

０

ｃｏｓｘｘ ｄｙ＝∫

π６

０ｃｏｓｘｄｘ＝ｓｉｎｘ

π６

０＝１２．

九、解：（１）设切点Ａ的坐标为（ａ，ａ２），则过Ａ的切线斜率为ｙ′ ｘ＝ａ＝２ａ，切线方程为

ｙ－ａ２＝２ａ（ｘ－ａ）ｙ＝２ａｘ－ａ２．

此切线与Ｏｘ轴的交点为 ａ２

，（ ）０ ，曲线、Ｏｘ轴及切线所围图形面积

Ｓ＝∫ａ

０ｘ２ｄｘ－ａ

３

４ ＝ａ３３－

ａ３４ ＝

ａ３１２．

由题设Ｓ＝ １１２，因此ａ＝１．于是切点Ａ的坐标为（１，１）．

（２）曲线过点Ａ（１，１）的切线方程为ｙ＝２ｘ－１．（３）曲线、切线及Ｏｘ轴所围图形绕Ｏｘ轴旋转所成旋转体的体积

Ｖ ＝∫１

０π（ｘ２）２ｄｘ－∫

１

１２π（２ｘ－１）２ｄｘ＝ π３０．

十、解：由Ａ２－３Ａ－２Ｉ＝Ｏ，得Ａ２－３Ａ＝２Ｉ，因而 Ａ １２

（Ａ－３Ｉ［ ］）＝Ｉ．

此即说Ａ可逆，且 Ａ－１＝１２（Ａ－３Ｉ）．

十一、解：设有一组数ｋ１，ｋ２，⋯，ｋｓ，满足ｋ１β１＋ｋ２β２＋⋯＋ｋｓβｓ＝０，则有

（ｋ１＋ｋ２）α１＋（ｋ１＋ｋ２）α２＋⋯＋（ｋｓ－１＋ｋｓ）αｓ＝０．由α１，α２，⋯，αｓ线性无关的条件知，上式中各系数全为零，即

ｋ１ ＋ｋｓ＝０，

ｋ１＋ｋ２ ＝０，

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

ｋｓ－１＋ｋｓ＝０

烅

烄

烆 ．

此方程组的系数行列式为如下的ｓ阶行列式，按第１行展开，得

１９８８年试题参考答案 ２－７

２

Ｄｓ＝

１ ０ ０ ⋯ ０ １１ １ ０ ⋯ ０ ００ １ １ ⋯ ０ ０

０ ０ ０ ⋯ １ １

＝１＋（－１）ｓ＋１＝２，若ｓ为奇数，

０，若ｓ为偶数｛ ．

（１）如ｓ为奇数，则Ｄｓ＝２≠０，故方程组只有零解，即必有ｋ１＝ｋ２＝⋯＝ｋｓ＝０，故向量组

β１，β２，⋯，βｓ线性无关；

（２）如ｓ为偶数，则Ｄｓ＝０，故方程组有非零解，即存在不全为零的数组ｋ１，ｋ２，⋯，ｋｓ，使

ｋ１β１＋ｋ２β２＋⋯＋ｋｓβｓ＝０成立，故 β１，β２，⋯，βｓ线性相关．十二、解：方程组的增广矩阵经行初等变换可化为

珚Ａ→

１ １ ２ ３ ０１ ２ －１ １２－ｋ１ ２ ４

３ ｋ２

烄

烆

烌

烎＋５

，

（１）当ｋ１≠２时，ｒ（Ａ）＝ｒ（珚Ａ）＝４，方程组有惟一解；

（２）当ｋ１＝２时，增广矩阵可继续行初等变换化为

珚Ａ→

１ １ ２ ３ ０１ ２ －１ １０ １ ２

０ ｋ２

烄

烆

烌

烎－１

．

若ｋ２≠１，则ｒ（Ａ）＝３，ｒ（珚Ａ）＝４，方程组无解；

（３）ｋ１＝２，且ｋ２＝１时，此时ｒ（Ａ）＝ｒ（珚Ａ）＝３＜４，方程组有无穷多组解，此时珚Ａ可化为

珚Ａ→

１ ０ ０ ０ －８１ ２ ０ ３０ １ ２

烄

烆

烌

烎０ ０故此时方程组通解 ｘ＝（－８，３－２ｋ，ｋ，２），其中ｋ∈Ｒ．十三、解：设Ａｉ＝｛箱中有ｉ件残次品｝（ｉ＝０，１，２），则

Ｐ（Ａ０）＝０．８，Ｐ（Ａ１）＝０．１，Ｐ（Ａ２）＝０．１，

由上知Ａ０∪Ａ１∪Ａ２是完备事件集．又设Ｂ＝｛顾客买下该箱｝，则

Ｐ（Ｂ｜Ａ０）＝１， Ｐ（Ｂ｜Ａ１）＝Ｃ４１９Ｃ４２０＝４５

， Ｐ（Ｂ｜Ａ２）＝Ｃ４１８Ｃ４２０＝１２１９．

（１）故由全概率公式，有

α＝Ｐ（Ｂ）＝２

ｉ＝０Ｐ（Ｂ｜Ａｉ）Ｐ（Ａｉ）＝１·０．８＋４５

·０．１＋１２１９·０．１≈０．９４３．

（２）由贝叶斯公式，有

β＝Ｐ（Ａ０｜Ｂ）＝Ｐ（Ｂ｜Ａ０）Ｐ（Ａ０）

Ｐ（Ｂ） ＝１·０．８０．９４３≈０．８４８．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－８

十四、解１：（直接计算法）Ｘ的密度函数为ｐ（ｘ）＝１，

０｛ ，

１＜ｘ＜２，

其他．当１＜ｘ＜２时，ｙ＝ｅ２ｘ的取值范围是ｅ２＜ｙ＜ｅ４．于是Ｙ的分布函数为

Ｆ（ｙ）＝Ｐ｛Ｙ≤ｙ｝＝Ｐ｛ｅ２Ｘ≤ｙ｝＝

０，

∫１２ｌｎｙ

１ｄｘ，

１

烅

烄

烆 ，

ｙ≤ｅ２，

ｅ２＜ｙ＜ｅ４，

ｙ≥ｅ４．

上式求导得 ｆ（ｙ）＝Ｆ′（ｙ）＝

０，

１２ｙ

，

０

烅

烄

烆 ，

ｙ＜ｅ２，

ｅ２＜ｙ＜ｅ４，

ｙ＞ｅ４．

再令ｆ（ｅ２）＝０，ｆ（ｅ４）＝０，得 ｆ（ｙ）＝１２ｙ

，

０烅烄

烆 ，

ｅ２＜ｙ＜ｅ４，

其他．

解２：（反函数公式法）Ｘ的密度函数为ｐ（ｘ）＝１，

０｛ ，

０＜ｘ＜２，

其他．设ｙ＝ｇ（ｘ）＝ｅ２ｘ，其反函数ｘ＝ｈ（ｙ）＝１２ｌｎｙ

，且ｈ′（ｙ）＝１２ｙ．

再令 α＝ｍｉｎ｛ｇ（１），ｇ（２）｝＝ｅ２，β＝ｍａｘ｛ｇ（１），ｇ（２）｝＝ｅ４．

于是 ｆ（ｙ）＝ｐ［ｈ（ｙ）］｛ｈ′（ｙ）｝，

０｛ ，

α＜ｙ＜β；

其他＝１２ｙ

，

０烅烄

烆 ，

ｅ２＜ｙ＜ｅ４，

其他．十五、解：令珚Ａｉ＝｛从１０只元件中任取一只，第ｉ次取到次品｝，用Ｘ表示在取到正品之

前已取出的废品数，Ｘ只可能取三个值：０，１，２．这样｛Ｘ＝０｝表示第１次取到的是正品，其概率为

Ｐ（Ｘ＝０）＝Ｐ（Ａ１）＝Ｃ１８Ｃ１１０＝８１０＝

４５

；

｛Ｘ＝１｝表示第１次取到废品，而第２次取到的是正品，其概率为

Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｐ（珚Ａ１Ａ２）＝Ｐ（珚Ａ１）Ｐ（Ａ２｜珚Ａ１）＝Ｃ１２Ｃ１１０

·Ｃ１８

Ｃ１９＝９１０

·８９＝

８４５

；

｛Ｘ＝２｝表示前２次取到废品，而第３次取到正品，其概率为

１－Ｐ（Ｘ＝０）－Ｐ（Ｘ＝１）＝１－４５－８４５＝

１４５．

因此可得Ｘ的概率分布：

ｘ ０ １ ２

Ｐ｛Ｘ＝ｘ｝ ４５

８４５

１４５

则Ｘ的数学期望 Ｅ（Ｘ）＝０·４５＋１·８４５＋２

·１４５＝

１０４５＝

２９．

Ｘ的方差 Ｄ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ２）－［Ｅ（Ｘ）］２＝０２·４５＋１２·８４５＋２

２·１４５－（ ）２９

２＝８８４０５．

１９８８年试题参考答案 ２－９

２

１９８９年试题参考答案

一、填空题

（１）解：由ｙ′＝１＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ，则ｙ′｜ｘ＝π２＝１，故知曲线在 π２

，１＋π（ ）２ 处切线方程为

ｘ－π２＝ｙ－ １＋π（ ）２ ｙ＝ｘ＋１．

（２）解：根据定义，所求弹性η＝ｐＱｄＱｄｐ＝

ｐａｐｂ

·ａｂｐｂ－１＝ｂ．

（３）解：将２，３，４列加至第１列

原式＝

ｘ －１ １ ｘ－１ｘ －１ ｘ＋１ －１ｘ ｘ－１ １ －１ｘ －１ １ －１

＝ｘ

１ －１ １ ｘ－１１ －１ ｘ＋１ －１１ ｘ－１ １ －１１ －１ １ －１

（将 第１列 加 至 第２、４列，第１例乘“－”号加至

第３列）

＝ｘ

１ ０ ０ ｘ１ ０ ｘ ０１ ｘ ０ ０１ ０ ０ ０

按第４

行展开（－１）４＋１ｘ

０ ０ ｘ０ ｘ ０ｘ ０ ０

＝ｘ４．

注： 先将行列式２，４列各加２，再交换行列式第１，４列，再交换２，３列可得到

ｘ＋１ １ １ １１ ｘ＋１ １ １１ １ ｘ＋１ １１ １ １ ｘ＋１

，它即为

ａ ｘ ｘ ｘｘ ａ ｘ ｘｘ ｘ ａ ｘｘ ｘ ｘ ａ

型

注意两次交换行列变号两次，此行列式我们在前言中曾重点介绍过的行列式．（４）解：由Ｘ１，Ｘ２，Ｘ３相互独立，有

Ｄ（Ｙ）＝Ｄ（Ｘ１－２Ｘ２＋３Ｘ３）＝Ｄ（Ｘ１）＋４Ｄ（Ｘ２）＋９Ｄ（Ｘ３）．

又Ｘ１在［０，６］上服从均匀分布，则Ｄ（Ｘ１）＝（６－０）２

１２ ＝３．

因Ｘ２～Ｎ（０，２２），则Ｄ（Ｘ２）＝４；又Ｘ３～犘（λ）＝犘（３），则Ｄ（Ｘ３）＝λ＝３．代入上式故 Ｄ（Ｙ）＝３＋４·４＋９·３＝４６．

（５）解：由Ｆ（ｘ）的右连续性知Ｆ π２（ ）＋０ ＝Ｆ π（ ）２ ，即１＝Ａｓｉｎπ２

，得 Ａ＝１．

Ｐ｛｜Ｘ｜＜π６｝＝Ｐ｛－π６＜Ｘ＜

π６

｝＝Ｐ｛－π６＜Ｘ≤π６

｝－Ｐ｛Ｘ＝π６｝

＝Ｆ π（ ）６ －Ｆ（－π６）－０＝ｓｉｎπ６－０＝

１２．

二、选择题

（１）解：由下面极限

ｌｉｍｘ→０

２ｘ＋３ｘ－２ｘ ＝ｌｉｍ

ｘ→０

２ｘｌｎ２＋３ｘｌｎ３１ ＝ｌｎ２＋ｌｎ３≠１，

知ｆ（ｘ）与ｘ是同阶但非等价无穷小量．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－１０

故选（Ｂ）．（２）解：选项（Ａ）和（Ｂ）的右端都遗漏了“＋Ｃ”；选项（Ｄ）的右端遗漏了“ｄｘ”，它们皆不真．故选（Ｃ）．

（３）解：由｜Ａ｜＝０知Ａ非可逆，或Ａ的ｎ个行向量必线性相关，因此必有一行向量是其

余行向量的线性组合．故选（Ｃ）．注：注意行列式｜Ａ｜＝０说明矩阵Ａ非可逆．

（４）解：由ｒ（Ａ）＝ｒ必有ｒ≤ｎ，因此排除（Ｃ）和（Ｄ）．若ｒ＝ｎ，则Ａｘ＝０只有零解，但题设Ａｘ＝０有非零解，知（Ａ）不真．故选（Ｂ）．

（５）解：设Ａ１表示｛甲产品畅销｝，Ａ２表示｛乙产品畅销｝，则Ａ＝Ａ１Ａ２．由摩根（Ｍｏｒｇｅｎ）定律知 Ａ＝Ａ１珚Ａ２＝Ａ１∪珚Ａ２＝Ａ１∪Ａ２．故选（Ｄ）．三、（１）解：先将题设式化为指数形式，再由Ｌ′Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则有

ｌｉｍｘ→＋∞

（ｘ＋ｅｘ）１ｘ＝ｅｘｐ ｌｉｍ

ｘ→＋∞

ｌｎ（ｘ＋ｅｘ）｛ ｝ｘ ＝ｅｘｐ ｌｉｍｘ→＋∞

１＋ｅｘ

ｘ＋ｅ｛ ｝ｘ

＝ｅｘｐ ｌｉｍｘ→＋∞

ｅｘ

ｘ＋ｅ｛ ｝ｘ ＝ｅｘｐ ｌｉｍｘ→＋∞

ｅｘ

ｅ｛ ｝ｘ ＝ｅ．（２）解：由题设及多元函数求偏导数法则可有

ｚｘ＝ａ

ｘ２－ｙ槡 ２

·ｌｎａ· ｘｘ２－ｙ槡 ２

＝ ｘｚｌｎａｘ２－ｙ槡 ２

，ｚｙ＝ａ

ｘ２－ｙ槡 ２

·ｌｎａ· －ｙｘ２－ｙ槡 ２

＝－ ｙｚｌｎａｘ２－ｙ槡 ２

，

故 ｄｚ＝ｚｘｄｘ＋ｚｙｄｙ＝

ｚｌｎａｘ２－ｙ槡 ２

（ｘｄｘ－ｙｄｙ）．

（３）解：由题设及分部积分可有

原式＝∫１ｘｄｘ－∫ｌｎ（１－ｘ）ｄ １（ ）ｘ＝ｌｎ｜ｘ｜－１ｘｌｎ

（１－ｘ）－∫ １ｘ（１－ｘ）ｄｘ

＝ｌｎ｜ｘ｜－１ｘｌｎ（１－ｘ）－∫１

ｘ＋１

１－（ ）ｘ ｄｘ＝ｌｎ｜ｘ｜－１ｘｌｎ

（１－ｘ）－ｌｎ｜ｘ｜＋ｌｎ（１－ｘ）＋Ｃ

＝ １－１（ ）ｘ ｌｎ（１－ｘ）＋Ｃ（４）解：用极坐标变换则

原式＝Ｄ

１－ｒ２１＋ｒ２

ｒｄｒｄθ＝∫π２

０ｄθ∫

１

０

１－ｒ２１＋ｒ２

ｒｄｒ＝ π２∫１

０

１１＋ｒ２－（ ）１ｒｄｒ

＝ π２ｌｎ（１＋ｒ２）－１２ｒ［ ］２ １０＝

π２ｌｎ２－（ ）１２ ．

四、解：由题设可有

①利润函数 Ｌ＝Ｒ－Ｃ＝１８ｘ－３ｘ２－４ｘ３．

１９８９年试题参考答案 ２－１１

２

②边际收入函数 ＭＲ＝ｄＲｄｘ＝２６－４ｘ－１２ｘ２．

③边际成本函数 ＭＣ＝ｄＣｄｘ＝８＋２ｘ．

④由 ｄＬｄｘ＝１８－６ｘ－１２ｘ

２＝０，得ｘ＝１，ｘ＝－１．５（舍去）．

又 ｄ２Ｌｄｘ２ ｘ＝１

＝（－６－２４ｘ）｜ｘ＝１＝－３０＜０，知当ｘ＝１时Ｌ取极大值，其值为

Ｌ｜ｘ＝１＝（１８ｘ－３ｘ２－４ｘ３）｜ｘ＝１＝１１．因为ｘ＞０时，Ｌ（ｘ）只有一个极大值，又由函数实际意义知，此极大值就是最大值．于是，当产量为１时利润最大，最大利润为１１．

五、解：由题设，有ｙ′＝ ４ｘ（１－ｘ）３

，ｙ″＝８ｘ＋４（１－ｘ）４．

令ｙ′＝０，得ｘ＝０．令ｙ″＝０，得ｘ＝－１２．函数大致性态如下表所列．

ｘ －∞，－（ ）１２ －１２ －１２，（ ）０ ０ （０，１） １ （１，＋∞）

ｙ′ － － ０ ＋ －

ｙ″ － ０ ＋ ＋ ＋ ＋

ｙ 拐点 极小值 ∞

由上表可见，函数的单增区间为（０，１），单减区间为（－∞，０）

和（１，＋∞）；函数在ｘ＝０取得极小值，极小值为０；函数的图形在

区间 －∞，－（ ）１２ 上是凸的，在区间 －１２，（ ）１ 和（１，＋∞）上是凹

的．同时点 －１２，（ ）２９ 是曲线的拐点．

由ｌｉｍｘ→∞ｙ＝２，知ｙ＝２为图形的水平渐近线．

由ｌｉｍｘ→１ｙ＝＋∞，知ｘ＝１为图形的铅直渐近线．

图形大致如右图．六、解：由Ｘ＝ＡＸ＋Ｂ，知 Ｘ－ＡＸ＝Ｂ，故有 （Ｉ－Ａ）Ｘ＝Ｂ．

而 Ｉ－Ａ＝１ －１ ０１ ０ －１烄

烆

烌

烎１ ０ ２

，其逆矩阵 （Ｉ－Ａ）－１＝０ ２／３ １／３－１ ２／３ １／３０ －１／３ １／

烄

烆

烌

烎３

，

故Ｘ＝（Ｉ－Ａ）－１Ｂ＝０ ２／３ １／３－１ ２／３ １／３０ －１／３ １／

烄

烆

烌

烎３

１ －１２ ０烄

烆

烌

烎５ －２＝３ －１２ ０烄

烆

烌

烎１ －１．

七、解：设矩阵Ａ＝

α１α２α

烄

烆

烌

烎３

＝１ １ ０１ ３ －１５ ３

烄

烆

烌

烎ｔ

，其行列式

历年考研数学试题详解·数学（四）２－１２

｜Ａ｜＝ｄｅｔ１ １ ０１ ３ －１５ ３

烄

烆

烌

烎ｔ＝２（ｔ－１）．

（１）当ｔ＝１时，｜Ａ｜＝０，秩ｒ（Ａ）＜３，其行向量组α１，α２，α３线性相关；

（２）当ｔ≠１时，｜Ａ｜≠０，秩ｒ（Ａ）＝３，其行向量组α１，α２，α３线性无关．八、解：（１）矩阵由题设Ａ的特征方程为

｜Ａ－λＩ｜＝－１－λ ２ ２２ －１－λ －２２ －２ －１－λ

＝－（λ－１）２（λ＋５）＝０，

由此得矩阵Ａ的特征值为１，１，－５．（２）设ｘ（ｘ≠０）是矩阵Ａ的特征值λ所对应的特征向量，则有Ａｘ＝λｘ，即ｘ＝λＡ－１ｘ，

或

Ａ－１ｘ＝１λｘ（Ｉ＋Ａ－１）ｘ＝ １＋１（ ）λｘ．

由上式知，矩阵Ｉ＋Ａ－１的特征值为１＋１λ即２，２，４

５．九、解：（１）由题设有

Ｐ｛Ｘ＝０｝＝Ｐ｛Ｘ＝０，Ｙ＝０｝＋Ｐ｛Ｘ＝０，Ｙ＝１｝＝０．２５，

Ｐ｛Ｘ＝１｝＝Ｐ｛Ｘ＝１，Ｙ＝０｝＋Ｐ｛Ｘ＝１，Ｙ＝１｝＝０．４５，

Ｐ｛Ｘ＝２｝＝Ｐ｛Ｘ＝２，Ｙ＝０｝＋Ｐ｛Ｘ＝２，Ｙ＝１｝＝０．３０．则Ｘ的概率分布如下表：

ｘ ０ １ ２

Ｐ｛Ｘ＝ｘ｝ ０．２５ ０．４５ ０．３０

（２）将题设数表改写如

Ｐ｛Ｘ＝ｘ，Ｙ＝ｙ｝ ０．１０ ０．１５ ０．２５ ０．２０ ０．１５ ０．１５

（ｘ，ｙ） （０，０） （０，１） （１，０） （１，１） （２，０） （２，１）

ｘ＋ｙ ０ １ １ ２ ２ ３

由上表可得随机变量Ｕ＝Ｘ＋Ｙ的概率分布为：

ｕ ０ １ ２ ３

Ｐ｛Ｘ＋Ｙ＝ｕ｝ ０．１０ ０．４０ ０．３５ ０．１５

（３）由（２）的结论可得Ｚ的数学期望：

Ｅ（Ｚ）＝Ｅｓｉｎπ（Ｘ＋Ｙ）［ ］２ ＝０．１０·ｓｉｎ０＋０．４·ｓｉｎπ２＋０．３５

·ｓｉｎπ－０．１５·ｓｉｎ３π２＝０．４－０．１５＝０．２５．

十、解：设Ａ＝｛在仪器使用的最初２００小时内电子元件损坏｝，而Ｘ表示在２００小时内

电子元件损坏的只数，记ｐ＝Ｐ（Ａ），则Ｘ～犅（３，ｐ）．这样在２００小时内元件损坏的概率

ｐ＝Ｐ（Ａ）＝Ｐ｛Ｘ≤２００｝＝∫２００

０

１６００ｅ

－ｘ６００ｄｘ＝１－ｅ－１３．

１９８９年试题参考答案 ２－１３

２

从而，在最初２００小时内电子元件完好的概率ｑ＝１－ｐ＝ｅ－１３．

故所求概率为α＝Ｐ｛Ｘ≥１｝＝１－Ｐ｛Ｘ＝０｝＝１－ ｅ－（ ）１３ ３＝１－ｅ－１．

１９９０年试题参考答案

一、填空题

（１）解：若将极限式分子有理化，则

原式＝ｌｉｍｎ→∞

（ ｎ＋３槡槡 ｎ－ ｎ－槡槡 ｎ）（ ｎ＋３槡槡 ｎ＋ ｎ－槡槡 ｎ）

ｎ＋３槡槡 ｎ＋ ｎ－槡槡 ｎ

＝ｌｉｍｎ→∞

４

１＋ ３槡槡 ｎ＋ １－ １

槡槡 ｎ

＝２．

（２）解：由题设Ｆ（ｘ）在ｘ＝０处连续，故有

Ａ＝ｌｉｍｘ→０Ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ

ｘ→０

ｆ（ｘ）＋ａｓｉｎｘｘ ＝ｌｉｍ

ｘ→０

ｆ（ｘ）－ｆ（０）

ｘ－０ ＋ｌｉｍｘ→０

ａｓｉｎｘｘ

＝ｆ′（０）＋ａ＝ｂ＋ａ．（３）解：联立ｙ＝ｘ２和ｙ＝ｘ＋２，求得两交点（－１，１）和（２，４）．故所求面积

Ｓ＝∫２

－１［（ｘ＋２）－ｘ２］ｄｘ＝ １

２ｘ２＋２ｘ－ｘ

３［ ］３

２

－１＝９２．

（４）解：对增广矩阵珚Ａ＝（Ａｂ）作初等行变换（第４行减去１，３行加上第２行），使之化

为阶梯形：

珚Ａ＝

１ １ ０ ０ －ａ１０ １ １ ０ ａ２０ ０ １ １ －ａ３１ ０ ０ １ ａ

烄

烆

烌

烎

→

４

１ １ ０ ０ －ａ１０ １ １ ０ ａ２０ ０ １ １ －ａ３０ ０ ０ ０ ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ

烄

烆

烌

烎４

．

依题意方程有解，则必有ｒ（Ａ）＝ｒ（珚Ａ），因此ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＝０．（５）解：相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，注意到数学期望和方

差性质有：

Ｅ（Ｚ）＝Ｅ（Ｘ）－２Ｅ（Ｙ）＋７＝－３－２·２＋７＝０，

Ｄ（Ｚ）＝Ｄ（Ｘ）＋（－２）２Ｄ（Ｙ）＝１＋４·１＝５，

故 Ｚ～Ｎ（０，５）．二、选择题

（１）解：当ｘ→（２ｎ＋１）π２

（ｎ∈Ｚ）时，ｔａｎｘ→∞，从而ｆ（ｘ）→∞，所以ｆ（ｘ）是无界函数．故选（Ｂ）．

（２）解：由题设等式，令ｘ＝０，得ｆ（１）＝ａｆ（０）．由导数定义，

ｆ′（１）＝ｌｉｍｘ→０

ｆ（１＋ｘ）－ｆ（１）

ｘ ＝ｌｉｍｘ→０

ａｆ（ｘ）－ａｆ（０）

ｘ ＝ａｆ′（０）＝ａｂ．

故选（Ｄ）．（３）解：（用逆推法）考虑选项（Ｃ）．（用反证法证其真）

历年考研数学试题详解·数学（四）２－１４

若α１，α２，⋯，αｓ任一向量均不能由其余ｓ－１个向量线性表出，今假设α１，α２，⋯，αｓ线

性相关，这样在α１，α２，⋯，αｓ至少有一个向量可用其余ｓ－１个向量线性表示．而这与（Ｃ）的

前提矛盾．因而前设不真，从而（Ｃ）正确．故选（Ｃ）．注１：顺便指出，其余三个选项不正确的原因分别是：

取α１＝α２＝（１，０）Ｔ≠０，但α１与α２线性相关，故选项（Ａ）不真．凡满足选项（Ｂ）的向量组α１，α２，⋯，αｓ必线性相关，故（Ｂ）错误．设α１，α２，⋯，αｓ－１线性无关，又设αｓ＝α１，则α１，α２，⋯，αｓ－１，αｓ线性相关，因此（Ｄ）也不真．注２：请注意这里指向量组线性无关的“充分条件”而非“必要条件”．

（４）解：因为Ａ可逆，仿上例有Ａ＝｜Ａ｜Ａ－１．两边取行列式，得

｜Ａ｜＝｜｜Ａ｜Ａ－１｜＝｜Ａ｜ｎ｜Ａ－１｜＝｜Ａ｜ｎ－１．故选（Ａ）．

（５）解：据题设及二项分布性质知 Ｅ（Ｘ）＝ｎｐ，Ｄ（Ｘ）＝ｎｐ（１－ｐ），再由题设可有

ｎｐ＝２．４，ｎｐ（１－ｐ）＝１．４４．解得ｎ＝６，ｐ＝０．４．故选（Ｂ）．三、（１）解：根据洛必达（Ｌ′Ｈｏｓｐｉｔａｌ）法则及积分性质，有

ｌｉｍｘ→∞

１ｘ∫

ｘ

０（１＋ｔ２）ｅｔ

２－ｘ

２

ｄｔ＝ｌｉｍｘ→∞

∫ｘ

０（１＋ｔ２）ｅｔ

２

ｄｔ

ｘｅｘ２ ＝ｌｉｍ

ｘ→∞

（１＋ｘ２）ｅｘ２

（１＋２ｘ２）ｅｘ２＝１２．

（２）解１：由ｓｉｎｘ＝２ｓｉｎｘ２ｃｏｓｘ２

，则有

∫ｘｃｏｓ４ｘ２ｓｉｎ３ｘ ｄｘ＝∫

ｘｃｏｓ４ｘ２８ｓｉｎ３ｘ２ｃｏｓ

３ｘ２

ｄｘ＝１８∫ｘｃｏｓｘ２ｓｉｎ３ｘ２

ｄｘ

＝１４∫ ｘｓｉｎ３ｘ２

ｄｓｉｎｘ（ ）２ ＝－１８∫ｘｄ（ １

ｓｉｎ２ｘ２）

＝－ ｘ８ｓｉｎ２ｘ２

＋１８∫ｄｘｓｉｎ２ｘ２

＝－ ｘ８ｓｉｎ２ｘ２

＋１４ｃｏｔｘ２＋Ｃ．

＝－１８ｘｃｓｃ２ｘ２＋

１４ｃｏｔ

ｘ２＋Ｃ．

解２：注意到下面的积分运算：

原式＝１８∫ｘｃｏｓｘ２ｓｉｎ３ｘ２

ｄｘ＝－１４∫ｘｃｏｔｘ２ｄｃｏｔｘ（ ）２

＝－１８∫ｘｃｏｔ２ｘ（ ）２ ＝－１８ｘｃｏｔ２ｘ２＋

１８∫ｃｏｔ２ｘ２ｄｘ

＝－１８ｘｃｏｔ２ｘ２＋

１８∫ｃｓｃ２ｘ２－（ ）１ｄｘ

１９９０年试题参考答案 ２－１５

２

＝－１８ｘｃｏｔ２ｘ２－

１８ｘ＋

１４∫ｃｓｃ２ｘ２ｄｘ（ ）２

＝－１８ｘｃｓｃ２ｘ２－

１４ｃｏｔ

ｘ２＋Ｃ．

（３）解１：（直接法）方程两边同时对ｙ求偏导，得

２ｚｚｙ＝φｚ（ ）ｙ ＋ｙφ′

ｚ（ ）ｙ ·ｙｚｙ－ｚ

ｙ２．

由此解出 ｚｙ＝

ｙφ（ ）ｚｙ －ｚφ′（ ）ｚｙ２ｙｚ－ｙφ′

ｚ（ ）ｙ．

解２：设Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘ２＋ｚ２－ｙφｚ（ ）ｙ ，则 Ｆ′ｙ＝－φ＋

ｚｙφ′

，Ｆ′ｚ＝２ｚ－φ′．

故 ｚｙ＝－

Ｆ′ｙＦ′ｚ＝φ－ｚｙφ′

２ｚ－φ′＝ｙφ－ｚφ′２ｙｚ－ｙφ′

．

（４）解：由题设Ｄ是无穷区域，由被积函数特点知，应先对ｘ再对ｙ积分，即

原式＝∫＋∞

０ｅ－ｙ

２

ｄｙ∫１２槡ｙ

１３槡ｙｘｄｘ＝１２∫

＋∞

０

１４ｙ－

１９（ ）ｙｅ－ｙ

２

ｄｙ

＝ ５７２∫＋∞

０ｙｅ－ｙ

２

ｄｙ＝ ５１４４．

四、解：（１）由题设知利润函数为

ｚ＝ｆ（ｘ１，ｘ２）＝１５＋１４ｘ１＋３２ｘ２－８ｘ１ｘ２－２ｘ２１－１０ｘ２２－（ｘ１＋ｘ２）

＝１５＋１３ｘ１＋３１ｘ２－８ｘ１ｘ２－２ｘ２１－１０ｘ２２．

令

ｚｘ１＝１３－８ｘ２－４ｘ１＝０，

ｚｘ２＝３１－８ｘ１－２０ｘ２＝０

烅

烄

烆 ．

解得ｘ１＝０７５（万元），ｘ２＝１２５（万元）．利润函数ｚ＝ｆ（ｘ１，ｘ２）在（０７５，１２５）处的二阶导数为

Ａ＝２ｚｘ２１

＝－４，Ｂ＝ ２ｚｘ１ｘ２

＝８，Ｃ＝２ｚｘ２２

＝－２０．

因为ＡＣ－Ｂ２＝１６＞０，Ａ＝－４＜０，所以函数ｚ＝ｆ（ｘ１，ｘ２）在（０７５，１２５）处达到极大

值，也即最大值．（２）问题是求利润函数ｚ＝ｆ（ｘ１，ｘ２）在ｘ１＋ｘ２＝１５时的条件极值．设Ｌａｇｒｇｎｇｅ函数

Ｆ（ｘ１，ｘ２，λ）＝１５＋１３ｘ１＋３１ｘ２－８ｘ１ｘ２－２ｘ２１－１０ｘ２２＋λ（ｘ１＋ｘ２－１５）

令

Ｆｘ１＝－４ｘ１－８ｘ２＋１３＋λ＝０，

Ｆｘ２＝－８ｘ１－２０ｘ２＋３１＋λ＝０，

Ｆλ＝ｘ１＋ｘ２－１５＝０

烅

烄

烆 ．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－１６

解得ｘ１＝０，ｘ２＝１５．因此将广告费１５万元全部用于报纸广告，可使利润最大．

五、证１：设ｆ（ｘ）＝１＋ｘｌｎ（ｘ＋ １＋ｘ槡 ２）－ １＋ｘ槡 ２．

因为ｌｎ（ｘ＋ １＋ｘ槡 ２）是奇函数，所以ｘｌｎ（ｘ＋ １＋ｘ槡 ２）是偶函数，从而ｆ（ｘ）是偶函数．因此只需证明，当ｘ≥０时ｆ（ｘ）≥０．首先ｆ（０）＝０．再注意到

ｆ′（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋ １＋ｘ槡 ２）＋ ｘ１＋ｘ槡 ２

－ ｘ１＋ｘ槡 ２

＝ｌｎ（ｘ＋ １＋ｘ槡 ２）≥０，这里ｘ≥０．

于是ｆ′（ｘ）≥０，知ｆ（ｘ）单增，且当ｘ≥０时ｆ（ｘ）≥ｆ（０）＝０．

证２：设ｆ（ｘ）＝１＋ｘｌｎ（ｘ＋ １＋ｘ槡 ２）－ １＋ｘ槡 ２，则ｆ′（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋ １＋ｘ槡 ２）．令ｆ′（ｘ）＝０，解得惟一驻点ｘ＝０．

由于ｆ″（ｘ）＝ １１＋ｘ槡 ２

＞０，知ｘ＝０为极小值点，即最小值点．

由ｆ（ｘ）的最小值为ｆ（０）＝０，对一切ｘ∈（－∞，＋∞）有ｆ（ｘ）≥０，即有

１＋ｘｌｎ（ｘ＋ １＋ｘ槡 ２）≥ １＋ｘ槡 ２， －∞＜ｘ＜＋∞．六、解：将行列式｜Ａ－λＩ｜按第１列展开有

｜Ａ－λＩ｜＝

－λ １ ０ ⋯ ０ ００ －λ １ ⋯ ０ ０

０ ０ ０ ⋯ －λ １１０１０ ０ ０ ⋯ ０ －λ

＝－λ

－λ １ ０ ⋯ ０ ００ －λ １ ⋯ ０ ０

０ ０ ０ ⋯ －λ １０ ０ ０ ⋯ ０ －λ

－１０１０

１ ０ ０ ⋯ ０ ０－λ １ ０ ⋯ ０ ０

０ ０ ０ ⋯ １ ０１０１０ ０ ０ ⋯ －λ １

＝（－λ）（－λ）９－１０１０＝λ１０－１０１０．注：本题显然是在求分块矩阵Ａ的特征多项式．如果此结论熟悉，则问题解答可较简便．七、证：设ｘ是Ａ的实特征向量，它所对应的特征值为λ，则有Ａｘ＝λｘ，

故 （Ａｘ）Ｔ（Ａｘ）＝（λｘ）Ｔ（λｘ），从而ｘＴＡＴＡｘ＝λ２ｘＴｘ．由 ＡＴＡ＝Ｉ，得 （１－λ２）ｘＴｘ＝０．由于ｘ≠０，则ｘＴｘ＝‖ｘ‖２＞０，故１－λ２＝０，即｜λ｜＝１．八、解：对方程组的增广矩阵珚Ａ＝（Ａｂ）作行初等变换可有

珚Ａ＝

１ １ １ １ １ ａ３ ２ １ １ －３ ００ １ ２ ２ ６ ｂ

烄

烆

烌

烎５ ４ ３ ３ －１ ２

→

１ ０ －１ －１ －５ －２ａ０ １ ２ ２ ６ ３ａ０ ０ ０ ０ ０ ｂ－３ａ０ ０ ０ ０ ０ ２－２

烄

烆

烌

烎ａ

．

（１）当ｂ－３ａ＝０与２－２ａ＝０时，即当ａ＝１与ｂ＝３时，ｒ（Ａ）＝ｒ（Ｂ）＝２，方程组有解．（２）当ａ＝１时，且ｂ＝３时，原方程组的同解方程组为

１９９０年试题参考答案 ２－１７

２

ｘ１＝ｘ＋ｘ４＋５ｘ５－２，

ｘ２＝－２ｘ３－２ｘ４－６ｘ５＋３烅烄

烆 ．（）

它的导出组的基础解系，可令

ｘ３ｘ４ｘ

烄

烆

烌

烎５

依次等于

烄

烆

烌

烎

１００

，

烄

烆

烌

烎

０１０

，

烄

烆

烌

烎

００１

，得

β１＝

１－２烄

烆

烌

烎

１００

，β２＝

１－２烄

烆

烌

烎

０１０

，β３＝

５－６烄

烆

烌

烎

００１

．

（３）在方程组（）中，令ｘ３＝ｋ１，ｘ４＝ｋ２，ｘ５＝ｋ３，可得原方程组的全部解：

ｘ＝ｋ１

１－２烄

烆

烌

烎

１００

＋ｋ２

１－２烄

烆

烌

烎

０１０

＋ｋ３

５－６烄

烆

烌

烎

００１

＋

－２烄

烆

烌

烎

３０００

，

其中ｋ１，ｋ２，ｋ３为任意常数．九、解：题设的十个数字中任选三个不同数字的基本事件总数均为Ｃ３１０．

（１）事件Ａ１中不含０和５，只须从十个数字里除０，５外余下的８个数字中选出３个，即有

利事件数是Ｃ３８．因而

Ｐ（Ａ１）＝Ｃ３８Ｃ３１０＝７１５．

（２）为方便，计考虑事件Ａ２的对立事件Ａ２＝｛三个数字中含０或５｝．这样在Ａ２中由于０和５必选，其有利事件数是Ｃ１８．因而

Ｐ（Ａ２）＝１－Ｐ（Ａ２）＝１－Ｃ１８Ｃ３１０＝１４１５．

（３）考虑事件Ａ３：因其一定含０，同时不含５，故只须从余下的８个数中选出２个．因而

Ｐ（Ａ３）＝Ｃ２８Ｃ３１０＝７３０．

十、解：依题意，Ｘ～犅（２，０．２），Ｙ～犅（２，０．５）据公式Ｐ｛Ｘ＝ｋ｝＝Ｃｋｎｐｋｑｎ－ｋ，可算得Ｘ和Ｙ的概率分布分别为：

Ｘ的概率分布表 Ｙ的概率分布表

ｘ ０ １ ２

Ｐ｛Ｘ＝ｘ｝ ０．６４ ０．３２ ０．０４

ｙ ０ １ ２

Ｐ｛Ｙ＝ｙ｝ ０．２５ ０．５ ０．２５

由Ｘ和Ｙ的独立性知Ｘ和Ｙ的联合概率分布为：

历年考研数学试题详解·数学（四）２－１８

ＹＸ ０ １ ２

０ ０．１６ ０．０８ ０．０１１ ０．３２ ０．１６ ０．０２２ ０．１６ ０．０８ ０．０１

十一、解：设Ｘ为考生的外语成绩，依题设 Ｘ～Ｎ（７２，σ２）．又由题设有：

０．０２３＝Ｐ｛Ｘ≥９６｝＝ＰＸ－μσ ≥９６－７２｛ ｝σ ＝１－Φ２４（ ）σ ，

从而 Φ２４（ ）σ ＝０．９７７．由 Φ（ｘ）的数值表查得 ２４σ＝２

，因此σ＝１２．

于是Ｘ～Ｎ（７２，１２２），故所求概率为：

Ｐ｛６０≤Ｘ≤８４｝＝Ｐ６０－７２１２ ≤Ｘ－μσ ≤８４－７２｛ ｝１２ ＝Ｐ －１≤Ｘ－μσ ≤｛ ｝１＝Φ（１）－Φ（－１）＝２Φ（１）－１＝２·０．８４１－１＝０．６８２．

１９９１年试题参考答案

一、填空题

（１）解：由 ｚｘ＝ｅ

ｓｉｎ（ｘｙ）ｃｏｓ（ｘｙ）·ｙ， ｚｙ＝ｅ

ｓｉｎ（ｘｙ）ｃｏｓ（ｘｙ）·ｘ，则有

ｄｚ＝ｚｘｄｘ＋ｚｙｄｙ＝ｅ

ｓｉｎ（ｘｙ）ｃｏｓ（ｘｙ）（ｙｄｘ＋ｘｄｙ）．

（２）解：由ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋ａ， ｇ′（ｘ）＝２ｂｘ． 依题意

ｆ′（－１）＝ｇ′（－１）３＋ａ＝－２ｂ．又由ｆ（－１）＝－１－ａ＝０，得ａ＝－１．代入前式中，解得ｂ＝－１，

最后由ｇ（－１）＝ｂ＋ｃ＝０，得ｃ＝１．故ａ＝１，ｂ＝－１，ｃ＝１．（３）解：对题设函数式经ｎ次求导可得ｆ（ｎ）（ｘ）＝（ｎ＋ｘ）ｅｘ．令 φ′（ｘ）＝ｆ（ｎ＋１）（ｘ）＝（ｎ＋１＋ｘ）ｅｘ＝０，解得驻点ｘ０＝－（ｎ＋１）．因为φ″（ｘ）＝（ｎ＋２＋ｘ）ｅｘ，知φ″（ｘ０）＝ｅ－

（ｎ＋１）＞０，则ｘ０＝－（ｎ＋１）是函数极小值点，

其极小值为φ（－（ｎ＋１））＝－ｅ－（ｎ＋１）．（４）解：按第１列展开后，得到一个上三角、一个下三角矩阵行列式，这样便可计算出结果：

Ｄｎ＝ａ

ａ ｂ ０ ⋯ ０ ００ ａ ｂ ⋯ ０ ０

０ ０ ０ ⋯ ａ ｂ０ ０ ０ ⋯ ０ ａ

＋（－１）ｎ＋１ｂ

ｂ ０ ⋯ ０ ０ａ ｂ ⋯ ０ ００ ａ ⋯ ０ ０

０ ０ ⋯ ａ ｂ＝ａｎ＋（－１）ｎ＋１ｂ．

（５）解：因为Ａ＝ＡＢ∪Ａ珚Ｂ＝ＡＢ∪（Ａ－Ｂ），且 ＡＢ（Ａ－Ｂ）＝ＡＢＡ珚Ｂ＝，

所以 Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）－Ｐ（Ａ－Ｂ）＝０．７－０．３＝０．４，故 Ｐ（ＡＢ）＝１－Ｐ（ＡＢ）＝０．６．二、选择题

（１）解：选项（Ａ）和（Ｂ）是∞０型极限，而（Ｃ）和（Ｄ）是１∞型极限．它们可分别计算如下：

１９９１年试题参考答案 ２－１９

２

选项（Ａ）中极限式：令ｔ＝１ｘ，则有式左＝ｌｉｍ

ｔ→＋∞（１＋ｔ）

１ｔ＝ｅ

ｌｉｍｔ→＋∞

ｌｎ（１＋ｔ）

ｔ ＝ｅｌｉｍｔ→＋∞

１１＋ｔ＝ｅ０＝１．故选项

（Ｂ）不真．

选项（Ｃ）中极限式：式左＝ｅｌｉｍｘ→∞

－ １（ ）ｘ·ｘ＝ｅ－１≠－ｅ．故选项（Ｃ）错．

选项（Ｄ）中极限式：式左＝ｅｌｉｍｘ→∞

１（ ）ｘ·（－ｘ）

＝ｅ－１≠－ｅ．故选项（Ｄ）错．故选（Ａ）．

（２）解：因为题设数列｛ｘｎ｝的子数列｛ｘ２ｍ｝的极限ｌｉｍｍ→∞ｘ２ｍ＝０，而子数列｛ｘ２ｍ－１｝的极限

ｌｉｍｍ→∞ｘ２ｍ－１＝＋∞，所以ｘｎ 不是无穷小量，也不是无穷大量，但它是无界变量．

故选（Ｄ）．（３）解：对ＡＢ＝Ｏ两边取行列式，根据｜ＡＢ｜＝｜Ａ｜·｜Ｂ｜，有｜Ａ｜·｜Ｂ｜＝０，

由此得知｜Ａ｜＝０或｜Ｂ｜＝０．故选（Ｃ）．

（４）解：首先，选项（Ａ）和（Ｂ）的题设条件推导不出ｒ（Ａｂ）＝ｒ（Ａ），因此排除（Ａ）和（Ｂ）．又选项（Ｃ）和（Ｄ）的题设条件均为ｒ（Ａｂ）＝ｒ（Ａ）＜ｎ，知（Ｃ）不真，（Ｄ）正确．故选（Ｄ）．

（５）解：由题设知ＡＢ＝，知Ｐ（ＡＢ）＝０．又 Ａ珚Ｂ∪ＡＢ＝Ａ，知

Ｐ（Ａ－Ｂ）＝Ｐ（Ａ珚Ｂ）＝Ｐ（Ａ）－Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）．故选（Ｄ）．注：由于Ｐ（Ａ）≠０，Ｐ（Ｂ）≠０，选项（Ｃ）不可能成立．而对选项（Ａ）、（Ｂ），若ＡＢ＝，Ａ∪Ｂ≠Ω时，选项

（Ａ）不成立．ＡＢ＝，且Ａ∪Ｂ＝Ω时，选项（Ｂ）不成立．三、解：先将极限式化为指数形式，再用Ｌ′Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则可有

原式＝ｅｘｐ ｌｉｍｘ→＋∞

ｌｎ（ｘ＋ １＋ｘ槡 ２）｛ ｝ｘ＝ｅｘｐ ｌｉｍｘ→＋∞

２ｘ＋ １＋ｘ槡｛ ｝２ ＝ｅ０＝１．

四、解：注意到对称区间上奇偶函数积分性质有

Ｉ＝∫０

－１（ｘ＋１）２ｄｘ＋∫

１

０（３ｘ＋１）２ｄｘ＝１３

（ｘ＋１）３０

－１＋１９

（３ｘ＋１）１

０＝２２３．

五、解１：由分部积分公式有

Ｉ＝∫１－ １１＋ｘ（ ）２ ａｒｃｔａｎｘｄｘ＝∫ａｒｃｔａｎｘｄｘ－∫ａｒｃｔａｎｘｄ（ａｒｃｔａｎｘ）

＝ｘａｒｃｔａｎｘ－∫ ｘ１＋ｘ２

ｄｘ－１２（ａｒｃｔａｎｘ）２

＝ｘａｒｃｔａｎｘ－１２ｌｎ（１＋ｘ２）－１２

（ａｒｃｔａｎｘ）２＋Ｃ．

解２：令ｕ＝ａｒｃｔａｎｘ，则ｘ＝ｔａｎｕ，又１＋ｘ２＝ｓｅｃ２ｕ，则ｄｘ＝ｓｅｃ２ｕｄｕ．于是有

Ｉ＝∫ｔａｎ２ｕ

ｓｅｃ２ｕ·ｕｓｅｃ２ｕｄｕ＝∫ｕｔａｎ２ｕｄｕ＝∫ｕ（ｓｅｃ２－１）ｄｕ

＝ｕｔａｎｕ－∫ｔａｎｕｄｕ－１２ｕ２＝ｕｔｎａｕ＋ｌｎ｜ｃｏｓｕ｜－１２ｕ２＋Ｃ＝ｘａｒｃｔａｎｘ－１２ｌｎ

（１＋ｘ２）－１２（ａｒｃｔａｎｘ）２＋Ｃ．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－２０

六、证：设Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘｙ－ｘｆ（ｚ）－ｙｇ（ｚ），则

Ｆｘ＝ｙ－ｆ（ｚ），Ｆｙ＝ｘ－ｇ（ｚ），Ｆｚ＝－ｘｆ′（ｚ）－ｙｇ′（ｚ）．

于是 ｚｘ＝－

Ｆ′ｘＦ′ｚ＝ ｙ－ｆ（ｚ）

ｘｆ′（ｚ）＋ｙｇ′（ｚ），ｚｙ＝－

Ｆ′ｙＦ′ｚ＝ ｘ－ｇ（ｚ）

ｘｆ′（ｚ）＋ｙｇ′（ｚ）．

故 ［ｘ－ｇ（ｚ）］ｚｘ＝

［ｘ－ｇ（ｚ）］［ｙ－ｆ（ｚ）］

ｘｆ′（ｚ）＋ｙｇ′（ｚ） ＝［ｙ－ｇ（ｚ）］ｚｙ．

注：本题题设条件ｘｆ′（ｚ）＋ｙｇ′（ｚ）≠０去掉，结论亦成立．具体可证如：

将ｘｙ＝ｘｆ（ｚ）＋ｙｇ（ｘ）两边同时对ｘ求偏导数，得

ｙ＝ｆ（ｚ）＋ｘｆ′（ｚ）ｚｘ＋ｙｇ′

（ｚ）ｚｘ

，ｙ－ｆ（ｚ）＝［ｘｆ′（ｚ）＋ｙｇ′（ｘ）］ｚｘ．

同理可得 ｘ－ｇ（ｚ）＝［ｘｆ′（ｚ）＋ｙｇ′（ｚ）］ｚｘ

，

在以上二式的两边分别同乘以ｚｙ

和ｚｘ

，得 ［ｙ－ｆ（ｚ）］ｚｙ＝

［ｘ－ｇ（ｚ）］ｚｘ．

七、解：联立方 程ｙ＝１－ｘ２ 和ｙ＝ａｘ２，解 得 曲 线Ｌ１ 与Ｌ２ 在 第 一 象 限 内 的 交 点

１１＋槡 ａ

，ａ１＋（ ）ａ ．设由曲线Ｌ１，Ｏｘ轴和Ｏｙ轴所围图形在第一象限内的面积记为Ｓ，则

Ｓ＝∫１

０（１－ｘ２）ｄｘ＝２３．

又设Ｓ被Ｌ２分割为两部分，其上部分面积记为Ｓ１（请读者自行画图），则

Ｓ１＝∫１１＋槡 ａ

０［（１－ｘ２）－ａｘ２］ｄｘ＝ ｘ－１３

（１＋ａ）ｘ［ ］３１１＋槡 ａ

０＝ ２３ １＋槡 ａ

．

依题意 Ｓ１＝１２Ｓ

，即 ２３ １＋槡 ａ

＝１３，得ａ＝３．

八、解１：由题设可有

总收入函数 Ｒ＝ｐ１ｑ１＋ｐ２ｑ２＝２４ｐ１＋０２ｐ１２＋１０ｐ２－００５ｐ２２．总利润函数 Ｌ＝Ｒ－Ｃ＝３２ｐ１－０２ｐ１２－００５ｐ２２－１３９５＋１２ｐ２．

令

Ｌｐ１＝３２－０４ｐ１＝０，

Ｌｐ２＝１２－０１ｐ２＝０

烅

烄

烆 ．

解得ｐ１＝８０，ｐ２＝１２０．根据问题的实际意义，此时厂家获得的总利润最大，其最大总利润Ｌ＝Ｌ（８０，１２０）＝６０５．解２：由题设两个市场的价格函数分别为 ｐ１＝１２０－５ｑ１和ｐ２＝１２０－２０ｑ２．总收入函数为 Ｒ＝ｐ１ｑ１＋ｐ２ｑ２＝（１２０－５ｑ１）ｑ１＋（１２０－２０ｑ２）ｑ２总利润函数 Ｌ＝Ｒ－Ｃ＝（１２０－５ｑ１）ｑ１＋（１２０－２０ｑ２）ｑ２－［３５＋４０（ｑ１＋ｑ２）］

＝８０ｑ１－５ｑ２１＋１６０ｑ２－２０ｑ２２－３５．由多元函数极值存在的必要条件，得方程组

Ｌｑ１＝８０－１０ｑ１＝０，

Ｌｑ２＝１６０－４０ｑ２＝０

烅

烄

烆 ．

１９９１年试题参考答案 ２－２１

２

解得ｑ１＝８，ｑ２＝４．由问题的实际含义可知，当ｑ１＝８，ｑ２＝４即ｐ１＝８０，ｐ２＝１２０，厂家所获得的总利润最大，

其最大利润为Ｌｍａｘ＝Ｌ［（８，４）＝６０５．

九、证１：设ｆ（ｘ）＝ｌｎ１＋１（ ）ｘ － １１＋ｘ

，０＜ｘ＜＋∞．

由ｆ（＋∞）＝ｌｉｍｘ→＋∞

ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘ→＋∞

１＋１（ ）ｘ － １１＋［ ］ｘ ＝０，又ｆ′（ｘ）＝－ １

ｘ（１＋ｘ）２＜０．

于是，ｆ′（ｘ）＜０，知ｆ（ｘ）单减，且当０＜ｘ＜＋∞时，ｆ（ｘ）＞ｆ（＋∞）＝０，即

ｌｎ１＋１（ ）ｘ ＞ １１＋ｘ

，０＜ｘ＜＋∞．

证２：令ｆ（ｘ）＝ｌｎ（ｘ）（０＜ｘ＜＋∞），并对其在区间（ｘ，ｘ＋１）上应用拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）中值定理，有

ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎｘ＝１ξ

，０＜ｘ＜ξ＜ｘ＋１．

则对于任意０＜ｘ＜＋∞，有 ｌｎ１＋１（ ）ｘ ＝１ξ＞ １１＋ｘ．

十、简析：依题设条件要证Ａ－Ｉ可逆，只需考虑有无Ｘ使（Ａ－Ｉ）Ｘ＝Ｉ．试想一下，如果ａ＋ｂ＝ａｂ代数式要凑出ａ－１因子、且式中出现某个常数并不难：因为

ａｂ－ａ－ｂ＝（ａ－１）（ｂ－１）－１，对于矩阵来讲可类比给出．证：（１）由Ａ＋Ｂ＝ＡＢ， 有 ＡＢ－Ａ－Ｂ＝Ｏ， 即

ＡＢ－Ａ－Ｂ＋Ｉ＝Ｉ （Ａ－Ｉ）（Ｂ－Ｉ）＝Ｉ．此即说 Ａ－Ｉ可逆，且 （Ａ－Ｉ）－１＝Ｂ－Ｉ．解：（２）由（１）中（Ａ－Ｉ）（Ｂ－Ｉ）＝Ｉ 知Ａ＝（Ｂ－Ｉ）－１＋Ｉ，故

Ａ＝０ －３ ０２ ０ ０烄

烆

烌

烎０ ０ １

－１

＋Ｉ＝０ １／２ ０－１／３ ０ ０烄

烆

烌

烎０ ０ １＋Ｉ＝

１ １／２ ０－１／３ １ ０烄

烆

烌

烎０ ０ ２．

十一、解：将β可由α１，α２，α３线性表示为β＝ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３，这是如下的方程组：

１＋λ １ １１ １＋λ １１ １ １＋

烄

烆

烌

烎λ

ｘ１ｘ２ｘ

烄

烆

烌

烎３

＝０λλ

烄

烆

烌

烎２． （）

其系数行列式

｜Ａ｜＝１＋λ １ １１ １＋λ １１ １ １＋λ

＝λ２（λ＋３）．

（１）当λ≠０与λ≠－３时，｜Ａ｜≠０，方程组①有惟一解，亦即β可由α１，α２，α３惟一地线

性表示．（２）当λ＝０时，式（）是齐次线性方程组，且ｒ（Ａ）＝１＜３（未知量的个数），方程组有无穷

多组解，即β可由α１，α２，α３线性表示，但表达式不惟一．（３）当λ＝３时，对式ｒ的增广矩阵Ａ＝（Ａｂ）作行初等变换：

历年考研数学试题详解·数学（四）２－２２

珚Ａ＝－２ １ １ ０１ －２ １ －３

烄

烆

烌

烎１ １ －２ ９

第１列

→单位化

０ ３ －３ １８０ －３ ３ －１２

烄

烆

烌

烎１ １ －２ ９

第２列

→单位化

０ ０ ０ ６０ １ －１ ４

烄

烆

烌

烎１ １ －２ ９．

由上最末的矩阵知，ｒ（Ａ）＝２≠ｒ（Ａ）＝３，故方程组（）无解，即β不能由α１，α２，α３线性

表示．注：下面的问题是显在与上面试题类同．问题 设向量组

α１＝（１，１，１，３）Ｔ，α２＝（－１，－３，５，１）Ｔ，α３＝（３，２，－１，ｐ＋２）Ｔ，α４＝（－２，－６，１０，ｐ）Ｔ．（１）ｐ为何值时该向量组线性无关？关在此时将向量｛α｝＝（４，１，６，１０）Ｔ用｛α１，α２，α３，α４｝线性表出；

（２）ｐ为何值时该向量组线性无关？关在此时将出它的秩和一个极大线性无关组．略解：（１）考虑矩阵（α１，α２，α３，α４α）经行初等变换化为

１ －１ ３ －２ ４１ －３ ２ －６ １１ ５ －１ １０ ６３ １ ｐ＋２ ｐ

烄

烆

烌

烎１０

→

１ －１ ３ －２ ４１ －２ －１ －４ －３０ ６ －４ １２ ２０ ４ ｐ－７ ｐ

烄

烆

烌

烎＋６ －２

→

→

０ －１ ３ －２ ４０ －２ －１ －４ －３０ ０ －７ ０ －１０ ０ ｐ－９ ｐ

烄

烆

烌

烎－２ －８

→

１ －１ ３ －２ ４０ －２ －１ －４ －３０ ０ １ ０ １０ ０ ０ ｐ－２ １－

烄

烆

烌

烎ｐ（１）当ｐ≠２时，向量组α１，α２，α３，α４线性无关．此时设α＝ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＋ｘ４α４解得

ｘ１＝２，ｘ２＝３ｐ－４ｐ－２

，ｘ３＝１，ｘ４＝１－ｐｐ－２．

（２）当ｐ＝２时，向量组α１，α２，α３，α４线性相关．此时向量组的秩等于３．且α１，α２，α３（或α１，α３，α４）为其一个极大线性无关组．十二、解：设λ是Ａ－１的相应于特征向量ａ的特征值，则Ａ－１ａ＝λａ，有α＝λＡα，由此得

方程组：

１ｋ烄

烆

烌

烎１＝λ

２ １ １１ ２ １烄

烆

烌

烎１ １ ２

１ｋ烄

烆

烌

烎１＝λ

３＋ｋ２＋２ｋ３＋

烄

烆

烌

烎ｋλ（３＋ｋ）＝１，

２λ（１＋ｋ）＝ｋ｛ ．

解得 λ１＝１４ｋ１＝１

；λ２＝１，ｋ２＝－２．即ｋ＝１或－２时α为Ａ－１的特征向量．十三、解：令Ａｉ（ｉ＝１，２，３）表示事件｛汽车在第ｉ个路口遇到红灯｝，由题设Ｘ的可取值

为０，１，２，３．

则由Ａ１，Ａ２，Ａ３相互独立，且 Ｐ（Ａｉ）＝Ｐ（珚Ａｉ）＝１２

，ｉ＝１，２，３．有

Ｐ｛Ｘ＝０｝＝Ｐ（Ａ１）＝１２

， Ｐ｛Ｘ＝１｝＝Ｐ（珚Ａ１Ａ２）＝１２２

，

Ｐ｛Ｘ＝２｝＝Ｐ（珚Ａ１珚Ａ２Ａ３）＝１２３

， Ｐ｛Ｘ＝３｝＝Ｐ（珚Ａ１珚Ａ２珚Ａ３）＝１２３．

这样Ｘ的概率分布如下表：

１９９１年试题参考答案 ２－２３

２

ｘ ０ １ ２ ３

Ｐ｛Ｘ＝ｘ｝ １２

１２２

１２３

１２３

（２）由上 Ｅ １１＋（ ）Ｘ ＝１·１２＋

１２

·１４＋

１３

·１８＋

１４

·１８＝６７９６．

十四、解：设Ａ１＝｛电压不超过２００Ｖ｝，Ａ２＝｛电压在２００Ｖ～２４０Ｖ｝，Ａ３＝｛电压超过

２４０Ｖ｝，这是完备事件集．又设Ｂ＝｛电子元件损坏｝．由于Ｘ～Ｎ（２２０，２５２），因此

Ｐ（Ａ１）＝Ｐ｛Ｘ≤２００｝＝ＰＸ－２２０２５ ≤２００－２２０｛ ｝２５ ＝Φ（－０．８）＝０．２１２，

Ｐ（Ａ２）＝Ｐ｛２００≤Ｘ≤２４０｝＝Ｐ２００－２２０２５ ≤Ｘ－２２０２５ ≤２４０－２２０｛ ｝２５＝Φ（０．８）－Φ（－０．８）＝０．５７６，

Ｐ（Ａ３）＝Ｐ｛Ｘ＞２４０｝＝ＰＸ－２２０２５ ＞２４０－２２０｛ ｝２５ ＝１－Φ（０．８）＝１－０．７８８＝０．２１２．由题设知Ｐ｛Ｂ｜Ａ１｝＝０．１， Ｐ（Ｂ｜Ａ２）＝０．００１， Ｐ（Ｂ｜Ａ３）＝０．２．

（１）由全概率公式 α＝Ｐ（Ｂ）＝∑３

ｉ＝１Ｐ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ｜Ａｉ）＝０．０６４２．

（２）由贝叶斯（Ｂａｙｅｓ）公式 β＝Ｐ（Ａ２｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ２）Ｐ（Ｂ｜Ａ２）

Ｐ（Ｂ） ≈０．００９．

１９９２年试题参考答案

一、填空题

（１）解：根据１∞型极限计算方法，有

ｌｉｍｘ→∞

ｘ＋ｔｘ－（ ）ｔ

ｘ＝ｅｘｐｌｉｍ

ｘ→∞

ｘ＋ｔｘ－ｔ（ ）－１｛ ｝ｘ ＝ｅｘｐｌｉｍ

ｘ→∞

２ｔｘｘ－｛ ｝ｔ ＝ｅ２ｔ．

故 ｆ′（ｔ）＝（ｔｅ２ｔ）′＝（２ｔ＋１）ｅ２ｔ．

（２）解：弹性η＝ｐＱｄＱｄｐ＝

－５ｐ１００－５ｐ．

依题意 －５ｐ１００－５ｐ ＞１，解得ｐ＞１０．

但因为Ｑ（ｐ）＝１００－５ｐ≥０，所以又有价格ｐ≤２０．故商品价格取值范围是 （１０，２０］．

（３）解：由题设，ｆ［φ（ｘ）］＝ｓｉｎφ（ｘ），因此ｓｉｎφ（ｘ）＝１－ｘ２．由此解得φ（ｘ）＝ａｒｃｓｉｎ（１－ｘ２）．其定义域为 １－ｘ２ ≤１，即 ［ 槡－２，槡２］．

（４）解：Ａ的特征方程为

｜Ａ－λＩ｜＝

１－λ １ １ １１ １－λ １ １１ １ １－λ １１ １ １ １－λ

＝０．

用行元素相加法可求得｜Ａ－λＩ｜＝－（４－λ）λ３．由此知非零特征值是４．注：题中涉及的行列式即为书本前言中介绍的行列式．

（５）解：注意到Ａ∩Ｂ∩Ｃ Ａ∩Ｂ，有Ｐ（ＡＢＣ）≤Ｐ（ＡＢ）＝０，于是，根据加法公式，所求

历年考研数学试题详解·数学（四）２－２４

概率为

Ｐ（Ａ∪Ｂ∪Ｃ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）＋Ｐ（Ｃ）－Ｐ（ＡＢ）－Ｐ（ＡＣ）－Ｐ（ＢＣ）＋Ｐ（ＡＢＣ）

＝１４＋１４＋

１４－０－０－

１８＋０＝

５８．

二、选择题

（１）解：由洛必达（Ｌ′Ｈｏｓｐｉｔａｌ）法则和ｆ（ｘ）的连续性，有

ｌｉｍｘ→ａＦ（ｘ）＝ｌｉｍ

ｘ→ａ

ｘ２∫ｘ

ａｆ（ｔ）ｄｔ

ｘ－ａ ＝ｌｉｍｘ→ａ

２ｘ∫ｘ

ａｆ（ｔ）ｄｔ＋ｘ２ｆ（ｘ）

１ ＝ａ２ｆ（ａ）．

故选（Ｂ）．（２）解：根据无穷小量代换公式，当ｘ充分小（ｘ→０）时有

１－ｃｏｓｘ～１２ｘ２， １－ｘ槡 ２－１～－１２ｘ

２， ｘ－ｓｉｎｘ～－１３ｘ３，

其中最后一式可由ｌｉｍｘ→０

ｘ－ｓｉｎｘｘ３ ＝－１３

得到．比较以上各式，知（Ｄ）为最高阶无穷小．

故选（Ｄ）．（３）解：设Ｘ＝（Ａ－１＋Ｂ－１）－１，则Ｘ－１＝Ａ－１＋Ｂ－１，

上式两边左乘Ｂ，右乘Ａ有 ＢＸ－１Ａ＝Ｂ＋Ａ，这样 （ＢＸ－１Ａ）－１＝（Ａ＋Ｂ）－１，

即Ａ－１ＸＢ－１＝（Ａ＋Ｂ）－１，从而 Ｘ＝Ａ（Ａ＋Ｂ）－１Ｂ．故选（Ｃ）．注：其实在题设条件下还可有公式：

（Ａ＋Ｂ）－１＝Ａ－１－Ａ－１（Ａ－１＋Ｂ－１）Ａ－１．（４）解：考虑选项（Ｂ）．（下面考虑其逆否命题）假设α１，α２，⋯，αｍ 线性相关，则必存在一

组不全为零的数ｋ１，ｋ２，⋯，ｋｍ，使得ｋ１α１＋ｋ２α２＋⋯＋ｋｍαｍ＝０．它显然真．又选项（Ｂ）是上面命题的逆否命题，它们同真同假．这样可知（Ｂ）真，

故选（Ｂ）．注：顺便指出，其余三个选项不正确的原因分别是：

选项（Ａ）中没有指明ｋ１，ｋ２，⋯，ｋｍ 不全为０；

选项（Ｃ）中需将“对任意”改为“存在”（同时把“都”字去掉）才正确；

选项（Ｄ）中的结论对于线性相关的向量组亦成立，从而不真．（５）解１：（直接推理法）由Ｃ ＡＢ和加法公式，得

Ｐ（Ｃ）≥Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ∪Ｂ）－Ｐ（Ａ∪Ｂ）≥Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－１，

故选（Ｂ）．解２：（特值法）取Ａ＝Ｂ＝，Ｃ＝Ω．显然ＡＢ Ｃ．代入四个选项中所得的结果分别是：

（Ａ）：１≤－１； （Ｂ）：１≥－１； （Ｃ）：１＝０； （Ｄ）：１＝０．显然只有（Ｂ）正确．故选（Ｂ）．

三、解：这是００

型，用洛必达（Ｌ′Ｈｏｓｐｉｔａｌ）法则，有

ｌｉｍｘ→１

ｌｎｃｏｓ（ｘ－１）

１－ｓｉｎπ２ｘ＝ｌｉｍｘ→１

－ｓｉｎ（ｘ－１）

ｃｏｓ（ｘ－１）－π２ｃｏｓπ２（ ）ｘ

＝２πｌｉｍｘ→１ｓｉｎ（ｘ－１）

ｃｏｓπ２ｘ．

１９９２年试题参考答案 ２－２５

２

＝２πｌｉｍｘ→１ｃｏｓ（ｘ－１）

－π２ｓｉｎπ２ｘ＝－４π２．

四、解：由题设及分部积分公式有

Ｉ＝－∫ａｒｃｃｏｔｅｘｄ（ｅ－ｘ）＝－ｅ－ｘａｒｃｃｏｔｅｘ－∫ ｄｘ１＋ｅ２ｘ

＝－ｅ－ｘａｒｃｃｏｔｅｘ－∫１－ ｅ２ｘ

１＋ｅ２（ ）ｘ ｄｘ

＝－ａｒｃｃｏｔｅｘ

ｅｘ －ｘ＋１２ｌｎ（１＋ｅ２ｘ）＋Ｃ．

五、解：设ｔｘ＝ｕ，则ｘｄｔ＝ｄｕ．当ｔ＝０时，ｕ＝０；当ｔ＝１时，ｕ＝ｘ．于是

ｘ∫１

０ｆ（ｔｘ）ｄｔ＝∫

ｘ

０ｆ（ｕ）ｄｕ

原方程两边乘以ｘ后，变为

∫ｘ

０ｆ（ｕ）ｄｕ＝ｘｆ（ｘ）＋ｘ２ｓｉｎｘ．

上式两边求导有 ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｘｆ′（ｘ）＋２ｘｓｉｎｘ＋ｘ２ｃｏｓｘ，

即 ｆ′（ｘ）＝－２ｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘ．两边再积分得

ｆ（ｘ）＝２ｃｏｓｘ－∫ｘｄｓｉｎｘ＝２ｃｏｓｘ－ｘｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ＋Ｃ＝ｃｏｓｘ－ｘｓｉｎｘ＋Ｃ．六、解：令ｕ＝ｘ，ｖ＝ｘｙ

，由复合函数偏导计算公式有

ｚｘ＝ｙｃｏｓ

（ｘｙ）＋φ′ｕ＋φ′ｖ１ｙ

，

２ｚｘｙ＝ｃｏｓ

（ｘｙ）－ｘｙｓｉｎ（ｘｙ）－ｘｙ２φ″ｕｖ－

１ｙ２φ′ｖ＋

１ｙφ″ｖｕ

· －ｘｙ（ ）２

＝ｃｏｓ（ｘｙ）－ｘｙｓｉｎ（ｘｙ）－１ｙ２φ′ｖ－

ｘｙ２φ″ｕｖ－

ｘｙ３φ″ｖｕ．

七、解：（１）依题意，ｄＣｄｘ＝４０－２０ｘ＋３ｘ

２， ｄＲｄｘ＝３２－１０ｘ

，对第一式积分，得成本函数

Ｃ（ｘ）＝∫（４０－２０ｘ＋３ｘ２）ｄｘ＝４０ｘ－１０ｘ２＋ｘ３＋Ｃ１，

因为固定成本为１０，即Ｃ（０）＝１０，代入上式定出Ｃ１＝１０．故得总成本函数为

Ｃ（ｘ）＝１０＋４０ｘ－１０ｘ２＋ｘ３．

对前面第二式ｄＲｄｘ＝３２－１０ｘ

两边积分，得

Ｒ（ｘ）＝∫（３２－１０ｘ）ｄｘ＝３２ｘ－５ｘ２＋Ｃ２．

因为Ｒ（０）＝０，代入上式，定出Ｃ２＝０．故得总收入函数为

Ｒ（ｘ）＝３２ｘ－５ｘ２．最后得总利润函数Ｌ（ｘ）＝Ｒ（ｘ）－Ｃ（ｘ）＝－１０－８ｘ＋５ｘ２－ｘ３．

（２）由Ｌ′（ｘ）＝－８＋１０ｘ－３ｘ２，及 Ｌ″（ｘ）＝１０－６ｘ，

历年考研数学试题详解·数学（四）２－２６

令Ｌ′（ｘ）＝０，得驻点 ｘ１＝４３

，ｘ２＝２．

（或由ＭＣ＝ＭＲ即Ｃ′（ｘ）＝Ｒ′（ｘ），解得ｘ１＝４３

，ｘ２＝２）

由于Ｌ″（ ）４３ ＝２＞０，表明Ｌ（ ）４３ 为Ｌ（ｘ）的极小值，舍去．由于Ｌ″（２）＝－２＜０，表明Ｌ（２）为Ｌ（ｘ）的极大值，即最大值．故当产量为２时总利润最大．八、证：（１）存在性 设ｆ（ｘ）＝ｘ＋ｐ＋ｑｃｏｓｘ．因为 ｌｉｍ

ｘ→＋∞ｆ（ｘ）＝＋∞，所以当ｘ充分大

时必有ｆ（ｘ）＞０，特别地取ｘ＝ｂ，有ｆ（ｂ）＞０．同理，因为 ｌｉｍ

ｘ→－∞ｆ（ｘ）＝－∞，所以存在ａ（ａ＜ｂ），使ｆ（ａ）＜０．

于是由连续函数性质知，在（ａ，ｂ）内至少存在一点ｃ，使ｆ（ｃ）＝０，即方程ｆ（ｘ）＝０在区间

（－∞，＋∞）上至少有一实根．（２）惟一性 用反证法．假设ｆ（ｘ）＝０在区间（－∞，＋∞）内有两个不同实数根ｘ１，ｘ２，

即ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）．根据罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理，在ｘ１和ｘ２之间至少存在一点ｘ０使ｆ′（ｘ０）＝０，即

１－ｑｓｉｎｘ０＝０ 或 ｓｉｎｘ０＝１ｑ＞１

（注意到０＜ｑ＜１），

这是不可能的．故方程的根是惟一的．

九、解：（１）由ｙ′＝－２ｘ３，故在点 ｘ０，１

ｘ（ ）２０

处的切线斜率ｋ＝－２ｘ３０，所求切线方程为

ｙ－１ｘ２０＝－２ｘ３０

（ｘ－ｘ０）．

（２）分别令ｘ＝０和ｙ＝０，解得切线在Ｏｙ轴与Ｏｘ轴上的截距分别为

Ｙ＝３ｘ２０， Ｘ＝３２ｘ０

，

由此可得切线被坐标轴所截线段长度的平方为

ｚ＝Ｘ２＋Ｙ２＝９ｘ２０４＋

１ｘ（ ）４０．

令ｚ′＝ ９ｘ２０４＋

１ｘ（ ）［ ］４０

′＝９ｘ０２－

４ｘ（ ）５０＝０，解得驻点ｘ０ 槡＝±２．

又ｚ″ ｘ０槡＝±２＝９

１２＋２０ｘ（ ）６０＝９ １２＋

２０（ ）８ ＞０，知在ｘ０ 槡＝±２在取极小值，亦即最小值．

因此，所求最短截线段长度槡ｚ＝ ９ ２４＋（ ）槡 １４ ＝ ２７槡４＝３２槡３．

十、解：由ＡＸ＋Ｉ＝Ａ２＋Ｘ，有 ＡＸ－Ｘ＝Ａ２－Ｉ，

即 （Ａ－Ｉ）Ｘ＝（Ａ－Ｉ）（Ａ＋Ｉ），其中Ａ－Ｉ＝０ ０ １０ １ ０烄

烆

烌

烎１ ０ ０

可逆．

１９９２年试题参考答案 ２－２７

２

把上式两端左乘以（Ａ－Ｉ）－１，得Ｘ＝Ａ＋Ｉ＝２ ０ １０ ３ ０烄

烆

烌

烎１ ０ ２．

十一、解：（１）将齐次线性方程组记为Ａｘ＝０，并记Ｂ＝（β１，β２，β３），依题意β１，β２，β３均

为方程组的解，且不全为零，即Ａｘ＝０有非零解．因而该方程组系数行列式为零，即

｜Ａ｜＝１ ２ －２２ －１ λ３ １ －１

＝５（λ－１）＝０，得λ＝１．

（２）由Ａβ１＝０，Ａβ２＝０，Ａβ３＝０可有：

（Ａβ１，Ａβ２，Ａβ３）＝Ａ（β１，β２，β３）＝Ｏ，即 ＡＢ＝Ｏ．今证｜Ｂ｜＝０．用反证法．假设｜Ｂ｜≠０，则Ｂ 可逆，将ＡＢ＝Ｏ 的两端右乘以Ｂ－１，得

Ａ＝Ｏ，这与Ａ为非零矩阵相矛盾，故｜Ｂ｜＝０．十二、解：由Ａｉｊ＝ａｉｊ知，Ａ＝ＡＴ．将此式代入ＡＡ＝｜Ａ｜Ｅ中后，两边取行列式，得

｜ＡＡＴ｜＝｜｜Ａ｜Ｅ｜，即｜Ａ｜２＝｜Ａ｜３，因而｜Ａ｜＝１或｜Ａ｜＝０．因为ａ１１≠０，将｜Ａ｜依第１行展开，得

｜Ａ｜＝ａ１１Ａ１１＋ａ１２Ａ１２＋ａ１３Ａ１３＝ａ２１１＋ａ２１２＋ａ２１３≠０．再由前边的推导结果，必有｜Ａ｜＝１．十三、解：因为Ｘ～Ｎ（０，１０２），所以每次测量误差的绝对值大于１９．６的概率

ｐ＝Ｐ｛｜Ｘ｜＞１９．６｝＝Ｐ｜Ｘ｜１０＞１．｛ ｝９６ ＝０．０５．设Ｙ是事件｛｜Ｘ｜＞１９．６｝出现的次数，则Ｙ～犅（１００，０．０５）．因此所求概率

α＝Ｐ｛Ｙ≥３｝＝１－Ｐ｛Ｙ＜３｝＝１－Ｐ｛Ｙ＝０｝－Ｐ｛Ｙ＝１｝－Ｐ｛Ｙ＝２｝

＝１－（０．９５）１００－１００·０．０５·０．９５９９－１００·９９２

·０．０５２·０．９５９８．由泊松（Ｐｏｉｓｓｏｎ）定理，Ｙ近似服从参数为λ＝ｎｐ＝１００·０．０５＝５的泊松分布π（５），从而

α≈ １－ｅ－λ－λｅ－λ－λ２

２ｅ－［ ］λ

λ＝５＝ １－ｅ－λ １＋λ＋λ

２

（ ）［ ］２ λ＝５

＝１－０．００７·（１＋５＋１２．５）≈０．８７．十四、解１：设Ａｉ表示｛第ｉ部件需要调整｝的事件．由题设，

Ｐ（Ａ１）＝０．１０， Ｐ（Ａ２）＝０．２０， Ｐ（Ａ３）＝０．３０．又Ｘ可能取值０，１，２，３，且由于Ａ１，Ａ２，Ａ３相互独立，则

Ｐ｛Ｘ＝０｝＝Ｐ（珚Ａ１珚Ａ２珚Ａ３）＝０．９·０．８·０．７＝０．５０４；

Ｐ｛Ｘ＝１｝＝Ｐ（Ａ１珚Ａ２珚Ａ３）＋Ｐ（珚Ａ１Ａ２珚Ａ３）＋Ｐ（珚Ａ１珚Ａ２Ａ３）

＝０．１·０．８·０．７＋０．９·０．２·０．７＋０．９·０．８·０．３＝０．３９８；

Ｐ｛Ｘ＝２｝＝Ｐ（Ａ１Ａ２珚Ａ３）＋Ｐ（Ａ１珚Ａ２Ａ３）＋Ｐ（珚Ａ１Ａ２Ａ３）

＝０．１·０．２·０．７＋０．１·０．８·０．３＋０．９·０．２·０．３＝０．０９２；

Ｐ｛Ｘ＝３｝＝Ｐ（Ａ１Ａ２Ａ３）＝０．１·０．２·０．３＝０．００６．这样Ｘ的分布率如下表：

历年考研数学试题详解·数学（四）２－２８

ｘ ０ １ ２ ３

概率Ｐ｛Ｘ＝ｘ｝ ０．５０４ ０．３９８ ０．０９２ ０．００６

则 Ｅ（Ｘ）＝１·０．３９８＋２·０．０９２＋３·０．００６＝０．６，

又 Ｅ（Ｘ２）＝１·０．３９８＋４·０．０９２＋９·０．００６＝０．８２０，

故 Ｄ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ２）－［Ｅ（Ｘ）］２＝０．８２０－０．３６＝０．４６．

解２：引进随机变量Ｘｉ＝１， 若Ａｉ出现，

０， 若Ａｉ不出现烅烄

烆 ．（ｉ＝１，２，３） 则

Ｅ（Ｘｉ）＝Ｐ（Ａｉ）， Ｄ（Ｘｉ）＝Ｐ（Ａｉ）［１－Ｐ（Ａｉ）］．又 Ｘ＝Ｘ１＋Ｘ２＋Ｘ３，由于Ｘ１，Ｘ２，Ｘ３互相独立，故由期望、方差及０１分布性质有

Ｘ的数学期望 Ｅ（Ｘ）＝０．１＋０．２＋０．３＝０．６，

Ｘ的方差 Ｄ（Ｘ）＝０．１·０．９＋０．２·０．８＋０．３·０．７＝０．４６．注意到 Ｄ（Ｘ）＝Ｄ（Ｘ１）＋Ｄ（Ｘ２）＋Ｄ（Ｘ３），且 Ｄ（Ｘｉ）＝ｐｉ（１－ｐｉ）（ｉ＝１，２，３）即可．

１９９３年试题参考答案

一、填空题

（１）解：由１＋２＋３＋⋯＋ｎ＝１２ｎ（ｎ＋１）等，故有

原式＝ｌｉｍｎ→∞

１槡２

［ ｎ（ｎ＋１槡 ）－ （ｎ－１）槡 ｎ］＝１槡２ｌｉｍｎ→∞

２ｎｎ（ｎ＋１槡 ）＋ （ｎ－１）槡 ｎ

＝２槡２ｌｉｍｎ→∞

１

１＋１槡 ｎ＋ １－１槡 ｎ

＝槡２２．

（２）解：由 ｄｙｄｘ＝ｆ′

３ｘ－２３ｘ（ ）＋２

·３ｘ－２３ｘ（ ）＋２

′＝ａｒｃｓｉｎ３ｘ－２３ｘ（ ）＋２２· １２（３ｘ＋２）２

，故

ｄｙｄｘ ｘ＝０

＝３ａｒｃｓｉｎ１＝３π２．

（３）解：注意到下面的变形

∫ ｄｘ（２－ｘ） １－槡 ｘ

＝∫ －ｄ（１－ｘ）

（２－ｘ） １－槡 ｘ＝∫ －２１＋（ １－槡 ｘ）２

ｄ（ １－槡 ｘ）

＝－２ａｒｃｔａｎ １－槡 ｘ＋Ｃ．此处，问题还可以令 １－槡 ｘ＝ｕ作变量替换去解．

（４）解：由于Ａ的所有三阶子式均为０，故Ａ元素全为０，即其为零阵，故Ａ的秩为０．

注：我们应该记住：ｒ（Ａ）＝ｎ， 若ｒ（Ａ）＝ｎ，

１， 若ｒ（Ａ）＝ｎ－１，

０， 若ｒ（Ａ）＜ｎ－１烅烄

烆 ．

结论，有时可方便地解许多问题．

（５）解：设Ａ＝｛两件中有一件是不合格品｝，Ｂ＝｛另一件也是不合格品｝，则所求概率为

Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）

Ｐ（Ａ）．

１９９３年试题参考答案 ２－２９

２

事件ＡＢ表示任取的两件全是不合格品，因此Ｐ（ＡＢ）＝Ｃ２４Ｃ２１０＝２１５．

又珚Ａ表示两件全是合格品，则Ｐ（Ａ）＝１－Ｐ（珚Ａ）＝１－Ｃ２６Ｃ２１０＝２３．

由Ｂａｙｅｓ公式，故所求概率为 Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）

Ｐ（Ａ）＝２（ ）１５ （ ）２３ ＝１５．

二、选择题

（１）解：先判断ｆ（ｘ）在ｘ＝０处的连续性．

因为ｌｉｍｘ→０ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ

ｘ→０｜ｘ槡 ｜ｓｉｎ１ｘ２＝０＝ｆ

（０），知ｆ（ｘ）在ｘ＝０连续．

又因为ｌｉｍｘ→０

ｆ（ｘ）－ｆ（０）

ｘ－０ ＝ｌｉｍｘ→０

｜ｘ槡 ｜ｓｉｎ１ｘ２ｘ

不存在，知ｆ（ｘ）在ｘ＝０不可导．

故选（Ｃ）．

（２）解：注意到Ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｌｎｘ）·（ｌｎｘ）′－ｆ １（ ）ｘ · １（ ）ｘ′＝１ｘｆ

（ｌｎｘ）＋１ｘ２ｆ１（ ）ｘ ．

这里利用了公式［∫ｕ（ｘ）

ｖ（ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔ］′＝ｆ（ｖ（ｘ））ｖ′（ｘ）－ｆ（ｕ（ｘ））ｕ′（ｘ）．

故选（Ａ）．（３）解：由行列式的性质，有

｜（α３，α２，α１，β１＋β２）｜＝｜（α３，α２，α１，β１）｜＋｜（α３，α２，α１，β２）｜＝－｜（α１，α２，α３，β１）｜＋｜（α１，α２，β２，α３）｜＝ｎ－ｍ，

故选（Ｃ）．（４）解：若λ是Ａ的一个特征值，则ｆ（λ）是矩阵多项式ｆ（Ａ）的一个特征值．

所以 １３

·２（ ）２－１＝３４

是 １３Ａ（ ）２

－１的一个特征值．

故选（Ｂ）．

（５）解：设Φ（ｘ）表示标准正态分布Ｎ（０，１）的分布函数．则有Ｘ－ｕ４ ～Ｎ（０，１），Ｙ－ｕ

５ ～

Ｎ（０，１），从而

ｐ１＝ＰＸ－μ４ ≤｛ ｝－１ ＝Φ（－１），

ｐ２＝ＰＹ－μ５ ≥｛ ｝１ ＝１－Ｐ Ｙ－μ５ ＜｛ ｝１ ＝１－Φ（１）．

由 Φ（－１）＝１－Φ（１），则 ｐ１＝ｐ２．故选（Ａ）．三、解１：设Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｚ－ｙ－ｘ＋ｘｅｚ－ｙ－ｘ．Ｆｘ＝－１＋ｅｚ－ｙ－ｘ－ｘｅｚ－ｙ－ｘ，Ｆｙ＝－１－ｘｅｚ－ｙ－ｘ，Ｆｚ＝１＋ｘｅｚ－ｙ－ｘ．

ｚｘ＝－

ＦｘＦｚ＝１＋

（ｘ－１）ｅｚ－ｙ－ｘ

１＋ｘｅｚ－ｙ－ｘ，ｚｙ＝－

ＦｙＦｚ＝１．

故 ｄｚ＝１＋（ｘ－１）ｅｚ－ｙ－ｘ

１＋ｘｅｚ－ｙ－ｘ ｄｘ＋ｄｙ．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－３０

解２：将方程两端取微分，得

ｄｚ－ｄｙ－ｄｘ＋ｅｚ－ｙ－ｘｄｘ＋ｘｅｚ－ｙ－ｘ（ｄｚ－ｄｙ－ｄｘ）＝０．

解出 ｄｚ＝１＋（ｘ－１）ｅｚ－ｙ－ｘ

１＋ｘｅｚ－ｙ－ｘ ｄｘ＋ｄｙ．

四、解：注意到下面运算：

左式＝ｅｘｐｌｉｍｘ→∞

ｘ＋ａｘ－ａ（ ）－１｛ ｝ｘ ＝ｅ－２ａ，

右式＝－２∫＋∞

ａｘ２ｄｅ－２ｘ＝ －２ｘ２ｅ－２［ ］ｘ ＋∞

ａ ＋４∫＋∞

ａｘｅ－２ｘｄｘ

＝２ａ２ｅ－２ａ－ ２ｘｅ－２ｘ＋ｅ－２［ ］ｘ ＋∞ａ ＝２ａ２ｅ－２ａ＋２ａｅ－２ａ＋ｅ－２ａ．

于是ｅ－２ａ＝２ａ２ｅ－２ａ＋２ａｅ－２ａ＋ｅ－２ａ，即２ａ（ａ＋１）ｅ－２ａ＝０，解得ａ＝０或ａ＝－１．五、解：（１）设平均成本为ｙ，依题设则有

ｙ＝２５０００ｘ ＋２００＋ｘ４０．

令ｙ′＝－２５０００ｘ２ ＋１４０＝０

，解得ｘ１＝１０００，ｘ２＝－１０００（舍去）．

因为ｙ″｜ｘ＝１０００＝５×１０－５＞０，所以当ｘ＝１０００时，ｙ取得极小即最小值．因此，要使平均成本最小，应生产１０００件产品．

（２）依题意，利润函数

Ｌ＝５００ｘ－ ２５０００＋２００ｘ＋ｘ２

（ ）４０ ＝３００ｘ－ｘ２４０－２５０００．

由 Ｌ′＝３００－ｘ２０＝０，得ｘ＝６０００．又因 Ｌ″｜ｘ＝６０００＝－

１２０＜０

，所以当ｘ＝６０００时，Ｌ取

得极大即最大值．因此，要使利润最大，应生产６０００件产品．

六、证：令ｆ（ｘ）＝１ｐｘｐ＋１ｑ－ｘ

，则ｆ′（ｘ）＝ｘｐ－１－１，ｆ″（ｘ）＝（ｐ－１）ｘｐ－２．令ｆ′（ｘ）＝０，得ｘ＝１．由ｆ″（１）＝ｐ－１＞０，知当ｘ＝１时，ｆ（ｘ）取得极小值，亦为最小值．

从而当ｘ＞０时，有ｆ（ｘ）≥ｆ（１）＝０，即 １ｐｘ

ｐ＋１ｑ≥ｘ．

七、解：由题函数定义域为 （－∞，０）∪（０，＋∞），注意到ｌｉｍｘ→０－

（ｘ＋６）１ｘ＝０．又

ｙ′＝ｘ２－ｘ－６ｘ２ ｅ

１ｘ，及ｙ″＝１３＋６ｘ２ ｅ

１ｘ．

令ｙ′＝０，得ｘ１＝－２，ｘ２＝３．令ｙ″＝０，得ｘ３＝－６１３．

函数大致性态如下表所列：

ｘ （－∞，－２） －２ －２，－６（ ）１３ －６１３ －６１３，（ ）０ ０ （０，３） ３ （３，＋∞）

ｙ′ ＋ ０ － － － ０ ＋

ｙ″ － － － ０ ＋ ＋ ＋ ＋

ｙ 极大值 拐点 不存在 极小值

１９９３年试题参考答案 ２－３１

２

极大值为ｙ｜ｘ＝－２＝４槡ｅ

，极小值ｙ＝｜ｘ＝３＝９３槡ｅ，

拐点 －６１３，７２１３ｅ

－１３（ ）６ ．由 ｌｉｍ

ｘ→０＋ｙ＝＋∞，知ｘ＝０为铅直渐近线．

因 ｌｉｍｘ→∞

ｆ（ｘ）

ｘ ＝ｌｉｍｘ→∞

（ｘ＋６）ｅ１ｘ

ｘ ＝１＝ａ．

又 ｌｉｍｘ→∞

［ｆ（ｘ）－ｘ］＝ｌｉｍｘ→∞

（ｘ＋６）ｅ１ｘ－［ ］ｘ ＝７＝ｂ．

所以ｙ＝ａｘ＋ｂ＝ｘ＋７为斜渐近线．再由ｌｉｍｘ→０－ｙ＝０，可得函数图象大致如上左图．

八、解：由Ａ可逆知Ａ＝｜Ａ｜Ａ－１，从而 （Ａ）－１＝ １｜Ａ｜Ａ＝｜Ａ

－１｜Ａ．而

｜Ａ－１｜＝ｄｅｔ１ １ １１ ２ １烄

烆

烌

烎１ １ ３＝１ １ １１ ２ １１ １ ３

＝２．

以下用记录矩阵（初等变换）求Ａ＝（Ａ－１）－１．

（Ａ－１Ｉ） →行初等变换

１ ０ ０ ５／２ －１ －１／２０ １ ０ －１ １ ００ ０ １ －１／２ ０ １／

烄

烆

烌

烎２＝（ＩＡ）．

故 （Ａ）－１＝２５／２ －１ －１／２－１ １ ０－１／２ ０ １／

烄

烆

烌

烎２＝５ －２ －１－２ ２ ０烄

烆

烌

烎－１ ０ １．

九、解１：设Ａ是ｎ个列向量记为α１，α２，⋯，αｎ，即Ａ＝（α１，α２，⋯，αｎ）．假设这组向量线性相关，即存在ｎ个不全为零的数ｘ１，ｘ２，⋯，ｘｎ 使

ｘ１α１＋ｘ２α２＋⋯＋ｘｎαｎ＝０．或 （α１，α２，⋯，αｎ）（ｘ１，ｘ２，⋯，ｘｎ）Ｔ＝Ａｘ＝０， 式中ｘ＝（ｘ１，ｘ２，⋯，ｘｎ）Ｔ．用Ｂ左乘Ａｘ＝０的两边，由于ＢＡ＝Ｉ，因此可得ｘ＝０，即ｘ１＝ｘ２＝⋯＝ｘｎ＝０，这与

ｘｉ（１≤ｉ≤ｎ）不全为零的假设相矛盾，故Ａ的列向量组线性相关不真，从而它们无关．解２：因为ｍ＞ｎ，所以ｒ（Ａ）≤ｍｉｎ｜ｍ，ｎ｜＝ｎ．又因为ｒ（Ａ）≥ｒ（ＢＡ）＝ｒ（Ｉ）＝ｎ，所以ｒ（Ａ）＝ｎ，即Ａ的列向量线性无关．注：下面的试题是上面问题的变形（提法不同）而已：

问题 设Ａ是ｎ×ｍ 矩阵，Ｂ是ｍ×ｎ矩阵，其中ｎ＜ｍ，Ｉ是ｎ阶单位矩阵，若ＡＢ＝Ｉ，证明Ｂ的列向

量组线性无关．（１９９３①）

证１：（反证法）设Ｂ的ｎ个列向量记为β１，β２，⋯，βｎ，即Ｂ＝（β１，β２，⋯，βｎ）．假设这组向量线性相关，即

存在ｎ个不全为零的数ｘ１，ｘ２，⋯，ｘｎ使ｘ１β１＋ｘ２β２＋⋯＋ｘｎβｎ＝０．改写为

（β１，β２，⋯，βｎ）（ｘ１，ｘ２，⋯，ｘｎ）Ｔ＝Ｂｘ＝０，

式中ｘ＝（ｘ１，ｘ２，⋯，ｘｎ）Ｔ．用Ａ 左乘Ｂｘ＝０的两边，由于ＡＢ＝Ｉ，因此可得ｘ＝０，即ｘ１＝ｘ２＝⋯＝ｘｎ＝０，这与

历年考研数学试题详解·数学（四）２－３２

ｘｉ（１≤ｉ≤ｎ）不全为零的假设相矛盾．故Ｂ的列向量线性无关．证２：因为ｎ＜ｍ 所以秩ｒ（Ｂ）≤ｍｉｎ｜ｍ，ｎ｜＝ｎ．又因为ｒ（Ｂ）≥ｒ（ＡＢ）≥ｒ（Ｉ）＝ｎ，所以ｒ（Ｂ）＝ｎ，即Ｂ

的列向量组线性无关．十、解：（１）由题设，Ｘ和Ｙ的概率密度函数为

ｆ（ｘ）＝１２

，

０烅烄

烆 ，

若１≤ｘ≤３，

其他．

又 ７９＝Ｐ

（Ａ∪Ｂ）＝１－Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝１－Ｐ（珚Ａ∩珚Ｂ）＝１－Ｐ（珚Ａ）Ｐ（珚Ｂ），

及 Ｐ（珚Ａ）＝Ｐ｛Ｘ＞ａ｝＝∫ａ

１

１２ｄｘ＝

１２

（ａ－１），Ｐ（珚Ｂ）＝Ｐ｛Ｙ≤ａ｝＝１２（３－ａ）．

故 ７９＝１－

１４

（ａ－１）（３－ａ），即９ａ２－３６ａ＋３５＝０．

由上面方程解得 ａ１＝５３

，ａ２＝７３．

（２）依公式可得１Ｘ

的数学期望

Ｅ １（ ）Ｘ ＝∫＋∞

－∞

１ｘｆ

（ｘ）ｄｘ＝１２∫３

１

１ｘｄｘ＝

１２ｌｎ３．

十一、解：（１）由于Ｔ是非负随机变量，当ｔ＜０时，Ｆ（ｔ）＝Ｐ｛Ｔ≤ｔ｝＝０．当ｔ≥０时，由于事件｛Ｔ＞ｔ｝与事件｛Ｎ（ｔ）＝０｝等价，则

Ｆ（ｔ）＝Ｐ｛Ｔ≤ｔ｝＝１－Ｐ｛Ｔ＞ｔ｝＝１－Ｐ｛Ｎ（ｔ）＝０｝＝１－ｅ－λｔ．即Ｔ服从参数为λ的指数分布Ｅ（λ）．

（２）由上可知所求无故障运行８小时的概率为

ｐ＝Ｐ｛Ｔ≥１６｜Ｔ≥８｝＝Ｐ｛Ｔ≥１６，Ｔ≥８｝

Ｐ｛Ｔ≥８｝ ＝Ｐ｛Ｔ≥１６｝

Ｐ｛Ｔ≥８｝＝ｅ－１６λ

ｅ－８λ＝ｅ－８λ．

１９９４年试题参考答案

一、填空题

（１）解：由对称区间上奇、偶函数积分性质有

原式＝∫２

－２

ｘ２＋ｘ２

ｄｘ＋∫２

－２

｜ｘ｜２＋ｘ２

ｄｘ＝０＋２∫２

０

ｘ２＋ｘ２

ｄｘ＝ｌｎ（２＋ｘ２）２０＝ｌｎ３．

（２）解：考虑下面的式子变形有

原式＝ １ｆ（ｘ０－２ｘ）－ｆ（ｘ０－ｘ）

ｘ

（分母变形凑项）

＝ｌｉｍｘ→０

１［ｆ（ｘ０－２ｘ）－ｆ（ｘ０）］

２ｘ －［ｆ（ｘ０－ｘ）－ｆ（ｘ０）］

ｘ

＝ １－ｆ′（ｘ０）

＝１．

（３）解：对方程两边关于ｘ求导，有

１９９４年试题参考答案 ２－３３

２

ｅｘｙ（ｙ＋ｘｙ′）＋２ｙｙ′＝－ｓｉｎｘ，ｙ′＝－ｙｅｘｙ＋ｓｉｎｘｘｅｘｙ＋２ｙ

．

（４）解１：用记录矩阵法，先构造矩阵（ＡＩ）：

０ ａ１ ０ ⋯ ０ １０ ０ ａ２ ⋯ ０ １ ０ ０ ０ ⋯ ａｎ－１ １ａｎ ０ ０ ⋯

烄

烆

烌

烎０ １

，

再实施下面变换：

先进行如下行交换：第ｎ行与第１行，第ｎ行与第２行，⋯，第ｎ行与第ｎ－１行；

再将第１行除以ａｎ，第２行除以ａ１，⋯，第ｎ行除以ａｎ－１．最后即可得到

Ａ－１＝

０ ０ ⋯ ０ １／ａｎ１／ａ１ ０ ⋯ ０ ００ １／ａ２ ⋯ ０ ０

０ ０ ⋯ １／ａｎ－１

烄

烆

烌

烎０

．

解２：用分块矩阵法把Ａ 分为４块；（ｎ－１）×１零矩阵，（ｎ－１）×（ｎ－１）对角方阵（记

为Ｂ），１×１方阵记为Ｃ＝（ａｎ），１×（ｎ－１）零矩阵．

再根据公式Ｏ Ｂ（ ）Ｃ Ｏ

－１

＝Ｏ Ｃ－１

Ｂ－１烄

烆

烌

烎Ｏ，即得Ａ－１．

（５）解：设Ａｉ＝｛取出的产品为第ｉ等品｝，ｉ＝１，２，３．由题意知，Ａ１，Ａ２，Ａ３互不相容．又

Ｐ（Ａ１）＝０．６，Ｐ（Ａ３）＝０．１．因此所求概率

Ｐ（Ａ１｜珚Ａ３）＝Ｐ（Ａ１珚Ａ３）Ｐ（珚Ａ３）

＝Ｐ（Ａ１）１－Ｐ（Ａ３）

＝ ０．６１－０．１＝

２３．

二、选择题

（１）解：先考虑是否有水平渐近线，若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线，而

是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点．

因为 ｌｉｍｘ→∞ｙ＝ａｒｃｔａｎ１＝π４

，所以ｙ＝π４是水平渐近线．

又因为ｌｉｍｘ→０＝∞，所以ｘ＝０是铅直渐近线．

又ｘ→１时，ｙ→π２ｅ；而ｘ→－２时，ｙ→π２ｅ

１４，故ｘ＝１，ｘ＝－２不是渐近线．

故选（Ｂ）．

（２）解：设Ｆ（ｘ）＝∫ｘ

ａｆ（ｔ）ｄｔ＋∫

ｘ

ｂ

１ｆ（ｔ）ｄｔ，则Ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ １

ｆ（ｘ）＞０．

故Ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上为单增函数，若其有根必惟一．

又Ｆ（ａ）＝∫ａ

ｂ

１ｆ（ｔ）ｄｔ＝－∫

ｂ

ａ

１ｆ（ｔ）ｄｔ＜０，而 Ｆ（ｂ）＝∫

ｂ

ａｆ（ｔ）ｄｔ＞０．

根据零点定理，方程Ｆ（ｘ）＝０在（ａ，ｂ）内至少有一根．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－３４

故选（Ｄ）．（３）解：因为Ａ和Ｂ都是非零矩阵，所以ｒ（Ａ）≥１，ｒ（Ｂ）≥１．排除（Ａ）．若Ａ和Ｂ中至少有一个矩阵的秩为ｎ，无妨设ｒ（Ａ）＝ｎ，则Ａ－１存在．于是

Ｂ＝Ａ－１（ＡＢ）＝Ａ－１Ｏ＝Ｏ，

这与Ｂ是非零矩阵矛盾．因此ｒ（Ａ）＜ｎ，ｒ（Ｂ）＜ｎ．故选（Ｂ）．

（４）解：用题设向量为列作矩阵Ａ，并对其作初等行变换，将其化为阶梯形矩阵：

Ａ＝（αＴ１，αＴ２，αＴ３，αＴ４，αＴ５）

＝

１ ０ ３ １ ２－１ ３ ０ －２ １２ １ ７ ２ ５

烄

烆

烌

烎４ ２ １４ ０ １０

→

１ ０ ３ １ ２０ ３ ３ －１ ３０ １ １ ０ １

烄

烆

烌

烎０ ２ ２ －４ ２

→

１ ０ ３ １ ２０ １ １ ０ １０ １ １ －２ １

烄

烆

烌

烎０ ３ ３ －１ ３

→

１ ０ ３ １ ２０ １ １ ０ １０ ０ ０ －２ ０

烄

烆

烌

烎０ ０ ０ ０ ０

．

知α１、α２、α４是极大线性无关组．故选（Ｂ）．注：由计算过程可看出：向量组α１，α３，α４或α１，α４，α５亦为极大线性无关组，但选择支中无此，故只能

选（Ｂ）．（５）解１：（特殊值法）设随机变量Ｘ在［０，１］上服从均匀分布．

取Ａ＝｛１４≤Ｘ≤

３４

｝，Ｂ＝｛０≤Ｘ≤１２｝．容易验证，其符合题设，

此时 Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝１２．排除选项（Ａ）和（Ｂ）．

又因为 Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ｛１４≤Ｘ≤１２

｝＝１４，Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝１２

·１２＝

１４

，

所以 Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）．故选（Ｄ）．解２：（直接计算）由题设Ｐ（Ａ｜Ｂ）＋Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝１，有

Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝１－Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ｜Ｂ），

这样 Ｐ（ＡＢ）

Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（ＡＢ）

Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ｂ｜Ａ）Ｐ（Ａ）

１－Ｐ（Ｂ） ＝［１－Ｐ（Ｂ｜Ａ）］Ｐ（Ａ）

１－Ｐ（Ｂ） ＝Ｐ（Ａ）－Ｐ（ＡＢ）

１－Ｐ（Ｂ） ．

由此解得 Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）．故选（Ｄ）．

三、解：令ｘ＝１ｔ，且注意使用洛必达（Ｌ′Ｈｏｓｐｉｔａｌ）法则，可有

ｌｉｍｘ→∞

ｘ－ｘ２ｌｎ１＋１（ ）［ ］ｘ ＝ｌｉｍｔ→０

１ｔ－

１ｔ２ｌｎ

（１＋ｔ［ ］）＝ｌｉｍｔ→０

ｔ－ｌｎ（１＋ｔ）

ｔ２ ＝ｌｉｍｔ→０

１－ １１＋ｔ２ｔ ＝１２．

四、解：由复合函数求偏导公式有

１９９４年试题参考答案 ２－３５

２

ｆｘ＝２ｘａｒｃｔａｎ

ｙｘ＋ｘ

２· １

１＋ ｙ（ ）ｘ２ －

ｙｘ（ ）２ －ｙ２· １

１＋ ｘ（ ）ｙ２·１ｙ

＝２ｘａｒｃｔａｎｙｘ－ｘ２ｙｘ２＋ｙ２

－ ｙ３

ｘ２＋ｙ２＝２ｘａｒｃｔａｎｙｘ－ｙ

，

故 ２ｆｘｙ＝２ｘ

· １

１＋ ｙ（ ）ｘ２·１ｘ－１＝

２ｘ２ｘ２＋ｙ２

－１＝ｘ２－ｙ２

ｘ２＋ｙ２．

五、解１：由题设ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎｘ（ ）ｘ′＝ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘｘ２

，于是

∫ｘ３ｆ′（ｘ）ｄｘ＝ｘ３ｆ（ｘ）－３∫ｘ２ｆ（ｘ）ｄｘ

＝ｘ３ｆ（ｘ）－３∫ｘ２ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘｘ２ ｄｘ

＝ｘ３ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘｘ２ －３ｘｓｉｎｘ－６ｃｏｓｘ＋Ｃ

＝ｘ２ｃｏｓｘ－４ｘｓｉｎｘ－６ｃｏｓｘ＋Ｃ．

解２：由于ｓｉｎｘｘ

是ｆ（ｘ）的原函数，有ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎｘ（ ）ｘ ′＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘｘ２，因此

∫ｘ３ｆ′（ｘ）ｄｘ＝∫ｘ３ｄ［ｆ（ｘ）］＝ｘ３ｆ（ｘ）－３∫ｘ２ｆ（ｘ）ｄｘ

＝ｘ３ｆ（ｘ）－３∫ｘ２ｄｓｉｎｘ（ ）ｘ

＝ｘ３ｆ（ｘ）－３ｘ２·ｓｉｎｘｘ －２∫ｓｉｎｘｄ［ ］ｘ

＝ｘ３·ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘｘ２ －３ｘｓｉｎｘ－６ｃｏｓｘ＋Ｃ

＝ｘ２ｃｏｓｘ－４ｘｓｉｎｘ－６ｃｏｓｘ＋Ｃ．

六、解：依题意，产鱼总量为ｚ＝（３－αｘ－βｙ）ｘ＋（４－βｘ－２αｙ）ｙ，即

ｚ＝３ｘ＋４ｙ－αｘ２－２αｙ２－２βｘｙ．

令

ｚｘ＝３－２αｘ－２βｙ＝０

，

ｘｙ＝４－４αｙ－２βｘ＝０烅

烄

烆 ．

由于α＞β＞０，知上方程组系数行列式Ｄ＝４（２α２－β２）＞０，故方程组有惟一解，解得惟一

驻点为

ｘ０＝３α－２β２（α２－β２）

，ｙ０＝４α－３β２（２α２－β２）

．

记 Ａ＝２ｚｘ２＝－２α

，Ｂ＝２ｚ

ｘｙ＝－２β，Ｃ＝

２ｚｙ２

＝－４α．

因为ＡＣ－Ｂ２＝８α２－４β２＞０且Ａ＜０，所以ｚ在（ｘ０，ｙ０）处有极大值，即最大值．容易验证：当ｘ０＞０，ｙ０＞０时

历年考研数学试题详解·数学（四）２－３６

（３－αｘ０－βｙ０）ｘ０＝３ｘ０２ ＞０

，（４－βｘ０－２αｙ０）ｙ０＝２ｙ０＞０．

知ｘ０，ｙ０为所求两种鱼的放养数．七、解：（１）在点（ｘ０，ｙ０）处两曲线的切线斜率分别为

ｙ′ ｘ＝ｘ０＝ ａ２－ ｘ槡 ０

，ｙ′ ｘ＝ｘ０＝ １２ｘ０．

由题意 ａ２－ ｘ槡 ０

＝ １２ｘ０

，得ｘ０＝１ａ２．

又因为ａ ｘ槡０＝ｌｎ ｘ槡 ０，即ａ １ａ槡２＝

１２ｌｎ

１ａ２

，

由此解得ａ＝ｅ－１．

从而 ｘ０＝１

（ｅ－１）２＝ｅ２，ｙ０＝ｌｎ ｅ槡２＝１．

（２）两曲线与Ｏｘ轴围成的平面图形的面积（ｙ为积分变量）

Ｓ＝∫１

０（ｅ２ｙ－ｅ２ｙ２）ｄｙ＝１２ｅ

２ｙ １０－１３ｅ２ｙ３

１０＝

１６ｅ２－１２．

注：在同年数学（三）试题中除要求上述两问外，还要求两曲线与Ｏｘ轴所围成平面图形绕Ｏｘ轴旋转所

成旋转体体积（ｘ为积分变量），其可算如：

ＶＯｘ＝∫ｅ２

０π １ｅ槡（ ）ｘ

２ｄｘ－∫

ｅ２

０π（ｌｎ槡ｘ）２ｄｘ＝πｘ

２

２ｅ２ｅ２

０－π４ ｘｌｎ２ｘ

ｅ２

１－２∫ｅ２

１ｌｎｘｄ（ ）ｘ

＝ １２πｅ２－π４ ４ｅ２－２ｘｌｎｘ

ｅ２

１＋２∫ｅ２

１ｄ（ ）ｘ ＝ １２πｅ

２－π２ｘｅ２

１ ＝π２．

八、证：设ｘｎ－ｔｎ＝ｕ，则 －ｎｔｎ－１ｄｔ＝ｄｕ．当ｔ＝０时，ｕ＝ｘｎ；当ｔ＝ｘ时，ｕ＝０．于

是

Ｆ（ｘ）＝１ｎ∫ｘｎ

０ｆ（ｕ）ｄｕ， Ｆ′（ｘ）＝ｘｎ－１ｆ（ｘｎ）．

故 ｌｉｍｘ→０

Ｆ（ｘ）

ｘ２ｎ ＝ｌｉｍｘ→０Ｆ′（ｘ）

２ｎｘ２ｎ－１＝１２ｎｌｉｍｘ→０

ｆ（ｘｎ）

ｘｎ ＝１２ｎｌｉｍｘ→０ｆ（ｘｎ）－ｆ（０）

ｘｎ－０ ＝１２ｎｆ′（０）．

注：本题在当年数学（三）试题中是计算题，即在题设条件下求ｌｉｍｘ→０

Ｆ（ｘ）

ｘ２ｎ ．

九、证：显然α１＋α２，α２＋α３，α３＋α１是Ａｘ＝０的解（因αｉ是Ａｘ＝０的解），关键证明

α１＋α２，α２＋α３，α３＋α１线性无关即可．若有ｋｉ（ｉ＝１，２，３）使

ｋ１（α１＋α２）＋ｋ２（α２＋α３）＋ｋ３（α３＋α１）＝０，

即 （ｋ１＋ｋ３）α１＋（ｋ１＋ｋ２）α２＋（ｋ２＋ｋ３）α３＝０．

由题设α１，α２，α３线性无关，则 （）

ｋ１ ＋ｋ３＝０，

ｋ１＋ｋ２ ＝０，

ｋ２＋ｋ３＝０烅烄

烆 ．

而 Ｄ＝１ ０ １１ １ ００ １ １

＝２≠０，

知方程组（）仅有０解，即ｋ１＝ｋ２＝ｋ３＝０．从而α１＋α２，α２＋α３，α３＋α１线性无关，故它们亦是Ａｘ＝０的一个基础解系．十、解：由题设矩阵Ａ的特征方程为

１９９４年试题参考答案 ２－３７

２

｜Ａ－λＩ｜＝－λ ０ １ｘ １－λ ｙ１ ０ －λ

＝（１－λ）（λ２－１）＝－（λ－１）２（λ＋１）＝０．

解得其特征值λ１＝λ２＝１，λ３＝－１．为使该三个特征值所对应的特征向量线性无关，只需与λ＝１（二重根）相对应的方程组

（Ａ－Ｉ）ｘ＝０有两个基础解，即秩ｒ（Ａ－Ｉ）＝１．因而矩阵

Ａ－Ｉ＝－１ ０ １ｘ ０ ｙ烄

烆

烌

烎１ ０ －１

的２阶子式皆为０．因而－１ １ｘ ｙ

＝－ｘ－ｙ＝０．

故矩阵Ａ有三个线性无关的特征向量必须满足条件ｘ＋ｙ＝０．十一、解：由题设有事件“观测值不大于０．１”的概率为

ｐ＝Ｐ｛Ｘ≤０．１｝＝∫０．１

－∞ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫

０．１

０２ｘｄｘ＝０．０１．

Ｖｎ 服从参数为（ｎ，ｐ）的二项分布犅（ｎ，ｐ），故有：

Ｐ｛Ｖｎ＝ｍ｝＝Ｃｍｎ（０．０１）ｍ（０．０９）ｎ－ｍ， ｍ ＝１，２，⋯，ｎ．十二、解：我们先来建立Ｅ（Ｔ）与μ之间的函数关系，为此先要求出Ｔ的分布律．设Φ（ｘ）和φ（ｘ）分别为标准正态分布函数和标准正态密度函数，于是有

Ｐ｛Ｘ＜１０｝＝Φ（１０－μ），

Ｐ｛１０≤Ｘ≤１２｝＝Φ（１２－μ）－Φ（１０－μ），

Ｐ｛Ｘ＞１２｝＝１－Φ（１２－μ）．这样Ｔ的概率分布为：

Ｔ －１ ２０ －５

概率Ｐ｛Ｔ＝ｔ｝ Φ（１０－μ） Φ（１２－μ）－Φ（１０－μ） １－Φ（１２－μ）

由此得 Ｅ（Ｔ）＝２５Φ（１２－μ）－２１Φ（１０－μ）－５．

令 ｄｄμＥ（Ｔ）＝－２５φ（１２－μ）＋２１φ（１０－μ）＝０，即

－２５槡２πｅ－

（１２－μ）２

２ ＋２１槡２πｅ－

（１０－μ）２

２ ＝０．

解此方程得 μ＝１１－１２ｌｎ２５２１≈１０．９．

由此知当μ≈１０．９毫米时，销售一个零件的平均利

润最大．

１９９５年试题参考答案

一、填空题

（１）解：由题设可有

式左＝ｅｘｐｌｉｍｘ→∞

１＋ｘｘ －（ ）１｛ ｝ａｘ ＝ｅａ，

历年考研数学试题详解·数学（四）２－３８

式右＝∫ａ

－∞ｔｅｔｄｔ＝ ｔｅｔ－ｅ［ ］ｔ ａ

－∞ ＝ａｅａ－ｅａ．

这里注意到当ｕ（ｘ）→０时，

ｌｉｍ［１－ｕ（ｘ）］ｖ（ｘ）＝ｅｘｐ｛ｌｉｍｖ（ｘ）ｌｎ［１－ｕ（ｘ）］｝＝ｅｘｐ｛－ｌｉｍ［ｖ（ｘ）ｕ（ｘ）］｝．于是ｅａ＝ａｅａ－ｅａ，由此解得ａ＝２．

（２）解：由ｚ′ｘ＝ｙｆ－ｙ２

ｘｆ′，ｚ′ｙ＝ｘｆ＋ｙｆ′ ，故ｘｚ′ｘ＋ｙｚ′ｙ＝２ｘｙｆ

ｙ（ ）ｘ ＝２ｚ．

（３）解：令ｔ＝ｌｎｘ，则ｘ＝ｅｔ．代入ｆ′（ｌｎｘ）＝１＋ｘ中，得ｆ′（ｔ）＝１＋ｅｔ．

故 ｆ（ｔ）＝∫ｆ′（ｔ）ｄｔ＝∫（１＋ｅｔ）ｄｔ＝ｔ＋ｅｔ＋Ｃ．

（４）解：因为｜Ａ｜＝１０≠０，所以Ａ可逆，又Ａ＝｜Ａ｜Ａ－１，

则 （Ａ）－１＝（｜Ａ｜Ａ－１）－１＝ Ａ｜Ａ｜＝１／１０ ０ ０１／５ １／５ ０３／１０ ２／５ １／

烄

烆

烌

烎２．

注１：这儿我们想指出：对满秩矩阵而言，Ａ与Ａ－１仅差一个常数｜Ａ｜，故把它们视为等同．这样做对解

题来讲会带来极大方便．注２：求（Ａ－１）－１谁也不会先求Ａ的逆Ａ－１，再求Ａ－１的逆（Ａ－１）－１，若熟知Ａ＝｜Ａ｜Ａ－１，这类问题

便迎韧而解了．

（５）解１：（１）由Ｅ（Ｘ）＝∫＋∞

－∞ｘｆ（ｘ）ｄｘ＝∫

０

－１ｘ（１＋ｘ）ｄｘ＋∫

１

０ｘ（１－ｘ）ｄｘ＝０．

故 Ｄ（Ｘ）＝∫＋∞

－∞［ｘ－Ｅ（Ｘ）］２ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫

０

－１ｘ２（１＋ｘ）ｄｘ＋∫

１

０ｘ２（１－ｘ）ｄｘ＝１６．

解２：由设可验证ｆ（ｘ）是偶函数，则ｘｆ（ｘ）是奇函数，故Ｅ（Ｘ）＝∫＋∞

－∞ｘｆ（ｘ）ｄｘ＝０．

又 Ｅ（Ｘ２）＝∫＋∞

－∞ｘ２ｆ（ｘ）ｄｘ＝２∫

１

０ｘ２（１－ｘ）ｄｘ＝１６

，

故 Ｄ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ２）－［Ｅ（Ｘ）］２＝１６．二、选择题

（１）解：注意到

－１＝ｌｉｍｘ→０

ｆ（１）－ｆ（１－ｘ）

２ｘ ＝１２ｌｉｍｘ→０ｆ（１－ｘ）－ｆ（１）

－ｘ ＝１２ｆ′（１），

由上解得ｆ′（１）＝－２．故选（Ｄ）．

（２）解：计算各选项的积分，其中（Ａ）为

∫１

－１

ｄｘｓｉｎｘ＝∫

０

－１ｃｓｃｘｄｘ＋∫

１

０ｃｓｃｘｄｘ

因为上式右前一项∫０

－１ｃｓｃｘｄｘ＝ ｌｎ｜ｃｓｃｘ－ｃｏｔｘ［ ］｜

０－１＝－∞，

所以 积分∫１

－１

ｄｘｓｉｎｘ

发散．

１９９５年试题参考答案 ２－３９

２

（亦可由ｌｉｍｘ→０

ｓｉｎ１ｘ１ｘ

＝１及∫１

－１

ｄｘｘ

发散，知积分∫１

－１

１ｓｉｎｘｄｘ

发散）

故选（Ａ）．

（３）解：注意到ααＴ＝１２，再注意到

ＡＢ＝（Ｉ－αＴα）（Ｉ＋２αＴα）＝Ｉ－αＴα＋２αＴα－２αＴ（ααＴ）α＝Ｉ．故选（Ｃ）．

（４）解：选项（Ａ）和（Ｂ）中的“任意”改为“存在”，结论才正确．选项（Ｃ）中“通过初等行变

换”改为“通过初等行、列变换”才正确．故选项（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）不真．由于Ａ有ｍ 行且ｒ（Ａ）＝ｍ＜ｎ，因此ｒ（Ａｂ）≥ｒ（Ａ）＝ｍ．又ｒ（Ａｂ）≤ｍｉｎ｛ｍ，ｎ＋１｝＝ｍ，只能ｒ（Ａｂ）＝ｒ（Ａ）＝ｍ＜ｎ．故选（Ｄ）．

（５）解：注意到下面的式子：

Ｐ｛｜Ｘ－μ｜＜σ｝＝Ｐ｛－σ＜Ｘ－μ＜σ｝＝Ｐ －１＜Ｘ－μσ ＜｛ ｝１ ＝Φ（１）－Φ（－１），

其中Φ（ｘ）表示Ｎ（０，１）的分布函数，可知Ｐ｛｜Ｘ－μ｜＜σ｝的值与σ无关．故选（Ｃ）．三、解：（１）连续性．因为

ｌｉｍｘ→０－

２ｘ２

（１－ｃｏｓｘ）＝ｌｉｍｘ→０－

ｓｉｎｘｘ ＝１， ｌｉｍ

ｘ→０＋

１ｘ∫

ｘ

０ｃｏｓｔ２ｄｔ＝ｌｉｍ

ｘ→０＋

ｃｏｓｘ２１ ＝１，

所以ｆ（０－０）＝ｆ（０＋０）＝ｆ（０）＝１，即ｆ（ｘ）在ｘ＝０处连续．（２）可导性．因为

ｆ′－（０）＝ｌｉｍｘ→０－

１ｘ２（１－ｃｏｓｘ）

ｘ２［ ］－１ ＝ｌｉｍｘ→０－

２（１－ｃｏｓｘ）－ｘ２ｘ３ ＝ｌｉｍ

ｘ→０－

２ｓｉｎｘ－２ｘ３ｘ２

＝ｌｉｍｘ→０－

２ｃｏｓｘ－２６ｘ ＝ｌｉｍ

ｘ→０－

－ｓｉｎｘ３ ＝０．

ｆ′＋（０）＝ｌｉｍｘ→０＋

１ｘ１ｘ∫

ｘ

０ｃｏｓｔ２ｄｔ－（ ）１ ＝ｌｉｍ

ｘ→０＋

∫ｘ

０ｃｏｓｔ２ｄｔ－ｘ

ｘ２ ＝ｌｉｍｘ→０＋

ｃｏｓｘ２－１２ｘ

＝ｌｉｍｘ→０＋

－２ｘｓｉｎｘ２２ ＝０，

所以ｆ′－（０）＝ｆ′＋（０）＝０，即ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导，且ｆ′（０）＝０．

四、解１：由分部积分方法有

∫（ａｒｃｓｉｎｘ）２ｄｘ＝ｘ（ａｒｃｓｉｎｘ）２－∫２ｘａｒｃｓｉｎｘ１－ｘ槡 ２ｄｘ

＝ｘ（ａｒｃｓｉｎｘ）２＋２∫ａｒｃｓｉｎｘｄ（ １－ｘ槡 ２）

＝ｘ（ａｒｃｓｉｎｘ）２＋２ １－ｘ槡 ２ａｒｃｓｉｎｘ－２ｘ＋Ｃ．解２：令ｕ＝ａｒｃｓｉｎｘ，则ｘ＝ｓｉｎｕ，ｄｘ＝ｃｏｓｕｄｕ．这样可有

历年考研数学试题详解·数学（四）２－４０

∫（ａｒｃｓｉｎｘ）２ｄｘ＝∫ｕ２ｃｏｓｕｄｕ＝∫ｕ２ｄ（ｓｉｎｕ）

＝ｕ２ｓｉｎｕ－∫２ｕｓｉｎｕｄｕ＝ｕ２ｓｉｎｕ＋２ｕｃｏｓｕ－２∫ｃｏｓｕｄｕ＝ｕ２ｓｉｎｕ＋２ｕｃｏｓｕ－２ｓｉｎｕ＋Ｃ

＝ｘ（ａｒｃｓｉｎｘ）２＋２ １－ｘ槡 ２ａｒｃｓｉｎｘ－２ｘ＋Ｃ

五、证：（１）因∫ａ

－ａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝∫

０

－ａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＋∫

ａ

０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ．

设ｘ＝－ｔ，则ｄｘ＝－ｄｔ．当ｘ＝－ａ时，ｔ＝ａ；当ｘ＝０时，ｔ＝０．于是

∫ａ

－ａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝－∫

０

ａｆ（－ｔ）ｇ（－ｔ）ｄｔ＝∫

ａ

０ｆ（－ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ，

故 ∫ａ

－ａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝∫

ａ

０ｆ（－ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＋∫

ａ

０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ

＝∫ａ

０［ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）］ｇ（ｘ）ｄｘ

＝Ａ∫ａ

０ｇ（ｘ）ｄｘ．

（２）取ｆ（ｘ）＝ａｒｃｔａｎｅｘ，ｇ（ｘ）＝｜ｓｉｎｘ｜，且ａ＝π２，则ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在 －π２

，π［ ］２ 上连续，其

中ｇ（ｘ）为偶函数．设Ｆ（ｘ）＝ａｒｃｔａｎｅｘ＋ａｒｃｔａｎｅ－ｘ，则

Ｆ′（ｘ）＝ ｅｘ

１＋ｅ２ｘ－ ｅ－ｘ

１＋ｅ－２ｘ＝ ｅｘ

１＋ｅ２ｘ－ ｅｘ

１＋ｅ２ｘ＝０，

意即Ｆ（ｘ）＝Ａ（常数）．令ｘ＝０，得Ａ＝Ｆ（０）＝２ａｒｃｔａｎ１＝π２，即

ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）＝π２．

于是有

∫π２

－π２｜ｓｉｎｘ｜ａｒｃｔａｎｅｘｄｘ＝ π２∫

π２

０｜ｓｉｎｘ｜ｄｘ＝ π２∫

π２

０ｓｉｎｘｄｘ＝ π２．

六、解：收益Ｒ＝ｐＱ对Ｑ求导，有

ｄＲｄＱ＝Ｐ＋Ｑ

ｄｐｄＱ＝Ｐ＋ －ＱＰ

ｄｐｄ（ ）Ｑ （－ｐ）＝ｐ１－

１Ｅ（ ）ｐ．

由 ｄＲｄＱ Ｑ＝Ｑ０

＝ｐ０１－１（ ）ｂ ＝ａ， Ｐ０＝

ａｂｂ－１．

收益Ｒ＝ｐＱ对ｐ求导，有

ｄＲｄｐ＝Ｑ＋ｐ

ｄＱｄｐ＝Ｑ＋ －ｐＱ

ｄＱｄ（ ）ｐ （－Ｑ）＝Ｑ（１－Ｅｐ）．

由 ｄＲｄＱ ｐ＝ｐ０

＝Ｑ０（１－Ｅｐ）＝ｃ， Ｑ０＝ｃ１－ｂ．

注：由题设Ｅｐ＝ｂ＞１和Ｑ（ｐ）为单调减函数知，Ｅｐ＝－ｐＱｄＱｄｐ．

１９９５年试题参考答案 ２－４１

２

七、证１：由［ｘｆ（ｘ）］′＝ｆ（ｘ）＋ｘｆ′（ｘ），作辅助函数Ｆ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ）．在区间［ａ，ｂ］上对Ｆ（ｘ）使用拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）中值定理，得

Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）

ｂ－ａ ＝Ｆ′（ξ），ａ＜ξ＜ｂ，

即 ｂｆ（ｂ）－ａｆ（ａ）

ｂ－ａ ＝ｆ（ξ）＋ξｆ′（ξ），ａ＜ξ＜ｂ．

证２：令ξ为ｘ，得 ｂｆ（ｂ）－ａｆ（ａ）

ｂ－ａ ＝ｆ（ｘ）＋ｘｆ′（ｘ）．

则 ｂｆ（ｂ）－ａｆ（ａ）

ｂ－ａ －［ｘｆ（ｘ）］′＝０，两边积分得

Ｆ（ｘ）＝ｂｆ（ｂ）－ａｆ（ａ）

ｂ－ａ ｘ－ｘｆ（ｘ）．

则Ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，且Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ）＝０，由罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理知，存

在ξ∈（ａ，ｂ），使得Ｆ′（ξ）＝０，即

ｂｆ（ｂ）－ａｆ（ａ）

ｂ－ａ ＝ｆ（ξ）＋ξｆ′（ξ）．

八、解１：先求极大值．由

ｆ′ｘ（ｘ，ｙ）＝２ｘｙ（４－ｘ－ｙ）－ｘ２ｙ＝ｘｙ（８－３ｘ－２ｙ），

及 ｆ′ｙ（ｘ，ｙ）＝ｘ２（４－ｘ－ｙ）－ｘ２ｙ＝ｘ２（４－ｘ－２ｙ）．令ｆ′ｘ（ｘ，ｙ）＝０，ｆ′ｙ（ｘ，ｙ）＝０，解得ｘ＝０（ｘ≤ｙ≤６），及点（４，０）和（２，１），其中只有

（２，１）是Ｄ的内点，是惟一可能取极值的驻点．注意到

ｆ″ｘｘ＝８ｙ－６ｘｙ－２ｙ２，ｆ″ｘｙ＝８ｘ－３ｘ２－４ｘｙ，ｆ″ｙｙ＝－２ｘ２．Ａ＝ｆ″ｘｘ（２，１）＝－６， Ｂ＝ｆ″ｘｙ（２，１）＝－４， Ｃ＝ｆ″ｙｙ（２，１）＝－８．

由于ＡＣ－Ｂ２＝３２＞０，Ａ＝－６＜０，因此点（２，１）是ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）的极大值点，且极大值

ｆ（２，１）＝４．再来看极小值．先求Ｄ的３条边界线段上的可能最值点及其函数值．在Ｄ的边界ｘ＝０（０≤ｙ≤６）及ｙ＝０（０≤ｘ≤６）上ｆ（ｘ，ｙ）＝０．在边界ｘ＋ｙ＝６上，把ｙ＝６－ｘ代入ｆ（ｘ，ｙ）中，设φ（ｘ）＝２ｘ３－１２ｘ２（０＜ｘ＜６）．令φ′（ｘ）＝６ｘ２－２４ｘ＝０，解得ｘ＝４，ｘ＝０（已包含在其他边界中，舍去）．当ｘ＝４时，ｙ＝２．因此ｆ（４，２）＝－６４．比较以上各可能最值点的函数值：当（ｘ，ｙ）在ｘ＝０和ｙ＝０边界上时，ｆ（ｘ，ｙ）＝０；又

ｆ（２，１）＝４，ｆ（４，２）＝－６４，

综上ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在Ｄ上的最大值为ｆ（２，１）＝４，最小值为ｆ（４，２）＝－６４．解２：先求区域Ｄ内部的函数极值．令

ｆ′ｘ＝２ｘｙ（４－ｘ－ｙ）－ｘ２ｙ＝０，

ｆ′ｙ＝ｘ２（４－ｘ－ｙ）－ｘ２ｙ＝０烅烄

烆 ．解得惟一内部驻点（２，１）．用充分条件判定是否取得极值．

ｆ″ｘｘ＝８ｙ－６ｘｙ－２ｙ２，ｆ″ｘｙ＝８ｘ－３ｘ２－４ｘｙ，ｆ″ｙｙ＝－２ｘ２．令 Ａ＝ｆｘｘ（２，１）＝－６，Ｂ＝ｆｘｙ（２，１）＝－４，Ｃ＝ｆｙｙ（２，１）＝－８．由ＡＣ－Ｂ２＝３２＞０，且Ａ＜０，因此（２，１）是ｆ（ｘ，ｙ）的极大值点，极大值为ｆ（２，１）＝４．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－４２

比较边界值以求函数最大值和最小值．当ｘ＝０（０≤ｙ≤６）和ｙ＝０（０≤ｘ≤６）时ｆ（ｘ，ｙ）＝０．由边界方程ｘ＋ｙ＝６解出ｙ＝６－ｘ，代入ｆ（ｘ，ｙ）中得ｚ＝２ｘ３－１２ｘ２（０≤ｘ≤６）．

令ｄｚｄｘ＝６ｘ

２－２４ｘ＝０，解得边界ｘ＋ｙ＝６上的惟一驻点ｘ＝４，即Ｄ边界上点（４，２）．以

下比较所有可能最值点的函数值：

ｆ（０，０）＝０，ｆ（６，０）＝０，ｆ（０，６），ｆ（２，１）＝４，ｆ（４，２）＝－６４．由此知ｆ（ｘ，ｙ）在Ｄ上的最大值为ｆ（２，１）＝４，最小值为ｆ（４，２）＝－６４．九、解：对方程组增广矩阵珚Ａ＝（Ａｂ）作初等行变换，使之成为阶梯形：

珚Ａ＝（Ａｂ）

λ １ １ λ－３１ λ １ －２１ １ λ

烄

烆

烌

烎－２

变换１，３→

两行１ １ λ －２１ λ １ －２λ １ １ λ

烄

烆

烌

烎－３第２，３行分别减第１

→行１ １ λ －２０ λ－１ １－λ ００ １－λ １－λ２ ３（λ－１

烄

烆

烌

烎）第２行加至

第３→

行１ １ λ －２０ λ－１ １－λ ００ ０ －（λ＋２）（λ－１） ３（λ－１

烄

烆

烌

烎）．

（１）当λ≠２且λ≠１时，ｒ（Ａ）＝ｒ（珚Ａ）＝３，方程组有惟一解．（２）当λ＝－２时，ｒ（Ａ）＝２≠ｒ（珚Ａ）＝３，方程组无解．（３）当λ＝１时，增广矩阵珚Ａ变换后的矩阵第２，３行元素皆为０，则其同解方程为

ｘ１＝－２－ｘ２－ｘ３，

令ｘ２＝ｋ１，ｘ３＝ｋ２（ｋ１，ｋ２都是任意常数），则方程组的全部解

ｘ１ｘ２ｘ

烄

烆

烌

烎３

＝－２烄

烆

烌

烎００＋ｋ１

－１烄

烆

烌

烎１０＋ｋ２

－１烄

烆

烌

烎０１．

式中β１＝（－１，１，０）Ｔ和β２＝（－１，０，１）Ｔ为基础解系．十、解：问题化为矩阵运算是方便的：令

Ｐ＝（ａ１，ａ２，ａ３）， Ｂ＝（ａ１，２ａ２，３ａ３），

依题设有Ｐ＝（ａ１，ａ２，ａ３）＝（ａ１，ａ２，３ａ３），即ＡＰ＝Ｂ，又｜Ｐ｜≠０，则 Ａ＝ＢＰ－１．故

Ａ＝ＢＰ－１＝（ａ１，２ａ２，３ａ３）·１９

１ ２ ２２ －２ １

烄

烆

烌

烎－２ －１ ２＝１３

７ ０ －２０ ５ －２

烄

烆

烌

烎－２ －２ ６．

十一、解：设Ａ＝｛仪器需进一步调试｝，Ｂ＝｛仪器可以出厂｝，则任一仪器可出厂概率为

Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ｂ｜Ａ）Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ｜Ａ）Ｐ（Ａ）＝０．３·０．８＋０．７·１＝０．９４．或由上知：Ａ＝｛仪器能直接出厂｝，ＡＢ＝｛仪器经调试后能出厂｝，则Ｂ＝Ａ＋ＡＢ．又 Ｐ（Ａ）＝０．３０，Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝０．８０，，Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝０．２４，

则 Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（ＡＢ）＝（１－０．３）＋０．２４＝０．９４设Ｘ＝｛仪器可以出厂的台数｝，则Ｘ～犅（ｎ，０．９４）．于是所求诸概率分别为：

１９９５年试题参考答案 ２－４３

２

（１）α＝Ｐ｛Ｘ＝ｎ｝＝０．９４ｎ，

（２）β＝Ｐ｛Ｘ＝ｎ－２｝＝Ｃ２ｎ（０．９４）ｎ－２（０．０６）２，

（３）γ＝Ｐ｛Ｘ≤ｎ－２｝＝１－Ｐ｛Ｘ＝ｎ－１｝－Ｐ｛Ｘ＝ｎ｝＝１－ｎ·（０．９４）ｎ－１（０．０６）－０．９４ｎ．

十二、证：由题设知Ｘ的概率密度函数为ｆ（ｘ）＝２ｅ－２ｘ，

０｛ ，

ｘ≥０，

ｘ＜０．

设ｙ＝ｇ（ｘ）＝－ｅ－２ｘ，其反函数ｘ＝ｈ（ｙ）＝－１２ｌｎ（１－ｙ），ｈ′（ｙ）＝ －１

２（１－ｙ）．于是Ｙ的密度函数

φ（ｙ）＝ｆ（ｈ（ｙ））｜ｈ′（ｙ）｜，

０｛ ．０＜ｙ＜１，

其他．＝１，

０｛ ．０＜ｙ＜１，

其他．故 Ｙ＝１－ｅ－２Ｘ服从（０，１）上的均匀分布．注：此问题亦有一般性，换言之结论可以推广．此外，问题还可解如：

证：若Ｇ（ｙ）是Ｙ的分布函数，则

Ｇ（ｙ）＝Ｐ｛Ｙ≤ｙ｝＝Ｐ｛１－ｅ－２Ｘ≤ｙ｝

＝

０，

Ｐ｛Ｘ≤－１２ｌｎ（１－ｙ）｝，

１

烅烄

烆 ，

ｙ≤０，

０＜ｙ＜１，

ｙ≥１．

＝０，

ｙ，

１烅烄

烆，

ｙ≤０，

０＜ｙ＜１，

ｙ≥１．

故知Ｙ在（０，１）上服从均匀分布．

１９９６年试题参考答案

一、填空题

（１）解１：方程两边取对数，即ｌｎｘ＝ｙｌｎｙ，求导得 １ｘ＝ｙ′ｌｎｙ＋ｙ

·１ｙ

·ｙ′，

解得ｙ′＝ １ｘ（１＋ｌｎｙ）

，故 ｄｙ＝ １ｘ（１＋ｌｎｙ）ｄｘ．

解２：方程两边取微分，得

ｄｘ＝ｄ（ｙｙ）＝（ｄｅｙｌｎｙ）＝ｙｙｄ（ｙｌｎｙ）＝ｙｙ（ｌｎｙ·ｄｙ＋ｄｙ），

解出 ｄｙ＝ １ｙｙ（１＋ｌｎｙ）ｄｘ＝

１ｘ（１＋ｌｎｙ）ｄｘ．

（２）解：因为ｘｆ（ｘ）＝（ａｒｃｓｉｎｘ）′＝ １１－ｘ槡 ２

，所以ｆ（ｘ）＝ １ｘ １－ｘ槡 ２

．故

∫ １ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｘ １－ｘ槡 ２ｄｘ＝－１２∫（１－ｘ２）

１２ｄ（１－ｘ２）＝－１３

（ １－ｘ槡 ２）３＋Ｃ．

（３）解：由题设及函数求导法则有ｙ′＝ １１＋ｘ槡 ２

，则

ｙ″＝［（１＋ｘ２）－１２］′＝－１２

（１＋ｘ２）－３２·２ｘ＝－ｘ（１＋ｘ２）－

３２，

且 ｙ＝［－ｘ＋（１＋ｘ２）－３２］′＝－（１＋ｘ２）－

３２＋３ｘ２（１＋ｘ２）－

５２．

故 ｙ｜ｘ 槡＝３＝－１８＋

９２３＝

５３２．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－４４

（４）解：令原式为Ｄ５，按第１行展开得递推关系后，反复因此递推式有

Ｄ５＝（１－ａ）Ｄ４＋ａＤ３＝（１－ａ）［（１－ａ）Ｄ３＋ａＤ３］＋ａＤ３＝［（１－ａ）２＋ａ］Ｄ３＋ａ（１－ａ）Ｄ２ （注意到Ｄ２＝１－ａ＋ａ２）

＝（１－ａ＋ａ２）［（１－ａ）Ｄ２＋ａ（１－ａ）］＋ａ（１－ａ）Ｄ２＝（１－ａ＋ａ２）［（１－ａ）（１－ａ＋ａ２）＋ａ（１－ａ）］＋ａ（１－ａ）（１－ａ＋ａ２）

＝１－ａ＋ａ２－ａ３＋ａ４－ａ５．注：其相应矩阵称为三对角阵，其实先将行列式第２～５列分别加到第１列，再按第１列展开亦可得一个

简单递推式．此题解法可用于问题推广到ｎ阶行列式的情形．

（５）解：设Ａｉ＝｛第ｉ个零件是合格品｝，则

Ｐ（珚Ａｉ）＝１ｉ＋１

， Ｐ（Ａｉ）＝１－１ｉ＋１＝

ｉｉ＋１．

这样有 Ｐ｛Ｘ＝２｝＝Ｐ（珚Ａ１Ａ２Ａ３）＋Ｐ（Ａ１珚Ａ２Ａ３）＋Ｐ（Ａ１Ａ２珚Ａ３）

＝Ｐ（珚Ａ１）Ｐ（Ａ２）Ｐ（Ａ３）＋Ｐ（Ａ１）Ｐ（珚Ａ２）Ｐ（Ａ３）＋Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２）Ｐ（珚Ａ３）

＝１２·２３

·３４＋

１２

·１３

·１４＋

１２

·２３

·１４＝１１２４．

二、选择题

（１）解：由题设可有ｆ（ｘ０）＝ｌｉｍｘ→ｘ０

ｆ″（ｘ）－ｆ″（ｘ０）ｘ－ｘ０

＝ｌｉｍｘ→ｘ０

ｆ″（ｘ）

ｘ－ｘ０＞０．

于是，在ｘ０的某去心邻域０＜｜ｘ－ｘ０｜＜δ内，有

ｆ″（ｘ）

ｘ－ｘ０＞０

ｆ″（ｘ）＜０， 当ｘ＜ｘ０时，

ｆ″（ｘ）＞０， 当ｘ＞ｘ０时烅烄

烆 ．

在使ｆ″（ｘ）＝０的点ｘ０左、右邻域内ｆ″（ｘ）变号，因此（ｘ０，ｆ（ｘ０））是拐点．故选（Ｄ）．

（２）解：（使用排除法）取ｆ（ｘ）＝ｘ，则ｆ′（ｘ）＝１．易见选项（Ｂ）与（Ｄ）错．再取ｆ（ｘ）＝ｘ２，则ｆ′（ｘ）＝２ｘ．易见（Ｃ）亦不真．故（Ａ）正确．注：事实上，由于 ｌｉｍ

ｘ→＋∞ｆ′（ｘ）＝＋∞，则必存在正数ａ，当ｘ＞ａ时，恒有ｆ′（ｘ）＞１．由拉格朗日定理．

ｆ（ｘ）＝ｆ（ａ）＋ｆ′（ξ）（ｘ－ａ）＞ｆ（ａ）＋（ｘ－ａ），ｘ＞ξ＞ａ．故 ｌｉｍ

ｘ→＋∞ｆ（ｘ）≥ｌｉｍ

ｘ→＋∞［ｆ（ａ）＋（ｘ－ａ）］＝＋∞．

（３）解：由于｜Ａ｜≠０，有 Ａ＝｜Ａ｜Ａ－１．这样便有

（Ａ）＝｜Ａ｜（Ａ）－１＝｜｜Ａ｜Ａ－１｜（｜Ａ｜Ａ－１）－１

＝（｜Ａ｜ｎ·｜Ａ－１｜）（｜Ａ｜－１Ａ）＝｜Ａ｜ｎ－２Ａ．故选（Ｃ）．

（４）解：把题设等式改写为

λ１（α１＋β１）＋⋯＋λｍ（αｍ＋βｍ）＋ｋ１（α１－β１）＋⋯＋ｋｍ（αｍ－βｍ）＝０，

由于数组λ１，⋯，λｍ，ｋ１，⋯，ｋｍ 不全为零，即可知（Ｄ）中向量组线性相关，从而选项（Ｄ）正确．故选（Ｄ）．

１９９６年试题参考答案 ２－４５

２

（５）解１：因ＡＢ，则Ａ∩Ｂ＝Ａ，且 Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）．

因而 Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝Ｐ（ＡＢ）

Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ａ）

Ｐ（Ｂ）≥Ｐ（Ａ）（由０＜Ｐ（Ｂ）≤１），

即 Ｐ（Ａ）≤Ｐ（Ａ｜Ｂ）．故选（Ｂ）．解２：由ＡＢ得Ａ＝ＡＢ．于是Ｐ（Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ｜Ｂ）≤Ｐ（Ａ｜Ｂ）．故选（Ｂ）．三、解：（１）分情况讨论：当ｘ≠０时，

ｆ′（ｘ）＝ｘ［ｇ′（ｘ）＋ｅ－ｘ］－ｇ（ｘ）＋ｅ－ｘ

ｘ２ ＝ｘｇ′（ｘ）－ｇ（ｘ）＋（ｘ＋１）ｅ－ｘ

ｘ２ ．

当ｘ＝０时，注意到

ｆ′（０）＝ｌｉｍｘ→０

ｇ（ｘ）－ｅ－ｘｘｘ ＝ｌｉｍ

ｘ→０

ｇ′（ｘ）＋ｅ－ｘ２ｘ ＝ｌｉｍ

ｘ→０

ｇ″（ｘ）－ｅ－ｘ２ ＝ｇ

″（０）－１２ ．

故 ｆ′（ｘ）＝

ｘｇ′（ｘ）－ｇ（ｘ）＋（ｘ＋１）ｅ－ｘ

ｘ２，

ｇ″（０）－１２

烅

烄

烆，

若ｘ≠０，

若ｘ＝０．（２）在ｘ＝０处，因为

ｌｉｍｘ→０ｆ′（ｘ）＝ｌｉｍ

ｘ→０

ｘｇ′（ｘ）－ｇ（ｘ）＋（ｘ＋１）ｅ－ｘ

ｘ２ ＝ｌｉｍｘ→０

ｇ″（ｘ）－ｅ－ｘ２ ＝ｇ

″（０）－１２ ＝ｆ′（０），

所以ｆ′（ｘ）在ｘ＝０处连续．又显然ｆ′（ｘ）在ｘ≠０处连续，故ｆ′（ｘ）在（－∞，＋∞）上是连续函数．

四、解：由多元函数求导公式有ｆｘ＝ｙｅ－ｘ

２

ｙ２

，ｆｙ＝ｘｅ－ｘ

２

ｙ２

，从而

２ｆｘ２

＝－２ｘｙ３ｅ－ｘ２

ｙ２

， ２ｆｙ２＝－２ｘ３ｙｅ－ｘ

２

ｙ２

， ２ｆｘｙ

＝ｅ－ｘ２

ｙ２

－２ｘ２ｙ２ｅ－ｘ２

ｙ２

，

故 ｘｙ

·２ｆｘ２

－２２ｆｘｙ

＋ｙｘ

·２ｆｙ２＝－２ｅ－ｘ

２

ｙ２

．

五、解１：设ｅｘ＝ｔ，则ｘ＝ｌｎｔ，ｄｘ＝ｄｔｔ．当ｘ＝０时，ｔ＝１；当ｘ＝＋∞时，ｔ＝＋∞．

于是可有

原式＝∫＋∞

０

ｘｅ－ｘ（１＋ｅｘ）２ｄｘ＝∫

＋∞

１

ｔｌｎｔ（１＋ｔ）２

·ｄｔｔ ＝∫

＋∞

１

ｌｎｔ（１＋ｔ）２ｄｔ

＝－∫＋∞

１ｌｎｔｄ １

１＋（ ）ｔ ＝－ｌｎｔ１＋［ ］ｔ

＋∞

１ ＋∫＋∞

１

ｄｔｔ（１＋ｔ）

＝∫＋∞

１

１ｔ－

１ｔ＋（ ）１ｄｔ＝ｌｎ

ｔ１＋ｔ

＋∞

１＝ｌｎ２．

解２：注意到下面的积分变形

∫ ｘｅ－ｘ（１＋ｅ－ｘ）２ｄｘ＝∫ｘｄ １

１＋ｅ－（ ）ｘ ＝ ｘ１＋ｅ－ｘ

－∫ １１＋ｅ－ｘ

ｄｘ

历年考研数学试题详解·数学（四）２－４６

＝ ｘ１＋ｅ－ｘ

－∫ｅｘ

１＋ｅｘｄｘ＝ ｘｅｘ

１＋ｅｘ－ｌｎ（１＋ｅｘ）＋Ｃ，

所以∫＋∞

１

ｘｅ－ｘ（１＋ｅ－ｘ）２ｄｘ＝ｌｉｍｘ→＋∞

ｘｅｘ１＋ｅｘ

－ｌｎ（１＋ｅｘ［ ］）＋ｌｎ２，其中

ｌｉｍｘ→＋∞

ｘｅｘ１＋ｅｘ

－ｌｎ（１＋ｅｘ［ ］）＝ｌｉｍｘ→＋∞

ｘｅｘ１＋ｅｘ－

ｘ＋ｘ－ｌｎ（１＋ｅｘ［ ］）

＝ｌｉｍｘ→＋∞

－ ｘ１＋ｅｘ

＋ｌｎ ｅｘ

１＋ｅ［ ］ｘ ＝０＋０＝０．

所以∫＋∞

１

ｘｅ－ｘ（１＋ｅ－ｘ）２ｄｘ＝０＋ｌｎ２＝ｌｎ２．

六、解：（１）依题意商品的销售额Ｒ＝ｐＱ＝ｐ ａｐ＋ｂ－（ ）ｃ ．令

Ｒ′＝ａｂ－ｃ（ｐ＋ｂ）２

（ｐ＋ｂ）２ ＝０， ｐ０＝ａｂ槡ｃ －ｂ＝ ｂ槡ｃ（槡ａ－槡ｂｃ）＞０．

当０＜ｐ＜ｐ０时，Ｒ′＞０知Ｒ单增，从而当单价增加时销售额增加．当ｐ＞ｐ０时，Ｒ′＜０知Ｒ单减，从而当单价增加时销售额减少．

（２）由（１）看到，当ｐ增加且经过ｐ０时Ｒ′由正变负．因此当ｐ＝ ｂ槡ｃ（槡ａ－槡ｂｃ）时，销售

额Ｒ取得最大值，最大销售额

Ｒｍａｘ＝ ａｂ槡ｃ －（ ）ｂ（ａａｂ槡ｃ－ｃ）＝（槡ａ－槡ｂｃ）２．

七、解：（１）设过Ａ、Ｂ两点的抛物线方程为ｙ＝ａ（ｘ－１）（ｘ－３）．而当ａ＞０时，抛物线

开口向上；当ａ＜０时，开口向下．于是，抛物线与两坐标轴Ｏｘ、Ｏｙ所围图形的面积

Ｓ１＝∫１

０｜ａ（ｘ－１）（ｘ－３）｜ｄｘ＝｜ａ｜∫

１

０（ｘ２－４ｘ＋３）ｄｘ＝４３｜ａ｜

；

抛物线与Ｏｘ轴所围图形的面积

Ｓ２＝∫３

１｜ａ（ｘ－１）（ｘ－３）｜ｄｘ＝｜ａ｜∫

３

１（４ｘ－ｘ２－３）ｄｘ＝４３｜ａ｜．

故 Ｓ１＝Ｓ２．（２）抛物线与两坐标轴所围图形绕Ｏｘ轴旋转所得旋转体体积

Ｖ１＝π∫１

０ａ２［（ｘ－１）（ｘ－３）］２ｄｘ

＝πａ２∫１

０［（ｘ－１）４－４（ｘ－１）３＋４（ｘ－１）２］ｄｘ

＝３８１５πａ２．

抛物线与Ｏｘ轴所围图形绕Ｏｘ轴旋转所得旋转体体积

Ｖ２＝π∫３

０ａ２［（ｘ－１）（ｘ－３）］２ｄｘ

＝πａ２∫３

０［（ｘ－１）４－４（ｘ－１）３＋４（ｘ－１）２］ｄｘ

１９９６年试题参考答案 ２－４７

２

＝１６１５πａ２．

故 Ｖ１Ｖ２＝１９８

，或Ｖ１∶Ｖ２＝１９∶１８．

八、证：根据题设条件和积分中值定理，有η∈（ａ，ｂ）使

ｆ（ｂ）＝ １ｂ－ａ∫

ｂ

ａｆ（ｘ）ｄｘ＝ １

ｂ－ａ·ｆ（η）（ｂ－ａ）＝ｆ（η），

又因为ｆ（ｘ）在［η，ｂ］上连续，在（η，ｂ）内可导，所以根据罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理知，存在

ξ∈（η，ｂ）（ａ，ｂ），使ｆ′（ξ）＝０．九、解：对方程组的增广矩阵珚Ａ＝（Ａｂ）作初等行变换，使之成为阶梯形：

珚Ａ＝（Ａｂ）＝

１ １ －２ ３ ０２ １ －６ ４ －１３ ２ ｐ ７ －１１ －１ －６ －１

烄

烆

烌

烎ｔ

→

１ １ －２ ３ ００ １ ２ ２ １０ ０ ｐ＋８ ０ ００ ０ ０ ０ ｔ

烄

烆

烌

烎＋２

（）

（１）当ｔ≠－２时，对于任意ｐ，有ｒ（Ａ）≠ｒ（珚Ａ），方程组无解．（２）当ｔ＝－２时，ｒ（Ａ）＝ｒ（珚Ａ），方程组有解，又分如下两种情况．①当ｐ≠－８时，ｒ（Ａ）＝ｒ（珚Ａ）＝３＜４（未知量个数），继续对矩阵（）作初等行变换：

珚Ａ→

１ ０ －４ １ －１０ １ ２ ２ １３ ０ ｐ＋８ ０ ０

烄

烆

烌

烎３ ０ ０ ０ ０

→

１ ０ ０ １ －１０ １ ０ ２ １０ ０ １ ０ ０

烄

烆

烌

烎０ ０ ０ ０ ０

．

原方程组的同解方程组为

ｘ１＝－ｘ４－１，

ｘ２＝－２ｘ４＋１，

ｘ３＝０烅烄

烆 ．令ｘ４＝ｋ（ｋ为任意常数），得原方程组通解为

（ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４）＝（１，２，０，１）＋（－１，１，０，０）．②当ｐ＝－８时，ｒ（Ａ）＝ｒ（珚Ａ）＝２＜４，继续对矩阵（）作初等行变换：

珚Ａ→

１ ０ －４ １ －１０ １ ２ ２ １０ ０ ０ ０ ０

烄

烆

烌

烎０ ０ ０ ０ ０

．

原方程组的同解方程组为ｘ１＝４ｘ３－ｘ４－１，

ｘ２＝－２ｘ３－２ｘ４＋１烅烄

烆 ．令ｘ３＝ｋ１，ｘ４＝ｋ２（ｋ１，ｋ２为任意常数），原方程组通解为

（ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４）＝ｋ１（４，－２，１，０）＋（－１，－２，１，０）＋（－１，１，０，０）．十、解：由｜槡２Ｉ＋Ａ｜＝｜Ａ－（ 槡－２）Ｉ｜＝０知λ 槡＝－２是Ａ的一个特征值．又由ＡＡＴ＝２Ｉ得｜Ａ｜２＝｜２Ｉ｜＝２４＝１６．由题设｜Ａ｜＜０，知｜Ａ｜＝－４．

因为Ａ＝｜Ａ｜Ａ－１，因此Ａ的一个特征值是 ｜Ａ｜λ ＝ －４

槡－２槡＝２２．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－４８

这里运用了若λ是Ａ的特征根，则ｆ（λ）是ｆ（Ａ）的特征根的结论，这里ｆ（ｘ）是ｘ的多

项式．十一、解：以Ｘ表示一周５天内机器发生故障的天数，则Ｘ～犅（５，０．２），故

Ｐ｛Ｘ＝ｋ｝＝Ｃｋ５（０．２）ｋ（０．８）５－ｋ， （ｋ＝０，１，２，３，４，５）．从而 Ｘ＝０，１，２，以及Ｘ≥３的概率分别为：

Ｐ｛Ｘ＝０｝＝０．８５＝０．３２８，

Ｐ｛Ｘ＝１｝＝Ｃ１５（０．２）１（０．８）４＝０．４１０，

Ｐ｛Ｘ＝２｝＝Ｃ２５（０．２）２（０．８）３＝０．２０５，

Ｐ｛Ｘ≥３｝＝１－Ｐ｛Ｘ＝０｝－Ｐ｛Ｘ＝１｝－Ｐ｛Ｘ＝２｝＝０．０５７．

又设Ｙ表示所获利润，则Ｙ＝ｆ（ｘ）＝

１０， 若Ｘ＝０；

５， 若Ｘ＝１；

０， 若Ｘ＝２；

－２， 若Ｘ≥３

烅

烄

烆 ．

Ｙ的概率分布为

ｙ １０ ５ ０ －２

概率Ｐ｛Ｙ＝ｙ｝ ０．３２８ ０．４１０ ０．０２５ ０．０５７

故 Ｅ（Ｙ）＝１０·０．３２８＋５·０．４１０＋０·０．２０５－２·０．０５７＝５．２１６（万元）．十二、解１：设Ｔｉ（ｉ＝１，２，３）表示第ｉ个元件无故障时间，则Ｔ１、Ｔ２、Ｔ３相互独立同分

布，其分布函数为

Ｇ（ｔ）＝１－ｅ－λｔ，

０｛ ，

若ｔ≥０，

若ｔ＜０．依题意 Ｔ＝ｍｉｎ｛Ｔ１，Ｔ２，Ｔ３｝．设其分布函数为Ｆ（ｔ），则当ｔ≤０时，Ｆ（ｔ）＝０；当ｔ＞０

时，则有

Ｆ（ｔ）＝Ｐ｛Ｔ≤ｔ｝＝１－Ｐ｛Ｔ＞ｔ｝＝１－Ｐ｛Ｔ１＞ｔ，Ｔ２＞ｔ，Ｔ３＞ｔ｝

＝１－Ｐ｛Ｔ１＞ｔ｝·Ｐ｛Ｔ２＞ｔ｝·Ｐ｛Ｔ３＞ｔ｝

＝１－［１－Ｇ（ｔ）］３＝１－ｅ－３λｔ．

即 Ｆ（ｔ）＝１－ｅ－３λｔ，

０｛ ，

若ｔ＞０，

若ｔ≤０．故Ｔ服从参数为３λ的指数分布．注：显然这个问题实质是求随机变量Ｙ＝ｍｉｎ｛Ｘ１，Ｘ２，⋯，Ｘｎ｝分布函数的变形或特例而已．解２：依题意，一个元件无故障工作时间Ｔ１的概率密度函数为

ｆ（ｔ）＝λｅ－λｔ，

０｛ ，

若ｔ≥０，

若ｔ＜０．设所求分布函数为Ｆ（ｔ），显然当ｔ≤０时Ｆ（ｔ）＝０．今考虑ｔ＞０的情形．设Ａ＝｛在ｔ时间内一个元件无故障｝，则事件Ａ＝事件｛Ｔ１＞ｔ｝．又设Ｘ＝｛在ｔ时间内３个元件中无故障的个数｝，则Ｘ～犅（３，ｐ），其中

ｐ＝Ｐ（Ａ）＝Ｐ｛Ｔ１＞ｔ｝＝∫＋∞

ｔλｅ－λｔｄｔ＝ｅ－λｔ．

由事件｛Ｔ＞ｔ｝和｛Ｘ＝０｝都表示在ｔ时间内３个元件无故障，故它们是等价的．于是

１９９６年试题参考答案 ２－４９

２

Ｆ（ｔ）＝Ｐ｛Ｔ≤ｔ｝＝１－Ｐ｛Ｔ＞ｔ｝＝１－Ｐ｛Ｘ＝０｝

＝１－（ｅλｔ）３＝１－ｅ－３λｔ，

因而Ｔ服从参数为３λ的指数分布．

１９９７年试题参考答案

一、填空题

（１）解１：由ｙ′＝ｆ′（ｌｎｘ）·１ｘ

·ｅｆ（ｘ）＋ｆ（ｌｎｘ）ｅｆ（ｘ）ｆ′（ｘ），则

ｄｙ＝ｙ′ｄｘ＝ｅｆ（ｘ） １ｘｆ′

（ｌｎｘ）＋ｆ′（ｘ）ｆ（ｌｎｘ［ ］）ｄｘ．

解２：由函数微分性质有

ｄｙ＝ｄ［ｆ（ｌｎｘ）ｅｆ（ｘ）］＝ｅｆ（ｘ）ｄ［ｆ（ｌｎｘ）］＋ｆ（ｌｎｘ）ｄ（ｅｆ（ｘ））

＝ｅｆ（ｘ） １ｘｆ′

（ｌｎｘ）＋ｆ′（ｘ）ｆ（ｌｎｘ［ ］）ｄｘ．

（２）解：设∫１

０ｆ（ｘ）ｄｘ＝ａ，则ｆ（ｘ）＝ １

１＋ｘ２＋ａｘ３．两边积分得

ａ＝∫１

０ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫

１

０

ｄｘ１＋ｘ２＋

ａ∫１

０ｘ３ｄｘ＝ π４＋

１４ａ

，

由上式解出ａ＝ π３．（３）解：把行列式｜Ａ｜的第２，３，⋯，ｎ 行分别加到第１行，然后从第１行提出因子

（ｎ－１），可得

｜Ａ｜＝（ｎ－１）

１ １ １ ⋯ １ １１ ０ １ ⋯ １ １１ １ ０ ⋯ １ １

１ １ １ ⋯ ０ １１ １ １ ⋯ １ ０

（第２～ｎ行分别减第１行）

＝（ｎ－１）

１ １ １ ⋯ １ １０ －１ ０ ⋯ ０ ００ ０ －１ ⋯ ０ ０

０ ０ ０ ⋯ －１ ００ ０ ０ ⋯ ０ －１

＝（－１）ｎ－１（ｎ－１）．

注：此行列式即是

ｘ ａ ⋯ ａａ ｘ ⋯ ａ

ａ ａ ⋯ ｘ

的特殊情形，此问题我们在本书前言中已重点介绍过．

（４）解：因为 （珚Ａ∪Ｂ）（Ａ∪Ｂ）＝珚ＡＡ∪珚ＡＢ∪ＢＡ∪ＢＢ＝∪（珚Ａ∪Ａ）Ｂ∪Ｂ＝Ｂ，

且 （珚Ａ∪珚Ｂ）（Ａ∪珚Ｂ）＝珚ＡＡ∪ＡＢ∪珚ＢＡ∪ＢＢ＝∪（珚Ａ∪Ａ）珚Ｂ∪珚Ｂ＝珚Ｂ， 所以

（珚Ａ∪Ｂ）（Ａ∪Ｂ）（珚Ａ∪珚Ｂ）（Ａ∪珚Ｂ）＝Ｂ珚Ｂ＝，

历年考研数学试题详解·数学（四）２－５０

故 Ｐ｛（珚Ａ∪Ｂ）（Ａ∪Ｂ）（珚Ａ∪珚Ｂ）（Ａ∪珚Ｂ）｝＝０．

（５）解：设事件不发生的概率ｑ＝１－ｐ，依题意 ５９＝Ｐ

｛Ｘ≥１｝＝１－Ｐ｛Ｘ＝０｝，

由 Ｐ｛Ｘ＝０｝＝Ｃ０２ｐ０ｑ２＝ｑ２＝４９

，得ｑ＝２３．从而可知 ｐ＝１３．

故 Ｐ｛Ｙ≥１｝＝１－Ｐ｛Ｙ＝０｝＝１－Ｃ０３ｐ０ｑ３＝１－ｑ３＝１－（ ）２３３＝１９２７．

注：由ｑ＝２３可求得ｐ＝１３

，由此知Ｙ服从参数为 ３，（ ）１３ 的二项分布，亦可求Ｐ｛Ｙ≥１｝．

二、选择题

（１）解：由题设且注意到

ｌｉｍｘ→０

∫ｘ

０ｆ（ｔ）ｓｉｎｔｄｔ

∫ｘ

０ｔφ（ｔ）ｄｔ

＝ｌｉｍｘ→０

ｆ（ｘ）ｓｉｎｘｘφ（ｘ） ＝ｌｉｍ

ｘ→０

ｆ（ｘ）

φ（ｘ）＝０．

故选（Ｂ）．（２）解：图解法．在（－∞，０］上按题意画一条单升（由于ｆ′（ｘ）＞０）、向上凸（由于ｆ″（ｘ）

＜０）的光滑曲线（例如ｙ＝－ｘ２），然后以Ｏｙ轴为对称轴在［０，＋∞）上画出它的对称曲线（由

于ｆ（ｘ）为偶函数）．于是，右侧曲线是下降的，且向上凸．或由ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），得

－ｆ′（－ｘ）＝ｆ′（ｘ），ｆ″（－ｘ）＝ｆ″（ｘ）．可见当ｘ∈（０，＋∞）时，－ｘ∈（－∞，０），且

ｆ′（ｘ）＝－ｆ′（－ｘ）＜０，ｆ″（ｘ）＝ｆ″（－ｘ）＜０．故选（Ｃ）．

（３）解１： 将各选项的３个向量依次乘以ｋ１，ｋ２，ｋ３后相加，并令其为０．对于选项（Ｃ）有

ｋ１（α１＋２α２）＋ｋ２（２α２＋３α３）＋ｋ３（３α３＋α１）＝０，

即 （ｋ１＋ｋ３）α１＋２（ｋ１＋ｋ２）α２＋３（ｋ２＋ｋ３）α３＝０．

令

ｋ１ ＋ｋ３ ＝０，

２（ｋ１＋ｋ２） ＝０，

３（ｋ２＋ｋ３）＝０烅烄

烆 ．

ｋ１ ＋ｋ３＝０，

ｋ１＋ｋ２ ＝０，

ｋ２＋ｋ３＝０烅烄

烆 ．此方程组只有零解ｋ１＝ｋ２＝ｋ３＝０．知选项（Ｃ）中的向量组线性无关．故选（Ｃ）

解２：（特值法）令 α１＝（１，０，０）Ｔ，α２＝（０，１，０）Ｔ，α３＝（０，０，１）Ｔ．则选项（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）、（Ｄ）的向量组可依次写成如下矩阵．

１ ０ －１１ １ ０烄

烆

烌

烎０ １ １

，

１ ０ １１ １ ２烄

烆

烌

烎０ １ １

，

１ ０ １２ ２ ０烄

烆

烌

烎０ ３ ３

，

１ ２ ３１ ３ ５烄

烆

烌

烎１ －２ －５．

这四个矩阵的行列式的值仅第３个不为０．因此（Ｃ）组向量线性无关．故选（Ｃ）．解３： 选项（Ａ）中的３个向量（仿上题分别记为①，②，③，④）有关系 ①－②＋③＝０，

（Ｂ）组中３个向量有关系 ①＋②－③＝０，

１９９７年试题参考答案 ２－５１

２

（Ｄ）组的三个向量有关系 ①－２×②＋③＝０，

知它们均线性相关．由上故选（Ｃ）．

（４）解：取Ａ＝（ ）１１ ，ｘ＝ｘ，ｂ＝（ ）１２ ，则ｒ＝ｎ＝１，但Ａｘ＝ｂ无解，排除选项（Ｂ）．

取Ａ＝１ １（ ）１ １

，ｘ＝ｘ１ｘ烄

烆

烌

烎２，ｂ＝（ ）１２ ，则ｍ＝ｎ，且ｒ＜ｎ，但Ａｘ＝ｂ无解，排除（Ｃ）和（Ｄ）．

又 若ｒ（Ａ）＝ｒ＝ｍ，必有ｒ（Ａｂ）≥ｍ＝ｒ，

且 ｒ（Ａｂ）≤ｍｉｎ｛ｍ，ｎ＋１｝＝ｍｉｎ｛ｒ，ｎ＋１｝＝ｒ，

因此ｒ（Ａｂ）＝ｒ（Ａ）＝ｒ，故Ａｘ＝ｂ有解，知（Ａ）真．故选（Ａ）．

（５）解１：由题设条件，及方差的性质可知（Ｄ）成立．解２：由Ｅ（Ｘ－ｃ）２＝Ｅ（Ｘ２－２ｃＸ＋ｃ２）＝Ｅ（Ｘ２）－２μｃ＋ｃ２可知，对于任意常数ｃ，选项

（Ａ）不真．余下比较Ｅ（Ｘ－ｃ）２与Ｅ（Ｘ－μ）２的大小．注意题设有

Ｅ（Ｘ－ｃ）２－Ｅ（Ｘ－μ）２＝Ｅ（Ｘ２）－２μｃ＋ｃ２－［Ｅ（Ｘ２）－μ２］

＝μ２－２μｃ＋ｃ２＝（μ－ｃ）２≥０．故选（Ｄ）．三、解：先将所求极限式通分再用洛必达（Ｌ′Ｈｏｓｐｉｔａｌ）法则，有

原式＝ｌｉｍｘ→０

ａｘ－（１－ａ２ｘ２）ｌｎ（１＋ａｘ）

ｘ２ ＝ｌｉｍｘ→０

ａ＋２ａ２ｘｌｎ（１＋ａｘ）－ａ（１－ａｘ）

２ｘ

＝ｌｉｍｘ→０

２ａ２ｌｎ（１＋ａｘ）＋２ａ３ｘ

１＋ａｘ＋ａ２

２ ＝ａ２

２．四、解：隐函数ｕ＝ｕ（ｘ）由如下方程组确定，即

ｕ＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ），

ｅｘｙ－ｙ＝０，

ｅｚ－ｘｚ＝０烅烄

烆 ．

式中ｘ为自变量，ｕ，ｙ，ｚ都是ｘ的函数．对方程组的各方程关于ｘ求导数，得

ｄｕｄｘ＝ｆ′ｘ＋ｆ′ｙ

ｄｙｄｘ＋ｆ′ｚ

ｄｚｄｘ

， ①

ｅｘｙ ｙ＋ｘｄｙｄ（ ）ｘ －

ｄｙｄｘ＝０

， ②

ｅｚｄｚｄｘ－ｚ－ｘｄｚｄｘ＝０．

烅

烄

烆 ③

由式②解出 ｄｙｄｘ＝

ｙ２１－ｘｙ

，由式③解出 ｄｚｄｘ＝

ｚｘｚ－ｘ

，再将 ｄｙｄｘ

和 ｄｚｄｘ

代入式①，得

ｄｕｄｘ＝ｆ′ｘ＋

ｙ２ｆ′ｙ１－ｘｙ＋

ｚｆ′ｚｘｚ－ｘ．

五、解：依题意总成本为

Ｃ＝２５０００＋５０Ｑ＝２５０００＋５０（１２０００－８０ｐ）＝６２５０００－４０００ｐ．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－５２

销售利润额为

Ｌ＝（ｐ－２）Ｑ－Ｃ＝－８０ｐ２＋１６１６０ｐ－６４９０００．令 Ｌ′＝－１６０ｐ＋１６１６０＝０， 解得惟一驻点 ｐ＝１０１．因为Ｌ″｜ｐ＝１０１＝－１６０＜０，所以当ｐ＝１０１时，Ｌ有最大值．即最大利润额 Ｌｍａｘ＝Ｌ｜ｐ＝１０１＝１６７０８０（元）．六、解：如右下图所示，所求面积

Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２＝∫２

１（２ｘ－ｘ２）ｄｘ＋∫

３

２（ｘ２－２ｘ）ｄｘ

＝ ｘ２－１３ｘ［ ］３ ２１＋１３ｘ

３－ｘ［ ］２ ３２＝２３＋

４３＝２．

依旋转体体积公式，所求体积

Ｖ ＝２π∫３

１ｘ｜ｙ｜ｄｘ

＝２π∫２

１ｘ（－ｙ）ｄｙ＋２π∫

３

２ｘｙｄｘ

＝２π∫２

１ｘ（２ｘ－ｘ２）ｄｘ＋２π∫

３

２ｘ（ｘ２－２ｘ）ｄｘ

＝２π ２３ｘ２－１４ｘ［ ］４ ２１＋２π

１４ｘ

４－２３ｘ［ ］３ ３２＝９π．七、证：（１）设ｔ＝－ｕ，则ｄｔ＝－ｄｕ．当ｔ＝０时，ｕ＝０；当ｔ＝－ｘ时，ｕ＝ｘ．于是

Ｆ（－ｘ）＝∫－ｘ

０（－ｘ－２ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝∫

ｘ

０（ｘ－２ｕ）ｆ（ｕ）ｄｕ＝Ｆ（ｘ）．

即Ｆ（ｘ）为偶函数．（２）对Ｆ（ｘ）求导后，再利用定积分中值定理，得

Ｆ′（ｘ）＝ ｘ∫ｘ

０ｆ（ｔ）ｄｔ－２∫

ｘ

０ｔｆ（ｔ）ｄ［ ］ｔ′＝∫

ｘ

０ｆ（ｔ）ｄｔ＋ｘｆ（ｘ）－２ｘｆ（ｘ）

＝∫ｘ

０ｆ（ｔ）ｄｔ－ｘｆ（ｘ）＝ｘ［ｆ（ξ）－ｆ（ｘ）］，ξ在０与ｘ之间．

因ｆ（ｘ）单调不增，故当ｘ＞０时，ｆ（ξ）－ｆ（ｘ）≥０，从而Ｆ′（ｘ）≥０；当ｘ＜０时，

ｆ（ξ）－ｆ（ｘ）≤０，从而Ｆ′（ｘ）≥０；又Ｆ′（０）＝０．综上即知Ｆ（ｘ）为单调不减．

八、解：直线ＯＡ、ＯＢ和ＡＢ的方程分别为：ｙ＝２ｘ，ｙ＝ｘ２和ｙ＝３－ｘ．自点Ａ向Ｏｘ轴作的垂线将三角形区域ＯＡＢ分割

为两个三角形区域，左、右区域分别记为Ｄ１和Ｄ２．则

Ｄ

ｘｄｘｄｙ＝Ｄ１

ｘｄｘｄｙ＋Ｄ２

ｘｄｘｄｙ

＝∫１

０ｘｄｘ∫

２ｘ

ｘ２ｄｙ＋∫

２

１ｘｄｘ∫

３－ｘ

ｘ２ｄｙ

１９９７年试题参考答案 ２－５３

２

＝∫１

０

３２ｘ

２ｄｘ＋∫２

１３ｘ－３２ｘ（ ）２ ｄｘ＝３２．

九、解：（１）由题设及分块矩阵乘法有

ＰＱ＝Ｉ ０

－αＴＡ ｜Ａ烄烆

烌烎｜Ａ ααＴ烄烆

烌烎ｂ＝

Ａ α－αＴＡＡ＋｜Ａ｜αＴ －αＴＡα＋ｂ｜Ａ烄烆

烌烎｜

＝Ａ α０ ｜Ａ｜（ｂ－αＴＡ－１α烄烆

烌烎）

，

这儿运用了Ａ的性质 ＡＡ＝｜Ａ｜Ｉ，Ａ＝｜Ａ｜Ａ－１等．（２） 若Ｑ可逆，则由｜Ａ｜≠０，从而｜Ｐ｜≠０，知Ｐ可逆，从而｜ＰＱ｜≠０．而

｜ＰＱ｜＝｜Ａ｜·｜Ａ｜（ｂ－αＴＡ－１α）＝（ｂ－αＴＡ－１α）｜Ａ｜２，

因 ｜Ａ｜≠０ 故 ｂ－αＴＡ－１α≠０ 即 ｂ≠αＴＡ－１α． 若ｂ≠αＴＡ－１α，则ｂ－αＴＡ－１α≠０，从而｜ＰＱ｜≠０．又 ｜ＰＱ｜＝｜Ｐ｜｜Ｑ｜， 且｜Ｐ｜≠０，从而｜Ｑ｜≠０，即Ｑ可逆．注：例中涉及了Ａ的伴随矩阵Ａ，粗略地看，Ａ其实与Ａ－１是等同的，它们仅差一个因子｜Ａ｜而已．若

Ａ可逆，由Ａ＝｜Ａ｜Ａ－１已明确显现Ａ的本质．这样在求解某些涉及Ａ的问题时，可以方便地将其化为Ａ－１问题处理．从理解上讲Ａ－１似乎较Ａ更

易为人们接受．十、解：（１）因为Ａ～Ｂ，所以｜Ａ－λＩ｜＝｜Ｂ－λＩ｜，即

１－λ －１ １２ ４－λ －２－３ －３ ａ－λ

＝２－λ ０ ００ ２－λ ００ ０ ｂ－λ

．

把上式左边行列式的第３列化为ｅ１＝（１，０，０）Ｔ可得

（λ－２）［λ２－（ａ＋３）λ＋３（ａ－１）］＝（２－λ）２（ｂ－λ）．这是关于λ的恒等式，故可令λ＝０，得６（ａ－１）＝４ｂ，

上式两边除以（２－λ）后，令λ＝２，得ａ＝５，从而ｂ＝６．（２）因为Ａ～Ｂ，两者具有相同的特征值λ１＝λ２＝２，λ３＝６．对于λ１＝λ２＝２，特征方程组（Ａ－２Ｉ）ｘ＝０可化为ｘ１＋ｘ２－ｘ３＝０或与之同解．由此解得两个基础解α１＝（１，－１，０）Ｔ， α２＝（１，０，１）Ｔ．对于λ１＝６，方程组（Ａ－６Ｉ）ｘ＝０可化为

－３ｘ１＋ｘ２＝０，

２ｘ１＋ｘ２＝０烅烄

烆 ．由此解得一个基础解α３＝（１，－２，３）Ｔ．

则 α１，α２，α３分别为属于λ１＝λ２＝２，λ３＝６的特征向量．令

Ｐ＝（α１，α２，α３）＝１ １ １－１ ０ －２烄

烆

烌

烎０ １ ３

，

则有 Ｐ－１２ ＡＰ２＝Ｂ．十一、解：（１）由题设有ｘ＜－１时，Ｆ（ｘ）＝０；ｘ≥１时，Ｆ（ｘ）＝１．以下考虑－１＜ｘ＜１

历年考研数学试题详解·数学（四）２－５４

时的情形．由 １＝Ｐ｛｜Ｘ｜≤１｝＝Ｐ｛Ｘ＝－１｝＋Ｐ｛－１＜Ｘ＜１｝＋Ｐ｛Ｘ＝１｝， 则由上级题设有

Ｐ｛－１＜Ｘ＜１｝＝１－１８－１４＝

５８．

又据题设 Ｐ｛－１＜Ｘ≤ｘ｜－１＜Ｘ＜１｝＝ａ（ｘ＋１），其中ａ为比例系数．

在上式中令ｘ→１，式左趋向于１（必然事件的概率），由此得ａ＝１２．

注意到－１＜ｘ＜１，则区间（－１，ｘ］（－１，１），因此有

Ｐ｛－１＜Ｘ≤ｘ｝＝Ｐ｛－１＜Ｘ≤ｘ，－１＜Ｘ＜１｝

＝Ｐ｛－１＜Ｘ＜１｝·Ｐ｛－１＜Ｘ≤ｘ｜－１＜Ｘ＜１｝

＝５８·１２

（ｘ＋１）＝５１６（ｘ＋１）．

又 Ｆ（ｘ）＝Ｐ｛Ｘ≤－１｝＋Ｐ｛－１＜Ｘ≤ｘ｝＝１８＋５１６

（ｘ＋１）＝１１６（５ｘ＋７）．

综上，有 Ｆ（ｘ）＝０，

（５ｘ＋７）／１６，

１烅烄

烆 ，

ｘ＜－１，

－１≤ｘ＜１，

ｘ≥１．（２）由上Ｘ取负值的概率ｐ＝Ｐ｛Ｘ＜０｝＝Ｐ｛Ｘ≤０｝－Ｐ｛Ｘ＝０｝＝Ｆ（０）＝７１６．

十二、解：（１）由设Ｙ的分布函数为Ｆ（ｙ）＝１－ｅ－ｙ，

０｛ ，

ｙ＞０，

ｙ≤０．又（Ｘ１，Ｘ２）的可取值为

（０，０），（０，１），（１，０），（１，１）．则由题设可有

Ｐ｛Ｘ１＝０，Ｘ２＝０｝＝Ｐ｛Ｙ≤１，Ｙ≤２｝＝Ｐ｛Ｙ≤１｝＝１－ｅ－１；

Ｐ｛Ｘ１＝０，Ｘ２＝１｝＝Ｐ｛Ｙ≤１，Ｙ＞２｝＝０；

Ｐ｛Ｘ１＝１，Ｘ２＝０｝＝Ｐ｛Ｙ＞１，Ｙ≤２｝＝Ｐ｛１＜Ｙ≤２｝＝ｅ－１－ｅ－２；

Ｐ｛Ｘ１＝１，Ｘ２＝１｝＝Ｐ｛Ｙ＞１，Ｙ＞２｝＝Ｐ｛Ｙ＞２｝＝ｅ－２．即Ｘ１和Ｘ２的联合分布律为：

Ｘ２Ｘ１ ０ １

０ １－ｅ－１ ｅ－１－ｅ－２

１ ０ ｅ－２

（２）由上知Ｘ１，Ｘ２的分布律分别为

ｘ１ ０ １

Ｐ｛Ｘ１＝ｘ｝ １－ｅ－１ ｅ－１

ｘ２ ０ １

Ｐ｛Ｘ２＝ｘ｝ １－ｅ－２ ｅ－２

这样可求得Ｘ１＋Ｘ２的数字期望为

Ｅ（Ｘ１＋Ｘ２）＝Ｅ（Ｘ１）＋Ｅ（Ｘ２）＝０·（１－ｅ－１）＋１·ｅ－１＋０·（１－ｅ－２）＋１·ｅ－１＝ｅ－１－ｅ－２．

１９９７年试题参考答案 ２－５５

２

１９９８年试题参考答案

一、填空题

（１）解：由ｆ′（ｘ）＝ｎｘｎ－１，有ｆ′（１）＝ｎ，则可得切线方程为ｙ－１＝ｎ（ｘ－１）．

将（ξｎ，０）代入方程中，解出ξｎ＝１－１ｎ．

于是

ｌｉｍｎ→∞ｆ（ξｎ）＝ｌｉｍ

ｎ→∞１－１（ ）ｎ

ｎ＝ｅ

ｌｉｍｎ→∞

－１（ ）ｎ ｎ＝ｅ－１．

（２）解１：注意下面积分运算

∫ｌｎｘ－１ｘ２ ｄｘ＝∫ｌｎｘｘ２ｄｘ－∫ｄｘｘ２ ＝－∫ｌｎｘｄ １（ ）ｘ ＋１ｘ

＝－ｌｎｘｘ ＋∫１ｘ２ｄｘ＋１ｘ ＝－ｌｎｘｘ ＋Ｃ．

解２：用分部积分法可有

∫ｌｎｘ－１ｘ２ ｄｘ＝∫（ｌｎｘ－１）ｄ－１（ ）ｘ ＝－１ｘ（ｌｎｘ－１）＋∫１ｘｄ（ｌｎｘ－１）＝－ｌｎｘｘ ＋Ｃ．

（３）解：将题设式ＡＢＡ＝２ＢＡ－８Ｉ两边右乘Ａ－１得ＡＢ＝２Ｂ－８Ａ－１，再左乘Ａ有

｜Ａ｜Ｂ－２ＡＢ＝－８Ｉ （｜Ａ｜Ｉ－２Ａ）Ｂ＝８Ｉ，

注意到｜Ａ｜＝－２，及对角阵求逆结论故有

Ｂ＝－８（｜Ａ｜Ｉ－２Ａ）－１＝－８－２

－２烄

烆

烌

烎－２－２１－２

烄

烆

烌

烎

烄

烆

烌

烎１

－１

＝－８－４

２烄

烆

烌

烎－４

－１

＝２－４

烄

烆

烌

烎２．

（４）解：注意到Ａ＝｜Ａ｜Ａ－１（因｜Ａ｜＝２，知Ａ可逆）的事实及行列式性质，则有

｜２ＡＢ－１｜＝２ｎ｜｜Ａ｜Ａ－１Ｂ－１｜＝２ｎ｜Ａ｜ｎ｜Ａ－１｜｜Ｂ－１｜＝２ｎ｜Ａ｜ｎ｜Ａ｜－１｜Ｂ｜－１

＝２ｎ·２ｎ·２－１·（－３）－１＝－２２ｎ－１

３ ．（５）解１：设Ｘ＝｛在ｎ次独立试验中事件Ａ发生的次数｝，则Ｘ～犅（ｎ，ｐ）．于是

Ａ至少发生一次的概率：Ｐ｛Ｘ≥１｝＝１－Ｐ｛Ｘ＝０｝＝１－（１－ｐ）ｎ．Ａ至多发生一次的概率：

Ｐ｛Ｘ≤１｝＝Ｐ｛Ｘ＝０｝＋Ｐ｛Ｘ＝１｝＝（１－ｐ）ｎ＋ｎｐ（１－ｐ）ｎ－１．解２：设Ｘ表示１００次独立重复试验，则Ｘ服从二项分布，均值为Ｅ（Ｘ）＝１００ｐ，标准差

为 Ｄ（Ｘ槡 ）＝ １００ｐ（１－ｐ槡 ）．由 于Ｄ（Ｘ）与 Ｄ（Ｘ槡 ）同 时 具 有 且 达 到 最 大 值，而Ｄ（Ｘ）＝

１００ｐ（１－ｐ），显然当ｐ＝１２时，取最大值．

故ｐ＝１２时，标准差 Ｄ（Ｘ槡 ）最大，且最大值为５．

二、选择题

（１）解：由题设ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ），于是ｆ′（ｘ＋４）＝ｆ′（ｘ）则

历年考研数学试题详解·数学（四）２－５６

－１＝ｌｉｍｘ→０

ｆ（１）－ｆ（１－ｘ）

２ｘ ＝１２ｌｉｍｘ→０ｆ（５－ｘ）－ｆ（５）

－ｘ ＝１２ｆ′（５），

则有ｆ′（５）＝－２．故选（Ｄ）．

（２）解：考虑 ｘ ＜１，ｘ ＝１和 ｘ ＞１分３种情况求极限，得

ｆ（ｘ）＝

１＋ｘ，当 ｘ ＜１时，

１＋ｘ２

，当 ｘ ＝１时，

０， 当 ｘ ＞１时

烅

烄

烆 ．可知在ｘ＝１处ｆ（ｘ）间断．故选（Ｂ）．

（３）解１：由α，β，γ的线性无关性知，α和β线性无关．又由α，β，δ线性相关性知，δ可用α和β线性表示，从而可由α，β，γ线性表示，

故选（Ｃ）．解２：由α，β，γ线性无关且α，β，δ线性相关，可否（Ｂ）、（Ｄ）．取α＝（１，０，０，０）Ｔ，β＝（０，１，０，０）Ｔ，γ＝（０，０，１，０）Ｔ，δ＝（０，１，０，０）Ｔ，可否（Ａ）．故选（Ｃ）．

（４）解：由事件Ａ、Ｂ、Ｃ相互独立可知，事件Ａ与Ｂ的和、差、积（或其逆）与事件Ｃ或Ｃ也相互独立．因此选项（Ａ）、（Ｃ）和（Ｄ）被排除．

故选（Ｂ）．注：关于上述其余三选项中事件独立性可证明如：

选项（Ａ）Ｐ（Ａ∪ＢＣ）＝Ｐ（ＡＢＣ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ）＝Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ｃ）＝Ｐ（Ａ∪Ｂ）Ｐ（Ｃ），表明Ａ∪Ｂ与Ｃ相

互独立．选项（Ｃ）Ｐ｛（Ａ－Ｂ）Ｃ｝＝Ｐ（Ａ珚ＢＣ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ）＝Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ｃ））＝Ｐ（Ａ－Ｂ）Ｐ（Ｃ），

表明Ａ－Ｂ与Ｃ相互独立，因此Ａ－Ｂ与Ｃ相互独立．选项（Ｄ）类似地可证ＡＢ与Ｃ相互独立．此外，严格地讲题设还应加条件ＡＣ≠，否则ＡＣ＝Ω，则ＡＣ与Ｃ也相互独立．

（５）解：由设Ｆ１（ｘ）与Ｆ２（ｘ）均为分布函数，则Ｆ１（＋∞）＝Ｆ２（＋∞）＝１．因为Ｆ（ｘ）为某一随机变量的分布函数，则有Ｆ（＋∞）＝ａ－ｂ＝１．经验算知（Ａ）正确．故选（Ａ）．三、解：先将数列极限化为函数极限考虑，注意Ｌ′Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则和无穷小量代换有

ｌｉｍｘ→０＋

ｔａｎｘ（ ）ｘ

１ｘ２

＝ｅｘｐｌｉｍｘ→０＋

ｔａｎｘ－ｘｘ｛ ｝３ ＝ｅｘｐｌｉｍ

ｘ→０＋

ｓｅｃ２ｘ－１３ｘ｛ ｝２

＝ｅｘｐｌｉｍｘ→０＋

ｔａｎ２ｘ３ｘ｛ ｝２ ＝ｅｘｐｌｉｍ

ｘ→０＋

ｘ２３ｘ｛ ｝２ ＝ｅ１３．

则 ｌｉｍｎ→∞

ｎｔａｎ１（ ）ｎｎ２

＝ｅ１３．

四、解：（１）由 ｚｘ＝２ｘｅ

－ａｒｃｔａｎｙｘ－（ｘ２＋ｙ２）ｅ－ａｒｃｔａｎｙｘ

ｘ２ｘ２＋ｙ（ ）２ －ｙ

ｘ（ ）２ ＝（２ｘ＋ｙ）ｅ－ａｒｃｔａｎｙｘ，

且 ｚｙ＝２ｙｅ

－ａｒｃｔａｎｙｘ－（ｘ２＋ｙ２）ｅ－ａｒｃｔａｎｙｘ

ｘ２ｘ２＋ｙ（ ）２ １ｘ＝（２ｙ－ｘ）ｅ－ａｒｃｔａｎ

ｙｘ．

１９９８年试题参考答案 ２－５７

２

故 ｄｚ＝ｅ－ａｒｃｔａｎｙｘ［（２ｘ＋ｙ）ｄｘ＋（２ｙ－ｘ）ｄｙ］．

（２） ２ｚｘｙ＝ｅ

－ａｒｃｔａｎｙｘ－（２ｘ＋ｙ）ｅ－ａｒｃｔａｎｙｘ

ｘ２ｘ２＋ｙ（ ）２ １ｘ＝

ｙ２－ｘｙ－ｘ２

ｘ２＋ｙ２ｅ－ａｒｃｔａｎ

ｙｘ．

五、解１：用极坐标．记Ｄ１：０≤θ≤π２，０≤ｒ≤ｃｏｓθ．于是

原式＝２Ｄ１

槡ｘｄｘｄｙ （由函数奇偶性及区间对称性）

＝２Ｄ１

ｒｃｏｓθ槡 ｒｄｒｄθ＝２∫π２

０ｄθ∫

ｃｏｓθ

０ｒｃｏｓ槡 θｒｄｒ

＝２∫π２

０ｃｏｓ槡 θｄθ∫

ｃｏｓθ

０ｒ３２ｄｒ＝４５∫

π２

０ｃｏｓ３θｄθ＝ ４１５．

解２：由设Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜０≤ｘ≤１，－ ｘ－ｘ槡 ２≤ｙ≤ ｘ－ｘ槡 ２｝，所以

Ｄ

槡ｘｄｘｄｙ＝∫１

０槡ｘｄｘ∫

ｘ－ｘ槡 ２

－ ｘ－ｘ槡 ２ｄｙ＝２∫１

０ｘ １－槡 ｘｄｘ （令 １－槡 ｘ＝ｔ）

＝４∫１

０ｔ２（１－ｔ２）ｄｔ＝４ｔ

３

３－ｔ５）（ ５

１

０＝ ８１５．

六、解：根据连续复利公式，这批酒在窖藏ｔ年末售出收入Ｒ的现值为Ａ（ｔ）＝Ｒｅ－ｎ，而

Ｒ＝Ｒ０ｅ２５槡ｔ， Ａ（ｔ）＝Ｒ０ｅ

２５槡ｔ－ｒｔ．

令 ｄＡｄｔ＝Ｒ０ｅ

２５槡ｔ－ｒｔ

１５槡ｔ

－（ ）ｒ ＝０，得惟一驻点 ｔ０＝１２５ｒ２．

由 ｄ２Ａｄｔ２＝Ｒ０ｅ

２５槡ｔ－ｒｔ

１５槡ｔ

－（ ）ｒ２

－ １１０ ｔ槡［ ］３ ，则 ｄ２Ａ

ｄｔ２ ｔ＝ｔ０＝Ｒｅ

１２５ｒ（－１２．５ｒ３）＜０．

于是ｔ０＝１２５ｒ２

是极大值点，即最大值点．故窖藏ｔ＝ １２５ｒ２

（年）售出，总收入的现值最大．

又当ｒ＝０．０６时，ｔ＝１００９ ≈１１（年）．

七、证１：将要证等式改写为 ｅη［ｆ（η）＋ｆ′（η）］＝ｅξ，由

［ｅｘｆ（ｘ）］′＝ｅｘ［ｆ（ｘ）＋ｆ′（ｘ）］，

则设Ｆ（ｘ）＝ｅｘｆ（ｘ），对该函数在［ａ，ｂ］上使用拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）定理，有

ｅｂｆ（ｂ）－ｅａｆ（ａ）

ｂ－ａ ＝ｅη［ｆ（η）＋ｆ′（η）］，η∈（ａ，ｂ）．

将ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝１代入上式中，得

ｅｂ－ｅａｂ－ａ＝ｅ

η［ｆ（η）＋ｆ′（η）］，η∈（ａ，ｂ）．

再设Ｇ（ｘ）＝ｅｘ，对这个函数在［ａ，ｂ］上使用拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）定理，有

ｅｂ－ｅａｂ－ａ＝ｅ

ξ，ξ∈（ａ，ｂ）．

将此式与前式比较，有

ｅη－ξ［ｆ（η）＋ｆ′（η）］＝１，ξ，η∈（ａ，ｂ）．证２：构造辅助函数为ｇ（ｘ）＝ｅｘ［ｆ（ｘ）－１］，则ｇ（ａ）＝ｇ（ｂ）＝０，由罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理知

历年考研数学试题详解·数学（四）２－５８

存在ξ∈（ａ，ｂ），使得ｇ′（ξ）＝０，即ｆ（ξ）＋ｆ′（ξ）＝１．令ξ＝η，则

ｅξ＝η［ｆ（η）－ｆ′（η）］＝１．八、解：（１）①当０＜ａ＜１时，所围成的图形如图（１）所示，其面积

Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２＝∫ａ

０（ａｘ－ｘ２）ｄｘ＋∫

１

ａ（ｘ２－ａｘ）ｄｘ

＝ ａｘ２

２ －ｘ３［ ］３

ａ

０＋ ｘ

３

３－ａｘ２［ ］２

１

ａ＝ａ３２－

ａ２＋

１３．

图（１） 图（２）

对ａ求导，有 Ｓ′＝ａ２－１２， Ｓ″＝２ａ．

令Ｓ′＝ａ２－１２＝０，得ａ＝１

槡２．又Ｓ″

１槡（ ）２ 槡＝２＞０，则Ｓ

１槡（ ）２ 是极小值，且即最小值．其值为

Ｓ１槡（ ）２ ＝

１槡６２－ １槡２２＋１３＝

槡２－２６ ．

②当ａ≤０时，所围成的图形如图（２）所示，其面积

Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２＝∫０

ａ（ａｘ－ｘ２）ｄｘ＋∫

１

０（ｘ２－ａｘ）ｄｘ＝－ａ

３

６－ａ２＋

１３．

由Ｓ′＝－ａ２

２－１２＝－

１２

（ａ２＋１）＜０，知Ｓ单调减少．

故ａ＝０时，Ｓ取得最小值，此时Ｓ＝１３．

综上，由于 槡２－３６ ＜１３

，故当ａ＝１槡２

时，Ｓ１槡（ ）２ 为所求最小值．其最小值为 槡２－２

６ ．

（２）由题设及旋转体体积公式有

Ｖｏｘ＝π∫１槡２０

ｘ２２－ｘ（ ）４ ｄｘ＋π∫

１

１槡２

ｘ４－ｘ２

（ ）２ ｄｘ

＝πｘ３

６－ｘ５（ ）５

１槡２

０＋πｘ

５

５－ｘ３（ ）６

１

１槡２

＝槡２＋１３０ π．

九、简析：若α，β为列向量，注意αＴβ是数，而αβＴ是矩阵．解：（１）由向量乘法的结合律，且βＴα是数的事实则有

Ａ２＝（αＴβ）（αβＴ）＝α（βＴα）βＴ＝（βＴα）αβＴ＝Ｏ．（２）若ｘ≠０是Ａ属于λ的特征向量，则Ａｘ＝λｘ，

而 Ａ２ｘ＝Ａ（Ａｘ）＝λＡｘ＝λ２ｘ，

１９９８年试题参考答案 ２－５９

２

但 Ａ２＝Ｏ，又ｘ≠０，知λ２＝０，故λ＝０．从而知Ａ的全部特征根皆为０．由 （λＩ－αβＴ）ｘ＝０中用λ＝０代入可有－αβＴｘ＝０，即 α（βＴｘ）＝０，显然

ｘ１＝ －ｂ２ｂ１

，１，０，⋯，（ ）０Ｔ

，ｘ２＝ －ｂ３ｂ１

，０，１，０，⋯，（ ）０Ｔ

，⋯ ，ｘｎ－１＝ －ｂｎｂ１

，０，⋯，０，（ ）１Ｔ

必满足βＴｘ＝０．又ｒ（Ａ）＝１，知Ａ有ｎ－１个属于λ＝０（它有ｎ－１重）的线性无关特征向量．

从而，Ａ属于λ＝０的全部特征向量为ξ＝ｎ－１

ｉ＝１ｃｉｘｉ，这里ｃｉ（１≤ｉ≤ｎ－１）不全为０．

注１：注意到βＴα是数，由 （βＴα）Ｔ＝αＴβ 知αＴβ＝βＴα．

又 由Ａ２＝（βＴα）Ａ，即 Ａ２＝ ｎ

ｉ＝１ａｉｂ（ ）ｉ Ａ．

注２：上述问题可变形引申为：

问题 若Ａ＝

ａ１ｂ１ ａ１ｂ２ ⋯ ａ１ｂｎａ２ｂ１ ａ２ｂ１ ⋯ ａ２ｂｎ

ａｎｂ１ ａｎｂ１ ⋯ ａｎｂ

烄

烆

烌

烎ｎ

，求Ａ的特征值和特征向量．

略解：注意若α＝（ａ１，ａ２，⋯，ａｎ）Ｔ，β＝（ｂ１，ｂ２，⋯，ｂｎ）Ｔ，则Ａ＝αβＴ，从而知ｒ（Ａ）＝１．

故再由Ａ（ａ１，ａ２，⋯，ａｎ）Ｔ＝ ｎ

ｉ＝１ａｉｂ（ ）ｉ （ａ１，ａ２，⋯，ａｎ）Ｔ，知Ａ 有ｎ－１重０特征根和一重非零特征根

ｎ

ｉ＝１ａｉｂｉ，且（ａ１，ａ２，⋯，ａｎ）Ｔ为其相应特征向量（其余的特征向量位于超平面

ｎ

ｉ＝１ｂｉｘｉ＝０上）．

十、解：（１）设方程组（Ⅰ）的系数阵Ａ１，增广阵珚Ａ１＝（珚Ａ１ｂ），对珚Ａ１作行初等变换有：

珚Ａ１→１ －１ －２１ －１ －４

烄

烆

烌

烎１ －２ －５

，

由 ｒ（珚Ａ１）＝ｒ（Ａ１）＝３，显然 α＝（１，１，１，２）Ｔ是Ａ１ｘ＝０的解，且是基础解系．而 β＝（－２，－４，－５，０）Ｔ是Ａ１ｘ＝ｂ的一个解．这样 ｘ＝β＋ｋα（ｋ∈Ｒ） 是Ａ１ｘ＝ｂ的通解．

（２）将ｘ代入方程组（Ⅱ）可有：

（－２＋ｋ）＋ｍ（－４＋ｋ）－（－５＋２ｋ）－ｋ＝５，

ｎ（－４＋ｋ）－（－５＋２ｋ）－２ｋ＝－１１，

（－５＋２ｋ）－２ｋ＝１－ｔ烅烄

烆 ．

ｍ＝２，

ｎ＝４，

ｔ＝６烅烄

烆 ．

此时，方程组（Ⅰ）的解均为方程组（Ⅱ）的解．将ｍ＝２，ｎ＝４，ｔ＝６时，方程组（Ⅱ）化为

ｘ１＋２ｘ２－ｘ３ －ｘ４＝５，

４ｘ２－ｘ３－２ｘ４＝１１，

ｘ３－２ｘ４＝－５烅烄

烆 ．亦解得ｘ＝β＋ｋα，此即说方程组（Ⅱ）的解均为方程组（Ⅰ）的解．

从而 ｍ＝λ，ｎ＝４，ｔ＝６时方程组（Ⅱ）与（Ⅰ）有共同通解：

ｘ＝β＋ｋα＝（－２，－４，－５，０）Ｔ＋ｋ（１，１，２，１）Ｔ，ｋ∈Ｒ．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－６０

十一、解：设进货数量为ｔ，利润为Ｌ＝Ｌ（ｔ）．则

Ｌ＝５００Ｘ－１００（ｔ－Ｘ），１０≤Ｘ≤ｔ，

５００Ｘ＋３００（Ｘ－ｔ），ｔ＜Ｘ≤３０｛ ．＝６００Ｘ－１００ｔ，１０≤Ｘ≤ｔ，

３００ｘ＋２００， ｔ＜Ｘ≤３０｛ ．

这样 Ｅ（Ｌ）＝∫ｔ

１０

１２０

（６００ｘ－１００ｔ）ｄｘ＋∫３０

ｔ

１２０

（３００ｘ＋２００ｔ）ｄｘ

＝－１５２ｔ２＋３５０ｔ＋５２５０．

依题意 Ｅ（Ｌ）＝－１５２ｔ２＋３５０ｔ＋５２５０≥９２８０．解一元二次不等式得 ２０２３≤ｔ≤２６．

故利润期望值不少于９２８０元的最少进货量为２１单位．十二、解：（１）设事件Ａｉ＝“抽到ｉ等品”（ｉ＝１，２，３）．依题意知Ａ１、Ａ２、Ａ３两两互不相

容．故有 Ｐ（Ａ１）＝０．８，Ｐ（Ａ２）＝Ｐ（Ａ３）＝０．１，这样

Ｐ｛Ｘ１＝０，Ｘ２＝０｝＝Ｐ（Ａ３）＝０．１， Ｐ｛Ｘ１＝０，Ｘ２＝１｝＝Ｐ（Ａ２）＝０．１，

Ｐ｛Ｘ１＝１，Ｘ２＝０｝＝Ｐ（Ａ１）＝０．８， Ｐ｛Ｘ１＝１，Ｘ２＝１｝＝Ｐ（）＝０．这样可有Ｘ１、Ｘ２的联合分布为：

Ｘ２Ｘ１ ０ １

０ ０．１ ０．８

１ ０．１ ０

（２）由（１）及上表可有Ｘ１，Ｘ２的概率分布为：

ｘ１ ０ １

Ｐ｛Ｘ１＝ｘ｝ ０．２ ０．８

ｘ２ ０ １

Ｐ｛Ｘ２＝ｘ｝ ０．９ ０．１

由于随机事件Ｘｉ（ｉ＝１，２）符合０－１分布．从而可有：

Ｅ（Ｘ１）＝ｐ１＝０．８，Ｅ（Ｘ２）＝ｐ２＝０．１．且 Ｄ（Ｘ１）＝ｐ１（１－ｐ１）＝０．８·０．２＝０．１６， Ｄ（Ｘ２）＝ｐ２（１－ｐ２）＝０．１·０．９＝０．０９，

又 Ｅ（Ｘ１Ｘ２）＝０·０·０．１＋０·１·０．１＋１·０·０．８＋１·１·０＝０，

及 ｃｏｖ（Ｘ１，Ｘ２）＝Ｅ（Ｘ１Ｘ２）－Ｅ（Ｘ１）Ｅ（Ｘ２）＝０－０．８·０．１＝－０．０８， 故

ρ＝ｃｏｖ（Ｘ１，Ｘ２）

Ｄ（Ｘ１）Ｄ（Ｘ２槡 ）＝ －０．０８０．１６·０．槡 ０９

＝－２３．

１９９９年试题参考答案

一、填空题

（１）解：由题设及指数函数性质，有

原式＝ｌｉｍｎ→∞

１ｎ２ｌｎ

［ａ１ａ２⋯ａｎ］＝ｌｉｍｎ→∞

１ｎ２ｌｎａ

ｎ（ｎ＋１）２ ＝ｌｉｍ

ｎ→∞

ｎ（ｎ＋１）

２ｎ２ ｌｎａ

＝ｌｎａ２ｌｉｍｎ→∞ｎ（ｎ＋１）

ｎ２ ＝１２ｌｎａ．

（２）解：由ｆ′ｘ＝ｅｘｙｚ２＋２ｅｘｙｚｚ′ｘ，再对ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｘｙｚ＝０两边关于ｘ求偏导数，得

１９９９年试题参考答案 ２－６１

２

１＋ｚ′ｘ＋ｙｚ＋ｘｙｚ′ｘ＝０ｚ′ｘ＝－１＋ｙｚ１＋ｘｙ

．

又则ｚ′ｘ （０，１，－１）＝０，或直接（０，１，－１）代入上面左式亦可求得ｚ′ｘ （０，１，－１）＝０．

所以ｆ′ｘ（０，１，－１）＝１．（３）解：注意到当ｎ＝２时，

Ａ２－２Ａ＝１ ０ １０ ２ ０烄

烆

烌

烎１ ０ １

２

－２１ ０ １０ ２ ０烄

烆

烌

烎１ ０ １＝０ ０ ００ ０ ０烄

烆

烌

烎０ ０ ０＝Ｏ．

因而当ｎ＞２时，ｆ（Ａ）＝Ａｎ－２（Ａ２－２Ａ）＝Ａｎ－２·Ｏ＝Ｏ．故综上ｎ≥２时，ｆ（Ａ）＝Ａｎ－２Ａｎ－１＝Ｏ．注：矩阵的方幂计算，除了上面方法外，还有一种就是利用相似变换，比如要计算Ａｎ，若Ａ～Ｂ即有Ｐ

使Ａ＝Ｐ－１ＢＰ，而Ｂｎ容易计算，则

Ａｎ＝（Ｐ－１ＢＰ）ｎ＝（Ｐ－１ＢＰ）（Ｐ－１ＢＰ）⋯（Ｐ－１ＢＰ）＝Ｐ－１ＢｎＰ．归纳起来计算Ａ的方幂常有四种方法：

①若Ａ＝αＴβ，则Ａｎ＝（βαＴ）ｎ－１αＴβ＝（βαＴ）ｎ－１Ａ；

②若Ａｋ＝Ｏ，则Ａｋ＋ｍ＝Ｏ（ｍ 非负整数）；

③若Ａ＝Ｐ－１ＢＰ，则Ａｎ＝Ｐ－１ＢｎＰ；

④先试算总结一般规律，然后证明它（多用数学归纳法）．（４）解：由设 ＡＢ－Ｂ＝Ａ，有 ＡＢ－Ａ－Ｂ＋Ｉ＝Ｉ，则 （Ａ－Ｉ）（Ｂ－Ｉ）＝Ｉ．

故 Ａ＝Ｉ＋（Ｂ－Ｉ）－１＝Ｉ＋１ －２ ０２ ０ ０烄

烆

烌

烎０ ０ １

－１

＝１ １／２ ０－１／２ １ ０烄

烆

烌

烎０ ０ ２．

（５）解：因Ｘ～π（λ）（或记犘（λ）），知 Ｅ（Ｘ）＝λ，Ｄ（Ｘ）＝λ．则由Ｄ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ２）－［Ｅ（Ｘ）］２有 Ｅ（Ｘ２）＝Ｄ（Ｘ）＋［Ｅ（Ｘ）］２＝λ＋λ２．又由题设１＝Ｅ［（Ｘ－１）（Ｘ－２）］＝Ｅ（Ｘ２）－３Ｅ（Ｘ）＋２＝λ＋λ２－３λ＋２．由此得 （λ－１）２＝０，于是λ＝１．二、选择题

（１）解：用特值法选取较简单的函数，逐一检验．

取ｆ（ｘ）＝ｘ（奇、单增函数），有Ｆ（ｘ）＝１２ｘ２＋Ｃ是非单增，知选项（Ｄ）错．

取ｆ（ｘ）＝ｘ２（偶函数），有Ｆ（ｘ）＝１３ｘ３＋Ｃ是非奇函数，选项（Ｂ）错．

取ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ＋１（周期函数），有Ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｘ＋Ｃ是非周期函数，选项（Ｃ）错．故选（Ａ）．注：选项（Ａ）的正确性可做如下证明．设ｆ（ｘ）是奇函数，即ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ）．又设Ｆ（ｘ）为ｆ（ｘ）的原函数，则

Ｆ（ｘ）＝∫ｘ

０ｆ（ｔ）ｄｔ＋Ｃ．

令ｔ＝－ｕ，则ｄｔ＝－ｄｕ．当ｔ＝０时，ｕ＝０；当ｔ＝－ｘ时，ｕ＝ｘ．于是

Ｆ（－ｘ）＝∫－ｘ

０ｆ（ｔ）ｄｔ＋Ｃ＝－∫

ｘ

０ｆ（－ｕ）ｄｕ＋Ｃ＝∫

ｘ

０ｆ（ｕ）ｄｕ＋Ｃ＝Ｆ（ｘ）．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－６２

故Ｆ（ｘ）是偶函数．

（２）解：设Ｄｆ（ｕ，ｖ）ｄｕｄｖ＝Ａ（常数），则ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ＋Ａ．两边同时积分得

Ａ＝Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝

Ｄ

ｘｙｄｘｄｙ＋ＡＤ

ｄｘｄｙ

＝∫１

０ｘｄｘ∫

ｘ２

０ｙｄｙ＋Ａ∫

１

０ｄｘ∫

ｘ２

０ｙｄｙ＝ １１２＋

Ａ３．

因此 ２３Ａ＝

１１２

，即 Ａ＝１８，故ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ＋１８．

故选（Ｃ）．（３）解：由题设，存在数是ｋ１、ｋ２、⋯、ｋｍ 使得

β＝ｋ１α１＋ｋ２α２＋⋯＋ｋｍαｍ， （）

且ｋｍ≠０．如ｋｍ＝０，上式表明β可用向量组（Ⅰ）线性表示，这与已知条件矛盾．将式（）两边除以ｋｍ，表明αｍ 可用向量组（Ⅱ）线性表示，故可排除选项（Ａ）和选项（Ｄ）．假设αｍ 又可用向量组（Ⅰ）表示，即

αｍ＝λ１α１＋λ２α２＋⋯＋λｍ－１αｍ－１，

将此式代入式（）得知，β也可用（Ⅰ）线性表示，而这与已知条件矛盾．因此αｍ，不能由向量组（Ⅰ）线性表示，应排除（Ｃ）．故选（Ｂ）．

（４）解１：我们知道，Ｘ，Ｙ不相关的五个等价条件为：

①ρ（Ｘ，Ｙ）＝０； ②ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）＝０；

③Ｅ（ＸＹ）＝Ｅ（Ｘ）Ｅ（Ｙ）； ④Ｄ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｄ（Ｘ）＋Ｄ（Ｙ）；

⑤Ｄ（Ｘ－Ｙ）＝Ｄ（Ｘ）＋Ｄ（Ｙ）．故选（Ｃ）．解２：因为 Ｄ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｄ（Ｘ）＋Ｄ（Ｙ）－２ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）， 从而

Ｄ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｄ（Ｘ）＋Ｄ（Ｙ）ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）＝０ρＸＹ＝０Ｘ和Ｙ不相关．故选（Ｃ）．

（５）解１：由题设ｆＸ（ｘ）＝λｅ－λｘ，ｘ＞０，

０，ｘ≥０｛ ．（λ＞０）

Ｙ＝ｍｉｎ｛Ｘ，２｝＝Ｙ＝Ｘ，Ｘ＜２，

Ｙ＝２，Ｘ≥２｛ ．①当０≤ｙ＜２时，

ＦＹ（ｙ）＝Ｐ｛Ｙ＜ｙ｝＝Ｐ｛ｍｉｎ（Ｘ，２）＜ｙ｝

＝Ｐ｛ｘ＜ｙ｝＝∫ｙ

０λｅ－λｘｄｘ＝ｅ－λｘ｜

ｙ

０＝１－ｅ－λｘ；

②当ｙ＜０时，ＦＹ（ｙ）＝Ｐ（Ｘ＜ｙ）＝Ｐ（ｘ＜ｙ）＝０；

③当ｙ≥２时，ＦＹ（ｙ）＝Ｐ｛Ｙ＜ｙ｝＝Ｐ｛ｍｉｎ｛Ｘ，２｝＜ｙ｝＝Ｐ｛２＜ｙ｝＝１．故选（Ｄ）．解２：（用排除法）由题设知，当Ｙ＜２时Ｙ是与Ｘ同为指数分布，排除（Ｃ）．

１９９９年试题参考答案 ２－６３

２

当Ｙ＝２时（注意Ｙ＝ｍｉｎ｛Ｘ，２｝≤２，即Ｙ 的取值不可能大于２），Ｙ 转化为离散随机变

量，故Ｙ的分布函数有一个间断点，因此只有（Ｄ）正确．注：关于解１还可解释如下（与解１过程无大异，只是证得详细些）：

设Ｘ的分布函数为Ｆ（ｘ），Ｙ的分布函数为Ｇ（ｙ）．则

Ｆ（ｘ）＝１－ｅ－λｘ，０＜ｙ＜２，

０， ｙ≤０｛ ．Ｇ（ｙ）＝Ｐ｛Ｙ≤ｙ｝＝Ｐ｛ｍｉｎ（Ｘ，２）≤ｙ｝．

（１）当ｙ＜２时，有Ｘ＜２，因此Ｙ＝ｍｉｎ｛Ｘ，２｝＝Ｘ，表明Ｙ与Ｘ具有相同的分布，即服从参数为λ的指

数分布，其分布函数为

Ｇ（ｙ）＝１－ｅ－λｘ， ０＜ｙ＜２，

０， ｙ≤０｛ ．（２）当ｙ≥２且Ｘ≥２时，Ｙ＝ｍｉｎ｛Ｘ，２｝＝２；当ｙ≥２且Ｘ＜２时，有Ｙ＝ｍｉｎ（Ｘ，２）＝Ｘ＜２≤ｙ．两种情

况下都有

Ｇ（ｙ）＝Ｐ｛Ｙ≤ｙ｝＝Ｐ｛２≤ｙ｝＝１．综上，Ｙ＝ｍｉｎ｛Ｘ，２｝的分布函数为

Ｇ（ｙ）＝０， ｙ≤０，

１－ｅ－λｘ，０＜ｙ＜２，

１， ｙ≥２烅烄

烆 ．故Ｇ（ｙ）仅在ｘ＝２处有一个间断点．应选（Ｄ）．

三、解：由ｙ＝ １槡ｘ

，得ｙ′＝－１２ｘ－３２，则切点Ｐ α，１

槡（ ）α 处

的（点斜式）切线方程为

ｙ－１槡α＝－ １２ α槡 ３

（ｘ－α）．

切线与Ｏｘ轴和Ｏｙ轴的交点分别为Ｑ（３α，０）和Ｒ ０， ３２ α槡（ ）３ ．

于是△ＯＲＱ的面积Ｓ＝１２·３α· ３

２ α槡 ３＝９４槡α．

当切点按Ｏｘ轴正方向趋于无穷远时，有 ｌｉｍα→＋∞

Ｓ＝＋∞．当切点按Ｏｙ轴正方向趋于无穷远时，有ｌｉｍ

α→０＋Ｓ＝０．

四、解１：如图所示可有

原式＝Ｄ＋Ｄ１

ｙｄｘｄｙ－Ｄ１

ｙｄｘｄｙ， （）

其中 Ｄ＋Ｄ１

ｙｄｘｄｙ＝∫０

－２ｄｘ∫

２

０ｙｄｙ＝４．

式（）中第二个积分使用极坐标有

Ｄ１

ｙｄｘｄｙ＝∫π

π２ｄθ∫

２ｓｉｎθ

０ｒｓｉｎθ·ｒｄｒ＝８３∫

π

π２ｓｉｎ４θｄθ

（令θ＝ｔ＋π２）

历年考研数学试题详解·数学（四）２－６４

＝８３∫π２

０ｃｏｓ４ｔｄｔ＝８３

·３４

·１２

·π２＝

π２

故 Ｄｙｄｘｄｙ＝４－π２．

解２：使用直角坐标系，先对ｘ积分，再对ｙ积分．于是

原式＝∫２

０ｙｄｙ∫

－ ２ｙ－ｙ槡 ２

－２ｄｘ＝２∫

２

０ｙｄｙ－∫

２

０ｙ ２ｙ－ｙ槡 ２ｄｙ

＝４－∫２

０ｙ １－（ｙ－１）槡 ２ｄｙ （令ｙ－１＝ｔ）

＝４－∫１

－１（ｔ＋１） １－ｔ槡 ２ｄｔ

＝４－∫１

－１１－ｔ槡 ２ｄｔ （因被积函数为奇数，有∫

１

－１ｔ １－ｔ槡 ２ｄｔ＝０）

＝４－π２．（由定积分几何意义∫

１

－１１－ｘ槡 ２ｄｒ＝ π２

）

解３：对题中二重积分作变量代换，令ｘ＝ｘ，ｙ＝ｔ＋１，则原积分区域Ｄ变为Ｄ′（Ｄ′的

形状与Ｄ相同，只是在新坐标系中Ｄ′关于Ｏｘ轴对称）．于是

Ｄｙｄｘｄｙ＝

Ｄ′

（ｔ＋１）ｄｘｄｔ （由奇函数在对称区域积分性质Ｄ′

ｔｄｘｄｔ＝０）

＝Ｄ′

ｄｘｄｔ＝４－π２．（Ｄ′或Ｄ的面积）

五、解１：由题设知问题的数学模型为：

目标：求最小，即ｍｉｎｕ＝ｐ１ｘ１＋ｐ２ｘ２，

约束：满足于２ｘα１ｘβ２＝１２（或６－ｘα１ｘβ２＝０）烅烄

烆 ．构造拉格朗日函数Ｆ（ｘ１，ｘ２，λ）＝ｐ１ｘ１＋ｐ２ｘ２＋λ（６－ｘα１ｘβ２）．

令

Ｆｘ１＝ｐ１－λαｘα－１１ ｘβ２＝０， ①

Ｆｘ２＝ｐ２－λβｘα１ｘβ－１２ ＝０， ②

Ｆλ＝６－ｘ

α１ｘβ２＝０．

烅

烄

烆 ③

式①×βｘ１，式②×αｘ２，即得ｐ１βｘ１＝ｐ２αｘ２，ｘ１＝ｐ２αｐ１βｘ２．再代入式③，得

ｘ２＝６ｐ１βｐ２（ ）α

α，ｘ１＝６

ｐ２αｐ１（ ）β

β．

因驻点惟一，且实际问题存在最小值，则上面（ｘ１，ｘ２）即为最小值点，故上述两要素投放

量可使投入总费用最小．解２：由题设２ｘα１ｘβ２＝１２，有ｘα１ｘβ２＝６，两边取对数得αｌｎｘ１＋βｌｎｘ２＝ｌｎ６，这样可作拉格

朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）函数为

Ｆ（ｘ１，ｘ２，λ）＝ｐ１ｘ１＋ｐ２ｘ２＋（ｌｎ６－αｌｎｘ１－βｌｎｘ２）．

１９９９年试题参考答案 ２－６５

２

令

Ｆｘ１＝ｐ１－

λαｘ１＝０， ①

Ｆｘ２＝ｐ２－

λαｘ２＝０， ②

Ｆλ＝ｌｎｘ１－αｌｎｘ１－βｌｎｘ２．

烅

烄

烆 ③

由式①、②得 ｐ２ｐ１＝βｘ１αｘ２

，故有 ｘ１＝ｐ２αｐ１βｘ２．

以下同解１．

六、解：由Ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ），有２Ｆ（ｘ）Ｆ′（ｘ）＝ ｘｅｘ２（１＋ｘ）２

，积分得

Ｆ２（ｘ）＝∫２Ｆ（ｘ）Ｆ′（ｘ）ｄｘ＝∫ ｘｅｘ２（１＋ｘ）２ｄｘ＝－∫ｘｅｘｄ １

１＋（ ）ｘ ＝ ｅｘ

１＋ｘ＋Ｃ．

由Ｆ（０）＝１和Ｆ２（０）＝１＋Ｃ，得Ｃ＝０．

从而Ｆ（ｘ）＝ ｅｘ１＋槡 ｘ

（注意到Ｆ（ｘ）＞０），求导得 ｆ（ｘ）＝Ｆ′（ｘ）＝ ｘｅｘ２

２（１＋ｘ）３２．

七、解：设ｕ＝ｘ－ｔ，则ｔ＝ｘ－ｕ，且ｄｔ＝－ｄｕ．这样当ｔ＝０时，ｕ＝ｘ；当ｔ＝ｘ，

时ｕ＝０．于是

∫ｘ

０ｔｆ（ｘ－ｔ）ｄｔ＝∫

ｘ

０（ｘ－ｕ）ｆ（ｕ）ｄｕ，

由题设 ｘ∫ｘ

０ｆ（ｕ）ｄｕ－∫

ｘ

０ｕｆ（ｕ）ｄｕ＝１－ｃｏｓｘ，

上式两边对ｘ求导得∫ｘ

０ｆ（ｕ）ｄｕ＝ｓｉｎｘ．

再在上式中令ｘ＝ π２得∫

π２

０ｆ（ｘ）ｄｘ＝１．

八、证１：设ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ２－ｘπ

，有ｆ（０）＝０，ｆ（π）＝０，ｆ′（ｘ）＝１２ｃｏｓｘ２－

１π．

注意到ｆ′（ｘ）在（０，π）内变号．令ｆ′（ｘ）＝０，得驻点ｘ０＝２ａｒｃｃｏｓπ２

，易算得ｆ（ｘ０）＞０．在（０，ｘ０）内ｆ′（ｘ）＞０，知ｆ（ｘ）单增，且当０＜ｘ＜ｘ０时ｆ（ｘ）＞ｆ（０）＝０，有

ｓｉｎｘ２－ｘπ＞０ｓｉｎ

ｘ２＞ｘπ．

在（ｘ０，π）内ｆ′（ｘ）＜０，知ｆ（ｘ）单减，且当ｘ０＜ｘ＜π时ｆ（ｘ）＞ｆ（π）＝０，有

ｓｉｎｘ２－ｘ２＞０ｓｉｎ

ｘ２＞ｘ２．

综合上面两式，即当０＜ｘ＜π时，ｓｉｎｘ２＞ｘπ．

证２：要证题设 不 等 式，只 需 证 明ｓｉｎｘ２ｘ ＞１π

（０＜ｘ＜π）．令 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ２ｘ －１π

（０＜ｘ＜π），则

历年考研数学试题详解·数学（四）２－６６

ｆ′（ｘ）＝

ｘ２ｃｏｓ

ｘ２－ｓｉｎ

ｘ２

ｘ２ ＝ｃｏｓｘ２

ｘ２－ｔａｎ

ｘ（ ）２ｘ２ ．

因为对于０＜ｘ＜π时，ｃｏｓｘ２＞０，ｔａｎｘ２＞

ｘ２

，所以ｆ′（ｘ）＜０，从而ｆ（ｘ）在（０，π）内是单

调减函数．

故 ｆ（ｘ）＞ｆ（π）＝０（０＜ｘ＜π），即ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ２ｘ －１π＞０

，或ｓｉｎｘ２＞ｘπ．

九、简析：若Ａ有３个线性无关的特征向量，则Ａ可对角化．这显然涉及Ａ的特征问题．解：由题设有Ａ的特征多项式为｜λＩ－Ａ｜＝（λ－１）（λ＋１）２，

故λ１＝λ２＝－１，λ３＝１是Ａ的特征根．又 λ１＝λ２＝－１是重根，其相应的两个特征向量线性无关的必要条件是

ｒ（－Ｉ－Ａ）＝１．

而 －Ｉ－Ａ＝－４ －２ ２ｋ ０ －ｋ烄

烆

烌

烎－４ －２ ２

， 若秩ｒ（－Ｉ－Ａ）＝１，则有ｋ＝０．

代入Ａ后，由Ａｘ＝λｘ即Ａｘ＝－ｘ和Ａｘ＝ｘ可分别解得相应于λ１＝λ２＝－１和λ３＝１的特征向量分别为

α１＝（－１，２，０）Ｔ， α２＝（１，０，２）Ｔ， α３＝（１，０，１）Ｔ．

则可得矩阵 Ｐ＝－１ １ １２ ０ ０

烄

烆

烌

烎０ ２ １

，且 Ｐ－１ＡＰ＝－１

－１烄

烆

烌

烎１．

十、解：题设方程组的系数行列式

Ｄ＝１ １ １ａ ｂ ｃａ２ ｂ２ ｃ２

ｃ２－ｃ１ｃ３－ｃ１

１ ０ ０ａ ｂ－ａ ｃ－ａａ２ ｂ２－ｃ２ ｃ２－ａ２

＝（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）（ｃ－ａ）．

（１）当ａ≠ｂ，ｂ≠ｃ，ｃ≠ａ时，Ｄ≠０，方程组仅有零解．（２）ａ与ｂ，ｂ与ｃ，ｃ与ａ之间相等与不等的关系还分四种情况，并且都有无穷多解．①当ａ＝ｂ≠ｃ时，同解方程组为

ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝０，

ｘ３＝０烅烄

烆 ．可化为

ｘ１＝－ｘ２，

ｘ３＝０烅烄

烆 ．令ｘ２＝ｋ１（ｋ１为任意常数），方程组全部解为是ｋ１（－１，１，０）Ｔ．

②当ａ＝ｃ≠ｂ时，同解方程组为

ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝０，

ｘ２＝０烅烄

烆 ．可化为

ｘ１＝－ｘ３ｘ２＝０烅烄

烆 ．令ｘ３＝ｋ２（ｋ２为任意常数），方程组全部解为是ｋ２（－１，０，１）Ｔ．

③当ｂ＝ｃ≠ａ时，同解方程组为

ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝０，

ｘ１＝０烅烄

烆 ．可化为

ｘ１＝０，

ｘ２＝－ｘ３烅烄

烆 ．

１９９９年试题参考答案 ２－６７

２

④当ａ＝ｂ＝ｃ时，同解方程组为ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝０，即ｘ１＝－ｘ２－ｘ３．令ｘ２＝ｋ４，ｘ３＝ｋ５（ｋ４和ｋ５皆为任意常数），方程组的全部解为

ｋ４（－１，１，０）Ｔ＋ｋ５（－１，０，１）Ｔ．十一、解：由题设，二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率密度为

ψ（ｘ，ｙ）＝１２

，

０烅烄

烆 ，

若（ｘ，ｙ）∈Ｇ，

若（ｘ，ｙ）∈Ｇ．设Ｆ（ｓ）＝Ｐ｛Ｓ≤ｓ｝为Ｓ的分布函数，则

当ｓ≤０时，Ｆ（ｓ）＝０；当ｓ≥２时，Ｆ（ｓ）＝１．当０＜ｓ＜２时，如图，曲线ｘｙ＝ｓ把Ｇ分为上下两个区域．这时需要计算的是（Ｘ，Ｙ）在下

面区域（即ｘｙ＜ｓ）上取值的概率即：

Ｆ（ｓ）＝Ｐ｛Ｓ≤ｓ｝＝Ｐ｛ＸＹ≤ｓ｝＝∫ｓ

０ｄｘ∫

１

０

１２ｄｙ＋∫

２

ｓｄｘ∫

ｓｘ

０

１２ｄｙ

＝ｓ２（１＋ｌｎ２－ｌｎｓ）．

故 ｆ（ｓ）＝Ｆ′（ｓ）＝１２

（ｌｎ２－ｌｎｓ），

０烅烄

烆 ．

若０＜ｓ＜２，

若ｓ≤０或ｓ≥２．注：其实Ｆ（ｓ）亦可如下法计算：

Ｆ（ｓ）＝Ｐ｛Ｓ≤ｓ｝＝Ｐ｛ＸＹ≤ｓ｝＝１－Ｐ｛ＸＹ＞ｓ｝＝１－ｘｙ＞ｓ

１２ｄｘｄｙ

＝１－１２∫２

ｓｄｘ∫

１

ｓｘｄｙ＝ｓ２

（１＋ｌｎ２－ｌｎｓ）．

十二、解１：（１）由Ｐ｛Ｘ１Ｘ２＝０｝＝１，可知Ｘ１Ｘ２＝０是必然事件，知Ｘ１，Ｘ２同时取非０值不可能，故

Ｐ｛Ｘ１＝－１，Ｘ２＝１｝＝Ｐ｛Ｘ１＝１，Ｘ２＝１｝＝０．

于是 Ｐ｛Ｘ１＝－１，Ｘ２＝０｝＝Ｐ｛Ｘ１＝－１｝＝１４，Ｐ｛Ｘ１＝０，Ｘ２＝１｝＝Ｐ｛Ｘ２＝１｝＝１２

，

又 Ｐ｛Ｘ１＝１，Ｘ２＝０｝＝Ｐ｛Ｘ１＝１｝＝１４，Ｐ｛Ｘ１＝０，Ｘ２＝０｝＝１－ １

４＋１２＋（ ）１４ ＝０．

故Ｘ１与Ｘ２联合分布如下表：

Ｘ２Ｘ１ －１ ０ １

０ １４ ０ １

４１２

１ ０ １２ ０ １

２

１４

１２

１４ １

（２）由上表可看出 Ｐ｛Ｘ１＝０，Ｘ１＝０｝＝０，

又由题设有 Ｐ｛Ｘ１＝０｝Ｐ｛Ｘ１＝０｝＝１２·１２＝

１４

，故随机变量Ｘ１和Ｘ２不独立．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－６８

解２：由题设Ｐ｛Ｘ１Ｘ２＝０｝＝１知Ｘ１Ｘ２＝０是必然事件，换言之，Ｘ１和Ｘ２同时取非零值

是不可能事件．因此

Ｐ｛Ｘ１＝－１，Ｘ２＝１｝＝０， Ｐ｛Ｘ１＝１，Ｘ２＝１｝＝０．至此在所求的Ｘ１和Ｘ２联合分布的６个未知数中已经求出了２个．结合题设，此时Ｘ１和

Ｘ２的联合分布有如下表：

Ｘ２Ｘ１ －１ ０ １

０ ｐ１１ ｐ２１ ｐ１３ １２

１ ０ ｐ２２ ０ １２

１４

１２

１４ １

仿照联合分布性质，再利用边缘分布的已知数据，可以依次求出：

ｐ１１＝１４

， ｐ３１＝１４

，ｐ２２＝１２

， ｐ２１＝１２－ｐ１１－ｐ３１＝０．

如此最后得到Ｘ１和Ｘ２的联合分布为：

Ｘ２Ｘ１ －１ ０ １

０ １４ ０ １

４１２

１ ０ １２ ０ １

２

１４

１２

１４ １

（２）由上表，可见 Ｐ｛Ｘ１＝０，Ｘ２＝０｝＝０≠１４＝Ｐ｛Ｘ１＝０｝Ｐ｛Ｘ２＝０｝．

于是可推知：Ｘ１和Ｘ２不独立．

２０００年试题参考答案

一、填空题

（１）解１：先凑微分再分部积分有

∫ａｒｃｓｉｎ槡ｘ槡ｘｄｘ＝２∫ａｒｃｓｉｎ槡ｘｄ（槡ｘ）＝２槡ｘａｒｃｓｉｎ槡ｘ－２∫ 槡ｘ

１－槡 ｘ· １２槡ｘ

ｄｘ

＝２槡ｘａｒｃｓｉｎ槡ｘ＋２ １－槡 ｘ＋Ｃ．解２：利用换元法，设 槡ｘ＝ｔ，有ｘ＝ｔ２，ｄｘ＝２ｔｄｔ，则

∫ａｒｃｓｉｎ槡ｘ槡ｘｄｘ＝∫ａｒｃｓｉｎｔｔ ·２ｔｄｔ＝２∫ａｒｃｓｉｎｔｄｔ＝２ｔａｒｃｓｉｎｔ－２∫ ｔｄｔ

１－ｔ槡 ２

＝２ｔａｒｃｓｉｎｔ＋２ １－ｔ槡 ２＋Ｃ＝２槡ｘａｒｃｓｉｎ槡ｘ＋２ １－槡 ｘ＋Ｃ．

（２）解：利用１∞型极限计算公式ｌｉｍｕ（ｘ）ｖ（ｘ）＝ｅｌｉｍ［ｕ（ｘ）－１］ｖ（ｘ）有

２０００年试题参考答案 ２－６９

２

原式＝ｅｘｐｌｉｍｘ→０

ａｘ＋ｂｘ２（ ）－１·３｛ ｝ｘ ＝ｅｘｐｌｉｍ

ｘ→０

３（ａｘ＋ｂｘ－２）

２｛ ｝ｘ

＝ｅｘｐｌｉｍｘ→０

３（ａｘｌｎａ＋ｂｘｌｎｂ）｛ ｝２ ＝ｅｘｐ３（ｌｎａ＋ｌｎｂ）｛ ｝２ ＝（ａｂ）

３２．

（３）解１：由Ａ＝ααＴ＝１０

烄

烆

烌

烎－１

（１，０，－１）＝１ ０ －１０ ０ ０

烄

烆

烌

烎－１ ０ １

，

令｜λＥ－Ａ｜＝λ２（λ－２）＝０，求得Ａ的特征值为０，０，２．因此矩阵ａＩ－Ａｎ 的特征值为ａ，ａ，ａ－２ｎ．故｜ａＩ－Ａｎ｜＝ａ２（ａ－２ｎ）．解２：由Ａｎ＝（ααＴ）（ααＴ）⋯（ααＴ）＝（αＴα）ｎ－１ααＴ＝（αＴα）ｎ－１Ａ，因此

｜ａＩ－Ａｎ｜＝ａ－２ｎ－１ ０ ａ－２ｎ－１

０ ａ ０２ｎ－１ ０ ２ｎ－１

＝ａ２（ａ－２ｎ）．

（４）解：由题设Ａ、Ｂ相似，即Ａ～Ｂ，知Ｂ的特征值亦为２，３，４，５．从而Ｂ－Ｉ的特征值为１，２，３，４．故｜Ｂ－Ｉ｜＝１·２·３·４＝２４．

（５）解：由题设知Ｘ的分布密度

ｆ（ｘ）＝１３

， ｘ∈［－１，２］，

０， 其他烅烄

烆 ．

当ｘ＜０时，Ｐ｛Ｘ＜０｝＝∫０

－１

１３ｄｘ＝

１３

； 当ｘ＝０时，Ｐ｛Ｘ＝０｝＝０；

当ｘ＞０时，Ｐ｛Ｘ＞０｝＝∫２

０

１３ｄｘ＝

２３．

则随机变量Ｙ和Ｚ＝Ｙ２有下面分布律：

ｙ －１ ０ １

Ｐ｛Ｙ＝ｙ｝ １３ ０ ２

３

ｙ２ ０ １

Ｐ｛Ｚ＝ｙ２｝ ０ １

从而 Ｅ（Ｙ）＝－１３＋２３＝

１３

， Ｅ（Ｙ２）＝１． 故

Ｄ（Ｙ）＝Ｅ（Ｙ２）－［Ｅ（Ｙ）］２＝１－（ ）１３２＝１－１９＝

８９．

二、选择题

（１）解：（特值法）．取φ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）＝ｘ，题设条件均满足，但ｌｉｍｘ→∞ｆ（ｘ）＝∞，即极

限不存在．又取φ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）＝０，此时ｌｉｍ

ｘ→∞ｆ（ｘ）＝０（存在）．从而知：只有选项（Ｄ）正确．

故选（Ｄ）．（２）解：（特值＋排除法）．当ｆ（ａ）≠０时，例如选项（Ｃ）中ｆ（ａ）＞０，则由ｆ（ｘ）在点ｘ＝ａ

处的连续性（可导必连续）知，在ｘ＝ａ的某个邻域内ｆ（ｘ）＞０，此时｜ｆ（ｘ）｜＝ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处可导．因此排除了选项（Ｃ）和（Ｄ）．

当ｆ（ａ）＝０时，设φ（ｘ）＝｜ｆ（ｘ）｜，则有

历年考研数学试题详解·数学（四）２－７０

φ′＋（ａ）＝ｌｉｍｘ→ａ＋

｜ｆ（ｘ）｜－｜ｆ（ａ）｜ｘ－ａ ＝ｌｉｍ

ｘ→ａ＋

｜ｆ（ｘ）｜｜ｘ－ａ｜＝ ｌｉｍ

ｘ→ａ＋

ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）

ｘ－ａ ＝｜ｆ′（ａ）｜，

φ′－（ａ）＝ｌｉｍｘ→ａ－

｜ｆ（ｘ）｜－｜ｆ（ａ）｜ｘ－ａ ＝ｌｉｍ

ｘ→ａ－

｜ｆ（ｘ）｜－｜ｘ－ａ｜＝－ ｌｉｍ

ｘ→ａ－

ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）

ｘ－ａ ＝－｜ｆ′（ａ）｜，

而φ（ｘ）＝｜ｆ（ｘ）｜在ｘ＝ａ处可导的充要条件是φ′＋（ａ）＝φ′－（ａ），即

｜ｆ′（ａ）｜＝－｜ｆ′（ａ）｜｜ｆ′（ａ）｜＝０ｆ′（ａ）＝０．故排除选项（Ａ），同时也证明了选项（Ｂ）正确．故选（Ｂ）．

（３）解：由题设，有如下等式成立：

Ａα１＝ｂ，

Ａα２＝ｂ，

Ａα３＝ｂ烅烄

烆 ．

①②③

由上面式①知，α１（１，２，３，４）Ｔ是原方程组的一个特解．式①×２－（②＋③）得 Ａ（２α１－［α２＋α３）］＝０， 即知

α＝２α１－（α２＋α３）＝２１，２，３，（ ）４ Ｔ－ ０，１，２，（ ）３ Ｔ＝ ２，３，４，（ ）５ Ｔ

为方程组Ａｘ＝０的基础解系．又ｒ（Ａ）＝３知方程组通解为ｘ＝α１＋ｃα，其中ｃ为任意常数．故选（Ｃ）．

（４）解：由题设Ａ、Ｂ、Ｃ三个事件两两独立则 Ｐ（ＡＢＣ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ）．又 由 Ｐ（ＢＣ）＝Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ） 得知

Ｐ（ＡＢＣ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ）Ｐ（ＡＢＣ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（ＢＣ）Ａ与ＢＣ独立．故选（Ａ）．注：由题设Ａ、Ｂ、Ｃ两两独立，能肯定成立的结论只有选项（Ａ）．

（５）解：当事件｛Ｔ（３）≥ｔ０｝和｛Ｔ（４）≥ｔ０｝发生时事件Ｅ发生．又因为事件｛Ｔ（３）≥ｔ０｝发生时事件｛Ｔ（４）≥ｔ０｝必发生．故选（Ｃ）．三、解：由题设及函数求偏导数公式，有

ｚｘ＝

ｚｕ

·ｕｘ＋

ｚｖ

·ｖｘ＝

（ｕｖｖ－１）·１２· ２ｘｘ２＋ｙ２

＋（ｕｖｌｎｕ）·－ １

１＋ ｙ（ ）ｘ熿

燀

燄

燅２ · －ｙ

ｘ（ ）２＝ ｕｖｘ２＋ｙ２

ｘｖｕ －ｙｌｎ（ ）ｕ ，

ｚｙ＝

ｚｕ

·ｕｙ＋

ｚｖ

·ｖｙ＝

（ｕｖｖ－１）·１２· ２ｙｘ２＋ｙ２

＋（ｕｖｌｎｕ）· １

１＋ ｙ（ ）ｘ２·１ｘ

＝ ｕｖｘ２＋ｙ２

ｙｖｕ＋ｘｌｎ（ ）ｕ ，

故 ｄｚ＝ ｕｖｘ２＋ｙ２

ｘｖｕ －ｙｌｎ（ ）ｕ ｄｘ＋ ｙｖｕ＋ｘｌｎ（ ）ｕ ｄ［ ］ｙ ．

四、解：被积式分子、分母同乘以ｅｘ，分母再提出ｅ，有

２０００年试题参考答案 ２－７１

２

Ｉ＝∫＋∞

１

ｅｘｄｘｅ１＋２ｘ＋ｅ３

＝１ｅ∫＋∞

１

ｄ（ｅｘ）（ｅｘ）２＋ｅ２

＝１ｅ２ａｒｃｔａｎｅ

ｘ

ｅ＋∞

１＝ π４ｅ２

．

或解如：先将被积式适当变形，再用凑微分法．

Ｉ＝∫＋∞

１

ｅｘ－３ｄｘｅ１＋ｘ＋ｘ－３＋１

＝ｅ－２∫＋∞

１

ｄ（ｅｘ－１）１＋ｅ２（ｘ－１）＝ ｅ－２·ａｒｅｔａｎｅｘ－１

＋∞

１

＝ｅ－２ π２－π（ ）４ ＝ π４ｅ

－２＝ π４ｅ２．

五、解：（１）据题意，总利润函数

Ｌ＝Ｒ－Ｃ＝ｐ１Ｑ１＋ｐ２Ｑ２－（２Ｑ－５）＝－２Ｑ２１－Ｑ２２＋１６Ｑ１＋１０Ｑ２－５．

令

ＬＱ１

＝－４Ｑ１＋１６＝０，

ＬＱ２

＝－２Ｑ２＋１０＝０烅

烄

烆 ．

解得Ｑ１＝４，Ｑ２＝５，则ｐ１＝１０（万元／吨），ｐ２＝７（万元／吨）．因驻点（４，５）惟一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必在驻点处达到．最大利润

Ｌ＝－２·４２－５２＋１６·４＋１０·５－５＝５２（万元）．（２）若实行价格无差别策略，则ｐ１＝ｐ２，于是有约束条件

１８－１２Ｑ１＝１２－２Ｑ２，２Ｑ１－Ｑ２＝６．此时数学模型为

目标：求最大，即ｍａｘＬ＝－２Ｑ２１－Ｑ２２＋１６Ｑ１＋１０Ｑ２－５，

约束：满足于２Ｑ１－Ｑ２－６＝０烅烄

烆 ．构造拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）函数

Ｆ（Ｑ１，Ｑ２，λ）＝－２Ｑ２１－Ｑ２２＋１６Ｑ１＋１０Ｑ２－５＋λ（２Ｑ１－Ｑ２－６）．

令

ＦＱ１

＝－４Ｑ１＋１６＋２λ＝０，

ＦＱ２

＝－２Ｑ２＋１０－λ＝０，

Ｆλ＝２Ｑ１－Ｑ２－６＝０

烅

烄

烆 ．

解得Ｑ１＝５，Ｑ２＝４，λ＝２，则ｐ１＝ｐ２＝８．代入目标式得最大利润Ｌｍａｘ＝４９（万元）．由上述结果可知，企业实行差别定价所得总利润大于统一价格的总利润．

六、解：由题设有 ｙ′＝ｘ２＋ｘ１＋ｘ２ｅ

π２＋ａｒｃｔａｎｘ．令ｙ′＝０，得驻点ｘ１＝０，ｘ２＝－１．

函数大致性态如下表所列．

ｘ （－∞，－１） －１ （－１，０） ０ （０，＋∞）

ｙ′ ＋ ０ － ０ ＋

ｙ －２ｅπ４ －ｅ

π２

由上表可知，函数的单增区间为（－∞，－１）∪（０，＋∞）；函数的单减区间为（－１，０）．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－７２

极小值为ｆ（０）＝－２ｅπ２；极大值为ｆ（－１）＝－２ｅ

π４．

因为 ａ１＝ｌｉｍｘ→＋∞

ｆ（ｘ）

ｘ ＝ｅπ，ｂ１＝ｌｉｍｘ→＋∞

［ｆ（ｘ）－ａ１ｘ］＝－２ｅπ，

及 ａ２＝ｌｉｍｘ→－∞

ｆ（ｘ）

ｘ ＝１，ｂ２＝ｌｉｍｘ→－∞

［ｆ（ｘ）－ａ２ｘ］＝－２．

故图形有两条斜渐近线，它们分别为

ｙ１＝ａ１ｘ＋ｂ１＝ｅπ（ｘ－２），ｙ２＝ａ２ｘ＋ｂ２＝ｘ－２．七、解：如图所示，若记

Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）｜１≤ｘ≤２，２ｘ－ｘ槡 ２≤ｙ≤ｘ｝，

则 Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝

Ｄ１

ｘ２ｙｄｘｄｙ＝∫２

１ｘ２·ｙ

２

２ｘ

２ｘ－ｘ槡 ２ｄｘ

＝∫２

１（ｘ４－ｘ３）ｄｘ＝４９２０．

八、证１：如对ｆ（ｘ）的原函数Ｆ（ｘ）＝∫ｘ

０ｆ（ｔ）ｄｔ能找到３个点使Ｆ（ｘ）＝０，则使用两次

罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理就可以得ξ１，ξ２，且使ｆ（ξ１）＝ｆ（ξ２）＝０．

令Ｆ（ｘ）＝∫ｘ

０ｆ（ｔ）ｄｔ，０≤ｘ≤π，则有Ｆ（０）＝０，Ｆ（π）＝０，

０＝∫π

０ｆ（ｘ）ｃｏｓｘｄｘ＝∫

π

０ｃｏｓｘｄＦ（ｘ）＝ Ｆ（ｘ）ｃｏｓ［ ］ｘ π

０＋∫π

０Ｆ（ｘ）ｓｉｎｘｄｘ＝∫

π

０Ｆ（ｘ）ｓｉｎｘｄｘ．

对φ（ｘ）＝∫π

０Ｆ（ｔ）ｓｉｎｔｄｔ在［０，π］上使用拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）中值定理得

０＝∫π

０Ｆ（ｘ）ｓｉｎｘｄｘ＝φ（π）－φ（０）＝πＦ（ξ）ｓｉｎξ，０＜ξ＜π．

因为ｓｉｎξ≠０，所以 Ｆ（ξ）＝０．再对Ｆ（ｘ）在区间［０，ξ］，［ξ，π］上分别用罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理知：

至少存在ξ１∈（０，ξ），ξ２∈（ξ，π），使Ｆ′（ξ１）＝Ｆ′（ξ２）＝０，即ｆ（ξ１）＝ｆ（ξ２）＝０．

证２：由∫π

０ｆ（ｘ）ｄｘ＝０知，存在ξ１∈（０，π）使ｆ（ξ１）＝０，因若不然，则在（０，π）内

ｆ（ｘ）恒 为正，或ｆ（ｘ）恒为负，均与∫π

ｆ（ｘ）ｄｘ＝０矛盾．

若在（０，π）内ｆ（ｘ）＝０仅有一个实根ｘ＝ξ１，则有∫π

０ｆ（ｘ）ｄｘ＝０推知ｆ（ｘ）在（０，ξ１）内

与（ξ１，π）内符号相反，不妨设在（０，ξ１）内ｆ（ｘ）＞０，在（ξ１，π）内ｆ（ｘ）＜０．

于是再由∫π

０ｆ（ｘ）ｃｏｓｘｄｘ＝０与ｃｏｓｘ在［０，π］上的单调性知：

０＝∫π

０ｆ（ｘ）（ｃｏｓｘ－ｃｏｓξ１）ｄｘ

＝∫ξ１０ｆ（ｘ）（ｃｏｓｘ－ｃｏｓξ１）ｄｘ＋∫π

ξ１０ｆ（ｘ）（ｃｏｓｘ－ｃｏｓξ１）ｄｘ＞０．

矛盾．从而推知，在（０，π）内除ξ１外，ｆ（ｘ）＝０至少还有另一实根ξ２．

２０００年试题参考答案 ２－７３

２

故知存在ξ１，且ξ２∈（０，π），ξ１≠ξ２，使ｆ（ξ１）＝ｆ（ξ２）＝０．九、解：令Ａ＝（α１，α２，α３），考虑 Ａ（ｋ１，ｋ２，ｋ３）Ｔ＝β （），由

ｄｅｔＡ＝ａ －２ －１２ １ １１０ ５ ４

＝－ａ－４，

（１）ａ≠－４时，有ｋｉ（ｉ＝１，２，３）使得β＝ｋ１α１＋ｋ２α２＋ｋ３α３，即 β可由｛α１，α２，α３｝线

性表出且惟一；

（２）ａ＝－４时，将（Ａβ）实施初等变换化为：

Ａ＝（Ａβ）＝－４ －２ －１ １２ １ １ ｂ１０ ５ ４

烄

烆

烌

烎ｃ→０ ０ １ ２ｂ＋１２ １ ０ －ｂ－１０ ０ ０ ３ｂ－ｃ

烄

烆

烌

烎－１

，

当３ｂ－ｃ－１≠０时，ｒ（Ａ）≠ｒ（Ａ），则方程组（）无解，β不能由α１，α２，α３线性表出；

（３）ａ＝－４，且 ３ｂ－ｃ－１＝０时，ｒ（Ａ）＝ｒ（Ａ）＝２，方程组（）有无量多组解，此时

β可由α１，α２，α３线性表出，但不惟一．

此时方程化为ｋ２＝－２ｋ１－ｂ－１，

ｋ３＝２ｂ＋１烅烄

烆 ．令ｋ１＝ｋ（ｋ为任意常数），则方程组的通解为

（ｋ１，ｋ２，ｋ３）Ｔ＝ｋ（１，－２，０）Ｔ＋（０，－ｂ－１，２ｂ＋１）Ｔ．故β的一般表示式为 β＝ｋα１－（２ｋ＋ｂ＋１）α２＋（２ｂ＋１）α３．注：本题亦可先对矩阵珚Ａ＝（Ａβ）作行初等变换化为阶梯形后再行讨论．十、解：由于λ１＝λ２＝２，且矩阵Ａ的线性无关向量有３个，换言之，对于Ａ的此２重根

Ａ有两个线性无关的特征向量，从而ｒ（２Ｉ－Ａ）＝１．注意到

２Ｉ－Ａ＝１ １ －１－ｘ －２ －ｙ烄

烆

烌

烎３ ３ －３

，

显然 ｘ∶２∶ｙ＝１∶１∶－１时，即 ｘ＝２，ｙ＝－２时，ｒ（２Ｉ－Ａ）＝１．将ｘ，ｙ代入后由｜λＩ－Ａ｜＝（λ－２）２（λ－６），知λ１＝λ２＝２，λ３＝６．

（当然也可由矩阵迹 Ｔｒ（Ａ）＝１＋４＋５＝λ１＋λ２＋λ３，得λ３＝６）

再由Ａｘ＝λｘ，其相应的特征向量分别为

α１＝（１，－１，０）Ｔ，α２＝（１，０，１）Ｔ，α３＝（１，－２，３）Ｔ，

则 Ｐ＝（α１，α２，α３） 且 Ｐ－１ＡＰ＝ｄｉａｇ｛２，２，６｝＝２２

烄

烆

烌

烎６．

十一、解：（１）由于二维正态密度函数的两个边缘密度都是正态密度函数，因此φ１（ｘ，ｙ）

和φ２（ｘ，ｙ）的两个边缘密度为标准正态密度函数，故

ｆ１（ｘ）＝∫＋∞

－∞ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝１２∫

＋∞

－∞φ１（ｘ，ｙ）ｄｙ＋∫

＋∞

－∞φ２（ｘ，ｙ）ｄ［ ］ｙ

＝１２１槡２πｅ－ｘ２

２＋ １槡２πｅ－ｘ２

［ ］２ ＝ １槡２πｅ－ｘ２

２．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－７４

同理可得 ｆ２（ｙ）＝ １槡２πｅ－ｙ２

２．

由 Ｘ～Ｎ（０，１），Ｙ～Ｎ（０，１），则有Ｅ（Ｘ）＝Ｅ（Ｙ）＝０，Ｄ（Ｘ）＝Ｄ（Ｙ）＝１．这样，随机变量Ｘ和Ｙ的相关系数

ρＸＹ ＝ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）

Ｄ（Ｘ槡 ） Ｄ（Ｙ槡 ）＝ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）＝∫

＋∞

－∞∫＋∞

－∞ｘｙｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ

＝１２∫＋∞

－∞∫＋∞

－∞ｘｙφ１（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＋∫

＋∞

－∞∫＋∞

－∞ｘｙφ２（ｘ，ｙ）ｄｘｄ［ ］ｙ

＝１２１３－［ ］１３ ＝０．

（２）由题设及上面计算有（注意到二维正态分布的联合密度公式）

ｆ（ｘ，ｙ）＝ ３８π槡２

ｅｘｐ｛－９１６（ｘ２－２３ｘｙ＋ｙ

２）｝＋ｅｘｐ｛－９１６（ｘ２＋２３ｘｙ＋ｙ

２［ ］）｝ ，

且 ｆ１（ｘ）·ｆ２（ｙ）＝ １２πｅ－ｘ

２

２ｅ－ｘ２

２ ＝ １２πｅ－ｘ２＋ｙ２

２ ，

即 ｆ（ｘ，ｙ）≠ｆ１（ｘ）·ｆ２（ｘ），故 Ｘ与Ｙ不独立．十二、证：注意到ρＸＹ＝０Ｅ（ＸＹ）＝Ｅ（Ｘ）Ｅ（Ｙ），只需证明：

ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）＝０Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）．今记 Ｐ（Ａ）＝ｐ１，Ｐ（Ｂ）＝ｐ２，Ｐ（ＡＢ）＝ｐ１２．又 Ｅ（Ｘ）＝１·Ｐ（Ａ）＋（－１）·Ｐ（珚Ａ）＝２ｐ１－１，同理 Ｅ（Ｙ）＝２ｐ２－１．由于ＸＹ只有两个可能值１和－１，故知

Ｐ｛ＸＹ＝１｝＝Ｐ（ＡＢ）＋Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（ＡＢ）＋Ｐ（Ａ∪Ｂ）

＝Ｐ（ＡＢ）＋１－Ｐ（Ａ∪Ｂ）

＝Ｐ（ＡＢ）＋１－Ｐ（Ａ）－Ｐ（Ｂ）＋Ｐ（ＡＢ）

＝２ｐ１２－ｐ１－ｐ２＋１，

且 Ｐ｛ＸＹ＝－１｝＝１－Ｐ｛ＸＹ＝１｝＝ｐ１＋ｐ２－２ｐ１２，

则 Ｅ（ＸＹ）＝１·Ｐ｛ＸＹ＝１｝＋（－１）·Ｐ｛ＸＹ＝－１｝＝４ｐ１２－２ｐ１－２ｐ２＋１，

及 ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）＝Ｅ（ＸＹ）－Ｅ（Ｘ）Ｅ（Ｙ）＝４ｐ１２－４ｐ１ｐ２＝４（ｐ１２－ｐ１ｐ２）．故 ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）＝０当且仅当 ｐ１２＝ｐ１ｐ２，

即Ｘ和Ｙ不相关当且仅当事件Ａ和Ｂ相互独立．

２００１年试题参考答案

一、填空题

（１）解：当Ｑ＝１时，ＡＬαＫβ＝１．解出Ｋ＝Ａ－１βＬ－

αβ．代入公式中，得Ｑ＝１时Ｋ 关于Ｌ

的弹性

η＝ＬＫｄＫｄＬ＝

ＬＡ－

１βＬ－

αβ

· －α（ ）β Ａ－１βＬ－

αβ－１＝－α

β．

（２）解：由题设，当ｙ＝０时 ｘ２＝ｅ－ｘ－ｆ（ｘ），因此ｆ（ｘ）＝ｅ－ｘ－ｘ２．

２００１年试题参考答案 ２－７５

２

则 ｚ＝ｅ－ｘ－ｅ２ｙ－ｘ＋（ｘ－２ｙ）２，从而 ｚｘ＝－ｅ

－ｘ＋ｅ２ｙ－ｘ＋２（ｘ－２ｙ）．（３）解１：直接写出第四行各元素余子式且相加，得

Ｄ＝０ ４ ０２ ２ ２－７ ０ ０

＋３ ４ ０２ ２ ２０ ０ ０

＋３ ０ ０２ ２ ２０ －７ ０

＋３ ０ ４２ ２ ２０ －７ ０

＝－５６＋０＋４２－１４＝－２８．解２：设Ｍｉｊ为ａｉｊ的余子式，Ａｉｊ为ａｉｊ的代数余子式，则

Ｍ４１＋Ｍ４２＋Ｍ４３＋Ｍ４４＝－Ａ４１＋Ａ４２－Ａ４３＋Ａ４４

＝

３ ０ ４ ０２ ２ ２ ２０ －７ ０ ０－１ １ －１ １

按第３行

展开 ＝７３ ４ ０２ ２ ２－１ －１ １

第２行乘１２

加到第３

行 ＝７３ ４ ０２ ２ ２０ ０ ２

＝－２８．这里第三个等式是将原行列式第４行元素依次换为－１，１，－１，１，而其他行元素不变．该

行列式值恰好为Ａ的第四行余子式之和．注：利用行列式性质“某行元素分别乘以其他行相应元素（同列）的代数余子式之和，其值为０”可以拟造

一些概念性很强的题目．（４）解：由题设知｜Ａ｜＝０，因而问题关键还是计算｜Ａ｜．将｜Ａ｜的第２～４列加到第１列

后提取ｋ＋３有

｜Ａ｜＝（ｋ＋３）

１ １ １ １１ ｋ １ １１ １ ｋ １１ １ １ ｋ

第２～４列分

别减去第１

列（ｋ＋３）

１ ０ ０ ０１ ｋ－１ ０ ０１ ０ ｋ－１ ０１ ０ ０ ｋ－１

＝（ｋ＋３）（ｋ－１）３．令｜Ａ｜＝０，得ｋ＝－３或是＝１．但是，当ｋ＝１时，秩ｒ（Ａ）＝１，与题设不符．故ｋ＝－３．注：这里我们又一次遇到前言中我们重点介绍的行列式：

Ｄｎ＝

ａ ｘ ｘ ⋯ ｘｘ ａ ｘ ⋯ ｘｘ ｘ ａ ⋯ ｘ

ｘ ｘ ｘ ⋯ ａ

＝［ａ＋（ｎ－１）ｘ］（ａ－ｘ）ｎ－１，

若能记住结论，可大大减少计算步骤．（５）解：设Ｚ＝Ｘ＋Ｙ，则Ｅ（Ｚ）＝Ｅ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｅ（Ｘ）＋Ｅ（Ｙ）＝０．且

Ｄ（Ｚ）＝Ｄ（Ｘ）＋Ｄ（Ｙ）＋２ρＸＹ Ｄ（Ｘ槡 ） Ｄ（Ｙ槡 ）＝１＋４－２＝３．由切比雪夫（Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ）不等式

Ｐ｛｜Ｘ＋Ｙ｜≥６｝＝Ｐ｛｜Ｚ－０｜≥６｝≤Ｄ（Ｚ）

６２＝１１２．

二、选择题

历年考研数学试题详解·数学（四）２－７６

（１）解：由于ｆ′（ａ）＝ｌｉｍｘ→ａｆ′（ｘ）＝ｌｉｍ

ｘ→ａ

ｆ′（ｘ）

ｘ－ａ·（ｘ－ａ）＝０，表明ｘ＝ａ是ｆ（ｘ）的驻点．根

据极限的保号性，在ａ的某个去心邻域０＜｜ｘ－ａ｜＜δ内恒有 ｆ′（ｘ）

ｘ－ａ＜０，从而

ｆ′（ｘ）＞０， 当ｘ＜ａ时，

ｆ′（ｘ）＜０， 当ｘ＞ａ时烅烄

烆 ．

则ｘ＝ａ是ｆ（ｘ）的极大值点．故选（Ｂ）．

（２）解１：图解法．画出ｆ（ｘ）的图形，见图．

ｇ（ｘ）＝∫ｘ

０ｆ（ｕ）ｄｕ

的几何意义是，由０至ｘ一段上的曲边梯形（图中阴影）的面积．显然，该面积有界可排除选项（Ａ），递增可排除选项（Ｂ），连续

增加的．故选（Ｄ）．解２：当０≤ｘ＜１时，积分

ｇ（ｘ）＝∫ｘ

０

１２

（ｔ２＋１）ｄｔ＝１６ｘ３＋１２ｘ

；

当１≤ｘ≤２时，积分

ｇ（ｘ）＝∫１

０

１２

（ｔ２＋１）ｄｔ＋∫ｘ

１

１３

（ｔ－１）ｄｔ＝２３＋１６

（ｘ－１）２．

因为ｇ（１－０）＝ｇ（１＋０）＝ｇ（１）＝２３，所以ｇ（ｘ）在（０，２）内连续．

故选（Ｄ）．（３）解：矩阵Ｂ是由Ａ交换第２，３列且交换第１，４列后得到的，因而

Ｂ＝ＡＰ２Ｐ１（或Ｂ＝ＡＰ１Ｐ２），

于是 Ｂ－１＝Ｐ－１１ Ｐ－１２ Ａ－１＝Ｐ１Ｐ２Ａ－１．（或者 Ｂ－１＝Ｐ－１２ Ｐ－１１ Ａ－１＝Ｐ２Ｐ１Ａ－１）故选（Ｃ）．

（４）解１：（图解法）由图容易观察出：选项（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）均与条件

Ａ∪Ｂ＝Ｂ等价．而当Ａ≠Ｂ时由Ａ∪Ｂ＝Ｂ推导不出选项（Ｄ）．换言之Ａ∪Ｂ＝Ｂ与ＡＢ＝不等价．故选（Ｄ）

解２：（特殊值法）取Ａ＝，Ｂ＝Ω（必然事件），显然选项（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）

成立，而选项（Ｄ）不成立．故选（Ｄ）．

（５）解１：根据定理：相关系数ρＸＹ＝－１，若ａ＜０，

１， 若ａ＞０｛ ．Ｐ｛Ｙ＝ａＸ＋ｂ｝＝１，

再由题设Ｙ＝ｎ－Ｘ 知 ρＸＹ＝１．故选（Ａ）．解２：由题设知Ｘ～犅（ｎ，ｐ），Ｙ～犅（ｎ，ｑ），ｐ＋ｑ＝１，且 Ｙ＝ｎ－Ｘ．则有

２００１年试题参考答案 ２－７７

２

Ｅ（Ｘ）＝ｎｐ，Ｅ（Ｙ）＝ｎｑ，Ｄ（Ｘ）＝ｎｐｑ，Ｄ（Ｙ）＝ｎｐｑ，

ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）＝Ｅ（ＸＹ）－Ｅ（Ｘ）Ｅ（Ｙ）＝Ｅ［Ｘ（ｎ－Ｘ）］－（ｎｐ）（ｎｑ）

＝Ｅ（ｎＸ）－Ｅ（Ｘ２）－ｎ２ｐｑ＝ｎ２ｐ－｛Ｄ（Ｘ）＋［Ｅ（Ｘ））２］｝－ｎ２ｐｑ＝ｎ２ｐ－ｎｐｑ－ｎ２ｐ２－ｎ２ｐｑ＝ｎ２ｐ（１－ｑ）－ｎｐｑ－ｎ２ｐ２＝－ｎｐｑ．

知Ｘ，Ｙ的相关系数 ρＸＹ＝ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）

Ｄ（Ｘ槡 ） Ｄ（Ｙ槡 ）＝－ｎｐｑｎｐｑ

＝－１．

故选（Ａ）．三、解：隐函数ｕ＝ｕ（ｘ）是由下列方程组确定，即

ｕ＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ），

ｅｘｙ－ｘｙ＝２，

ｅｘ＝∫ｘ－ｚ

０

ｓｉｎｔｔ ｄｔ

烅

烄

烆 ．

式中ｘ是自变量，ｕ，ｙ，ｚ都是ｘ的一元函数．对各方程的两边关于ｘ求导数，得

ｄｕｄｘ＝ｆ′ｘ＋ｆ′ｙ

ｄｙｄｘ＋ｆ′ｚ

ｄｚｄｘ

，

ｅｘｙ ｙ＋ｘｄｙｄ（ ）ｘ －ｙ－ｘ

ｄｙｄｘ＝０

，

ｅｘ＝ｓｉｎ（ｘ－ｚ）

ｘ－ｚ １－ｄｚｄ（ ）ｘ

烅

烄

烆 ．

①

②

③

由式②解出ｄｙｄｘ＝－ｙｘ

，由式③解出 ｄｚｄｘ＝１－

ｅｘ（ｘ－ｚ）

ｓｉｎ（ｘ－ｚ）．

再将上两式代入式①中，得

ｄｕｄｘ＝ｆ′ｘ－

ｙｘｆ′ｙ＋ １－

ｅｘ（ｘ－ｚ）

ｓｉｎ（ｘ－ｚ［ ］）ｆ′ｚ．

四、解：将题设１∞型极限化为指数、对数形式计算，有

ｌｉｍｘ→∞

ｘ＋ｃｘ－（ ）ｃ

ｘ＝ｅｘｐｌｉｍ

ｘ→∞

ｘ＋ｃｘ－ｃ（ ）－１｛ ｝ｘ ＝ｅ２ｃ．

对ｆ（ｘ）在区间［ｘ－１，ｘ］上使用拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）中值定理，有

ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ－１）＝ｆ′（ξ），ｘ－１＜ξ＜ｘ．于是 ｌｉｍ

ｘ→∞［ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ－１）］＝ｌｉｍ

ξ→∞ｆ′（ξ）＝ｅ．

由题设ｅ２ｃ＝ｅ，解得ｃ＝１２．五、解：积 分 区 域 如 图 中 的 直 角△ＡＢＣ 所 示．连 结 ＯＢ，记

△ＯＡＢ区域为Ｄ１，△ＯＢＣ区域为Ｄ２，△ＯＢＨ区域为Ｄ３，于是

原式＝Ｄ１

ｙ１＋ｘｅ１２

（ｘ２＋ｙ

２

［ ］）ｄｘｄｙ＋Ｄ２

ｙｄｘｄｙ＋Ｄ２

ｘｙｅ－１２

（ｘ２＋ｙ

２）ｄｘｄｙ，

式中第１个积分为０，因Ｄ１关于Ｏｘ轴对称，被积函数是关于ｙ的奇

函数；第３个积分也为０，因Ｄ２关于Ｏｙ轴对称，被积函数关于ｘ为奇

函数．于是

历年考研数学试题详解·数学（四）２－７８

原式＝Ｄ２

ｙｄｘｄｙ＋２Ｄ３

ｙｄｘｄｙ＝２∫１

０ｄｘ∫

－ｘ

－１ｙｄｙ

＝∫１

０（ｘ２－１）ｄｘ＝－２３．

六、解１：根据所求，关键是要建立利润Ｌ与销售价ｐ之间的函数关系．设销售量为ｑ，则三者之间的关系为Ｌ＝（ｐ－ａ）ｑ．下面来建立销售量ｑ与销售价ｐ之间的函数关系．

因 ｂ－ｐｂ １００％是销售价下降的百分数，ｑ－ｃ

ｃ １００％是销售量增加的百分数，依题意可有

ｂ－ｐｂ ∶１０＝ｑ

－ｃｃ ∶４０，ｑ＝５ｃ－４ｃｂｐ．

则 Ｌ＝（ｐ－ａ）５ｃ－４ｃｂ（ ）ｐ ＝－４ｃｂｐ２＋

（４ａ＋５ｂ）ｃｂ ｐ－５ａｃ．

令 ｄＬｄｐ＝

８ｃｐ＋

（４ａ＋５ｂ）ｃｂ ＝０，解得惟一驻点 ｐ０＝

５８ｂ＋

１２ａ．

由于 ｄ２Ｌｄｐ２＝－８ｃｐ＜０

，表明所求得的ｐ０为极大值点，也是最大值点．代入利润表达式中，

得最大利润为

Ｌ｜ｐ＝ｐ０＝－４ｃｂ５８ｂ＋

１２（ ）ａ

２＋

（４ａ＋５ｂ）ｃｂ

５８ｂ＋

１２（ ）ａ －５ａｃ＝ ｃ１６ｂ

（５ｂ－４ａ）２（元）．解２：设ｐ表示降价后的销售价，ｘ为增加的销售量，Ｌ（ｘ）为总利润，那么

ｘｂ－ｐ＝

０．４ｃ０．１ｂ ｐ＝ｂ－

ｂ４ｘｘ．

从而 Ｌ（ｘ）＝ ｂ－ｂ４ｃｘ－（ ）ａ（ｃ＋ｘ）．等式两边对ｘ求导，得

Ｌ′（ｘ）＝－ｂ２ｃｘ＋３４ｂ－ａ．

令Ｌ′（ｘ）＝＝０，得惟一驻点 ｘ０＝（３ｂ－４ａ）ｃ２ｂ ．

由问题的实际意义或Ｌ″（ｘ０）＝－ｂ２ｃ＜０

可知，为极大值点，也是最大值点，故定价为

ｐ＝ｂ－ ３８ｂ－

１２（ ）ａ ＝５８ｂ＋

１２ａ

（元）

时，得最大利润 Ｌ（ｘ０）＝ｃ１６ｂ

（５ｂ－４ａ）２（元）．

七、证：设φ（ｘ）＝ｅ１－ｘ２

ｆ（ｘ）．由题设和积分中值定理知，存在ξ∈ ０，［ ］１３ ［０，１），使得

φ（１）＝ｆ（１）＝３∫１３

０ｅ１－ｘ

２

ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｅ１－η２

ｆ（η）＝φ（η）．

又因为φ（ｘ）在［η，１］上连续，在（η，１）内可导，根据罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理可知，至少存在一点

ξ∈（η，１）（０，１），使得

φ′（ξ）＝ｅ１－ξ２

［ｆ′（ξ）－２ξｆ（ξ）］＝０，

即 ｆ′（ξ）＝２ξｆ（ξ），ξ∈（η，１）（０，１）．

２００１年试题参考答案 ２－７９

２

八、解：由于ｆ（ｘ）连续，题设方程各项均可导，两边对ｘ求导得

ｔｆ（ｘｔ）＝ｔｆ（ｘ）＋∫ｔ

１ｆ（ｕ）ｄｕ．

令ｘ＝１，由ｆ（１）＝５２，得 ｔｆ（ｔ）＝５２ｔ＋∫

ｔ

１ｆ（ｕ）ｄｕ．

上式右端是可导的，从而ｆ（ｔ）是可导的．将上式两边对ｔ求导得

ｆ（ｔ）＋ｔｆ′（ｔ）＝５２＋ｆ（ｔ） ｆ′（ｔ）＝５２ｔ．

两边积分得ｆ（ｔ）＝５２ｌｎｔ＋Ｃ．由ｆ（１）＝５２

，得 Ｃ＝５２．

于是 ｆ（ｘ）＝５２（ｌｎｘ＋１）．

九、解：依题意，线性方程组Ａｘ＝β有解但不惟一，所以｜Ａ｜＝０，且秩ｒ（Ａ）＝ｒ（Ａβ）．注意到

｜Ａ｜＝１ １ ａ１ ａ １ａ １ １

＝－（ａ－１）２（ａ＋２），

令｜Ａ｜＝０，解得ａ＝１或－２．当ａ＝１时，ｒ（Ａ）≠ｒ（Ａβ），此时方程组无解；

当ａ＝－２时，ｒ（Ａ）＝ｒ（Ａβ），此时方程组的解存在但不惟一．于是只有ａ＝－２适合题意．又（１）中还可解如：对线性方程Ａｘ＝β的增广矩阵作行初等变换，有

Ａｘ＝１ １ ａ １１ ａ １ １ａ

烄

烆

烌

烎１ １ －２→１ １ ａ １０ ａ－１ １－ａ ００ ０ （ａ－１）（ａ＋２） ａ

烄

烆

烌

烎＋２．

因为方程组Ａｘ＝β有解但不惟一，则秩ｒ（Ａ）＝ｒ（Ａβ）＜３，故ａ＝－２．（２）把ａ＝－２代入Ａ中，计算特征多项式

｜Ａ－２Ｉ｜＝１－λ １ －２１ －２－λ １－２ １ １－λ

＝λ（３－λ）（３＋λ）．

得Ａ的特征值分别为λ１＝３，λ２＝－３，λ３＝０．进而可求得它们相应的特征向量分别是

α１＝（１，０，－１）Ｔ，α２＝（１，－２，１）Ｔ，α３＝（１，０，１）Ｔ．将它们分别单位化，得

β１＝１槡２

，０，－１槡（ ）２

Ｔ，β２＝

１槡６

，－２槡６

，－１槡（ ）６

Ｔ，β３＝

１槡３

，１槡３

，１槡（ ）３

Ｔ

．

令 Ｑ＝（β１，β２，β３）＝

１槡２

１槡６

１槡３

０ －２槡６

１槡３

－１槡２

１槡６

１槡

烄

烆

烌

烎３

，则ＱＴＡＱ＝３ ０ ００ －３ ０烄

烆

烌

烎０ ０ ０．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－８０

十、解１：今考虑若有ｋ１，ｋ２，⋯ｋｒ和ｋ使 ∑ｒ

ｉ＝１ｋｉαｉ＋ｋβ＝０， （）

因为β是题设方程组ＡＸ＝０的解，且β≠０，故 αＴｉβ＝０即βＴαｉ＝０（ｉ＝１，２，⋯，ｒ）

两边左乘βＴ有 ∑ｒ

ｉ＝１βＴαｉ＋ｋβＴβ＝０． 从而 ｋβＴβ＝０，又β≠０，知ｋ＝０．

又由（）有∑ｒ

ｉ＝１ｋｉαｉ＝０，由｛αｉ｝线性无关性，知ｋｉ＝０（ｉ＝１，２，⋯，ｒ）．

而再由β≠０，知ｋ＝０．故 ｛α１，α２，⋯，αｒ，β｝线性无关．解２：设有一组数ｋ１，ｋ２，⋯，ｋｒ，ｋ，使得

ｋ１α１＋ｋ２α２＋⋯＋ｋｒαｒ＋ｋβ＝０． （）

把β＝（ｂ１，ｂ２，⋯，ｂｎ）Ｔ，代入方程组中，并用向量形式可表示为

αＴｉβ＝０ （ｉ＝１，２，⋯，ｒ）． （）

在式（）两边左乘βＴ得

ｋ１βＴα１＋ｋ２βＴα２＋⋯＋ｋｒβＴαｒ＋ｋβＴβ＝０． （）

由式（）和式（）得ｋβＴβ＝０，但βＴβ≠０，故ｋ＝０．于是式（）变为ｋ１α１＋ｋ２α２＋⋯＋ｋｒαｒ＝０．由于向量组α１，α２，⋯，αｎ 线性无关，所以

ｋ１＝ｋ２＝⋯＝ｋｒ＝０，因此，向量组α１，α２，⋯，αｒ，β线性无关．十一、解：设ｎ为所求的箱数，且设Ｘｉ（ｉ＝１，２，⋯，ｎ）为第ｉ箱的重量．依题设知Ｅ（Ｘｉ）＝５０， Ｄ（Ｘｉ槡 ）＝５．且将Ｘ１，Ｘ２，⋯，Ｘｎ 视为独立同分布随机变量．

又ｎ箱的重量为Ｙｎ＝∑ｎ

ｉ＝１Ｘｉ，易算得 Ｅ（Ｙｎ）＝５０ｎ， Ｄ（Ｙｎ槡 ）＝５槡ｎ．

据列维—林德伯格（Ｌｅｖｙ－Ｌｉｎｄｂｅｒｇ）中心极限定理，Ｙｎ近似服从正态分布Ｎ（５０ｎ，２５ｎ）．依题意ｎ须满足 Ｐ｛Ｙｎ≤５００｝＞０．９７７， 将Ｙｎ≤５００变形以能使用定理结论即有

Ｐ｛Ｙｎ≤５００｝＝ＰＹｎ－５０ｎ５槡ｎ

≤５００－５０ｎ５槡｛ ｝ｎ

≈Φ１００－１０ｎ槡（ ）ｎ

＞０．９７７＝Φ（２）．

由此得知 １０００－１０ｎ槡ｎ

＞２，即１０ｎ 槡－２ｎ－１０００＜０．

设 槡ｎ＝ｘ，则有 １０ｘ２－２ｘ－１０００＜０，解得 ｘ＜９．９（舍去负的下界）．因此 ｎ＝ｘ２＜９８．０１，即最多可以装９８箱可保障不超载的概率大于０．９７７．

十二、解１：令三角形区域为Ｄ，其面积ＳＤ ＝１２

（如图），则

（Ｘ，Ｙ）的联合概率密度ｆ（ｘ，ｙ）＝２， （ｘ，ｙ）∈Ｄ，

０， 其他烅烄

烆 ．

且 ｆＸ（ｘ）＝∫＋∞

－∞ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝∫

１

１－ｘ２ｄｙ，０＜ｘ＜１，

０烅烄

烆 ， 其他

＝２ｘ，０＜ｘ＜１，

０， 其他烅烄

烆 ．

２００１年试题参考答案 ２－８１

２

由上我们可分别求得Ｘ的数学期望和方差：

Ｘ的数学期望 Ｅ（Ｘ）＝∫＋∞

－∞ｘｆｘＸｄｘ＝∫

１

０ｘ·２ｘｄｘ＝２３

；

又 Ｅ（Ｘ２）＝＝∫＋∞

－∞ｘ２ｆＸ（ｘ）ｄｘ＝∫

１

０２ｘ３ｄｘ＝１２．

则Ｘ的方差 Ｄ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ２）－［Ｅ（Ｘ）］２＝１２－４９＝

１１８．

同理 Ｅ（Ｙ）＝２３， Ｄ（Ｙ）＝ １１８．

又 Ｅ（ＸＹ）＝Ｄ

ｘｙｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∫１

０ｘｄｘ∫

１

１－ｘｙｄｙ＝ ５１２

，

及 ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）＝Ｅ（ＸＹ）－Ｅ（Ｘ）Ｅ（Ｙ）＝ ５１２－２３

·２３＝－

１３６

，

故 Ｄ（Ｕ）＝Ｄ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｄ（Ｘ）＋Ｄ（Ｙ）＋２ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）＝ １１８＋１１８－

２３６＝

１１８．

解２：随机变量Ｘ和Ｙ的联合密度为

ｆ（ｘ，ｙ）＝２，若（ｘ，ｙ）∈Ｇ，

０，若（ｘ，ｙ）Ｇ｛ ．其中Ｄ是以点（０，１），（１，０），（１，１）为顶点的三角形区域（见上右图）．

于是，所求数学期望和方差转化为计算两个二重积分．又因区域Ｄ关于ｙ＝ｘ对称，故

Ｇ

ｘｄｘｄｙ＝Ｇｙｄｘｄｙ，这样可有

Ｅ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｇ

（ｘ＋ｙ）ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝４Ｇ

ｘｄｘｄｙ＝４∫１

０ｄｘ∫

１

１－ｘｘｄｙ＝４３

，

［Ｅ（Ｘ＋Ｙ）］２＝Ｇ

（ｘ＋ｙ）２ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２Ｇ

（ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２）ｄｘｄｙ

＝４Ｇ

ｘ２ｄｘｄｙ＋４Ｇ

ｘｙｄｘｄｙ＝４∫１

０ｘ２ｄｘ∫

１

１－ｘｄｙ＋４∫

１

０ｘｄｘ∫

１

１－ｘｙｄｙ

＝１＋５６＝１１６．

故 Ｄ（Ｕ）＝Ｄ（Ｘ＋Ｙ）＝［Ｅ（Ｘ＋Ｙ）］２－［Ｅ（Ｘ＋Ｙ）］２＝１１６－１６９ ＝

１１８．

解３：三角形区域为Ｄ＝｛ｘ，ｙ｜０≤ｘ≤１，０≤ｙ≤１，ｘ＋ｙ≥１｝，随机变量Ｘ和Ｙ 的联合

密度为：

ｆ（ｘ，ｙ）＝２，（ｘ，ｙ）∈Ｄ，

０，（ｘ，ｙ）Ｄ｛ ．

以ｆ（ｕ）表示Ｕ＝Ｘ＋Ｙ的概率密度．当ｕ＜１或ｕ＞２时，显然ｆ（ｕ）＝０．设１≤ｕ≤２，当０≤ｘ≤１且０≤ｕ－ｘ≤１时，ｆ（ｘ，ｕ，－ｘ）＝２，否则ｆ（ｘ，ｕ－ｘ）＝０．则由随机变量之和的概率密度公式，有

ｆ（ｕ）＝∫∞

－∞ｆ（ｘ，ｕ－ｘ）ｄｘ＝∫

１

ｕ－１２ｄｘ＝２（２－ｕ）．

因此

历年考研数学试题详解·数学（四）２－８２

Ｅ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｅ（Ｕ）＝∫∞

－∞ｕｆ（ｕ）ｄｕ＝２∫

２

１ｕ（２－ｕ）ｄｕ＝４３

；

Ｅ（Ｘ＋Ｙ）２＝Ｅ（Ｕ２）＝∫∞

－∞ｕ２ｆ（ｕ）ｄｕ＝２∫

２

１ｕ２（２－ｕ）ｄｕ＝１１６

；

Ｅ（Ｕ）＝Ｅ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｅ（Ｘ＋Ｙ）２－［Ｅ（Ｘ＋Ｙ）］２＝１１６－１６９ ＝

１１８．

２００２年试题参考答案

一、填空题

（１）解：注意１∞型极限公式ｌｉｍｕ（ｘ）ｖ（ｘ）＝ｅｌｉｍ［ｕ（ｘ）－１］ｖ（ｘ），

原式＝ｌｎｅｘｐｌｉｍｎ→∞

（ｎ－２ｎａ＋１－ｎ＋２ｎａ）ｎｎ（１－２ａ［ ］｛ ｝） ＝ １

１－２ａ．

（２）解：依题意可有 ｆ（ｘ）＝（ｌｎ２ｘ）′＝２ｌｎｘｘ ＝２ｘｌｎｘ．

故 原式＝∫ｘｄｆ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ）－∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝２ｌｎｘ－ｌｎ２ｘ＋Ｃ．注：由于２ｌｎｘ＝ｌｎｘ２，故答案亦可为ｌｎｘ２－ｌｎ２ｘ＋Ｃ．

（３）解：注意到 Ａ２－３Ａ＋２Ｉ＝（Ａ－２Ｉ）（Ａ－Ｉ），则 Ｂ－１＝（Ａ－Ｉ）－１（Ａ－２Ｉ）－１．

直接代入计算得 Ｂ－１＝０ １／２（ ）－１ －１

．

（４）解：注意到 ｄｅｔ（αＴ１，αＴ２，αＴ３）＝ａ ｂ ００ ｃ ａｃ ０ ｂ

＝２ａｂｃ，由题设α１，α２，α３线性无关，

故 ａｂｃ≠０．（５）解：由题设有Ｘ和Ｙ的边缘分布为

Ｘ～０ １

０．４ ０．

烄

烆

烌

烎６， Ｙ～

－１ ０ １

０．１５ ０．５ ０．

烄

烆

烌

烎３５，

则 Ｅ（Ｘ）＝０．６，Ｅ（Ｙ）＝０．２，Ｅ（ＸＹ）＝－１×０．０８－１×０．２＝０．１２．故

ρ＝ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）

Ｄ（Ｘ槡 ） Ｄ（Ｙ槡 ）＝Ｅ

（ＸＹ）－Ｅ（Ｘ）Ｅ（Ｙ）

Ｄ（Ｘ槡 ） Ｄ（Ｙ槡 ）＝０．

二、选择题

（１）解：因为ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ和ｘ＝ｂ处无连续性题设，所以介值（零点）定理、罗尔（Ｒｏｌｌｅ）

定理和拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）中值定理不成立，选项（Ａ）、（Ｃ）和（Ｄ）不真．实际上，因为ｆ（ｘ）在点ξ处可导，则必连续，故（Ｂ）正确．故选（Ｂ）．

（２）解：（特值法）取ｆ（ｘ）＝ｘ，选项（Ａ）、（Ｂ）的积分为∫ｘ

０ｔ２ｄｔ＝１３ｘ

３（奇函数）．

选项（Ｃ）的积分为∫ｘ

０２ｔ２ｄｔ＝２３ｘ

３（奇函数）．它们均不是偶函数．

故选（Ｄ）．

２００２年试题参考答案 ２－８３

２

注：事 实 上，令 Ｆ（ｘ）＝∫ｘ

０ｔ［ｆ（ｔ）＋ｆ（－ｔ）］ｄｔ，在 积 分 中 用 变 量 代 换ｔ＝－ｕ，容 易 证 明

Ｆ（－ｘ）＝Ｆ（ｘ），即Ｆ（ｘ）为偶函数．（３）解：（逆推法）因为ＣＣ＝｜Ｃ｜Ｉ＝｜Ａ｜｜Ｂ｜Ｉ，故只需对四个选项据题设计算Ｃ与Ｃ的

乘积，检验它是否等于｜Ａ｜｜Ｂ｜Ｉ．由于

ＣＣ＝Ａ Ｏ（ ）Ｏ Ｂ

｜Ｂ｜Ａ ＯＯ ｜Ａ｜Ｂ

烄

烆

烌

烎＝｜Ｂ｜ＡＡ ＯＯ ｜Ａ｜ＢＢ

烄

烆

烌

烎

＝｜Ｂ｜｜Ａ｜Ｉｎ

｜Ａ｜｜Ｂ｜Ｉ烄

烆

烌

烎ｎ＝｜Ａ｜｜Ｂ｜Ｉ．

故选（Ｄ）．（４）解：（特值法） 今设Ｘｉ～Ｕ（０，２）（ｉ＝１，２），即服从（０，２）上的均匀分布，且相互独

立，则其概率密度及分布函数分别为：

ｆｉ（ｘ）＝１２

，若０≤ｘ≤２，

０， 其他烅烄

烆 ．Ｆｉ（ｘ）＝

０， 若ｘ＜０，

ｘ，若０≤ｘ＜２，

１， 若ｘ≥２烅烄

烆 ．

（ｉ＝１，２）

容易验证选项（Ａ）、（Ｃ）、（Ｄ）均不真，只有（Ｂ）正确，故选（Ｂ）．注：顺便指出：选项（Ｂ）的正确性可证如：由Ｘ１、Ｘ２的独立性有

Ｆ１（ｘ）Ｆ２（ｘ）＝Ｐ｛Ｘ１≤ｘ｝Ｐ｛Ｘ２≤ｘ｝＝Ｐ｛Ｘ１≤ｘ，Ｘ２≤ｘ｝．注意到取Ｘ＝ｍａｘ（Ｘ１，Ｘ２），并由于Ｐ｛Ｘ１≤ｘ，Ｘ２≤ｘ｝＝Ｐ｛ｍａｘ（Ｘ１，Ｘ２）≤ｘ｝，可知Ｆ１（ｘ）Ｆ２（ｘ）必为

随机变量Ｘ的分布函数，即ＦＸ（ｘ）＝Ｐ｛Ｘ≤ｘ｝．

（５）解：由列维－林德伯格（Ｌｅｖｙ－Ｌｉｎｄｂｅｒｇ）中心极限定理成立的条件之一是，Ｘ１，Ｘ２，

⋯，Ｘｎ 具有相同的、有限的数学期望和非零方差，而选项（Ａ）、（Ｂ）和（Ｄ）都未能全面指出这些

条件，皆应否定．故选（Ｃ）．

三、解１：利用无穷小量代换，ｘ→０时１－ｃｏｓｘ～ｘ２

２，则有

原式＝２ｌｉｍｘ→０

∫ｘ

０∫ｕ２

０ａｒｃｔａｎ（１＋ｔ）ｄ［ ］ｔｄｕ

ｘ３ ＝２ｌｉｍｘ→０

∫ｘ２

０ａｒｃｔａｎ（１＋ｔ）ｄｔ

３ｘ２

＝２ｌｉｍｘ→０

２ｘａｒｃｔａｎ（１＋ｘ２）６ｘ ＝２３

·π４＝

π６．

解２：利用Ｌ′Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则可有

ｌｉｍｘ→０

∫ｘ

０∫ｕ２

０ａｒｃｔａｎ（１＋ｔ）ｄ［ ］ｔｄｕｘ（１－ｃｏｓｔ） ＝ｌｉｍ

ｘ→０

∫ｘ２

０ａｒｃｔａｎ（１＋ｔ）ｄｔ

１－ｃｏｓｘ＋ｘｓｉｎｘ ＝ｌｉｍｘ→０２ｘａｒｃｔａｎ（１＋ｘ２）ｓｉｎｘ＋ｓｉｎｘ＋ｘｃｏｓｘ

＝２ｌｉｍｘ→０

［ａｒｃｔａｎ（１＋ｘ２）］ｌｉｍｘ→０

１２ｓｉｎｘｘ ＋ｃｏｓｘ

＝２·π４

·１３＝

π６．

四、解１：将ｘｅｘ－ｙｅｙ＝ｚｅｚ两边微分，得

ｅｘｄｘ＋ｘｅｘｄｘ－ｅｙｄｙ－ｙｅｙｄｙ＝ｅｚｄｚ＋ｚｅｚｄｚ，

历年考研数学试题详解·数学（四）２－８４

从中解得 ｄｚ＝（１＋ｘ）ｅｘｄｘ－（１＋ｙ）ｅｙｄｙ

（１＋ｚ）ｅｚ（）

将ｕ＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）两边微分，且把式（）代入，得

ｄｕ＝ｆ′ｘｄｘ＋ｆ′ｙｄｙ＋ｆ′ｚｄｚ＝ ｆ′ｘ＋ｆ′ｚｘ＋１ｚ＋１ｅ

ｘ－（ ）ｚ ｄｘ＋ ｆ′ｙ－ｆ′ｚｙ＋１ｚ＋１ｅｙ－（ ）ｚ ｄｙ．

解２：设Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘｅｘ－ｙｅｙ－ｚｅｚ，则

Ｆ′ｘ＝（ｘ＋１）ｅｘ， Ｆ′ｙ＝－（ｙ＋１）ｅｙ， Ｆ′ｚ＝－（ｚ＋１）ｅｚ．

故 ｚｘ＝

Ｆ′ｘＦ′ｚ＝ｘ＋１ｚ＋１ｅ

ｘ－ｚ， ｚｙ＝

Ｆ′ｙＦ′ｚ＝ｙ＋１ｚ＋１ｅ

ｙ－ｚ．

ｚｘ＝ｆ′ｘ＋ｆ′ｚ

ｚｘ＝ｆ′ｚ＋ｆ′ｚ

ｘ＋１ｚ＋１ｅ

ｘ－ｚ， ｕｙ＝ｆ′ｙ＋ｆ′ｚ

ｚｙ＝ｆ′ｙ＋ｆ′ｚ

ｙ＋１ｚ＋１＝ｅ

ｙ－ｘ．

从而可有

ｄｕ＝ｕｘｄｘ＋ｕｙｄｙ＝ ｆ′ｘ＋ｆ′ｚ

ｘ＋１ｚ＋１ｅ

ｘ－（ ）ｚ ｄｘ＋ ｆ′ｙ－ｆ′ｚｙ＋１ｚ＋１ｅｙ－（ ）ｚ ｄｙ．

五、解：令ｕ＝ｓｉｎ２ｘ，则有ｓｉｎｘ＝槡ｕ，ｘ＝ａｒｃｓｉｎ槡ｕ，ｆ（ｘ）＝ａｒｃｓｉｎ槡ｕ槡ｘ

．于是

∫ 槡ｘ１－槡 ｘ

ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ 槡ｘ１－槡 ｘ

ｄｘ＝∫ 槡ｘ１－槡 ｘ

ｄ（１－ｘ）＝－２∫ａｒｃｓｉｎ槡ｘｄ １－槡 ｘ

＝－２∫ １－槡 ｘａｒｃｓｉｎ槡ｘ＋２∫ １－槡 ｘ １１－槡 ｘ

ｄ槡ｘ

＝－２ １－槡 ｘａｒｃｓｉｎ槡ｘ＋２槡ｘ＋Ｃ．

六、解：设Ｄｆ（ｕ，ｖ）ｄｕｄｖ＝Ａ，则题设式化为ｆ（ｘ，ｙ）＝ １－ｘ２－ｙ槡 ２－８Ａπ．

积分得

Ｄｆ（ｕ，ｖ）ｄｘｄｙ＝

Ｄ

１－ｘ２－ｙ槡 ２ｄｘｄｙ－８ＡπＤ

ｄｘｄｙ，

这里注意到Ｄ

ｄｘｄｙ即Ｄ的面积为π８．

从而有

Ａ＝Ｄ

１－ｘ２－ｙ槡 ２ｄｘｄｙ－Ａ，

因此

Ａ＝１２Ｄ

１－ｘ２－ｙ槡 ２ｄｘｄｙ （用极坐标变换）

＝１２∫π２

０ｄθ∫

ｓｉｎθ

０１－ｒ槡 ２·ｒｄｒ

＝１６∫π２

０（１－ｃｏｓ３θ）ｄθ＝１６

π２－（ ）２３ ．

故 ｆ（ｘ，ｙ）＝ １－ｘ２－ｙ槡 ２－４３ππ２－（ ）２３ ．

七、解：（１）对Ｒ（ｐ）＝ｐＱ（ｐ）的两边关于ｐ求导，得

２００２年试题参考答案 ２－８５

２

ｄＲｄｐ＝Ｑ＋ｐ

ｄＱｄｐ＝Ｑ １＋

ｐＱｄＱｄ（ ）ｐ＝Ｑ（１－η）．

（２）由公式及题设有

ＥＲＥｐ＝

ｐＲｄＲｄｐ＝

ｐＰＱ

（１－η）＝１－η＝１－２ｐ２

１９２－ｐ２＝１９２－３ｐ

２

１９２－ｐ２．

故 ＥＲＥｐ ｐ＝６

＝１９２－３·６２

１９２－６２＝７１３≈０．５４．

它的经济意义：当ｐ＝６时，若价格上涨１％，则总收益将增加０．５４％．八、证：因为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，所以由最值定理，知ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上有最大值Ｍ 和

最小值ｍ，且ｍ≤ｆ（ｘ）≤Ｍ．

又因ｇ（ｘ）＞０，且∫ｂ

ａｇ（ｘ）ｄｘ＞０，故有

ｍｇ（ｘ）≤ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）≤Ｍｇ（ｘ），

因此 ∫ｂ

ａｍｇ（ｘ）ｄｘ≤∫

ｂ

ａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ≤∫

ｂ

ａＭｇ（ｘ）ｄｘ，

从而 ｍ ≤∫ｂ

ａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ

∫ｂ

ａｇ（ｘ）ｄｘ

≤Ｍ．

由连续函数的介值定理知，存在ξ∈［ａ，ｂ］，使

ｆ（ξ）＝∫ｂ

ａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ

∫ｂ

ａｇ（ｘ）ｄｘ

，

即 ∫ｂ

ａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）∫

ｂ

ａｇ（ｘ）ｄｘ．

九、解：（１）对方程组（Ⅰ）的系数矩阵作行初等交换，有

Ａ＝２ ３ －１ ０（ ）１ ２ １ －１

→１ ０ －５ ３（ ）０ １ ３ －２

．

由此得方程组（Ⅰ）的同解方程组ｘ１＝５ｘ３－３ｘ４，

ｘ２＝－３ｘ３＋２ｘ４烅烄

烆 ．则由该方程组得方程组（Ⅰ）的一个

基础解系为

β１＝（５，－３，１，０）Ｔ，β２＝（－３，２，０，１）Ｔ．（２）为求方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的非零公共解，只需把（Ⅱ）的通解

ｘ１ｘ２ｘ３ｘ

烄

烆

烌

烎４

＝ｋ１α２＋ｋ２α２＝

２ｋ１－ｋ２－ｋ１＋２ｋ２

（ａ＋２）ｋ１＋４ｋ２ｋ１＋（１＋８）ｋ

烄

烆

烌

烎２

（ｋ１，ｋ２为任意常数）．

代入方程组（Ⅰ）中经整理得（ａ＋１）ｋ１＝０，

（ａ＋１）ｋ１－（ａ＋１）ｋ２＝０烅烄

烆 ．其系数行列式为

历年考研数学试题详解·数学（四）２－８６

ａ＋１ ０ａ＋１ －（ａ＋１）

＝－（ａ＋１）２．

当ａ≠－１时，方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）无非零公共解．当ａ＝－１时，方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解，其全部公共解为

（ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４）Ｔ＝ｋ１（２，－１，１，１）Ｔ＋ｋ２（－１，２，４，７）Ｔ（ｋ１，ｋ２为不全为零的任意常数）．（２）还可解如：设方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的公共解为η，则有数ｋ１，ｋ２，ｋ３，ｋ４，使得

η＝ｋ１β１＋ｋ２β２＋ｋ３α１＋ｋ４α２．由此得线性方程组

（Ⅲ）

ｋ１ ＋２ｋ３ －ｋ４＝０，

－ｋ２ －ｋ３ ＋２ｋ４＝０，

－２ｋ１－３ｋ２＋（ａ＋２）ｋ３ ＋４ｋ４＝０，

３ｋ１－５ｋ２ ＋ｋ３＋（ａ＋８）ｋ４＝０

烅

烄

烆 ．方程组（Ⅲ）的系数矩阵作行初等变换，有

１ ０ ２ －１０ －１ －１ ２－２ －３ Ａ＋２ ４３ －５ １ ａ

烄

烆

烌

烎＋８

→

１ ０ －２ １０ １ １ －２０ ０ ａ＋１ ００ ０ ０ ａ

烄

烆

烌

烎＋１

．

由此可知，当ａ≠－１时，方程组（Ⅲ）仅有零解，故方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）无非零公共解．当ａ＝－１时，方程组（Ⅲ）的同解方程组为

ｋ１＝２ｋ３－ｋ４，

ｋ２＝－ｋ３＋２ｋ４烅烄

烆 ．令ｋ３＝ｃ１，ｋ４＝ｃ２，解方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的非零公共解为

η＝ｃ１（２，－１，１，１）Ｔ＋ｃ２（－１，２，４，７）Ｔ，其中ｃ１，ｃ２是不全为零的任意常数．十、解：矩阵Ａ的特征多项式

｜Ａ－λＩ｜＝ａ－λ １ １１ ａ－λ －１１ －１ ａ－λ

＝（１＋ａ－λ）２（ａ－２－λ）．

故得矩阵Ａ的特征值λ１＝λ２＝ａ＋１，λ３＝ａ－２．进而可得与之相应的三个线性无关的特征向量

α１＝（１，１，０）Ｔ， α２＝（１，０，１）Ｔ， α３＝（－１，１，１）Ｔ．

令Ｐ＝（α１，α２，α３）＝１ １ －１１ ０ １烄

烆

烌

烎０ １ １．则Ｐ－１ＡＰ＝

ａ＋１ａ＋１

ａ

烄

烆

烌

烎－２．

因此 Ａ～ｄｉａｇ｛ａ＋１，ａ＋１，ａ＋１｝，所以它们具有相同的特征多项式．

故 ｜Ａ－Ｉ｜＝｜ｄｉａｇ｛ａ＋１，ａ＋１，ａ＋１｝－Ｉ｜＝ａ ０ ００ ａ ００ ０ ａ－３

＝ａ２（ａ－３）．

十一、证：由于题设事件Ａ 的概率不等于０和１，知题中的两个条件概率Ｐ（Ｂ｜Ａ）和

２００２年试题参考答案 ２－８７

２

Ｐ（Ｂ｜珚Ａ）都存在．（１）必要性．由事件Ａ与Ｂ独立，知事件Ａ和Ｂ也独立，因此

Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ）， Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ），

从而 Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ｜Ａ）．（２）充分性．由Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ｜Ａ）及条件概率公式可有

Ｐ（ＡＢ）

Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ａ｜Ｂ）

Ｐ（Ａ） ＝Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）

１－Ｐ（Ａ），

从而 Ｐ（ＡＢ）［１－Ｐ（Ａ）］＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ）Ｐ（ＡＢ），故 Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）．因此事件Ａ和Ｂ独立．

十二、解１：参数为λ的指数分布均值（期望）为１λ

，故题设的分布参数λ＝ １Ｅ（Ｘ）＝

１５．

依题意Ｙ＝ｍｉｎ｛Ｘ，２｝．显然，对于ｙ＜０，Ｆ（ｙ）＝０；对于ｙ≥２，Ｆ（ｙ）＝１．

当０≤ｙ＜２时，Ｆ（ｙ）＝Ｐ｛Ｙ≤ｙ｝＝Ｐ｛ｍｉｎ｛Ｘ，２｝≤ｙ｝＝Ｐ｛Ｘ≤ｙ｝＝１－ｅ－ｙ５．

故 Ｆ（ｙ）＝

０，

１－ｅ－ｙ５，

１

烅烄

烆 ，

ｙ＜０，

０≤ｙ＜２，

ｙ≥２．

解２：同解１知λ＝１５，且Ｙ＝ｍｉｎ｛Ｘ，２｝，因为

Ｆ（ｙ）＝Ｐ｛Ｙ≤ｙ｝＝Ｐ（ｍｉｎ｛Ｘ，２｝≤ｙ）＝１－Ｐ（ｍｉｎ｛Ｘ，２｝＞ｙ）

＝１－Ｐ｛Ｘ＞ｙ，２＞Ｙ｝＝１－Ｐ｛Ｘ＞ｙ｝Ｐ｛Ｙ＜２｝，

当ｙ≥２时，Ｐ｛Ｙ＜２｝＝０，则Ｆ（ｙ）＝１；当ｙ＜２时，Ｐ｛Ｙ＜２｝＝１，则

Ｆ（ｙ）＝１－Ｐ｛Ｘ＞ｙ｝＝Ｐ｛Ｘ≤ｙ｝＝１－ｅ－

ｙ５，

０｛ ，

ｙ≥０，

ｙ＜０．

故 Ｆ（ｙ）＝

０，

１－ｅ－ｙ５，

１

烅烄

烆 ，

ｙ＜０，

０≤ｙ＜２，

ｙ≥０．

２００３年试题参考答案

一、填空题

（１）解：本题属１∞ 型未定式，化为指数函数求极限即可．

ｌｉｍｘ→０

［１＋ｌｎ（１＋ｘ）］２ｘ ＝ｌｉｍ

ｘ→０ｅ２ｘｌｎ

［１＋ｌｎ（１＋ｘ）］＝ｅｌｉｍｘ→０２ｌｎ［１＋ｌｎ（１＋ｘ）］

ｘ

＝ｅｌｉｍｘ→０２ｌｎ（１－ｘ）ｘ ＝ｅ２．

注：对于１∞ 型未定式ｌｉｍｆ（ｘ）ｇ（ｘ）的极限，也可直接用公式（关于此公式可详见前文）

ｌｉｍｆ（ｘ）ｇ（ｘ）（１∞）＝ｅｌｉｍ［ｆ（ｘ）－１］ｇ（ｘ）

进行计算，因此本题也可这样求解：

ｌｉｍｘ→０

［１＋ｌｎ（１＋ｘ）］２ｘ ＝ｅｌｉｍｘ→０

２ｘｌｎ

（１＋ｘ）＝ｅ２．

（２）解：对称区间上的积分应注意利用被积函数的奇偶性，注意到∫１

－１ｘｅ－｜ｘ｜ｄｘ＝０，则

历年考研数学试题详解·数学（四）２－８８

∫１

－１（ｘ ＋ｘ）ｅ－｜ｘ｜ｄｘ＝∫

１

－１ｘｅ－｜ｘ｜ｄｘ＋∫

１

－１ｘｅ－｜ｘ｜ｄｘ

＝∫１

－１ｘｅ－｜ｘ｜ｄｘ＝２∫

１

－１ｘｅ－ｘｄｘ＝－２∫

１

０ｘｄｅ－ｘ

＝－２ｘｅ－ｘ１

０－∫

１

０ｅ－ｘｄ［ ］ｘ ＝２（１－２ｅ－１）．

（３）解：本题积分区域为全平面，但只有当０≤ｘ≤１，０≤ｙ－ｘ≤１时，被积函数才不为

零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．

Ｉ＝Ｄｆ（ｘ）ｇ（ｙ－ｘ）ｄｘｄｙ＝

０≤ｘ≤１，０≤ｙ－ｘ≤１

ａ２ｄｘｄｙ

＝ａ２∫１

０ｄｘ∫

ｘ＋１

ｘｄｙ＝ａ２∫

１

０［（ｘ＋１）－ｘ］ｄｘ＝ａ２．

注：若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的

公共部分上积分即可．（４）解：先化简从ＡＢ＝２Ａ＋Ｂ中确定（Ａ－Ｅ）－１．由ＡＢ＝２Ａ＋Ｂ，知

ＡＢ－Ｂ＝２Ａ＝２Ａ－２Ｅ＋２Ｅ，

即 （Ａ－Ｅ）Ｂ－２（Ａ－Ｅ）＝２Ｅ，或 （Ａ－Ｅ）（Ｂ－２Ｅ）＝２Ｅ，

则 （Ａ－Ｅ）·１２

（Ｂ－２Ｅ）＝Ｅ， 由此可得

（Ａ－Ｅ）－１＝１２（Ｂ－２Ｅ）＝

０ ０ １０ １ ０烄

烆

烌

烎１ ０ ０．

注：本题实质上是已知矩阵等式求逆的问题．应先分解出因式Ａ－Ｅ，写成逆矩阵的定义形式，从而确定

（Ａ－Ｅ）的逆矩阵．（５）解：这里ααＴ为ｎ阶矩阵，αＴα＝２ａ２为数，直接通过ＡＢ＝Ｅ进行计算并注意利用

乘法的结合律即可．由题设，有

ＡＢ＝（Ｅ－ααＴ）Ｅ＋１ａαα（ ）Ｔ ＝Ｅ－ααＴ＋１ａααＴ－１ａαα

Ｔ·ααＴ

＝Ｅ－ααＴ＋１ａααＴ－１ａα

Ｔ（αＴα）αＴ＝Ｅ－ααＴ＋１ａααＴ＋－２ａααＴ

＝Ｅ＋ －１－２ａ＋１（ ）ａ ααＴ＝Ｅ．

故有 －１－２ａ＋１ａ＝０，即２ａ２＋ａ－１＝０，解得ａ＝１２

，ａ＝－１．由于ａ＜０，故ａ＝－１．

（６）解：利用随机变量的数学期望与相关系数公式进行计算即可．因为

Ｅ（Ｘ＋Ｙ）２＝Ｅ（Ｘ２）＋２Ｅ（ＸＹ）＋Ｅ（Ｙ２）

＝４＋２［ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）＋Ｅ（Ｘ）·Ｅ（Ｙ）］

＝４＋２ρＸＹ· Ｄ（Ｘ槡 ）· Ｄ（Ｙ槡 ）

＝４＋２·０．５·２＝６．

２００３年试题参考答案 ２－８９

２

注：注意逆向思维，换言之某些公式学会逆用，本题核心为利用公式

Ｅ（ＸＹ）＝ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）＋Ｅ（Ｘ）·Ｅ（Ｙ）．二、选择题

（１）解：先考虑是否有水平渐近线，若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线，而

是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点．当ｘ→±∞时，极限ｌｉｍ

ｘ→±∞ｙ均不存在，故不存在水平渐近线；

又因为 ｌｉｍｘ→∞

ｙｘ＝ｌｉｍｘ→∞ｅ

１ｘ２＝１，ｌｉｍ

ｘ→∞（ｘｅ

１ｘ２－ｘ）＝０．故有斜渐近线ｙ＝ｘ．

另外，在ｘ＝０处ｙ＝ｘｅ１ｘ２ 无定义，且ｌｉｍ

ｘ→∞ｘｅ

１ｘ２＝∞，可见ｘ＝０为铅直渐近线．

故曲线ｙ＝ｘｅ１ｘ２既有铅直又有斜渐近线，应选（Ｄ）．

（２）解：被积函数含绝对值，应当作分段函数处理，再利用ｆ（ｘ）在ｘ＝１处左右导数定义

讨论即可．因为

ｌｉｍｘ→１＋ｆ（ｘ）－ｆ（１）

ｘ－１ ＝ｌｉｍｘ→１＋

ｘ３－１ｘ－１

·φ（ｘ）＝３φ（１）．

ｌｉｍｘ→１＋ｆ（ｘ）－ｆ（１）

ｘ－１ ＝－ｌｉｍｘ→１＋

ｘ３－１ｘ－１

·φ（ｘ）＝－３φ（１）．

可见，ｆ（ｘ）在ｘ＝１处可导的充分必要条件是

３φ（１）＝－３φ（１）φ（１）＝０．故选（Ａ）．注：函数表达式中含有绝对值、取最值符号（ｍａｘ，ｍｉｎ）等，常应当作分段函数处理．一般地，函数ｇ（ｘ）＝｜ｘ－ｘ０｜φ（ｘ）在点ｘ＝ｘ０处可导的充要条件是φ（ｘ０）＝０．

（３）解：函数可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论．可微函数ｆ（ｘ，ｙ）在点（ｘ０，ｙ０）取得极小值，据函数取极值的必要条件可知ｆ′ｙ（ｘ０，ｙ０）＝

０，即ｆ（ｘ０，ｙ）在ｙ＝ｙ０处的导数等于零，故应选（Ａ）．注：本题也可用特值＋排除法考虑，取ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ２＋ｙ２，在（０，０）处可微且取得极小值，并且有ｆ（０，ｙ）

＝ｙ２，可排除（Ｂ）、（Ｃ）、（Ｄ），故正确选项为（Ａ）．（４）解：利用相似矩阵有相同的秩计算，秩ｒ（Ａ－２Ｅ）与ｒ（Ａ－Ｅ）之和等于秩ｒ（Ｂ－２Ｅ）

与ｒ（Ｂ－Ｅ）之和．因为矩阵Ａ相似于Ｂ，于是有矩阵Ａ－２Ｅ与矩阵Ｂ－２Ｅ相似，矩阵Ａ－Ｅ与矩阵Ｂ－Ｅ

相似，且相似矩阵有相同的秩，而

ｒ（Ｂ－２Ｅ）＝ｒ－２ ０ １０ －１ ０

烄

烆

烌

烎１ ０ －２＝３，ｒ（Ｂ－Ｅ）＝ｒ

－１ ０ １０ ０ ０

烄

烆

烌

烎１ ０ －１＝１．

有 ｒ（Ａ－２Ｅ）＋ｒ（Ａ－Ｅ）＝ｒ（Ｂ－２Ｅ）＋ｒ（Ｂ－Ｅ）＝４．故选（Ｃ）．注：若Ａ～Ｂ，则ｆ（Ａ）～ｆ（Ｂ）（ｆ（ｘ）为多项式函数），且相似矩阵有相同的行列式、相同的秩和相同的

特征值等性质．（５）解：独立与互斥事件之间没有必然的互推关系．由ＡＢ≠推不出Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）．因此推不出Ａ、Ｂ一定独立．排除选项（Ａ）；

若ＡＢ≠，则Ｐ（ＡＢ）＝０，但Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）是否为零不确定，因此（Ｃ）、（Ｄ）也不成立．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－９０

故选（Ｂ）．注：当Ｐ（Ａ）≠０，Ｐ（Ｂ）≠０时，若Ａ，Ｂ相互独立，则一定有Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）≠０，从而有ＡＢ≠．可

见当Ａ、Ｂ相互独立时Ａ、Ｂ并不一定互斥．（６）解：二维正态分布与一维正态分布之间的关系是：只有（Ｘ，Ｙ）服从二维正态分布时，

不相关与独立才是等价的．只有当（Ｘ，Ｙ）服从二维正态分布时，Ｘ与Ｙ不相关Ｘ与Ｙ独立．题目仅仅知Ｘ和Ｙ服从正态分布，因此由不相关推不出Ｘ与Ｙ一定独立，排除（Ａ）．若Ｘ和Ｙ都服从正态分布且相互独立，则（Ｘ，Ｙ）服从二维正态分布，但题设并不知道

Ｘ、Ｙ是否独立，可排除选项（Ｂ）．同样要求Ｘ与Ｙ相互独立时，才能推出Ｘ＋Ｙ服从一维正态分布，可排除选项（Ｄ）．故正确选项为（Ｃ）．注：记住下面结论：

①若Ｘ与Ｙ均服从正态分布且相互独立，则（Ｘ，Ｙ）服从二维正态分布．

②若Ｘ与Ｙ均服从正态分布且相互独立，则ａＸ＋ｂＹ服从一维正态分布．

③若（Ｘ，Ｙ）服从二维正态分布，则Ｘ与Ｙ相互独立Ｘ与Ｙ不相关．三、解：由题设反复运用罗比达法（Ｌ′Ｈｏｓｐｉｔａｌ）则有

ｌｉｍｘ→０＋ｆ（ｘ）＝－１π＋ｌｉｍｘ→０＋

πｘ－ｓｉｎπｘπｘｓｉｎπｘ ＝－

１π＋ｌｉｍｘ→０＋

πｘ－ｓｉｎπｘπ２ｘ２

＝－１π＋ｌｉｍｘ→０＋π－πｃｏｓπｘ２π２ｘ ＝－１π＋ｌｉｍｘ→０＋

π２ｓｉｎπｘ２π２

＝－１π．

由于ｆ（ｘ）在（０，１２

］上连续，故可补充定义 ｆ（０）＝－１π，从而可使函数ｆ（ｘ）在闭区间

０，［ ］１２ 上连续．

四、解：这是复合函数求偏导问题：ｇ＝ｆ（ｕ，ｖ），ｕ＝ｘｙ，ｖ＝１２（ｘ２－ｙ２），直接利用复合

函数求偏导公式即可，注意利用２ｆ

ｕｖ＝２ｆｖｕ．

首先由题设及复合函数偏导数公式可有 ｇｘ＝ｙ

ｆｕ＋ｘ

ｆｖ

，ｇｙ＝ｘ

ｆｕ－ｙ

ｆｖ

，故

２ｇｘ２＝ｙ

２２ｆｕ２＋２ｘｙ

２ｆｕｖ＋ｘ

２２ｆｖ２＋

ｆｖ

，

２ｇｙ２

＝ｘ２２ｆｕ２－２ｘｙ

２ｆｖｕ＋ｙ

２２ｆｖ２－

ｆｖ．

所以 ２ｇｘ２＋

２ｇｙ２

＝（ｘ２＋ｙ２）２ｆｕ２＋

（ｘ２＋ｙ２）２ｆｖ２＝ｘ

２＋ｙ２．

五、解：从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算．作变换：ｘ＝ｒｃｏｓθ，

ｙ＝ｒｓｉｎθ，有

２００３年试题参考答案 ２－９１

２

Ｉ＝ｅπＤ

ｅ－（ｘ２＋ｙ２）ｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝ｅπ∫

２π

０ｄθ∫

槡π

０ｒｅ－ｒ

２

ｓｉｎｒ２ｄｒ．

令ｔ＝ｒ２，则 Ｉ＝πｅπ∫π

０ｅ－１ｓｉｎｔｄｔ．记 Ａ＝∫

π

０ｅ－ｔｓｉｎｔｄｔ，则

Ａ＝－∫π

０ｅ－ｔｓｉｎｔｄｅ－ｔ＝－ ｅ－ｔｓｉｎｔ

π

０－∫π

０ｅ－ｔｃｏｓｔｄ［ ］ｔ

＝－∫π

０ｃｏｓｔｄｅ－ｔ＝－ ｅ－ｔｃｏｓｔ

π

０＋∫π

０ｅ－ｔｓｉｎｔｄ［ ］ｔ

＝ｅ－π＋１－Ａ．

因此 Ａ＝１２（１＋ｅ－π），Ｉ＝πｅ

π

２（１＋ｅ－π）＝ π２

（１＋ｅπ）．六、解：先由ｆ（ｔ）的导数为零确定驻点ｔ（ａ），它是ａ的函数，再将此函数对ａ求导，然后

令此导数为零，得到可能极值点，再进一步判定此极值为最小值即可．

由 ｆ′（ｔ）＝ａｔｌｎａ－ａ＝０，得惟一驻点ｔ（ａ）＝１－ｌｎ（ｌｎａ）

ｌｎａ ．

考察函数ｔ（ａ）＝１－ｌｎ（ｌｎａ）

ｌｎａ在ａ＞１时的最小值．令

ｔ′（ａ）＝

１ａ－

１ａｌｎ

（ｌｎａ）

（ｌｎａ）２ ＝－１－ｌｎ（ｌｎａ）

ａ（ｌｎａ）２ ＝０，

解得惟一驻点 ａ＝ｅｅ．

当ａ＞ｅｅ时，ｔ′（ａ）＞０；当ａ＜ｅｅ时，ｔ′（ａ）＜０，因此ｔ（ｅｅ）＝１－１ｅ为极小值，从而是最小

值．七、解：梯形ＯＣＭＡ的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形ＣＢＭ 的面积

可用定积分计算，再由题设，可得一含有变限积分的等式，两边求导后可转化为一阶线性微分

方程，然后用通解公式计算即可．根据题意，有

ｘ２

［１＋ｆ（ｘ）］＋∫１

ｘｆ（ｔ）ｄｔ＝ｘ

２

６＋１３．

两边关于ｘ求导，得

１２

［１＋ｆ（ｘ）］＋１２ｘｆ′（ｘ）－ｆ（ｘ）＝１２ｘ

２．

当ｘ≠０时，得 ｆ′（ｘ）－１ｘｆ（ｘ）＝ｘ

２－１ｘ ．

此为一阶线性非齐次微分方程，其通解为

ｆ（ｘ）＝ｅ－∫－１ｘｄｘ∫ｘ２－１ｘ ｅ∫－１ｘｄｘ＋［ ］Ｃ

＝ｅｌｎｘ∫ｘ２－１ｘ ｅ－ｌｎｘｄｘ＋［ ］Ｃ

＝ｘ∫ｘ２－１ｘ２ ｄｘ＋（ ）Ｃ

＝ｘ２＋１＋Ｃｘ．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－９２

当ｘ＝０，ｆ（０）＝１；由于ｘ＝１时，ｆ（１）＝０．故有２＋Ｃ＝０，从而 Ｃ＝２．所以所求表达式为

ｆ（ｘ）＝ｘ２＋１－２ｘ＝（ｘ－１）２．八、解：在时刻ｔ的剩余量ｙ（ｔ）可用总量Ａ减去销量ｘ（ｔ）得到；由于ｙ（ｔ）随时间连续

变化，因此在时间段［０，Ｔ］上平均剩余量，即函数平均值可用积分１Ｔ∫

Ｔ

０ｙ（ｔ）ｄｔ表示．

（１）在时刻ｔ商品的剩余量为

ｙ（ｔ）＝Ａ－ｘ（ｔ）＝Ａ－ｋｔ，ｔ∈［０，Ｔ］．

由Ａ－ｋｔ＝０，得ｋ＝ＡＴ，因此 ｙ（ｔ）＝Ａ－ＡＴｔ

，ｔ∈［０，Ｔ］．（２）依题意，ｙ（ｔ）在［０，Ｔ］上的平均值为

ｙ＝１Ｔ∫Ｔ

０ｙ（ｔ）ｄｔ＝１Ｔ∫

Ｔ

０Ａ－ＡＴ（ ）ｔｄｔ＝Ａ２．

因此在时间段［０，Ｔ］上的平均剩余量为Ａ２．

注：注意到函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的平均值为 １ｂ－ａ∫

ｂ

ａｆ（ｘ）ｄｘ．

九、解：两个向量组等价也即两个向量可以相互线性表示，而两个向量组不等价，只需其

中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可．而线性表示问题又可转化为对应非齐次线性方程组是否有解的问题，这可通过经增广矩

阵为阶梯形来判断．一个向量β是否可由α１，α２，α３线性表示，只需用初等行变换化增广矩阵（α１，α２，α３｜β）

为阶梯讨论，而一组向量β１，β２，β３是否可由α１，α２，α３线性表示，则可对矩阵（α１，α２，α３｜β１，β２，β３）作初等行变换化阶梯形，然后类似地进行讨论即可．

作初等行变换，有

（α１，α２，α３β１，β２，β３）＝１ １ １ １ ２ ２０ １ －１ ２ １ １２ ３ ａ＋２ ａ＋３ ａ＋６ ａ

烄

烆

烌

烎＋４

→１ ０ ２ －１ １ １０ １ －１ ２ １ １０ ０ ａ＋１ ａ－１ ａ＋１ ａ

烄

烆

烌

烎－１．

（１）当ａ≠－１时，有行列式｜（α１，α２，α３）｜＝ａ＋１≠０，秩（α１，α２，α３）＝３，故线性方程组

ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝βｉ（ｉ＝１，２，３）均有惟一解．所以β１，β２，β３可由向量组（Ⅰ）线性表示．同样，行列式｜（β１，β２，β３）｜＝６≠０，秩（β１，β２，β３）＝３，故α１，α２，α３可由向量组（Ⅱ）线性

表示，因此向量（Ⅰ）与（Ⅱ）等价．（２）当ａ＝－１时，有

（α１，α２，α３β１，β２，β３）→１ ０ ２ －１ １ １０ １ －１ ２ １ １０ ０ ａ

烄

烆

烌

烎＋１ －２ ０ －２．

２００３年试题参考答案 ２－９３

２

由于秩（α１，α２，α３β１），线性方程组ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝βｉ无解，故向量β１不能由

α１，α２，α３线性表示．因此，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价．注１：这类问题若再涉及到参数讨论，一般会想到利用行列式性质去判断，本题亦然：

因为行列式｜（α１，α２，α３）｜＝ａ＋１，｜（β１，β２，β３）｜＝６≠０，可见

（１）当ａ≠－１时，秩ｒ（α１，α２，α３）＝ｒ（β１，β２，β３）＝３，因此三维列向量组｛α１，α２，α３｝与｛β１，β２，β３｝等

价，即向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价．（２）当ａ＝－１时，秩ｒ（α１，α２，α３）＝２，而行列式｜（α２，α３，β１）｜＝４≠０，可见ｒ（α１，α２，α３）＝２≠ｒ（α１，

α２，α３，β１）＝３，

因此线性方程组ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝βｉ无解，故向量βｉ不能由α１，α２，α３线性表示，即向量组（Ⅰ）与

（Ⅱ）不等价．注２：向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，相当于｛α１，α２，α３｝与｛β１，β２，β３｝均为整个向量组｛α１，α２，α３，β１，β２，β３｝

的一个极大线性无关组，问题转化为求向量组｛α１，α２，α３｝与｛β１，β２，β３｝的极大线性无关组，这可通过初等行

变换化阶梯形进行讨论．十、解：题设已知Ａ特征向量，应想到利用定义：Ａα＝λα，又与伴随矩阵Ａ相关的

问题，应利用ＡＡ＝｜Ａ｜Ｅ进行化简．矩阵Ａ属于特征值λ的特征向量为α，由于矩阵Ａ 可逆，故Ａ可逆，于是λ≠０，又

｜Ａ｜≠０，且 Ａα＝λα．

两边同时左乘矩阵Ａ，得 ＡＡα＝λＡα，有 Ａα＝｜Ａ｜λα，即

２ １ １１ ２ １１ １

烄

烆

烌

烎ａ

１ｂ烄

烆

烌

烎１＝｜Ａ｜λ

１ｂ烄

烆

烌

烎１．

由此可得方程组

３＋ｂ＝｜Ａ｜λ，

２＋２ｂ＝｜Ａ｜λｂ，

ａ＋ｂ＋１＝｜Ａ｜λ

烅

烄

烆 ．

①

②

③

由式①，②解得 ｂ＝１，或ｂ＝－２；由式①，③解得 ａ＝２．由于

｜Ａ｜＝２ １ １１ ２ １１ １

烄

烆

烌

烎ａ＝３ａ－２＝４，

根据①式知，特征向量α所对应的特征值 λ＝｜Ａ｜３＋ｂ＝４３＋ｂ．

所以，当ｂ＝１时，λ＝１；

当ｂ＝－２时，λ＝４．注：本题若先求出Ａ，再按特征值、特征向量的定义进行分析，则计算过程将较复杂，一般来说，涉及

Ａ问题，首先应想到利用公式ＡＡ＝｜Ａ｜Ｅ．十一、解：先求出分布函数Ｆ（ｘ）的具体形式，从而可确定Ｙ＝Ｆ（Ｘ），然后按定义求Ｙ

的分布函数即可．注意应先确定Ｙ＝Ｆ（Ｘ）的值域范围（０≤Ｆ（Ｘ）≤１），再对Ｙ分段讨论．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－９４

由题设知：当ｘ＜１时，Ｆ（ｘ）＝０；当ｘ＞８，Ｆ（ｘ）＝１．

对于ｘ∈［１，８］，有Ｆ（ｘ）＝∫ｘ

１

１３

３ｔ槡２ｄｔ＝

３槡ｘ－１．

设Ｇ（ｙ）是随机变量Ｙ＝Ｆ（Ｘ）的分布函数．显然，当ｙ＜０时，Ｇ（ｙ）＝０；当ｙ≥１时，Ｇ（ｙ）＝１．对于ｙ∈［０，１），有

Ｇ（ｔ）＝Ｐ｛Ｙ≤ｙ｝＝Ｐ｛Ｆ（Ｘ）≤ｙ｝＝Ｐ｛３槡Ｘ－１≤ｙ｝

＝Ｐ｛Ｘ≤（ｙ＋１）３｝＝Ｆ［（ｙ＋１）３］＝ｙ．

于是，Ｙ＝Ｆ（Ｘ）的分布函数为Ｇ（ｙ）＝０，

ｙ，

１烅烄

烆 ，

若ｙ＜０，

若０≤ｙ＜１，

若ｙ≥１．注：事实上，命题中Ｘ为“任意存在连续反函数的随机变量”均可，此时Ｙ＝Ｆ（ｘ）仍服从分布：

当ｙ＜０时，Ｇ（ｙ）＝０；当ｙ≥１时，Ｇ（ｙ）＝１；当０≤ｙ＜１时，

Ｇ（ｙ）＝Ｐ｛Ｙ≤ｙ｝＝Ｐ｛Ｆ（Ｘ）≤ｙ｝＝Ｐ｛Ｘ≤Ｆ－１（ｙ）｝＝Ｆ（Ｆ－１（ｙ））＝ｙ．十二、解：（１）利用事件Ａ和Ｂ独立的定义Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）即可；对于问题（２）注意

到随机变量Ｘ和Ｙ的相关系数为

ρＸＹ＝ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）

Ｄ（Ｘ槡 ） Ｄ（Ｙ槡 ）＝Ｅ

（ＸＹ）－Ｅ（Ｘ）Ｅ（Ｙ）

Ｄ（Ｘ槡 ） Ｄ（Ｙ槡 ）．

只需将ρ＝Ｐ（ＡＢ）－Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）

Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ槡 ）转化为用随机变量表示，若有

Ｅ（ＸＹ）＝Ｐ（ＡＢ）， Ｅ（Ｘ）＝Ｐ（Ａ）， Ｅ（Ｙ）＝Ｐ（Ｂ）

以及 Ｄ（Ｘ槡 ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ａ槡 ）， Ｄ（Ｙ槡 ）＝ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ槡 ）

即可，这只需定义

Ｘ＝１，

０｛ ，

若Ａ出现，

若Ａ不出现．Ｙ＝

１，

０｛ ，

若Ｂ出现，

若Ｂ不出现．（１）由ρ的定义，可见ρ＝０当且仅当

Ｐ（ＡＢ）－Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝０，

而这恰好是二事件Ａ和Ｂ独立的定义，即ρ＝０是Ａ和Ｂ独立的充分必要条件．（２）考虑随机变量Ｘ和Ｙ：

Ｘ＝１，

０｛ ，

若Ａ出现，

若Ａ不出现．Ｙ＝

１，

０｛ ，

若Ｂ出现，

若Ｂ不出现．由条件知，Ｘ和Ｙ都服从０１分布：

Ｘ～０ １Ｐ（Ａ） Ｐ（Ａ烄烆

烌烎）

， Ｙ～０ １Ｐ（Ｂ） Ｐ（Ｂ烄烆

烌烎）．

这样可有 Ｅ（Ｘ）＝Ｐ（Ａ）， Ｅ（Ｙ）＝Ｐ（Ｂ）；且

Ｄ（Ｘ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ａ）， Ｄ（Ｙ）＝Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｂ）；

及 ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）＝Ｅ（ＸＹ）－Ｅ（Ｘ）Ｅ（Ｙ）＝Ｐ（ＡＢ）－Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）．因此，事件Ａ和Ｂ的相关系数就是随机变量Ｘ和Ｙ的相关系数．于是由二随机变量相关系数的基本性质，可见｜ρ｜≤１．

２００３年试题参考答案 ２－９５

２

２００４年试题参考答案

一、填空题

（１）解：这是已知极限求参数的问题．

因为 ｌｉｍｘ→０

ｓｉｎｘｅｘ－ａ

（ｃｏｓｘ－ｂ）＝５，且ｌｉｍｘ→０ｓｉｎｘ·（ｃｏｓｘ－ｂ）＝０，

所以 ｌｉｍｘ→０

（ｅｘ－ａ）＝０，得ａ＝１．极限化为

ｌｉｍｘ→０

ｓｉｎｘｅｘ－ａ

（ｃｏｓｘ－ｂ）＝ｌｉｍｘ→０

ｘｘ

（ｃｏｓｘ－ｂ）＝１－ｂ＝５，

得ｂ＝－４．因此 ａ＝１，ｂ＝－４．

注：一般地，设已知ｌｉｍｆ（ｘ）

ｇ（ｘ）＝Ａ（≠±∞）．

（１）若ｇ（ｘ）→０，则ｆ（ｘ）→０；

（２）若ｆ（ｘ）→０，且Ａ≠０，则ｇ（ｘ）→０．（２）解：先求导函数，因为

ｙ＝ａｒｃｔａｎｅｘ－ｘ＋１２ｌｎ（ｅ２ｘ＋１），ｙ′＝ ｅｘ

１＋ｅ２ｘ－１＋ ｅ２ｘ

ｅ２ｘ＋１，

所以 ｄｙｄｘ ｘ＝１

＝ｅ－１ｅ２＋１

．

（３）解：求分段函数的定积分，先换元：ｘ－１＝ｔ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质

即可．令ｘ－１＝ｔ，

∫２

１２ｆ（ｘ－１）ｄｘ＝∫

１

－１２ｆ（ｔ）ｄｔ＝∫

１

－１２ｆ（ｘ）ｄｔ

＝∫１２

－１２ｘｅｘ

２

ｄｘ＋∫１

１２－１ｄｘ＝０＋ －（ ）１２ ＝－１２．

（４）解：将Ｂ的幂次转化为Ａ的幂次，并注意到Ａ２为对角矩阵即可．因为

Ａ２＝－１ ０ ００ －１ ０

烄

烆

烌

烎０ ０ １

， Ｂ２００４＝Ｐ－１Ａ２００４Ｐ．

故 Ｂ２００４＝Ｐ－１（Ａ２）１００２Ｐ＝Ｐ－１ＥＰ＝Ｅ， 从而

Ｂ２００４－２Ａ２＝９ ０ ００ ３ ０烄

烆

烌

烎０ ０ －１．

（５）解：利用正交矩阵的性质即可．因为ｘ＝Ａ－１ｂ，而且Ａ＝ ａｉ（ ）ｊ ３×３是实正交矩阵，于

是ＡＴ＝Ａ－１，Ａ的每一个行（列）向量均为单位向量，所以

ｘ＝Ａ－１ｂ＝ＡＴｂ＝

ａ１１ａ１２ａ

烄

烆

烌

烎１３

＝烄

烆

烌

烎

１００．

（６）解：据指数分布的分布函数和方差性质，由于Ｄ（Ｘ）＝１λ２，则Ｘ的分布函数为

历年考研数学试题详解·数学（四）２－９６

Ｆ（ｘ）＝１－ｅ－λｘ，ｘ＞０，

０， ｘ≤０烅烄烆 ．

故 Ｐ｛Ｘ＞ Ｄ（Ｘ槡 ）｝＝１－Ｐ｛Ｘ≤ Ｄ（Ｘ槡 ）｝＝１－ＰＸ≤１｛ ｝λ ＝１－Ｆ １（ ）λ ＝１λ．

二、选择题

（７）解：如ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）内连续，且极限ｌｉｍｘ→ａ＋ｆ（ｘ）与ｌｉｍ

ｘ→ｂ－ｆ（ｘ）存在（有限），则函数

ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）内有界．当ｘ≠０，１，２时，ｆ（ｘ）连续，而

ｌｉｍｘ→１＋ｆ（ｘ）＝－ｓｉｎ３１８

，ｌｉｍｘ→０－ｆ（ｘ）＝－ｓｉｎ２４

，ｌｉｍｘ→０＋ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２４

，ｌｉｍｘ→１ｆ（ｘ）＝∞，ｌｉｍ

ｘ→２ｆ（ｘ）＝∞，

所以，函数ｆ（ｘ）在（－１，０）内有界，故选（Ａ）．注：一般地，如函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，则ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上有界；如函数ｆ（ｘ）在开区

间（ａ，ｂ）内连续，且极限ｌｉｍｘ→ａ＋ｆ（ｘ）与ｌｉｍ

ｘ→ｂ－ｆ（ｘ）存在，则函数ｆ（ｘ）在开区间（ａ，ｂ）内有界．

（８）解：先看极限ｌｉｍｘ→０ｇ（ｘ）是否存在，如存在，是否等于ｇ（０）即可，通过换元ｕ＝１ｘ

，可将

极限ｌｉｍｘ→０ｇ（ｘ）转化为ｌｉｍ

ｕ→∞ｆ（ｕ）．

因为ｌｉｍｘ→０ｇ（ｘ）＝ｌｉｍ

ｘ→０ｆ １（ ）ｘ ＝ｌｉｍ

ｕ→∞ｆ（ｕ）＝ａ 令ｕ＝１（ ）ｘ ，又ｇ（０）＝０，所以

当ａ＝０时，ｌｉｍｘ→０ｇ（ｘ）＝ｇ（０），即ｇ（ｘ）在点ｘ＝０处连续．

当ａ≠０时，ｌｉｍｘ→０ｇ（ｘ）≠ｇ（０），即ｘ＝０是ｇ（ｘ）的第一类间断点，

因此ｇ（ｘ）在点ｘ＝０处的连续性与ａ的取值有关，故选（Ｄ）．（９）解：由于ｆ（ｘ）在ｘ＝０处的一、二阶导数不存在，因此可利用定义判断极值情况，再

考查ｆ（ｘ）在ｘ＝０的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况．设０＜δ＜１，当ｘ∈（－δ，０）∪（０，δ）时，ｆ（ｘ）＞０，而ｆ（０）＝０，所以ｘ＝０是ｆ（ｘ）的极小

值点．显然，ｘ＝０是ｆ（ｘ）的不可导点．当ｘ∈（－δ，０）时，ｆ（ｘ）＝－ｘ（１－ｘ），ｆ″（ｘ）＝２＞０，

当ｘ∈（０，δ）时，ｆ（ｘ）＝ｘ（１－ｘ），ｆ″（ｘ）＝－２＜０，

所以（０，０）是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．故选（Ｃ）．

（１０）解：先求分段函数ｆ（ｘ）的变限积分Ｆ（ｘ）＝∫ｘ

０ｆ（ｔ）ｄｔ，再讨论函数Ｆ（ｘ）的连续

性与可导性即可．

当ｘ＜０时，Ｆ（ｘ）＝∫ｘ

０（－１）ｄｔ＝－ｘ；

当ｘ＞０时，Ｆ（ｘ）＝∫ｘ

０１ｄｔ＝ｘ；

当ｘ＝０时，Ｆ（０）＝０．即 Ｆ（ｘ）＝ ｘ ．显然，Ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）内连续，但在ｘ＝０点不可导．故选（Ｂ）．注：对于分段函数的变限积分应分段处理，注意到绝对值函数 ｘ－ｘ０ 在ｘ＝ｘ０处不可导．

２００４年试题参考答案 ２－９７

２

但注意ｆ（ｘ）＝ｘｎ ｘ－ｘ０ 在ｘ＝ｘ０处却有ｎ阶导数ｆ（ｎ）（ｘ）＝（ｎ＋１）！ ｘ－ｘ０ ．

（１１）解：利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，再由排除法可找出错误

选项．首先，由已知ｆ′（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，且ｆ′（ａ）＞０，ｆ′（ｂ）＜０，则由介值定理，至少存在一

点ｘ０∈（ａ，ｂ），使得ｆ′（ｘ０）＝０；

另外ｆ′（ａ）＝ｌｉｍｘ→ａ＋ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）

ｘ－ａ ＞０，由极限的保号性，则至少存在一点ｘ０∈（ａ，ｂ）使得

ｆ（ｘ０）－ｆ（ａ）

ｘ０－ａ＞０ｆ（ｘ０）＞ｆ（ａ）．

同理，至少存在一点ｘ０∈（ａ，ｂ）使得ｆ（ｘ０）＞ｆ（ｂ）．所以选项（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）都正确，而（Ｄ）不真，故选（Ｄ）．

（１２）解：利用矩阵Ａ与Ｂ等价的充要条件：ｒ（Ａ）＝ｒ（Ｂ）即可．因为当 Ａ ＝０时，ｒ（Ａ）＜ｎ，又Ａ与Ｂ等价，故ｒ（Ｂ）＜ｎ，即 Ｂ ＝０．故选（Ｄ）．

（１３）解：利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即可．由标准正态分布性质，若Ｐ｛Ｘ ＜ｘ｝＝α，以及标准正态分布密度曲线的对称性可得

Ｐ｛Ｘ＜－ｕα｝＝α，则

１－α＝１－Ｐ｛Ｘ＜ｘ｝＝Ｐ｛｜Ｘ｜≥ｘ｝＝Ｐ｛Ｘ≥ｘ｝＋Ｐ｛Ｘ≤－ｘ｝＝２Ｐ｛Ｘ≥ｘ｝，

即有 Ｐ｛Ｘ＞ｘ｝＝１－α２ ．故选（Ｃ）．

（１４）解：利用协方差的性质即可．由于随机变量Ｘ１，Ｘ２，⋯，Ｘｎ（ｎ＞１）独立同分布，于是

可得

ｃｏｖ（Ｘ１，Ｙ）＝ｃｏｖＸ１，１ｎ∑

ｎ

ｉ＝１Ｘ（ ）ｉ ＝１ｎｃｏｖＸ１，∑

ｎ

ｉ＝１Ｘ（ ）ｉ

＝１ｎ∑ｎ

ｉ＝１ｃｏｖ（Ｘ１，Ｘ１）＝

１ｎｃｏｖ

（Ｘ１，Ｘ１）

＝１ｎＤ（Ｘ１）＝

１ｎσ２．

故选（Ｃ）．三、解答题

（１５）解：先将题设式子化为“００

”型，再利用等价无穷小与洛必达法则求解即可．注意到

ｌｉｍｘ→０

１ｓｉｎ２ｘ－

ｃｏｓ２ｘｘ（ ）２ ＝ｌｉｍ

ｘ→０

ｘ２－ｓｉｎ２ｘｃｏｓ２ｘｘ２ｓｉｎ２ｘ ＝ｌｉｍ

ｘ→０

ｘ２－１４ｓｉｎ２２ｘ

ｘ４

＝ｌｉｍｘ→０

２ｘ－１２ｓｉｎ４ｘ

４ｘ３ ＝ｌｉｍｘ→０

１－ｃｏｓ４ｘ６ｘ２ ＝ｌｉｍ

ｘ→０

１２

（４ｘ）２

６ｘ２ ＝４３．

（１６）解：首先，将积分区域Ｄ分为大圆Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ２＋ｙ２≤４｝减去小圆Ｄ２＝｛（ｘ，ｙ）

｜（ｘ＋１）２＋ｙ２≤１｝，再利用对称性与极坐标计算即可．

历年考研数学试题详解·数学（四）２－９８

令Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ２＋ｙ２≤４｝，Ｄ２＝｛（ｘ，ｙ）｜（ｘ＋１）２＋ｙ２≤１｝，

由对称性，Ｄｙｄσ＝０．

Ｄ

（ ｘ２＋ｙ槡 ２）ｄσ＝Ｄ１

（ ｘ２＋ｙ槡 ２）ｄσ－Ｄ２

（ ｘ２＋ｙ槡 ２）ｄσ

＝∫２π

０ｄθ∫

２

０ｒ２ｄｒ－∫

３π２π２ｄθ∫

－２ｃｏｓθ

０ｒ２ｄｒ

＝１６π３ －３２９ ＝

１６９

（３π－２）

所以 Ｄ

（ ｘ２＋ｙ槡 ２＋ｙ）ｄσ＝１６９（３π－２）．

注：本题属于在极坐标下计算二重积分的问题，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分

为两个或三个简单区域来简化计算．（１７）解：先求ｙ′，利用已知关系ｆｕ′（ｕ，ｖ）＋ｆｖ′（ｕ，ｖ）＝ｕｖ，可得到关于ｙ的一阶微分

方程．注意到

ｙ′＝－２ｅ－２ｘｆ（ｘ，ｘ）＋ｅ－２ｘｆｕ′（ｘ，ｘ）＋ｅ－２ｘｆｖ′（ｕ，ｖ）＝－２ｙ＋ｘ２ｅ－２ｘ，

因此，所求的一阶微分方程为ｙ′＋２ｙ＝ｘ２ｅ－２ｘ．由一阶线性微分方程求解公式解得

ｙ＝ｅ－∫２ｄｘ（∫ｘ２ｅ－２ｘｅ∫２ｄｘｄｘ＋Ｃ）＝ １３ｘ

３＋（ ）Ｃ ｅ－２ｘ，其中Ｃ为任意常数．

（１８）解：由于Ｅｄ＞０，所以Ｅｄ＝ＰＱｄＱｄＰ

；由Ｑ＝ＰＱ及Ｅｄ＝ＰＱｄＱｄＰ

，

可以推出 ｄＲｄＰ＝Ｑ

（１－Ｅｄ）．

（Ⅰ）由题设有需求量对价格的弹性 Ｅｄ＝ＰＱｄＱｄＰ ＝ Ｐ

２０－Ｐ．（Ⅱ）由Ｒ＝ＰＱ，两边对Ｐ求导可得

ｄＲｄＰ＝Ｑ＋Ｐ

ｄＱｄＰ＝Ｑ １＋

ＰＱｄＱｄ（ ）Ｐ ＝Ｑ（１－Ｅｄ）．

又由Ｅｄ＝Ｐ

２０－Ｐ＝１，可得 Ｐ＝１０．

当１０＜Ｐ＜２０时，Ｅｄ＞１，于是 ｄＲｄＰ＜０

，故当１０＜Ｐ＜２０时，降低价格反而使收益增加．

注：当Ｅｄ＞０时，需求量对价格的弹性公式为Ｅｄ＝ＰＱｄＱｄＰ ＝－ＰＱ

ｄＱｄＰ．

利用需求弹性分析收益的变

化情况有以下四个常用的公式：

ｄＲ＝（１－Ｅｄ）ＱｄＰ， ｄＲｄＰ＝

（１－Ｅｄ）Ｑ， ｄＲｄＱ＝ １－

１Ｅ（ ）ｄＰ， ＥＲ

ＥＰ＝１－Ｅｄ（收益对价格的弹性）．

（１９）解：曲线ｙ＝Ｆ（ｘ）关于Ｏｙ轴对称，Ｏｘ轴与曲线ｙ＝Ｆ（ｘ）围成一无界区域，所以

面积Ｓ可用广义积分表示．

（Ⅰ）由题设 Ｓ＝２∫＋∞

０ｅ－２ｘｄｘ＝－ｅ－２ｘ ＋∞

０ ＝１，且Ｓ（ｔ）＝２ｔｅ－２ｔ，因此

Ｓ（ｔ）＝１－２ｔｅ－２ｔ，ｔ∈（０，＋∞）．

２００４年试题参考答案 ２－９９

２

（Ⅱ）由于Ｓ′（ｔ）＝－２（１－２ｔ）ｅ－２ｔ， 故Ｓ（ｔ）的惟一驻点为ｔ＝１２．

又Ｓ″（ｔ）＝８（１－ｔ）ｅ－２ｔ，Ｓ″（ ）１２ ＝４ｅ＞０，所以 Ｓ（ ）１２ ＝１－１ｅ

为极小值，亦为最小值．（２０）解：含未知参数的线性方程组的求解，当系数矩阵非方阵时，一般用初等行变换化

增广矩阵为阶梯形，然后对参数进行讨论．由于已知了方程组的一个解，于是可先由它来（部

分）确定未知参数．将（１，－１，１，－１）Ｔ代入方程组，得λ＝μ．对方程组的增广矩阵Ａ施以初等行变换，得

Ａ＝１ λ λ １ ０２ １ １ ２ ０３ ２＋λ ２＋λ

烄

烆

烌

烎４ １→１ ０ －２λ １－λ －λ０ １ ３ １ １０ ０ ２（２λ－１） ２λ－１ ２λ

烄

烆

烌

烎－１

，

（Ⅰ）当λ≠１２时，有 Ａ →

（行初等变换）

１ ０ ０ １ ０

０ １ ０ －１２ －１２

０ ０ １ １２

烄

烆

烌

烎１２

，

ｒ（Ａ）＝ｒ（Ａ）＝３＜４，故方程组有无穷多解，且ξ０＝ ０，－１２，１２

，（ ）０Ｔ

为其一个特解，对应

的齐次线性方程组的基础解系为ξ＝（－２，１，－１，２）Ｔ，故方程组的全部解为

ξ＝ξ０＋ｋξ＝ ０，－１２，１２

，（ ）０Ｔ＋ｋ（－２，１－１，２）Ｔ （ｋ为任意常数）．

当λ＝１２时，有 Ａ →

（行初等变换）１ ０ －１ １

２ －１２０ １ ３ １ １

烄

烆

烌

烎０ ０ ０ ０ ０

，

ｒ（Ａ）＝ｒ（Ａ）＝２＜４，故方程组有无穷多解，且ξ０＝ －１２，１，０，（ ）０

Ｔ为其一个特解，对应

的齐次线性方程组的基础解系为

ξ１＝（１，－３，１，０）Ｔ，ξ２＝（－１，－２，０，２）Ｔ，

故方程组的全部解为 ξ＝ξ０＋ｋ１ξ１＋ｋ２ξ２， 即

ξ＝ －１２，１，０，（ ）０

Ｔ＋ｋ１（１，－３，１，０）Ｔ＋ｋ２（－１，－２，０，２）Ｔ，

其中ｋ１，ｋ２为任意常数．

（Ⅱ）当λ≠１２时，由于ｘ２＝ｘ３，即 －１２＋ｋ＝

１２－ｋ

，解得ｋ＝１２，

故方程组的解为

ξ＝ １，－１２，１２

，（ ）０Ｔ＋１２

（－２，１，－１，２）Ｔ＝（－１，０，０，１）Ｔ．

当λ＝１２时，由于ｘ２＝ｘ３，即 １－３ｋ１－２ｋ２＝ｋ１，解得ｋ１＝

１４－

１２ｋ２

，

故方程组的全部解为

历年考研数学试题详解·数学（四）２－１００

ξ＝ －１２，１，０，（ ）０

Ｔ＋ １４－

１２ｋ（ ）２（１，－３，１，０）Ｔ＋ｋ２（－１，－２，０，２）Ｔ

＝ －１４，１４

，１４

，（ ）０Ｔ＋ｋ２ －

３２

，－１２，－１２

，（ ）２Ｔ

（ｋ２为任意常数）．

注：对于题（Ⅱ），实际上就是在原来方程组中增加一个方程，此时新的方程组当λ≠１２时有惟一解，当λ

＝１２时有无穷多解．

在题（Ⅱ）中，当λ＝１２时，解得ｋ２＝

１２－２ｋ１

，方程组的全部解也可以表为

ξ＝（－１，０，０，１）Ｔ＋ｋ１（３，１，１，－４）Ｔ （ｋ１为任意常数）．

（２１）解：由矩阵Ａ的秩为２，可知Ａ 的另一特征值为０．再由实对称矩阵不同特征值所

对应的特征向量正交，可得相应的特征向量，由此可求矩阵Ａ．（Ⅰ）因为λ１＝λ２＝６是Ａ的二重特征值，故Ａ的属于特征值６的线性无关的特征向量

有２个．由题设知α１＝（１，１，０）Ｔ，α２＝（２，１，１）Ｔ为Ａ的属于特征值６的线性无关特征向量．又Ａ的秩为２，于是 Ａ ＝０，所以Ａ的另一特征值λ３＝０．设λ３＝０所对应的特征向量为

α＝（ｘ１，ｘ２，ｘ３）Ｔ，则有α１Ｔα＝０，α２Ｔα＝０，即

ｘ１＋ｘ２ ＝０，

２ｘ１＋ｘ２ ＋ｘ３ ＝０烅烄

烆 ，

得基础解系为α＝（－１，１，１）Ｔ，故Ａ的属于特征值λ３＝０全部特征向量为

ｋα＝ｋ（－１，１，１）Ｔ （ｋ任意不为零的常数）．

（Ⅱ）令矩阵Ｐ＝（α１，α２，α），则 Ｐ－１ＡＰ＝６６

烄

烆

烌

烎０

，所以

Ａ＝Ｐ６６

烄

烆

烌

烎０Ｐ－１＝

１ ２ －１１ １ １烄

烆

烌

烎０ １ １

６６

烄

烆

烌

烎０

０ １ －１１３ －１３

２３

－１３１３

烄

烆

烌

烎１３

＝４ ２ ２２ ４ －２烄

烆

烌

烎２ －２ ４．

注：这是一个有关特征和特征向量的逆问题，即已知矩阵的部分特征值和特征向量，要求另一部分特征

值、特征向量和矩阵．（２２）解：问题的关键是求出（Ｘ，Ｙ）的概率分布，于是只要将二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的各

取值对转化为随机事件Ａ和Ｂ表示即可．

（Ⅰ）因为 Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝１１２，于是 Ｐ（Ｂ）＝Ｐ

（ＡＢ）

Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝１６

，

则有 Ｐ｛Ｘ＝１，Ｙ＝１｝＝Ｐ（ＡＢ）＝１１２，

Ｐ｛Ｘ＝１，Ｙ＝０｝＝Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）－Ｐ（ＡＢ）＝１６，

Ｐ｛Ｘ＝０，Ｙ＝１｝＝Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）＝１１２，

２００４年试题参考答案 ２－１０１

２

Ｐ｛Ｘ＝０，Ｙ＝０｝＝Ｐ（ＡＢ）＝１－Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝１－［Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）］＝２３，

或由 Ｐ｛Ｘ＝０，Ｙ＝０｝＝１－１１２－１６－

１１２＝

２３（ ）计算

即（Ｘ，Ｙ）概率分布为：

ＹＸ

０ １

０ ２／３ １／１２１ １／６ １／１２

（Ⅱ）解１：因为Ｅ（Ｘ）＝Ｐ（Ａ）＝１４，Ｅ（Ｙ）＝Ｐ（Ｂ）＝１６

，Ｅ（ＸＹ）＝１１２，

Ｅ（Ｘ２）＝Ｐ（Ａ）＝１４，Ｅ（Ｙ２）＝Ｐ（Ｂ）＝１６

，

Ｄ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ２）－［Ｅ（Ｘ）］２＝３１６，Ｄ（Ｙ）＝Ｅ（Ｙ２）－［Ｅ（Ｙ）］２＝５１６

，

ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）＝Ｅ（ＸＹ）－Ｅ（Ｘ）Ｅ（Ｙ）＝１２４，

所以Ｘ与Ｙ的相关系数 ρＸＹ＝ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）

Ｄ（Ｘ）·Ｄ（Ｙ槡 ）＝ １槡１５

＝槡１５１５．

解２：由题设及（Ⅰ）有Ｘ，Ｙ的概率分布分别为，

Ｘ ０ １

ｐ ３４

１４

Ｙ ０ １

ｐ ５６

１６

则Ｅ（Ｘ）＝１４，Ｅ（Ｙ）＝１６

，Ｄ（Ｘ）＝３１６，Ｄ（Ｙ）＝５３６

，Ｅ（ＸＹ）＝１１２，

故 ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）＝Ｅ（ＸＹ）－Ｅ（Ｘ）·Ｅ（Ｙ）＝１２４，从而ρＸＹ＝

ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）

Ｄ（Ｘ）·Ｄ（Ｙ槡 ）＝槡１５１５．

（Ⅲ）Ｚ的可能取值为：０，１，２．这样：

Ｐ｛Ｚ＝０｝＝Ｐ｛Ｘ＝０，Ｙ＝０｝＝２３，

Ｐ｛Ｚ＝１｝＝Ｐ｛Ｘ＝１，Ｙ＝０｝＋Ｐ｛Ｘ＝０，Ｙ＝１｝＝１４，

Ｐ｛Ｚ＝２｝＝Ｐ｛Ｘ＝１，Ｙ＝１｝＝１１２，

故Ｚ的概率分布为：

Ｚ ０ １ ２

ｐ ２３

１４

１１２

（２３）解：（Ⅰ）Ｘ的概率密度为

历年考研数学试题详解·数学（四）２－１０２

ｆｘ（ｘ）＝１， ０＜ｘ＜１，

０， 其他｛ ．在Ｘ＝ｘ（０＜ｘ＜１）的条件下，Ｙ的条件概率密度为

ｆＹ｜Ｘ（ｙ｜ｘ）＝１ｘ

， ０＜ｙ＜ｘ，

０， 其他烅烄

烆 ．当０＜ｙ＜ｘ＜１时，随机变量Ｘ和Ｙ的联合概率密度为

ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆｘ（ｘ）ｆＹ｜Ｘ（ｙ｜ｘ）＝１ｘ，

在其他点（ｘ，ｙ）处，有ｆ（ｘ，ｙ）＝０，即

ｆ（ｘ，ｙ）＝１ｘ

， ０＜ｙ＜ｘ＜１，

０， 其他烅烄

烆 ．（Ⅱ）当０＜ｙ＜１时，Ｙ的概率密度为

ｆＹ（ｙ）＝∫＋∞

－∞ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ＝∫

１

ｙ

１ｘｄｘ＝－ｌｎｙ

；

当ｙ≤０或ｙ≥１时，ｆＹ（ｙ）＝０．因此

ｆＹ（ｙ）＝－ｌｎｙ， ０＜ｙ＜１，

０， 其他｛ ．

（Ⅲ）Ｐ｛Ｘ＋Ｙ＞１｝＝∫∫Ｘ＋Ｙ＞１

ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∫１

１２ｄｘ∫

１

１－ｘ

１ｘｄｙ＝∫

１

１２２－１（ ）ｘ ｄｘ＝１－ｌｎ２．

２００４年试题参考答案 ２－１０３

２

三、附 录

１９８５年 上 海 交 大 等 八 院 校 硕 士 研 究 生 招 生

考 试 高 等 数 学 试 题

试卷（Ⅰ）

一、（１）求∫ｘ－３ａｒｃｔａｎｘｄｘ．

（２）设ｆ（ｘ）＝

１１＋ｘ

， ｘ≥０，

１１＋ｅｘ

， ｘ＜０烅

烄

烆 ．试求∫

２

０ｆ（ｘ－１）ｄｘ．

二、设ｚ＝ｆ（ｘ，ｕ，ｖ），ｕ＝２ｘ＋ｙ，ｖ＝ｘｙ，其中ｆ具有二阶连续偏导数，求２ｚ

ｘｙ．

三、计算Ｄ槡ｙｄσ，其中区域Ｄ是由曲线ｙ＝ｘ，ｙ＝２ｘ－ｘ２所围成．

四、已知ｌｉｍｘ→＋∞

ｘ＋ｃｘ－（ ）ｃ

ｘ＝∫

ｃ

－∞ｔｅ２ｔｄｔ求ｃ．

五、设Ｆ（ｘ）＝∫ｘ

０ｔｆ（ｔ）ｄｔ

ｘ２，

ｃ

烅

烄

烆 ，

ｘ≠０，

ｘ＝０．其中ｆ（ｘ）具有连续导数，且ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（０）＝０．

（１）试确定ｃ使Ｆ（ｘ）连续；（２）在（１）的结果下，问Ｆ′（ｘ）是否连续．

六、试求在圆锥面Ｒｚ＝ｈ ｘ２＋ｙ槡 ２与平面ｚ＝ｈ所围成的锥体内作出底面平行于ｘＯｙ平面的最大长方体之体积（Ｒ＞０，ｈ＞０）．

七、求幂级数∑∞

ｎ＝１ｎ（ｘ－１）ｎ 的收敛，并求其和．

八、计算曲线积 分∮Ｌ

ｘｄｙ－ｙｄｘ４ｘ２＋ｙ２

，其 中Ｌ 是 以 点（１，０）为 中 心，Ｒ 为 半 径 的 圆 周

（Ｒ≠１），方向取逆时针方向．

九、设φ（ｘ）＝ｅｘ－∫ｘ

０（ｘ－ｕ）φ（ｕ）ｄｕ，其中φ（ｘ）为连续函数，求φ（ｘ）．

十、设（１）ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，且ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝０；（２）ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）内具

有一阶导数ｆ′（ｘ），且ｆ（ｘ）在点ａ处右导数大于零，即ｆ′ｘ（ａ）＝ ｌｉｍｘ→ａ＋０

ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）

ｘ－ａ ＞０；

这八院校为上海交大、天津大学、华中工学院、华南工学院、西安交大、浙江大学、南京工学院、哈尔滨工大．

３－１

３

（３）ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）内有二阶导数ｆ″（ｘ）．求证在区间（ａ，ｂ）内至少存在一点ｃ使ｆ″（ｃ）＜０．

高等数学（Ⅱ）（包括线性代数）

一～八题同试卷（Ⅰ）的一、二、三、六、七、八、九、十题．九、设向量组ａ＝（ａ１，ａ２，ａ３），ｂ＝（ｂ１，ｂ２，ｂ３），ｃ＝（ｃ１，ｃ２，ｃ３）线性无关，证明向量组

ｄ＝（ａ１，ａ２，ａ３，ａ４），ｅ＝（ｂ１，ｂ２，ｂ３，ｂ４），ｆ＝（ｃ１，ｃ２，ｃ３，ｃ４）也线性无关．十、试用正交变换将二次型ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝２ｘ２＋２ｙ２＋３ｚ２＋２ｘｙ化为标准形（法式），并写

出所用的正交变换．

试卷（Ⅲ）（包括线性代数、复变函数、概率论）

一～七题同试卷（Ⅰ）的一、二、六、七、八、九、十题．

八、（１）设矩阵Ａ＝

１ ０ ０ ０ ００ ２ ０ ０ ００ ０ ３ ０ ００ ０ ０ ４ ０

烄

烆

烌

烎０ ０ ０ ０ ５

，求Ａ－１；

（２）试用正交变换将二次型ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝２ｘ２＋２ｙ２＋３ｚ２＋２ｘｙ化为标准形（法式），并写

出所用的正交变换．注意：在下列第九、第十两题中，由考生任选一题，如两题都做，则只按第九题给分．

九、（１）计算∮ｃ

ｅ２ｓｉｎｚｚ２－４

ｄｚ，其中积分闭路ｃ为圆周｜ｚ｜＝３之逆时针方向．

（２）计算∫∞

－∞

ｃｏｓｘ（ｘ２＋１）（ｘ２＋９）ｄｘ．

十、（１）现有一批产品是由三家工厂生产的，已知其中一家的废品率是１／５，另两家的废

品率都是１／１０，今从这批产品中任取一件（假定这一件来自哪个工厂是等可能的）进行检验，

问取到的是废品的概率．（２）测量某一目标的距离时，测量误差服从μ＝－５０，α＝１００的正态分布（单位：ｍ）．试求

测量距离的误差按其绝对值不超过１５０ｍ的概率．

附表：表示正态分布表Φ（ｚ）＝∫ｚ

－∞

１２槡πｅ－ｕ２

２ｄｕ

ｚ ０ １ ２

０．８ ０．７８８１ ０．７９１０ ０．７９３９

１．０ ０．８４１３ ０．８４３８ ０．８４６１

１．５ ０．９３３２ ０．９３４５ ０．９３５７

２．０ ０．９７７２ ０．９７７８ ０．９７８３

２．５ ０．９９３８ ０．９９４０ ０．９９４１

历年考研数学试题详解·数学（四）３－２

附：参 考 答 案

试卷（Ⅰ）

一、（１）解：先凑微分再分部积分有

∫ｘ－３ａｒｃｔａｎｘｄｘ＝－１２∫ａｒｃｔａｎｘｄ（ｘ－２）＝－１２ ｘ

－２ａｒｃｔａｎｘ－∫ｘ－２ １１＋ｘ２

ｄ［ ］ｘ

＝－１２１ｘ２ａｒｃｔａｎｘ＋

１２∫１＋ｘ

２－ｘ２ｘ２（１＋ｘ２）

ｄｘ（分子同加减ｘ２项）

＝－１２１ｘ２ａｒｃｔａｎｘ＋

１２∫１ｘ２ｄｘ－１２∫ １

１＋ｘ２ｄｘ

＝－ １２ｘ２ａｒｃｔａｎｘ－１２ｘ－

１２ａｒｃｔａｎｘ＋ｃ．

（２）解：令ｘ－１＝ｕ，则由积分性质有

∫２

０ｆ（ｘ－１）ｄｘ＝∫

１

－１ｆ（ｕ）ｄｕ＝∫

０

－１

１１＋ｅｘ

ｄｘ＋∫１

０

１１＋ｘｄｘ

＝∫０

－１

１＋ｅｘ－ｅｘ

１＋ｅｘｄｘ＋ｌｎ（１＋ｘ）

１

０＝［ｘ－ｌｎ（１＋ｅｘ）］

０

－１＋ｌｎ２

＝１＋ｌｎ（１＋ｅ－１）．

二、解：由题设有 ｚｘ＝

ｆｘ＋２

ｆｕ＋ｙ

ｆｖ

，从而有

２ｚｘｙ＝

２ｆｘ２

·ｘｙ＋

２ｆｘｕ

·ｕｙ＋

２ｆｘｖ

·ｖｙ＋

＋２ ２ｆｘｕ

·ｘｙ＋

２ｆｕ２

·ｕｙ＋

２ｆｕｖ

·ｖ［ ］ｙ

＋ｙ２ｆｖｘ

·ｘｙ＋

２ｆｖｕ

·ｕｙ＋

２ｆｖ２

·ｖ［ ］ｙ ＋

ｆｖ

＝ ２ｆｘｕ＋ｘ

２ｆｘｖ＋２

２ｆｕ２＋２ｘ

２ｆｕｖ＋ｙ

２ｆｕｖ＋ｘｙ

２ｆｖ２＋

ｆｖ

＝ ２ｆｘｕ＋ｘ

２ｆｘｖ＋

（２ｘ＋ｙ）２ｆ

ｕｖ＋ｘｙ２ｆｖ２＋２

２ｆｕ２＋

ｆｖ

＝ ２ｆｘｕ＋ｘ

２ｆｘｖ＋ｕ

２ｆｕｖ＋ｖ

２ｆｖ２＋２

２ｆｕ２＋

ｆｖ．

三、解：由题设且注意到二重积分性质有

Ｄ

槡ｙｄｖ＝∫１

０ｄｘ∫

２ｘ－ｘ２

ｘ槡ｙｄｙ＝∫

１

０

２３ｙ

３２２ｘ－ｘ

２

ｘｄｘ

＝２３∫１

０（２ｘ－ｘ）

３２ｄｘ－２３∫ｘ

２３ｄｘ

＝２３∫１

０［１－（１－ｘ）２］

３２ｄｘ－２３

·２５ｘ

５２１

０， （）

对右端第一个积分，我们引入变换１－ｘ＝ｓｉｎｔ而有

１９８５年上海交大等八院校硕士研究生招生考试高等数学试题 ３－３

３

２３∫

１

０［１－（１－ｘ）２］

３２ｄｘ＝－２３∫

０

ｘ２

［１－ｓｉｎｔ］２３ｃｏｓｔｄｔ＝２３

·∫ｘ２

０ｃｏｓ４ｄｔｄ

＝２３·３４

·１２

·π２＝

π８

，

式（）右端第二项等于４１５

，于是得Ｄ

槡ｙｄσ＝ π８－４１５．

四、解：注意下面式子变形：

式左＝ｌｉｍｘ→∞

ｘ＋ｃｘ－（ ）ｃ

ｘ＝ｌｉｍ

ｘ→∞１＋ ２ｃｘ－（ ）ｃ

ｘ－ｃ２［ ］ｃ ２ｃ

· ｘ＋ｃｘ－（ ）ｃ ＝ｅ２ｃ，

式右＝１２∫ｃ

－∞ｔｄ（ｅ２ｔ）＝

１２ ｔｅ

２［ ｔｃ

－∞－∫

ｃ

－∞ｅ２ｔｄ ］ｔ ＝１２ｃｅ２ｃ－

１４ｅ２ｔｃ

－∞

＝ ｃ２－（ ）１４ ｅ２ｃ．

比较左右两端则有 １２ｃ－

１４＝１

，即得ｃ＝５２．五、解：（１）由题设且注意到

ｌｉｍｘ→０Ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ

ｘ→０

∫ｘ

０ｔｆ（ｔ）ｄｔ

ｘ２ ＝ｌｉｍｘ→０

ｘｆ（ｘ）

２ｘ ＝１２ｆ（０）＝０，

可见取ｃ＝０，则有Ｆ（ｘ）连续．（２）当ｘ≠０时，由导数性质有

Ｆ′（ｘ）＝ｘ２·ｘｆ（ｘ）－２ｘ∫

ｘ

０ｔｆ（ｔ）ｄｔ

ｘ４ ＝ｘ２ｆ（ｘ）－２∫

ｘ

０ｔｆ（ｔ）ｄｔ

ｘ３，

从而有 ｌｉｍｘ→０Ｆ′（ｘ）＝ｌｉｍ

ｘ→０

ｘ２ｆ（ｘ）－２∫ｘ

０ｔｆ（ｔ）ｄｔ

ｘ３

＝ｌｉｍｘ→０

ｘ２ｆ′（ｘ）＋ｆ（ｘ）·２ｘ－２ｘｆ（ｘ）

３ｘ２ ＝１３ｆ′（０），

而另一方面注意到

Ｆ′（０）＝ｌｉｍｘ→０

Ｆ（ｘ）－Ｆ（０）

ｘ ＝ｌｉｍｘ→０

∫ｘ

０ｔｆ（ｔ）ｄｔ

ｘ２ ＝ｌｉｍｘ→０

ｘｆ（ｘ）

３ｘ３

＝ｌｉｍｘ→０

ｆ（ｘ）－ｆ（０）

３ｘ ＝１３ｆ′（０）．

即证得Ｆ′（ｘ）无论是在ｘ≠０时或ｘ＝０时，均为连续的．

六、解：设所求体积为Ｖ，则Ｖ１＝Ｖ４＝ｘｙ

（ｈ－ｚ）．

约束条件为ｈ ｘ２＋ｙ槡 ２－Ｒｚ＝０，根据拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）乘子法，令

Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘｙ（ｈ－ｚ）＋λ（ｈ ｘ２＋ｙ槡 ２－Ｒｚ），

由 Ｆｘ＝ｙ

（ｈ－ｚ）＋λ ｈｘｘ２＋ｙ槡 ２

， Ｆｙ＝ｘ

（ｈ－ｚ）＋λ ｈｘｘ２＋ｙ槡 ２

，

及 Ｆｚ＝－ｘｙ－λＲ

， 令 Ｆｘ＝

Ｆｙ＝

Ｆｚ＝０

，再加约束条件，可解得

历年考研数学试题详解·数学（四）３－４

ｘ＝ｙ，ｚ＝槡２ｈＲｘ，λ＝－ｘ

２

Ｒ．

故有 ｘ＝ｙ＝槡２３Ｒ，ｚ＝２３ｈ．

于是又得 Ｖｍａｘ＝４Ｖ１ｍａｘ＝４槡２３（ ）Ｒ２ｈ３＝

８２７Ｒ

２ｈ．

七、解：令ｘ－１＝ｔ化原级数为∑∞

ｎ＝１ｎｔｎ，它的收敛半径为１，且当ｔ＝１与ｔ＝－１时

∑∞

ｎ＝１ｎｔｎ 是发散的，所以∑

∞

ｎ＝１ｎｔｎ 的收敛点集（区域）为－１＜ｔ＜１．

从而知原级数∑∞

ｎ＝１ｎ（ｘ－１）ｎ 的收敛域为｜ｘ－１｜＜１，亦即０＜ｘ＜２．

其次令 ∑∞

ｎ＝１ｎｔｎ＝Ｇ（ｔ），则有

Ｇ（ｔ）＝ｔ∑∞

ｎ＝１ｎｔｎ－１＝ｔ∑

∞

ｎ＝０（ｎ＋１）·ｔｎ＝ｔ ∑

∞

ｎ＝０ｎｔｎ＋∑

∞

ｎ＝０ｔ［ ］ｎ ＝ｔ Ｇ（ｔ）＋ １

１－［ ］ｔ ，

解得 Ｇ（ｔ）＝ ｔ（１－ｔ）２

，因之，当｜ｘ－１｜＜１时，有

∑∞

ｎ＝１ｎ（ｘ－１）ｎ＝ ｘ－１

［１－（ｘ－１）］２＝ｘ－１

（２－ｘ）２．

八、解：令Ｐ＝ －ｙ４ｘ２＋ｙ２

，Ｑ ＝ ｘ４ｘ２＋ｙ２

，从而有

Ｑｘ ＝

Ｐｙ＝

ｙ２－４ｘ２（４ｘ２＋ｙ２）２

（ｘ２＋ｙ２≠０）．

可知当Ｒ＜１时 ∮Ｌ

ｘｄｙ－ｙｄｘ４ｘ２＋ｙ２

＝０；

当Ｒ＞１时 ∮Ｌ

ｘｄｙ－ｙｄｘ４ｘ２＋ｙ２

ｘ＝ ε２ｃｏｓｔ

ｙ＝εｓｉｎｔ∮Ｌ′

１２

·ε２

ε２ ｄｔ＝１２∫

２π

０ｄｔ＝π．

九、解：由设φ（ｘ）＝ｅｘ－ｘ∫ｘ

０φ（ｕ）ｄｕ＋∫

ｘ

０ｕφ（ｕ）ｄｕ，且φ（０）＝１．

又由φ（ｘ）连续，由上式对ｘ求导故又有

φ′（ｘ）＝ｅｘ－∫ｘ

０φ（ｕ）ｄｕ－ｘφ（ｘ）＋ｘφ（ｘ）＝ｅｘ－∫

ｘ

０φ（ｕ）ｄｕ，

且 φ′（０）＝１．再由φ（ｘ）连续的假设，对上式再求导有 φ″（ｘ）＝ｅｘ－φ（ｘ）．

从而知φ（ｘ）乃是满足微分方程 φ″（ｘ）＋φ（ｘ）＝ｅｘ，

φ（０）＝１，φ′（０）＝｛ １的解．

解之得φ（ｘ）＝（ｃ１ｃｏｓｘ＋ｃ２ｓｉｎｘ）＋１２ｅｘ，由初始条件可有ｃ１＝ｃ２＝

１２．

故得 φ（ｘ）＝１２（ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ＋ｅｘ）．

十、证：由题设有 ｌｉｍθ→ａ＋０

ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）

ｘ－ａ ＝ｌｉｍθ→ａ＋０

ｆ（ｘ）

ｘ－ａ＝ｆ′＋（ａ）＞０，

１９８５年上海交大等八院校硕士研究生招生考试高等数学试题 ３－５

３

故可知在（ａ，ｂ）内必至少存在一点ｘ０，有ｆ（ｘ０）＞０．在［ａ，ｘ０］，［ｘ０，ｂ］上分别用拉格朗

日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）中值定理知必存在ａ１与ｂ１，使得ａ＜ａ１＜ｘ０＜ｂ１＜ｂ，且有

ｆ（ｘ０）－ｆ（ａ）

ｘ０－ａ ＝ｆ′（ａ１）， ｆ（ｂ）－ｆ（ｘ０）ｂ－ｘ０ ＝ｆ′（ｂ１）．

从而又知 ｆ′（ａ１）＞０，ｆ′（ｂ１）＜０．对ｆ′（ｘ）在［ａ１，ｂ１］区间上再用拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）中值定理，则知至少存在一点ｃ：

ａ１＜ｃ＜ｂ１使得

ｆ′（ｂ１）－ｆ′（ａ１）ｂ１－ａ１ ＝ｆ″（ｃ），

且有ｆ″（ｃ）＜０成立，其中ｃ∈（ａ，ｂ）．

试卷（Ⅱ）（包括线性代数）

九、证：反证法．若ｄ＝（ａ１，ａ２，ａ３，ａ４），ｅ＝（ｂ１，ｂ２，ｂ３，ｂ４），ｆ＝（ｃ１，ｃ２，ｃ３，ｃ４）线性相

关，则存在有不全为零的ｋｉ（ｉ＝１，２，３），使得ｋ１ｄ＋ｋ２ｅ＋ｋ３ｆ＝０，即

ａ１ ｂ１ ｃ１ａ２ ｂ２ ｃ２ａ３ ｂ３ ｃ３ａ４ ｃ４ ｃ

烄

烆

烌

烎４

ｋ１ｋ２ｋ

烄

烆

烌

烎３＝

烄

烆

烌

烎

００００

，

此时，显然也有

ａ１ ｂ１ ｃ１ａ２ ｂ２ ｃ２ａ３ ｂ３ ｃ

烄

烆

烌

烎３

ｋ１ｋ２ｋ

烄

烆

烌

烎３＝烄

烆

烌

烎

０００

，

也即是 ｋ１ａ＋ｋ１ｂ＋ｋ１ｃ＝０．因而ａ、ｂ、ｃ是线性相关的，这与题设矛盾，从而证得ｄ、ｅ、ｆ线性无关．十、解：由于二次型可写成

ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝２ｘ２＋２ｙ２＋３ｚ２＋２ｘｙ＝（ｘ，ｙ，ｚ）２ １ ０１ ２ ０烄

烆

烌

烎０ ０ ３

ｘ烄

烆

烌

烎ｙｚ

，

故其对应矩阵 Ａ＝２ １ ０１ ２ ０烄

烆

烌

烎０ ０ ３，而Ａ的特征方程为｜λＩ－Ａ｜＝０，即

λ－２ －１ ０－１ λ－２ ００ ０ λ－３

＝０，（λ－１）（λ－３）２＝０，

故得特征根 λ１＝１，λ２＝λ３＝３．对应于特征根λ＝１的特征向量由（Ｉ－Ａ）ｘ＝０即

－１ －１ ０－１ －１ ００ ０ －

烄

烆

烌

烎２

ｘ１ｘ２ｘ

烄

烆

烌

烎３＝烄

烆

烌

烎

０００

，

可解得对应于λ＝１的全部特征向量为（ｘ１，ｘ２，ｘ３）Ｔ＝（－ｋ，ｋ，０）Ｔ，

取ｋ＝１得一特征向量为（－１，１，０）Ｔ，将其标准化为ξ１＝ －１槡２

，１槡２

，（ ）０Ｔ

．

历年考研数学试题详解·数学（四）３－６

对应特征值λ＝３的特征向量由（３Ｉ－Ａ）ｘ＝０即

１ －１ ０－１ １ ０烄

烆

烌

烎０ ０ ０

ｘ１ｘ２ｘ

烄

烆

烌

烎３＝烄

烆

烌

烎

０００

，

可解得对应于λ＝３的全部特征向量为（ｘ１，ｘ２，ｘ３）Ｔ＝（ｋ，ｋ，ｌ）Ｔ．取ｋ＝１，ｌ＝０和ｋ＝０，ｌ＝１得二特征向量为（１，１，０）Ｔ 和（０，０，１）Ｔ，将其标准化为

ξ２＝１槡２

，１槡２

，（ ）０Ｔ

和ξ３＝（０，０，１）Ｔ．

因此有正交矩阵 Ｔ＝（ξ１，ξ２，ξ３）＝

－１槡２

１槡２０

１槡２

１槡２０

烄

烆

烌

烎０ ０ １

．

且在正交变换

ｘ＝－１槡２ｘ１＋

１槡２ｙ１，

ｙ＝１槡２ｘ１＋

１槡２ｙ１，

ｚ＝ｚ１

烅

烄

烆 ．

作用下二次型ｆ即可化为标准形ｆ＝ｘ２１＋３ｙ２１＋３ｚ２１．

试卷（Ⅲ）（包括线性代数，复变函数，概率论）

八、（１）解：由矩阵求逆公式Ａ－１＝Ａ／｜Ａ｜，则

Ａ－１＝１５！

２·３·４·５ ０ ０ ０ ００ １·３·４·５ ０ ０ ００ ０ １·２·４·５ ０ ００ ０ ０ １·２·３·５ ００ ０ ０ ０ １·２·３·

烄

烆

烌

烎４

＝

１ ０ ０ ０ ００ １／２ ０ ０ ００ ０ １／３ ０ ００ ０ ０ １／４ ０

０ ０ ０ １／

烄

烆

烌

烎５

．

（２） 见前面试卷（Ⅱ）部分试题十的解答．九、（１）解：由设可有

∮ｅｘｓｉｎｚｚ２－４

ｄｚ＝∫｜ｚ｜＝３ ｅｘｓｉｎｚ（ｚ－２）（ｚ＋２）ｄｚ＝

１４∮｜ｚ｜＝３

ｅｘｓｉｎｚｚ－２ｄｚ－∮｜ｚ｜＝３

ｅｘｓｉｎｚｚ＋２ｄ［ ］ｚ

＝１４［２πｉｅ２ｓｉｎ２－２πｉｅ－２ｓｉｎ（－２）］＝πｉ２ｓｉｎ２

·（ｅ２＋ｅ－２）＝πｉｓｉｎ２ｃｈ２．

（２）解：本题实际上是求积分∫∞

－∞

ｅｉｘ（ｘ２＋１）（ｘ２＋９）ｄｘ的实部，即求：

∫∞

－∞

ｅｉｚ（ｚ２＋１）（ｚ２＋９）ｄｚ．

１９８５年上海交大等八院校硕士研究生招生考试高等数学试题 ３－７

３

此时ｆ（ｚ）＝ ｅｉｚ（ｚ２＋１）（ｚ２＋９）

在上半平面内有两个一阶极点ｚ＝ｉ，ｚ＝３ｉ且可算得，

Ｒｅｓｆ（ｚ）ｚ＝ｉ＝ｅ－１１６ｉ

， Ｒｅｓｆ（ｚ）ｚ＝３ｉ＝ｅ－３４８ｉ．

从而有∫∞

－∞

ｅｉｚ（ｚ２＋１）（ｚ２＋９）ｄｚ＝２πｉＲｅｓｆ

（ｚ）｜ｚ＝ｉ＋Ｒｅｓｆ（ｚ）｜ｚ＝［ ］３ｉ

＝２πｉｅ－１

１６ｉ－ｅ－３（ ）４８ｉ＝

π２４ｅ３

（３ｅ２－１），

比较两端的实部与虚部，即得知

∫∞

－∞

ｃｏｓｘ（ｘ２＋１）（ｘ２＋９）ｄｘ＝

π２４ｅ３

（３ｅ２－１）．

十、（１）解：设Ｂｉ为取出的产品是第ｉ家工厂生产的事件，ｉ＝１，２，３；且Ａ为取出的产品

是废品的事件．

依题意有 Ｐ（Ｂｉ）＝１３

，ｉ＝１，２，３．

又 Ｐ（｜Ａ｜Ｂ１）＝１５

， Ｐ（｜Ａ｜Ｂ２）＝Ｐ（｜Ａ｜Ｂ３）＝１１０．

故

Ｐ（Ａ）＝１３·１５

·＋１３·１１０＋

１３

·１１０＝

２１５．

（２）解：设Ｘ为测量距离的误差，于是Ｘ的概率密度为

ｆ（ｘ）＝ １１００ ２槡π

ｅ－（ｘ＋５０）

２

２００００

测量距离的误差按其绝对值不超过１５０ｍ的概率为

Ｐ｛｜Ｘ｜＜１５０｝＝Ｐ｛－１５０＜Ｘ＜１５０｝＝Φ１５０＋５０（ ）１００ －Φ －１５０＋５０－（ ）１００＝Φ（２）－Φ（－１）＝Φ（２）＋Φ（１）－１＝０．９７７２＋０．８４１３－１＝０．８１８５．

１９８５年 同 济 大 学 等 八 院 校 硕 士 研 究 生

招 生 考 试 高 等 数 学 试 题

一、填空题

（１）ｄ（ｘｔａｎｘ）＝ ｄｘ；ｄ ＝ ｘｄｘ１－ｘ槡 ２

．

（２）设ｆ（ｘ）可微，则ｌｉｍｈ→０

ｆ（ｘ＋２ｈ）－ｆ（ｘ－ｈ）

ｈ ＝ ．

（３）设 →ＯＡ＝｛１，２，１｝，→ＯＢ＝｛－２，－１，１｝，则ｃｏｓ∠ＡＯＢ＝ ．

（４）设ｆ（ｘ）在［０，ｌ］上连续，在（０，ｌ）内有ｆ（ｘ）＝∑∞

ｎ＝１ｂｎｓｉｎ

ｎπｌｘ

，其中ｂｎ的计算公式为

历年考研数学试题详解·数学（四）

这八院校是同济大学、华东化工学院、华东纺织学院、上海机械学院、上海海运学院、上海铁道学院、上海工业大学、上海科技大学．

３－８

ｂｎ＝ ．二、选择题（把正确结论的代号写在括号内）

（１）当ｘ→０时，ｘ２－ｓｉｎｘ是ｘ的 （ ）

（Ａ）高阶无穷小 （Ｂ）同阶无穷小 （Ｃ）低阶无穷小 （Ｄ）等价无穷小

（２）函数Ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在点（ｘ０，ｙ０）处具有偏导数ｆｘ（ｘ０，ｙ０），ｆｙ（ｘ０，ｙ０）是函数在该点

可微分的 （ ）．（Ａ）必要条件但非充分条件 （Ｂ）充分条件但非必要条件

（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既非充分条件也非必要条件

（３）设ｕ＝ｆ（ｘ＋ｙ，ｘｚ）有二阶连续偏导数，则２ｕｘｚ

是 （ ）

（Ａ）ｆ′２＋ｘｆ″１１＋（ｘ＋ｚ）ｆ″１２＋ｘｚｃｆ″２２（Ｂ）ｘｆ″１２＋ｘｚｆ″２２（Ｃ）ｆ′２＋ｆ″１２＋ｘｚｆ″２２ （Ｄ）ｘｚｆ″２２

（４）若级数∑∞

ｎ＝１ｕｎ 及∑

∞

ｎ＝１ｖｎ 都发散，则 （ ）

（Ａ）∑∞

ｎ＝１（ｕｎ＋ｖｎ）必发散 （Ｂ）∑

∞

ｎ＝０ｕｎｖｎ 必发散

（Ｃ）∑∞

ｎ＝０（｜ｕｎ｜＋｜ｖｎ｜）必发散 （Ｄ）∑

∞

ｎ＝０（ｕ２ｎ＋ｖ２ｎ）必发散

三、求ｌｉｍｘ→１

２ｘｘ＋（ ）１

２ｘｘ－１．

四、求∫ｘ２ｘ＋１ａｒｃｔａｎｘｄｘ．

五、求曲线

ｘ＝ｔ，

ｙ＝－ｔ２，

ｚ＝ｔ３烅烄

烆 ．

与平面ｘ＋２ｙ＋ｚ＝４平行的切线方程．

六、求幂级数∑∞

ｎ＝１

１２ｎ－１ｘ

２ｎ－１的收敛区域及和函数．

七、用铁锤将一铁钉打击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比．在铁锤击第一次时，能将铁钉击入木板内１ｃｍ，如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤击

第二次时能把铁钉又击入多少？

八、求三重积分Ω

（ｘ２＋ｙ２）ｄｖ的值，其中Ω是由曲线 ｙ２＝２ｚ，

ｘ＝０｛ ．绕Ｏｚ轴旋转一周而

成的曲面与两平面ｚ＝２，ｚ＝８所围成的立体．

九、求曲线积分∮Ｌ｜ｙ｜ｄｘ＋｜ｘ｜ｄｙ的值，其中Ｌ以Ａ（１，０）、Ｂ（０，１）及Ｃ（－１，０）为

顶点的三角形的正向边界曲线．

十、求ｌｉｍｘ→＋∞

∫ｘ

０｜ｓｉｎｔ｜ｄｔ

ｘ ．十一、求微分方程

ｙ″＋ｙ＝ｘ，当ｘ＜ π２；ｙ″＋４ｙ＝０，当ｘ＞ π２

，

１９８５年同济大学等八院校硕士研究生招生考试高等数学试题 ３－９

３

满足初始条件ｙ｜ｘ＝０＝０，ｙ′｜ｘ＝０＝０并在ｘ＝ π２处连续且可微的解．

十二、设ｆ（０）＝０，ｆ′（ｘ）在［０，＋∞）内是单调增加的，试证函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）

ｘ在区间

（０，＋∞）内是单调增加的．

附：参 考 答 案

一、（１）ｔａｎｘ＋ｘｓｅｃｘ；－ １－ｘ槡 ２． （２）３ｆ′（ｘ）．

（３）－１２．（４）ｂｎ＝

２ｌ∫

１

０ｆ（ｘ）ｓｉｎπｘｌｄｘ．

二、（１）（Ｂ） （２）（Ａ） （３）（Ｃ） （４）（Ｃ）

三、解：令ｙ＝ ２ｘｘ＋（ ）１

２ｘｘ－１，则ｌｎｙ＝２ｘ·ｌｎ（２ｘ）－ｌｎ（ｘ＋１）

ｘ－１，故

ｌｉｍｘ→１ｙ＝ｌｉｍ

ｘ→１ｅｌｎｙ＝ｅｘｐｌｉｍ

ｘ→１（ｌｎｙ｛ ｝）＝ｅｘｐ２·ｌｉｍ

ｘ→１

ｌｎ（２ｘ）－ｌｎ（ｘ＋１）

ｘ－｛ ｝１ ＝ｅ．

四、解：∫ ｘ２１＋ｘ２

ａｒｃｔａｎｘｄｘ＝∫ｘ２＋１－１ｘ２＋１

ａｒｃｔａｎｘｄｘ＝∫ａｒｃｔａｎｘｄｘ－∫ａｒｃｔａｎｘ１＋ｘ２ｄｘ

＝ｘａｒｃｔａｎｘ－∫ ｘ１＋ｘ２

ｄｘ－１２ａｒｃｔａｎｘ

＝ａｒｃｔａｎｘ ｘ－１２ａｒｃｔａｎ（ ）ｘ －１２ｌｎ（１＋ｘ２）＋Ｃ．五、解：曲线的切向量为ｓ＝｛１，－２ｔ，３ｔ２｝，其与所求平面平行，从而有

１－４ｔ＋３ｔ２＝０ （３ｔ－ｔ）（ｔ－１）＝０，

得ｔ１＝１，ｔ２＝１３．

故所求切线方程（两条）为：

ｌ１：ｘ－１１ ＝ｙ＋１－２ ＝ｚ－１３

，ｌ２：ｘ－１３１ ＝

ｙ＋１９

－２３＝ｚ－１２７１３

．

六、解：由 ｌｉｍｎ→∞

１２ｎ＋１１

２ｎ－１＝ｌｉｍ

ｎ→∞

２ｎ－１２ｎ＋１ ＝１

，故 得级数收敛半径为Ｒ＝１．

易验证在端点ｘ＝１，ｘ＝－１处级数发散，从而级数收敛区域为（－１，１）．设在（－１，１）内和函数为Ｓ（ｘ），则由Ｓ（０）＝０及

Ｓ′（ｘ）＝∑∞

ｎ＝１ｘ２ｎ－２＝ １

１－ｘ２，

故 Ｓ（ｘ）＝Ｓ（ｘ）－Ｓ（０）＝∫ｘ

０Ｓ′（ｘ）ｄｘ＝∫

ｘ

０

ｄｘ１－ｘ２＝

１２ｌｎ１＋ｘ１－ｘ．

七、解：设阻力为ｋｘ，ｘ是铁钉进入木板的深度，则有

Ｗ ＝∫１

０ｋｘｄｘ＝∫

ｔ

１ｋｘｄｘ

于是 １２＝

１２ｔ

２－１２，得ｔ＝槡２．故 第二次又把铁钉击入 （槡２－１）ｃｍ．

历年考研数学试题详解·数学（四）３－１０

八、解：旋转面方程为 ｘ２＋ｙ２＝２ｚ，则

Ω

（ｘ２＋ｙ２）ｄＶ ＝∫ｘ

２ ｘ２＋ｙ２≤２ｚ

（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙｄｚ＝∫８

２ρ２≤２ｚ

ρ２·ρｄｐｄθｄｚ

＝∫８

２２π∫

２槡ｚ

０ρ３ｄρｄｚ＝３３６π．

九、解：记△ＡＢＯ的边界为Ｌ１，区域Ｄ１；△ＯＢＣ的边界为Ｌ２，区域Ｄ２．均取边界的正向，

则有

∮Ｌ｜ｙ｜ｄｘ＋｜ｘ｜ｄｙ＝∮Ｌ１

ｙｄｘ＋ｘｄｙ＋∮Ｌ２ｙｄｘ－ｘｄｙ

＝Ｄ１

（１－１）ｄｘｄｙ＋Ｄ２

（－１－１）ｄｘｄｙ＝－１．

十、解：由∫ｘ

０｜ｓｉｎｔ｜ｄｔ＝２，以及对充分大的正值ｘ，均有自然数ｋ

使

ｋπ≤ｘ＜（ｋ＋１）π． （）

于是∫ｋπ

０｜ｓｉｎｔ｜ｄｔ

（ｋ＋１）π ≤∫ｘ

０｜ｓｉｎｔ｜ｄｔ

ｘ ＜∫

（ｋ＋１）π

０｜ｓｉｎｔ｜ｄｔ

ｋπ，即

２ｋ（ｋ＋１）π≤

∫ｘ

０｜ｓｉｎｔ｜ｄｔ

ｘ ＜２（ｋ＋１）

ｋπ ．

令ｘ→＋∞，并考虑到式（），有ｋ→∞，故由逼夹定理有 ｌｉｍｘ→∞

∫ｘ

０｜ｓｉｎｔ｜ｄｔ

ｘ ＝２ｋ．

十一、解：当ｘ＜ π２时，容易求出ｙ″＋ｙ＝ｘ的通解为ｙ＝Ｃ１ｃｏｓｘ＋Ｃ２ｓｉｎｘ＋ｘ，

由ｙ（０）＝０得 Ｃ１＝０， 由ｙ′（０）＝０得 Ｃ２＝－１，故ｙ＝ｘ－ｓｉｎｘ．

按连续性及可微的要求，应有 ｙ π（ ）２ ＝ π２－１，ｙ′ π（ ）２ ＝０．

当ｘ＞ π２时，可得方程ｙ″＋４ｙ＝０的通解ｙ＝Ｃ１ｃｏｓ２ｘ＋Ｃ２ｓｉｎ２ｘ．

按连续性及可微的要求应有 Ｃ１＝π２－１

，２Ｃ２＝０．

综上可有 ｙ＝ｘ－ｓｉｎｘ， ｘ≤ π２

，

１－π（ ）２ ｃｏｓ２ｘ， ｘ≥ π２

烅

烄

烆 ．十二、证：对任意的ｘ＞０，在［０，ｘ］上对ｆ（ｔ）用中值定理．有

ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ′（ξ）ｘ＜ｆ′（ｘ）·ｘ，

这是因为０＜ξ＜ｘ及ｆ′（ｘ）在［０，＋∞）单调增加．

故对ｘ＞０有 ｇ′（ｘ）＝ｘｆ′（ｘ）－ｆ（ｘ）

ｘ２＝ｆ′（ｘ）－ｆ′（ξ）

ｘ ＞０．

此即说ｇ（ｘ）在（０，＋∞）内单调增加．

１９８５年同济大学等八院校硕士研究生招生考试高等数学试题 ３－１１

３

１９８６年 上 海 交 大 等 十 院 校 硕 士 研 究 生

招 生 考 试 高 等 数 学 试 题

试卷（一）

一、判断下列各命题是否正确：

（１）设ｆ（ｘ）＝ｘ３，

２３ｘ

３烅烄

烆 ，

ｘ＞１，

ｘ≤１．则ｆ′（１）＝２．

（２）若向量ａ·ｂ＝ａ·ｃ，且ａ≠０，则ｂ＝ｃ．（３）设二元函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在点（ｘ０，ｙ０）处一阶偏导数存在，则此函数在该点处连续．（４）设Ｓ是球面ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ａ２的外侧，α、β、γ为其法矢量的方向角，Ｖ是由Ｓ所围成

的球体，则

Ｓ

（ｘ３ｃｏｓα＋ｙ３ｃｏｓβ＋ｚ３ｃｏｓγ）ｄｓ＝Ｖ

（３ｘ２＋３ｙ２＋３ｚ２）ｄｖ＝Ｖ

３ａ２ｄｖ＝４πａ５．

（５）设数项级数∑∞

ｎ＝１ａｎ 收敛，数项级数∑

∞

ｎ＝１ｂｎ 发散，则∑

∞

ｎ＝１（ａｎ＋ｂｎ）发散．

二、计算下列各题：

（１）求ｌｉｍｘ→∞ｘ２１－ｘｓｉｎ１（ ）ｘ ． （２）∫ ｘｅｘ

（１＋ｘ）２ｄｘ． （３）求∫１

０ｄｘ∫

１

ｘ２

ｘｙ１＋ｙ槡 ３

ｄｙ．

三、设由方程ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｅｚ确定ｚ是ｘ、ｙ的函数，试求２ｚｘ２．

四、求曲线ｙ＝ｌｎｘ在区间（２，６）内的一条切线，使得该切线与直线ｘ＝２，ｘ＝６和曲线

ｙ＝ｌｎｘ所围成的图形面积最小．五、设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，且在（ａ，ｂ）内有ｆ′（ｘ）＜０，证明

Ｆ（ｘ）＝ １ｘ－ａ∫

ｘ

ａｆ（ｔ）ｄｔ

在（ａ，ｂ）内是单调减函数．

六、证明曲面ｘ２３＋ｙ

２３＋ｚ

２３＝４上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方和为常数．

七、（１）写出函数ｆ（ｘ）＝ｘｅ２在ｘ０处的ｎ阶泰勒（Ｔａｙｌｏｒ）公式，其中余项要求按拉格朗

日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）型写出．

（２）证明ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝０是数项级数∑

∞

ｎ＝１ａｎ 收敛的必要条件，而不是充分条件．

八、计算曲面积分Σ

（ｘ２＋ｙ２）ｄｚｄｘ＋ｚｄｘｄｙ，其中Σ为锥面ｚ＝ ｘ２＋ｙ槡 ２（ｚ≤１）在第

一卦限的部分，方向取下侧．

历年考研数学试题详解·数学（四）

这十院校是上海交通大学、天津大学、华南工学院、西北工业大学、南京工学院、浙江大学、东北工学院、大连工学院、重庆大学、哈尔滨工业大学．

３－１２

九、设函数φ（ｘ）有连续的二阶导数，并使曲线积分

∫ｌ［３φ′（ｘ）－２φ（ｘ）＋ｘｅ２ｘ］ｙｄｘ＋φ′（ｘ）ｄｙ

与路径无关，求φ（ｘ）．十、设可导函数ｆ（ｘ）对任可ｘ，ｙ恒有

ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｅｙｆ（ｘ）＋ｅｘｆ（ｙ），

且ｆ′（０）＝２．求（１）ｆ′（ｘ）与ｆ（ｘ）的关系式；（２）ｆ（ｘ）．

试题（二）（包括线性代数）

前八题同试卷（一）之一至四、七至十题．九、解矩阵方程（Ａ＋２Ｅ）Ｘ＝Ｃ，其中

Ａ＝１ １（ ）１ ２

，Ｅ＝１ ０（ ）０ １

，Ｃ＝１ １（ ）０ １

．

十、设向量组ａ１，ａ２，ａ３线性无关，问当常数ｌ，ｍ满足什么条件时，向量组ｌａ２－ａ１，ｍａ３－ａ２，ａ１－ａ３也线性无关．

十一、已知 ＴＴＡＴ＝１ ０ ００ ３ ０烄

烆

烌

烎０ ０ ７

，其中Ｔ＝

－１槡３

１槡２

１槡６

１槡３

１槡２

－１槡６

１槡３

０ ２槡

烄

烆

烌

烎６

为正交矩阵，且

Ａ＝３ ０ ２０ ３ －２２ －

烄

烆

烌

烎２ ５．

（１）求Ａ的特征值和特征向量；

（２）设λ为Ａ的特征值，证明２λ２＋３为２Ａ２＋３Ｅ的特征值，其中Ｅ为三阶单位矩阵．

试卷（三）（包括线性代数，复变函数）

前九题分别为试卷（一）中的一、二、四、七、八、九、十题及试卷（二）中的九、十一题．十、求常数Ｋ使ｕ（ｘ，ｙ）＝２ｘ２－Ｋｙ２－２ｘｙ为调和函数，并求以ｕ（ｘ，ｙ）为实部的解析

函数ｆ（ｚ）＝ｕ（ｘ，ｙ）＋ｉｖ（ｘ，ｙ），满足ｆ（０）＝０．

十一、计算曲线积分∮Ｃ

ｄｚ（ｚ－１）２（ｚ２＋１）

，其中Ｃ为圆周｜ｚ－１｜＝１取逆时针方向．

试卷（四）（包括线性代数，概率论）

前九题分别为试卷（一）中的一、二、四、七、八、九、十诸题及试卷（二）中的九、十题．十、商店销售一批收音机，共有１０台，其中有３台次品，但是已经售出了２台，问从剩下的

收音机中，任取一台是正品的概率是多少？

十一、设随机变量Ｘ的密度函数为

１９８６年上海交大等十院校硕士研究生招生考试高等数学试题 ３－１３

３

ｆ（ｘ）＝Ｃ（１－ｘ２），－１＜ｘ＜１，

０， 其他烅烄烆 ．

（１）确定常数Ｃ；

（２）求Ｘ的数学期望Ｅ（Ｘ）及方差Ｄ（Ｘ）．

附：参 考 答 案

试卷（一）

一、 （１）非 （２）非 （３）非 （４）非 （５）是

二、 （１）解：令ｔ＝１ｘ，则由Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔｏｌ法则有

ｌｉｍｘ→∞ｘ２１－ｘｓｉｎ１（ ）ｘ ＝ｌｉｍ

ｔ→０

１ｔ２ １－

ｓｉｎｔ（ ）ｔ ＝ｌｉｍｔ→０

ｔ－ｓｉｎｔｔ３ ＝ｌｉｍ

ｔ→０

１－ｃｏｓｔ３ｔ２ ＝ｌｉｍ

ｔ→０

ｓｉｎｔ６ｔ ＝

１６．

（２）解：先凑微分（将被积式变形）、再分部积分有

∫ｘｅｘ１＋ｘｄｘ＝－∫ｘｅｘｄ １

１＋（ ）ｘ ＝－ ｘｅｘ

１＋ｘ＋∫ １１＋ｘ

（１＋ｘ）ｅｘｄｘ

＝－ ｘｅｘ

１＋ｘ＋∫ｅｘｄｘ＝ｅｘ－ ｘｅｘ

１＋ｘ＋Ｃ．另解：先将被积式变形后再行积分

∫ｘｅｘ１＋ｘｄｘ＝∫ｅｘ

１＋ｘｄｘ－∫ ｅｘ（１＋ｘ）２ｄｘ＝∫ｅｘ

１＋ｘｄｘ＋∫ｅｘｄ １１＋（ ）ｘ

＝∫ｅｘ１＋ｘｄｘ＋

ｅｘ１＋ｘ－∫ｅｘ

１＋ｘｄｘ

＝ ｅｘ１＋ｘ＋Ｃ．

（３）解：先交换二重积分次序则有

∫１

０ｄｘ∫

１

ｘ２

ｘｙ１＋ｙ槡 ３

ｄｙ＝∫１

０ｄｙ∫

槡ｙ

０

ｘｙ１＋ｙ槡 ３

ｄｘ＝∫１

０

ｙ２

２ １＋ｙ槡 ３ｄｙ

＝１６∫１

０

１１＋ｙ槡 ３

ｄ（１＋ｙ３）＝１３ １＋ｙ槡 ３１

０

＝１３（槡２－１）．

三、解：题设方程两边对ｘ求导，有１＋ｚｘ＝ｅｚｚｘ

，得 ｚｘ＝

１ｅｚ－１

，故

２ｚｘ２＝－

ｅｚ（ｅｚ－１）３．

四、解：设所求切线与ｙ＝ｌｎｘ切于点（Ｃ，ｌｎＣ），则（点斜式）切线方程为

ｙ＝１Ｃ（ｘ－Ｃ）＋ｌｎＣ，

它与直线ｘ＝２，ｘ＝６和ｙ＝ｌｎｘ所围图形面积为

Ｉ＝∫６

２

１Ｃ

（ｘ－Ｃ）＋ｌｎＣ－ｌｎ［ ］ｘ ｄｘ＝４ １Ｃ（４－Ｃ）＋ｌｎＣ＋［ ］１＋ｌｎ４－６ｌｎ６，

历年考研数学试题详解·数学（四）３－１４

而 ｄＩｄＣ＝－

４Ｃ２

（４－Ｃ），令 ｄＩｄＣ＝０

得 Ｃ＝４．

当 Ｃ＜４时有 ｄＩｄＣ＜０

， Ｃ＞４时有 ｄＩｄＣ＞０

，故当Ｃ＝４时，Ｉ取极小值，而且也是

最小值．

因此所求切线方程为 ｙ＝１４ｘ－１＋ｌｎ４．

五、解：Ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ）（ｘ－ａ）－∫

ｘ

ａｆ（ｔ）ｄｔ

（ｘ－ａ）２（利用积分中值定理）

＝ｆ（ｘ）（ｘ－ａ）－ｆ（ξ１）（ｘ－ａ）

（ｘ－ａ）２ ＝ １ｘ－ａ

［ｆ（ｘ）－ｆ（ζ１）］

＝ １ｘ－ａｆ′

（ξ２）（ｘ－ξ１） （ａ＜ξ１＜ξ２＜ｘ）．由于在（ａ，ｂ）内ｘ－ａ＞０，ｘ－ξ１＞０，且由假设ｆ′（ｘ）＜０，

故由上式知 Ｆ′（ｘ）＜０，所以在（ａ，ｂ）内，Ｆ（ｘ）是单调减函数．

六、证：令Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘ２３＋ｙ

２３＋ｚ

２３－４，则曲面上任一点（ｘ，ｙ，ｚ）处法线的方向数

Ｆｘ＝２３ｘ

－１３， Ｆｙ＝２３ｙ

－１３， Ｆｚ＝２３ｚ

－１３．

设（Ｘ，Ｙ，Ｚ）为点（ｘ，ｙ，ｚ）处切平面的任一点，则切平面方程为

２３ｘ

－１３（Ｘ－ｘ）＋２３ｙ－１３（Ｙ－ｙ）＋２３ｚ

－１３（Ｚ－ｚ）＝０，

或 ｘ－１３Ｘ＋ｙ－

１３Ｙ＋ｚ－

１３Ｚ＝４， 其截距式为 Ｘ

４ｘ１３＋ Ｙ４ｙ１３＋ Ｚ４ｚ１３＝１．

由此截距的平方和 １６（ｘ２３＋ｙｘ

２３＋ｚｘ

２３）＝１６·４＝６４（常数）．

七、（１）解：由ｆ（ｘ）＝ｘｅｘ，则

ｆ′（ｘ）＝（ｘ＋１）ｅｘ，ｆ″（ｘ）＝（ｘ＋２）ｅｘ，⋯，ｆ（ｎ）（ｘ）＝（ｘ＋ｎ）ｅｘ，⋯

从而 ｆ（０）＝０，ｆ′（０）＝１，ｆ″（０）＝２，⋯，ｆ（ｎ）（０）＝ｎ，⋯

于是 ｆ（ｘ）＝ｘｅｘ 在ｘ０＝０处的ｎ阶泰勒（Ｔａｙｌｏｒ）公式为

ｘｅｘ＝０＋ｘ＋２ｘ２

２！＋⋯＋ｎｘｎ

ｎ！＋Ｒｎ

＝ｘ＋ｘ２

１！＋ｘ３２！＋⋯＋ ｘｎ

（ｎ－１）！＋Ｒｎ，

其中余项Ｒｎ 的拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）型为：

Ｒｎ＝（ξ＋ｎ＋１）ｅξ

（ｎ＋１）！ ｘｎ＋１ （ξ在０与ｘ之间）．

（２）证：设级数∑∞

ｎ＝１ａｎ 收敛，其和为Ｓ，又Ｓｎ＝ａ１＋ａ２＋⋯＋ａｎ．

按定义有 ｌｉｍｎ→∞Ｓｎ＝Ｓ．

于是有 ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝ｌｉｍ

ｎ→∞（Ｓｎ－Ｓｎ－１）＝ｌｉｍｎ→∞Ｓｎ－ｌｉｍｎ→∞Ｓｎ－１＝０

，

所以 ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝０是级数∑

∞

ｎ＝１ａｎ 收敛的必要条件．

１９８６年上海交大等十院校硕士研究生招生考试高等数学试题 ３－１５

３

然而 ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝０不是级数收敛的充分条件，如调和级数∑

∞

ｎ＝１

１ｎ

就有

ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝ｌｉｍ

ｎ→∞

１ｎ ＝０

，

但调和级数却是发散的．八、解：由题设又有

Σ

（ｘ２＋ｙ２）ｄｚｄｘ＋ｚｄｘｄｙ＝Ｄｘｚ

ｚ２ｄｚｄｘ－Ｄｘｙ

ｘ２＋ｙ槡 ２ｄｘｄｙ

＝∫１

０ｄｚ∫

ｚ

０ｚ２ｄｘ－∫

π２

０ｄθ∫

１

０ｒ２ｄｒ＝１４－

π６．

九、解：由 Ｐｙ＝

Ｑｘ

，得３φ′（ｘ）－２φ（ｘ）＋ｘｅ２ｘ＝φ″（ｘ），

即 φ″（ｘ）－３φ′（ｘ）＋２φ（ｘ）＝ｘｅ２ｘ．对应齐次方程通解为 Φ（ｘ）＝Ｃ１ｅｘ＋Ｃ２ｅ２ｘ，

设非齐次方程特解为 φ″（ｘ）＝ｘ（ａｘ＋ｂ）ｅ２ｘ，

利用待定系数法定出 ａ＝１２，ｂ＝－１．

故题设方程通解 φ（ｘ）＝Ｃ１ｅｘ＋Ｃ１ｅ２ｘ＋ｘｘ２－（ ）１ｅ２ｘ．

十、（１）解：由函数导数定义可有

ｆ′（ｘ）＝ｌｉｍΔｘ→０

ｆ（ｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ）

Δｘ ＝ｌｉｍΔｘ→０

ｅｘｆ（Δｘ）＋ｅΔｘｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）

Δｘ，

又 ｆ（０）＝０，ｆ′（０）＝２，ｌｉｍΔｘ→０

ｅΔｘ－１Δｘ ＝１，故

ｆ′（ｘ）＝ｌｉｍΔｘ→０

ｆ（ｘ）ｅΔｘ－１Δｘ ＋ｌｉｍ

Δｘ→０

ｅｘｆ（Δｘ）

Δｘ ＝ｆ（ｘ）＋２ｅｘ．

另解：由 ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｅｙｆ（ｘ）＋ｅｘｆ（ｙ），

两边对ｙ求偏导 ｆ′（ｘ＋ｙ）＝ｅｙｆ（ｘ）＋ｅｘｆ′（ｙ），

令 ｙ＝０，则有ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｅｘｆ′（０）．由 ｆ′（０）＝２， 故 ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋２ｅｘ．

（２）解：求一阶线性微分方程ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋２ｅｘ满足ｆ（０）＝０的特解．它对应的齐次

方程ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ）的通解为Ｃｅｘ，非齐次方程的一个特解为２ｘｅｘ．故该方程的通解为 ｆ（ｘ）＝Ｃｅｘ＋２ｘｅｘ．由ｆ（０）＝０得Ｃ＝０，所以ｆ（ｘ）＝２ｘｅｘ．

试卷（二）线性代数部分

九、解：由 Ａ＋２Ｅ＝３ １（ ）１ ４

，于是方程化为３ １（ ）１ ４

Ｘ＝１ １（ ）０ ４

，

从而 Ｘ＝３ １（ ）１ ４

－１１ １（ ）０ ４＝ １１１

４ －１－（ ）１ ３

１ １（ ）０ ４＝

４１１

３１１

－１１１２

烄

烆

烌

烎１１

．

历年考研数学试题详解·数学（四）３－１６

十、解：若ｋ１（ｌａ２－ａ１）＋ｋ２（ｍａ３－ａ２）＋ｋ３（ａ１－ａ３）＝０，

即 （－ｋ１＋ｋ３）ａ１＋（ｋ１ｌ－ｋ２）ａ２＋（ｋ２ｍ＋ｋ３）ａ３＝０．从而

ｋ１－ｋ３＝０，

ｌｋ１－ｋ２＝０，

ｍｋ２－ｋ３＝０烅烄

烆 ．

又

－１ ０ １ｌ －１ ００ ｍ －１

＝ｌｍ－１，

当ｌｍ ≠１，方程组有惟一零解，即向量组

ｌａ２－ａ１， ｍａ２－ａ３， ａ１－ａ３也线性无关．

十一、（１）解：因ＴＴ＝Ｔ－１，故Ａ的特征值与ＴＴＡＴ同即λ１＝１，λ２＝３，λ３＝７，可解得

相应的特征向量是（－１，１，１），（１，１，０），（１，－１，０）．（２）证：因λ是Ａ的特征值，则有非０向量ξ，使Ａξ＝λξ．由 （２Ａ２＋３Ｅ）ξ＝２Ａ（Ａξ）＋３ξ＝２Ａ（λξ）＋３ξ＝λ·２Ａξ＋３ξ

＝λ·２（λξ）＋３ξ＝２λ２ξ＋３ξ＝（２λ２＋３）ξ，

故 （２λ２＋３）是（２Ａ２＋３Ｅ）的特征值．

试卷（三）复变函数部分

十、解：由 ｕｘ＝４ｘ－２ｙ

，２ｕｘ２＝４

， 及 ｕｙ＝－２Ｋｙ－２ｘ

， ２ｕｙ２

＝－２Ｋ，

因ｕ为调和函数，则 ２ｕｘ２＋

２ｕｙ２

＝０，

由此 ４－２Ｋ＝０，得 Ｋ＝２，从而 ｕ＝２ｘ２－２ｙ２－２ｘｙ．

由Ｃ－Ｒ条件 ｖｙ＝

ｕｘ＝４ｘ－２ｙ

，故 ｖ＝４ｘｙ－ｙ２＋φ（ｘ）．

又由 ｕｙ＝－

ｖｘ

，有 －４ｙ－２ｘ＝－４ｙ－φ′（ｘ），

从而 φ′（ｘ）＝２ｘ，有 φ（ｘ）＝ｘ２＋Ｃ． 则 ｖ＝４ｘｙ＋ｘ２－ｙ２＋Ｃ，

由 ｆ（０）＝０，得 Ｃ＝０，故ｆ（ｚ）＝２ｘ２－２ｙ２－２ｘｙ＋ｔ（４ｘｙ＋ｘ２－ｙ２）．十一、解：函数ｆ（ｚ）在｜ｚ－１｜＝１内只有一个二级极点ｚ＝１．

由 Ｒｅｓｆ（ｚ）｜ｚ＝１＝ｌｉｍｚ→１ｄｄｚ

（ｚ－１）２· １（ｚ－１）２（ｚ２＋１［ ］）＝ｌｉｍｚ→１

－２ｚ（ｚ２＋１）２＝－

１２

，

故 ∮Ｃ

ｄｚ（ｚ－１）２（ｚ２＋１）＝２πＲｅｓｆ（ｚ）｜ｚ＝１＝－πｉ．

试卷（四）概率论部分

十、解：设Ａ表示从剩下的收音机中任取一台为正品的事件，Ａｋ表示售出２台中恰有ｋ台为正品的事件（ｋ＝０，１，２），则

Ｐ（Ａｋ）＝Ｃｋ７Ｃ２－ｋ３Ｃ２１０

（ｋ＝０，１，２），

从而 Ｐ（Ａ０）＝３４５

， Ｐ（Ａ１）＝２１４５

， Ｐ（Ａ２）＝２１４５

，

１９８６年上海交大等十院校硕士研究生招生考试高等数学试题 ３－１７

３

且 Ｐ（Ａ｜Ａｋ）＝７－ｋ８（ｋ＝０，１，２），

故 Ｐ（Ａ｜Ａ０）＝７８

，Ｐ（Ａ｜Ａ１）＝６８

，Ｐ（Ａ｜Ａ２）＝５８．

由全概率公式可有

Ｐ（Ａ）＝∑２

ｋ＝０Ｐ（Ａ｜Ａｋ）Ｐ（Ａｋ）＝ ２１３６０＋

１２６３６０＋

１０５３６０＝０．７＝７０％．

十一、解：（１）∫＋∞

－∞ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫

１

－１Ｃ（１－ｘ２）ｄｘ＝１，故 Ｃ＝３４．

（２）由Ｅ（ｘ）＝∫∞

－∞ｘｆ（ｘ）ｄｘ＝０ （因ｆ（ｘ）为偶函数），

则 Ｄ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ２）＝∫∞

－∞ｘ２ｆ（ｘ）ｄｘ＝３４∫

１

－１ｘ２（１－ｘ２）ｄｘ＝１５．

１９８６年华东六省一市硕士研究生招生考试

高 等 数 学 试 题

一、求极限ｌｉｍｘ→０

２πａｒｃｃｏｓ（ ）ｘ

１ｘ．

二、设ｙ＝ｘ（ｓｉｎｘ）ｃｏｓｘ，求ｄｙｄｘ．

三、求下列积分

（１）∫ｘ３ｅ－ｘ２

ｄｘ． （２）∫１４

０

１－槡 ｘ１－槡ｘ

ｄｘ．

四、设ｕ＝ｆｘ，ｘ（ ）ｙ ，其中ｆ对各变元具有二阶连续偏导数，求２ｕｘ２

，２ｕ

ｘｙ．

五、求幂级数∞

ｎ＝１

（ｘ－１）ｎ

ｎ·３ｎ的收敛域．

六、将函数ｆ（ｘ）＝１（０≤ｘ≤１）展开为正弦级数．七、设函数φ（ｘ）具有二阶连续导数，且φ（０）＝φ′（０）＝０．试求φ（ｘ）的表达式，以使方

程φ（ｘ）ｙｄｘ＋［ｓｉｎｘ－φ′（ｘ）］ｄｙ＝０是一个全微分方程．

八、计算Σ

（ｘ２＋ｙ２）ｚｄｘｄｙ，其中Σ是球面ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１下半部的下侧．

九、设有一内壁形状为抛物面ｚ＝ｘ２＋ｙ２的容器，原来盛有８π（ｃｍ３）的水，后来又注入

６４π（ｃｍ３）的水，试求水面比原来升高了多少？

十、求由闭曲面（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）２＝ａ２（ｘ２＋ｙ２）（ａ＞０）所围成的密度为ρ的均匀物体对Ｏｚ轴的转动惯量．

十一、设Ｒ为抛物线ｙ＝ｘ２上任一点Ｍ（ｘ，ｙ）处的曲率半径，Ｓ为该曲线上某一定点

Ｍ０到Ｍ 点的弧长，证明Ｒ，Ｓ满足方程３Ｒｄ２Ｒｄｓ２－

ｄＲｄ（ ）ｓ

２－９＝０．

十二、设ｆ（ｘ）具有二阶连续导数，且ｆ（０）＝０，证明函数

历年考研数学试题详解·数学（四）３－１８

ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）

ｘ， 当ｘ≠０时，

ｆ′（０）， 当ｘ＝０时烅烄

烆 ．可导且导函数连续．

十三、设函数ｕ（ｘ，ｙ），ｖ（ｘ，ｙ）在闭区域Ｄ：ｘ２＋ｙ２≤１上具有一阶连续偏导数，又

ｆ（ｘ，ｙ）＝ｖ（ｘ，ｙ）ｉ＋ｕ（ｘ，ｙ）ｊ，ｇ（ｘ，ｙ）＝ ｕｘ－ｕ（ ）ｙｉ＋

ｖｙ－

ｖ（ ）ｙｊ，

在Ｄ的边界上有ｕ（ｘ，ｙ）≡１，ｖ（ｘ，ｙ）≡ｙ，试计算二重积分Ｄｆ·ｇｄσ．

附：参 考 答 案

一、解１：令ｙ＝ ２πａｒｃｃｏｓ（ ）ｘ

１ｘ，则ｌｎｙ＝１ｘ ｌｎ

２π＋ｌｎａｒｃｃｏｓ［ ］ｘ

由 ｌｉｍｘ→０

（ｌｎｙ）＝ｌｉｍｘ→０

１ａｒｃｃｏｓｘ· １－ｘ槡 ２

＝－２π，故 原式＝ｌｉｍ

ｘ→０ｙ＝ｅ－

２π．

解２：原式＝ｌｉｍｘ→０

１＋ ２πａｒｃｃｏｓｘ（ ）［ ］－１

１２πａｒｃｃｏｓｘ｛ ｝－１

２πａｒｃｃｏｓｘ－１

ｘ ，

由 ｌｉｍｘ→０

２πａｒｃｃｏｓｘ－１

ｘ ＝ｌｉｍｘ→０

－２π １－ｘ槡 ２

＝－２π，故 原式＝ｌｉｍ

ｘ→０ｙ＝ｅ－

２π．

二、解１：由题设有ｌｎｙ＝ｌｎｘ＋ｃｏｓｘ（ｌｎｓｉｎｘ），则两边对ｘ求导有

ｙ′ｙ＝

１ｘ－ｓｉｎｘｌｎ

（ｓｉｎｘ）＋ｃｏｓｘ·ｃｏｔｘ，

从而 ｄｙｄｘ＝

（ｓｉｎｘ）ｃｏｓｘ［１－ｘｓｉｎｘｌｎ（ｓｉｎｘ）＋ｘｃｏｓｘ·ｃｏｔｘ］．

解２：设φ（ｘ）＝（ｓｉｎｘ）ｃｏｓｘ，则ｌｎφ（ｘ）＝ｃｏｓｘｌｎ（ｓｉｎｘ），有

φ′（ｘ）

φ（ｘ）＝－ｓｉｎｘｌｎ（ｓｉｎｘ）＋ｃｏｓｘ·ｃｏｔｘ，

即 φ′（ｘ）＝（ｓｉｎｘ）ｃｏｓｘ（－ｓｉｎｘｌｎ（ｓｉｎｘ）＋ｃｏｓｘ·ｃｏｔｘ）．从而

ｄｙｄｘ＝

［ｘφ（ｘ）］′＝φ（ｘ）＋ｘφ′（ｘ）．

＝（ｓｉｎｘ）ｃｏｓｘ［１－ｘｓｉｎｘｌｎ（ｃｏｓｘ）＋ｘ·ｃｏｓｘ·ｃｏｔｘ］

三、（１）解：令ｔ＝ｘ２，则

原式＝１２∫ｔｅ－ｔｄｔ＝－１２∫ｔｄｅ－ｔ＝１２ ｔｅ－ｔ－∫ｅ－ｔｄ（ ）ｔ

＝－１２（ｔ＋１）ｅ－ｔ＋Ｃ＝－１２

（ｘ２＋１）ｅ－ｘ２

＋Ｃ

（２）解：令ｘ＝ｓｉｎ２θ，则

原式＝∫π６

０

２ｓｉｎθｃｏｓ２θ１－ｓｉｎθｄθ＝∫

π６

０（２ｓｉｎθ＋２ｓｉｎ２θ）ｄθ＝ π６＋２－

５４槡３．

四、解：由题设有

１９８６年华东六省一市硕士研究生招生考试高等数学试题 ３－１９

３

ｕｘ＝ｆ１＋

１ｙｆ２

， ２ｕｘ２＝ｆ１１＋

２ｙｆ１２＋

１ｙ２ｆ２２

， ２ｕｘｙ＝－

ｘｙ２ｆ１２

－ｘｙ２ｆ２

－ｘｙ３ｆ２２

．

五、解：因为ｌｉｍｎ→∞

ａｎ＋１ａｎ

＝ｌｉｍｎ→∞

ｎ·３ｎ（ｎ＋１）３ｎ＋１

＝１３，所以级数收敛半径Ｒ＝３．

当ｘ－１＝３，即ｘ＝４时，得级数∞

ｎ＝１

１ｎ

，发散；

当ｘ－１＝－３，即ｘ＝－２时，得级数∞

ｎ＝１

（－１）ｎ

ｎ，收敛．

故 级数收敛域为［－２，４）．六、解：由题设及函数Ｆｏｕｒｉｅｒ展开系数公式有

ａｋ＝０（ｋ＝０，１，２，⋯）；

ｂｋ＝２∫１

０１·ｓｉｎｋπｘｄｘ＝ ２ｋπ

（１－ｃｏｓｋπ）

＝０， 当ｋ＝２ｎ，

４（２ｎ－１）π

， 当ｋ＝２ｎ－１烅烄

烆 ．（ｎ＝１，２，３，⋯）

故 ｆ（ｘ）～４π∞

ｎ＝１

１２ｎ－１ｓｉｎ

（２ｎ－１）πｘ＝１， 当ｘ∈（０，１）时，

０， 当ｘ＝０或１时｛ ．七、解：题设方程为全微分方程的条件为

［φ（ｘ）ｙ］

ｙ ＝［ｓｉｎｘ－φ′（ｘ）］

ｘ，

即得 φ″（ｘ）＋φ（ｘ）＝ｃｏｓｘ， （）

解方程（）ｒ２＋１＝０，有ｒ＝±ｉ，得珔φ（ｘ）＝Ｃ１ｃｏｓｘ＋Ｃ２ｓｉｎｘ，其中Ｃ１，Ｃ２为任意常数．

设ｙ＝ｘ（ａｃｏｓｘ＋ｂｓｉｎｘ），代入方程（１）得ａ＝０，ｂ＝１２．知方程有特解ｙ＝１２ｘｓｉｎｘ．

故（）的通解为 φ（ｘ）＝Ｃ１ｃｏｓｘ＋Ｃ２ｓｉｎｘ＋１２ｘｓｉｎｘ．

又由φ（０）＝φ′（０）＝０，得Ｃ１＝Ｃ２＝０，从而φ（ｘ）＝１２ｘｓｉｎｘ．八、解：由题设可有

Σ

（ｘ２＋ｙ２）ｚｄｘｄｙ＝－ｘ２＋ｙ２≤１

（ｘ２＋ｙ２）（－ １－ｘ２－ｙ槡 ２）ｄｘｄｙ

＝ｘ２＋ｙ２≤１

（ｘ２＋ｙ２） １－ｘ２－ｙ槡 ２ｄｘｄｙ

＝∫２π

０ｄθ∫

１

０ｒ３ １－ｒ槡 ２ｄｒ＝ ４１５π．

九、解１：过点（０，０，ｚ）作平行于ｘＯｙ面的截面，得截面积

Ａ（ｚ）＝π（ｘ２＋ｙ２）＝πｚ，

因而水面高为ｈ时容器内所盛水的体积为

Ｖ ＝∫ｈ

０Ａ（ｚ）ｄｚ＝１２πｈ

２．

则由上式可解得 ｈ＝ ２Ｖ槡π．

历年考研数学试题详解·数学（四）３－２０

当Ｖ１＝８π时，ｈ１＝４；当Ｖ２＝８π＋６４π＝７２π时，ｈ２＝１２．故水面升高为 Ｈ＝ｈ２－ｈ１＝８（ｃｍ）．解２：水面高为ｈ时容器内所盛水的体积为

Ｖ ＝∫ｈ

０ｄｚ∫

２π

０∫槡ｚ

０ｒｄｒ＝ π２ｈ

２．

以下同解１．十、解：依公式物体对Ｏｚ轴的转动惯量为

ＩＯｚ＝Ω

（ｘ２＋ｙ２）ρｄｖ，

化为球面坐标系则有

ＩＯｚ＝ρ∫２π

０ｄθ∫

π

０ｄφ∫

ａｓｉｎφ

０ｒ２ｓｉｎ２φ·ｒ２ｓｉｎφｄｒ＝ρ∫

２π

０ｄθ∫

π

０ｓｉｎ２φｄφ∫

ａｓｉｎφ

０ｒ４ｄｒ

＝１５ρａ５·２π·∫

π

０ｓｉｎ８φｄφ＝

１５ρａ

５·２π·３５１２８π＝

７６４ρａ

５π２．

十一、解：由设有ｙ＝ｘ２，ｙ′＝２ｘ，ｙ″＝２．从而

κ＝ ｜ｙ″｜（１＋ｙ′２）

３２＝ ２

（１＋４ｘ２）３２

， Ｒ＝１２（１＋４ｘ２）

３２．

则 ｄＲ＝１２·３２

·８ｘ（１＋４ｘ２）１２ｄｘ＝６ｘ １＋４ｘ槡 ２ｄｘ，

且 ｄｓ＝ １＋ｙ′槡 ２ｄｘ＝ １＋４ｘ槡 ２ｄｘ，

故 ｄＲｄｓ＝６ｘ

， ｄ２Ｒｄｓ２＝

ｄｄｘｄＲｄ（ ）ｓｄｓｄｘ

＝ ６１＋４ｘ槡 ２

． 代入题设方程左边，得

３·１２（１＋４ｘ２）

３２· ６１＋４ｘ槡 ２

－（６ｘ）２－９＝９（１＋４ｘ２）－３６ｘ２－９＝０．

十二、解：当ｘ≠０时，ｇ′（ｘ）＝ｘｆ′（ｘ）－ｆ（ｘ）

ｘ２；当ｘ＝０时，

ｇ′（０）＝ｌｉｍｘ→０

ｆ（ｘ）

ｘ －ｆ′（０）

ｘ－０ ＝ｌｉｍｘ→０

ｆ（ｘ）－ｆ′（０）ｘｘ２ ＝ｌｉｍ

ｘ→０

ｆ′（ｘ）－ｆ′（０）

２ｘ

＝ｌｉｍｘ→０

ｆ″（ｘ）

２ ＝１２ｆ″（０）．

又ｌｉｍｘ→０ｇ′（ｘ）＝ｌｉｍ

ｘ→０

ｘｆ′（ｘ）－ｆ（ｘ）

ｘ２ ＝ｌｉｍｘ→０

ｆ′（ｘ）＋ｘｆ″（ｘ）－ｆ′（ｘ）

２ｘ

＝ｌｉｍｘ→０

ｆ″（ｘ）

２ ＝１２ｆ″（０）＝ｇ′（０）．

故ｇ′（ｘ）在ｘ＝０连续．当ｘ≠０时，ｇ′（ｘ）显然连续，故ｇ′（ｘ）是（－∞，＋∞）上的连续函数．十三、解：由题设有

ｆ·ｇ＝ｖ ｕｘ－ｕ（ ）ｙ ＋ｕ ｖｘ－

ｖ（ ）ｙ ＝ ｕｖｘ＋ｖ

ｕ（ ）ｘ － ｕｖｙ＋ｖ

ｕ（ ）ｙ

＝（ｕｖ）

ｘ －（ｕｖ）

ｙ ．

１９８６年华东六省一市硕士研究生招生考试高等数学试题 ３－２１

３

则 Ｄｆ·ｇｄσ＝

Ｄ

（ｕｖ）

ｘ －（ｕｖ）

［ ］ｙ ｄｘｄｙ＝∮ｘ２＋ｙ２＝１

ｕｖｄｘ＋ｕｖｄｙ

＝∮ｘ２＋ｙ２＝１

ｙｄｘ＋ｙｄｙ＝Ｄ

（－１）ｄｘｄｙ＝－π．

注：当二重积分化为曲线积分时，可不考虑出现任意函数的情形，因为

Ｄ

（ｕｖ）

ｘ －（ｕｖ）

［ ］ｙ ｄｘｄｙ＝ ∮ｘ２＋ｙ

２＝１

［ｕｖ＋φ（ｘ）］ｄｘ＋［ｕｖ＋ψ（ｙ）］ｄｙ

＝ ∮ｘ２＋ｙ

２＝１

ｙｄｘ＋ｙｄｙ＝Ｄ

（－１）ｄｘｄｙ＝－π．

１９８７年全国硕士研究生招生考试数学（五）试题（副题）

［说明：本试卷共１１个大题，含线性代数和概率论，均为必做题，满分１００分］

一、判断题（本题共５个小题，满分１０分，每小题回答正确得２分，回答错误得－１分，不

回答得０分，全题最低得０分．）您认为结论正确，在括号内打“√”；否则打“×”．

（１）ｌｉｍｘ→０

１＋２＋⋯＋ｎｎ２ ＝ｌｉｍ

ｘ→∞

１ｎ２＋

２ｎ２＋

⋯＋ｎｎ（ ）２ ＝０． （ ）

（２）ｄｄｘ∫

ｌｎ槡 ｘ

１ｅｔ

２

ｄ（ ）ｔ ＝ １２ ｌｎ槡 ｘ

． （ ）

（３）一个ｎ阶方阵，经过初等变换后，其行列式的值不变． （ ）

（４）若Ａ是ｎ阶方阵，齐次线性方程组Ａｘ＝０只有零解，则非齐次方程线性方程组Ａｘ＝ｂ有唯一解．其中ｘ和ｂ都是ｎ维列向量． （ ）

（５）对于任意二随机变量Ｘ和Ｙ，只要方差Ｄ（Ｘ）和Ｄ（Ｙ）存在，则Ｄ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｄ（Ｘ）＋Ｄ（Ｙ）． （ ）

二、填空题（本题共１０个小题，满分２０分，每小题２分）在下列各小题中，将正确答案填

入横线上空白处．（１）若函数ｆ（ｘ）的定义域为（０，１），则函数ｆ（ｅｘ）的定义域为 ．

（２）假设ｌｉｍｘ→∞

ｘ２＋１ｘ＋１－ｘ＋（ ）ｂ ＝０，则ｂ＝ ．

（３）设ｙ＝ａｒｃｓｉｎ １－ｘ槡 ２，则ｙ′ ．

（４）积分∫＋∞

２

ｄｘｘ２＋ｘ－２＝

．

（５）设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，那么总可在（ａ，ｂ）内至少存在一点ξ，

使得ｆ′（ξ）＝ ．

历年考研数学试题详解·数学（四）

副题系备用题，它仅在一旦出现某些意外情况下才启用，其题型、题量、难度与正题相当．一般来讲，考生较难见到．当时的数学（五）试题，即为现今的数学（四）试题．

３－２２

（６）行列式

０ ０ ０ ０ １０ ０ ０ １ ００ ０ １ ０ ００ １ ０ ０ ０１ ０ ０ ０ ０

＝ ．

（７）由ｍ 个ｎ维向量组成的向量组的秩最大为 ．（８）假设事件Ａ、Ｂ、Ｃ相互独立，其概率都等于０．９，那么事件Ａ、Ｂ、Ｃ中最多出现两个

的概率等于 ．（９）已知ｆ（ｘ）＝ａｅ－（ｘ－３）

２

（－∞＜ｘ＜∞）是某随机变量的概率密度，那么，常数ａ＝．

（１０）设随机变量Ｘ１、Ｘ２、Ｘ３相互独立，且都服从参数为λ的泊松（Ｐｏｉｓｓｏｎ）分布，若令

Ｙ＝１３（Ｘ１＋Ｘ２＋Ｘ３），

则Ｙ２的数学期望等于 ．三、计算题（本题共４个小题，满分１６分，每小题４分）

（１）求极限ｌｉｍｘ→０

ａｘ＋１＋１ａ（ ）＋１

１ｘ（ａ＞０，ａ≠１）．

（２）已知ｙ＝ｘｌｎ（ｘ＋ ｘ２＋ａ槡 ２）－ ｘ２＋ａ槡 ２，求ｙ″．

（３）求积分∫π２

０｜１２－ｓｉｎｘ｜ｄｘ．（４）求不定积分∫ｌｎ［（ｘ＋１）ｘ＋１·（ｘ＋２）ｘ＋ｚ］

（ｘ＋１）（ｘ＋２） ｄｘ．四、（本题满分１０分）假设生产某种产品需要Ａ、Ｂ、Ｃ，三种原料，该产品的产量Ｑ 与三种

原料Ａ、Ｂ、Ｃ的用量ｘ、ｙ、ｚ之间有如下关系：Ｑ＝０．００５ｘ２ｙｚ，已知三种原料的价格分别为

１元、２元、３元．现在用２４００元购买原料，问三种原料各购进多少，可以使该产品产量最大？

五、（本题满分６分）计算二重积分Ｉ＝Ｄ

ｅ－ ｘ２＋ｙ槡 ２

ｄｘｄｙ，其中Ｄ是圆ｘ２＋ｙ２≤ｒ２在第

一象限部分．六、（本题满分８分）证明ｘ≠０时，不等式１＋ａｘ＜ｅａｘ恒成立，其中ａ≠０是常数．七、（本题满分６分）化简矩阵算式（ＢＣＴ－ＥＴ）（ＡＢ－１）Ｔ＋［（ＢＡ－１）Ｔ］－１，其中Ｅ是单位

矩阵，而对于任意矩阵Ｄ，以ＤＴ表示Ｄ的转置．八、（本题满分７分）设线性方程组

ｘ１＋３ｘ２ ＋ｘ３＝０，

３ｘ１＋２ｘ２＋３ｘ３＝－１，

－ｘ１＋４ｘ２＋ｍｘ３＝ｋ烅烄

烆 ．问ｍ、ｋ为何值时，方程组有惟一解？有无穷多组解？无解？在方程组有无穷多组解时，求出

其一般解（通解）．九、（满分７分）设λ是矩阵Ａ特征值，证明λ３是矩阵Ａ３的特征值．十、（本题６分）假设每次射击中目标的概率为０．２，在相同的条件下独立地进行５次射

１９８７年全国硕士研究生招生考试数学（五）试题（副题） ３－２３

３

击，试求

（１）至少两次命中目标的概率ｐ１；

（２）恰好两次命中目标的概率ｐ２；

（３）命中目标的最可能次数ｋ０．十一、（本题满分６分）设有编号为１、２、３的三台电动车床加工同种零件，其产量分别占

总产量的３０％、２５％和４５％，而各台机床加工产品的合格率依次为０．９９、０．９８８、０．９８０．若三

台机床加工的产品混放在一起，现从中随意抽取一件，结果是不合格品，试求此零件是由第一

台机床加工的概率ｐ．

历年考研数学试题详解·数学（四）３－２４