efarmosmeni pliroforiki

ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΚΩ∆ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι

Περιεχόµενα Μαθήµατος – Εισαγωγή-Ιστορία – Αναπαράσταση δεδοµένων µε αριθµούς-Συστήµατα Αρίθµησης – Κωδικοποίηση δεδοµένων αριθµών και χαρακτήρων - Αριθµητική Υπολογιστών – Τρανζίστορ - Λογική Boole – Λογικές πύλες – Λογικά Κυκλώµατα - κυκλώµατα σύγκρισης, άθροισης, ελέγχου, µνήµης – Αρχιτεκτονική Υπολογιστών - µηχανή von Neumann - σύγχρονη αρχιτεκτονική, κύκλος εντολών – Περιφερειακές Μονάδες - συσκευές αποθήκευσης - συσκευές εισόδου, εξόδου, δικτύωσης – Λογισµικό Συστήµατος - Κατηγορίες – Λειτουργικό Σύστηµα - Εισαγωγή, εξέλιξη, δοµή, έννοιες - Λειτουργίες – Μετάδοση δεδοµένων και ∆ίκτυα υπολογιστών

Ενδεικτική Βιβλιογραφία – Επιστήµη και Τεχνολογία Υπολογιστών, Peter Bishop, 2000 – Εισαγωγή στην Πληροφορική, Peter Rechenberg, 1992 – Εισαγωγή στην Επιστήµη των Υπολογιστών, Behrouz Forouzan, 2003 – Εισαγωγή στην Πληροφορική, George Beekman, 2002 – Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό, Grey Perry, 2002 – Εισαγωγή στην σύγχρονη επιστήµη των υπολογιστών, LGoldschlager, A. Lister. ∆ίαυλος, 1996. – Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Software-Hardware, T. Luse, 2001 – Η Αρχιτεκτονική των Υπολογιστών. Μια δοµηµένη προσέγγιση, A. S. Tanenbaum, 2000 – Software Engineering Concepts,, Fairley R., McGraw-Hill, 1985. – Computer Software, Fleer (ed). C. H. McGraw Hill, 1990 – Τεχνολογία υπολογιστικών συστηµάτων και Λειτουργικά Συστήµατα, Γ' Ενιαίου Λυκείου, 1999 – Εφαρµογές Πληροφορικής-Υπολογιστών, Α,Β,Γ Ενιαίου Λυκείου, 1999 – Ο Κόσµος της πληροφορικής. Ε,Ζωγόπουλος, Τρίτη έκδοση, Κλειδάριθµος, 2000.

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 1


ΕΙΣΑΓΩΓΗ • Πληροφορική (lnformatics)

– Η επιστήµη διαχείρισης δεδοµένων και πληροφοριών (συλλογή, αποθήκευση, επεξεργασία και διανοµή) και τεχνολογίας των υπολογιστικών συστηµάτων.

• Ακατέργαστα δεδοµένα – Γεγονότα, µηνύµατα, ακατέργαστο υλικό

• Επεξεργασία – Λογική συσχέτιση δεδοµένων σύµφωνα µε κάποιους κανόνες

• Πληροφορίες ή κατεργασµένα δεδοµένα – Αποτέλεσµα επεξεργασίας δεδοµένων

• ∆υνατότητες των υπολογιστικών συστηµάτων – Εισαγωγή δεδοµένων ή πληροφοριών – Εξαγωγή δεδοµένων ή πληροφοριών – Επεξεργασία δεδοµένων ή πληροφοριών – Αποθήκευση δεδοµένων ή πληροφοριών – Ανάκτηση δεδοµένων ή πληροφοριών – Αποστολή δεδοµένων ή πληροφοριών – Λήψη δεδοµένων ή πληροφοριών – Έλεγχος όλων των παραπάνω

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΑΝΑΚΤΗΣΗ

ΛΗΨΗ

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΕΞΑΓΩΓΗ

ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗ

ΑΠΟΣΤΟΛΗ

Στοιχειώδεις τύποι δεδοµένων

• Χαρακτήρες-σύµβολα-αλφάβητα-Συµβολοσειρές (bytes, words) – ∆, Ζ, κ, λ, µ, – !, @, #, $, ^, &, *, (, ), _, +, ?, >,~ – a,b, c, d,………A, B, C, D, ….. – SD78L#34

• Ακέραιοι αριθµοί (integers) – 4567, -256

• Πραγµατικοί αριθµοί, αριθµοί κινητής υποδιαστολής (real, float) – 3.14159, 0.15x107

• Λογικά δεδοµένα (Boolean, bit) – µόνο δύο τιµές, αληθής (true) ή ψευδής (false).



Επεξεργασία δεδοµένων (data processing) • εκτέλεση µέσω υπολογιστή διαφόρων πράξεων/λειτουργιών πάνω στα δεδοµένα

– αποτέλεσµα ανωτέρου τύπου πληροφορία

• βασίζεται στην έννοια του αλγόριθµου – Αλγόριθµος (Algorithm) ονοµάζεται η ακριβή περιγραφή µιας καθορισµένης σειράς βηµάτων για την λύση ενός προβλήµατος

∆Ε∆ΟΜΕΝΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗΣ ΛΥΣΗ

Ιδιότητες ∆εδοµένωνΙδιότητες αντικειµένωνΑλγόριθµοι (algorithms) Ενέργειες ∆εδοµένα (data) Αντικείµενα ΠληροφορικήΠραγµατικός κόσµος

Ιδιότητες ∆εδοµένωνΙδιότητες αντικειµένωνΑλγόριθµοι (algorithms) Ενέργειες ∆εδοµένα (data) Αντικείµενα ΠληροφορικήΠραγµατικός κόσµος

Πληροφορίες ή κατεργασµένα δεδοµένα • Τα αποτελέσµατα στην έξοδο του υπολογισµού

– Με βάση τις πληροφορίες λαµβάνονται αποφάσεις και γίνονται ενέργειες

• Μπορούν να υποστούν περαιτέρω επεξεργασία – τεχνική της ανάδρασης

Πληροφορίες ή κατεργασµέναδεδοµένα

Ακατέργαστα δεδοµένα

ΈξοδοςΕίσοδος Επεξεργασία

Ανάδραση

Πληροφορίες ή κατεργασµέναδεδοµένα

Ακατέργαστα δεδοµένα

ΈξοδοςΕίσοδος Επεξεργασία

Ανάδραση

BIT & BYTE • Τα δεδοµένα και οι πληροφορίες κωδικοποιούνται µε δυαδικούς αριθµούς

– µε τα ψηφία 1 και 0 (δυαδικό σύστηµα) – µορφή κατανοητή από τον υπολογιστή

• Η στοιχειώδης δυαδική πληροφορία (1 ή 0), ονοµάζεται δυαδικό ψηφίο (bit -binary digit). – Τα bit οργανώνονται σε οµάδες των οκτώ, τα byte – Μία οµάδα από 8 bit µπορεί να κωδικοποιήσει 2^8=256 διαφορετικές τιµές ή σύµβολα

∆ιαφορετικές τιµέςΠαράδειγµαΟµάδα bit

1110010011101110011101110011011100011100101001011101100

102410 bit5129 bit2468 bit1287 bit646 bit325 bit164 bit83 bit42 bit21 bit

∆ιαφορετικές τιµέςΠαράδειγµαΟµάδα bit

1110010011101110011101110011011100011100101001011101100

102410 bit5129 bit2468 bit1287 bit646 bit325 bit164 bit83 bit42 bit21 bit



Αναλογικοί – Ψηφιακοί Υπολογιστές • Οι πρώτοι υπολογιστές ήταν αναλογικοί

– βάσιζαν τη λειτουργία τους σε κάποιο συνεχώς µεταβαλλόµενο φυσικό µέγεθος – σηµερινό ενδιαφέρον στα νευρωνικά δίκτυα

• Οι υπολογιστές που ακολούθησαν είναι ψηφιακοί – βασίζουν τη λειτουργία τους σε διακριτές καταστάσεις – ένας διακόπτης: ανοικτός ή κλειστός – ένα µαγνητικό υλικό: µαγνητισµένο ή όχι – ένας οπτικός δίσκος: ανακλά δέσµη φωτός ή όχι – ένας πυκνωτής: φορτισµένος ή όχι.

Ψηφιακοί Υπολογιστές – Κυκλώµατα • Ένας υπολογιστής κατασκευάζεται από ολοκληρωµένα κυκλώµατα

– Πάνω στην επιφάνεια κάθε ολοκληρωµένου κυκλώµατος είναι χαραγµένα εκατοµµύρια τρανζίστορ τα οποία διασυνδέονται.

• Τα τρανζίστορ ενεργούν ως διακόπτες – Ο διακόπτης, είτε κλειστός, οπότε περνά το ηλεκτρικό ρεύµα (αναπαριστά το 1), είτε ανοικτός, οπότε εµποδίζεται η ροή (το 0)

• Εξέλιξη ολοκληρωµένων κυκλωµάτων – Ολοκλήρωση µικρής κλίµακας (SSI) ~ δεκαδες τρανζίστορ – Ολοκλήρωση µεσαίας κλίµακας (MSI) ~ εκατοντάδες τρανζίστορ – Ολοκλήρωση µεγάλης κλίµακας (LSI) ~ δεκαδες χιλιάδες τρανζίστορ – Ολοκλήρωση πολύ µεγάλης κλίµακας (VLSI) ~ εκατοµύρια τρανζίστορ

Τα Βασικά µέρη των Υπολογιστών • HARDWARE (Το µηχανικό µέρος)

– Κεντρική µονάδα επεξεργασίας: ολοκληρωµένα κυκλώµατα, οι πλακέτες και οι µνήµες – περιφερειακές µονάδες: Πληκτρολόγιο, Οθόνη, Ποντίκι, Σκληρός ∆ίσκος, ∆ισκέτα, Κάρτα Γραφικών, Εκτυπωτές, Κάρτα Ήχου, Ηχεία, Μικρόφωνο, Οπτικός δίσκος, Σαρωτής

• SOFTWARE (Το λογισµικό µέρος) – Λειτουργικά Συστήµατα – Γλώσσες Προγραµµατισµού υψηλού ή χαµηλού επιπέδου – Μεταφραστές και ∆ιερµηνείς Γλωσσών, σύνδεσης κώδικα, ανίχνευσης σφαλµάτων κλπ – Προγράµµατα εφαρµογών



Ιεραρχική οργάνωση των υπολογιστών 1. Ηλεκτρονικά κυκλώµατα - Καταχωρητές – µνήµες – ελεγκτές:

– Τρανζίστορ, πύλες, συνδυαστικά και σειριακά λογικά κυκλώµατα

2. Μικρολειτουργίες – Μικροπρογραµµατισµός: – π.χ. µεταφορά δεδοµένων από/προς λανθάνουσα µνήµη, µικροπρογραµµατισµός υλικού σε ROM

3. Ανάκληση-Εκτέλεση εντολών γλώσσας µηχανής: – Εντολές γραµµένες σε δυαδικό κώδικα

4. Έλεγχος εκτέλεσης προγράµµατος και λειτουργιών εισόδου/εξόδου: – Λειτουργικό σύστηµα Unix, Windows 95, Windows NT

5. Γλώσσες υψηλού επιπέδου: – Basic, Pascal, C, Fortran

6. Προγράµµατα εφαρµογής: – Επεξεργασία κειµένων, Λογιστικά φύλλα, Επεξεργασίας εικόνας, σχεδίαση CAD, βάσεις δεδοµένων, προγράµµατα επικοινωνίας, κλπ

Ιστορική Ανάδροµη - Έννοιες • Οι πρώτες χειροκίνητες υπολογιστικές µηχανές

– 1642 : Ο Pascal κατασκευάζει αριθµοµηχανή που εκτελεί προσθέσεις και αφαιρέσεις – 1666 -1672 : Ο von Leibnitz κατασκευάζει µηχανή µε οδοντωτούς τροχούς για πολλαπλασιασµό

µε αυτοµατοποίηση της διαδικασίας των διαδοχικών µηχανικών προσθέσεων – 1774: Ο P.M. Hahn κατασκευάζει την πρώτη αξιόπιστη αριθµοµηχανή – 1818: υπολογιστικές µηχανές τύπου Leibnitz κατασκευάζονται µαζικά – Καµία από τις µηχανές αυτές δεν διέθετε ένα βασικό στοιχείο: την δυνατότητα προγραµµατισµού

• Τα στάδια της διαδικασίας µηχανικού υπολογισµού – 1822 -1833 : Ο Babbage αναγνωρίζει την εισαγωγή, επεξεργασία και εξαγωγή σαν διαφορετικές ενότητες

– κατασκευάζει τη ∆ιαφορική Μηχανή και την Αναλυτική Μηχανή µε δυνατότητα προγραµµατισµού

• Η έννοια του προγράµµατος – Ο Babbage και η Ada Byron δηµιούργησαν τα πρώτα προγράµµατα ως σύνολα από εντολές ελέγχου λειτουργίας της Αναλυτικής Μηχανής

• H Θεωρία της µαθηµατικής λογικής (Boolean) – 1850 : Ο George Boole δηµιουργεί την "Άλγεβρα του Boole“. – Όλες οι λογικές προτάσεις εκφράζονται µε δύο αριθµούς, το 1-αληθές και το 0-ψευδές και τρεις πράξεις τις AND, OR και ΝΟΤ.

• ∆ιάτρητες κάρτες σαν συσκευές αποθήκευσης δεδοµένων εισόδου/εξόδου – 1886-1890: Ο Hollerith κατασκευάζει µια τροποποιηµένη µορφή της Αναλυτικής Μηχανής του

Babbage, µε διάτρητες κάρτες για τις ανάγκες της απογραφής του Αµερικανικού κράτους – ∆ηµιουργεί και τον πρόδροµο της γνωστής Ι.Β.Μ.

• Η µηχανή του Turring – 1936: Ο Alan Turing περιγράφει µια µαθηµατική µηχανή για την εκτέλεση όλων των αλγορίθµων.

• ∆ιαχωρισµός Επεξεργασίας δεδοµένων και Μνήµης – 1939: O Atanasoff κατασκευάζει τον ABC



• Υπολογιστής µε ηλεκτροµηχανικούς διακόπτες (ηλεκτρονόµους), το δυαδικό σύστηµα και αριθµούς κινητής υποδιαστολής

– 1941 Γερµανία : ο Zuse, κατασκευάζει τον Ζ3

• Υπολογιστής µε ηλεκτροµηχανικούς διακόπτες, ρελέδες και το δεκαδικό σύστηµα – 1944 Αµερική: Ο Aiken κατασκευάζει τον MARK 1.

• Πρώτος Υπολογιστής µε ηλεκτρονικές λυχνίες κενού σαν διακόπτες – 1945 Αµερική : οι Mauchfy & Eckerf, κατασκευάζουν τον ENIAC µε 17000 διοδικές λυχνίες,

100.000 ηλεκτρονικά στοιχεία, δεκαδικό σύστηµα και προγραµµατισµό µε χειροκίνητες συνδέσεις.

• Το αποθηκευµένο στην µνήµη πρόγραµµα – 1945: Ο John von Neumann προτείνει το πρόγραµµα να αποθηκεύεται στη µνήµη – Εκτέλεση προγράµµατος µε ηλεκτρονική ταχύτητα, αντί της µηχανικής ταχύτητα ανάγνωσης των διάτρητων καρτών

• Γενικές αρχές σχεδιασµού ηλεκτρονικού υπολογιστή – 1946: Η µηχανή τύπου John von Neumann

• Η εφεύρεση του τρανζίστορ – 1948: Στα Bell Telephone Laboratories

• Η θεωρία της πληροφορίας – 1948: Ο Claude Shannon δηµοσιεύει την πρώτη µαθηµατική Θεωρία της πληροφορίας και συµβολικής λογικής

• Πρώτος ψηφιακός ηλεκτρονικός υπολογιστής τύπου von Neumann γενικής χρήσης µε το πρόγραµµα αποθηκευµένο στη µνήµη

– 1949: Οι von Neumann και M.V. Wilkes κατασκευάζουν τον EDSAC.

• Αρχίζει η βιοµηχανική παραγωγή – 1953: Υπολογιστές IBM 701, IBM 650 – οι εξελίξεις µετά την έναρξη της βιοµηχανικής παραγωγής αναφέρονται ως γενεές των υπολογιστών

Γενιές των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών • Πρώτη Γενιά : αρχές δεκαετίας του '50

– Λυχνίες διόδου ως στοιχεία κυκλωµάτων.

• ∆εύτερη Γενιά : τέλος της δεκαετίας του '50 – πρώτα λογικά κυκλώµατα µε τρανζίστορ – µνήµη σε ταινίες ή τύµπανα ή δίσκους

• Τρίτη Γενιά : δεκαετία του '60. – ολοκληρωµένα κυκλώµατα – πρώτα Λειτουργικά Συστήµατα και γλώσσες προγραµµατισµού υψηλού επιπέδου – πρώτοι υπερυπολογιστές

• Τέταρτη Γενιά : (1973-1985) – Κυκλώµατα υψηλής ολοκλήρωσης (LSI) – Ένας επεξεργαστής σε ένα τσιπ

• Πέµπτη γενιά ΗΥ (1985-σήµερα) – Κυκλώµατα πολύ µεγάλης κλίµακας ολοκλήρωσης (VLSI) – Πολλοί επεξεργαστές σε ένα chip



Οι Κατηγόριες Υπολογιστών • Προσωπικοί Υπολογιστές (Personal Computer)

– Επιτραπέζιοι ή φορητοί

• Σταθµοί Εργασίας (Workstatίons) – γρηγορότερα συστήµατα σε τοπικό δίκτυο – εφαρµογές γραφικών, σχεδίασης CAD, επιστηµονικές

• Μεσαία Υπολογιστικά Συστήµατα (mid-range) – Γνωστοί και ως Μίνι-υπολογιστές (Minicomputers) – Πολλές συσκευές σε µία κεντρική µονάδα – Πολλές εφαρµογές από πολλούς χρήστες – Σε εργαστήρια, εργοστάσια, γραφεία

• Μεγάλα Υπολογιστικά Συστήµατα (mainframes) – Κεντρικοί υπολογιστές σε µεγάλα δίκτυα – πολλές Κεντρικές Μονάδες Επεξεργασίας – υποστηρίζουν πολλές εφαρµογές ταυτόχρονα από πολλούς χρήστες – σε οργανισµούς, τράπεζες, πανεπιστήµια

• Υπερυπολογιστές (supercomputer) – πολλοί επεξεργαστές που "τρέχουν" προγράµµατα παράλληλα. – Οι γρηγορότεροι υπολογιστές – σε πολύ απαιτητικές εφαρµογές όπως η πρόγνωση του καιρού, προσοµοίωση κ.α.



ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ – ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

• Η επεξεργασία δεδοµένων παράγει πληροφορίες π.χ. ψηφιακούς χάρτες

Bits , bytes και words • Τα δεδοµένα παριστάνονται µε αριθµούς. Η επεξεργασία γίνεται µέσω πράξεων • Ο υπολογιστής κωδικοποιεί κάθε γράµµα, αριθµό, σηµείο στίξης και σύµβολο µε µία ακολουθία δυαδικών ψηφίων 0 και 1

• Τα δυαδικά ψηφία 0 και 1 ονοµάζονται bit (Binary digit). – Ένα bit µπορεί να κωδικοποιήσει δύο διαφορετικές τιµές – Μία ακολουθία από n bit µπορεί να κωδικοποιήσει 2^n διαφορετικές τιµές

• Τα δοµικά στοιχεία της πληροφορίας στο εσωτερικό του υπολογιστή είναι οι δυαδικοί αριθµοί! • Bit 0 ή 1 • Byte Μία οµάδα 8 bit π.χ. 11001100 που µπορεί να κωδικοποιήσει 2^8 = 256 τιµές • Word (λέξη µηχανής)

– φυσική οµάδα από bit (π.χ. 16, 32, 48, 64) – Στους προσωπικούς υπολογιστές 32 bit.

• λέξη µηχανής = εύρος επεξεργασίας των δεδοµένων • Τα πολλαπλάσια του byte τα kilobytes, megabytes, gigabytes, ή terabytes • 1 kilobyte (KB) = 2^10 bytes = 1024 bytes • 1 megabyte (MB) = 2^10 KB • 1 gigabyte (GB) = 2^10 MB • 1 terabyte (TB) = 2^10 GB



• Πόσα bits χρησιµοποιεί ο υπολογιστής για να αποθηκεύσει έναν αριθµό ? – Οκτάµπιτοι µικροϋπολογιστές = 8 bits – ∆εκαεξάµπιτοι µικροϋπολογιστές = 16 bits – Intel Pentium PC = 32 bits – Alpha = 64 bits

0111000000000000 0111000000000000

Πως ένας 16-bit υπολογιστής παριστά το 14?

• Για την αναπαράσταση δεδοµένων χρησιµοποιείται το δυαδικό σύστηµα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ • Στην καθηµερινή ζωή χρησιµοποιούµε το δεκαδικό σύστηµα αρίθµησης

∆έκα ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Παραδείγµατα αριθµών: 12, 150

• Γιατί αριθµούµε µε χρήση δέκα ψηφίων ? Roman: I (=1) V (=5) X (=10) L (=50), C(=100) XII = 12, Pentium III

• Αν είχαµε ένα µόνο σύµβολο IIIII IIIII II = 12 το δεκαδικό πιο περιεκτικό

• Όλοι οι υπολογιστές χρησιµοποιούν το δυαδικό σύστηµα (binary system) Μόνο δύο ψηφία: 0, 1 Για παράδειγµα: 10, 10001, 10110

• Όµοιο µε το δεκαδικό (decimal), έχει διαφορετική βάση Binary (βάση 2) Decimal (βάση 10) Octal (βάση 8) Hexadecimal (βάση 16)

• Τι εννοούµε µε τον όρο βάση?

• Κάθε αριθµός Ν µπορεί να γραφεί ως

αi τα ψηφία του αριθµού

β η βάση του αριθµητικού συστήµατος

m ο αριθµός ψηφίων του ακέραιου µέρους

nn

mm

mm

−−

−−

−−

−−

−− ⋅++⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ βαβαβαβαβαβαβα ...... 2

21

10

01

12

21

1

ακέραιο µέρος του αριθµού

κλασµατικό µέρος του αριθµού

nn

mm

mm

−−

−−

−−

−−

−− ⋅++⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ βαβαβαβαβαβαβα ...... 2

21

10

01

12

21

1

ακέραιο µέρος του αριθµού

κλασµατικό µέρος του αριθµού



βάση

3x1+6x10+1x100163 361

100101102

3x1+6x10+1x100163 361

100101102

Τι αντιπροσωπεύει ο ∆εκαδικός αριθµός 163 ?

βάση

1x1+0x2+1x4101 101

202122

1x1+0x2+1x4101 101

202122

Τι αντιπροσωπεύει ο ∆υαδικός αριθµός 101 ?

• Το ψηφίο µε τη µεγαλύτερη τάξη (το πρώτο από δεξιά) στον αριθµό λέγεται ψηφίο µεγίστης σηµαντικότητας (most significant digit), ή στους δυαδικούς δυαδικό ψηφίο µεγίστης σηµαντικότητας (most significant bit -MSB). Π.χ. στον δυαδικό αριθµό 101 το πρώτο 1

• Τo ψηφίο µε τη µικρότερη τάξη λέγεται ψηφίο ελαχίστης σηµαντικότητας (least significant digit/bit - LSB).

• Τα συνηθέστερα αριθµητικά συστήµατα είναι αυτά που έχουν βάση β τους αριθµούς 10 στο δεκαδικό σύστηµα (decimal) και ψηφία τα: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 2 στο δυαδικό σύστηµα (binary), και ψηφία τα: 0, 1 8 στο οκταδικό σύστηµα (octal), και ψηφία τα: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 16 στο δεκαεξαδικό σύστηµα (hexadecimal) και ψηφία τα: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D,

E, F

• δεκαδικό – περιεκτικό • δυαδικό – πολύς χώρος • οκταδικό και δεκαεξαδικό – εύκολη µετατροπή σε δυαδικό

ΤΟ ∆ΥΑ∆ΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ (BINARY) • Το δυαδικό σύστηµα έχει βάση το 2 και ψηφία τα 0, 1. • Στο δυαδικό σύστηµα έχουµε µονάδες (1), δυάδες (2), τετράδες (4) κλπ., • Για να βρούµε την τιµή ενός ψηφίου το πολλαπλασιάζουµε µε την κατάλληλη δύναµη του 2, ενώ τα δυαδικά κλάσµατα έχουν αντίστοιχα δεύτερα (1/2), τέταρτα (1/4), όγδοα (1/8) κλπ.

• Για παράδειγµα η µετατροπή του δυαδικού αριθµού 1101,11(2) σε δεκαδικό αριθµό

1101,11 = 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 + 1 x 2-1 + 1 x 2-2

= 1 x 8 + 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 + 1/2 + 1/4

= 8 + 4 + 1 + 0,5 + 0,25= 13,75



• Η Μετατροπή ενός δεκαδικού ακεραίου αριθµού σε δυαδικό γίνεται µε τη µέθοδο των διαδοχικών υπολοίπων

• Π.χ. Μετατροπή του δεκαδικού 205 σε δυαδικό

ΤΟ ΟΚΤΑ∆ΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ (OCTA• Το οκταδικό σύστηµα έχει βάση το 8 και ψηφία τα 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. • Στο οκταδικό σύστηµα για να βρούµε την τιµή ενός ψηφίου το πολλαπλακατάλληλη δύναµη του 8.

• Π.χ. ο οκταδικός 7651(8) , µετατρέπεται σε δεκαδικό µε πολλαπλασιασµό ψηφίω

7651 = 7 x 83 + 6 x 82 + 5 x 8 + 17651 = 7 x 512 + 6 x 64 + 5 x 8 + 17651 = 3584 + 384 + 40 + 1Ο οκταδικός 7651 αντιστοιχεί στο δεκαδικό αριθµό4009.

• Μετατροπή ενός δεκαδικού ακεραίου σε οκταδικό γίνεται µε διαίρεση του µε τη • Π.χ. Η µετατροπή του δεκαδικού αριθµού 312 στο οκταδικό σύστηµα:


∆υαδικός αριθµός
Τάξη ψηφίων
L)

σιάζουµε µε την

ν µε τη βάση 8:

βάση 8


• Η µετατροπή ενός οκταδικού αριθµού σε δυαδικό και αντίστροφα γίνεται απευθείας επειδή έχουν ως βάση πολλαπλάσιο του 2. Μετατρέπεται κάθε ψηφίο του οκταδικού µε χρήση τριών δυαδικών ψηφίων

• Τον οκταδικό 4567,02 σε δυαδικό (παριστάνουµε κάθε οκταδικό ψηφίο του µε 3 δυαδικά ψηφία)

• Τον δυαδικό 1011011001,11011 σε οκταδικό (οµαδοποιούµε τον δυαδικό ανά τρία ψηφία)

ΤΟ ∆ΕΚΑΕΞΑ∆ΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ (HEXADECIMAL) • Το δεκαεξαδικό σύστηµα έχει βάση το 16 και ψηφία τα 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Α, Β, C, D, Ε, F. • 8 (bits) παριστάνονται µε δύο δεκαεξαδικά

– συντοµότερη αποτύπωση

• Για την µετατροπή από δεκαεξαδικό (HEX) σε δεκαδικό (DEC) πολλαπλασιάζουµε το κάθε ψηφίο µε την κατάλληλη δύναµη του 16.

Ο δεκαεξαδικός B6C1, µετατρέπεται σε δεκαδικόΒ6C1 = B x 163 + 6 x 162 + C x 16 + 1Β6C1 = 11 x 4096 + 6 x 256 + 12 x 16 + 1Β6C1 = 45056 + 1536 + 192 + 1B6C1(16) = 46785(10)

• Η Μετατροπή ενός δεκαεξαδικού αριθµού σε δυαδικό και αντίστροφα γίνεται απευθείας • Μετατρέπεται κάθε ψηφίο του δεκαεξαδικού µε χρήση τεσσάρων δυαδικών ψηφίων • Π.χ. Τον δεκαεξαδικό 43F,25 σε δυαδικό (παριστάνουµε κάθε ψηφίο του µε 4 δυαδικά ψηφία)



• Π.χ. Μετατροπή του δυαδικού 1011011001,11011 σε δεκαεξαδικό (οµαδοποιούµε ανά 4 τα δυαδικά ψηφία)

ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ

• Για να µετατρέψουµε το κλασµατικό µέρος ενός αριθµού Α από το δεκαδικό σύστηµα σε ένα άλλο σύστηµα αρίθµησης µε βάση β, κάνουµε διαδοχικούς πολλαπλασιασµούς του κλασµατικού µέρους του Α µε τη βάση β και κρατάµε το ακέραιο µέρος που προκύπτει.

• Το κλασµατικό µέρος στο νέο σύστηµα αρίθµησης µπορεί να έχει άπειρα ψηφία, γι’ αυτό καθορίζουµε από πριν το µέγιστο αριθµό ψηφίων N που θα υπολογίσουµε για το νέο σύστηµα αρίθµησης.

• Π.χ. Μετατροπή του δεκαδικού αριθµού 0,625 στο δυαδικό σύστηµα:

Αριθµός πολλαπλ. µε β κλασµ ακέρ Υ

0,625 0,625 × 2 = 1,25 0,25 1 0,1

0,25 0,25 × 2 = 0,5 0,5 0 0,10

0,5 0,5 × 2 = 1 0 1 0,101

0

Άρα 0,625(10) = 0,101(2)

• Π.χ. Μετατροπή του δεκαδικού αριθµού 0,4 στο οκταδικό σύστηµα : • Καθορίζουµε από πριν ότι θα υπολογίσουµε το πολύ 5 οκταδικά ψηφία.

Αριθµός πολ. µε 8 κλασµ ακέρ Υ

0,4 0,4 × 8 = 3,2 0,2 3 0,3

0,2 0,2 × 8 = 1,6 0,6 1 0,31

0,6 0,6 × 8 = 4,8 0,8 4 0,314

0,8 0,8 × 8 = 6,4 0,4 6 0,3146

0,4 0,4 × 8 = 3,2 0,2 3 0,31463

0,2

• Σταµατήσαµε τον υπολογισµό παρότι το κλασµατικό µέρος δεν είναι 0, γιατί φθάσαµε στο

µέγιστο αριθµό κλασµατικών ψηφίων.



ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΑ ΣΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ∆εκαδικό ∆υαδικό ∆εκαεξαδικό Οκταδικό

0 0 0 01 1 1 12 10 2 23 11 3 34 100 4 45 101 5 56 110 6 67 111 7 78 1000 8 109 1001 9 11

10 1010 A 1211 1011 B 1312 1100 C 1413 1101 D 1514 1110 E 1615 1111 F 1716 10000 10 20

∆εκαδικό ∆υαδικό ∆εκαεξαδικό Οκταδικό

0 0 0 01 1 1 12 10 2 23 11 3 34 100 4 45 101 5 56 110 6 67 111 7 78 1000 8 109 1001 9 11

10 1010 A 1211 1011 B 1312 1100 C 1413 1101 D 1514 1110 E 1615 1111 F 1716 10000 10 20

∆εκαδικό∆εκαδικό ∆υαδικό∆υαδικό ∆εκαεξαδικό∆εκαεξαδικό ΟκταδικόΟκταδικό

00 00 00 0011 11 11 1122 1010 22 2233 1111 33 3344 100100 44 4455 101101 55 5566 110110 66 6677 111111 77 7788 10001000 88 101099 10011001 99 1111

1010 10101010 AA 12121111 10111011 BB 13131212 11001100 CC 14141313 11011101 DD 15151414 11101110 EE 16161515 11111111 FF 17171616 1000010000 1010 2020



ΚΩ∆ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΩΝ • Τα δεδοµένα παριστάνονται µε τη µορφή κωδικοποιηµένων χαρακτήρων και αριθµών. • Τι πληροφορίες αποθηκεύουµε? • Ακέραιοι αριθµοί µε πρόσηµο (integers)

– 4567, -256

• Πραγµατικοί αριθµοί, αριθµοί κινητής υποδιαστολής (real, float) – 3.14159, 1/2, 0.15x107

• Χαρακτήρες -γράµµατα, ψηφία, σύµβολα -Συµβολοσειρές (bytes, words) – a,b, c, d,………A, B, C, D, ….. – SD78L#34

• Λογικά δεδοµένα (Boolean, bit) – µόνο δύο τιµές, αληθής (true) ή ψευδής (false).

• Άλλα – Εικόνες και Γραφικά, Ήχους, Βίντεο, …

Εσωτερική παράσταση της πληροφορίας

Κείµενο, αριθµοί, εικόνες, ήχοι

∆υαδικοί αριθµοί 0 και 1

Κείµενο, αριθµοί, εικόνες, ήχοι

Υπολογιστές

• Οι κυριότερες τεχνικές αναπαράστασης των δεδοµένων στον υπολογιστή: • Κωδικοποίηση αριθµών µε πρόσηµο (προσηµασµένοι αριθµοί)

– Παράσταση προσήµου-µέτρου, – Παράσταση συµπληρώµατος ως προς 1, – Παράσταση συµπληρώµατος ως προς 2, – Κλάσµατα – Παράσταση κινητής υποδιαστολής

• Κωδικοποίηση χαρακτήρων – ASCII, – UNICODE

ΚΩ∆ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΣΗΜΑΣΜΕΝΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ • Αυτή η ενότητα, και οι άλλες που ακολουθούν, εισάγουν τους πιο συνηθισµένους τρόπους διαχείρισης αρνητικών αριθµών.

• Παράσταση προσήµου-µέτρου – Τo πρόσηµο ενός αριθµού αναπαρίσταται ξεχωριστά από το µέτρο του. Το ψηφίο µεγίστης σηµαντικότητας είναι το ψηφίο πρόσηµου.



• Η σύµβαση είναι 0 για θετικά και 1 για αρνητικά. Παράδειγµα οι δεκαδικοί αριθµοί +13 και -13: + 13 παριστάνεται ως 0 1 1 0 1 - 13 παριστάνεται ως 1 1 1 0 1

0111000000000001 0111000000000001

Bit προσήµου. 0: + (θετικός), 1: - (αρνητικός)Bit προσήµου. 0: + (θετικός), 1: - (αρνητικός)

Πως ένας 16-bit υπολογιστής παριστάνει την τιµή -14?

Ποιος ο µεγαλύτερος 16-bit προσηµασµένος ακέραιος?

1111111111111110 1111111111111110

= 1x214 + 1x213 + … + 1x21 + 1x20 = 32,767 • Πρόβληµα: η τιµή 0 παριστάνεται δύο φορές!

– Οι περισσότεροι υπολογιστές χρησιµοποιούν διαφορετική αναπαράσταση, την παράσταση συµπληρώµατος ως προς 2

• Παράσταση συµπληρώµατος ως προς 2 – Το ψηφίο µεγίστης σηµαντικότητας παριστάνει την αρνητική ποσότητα -2^(τάξη ψηφίου).

• Π.χ. χρησιµοποιώντας έξι bit tο ψηφίο µεγίστης σηµαντικότητας –2^(6-1) παριστάνει το πρόσηµο και συγχρόνως έχει τιµή:

-1 x 25=-32 αν είναι 1

0 x 25= 0 αν είναι 0

• Το συµπλήρωµα ως προς 2 – Στην παράσταση συµπληρώµατος ως προς 2 είναι εύκολη η αλλαγή από ένα θετικό αριθµό σε έναν αρνητικό (συµπλήρωµα ως προς 2) και αντίστροφα.

• Η αφαίρεση µπορεί να γίνει κάνοντας πρόσθεση του αρνητικού αριθµού – Για παράδειγµα, 7 - 5 είναι το ίδιο µε 7 + (-5).



• Η µέθοδος αλλαγής από ένα θετικό στον αντίστοιχο αρνητικό αριθµό έχει ως εξής: – άλλαξε όλα τα 0 σε 1 και όλα τα 1 σε 0 και µετά πρόσθεσε 1.

• Παράσταση συµπληρώµατος ως προς 1 – Εδώ το ψηφίο µεγίστης σηµαντικότητας παριστάνει την ποσότητα -2^(τάξη ψηφίου)-1.

• Για παράδειγµα χρησιµοποιώντας έξι bit

• Παρατηρήστε το εύρος των αριθµών (31 ως -31) και τις δύο διαφορετικές παραστάσεις για το 0

• Κλάσµατα - παράσταση σταθερής υποδιαστολής (fixed point) – Τα κλάσµατα παριστάνονται µε τρόπους όµοιους την παράσταση ακεραίων.

• Το κλάσµα – 13/32 µε παράσταση συµπληρώµατος ως προς 2

• Το κλάσµα – 13/32 µε παράσταση προσήµου-µέτρου



• Παράσταση Κινητής Υποδιαστολής (floating point) – Στην παράσταση κινητής υποδιαστολής ο δυαδικός αριθµός Ν παριστάνεται σαν ένα γινόµενο ενός κλασµατικού αριθµού (συντελεστής) επί µία δύναµη του 2.

Ο δυαδικός αριθµός 101,011(2) παριστάνεται σαν0,101011 · 23.

Ο δυαδικός αριθµός 0,000100(2) παριστάνεται σαν0,100 · 2-3.

• Πως αποθηκεύουµε τον δεκαδικό αριθµό 5.75 στην Παράσταση Κινητής Υποδιαστολής ? • Τρία βήµατα:

– Μετατροπή του δεκαδικού στον δυαδικό – Γραφή του δυαδικού σε “κανονικοποιηµένη” επιστηµονική γραφή – Αποθήκευση του κανονικοποιηµένου δυαδικού

• 1. Μετατροπή του δεκαδικού στον δυαδικό.

Άρα 5.75(10) 101.11(2)

111010 1110105.75 = 4 + 1 + ½ + ¼

∆υαδική υποδιαστολή

• 2. Γραφή του δυαδικού 101.11 σε “κανονικοποιηµένη” επιστηµονική γραφή. – Αυτή η παράσταση έχει δύο ιδιότητες. – Το ακέραιο µέρος είναι πάντα µηδέν και έτσι δεν χρειάζεται να το αποθηκεύσουµε – Το πρώτο κλασµατικό ψηφίο είναι πάντα 1



•επιστηµονική γραφή : ± σ x B ±ε

B η βάση, σ ο συντελεστής , ε ο εκθέτης.•Άρα ο αριθµός 5.75 είναι:

101.11 x 20

•Κανονικοποιούµε για να φέρουµε την υποδιαστολή εµπρός από το πρώτο µη µηδενικό ψηφίο (πρώτο 1)

101.11 x 20 = .10111 x 23

• 3. Αποθήκευση του κανονικοποιηµένου δυαδικού µε 16 bit

1100000000111010 1100000000111010

+ .10111 x 2+3

Εκθέτης (6 bits)Συντελεστής (10 bits)

∆υαδική υποδιαστολή

Η βάση 2 δεν αποθηκεύεται

ΚΩ∆ΙΚΕΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΩΝ • Οι εφαρµογές και οι συσκευές εισόδου, εξόδου, αποθήκευσης και επικοινωνίας µεταφέρουν, αποθηκεύουν και χειρίζονται δεδοµένα υπό τη µορφή ενός κώδικα χαρακτήρων

• Οι χαρακτήρες αυτοί περιλαµβάνουν γράµµατα, αριθµητικά ψηφία και σηµεία στίξης, και ονοµάζονται αντίστοιχα αλφαβητικοί, αριθµητικοί (και τα δύο µαζί είναι γνωστά (ως αλφαριθµητικοί) και ειδικοί χαρακτήρες.

• Ένας κώδικας χαρακτήρων είναι ο κώδικας στον οποίο κάθε χαρακτήρας κωδικοποιείται ξεχωριστά ως ένα σύνολο από δυαδικά ψηφία.

• Πως παριστάνουµε κείµενο σε δυαδική µορφή? – Κωδικοποιούµε κάθε χαρακτήρα µε µία θετική ακέραια τιµή (π.χ. A είναι το 65, B το 66, …) – Έπειτα αποθηκεύουµε τους αριθµούς σε δυαδική µορφή!

• Η αντιστοίχιση χαρακτήρων σε αριθµούς Κώδικας χαρακτήρων • Χρειαζόµαστε ένα στάνταρ πρότυπο κώδικα χαρακτήρων (γιατί?):

– ASCII (American Standard Code for Information Interchange) => για κάθε χαρακτήρα 8-bits (άρα 1 byte παριστάνει 256 διαφορετικούς χαρακτήρες επειδή 2^8=256)

– Unicode Standard => για κάθε χαρακτήρα 16-bits (παρέχει δυνατότητα για 2^16 = 65536 χαρακτήρες)



• Κώδικας ASCII – Θέσεις 0…31 χαρακτήρες ελέγχου, – Θέσεις 32…63 αριθµούς, κενά, σύµβολα πράξεων, – Θέσεις 64…95 κεφαλαία λατινικά και σύµβολα, – Θέσεις 96...127 πεζά λατινικά γράµµατα, σύµβολα

…

z

y

x

…

C

B

A

Χαρακτήρας

…

122

121

120

…

67

66

65

Θέση

…

01111010

01111001

01111000

…

01000011

01000010

01000001

∆υαδικός

………

00110010502

00110001491

00110000480

………

0010001034“

0010000133!

0010000032

∆υαδικόςΘέσηΧαρακτήρας

…

z

y

x

…

C

B

A

Χαρακτήρας

…

122

121

120

…

67

66

65

Θέση

…

01111010

01111001

01111000

…

01000011

01000010

01000001

∆υαδικός

………

00110010502

00110001491

00110000480

………

0010001034“

0010000133!

0010000032

∆υαδικόςΘέσηΧαρακτήρας

Η λέξη HELLAS στον ASCII κώδικα

ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ, ΗΧΟΥ, ΒΙΝΤΕΟ • Χρειάζεται να αναπαραστήσουµε και άλλες πληροφορίες στον υπολογιστή

– Εικόνες ( αρχεία µε προέκταση BMP, JPEG, GIF, … ) – Ήχοι (αρχεία µε προέκταση MP3, WAVE, MIDI, … ) – Βίντεο (αρχεία µε προέκταση MPG, AVI, MP4, …)

• ∆ιαφορετικά format, αλλά όλα παριστάνουν τα δεδοµένα σε δυαδική µορφή!

• Η µετατροπή από αναλογική σε ψηφιακή µορφή γίνεται µε αναλογοψηφιακό µετατροπέα (ADC) – Κάνει δειγµατοληψία τιµών στο αναλογικό σήµα ανά τακτά χρονικά διαστήµατα και µετατροπή των τιµών αυτών σε ψηφιακή µορφή

– Η συχνότητα δειγµατοληψίας µετρά τον ρυθµό µε τον οποίο συγκεντρώνονται τα δείγµατα τιµών. Κατόπιν γίνεται κάποιο είδος αυξοµείωσης, έτσι ώστε τα αποτελέσµατα να µετατραπούν στις κατάλληλες µονάδες.

– Κατά τη µετατροπή από αναλογική σε ψηφιακή µορφή πάντα µειώνεται η ακρίβεια.

• Μέγεθος εικόνας σε ψηφιακή µορφή – Η αρχική εικόνα διαιρείται σε ένα πλέγµα (grid), έστω από 22 γραµµές και 16 στήλες. – Άρα 22 x 16 = 352 εικονοστοιχεία (pixels). – Έστω πως κάθε pixel συµβολίζει ένα χρώµα και παίρνει τιµές από 0-255 (δηλαδή 8 bits). – Τότε, η εικόνα απαιτεί αποθηκευτικό χώρο 352 x 8 = 2816 bits.



ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ • Οι εφαρµογές και το λογισµικό απαιτούν από τον υπολογιστή να εκτελέσει µία σειρά αριθµητικών πράξεων

• Η αριθµητική υπολογιστών έχει πολλές οµοιότητες αλλά και πολλές διαφορές από τη συνηθισµένη αριθµητική.

• Χαρακτηριστικά της είναι: – η δυαδική αναπαράσταση των αριθµών, – το περιορισµένο εύρος τιµών των αριθµούν, – η πεπερασµένη ακρίβεια τους και – η πραγµατοποίηση ορισµένων πράξεων µε συνδυασµό άλλων πράξεων.

• ∆υαδική παράσταση των αριθµών – Π.χ. παράσταση δυαδικών ακεραίων, κινητής υποδιαστολής, προσήµου-µέτρου, συµπληρώµατος ως προς δυο.

• Περιορισµένο εύρος τιµών των αριθµών – Π.χ. οι κανονικοί ακέραιοι παριστάνονται µε 16 bit (εύρος από –32768 έως 32767), ενώ οι

µεγάλοι ακέραιοι µε 32 bit.

• Υπερχείλιση (overflow) – Συµβαίνει όταν το αποτέλεσµα µιας πράξης βρίσκεται εκτός των ορίων του εύρους τιµών.

• Πεπερασµένη ακρίβεια των αριθµών – Π.χ. στο κλάσµα 1/3 η παράσταση 0.3333, είναι πιο ακριβής από την 0.33.

• ∆υνατότητα χρησιµοποίησης αριθµών – απλής ακριβείας (µιας λέξης του υπολογιστή) – διπλής ακριβείας (δύο λέξεων του υπολογιστή).

• Πράξεις που πραγµατοποιούνται µε τη βοήθεια άλλων πράξεων – Η πρόσθεση ακεραίων γίνεται απευθείας – η αφαίρεση µπορεί να γίνει βρίσκοντας τον συµπληρωµατικό αριθµό και κάνοντας πρόσθεση. – Ο πολλαπλασιασµός µπορεί να γίνει µε διαδοχικές προσθέσεις – Η διαίρεση γίνεται µε διαδοχικές αφαιρέσεις

Πράξεις στο ∆υαδικό Σύστηµα

• Στο δυαδικό σύστηµα οι πράξεις γίνονται, όπως και στο δεκαδικό • Επιτρεπτές πράξεις µεταξύ των ψηφίων του δυαδικού συστήµατος

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 0 x 1 = 0 0 x 0 = 0 0 : 1 = 0 1 x 0 = 0 1 : 1 = 1

• ∆υαδική Πρόσθεση – Από δεξιά προς τα αριστερά µε χρήση κρατούµενων ψηφίων



• Παράδειγµα πρόσθεσης δύο δυαδικών αριθµών : 101011(2) + 001111(2)

• ∆υαδική Αφαίρεση – Από δεξιά προς τα αριστερά µε χρήση δανεικών ψηφίων

• Παράδειγµα αφαίρεσης δύο δυαδικών αριθµών : 101011(2) - 001111(2)

• ∆υαδικός πολλαπλασιασµός – Με διαδοχικές προσθέσεις (ολίσθηση ψηφίων και πρόσθεση).

• Παράδειγµα 10110(2) x 1011(2)

• Η διαίρεση των ακεραίων δυαδικών – γίνεται µε διαδοχικές αφαιρέσεις (ολίσθηση των ψηφίων και αφαίρεση). – αποτέλεσµα ως πηλίκο και υπόλοιπο.

• Στους περισσότερους υπολογιστές το αποτέλεσµα της διαίρεσης µε αριθµητική ακεραίων θεωρείται µόνο το πηλίκο

– Π.χ. 20 / 7 = 2.

• ∆υαδική Ολίσθηση – Η µετακίνηση των ψηφίων προς τα αριστερά κατά µία θέση λέγεται ολίσθηση (left shift)



Αριθµητική δυαδικών ακέραιων µε παράσταση προσηµασµένων

• Πρόσθεση σε παράσταση συµπληρώµατος ως προς δύο • Παράδειγµα η πρόσθεση των δεκαδικών 14 + 9

• Αφαίρεση σε παράσταση συµπληρώµατος ως προς δύο γίνεται µε πρόσθεση του αντιστρόφου • Παράδειγµα: 17- 13 = 17 + (-13)

• Υπερχείλιση συµβαίνει όταν το αποτέλεσµα ενός υπολογισµού υπερβαίνει τα όρια µεγέθους για την αποθήκευση των αριθµών.

• Συνδέεται µε τα κρατούµενα που µεταφέρονται από και προς το ψηφίο µέγιστης σηµαντικότητας κατά την πρόσθεση

– Π.χ. χρησιµοποιώντας 6 bit σε παράσταση συµπληρώµατος ως προς δύο το εύρος των αριθµών είναι από -32 ως 31.

• Παράδειγµα: 25+18 = 43 (έξω από τα όρια -32 ……31)



Αριθµητική αριθµών κινητής υποδιαστολής • Πρόσθεση δύο αριθµών κινητής υποδιαστολής

– πρώτα µετατρέπουµε, ώστε να έχουν τον ίδιο εκθέτη. – έπειτα προσθέτουµε τους συντελεστές – κανονικοποιούµε το αποτέλεσµα στρογγυλοποιώντας τον συντελεστή.

• Πολλαπλασιασµός και ∆ιαίρεση δύο αριθµών κινητής υποδιαστολής – Εφαρµόζουµε τους τύπους και κανονικοποιούµε το αποτέλεσµα

• Οι αριθµητικές λειτουργίες εκτελούνται από τα λογικά κυκλώµατα, µερικά από τα οποία θα περιγραφούν στις επόµενες ενότητες

Αριθµητικές πράξεις στο λογισµικό Αριθµητικές πράξεις (ή Αριθµητικοί τελεστές) + (πρόσθεση), - (αφαίρεση), * (πολλαπλασιασµός), / (διαίρεση ή ακέραια διαίρεση), % (υπόλοιπο διαίρεσης ακεραίων) που συνδυάζουν απλές αριθµητικές εκφράσεις για να σχηµατίσουν σύνθετες και να δώσουν ένα αριθµητικό αποτέλεσµα. Παραδείγµατα (3+4)*(7-2) , Α+4*6

Συνήθως γίνεται διάκριση ανάµεσα στη διαίρεση δύο ακεραίων που δίνει αποτέλεσµα το πηλίκο και στη διαίρεση δύο αριθµών κινητής υποδιαστολής που δίνει αποτέλεσµα έναν πραγµατικό αριθµό.

Οι αριθµητικές εκφράσεις µε την πράξη ανάθεσης τιµής µπορούν να αποδίδονται σε µεταβλητές όπως i = 3+4 , που σηµαίνει κάνε την τιµή της µεταβλητής i ίση µε το αποτέλεσµα της έκφρασης 3+4

• Για την εκτέλεση των βασικών πράξεων σε αριθµητικές εκφράσεις από το λογισµικό του υπολογιστή χρησιµοποιείται ο παρακάτω συµβολισµός

Πράξη σε Pascal Basic Visual Basic C/C++ Java Ms Excel Ms Access

Πρόσθεση a + b a + b a + b a + b a + b a + b a + b

Αφαίρεση a - b a - b a - b a - b a - b a - b a - b

Πολλαπλα-σιασµός a * b a * b a * b a * b a * b a * b a * b

∆ιαίρεση a / b a / b a / b a / b a / b a / b a / b

Ακέραια ∆ιαίρεση a div b int(a/b) a \ b a / b a / b int(a/b) int(a/b)

Υπόλοιπο ∆ιαίρεσης ακεραίων

a mod b a-int(a/b) *b a mod b a % b a % b mod(a;b) a mod b

Ανάθεση τιµής := = = = = =


efarmosmeni pliroforiki

Documents

Transcript of efarmosmeni pliroforiki