向量與平面幾何的證明 -...

林信安老師編寫

向量與平面幾何的證明前言

我們利用向量來處裡幾何問題，其主要的思考方式，可以用下表來顯示：

已知的幾何關係向量的關係

證明某種幾何關係求出某種向量關係

幾何關係用向量來表示

將向量表成幾何關係

根據上表對於向量在平面幾何證明的應用，我們分成幾個部份來說明，第一部份向量的基礎

知識，包含向量的基本運算與性質；第二部份是用向量來表示分點、共線、距離夾角、共點

線與共線點、共圓等幾何關係；第三部份就會根據不同的情形來討論如何用向量去處理平面

幾何的證明。壹、幾何向量的基礎知識

我們都知道向量是具有大小與方向的量，這裡所要介紹的向量，主要是在平面上或空間中用有向線段或直角坐標表示的向量，而主要的應用會強調在幾何方面，當然在物理上向量

也是很重要的基本工具，此處我們所討論的基礎知識，都可以使用在物理上。 (甲)向量的加法、減法與係數積：

(1)向量的加法：給定二個向量→■a ,→■b 如何定義→■a +→■b 呢？

(a)三角形法：設→■a =AB，→■b =BC，則定義→■a +→■b =AC (可以用位移為例)

(b)平行四邊形法：

由三角形法，如果→■a =AB，→■b =AC，則→■a +→■b =AD，

C

B

A

CA B A C B

A C A C

1


ABDC為平行四邊形。(可以用合力為例)

(2)向量的減法：給定兩個向量→■a ,→■b ，如何定義→■a −→■b 呢？

[說明]：設→■a = AB ,→■b = AC ，我們定義→■a −→■b =→■a +(−→■b )

A B

C D

根據右圖可知AD =−→■b ，ADEB為平行四邊形，

→■a −→■b =→■a +(−→■b )=AB+AD=AE=CB

即AB−AC=CB。結論： (a)任何一個向量BC，我們都可以把它拆解為BA+AC兩向量的和，其中 A為任一點。即BC=BA+AC。(可以以位移為例) (b)任何一個向量BC，我們都可以把它拆解為AC–AB兩向量的差，其中A點為任一點。即BC=AC−AB。(可以相對運動為例) (3)向量的係數積：

設→■a 是一個向量，r是一個實數，則r→■a 仍是一個向量，定義如下：

長度：| r→■a |=|r||→■a |

方向：若r>0，則r→■a 與→■a 同向；

若r


(5)線性組合：

若→■u 和→■v 不平行，則在→■u 及→■v 所決定的平面上的每一個

向量→■w 都可以唯一寫成r→■u ＋s→■v 之形式。

(乙)向量的內積： (1)內積的定義：

設 a 與 b 為兩向量，θ為其夾角，定義 a 與 b 的內積為| a || b |cosθ

，符號記為： a ． b =| a || b |cosθ，"．"念成dot。

請注意： a ． b 是一個實數而非向量，就好像功是一個純量，而沒有方向。 (2)內積與投影量：

令 a =AB, b =AC，θ 為 a 與 b 的夾角

C

θ

C

A θ A(D) B

C

B D A BD

(a)當 0


當 a 與 b 之夾角為直角時，我們稱 a 與 b 垂直，記為 a ⊥ b 。為了方便起見，我們將任何向量與零向量都視為垂直。

所以規定： a ⊥ b ⇔ a ． b =0。 (4)向量的性質：

設 a , b , c 為任意三向量，r為任意實數，則

(a) a ． b = b ． a (交換性)

(b) a ．( b + c )= a ． b + a ． c (分配性)

(c)r( a ． b )=(r a )． b = a ．(r b )

(d) 0 ． a =0 (注意： 0 ． a =0 而非零向量)

(e)| a |2= a ． a ≥0，| a |2=0 ⇔ a = 0

注意：| a |2= a ． a 這個性質可以讓我們在內積與長度之間轉換，是一個簡單但重要的性質。

(f)| a ± b |2=( a ± b )⋅( a ± b )=| a |2±2 a ． b +| b |2 (丙)向量的坐標化： (1)平面向量的坐標化：

設 u = OP ，而P點的坐標為(a,b)，則我們就用P的坐標(a,b)來表示向量 u ，

記為 u =(a,b)，其中a和b分別稱為向量 u 的x−分量與y−分量。

(a)長度： u =(a,b)，則| u |= a2+b2。

(b)向量相等：若 u =(a,b)， v =(c,d)，則 u = v ⇔ a=c且b=d (c)兩點決定一向量：設A(x1,y1)，B(x2,y2)為坐標平面上的兩點，則AB=(x2−x1 , y2−y1) (2)空間向量的坐標化：空間中兩點A(a1,a2,a3)、B(b1,b2,b3)，將向量AB的起點A移至原點O，B點移至P點，此時P點的坐標為(b1-a1,b2−a2,b3−a3)，我們以(b1-a1,b2−a2,b3−a3)表示AB，即AB=(b1-a1,b2−a2,b3−a3)。

xO

y

P(a,b)

(a)長度： u =(a,b,c) ⇒| u |= a2+b2+c2。

(b)向量相等： u =(a,b,c)， v =(α,β,γ) 若 u = v ，則。 ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

γβα

cba

O

P

A(a1,a2,a3)

B(b1,b2,b3)

x

y

z

4


(3)向量坐標化與向量的運算：

(a)平面上：設 a =(a1,a2)， b =(b1,b2)，則

a + b =(a1+b1，a2+b2) a − b =(a1−b1，a2−b2)

r a =(ra1,ra2)，r∈R a // b ⇔ a 與 b 的分量成比例。

a ⋅ b =a1b1+a2b2

(b)空間中：設 a =(a1,a2,a3)， b =(b1,b2,b3)，則

a + b =(a1+b1，a2+b2，a3+ b3) a − b =(a1−b1，a2−b2，a3−b3)

r⋅ a =(ra1,ra2,ra3)，r∈R a // b ⇔ a 與 b 的分量成比例。

a ⋅ b =a1b1+a2b2+a3b3 (丁)空間向量的外積：

在物理學中，設力　F 作用在位移　r 的終點上，它的力矩定義為一個向量 M ，

其大小為| F || r |sinθ ，方向垂直 F 與 r ，且 M 與 r 、 F 構成右手系，

符號寫成： M = r × F 這樣的慨念抽象化之後，形成「外積」的定義。 (1)外積的定義：

設空間中兩向量 a 與 b 的外積為一個向量，符號記為 a × b ，

而| a × b |=| a || b |sinθ ，其中θ 為 a 與 b 的夾角；

a × b 的方向與 a 、 b 都垂直，且當 a 做 180°內的旋轉

並與 b 的方向一致時，右螺旋前進的方向。

換句話說： a × b ⊥ a ， a × b ⊥ b 且 a 、 b 、 a × b 成右手則的關係。

(2)外積的性質：設 a 、 b 、 c 為空間中的三個向量，

(a) a × b = − b × a 。

(b)(r a )× b =r(　a ×　b )，r為任意實數。

(c)( a + b )× c =( a × c )+( b × c )

(d)若 a 與 b 是非零且不共線的向量，則| a × b |=由 a 與 b 所展成的平行四邊形的面積。

(e)若 a // b ，則 a × b = 0 。 [討論]：如何證明性質(c) (3)外積的坐標表示：

設在空間坐標上取 i =(1,0,0)、 j =(0,1,0)、 k =(0,0,1)，

空間中的向量→■v =(a,b,c)=a i +b j +c k

r

F

θ

θ

a × b

b

a

5


且根據外積的定義，可得 i × j = k 、 j × k = i 、 k × j = i

設 a =(x1,x2,x3), b =(y1,y2,y3)，那麼根據外積的運算性質與上式的結果，可以計算出

a × b =(x2y3−x3y2, x3y1−x1y3 , x1y2−x2y1)=(32

32

yyxx

, 13

13

yyxx

,21

21

yyxx

)

[討論]：如何證明上述的結果？ (戊)向量內積與外積： (1)Lagrange恆等式：

( a1 × a2 )．( a3 × a4 )=( a1 ． a3 )( a2 ． a4 )−( a1 ． a4 )( a2 ． a3 )。 [證明]：可以利用坐標法來證明上式。 [討論]：請用Lagrange恆等式證明

( a1 × a2 )．( a3 × a4 )=( a1 × a3 )．( a2 × a4 )−( a1 × a4 )．( a2 × a3 )。 (2)混合積與平行六面體體積：

由 a =(a1,a2,a3)， b =(b1,b2,b3)， c =(c1,c2,c3)三向量

所展成的平行六面體的體積=

321

321

321

cccbbbaaa

的絕對值。

→■a

→■b

→■c→■a ×→■b

α

β

[證明]：平行六面體的體積

=(由→■a 、→■b 所展成的平行四邊形面積)×高

由→■a 、→■b 所展成的平行四邊形面積=|→■a ||→■b |sinα=|→■a ×→■b |

高=→■c 在(→■a ×→■b )方向上的投影長度=|→■c |cosβ的絕對值。

平行六面體的體積

=||→■a ×→■b |⋅|→■c |cosβ|=|(→■a ×→■b )⋅→■c |，β為→■a ×→■b 與→■c 的夾角

=| (21

21

13

13

32

32 ,,bbaa

bbaa

bbaa

)⋅(c1,c2,c3) |=| 21

213

13

132

32

321 bb

aac

bbaa

cbbaa

c ++ |

=| 21

213

31

312

32

321 bb

aac

bbaa

cbbaa

c +− |=|

321

321

321

cccbbbaaa

|

根據以上的證明，可得之( a × b )． c =

321

321

321

cccbbbaaa

，我們稱這個為 a 、 b 、 c 的混合積。

6


O

A

B C

G

H

D

M

[例題1] 設∆ABC之外心為O，垂心為H，重心為G， (1)試證：OA+OB+OC=OH。 (2)若AG=x⋅AO+y⋅AH，試求實數x,y之值。 (3)證明：G、H、O三點共線，且OG：GH=1：2。

[例題2] 試求以C為圓心，r為半徑的圓及過圓上一點A的切線的向量方程式。 Ans：| OP−OC|2=r2， CP ．CA=r2

練習題 1. 設直線AT是∆ABC的內角平分線，B、C關於原點A的位置向量為AB、AC試求

(1)直線BC與AT的向量方程式。 (2)直線BC與AT的交點T的位置向量。 Ans：(1)直線BC： AP =(1−t)AB+tAC，直線AT： AP =k(|AC|AB+|AB|AC)

(2) AT =|AC|

|AC|+|AB|AB+

|AB||AC|+|AB|

AC

2. 設A、B是以O為圓心，r為半徑的圓上兩點，它們關於O的位置向量是OA、OB，試求過A、B兩點的切線交點P的位置向量。

Ans： OP =2r2

|OA+OB|2(OA+OB)

3. 設A、B、C、D是空間四點，且AB⊥CD，AC⊥DB，求證AD⊥BC。

4. 設O、I分別是∆ABC的外心和內心，A1、B1、C1是各內角平分線與外接圓的交點，求證： OI =OA1+OB1+OC1。

5. 設Q、H為∆ABC的外心、垂心，R為外接圓半徑，

求證：⎯QH2=R2[3+2(cos2A+cos2B+cos2C)]。

7


6. 求證：在∆ABC中，

(1)AB ×BC=BC×CA=CA×AB。(2)ABsinC =

BCsinA =

CAsinB。

7. 對於空間中任意四點A、B、C、D，恆有

AB．CD=12(|AD|

2+|BC |2−|AC|2−|BD|2)。

8. 設 a × b = c × d ， a × c = b × d ，求證： a − d 與 b − c 平行。

9. 已知空間四邊形 ABCD 中，⎯AB=

⎯CD，

⎯AD=

⎯BC，試證明

⎯AC、

⎯BD中點的連線 MN 為直線

AC 和 BD 的公垂線。

10. 設 a 、 b 、 c 為非零向量，且 a × b = c , b × c = a , c × a = b ，

試證明： a 、 b 、 c 為兩兩互相垂直的單位向量。

8


貳、用向量表示幾何關係幾何學是通過點、線、面之間的各種位置關係和數量關係來研究空間圖形的性質，而幾何中最原始與基本的概念是位置。點是空間位置的一種抽象形式，但點所表示的具體位置只

有在它與另一點加以對照之後才能顯示出來。所以位置本身不可能構成什麼量，但是空間中

兩個點之間位置的「差」看成是一種量，它不僅具有大小，而且帶有方向，這就是「幾何向

量」。因此向量不僅可以看成「位置差」這一基本幾何量的抽象表示，而且還是研究和描述

空間圖形性質和各種幾何關係的強有力的工具。前面我們已經介紹了幾何向量的相關知識和運算性質，並且給出了直線、圓等幾何圖形

的向量形式，接下來我們將進一步給出平面幾何中各種幾何關係的向量表示，以便往後應用

它們來研究和證明平面幾何的問題。 (甲)定比分點與面積坐標 (1)線段的定比分點：

若設P為線段⎯AB上的一點，且

⎯AP：

⎯PB =λ：1，則 AP =λ PB ， OP =

11+λOA+

λ1+λOB。

(2)推廣線段的定比分點：若在∆ABC中，設點C1、B1分別是直線AB與AC上的分點，且AC1=mC1B，AB1=nB1C，設P點是直線CC1與BB1的交點，

則 PA +m PB +n PC = 0 ， OP =1

1+m+nOA+m

1+m+nOB+n

1+m+nOC。

[證明]：

根據題意可知AC1=mC1B⇒AC1=m

1+mAB

而直線CC1的向量方程式為AX=(1−t)AC+ mt

1+mAB

同理可得直線BB1的向量方程式為AX=(1−k)AB + nk

1+nAC

P點是直線CC1與BB1的交點，故 AP =(1−t)AC+ mt

1+mAB=(1−k)AB +nk

1+nAC

因為AB與AC不平行，所以 1−t=nk

1+n且mt

1+m=1−k，解得t=1+m

1+m+n，1−t=n

1+m+n

故 AP =m

1+m+nAB+n

1+m+nAC

⇔ PA +m PB +n PC = 0 ， OP =1

1+m+nOA+m

1+m+nOB+n

1+m+nOC。

[討論]： (a)請問上面的結果，可以用來得出線段定比分點的結果嗎？

(b)若m=αβ，n=

γβ，則前面的結果可以得到什麼式子？

P

A

B C

B1C1

9


(3)面積坐標：設P為∆A1A2A3所在平面上一點，∆ABC表示三角形ABC的有向面積(規定頂點逆時針方向排列為正，否則為負或 0)，

則 OP =∆PA2A3

∆A1A2A3 OA1+

∆PA3A1 ∆A1A2A3

OA2+∆PA1A2

∆A1A2A3 OA3。

[證明]：如右圖，設直線A1P與A2A3交於A/1，直線A2P與A1A3交於A/2

因為A3A/1A/1A2=

三角形PA3A/1面積三角形PA/1A2面積 =

三角形PA3A1面積三角形PA1A2面積

所以A3A/1=∆PA3A1∆PA1A2

A/1A2

同理A3A/2A/2A1=

三角形PA3A/2面積三角形PA/2A1面積 =

三角形PA3A2面積三角形PA1A2面積

所以A3A/2=∆PA3A2∆PA1A2

A/2A1

根據(2)推廣線段的定比分點的結果

⇒OP =∆PA2A3

∆A1A2A3 OA1+

∆PA3A1 ∆A1A2A3

OA2+∆PA1A2

∆A1A2A3 OA3。

A1

A2 A3

P

A/1

A/2

在上述的結果中，∆A1A2A3稱為坐標三角形，對此三角形所在平面上的點P，若∆PA2A3：∆PA3A1：∆PA1A2=a1：a2：a3，則稱(a1,a2,a3)為P點的面積坐標或重心坐標。設P點的重心坐標為(a1,a2,a3)，根據前面的結果，

可知 OP =a1

a1+a2+a3OA+a2

a1+a2+a3OB+a3

a1+a2+a3OC，此時令xi=ai

a1+a2+a3，i=1,2,3

故 OP =x1OA+x2OB+x3OC，且x1+x2+x3=1，此時我們稱(x1,x2,x3)為P點(關於∆A1A2A3)的重心規範坐標。 [例題3] 設G、H、Q、I、IC分別代表∆ABC的重心、垂心、外心、內心和對著頂點C的傍心，

請求出它們關於∆ABC的面積坐標。 Ans：G(1,1,1)、H(tanA,tanB,tanC)、Q(sin2A,sin2B,sin2C)、I(sinA,sinB,sinC) IC(sinA,sinB,−sinC)

10


(乙)距離與夾角： (1)兩點距離： d(A,B)=|AB|2 (2)點到直線的距離：平面上點P到直線L的距離d(P,L)

當A∈L，→■n ⊥L，則d(P,L)=| AP ．→■n |

|→■n |。

當A∈L，→■v //L，則d(P,L)=| AP×→■v |

|→■v |。

當A,B∈L，則d(P,L)=| PA × PB |

|AB|。

L A

P →■v

L A

P

L

B A

→■n

P (3)夾角：

設 a 、 b 的夾角為θ

sinθ=| a × b |

| a || b |，cosθ=

a ． b

| a || b |，tanθ=

| a × b |

a ． b。

(丙) 面積： (1)在直角坐標系中，設Ak(xk,yk)，k=1,2,3，

則三角形A1A2A3的有向面積∆A1A2A3=12

111

33

22

11

yxyxyx

。

(2)三角形A1A2A3的面積=12|A1A2×A1A3|

11


[例題4] 設平面上三點P1、P2、P3關於∆A1A2A3的重心規範坐標為Pk(ak1,ak2,ak3)，k=1,2,3

則三角形P1P2P3與坐標三角形的有向面積之比為∆P1P2P3∆A1A2A3

=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

。

(丁)共線點與共點線： (1)三點共線： A、B、C三點共線的充要條件是 |AB．AC|=|AB||AC|

⇔AB×AC= 0 ⇔AB=tAC

⇔αOA+βOB+γOC= 0 (α,β,AB．AC不全為 0，且α+β+γ=0) (2)設平面上三點P1、P2、P3關於∆A1A2A3的重心坐標為Pk(ak1,ak2,ak3)，k=1,2,3

則此三點共線的充要條件是

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

=0。

(3)三線共點： (a)重心的直線方程式：設L為坐標三角形A1A2A3所在平面上的一條直線，過三頂點引平行線A1B1、A2B2、A3B3分別交L於B1、B2、B3，若有向線段比 11BA ： 22 BA ： 33BA =a1：a2：a3，

則L的方程式可表為a1x1+a2x2+a3x3=0，其中(x1,x2,x3)為動點P的重心坐標。 [證明]：設L與直線A1A3、A1A2交於C2、C3，因為有向線段比 11BA ： 22 BA ： 33BA =a1：a2：a3

所以A1C2=(−a1a3)C2A3，A1C3=(−

a1a2)C3A2，於是根據分點公式得

12


OC2=a3

a3−a1OA1+

−a1a3−a1

OA3，OC3=a2

a2−a1OA1+

−a1a2−a1

OA2

在根據P、C2、C3三點共線可得

00

12

13

321

aaaa

xxx

−− =0，化簡可得a1x1+a2x2+a3x3=0。

(b)在重心坐標平面上，設互不平行的三直線L1、L2、L3的方程式為ak1x1+ak2x2+ak3x3=0

k=1,2,3，則三直線L1、L2、L3交於一點的充要條件是

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

。

A1

A2 A3

B1 B2 B3C2

C3

L

(戊)共圓點：設P點關於坐標∆A1A2A3的重心坐標為(µ1, µ2, µ3)，重心規範坐標為(λ1, λ2, λ3) 則P在∆A1A2A3的外接圓上的充要條件是 µ1⋅µ2|OA1−OA2|2+µ2⋅µ3|OA2−OA3|2+µ3⋅µ1|OA3−OA1|2=0 或| OP |2=λ1|OA1|2+λ2|OA2|2+ λ3|OA3|2 (其中O為∆A1A2A3的外心) [證明]：如圖，O為∆A1A2A3的外心，R為外接圓半徑因為 OP =λ1OA1+λ2OA2+ λ3OA3 所以 | OP |2 =R2[λ12+λ22+λ32+2(λ1λ2cos∠A1OA2+λ2λ3cos∠A2OA3+λ3λ1cos∠A3OA1)] =R2[1−2(λ1λ2+λ2λ3+λ3λ1)+2(λ1λ2cos2A3+λ2λ3cos2A1+λ3λ1cos2A2)] =R2[1−4(λ1λ2sin2A3+λ2λ3sin2A1+λ3λ1sin2A2)] P在P在∆A1A2A3的外接圓上 ⇔| OP |2=R2 ⇔(λ1λ2sin2A3+λ2λ3sin2A1+λ3λ1sin2A2)=0 ⇔ λ1λ2|A1A2|2+λ2λ3|A2A3|2+λ3λ1|A3A1|2=0 ⇔ µ1⋅µ2|OA1−OA2|2+µ2⋅µ3|OA2−OA3|2+µ3⋅µ1|OA3−OA1|2=0 ⇔| OP |2=λ1|OA1|2+λ2|OA2|2+ λ3|OA3|2

O

P

A1

A3

A2

13


練習題

1. 設O、A、B三點不共線，三角形P1P2P3各頂點關於O的位置向量為

OPk=akOA+bkOB(k=1,2,3)，則∆P1P2P3=111

33

22

11

bababa

∆OAB。

2. n邊形P1P2…..Pn(凸的或凹的)的面積S=12|∑

−

=

1

2

n

kP1Pk×P1Pk+1|=

12|∑

=

n

k 1OPk×OPk+1|

(其中Pn+1=P1) (可用數學歸納法去證明)

3. 設O、A、B三點不共線，平面上三點P1P2P3關於O的位置向量為

OPk=akOA+bkOB(k=1,2,3)，則三點P1P2P3共線的出要條件是111

33

22

11

bababa

=0。

4. 若n個點P1、P2、…、Pn共線，

則OP1×OP2+OP2×OP3+…+OPn−1×OPn+OPn×OP1= 0 (可用數學歸納法去證明)

5. 已知直線AB、A/B/交於O，直線AB/、A/B交於N，OA=x1 e1 ，OB=x2 e2 ，

OA/=y1 e2 ，OB/=y2 e1 ，求證：ON=1

x1y1−x2y2[x1x2(y1−y2) e1 +y1y2(x1−x2) e2 ]。

6. 設AB、CD的夾角為θ，證明：cosθ=|AD|2+|BC |2−|AC|2−|BD|2

2|AB||CD|。

7. 設A/、B/、C/各在共點三直線OA、OB、OC上，並且OA=αOA/，OB=βOB/，OC=γOC1，求證：A/、B/、C/三點共線的充要條件是α⋅∆OBC+β⋅∆OCA+γ⋅∆OAB=0。特別的是，當A、B、C三點共線時，

則A/、B/、C/三點共線的充要條件是αBC+βCA+γAB= 0 。

8. 在重心坐標平面上，設兩相交直線L1、L2的方程式為ak1x1+ak2x2+ak3x3=0 (k=1,2)

求證：L1、L2的交點的重心坐標為(2322

1312

aaaa

,2123

1113

aaaa

,2221

1211

aaaa

)。

14


叁、用向量證明幾何問題前面介紹了幾何向量的基本知識與性質，並且可以用向量來對幾何關係做轉換，接下來就幾種幾何問題，我們利用向量方法來證明一些幾何命題。在證明幾何問題時，首先要學好幾何向量的基礎知識，熟悉並掌握各種運算規則；其次要掌握好各種幾何關係的向量表示，以便順利轉換幾何命題與向量關係，最後還要熟悉各類

幾何問題的一般證明方法，才能靈活的加以應用。 (甲)線段的相等、不等與比例關係： [例題5] 對於四邊形ABCD的對角線的交點O引一截線交直線AB、CD於P、P/，交直線BC、

AD於Q、Q/，求證：若⎯OP=

⎯OP/，則

⎯OQ=

⎯OQ/。

[分析]：建立基底，引入參數，再利用這些參數證明結果。以O為原點，OA、OB為基底，再令OC=λOA、OD=µOB OP =αOA+βOB(α+β=1)，再利用 OP =−OP/，將OP/用OA、OB來表示，令OQ=x OP ，OQ/=x/OP/，將x、x/用這些參數來表示，再證明x=x/。

O

A

B C

D

PP/

Q

Q/

15


[例題6] 在四邊形ABCD中，∆ABD、∆BCD、∆ABC的面積比是 3：4：1，點M、N分別在⎯AC；

⎯CD上，滿足AM：AC=CN：CD，並且B、M、N三點共線，求證：M與N分別是

⎯AC

與⎯CD的中點。

[分析]：

解法一：取B點為原點O，可令AMAC=

CNCD=λ

OM=(1−λ)OA+λOC，ON=(1−λ)OC+λOD

又由B(O)、M、N三點共線得 0 =OM×ON 再配合∆ABD、∆BCD、∆ABC的面積比是 3：4：1

求λ=12。

解法二：以∆ACD為坐標三角形，設AMAC=

CNCD=λ>0

⇒OM=(1−λ)OA+λOC，ON=(1−λ)OC+λOD 故可得M、N的重心坐標為M(1−λ,λ,0)、N(0, 1−λ,λ) ∆ABD、∆BCD、∆ABC的面積比是 3：4：1⇒B(4,3,−1)

再利用B、M、N三點共線，所以可得λ=12。

N

MA

B

C

D

[例題7] 從圓外一點P引兩條切線PT1、PT2，又引割線交圓於X1、X2，交⎯T1T2於T點，求證

PX1、PT、PX2成調和數列，即1

PX1+1

PX2=2

PT。

[分析]：

取 1PX 的單位向量 e ，射線 1PX 上的任一點X

，令|PX|=x，則 PX =x e ，故可令PXi=xi e ,i=1,2

再證明1x1 +

1x2 =

2PT。

16


T

OP

T1

T2

X2

X1

[例題8] ∆ABC中AD、BE、CF是三條中線，R為外接圓半徑。求證：

(1)AB2+BC2+CA2≤9R2 (2)AD+BE+CF≤92R。

[證明]：

[例題9] 設Q、R為∆ABC的外接圓圓心和半徑，I、r為∆ABC的內切圓圓心和半徑，求證：(1)a⋅IA2+b⋅IB2+c⋅IC2=abc。(2)IQ2=R2−2Rr。 [分析]：

(1)取I為原點，再利用a I A +b I B +c I C = 0 ，證明a| I A |2+b| I B |2+c| I C |2=abc。 (2)證明a|QA|2+b2|QB|2+c2|QC|2 = a| I A |2+b| I B |2+c| I C |2+(a+b+c)| IQ |2−2 IQ ．(a I A +b I B +c I C )

17


IQ

A

B

C

(乙)面積關係：

[例題10] 在∆ABC的三邊BC、CA、AB上各取一點A1、B1、C1，使得BA1A1C=

CB1B1A=

AC1C1B=λ。設

直線AA1、BB1、CC1交成∆A2B2C2，求證：ABC

CBA

SS

∆

∆ 222 =(λ−1)2

λ2+λ+1。

[分析]：考慮使用關於∆ABC的重心坐標，去求A2、B2、C2、的坐標再求ABC

CBA

SS

∆

∆ 222 。

A

B CA1

B1

C1

B2

A2C2

18


[例題11] 銳角∆ABC頂點A的內角分角線交⎯BC於L，交三角形外接圓於N，過L分別做AB和

AC邊的垂線LK和LM，垂足是K和M，求證：四邊形AKNM和∆ABC的面積相等。 [分析]：設A為原點(O)

令 e1 =OK、 e2 =OM為基底，依題設可知| e1 |=| e2 |

再令OB=b e1 、OC=c e2 ，ON=n( e1 + e2 ) 計算四邊形AKNM的面積與∆ABC的面積再根據LK⊥AB與NB=NC，證明四邊形AKNM和∆ABC的面積相等。

K

M

L

N

A

B C

(丙)點共線、線共點與點共圓： [例題12] 證明Menelaus定理：設點A1、B1、C1分別在∆ABC的三邊BC、CA、AB或其延

長線上，且BC

AC

1

1 =λ1，CA

BA

1

1 =λ2，AB

CB

1

1 =λ3，則A1、B1、C1三點共線的充要條件是

λ1λ2λ3=−1。

19


[例題14] 證明Ceva定理：設點A1、B1、C1分別在∆ABC的三邊BC、CA、AB或其延

長線上，且BC

AC

1

1 =λ1，CA

BA

1

1 =λ2，AB

CB

1

1 =λ3，則互不平行的三直線AA1、BB1、CC1共

點的充要條件是λ1λ2λ3=1。

B

A

C

C1

A1

B1

[例題15] 在∆ABC中，AB≠AC，L與L/分別是∠A的內外角平分線，B/、C/為B、C在L上的投影點，求證：L/、BC/、CB/三線共點。 [分析]：取∆ABC作為重心坐標的三角形，求出L/、BC/、CB/的方程式。

L

L/

P

A

B C

C/

B/

21


[例題16] 已知四邊形A1A2A3A4內接於圓O，三角形A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的重心分別是G1、G2、G3、G4，求證：G1、G2、G3、G4四點共圓。 [分析]：利用重心的向量表示，再配合四點共圓的條件。

G3

G2

G1 G4

O

A1

A2

A3

A4

22


練習題 1. 設 E 是∠AOB 的平分線上一點，C、D 分別在邊 OA、OB 上，且 AD//EB，BC//EA，

求證：⎯AC=

⎯BD。

2. 證明：Steiner−Lehmus 定理：在∆ABC 中，∠B 與∠C 的平分線 BD 與 CE 相等，則⎯AB=

⎯AC。

3. 求證：在四邊形ABCD中，有 (1)(AB+CD)2+(AD+BC)2≥2(AC2+BD2) (2)AB2+BC2+CD2+DA2≥AC2+BD2。

4. 過∆ABC 的內心 I 做一截線分別交⎯AB、

⎯AC於 E、F 兩點，

求證：c

a+b≤EIIF≤

a+cb 。

5. 在∆ABC 中，E、F 是⎯AB的三等分點，中線

⎯AD與

⎯CE、

⎯CF 分別交於 M、N，

求證：AM：MN：ND=5：3：2。

6. 過平行四邊形的頂點 A 做一圓交⎯AB、

⎯AC、

⎯AD於 E、G、F，

求證：AC⋅AG=AB⋅AE+AD⋅AF。

7. 設P點為∆ABC內切圓上任一點，求證：a⋅PA2+b⋅PB2+c⋅PC2為定值。

8. 設O、H、IC各為∆ABC的外心、垂心、傍心，R、rC是外接圓和傍切圓的半徑，求證： (1)OH2=9R2−(AB2+BC2+CA2) (2)OIC2=R2+2RrC。

9. 已知六邊形ABCDEF的三雙對邊互相平行，求證：S∆BDF=S∆ACE。

10. 已知 D、E 各在∆ABC 的⎯AC、

⎯BC邊上，且 DE//AB，

求證：1

S∆AED=

1S∆AEC

+1

S∆ABE。

11. 求證：梯形兩腰延長線的交點 O，兩底的中點 M、N，兩對角線的交點 P，在一條直線上。

12. 設G、I是∆ABC的重心與內心，I/是以∆ABC各邊中點為頂點的∆A/B/C/的內心，求證G、I、Ｉ/三點共線。

13. 設∆ABC 的內切圓 I 與⎯BC切於 D，

⎯AD、

⎯BC的中點是 E、F，求證：E、F、I 三點共線。

14. 圓I內切於∆ABC，並切BC、CA、AB於A1、B1、C1，又M為⎯BC的中點，

求證：AM、B1C1、A1I三線共點。

15. 兩直線相交於 O，在其中一條上取 A、B、C 三點，使得 OA=AB=BC，在另一條直線上取 L、M、N 三點，使得 LO=OM=M，求證：AL、BN、CM 三線共點。

16. 已知四邊形P1P2P3P4內切於圓O，三角形P2P3P4、P3P4P1、P4P1P2、P1P2P3的垂心分別是H1、H2、H3、H4，求證：H1、H2、H3、H4四點共圓。

23

設O、A、B三點不共線，三角形P1P2P3各頂點關於O的位置向量為�=ak+�n邊形P1P2…..Pn\(凸的或凹的\)的面積S=|\(|=|\(|��設O、A、B三點不共線，平面上三點P1P2P3關於O的位置向量為�=ak+bk(k=1,2,3)，則三點P1P2P3共線若n個點P1、P2、…、Pn共線，�則\(+\(+…+\(+\(=�\�已知直線AB、A/B/交於O，直線AB/、A/B交於N，=x1，=x2，�=�設、的夾角為\(，證明：cos\(=。設A/、B/、C/各在共點三直線OA、OB、OC上，並且=\(，=\(，=在重心坐標平面上，設兩相交直線L1、L2的方程式為ak1x1+ak2x2+ak3x3=0 (k=1,2)�求證：L1、L設E是\(AOB的平分線上一點，C、D分別在邊OA、OB上，且AD//EB，B證明：Steiner\(Lehmus定理：在\(ABC中，\(B與\(求證：在四邊形ABCD中，有�\(1\)\(AB+CD\)2+\(AD過\(ABC的內心I做一截線分別交、於E、F兩點，�求證：\(\(。在\(ABC中，E、F是的三等分點，中線與、分別交於M、N，�求證：AM：MN過平行四邊形的頂點A做一圓交、、於E、G、F，�求證：AC\(AG=AB\(設P點為\(ABC內切圓上任一點，求證：a\(PA2+b\(PB2+c\設O、H、IC各為\(ABC的外心、垂心、傍心，R、rC是外接圓和傍切圓的半徑，求已知六邊形ABCDEF的三雙對邊互相平行，求證：S\(BDF=S\(ACE。已知D、E各在\(ABC的、邊上，且DE//AB，�求證：= +。求證：梯形兩腰延長線的交點O，兩底的中點M、N，兩對角線的交點P，在一條直線上。設G、I是\(ABC的重心與內心，I/是以\(ABC各邊中點為頂點的\(設\(ABC的內切圓I與切於D，、的中點是E、F，求證：E、F、I三點共線。圓I內切於\(ABC，並切BC、CA、AB於A1、B1、C1，又M為的中點，��兩直線相交於O，在其中一條上取A、B、C三點，使得OA=AB=BC，在另一條直線上取L、M、N三點，使得LO=OM=M，已知四邊形P1P2P3P4內切於圓O，三角形P2P3P4、P3P4P1、P4P1P2、P1P2P3的垂心分別是H1、H2

向量與平面幾何的證明 -...

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