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제 2 장

선형·비선형 계획법

【설례 2.1】선형계획법(LP) / 2-02

【설례 2.2】선형계획법 기본개념-최 화 문제 / 2-04

【설례 2.3】선형계획법-도해법 : 최 화문제 / 2-05

【설례 2.4】선형계획법-민감도 분석 예제 / 2-08

【설례 2.5】선형계획법-최 화문제 추가1 / 2-15

【설례 2.6】선형계획법-최 화문제 추가2 / 2-18

【설례 2.7】선형계획법-최소화문제 / 2-19

【설례 2.8】선형계획법-쌍 (雙對)문제 / 2-21

【설례 2.9】심플렉스법-최 화문제 / 2-22

【설례 2.10】심플렉스법-최소화문제 / 2-26

【설례 2.11】비선형게획법 / 2-28

★ 기출문제 및 착안점 / 2-33

제2장 선형·비선형 계획법 / 2-01

설례 2.1 선형계획법 (Linear Programming : LP) 2010 등 총7회

1. 선형계획법의 의의

* 제한된 자원을 합리적으로 결정함으로써 목적을 최적화하고자 하는 기법.

* 즉, 1차부등식으로 표현된 제약조건하에서 일차함수로 나타나는 목적함수의 최 화 혹은 최

소화(이익의 최 화 혹은 비용의 최소화)를 달성할 수 있도록 자원을 배분하는 기법.

2. 선형계획법의 전제 2004 등 총2회

① 목적함수 → 모든 선형계획 문제는 목적함수를 가져야 함.

목적함수는 이익·효용 최 화 혹은 비용·시간 최소화와 같이 어떤 기준을 최 화 혹은 최

소화하는 것.

② 제약된 자원 → 사용할 수 있는 모든 자원은 제약되어 있어야 함.

제약된 자원의 예로는 인력, 자본, 기술, 생산능력, 시간 등.

③ 의사결정변수 → 수개의 의사결정변수가 존재하며, 그들 간에 상호관련성 존재.

④ 선형성 → 사용되는 자원과 생산량 간에는 선형관계, 즉 비례관계가 존재.

예를 들어 자원사용량 10% 증가하면 산출량이 10% 증가한다는 것.

⑤ 가분성 → 사용되는 자원과 의사결정변수단위는 가분성을 가지고 있어야 함.

예를 들어 32.3시간의 노동시간, 10.52개의 제품과 같은 것.

⑥ 확정성 → 사용되는 모든 모형계수는 확정적이어야 함.

즉, 제품단위당 이익, 제품단위당 필요자원량, 사용가능한 자원량 등은 확정적인 값으로 알

려져 있음.

3. 선형계획법의 적용분야 2007 등 총3회

① 자원배분에 관한 제 문제 → 제품분배, 판매력분배 등

② 기획 및 생산배정표 작업에 관한 제 문제 → 인적자원계획, 작업배정표 등

③ 음식물에 관한 제 문제 → 필수적인 영양소를 확보하면서 가장 경제적으로 음식물을 배합하

는 문제

④ 할당에 관한 제 문제 → 복수의 목적지에 주어진 상물(사람, 기계, 설비)을 비용이 최소

화되도록 할당하는 문제

⑤ 수송에 관한 제 문제 → 복수의 출발지로부터 복수의 목적지에 수송비가 최소화되도록 수송

량을 결정하는 문제

4. 선형계획 모형 1995 등 총2회

* m개의 제약조건과 n개의 의사결정 변수가 있다고 할 때

① 최 화 문제

Maximize Z C Xj jj

n

( )최 화 ==∑

1

2-02 / [최신]공장관리기술사-Operation Research편

Subject to a X b i mij j jj

n

()( , , , )제약조건식 ≤ ==∑

1

1 2 L

X j nj ≥ =0 1 2( , , , )L

여기서, Cj : 단위당 기여도, aij : 기술계수, bj : 이용가능한 자원

X j : 의사결정변수, m : 제약조건의 수, n : 의사결정변수의 수② 최소화 문제

최소화Minimize Z C Xj jj

n

( ) ==∑

1

Subject to a X b i mij j jj

n

()( , , , )제약조건식 ≥ ==∑

1

1 2 L

X j nj ≥ =0 1 2( , , , )L

5. 선형계획의 해법

① 선형계획 문제의 해법에는 도식해법, 수해법, 심플렉스법의 3가지가 있음.

② 도식해법과 수해법은 단순한 문제를 해결하기 위한 간단한 기법.

③ 복잡한 선형계획 문제는 심플렉스법이 적당하며, 심플렉스법은 G.B. Dantzig가 개발.

심플렉스법은 반복적 과정을 이용한 수리적 과정이며, 선형 수학에 기초를 둠.

일련의 제약조건 연립방정식이 역행렬 과정을 통하여 풀려지며, 최적해는 점진적 조작에 의

해 풀려지게 됨.

6. 선형계획법에서 고려해야 될 기타의 요소

① 쌍 성이론

모든 본원적 문제는 쌍 성을 가지는데, 쌍 성이란 모든 선형계획 문제가 두 개의 다른 방

법으로 분석될 수 있다고 하는 특징을 뜻함.

즉, 본원적 최 화문제는 그것에 상당하는 최소화의 쌍 문제를 가지며, 본원적 최소화문제

는 그것에 상당하는 최 화의 쌍 문제를 가진다는 것.

이와 같은 쌍 문제의 해는 선형계획 문제에 해서 보다 의미있는 경제적 정보를 제공해

준다.

② 민감도분석

민감도분석은 최적성분석이라고도 함.

일정한 선형계획 문제에 있어서의 최적해는 확실한 상황하에서의 일련의 제약조건을 가정했

을 때의 해이다. 그러나 실제의 의사결정 상황은 동태적이며, 단위당 기여도, 이용가능한

자원, 기술변수의 값 등은 계속 변화함.

따라서 이들 변화에 해 최적해가 어떤 민감도를 갖는가를 파악하는 것이 중요함.


설례 2.2 선형계획법 기본개념 - 최 화 문제 2014 등 총9회

예제 01 선형계획모형의 정식화 : 최 화 문제

P사출회사는 두 가지 유형의 FRP 파이프를 생산한다. 파이프의 생산에 필요한 세 가지 주요

자원은 압출시간, 포장시간, 플라스틱 원자재에 혼합하는 특수첨가물이다.

다음 주의 상황은 아래 표와 같다. 단위는 100피트이다.

제품 자원획득

가능성자원 유형1 유형2

압출

포장

첨가물

4 hr

2 hr

2 lb

6 hr

2 hr

l b

48 hr

18 hr

16 lb

파이프 100피트당 공헌이익은 유형1이 34달러이고 유형2가 40달러이다.

이익을 최 화하는 파이프 유형별 생산량을 구하는 문제를 선형계획모형으로 정식화하시오.

해설

1단계 : 제품믹스를 표현할 수 있게 의사결정변수를 설정하면,

x1 = 다음 주에 생산하여 판매할 유형1의 파이프량을 100피트 단위로 표현

(예, x1 =2이면 유형1 파이프 200피트)

x2 = 다음 주에 생산하여 판매할 유형2의 파이프량을 100피트 단위로 표현

2단계 : 다음으로 목적함수를 정의한다. 목표는 두 제품이 이익에 공헌하는 정도를 최 화하는

것이다. 각 제품의 생산량과 단위당 이익을 곱하여 합산하면 총이익이 된다.

각 제품의 단위당 이익이 각각 34달러와 40달러이므로, 목적함수는 다음과 같다.

최 화 : 34 401 2x x Z+ =

3단계 : 최종단계로 제약식을 정한다. 각 유형의 제품이 주요자원을 소모한다. 압출공정 가동

시간을 유형1은 4시간, 유형2는 6시간 소모시킨다. 이 합계가 가용설비 용량인 48시간을

초과할 수 없으므로 ≤를 사용한다. 따라서 첫 번째 제약식은 다음과 같다.

4 6 481 2x x+ ≤ (압출)

같은 방식으로 포장공정과 재료에 관한 제약식을 작성하면 다음과 같다.

2 2 181 2x x+ ≤ (포장)

2 161 2x x+ ≤ (첨가제)

이제 x1과 x2의 값이 이 식을 모두 충족시켜야 하므로, 이 제약식들이 의사결정변수 값

을 선택하는데 제한을 가한다.

의사결정변수의 값이 음수이면 의미가 없으므로 비음의 제약을 추가한다.

x x1 20 0≥ ≥, (비음의 제약)


보기 02 변경된 문제의 민감도 분석

P사출회사 문제에서 c1이 34달러에서 20달러로 변경되었다고 하자. 그러면 [도표 2.6]에 나

타난 것처럼 이익이 최 가 되는 등이익선이 B를 지나게 되어, 이 점이 최적해가 된다.

이 점에서 x1의 최적해는 0이 된다. c1의 계수민감도는?

[도표 2.6] 변경 문제의 계수민감도

x1

x 218

16

14

12

10

8

6

4

2

02 4 6 8 10 12 14 16 18

D

4 6 481 2x x+ ≤ ( )압출

B

C

2 2 181 2x x+ ≤ ( )포장

2 161 2x x+ ≤ ( )첨가제

●

●

●

E

●

A●

20 40 1601 2x x+ =변경 전 최적해

변경 후 최적해

해설

3단계 해법을 여기에 적용해 보면,

▶1단계 : c1이 증가하면 등이익선이 시계방향으로 회전한다.

등이익선이 C점을 만나면 x1이 양수가 되므로 회전을 중지시킨다.

☞ 참고사항 : 등이익선 20 40 1601 2x x+ = 으로 나타낸 것은

20 401 2x x Z+ = 에서, E점 (8, 0)을 입하면

20 8 40 0 160( ) ( )+ = → ∴ + =20 40 1601 2x x

▶2단계 : 기울기가 같은 제약식은 압출이다.

두 직선의 기울기를 같게 하는 c1의 값을 구하면

− = −c1

4023→ c1 26 67= .

▶3단계 : 계수민감도 = 변경후 c1값-원래 c1값 = 26.67-20 = 6.67달러이다.

c1이 6.67달러이상 증가하면 x1이 양수가 된다.

예제 03 우변 매개변수

* 이제 우변의 매개변수가 변경되면 실행가능영역이 어떻게 변하고 최적해가 어떻게 변화하는

지 살펴보자.

* 원래의 P사출회사 문제로 되돌아가서 c1이 20달러가 아니고 34달러라고 하자.

포장공정의 자원을 18에서 19로 증가시켜 보자.


1. 그림자가격 (Shadow Price)

* 이러한 변화로 [도표 2.7]처럼 실행가능영역이 줄어들고 최적해가 C에서 ′C 로 변화한다.

자원 증가로 제품생산이 늘어나기 때문에 ′C 에서는 Z값이 커진다.

[도표 2.7] 포장공정 완화로 확장된 실행가능영역

x1

x 218

16

14

12

10

8

6

4

2

02 4 6 8 10 12 14 16 18

D

4 6 481 2x x+ ≤ ( )압출

B

C

2 2 181 2x x+ ≤ ( )변경전포장

2 161 2x x+ ≤ ( )첨가제

●

●

●

E

●

A●

확장된 실행가능해

2 2 181 2x x+ ≤ ( )변경후포장

′C●

* ′C 를 지나는 압박제약식을 x1과 x2에 하여 다시 풀어서 목적함수의 증가량을 산출할 수

있다.

4 6 481 2x x+ = (압출)

2 2 191 2x x+ = (포장)

* 최적해는 x1=4.5이고 x2 = 5이며, Z값은 34(4.5)+40(5) = 353달러이다. 포장공정을 18시간

가동할 수 있을 때 Z값이 342달러이므로, 포장공정 1시간의 가치는 11달러(353-342)이다.

* 제약식 우변의 한 단위 변화로 인한 Z값의 변화량, 즉 제약식을 한 단위 완화할 때 발생하는

Z값의 한계개선을 그림자가격(shadow price)이라고 한다.

* 완화란 제약식이 제한하는 정도가 약해진다는 뜻으로, ≤ 제약식에서는 우변을 증가시킴을

의미하고, ≥ 제약식에서는 우변을 감소시킴을 의미한다.

* 또한 제약식을 강화시킬 때에 Z가 나빠지는 정도도 그림자가격과 같다.

위 예에서 포장자원의 그림자가격이 시간당 11달러이다. 따라서 포장시간을 늘일 수 있다면,

사출회사의 경영진은 시간당 최 11달러까지 추가지불할 용의가 있을 것이다.

반면 생산능력이 1시간 줄어들면 이익이 11달러 줄어든다.

2. 실행가능 범위

* 그림자 가격이 변하지 않고 일정하게 유지되는 우변 매개변수의 변화범위를 실행가능 범위

(range of feasibility)라고 한다.

* 우변이 이 범위를 벗어나면, 새로운 제약식이 압박하게 되어 Z값의 변화율이 바뀌게 된다.

이 범위의 상한과 하한은 제약식을 완화시키거나 강화시킬 때 다른 꼭지점에 닿아서 새로운

제약식이 압박을 주게 되는 점에서 구해 질 수 있다.

* P사출회사 문제에서 포장시간이 18시간일 때, 최적해에서 첨가제 제약식의 여유는 4이고,

다른 제약식의 여유는 0이다.


설례 2.6 선형계획법 - 최 화문제 추가 2 2010

[도표 2.11] 제조에 관한 자료

제품기계

A제품 B제품 기계사용가능시간

기계Ⅰ

기계Ⅱ

4시간 5시간

4시간 3시간

28시간

20시간

단위당 이익 500원 600원

이 기업의 이익최 화를 위한 A, B제품의 생산수량 결정을 하고자 함.

① 선형계획을 구성하고

② 도식해법으로 풀어라.

해설

① 모형의 구성 ; A제품 생산량 X, B제품 생산량을 Y라 할 때

최 화 Z = 500X + 600Y

제약조건 4X + 5Y ≤ 28 …………………………………….①

4X + 3Y ≤ 20 …………………………………… ②

X, Y ≥0

② 도식해법 ; 제약식 ①, ②를 직선식으로 변형하면

5 4 28 45

285

Y X Y X= − + → = − + ……………………③

3 4 20 43

203

Y X Y X= − + → = − + ……………………④

이들 ③, ④식을 그래프화하면 [도표 2.12]이고, 식 ①, ②에서 부등호가 “≤”이므로 빗금

부분이 가해영역임.

[도표 2.12] 최 화 문제의 도식해법

그리고 목적함수를 Y에 관해 표시함으로써 등이익선을 구한다.

Z X Y Y Z X= + → = −500 600600

56

......................... ⑤

식 ⑤에서 등이익선의 기울기는 -5/6이고 Y축에 한 절편은 Z/600이다.


등이익선이란 X, Y의 값이 어떻게 결합되든 간에 동일 이익을 나타내는 점들로 이루어진

선을 의미함.

예를 들어

* 등이익선 Z1은 (X=3, Y=0)일 때의 이익이 1500원이고, (X=0, Y=2.5)일 때의 이익이

1,500원이므로, 그 두 점을 연결하는 Z1상의 점은 X와 Y의 값이 어떻게 결합되어도 (예

컨 A, B) 모두 1,500원이 이익을 발생시킴.

* 최적해는 총이익이 최 가 되는 점에서 실현됨.

* 총이익은 -5/6의 기울기를 가지는 등이익선이 원점에서 멀어질수록 커지게 됨.

* 제약조건을 고려한 최적해는 가해영역중의 원점에서 가장 먼 꼭지점과 등이익선이 접하는

점(X=2, Y=4)에서 실현됨.

식 ③, ④를 연립시켜 풀면 X=2, Y=4이므로, 최적해는 X=2단위, Y=4단위임.

* 이때의 순이익 Z = 500(2)+600(4) = 3,400원

설례 2.7 선형계획법 - 최소화문제 1976

아침식사에는 영양소 A가 28mg, 영양소 B가 20mg 필요하고, 달걀 하나에는 영양소 A가

4mg, 영양소 B가 4mg, 베이컨 한 쪽에는 영양소 A가 5mg, 영양소 B가 3mg 포함되어 있다

고 함.

그런데 달걀 1개의 가격은 40원, 베이컨 1개의 가격은 60원이라고 할 때, 목적으로 하는 영양

조건을 만족시키면서 비용을 최소화하는

① 이상을 요약한 영양분석표 작성

② 선형계획 모형 구성

③ 도식해법으로 이 문제를 풀어라.

해설

① 영양분석표

[도표 2.13] 영양분석표

영양소달걀/단위 베이컨/단위(mg) (mg)

최소필요량(mg)

A

B

4 5

4 3

28

20

단위당가격 40원 60원

② 선형계획법 ; 제공될 달걀 수량은 X, 제공될 베이컨 수량을 Y로 할 때

최소화 Z X Y= +40 60

제약조건 4 5 28X Y+ ≥ .................................. ①

4 3 20X Y+ ≥ ................................. ②

X Y, ≥ 0


③ 도식해법

조건식 ①, ②를 직선식으로 변형하면

Y X= − +45

285

................................. ③

Y X= − +43

203

................................. ④

식 ③, ④를 그래프로 그리면 [도표 2.14]와 같고, 식 ①, ②에서 부등호 방향이 ≥ 이므로

빗금부분이 가해영역임.

[도표 2.14] 최소화 문제의 도식해법

그리고 목적함수를 Y에 관해 표시함으로써 등비용선을 구하면

Z X Y= +40 60 로부터

Y Z X= −60

23

................................. ⑤

식 ⑤에서 등비용선의 기울기는 -2/3이고, Y축에 한 절편은 Z/60이다.

* 등비용선이란 X와 Y의 값이 어떻게 결합하든지 간에 동일비용을 나타내는 점들로 이루어

진 선으로서, 예컨 등비용선 Z1은 (X=3, Y=0)일 때의 비용이 120원이고, (X=0, Y=2)

일 때의 비용이 120원이므로 이 두 점을 연결하는 Z1상의 점은 X와 Y의 값이 어떻게 결

합하더라도(예컨 A, B점) 모두 120원의 비용을 발생시킴.

* 최적해는 총비용이 최소화되는 점에서 실현되는데, 총비용은 -2/3의 기울기를 가지고 등

비용선이 원점 0에 가까워 올수록 작아지게 됨.

* 제약조건을 고려한 최적해는 가해영역중의 원점에서 가장 가까운 꼭지점과 등비용선이 접

하는 점(X=7, Y=0)에서 실현됨.

∴ 최적해는 X=7단위, Y=0단위

이때의 총비용은 Z = 40(7)+60(0) = 280원


설례 2.8 선형계획법 - 쌍 (雙對)문제 1998

[설례 2.6] “선형계획법-최 화문제“를 참조하라

① 순이익 극 화를 위한 제품 A, B의 생산량 결정의 선형계획 모형 작성

② 이를 그래프로 풀어라,

③ 본원적문제와 쌍 문제와의 관계 설명

④ ①의 최 화 선형계획모형을 쌍 모형으로 바꾸어 써라,

⑤ ④를 도식해법으로 풀어라

⑥ shadow price를 지적하고, 그 의미를 해석하라.

⑦ 선형계획법과 라그랑쥬기법과의 관계를 설명하라.

해설

① A제품 생산량 X, B제품 생산량을 Y로 하면

최 화 Z X Y= +500 600

제약조건 4 5 28X Y+ ≤ ................................. ①

4 3 20X Y+ ≤ ................................. ②

② X=2단위, Y=4단위, Z=3,400(참고 : [설례 2.6]의 풀이 ② 도식해법)

③ 본원적문제와 쌍 문제 간에는 다음과 같은 상호관계가 있음.

따라서 쌍 문제는 본원적 문제와의 상호관계를 토 로 수식화하게 됨.

* 본원적문제가 목적함수 Z의 최 화문제라면, 쌍 문제는 목적함수 Z'의 최소화 문제가 됨.

* 본원적문제에 있는 의사결정변수의 개수는 쌍 문제에서의 제약조건식의 개수와 동일함.

* 본원적문제에 있는 제약조건식의 개수는 쌍 문제에서의 의사결정변수의 개수와 동일함.

* 본원적문제의 목적함수내의 계수는 모두 쌍 문제에 있는 제약조건식의 우변의 상수가 됨.

* 본원적문제의 제약조건식 우변상수는 쌍 문제에서 목적함수내의 계수가 됨.

* 본원적 문제의 제약조건식의 i번째 행의 기술변수는 쌍 문제의 제약조건식의 i번째 열의

기술변수로 바뀜.

* 본원적 문제에서 ≤의 부등호 기호는 쌍 문제에서는 ≥의 기호로 표시됨.

* 쌍 문제의 의사결정변수는 모두 비부수(非負數)의 값을 갖는다.

④ 쌍 문제

①에서의 최 화 선형계획모형을 쌍 문제로 바꾸면, 기계Ⅰ과 기계 Ⅱ의 주어진 사용가능시

간인 28시간과 20시간 범위내에서 A제품의 생산수량 X, B제품의 생산수량 Y의 제조비를 최

소화하는 문제이다.

이때 U와 W를 기계Ⅰ과 기계Ⅱ의 시간당 제조비라 하면, 목적함수는 총제조비를 최소화하는

것이 된다.

최소화 ′ = +Z U W28 20

제약조건 4 4 500U W+ ≥ ................................. ①

5 3 600U W+ ≥ ................................. ②

U W, ≥ 0


⑤ 도식해법

식 ①과 ②를 도표에서 풀면 U=112.5원, W=12.5원, Z=3,400원

[도표 2.15] 쌍 문제의 도식해법

최적해

⑥ Shadow Price(or Imputed Price) ; 그림자가격(잠재가격 혹은 귀속가격)

* 도표에서 기계 Ⅰ, Ⅱ에서 발생하는 총비용이 3,400원일 때 최적해이며, 이 값은 본원적

문제에서의 총이익과 같은 값임

* U와 W의 값이 각각 112.5원과 12.5원이 되는 것은 기계 Ⅰ, Ⅱ에서의 제조시간에 상당하

는 한계비용이 각각 112.5원과 12.5원이 되어야 함은 의미함.

* 쌍 문제에서 유도된 비용에 관한 정보를 그림자가격(잠재가격 혹은 귀속가격)이라고 함.

⑦ 선형계획법과 라그랑쥬기법과의 관계

* 라그랑쥬기법은 등식으로 나타난 제약조건에서의 최적화문제를 해결하기 위해서 사용되고,

선형계획법은 부등식 제약조건 하에서 최 화와 최소화 문제를 풀기 위해 사용된다.

* 라그랑쥬승수 入는 제약조건을 1단위 만큼 변화시켰을 때 목적함수에 한 한계효과이고,

쌍 문제에서의 쌍 변수의 값인 그림자가격은 1단위 만큼 투입물의 제약을 완화했을 때

의 값을 측정해 주는 것이므로, 쌍 문제에서의 그림자가격은 라그랑쥬승수와 동등한 것이

다.

설례 2.9 심플렉스법(Smplex Method) - 최 화문제 2014 등 총3회

[설례 2.6] “선형계획법-최 화문제”를 참조하라

① 선형계획의 해법으로서 심플렉스법을 설명하라.

② 선형계획의 최 화문제를 풀기 위한 심플렉스법의 절차를 설명

③ [설례 2.6]을 심플렉스법으로 풀어라.

해설

① 심플렉스법의 의의

* 심플렉스법이란 선형계획문제의 계수와 상수의 행렬로 형성된 하나의 표를 작성하고, 이를

이용하여 반복적 계산을 용이하게 수행함으로써 선형계획문제를 풀기 위한 기법.

* G.B. Dantzig에 의해 개발


② 최 화문제를 풀기 위한 심플렉스표의 작성

1) 최초의 심플렉스표의 작성

* 제약조건식에 있는 부등호 좌변에 잔여변수(slack variable)를 더하여 등식으로 바꾼다.

* 목적함수의 우변에 0을 삽입.

* 각 등식의 좌변에 잔여변수가 오도록, 잔여변수에 하여 정리함.

* 심플렉스표의 작성 → 위의 3가지 요건이 갖춰지면 심플렉스표 작성요건이 갖취 짐.

[도표 2.16] 심플렉스표의 구성도

상수 X1 X 2 L X n → 비기저변수

목적함수

(1)(2)Z (1) (2)

제약

조건식

(3)(4)

S1

(4) (3)

S 2

M

M

Sm

↓

기저변수

* 기저변수 → 정수값을 취하는 변수

* 비기저변수 → 0값을 갖는 변수

* 잔여변수 → * 등식으로 바꾸기 위해 임의로 도입되는 변수

* 항상 부등호의 작은 쪽에 가산되어야 함

2) 추축원소(pivot element)를 결정하는 절차

* 심플렉스표에서 첫째 행(Z행)에 들어 있는 목적함수의 +계수 중에서 가장 큰 값을 갖는

열을 추축열로 선정.

* 추축열에 있는 (-)값으로 그 (-)들이 속해 있는 행의 상수들을 각각 나눈다.

여기서 얻은 절 값 중 가장 작은 값을 갖는 행을 추축행(Pivot row)으로 선정한다.

* 추축행과 추축열의 교차점이 추축원소가 된다.

3) 심플렉스표의 개조를 위한 제 원칙(두 번째 표부터)

* 추축원소에 상응하는 신(새로운) 원소의 값은 구추축원소의 역수와 같다.

* 추축원소가 있는 행의 신원소들은 구원소들을 추축원소의 값으로 나누고 반 부호를 붙여

서 구한다.

* 추축원소가 있는 열의 신원소들은 구원소들을 추축원소의 값으로 나눠 구한다.

* 나머지 원소들은 다음 공식으로 계산한다.


신 원소= 해당원소의

구 수치

"구원소와 추축원소가 형성하는 4각형의

4개의 모서리 중에서 추축원소와 각으

로 마주보는 모서리를 뺀 나머지" 두

각 모서리 수치의 곱

추축원소의 수치

* 추축열과 추축행으로 선정된 기저변수와 비기저변수를 서로 변환한다.

4) 심플렉스표의 종결

3)과 같은 요령으로 계속 심플렉스표를 전개해 나가다가 Z행 값이 모두 -값이 되면 목적함

수에 한 기여가 더 이상 없으므로 최적해에 도달한 것이 된다.

따라서 진행을 멈춘다.

③ [설례 2.6]의 심플렉스법에 의한 풀이


* 원래의 선형계획모형은

최 화 Z X Y= +500 600

제약조건 4 5 28 4 3 20 0X Y X Y X Y+ ≤ + ≤ ≥, , ,

* 제약조건에 있는 부등호 좌변에 잔여변수 S S1 2, 를 더하여 등식으로 바꾸고, 목적함수

의 우변에 0을 삽입하면

Z X Y= + +0 500 600

4 5 28 4 3 201 2X Y S X Y S+ + = + + =,

* 각 등식의 좌변에 잔여변수 S S1 2, 가 오도록 각 식을 잔여변수에 하여 정리하면

Z X Y= + +0 500 600

S X Y S X Y1 228 4 5 20 4 3= − − = − −,

* 이를 기초로 최초의 심플렉스표를 작성하면

[도표 2.17] 최초의 심프렉스표

상수 X Y

Z 0 500 600

S1 28 -4 -528

55 6

−= . ← 추축행

S 2 20 -4 -320

36 6

−= .

↑

추축열

[참고] 추축열 → Z행의 +계수 중 가장 큰 값을 기준

추축행 → 절 값 중 가장 작은 값의 기준


2) 추축원소의 결정

* 상기 표에서 Z행에 들어있는 목적함수의 +값 중 가장 큰 수치는 600이므로, 600을 갖는

열을 추축열로 선정함.

* 추축열에 있는 -값들이 속해 있는 행의 상수들을 각각 나누어서 절 값을 구함

285

5 6 203

6 6−

=−

=. , .

이들 값 중 가장 작은 값은 5.6이므로 이 값을 갖는 행이 추축행으로 선정됨.

* 추축행과 추축열이 교차하는 원소는 -5이고, 이것이 추축원소가 됨.

3) 심플렉스표의 개조(도표 2.17 참조)

① 추축원소에 상응하는 새로운 원소의 값은 구추축원소의 값의 역수이므로 -1/5

② 추축원가 있는 행의 신원소들은 구원소들을 추축원소의 값으로 나누고 반 부호를 붙임

㉠28

5285

285−

= − → + ㉡−−

= + → −45

45

45

③ 추축원소가 있는 열의 신원소들은 구원소들을 추축원소의 값으로 나누어 구함.

㉢600

5600

5120

−= − −= ㉣

−−

= +35

35

④ 나머지 원소들은

㉤ 0 28 6005

3 360−×−

= , ㉥ 500 4 6005

20−− ×

−=

( )

㉦ 20 3 285

165

−− ×−

=( )

㉧ − −− × −

−= −4 4 3

585

( ) ( )

이상의 값들로 제 2차 심플렉스표를 작성하면

[도표 2.18] 제2차 심플렉스표

상수 X S1

Z 3,360 20 -120

Y285

−45

−15

28 54 5

7//−

=

S 2165

35

16 58 5

2//−

= ←추축행

↑

추축열

㉠㉡

㉢

㉣

㉤㉥

㉦㉧

①

−85

* [도표 2.17] 최초의 심플렉스표에서 Y열과 S1행이 각각 추축열과 추축행으로 선정되었으

므로, 제2차 심플렉스표에서는 Y와 S1의 위치를 바꾼다(도표 2.18 참조).


* 이상과 같은 요령으로 제3차 심플렉스표를 작성하면

[도표 2.19] 제3차 심플렉스표

상수 S 2 S1

Z 3,400 −1008

−225

2

Y 448

−12

X 2 −58

38

↑

추축열

⑨

⑧

⑦

⑥

⑤

④

③② ①

(제3차 심플렉스표 계산과정)

① 구추축원소 : -8/5의 역수=-5/8, ② (16/5)/(-8/5)=-2 → +2

③ (3/5)/(-8/5)=-3/8 → +3/8, ④ 20/(-8/5)=-100/8, ⑤ (-4/5)/(-8/5)=4/8

⑥ 3,360-(20×16/5)/(-8/5)=3,400, ⑦ 28/5-(16/5)×(-4/5)/(-8/5)=4

⑧ -120-(20×3/5)/(-8/5)=-225/2, ⑨ -1/5-(-4/5)×(3/5)/(-8/5)=-1/2

그런데 Z행이 모두 -값, 즉 목적함수에 기여하는 것이 -값이므로, 이것이 최종심플렉스표

이다.

4) 최종 심플렉스표의 해석

제3차 심플렉스표에서 보면 최적해는 Y=4단위, X=2단위를 생산하는 것이고, 이때의 총이익

Z = 3,400원임을 알 수 있다.

이것은 [설례 2.6]의 도식해법의 결과와 동일하다.

설례 2.10 심플렉스법 - 최소화문제 1994

[설례 2.7]“선형계획법-최소화문제”을 참조하라.

1. 선형계획의 최소화문제를 풀기 위한 심플렉스법의 절차를 설명하라.

2. [설례 2.7]을 심플렉스법으로 풀어라.

해설

1. 최소화문제를 풀기 위한 심플렉스법의 절차


① 제약조건식에 있는 부등호의 우변에 잔여변수를 더하며 부등식을 등식으로 바꾼다.

② 목적함수의 우변에 0을 삽입한다

③ 각 등식의 좌변에 잔여변수가 오도록 식을 잔여변수에 하여 정리한다.

2) 추축원소를 결정하는 절차

① 심플렉스표의 첫째열(상수열)에서 가장 큰 -값(부수값)을 갖는 행을 추축행으로 선정

한다.


② 분리계획법

* 비선형함수를 부분적 선형함수에 의하여 추계함으로써 비선형문제를 해결하려는 방법.

* 이 방법은 비선형함수를 여러 개로 나누어 각각 선형함수로 추계(推計)함으로써 전체적으

로는 마치 여러 개의 선형계획법을 이용하는 것과 같이 처리하는 방법이다. 이 방법은 2

차함수 계획법과는 달리 목적함수식이 2차에 국한되지 않고, 3차이상의 함수가 될 수 있

으며, 또 제약조건식이 반드시 선형일 필요는 없다.

* 주의 → 지나치게 단순화된 선형추계로 인한 오차발생의 경우도 있음에 유의할 것.

③ 경사법, 절면법, 연속비제약 극소화법, 분단탐색법, 기하적 계획법 등이 있음.

★ 기 출문제 및 착안점 ★

01 신일자동차공업사는 트럭(truck)과 Bus의 도장작업을 주로 하는 공장으로서 작업, 공정

은 제일 먼저 차체에 도장(painting)을 한 후에 건조실내에서 일정시간 동안 항온으로 건조시

켜 도장된 차체에 광택이 나도록 하는 작업과정을 거친다.

이 작업으로 얻어지는 순이익은 트럭은 당 30,000원이고, 버스는 당 40,000원 이라고 한

다. 다음 표는 이 공장의 작업능력과 각 작업의 표준시간을 표시한 것으로 이 공장의 순이익

을 최 로 하기 위해서는 트럭과 버스의 작업 수를 각각 몇 로 하여야 하는지틀 선형계획

법(Linear programming)을 이용하여 결정하시요(20점). (75년도)

작업표준시간과 능력

작업별표준시간(분/대)

트럭 버스

당주간 작업능력

(분/주당)

도장작업

건조작업

30 12

10 20

1,200분/주당

800분/주당

☞ 힌트 : 본문『선형계획법 기본개념 - 최 화 문제』해설 및 예제 참조

02 생산 및 판매계획, 시장조사, 자재관리, 수송계획 등 여러가지 분야에 그 효율화 또는

최적화를 위해서 linear programming기법이 사용됩니다. 귀하가 알고 있는 사례를 들어 이를

설명하시오. (20점) (76년도)

☞ 힌트 : 본문『선형계획법(Linear Programming : LP)』해설 참조


11 다음 선형계획 모형을 이용하여 최적배분을 하려고 한다.

x1과 x2의 값을 구하고 최 이윤을 계산하라. (97년도 1차)

M ax Z x x = +4 91 2

s.t.

4 10 4 0001 2x x+ ≤ ,

7 6 4 2001 2x x+ ≤ ,

4 5 8 0001 2x x+ ≤ ,

and x x1 2 0, ≥

☞ 본문『선형계획법 기본개념 - 최 화 문제』해설 및 예제 참조

12 S페인트에서는 수요 및 두 가지 원료의 제약조건하에서 내장·외장페인트를 생산한다.

x1은 내장페인트 생산량(단위 : ton), x2는 외장페인트 생산량(단위 : ton)이라 하면 선형계획

모형은 다음과 같다.

최 화 : Z x x= +3 21 2

제약조건 : x x1 22 6+ ≤ (원료 A)

2 81 2x x+ ≤ (원료 B)

− + ≤x x1 2 1 (수요한계)

x x1 2 0, ≥

1) LP모형을 풀고 최적 심플렉스표를 구하시오. (10점)

2) 선형 쌍 문제를 제시하시오. (15점)

☞ 힌트 : 본문『심플렉스법(Smplex Method) - 최 화문제』및『선형계획법 - 쌍 (雙對)

문제』해설 및 예제 참조

13 선형계획법(LP)에 하여 종류, 적용분야를 설명하고 사례를 기술하시오.

(2000년도 2차)

☞ 힌트 : 본문『선형계획법(Linear Programming : LP)』해설 참조

14 LP의 필수 조건 (2002년도 1차)

☞ 힌트 : 본문『선형계획법의 전제』해설 참조

15 LP(Liner Programing), IP(Integer programing), GP(Goal Programing)를 적용하여

모델화 할 때의 여러 가정을 비교 설명하시오. (2004년도)

☞ 힌트 : 본문『선형계획법의 전제』, 제5장의『整數계획법(IP)』, 제4장의『목표계획법

(GP)』해설 참조

16 선형계획법(LP)의 정의, 적용분야 및 해법의 종류에 관하여 설명하시오.

(2005, 2006년도)


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