自己力を伴う質点の運動： ハミルトン形式を用いた定式化

京都大学 理学研究科

磯山 総一郎

ブラックホール時空の直接検証 ・銀河中心の巨大ブラックホールの決定的な証拠をつかみたい。 ブラック

ホール？

天体の 軌道

✔質量やスピンは？

✔回転ブラックホール？

時空のさざなみである重力波を用いて 一般相対論的な曲がった時空を、直接探索する

✔一般相対論は正しいか？

質量比の大きいコンパクト連星

・1銀河あたりのイベント数

・コンパクト天体: ・ブラックホール:

J. Gair M. Vallisneri, S.Larson and J. Baker 1212.5575

✔合体前の１年間に巨大ブラックホールの地平面周りを亜光速で数十万回転する。

✔ 宇宙での低周波重力波観測(eLISA: 2034年打ち上げ予定) における有望な重力波源の一つ

ただし重力波輻射に伴い、質点の軌道は 回転ブラックホールの測地線から徐々にずれる。

必要な精度: １年間で誤差は数回転以内

正確な軌道運動の必要性 ・精度よい重力波形のテンプレートには、重力波源であるコンパクト連星系の正確な運動の理解が必要。

・質量比の大きさを利用して、連星系の軌道運動を回転ブラックホール上の質点の運動で近似する。

自己力を伴う質点の運動

Y. Mino, M. Sasaki and T. Tanaka 9610053, T. Quinn and R. Wald 9606018

・重力波輻射の影響を、質点の自己重力場が質点自身に与える自己力として摂動として取り入れる。

S. Detweiler and B. Whiting 0202086

発散なし。 クーロンポテンシャル型で発散

・自己重力場は質点上で発散するため、正則化を行う。

✔ 時空の球対称性を最大限に活用

自己力計算の現状

L. Barack, Y. Mino, H. Nakano, A. Ori,and M. Sasaki 011001

・回転ブラックホール時空: 現状では実行不可能。

・球対称ブラックホール時空: 技術的困難はほぼ解決

✔ 自己力を伴った質点の軌道発展も具体的に計算できる

N. Warburton, S.Ackay, L. Barack, J. Gair and N. Sago 1101.6908

現状の解決すべき課題

回転ブラックホール時空において、自己力を伴う質点の軌道発展を具体的に計算する方法の確立

ハミルトン形式を用いて、問題を見直す。

Work with

Ryuichi Fujita, Hiroyuki Nakano, Norichika Sago and Takahiro Tanaka

有効時空上の測地線運動 S. Detweiler and B. Whiting 0202086

・測地線運動する相対論的粒子のハミルトニアン:

質点のつくる自己重力場

・自己力を伴う質点の軌道は、有効時空上の測地線と同値

回転ブラックホール時空

✔有効ハミルトニアン

回転ブラックホール時空上の測地線のハミルトニアン 相互作用ハミルトニアン

作用-角変数への正準変換 ・ハミルトン方程式を、回転ブラックホールの対称性を最大限に活用できる正準座標でとく。

✔回転ブラックホール時空の測地線がもつ４つの運動の定数

✔“運動の定数”へうつる正準変換の母関数

B. Carter 1968

・もう一度正準変換して、作用-角変数にうつる

作用変数 作用角変数

正準変換後のハミルトン方程式 ・回転ブラックホール時空でも（条件付で）具体計算できる相互作用ハミルトニアンのみで書ける。

✔運動の定数の時間変化： 計算技術は（ほぼ）確立ずみ

✔運動の軌道周波数シフト: 赤道面準円軌道ならば評価可能

Gal’tsov 1982Y. Mino 0302075 SI+1302.4035

まとめ

・巨大ブラックホールの曲がった時空は、質量比の 大きいコンパクト連星系からの重力波で直接探索できる

・自己力を伴う質点の軌道進化は、原理的には 回転ブラックホール時空でも計算できる時期にある。

・高精度な重力波テンプレートを用意するには、 自己力をふくめた質点の正確な運動の理解が必要。

今後の課題

・より一般の軌道について、自己力の運動への影響を 具体計算できるスキームの開発。

・最終的な波形テンプレート作成に必要となる 自己力を考慮した、質点の長時間の軌道発展の計算

✔ 現状では相互作用ハミルトニアンの完全な計算は赤道面上の準円軌道のみ実行可能。

✔現状では、運動の定数の時間変化が、 個別に計算されているのみ

糸冬 (Fin.)