大学院一般相対論講義マスターファイル

小玉　英雄

京都大学基礎物理学研究所

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目 次

第 1章序論 5

1.1 一般相対論の諸問題とアプローチ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 諸問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 様々なアプローチ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Einstein方程式の構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 一般相対論の基礎方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 摂動論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 Newton近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.4 時空の分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.5 初期値問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 数学的準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 基底と接続形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2 Weylテンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.3 Petrovタイプ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.4 等長変換群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

第 2章宇宙論 23

2.1 定曲率空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 ２次超曲面の曲率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.2 一様等方空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 定曲率時空 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.1 定曲率時空 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.2 de Sitter宇宙 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.3 Anti-de Sitter宇宙 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Raychaudhuri方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.1 Jacobi方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.2 Fermi基底による表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.3 Expansion, shear, rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.4 Raychaudhuri方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.5 一様宇宙モデルへの応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 一様等方宇宙モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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3 目次へ

2.4.1 基礎方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.2 一般的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.3 標準的な宇宙モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5 非等方一様宇宙モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.1 変換群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.2 等長変換群と不変基底 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5.3 基礎方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5.4 一般的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5.5 Bianchi types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5.6 厳密解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.6 高次元宇宙モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.6.1 背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.6.2 Kaluza-Kleinモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.6.3 D = 11超重力理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.6.4 インフレーション問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.6.5 ブレインワールドモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

第 3章摂動論 66

3.1 背景時空 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2 摂動変数とゲージ自由度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3 テンソルの既約分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4 テンソル型摂動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4.1 Tensor Harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4.2 調和テンソル展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4.3 ゲージ不変量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4.4 Einstein方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4.5 RW宇宙でのテンソル型摂動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5 ベクトル型摂動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5.1 ベクトル型 harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5.2 Harmonic expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5.3 ゲージ不変量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5.4 Einstein方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5.5 RW宇宙でのベクトル型摂動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6 スカラ型摂動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6.1 スカラ型Harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6.2 Harmonic expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.6.3 ゲージ不変量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.6.4 Einstein方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.6.5 エネルギー運動量保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.6.6 長波長極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.6.7 RW宇宙でのスカラ型摂動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.6.8 断熱モード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.6.9 nの固有値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

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4 目次へ

第 4章ブラックホール 84

4.1 Einsteinブラックホール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.1.1 一般化された球対称時空 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.1.2 Birkhoffの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.1.3 Schwarzschild BH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.1.4 ２次元共形図式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1.5 ホライズンと特異点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.1.6 静的球対称時空での粒子の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2 Hodge双対 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3 定常軸対称時空 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.4 静的軸対称ブラックホール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.4.1 静的時空 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.4.2 Weylクラス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.4.3 Schwarzschild計量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.4.4 Israel-Kahn解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.4.5 Zipoy-Voorhees解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.4.6 C-metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.4.7 String計量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.5 軸対称定常ブラックホール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.5.1 Ernst形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.5.2 Ernst方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.5.3 Kerr-TS class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.5.4 Kerr-Newman解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.5.5 Kerr-Schild型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.5.6 Kerr時空の測地線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.6 一意性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.6.1 諸定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.6.2 ホライズンの位相 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.6.3 非回転ブラックホール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.6.4 軸対称ブラックホール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.7 高次元への一般化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.7.1 一般化されたWeyl理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.7.2 5D Schwarzschild Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.7.3 Rod描像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.7.4 5D ZVW solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.7.5 Black Ring Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.7.6 Multi-Black Ring and Black Hole Solutions . . . . . . . . . . 133

4.7.7 5D ZVW solution as a limit of BH-BR solutions . . . . . . . 133

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1序論

§1.1

一般相対論の諸問題とアプローチ

1.1.1 諸問題

• 弱い重力場の効果： 一般相対論の古典的テスト• 天体と時空の構造： 相対論的天体，ブラックホール，降着円盤，ジェット，時空特異点，特異物体（宇宙ひも，ドメインウォール，ソリトン）

• 強い重力場による新たな物理現象： 重力レンズ，粒子生成• ダイナミクス：近接連星，重力崩壊，相対論的天体衝突，重力波放出，宇宙の構造と進化

• 大域的問題： 時空のトポロジー，因果構造，時空特異点• 原理的諸問題：ブラックホールの蒸発，ブラックホール熱力学，真空のエネルギー，量子重力・量子宇宙論

• 重力理論の変更： 統一理論，高次元理論

1.1.2 様々なアプローチ

• 厳密解• 大域微分幾何学による数学的アプローチ• 摂動論• 数値シミュレーション

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第 1章 序論 6 目次へ

§1.2

Einstein方程式の構造

1.2.1 一般相対論の基礎方程式

Einstein方程式 作用積分

S = SG + SM; (1.2.1)

SG =1

2κ2

∫dDx

√g(R− 2Λ). (1.2.2)

より

Gµν + Λgµν = κ2Tµν (1.2.3)

ここで，

Gµν = Rµν − 1

2Rgµν , (1.2.4)

Rµν = Rαµαν , (1.2.5)

Rαβµν = ∂µΓανβ − ∂νΓ

αµβ + ΓαµγΓ

γνβ − ΓανγΓ

γµβ , (1.2.6)

Γαµν =1

2gαβ (∂µgνβ + ∂νgµβ − ∂βgµν) . (1.2.7)

また、

T µν =2√g

δSM

δgµν. (1.2.8)

特徴

• 一般共変性（微分同相不変性，座標変換不変性）• 縮約Bianchi恒等式

∇νGµν = 0 ⇒ ∇νTµν = 0 (1.2.9)

運動方程式 圧力がゼロの流体に対して

Tµν = ρuµuν . (1.2.10)

この系に対する保存則は

∇νTµν = uµ∇ν(ρu

ν) + ρuν∇νuµ (1.2.11)

より

∇ν(ρuµ) = 0, (1.2.12a)

uν∇νuµ = 0. (1.2.12b)

この第２式は、構成粒子が測地線に沿って運動することを示している：

xµ + Γµνλxνxλ = 0. (1.2.13)

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第 1章 序論 7 目次へ

1.2.2 摂動論

【公式 1.2.1】 　

計量テンソル gµνの変分 δgµν = hµνに対して、接続係数、曲率テンソルなどの幾何学的諸量は次のように変化する：

δgµν = −hµν + O(h2), (1.2.14a)

δ|g| = |g|h+ O; h = gµνhµν , (1.2.14b)

δΓµνλ =1

2(∇νh

µλ + ∇λh

µν −∇µhνλ) + O(h2), (1.2.14c)

δRννλσ = ∇λδΓ

µνσ −∇σδΓ

µνλ + O(h2) (1.2.14d)

=1

2(∇λ∇νh

µσ −∇σ∇νh

µλ −∇λ∇µhνσ + ∇σ∇µhνλ (1.2.14e)

+Rλσµβh

βν +Rλσν

βhµβ) + O(h2), (1.2.14f)

δRµν =1

2(−∇2hµν −∇µ∇νh+ ∇µ∇αh

αν + ∇ν∇αh

αµ (1.2.14g)

+Rµαhαν +Rναh

αµ − 2Rµανβh

αβ) + O(h2), (1.2.14h)

δR = −hµνRµν + ∇µ∇νhµν −∇2h+ O(h2). (1.2.14i)

摂動方程式

δgµν = hµν , ψµν = hµν − 1

2hgµν (1.2.15)

とおくと，

Lψµν + ∇µ∇αψαν + ∇ν∇αψ

αµ −∇α∇βψαβgµν +Rαβψαβgµν −Rψµν

= 2κ2δTµν . (1.2.16)

ここで，Lは次式で定義される Lichnerowicz作用素：

Lψµν := −ψµν +Rµαψαν +Rναψ

αµ − 2Rµανβψ

αβ . (1.2.17)

ゲージ変換

xµ → x′µ = xµ + ξµ (1.2.18)

に対して，

δhµν = −∇µξν −∇νξµ, (1.2.19)

δψµν = −∇µξν −∇νξµ + ∇αξαgµν . (1.2.20)

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第 1章 序論 8 目次へ

調和ゲージ ゲージ条件

∇νψµν = 0 (1.2.21)

の元で，摂動方程式は

Lψµν +Rαβψαβgµν −Rψµν = 2κ2δTµν . (1.2.22)

Flat background 調和ゲージのもとで，

ψµν = −2κ2δTµν . (1.2.23)

これは重力波に対する波動方程式を与える．ただし，ゲージ条件は

∂0ψ00 = ∂iψ0i, ∂0ψ0i = ∂jψij (1.2.24)

を与えるので，(00)成分および (0i)成分は実際にはψ0µに対するPoisson型の方程式となっている：

ψ00 − ∂i∂jψij = −2κ2δT00, (1.2.25a)

ψ0i − ∂0∂jψij = −2κ2δT0i. (1.2.25b)

これらの方程式は，縮約Bianchi方程式とゲージ条件より，ある時刻で満たされればその後の時刻で常に満たされる．さらに，調和ゲージはゲージを完全には固定せず，

δ(∇νψµν) = −ξµ −Rµαξα = 0 (1.2.26)

を満たす ξµに対する残留ゲージ自由度を残している．したがって，独立な力学自由度（重力波の自由度）は，時空次元がDのとき、

D(D − 1)

2−D =

D(D − 3)

2(1.2.27)

となる。例えば、D = 4では重力波の自由度は 2となる．

1.2.3 Newton近似

物質の運動が非相対論的で、重力場が弱いとき、ε = GM/L, β = v/cで展開すると、

κ2L2T00 = O(ε) , κ2L2T0i = O(εβ) , κ2L2Tij = O(εβ2

)(1.2.28)

となる．よって，摂動方程式より，

ψij = O(εβ2

), ψ0i = O(εβ) , ψ00 = O(ε) (1.2.29)

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第 1章 序論 9 目次へ

を得る．これより，

h00 =D − 3

D − 2ψ00 + O

(εβ2

), (1.2.30a)

h0i = ψ0i = O(εβ) , (1.2.30b)

hij =1

D − 2ψ00δij + O

(εβ2

). (1.2.30c)

よって，εおよび βについて最低次で，

−mδ ∫ ds = −δ∫dt[1 − h00 − 2h0ix

i − (δij + hij)xixj

]1/2= δ

∫dt

(1

2x2 − φ

)(1.2.31)

となる．ここで，

h00 = −2φ (1.2.32)

とおいた．これより，非相対論的近似での運動方程式とEinstein方程式は

φ =D − 3

D − 2κ2ρ, (1.2.33a)

xi = −∂iφ, (1.2.33b)

となるので，φがNewtonポテンシャルに対応することが分かる．また，rが大きいときのポテンシャルは

φ =µ

rD−3; µ =

κ2M

(D − 2)ΩD−2(1.2.34)

で与えられる．ここで，Ωnは n次元単位球面の面積である．

1.2.4 時空の分解

Riemann接続 : Riemann多様体 (M , g)の Riemann接続∇は次の条件を満たす一意的な線形接続である．

1. (計量条件) ∇g = 0.

2. (ねじれ条件) ∇XY −∇YX = [X, Y ].

Gaussの公式 : 時空 (M , g)のRiemann接続を ∇，M 内の超曲面をΣ，nをΣ

の単位法ベクトル場とする．Σに接するベクトル場X, Y に対して，

∇XY = ∇XY −K(X, Y )n; ∇XY //Σ (1.2.35)

と直交分解すると，[X, Y ]がΣに接することより，∇は g からΣに誘導された計量 gに関するRiemann接続となり，またK(X, Y )はΣ上の対称テンソル（第２基本形式ないし外部曲率）となる：

K(X, Y ) = K(Y,X). (1.2.36)

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第 1章 序論 10 目次へ

Weingartenの公式 : Xを Σに平行なベクトル場，nをΣの単位法ベクトル場として，Σ上の (1, 1)型混合テンソル場K(X)を

g(K(X), Y ) = K(X, Y ) (1.2.37)

により定義すると，

∇Xn = ±K(X) //Σ; g(n, n) = ±1 (1.2.38)

が成り立つ．

計量による表現 : (d+ 1)次元時空の計量は一般に，

ds2 = −N2dt2 + gij(dxi + βidt)(dxj + βjdt) (1.2.39)

と表される．この表示のもとで，t =一定面Σtの単位法ベクトル nは

n =1

N(∂t − βi∂i) (1.2.40)

となる．T = Nnとおくと，

K(X, Y ) = ± 1

Ng(∇XT, Y ) = ± 1

Ng([X, T ] + ∇TX, Y )

= ± 1

2N(L−Tg)(X, Y ) (1.2.41)

より

Kij = ± 1

2N(∂tgij −∇iβj −∇jβi) (1.2.42)

を得る．

Riemann曲率 : 線形接続∇の曲率テンソルは次式で定義される：

R(X, Y )Z = (∇X∇Y −∇Y∇X −∇[X,Y ])Z. (1.2.43)

特に，計量 gに関するRiemann接続に対して

R(X, Y, Z,W ) = g(Z,R(X, Y )W ) (1.2.44)

とおくとき，次式が成り立つ：

R(X, Y, Z,W ) = −R(X, Y,W,Z), (1.2.45a)

R(X, Y, Z,W ) = R(Z,W,X, Y ), (1.2.45b)

R(X, Y, Z,W ) +R(X,Z,W, Y ) +R(X,W, Y, Z) = 0, (1.2.45c)

(∇WR)(X, Y, U, V ) + (∇UR)(X, Y, V,W ) + (∇VR)(X, Y,W,U) = 0.(1.2.45d)

第３式は第１Bianchi恒等式，第４式は第２Bianchi恒等式と呼ばれる．

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第 1章 序論 11 目次へ

Gauss-Codazzi方程式 ：∇XY の分解公式より，Σの接ベクトル場X, Y, Zに対して，

R(X, Y )Z = ∇X∇Y Z − ∇Y ∇XZ − ∇[X,Y ]Z

= R(X, Y )Z ± (K(X,Z)K(Y ) −K(Y, Z)K(X))

+[−(∇XK)(Y, Z) + (∇YK)(X,Z)]n. (1.2.46)

この式は次の２式と同等である：

R(X, Y, Z,W ) = R(X, Y, Z,W ) ± (K(X,W )K(Y, Z)

−K(X,Z)K(Y,W )), (1.2.47)

R(X, Y, Z, n) = ± ((∇XK)(Y, Z)) − (∇YK)(X,Z)) . (1.2.48)

Σの正規直交基底 eI およびΣの単位法ベクトル e0 = nからなるM の正規直交基底に関する成分表示のもとで，これらの方程式は次のように表わされる：

RIJKL = RIJKL ± (KILKJK −KIKKJL), (1.2.49a)

R0IJK = nµRµIJK = ±(∇KKIJ −∇JKIK). (1.2.49b)

となる．

残りの成分 T = Nn = ∂t − βi∂iに対して，t =一定面 Σtに接するベクトル場X, Y を

L−TX = 0, L−TY = 0 (1.2.50)

となるようにとる．このとき，

g(n, R(X, n)Y ) =1

N2g(T, ∇X∇TY − ∇T ∇XY ). (1.2.51)

ここで，∇TY = ∇Y T より

g(T, ∇X∇TY ) = g(T, ∇X∇Y T ) = g(T, ∇X((∂YN)n±NK(Y )))

= g(T, (∂X∂YN)n±N∇X(K(Y )))

= ±N∂X∂YN −N2K(X,K(Y )). (1.2.52)

また，L−T∇XY //Σtより

g(T, ∇T ∇XY ) = g(T, ∇T (∇XY −K(X, Y )n))

= g(T, ∇∇XY T − ∂T (K(X, Y ))n)

= ±N∂∇XYN ∓ (L−TK)(X, Y ). (1.2.53)

ここで

∂X∂YN = ∇X(∇YN) = ∇X(Y i∇iN) = (∇XY )i∇iN + (∇2N)(X, Y ).

(1.2.54)

目次へ

第 1章 序論 12 目次へ

よって

g(n, R(X, n)Y ) = ± 1

N(L−TK)(X, Y ) −K(X,K(Y )) ± 1

N(∇2N)(X, Y )

(1.2.55)

成分表示では，

R0i0j = ∓ 1

N(Kij − (L−βK)ij) +KikK

kj ∓

1

N(∇2N)ij . (1.2.56)

Note : dim Σ = 2のとき，曲率テンソルは必ず

2RIJKL = k(δIKδJL − δILδJK) (1.2.57)

と表され，独立な成分は 2R1212 = kのみとなる．特に，Σ が３次元 Euclid空間内の２次元面の時，Rabcd = 0とGaussの方程式より

k = K212 −K11K22 = detKIJ (1.2.58)

となる．したがって，Σの曲率半径をR1, R2とすると，KIJの固有値は 1/R1, 1/R2

となるので，有名なGaussの公式

k =1

R1R2(1.2.59)

を得る．

Einstein方程式の分解 : Gauss方程式およびCodazzi方程式のトレースより

2Gnn = 2Rnn ∓ R = ∓R +K2 −KijK

ji , (1.2.60a)

Gni = Rni = ±(∇jKji −∇iK). (1.2.60b)

また，

Gij = Rij + (G00 − R0

0)gij, (1.2.61)

Rij = gklRkilj + R0i0j

= Rij ± (KikKkj −KKij) + R0

i0j . (1.2.62)

ここで，T = ∂t − βi∂iとして，

R0i0j = − 1

NL−TKij ±KikK

kj −

1

N∇i∇jN, (1.2.63)

gijL−TKij = L−TK ± 2NKijK

ji . (1.2.64)

よって，

Rij = Rij ± (2KikKkj −KKij) − 1

NL−TKij − 1

N∇i∇jN, (1.2.65a)

R00 = − 1

NL−TK ∓Ki

jKji −

1

NN, (1.2.65b)

R = R − 2

NL−TK ∓ (K2 +Ki

jKji ) −

2

NN. (1.2.65c)

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第 1章 序論 13 目次へ

これより，

Gij =Gij ±[2Kk

i Kkj −KKij +1

2(K2 +Kk

l Klk)gij

]

− 1

N(L−TKij − gijL−TK) − 1

N∇i∇jN +

1

NNgij. (1.2.66)

ただし，(L−TK)ij = ∂tKij − (L−βK)ijにおいて，

(L−βK)ij = (∇βK)ij +Kik∇jβk +Kjk∇iβ

k. (1.2.67)

1.2.5 初期値問題

(d+ 1)分解

ds2 = −N2dt2 + qij(dxi + βidt)(dxj + βjdt) (1.2.68)

とおくと，

n =1

NT ; T = ∂t − βi∂i (1.2.69)

に対して，

L−T qij = ∂tqij −Diβj −Djβi, (1.2.70a)

L−TKij = ∂tK

ij −DβK

ij −Ki

lDjβl +K l

jDlβi. (1.2.70b)

発展方程式

Kij = Ki

j +K

dδij (1.2.71)

とおくと，

1

NL−T qij = −2qik

(Kkj +

K

dδkj

), (1.2.72a)

1

N∂TK =

1

2K2 +

d

2(d− 1)K2 +

d− 2

2(d− 1)dR− N

N+

κ2

d− 1qlmTlm, (1.2.72b)

1

NL−T K

ij = KKi

j + dRij −

dRll

dδij −

1

N

(DiDjN − N

dδij

)− κ2

(qikTkj − qlmTlm

dδij

).(1.2.72c)

拘束条件

dR +d− 1

dK2 − K2 = 2κ2Tnn, (1.2.73a)

DjKji −

d− 1

dDiK = −κ2Tni. (1.2.73b)

縮約Bianchi方程式より，

Eµν := Gµν − κ2Tµν (1.2.74)

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第 1章 序論 14 目次へ

に対して，

∂tEnn = Eµν , ∂iEµνの式,

∂tEni = Eµν , ∂iEµν の式,

より，Eij =が常に満たされ，ある時刻で拘束条件Enn = 0, Eni = 0 が満たされれば，任意の時刻で拘束条件が満たされる．したがって，拘束条件は初期値に対する制限と見なされる．

【公式 1.2.2】 　

任意のベクトル場 V µに対して，

∇µVµ = DiVi +K(V · n) − n · ∇nV. (1.2.75)

また，任意の対称テンソル Tµνに対して，

(∇νTνµ )nµ = ∂nTnn −KTnn + qijDiTin −KijTij, (1.2.76a)

(∇νTνµ )hµi = − 1

NL−TTni +KTni +DjTij − DjN

NTnn + (∇nn

µ)Tµi.(1.2.76b)

ここで，

hµν = gµν + nµnν . (1.2.77)

O’Murchandha-Yorkの方法 : Kijを

Kij = Sij + (LW )ij ; (1.2.78)

(LW )ij = DjWi +DiWj − 2

dD ·Wδij, (1.2.79)

Sjj = 0, DjSji = 0 (1.2.80)

と分解する．このとき，次の定理が成り立つ．

【定理 1.2.3】 　

(qjk, Kjk, φ, π)を任意の配意データとするとき、変換

qjk → q′jk = e2Ωqjk, (1.2.81a)

Kjk → K ′j

k = Kjk + (LW )jk (1.2.81b)

は (Ω(x),W j(x))をパラメーターとする可換な無限次元変換群をなす。勝手なデータ (qjk, K

jk, φ, π)を１つ与えたとき、それにこの変換を施して得られる位

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第 1章 序論 15 目次へ

相空間での軌道上では、拘束条件はΩとW jに対する次の楕円型連立微分方程式で表わされる：

2(d− 1)Ω + (d− 1)(d− 2)(DΩ)2 = −e2Ω[2K · (LW ) + (LW )2

]+dR + e2Ω

[d− 1

dK2 − K2

]− 2κ2e2ΩT ′

nn, (1.2.82a)

(1.2.82b)

Wi +d− 2

dDiD ·W + dRijW

j + dDjΩ(LW )ji

= −DjKji − dDjΩK

ji +

d− 1

dDiK − κ2T ′

ni (1.2.82c)

ここで T ′nn, T ′

njは Tnn, Tnjの表式で qjk → q′jk, Kjk → K ′j

kと置き換えたものである。

【公式 1.2.4 (曲率テンソルの変換)】 　

n次元Riemann多様体のWeyl変換

gµν → gµν = e2Φgµν (1.2.83)

に対して，Christofellシンボルおよび曲率テンソルは次のように変換する:

Γµνλ = Γµνλ + ∇νΦδµλ + ∇λΦδµν −∇µΦgνλ, (1.2.84)

Rµνλσ = Rµ

νλσ + 2δµ[σ∇λ]∇νΦ − 2gν[σ∇λ]∇µΦ

−2∇νΦ∇[νΦδµσ] + 2∇µΦ∇[λΦgσ]ν − 2(∇Φ)2δµ[λgσ]ν , (1.2.85)

Rµν = Rµν − gµν∇2Φ − (n− 2)∇µ∇νΦ

+(n− 2)∇µΦ∇νΦ − (n− 2)(∇Φ)2gµν , (1.2.86)

e2ΦR = R− 2(n− 1)∇2Φ − (n− 1)(n− 2)(∇Φ)2. (1.2.87)

４次元時空 (d = 3)に対して，この定理より，初期条件の自由度は空間の各点ごとに，計量の共形クラス [qjk] = qjk/q

1/3の自由度 5とゼロトレース，ゼロ発散テンソル Sjkの自由度 2，Kj

kのトレースK の自由度 1の計 8となる．このうち 4個は座標変換の自由度（ゲージ自由度）なので，真の力学的自由度は 2 + 2(+物質場の自由度)となる．これはちょうど近似的に平坦な時空での重力波の自由度と一致している．上記の連立楕円型方程式は必ずしも解を持つとは限らない．また、解が存在し

ても一般には一意的とも限らない．しかし，適当なゲージ条件のもとでは存在と一意性がいえる [OY74]．例えば、時間座標に対してK =const（一様膨張時間スライス）、空間座標に対して Tnj = 0（共動ゲージ）の座標条件を課すと、運動量拘束条件 (1.2.73b)はDjK

ji = 0となる．いま，(qij, K

ij , K)を拘束条件 (1.2.73)の

解，qijを qijの共形類に属する一つの計量，qij = e2Ω

qijとおくと，

DjKji = e−dΩ

Dj (edΩKj

i ) (1.2.88)

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第 1章 序論 16 目次へ

より，Kji は

Kji = e−dΩSji ; Sjj = 0,

Dj S

ji = 0 (1.2.89)

と表される．また，ハミルトン拘束条件 (1.2.73a)は

(d−1)

[2

Ω + (d− 2)(

D Ω)2

]= d

R +

d− 1

dK2e2Ω−e−2(d−1)ΩS2−2κ2e2ΩT ′

nn

(1.2.90)

となる．この方程式は，ほとんど全てのデータ (qjk, S

jk, Tnn, K)に対して解を持つ

ことが示される。さらに、同じゲージのもとで、Tnn = Sjk = K = 0の場合を除くと、解は一意的であることも示される。この除外された場合にはΩの方程式はe(d−2)Ω/2に対する同次線形方程式となるため、一般にはたくさんの解を持つが、時空が漸近的に平坦な場合にはΩ = O

(1

rd−2

)(r → ∞)の境界条件のもとでは一意性

が言える。また、このゲージ条件から僅かにずれたゲージ条件K = const+δK(x),

Tnj = δTnj(x)に対しても解の存在と一意性が示されている。

§1.3

数学的準備

1.3.1 基底と接続形式

eaおよび θaをそれぞれ，ベクトル場の基底およびその双対基底とする：

θa(eb) = δab . (1.3.1)

一般の線形接続∇に対して，接続係数 ωabを

∇Xea = ebωba(X) (1.3.2)

により定義する．このとき，

∇Xθa = −ωab(X)θb. (1.3.3)

さらに，gabを

gab = g(ea, eb) (1.3.4)

により定義すると，

dgab = gbcωca + gacω

cb ≡ ωab + ωba. (1.3.5)

接続形式を用いると，トーション形式は

Θa := Dθa = dθa + ωab ∧ θb (1.3.6)

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第 1章 序論 17 目次へ

曲率形式は，

Rab := dωab + ωac ∧ ωcb (1.3.7)

と表される．また，Bianchi恒等式は

DΘa = Rab ∧ θb,

DRab = 0

と表される．特に，∇がRiemann接続で，gabが定数行列となるとき，

dθa = −ωab ∧ θb, ωab = −ωba (1.3.8)

が成り立つ．

1.3.2 Weylテンソル

Riemann曲率テンソルを

Rµνλσ = Cµ

νλσ +2

n− 2

(Rµ

[λgσ]ν −Rν[λδµσ]

)+

2

(n− 1)(n− 2)δµ[σgλ]νR (1.3.9)

と分解して得られるテンソル Cµνλσ をWeylテンソルという．Weylテンソルは

Weyl変換で不変なテンソルで，Riemannテンソルと同じ対称性をもち，第１および第２Bianchi恒等式を満たす上に，次の条件を満たす：

Cλµλν = 0. (1.3.10)

n = 3のとき，Weylテンソルは恒等的にゼロとなる．また，n > 3のとき，Weyl

テンソルがゼロとなることと計量が共形的に平坦であることは同等である．正規直交基底 θaに関する成分表示の元で，

Sa :=

(Rab −

R

2(n− 1)δab

)θb (1.3.11)

とおくと，Cab := (1/2)Cabcdθc ∧ θdは

C ab = Rab − 1

n− 2(Sa ∧ θb − Sb ∧ θa) (1.3.12)

と表される．

1.3.3 Petrovタイプ

自己双対テンソル : 一般に２階の反対称テンソルAabに対して

+Aab =1

2(Aab + i ∗ Aab) (1.3.13)

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第 1章 序論 18 目次へ

とおくと，

∗ ∗ Aab = −Aab (1.3.14)

より

∗+Aab = −i+Aab. (1.3.15)

特に，Weylテンソルより

+Cabcd =1

2(Cabcd + i ∗ Cabcd) (1.3.16)

とおくと，

εabpqCpqcd = εcd

pqCabpq (1.3.17)

より，+Cabcdは (ab)および (cd)のいずれについても自己双対となる．さらに，

QIJ = −+C0I0J (1.3.18)

とおくと，QIJ は対称な trace-free行列となる．

自己双対基底 : 正規直交基底 eaより null基底 (k, l,m)を

k =e0 + e1√

2, l =

e0 − e1√2

, m =e2 − ie3√

2(1.3.19)

により定義する：

l · l = k · k = m ·m = 0, l · k = −1, m · m = 1. (1.3.20)

このとき，

∗(k ∧ l) = im ∧ m, ∗(k ∧m) = −ik ∧m, ∗(l ∧m) = il ∧m (1.3.21)

より，

V := k ∧m, U := −l ∧ m, W := −k ∧ l +m ∧ m (1.3.22)

は自己双対２階反対称テンソルの複素基底となる．

U · U = V · V = U ·W = V ·W = 0, U · V = 2, W ·W = −4. (1.3.23)

したがって，+Cは

+C = Ψ0U ⊗ U + Ψ1(U ⊗W +W ⊗ U)

+Ψ2(V ⊗ U + U ⊗ V +W ⊗W )

+Ψ3(V ⊗W +W ⊗ V ) + Ψ4V ⊗ V (1.3.24)

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第 1章 序論 19 目次へ

と展開される．Ψ0 ∼ Ψ4は

Ψ0 = C(k,m, k,m), Ψ1 = C(k, l, k,m),

Ψ2 =1

2(C(k, l, k, l) − C(k, l,m, m)),

Ψ3 = C(l, k, l, m), Ψ4 = C(l, m, l, m). (1.3.25)

Chiral 2-form基底を

+Σ0I := θ0 ∧ θI − i

2εIJKθ

J ∧ θK

とおくと、Weyl formの chiral combination

+C0I := C0I +i

2εIJKCJK

は、Ψ0 ∼ Ψ4を用いて一般に

+C01 = 2Ψ2+Σ01 + (Ψ3 − Ψ1)

+Σ02 − i(Ψ3 + Ψ1)+Σ03, (1.3.26a)

+C02 = (Ψ3 − Ψ1)+Σ01 +

1

2(Ψ0 + Ψ4 − 2Ψ2)

+Σ02 +i

2(Ψ0 − Ψ4)

+Σ03,

(1.3.26b)

+C03 = −i(Ψ3 + Ψ1)+Σ01 +i

2(Ψ0 − Ψ4)

+Σ02 − 1

2(Ψ0 + Ψ4 + 2Ψ2)

+Σ03

(1.3.26c)

と表される．

Petrovタイプ : 複素行列Qの固有空間の構造に応じて，WeylテンソルのPetrov

タイプが次のように定義される：Petrov type 固有空間 Ψaの標準形I [1 1 1] Ψ0 = Ψ4 = (λ2 − λ1)/2

Ψ1 = Ψ3 = 0

Ψ2 = (λ1 + λ2)/2

D [(1 1) 1] Ψ0 = Ψ1 = Ψ3 = Ψ4 = 0

Ψ2 = λ2

II [2 1] Ψ0 = Ψ1 = Ψ3 = 0

Ψ2 = λ1,Ψ4 = −2

N [(2 1)] Ψ0 = Ψ1 = Ψ2 = Ψ3 = 0

Ψ4 = −2

III [3] Ψ0 = Ψ1 = Ψ2 = Ψ4 = 0

Ψ3 = −iO — Ψ0 = Ψ1 = Ψ2 = Ψ3 = Ψ4 = 0

光的ベクトルを用いた定式化 : Null tetrad

k, l,m : k2 = l2 = m2 = k ·m = 0, k · l = −1, m · m = 1 (1.3.27)

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第 1章 序論 20 目次へ

を用いると，lの方向を保つローレンツ変換は

Λl =1

al, (1.3.28a)

Λk = a[k + λm+ λ(m+ λl)

], (1.3.28b)

Λm = eiθ(m+ λl) (1.3.28c)

と表される．ここで，λは任意の複素数，θは任意の実数である．この変換に対して，Ψ0は

Ψ′0 = a2e2iθ

[Ψ0 + 4Ψ1λ+ 6Ψ2λ

2 + 4Ψ3λ3 + Ψ4λ

4]

(1.3.29)

と変換する．したがって，条件

kαk[µCν]αβ[λkσ]kβ = 0 (1.3.30)

を満たす null vectorkは，方程式

Ψ0 + 4Ψ1λ+ 6Ψ2λ2 + 4Ψ3λ

3 + Ψ4λ4 = 0 (1.3.31)

の（λ = ∞）を含めた解と一対一に対応する．この方程式の解の縮退度と Petrov

タイプは次のように対応する：I: (1,1,1,1), II: (2,1,1), D: (2,2), III: (3,1), N: (4)

1.3.4 等長変換群

時空 (M , g)の変換 F が計量 gを保つ，すなわち

F∗g = g ⇔ gF (x)(F∗X,F∗Y ) = gx(X, Y ) ∀X, Y, x (1.3.32)

が成り立つとき，F を等長変換という．等長変換の全体は等長変換群 Isom(M , g)

となる．なめらかなRiemann多様体の等長変換群は Lie群となることが知られている [KN63]．

Isom(M , g)の１径数変換群 Ft,

FtFs = Ft+s, F0 = idX (1.3.33)

に対して，その無限小変換を ξとする：

ξµ(x) =dF µ

t (x)

dt

∣∣∣∣t=0

. (1.3.34)

このとき，

L−ξgµν ≡ ∇µξν + ∇νξµ = 0 (1.3.35)

が成り立つ．一般に，この方程式を満たすベクトル場をKillingベクトルという．

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第 1章 序論 21 目次へ

n次元Riemann多様体に対して，線形独立なKillingベクトルの数は，n(n+1)/2

を超えない．特に，n(n+ 1)/2個の線形独立なKillingベクトルをもつ空間は定曲率空間となり，Riemann曲率テンソルが定数Kを用いて

Rabcd = K(gacgbd − gadgcd) (1.3.36)

と表される．さらに，これらの空間は局所的に次の極大対称空間（時空）と等長となる：

1) 空間

1-i) Euclide空間En: K = 0, Isom(En) = IO(n).

1-ii) 球面 Sn: K = 1/a2, Isom(Sn) = O(n+ 1).

1-iii) 双曲空間Hn: K = −1/a2, Isom(Hn) = O(n, 1).

2) 時空

2-i) Minkowski時空En−1,1: K = 0, Isom(En−1,1) = IO(n− 1, 1).

2-ii) de Sitter時空 dSn: K = 1/a2, Isom(dSn) = O(n, 1).

2-iii) Anti de Sitter時空AdSn: K = −1/a2, Isom(AdSn) = O(n− 1, 2).

これらの空間（時空）は極大対称空間（時空）と呼ばれる．

運動の定数 自由粒子の運動方程式は

∇up = 0. (1.3.37)

ここで，p = muで，p · p = 0の時には p · p = −m2，p · p = 0の時にはmは勝手なゼロでない定数．ξがKillingベクトルとすると，

C = ξ · p (1.3.38)

に対して，

C = ∇u(ξ · p) = p · ∇uξ = muµuν∇νξµ = 0. (1.3.39)

よって，Cは運動の定数となる．

エネルギー運動の保存 平坦な時空では，エネルギー運動量テンソルの保存則

∂νTµν = 0 (1.3.40)

より

P µ =

∫Σt

d3xT µt (1.3.41)

目次へ

第 1章 序論 22 目次へ

(Σtは t =一定面）とおくと，

P µ =

∫Σt

d3x∂tTµt =

∫Σt

d3x− ∂iTµi = 0 (1.3.42)

より，全エネルギー運動量の保存則が得られる．しかし，曲がった時空では，

√−g∇νTµν = ∂ν(

√−gT µν) + ΓµνλTνλ (1.3.43)

より，上記のように定義されたP µに対して，一般に保存則は成り立たない．しかし，Killingベクトルが存在すると，

∇ν(ξµTµν) = ∇νξµT

µν = 0 (1.3.44)

とGaussの公式より，∫∂D

dΣνξµTµν =

∫D

dΩ∇ν(ξµTµν) = 0 (1.3.45)

が成り立つので，

P [ξ] =

∫Σt

dΣνξµTµν (1.3.46)

と定義すると，P [ξ]は定数となる．ただし，

dΣµ =1

(n− 1)!εµν1···νn−1dx

ν1 ∧ · · · ∧ dxνn−1 (1.3.47)

である．

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目次へ - 23-

2宇宙論

§2.1

定曲率空間

一般に，断面曲率Kが定数となる空間を定曲率空間という．すなわち，

Rijkl = K (gikgjl − gilgjk) . (2.1.1)

2.1.1 ２次超曲面の曲率

Ep,q(p+ q = d+ 1, q = 0, 1)内の２次超曲面Σd

X ·X = εA2 (2.1.2)

を考える．ただし，q = 0のとき ε = 1，q = 1のとき ε = −1．この超曲面の点X

における単位法ベクトルは

n =1

AX; n · n = ε. (2.1.3)

これより，Σdの接ベクトル V に対して，

εK(V ) = ∇V n =V

A. (2.1.4)

よって，

Kij =ε

Agij. (2.1.5)

これをGauss方程式に代入して，

Rijkl = ε(KikKjl −KilKjk) =ε

A2(gikgjl − gilgjk). (2.1.6)

したがって，球面は断面曲率 1/A2，双曲面は−1/A2の定曲率空間となる．

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第 2章 宇宙論 24 目次へ

2.1.2 一様等方空間

ある点の周りに等方な空間は，適当な極座標を用いて

ds2 = dχ2 + f(χ)2dΩ2d (2.1.7)

と表される．このとき χ = constとなる球面の外部曲率は

Kij =f ′

fgij (2.1.8)

となる．したがって，(d+ 1)分解の公式より

Rijkl = nRijkl +KilKjk −KikKjl =1 − (f ′)2

f 2(gikgjl − gilgjk) , (2.1.9a)

Rχijk = DkKij −DjKik = 0, (2.1.9b)

Rχiχj = −K ′ij +KikK

kj = −f

′′

fgij. (2.1.9c)

よって，定曲率となる条件は

1 − (f ′)2 = Kf 2, f ′′ = −Kf. (2.1.10)

χ = 0で f = χ2 + O(χ3)となるので，これを満たす解は

f =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1√K

sin(√

Kχ)

;K > 0,

χ ;K = 0,1√|K| sinh

(√|K|χ)

;K < 0.

(2.1.11)

以上より，一様等方な空間は定曲率空間である球面，Euclide空間，双曲空間のいずれかに限られる．逆に，定曲率空間は完備単連結ならば一様等方であることも示される．さらに，これらの d次元定曲率空間の等長変換群（の連結成分は）それぞれ SO(d+ 1), ISO(d)，SO+(d, 1)となる．

目次へ

第 2章 宇宙論 25 目次へ

§2.2

定曲率時空

2.2.1 定曲率時空

Ep,q(p+ q = D + 1, q = 1, 2)内の２次超曲面MD

X ·X = εA2 (2.2.1)

を考える．ただし，q = 1のとき ε = 1，q = 2のとき ε = −1．この超曲面の点X

における単位法ベクトルは

n =1

AX; n · n = ε. (2.2.2)

これより，MDの接ベクトル V に対して，

εK(V ) = ∇V n =V

A. (2.2.3)

よって，

Kµν =ε

Agµν . (2.2.4)

これをGauss方程式に代入して，

Rµνλσ = ε(KµλKνσ −KµσKνλ) =ε

A2(gµλgνσ − gµσgνλ). (2.2.5)

したがって，球面は断面曲率 1/A2，双曲面は−1/A2の定曲率時空となる．これより，

Rµν = εD − 1

A2gµν (2.2.6)

となるので，D次元時空の真空Einstein方程式

Rµν =2Λ

D − 2gµν (2.2.7)

と比較して，これらの時空は宇宙項

Λ = ε(D − 1)(D − 2)

2A2(2.2.8)

に対する真空解であることが分かる．逆に，定曲率時空はこれらの時空ないしMinkowski時空のいずれかと局所的に

等長であることが示される．

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第 2章 宇宙論 26 目次へ

2.2.2 de Sitter宇宙

ρ = −P = Λ > 0 (2.2.9)

のとき，aを k = 0,±1となるように規格化すると，

a =

⎧⎪⎨⎪⎩

et/ k = 0,

cosh(t/) k = +1,

sinh(t/) k = −1.

(2.2.10)

ただし，

1

2=

2

d(d− 1)Λ. (2.2.11)

これらは，いずれも同じ de Sitter時空 dSd+1

−T 2 +X21 + · · · +X2

d+1 = 2; (2.2.12)

ds2 = −dT 2 + dX21 + · · · + dX2

d+1 (2.2.13)

の全体，ないし一部と対応する：

k = +1 : dSd+1,

k = 0 : T > Xd+1,

k = −1 : Xd+1 > .

(2.2.14)

de Sitter宇宙は定曲率時空である：

Rabcd =1

2(gacgbd − gadgbc). (2.2.15)

Static chart: 座標系 (t, r,Ωn−2)(|Ωn−2| = 1)を

y0 =√2 − r2 sinh(t/), yn =

√2 − r2 cosh(t/),

yj = rΩjn−2 (j = 1, · · · , n− 1) (2.2.16)

により導入すると，

ds2 = −(

1 − r2

2

)dt2 +

(1 − r2

2

)−1

dr2 + r2(dΩn−2)2. (2.2.17)

ここで，r = aはKillingベクトル ξ = ∂tが光的となる (ξ · ξ = 0)面で，Killingホライズンと呼ばれる．

Complete chart: 座標系 (τ,Ωn−1)(|Ωn−1| = 1)を

y0 = sinh τ, yj = cosh τΩjn−1 (j = 1, · · · , n) (2.2.18)

により導入すると，

ds2 = 2[−dτ 2 + cosh2 τ(dΩn−1)

2]. (2.2.19)

目次へ

第 2章 宇宙論 27 目次へ

Flat chart: 座標系 (τ1,xn−1)(xn−1 ∈ Rn−1)を

y0 + yn = eτ1 , yj = eτ1xjn−1 (j = 1, · · · , n− 1) (2.2.20)

により導入すると，

ds2 = 2[−dτ 2

1 + e2τ1(dxn−1)2]. (2.2.21)

Open chart: 座標系 (τ2, z0, · · · , zn−1)を

yn = cosh τ2, yj = sinh τ2zj (j = 0, · · · , n− 1) :

−(z0)2 + (z1)2 + · · · + (zn−1)2 = −1. (2.2.22)

により導入すると，

ds2 = 2[−dτ 2

2 + sinh2 τ2dH2n−1

]. (2.2.23)

2.2.3 Anti-de Sitter宇宙

ρ = −P = Λ < 0 (2.2.24)

のときには，k < 0の時にのみ解が存在する：

a = sin(t/);1

2=

2

d(d− 1)|Λ|. (2.2.25)

これは，anti-de Sitter時空

−T 2 − S2 +X21 + · · · +X2

d = −2; (2.2.26)

ds2 = −dT 2 − dS2 + dX21 + · · · + dX2

d (2.2.27)

の一部の領域 |S| < と対応する．Anti-de Sitter時空も定曲率時空である：

Rabcd = − 1

2(gacgbd − gadgbc). (2.2.28)

Global static chart: 座標系 (t, r,Ωn−2)(|Ωn−2| = 1)を

y0 =√r2 + 2 sin(t/), yn =

√r2 + 2 cos(t/),

yj = rΩjn−2 (j = 1, · · · , n− 1) (2.2.29)

により導入すると，

ds2 = −(

1 +r2

2

)dt2 +

(1 +

r2

2

)−1

dr2 + r2(dΩn−2)2. (2.2.30)

目次へ

第 2章 宇宙論 28 目次へ

Open chart: 座標系 (τ, z1, · · · , zn)を

y0 = sin τ, yj = cos τzj (j = 1, · · · , n);

(z1)2 + · · · + (zn−1)2 − (zn)2 = −1 (2.2.31)

により導入すると，

ds2 = 2(−dτ 2 + cos2 τdH2n−1). (2.2.32)

Quasi-flat chart: 座標系 (y, x0, · · · , xn−2)を

yn − yn−1 = ey, yµ = eyxµ (µ = 0, · · · , n− 2) (2.2.33)

により導入すると，

ds2 = 2[dy2 + e2yηµνdx

µdxν]. (2.2.34)

ここで，ηµνはMinkowski計量．

de Sitter chart: 座標系 (y, w0, · · · , wn−1)を

yn = cosh y, yj = wj sinh y;

−(w0)2 + (w1)2 + · · · + (wn−1)2 = 1 (2.2.35)

により導入すると，

ds2 = 2[dy2 + sinh2 ydσ2dSn−1]. (2.2.36)

Anti de Sitter chart: 座標系 (y, z0, · · · , zn−1)を

yn−1 = sinh y, yn = cosh yzn−1, yj = cosh yzj (j = 0, · · · , n− 2);

−(z0)2 − (zn−1)2 + (z1)2 + · · · + (zn−2)2 = −1, (2.2.37)

により導入すると，

ds2 = 2[dy2 + cosh2 ydσ2

AdSn−1

]. (2.2.38)

Static hyperbolic chart: 座標系 (T,R, Y 0, · · · , Y n−2)を

y0 =√R2 − 2 sinh

(T

), yn−1 =

√R2 − 2 cosh

(T

),

yn = RY 0, yi = RY i (i = 1, · · · , n− 2);

−(Y 0)2 + (Y 1)2 + · · · + (Y n−2)2 = −1 (2.2.39)

により導入すると，

ds2 = −(R2

2− 1

)dT 2 +

dR2

R2

2− 1

+R2dY 2 (2.2.40)

ここで，dY 2は曲率−1の n− 2次元定曲率空間の計量．

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第 2章 宇宙論 29 目次へ

§2.3

Raychaudhuri方程式

2.3.1 Jacobi方程式

曲線族 Γ : xµ = xµ(τ, z)の単位接ベクトル場を uµ = xµ，曲線間の相対位置ベクトルを Zµ = δzi∂xµ/∂ziとすると，

∇uZ = ∇Zu (2.3.1)

が成り立つ．これより

∇2uZ = ∇u∇Zu = R(u, Z)u+ ∇Z∇uu. (2.3.2)

したがって，

∇uu = A (2.3.3)

とおくと，

∇2uZ = R(u, Z)u+ ∇ZA (2.3.4)

を得る．特に，Γが測地線束，すなわちA = 0のとき，この方程式は Jacobi方程式と呼ばれる．

2.3.2 Fermi基底による表示

uµが時間的ベクトル場（粒子の速度場）

u = ∂τ ; u · u = −1. (2.3.5)

の場合に，次の条件を満たす流線に沿った正規直交基底Eaを考える．

E0 = u, u · EI = 0, EI ≡ ∇uEI = AIu. (2.3.6)

このとき，AI は

AI = −u · EI = u · EI = A · EI (2.3.7)

を満たすので，流線上のある点でEaを与えると他の点でのEaは一意的に決まる．流線間の相対位置ベクトルZを Fermi基底に関して

Z = Z0u+ ZIEI (2.3.8)

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第 2章 宇宙論 30 目次へ

と成分表示すると，

ZI = EI · Z + EI · ∇uZ = −aIZ0 + EI · ∇Zu

= −aIZ0 + Z0EI · u+ EI · ∇EJuZJ . (2.3.9)

よって，

ZI = MIJZJ ; MIJ = EI · ∇EJ

u. (2.3.10)

また，

Z0 = −u · Z − u · ∇uZ = −u · EIZI − u · ∇Zu

= −aIZI . (2.3.11)

これらより

Z = Z0u+MIJZJEI . (2.3.12)

2.3.3 Expansion, shear, rotation

θIJ = σIJ +1

dδIJθ := M(IJ); σII = 0, (2.3.13)

ωIJ := M[IJ ]. (2.3.14)

とおくと，

MIJEIµE

Jν = (EI

µEλI )(EJ

νEσJ )∇σuλ = (δλµ + uµu

λ)(δσν + uνuσ)∇σuλ

= ∇νuµ + uν uµ (2.3.15)

より，

∇νuµ = θµν + ωµν − uµuν ; θµν := EIµE

Jν θIJ , ωµν := EI

µEJν ωIJ . (2.3.16)

2.3.4 Raychaudhuri方程式

[u, Z] = 0より

Z = ∇u∇Zu = R(u, Z)u+ ∇Z u. (2.3.17)

一方，Zの表式より，

Z −∇Zu = −aIZI u− ZI∇EIu+ aIMIJZ

Ju

+(M +M2)IJZJEI . (2.3.18)

よって，

(M +M2)IJ = −RIµJνuµuν + aIaJ + EI · ∇EJ

u. (2.3.19)

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第 2章 宇宙論 31 目次へ

これより

θ +1

dθ2 = −2σ2 + 2ω2 − Rµνu

µuν + ∇µuµ, (2.3.20a)

σIJ +2

dθσIJ = −σIKσKJ +

2

dσ2δIJ + ωIKωJ

K − 2

dω2δIJ

−RIuJu +1

dRuuδIJ + aIaJ + E(I · ∇EJ)

u− 1

d∇ · uδIJ , (2.3.20b)

ωIJ +2

dθωIJ + σKI ωKJ − σKJ ωKI = E[I · ∇EJ]

u. (2.3.20c)

ここで

2σ2 := σIJσIJ , 2ω2 := ωIJωIJ . (2.3.21)

特に，u ≡ 0のとき，θの方程式はRaychaudhuri方程式と呼ばれる．

2.3.5 一様宇宙モデルへの応用

空間的に一様な宇宙モデル

L−ξIg = 0 (I = 1, · · · , d) (2.3.22)

に対して，時間一定面Σtの単位法ベクトルを nとすると，L−ξIn = 0より，

g(ξ,∇nn) = −g(∇nξ, n) = −g(∇ξn, n) = 0. (2.3.23)

よって，

∇nn = 0. (2.3.24)

また，nは

n∗ = nt(t)dt (2.3.25)

と書けるので，

dn∗ = 0. (2.3.26)

したがって，

H := −1

dKii =

1

d∇µn

µ (2.3.27)

とおくと，Raychaudhuri方程式より，

H +H2 =1

d

(−2σ2 −Ricci(n, n)). (2.3.28)

これは，

H =a

a(2.3.29)

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第 2章 宇宙論 32 目次へ

により aを定義すると，

a

a=

1

d

(−2σ2 − Ricci(n, n))

(2.3.30)

と書き換えられる．次に，物質が理想流体とすると，

uµ∇νTµν = −∇ν [(ρ + P )uν] + ∇uP = 0 (2.3.31)

より，∇νTµν = 0は次の２式と同等となる：

ρ = −(ρ+ P )θ; θ = ∇µuµ, (2.3.32a)

(ρ+ P )∇uuµ + ∇µP + uµ∇uP = 0. (2.3.32b)

したがって，特に u = nのとき，第１式は

ρ = −dH(ρ+ P ) (2.3.33)

を与える．

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第 2章 宇宙論 33 目次へ

§2.4

一様等方宇宙モデル

2.4.1 基礎方程式

計量

ds2 = −dt2 + a(t)2qij(x)dxidxj. (2.4.1)

エネルギー運動量テンソル

Tµν = (ρ+ P )uµuν + Pgµν . (2.4.2)

一様等方な空間 : Ed, Sd, Hd

dRijkl = k(qikqjl − qilqjk) (2.4.3)

これより，

dRij = (d− 1)kqij ,dR = d(d− 1)k, dGl

l = −d(d− 1)(d− 2)

2k. (2.4.4)

発展方程式

Kij = −Hδij =

K

dδij; H =

a

a(2.4.5)

より，

H = −d2H2 − d− 2

2

k

a2− κ2

d− 1P. (2.4.6)

拘束条件

H2 =2κ2

d(d− 1)ρ− k

a2. (2.4.7)

エネルギー運動量保存則

ρ = −dH(ρ+ P ). (2.4.8)

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第 2章 宇宙論 34 目次へ

2.4.2 一般的性質

初期特異点 : 拘束条件を用いると，発展方程式は

a

a= − d− 2

d(d− 1)κ2

(ρ +

d

d− 2P

)(2.4.9)

と書き換えられる．これより，強エネルギー条件

Rµνuµuν =

(d− 2)κ2

d− 1

(ρ+

d

d− 2P

)≥ 0 (2.4.10)

が満たされれば，a ≤ 0となり，H > 0のときスケール因子 a(t)は過去の有限な時刻でゼロとなる．正規直交基底に関する曲率テンソルの成分は

R0I0J =

a

aδIJ , (2.4.11a)

RIJKL =

(H2 +

k

a2

)(δIKδJL − δILδJK) (2.4.11b)

で与えられるので，初期特異点が曲率特異点であるための条件は，ρないし P が発散することである．

Horizon : 共動座標系でのホライズン半径は

χH =

∫ t

0

dt

a(2.4.12)

と表される．したがって，初期特異点 t→ 0で a ∼ tγ(γ < 1)ならホライズン半径は有限となる．

2.4.3 標準的な宇宙モデル

Friedmann model

状態方程式

P = wρ (2.4.13)

に対して，エネルギー方程式より，

dρ

ρ= −d(1 + w)

da

a⇒ ρ = ρ0/a

d(1+w). (2.4.14)

これをHubble方程式に代入して，

a2 − Ca2−d(1+w) = −k; C =2κ2ρ0

d(d− 1). (2.4.15)

ρ0 > 0とすると，wが条件（強エネルギー条件に相当）

w >2 − d

d(2.4.16)

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第 2章 宇宙論 35 目次へ

を満たすとき，初期特異点は常に存在する．このとき，特異点近傍でのスケール因子の振る舞いは

a ∝ tγ ; γ =2

d(1 + w)< 1. (2.4.17)

また，k > 0のときは，有限な時刻で aは最大となり，その後宇宙は収縮する．一方，k ≤ 0のとき，宇宙は膨張を続け，t→ ∞で

a ∝t k < 0,

tγ k = 0.(2.4.18)

Inflationary model

スケール因子がHubbleホライズン半径 1/H より速く増大する条件は，ρ0 > 0

のとき，

(aH). = a > 0 ⇔ w <2 − d

d. (2.4.19)

wが一定でこの条件を満たすとき，k > 0なら宇宙のスケール因子は最小値をもつ．一方，k ≤ 0なら初期特異点をもつ．また，w > −1のとき，t→ ∞で

a ∝ tγ ; γ > 1, (2.4.20)

w = −1のとき，

a ∝ eH0t. (2.4.21)

さらに，w < −1(γ < 0)のとき，aは有限な時間で発散する (Big Rip singularity)：

a ∝ 1

(t− t∗)|γ|. (2.4.22)

Power-law inflation

スカラ場 φに対する作用積分は

Sφ =

∫d4x

√g

[−1

2(∇φ)2 − V (φ)

](2.4.23)

で与えられるので，エネルギー運動量テンソルは

Tµν = ∂µφ∂νφ− 1

2gµν

[(∇φ)2 + 2V (φ)

]. (2.4.24)

これより，空間的に一様なスカラ場に対しては，

ρ =1

2φ2 + V, P =

1

2φ2 − V. (2.4.25)

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第 2章 宇宙論 36 目次へ

これより，

w = −1 +2φ2

φ2 + 2V(2.4.26)

となるので，V φ2のときのみインフレーションが起きることになる．場の方程式は

φ+ dHφ+ V ′(φ) = 0, (2.4.27a)

H2 =2κ2

d(d− 1)

[1

2φ2 + V

]. (2.4.27b)

で与えられる．

p =φ√2V

(2.4.28)

とおくと，

H2 =2κ2V

d(d− 1)(p2 + 1). (2.4.29)

これより，特にポテンシャルが

V = V0eαφ (2.4.30)

で与えられるとき，

p = −√

2V√p2 + 1

[α

2

√p2 + 1 + κ

√d

d− 1p

](2.4.31)

が成り立つ．これより，

dp

dφ= −

√p2 + 1

p

[α

2

√p2 + 1 + κ

√d

d− 1p

](2.4.32)

を得る．また，

H = − κ2

d− 1φ2 (2.4.33)

より得られる式

H + dH2 =2κ2

d− 1V (2.4.34)

および

φ+ dHφ+ αV = 0 (2.4.35)

より，

φ+α(d− 1)

2κ2H =

C

ad(2.4.36)

が成り立つ．

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第 2章 宇宙論 37 目次へ

1) 0 < α < 2κ√d/(d− 1)のとき：このとき，pは次式を満たす一定値 p∗ < 0

に近づく．

p2∗ =

14κ2d

α2(d−1)− 1

. (2.4.37)

これより t→ ∞で

V (φ) 2

(αp∗t)2, (2.4.38a)

a ∝ tγ ; γ =4κ2

α2(d− 1)(2.4.38b)

を得る．したがって，

|α| < 2κ/√d− 1 (2.4.39)

のとき，power-law inflationが実現される．

2) α > 2κ√d/(d− 1)のとき：このとき，t→ ∞で p→ −∞となり，pと φの

漸近的関係は

p − C ′√V

exp(κ√d/(d− 1)φ) (2.4.40)

となる．これより，

exp(−κ

√d/(d− 1)φ

) C ′κ

√d

d− 1t, (2.4.41a)

a ∝ t1/d (2.4.41b)

を得る．

de Sitter宇宙 :

ρ = −P = Λ > 0 (2.4.42)

のとき，aを k = 0,±1となるように規格化すると，

a =

⎧⎪⎨⎪⎩

et/ k = 0,

cosh(t/) k = +1,

sinh(t/) k = −1.

(2.4.43)

ただし，

1

2=

2

d(d− 1)Λ. (2.4.44)

これらは，いずれも同じ de Sitter時空 dSd+1

−T 2 +X21 + · · · +X2

d+1 = 2; (2.4.45)

ds2 = −dT 2 + dX21 + · · · + dX2

d+1 (2.4.46)

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第 2章 宇宙論 38 目次へ

の全体，ないし一部と対応する：

k = +1 : dSd+1,

k = 0 : T > Xd+1,

k = −1 : Xd+1 > .

(2.4.47)

de Sitter宇宙は定曲率時空である：

Rabcd =1

2(gacgbd − gadgbc). (2.4.48)

Anti-de Sitter宇宙 :

ρ = −P = Λ < 0 (2.4.49)

のときには，k < 0の時にのみ解が存在する：

a = sin(t/);1

2=

2

d(d− 1)|Λ|. (2.4.50)

これは，anti-de Sitter時空

−T 2 − S2 +X21 + · · · +X2

d = −2; (2.4.51)

ds2 = −dT 2 − dS2 + dX21 + · · · + dX2

d (2.4.52)

の一部の領域 |S| < と対応する．Anti-de Sitter時空も定曲率時空である：

Rabcd = − 1

2(gacgbd − gadgbc). (2.4.53)

§2.5

非等方一様宇宙モデル

2.5.1 変換群

【定義 2.5.1】 　群Gの各元 gに空間Xの変換 Lgが対応していて

La Lb = Lab, ∀a, b ∈ G (2.5.1a)

Le = idX (2.5.1b)

が成り立つとき，Gないし Lg | g ∈ GをXの (左)変換群といい，GX

と表す．特に，Gが位相群で写像

F : G×X → X; (g, x) → Lg(x) (2.5.2)

が連続であるとき (左)位相変換群，Gが Lie群，X が多様体で F がなめらかであるとき (左)Lie変換群という．

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第 2章 宇宙論 39 目次へ

同様にG gとXの変換Rgの対応が

Ra Rb = Rba, ∀a, b ∈ G (2.5.3a)

Re = idX (2.5.3b)

を満たすとき，GはXの右変換群とよび，X Gと表す．

【定義 2.5.2】 　変換群GXと点 p ∈ Xに対して，pを含むXの部分集合

Op = Lg(p) | g ∈ G (2.5.4)

を，pを含む軌道という．また，pを動かさない変換の集合

Hp = g ∈ G | Lg(p) = p (2.5.5)

はGの部分群をなし，pの等方群という．同じ軌道上の２点に対する等方群は同型で互いに共役である．特に，すべての点に対して等方群が自明となるときGはXに自由に作用するという．また，Xが一つの軌道と一致するとき，すなわち，Xの任意の２点がGの変換により互いに結ばれるとき，Gは推移的に作用するという．さらに，Gが自由かつ推移的に作用するとき単純推移的に作用するともいう．

無限小変換群 : Gを多様体M の Lie変換群，Gの１次元部分群 g(t) | t ∈ R（g(t)g(s) = g(t+ s), g(0) = e）とする．Φt = Lg(t)に対して，ベクトル場

Xµ(p) =dΦµ

t (p)

dt

∣∣∣∣t=0

(2.5.6)

をΦtの無限小変換という．Gの無限小変換全体は交換子に関して Lie代数をなす．すなわち，その基底を ξaとするとき，適当な定数の組Ca

bcに対して

[ξa, ξb] = Ccabξc (2.5.7)

が成り立つ．この定数の組は変換群Gの構造定数と呼ばれる．

2.5.2 等長変換群と不変基底

不変基底 : Lie群Gが n次元多様体M に単純推移的に作用しているとする．このとき dimG = nとなり，M 上の基底Xaで

(Lg)∗XI = XI , ∀g ∈ G (2.5.8)

を満たすものが存在する．このような基底は不変基底と呼ばれる．Gの構造定数をCc

abとするとき，適当な不変基底に対して

[Xa, Xb] = −CcabXc (2.5.9)

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第 2章 宇宙論 40 目次へ

が成り立つ．Xaの双対基底 χaもGの作用で不変となる：

(Lg)∗χa = χa. (2.5.10)

この基底は不変双対基底と呼ばれる．不変双対基底は次のMauer-Cartan方程式を満たす：

dχa =1

2Ca

bcχb ∧ χc. (2.5.11)

等長変換 : Riemann多様体 (M , g)の変換Φが計量を不変にする，すなわちΦ∗g =

gが成り立つとき等長変換，等長変換全体の作る群は等長変換群と呼ばれる．等長変換群は Isom(M , g)と表記される．等長変換群の無限小変換 ξはKillingベクトルと呼ばれ，次のKilling方程式を満たす：

∇µξν + ∇νξµ = 0. (2.5.12)

特に，等長変換群がM に単純推移的に作用する部分群Gを持つとき，計量 gは不変基底 χaと定数行列 gabを用いて

ds2 = gabχaχb (2.5.13)

と表される．

【公式 2.5.3】 　

等長変換群Gが (M, g)に推移的に作用しているとき、不変基底Xa, χaに関

する接続係数と曲率テンソルの成分は、Gの構造定数Cabcを用いて、

ωabc =1

2(Ca

bc + Cbca + Ccb

a),

Rabcd = ωabpC

pcd + ωapcω

pbd − ωapdω

pbc,

Rab = −1

2Cp

qaCqpb − 1

2Cpq

aCpqb

+1

4CapqCb

pq +1

2Cp(Cab

p + Cbap),

R = −1

2CpqrCqpr − 1

4CpqrCpqr − CpC

p

と表わされる。ここで、Ca = Cpapである。また、添え字の上げ下げはχaに関

する計量の成分 gabとその逆行列により行なうものとする。

2.5.3 基礎方程式

【定義 2.5.4】 　連結な時空 (M , g)に対して，等長変換群の部分群Gが存在してGの各軌道が空間的超曲面となるとき，(M , g)は空間的に一様であるという．特に，Gとして単純推移的に作用するものが存在するとき，Bianchi

時空という．

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第 2章 宇宙論 41 目次へ

時空計量とエネルギー運動量テンソル : 一つのG軌道をΣとするとき，時空M

はΣ × Rと同相となり，任意の軌道はΣt = Σ × tと表される．Σ上の不変基底をXI，その双対基底を χI とすると，

ds2 = −N2dt2 +QIJ(χI +BIdt)(χJ +BJdt) (2.5.14)

と表される．ここで，N , BI , QIJ は tのみの関数である．各Σt上の空間座標を適当に取り替えることにより，常にBI = 0とすることができる．また，tの再定義によりN = 1とできる．そこで，以下N = 1, BI = 0とおく．このとき，エネルギー運動量テンソルは

T = T00dt2 + T0I(dt⊗ χI + χI ⊗ dt) + TIJχ

IχJ . (2.5.15)

と表される．ここで Tabは時間 tのみの関数である．

拘束条件 :

KIJ = −1

2QIJ = −(σIJ +QIJH); σII = 0 (2.5.16)

とおくと，

H2 =2κ2

d(d− 1)T00 +

σ2

d−

dR

d(d− 1), (2.5.17a)

CKσKI + CJ

KIσKJ = −κ2T0I . (2.5.17b)

ここで，

σ2 =1

d− 1σIJσ

JI , (2.5.18)

dR = −1

2CI

JKCJILQ

KL − 1

4QIJC

IKMC

JLNQ

KLQMN −QIJCICJ .(2.5.19)

発展方程式 :

H +H2 = −d− 1

dσ2 − κ2

d(d− 1)

[(d− 2)T00 +QIJTIJ

], (2.5.20a)

σIJ = −dσIJ − dRIJ + κ2QIKTKJ . (2.5.20b)

ここで，

dRIJ = dRI

J −dR

dδIJ , T IJ = QIKTKJ − QKLTKL

dδIJ . (2.5.21)

また，

dRIJ = −1

2CK

LICLKJ − 1

2QKLQ

MNCKMIC

LNJ

+1

4QIPQJQC

PKMC

QLNQ

KLQMN

+1

2CL(QIKC

KJM + QJKC

KIM)QLM . (2.5.22)

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第 2章 宇宙論 42 目次へ

エネルギー運動量保存則 :

T00 = −H(dT00 +QIJTIJ) − TIJσIJ +

1

κ2

(CICJ +QIKC

KJMQ

MLCL)σIJ .

(2.5.23)

2.5.4 一般的性質

体積特異点 :

H = a/a (2.5.24)

とおくと，

H +H2 = a/a (2.5.25)

より，

(d− 2)T00 +QIJTIJ ≥ 0 (2.5.26)

が常に満たされ，ある時刻 t = t0でH > 0なら，必ず過去の有限な時刻で a = 0

となる．体積特異点は曲率特異点とは限らない (Kasner時空の例参照)．

2.5.5 Bianchi types

3次元Lie代数

[ξI , ξJ ] = CKIJξK (I, J,K = 1, 2, 3). (2.5.27)

Jacobi恒等式 : [[ξI , ξJ ], ξK] + [[ξJ , ξK ], ξI ] + [[ξK , ξI ], ξJ ] = 0 (2.5.28)

Adjoint表現: Lie代数 Lの自分自身の上への線形表現Adを

ad(ξ)η := [ξ, η] (2.5.29)

により定義すると，Jacobi恒等式は

[ad(ξI), ad(ξJ)] = CKIJad(ξK) (2.5.30)

と表される．この随伴表現は

Ad(ξI) → CI ; (CI)JK = CJ

IK . (2.5.31)

と行列表示されるので，Jacobi恒等式は構造定数に対する次の条件となる：

[CI ,CJ ] = CKIJCK . (2.5.32)

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第 2章 宇宙論 43 目次へ

Class G3A G3B

Type I II VI0 VII0 VIII IX V IV III VIh VIIhh = −1

A 0 0 0 0 0 0 1 1 1√−h √

h

N1 0 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 0

N2 0 0 -1 1 1 1 0 0 -1 -1 1

N3 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

表 2.1: ３次元リー代数の分類

Ellis-MacCallum表示

1

2CIJKε

JKL = N IL + εILMaM ; N IJ = NJI (2.5.33)

とおくと，CIJKは対称行列N とベクトル aを用いて

CIJK = N ILεLJK + aJδ

IK − aKδ

IJ (2.5.34)

と表される．特に，

2aI = cI := CJIJ = TrCI (2.5.35)

となる．また，Jacobi恒等式は

Na = 0 (2.5.36)

と表される．

基底の変換

ξI → ξJTJI (2.5.37)

に対して，N と aは次のように変換する：

N → (det T )T−1NT−1T , (2.5.38)

a→ T Ta. (2.5.39)

【定理 2.5.5 (Bianchi型 [Bianchi,Ellis-MacCallum])】 　３次元実リー代数は、ベクトル aの大きさA = (aIaI)

1/2と行列N の３つの固有値N1, N2, N3により、表 2.1に示した I ∼ IXまでの９つの方に分類される。任意の３次元リー代数はこのいずれかと同型である。

2.5.6 厳密解

対角化可能性 : Bianchiタイプ I, II, V, VI0, VIII, IXの真空解の計量は常に対角化可能である．

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第 2章 宇宙論 44 目次へ

Type I: CIJK = 0

[ξI , ξJ ] = 0

ξ1 = ∂1, ξ2 = ∂2, ξ3 = ∂3

X1 = ∂1, X2 = ∂2, X3 = ∂3

χ1 = dx1, χ2 = dx2, χ3 = dx3

Type II: C123 = −C1

32 = 1

[ξ2, ξ3] = ξ1, [ξ1, ξ2] = 0, [ξ1, ξ3] = 0

ξ1 = ∂2, ξ2 = ∂3, ξ3 = ∂1 + x3∂2

X1 = ∂2, X2 = x1∂2 + ∂3, X3 = ∂1

χ1 = dx2 − x2dx3, χ2 = dx3, χ3 = dx1

Type III: C113 = −C1

31 = 1

[ξ1, ξ3] = ξ1, [ξ1, ξ2] = 0, [ξ2, ξ3] = 0

ξ1 = ∂2, ξ2 = ∂3, ξ3 = ∂1 + x2∂2

X1 = ex1∂2, X2 = ∂3, X3 = ∂1

χ1 = e−x1dx2, χ2 = dx3, χ3 = dx1

Type IV: C113 = −C1

31 = 1, C123 = −C1

32 = 1, C223 = −C2

32 = 1

[ξ1, ξ3] = ξ1, [ξ2, ξ3] = ξ1 + ξ2, [ξ1, ξ2] = 0

ξ1 = ∂2, ξ2 = ∂3, ξ3 = ∂1 + (x2 + x3)∂2 + x3∂3

X1 = ex1∂2, X2 = ex

1(x1∂2 + ∂3), X3 = ∂1

χ1 = e−x1(dx2 − x1dx3), χ2 = e−x

1dx3, χ3 = dx1

Type V: C113 = −C1

31 = 1, C223 = −C2

32 = 1.

[ξ1, ξ3] = ξ1, [ξ2, ξ3] = ξ2, [ξ1, ξ2] = 0

ξ1 = ∂2, ξ2 = ∂3, ξ3 = ∂1 + x2∂2 + x3∂3

X1 = ex1∂2, X2 = ex

1∂3, X3 = ∂1

χ1 = e−x1dx2, χ2 = e−x

1dx3, χ3 = dx1

Type VIh: C113 = −C1

31 = 1, C223 = −C2

32 = q,

h = −(1 + q)2/(1 − q)2 (q = 0, 1)

[ξ1, ξ3] = ξ1, [ξ2, ξ3] = qξ2, [ξ1, ξ2] = 0

ξ1 = ∂2, ξ2 = ∂3, ξ3 = ∂1 + x2∂2 + qx3∂3

X1 = ex1∂2, X2 = eqx

1∂3, X3 = ∂1

χ1 = e−x1dx2, χ2 = e−qx

1dx3, χ3 = dx1

表 2.2: ３次元実リー群に対する対する不変基底と双対基底 (1)

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第 2章 宇宙論 45 目次へ

Type VIIh: C213 = −C2

31 = 1, C123 = −C1

32 = −1, C223 = −C2

32 = q,

h = q2/(4 − q2) (q2 < 4)

[ξ1, ξ3] = ξ2, [ξ2, ξ3] = −ξ1 + qξ2, [ξ1, ξ2] = 0

ξ1 = ∂2, ξ2 = ∂3, ξ3 = ∂1 − x3∂2 + (x2 + qx3)∂3

X1 = (A+ kB)∂2 − B∂3, X2 = B∂2 + (A− kB)∂3, X3 = ∂1

χ1 = (C − kD)dx2 −Ddx3, χ2 = Ddx2 + (C + kD)dx3, χ3 = dx1

A = ekx1

cos(ax1), B = −a−1ekx1

sin(ax1)

C = e−kx1cos(ax1), B = −a−1e−kx

1sin(ax1)

k = q/2, a = (1 − k2)1/2 = (4 − q2)1/2/2.

Type VIII: C132 = C2

31 = C312 = 1, C1

23 = C213 = C3

21 = −1

[ξ1, ξ2] = ξ3, [ξ2, ξ3] = −ξ1, [ξ3, ξ1] = ξ2ξ1 = 1

2e−x

3∂1 + 1

2(ex

3 − (x2)2e−x3)∂2 − x2e−x

3∂3,

ξ2 = ∂3,

ξ3 = 12e−x

3∂1 − 1

2(ex

3+ (x2)2e−x

3)∂2 − x2e−x

3∂3,

X1 = 12(1 + (x1)2)∂1 + 1

2(1 − 2x1x2)∂2 − x1∂3,

X2 = −x1∂1 + x2∂2 + ∂3,

X3 = 12(1 − (x1)2)∂1 − 1

2(1 − 2x1x2)∂2 + x1∂3,

χ1 = dx1 + (1 + (x1)2)dx2 + (x1 − x2 − (x1)2x2)dx3,

χ2 = 2x1dx2 + (1 − 2x1x2)dx3,

χ3 = dx1 + (−1 + (x1)2)dx2 + (x1 + x2 − (x1)2x2)dx3,

Type IX: C123 = C2

31 = C312 = 1, C1

32 = C213 = C3

21 = −1

[ξ1, ξ2] = ξ3, [ξ2, ξ3] = ξ1, [ξ3, ξ1] = ξ2ξ1 = ∂2,

ξ2 = cosx2∂1 − cot x1 sin x2∂2 + sinx2

sinx1∂3,

ξ3 = − sin x2∂1 − cotx1 cosx2∂2 + cos x2

sinx1 ∂3,

X1 = − sin x3∂1 + cos x3

sinx1 ∂2 − cotx1 cosx3∂3,

X2 = cosx3∂1 + sinx3

sinx1∂2 − cot x1 sin x3∂3,

X3 = ∂3,

χ1 = − sin x3dx1 + sin x1 cosx3dx2,

χ2 = cosx3dx1 + sin x1 sin x3dx2,

χ3 = cosx1dx2 + dx3

表 2.3: ３次元実リー群に対する対する不変基底と双対基底 (2)

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第 2章 宇宙論 46 目次へ

Type I

Einstein方程式 : 理想流体に対して

H2 =κ2

3ρ+

σ2

3, (2.5.40a)

σIJ = −3HσIJ , (2.5.40b)

ρ = −3(ρ+ P )H. (2.5.40c)

これより，計量は常に対角化可能で，

ds2 = −dt2 + a2[b21(dx1)2 + b22(dx2)2 + b23(dx3)2

], (2.5.41a)

H2 =κ2

3ρ+

Σ2

3a6, (2.5.41b)

σIJ =ΣI

a3δIJ , (2.5.41c)

bIbI

=ΣI

a3(2.5.41d)

が成り立つ．ここで，ΣI は定数，2Σ2 =∑

I Σ2I である．

Kasner解 : Bianchiタイプ Iの真空一般解は次のKasner解で与えられる．

ds2 = −dt2 + t2σ1dx2 + t2σ2dy2 + t2σ3dz2. (2.5.42)

ここで，σI は次の２条件を満たす実数である．

σ1 + σ2 + σ3 = 1, σ21 + σ2

2 + σ23 = 1. (2.5.43)

ただし，

RabcdRabcd =4(σ2

1σ22 + σ2

2σ23 + σ2

3σ21)

t4+

4∑

I σ2I (σI − 1)2

t4(2.5.44)

より，σI の２つがゼロ，一つが 1となる解はMinkowski 時空の一部と対応する(Rindler時空）．その他の解は，t = 0に曲率特異点をもつ．

Λ = 0 : 真空でΛ = ±ω2/3 = 0の時の一般解は，

a(t)3 =

√3Σ

ωS(ωt), (2.5.45a)

bI(t)2 =

( |C(ωt) − 1|C(ωt) + 1

)qI

, (2.5.45b)

ΣI =√

3qIΣ. (2.5.45c)

ここで，Λ >のとき C(x) = cosh(x), S(x) = sinh(x)，Λ < 0のとき C(x) =

cos(x), S(x) = sin(x)．また，qI は次の条件を満たす数の組：∑I

qI = 0,∑I

q2I =

2

3. (2.5.46)

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第 2章 宇宙論 47 目次へ

dust解 ： P = 0の時の一般解は，

aI := abI = t2/3(A+

B

t

)−qI+1/3

, (2.5.47a)

Σ2 = B2/3. (2.5.47b)

ここで，qI は上記と同じ条件を満たす数の組．

Type II

真空解 (Taube 1951): Type IIの真空一般解は，

ds2 = −F−2(χ1)2 + F 2[e2At(χ2)2 + e2Bt(χ3)2 − e2(A+B)tdt2

];

kF 2 = cosh(kt), 4AB = k2. (2.5.48)

ここでA,B, kは定数，また

χ1 = dx− zdy, χ2 = dy, χ3 = dz. (2.5.49)

Type V

真空解 (Joseph 1969): Type Vの真空一般解は，

ds2 = sinh(2at)((χ1)2 − dt2

)+(tanh at)

√3(χ2)2+(tanh at)−

√3(χ3)2. (2.5.50)

ここで，

χ1 = dx, χ2 = exdy, χ3 = exdz. (2.5.51)

Type IX

Taub-NUT解 : 局所的に回転対称性をもつBianchi IX型の真空解は

ds2 = −U−1dt2 + (2l)2U(dψ + cos θdφ)2 + (t2 + l2)(dθ2 + sin2 θdφ2);(2.5.52)

U =2mt+ l2 − t2

t2 + l2(2.5.53)

で与えられる．ここで，θ, φ, ψは３次元球面の Euler角，m, l(l = 0)は定数である．この解のKillingベクトルは，一様性を表す ξ1, ξ2, ξ3と，局所回転対称性を表す ∂ψである．この解の計量は

U = 0 ⇔ t = t± = m±√m2 + l2 (2.5.54)

で特異となるが，これは見かけの特異性で，時空はこの面を超えて解析接続できる．この拡張された時空では，t = t±の面は光的となり，t ≥ t+ないし t ≤ t−では因果律が破れる．

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第 2章 宇宙論 48 目次へ

§2.6

高次元宇宙モデル

2.6.1 背景

標準モデル

• ゲージセクターの不完全な統一running coupling constantsのGUTスケールでの一致

• クォーク電荷の分数性とそのパターン• 世代多重性，質量項の構造

Cabibo mixing

弱い相互作用でのCPの破れ• 強い相互作用でのCP保存• ニュートリノの質量とmixing

• バリオン非対称性の起源

⇒ GUT

• ダークマター問題 ⇒ SUSY

• Inflaton問題• 重力との統一• 小さな正の宇宙項

⇒ 重力を含む統一理論

大統一理論

• Gauge hierarcy problem

• Running coupling constant mismatch⇒ SUSY

• GUT群の起源• Higgs sectorの大きな不定性• 世代多重性の起源

⇒ スカラセクターとベクトルセクターを統一する理論

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第 2章 宇宙論 49 目次へ

重力を含む統一理論

高次元超重力理論

• 発散の問題• ゲージセクターの非一意性 (⇒ D = 11極小モデル）• Chiralityの破れの起源• 次元低下・コンパクト化の問題• モジュライ問題，ディラトン安定化問題• SUSY breaking mechanism

• Inflation問題• 宇宙項問題

10次元超弦理論

• 理論の非一意性問題 (+ duality ⇒ M theory?)

• 理論の摂動論的性格 (+ duality, brane ⇒ M theory?)

• 次元低下・コンパクト化の問題• モジュライ問題，ディラトン安定化問題• SUSY breaking mechanism

• Inflation問題• 宇宙項問題

2.6.2 Kaluza-Kleinモデル

(n+ 1)次元時空M がM = Xn× S1という位相構造をもつとすると，その計量は一般に，

ds2n+1 = GMNdX

MdXN = e2σ(dφ+ A)2 + e−2σ

n−2 gµνdxµdxν (2.6.1)

と表される．特に，∂φがKillingベクトルで，σ,A, gµνが xµのみに依存するとき，∫dn+1X

√−G n+1R = L

∫dnx

√−g[R− α(Dσ)2 − 1

2e2ασ|F |2

](2.6.2)

と表される．ここで，

|F |2 =1

2FµνF

µν ; F = dA, (2.6.3)

α =n− 1

n− 2. (2.6.4)

したがって，重力場と相互作用するディラトンと電磁場に対するn次元の理論が得られる．さらに一般化して，(n + m)次元時空がM = Xn × Ymという構造をもつとき，

その計量は一般に

ds2 = e2σm Φab(dy

a + Aa)(dyb + Ab) + e−2σ

n−2 gµνdxµdxν (2.6.5)

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第 2章 宇宙論 50 目次へ

と表される．いま，Y の変換群 Gに対して，Φab(x, y)が Yx上の計量として不変で，σと gµνが yに依存せず，Aaが Y の無限小変換の基底 ξaP を用いて

Aa = ξaP (y)APµ (x)dxµ = ξa(A) (2.6.6)

と表されるとする．このとき，

S =

∫dn+mx

√Gn+mR (2.6.7)

は

S =

∫dnx

√g

[R − α(Dσ)2 − 1

2GABDφADφB + e−2ασC − 1

4e2ασγPQF

P · FQ

](2.6.8)

と表される．ここで，

α =1

n− 2+

1

m, (2.6.9a)

1 =

∫dmy |Φ|1/2, (2.6.9b)

Φab = φA(x)ΦAab(y), (2.6.9c)

GAB(x) =1

2

(ΦacΦbd − ΦabΦcd

)ΦAabΦ

Bcd, (2.6.9d)

C(x) = R(Φ), (2.6.9e)

γPQ(x) = ξaP ξbQΦab. (2.6.9f)

また，ξP が交換関係

[ξP , ξQ] = CRPQξ

R (2.6.10)

を満たすとすると，F P は

F P = dAP − 1

2CPQRA

Q ∧AR (2.6.11)

と表される．さらに，g ∈ Gに対応する Y の変換を fgとして

f(x, y) = (x, fg(x)(y)) (2.6.12)

と表されるM の変換に対して，AはGの Lie代数に値を取る１形式として

A = g−1Ag + g−1dg (2.6.13)

と変換する．したがって，Gが非可換な群ならば，非可換ゲージ場とディラトンおよびモジュ

ライ場が重力と結合した n次元理論が得られる．例えば，Y = Sm のとき G =

SO(m + 1)，Y = Mpqr = SU(3) × SU(2) × U(1)/SU(2) × U(1)2（7次元 Einstein

空間，(p, q, r) = (0, 0, 1)．pが奇数ならスピン構造をもつ）のとき，G = SU(3) ×SU(2) × U(1)．ただし，この理論には次のような問題点がある．

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第 2章 宇宙論 51 目次へ

• Y が正曲率をもつ (C > 0)とすると，モジュライポテンシャルが負となる．また，Y がゼロ曲率のコンパクト Einstein空間のとき，Y = T k × Y ′(Y ′は連続な対称性を持たないゼロ曲率のEinstein空間）となる．Y が負曲率のコンパクトEinstin空間のときには，Killingベクトルは存在しない．したがって，Y の等長変換群が現実的なゲージ群を含むとすると，実質的に負の宇宙項が生じる．

• 一般的には，ディラトンが安定化されない（例外は，C < 0かつ γPQFP ·FQ

が正の値を取る場合）．

• モジュライ場はゲージ場と結合せず，ゲージ対称性の自発的破れを産み出すHiggs場となりない．（質量をもつスカラ場はゲージ場と結合するが，その質量は一般に，Y のサイズをRとすると 1/R程度と非常に大きくなる．）

• 高次元時空の次元や余剰次元のコンパクト化のタイプ（したがって，対応するゲージ対称性）を規定するメカニズムが存在しない．

• スピノール場が存在しない．（あるいは，その構造を規定する原理が含まれていない．）

2.6.3 D = 11超重力理論

理論の概要と問題点

基本場: 基本的な場は

フレーム場 : eA = (eMA ); GMN = ηABeMA eNB , θA(eB) = δAB,(2.6.14a)

３形式場 : A3 =1

3!AMPQdx

M ∧ dxP ∧ dxQ, (2.6.14b)

Majorana 3/2場 : ΨM ; Ψ = ΨTC−1. (2.6.14c)

ここで，ガンマ行列 ΓA (A = 0, · · · , 10)を

ΓA,ΓB = −2ηAB (2.6.15)

として，

Ψ := Ψ†Γ0. (2.6.16)

また，Cはつぎの条件により定義される荷電共役変換行列：

C−1ΓAC = −ΓAT , CT = −C. (2.6.17)

作用積分 完全な作用積分は

2κ2S =

∫d11x|θ|

[eMA e

NBRAB

MN(ω) − 1

2|F4|2 +

1

6∗ (F4 ∧ F4 ∧A3)

−iΨMΓMNPDN

[12(ω + ω)

]ΨP

+1

192

[ΨMΓMNWXY ZΨN + 12ΨΓXY ΨZ

](FWXY Z + FWXY Z)

].(2.6.18)

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第 2章 宇宙論 52 目次へ

ここで，

ωABM = ωABM(e) +KMAB, (2.6.19a)

KMAB =i

8

[−ΨNΓMABNPΨP − 4ΨMΓ[AΨB] + 2ΨBΓMΨA

], (2.6.19b)

ωABM = ωABM +i

8ΨNΓMAB

NPΨP , (2.6.19c)

ΓA1···Ap = Γ[A1· · ·ΓAp], (2.6.19d)

DM(ω) = ∂M − 1

4ωABMΓAB, (2.6.19e)

F = dA, (2.6.19f)

FMNPQ = FMNPQ − 3

2Ψ[MΓNPΨQ]. (2.6.19g)

基本場の次元は

[κ] = L9/2, [eMA ] = L0, [AMNP ] = L0, [ΨM ] = L−1/2. (2.6.20)

場の方程式:

RMN(ω) − 1

2GMNR(ω) =

1

12FMPQRFN

PQR − 1

4GMN |F4|2, (2.6.21a)

ΓMNP DN(ω)ΨP = 0, (2.6.21b)

d ∗F +1

2F ∧ F = 0. (2.6.21c)

ここで，

DM(ω) = DM(ω) +1

2TM

PQRSFPQRS, (2.6.22)

T SMNPQ = − i

144

(ΓSMNPQ − 8Γ[MNPGQ]S

). (2.6.23)

強エネルギー条件：

RMN =1

12FMPQRFN

PQR − 1

6GMN |F4|2 (2.6.24)

より，

R00 =1

18FTIJKFT

IJK +1

144FIJKLF

IKJK ≥ 0. (2.6.25)

対称性:

a) 一般共変性

b) 局所 SO(10, 1)変換

c) N = 1 SUSY

d) A3のゲージ変換

e) T/P 変換

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第 2章 宇宙論 53 目次へ

利点: D = 11超重力理論は次のような優れた点がある：

1. 超対称性が存在し得る最高次元であるD = 11では，局所超対称性を要求すると，作用積分のうち座標微分について２階までの部分は一意的に決まってしまう．特に，勝手に宇宙項を加えることは許されない [Cremmer, Julia &

Scherk (1978)]．

2. S1因子によるＫＫ還元により，IIA型超弦理論の長波長極限であるD = 10

の IIA型超重力理論が得られる．逆に，D = 11超重力理論はD = 10 IIA型超弦理論の強結合極限と見なすことができる．

3. 4-形式 F4の存在は，１１次元時空のなかで４次元が特殊な役割を果たすことを示唆する．（e.g. 自発的コンパクト化 [Cremmer & Scherk (1976), Fruend

& Rubin (1980)]）．

4. ４次元上の超重力理論の多くが，D = 11超重力理論からのKK還元により得られる．例えば，T 7コンパクト化により大域 E7× 局所 SU(8)対称性をもつD = 4，N = 8超対称理論（Cremmer-Julia model(1979))．

問題点： D = 11超重力理論（のコンパクト化によるKK還元）は，次のような困難のため，直ちにが現実的な統一理論を与えない．

1. （Chirality問題）コンパクト化によるKK還元で得られる４次元スピノール場のゲージ相互作用は (Fmnpq = 0かつ torsion= 0のとき）ＬＲ対称性をもつ．[Witten E (1981)]

2. (Fermion表現の問題）等長変換群がGSM = SU(3) × SU(2) × U(1)を含む空間によるコンパクト化は，質量ゼロフェルミオンに対するゲージ群の現実的な表現を与えない．[Randjbar-Daemi S, Salam A & Strathdee J (1984),

Pope CN (1984), Castellani L (1984), D’Auria R & Fre P (1984)]

3. （GSM/GGUTの起源）1と 2は，標準モデルに現れるゲージ対称性が高次元の幾何学的対称性と直接結びついていないことを示唆している．実際，chiral

なフェルミオンを含む de Wit-Nicolaiの D = 4, N = 8超対称理論（局所SO(8)×SU(8)対称性をもつ）では，SU(8)ゲージ場は複合場でkinetic term

を持たない．また，現実的な低エネルギー理論を与える可能性のあるD = 10

Heterotic string理論に対応する超重力理論では，D = 10のレベルですでにE8 ×E8ゲージ超場が重力超場以外に含まれている．

4. （インフレーション問題，宇宙項問題）一般に，M4 × Y7型のコンパクト化では，４次元宇宙の宇宙項が正とならない．これは１１次元 SUGRAだけでなく，１０次元 SUGRAにも共通する（GibbonsのNo-Go定理）．これを見るために，まず，これらのモデルでは１１次元/１０次元で強エネルギー条件が成り立つことに注意する：

R00 ≥ 0. (2.6.26)

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第 2章 宇宙論 54 目次へ

いま，時空がMD = Xp × Y という構造をもち，計量が

ds2 = W (y)2gµν(x)dxµdxν + gmn(y)dymdyn (2.6.27)

と表されるとする（Warpedコンパクト化）．このとき，

Rµν = XRµν +1

pW pgµν

Y(W p) (2.6.28)

が成り立つ．よって，Y がコンパクトで境界のないなめらかな多様体の時，

XR00

∫Y

dΩYWp(y) =

∫Y

dΩYR00 ≥ 0 (2.6.29)

を得る．

2.6.4 インフレーション問題

D = 11超重力理論

Bosonic action: ΨM = 0とおくと，D = 11超重力理論の作用積分は

2κ2S =

∫dx11(−G)1/2

(R− 1

2|F4|2

)− 1

6

∫A3 ∧ F4 ∧ F4. (2.6.30)

場の方程式は

d ∗F4 + 12F4 ∧ F4 = 0. (2.6.31)

また，エネルギー運動量テンソルは

2κ2TMN =1

12FMABCFN

ABC − 1

4|F4|2GMN . (2.6.32)

よって，

RMN =1

12FMABCFN

ABC − 1

6|F4|2GMN . (2.6.33)

Warped product型時空: 計量が

ds2 = A2gµν(x)dxµdxν +B2γpq(y)dypdyq (2.6.34)

という形をもち，F4が

F4 = cfΩ(M4); Ω(M4) =√−gdx0 ∧ dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 (2.6.35)

と書けるとする．このとき，

dF4 = 0 ⇒ f = f(x). (2.6.36)

また，

∗(A4Ω(M4)) = B7Ω(X7) (2.6.37)

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第 2章 宇宙論 55 目次へ

より，

d ∗F4 = 0 ⇒ Dµ(fA−4B7) = 0. (2.6.38)

よって，γpq(y)の再定義により

A = f(x)1/4h(x, y)−5/4, B = h(x, y)−5/7. (2.6.39)

このとき，

|F4|2 = −(cfA−4)2 = −c2h10, (2.6.40a)

FµABCFνABC = −6c2h10Gµν , (2.6.40b)

FpABCFqABC = FµABCFp

ABC = 0. (2.6.40c)

よって，Einstein方程式は

Rµν = −c2h10

3Gµν , Rµp = 0, Rpq =

c2h10

6Gpq. (2.6.41)

まず，

Rµp =9

28hDµDph (2.6.42)

より，

h = h1(x) + h2(y). (2.6.43)

次に，

Rpq = Rpq − V γpq +60

7hDpDqh2 − 1005

196h2Dph2Dqh2 =

c2h60/7

6γpq (2.6.44)

より，Dµh1 = 0なら，

Dph2Dqh2 =1

7(Dh2)2γpq. (2.6.45)

γpqが非退化より，Dph2 = 0. よって，h = h(x)または h = h(y)．

h = h(x)の場合 このとき，

ds2 = ds2(M4) +B2ds2(X7), (2.6.46a)

B = h(x)−5/7, (2.6.46b)

F4 = ch5Ω(M4). (2.6.46c)

Einstein方程式は

Rpq = Rpq +5

7h−10/7

(hh

− 6(Dh)2

h2

)γpq =

c2h60/7

6γpq, (2.6.47a)

Rµν = 4Rµν − 7DµDνB

B= −c

2B−14

3gµν . (2.6.47b)

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第 2章 宇宙論 56 目次へ

よって，

Rpq = 6Kγpq, (2.6.48a)

hh

− 6(Dh)2

h2=

7c2

30h10 − 42K

5h10/7, (2.6.48b)

4Rµν = −5DµDνh

h+

60

7

DµhDνh

h2− c2h10

3gµν . (2.6.48c)

第２式より，最後の式はBianchi恒等式を満たすので整合的．これらの方程式より，h = constとなるためには，

K =c2

36h60/7 ≥ 0 (2.6.49)

でなければならないことが分かる．また，このとき

4Rµν = Λgµν ; Λ = −c2h10

3≤ 0 (2.6.50)

となる（Fruend-Rubin型コンパクト化）．

h = h(y)の場合 このとき，

ds2 = A2ds2(M4) + ds2(X7), (2.6.51a)

A = h(y)−5/4, (2.6.51b)

F4 = cΩ(M4). (2.6.51c)

Einstein方程式は

Rµν = 4Rµν − (AA + 3(DA)2)gµν = −c2

3h10A2gµν , (2.6.52a)

Rpq = Rpq − 4DpDqA

A=c2

6h10γpq (2.6.52b)

より，

4Rµν = λgµν , (2.6.53a)

hh

− 6(Dh)2

h2= −4c2

15h10 − 4λ

5h5/2, (2.6.53b)

Rpq = −5DpDqh

h+

45

4h2DphDqh +

c2

6h10γpq. (2.6.53c)

h = h(t)の場合 h = h(x)の特殊な場合として

ds2 = −dt2 + a(t)2dσ23 + b(t)2ds2(X7), (2.6.54a)

h = b−5/7 (2.6.54b)

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第 2章 宇宙論 57 目次へ

となる場合を考える．ここで，dσ23は断面曲率 kの定曲率空間の計量．このとき，

Einstein方程式は

b

b=

6

7

(a2

a2+k

a2

)+ 3

ab

ab+

2c2

21b14, (2.6.55a)

a

a= −2

(a2

a2+

k

a2

)− 7

ab

ab− c2

3b14, (2.6.55b)

a2

a2+ 7

ab

ab+ 7

b2

b2+k

a2− c2

12b14+

7K

b2= 0. (2.6.55c)

ここで，

Rpq = 6Kγpq. (2.6.56)

これらより，

a2

b

d2b

da2=

1

−24ka−2 + 2c2b−14 − 168Kb−2

[28

(12k

a2+ 2

c2

b14

)(a

b

db

da

)3

+

(312k

a2+

86c2

b14− 1176K

b2

)(a

b

db

da

)2

+

(72k

a2+

34c2

b14− 840K

b2

)a

b

db

da+

4c2

b14− 144K

b2

]. (2.6.57)

特に，c = 0, k = 0, K = 0のとき，この方程式は

d2b

da2=

7

b

(db

da

)2

+5

a

db

da+

6

7

b

a2. (2.6.58)

この方程式は

b =a

v1/6(2.6.59)

とおくと

d2v

da2− 17

a

dv

da+

540

7

v

a2= 0. (2.6.60)

この一般解は

v = a9(C1a

3√

21/7 + C2a−3

√21/7

). (2.6.61)

よって，

b = a−1/2(C1a

3√

21/7 + C2a−3

√21/7

)−1/6

, (2.6.62a)(a

a

)2

=Ka

3C1C2

(C1a

3√

21/7 + C2a−3

√21/7

)7/3

. (2.6.62b)

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第 2章 宇宙論 58 目次へ

1) K > 0: このとき，C1, C2 > 0. aのレンジは 0 < a < ∞，tのレンジは0 < t < t0:

t ∼ 0 : a ∝ t√

21+110 , b ∝ a−

7−√21

14 , (2.6.63a)

t→ t0 − 0 a ∼ 1

(t0 − t)√

21−110

, b ∼ a−7+

√21

14 . (2.6.63b)

これより，

ab7/2 ∼a

√21−34 ; t ∼ 0,

a−√

21+34 ; t→ t00,

(2.6.64)

よって，４次元から見るとBigbang-Bigcrunch型．

2) K < 0: このとき，C1C2 < 0. まず，C1 > 0, C2 < 0とすると，tのレンジは−∞ < t < t0, aのレンジは a0 < a <∞．漸近的振る舞いは，t ∼ t0では K > 0と同じ．t ∼ −∞では

a− a0 ∼ 1

(−t)1/6, b ∼ 1

a− a0

1/6

. (2.6.65)

これより，

ab7/2 ∼ (−t)7/72, t→ −∞ (2.6.66)

なので，４次元から見ると，単調に収縮して t = t0で crunch.

つぎに，C1 < 0, C2 > 0のとき，tのレンジは 0 < t < ∞で，aのレンジは0 < a < a0. t = 0近傍の振る舞いは，K > 0の場合と同じ．一方，t ∼ ∞では

a− a0 ∼ 1

t1/6, b ∼ 1

a0 − a

1/6

. (2.6.67)

よって，４次元から見たときのスケールは

ab7/2 ∼ t7/72, t→ ∞. (2.6.68)

これはTownsend-Wohlfarth解 (2003)．

3) K = 0: c = k = 0のとき，一般に

a

a+ 2

a

a+ 7

b

b= 0 (2.6.69)

より，

aa2b7 = l2(= const). (2.6.70)

また，さらに K = 0のとき，

b

b=

−7 ±√21

14

a

a(2.6.71)

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第 2章 宇宙論 59 目次へ

より，

b = a−7±√

2114 , (2.6.72a)

a =l2

a−3±√

212

. (2.6.72b)

上の符号に対応する解は，

a =

(√21 − 1

2l2t

)√21+110

, (2.6.73a)

b7/2 = a−7−√

214 ∝ t−

−7+3√

2120 , (2.6.73b)

ab7/2 = a√

21−34 . (2.6.73c)

また，下の符号に対応する解は，

a =

(√21 + 1

2l2(t0 − t)

)−√

21−110

, (2.6.74a)

b7/2 = a−7+

√21

4 ∝ (t0 − t)7+3

√21

20 , (2.6.74b)

ab7/2 = a−√

21+34 . (2.6.74c)

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第 2章 宇宙論 60 目次へ

2.6.5 ブレインワールドモデル

Arkani-Hamed, Dimopoulos Devaliモデル (1998)

D次元時空が積構造M = X4 × YD−4をもち，計量が

ds2D = ds2(X) + ds2(Y ) (2.6.75)

で与えられるとする．このとき，

SD =1

2κ2D

∫M

dDx√−GDR VY

2κ2D

∫X

d4x√−g 4R (2.6.76)

となる．よって，４次元の重力定数は

κ24 =

κ2D

VY. (2.6.77)

いま，

VY = LD−4, κD = M−(D−2)/2D (2.6.78)

とおくと，

MD

M4=

(Lpl

L

)(D−4)/(D−2)

(= (Lpl/L)3/4, D = 10). (2.6.79)

M4 = 1019GeV, MD = 1TeVに対して，D = 6のとき

L 1032Lpl 1mm. (2.6.80)

このとき，

1/L 10−4eV. (2.6.81)

また，D = 10のとき，

L 1064/3Lpl ∼ 10−12cm. (2.6.82)

ただし，このとき

1/L ∼ 1GeV. (2.6.83)

Randall-Sundrumモデル (1999)

5次元時空の計量が

ds2 = e2y/ds2(X) + dy2 (2.6.84)

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第 2章 宇宙論 61 目次へ

と表される．いま，我々が４次元の y = 0面上に局在するとして，５次元時空の0 ≤ y ≤ y0の領域を考えると，

SD VY2κ2

D

∫X

d4x√−g 4R, (2.6.85)

VY =

2e2y0/ (2.6.86)

となる．よって，４次元の重力定数は

M4

M5

∼(

Lpl

)1/3

e2y0/(3). (2.6.87)

したがって，M5 ∼ 1/ ∼ 1TeVとしても

y0/ 37 (2.6.88)

と取れば，M4 = 1019GeV.

例えば，

ds2 = dy2 + e2y/dx · dx (2.6.89)

はΛ = −6/2のAdS5となる．

ブラックストリング解: 計量を

ds2n+1 = dy2 +W (y)2ds2(Xn) (2.6.90)

とおく．このとき，(n+ 1)次元における真空Einstein方程式

n+1RMN =2Λ

n− 1gMN (2.6.91)

は次のようになる．まず，y = const面の外部曲率は

Kµν =

W ′

Wδµν . (2.6.92)

これより，

K ′ = −KµνK

νµ − n+1R0

0

⇒ n

(W ′

W

)′= −n

(W ′

W

)2

− 2Λ

n− 1, (2.6.93a)

(Kµν )′ = − n+1Rµ

ν +W−2Rµν −KKµ

ν

⇒(W ′

W

)′δµν = W−2Rµ

ν (X) −(

2Λ

n− 1+ n

(W ′

W

)2)δµν , (2.6.93b)

−W−2R(X) +K2 −KµνK

νµ = 2 n+1Gnn

⇒ −W−2R(X) + n(n− 1)

(W ′

W

)2

= −2Λ, (2.6.93c)

∇νKνµ −∇µK = 0. (2.6.93d)

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第 2章 宇宙論 62 目次へ

最後の式は常に成り立つ．よって，

W ′′

W+

2Λ

n(n− 1)= 0, (2.6.94a)

Rµν (X) =

[(n− 1)(W ′)2 +

2Λ

nW 2

]δµν . (2.6.94b)

第２式の左辺は xのみの関数，右辺は yのみの関数．これより，

Rµν(X) = (n− 1)λgµν(X), (2.6.95a)

(W ′)2 +2Λ

n(n− 1)W 2 = λ. (2.6.95b)

このとき，第１式は成り立つ．ただし，Λ ≥ 0のとき λ ≥ 0．例えば，Λ < 0, λ = 0

のとき，(W ′

W

)2

=1

2; Λ = −n(n− 1)

22. (2.6.96)

すなわち，yを適当に取れば，

W = e2y/. (2.6.97)

よって，Xnにおける任意の真空解 gµν(x)に対して一意的に (n+ 1)次元解が存在．特に，Xn上のブラックホール解に対応するこの解をブラックストリング解とよぶ．

ワープしたコンパクト化 計量が

ds2(Mn+4) = W (y)2ds2(X4) + ds2(Yn) (2.6.98)

とすると，

R(M) = W−2R(X) +R(Y ) − 8YW

W− 12

(DYW )2

W 2. (2.6.99)

これより

S(M) =1

2κ2n+4

∫M

dn+4x√

−g(M)R(M)

=1

2κ2n+4

∫d4x

√g (AR(X) +B) . (2.6.100)

ここで，

A =

∫Y

dny√γW 2, (2.6.101a)

B =

∫Y

dny√γ(W 2R(Y ) − 4(DYW )2

). (2.6.101b)

よって，

1

κ2=

A

κ2n+4

. (2.6.102)

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第 2章 宇宙論 63 目次へ

いま，我々が y = y0の部分空間にすんでいるとしてW (y0) = 1と規格化したときのW (y)の最大値をWm，Y 空間のスケールをL，κ2

n+4 ∼ Ln+2とすると，

L ∼WmLpl (2.6.103)

を得る．したがって，ワープ因子Wmが十分大きいと，高次元の物理を特徴づけるスケールLと４次元のPlanckスケールの間に大きな違いを生み出すことができる．

Israelの接続条件: (n+ 1)次元時空 (Mn+1, gMN)内の時間的超曲面をΣとし，Σ

に関するGauss正規座標系を (y, xµ)とする：

ds2 = dy2 + gµν(y, x)dxµdxν . (2.6.104)

このとき，(n + 1)分解の公式より

Gµν = Gµ

ν −KKµν +

1

2(K2 +Kα

βKβα)δµν − ∂y(K

µν −Kδµν ). (2.6.105)

T µν がΣ上に δ-関数的分布をもちKµν が有界，gµν が yに関して連続とすると，こ

の式を yについて積分して，

[Kµν −Kδµν ] = −

∫ ε

−εdyGµ

ν = −κ2

∫ ε

−εdyT µν = −κ2T µν . (2.6.106)

よって，

[Kµν ] = −κ2

(T µν − T

n− 1δµν

). (2.6.107)

RSモデルにおけるZ2ブレインの運動： 時空

ds25 = dy2 +W 2dx · dx; W = ey/ (2.6.108)

のChristoffel symbolは

5Γµyν =1

δµν ,

5Γyµν = −W2

ηµν . (2.6.109)

この時空内の時間的超曲面Σ : t = t(τ), y = y(τ)に誘導される計量は

ds24 = −dτ 2 + a2dx · dx, (2.6.110)

a = W (y(τ)), (2.6.111)

W 2t2 − y2 = 1. (2.6.112)

この面の x = const方向の未来向き単位接ベクトル uおよび単位法ベクトルは

u = (t, y, 0), n = ∓(W−1y,W t, 0). (2.6.113)

Σが Z2対称変換の対称面とすると，

[Kµν ] = 2Kµ

ν (2.6.114)

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第 2章 宇宙論 64 目次へ

より，Σ内のエネルギー運動量テンソル T µν が空間的に一様等方として，Israelの接続条件は

Kττ =

κ25

6(2ρ+ 3P ), (2.6.115a)

Kij = −κ

25

6ρδij . (2.6.115b)

ここで，

Kµν = 5∇µnν (2.6.116)

より，

Kij = ∓at

δij. (2.6.117)

よって，

at

= ±κ

25

6ρ. (2.6.118)

一方，(a

a

)2

=y2

2=

1

2(a2t2 − 1

). (2.6.119)

ゆえに

(a

a

)2

=1

2

((ρ

ρ0

)2

− 1

). (2.6.120)

ここで，

ρ0 = ± 6

κ25. (2.6.121)

いま，

ρ = ±(|ρ0| + ρm) (2.6.122)

とおくと(a

a

)2

=κ2

3ρm

(1 +

ρm2|ρ0|

). (2.6.123)

ここで，

κ2 =κ2

5

. (2.6.124)

したがって，ブレイン上の宇宙の膨張則は，ρm>∼ |ρ0|で通常のものからずれる．

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第 2章 宇宙論 65 目次へ

一方，Σ上の拘束条件

∇νKνµ −∇µK = 0 (2.6.125)

より，T µν はΣ上で通常のモデルと同じエネルギー方程式

∇νTνµ = 0 (2.6.126)

に従う．特に，今の場合

ρ = −3(ρ+ P )a

a. (2.6.127)

よって，

P = ±(−|ρ0| + Pm) (2.6.128)

とおくと，

ρm = −3(ρm + Pm)a

a. (2.6.129)

例えば，Pm = ρm/3のとき，初期特異点近傍 a ∼ 0で

(a

a

)2

∝ 1

a8⇒ a ∝ t1/4. (2.6.130)

以上の膨張方程式およびエネルギー方程式の解a(τ), ρ(τ)が与えられるとバルク時空におけるブレインの運動は

t = ±a ρρ0, y =

a

a(2.6.131)

より決まる．

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目次へ - 66-

3摂動論

§3.1

背景時空

対称性 : 背景時空は，G = SO(n + 1), SO+(n, 1), ないし ISO(n)(Euclide群)で不変で，その軌道は空間的 n次元部分空間であるとする：

Mn+m ≈ Nm × K n (zM) = (ya, xi). (3.1.1)

計量 :

ds2 = gMNdzMdzN = gab(y)dyadyb + r(y)2dσ2

n. (3.1.2)

ここで，dσ2n = γijdx

idxjは断面曲率Kをもつ n次元定曲率空間の計量である．

エネルギー運動量テンソル : TMN

Tab = Tab(y), Tai = 0, T ij = P (y)δij . (3.1.3)

Einstein方程式 : GMN + ΛgMN = κ2TMN

Gab + Λgab = κ2Tab, (3.1.4a)

Gii = n(κ2P − Λ). (3.1.4b)

Notation : 共変微分

ds2 ⇒ ∇M , ΓMNL(z), RMNLS(z), (3.1.5)

gab(y)dyadyb ⇒ Da,mΓabc(y),mRabcd(y), (3.1.6)

dσ2n ⇒ Di, Γ

ijk(x), Rijkl(x) = K(γikγjl − γilγjk). (3.1.7)

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第 3章 摂動論 67 目次へ

例１ : (Robertson-Walker universe) m = 1のとき，背景時空はRobertson-Walker

宇宙

ds2 = −dt2 + a(t)2dσ2n, (3.1.8)

をあらわし，エネルギー運動量テンソルは

Ttt = ρ, T ti = 0, T ij = Pδij (3.1.9)

となる．また，Einstein方程式は次の２式に帰着される：

H2 :=

(a

a

)2

=2κ2

n(n− 1)ρ− K

a2+

2

n(n− 1)Λ, (3.1.10a)

ρ = −n(ρ + P )a

a. (3.1.10b)

例２ : (Brane-world model) Schwarzschildブラックホール時空はm = 2の場合(G = SO(n+ 1))に当たる．この場合は，ブレインがFRW宇宙を表すようなブレインワールドモデルも含む．

例３ : (m ≥ 3) このケースは，宇宙ひも的な特異部分空間をもつ時空の摂動に対応する．

例４ : (軸対称な時空) n = 1の場合は軸対称な時空と対応する．

§3.2

摂動変数とゲージ自由度

ゲージ自由度 : 時空構造や物質の配位 (M, g, Φ)を固定した背景時空 (M, g,Φ)からの摂動として記述するために, 適当な写像

F : background M → M, (3.2.1)

を用いて背景時空上での摂動変数を次のように定義する：

h := δg = F ∗g − g, (3.2.2a)

φ := δΦ = F ∗Φ − Φ. (3.2.2b)

異なる写像 F ′を取るとこれらの摂動変数は値を変えるが，この値の変化は物理的意味を持たず，一種のゲージ自由度と見なされる．F とF ′は共に微分同相なので，摂動変数の変化は微分同相変換 f = F ′−1F による変数の変換と一致する．線形摂動の枠内では，F の無限小の取り替えのみを考えればよいので，f は無限小変換ξM を用いて

δzM = zM (f(p)) − zM (p) = ξM . (3.2.3)

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第 3章 摂動論 68 目次へ

と表される．対応する摂動変数のゲージ変換は

δh = −L−ξg, (3.2.4a)

δφ = −L−ξΦ. (3.2.4b)

となる．

具体的な変換則 : hMN = δgMN のゲージ変換は

δhab = −Daξb −Dbξa, (3.2.5a)

δhai = −r2Da

(ξir2

)− Diξa, (3.2.5b)

δhij = −Diξj − Djξi − 2rDarξaγij (3.2.5c)

τMN = δTMN のゲージ変換は

δτab = −ξcDcTab − TacDbξc − TbcDaξ

c, (3.2.6a)

δτai = −TabDiξb − r2PDa(r

−2ξi), (3.2.6b)

δτij = −ξaDa(r2P )γij − P (Diξj + Djξi) (3.2.6c)

と表される．

ゲージ自由度を取り除く２つの方法

i) ゲージ固定法：この方法は直接的であるが，異なるゲージ固定で得られる変数の間の関係を具体的に求めるのは一般にはやっかいである．

ii) ゲージ不変な変数を用いる方法：一般に，元の摂動変数によるゲージ不変量の表式は非局所的となる．

これら２つのアプローチは数学的には同等で，ゲージ不変な変数は常にあるゲージ条件での摂動変数と見なすことができる．したがって，ゲージ不変量に対する表式が非局所的となることは，異なるゲージ固定で得られる摂動変数の間の対応が非局所的であることを意味する．

§3.3

テンソルの既約分解

計量の摂動

δgMN = hMN(z). (3.3.1)

物質の摂動

δTab = τab(z), δTai = τai (z), δT ij = τ ij(z). (3.3.2)

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第 3章 摂動論 69 目次へ

テンソル型

i) 空間的スカラ: hab, τab

ii) 空間的ベクトル: hai, τai

iii) 空間的テンソル: hij , τij

ベクトルの既約分解 : DをK 上の共変微分として

vi = Div(s) + v

(t)i ; (3.3.3a)

Div(t)i = 0, (3.3.3b)

v(s) = Divi. (3.3.3c)

テンソルの既約分解 :

tij =1

ntgij + DiDjs− 1

nsgij + Ditj + Djti + t

(tt)ij ; (3.3.4a)

Diti = 0, t

(tt)ii = 0, Dit

(tt)ij = 0, (3.3.4b)

t = tii, (3.3.4c)

( + nK)s =n

n− 1

(DiDjt

ij − 1

nt

), (3.3.4d)

[ + (n− 1)K]ti = (δij − Di−1Dj)(Dmtjm − n−1Djt). (3.3.4e)

既約タイプ :

i) スカラ型: vi = Div(s), tij = 1ntgij + DiDjs− 1

nsgij.

ii) ベクトル型: v = v(t)i , t = Ditj + Djti.

iii) テンソル型: vi = 0, tij = t(tt)i

j .

今考えているK が一様等方な場合には，計量テンソル γij を除くと背景場にベクトル型やテンソル型の量が存在しないので，異なる既約テンソルタイプの変数はEinstein方程式の線形化された式において互いに相互作用しない．

§3.4

テンソル型摂動

3.4.1 Tensor Harmonics

( + k2)Tij = 0; Tii = 0, DjT

ji = 0. (3.4.1)

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第 3章 摂動論 70 目次へ

この定義より，コンパクトな定曲率空間では

2D[iTj]kD[iT j]k = 2Di(TjkD

[iT j]k) + Tjk(− + nK)T jk, (3.4.2a)

2D(iTj)kD(iT j)k = 2Di(TjkD

(iT j)k) + Tjk(−− nK)T jk. (3.4.2b)

これより，

k2 ≥ n|K| (3.4.3)

が得られる．例えば，K n = Sn（単位球面, K = 1）のとき，

k2 = (+ n− 1) − 2, ( = 2, 3, · · · ) (3.4.4)

3.4.2 調和テンソル展開

Tensor harmonicsを用いて，計量とエネルギー運動量テンソルのテンソル型摂動は，次のように展開される：

hab = 0, hai = 0, hij = 2r2HTTij , (3.4.5)

τab = 0, τai = 0, τ ij = τTTij , (3.4.6)

3.4.3 ゲージ不変量

座標変換はテンソル型の成分を持たないので，摂動変数HT と τT はそのままでゲージ不変である：

ξM = δzM = 0; (3.4.7a)

δHT = 0, δτT = 0. (3.4.7b)

3.4.4 Einstein方程式

(i, j)-成分のみがテンソル成分を持つ：

−HT − n

rDr ·DHT +

k2 + 2K

r2HT = κ2τT . (3.4.8)

ここで， = DaDaはm次元時空N 上のD’Alembertianである.

3.4.5 RW宇宙でのテンソル型摂動

ds2 = −dt2 + a2(t)dσ2n. (3.4.9)

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第 3章 摂動論 71 目次へ

より，r = a(t)． τT = 0の場合には

HT + na

aHT +

k2 + 2K

a2HT = 0. (3.4.10)

これは

(an/2HT

)..+

[k2 + 2K

a2− n

2

a

a− n(n− 2)

4

(a

a

)2] (an/2HT

)= 0 (3.4.11)

と同等．また，関係式

2a

a+ (n− 2 + nw)

[(a

a

)2

+K

a2

]= 0; w = P/ρ, (3.4.12)

を用いると，この式は次のようにも書き換えられる．

(an/2HT

)..+

[k2 + 2K

a2+n2w

4

(a

a

)2

+n(n− 2 + nw)K

4a2

] (an/2HT

)= 0.

(3.4.13)

したがって，HT は，k/a,√|K|/a a/aとなる superhorizonモードに対して,

HT A+B

∫dt

an, (3.4.14)

subhorizonモードに対して

HT a−(n−1)/2(C cos Ω +D sin Ω); Ω = k

∫dt

a. (3.4.15)

と振る舞う．

§3.5

ベクトル型摂動

3.5.1 ベクトル型harmonics

Harmonic vector :

( + k2)Vi = 0; DiVi = 0. (3.5.1)

Harmonic tensor :

Vij = − 1

2k(DiVj + DjVi); (3.5.2)[

+ k2 − (n+ 1)K]

Vij = 0, (3.5.3)

Vii = 0, DjV

ji =

k2 − (n− 1)K

2kVi. (3.5.4)

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第 3章 摂動論 72 目次へ

n次元 Einstein空間

Rij = (n− 1)Kgij (3.5.5)

の上では，

2D[iVj]D[iV j] = 2Di(VjD

[iV j]) + Vj [− + (n− 1)K]V j, (3.5.6a)

2D(iVj)D(iV j) = 2Di(VjD

(iV j)) + Vj [−− (n− 1)K]V j . (3.5.6b)

これより，kのスペクトルは

k2 ≥ (n− 1)|K| (3.5.7)

となる．特に，K n = Snに対して，

k2 = (+ n− 1) − 1, ( = 1, 2, · · · ). (3.5.8)

ただし，次の固有値に対する調和ベクトル場ViはKillingベクトルと一致し，例外的である．

k2 = (n− 1)K > 0 ⇒ Vij ≡ 0. (3.5.9)

3.5.2 Harmonic expansion

計量およびエネルギー運動量テンソルのベクトル型摂動は次のように展開される：

hab = 0, hai = rfaVi, hij = 2r2HTVij, (3.5.10)

τab = 0, τai = rτaVi, τij = τTV

ij . (3.5.11)

3.5.3 ゲージ不変量

ベクトル型摂動量のゲージ変換は

ξa = 0, ξi = rLVi; (3.5.12)

δfa = −rDa

(L

r

), δHT =

k

rL, δτa = 0, δτT = 0. (3.5.13)

で与えられるので，基本ゲージ不変量は次のようになる：

generic modes: τa, τT , Fa = fa +r

kDaHT (3.5.14)

exceptional modes: τa, F(1)ab = rDa

(fbr

)− rDb

(far

)(3.5.15)

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第 3章 摂動論 73 目次へ

3.5.4 Einstein方程式

Generic modes :

1

rn+1Db

[rn+2

Db

(Far

)−Da

(Fbr

)]− k2 − (n− 1)K

r2Fa = −2κ2τa,

(3.5.16a)

k

rnDa(r

n−1F a) = −κ2τT . (3.5.16b)

Exceptional modes : k2 = (n− 1)K > 0.

1

rn+1Db

(rn+1F

(1)ab

)= −2κ2τa. (3.5.17)

3.5.5 RW宇宙でのベクトル型摂動

(ρ+ P )V = −τt, σg = Ft, πT = τT , (3.5.18)

とおくと，Einstein方程式は

2κ2a2(ρ+ P )V = −[k2 − (n− 1)K]σg, (3.5.19a)

k(an−1σg).

= κ2anπT . (3.5.19b)

と表される．したがって，RW宇宙におけるベクトル型摂動は，非等方圧力摂動πT による生成が起きないときには，常に宇宙膨張に伴って急速に減衰する．

§3.6

スカラ型摂動

3.6.1 スカラ型Harmonics

( + k2)S = 0. (3.6.1)

Harmonic vector:

Si = −1

kDiS, (3.6.2)

[ + k2 − (n− 1)K]Si = 0, (3.6.3)

DiSi = kS. (3.6.4)

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第 3章 摂動論 74 目次へ

Harmonic tensor:

Sij =1

k2DiDjS +

1

nγijS, (3.6.5)

Sii = 0, DjS

ji =

n− 1

n

k2 − nK

kSi, (3.6.6)

[ + k2 − 2nK]Sij = 0. (3.6.7)

K nがコンパクトEinstein空間

Rij = (n− 1)Kgij

のとき，Qijを

Qij := DiDjY − 1

ngijY

とおくと，

QijQij = Di(DiY DiDjY−Y DiY−RijD

jY )+Y [( + (n− 1)K)]Y−1

n(Y )2.

これより，kのスペクトルは

k2 ≥nK K > 0

0 K ≤ 0(3.6.8)

特に，K n = Snに対しては，

k2 = (+ n− 1), ( = 0, 1, 2, · · · ). (3.6.9)

また，K > 0に対しては次の例外モードが存在する：

i) k = 0: Si ≡ 0, Sij ≡ 0.

ii) k2 = nK: Sij ≡ 0.

3.6.2 Harmonic expansion

計量テンソルとエネルギー運動量テンソルに対するスカラ型摂動は次のように展開される：

hab = fabS, hai = rfaSi, hij = 2r2(HLγijS +HTSij), (3.6.10)

τab = τabS, τai = rτaSi, τ

ij = δP δijS + τTS

ij . (3.6.11)

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第 3章 摂動論 75 目次へ

3.6.3 ゲージ不変量

スカラ型摂動変数の一般モード (k2(k2 −nK) > 0)に対するゲージ変換は次のようになる：

ξa = TaS, ξi = rLSi; (3.6.12)

δfab = −DaTb −DbTa, (3.6.13a)

δfa = −rDa

(L

r

)+k

rTa, (3.6.13b)

δHL = − k

nrL− Dar

rTa, (3.6.13c)

δHT =k

rL, (3.6.13d)

δτab = −T cDcTab − TacDbTc − TbcDaT

c, (3.6.13e)

δτa =k

r(TabT

b − PTa), (3.6.13f)

δ(δP ) = −T aDaP , (3.6.13g)

δτT = 0. (3.6.13h)

これより，

δXa = Ta; (3.6.14)

Xa =r

k

(fa +

r

kDaHT

). (3.6.15)

したがって，基本ゲージ不変量は，τT および

F = HL +1

nHT +

1

rDarXa, (3.6.16a)

Fab = fab +DaXb +DbXa, (3.6.16b)

Σab = τab + T cbDaXc + T caDbXc +XcDcTab, (3.6.16c)

Σa = τa − k

r(T baXb − PXa), (3.6.16d)

Σ = δP +XaDaP . (3.6.16e)

で与えられる．

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第 3章 摂動論 76 目次へ

3.6.4 Einstein方程式

δGab:

−Fab +DaDcFcb +DbDcF

ca

+nDcr

r(−DcFab +DaFcb +DbFca) + mRc

aFcb

+mRcbFca − 2mRacbdF

cd +

(k2

r2− R + 2Λ

)Fab

−DaDbFcc − 2n

(DaDbF +

1

rDarDbF +

1

rDbrDaF

)

−[DcDdF

cd +2n

rDcrDdFcd

+

(−mRcd +

2n

rDcDdr +

n(n− 1)

r2DcrDdr

)Fcd

−2nF − 2n(n+ 1)

rDr ·DF + 2(n− 1)

k2 − nK

r2F

−F cc −

n

rDr ·DF c

c +k2

r2F cc

]gab = 2κ2Σab, (3.6.17)

δGai :

k

r

[− 1

rn−2Db(r

n−2F ba) + rDa

(1

rF bb

)+ 2(n− 1)DaF

]= 2κ2Σa, (3.6.18)

Trace-free part of δGij:

− k2

2r2[2(n− 2)F + F a

a ] = κ2τT , (3.6.19)

δGii:

−1

2DaDbF

ab − n− 1

rDarDbFab +

[1

2mRab

−(n− 1)(n− 2)

2r2DarDbr − (n− 1)

DaDbr

r

]Fab

+1

2F c

c +n− 1

2rDr ·DF c

c −n− 1

2n

k2

r2F cc

+(n− 1)F +n(n− 1)

rDr ·DF

−(n− 1)(n− 2)

n

k2 − nK

r2F = κ2Σ. (3.6.20)

例外モード k2 = nK > 0に対しては，第３式は存在せず， またモード k2 = 0に対しては第２式と第３式が存在しない．他の方程式はそのままで成立するが，上記の変数はゲージ不変ではない．

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第 3章 摂動論 77 目次へ

3.6.5 エネルギー運動量保存則

δ(∇M TMi ) = 0:

1

rn+1Da(r

n+1Σa) − k

rΣ +

n− 1

n

k2 − nK

krτT

+k

2r(T abFab − PF a

a ) = 0. (3.6.21)

δ(∇M TMa ) = 0:

1

rnDb

[rn(Σb

a − T caFbc )]

+k

rΣa − n

Dar

rΣ

+T baDbF − PDaF +1

2

(T baDbF

cc − T bcDaFbc

)= 0. (3.6.22)

これらの方程式が成り立つという条件下で，Einstein方程式の第４式は残りの式の線形結合となる．さらに，Einstein方程式の第２式と第３式が成り立つことを要求すると，第１式のうちm(m− 1)/2個の成分のみが独立となる．ただし，具体的にそれらの独立な成分を取り出すことは一般には難しい．

3.6.6 長波長極限

単純に考えると，長波長極限におけるゆらぎは，背景時空の一様な摂動により記述されると思われる．しかし，空間的に一様な背景時空の力学的自由度は，一般に k = 0のゆらぎの力学的自由度より小さい．これは，長波長極限でのゆらぎと背景時空の一様な摂動とが一対一に対応していないことを意味している．

Longitudinal gauge : この対応を見るためには，

fa = 0, HT = 0, (3.6.23)

で定義される longitudinalゲージを用いるのが便利である．その理由は，一様摂動，すなわち k = 0の摂動モードがこの条件を満たしているからである．一様摂動に対しては，さらに

τa = 0 (3.6.24)

が成り立つ．Longitudinalゲージは，k = 0のモードに対して，ゲージを完全に固定し，基本ゲージ不変量は摂動変数により次のように表される．

F = HL, Fab = fab, (3.6.25a)

Σab = τab, Σa = τa, Σ = δP . (3.6.25b)

これらの変数で表すと，摂動方程式Eqs.(3.6.17)-(3.6.20)に現れる kはすべて正のべきを持つ．したがって，これらの方程式に対する任意の解の k → 0極限は，同じ極限においてΣaが

Σa = O(k) (3.6.26)

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第 3章 摂動論 78 目次へ

と振る舞い，かつ他の変数が有限な極限を持つ場合には，背景時空の一様等方な摂動に対する方程式の解を与える．

微妙な点 :

1) (3.6.18)と (3.6.19)はk = 0モードに対しては存在しない．したがって，k → 0

極限は，k = 0モードに対する方程式に加えて，つぎの２つの方程式を満たさねばならない．

− 1

rn−2Db(r

n−2F ba) + rDa

(F bb

r

)+ 2(n− 1)DaF = 2rn−2ζa;

ζa = κ2 limk→0

rΣa

k, (3.6.27a)

2(n− 2)F + F aa = −2r2κ2 lim

k→0

τTk2. (3.6.27b)

2) k = 0モードに対して，F, Fab,ΣabおよびΣは個別にはゲージ不変ではなく，次のゲージ自由度を持つ：

δFab = −DaTb −DaTb, (3.6.28a)

δF = −Dar

rT a, (3.6.28b)

δΣab = −T aDcTab − TacDbTc − TbcDaT

c. (3.6.28c)

δΣ = −T aDaP . (3.6.28d)

k = 0摂動モードに対するゲージ条件 : 以後，

τT = 0. (3.6.29)

を仮定する．この仮定の下で，条件 (3.6.27b)は

2(n− 2)F + F aa = 0. (3.6.30)

と表される．ゲージ変換則

δ[2(n− 2)F + F aa ] = − 2

rn−2Da(r

n−2T a), (3.6.31)

より，条件 (3.6.30)を k = 0摂動に対するゲージ条件として課すことができる．このとき，条件 (3.6.27a)は

−Db(rn−2F b

a) + 2Da(rn−2F ) = 2rn−2ζa. (3.6.32)

と表される．

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第 3章 摂動論 79 目次へ

力学的自由度 : Σaが流体の速度などのベクトル型の独立な力学自由度に対応する場合には，(3.6.32)は単に，k → 0極限における Σaの振る舞いを k = 0モードの変数で表す式となる．したがって，ゲージ条件 (3.6.30)を満たす各 k = 0摂動は，k = 0モードに対する摂動方程式の解の k → 0極限を与える．特に，(3.6.30)

を保つ k = 0摂動に対するゲージ自由度 T aは，k → 0極限でのゲージ不変な力学自由度の一部と対応する．この自由度の数はm− 1となる．Da(r

n−1ζa)は有限で，Bianchi恒等式（ないしエネルギー運動量保存則）より k = 0モードに対する摂動変数で表されるので，m−1はちょうど ζaのうち k = 0モードの変数で決まらない自由度の数と一致する．これに対して，物質がスカラ場からなる場合のように，Σaが有限な k → 0極限を持つ他の変数で完全に表される場合には，(3.6.32)

は k = 0摂動に対する付加的な条件となる.

3.6.7 RW宇宙でのスカラ型摂動

スカラ型摂動 :

ds2 = −(1 + 2αS)dt2 − 2aβSidtdxi + a2[γij + 2HLSγij + 2HTSij ]dx

idxj ,(3.6.33)

δT tt = −δρS, δT ti = (ρ + P )(v − β)Si, δTij = δPSδij + πTS

ij . (3.6.34)

一般公式との対応 :

r = a, (3.6.35a)

ftt = −2α, ft = −β, (3.6.35b)

τtt = δρ+ 2αρ, τ t = −(ρ + p)(v − β), τT = πT , (3.6.35c)

Xt =a

kσg; σg = −β +

a

kHT , (3.6.36a)

F = R − a

kσg = Φ; R = HL +

1

nHT , (3.6.36b)

F tt = 2α− 2

(akσg

).= 2Ψ, (3.6.36c)

Σtt = ρ∆s + 2ρΨ, (3.6.36d)

Σt = (ρ + P )(v − a

kHT

)= (ρ + P )V, (3.6.36e)

Σ = Γ + c2sρ∆s, (3.6.36f)

ここで

ρ∆s = δρ− a

kσgρ, (3.6.37)

Γ = δP − c2sδρ. (3.6.38)

Einstein方程式は次のようになる．

(tt)-component:

na

aΦ +

k2 − nK

a2Φ − n

(a

a

)2

Ψ =κ2

n− 1ρ∆s. (3.6.39)

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第 3章 摂動論 80 目次へ

(ti)-component:

k

a

(Φ − a

aΨ

)= − κ2

n− 1(ρ+ P )V. (3.6.40)

(ij)-component:

Φ + na

aΦ +

n− 2

n

k2 − nK

a2Φ +

[k2

na2− (n− 2)

(a

a

)2

− 2a

a

]Ψ

=κ2

n− 1(Γ + c2sρ∆s), (3.6.41)

(n− 2)Φ + Ψ = −a2

k2κ2πT . (3.6.42)

(3.6.39)-(3.6.40)は Poisson方程式を与える：

k2 − nK

a2Φ =

κ2

n− 1ρ∆. (3.6.43)

ここで，

ρ∆ = ρ∆s + n(ρ + P )a

kV = δρ− a

kρ(v − β). (3.6.44)

これらの方程式は，密度および速度の摂動に対する閉じた発展方程式を与える：

(anρ∆). = −CKan−1k(ρ + P )V − (n− 1)CKan−1aπT , (3.6.45a)

(ρ+ P )(aV ). = k(c2sρ∆ + Γ) + k(ρ + P )Ψ − kCKn− 1

nπT . (3.6.45b)

ここで，CK = 1 − nK/k2である．また，Ψは (3.6.42)-(3.6.44)を用いると ρ∆により表される.

3.6.8 断熱モード

∆の方程式 :

d2

da2(fanρ∆) +

1

a2

[CKc

2s

(k

aH

)2

− n− 2

n− 1

κ2(ρ+ P )

H2− a2faa

f

](fanρ∆) = 0.

(3.6.46)

ここで，

f =

(H

an−3(ρ+ P )

)1/2

. (3.6.47)

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第 3章 摂動論 81 目次へ

Subhorizon scaleの摂動 : csk/aH 1, csk K のとき，WKB近似を適用して，

fanρ∆ ∼(kcsa2H

)−1/2

exp i

∫da

csk

a2H(3.6.48)

より，

∆ (

1 + w

csan+1ρ

)1/2

(A cos θ +B sin θ); (3.6.49)

θ = k

∫dt

acs. (3.6.50)

たとえば，物質が輻射とダストからなるとき，

• 輻射優勢時：w c2s = 1/n, ρ ∝ 1/an+1 ⇒ ∆の振幅は一定．

• 物質優勢時 (decouplingの前)：w, c2s ∝ 1/a, ρ ∝ 1/an ⇒ ∆の振幅∝ 1/a1/4.

• 物質優勢時 (decouplinの後): ∆ ∝ an−2.

• 曲率優勢時： ∆は一定．

曲率優勢時の振る舞い : w = c2s = 0, K < 0のもとで，曲率優勢時には

H2 −Ka2, f ∝ a (3.6.51)

より，

d2

da2(fanρ∆) 0. (3.6.52)

よって，

∆ C1 +C2

a. (3.6.53)

Superhorizon scale の摂動 : |K|/(H2a2) 1, k |K|, πT = 0を仮定．このとき，

A := A− (R/H). = Ψ − (Φ/H)., (3.6.54)

Z := R − aH

k(v − B) = Φ − aH

kV (3.6.55)

とおくと，摂動方程式より

A = −n2

(1 + w)Z, (3.6.56)

Z

H= − 2c2s

n(1 + w)

(k

aH

)2

Φ − Γ

ρ+ P(3.6.57)

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第 3章 摂動論 82 目次へ

を得る．これより，Γ = O(∆) = O((k2/a2)Φ)を仮定すると，

Z

H= O

(c2s

k2

a2H2

)(3.6.58)

となる．これより，superhorizon scale c2s(k/aH)2 1では，Zは定数となる．一方，Ψ = −(n− 2)ΦとA の定義より，

A = − 1

an−2

(an−2Φ

H

).. (3.6.59)

これをΦについて解くと，

Φ =H

an−2

[C +

n

2

∫dt(1 + w)an−2Z

]. (3.6.60)

また，

∆ =1

n

(k

aH

)2

Φ, V = − k

aH(Z − Φ). (3.6.61)

H = −n2

(1 + w)H2 (3.6.62)

を用いると，これらの表式は次のように書き換えられる：

Φ CH

an−2+ Z

(1 − (n− 2)

H

an−2

∫daan−3

H

), (3.6.63a)

∆ Ck2

nHan+

1

n

(k

aH

)2

Z

(1 − (n− 2)

H

an−2

∫daan−3

H

), (3.6.63b)

V Ck

an−1H− (n− 2)Z

k

an−1

∫daan−3

H. (3.6.63c)

たとえば，w =一定とすると，

ρ ∝ a−n(1+w) ⇒ H ∝ a−n(1+w)/2 (3.6.64)

および∫daan−3

H=

2

n(3 + w) − 4

an−2

H(3.6.65)

より，

Φ CH

an−2+

n(1 + w)

n(3 + w) − 4Z, (3.6.66a)

∆ Ck2

nanH+

1 + w

n(3 + w) − 4

(k

aH

)2

Z, (3.6.66b)

V Ck

an−1H− 2(n− 2)

n(3 + w) − 4

(k

aH

)Z (3.6.66c)

を得る．

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第 3章 摂動論 83 目次へ

3.6.9 nの固有値

K = 1のとき，Snの Laplaciannは

n =1

sinn−1 χ

d

dχ

(sinn−1 χ

d

dχ

)+

1

sin2 χn−1

= (1 − x2)d2

dx2− nx

d

dx+

1

1 − x2n−1. (3.6.67)

ここで，x = cosχ．したがって，固有値方程式nu = −λnuは

(1 − x2)d2u

dx2− nx

du

dx+

(λn − λn−1

1 − x2

)u = 0. (3.6.68)

この解は，

u = (1−x2)−n−2

4+ µ

2

[AF

(ν + µ+ 1

2,µ− ν

2,1

2; x2

)+BxF

(ν + µ

2+ 1,

µ− ν

2+ 1,

3

2; x2

)].

(3.6.69)

ここで，

µ2 = λn−1 +

(n− 2

2

)2

, (3.6.70)

λn = ν(ν + 1) − n(n− 2)

4. (3.6.71)

この解に現れる超幾何関数F (α, β, γ; z)に対して，α + β − γ = µ > 0より，

z → 1 : F ∼ Γ(µ)Γ(γ)

Γ(α)Γ(β)

1

(1 − z)µ. (3.6.72)

ここで，uのノルムは

‖u‖2 =

∫dχ sinn−1 χ|u|2 (3.6.73)

となるので，nの自己共役性より

x→ ±1 : sinn−1 χudu

dχ→ 0 ⇒ (1 − x2)

n−24 u→ 0. (3.6.74)

したがって，上記の解が固有関数となるのは，αないし βが Γ関数の極となっているとき．これより，

ν = µ+m : m = 0, 1, 2, · · · (3.6.75)

を得る．すなわち，

λn = (µ+m)(µ+m+ 1) − n(n− 2)

2(3.6.76)

となる．これを帰納的に解くと，

λn = ln(ln + n− 1), (3.6.77a)

µ = ln−1 +n− 2

2, (3.6.77b)

ln = ln−1 +m : m = 0, 1, · · · (3.6.77c)

を得る．

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目次へ - 84-

4ブラックホール

§4.1

Einsteinブラックホール

定義 : 時空が d次元等長変換群Gをもち，その軌道が n次元の空間的面，時間的面，光的面となるとき，それぞれGd(n, S)型，Gd(n, T )型，Gd(n,N)型の対称性を持つという．

4.1.1 一般化された球対称時空

計量 : 計量が

ds2 = gab(y)dyadyb + r2(y)dσ2n(K ) (4.1.1)

と表されるD = n + 2次元時空を考える．ここで

dσ2n(K ) = γAB(z)dzAdzB (4.1.2)

は n次元 Einstein空間

RAB(K ) = (n− 1)KγAB (4.1.3)

である．Gn(n+1)/2(n, S)型の対称性を持つときは，時空計量は常にこの形で表され，K nは断面曲率Kの定曲率空間となる．ただし，n ≤ 3のときは Einstein空間は常に定曲率空間となる．

Einsteinテンソル :

Gab = −nrDaDbr −

(n(n− 1)

2

K − (Dr)2

r2− n

rr

)gab, (4.1.4a)

GAB =

[−1

22R− (n− 1)(n− 2)

2

K − (Dr)2

r2+n− 1

rr

]δAB (4.1.4b)

GaA = 0. (4.1.4c)

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第 4章 ブラックホール 85 目次へ

Weylテンソル :

Cab =n− 1

n+ 1Xdya ∧ dyb, (4.1.5a)

CaA = − n− 1

n(n + 1)Xdya ∧ dzA, (4.1.5b)

CAB =2

n(n + 1)XdzA ∧ dzB +

1

r2CAB(K ). (4.1.5c)

ここで，

X =1

22R +

rr

+K − (Dr)2

r2. (4.1.6)

また，CAB(K )はK のWeyl曲率形式．

４次元時空 : 特に，D = 4のとき

+C ab =X

3εab(−θ0 ∧ θ1 + iθ2 ∧ θ3), (4.1.7a)

+C AB =i

2εABεab

+C ab, (4.1.7b)

+C aA = −X6

(θa ∧ θA − i

2εabεABθ

b ∧ θB)

(4.1.7c)

より，

Q11 =X

3, Q1A = 0, QAB = −X

6δAB. (4.1.8)

よって，４次元球対称時空は常にPetrovタイプDで

Ψ2 = −X6. (4.1.9)

4.1.2 Birkhoffの定理

Einstein-Maxwell系 : n+ 2次元時空での電磁場に対する作用積分は

SEM = −∫dn+2x

√|g|1

4FµνF

µν (4.1.10)

で与えられるので，そのエネルギー運動量テンソルは

Tµν = − 2√|g|δSEMδgµν

= FµλFνλ − 1

4gµνFαβF

αβ. (4.1.11)

【命題 4.1.1】 　Gn(n+1)/2(n, S)型の対称性を持つ n+ 2次元時空における自由電磁場に対する電磁テンソルは次式で与えられる：

F = Edy0 ∧ dy1 +1

2FABdz

A ∧ dzB; (4.1.12)

E =qern, (4.1.13)

FAB =

qmr2εAB; n = 2

0; n > 2(4.1.14)

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第 4章 ブラックホール 86 目次へ

対応するエネルギー運動量テンソルは

Tab = − q2

2r2ngab, TAB =

q2

2r2ngAB (4.1.15)

となる．ただし，q2 = q2e + q2

m．

Proof. n > 2のとき，n次元定曲率空間上に不変な反対称２階テンソル場は存在しないので，FAB = 0．n = 2の時は，FAB = BεAB . まず，

dF =1

2∂a(r

nB)(εAB/rn)dya ∧ dzA ∧ dzB = 0 (4.1.16)

より，

B =qmrn. (4.1.17)

さらに，一般に反対称テンソルF µνに対して

∇νFµν =

1√−g∂ν(√−gF µν

)(4.1.18)

が成り立つことより，残りのMaxwell方程式は

∇νFaµ =

1

rnεabDb(r

nE) = 0. (4.1.19)

よって，

E =qern. (4.1.20)

【定理 4.1.2】 　真空 Einstein-Maxwell方程式 (宇宙項 Λ)を満たし，計量が(4.1.1)で与えられる n+ 2次元時空は次のいずれかに限られる．

(1)Schwarzschild/Reissner-Nordstromタイプ (Dr = 0):

ds2 = −N2(r)dt2 +dr2

N2(r)+ r2dσ2

n; (4.1.21)

N2(r) = K − 2M

rn−1− 2Λ

n(n + 1)r2 +

Q2

r2n−2. (4.1.22)

(2)成相解 (Dr = 0): 2次元定曲率時空N 2と n次元 Einstein空間の積

M = N 2 × K n. (4.1.23)

ここで，N 2のRicciスカラを 2R，K nの平均断面曲率をK/r2(K = 0,±1)

とすると，次の関係が成り立つ：

K

r2=

2

n(n− 1)Λ +

Q2

r2n, (4.1.24)

2R =2

nΛ − 2(n− 1)2Q

2

r2n. (4.1.25)

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第 4章 ブラックホール 87 目次へ

Proof. 真空のEinstein方程式

Gµν = −Λgµν + κ2Tµν (4.1.26)

は

DaDbr =

(−n− 1

2

K − (Dr)2

r+ r +

n + 1

2λr

+(n− 1)Q2

2r2n−1

)gab, (4.1.27)

2R = −(n− 1)(n− 2)K − (Dr)2

r2+

2(n− 1)

rr

+n(n + 1)λ− n(n− 1)Q2

r2n. (4.1.28)

ただし，

λ :=2Λ

n(n + 1)(4.1.29)

Q2 =κ2q2

n(n− 1). (4.1.30)

これらは，次の３式と同値：

DaDbr =1

2rgab, (4.1.31)

r = (n− 1)K − (Dr)2

r− (n + 1)λr − (n− 1)Q2

r2n−1, (4.1.32)

2R =n

rr + 2(n+ 1)λ− 2(n− 1)2Q

2

r2n. (4.1.33)

第１式より，

2DbDaDbr = Dar ⇒ Dar = − 2RDar (4.1.34)

となるので，第 2式の微分と第３式より

Da2R = (n + 1)

(− 2R + 2λ+

2(2n− 1)(n− 1)2

n+ 1

Q2

r2n

)Dar

r

⇒ Da[rn+1( 2R − 2λ) + 2(n− 1)(2n− 1)Q2r1−n] = 0. (4.1.35)

よって，

2R = 2λ+ 2n(n− 1)M

rn+1− 2(n− 1)(2n− 1)

Q2

r2n, (4.1.36)

(Dr)2 = N2(r) := K − λr2 − 2M

rn−1+

Q2

r2n−2, (4.1.37)

r = (N2)′. (4.1.38)

ここで，Dr = 0とすると，計量は

ds2 = −V dt2 +dr2

N2+ r2dσ2

n (4.1.39)

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第 4章 ブラックホール 88 目次へ

と表される．このとき，

r = (N2)′ +1

2∂r ln(V/N2) (4.1.40)

より，V/N2は tのみの関数となる．よって，時間の定義を変更することにより，V = N2とできる．一方，Dr ≡ 0とすると，rは定数となり

K

r2=n+ 1

n− 1λ+

Q2

r2n, (4.1.41)

2R = 2(n+ 1)λ− 2(n− 1)2Q2

r2n. (4.1.42)

4.1.3 Schwarzschild BH

計量

ds2 = −N2(r)dt2 +dr2

N2(r)+ r2dΩ2

n; (4.1.43)

N2(r) = 1 − 2M

rn−1. (4.1.44)

Weylテンソル

Ψ2 =n(n+ 1)

12

M

rn+1. (4.1.45)

Future Finkelstein座標 : (v, r)．

r∗ =

∫dr

N2(r), (4.1.46)

v = t+ r∗ (4.1.47)

とおくと，

ds2 = 2dvdr −N2(r)dv2 + r2dΩ2n (4.1.48)

より，時空は r > rH(rn−1H = 2M)から r > 0に解析的に正則に拡張される．ξ = ∂t

とおくと，

ξ = ∂v (4.1.49)

より，

k = −∂r, l = ∂v +1

2N2(r)∂r (4.1.50)

は，r > rH において未来向きの nullベクトル：

ξ · k = −1, ξ · l = −1

2N2(r), (4.1.51)

k · k = l · l = 0, k · l = −1. (4.1.52)

よって，r = rH 面は r > rH の領域にとって future null面 (future horizon)．

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第 4章 ブラックホール 89 目次へ

図 4.1: Future Finkelstein座標

Past Finkelstein座標 : (u, r)．

u = t− r∗ (4.1.53)

とおくと，

ds2 = −2dudr −N2(r)du2 + r2dΩ2n (4.1.54)

より，時空は r > rH(rn−1H = 2M)から r > 0に解析的に正則に拡張される．

ξ = ∂u (4.1.55)

より，

k = ∂r, l = ∂u − 1

2N2(r)∂r (4.1.56)

は，r > rH において未来向きの nullベクトル：

ξ · k = −1, ξ · l = −1

2N2(r), (4.1.57)

k · k = l · l = 0, k · l = −1. (4.1.58)

よって，r = rH 面は r > rH の領域にとって past null面 (past horizon)．

図 4.2: Past Finkelstein座標

Szekeres座標 : (U, V )．4次元時空 (n = 2)において，Null座標 (u, v)を用いると計量は

ds2 = −N2(r)dudv + r2dΩ22. (4.1.59)

今，r > rH = 2M において

U = −2Me−u/4M , V = 2Mev/4M (4.1.60)

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第 4章 ブラックホール 90 目次へ

とおくと，

UV = −2M(r − 2M)er/2M , (4.1.61)

|V/U | = et/2M . (4.1.62)

この座標では計量は

ds2 = −8M

re−r/2MdUdV + r2dΩ2

2, (4.1.63)

となり，

d(UV )

dr= −rer/2M < 0 (4.1.64)

より，出発点の領域 U < 0, V > 0から r > 0に対応する領域 UV < 4M2に解析的に拡張される．

共形図式

U = 2M tanT − R

2, V = 2M tan

T +R

2; (4.1.65)

|T −R| < π, |T +R| < π. (4.1.66)

とおくと，

dUdV =M2

cos2 T−R2

cos2 T+R2

(dT 2 − dR2). (4.1.67)

ここで，

1 − UV

4M2=

cos T

cos T−R2

cos T+R2

(4.1.68)

より，UV < 4M2は |T | < π/2に対応．

r

Singularity: r=0

Singularity: r=0

r = +∞

r = +∞

r = +

∞

r = +

∞r = 2m

r = 2m

black hole

white hole

図 4.3: Szekeres座標

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第 4章 ブラックホール 91 目次へ

4.1.4 ２次元共形図式

Minkowski時空 : 2次元Minkowski時空の計量

ds2 = −dt2 + dx2 (4.1.69)

は null座標

u = t− x, v = t + x (4.1.70)

を用いて表すと，

ds2 = −dudv. (4.1.71)

いま，

u = tanT −X

2, v = tan

T +X

2(4.1.72)

とおくと，元の座標領域−∞ < u, v <∞は，有界なダイヤモンド領域

DM : |T −X| < π, |T +X| < π (4.1.73)

に写され，計量は

ds2 =1

4 cos2 T−X2

cos2 T+X2

(−dT 2 + dX2) (4.1.74)

と表される．元の計量は，測地的に完備なので，時空をこのダイヤモンド領域の外に拡張することはできない．

無限遠 : この共形図式より，２次元Minkowski時空の無限遠は次の３種類の部分から成ることが分かる：

• 空間的無限遠: i0

• 光的無限遠: I ±

• 時間的無限遠: i±

高次元Minkowski時空 : 3次元以上のMinkowski時空の計量は球座標のもとで

ds2 = −dt2 + dr2 + r2dΩ2n (4.1.75)

と書かれる．この計量の２次元部分−dt2 + dr2は，２次元Minkowski時空の計量と一致するので，上で説明した方法で共形図式を作ることができる．ただし，今の場合 r ≥ 0なので，有界領域はDM の半分の三角領域となる：

D′M : |T −X| < π, |T +X| < π, X ≥ 0 (4.1.76)

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第 4章 ブラックホール 92 目次へ

計量は，

ds2 = Ω2[−dT 2 + dX2 + sin2XdΩ2n]; (4.1.77)

Ω =1

2 cos T−X2

cos T+X2

. (4.1.78)

したがって，光的無限遠の位相構造の違いを除いて，無限遠の構造は２次元Minkowski

時空と同じ：

• 空間的無限遠: i0

• 光的無限遠: I ± ≈ R × Sn

• 時間的無限遠: i±

図 4.4: Minkowski時空の共形図式

球対称時空の２次元断面 : 計量

ds2 = −N2(r)dt2 +dr2

N2(r)(4.1.79)

は，null座標

u = t− r∗, v = t + r∗; (4.1.80)

r∗ =

∫dr

N2(r)(4.1.81)

のもとで，

ds2 = −N2(r)dudv (4.1.82)

N2(r)が１次の零点を持つ場合 : N2(r)が r = rH で零となり，r1 < r < r2において

N2(r) = (r − rH)g(r); g(r) > 0 (4.1.83)

と表されるとする (r1 < rH < r2)．このとき，表面重力 κ を

κ =1

2(N2)′(rH) (4.1.84)

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第 4章 ブラックホール 93 目次へ

とおくと，

r∗ =1

2κln 2κ|r − rH | + h(r) (4.1.85)

と表される．ここで，h(r)はなめらかな関数．したがって，

rH < r < r2 ⇔ −∞ < v − u < 2r∗(r2). (4.1.86)

いま，この領域において座標 (U, V )を

U = − 1

2κe−κu, V =

1

2κeκv (4.1.87)

により導入すると，

UV = − 1

2κ(r − rH)eh(r), |V/U | = e2κt (4.1.88)

より，対応する (U, V )の動く範囲は

I : U < 0, V > 0, − 1

2κ(r2 − rH)e2κh(r2) < UV < 0. (4.1.89)

(U, V )座標の元で，計量は

ds2 = −2g(r)

κe−2κh(r)dUdV, (4.1.90)

となり，領域 Iの境界U = 0および V = 0で正則．よって，

d(UV )

dr= − 1

g(r)eh(r) (4.1.91)

となることを考慮すると，時空は領域 Iから領域

D1 : − 1

2κ(r2 − rH)eh(r2) < UV <

1

2κ(rH − r1)eh(r1) (4.1.92)

へ正則に解析接続される．この領域にさらにMinkowski時空と同じ共形写像を施すと，有界ダイアモンド領域DM の T = ±X(UV = 0)を含む部分領域に写される．また，U = 0と V = 0では r = rH となり，それぞれ領域 Iの未来および過去の horizonとなる．

図 4.5: 球対称時空の２次元断面の共形図式

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第 4章 ブラックホール 94 目次へ

f(r)が２次の零点を持つ場合 : N2(r)が r = rH で零となり，r1 < r < r2において

N2(r) = (r − rH)2/g(r); g(r) > 0 (4.1.93)

と表されるとする (r1 < rH < r2)．このとき，

v − u

2= r∗ = − µ

r − rH+ ν ln |r − rH | + h(r − rH). (4.1.94)

ただし，µ = g(rH) > 0, ν = g′(rH)で，h(r − rH)はなめらかな関数．いま，U を

1

2u = − µ

U+ ν ln |U | + h1(U) (4.1.95)

により定義する．ただし，h1(U)は U = 0の近傍では h(U)と一致し，du/dU > 0

かつ，U → −∞で u→ −∞となる関数（常に存在）．このとき，rは (U, v)の関数として領域 I:U ≤ 0,−∞ < v < +∞を含む開領域D2で正則な正値関数で，計量は

ds2 = −N1dUdv; (4.1.96)

N1 = 2(h′1(U) − h′(U))N2(r) +(r − rH)2

U2

2g(U + rH)

g(r)(4.1.97)

と表される．vを一定にして，U → 0の極限を取ると，r → rHかつ (r−rH)/U → −1

となるので，N1(U, v)はD2で正則な正値関数となる．したがって，時空は v =一定曲線に沿って領域 Iから r = rH を越えて解析接続される．r = rH(U = 0)は領域 Iの未来の horizonとなる．

注 : ホライズンでの表面重力 κが零でないとき，領域 Iでホライズンに近づくt =一定曲線の長さは有限となり，端点はホライズンの交点となる．これに対して，κ = 0の場合は，この曲線の長さは無限となる．したがって，この場合の上の議論で uと vの役割を変え，u一定曲線に沿って過去向きに r = rH を越えた解析接続が存在するが，この過去のホライズンと未来のホライズンは交叉できない．

4.1.5 ホライズンと特異点

Killingホライズン : 前節で見たように，真空ないし電磁場のみの存在する球対称時空の計量を静的時間 (Killing時間)を用いて表した (4.1.21)式に現れるN2(r) =

−gtt(r)の零点 r = rHは，時空の特異点でなく，座標系の取り方により生じた見かけの特異点である．このことは，Weylテンソル (4.1.5)が r > 0でなめらかな関数

X = n(n + 1)M

rn+1− n(2n− 1)

Q2

r2n(4.1.98)

に比例していることからも分かる．関数N2(r)は，計量 (4.1.21)のKillingベクトル ξ = ∂tのノルム (の２乗)となっ

ている：

N2(r) = −ξ · ξ. (4.1.99)

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第 4章 ブラックホール 95 目次へ

r = rH面は，N2(rH) = 0より，ちょうどKillingベクトルが接する光的面で，かつその光的接ベクトル (null geodesic generator)とKillingベクトルが平行となっている．このような光的面は，一般にKillingホライズンと呼ばれる．ただし，Killing

ホライズン上で，ξは一般に生成光的測地線のアフィンパラメーターに関する接ベクトルとはなっていない．実際，Killing方程式より，

∇ξξµ = −ξν∇µξν =

1

2∇µN

2 =1

2(N2)′(r)∇µr (4.1.100)

となり，

(∇r)2 = N2(r) (4.1.101)

より r = rH で∇r//ξ となるが，一般に∇µr = 0, (N2)′(r) = 0である．例えば，(v, r)座標では，

ξ = ∂v, ∇r = ∂v +N2(r)∂r (4.1.102)

より，r = rH で ξ = ∇rとなる．同様に，(u, r)座標では ξ = −∇rとなる．したがって，Killingホライズン上では

∇ξξ = ±κξ (4.1.103)

となる．ここで，κ = 12(N2)′(rH)は表面重力強度である．いま，Killingホライズ

ンの生成光的測地線のアフィンパラメータを λ = λ(τ)(ξµ∂µτ = 1)，λに関する接ベクトルを kとおくと，ξ = λkおよび∇kk = 0より κ = 0のとき

λ/λ = ±κ⇒ λ = ae±κτ + b (4.1.104)

を得る．±κ > 0(< 0)のとき，τ → ∞(−∞)で λ→ ±∞となるが，τ → −∞(∞)

では λは有限な値に収束する．これは，Killingホライズンが測地的に完備でないためではなく，Killingホライズンが交叉する２つの面からなり，Killingベクトルξがその交わりでゼロとなることによる．実際，Szekeres型の座標 (U, V )を用いると ξは

ξ = κ(V ∂V − U∂U ) (4.1.105)

となり，Killingベクトルは U = V = 0でゼロとなる．このように，交叉するKillingホライズンは分岐型ホライズンと呼ばれる．これに対して，extrem Reissner-

Nordstromブラックホールのホライズンのようにκ = 0となるKillingホライズンは分岐せず，退化型ホライズンと呼ばれる．

大域的双曲性 : Σを時空領域D内の非因果的超曲面とする．Dの任意の点を通る任意の因果的曲線が十分延長すれば必ずΣと交わるとき，ΣはDのCauchy面といわれる．また，Cauchy面が存在する時空領域は大域的に双曲的であるといわれる．任意の時空M において，任意の非因果的超曲面Σに対してそれをCauchy

面とする最大の領域がD(Σ)が存在する．この時空領域はΣのCauchy発展領域といわれる．Cauchy発展領域は，双曲型偏微分方程式の解がΣ上での初期データにより一意的に定まる最大領域である（解が存在するとは限らない）．

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第 4章 ブラックホール 96 目次へ

Cauchyホライズン : 時空M において，非因果的超曲面 Σの Cauchy発展領域D(Σ)がM と一致しないとき，D(Σ)は境界をもつ．この境界は ΣのCauchy

ホライズンと呼ばれ，H(Σ)と表される．時空が大域的に双曲型でないときには，どのように Σをとっても常にCauchyホライズンが存在する．特に，漸近的に平坦なブラックホール時空では，I ±の近傍を含む極大な大域的双曲型領域の境界を Cauchy ホライズンと呼ぶことが多い．負の質量をもつ Schwarzschild 時空やReissner-Nordstrom時空はCauchyホライズンをもつ．これらの例から分かるように，Cauchyホライズンの存在は（局所的）裸の特異点の存在と結びついている．

4.1.6 静的球対称時空での粒子の運動

時空計量

ds2 = −N2(r)dt2 +dr2

N2(r)+ r2dΩ2

n. (4.1.106)

エネルギー保存 計量が時間推進のKillingベクトル ξ = ∂tをもつことより，自由粒子に対して

E := −u · ξ = −ut = N2t (4.1.107)

は保存される．

等方座標系 ρ座標を

dρ

ρ=

dr

rN(r)(4.1.108)

により定義すると，静的球対称計量は

ds2 = −N2dt2 + h(ρ)2(dρ2 + ρ2dΩ2n) (4.1.109)

と書き直される．ここで，

h(ρ) =r

ρ. (4.1.110)

この ρを用いて，空間座標XI を

XI = ρΩIn (4.1.111)

により導入すると，計量は

ds2 = −N2dt2 + h(ρ)2dX2 (4.1.112)

と表される．例えば，Schwarzschild計量に対しては，2GM = 1となる単位系を取ると

N(r)2 = 1 − 1

rn−1(4.1.113)

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第 4章 ブラックホール 97 目次へ

となるので，ρと rの関係は

ρn−1 =1 +

√1 −N2

1 −√1 −N2

, (4.1.114a)

r =1

ρ

(ρn−1 + 1

2

) 2n−1

(4.1.114b)

となる．特に，ホライズン r = 1は ρ = 1に対応する．また，計量は

ds2 = −(ρn−1 − 1

ρn−1 + 1

)2

dt2 +

(ρn−1 + 1

2ρn−1

) 4n−1

(dρ2 + ρ2dΩ2n) (4.1.115)

となる．この計量は，

X =

(1

2

) 2n−1

ρΩ (4.1.116)

とおくと，

ds2 = −(ρn−1 − 1

ρn−1 + 1

)2

dt2 +

(1 +

1

ρn−1

) 4n−1

dX2. (4.1.117)

角運動量保存 ρ = |X|なので，この計量は空間回転X ′I = RI

JXJ ; R ∈ SO(n+ 1) (4.1.118)

あるいはその無限小変換

δXI = εIJXJ , δt = 0; εJI = −εIJ (4.1.119)

に対して不変である．したがって，

ηIJ := XI ∂

∂XJ(4.1.120)

は空間回転を生成するKillingベクトルとなり，対応して

LIJ := u · ηIJ = XIuJ −XJuI = h2(XIXJ −XJXI) = r2(ΩIΩJ − ΩJ ΩI)

(4.1.121)

は自由粒子に対する保存量となる．これより，特に，

L2 :=1

2

∑I,J

L2IJ = ρ2(X)2 − (X · X)2 = r4|Ω|2 (4.1.122)

は保存される．さらに，ある時刻 τ = 0では，

XI(0) = XI(0) = 0, I = 3, · · · , n+ 1 (4.1.123)

となるようX座標を取ることが常にできる．このとき，LJI = 0 (I = 3, · · · , n+1)

ことと，一般に

L2XI =(

(X · X)XJ − ρ2XJ)LJI (4.1.124)

が成り立つことより，XI (I = 3, . . . , n + 1)は常にゼロとなる．すなわち，運動は，２次元面 (X1, X2)にとどまる（L = 0のときは直線運動）．

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第 4章 ブラックホール 98 目次へ

運動方程式

保存則より，運動方程式は次の１階方程式系に置き換えられる：

−N2 t2 +r2

N2+ r2φ2 = −ε (ε = 0, 1), (4.1.125a)

f t = E, (4.1.125b)

r2φ = L. (4.1.125c)

これらより，

r2 + V (r) = E2; (4.1.126)

V (r) := N2

(ε +

L2

r2

). (4.1.127)

また，

dφ

dr=L

r2(E2 − V )−1/2. (4.1.128)

Schwarzschild時空での運動

光子の運動 光子の運動方程式は ε = 0とおくことにより得られる．特に，有効ポテンシャルは

V =L2

r2

(1 − 1

rn−1

). (4.1.129)

この導関数

V ′ = L2n+ 1 − 2rn−1

rn+2(4.1.130)

となるので，V は r > 1で最大点を一個だけもち，極小点は存在しない．したがって，安定な拘束軌道は存在せず，不安定な円軌道が１個だけ存在する．その半径とエネルギーは

r =

(n + 1

2

) 1n−1

(n = 2 : r =3

2rH = 3M), (4.1.131a)

E2 =n− 1

n+ 1

(2

n + 1

) 2n−1

L2. (4.1.131b)

正質量粒子の運動 正質量粒子に対しては，ε = 1より

V =

(1 +

L2

r2

)(1 − 1

rn−1

), (4.1.132a)

V ′ = −2L2

r3+n− 1

rn+

(n+ 1)L2

rn+2. (4.1.132b)

特に，

V (1) = 0, V ′(1) > 0. (4.1.133)

V の振る舞いは，nに依存する．

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第 4章 ブラックホール 99 目次へ

n = 2: D = 4のとき，

V ′ =r2 − 2L2r + 3L2

r4(4.1.134)

より，

• L2 ≤ 3のとき： V は単調増加で拘束軌道は全く存在しない．

• L2 > 3のとき： V は極大点を１個，極小点を１個もつ：

極小点 安定な円軌道と対応し，その半径とエネルギーは

r = L(L +√L2 − 3) ≥ 3, (4.1.135a)

E2 = 1 − L√L2 − 3 + L2 − 2

L(L +√L2 − 3)3

. (4.1.135b)

極大点 不安定な円軌道に対応し，その半径とエネルギーは

r = L(L−√L2 − 3) ≤ 3, (4.1.136a)

E2 = 1 +(L +

√L2 − 3)(L2 − 6 + L

√L2 − 3)

27L. (4.1.136b)

n = 3:

V ′ = −2(L2 − 1)

r3+

4L2

r5(4.1.137)

より

• L2 ≤ 1のとき： V は単調増加で拘束軌道は全く存在しない．

• L2 > 1のとき： V は極大点を１個もち極小点は存在しない．したがって，不安定円軌道のみが拘束軌道として存在：

r2 =2L2

L2 − 1> 2, (4.1.138a)

E2 = 1 +(L2 − 1)2

4L2≥ 1. (4.1.138b)

n ≥ 4:

V ′ =−2L2rn−1 + (n− 1)r2 + (n+ 1)L2

rn+2. (4.1.139)

V は常に最大点を１個持ち，極小点は存在しない．したがって，拘束軌道としては，不安定円軌道が１個存在するのみ．

§4.2

Hodge双対

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第 4章 ブラックホール 100 目次へ

【定義 4.2.1 (微分形式の内積)】 　２つの１形式の内積 〈ω, χ〉 = gabωaχbを用いて，1形式の系ω1, · · · , ωp, χ1 · · · , χpから作られる 2つの p形式ω1∧· · ·∧ωp,χ1 ∧ · · · ∧ χpの内積を

〈ω1 ∧ · · · ∧ ωp, χ1 ∧ · · · ∧ χp〉 = det〈ωj, χk〉で定義する．これより，一般の p形式 ω = (1/p!)ωµ1···µpdx

µ1 ∧ · · · dxµp , χ =

(1/p!)χµ1···µpdxµ1 ∧ · · · dxµp , の内積が誘導される．

〈ω, χ〉 =1

p!ωµ1···µpχ

µ1···µp .

【定義 4.2.2 (Hodge双対)】 　 対応

dxµ1 ∧ · · · ∧ dxµp → ∗(dxµ1 ∧ · · · ∧ dxµp) =1

(n− p)!dxν1 ∧ · · · ∧ dxνn−pεν1···νn−p

µ1···µp

により，p形式の空間 Apから (n − p)形式の空間 An−pへの線形写像が定義される．この写像をHodge双対と呼ぶ．一般の p形式 ωに対してHodge双対は

( ∗ω)µ1···µn−p =1

p!εµ1···µn−p

ν1···νpων1···νp

と表される．また，Ωを体積形式とするとき， ∗ωは，任意の p形式 χに対して

∗ω ∧ χ = 〈ω, χ〉Ωが成り立つ (n− p)形式として特徴づけられる．

【命題 4.2.3】 　 ω, χ ∈ Ap, |η| = det(ηab)とするとき，Hodge双対に対して次の諸公式が成り立つ：

i) ∗1 = Ω, ∗Ω = |η|.ii) ω ∧ ∗χ = χ ∧ ∗ω.

iii) ∗ ∗ω = (−1)p(n−p)|η|ω.

iv) 〈 ∗ω, ∗χ〉 = |η|〈ω, χ〉.v) ( ∗d ∗ω)µ1···µp−1 = |η|(−1)np+1∇νω

νµ1···µp−1 .

【定義 4.2.4】 　ベクトルXに対して，p形式の空間から (p− 1)形式の空間への線形写像を

(IXω)(Y1, · · · , Yp−1) = ω(X, Y1, · · · , Yp−1)

により定義し，IX を内積作用素と呼ぶ．

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第 4章 ブラックホール 101 目次へ

【命題 4.2.5】 　内積作用素に関して次の公式が成り立つ．

i) ∗IX ∗ω = (−1)pn|η|X∗ ∧ ω ⇔ IX ∗ω = (−1)n−p−1 ∗(X∗ ∧ ω).

ii) ( ∗IX ∗IY + (−1)nIY ∗IX∗)ω = |η|(−1)(p+1)ng(X, Y )ω.

iii) L−X = dIX + IXd.

iv) [L−X , IY ] = I[X,Y ].

§4.3

定常軸対称時空

【定義 4.3.1】 　時空 (M, g)が可換な２次元等長変換群G2をもち，G2を生成する２つのKillingベクトル ξ, ηがある領域でそれぞれ時間的および空間的となり，かつ ηの軌道が閉じた閉曲線となり，かつ ηがゼロとなる点（対称軸）が存在するとき，時空は定常軸対称であるという．

【定理 4.3.2 (Frobenius)】 　

i) n次元多様体の r個の１次独立なベクトル場 X1, · · · , Xr が各点で接する r

次元部分多様体の n − r次元族が存在する，すなわち各点の近傍でXIyp =

0(I = 1, · · · , r)となる n− r個の独立な関数系 yp(p = r+ 1, · · · , n)が存在するための必要十分条件は，適当な関数の組 f IJK(x)に対して

[XI , XJ ] = fKIJXK (I, J,K = 1, · · · , r)

が成り立つことである．

ii) n次元多様体上の n− r個の１次独立な 1形式 ωP (P = r + 1, · · · , n)に対して，ωP = ΛP

QdfP となる関数の組ΛP

Q(x)および fP (x)が存在するための必要十分条件は，(n− r)2個の１形式ΩP

Qが存在して

dωP = ΩPQ ∧ ωQ

が成り立つことである．

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第 4章 ブラックホール 102 目次へ

【命題 4.3.3】 　４次元Riemann空間（時空）において，２つの１次独立なベクトル場 ξ, ηに直交する曲面族が存在するための必要十分条件は，

ξ ∧ η ∧ dξ = 0, ξ ∧ η ∧ dη = 0

で与えられる．特に，ξ, ηが可換なKillingベクトルでいずれかが不動点をもつ時，この条件は

ξdRd[aξbηc] = 0, ηdRd[aξbηc] = 0

と表される．

Proof. ξ, ηに直交する曲面族が存在するための必要十分条件は，適当な関数f, g, p, q, r, s

が存在して，ξ = pdf+qdg, η = rdf+sdgと表されることである．これは，Frobenius

の定理より，適当な 1形式 α, β, γ, δが存在して，

dξ = α ∧ ξ + β ∧ η, dη = γ ∧ ξ + δ ∧ ηと表されることと同値で，さらにこの条件は題意の条件と同等である．特に，ξ, ηがKillingベクトルの時，ξµ = −Rν

µξνおよびL−ηξ = 0より，

d ∗(η ∧ ξ ∧ dξ) = −dIη ∗(ξ ∧ dξ) = Iηd ∗(ξ ∧ dξ) − L−η ∗(ξ ∧ dξ)= IηIξd( ∗dξ) = −IηIξ ∗ξ = −dxµεµνλσηνξλRσαξ

α.

同様にして，d ∗(ξ ∧ η ∧ dη) = −dxµεµνλσξνηλRσαη

α.

よって，命題の前半の条件が満たされれば後半の条件が満たされる．逆に，後半の条件が満たされれば， ∗(η ∧ ξ ∧ dξ), ∗(ξ ∧ η ∧ dη)は共に定数となるが，ξないし ηが零点をもつとその値はゼロとなり，前半の条件が得られる．

【命題 4.3.4】 　

i) 自由な電磁場に対するMaxwell方程式は，複素電磁テンソル

F = F + i ∗Fをもちいて

dF = 0

と表される．また，電磁場のエネルギー運動量テンソルは

Tab =1

8πFa

cFbc.

ii) 定常軸対称時空において，複素電磁テンソルは

L−ξΦ = 0, L−ηΦ = 0

を満たす複素ポテンシャルΦを用いて，√GF = e−2U [dΦ ∧ ξ + i ∗(dΦ ∧ ξ)]

と表される．ただし，e2U = −g(ξ, ξ).

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第 4章 ブラックホール 103 目次へ

Proof. 前半は明らか．

0 = L−ξF = dIξF + IξdF = dIξF

より，適当な複素関数Φが存在して√GIξF = dΦ

と書ける．このとき，I2ξ = 0より，IξdΦ = L−ξΦ = 0. また，0 = L−ηdΦ = dL−ηΦお

よび ηがゼロ点を持つことより，L−ηΦ = 0. 次に，恒等式

∗Iξ ∗IξF + Iξ ∗Iξ ∗F = −g(ξ, ξ)F = e2UF

と ∗F = −iF より√Ge2UF = ∗Iξ ∗dΦ + i ∗( ∗Iξ ∗dΦ).

ここで， ∗Iξ ∗dΦ = dΦ ∧ ξを用いると題意の式を得る．

【命題 4.3.5】 　軸対称定常なEinstein-Maxwell系の時空計量は

ds2 = e−2U[e2k(dρ2 + dz2) +W 2dφ2

]− e2U(dt+ Adφ)2 (4.3.1)

と表される．ただし，U, k,W,Aは ρと zのみの関数である．また，複素電磁テンソルF は ρと zのみに依存する複素ポテンシャルΦを用いて，

√GF = e−2U [dΦ ∧ ξ + i ∗(dΦ ∧ ξ)]

と表される．ただし，

ξ = −e2U (dt+ Adφ), η = e−2UW 2dφ+ Aξ

である．

Proof. ξ, ηに直交する２次元曲面の一つをΣとし，Σの座標を ρ, zとする．この座標を ξ, ηに沿って一定という条件で時空全体に広げる．さらに，

Σ → Σt,φ = exp(tξ + φη)Σ

により t, φ座標を定義すると，時空計量は

ds2 = gρρdρ2 + 2gρzdρdz + gzzdz

2 + e−2UW 2dφ2 − e2U (dt+ Adφ)2 (4.3.2)

と表される．２次元空間は共形的に平坦なので，ρ, z座標を適当に取ると，題意の表式が得られる．

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第 4章 ブラックホール 104 目次へ

（注）２次元空間の共形的平坦性： Laplace方程式φ = 0の解に対して，d∗dφ = 0

より ∗dφ = dψとなる ψが存在．さらに dφ · dψ = 0, dφ · dφ = dψ · dψ．よって，ds2 = e2k(dφ2 + dψ2)．

（注）Laplace方程式の解の局所的存在： 小さなコンパクト領域Dにおいて，汎関数

N [φ] :=

∫D

dnx (∇φ)2; φ|∂D = f ; fixed (4.3.3)

を考えると，N [φ]が infφN [φ]に収束するN [φ]-Cauchy列が存在することが直ちに言える．この列はさらにH2(D)であるφ0に収束し，N [φ0] = infp hiN [φ]となることが言える．さらに，φ0が超関数の意味でφ0を満たすことも確かめられる．ただし，φ0 ∈ C2(D)となることを示すのは難しい．

§4.4

静的軸対称ブラックホール

4.4.1 静的時空

【命題 4.4.1】 　ベクトル場 ξµが超曲面族に垂直となるための必要十分条件は，

ξ ∧ dξ = 0

が成り立つことである．

Proof. ベクトル場 ξµが超曲面の族：f =一定に垂直となる条件は，ξµ = k∂µf と表されるので，1形式 ξ = ξµdx

µは

ξ ∧ dξ = 0 (4.4.1)

を満たす．逆に，ξがこの条件を満たすとき，ξ = 0となる部分多様体を除いた領域では，ξを含む適当な 1形式の基底を用いてdξを表すことにより，dξ = χ∧ ξとなる 1形式χが存在することが分かる．したがって，Frobeniusの定理より，ξ = kdf

となる関数の組 k, f が存在する．

【定義 4.4.2】 　４次元時空におけるベクトル場 ξに対して，

ω := ∗(ξ ∧ dξ) = −Iξ ∗dξすなわち，

ωµ := εµνλσξν∇λξσ

で定義されるベクトル場 ωµないし対応する 1形式を ξ の回転という．特に，回転がゼロとなる時間的Killingベクトルが存在する時空は静的であるという．

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第 4章 ブラックホール 105 目次へ

4.4.2 Weylクラス

定常軸対称時空の計量 4.3.1において，ξ = −eU (dt+ Adφ)に対して

ξ ∧ dξ = −e2Udt ∧ dφ ∧ dA (4.4.2)

となる．よって，時空が静的である条件はA =定数となる．このとき，t+Aφ→ t

と置き換えることにより，A = 0としてよいので，静的軸対称時空の計量は

ds2 = e−2U[e2k(dρ2 + dz2) +W 2dφ2

]− e2Udt2 (4.4.3)

と表される．この計量に (3 + 1)分解の公式を適用すると，N = eU としてKij = 0より

Rtt = − 1

NN = −W−1e2(U−k)∂ · (W∂U), (4.4.4)

Rij = Rij − 1

N∇i∇jN = Rij − e−U∇i∇je

U (4.4.5)

を得る．ここで，∂は (ρ, z)平面における自然な平坦接続である．3次元計量にさらに (2 + 1)分解を施すと，

Rφφ = −W−1eU2(We−U) = −W−1e3U−2k∂2(We−U) (4.4.6)

を得る．よって

e−U∇2φeU = −Γaφφ∂aU = e−2kW (∂W −W∂U) · ∂U (4.4.7)

を考慮すると，

Rφφ = We−2k(−∂2W + ∂ · (W∂U)

)(4.4.8)

を得る．したがって，真空のEinstein方程式 Rµν = 0が成り立つと，

∂2W = 0, (4.4.9)

∂ · (W∂U) = 0 (4.4.10)

が成り立つ．このうち，第１式はW = ρとなるように ρを取れることを保証している．そこで，以下W = ρとする．同様にして，a, b = ρ, zに対して，

Rab = ρ−1∂aρ∂bk + ρ−1∂bρ∂ak − 2∂aU∂bU

+

[1

22Re2(k−U) − ρ−1∂ρ · ∂(k − U)

]δab (4.4.11)

を得る．ただし，2Rは

2R = −2e2(U−k)∂2(k − U) (4.4.12)

目次へ

第 4章 ブラックホール 106 目次へ

で与えられる．これより，対応するEinstein方程式は

∂zk = 2ρ∂ρU∂zU, (4.4.13)

∂ρk = ρ[(∂ρU)2 − (∂zU)2

], (4.4.14)

∂2k + (∂U)2 = 0 (4.4.15)

と表される．ここで，第３の方程式は，∂ · (ρ∂U) = 0のもとで，残り２つより導かれる．以上より，次の定理を得る．

【定理 4.4.3 (Weyl)】 　 ４次元真空 Einstein方程式に対する静的軸対称解は，2次元空間 (ρ, z)における Laplace方程式

∂ρ(ρ∂ρU) + ρ∂2zU = 0 (4.4.16)

の解 U(ρ, z)を用いて

ds2 = e−2U[e2k(dρ2 + dz2) + ρ2dφ2

]− e2Udt2 (4.4.17)

と表される．ただし，k(ρ, z)は１階方程式

∂zk = 2ρ∂ρU∂zU, (4.4.18)

∂ρk = ρ[(∂ρU)2 − (∂zU)2

](4.4.19)

の解である．

一般解 : 極座標

ρ = Σ sinϑ, z = Σ cosϑ (4.4.20)

を用いると，漸近的に平坦な一般解は

U =

∞∑n=0

anΣ−(n+1)Pn(cosϑ), (4.4.21)

k = −∞∑

l,m=0

alam(l + 1)(m+ 1)

l +m+ 2

PlPm − Pl+1Pm+1

Σl+m+2. (4.4.22)

4.4.3 Schwarzschild計量

Weyl座標表示 : (ρ, z)座標のもとで，Schwarzschild解は

U =1

2ln

Σ+ + Σ− − 2m

Σ+ + Σ− + 2m= −1

2ln

m− z + Σ−−m− z + Σ+

, (4.4.23)

k =1

2ln

(Σ+ + Σ−)2 − 4m2

4Σ+Σ−, (4.4.24)

Σ± =[ρ2 + (z ±m)2

]1/2(4.4.25)

で与えられる．通常の Schwarzschild座標は，ρ, zと

ρ =√r(r − 2m) sin θ, z = (r −m) cos θ (4.4.26)

の関係にある．したがって，U, kの特異点集合：ρ = 0, |z| ≤ mはちょうどホライズン r = 2mに対応する．

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第 4章 ブラックホール 107 目次へ

偏球座標表示 : Weyl座標の代わりに

ρ = m√

(x2 − 1)(1 − y2), z = mxy (4.4.27)

により定義される偏球座標を用いると，

Σ± = |x± y| (4.4.28)

より，Schwarzschild解に対するWeylポテンシャルは

U =1

2lnx− 1

x+ 1, (4.4.29)

k =1

2ln

x2 − 1

x2 − y2(4.4.30)

とずっと簡単な表式で表される．実際，

dρ2 + dz2 = m2(x2 − y2)

(dx2

x2 − 1+

dy2

1 − y2

). (4.4.31)

に注意すると，U の方程式は

∂x((x2 − 1)∂xU

)+ ∂y

((1 − y2)∂yU

)= 0, (4.4.32)

kの方程式は

kx = (1 − y2)x[(x2 − 1)u2

x − (1 − y2)u2y] − 2y(x2 − 1)uxuy

x2 − y2, (4.4.33a)

ky = (x2 − 1)−y[(x2 − 1)u2

x − (1 − y2)u2y] − 2x(1 − y2)uxuy

x2 − y2, (4.4.33b)

となり，上記のUと kがこれらの方程式の解であることは容易に確かめられる．ただし，

x =r −m

m, sin θ =

√1 − y2 (4.4.34)

より，この座標系では，ホライズンは線分 x = 1, |y| ≤ 1に，ホライズンの外の z

軸は x ≥ 1, y = ±1に対応する．

4.4.4 Israel-Kahn解

Weyl解は同次線形のLaplace方程式の解で決定されるので，２つの解の重ね合わせが可能となる．特に，z軸上に中心をもつ Schwarzschildブラックホールの列に対応する解は，Israel-Kahn解 (1964)と呼ばれる．ただし，この解は，ブラックホールをつなぐ z軸上で conic singularityをもつ．

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第 4章 ブラックホール 108 目次へ

２つの Schwarzschild BHの重ね合わせ : z軸上の z = 0に中心をもつ質量m

のブラックホールと z = z0に中心をもつ質量m′のブラックホールを重ね合わせて得られる Israel-Kahn解では，ホライズン−m < z < m,−m′ + z0 < z < m′ + z0の外の z軸上での kの値は有限となり

k =

0 ; z < −m, z > z0 +m′

lnz20−(m+m′)2

z20−(m−m′)2 ;m < z < z0 −m′ (4.4.35)

で与えられる．m < z < z0 −m′では，k < 0なので，z軸の周りの角度 e−kφは一周で 2πe−k > 2π変化することになる．

4.4.5 Zipoy-Voorhees解

計量

ds2 = −e2Udt2 + e−2U

[e2k(x2 − y2)

(dx2

x2 − 1+

dy2

1 − y2

)+ ρ2dφ2

]; (4.4.36)

e2U =

(x− 1

x+ 1

)δ

, (4.4.37a)

e2k = m2

(x2 − 1

x2 − y2

)δ2

, (4.4.37b)

ρ2 = m2(x2 − 1)(1 − y2). (4.4.37c)

この計量は，δ = 0のときMinkowski時空を，δ = 1のとき正質量 Schwarzschild

BHを，δ = −1のとき負質量 Schwarzschild BHを表す．また，δ = 2の解は，等質量m/2の 2BHに対応する Israel-Kahn解において２つのBHの中心が一致した極限に当たる．

Weylテンソル 基底

θ0 = eUdt, θ1 = e−Uρdφ, θ2 = ek−Udρ, θ3 = ek−Udz (4.4.38)

に関して，

Ψ2 =δ(x− δ)(x2 − y2)δ

2−1

(x− 1)δ2−δ+1(x+ 1)δ2+δ+1, (4.4.39a)

Ψ0 + Ψ4 =δ(x2 − y2)δ

2−3

(x− 1)δ2−δ+1(x + 1)δ2+δ+1

[3(x− 1)(x2 − y2)(2x2y2 − x2 − y2)

+(δ − 1) (−8(δ + 1)x3 + 6x2 + 6(δ + 1)x− 3

)y4

+(−6x3 + 10(δ + 1)x2 − 6(δ + 1)

)xy2 + 3x4 − 2(δ + 1)x3

], (4.4.39b)

i(Ψ0 − Ψ4) = − 2δρy(x2 − y2)δ2−3

(x− 1)δ2−δ+1(x + 1)δ2+δ+1

[3x(x− 1)(x2 − y2)

+(δ − 1) (−4(δ + 1)x2 + 3x + δ + 1

)y2 − 3x3 + 3(δ + 1)x2

].(4.4.39c)

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第 4章 ブラックホール 109 目次へ

基底によらない不変量（+C0I0J の固有値）は，

−2Ψ2, Ψ2 ±√

Ψ0Ψ4. (4.4.40)

特に，

9Ψ22 − Ψ0Ψ4 =

δ2(δ2 − 1)(x2 − y2)2δ2−3(y2 − 1)(3x2 − 3δx+ δ2 − 1)

[(x− 1)δ2−δ+1(x + 1)δ2+δ+1]2.

(4.4.41)

この量がゼロとなることとPetrov型Dとなることは同等．この曲率の式より，Weyl解は δ = 0, 1のとき x = 1, y2 < 1(ρ = 0, |z| < m)に裸

の曲率特異点をもつことがわかる．

4.4.6 C-metric

４次元計量

ds2 =1

A2(x− y)2

[H(y)dt2 − dy2

H(y)+

dx2

G(x)+G(x)dφ2

]; (4.4.42)

H(y) = ν −Ky2 − 2MAy3, (4.4.43)

G(x) = 1 −Kx2 − 2MAx3, (4.4.44)

は，宇宙項

Λ = −3A2(1 − ν) (4.4.45)

をもつ Einstein方程式に対する，Petrov型Dの静的軸対称真空解となる．特に，ν = 1のとき，

ρ =

√−H(y)G(x)

A2(x− y)2, z =

xy[K +MA(x + y)]

A2(x + y)(4.4.46)

と定義すると，計量はWeyl形式で表され，ポテンシャルは

e2U = − H(y)

A2(x− y)2, (4.4.47)

e2k = − H(y)

A4(x− y)4(Gρ2x −Hρ2

y)(4.4.48)

で与えられる．これらが，Weyl解に対する方程式を満たすことは直接代入することにより確かめられる．

幾何学的意味 : M = 0のとき，変換

r =

√y2 − νx2

A(x− y), ρ =

√1 −Kx2

y2 − νx2(4.4.49)

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第 4章 ブラックホール 110 目次へ

により，C計量は

ds2 =dr2

r2/2 + ν+ r2

[−(K − νρ2)dt2 +

dρ2

K − νρ2+ ρ2dφ2

](4.4.50)

と表される．ここで，

2 =1

A2(1 − ν)(4.4.51)

である．特に，ν = 1, K = 1のとき，ρ = sin θとおいて，(r, θ, φ)に対応するデカルト座

標 (x, y, z)を導入すると，計量は

ds2 = −z2dt2 + dz2 + dx2 + dy2 (4.4.52)

となる．これは，Minkowski計量のRindler座標での表示である．実際，

T = z sinh t, Z = z cosh t, X = x, Y = y, (4.4.53)

とおくと，計量は

ds2 = −dT 2 + dZ2 + dX2 + dY 2 (4.4.54)

と表される．一方，ν = 1,M = 0に対して，

r = − 1

Ay, t =

t

A(4.4.55)

を一定に保って，A→ 0の極限を取ると，C計量は質量MのSchwarzschildブラックホール解に収束する．これらのことより，C計量は，等加速度運動するブラックホール解を表すと解釈できる．

Horizons : 以下，ν = 1, K = 1の場合 (H(x) = G(x))を考える．µ = MA

とおくと，0 < µ 1のとき，G(x)は３つの零点 x1 < x2 < 0 < x3 をもち，x1 1/(2µ), x2 −1 − µ, x3 = 1 − µとなる．したがって，M = 0の場合の平坦領域に対応する漸近的平坦な領域は

D1 : x2 < x < x3, x1 < y < x2 (4.4.56)

に対応する．この四角形の４辺のうち，x = x2とx = x3は z軸（回転対称の軸）に対応する．また，残りの２辺はKillingホライズンを与える．それらのうち，y = x2

は平坦な場合のRindlerホライズン（y = −1）に対応するので，加速ホライズンと呼ばれる．これに対して，y = x1は，A → 0で r = 2M と対応するのでブラックホールホライズンを表す．

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第 4章 ブラックホール 111 目次へ

Conic singularity : 無限遠 y = xに到達する z軸 x = x2の近傍で，x = x2 +

G′(x2)ρ2/4とおくと，x, φの計量は

dx2

G(x)+G(x)dφ2 dρ2 +

G′(x2)2

4ρ2dφ2 (4.4.57)

となるので，軸上で計量が正則とすると，2πの周期をもつ角度座標 φ2は

φ2 = G′(x2)φ/2 (1 − 2µ)φ (4.4.58)

となる．ところが，同様にして，加速ホライズンと交わる z軸の周りの正則な角度座標 φ3は

φ3 = |G′(x3)|φ/2 (1 + 4µ)φ2 (4.4.59)

で与えられるので，計量が無限遠で大域的に漸近的平坦とすると，この軸上で計量は余剰角 8µπの円錐型特異性を持つことになる（正のテンションをもつひもないし棒）．

4.4.7 String計量

静的円筒対称解

U = U(ρ)と仮定すると，Weyl方程式より

U = a ln ρ+ const, (4.4.60a)

k = a2 ln ρ + const (4.4.60b)

を得る．対応する時空計量は

ds2 = −ρ2adt2 + C2ρ2a(a−1)dz2 + C2ρ2a(a−1)dρ2 + ρ2(1−a)dφ2. (4.4.61)

Weyl曲率は

C0φ0φ =

a(a− 1)

C2ρ−2(a2−a+1), (4.4.62a)

[C0ρ0ρ, C

0z0z] = a(a− 1)ρ−2(a2−a+1)[a− 1,−a], (4.4.62b)

Cρzρz =

a(a− 1)

C2ρ−2(a2−a+1), (4.4.62c)

[Cφρφρ, C

φzφz] =

a(a− 1)

6ρ−2(a2−a+1)[1 − 6a, 6a− 5]. (4.4.62d)

よって，a = 0, 1のとき ρ = 0は曲率特異．ただし，a = 0, 1の時は，平坦．また，計量は常に，漸近的に平坦！いま，

x =C

a2 − a+ 1ρa

2−a+1, y ∝ φ (4.4.63)

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第 4章 ブラックホール 112 目次へ

とおくと，

ds2 = −x2αdt2 + dx2 + x2βdy2 + x2γdz2. (4.4.64)

（Kasner型計量）．ここで，

α =a

a2 − a + 1, β =

1 − a

a2 − a+ 1, γ =

a2 − a

a2 − a+ 1. (4.4.65)

これらの係数は次の関係式を満たす：

α + β + γ = 1, (4.4.66a)

α2 + β2 + γ2 = 1. (4.4.66b)

特に，

−1 < α, β, γ ≤ 1 (4.4.67)

で，いずれかが 1となるとき（a = 0, 1,∞）他の値はゼロで，計量は平坦．例えば，a = 1のとき，

x = x cosh t, t = x sinh t (4.4.68)

とおくと，

ds2 = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2. (4.4.69)

また，a = 0, 1のとき，

t = xαt, y = xβy, z = xγz (4.4.70)

とおくと，

ds2 = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2 − 2

(−αtdt

x1−α +βydy

x1−β +γzdz

x1−γ

)dx

+

(− α2t2

x2(1−α)+

β2y2

x2(1−β)+

γ2z2

x2(1−γ)

)dx2 (4.4.71)

となり，漸近的に平坦な形に書かれる．

string解の物理的解釈

円筒座標で表された計量

ds2 = −N2dt2 + A2(dz + βzdt)2 + dρ2 +B2ρ2(dφ+ γtdt+ γzdz)

2 (4.4.72)

に対して，t = const面のスカラ曲率は

3R = 2R− 2∂ρk − k2 − kABkBA . (4.4.73)

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第 4章 ブラックホール 113 目次へ

ここで，2Rは t = const, ρ = const円筒面のスカラ曲率で

2R = − 2

AB

[(Bz − (Bγz)φ

A

)z

+1

ρ2(()

AφB

+γzA

(−Bz + (Bγz)φ))φ

].

(4.4.74)

また，kABは同じ面の t = const超曲面ないでの外部曲率で

(kAB) =

(∂ρAA

ρB2A∂ργz

ρB2A∂ργz

∂ρ(ρB)ρB

). (4.4.75)

これより，

k =1

ρ+∂ρA

A+∂ρB

B, (4.4.76a)

kABkBA =

1

ρ2+

2∂ρB

ρB+

(∂ρA

A

)2

+

(∂ρB

B

)2

+ρ2B2

2A2(∂ργz)

2. (4.4.76b)

Hamiltonian拘束条件は

2G00 ≡ 3R +K2 −KijKij = 2κ2T00 (4.4.77)

よって，KijK

ji , ∂ργz, A,B, ∂ρAが ρ = 0近傍で一様有界，2R = O(1/ρ)とすると,

ρB3R = −2∂ρ

(ρB

A∂ρA

)+ 2

ρB

A2(∂ρA)2 − 2∂ρ(ρ∂ρB +B)

+ρB2R− ρ3B

2A2(∂ργz)

2 (4.4.78)

より

2κ2

∫ ρ

0

BρdρT00 = −2(B + ρ∂ρB − 1) + O(ρ) (4.4.79)

よって，

T00 = µδ2(∗) (4.4.80)

となる極限で，

δφ := 2π(1 −B) = κ2µ. (4.4.81)

z軸上で正則となる条件 Einstein方程式より

R00 ≡ − 1

NL−mK +Ki

jKji −

NN

=κ2

2(T 0

0 − T II ) (4.4.82)

よって，z軸で正則となるためには，T 00 − T II が有界であることが必要．

§4.5

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第 4章 ブラックホール 114 目次へ

軸対称定常ブラックホール

4.5.1 Ernst形式

Ernstポテンシャル : Einstein-Maxwell系において，時間的 Killingベクトル ξ

の回転を ωとする：ω = −Iξ ∗dξ. このとき，p形式に対して

IX ∗ω = (−1)p+1 ∗(X ∧ ω), IXω = ∗(X ∧ ∗ω) (4.5.1)

が成り立つこと，およびKillingベクトル ξに対して，

( ∗d ∗dξ)µ = −∇ν(∇νξµ −∇µξν) = −2ξµ = 2Rν

µξν (4.5.2)

が成り立つことより，

dω = Iξd ∗dξ −L−ξ ∗dξ = Iξd ∗dξ= ∗(ξ ∧ ∗d ∗dξ) = 2 ∗(ξ ∧ (Rξ)) (4.5.3)

となる．ここで，Einstein方程式

Rµν = 8πGTµν = GFµλFνλ (4.5.4)

より

Rξ = GdxµFµλFνλξν =

√GdxµFµλ(dΦ)λ

= −√GIdΦF = −e−2UIdΦ[dΦ ∧ ξ + i ∗(dΦ ∧ ξ)] (4.5.5)

が成り立つ．よって，

dω = −2ie−2U ∗(ξ ∧ IdΦ ∗(dΦ ∧ ξ))= 2ie−2U ∗(ξ ∧ ∗(dΦ ∧ dΦ ∧ ξ))= 2ie−2UIξ(dΦ ∧ dΦ ∧ ξ) = −2idΦ ∧ dΦ (4.5.6)

を得る．したがって，

d(ω + 2iΦdΦ) = 0 (4.5.7)

が成り立つ．よって，

dE = d(e2U) + iω − 2ΦdΦ (4.5.8)

となる関数 E が存在する．この関数は，Ernstポテンシャルと呼ばれる．

【定理 4.5.1】 　真空 Einstein-Maxwell系が ξ = ∂tで不変であるとき，時空計量は，tに依存しない関数U(y)，３次元ベクトル場Ai(y)，３次元計量 γij(y)

を用いて

ds2 = −e2U (dt+ Aidyi)2 + e−2Uγijdy

idyj, (4.5.9)

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第 4章 ブラックホール 115 目次へ

複素電磁テンソルF は，tに依存しない複素電磁ポテンシャルΦ(y)を用いて，

√GF = e−2U [dΦ ∧ ξ∗ + i ∗(dΦ ∧ ξ∗)] (4.5.10)

と表される (ξ∗ = ξµdxµ = −e2U(dt+Aidy

i))．Einstein方程式およびMaxwell

方程式は，Ernstポテンシャル

dE = Γ − 2ΦdΦ; Γ = d(e2U) + iω (4.5.11)

および複素電磁ポテンシャルΦを計量 γij(y)をもつ３次元空間Σ上の関数と見なすとき，次の連立方程式で与えられる．

3E = e−2Uγ(Γ, dE ), (4.5.12)

3Φ = e−2Uγ(Γ, dΦ), (4.5.13)

3Rij =1

2e−4UΓ(iΓj) − 2e−2U∂(iΦ∂j)Φ. (4.5.14)

Ai(y)は，A = Aidyiとおくとき，U および ωからΣ上の次の方程式の解と

して決まる：

dA = e−4U 3∗ ω. (4.5.15)

ただし，3∗ ωは (Σ, γ)における ωのHodge双対２形式である．

【定理 4.5.2 (Neugebauer-Kramer(1969))】 　 真空 Einstein-Maxwell系に対する定常解 (E ,Φ, γij)に対して，次の変換の組み合わせにより得られる新たな組 (E ′,Φ′, γij)は再び定常解を与える：

i) E ′ = |α|2E , Φ′ = αΦ

ii) E ′ = E + ib, Φ′ = Φ

iii) E ′ = E1+icE

, Φ′ = Φ1+icE

iv) E ′ = E − 2βΦ − |β|2, Φ′ = Φ + β

v) E ′ = E1−2µΦ−|µ|2E

, Φ′ = Φ+µE1−2µΦ−|µ|2E

ここで，α, β, µは複素定数，b, cは実定数である．

Proof. (E ,Φ, γij)に対する方程式は，作用積分

S =

∫Σ

d3y√γ[3R− 1

2e−4Uγij(∂iE + 2Φ∂iΦ)(∂j E + 2Φ∂jΦ)

+2e−2Uγij∂iΦ∂jΦ]

(4.5.16)

に対する変分方程式となっている．ところが，i)-v)の変換はこの作用積分を不変にしている．

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第 4章 ブラックホール 116 目次へ

【定理 4.5.3 (Kinnersley(1973))】 　 (E ,Φ)系に対する方程式は，Killing vector

が光的でないとき，SU(2, 1)変換群に対して不変である．

Proof. 変数(Y µ) = (u, v, w)

に対するノルムを|Y |2 ≡ Y · Y := uu+ vv − ww

により定義する．このとき，Lagrangian密度

L =√γ

[3R +

2γab

|Y |4(Y µYµ,aY

νYν,b − |Y |2Y µ, aYµ.b)]

は，任意の SU(2, 1)変換

Y ′ = UY ; U ∈ SU(2, 1)

に対して不変となっている．ところが，

E =u− w

u+ w, Φ =

v

u+ w(4.5.17)

とおくと，上記の Lagrangian密度は (E ,Φ)系に対する Lagrangian密度と一致する．

（注）Neugebauer-Kramer変換との対応： Neugebauer-Kramer変換の無限小変換は

ξ1 := i(∂E − ∂E ), (4.5.18a)

ξ2 := −i(E 2∂E + ΦE ∂Φ − cc), (4.5.18b)

ξ3 := E ∂E + E ∂E + Φ∂Φ, (4.5.18c)

ξ4 := −2Φ∂E + ∂Φ, (4.5.18d)

ξ5 := 2E Φ∂E + E ∂Φ + 2Φ2∂Φ (4.5.18e)

および ξ3, ξ4, ξ5により生成される．これらを用いると，SU(2, 1)の Lie代数の標準生成元（Weyl基底）は次のように表される：

h1 ≡ E11 −E3

3 = i(ξ1 + ξ2), (4.5.19a)

h2 ≡ E22 −E3

3 =1

2h1 + ξ3 − ξ3, (4.5.19b)

E12 = −(ξ4 + ξ5), (4.5.19c)

E21 = ξ4 + ξ5, (4.5.19d)

E13 = −1

2(ξ3 + ξ3) +

i

2(−ξ1 + ξ2), (4.5.19e)

E31 = −1

2(ξ3 + ξ3) − i

2(−ξ1 + ξ2), (4.5.19f)

E23 = ξ4 − ξ5, (4.5.19g)

E32 = ξ4 − ξ5. (4.5.19h)

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第 4章 ブラックホール 117 目次へ

4.5.2 Ernst方程式

【定理 4.5.4 (Ernst方程式)】 　 軸対称定常なEinstein-Maxwell系の時空計量は，ρ, zの関数U, k, A を用いて，

ds2 = −e2U (dt+ Adφ)2 + e−2U [e2k(dρ2 + dz2) + ρ2dφ2] (4.5.20)

と表される．また，電磁ポテンシャルΦも ρ, zのみの関数となり，Einstein-

Maxwell方程式は，E ,Φに対する平坦な２次元空間 (ρ, z)上の微分方程式

e2Uρ−1∂ · (ρ∂E ) = ∂E · (∂E + 2Φ∂Φ), (4.5.21)

e2Uρ−1∂ · (ρ∂Φ) = ∂Φ · (∂E + 2Φ∂Φ) (4.5.22)

に帰着される．U,A, kは E ,Φを用いて

e2U = Re E + |Φ|2, (4.5.23)

∂ζA = ρe−4U [i∂ζ(Im E ) + Φ∂ζΦ − Φ∂ζΦ], (4.5.24)

∂ζk = 2ρ

[e−4U

4(∂ζE + 2Φ∂ζΦ)(∂ζ E + 2Φ∂ζΦ) − e−2U∂ζΦ∂ζΦ

](4.5.25)

と表される．ただし，ζ = ρ + iz, ∂ζ = 12(∂ρ − i∂z)である．

4.5.3 Kerr-TS class

Weyl座標 (ρ, z)の代わりに，扁球座標

ρ = σ(x2 − 1)1/2(1 − y2)1/2, z = σxy (4.5.26)

を用いると，Ernst方程式は，

Ξ =1 − E

1 + E(4.5.27)

に対する次の方程式に書き換えられる：

(|Ξ|2 − 1)[∂x(x2 − 1)∂xΞ + ∂y(1 − y2)∂yΞ

]= 2Ξ

[(x2 − 1)(∂xΞ)2 + (1 − y2)(∂yΞ)2

]. (4.5.28)

この方程式は，次のような有理型の解，

Ξ =β

α(4.5.29)

を持つ：

δ = 1 : α = px− iqy, β = 1, (4.5.30)

δ = 2 : α = p2(x4 − 1) − 2ipqxy(x2 − y2) − q2(1 − y4),

β = 2px(x2 − 1) − 2iqy(1 − y2), (4.5.31)

δ = 3 : α = p(x2 − 1)3(x3 + 3x) + iq(1 − y2)3(y3 + 3y)

−pq2(x2 − y2)3(x3 + 3xy2) − ip2q(x2 − y2)3(y2 + 3x2y),

β = p2(x2 − 1)3(3x2 + 1) − q2(1 − y2)3(3y2 + 1)

−12ipqxy(x2 − y2)(x2 − 1)(1 − y2). (4.5.32)

ここで，p, qは p2 + q2 = 1を満たす実定数である．

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第 4章 ブラックホール 118 目次へ

4.5.4 Kerr-Newman解

δ = 1に対応する解はKerr解と呼ばれ，

m =σ

p, a =

σq

p⇔ p =

σ

m, q =

aσ

m, σ =

√m2 − a2 (4.5.33)

として，質量m，固有角運動量 J/m = aの回転するブラックホールを表す．この解に，Neugebauer-Kramer変換を施すと，

E =(1 − |µ|2)(px− iqy) − (1 + |µ|2)(1 − |µ|2)(px− iqy) + 1 + |µ|2 , (4.5.34a)

Φ = − 2µ

(1 − |µ|2)(px− iqy) + 1 + |µ|2 (4.5.34b)

を得る．この解に対するU , k, Aを求めると，

e2U =(1 − |µ|2)2(p2x2 + q2y2 − 1)

(1 − |µ|2)2(p2x2 + q2y2) + 2(1 − |µ|4)px+ (1 + |µ|2)2, (4.5.35a)

e2k =p2x2 + q2y2 − 1

p2(x2 − y2), (4.5.35b)

A =2σq

p

(1 − y2)[(1 − |µ|4)px+ 1]

(1 − |µ|2)2(p2x2 + q2y2 − 1)(4.5.35c)

となる．この解はKerr-Newman解と呼ばれ，

p =σ√

m2 − e2, (4.5.36a)

q =a√

m2 − e2, (4.5.36b)

σ =√m2 − e2 − a2, (4.5.36c)

µ = − e

m +√m2 − e2

(4.5.36d)

とおくと，質量m，固有角運動量 a，電荷 eを持つ帯電したブラックホール解を与える．時空計量は

σx = r −m, y = cos θ (4.5.37)

で定義される座標系 (r, θ, φ, t)を用いて，

ds2 = −∆Σ2

Γdt2 +

Γ sin2 θ

Σ2(dφ− Ωdt)2 + Σ2

(dr2

∆+ dθ2

)

= −∆ − a2 sin2 θ

Σ2dt2 − 2a(2mr − e2)

Σ2sin2 θdφdt

+ sin2 θΓ

Σ2dφ2 + Σ2

(dr2

∆+ dθ2

)(4.5.38)

と表される [SKM+03, 佐小 00]．ここで，

∆ = r2 − 2mr + a2 + e2, (4.5.39a)

Σ2 = r2 + a2 cos2 θ, (4.5.39b)

Γ = (r2 + a2)2 − a2∆ sin2 θ, (4.5.39c)

Ω =a(2mr − e2)

Γ, (4.5.39d)

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第 4章 ブラックホール 119 目次へ

ホライズン ：Killingホライズンは

ξ · ξη · η − (ξ · η)2 ≡ −∆ sin2 θ = 0 (4.5.40)

で与えられる．この方程式は，a2 + e2 < m2 のとき 2つの解 r = r± = m ±√m2 − a2 − e2をもつ．これらの解は，a2 + e2 = m2の時一致する．（縮退型ホライズン）．さらに a2 + e2 > m2の時には解が存在しない．分岐型ホライズンが存在するとき，ホライズン近傍で計量が正則となる座標系は，

du± = dt± 2mr − e2

∆dt, dφ± = dφ± dr

∆. (4.5.41)

この座標系を用いると，計量は

ds2 = −Σ2

Γ

[∆du2

± ∓ 2(2mr − e2)du±dr + (Σ2 + 2mr − e2)dr2]

+Γ sin2 θ

Σ2

(dφ± − Ωdu± ∓ Σ2 + 2mr − e2

Γdrdφ±

)2

+ Σ2dθ2.(4.5.42)

エルゴ領域 Killingホライズンは，無限赤方偏移面

gtt = ∆ − a2 sin2 θ = 0 (4.5.43)

とは一致しない．このため，ホライズンの外に，gtt > 0となる領域が現れる．この領域はエルゴ領域と呼ばれる．

特異点 ホライズンに対応する見かけの特異点を除くと，計量はΣ2 = r2+a2 cos2 θ =

0，i.e. r = 0, θ = π/2に曲率特異点をもつ．θ = π/2平面に沿ってこの特異点に近づくと

gφφ → a2 +a2(2mr − e2)

r2(4.5.44)

となるので，この特異点はリング状で，その周の長さは無限大となる．また，e2 = 0

のときには，このリングは閉じた時間的曲線となる．a2 + e2 > m2では，このリング状特異点は裸の特異点となる．

Penrose過程 エルゴ領域では，無限遠に対する粒子のエネルギーE = −p · ξが負となることが可能となる．このため，外部からこの領域に入射した粒子がE > 0

およびE < 0の２粒子に分裂し，E < 0の粒子がブラックホールに吸収されると，結果的にブラックホールからエネルギーを取り出すことができる．いま，Kerr BH

に対して，BHの回転角速度を

ΩH := Ω(r+) =a

2mr+(4.5.45)

により定義し，

k := ξ + ΩHη (4.5.46)

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第 4章 ブラックホール 120 目次へ

とおくと，kはホライズン上で光的なKillingベクトルとなる．BHに吸収される粒子の４元運動量を pとすると

p · k ≤ 0 ⇒ E > ΩHL (4.5.47)

が成り立つ．この不等式をブラックホールの質量および角運動量に対する式として書くと，

0 < dM − ΩHdJ =κ

8πGdA; κ =

√m2 − a2

r2+ + a2

, A = 4π(r2+ + a)2 (4.5.48)

となる．すなわち，ブラックホールの面積は必ず増大する．したがって，Penrose

過程によりKerr BHが全角運動量を失うと，後に残されるBHの質量は，

mIR :=1

2

√m(

√m− a +

√m+ a) (4.5.49)

で定義される簡約質量以上となる．

BH熱力学 Kerr-Newman BHの面積A，質量M，角運動量 J，電荷Qの間には

κc2

8πGdA = dMc2 − ΩHdJ − ΦHdQ (4.5.50)

の関係がある．ここで，κはBHの表面重力

κ = c2√m2 − a2 − e2

r2+ + a2

, (4.5.51)

ΦH はBHの電気ポテンシャルΦの極での値

ΦH =1

4πε0

Qr+r2+ + a2

(4.5.52)

である．温度としてHawking輻射の温度

kBTH =κ

2πc(4.5.53)

を用い，BHエントロピーを

S

kB=

c3

4GA (4.5.54)

で定義すると，上記の公式は可逆過程に対する熱力学の第２法則と一致する．

4.5.5 Kerr-Schild型

Kerr計量は

dx0 := dt+

(1 − r2 + a2

∆

)dr, (4.5.55a)

dφ := dφ− a

∆dr (4.5.55b)

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第 4章 ブラックホール 121 目次へ

とおくと，

ds2 = ds20 +

2Mr

Σ2(kµdx

µ)2, (4.5.56)

ds20 = −(dx0)2 + dr2 + Σ2dθ2 + [(r2 + a2)dφ+ 2adr]dφ sin2 θ (4.5.57)

と書き換えられる（Kerr-Schild型）．ここで，kは光的ベクトル

k :=1

∆

[(r2 + a2)∂t + a∂φ + ∆∂r

](4.5.58)

である．さらに，

l :=1

2Σ2

[(r2 + a2)∂t + a∂φ − ∆∂r

](4.5.59)

とおくと，

k · k = 0, k · l = −1, l · l = 0, (4.5.60)

Rµανβkαkβ = (Ψ2 + Ψ2)kµkν , (4.5.61)

Rµανβlαlβ = (Ψ2 + Ψ2)lµlν (4.5.62)

が成り立つ．ここで

Ψ2 = − M

(r + ia cos θ)3. (4.5.63)

これより，Kerr時空はPetrov型Dとなる．

4.5.6 Kerr時空の測地線

Carter定数

Kerr時空では，ξ = ∂tと η = ∂φがKillingベクトルとなるので，

−pt =

(1 − 2Mr

Σ2

)t +

2aMr

Σ2= E, (4.5.64a)

pφ = −2aMr

Σ2+

Γ sin2 θ

Σ2φ = Lz (4.5.64b)

が保存される．Kerr時空では，さらに次の量が保存される（Carter定数）：

K = 2Σ2(p · k)(p · l) + r2p · p ≥ 0. (4.5.65)

したがって，

−∆Σ2

Γt2 +

Γ sin2 θ

Σ2(φ− Ωt)2 + Σ2

(r2

∆+ φ2

)= p2 = −ε (4.5.66)

を考慮すると，測地線の方程式は求積可能な常微分方程式系に帰着される．

Σ4r2 =[(r2 + a2)E − aLz

]2 − ∆(εr2 +K), (4.5.67a)

Σ4θ2 = −(aE sin θ − Lz csc θ)2 − εa2 cos2 θ +K, (4.5.67b)

Σ2t =1

∆(ΓE − 2aMrLz), (4.5.67c)

Σ2φ =1

∆

[2aMrE + (Σ2 − 2Mr)Lz csc2 θ

]. (4.5.67d)

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第 4章 ブラックホール 122 目次へ

順回転 反回転a = 0 a = M(1 − δ) a = −M

(δ → 0)

rph 3M M [1 +√

8δ/3] 4M

rmb 4M M [1 + 2√δ] (3 + 2

√2)M

rst 6M M [1 + (4δ)1/3] 9M

表 4.1: a = 0および a = ±M に対する極限円軌道

赤道面での運動

θ = π/2のとき，運動方程式は次の常微分方程式に帰着される：

r2 − V (r) = E2, (4.5.68)

V :=ε∆

r2+L2 − a2E2

r2− 2M

r3(aE − L)2. (4.5.69)

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第 4章 ブラックホール 123 目次へ

§4.6

一意性定理

4.6.1 諸定義

【定義 4.6.1 (dominant energy condition)】 　 Tµνが任意の未来向き時間的ベクトルX, Y に対して，T (X, Y ) ≥ 0となるとき，dominant eneryg condition

を満たすという．

【定義 4.6.2 (定常ブラックホール時空)】 　 (M , g, ξ)が次の条件を満たすとき，定常正則予言可能であるという：

i) (M , g)は準Cauchy面Σに関して正則予言可能.

ii) ξはI +およびI −の近傍で時間的なKilling ベクトルで，M の等長変換 θtを生成する．

iii) (M , g)はEinstein方程式の解で，対応するTµνはdominant energy condition

を満たし，Tµν に寄与する物質は性質のよい双曲型方程式に従うスカラ場ないし電磁場のみである．

【注 4.6.3 (時空のカテゴリー)】 　 以下，特に断らない限り，時空は常に定常正則予言可能とする．

【定義 4.6.4 (non-rotating)】 　 ホライズン上で ξ · ξ = 0となるとき，(M , g, ξ)

は非回転的であるという．

【命題 4.6.5 (強剛性定理：Hawking 1972, HE prop. 9.3.6)】 　時空が解析的で物質場は双曲型の方程式に従い，かつ弱エネルギー条件が成り立つとする．このとき，正則な定常解のイベントホライズンはKillingホライズンとなる．さらに，漸近的に時間的なKillingベクトルを kとするとき，

i) (非回転的）イベントホライズンは kに関するKillingホライズンとなる

ii) (回転的）別のKillingベクトルmが存在してそれに関して軸対称である

のいずれかが成り立つ．

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第 4章 ブラックホール 124 目次へ

4.6.2 ホライズンの位相

【命題 4.6.6 (HE prop.9.3.2, prop.9.3.3, Chrusciel & Wald 1994)】 　 B(τ)の各連結成分（ブラックホール）の境界は S2 × Rと同相．

ある τ に対してB(τ)が連結ならば，

J+(I −, M ) ∩ J−(I +, M ) ∩ M ≈ [0, 1) × S2 × R

【注 4.6.7 (付加条件)】 　 Condition 1:

• DOC := J+(I −, M ) ∩ J−(I +, M ) ≈ S2 × R2

• H + := J−(I +, M ) ≈ S2 × R

Condition 2: Non-rotating caseに対して，DOCで ξ · ξ < 0.

【命題 4.6.8 (HE prop.9.3.4)】 　 Condition 1 & static ⇒ Condition 2

4.6.3 非回転ブラックホール

【命題 4.6.9 (HE prop.9.3.5, Carter 1973)】 　 Non-rotating & Condition 2

⇒ static

【命題 4.6.10】 　 [Israel 1967,1968, Muller-zum-Hagen et al 1973,1974,

Robinson 1977] Static & Conditions 1 ⇒ DOC: 球対称

【命題 4.6.11 (Lindblom 1980)】 　 Static, Condition 2 and 3-geometry:conformally

flat⇒ 球対称

【命題 4.6.12】 　 [Bunting&Masood-ul-Alam 1987, Ruback 1988, Masood-

ul-Alam 1992] Static and Condition 2 ⇒ 3 Geometry: conformally flat

【定理 4.6.13 (Uniqueness for Non-rotationg BH)】 　 Non-rotating and Con-

dition 2 ⇒ Schwarzschild or Reissner-Nordstrom

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第 4章 ブラックホール 125 目次へ

4.6.4 軸対称ブラックホール

【命題 4.6.14 (Circular symmetry)】 　 [HE prop.9.3.7, Papaetrou 1966,

Carter 1969] (M , g): axisymmetric & stationary regular predictable

Tµν : empty or source-free EM fields

⇒ Killingベクトル ξ, η([ξ, η] = 0) は 2-surface orthogonal.

【命題 4.6.15】 　 [HE prop.9.3.8, Carter 1971, 1973] 前命題の条件 &

Condition 1 ⇒ ρ2 := (ξ · η)2 − (ξ · ξ)(η · η) > 0 in DOC (対称軸上を除いて），ρ2 = 0 on H +.

【命題 4.6.16】 　 [Carter 1971, 1973] 前命題の条件のもとで，定常軸対称楕円体座標 λ, µ, φ, tがDOCの global chartとなる：

ds2 = Ξ

(dλ2

λ2 − c2+

dµ2

1 − µ2

)+Xdφ2 + 2Wdφdt− V dt2.

この座標系のもとで

ρ2 = (λ2 − c2)(1 − µ2)

c = M − 2ΩHJ − ΦHQ.

また，対称軸は µ = ±1，ホライズンは λ→ c．

【命題 4.6.17 (Ernst形式での表現)】 　 [Carter 1970, 1973] 前命題の条件下で，Einstein方程式の解は２次元時空

ds22 =

dλ2

λ2 − c2+

dµ2

1 − µ2(−1 < µ < 1, c < λ <∞)

上での場X, Y,E,Bに対する変分方程式

δS = δ

∫Ldλdµ = 0;

L =|∇X|2 + |∇Y + 2(E∇B −B∇E)|2

2X2+ 2

|∇E|2 + |∇B|2X

に対する次の境界条件を満たす解で与えられる：

• X, Y,E,Bとその微係数は有界.

• µ→ ±1のとき，X, ∂λ(E,B, Y ), ∂µY + 2(E∂µB − B∂µE)はゼロに近づく.

• λ→ ∞のとき，

E = −Qµ + O(1/λ) , B = O(1/λ) ,

Y = 2Jµ(3 − µ2) + O(1/λ) , λ−2X = (1 − µ2)(1 + O(1/λ)).

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第 4章 ブラックホール 126 目次へ

【命題 4.6.18 (empty case)】 　 [Robinson 1975] Prop.4.6.17の条件下で，empty(E = B = 0)のとき，各C, J に対して解は高々１個．

【命題 4.6.19 (一般の場合)】 　 [Robinson 1974] Prop.4.6.17の条件下で，解の集合の各連結成分は高々３個のパラメーターC, J,Qで記述される．

【定理 4.6.20 (No hair theorem)】 　 [Mazur 1982, Bunting 1981, 1983]

Condition 1のもとで，高々電磁場しか存在しない系に対する Einstein方程式の rotating, stationary regular predictableな解は，Kerr-Newmann解に限られる．

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第 4章 ブラックホール 127 目次へ

§4.7

高次元への一般化

4.7.1 一般化されたWeyl理論

【命題 4.7.1】 　 ξ(1), · · · , ξ(D−2)をD次元時空の可換なKillingベクトルとする．(D − 2)形式

χ := ξ(1)∗ ∧ · · · ∧ ξ(D−2)∗ (4.7.1)

として，各 iに対して

1) χ ∧ R(ξ(i))∗ = 0

2) χ ∧ dξ(i)∗が少なくとも１点でゼロとなる．

の２条件が満たされるなら，すべての ξ(i)に直交する２次元包合系は可積である．

Proof. 一般に，

d ∗(ξ ∧ η) = ±diξ ∗η = ±(L−ξ ∗η − iξd ∗η)

より，

d(χ∧ dξ(i)) = ±iξ(1) · · · iξ(D−2)d ∗dξ(i) = ± ∗(χ∧ ∗d ∗dξ(i)) = ± ∗(χ∧R(ξ(i)).

よって，仮定より，χ ∧ dξ(i) = 0．これは，適当な１形式の系Ωji を用いて

dξ(i) = Ωji ξ(j)

と表されることと同値．よって，Frobeniusの定理より，関数の系 φ1, · · · , φD−2とf ji が存在して，

ξ(i) = f ji∇φj.

これは，ξ(i)が φi = ci(const)により決まる２次元曲面族と直交することを意味する．

【定理 4.7.2 (一般Weyl形式)】 　 D次元Einstein方程式の真空解が可換で互いに直交する (D − 2)個のKilling ベクトルを持つとする．これらのKilling

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第 4章 ブラックホール 128 目次へ

ベクトルが上記の命題の仮定を満たし，その軌道面が時間的面であるとすると，解は（一般に）次のように表される：

ds2 =D−3∑i=0

εie2Ui(dxi)2 + e2ν(dρ2 + dz2), (4.7.2)

∂2Ui∂ρ2

+1

ρ

∂Ui∂ρ

+∂2Ui∂z2

= 0, (4.7.3)

∂ν = −2ρ∑i<j

∂Ui∂Uj . (4.7.4)

ここで，ε = ±1で，

∂ =1

2(∂ρ − i∂z) . (4.7.5)

また，Uiは拘束条件∑i

Ui = log ρ+ const (4.7.6)

を満たさねばならない．

4.7.2 5D Schwarzschild Solution

５次元 Schwarzschild解

ds2 = −(

1 − 4σ2

r2

)dt2 + r2 sin2 θ dφ2

1 + r2 cos2 θ dφ22 +

dr2

1 − 4σ2

r2

+ r2dθ2,

に対応するWeylポテンシャルは次の表式で与えられる：

e2U0 =x− 1

x + 1, e2U1 = σ2(x + 1)(1 − y), e2U2 = σ2(x+ 1)(1 + y),

e2ν =x + 1

x2 − y2.

ここで， xと yは prolate spheroidal座標

r2 = 2σ2(x+ 1), cos 2θ = y

で，計量の (r, θ)部分は x, yを用いて次のように表される．

1

2σ2e2ν(x2 − y2)

(dx2

x2 − 1+

dy2

1 − y2

).

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第 4章 ブラックホール 129 目次へ

4.7.3 Rod描像

U(a, b)をWeyl座標

ρ2 = σ2(x2 − 1)(1 − y2), z = σxy. (4.7.7)

のもとで，z軸上の a < z < bの部分におかれた線密度 1/2のロッドが作るポテンシャルとする．その具体的な表式は

e2U = c(a, b)z − b+

√ρ2 + (z − b)2

z − a +√ρ2 + (z − a)2

. (4.7.8)

この記法を用いると，Schwarzschild計量に対するポテンシャル Uiは

U0 = U(−σ, σ), U1 = U(σ,+∞), U2 = U(−∞,−σ) (4.7.9)

と表される．また，Uiに対する拘束条件は，各ポテンシャルの源の線密度の合計が常に 1/2となる条件と一致する:

U0 + U1 + U2 = U(−∞,+∞). (4.7.10)

U0

U1

U2

S3

S1

S1

pt

pt

5D Schwarzschild Black Hole

4.7.4 5D ZVW solution

一般化されたWeyl形式を用いると，容易に ZVW解の５次元版を作ることができる．すなわち，U0に対する線密度を 1/2から δ/2へ増やし，変化分を打ち消すために負の線密度 −δ1/2および−δ2/2をそれぞれ U1と U2の源に加えればよい．ここで，δ = δ1 + δ2 + 1:

U0 = δU(−σ, σ),

U1 = U(σ,+∞) − δ1U(−σ, σ),

U2 = U(−∞,−σ) − δ2U(−σ, σ).

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第 4章 ブラックホール 130 目次へ

U0

U1

U2

T2xR

S1

S1

pt

pt

1+δ1+δ2

δ1

δ2

5D ZVW Solution計量の具体的な表式は

ds2 = −fdt2 +R21dφ

21 +R2

2dφ22 + Σ2

(dx2

x2 − 1+

dy2

1 − y2

).

ここで，

f =

(x− 1

x + 1

)δ

,

R21 = σ2(1 − y)

(x+ 1)δ1+1

(x− 1)δ1,

R22 = σ2(1 + y)

(x+ 1)δ2+1

(x− 1)δ2,

Σ2 =σ2(x2 − 1)∆(x + 1)δ

2(x2 − y2)∆(x− y)δ1(x + y)δ2.

また，∆は

∆ = δ21 + δ2

2 + δ1δ2 + δ1 + δ2.

Properties The 5D spacetime described by the above metric has the following

properties:

• The spacetime is asymptotically flat. It is identical to the flat spacetime for

(δ1, δ2) = (−1, 0), (0,−1) and to the Schwarzschild spacetime for (δ1, δ2) =

(0, 0).

• The spacetime may be singular only on the segment I: ρ = 0,−σ < z < σ

and at the two points P±: ρ = 0, z = ±σ in the Weyl coordinates.

• The singularity on the segment I has the following geometrical shapes:

δ1, δ2 > 0: T 2-like.

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第 4章 ブラックホール 131 目次へ

δ1δ2 < 0 and ∆ > 0: ring-like.

δ1δ2 < 0 and ∆ < 0: S1 × R-like.

δ1 < 0, δ2 < 0 and ∆ < 0: R-like.

δ1 < 0, δ2 < 0 and ∆ > 0: point-like.

• The structures around P+ and P− are different. In particular, R21 has a

finite limit for δ1 = 1 and diverges for δ1 > 1 when one approaches P+ along

X2 = (1 − y2)/(x2 − 1)=const curves, while the behavior of R22 is controlled

by δ2.

• In particular, P+ may have a horizon structure only when δ1 ≥ 1 and δ2 = 0.

In this case, P− is singular.

Of course, there is a possibility that this pathological feature can be avoided in

a solution corresponding to a different negative mass distribution.

4.7.5 Black Ring Solution

静的なブラックリング解は

ds2 = −F (y)

F (x)dt2 +

F (y)F (x)2

A2(x− y)2

[x2 − 1

F (x)2dφ2

1 +1 − y2

F (y)2dφ2

2

+F (x)−1 dx2

x2 − 1+ F (y)−1 dy2

1 − y2

].

ここで， F (ζ) = 1 − µζ．この解はWeyl座標を

ρ =

√F (x)F (y)(x2 − 1)(1 − y2)

A(x− y)2, z =

(1 − xy)(F (x) + F (y))

2A(x− y)2.

により導入すると，次のようなWeyl形式で書かれる：

U0 = U(a3, a2), U1 = U(a1,∞), U2 = U(−∞, a3) + U(a2, a1).

ここで，

a1 = 12A, a2 = µ

2A, a3 = − µ

2A.

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第 4章 ブラックホール 132 目次へ

U0

U1

U2

S1xS2

S1

S1

pt

pt ptS1

Static Black Ring

x

y

x=-1

y=-1 y=1

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第 4章 ブラックホール 133 目次へ

4.7.6 Multi-Black Ring and Black Hole Solutions

U0

U1

U2

S1xS2

S1 S1 pt

pt ptS1

Static Orthogonal Black Rings

S1xS2

pt

S1

U0

U1

U2

S1xS2

S1 S1 pt

pt ptS1

Static Black Ring & Black Hole

S3

S1

Note that in the D = 5 minimal SUGRA models, supersymmetric solutions

with concentric rotating multiple black ring solutions that are asymptotic flat and

regular were constructed by Gauntlett and Gutowski [hep-th/0408010].

Actually, they showed that a general class of rotating supersymmetric solutions

can be constructed from three harmonic functions that can be almost freely speci-

fied, and hence superpositions of solutions are possible. These solutions have only

R × U(1) symmetry in general, in accordance with a general argument by Reall

(2002)

Further, a regular solution representing a system of a black hole and a black

ring was constructed by Bena and Warner [hep-th/0408106], as a byproduct of the

classification of BPS solutions in the 11D SUGRA model.

4.7.7 5D ZVW solution as a limit of BH-BR solutions

The 5D ZVW solution can be obtained as a limit that black rings and a black

hole merge together.

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第 4章 ブラックホール 134 目次へ

U0

U1

U2S1xD2

S1 S1 pt

pt S1

ZVW from 2 BRs and BH

S1xD2

S1

RxT2

S1

S1

U0

U1

U2

S1xS2

S1 S1 pt

pt ptS1

Static 2 Black Rings + Black Hole

S1xS2

pt

S1

S3

S1

S1

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目次へ - 135-

関連図書

[KN63] S. Kobayashi and K. Nomizu. Foundations of Differential Geometry I,

II. Interscience Pub., 1963.

[OY74] N. O’Murchadha and W. York, Jr. Initial-value problem of general

relativity. Phys. Rev. D, 10:428–446, 1974.

[SKM+03] H. Stephani, D. Kramer, M. MacCallum, C. Hoenselaers, and Herl. Ex-

act Solutions to Einstein’s Field Equations, Second Edition. Cambridge

Univ. Press, 2003.

[佐小 00] 佐藤文隆 and 小玉英雄. 一般相対性理論. 岩波書店, 2000.

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