鳥取大学数学教育研究 - Tottori University...Tottori Journal for Research in Mathematics...

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ISSN 18816134 http://www.rs.tottori-u.ac.jp/mathedu vol.19, no.1 Apr. 2016 鳥取大学数学教育研究 Tottori Journal for Research in Mathematics Education 数学教育における一般化に関する研究 学習者の推論の仕方に焦点を当てて吾郷将樹 Masaki Ago 鳥取大学 数学教育学研究室

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ISSN 1881−6134

http://www.rs.tottori-u.ac.jp/mathedu

vol.19, no.1 Apr. 2016

鳥取大学数学教育研究Tottori Journal for Research in Mathematics Education

数学教育における一般化に関する研究−学習者の推論の仕方に焦点を当てて−

吾郷将樹 Masaki Ago

鳥取大学 数学教育学研究室

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1 3 1.1. 4 1.2. 7 1.3. 10

2

11 2.1. 12 2.2.

15 2.2.1. Pytlak 2012 15

� � 2.2.2.� Ciosek 2012 17�2 18

3 19 3.1. 20 3.2 223.3 243.4

273 30

4

31 4.1. 32

4.1.1. Rivera and Becker(2004 2006a 2008) 32

4.1.2. Chua and Hoyles 2010a 2010b

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2011 34 4.2.

38 4 40

5

41 5.1.

42 5.2.

46 5 48

6

49

6.1. 50

6.2. 53

6.3. 4 56 6 63

7 64 7.1. 65 7.2. 68

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1.1. 1.2. 1.3.

21.1

21.21.3 2

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1.1. 3 1

3 2 Zazkis(2007) 1

12

2 Davidov 1990 4

1 2

Lee 1996 4

2 Mason1996 4 2

2

2 3

Mason 1996Yerushalmy 1993

2

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1.2.

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Pytlak 2012 Ciosek2012 Kolar and Cadez 2012

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Rivera and Becker (2004 2006a 2008) Chua and Hoyles(2010a 2010b 2011)

2

2

2

3

2

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Chua and Hoyles(2010a)2Chua and Hoyles(2010b)

2

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1.3. 2

2 3

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2 4 Rivera and Becker(2004 2006a 2008) Chua

and Hoyles(2010a 2010b 2011)

2 5

2 6

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2.1. 2.2.

2.2.1. Pytlak 2012

� � � � � � � � 2.2.2.� Ciosek 2012 �

2.1 2.2

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2.1.

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2 3

2

2Dorfler 1991 124

2 (

)

2

2 Dorfler 1991

2 2

2

Dorfler 1991

2

2

2Dorfler 19912

Radford 2003 2

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Radford 20033 2

2

2 Radford 2003

2

Dorfler 1991 Radford 20032 3

2

2

Harel and Tall(1991)

32

Yerushalmy 1993

3

32 Krygowska 1979

4

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2 Harel and Tall(1991) 3

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2.2.

2 Stacey(1989)n

2

Zazkis and Liljedahl(2002) Orton and Orton (1999) 2 Zazkis and Liljedahl(2002)

2 Orton and Orton(1999)

2

Pytlak2012

Ciosek2012 2 2.2.1 Pytlak 2012

Pytlak 2012 2 1. 2

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2. 7 2 3.

2 4. 2

2 1 2 3 4

62 Pytlak

2012

2

2 2 A B 1 4

2 5 A1 2 3 4

2 Pytlak(2012)2

2 B2

Pytlak 2012 2 5

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2 2.2.2�Ciosek 2012 �

Ciosek 2012 Pytlak 20122Ciosek 2012 14 15

16 192

2 A B2

A n Krygowska 19792

B n Krygowska 1979

2

2 Ciosek 2012

2 Ciosek 2012Pytlak 2012

2

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3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

23.1

23.2 3.123.3

3.42

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3.1. Kolar and Cadez 2012 2.2

Ciosek 2012 Krygowska 1979

2

2

2

2

4 4 2n× n

2 1×1 1 3 4 1 2×2 1 8 9 1 3×3 1 15 16 1

n× n 1 ( 1)! − 1 2

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4 4 1 (1 1)

2 n× n

1 2

1

1 4 4

2 1

1

4 n 42

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3.2

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2 4 4 2 n× n

2

1

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4 4 1 (1 1)

2 n× n 1 2

11 1 12 21 10 10

2

1 14

110 10 8 4 ( 10 1 )

2 8 4 ( n 1)

2

Kolar and Cadez 20122

2

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3.3.Kolar and Cadez 2012

2

22.2Ciosek 2012

2

Pytlak 20122

Pytlak 2012 Krygowska 19794 2

2015a

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Pytlak 2012 3

2

1

2

2 42

1 2

2

5 2

2

2

1 2

2

2 Krygowska 1979 4

2

2

n f (n) 2 f (1) f (2) f (3)

n f (n)

2 2

2

1

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2

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n f (n)

2 1f (2) f (1) 2

f (3) f (2) n

2 212

Krygowska 1979

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2 42

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3.4.

2.2 Pytlak 2012 Ciosek 20123.3

2 Pytlak 20122

Krygowska1979

2

2

2

3 5 72

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2 Ciosek 2012

Pytlak 2012

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4

4.1.

4.1.1. Rivera and Becker(2004 2006a 2008)

4.1.2. Chua and Hoyles 2010a 2010b 2011

4.2.

24.1 Rivera and Becker(2004 2006a 2008) Chua and Hoyles 2010a2010b 2011

4.22

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4.1.1 3

Pytlak 2007 2 Pytlak 20073

2

Pytlak 20072 Pytlak 2007 3

2 Pytlak 2007

Rivera and Becker(20042006a 2008) Chua and Hoyles(2010a 2010b 2011)

2 4.1.1. Rivera and Becker(2004 2006a 2008)

Becker and Rivera(2004) 1999 20038 9

2

2

9 2

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222 3 2

2

2

2 Becker and Rivera(2006a)

2

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2 Rivera and Becker(2008)

22

2

3

2 4.1.2. Chua and Hoyles 2010a 2010b 2011

Chua and Hoyles(2010a)

2 Chua and Hoyles(2010a)

Becker and Rivera 20043 2

,2

Chua and Hoyles 2010a Rivera and Becker(2008)

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2

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2

2 Chua and Hoyles(2010a) Rivera and Becker 2008

24 2

2

2 Chua and Hoyles 2010a

2Rivera and Bec

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ker(2008)Chua and Hoyles 2010a

2

2

2

2

2 Chua and Hoyles 2011 Rivera and Becker(2008)

Bezuszka and Kenney(2008)2

,

2

,2Chua and Hoyles(2014)

2

2

2 Rivera and Becker(2004 2006a 2008) Chua and

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Hoyles 2010a 2010b 20113

7 2 Becker and Rivera 2004

Rivera and Becker 2008

Chua and Hoyles 2010a

Chua and Hoyles 2011

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4.2. Becker and Rivera(2004)

2 Chua and Hoyles(2010a 2010b 2011) 7

2015b 22

7 Chua and Hoyles(2010a) 7 2

Chua and Hoyles(2010a)13

2 4

42 Chua and Hoyles(2010a) 7

2

72

2

2

Chua and Hoyles(2010a)7

2 1 2

2 Becker and Rivera 2004 Chua and

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Hoyles(2010a)2

Becker and Rivera(2004) Chua and Hoyles(2010a)

2

2

Polya 1959

2 2+12 +2 3+22 +3

4+32 +4 n (n+1)+ n2 + (n+1)

2

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4 Rivera and Becker(2004 2006a 2008) Chua

and Hoyles(2010a 2010b 2011)

2 Becker and Rivera(2006a)

23

2 Chua and Hoyles(2010a 2010b2011)

7 2

Rivera and Becker(2004 2006a 2008) Chua and Hoyles (2010a 2010b 2011) 2

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5

5.1.

5.2.

25.1 5.2 4.2

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5.1.

� Rivera and Becker 2008 Chua and Hoyles 2011

2

2

Chua and Hoyles 2011

2 2

2

2

2

2

2

2

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2+12 +2 3+22 +3 4+32 +4

32

32 − (2×2) 42 − (2×3) 52 − (2×4)

22

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2 2 2 3 1 4 2 5 3

(3×1)+2 (4×2)+2 (5×3)+2

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2

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2

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2 4

C 90C

2 12

2

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2 Chua and Hoyles(2011)

2

2

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5.2.

5.11 24

2 2 32

2 5.1

2

2 n 1 2 3 4 un

5 10 17 26

5 7 9 5 7 9

2 2 un= an2 + bn+ c 2

n 1 2 3 4 un

1th

2th

a+ b+ c 4a+2b+ c 9a+3b+ c 16a+4b+ c

1th 3a+ b 5a+ b 7a+ b

2th 2a 2a

2a = 2 a =13a+ b = 53×1+ b = 5 b = 2a+ b+ c = 51+2+ c = 5 c = 2

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n un= n2 +2n+2

1

2 4

Chua and Hoyles 20122

2

2

2

2

2

2

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5 4.2

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2

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6

6.1.

6.2. 6.3. 4

2 6.1

6.22 6.3 6.1 6.2

2

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6.1.

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2

2

2

2

2

Rivera and Becker 20052

2 Rivera and Becker 2005Chua and Hoyles(2010a)

2 2

1 2 3

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1 1 32 1

2 2 1

3 52 1 2

2 2 3 2

2

2 2

2 3

2

2

2

221 4 9

2

1 4 9 2

, 2 3 ,2

Pytlak 2012 2

n

2n+1

12 22 32

n2

2n2 +2n+1

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6.2

2 2001

42

4.

2

2 2

2 2

2

2 2001

2

2

2014 4

4

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2 4

2

2

2 2014

2

2

2 2014

2001 2014

2 Rivera and Becker 2004 Chua and

Hoyles(2010a)

2

2 1

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6.3 4 2

2

1 2 3 1

2

2 6

4

2

2

2

1 2 3 4 5 6 4 10 18 28 40 54

6 8 10 12 14

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1 2 3 4 5 6 4 10 18 28 40 54

16 8 10 2

1 4 4 2 5 36 2

n(n+3)

2

1

2 Rivera and Becker(2008) Chua and Hoyles(2010a)

2 2001 4

2

2001

2

2001

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2 2

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2 466

2

2 34

2

2 34 5

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7 102

2

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2

2 . 4 L 2

1 2 3

. 4 L 22

1 1L1 2 1

2 L 12

2

16 8 10

2 . 4 L 2

2

L 1

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L 2

1 2 3 1 1 2 1 2 3 1 2 3

L 2 2

2

12

LL 1 2

2 4L 4 3 4

× 2

2 n 2(n+ 12n(n+1)) = n(n+3)

2 L 2

2 L 2

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1 1 4 2 2 3 1 2

2 2 5 2 5 4 1 3

3 3 6 2 9

n n(n+3) 2 .

L 22 L 1 2 2 2 2 5

2

2 L 2

2 1

1 4 2 2 5,

2 L 21

L 3 4 L 21 2 3 1 2

4 1 3 21 2 3 1 3 4

1 4 2

12

L 22

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1 Ciosek 2012 Pytlak 20122

2 2

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69

Dorfler.W. 1991 ”Forms and means of generalization in

Mathematics” In Bishop.A(ed.)Mathematical Knowledge: Its Growth Through Teaching,pp.63-85,Kluwer Academic Publishers.

Becker,J., and Rivera,F.D.(2004) (An Investigation of Be- ginning Algebra Students Ability to Generalize Liner Pa- tterns”.In Proceedings of the28 th Conference of the Inte- rnational Group for the Psychology of Mathematics Educ- ation,edited by M.J.Hoinesn and A.B.Fuglestad,pp.1-128. Bergen,Norway:PME,2004.

Rivera,F.D and Becker,J. 2005 Figural and numerical modes of generalizing in algebra.Matematics Teaching in the Middle School 11(4),198-203.

Becker,J., and Rivera,F.D. 2006a .Establishing and Jus- tifying Algebraic Generalization at the Sixth Grade Lev- el.In J.Novotna,H.Moraova,M.Kratka,&N.Stehlikova(Ed- s.),Proceedings of the 30th Conference of the International Group for the Psychology of Math Education(Vol.4,pp.464 -472).Prague:Charles University.

Zazkis,R.,&Liljedahi,P.,&Chernoff,E.(2007).The role of exa- mples in forming and refuting generalizations.ZDM,

Rivera,F.D.,and Becker,J. 2008 Middle school children‘s cognitive perceptions of constructive and deconstructive generalizations involving linear figural patterns.ZDM,40 (1),65-82.

Bezuszka,S.J., and Kenney,M.J.(2008) The three R’s:Recu- rsive thinking,recursion,and recursive formulas.In C.E. Greenes & R.Rubenstein(Eds.),Algebra and Algebraic Th- Inking in School Mathematics (Seventieth Yearbook)(pp.

Page 72: 鳥取大学数学教育研究 - Tottori University...Tottori Journal for Research in Mathematics Education 数学教育における一般化に関する研究 −学習者の推論の仕方に焦点を当てて−

70

81-97).Reston,VA:NCTM. Chua,B.L.,and Hoyles,C.(2010a) Generalization and perce-

ptual agility:How did teachers fare in a quadratic genera- lizing problem?Research in Mathematics Educatuion,12 (1),71-72.

Chua,B.L.,and Hoyles,C.(2010b).Teacher and student cho- ices of generalizing strategies:A tale of two views?In Y. Shimizu,Y.Sekiguchi & K.Hino(Eds.),Proceedings of the 5 th East Asia Regional Conference on Mathematics E- ducation(Vol.2,pp.24-31).Tokyo,Japan:EARCOM.

Chua,B.L.,and Hoyles,C.(2011) Secondary school students perception of best help generalizing strategis.National I- nstitute of Education(pp.440-449)

Chua,B.L.,and Hoyles,C.(2012).Seeing through students’ eyes: the best-help strategy for pattern generalization.12 th International Congress on Mathematical Education.

Pytlak,M. 2012 Students working on regularities a case study from Poland.In M.B,Tatsis &T.K(Edus),Generaliz- ation in mathematics at all educational levels(pp.215-23 3).Poland and Rzeszow:Rzeszow University.

Ciosek 2012 Generalization in the process of defining a concept and exploring it by students.In M.B,Tatsis & T.K (Edus),Generalization in mathematics at all educational levels(pp.38-56). Poland and Rzeszow:Rzeszow Universit y.

Kolar and Cadez 2012 Dependence of the problem solving strategies on the problem context.In M.Pavlekovic(Edus), mathematical teaching for the future(pp.162-171).

Chua,B.L.,and Hoyles,C. (2014).Generalisation of Linear Figural Ptterns in Secondary School Mathematics.The m-

Page 73: 鳥取大学数学教育研究 - Tottori University...Tottori Journal for Research in Mathematics Education 数学教育における一般化に関する研究 −学習者の推論の仕方に焦点を当てて−

71

athematics educator 2014,Vol.15,No.2,1-30. Polya.G, 1954a , 1 4

2000 4 38 125-128

2001 4 - 4 4

- 12 53-57 2012 4

2014 4 8 37-40. 2015a 4

.Vol.18,No4,pp.1-9 2015b 4

48

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鳥取大学数学教育研究  ISSN 1881−6134

Site URL:http://www.rs.tottori-u.ac.jp/mathedu

編集委員

矢部敏昭 鳥取大学数学教育学研究室 [email protected]

溝口達也 鳥取大学数学教育学研究室 [email protected]

(投稿原稿の内容に応じて,外部編集委員を招聘することがあります)

投稿規定

❖ 本誌は,次の稿を対象とします。

• 鳥取大学数学教育学研究室において作成された卒業論文・修士論文,またはその抜粋・要約・抄録• 算数・数学教育に係わる,理論的,実践的研究論文/報告• 鳥取大学,および鳥取県内で行われた算数・数学教育に係わる各種講演の記録• その他,算数・数学教育に係わる各種の情報提供

❖ 投稿は,どなたでもできます。投稿された原稿は,編集委員による審査を経て,採択が決定された後,随時オンライン上に公開されます。

❖ 投稿は,編集委員まで,e-mailの添付書類として下さい。その際,ファイル形式は,PDF

とします。❖ 投稿書式は,バックナンバー(vol.9 以降)を参照して下さい。

鳥取大学数学教育学研究室〒 680-8551 鳥取市湖山町南 4-101

TEI & FAX 0857-31-5101(溝口)

http://www.rs.tottori-u.ac.jp/mathedu/