原子力顯微鏡 V 型微懸臂探針的分析 Analysis on the V-Shaped...
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國 立 成 功 大 學 機 械 工 程 學 系 碩 士 論 文 原子力顯微鏡 V 型微懸臂探針的分析 Analysis on the V-Shaped Cantilever Beam of Atomic Force Microscopy 研 究 生：陳 炳 勳 指導教授：李 森 墉 中 華 民 國 九 十 三 年 六 月
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I
國 立 成 功 大 學 機 械 工 程 學 系
碩 士 論 文
原子力顯微鏡 V 型微懸臂探針的分析
Analysis on the V-Shaped Cantilever Beam of Atomic Force Microscopy
研 究 生：陳 炳 勳
指導教授：李 森 墉
中 華 民 國 九 十 三 年 六 月
I
II
中文摘要
本文提出一個解法，可以求出原子力顯微鏡(AFM)之 V 型微探針
在非線性原子力邊界條件下之確切靜態撓度，另外也求出在彈性邊界
與薄膜阻尼下的動態解。首先考慮一般情況下的探針物理模型，推導
出其統御方程式和邊界條件。再分別討論靜態位移和動態共振頻率，
由於 V 型樑的特殊造型，用連續條件求出系統的正解。研究探針-樣
品表面間之非線性力作用與探針撓度的關係、各種參數對系統靈敏度
之影響；非接觸量測模式(non-contact mode)之尺寸改變與薄膜阻尼對
共振頻率影響的問題。
III
Abstract
A new method is proposed to drive exact static deflection of AFM
(atomic force microscopy) V-shaped probe with nonlinear atomic force
boundary, and dynamic natural frequency with elastic root and squeeze
film damping. First, drive the governing equation and boundary
conditions of a general physical model. And discuss static deflection and
dynamic resonance frequency respectively. Use continuity condition to
derive the solution due to the geometry of V-shaped cantilever tip.
Investigate the influence of natural frequency shifting by probe
dimension in the non-contact model, the relation between deflection of
beam and tip-surface distance, and the influence of sensitivity of
measurement by some parameters.
IV
誌謝
感謝恩師 李森墉老師兩年來在學業及生活上的指導和教誨，使
得可以順利度過研究所這段時光，並讓本論文得以完成，在此致上最
誠摯的謝意與感激。也要感謝論文口試委員陳鐵城老師及林水木老師
對本論文的指正與建議，讓本論文更完美。
在論文研究摸索過程中，十分感謝林水木學長不厭其煩地悉心教
導與建議，使得論文可以順利完成。
還要感謝在研究所給予指導的學長︰哲嘉、俊峰、小長哥、銘宏、
小孩和昆蔚，以及同窗彭彭、耀文，學弟 midi、條仔和胖輝的互相扶
持和砥礪，充實了研究所生活。
要感謝父母的照顧，還有弟弟的支持，使我可以順利地完成學業。
還要感謝小玉的陪伴和關心，向你們說聲謝謝。
最後，僅將本文獻給所有關心、幫助過我的人。
V
目錄
中文摘要 .....................................................................................I
Abstract..................................................................................... III
目錄 ........................................................................................... V
表目錄 ................................................................................... VIII
圖目錄 ...................................................................................... IX
符號說明 ................................................................................... X
第一章 緒論 ............................................................................ 1
1.1 前言...............................................................................................1
1.2 原子力顯微鏡微探針之介紹 ......................................................2
1.3 文獻回顧........................................................................................4
1.3.1 原子力顯微鏡靜態量測......................................................4
1.3.2 原子力顯微鏡 V 型探針動態量測.....................................5
1.3.3 微系統之阻尼特性..............................................................6
1.4 研究動機及目的...........................................................................8
第二章 物理模型分析 ............................................................ 10
2.1 一般問題.....................................................................................10
2.2 靜態問題.....................................................................................15
VI
2.2.1 無因次化的統御方程式及邊界條件 ..............................18
2.2.2 變數變換法.......................................................................19
2.2.3 V 型探針.........................................................................22
2.2.4 移位函數...........................................................................22
2.2.5 轉換函數...........................................................................23
2.2.6 連續條件...........................................................................26
2.3 動態問題.....................................................................................33
2.3.1 無因次化的統御方程及邊界條件 ..................................36
2.3.2 V 型樑之無因次參數.....................................................37
2.3.3 統御方程式及邊界條件...................................................38
2.3.4 頻率方程式.......................................................................40
2.3.5 第一段確切基本解...........................................................42
2.3.6 第二段確切基本解...........................................................47
2.3.7 連續條件...........................................................................51
第三章 數值分析與討論 ........................................................ 58
3.1 V 型微探針之靜態分析...........................................................58
3.2 無阻尼 V 型微探針之分析與討論............................................69
3.3 具阻尼 V 型微探針之數值分析與討論 ...................................74
第四章 結論 ............................................................................ 81
VII
參考文獻 .................................................................................. 82
VIII
表目錄
表 3.1 微懸臂樑之材料與幾何形狀..........................................................61
表 3.2 ξ1 = 0.0 對探針尖端撓度與探針樣品間距離的關係的影響 ........62
表 3.3 ξ1 = 0.5 對探針尖端撓度與探針樣品間距離的關係的影響 ........63
表 3.5 ξ2 = 0.5 對探針尖端撓度與探針樣品間距離的關係的影響 ........65
表 3.6 ξ2= 0.8 對探針尖端撓度與探針樣品間距離的關係的影響 .........66
表 3.7 共振頻率值之比較.........................................................................71
表 3.8 無因次自然頻率值的比較..............................................................71
IX
圖目錄
圖 1.1 作用力-探針和樣品間的間距之關係 .............................................3
圖 2.1 一般情形下原子力顯微鏡 V 型探針的物理模型........................12
圖 2.2 靜態問題下原子力顯微鏡 V 型探針的物理模型........................17
圖 2.3 微型探針與樣品表面之關係.........................................................33
圖 2.4 動態問題下原子力顯微鏡 V 型探針的物理模型........................35
圖 2.5 微型樑與剛性壁示意圖: (a) 側視圖﹔(b) 上視圖 .....................57
圖 3.1 ξ1 對探針尖端撓度的影響...........................................................67
圖 3.2 ξ1 對探針自重造成撓度的影響...................................................68
圖 3.3 1 0.3ξ = 時，不同長寬比對自然頻率之影響..............................72
圖 3.4 ξ1 對系統自然頻率的影響...........................................................73
圖 3.5 ξ1 對阻尼係數 0a 的影響 .............................................................76
圖 3.6 0a 對頻率偏移之影響 ...................................................................77
圖 3.7 ξ1 對衰減速率ζ的影響...............................................................78
圖 3.8 長寬比對衰減速率ζ的影響.........................................................79
圖 3.9 B/L 對阻尼係數 0a 的影響 ..........................................................80
X
符號說明
0a 薄膜阻尼係數
( )A x 樑斷面積
HA Hamaker 常數
( )b ξ 無因次抗撓勁度
D 探針頭與樣品間之距離
( )E x 楊氏模數
vdwf 探針頭與樣品間之交互作用力
vdwF 無因次探針頭與樣品間之交互作用力
( , )flowF x t 結構與流體作用產生之阻尼力
RF 樑右邊所受的作用力
LF Lennard-Jones force
Lf 無因次 Lennard-Jones force
bf 無因次探針頭重量
1vc 無因次排斥力參數
Hi Hamaker constant
is 移位函數
iv 轉換函數
( )I x 面積慣性矩
XI
TLK 樑左端之位移彈簧模數
LKθ 樑左端之旋轉彈簧模數
TRK 樑右端之位移彈簧模數
L 樑長度
B 樑寬度
bh 樑厚度
bw 樑小支架寬度
0ζ 空氣薄膜厚度
( )m ξ 單位長度之無因次質量
tipm 探針頭之質量
( )q ξ 無因次橫向分布力
flowP 流體之壓力
( )P x 橫向分布力
r 二原子或小分子間之距離
t 時間
u 樑在 y 方向之撓度
v 樑在 y 方向之撓度
iV 正規化基本解
w 樑在 z 方向之撓度
XII
w 負荷所引起的撓度
( )W ξ 負荷所引起的無因次撓度
iξ 無因次幾何參數
, ,x y z 座標參數
( )xγ 薄膜阻尼係數
τ 無因次時間量
( )ρ ξ 單位體積之質量密度
TLβ 樑左端之無因次位移彈簧模數
Lθβ 樑左端之無因次旋轉彈簧模數
TRβ 樑右端之無因次位移彈簧模數
ξ 距離樑左端之無因次長度
ζ 結構間之微小間隙
µ 流體之黏滯係數
Ω 自然頻率
ω 無因次自然頻率
λ 衰減速率
1
第一章 緒論
1.1 前言
二十世紀初期，開始了人類的太空時代。人類開始好奇外面的世界
長什麼樣子，加上戰爭科技的需求與競爭，各先進國家紛紛投入相當多
的人力物力在太空探險。但是慢慢地，科學發現了微小世界的新奧秘，
在微觀與宏觀之間的界觀尺寸(即奈米尺寸)，發現了許多特殊超乎尋常的
物理、化學、光電特性，有人開始預言奈米科技將創造未來科技上重大
突破，原子力顯微鏡也在這時被發明出來，被當作探索奈米世界的眼睛
和雙手。
1982 年 IBM 蘇黎世研究所的 Binnig 與 Rohrer[1]及其同事成功地研
製出第一台掃描式穿隧顯微鏡(Scanning Tunneling Microscopy，STM)，在
研究奈米甚至原子尺寸的表面原子、分子的幾何結構及與電子行為有關
的物理、化學性質開闢了新的途徑。 1986 年，Binnig，Quate 和 Gerber[2]
發明了原子力顯微鏡(Atomic Force Microscopy，AFM)改良了掃描式穿隧
顯微鏡需導電材料的限制，使得研究的材料範擴大許多。
奈米科技不單單是一門獨立的科學，它可以應用到各個科學領域
中，為許多科學領域開拓了新天地，而幾乎貫穿了全部奈米技術之掃描
2
式穿隧顯微鏡和原子力顯微鏡(也被統稱為 SPM，Scanning Probe
Microscopy)，因其具有原子與奈米尺度之分析、影像掃描與加工的能力，
所以在奈米技術的發展中占有極為重要的地位。
1.2 原子力顯微鏡微探針之介紹
在 1986 年原子力顯微鏡被研究出來之後不久，就有人想到把原本矩
型的探針設計成 V 型的，使用在原子力顯微鏡量測上。雖然矩形的探針
比較容易在量測時反射光學訊號，但是 V 型探針可以減低掃描時樣品表
面對探針作用的橫向力，提高探針橫向剛性，增加探針對扭轉的抵抗，
將橫向力對掃描品質的影響減至最低。可是因為其較複雜的幾何結構，
解析 V 型探針的共振頻率比較困難。
微探針常用的材料如 Si3N4和 SiO2，以微機電製程出來的探針不一定
都是完全相同的機械性質，密度不同會對應到不同的楊氏係數。有時候
探針上會鍍一層金膜或是陶瓷，由於金或陶瓷有較高的材料係數和密
度，可以提高探針的剛性，但是同時也會顯著地增加探針的重量，造成
共振頻率下降。所以，如何取捨鍍膜要依量測目的和型態來作依據。
原子力顯微鏡之量測原理為一對微弱力相當敏感之微懸臂樑一端被
固定，而另一端則有一微小之針尖，原子力顯微鏡在掃瞄樣品時，因針
3
尖原子與樣品表面原子存在著一極微弱之作用力(Lennard-Jonse Force)，
包含凡得瓦爾力(Van Der Waals Force)和排斥力，使得微懸臂樑產生一微
小之撓度，利用不同之檢測如穿隧電流法、光學干涉法…等方法來取得
微懸臂樑產生之微小撓度。針尖與樣品表面的距離與作用原子力的關係
如圖 1.1。
圖 1.1 作用力-探針和樣品間的間距之關係
4
1.3 文獻回顧
1.3.1 原子力顯微鏡靜態量測
原子力顯微鏡(AFM)目前廣泛的應用在材料表面的影像掃描，量測範
圍從微米到次奈米等級。為了原子力等級解析度影像和探針-樣品間距離
等資訊，發展出一個很有效的方法：頻率偏移模式(frequency shift mode)。
Holscher et al. [3]以集中質量模型與一個非線性解法 ( perturbation
method )，研究原子力顯微鏡量測中非接觸模式的頻率位移。Sasaki et al.[4]
研究非接觸模式的頻率偏移，考慮具有集中質量與 Lennard-Jones potential
的模型。Rabe et al.[5] 研究無探頭質量的均勻樑，探針-樣品間的作用力
以線性彈簧模擬。這個模型是不夠正確的，因為真實的作用力是非線性
的。Fung and Huang [6] 以有限元素法分析微壓電樑的動態反應，也使用
Lennard-Jones potential 模型。 Sokolov et al.[7] 研究 Lennard-Jones
potential 模型的穩定度與成像。近似法使用在動態 AFM 量測，分析中的
振幅通常在 1-100 nm，遠大於正常的原子力作用力範圍，通常作用力範
圍僅數A。因此，需要精準的分析改善表面成像的研究和原子作用力。
目前樑具有探頭集中質量與非線性作用力的方面，所發表的論文仍比較
缺乏，因為非線性邊界條件是個很複雜的問題。
5
1.3.2 原子力顯微鏡 V 型探針動態量測
H..o lscher et al. [8]，以集中質量的方式模擬微樑探針，利用微擾法
(perturbation method)研究共振頻率偏移問題。以線性模式用頻率偏移來推
知力梯度，適用於探針振幅趨近零的情況。Sasaki et al.[9]採集中質量及
Lennard-Jones 位能模式，並用 Poincare map 法研究頻率的偏移問題。Rabe
et al.[10]研究不具探針頭的均勻樑，作用力以線性彈簧方式來模擬。
Weigert et al.[11]，比較不具探頭的均勻樑，在沒有接觸作用力的情況，
在真空，空氣和水中，樑自然頻率的變化。Fung 和 Huang[12]考慮壓電
微型樑和 Lennard-Jones 位能模式，利用有限元素法來分析動態反應。
Sokolov et al.[13]利用簡化的 Lennard-Jones 位能模式分析，以致於成像會
失真。以上除了 Sokolov et al.的論文外，皆未討論成像問題。且分析模式
除論文(Fung 和 Huang)較完整外,都太簡略而適用性不佳。但論文 Fung 和
Huang[12]採用有限元素法分析屬於近似法，對於高頻分析而言精度是不
佳的。而 AFM 之設計為了防止外界振動干擾，其共振頻率很高，且操作
頻率是在共振頻率附近。故 F.E.M 法不是很好方式，必須建立解析解才
行。
在 SFM(scanning force microscopy)發展之初，探針微型樑的彈簧係數
和探針重量就被認為是很重要的影響因素。在接觸模式量測時，彈簧係
6
數會限制探針在樣品表面上的作用力，而且彈簧係數和探針重量都會限
制掃描速度。在非接觸式量測時，對於掃描速度有相同的限制，另外彈
簧係數會限制掃描力解析度。大部分研究原子力探針的論文，都會討論
到彈簧係數的效應。Neumeister 和 Ducker[14]以解析法和 F.E.M.法分析 V
型樑在橫向、垂直和縱向的彈簧常數。Clevelan[15]、Hazel[16]、Gibson et
al.[17]以理論及實驗分析 V 型樑的彈簧常數和鍍膜厚度。
另外，也有些論文是以板的理論分析原子力顯微鏡微型樑。Sader [18]
將 V 型微型樑當成兩根矩形樑分析( parallel beam approximation )，這種
分析方法在研究 V 型微型樑是常常被使用的。Sader、White[19]和 Sader[20]
將 V 型微型樑以均質等向性薄板理論分析，並且假設微小變形，求彈簧
係數和探針頭的位移。Neumeister 和 Ducker[14]將 V 型微型樑，一段以
板理論，另一段以樑理論分析，研究垂直、縱向和橫向的彈簧係數。
微型樑的厚度達到某種程度(1μm)，材料性質(例如楊氏係數)就會受
到表面效應很大的影響[16]。這會使得理論分析會因為材料性質與實際有
出入，而造成理論與實驗結果有誤差。
1.3.3 微系統之阻尼特性
在微系統的設計過程，預測阻尼特性是最重要的部分，因為阻尼特
7
性會決定系統的動態行為。其原因為在微系統中供給系統運作所需之能
量是不容易的，因此必須盡量減少阻尼所消耗的能量。另外一個原因是，
許多微感測器和致動器使用共振的方式來增加系統之敏感度或振幅。理
論上，為了提高敏感度，理想的探針尺寸儘可能微小來減輕質量，然而
這將會導致明顯的薄膜力( Squeeze film force )，在微型樑和代測物間產生
巨大的阻尼效應。
一般而言阻尼的來源有材料內部阻尼和外界產生之阻尼，對微系統
和微探針而言，最重視微結構在運動時結構間微小間隙所造成的作用
力，即薄膜阻尼( Squeeze film damping )，例如 Kokbun et al. [21]和 Blom et
al. [22]提出剛體平行於牆，垂直運動在 Squeeze film damping 下之閉合
解。Hirano et al. [23] 和 Murakimi 與 Moronuki [24]研究 Squeeze film
damping 第一自然振動頻率的行為。Matsuda 和 Fukui [25]以數值方法對
微型矩型懸臂樑阻尼性做分析和實驗。Darling et al. [26]利用 Green 函數
方法分析矩型薄膜阻尼。Xu 和 Smith [27]研究薄膜阻尼對原子力顯微鏡
探針的影響，其考慮均勻斷面懸臂樑一端固定另一端具集中質量探針
頭，簡化成等效質量和等效剛性的單自由度系統來分析。Hiroshi
Hosaka[28]量化計算空氣流動、薄膜、內部摩擦和連接表面摩擦產生的阻
尼力，並且比較這四種阻尼力的關係，還有阻尼力與微致動器尺寸的關
係。Chen et al.[29]考慮 V 型樑，撓度以級數解假設，自然頻率以數值方
8
法求得，研究在阻尼強迫振動、氣體黏性阻尼和黏性流體中的阻尼之下
的效應。
1.4 研究動機及目的
為了達到原子力顯微鏡高速量測與良好精確性，一般操作環境下的
探針自然共振頻率可達到 27 KHZ，可提高動態反應，使探針頭緊隨著樣
品表面高低起伏移動，也可避免外在環境中低頻振盪的干擾，同時阻尼
可減少振動的敏感性和提高測量的正確性。然而太高的阻尼反使得動態
反應太慢。欲得最佳設計必須配合探針幾何形狀及其他參數，求出最合
適的阻尼性質。
目前大部分研究原子力顯微鏡 V 型探針的論文，將注意力集中在探針
的彈簧係數，然後使用數值方法或是將樑簡化成等效質量和等效剛性的
單自由度系統分析。因為 V 形樑並不是像矩形樑那像形狀簡單，使用簡
化的方化會導致自然共振頻率的研究不夠精準。因此本篇論文以解析解
的方式求出系統的正解。另外，薄膜阻尼力對原子力顯微鏡量測是個很
重要的影響因素，雖然目前其他學者發表的論文有對薄膜阻尼的研究，
但是特定研究原子力顯微鏡探針的薄膜阻尼效應的論文很少，而且針對V
型探針薄膜阻尼的研究更少，因此本篇論文也做了這方面的探討。
9
在靜態量測方面，關鍵的因素在於探針跟樣品表面間的作用的原子
力，而且這個作用力是非線性的作用力，屬於比較複雜的問題。因此本
篇也考慮了原子力的作用，研究探針跟樣品表面間的作用力與探針撓度
的關係。並且討論其他參數對系統靈敏度的影響。
本論文將研究原子力顯微鏡探針空氣薄膜阻尼下之自然振動頻率，
考慮非時變彈性基台，具端點集中質量微型樑。並且研究靜態量測下之
原子作用力與探針撓度的關係，考慮非時變彈性基台，具端點集中質量
與探針重量之微型樑，具有非線性邊界條件。建立整體系統之統御偏微
分運動方程和邊界條件。最後，研究各種參數對系統的影響，以建立完
整 AFM 量測系統理論及技術。
10
第二章 物理模型分析
本章先考慮一般物理情況下之探針物理模型，推導出其統御方程式和
邊界條件，再分別對靜態位移與動態共振頻率兩個主題討論，會有不同
的統御方程式和邊界條件。求出兩段各別的基本解，再以系統連續條件
求得系統之解。
2.1 一般問題
考慮一般情形下原子力顯微鏡探針的物理模型，探針為均勻厚度、
有本身自重和探針頭集中質量的樑，樑左邊有彈性邊界，右邊有探針-樣
品間作用力，樑中間有空氣薄膜阻尼力作用。
由圖 2.1 探針的物理模型，推導出其動能方程式和位能為方程式，再
使用Hamilton’s principle 推導出系統的統御方程式和所對應的邊界條件。
統御方程式
2 2 2
2 2 2( , ) ( , )( ) ( ) ( ) ( )w x t w x tE x I x x A x
x x tρ
∂ ∂ ∂+
∂ ∂ ∂
( )( , )( ) ( ) ( ) w x tx x A x P xt
γ ρ ∂+ =
∂ (0, ),x L∈ (2. 1)
11
其對應之邊界條件為
於 0x = ：
2
2 0Lw wEI K
xx θ∂ ∂
− =∂∂
(2. 2)
2
2 0TLwEI K w
x x ∂ ∂
+ = ∂ ∂ (2. 3)
於 x L= ：
2
2 0wx
∂=
∂ (2. 4)
2
2( , )
t Rw x tEI m a F
x x ∂ ∂
= + ∂ ∂ (2. 5)
其中w為樑之撓度、L為樑之長度、 ( )A x 為斷面積、 ( )E x 為楊氏模數、 ( )I x
為面積慣性矩、 ( )xρ 為單位體積之質量密度、t 為時間。 ( , )flowF x t 為結構
與流體作用產生之阻尼力。 LKθ 及 TLK 分別代表樑左端之旋轉和位移彈簧
之彈性模數。 ( )P x 為探針本身的重量。 tm 為端點之集中質量。a為端點
之加速度。 RF 代表樑右邊端點所受的作用力。而結構與流體作用產生之
阻尼力 ( , )flowF x t 正比於樑之速度[28]，表示為：
( , ) ( ) ( ) ( ) ,flowwF x t x x A xt
γ ρ ∂=
∂ (2. 6)
其中 ( )xγ 為薄膜阻尼係數，在下一個小節有詳細的推導。
12
圖 2.1 一般情形下原子力顯微鏡 V 型探針的物理模型
13
2.1.1 阻尼係數之物理意義
在微系統的設計中，阻尼特性會對系統產生很大的影響，其原因為當
系統尺寸微小到奈米等級，些微的空氣薄膜也會對系統產生不可忽視的
作用，而且在微系統中供給系統運作所需之能量是不容易的，因此必須
減少阻尼對有效能量的消耗。
微結構在運動時結構間微小間隙所造成的流體流動之作用力，即薄膜
阻尼( Squeeze damping )，考慮一長度為 L，寬度為 bw ，厚度為 bh 之均勻
樑，樑與一剛性壁很靠近，當樑在作振動時，則會與一剛性壁間產生薄
膜阻尼力。
單位長度之薄膜阻尼力[28]為
2
2
3
3-0
,wb
wb
bflow flow
w wF P dyt
µζ
∂= − =
∂∫ (2. 7)
其中， 0ζ 為空氣阻尼的厚度，µ 為 dynamic viscosity。
所以在V型梁第一段，有兩根小均勻梁，其薄膜阻尼力
( ) ( )3 2
3 30 0
2 2 ,b bflow
b
w ww wF x A xt th
µ µρζ ρζ
∂ ∂= =
∂ ∂ (2. 8)
在V型梁第二段部分，寬度為 ( )10 1
bw x LL L
−−
，隨著x方向上的座標改變。
因此單位長度之薄膜阻尼力flowF 在V型梁第二段有以下變化
14
( )
( ) ( )
2
2-
33
130 10
321
30 10
,
wb
wbflow flow
b
b
b
F P dy
w wx LL L t
w x L wx A xL L th
µζ
µρρζ
= −
∂= − − ∂
− ∂= − ∂
∫
(2. 9)
其中，取
( )
2
130
321
130 10
2 0
b
b
w x Lh
r xw x L L x L
L Lh
µρζ
µρζ
< <
=
−< < −
(2. 10)
對 ( )r x 無因次化，得無因次參數 ( )a ξ
( )0 1
31
0 12 1
2 0
11/
a
aa
ξ ξ
ξ ξ ξ ξ ξξ ξ
< <
= −< < −
(2. 11)
其中薄膜阻尼係數
( ) ( )( ) ( )
22
0 30
0 00 0
b E Iwa LAh
µρρζ
= (2. 12)
15
2.2 靜態問題
本小節討論具有非線性邊界的模型的靜態位移。因此圖 2.1 樑右邊端
點所受的作用力 RF 模擬為探針-樣品間的原子力 Lennard-Jonse
force LF [30]，這個作用力是非線性的。分子與分子之間的作用力，取決
於一位勢能函數(potential)，此位勢能係由分子間的凡得瓦力作用、電荷
靜電力、磁偶矩、與分子內部勢能造成。當二分子距離甚近時，此勢能
對分子距離的導數將得出一排斥力，而在某適當距離時，則表現出吸引
力，而彼此作用。對於單原子分子(如 Ar，Ne，Kr，Xe 等)，最常用的位
勢能為 Lennard-Jones potential。
由於討論靜態位移，因此去除跟時間有關的項，也去除薄膜阻尼係
數 ( )xγ (跟加速度有關)，探針頭加速度因此為靜態的重力加速度 g，定義
y 方向朝上為正，所以重力加速度要加上負號。因此得到靜態系統的物理
模型如圖 2.2，經由以上條件，從方程式(2.1~5)得到︰
靜態系統之統御方程式
( )2 2
2 2( )( ) ( ) w xE x I x P x
x x ∂ ∂
= ∂ ∂
(0, ),x L∈ (2. 13)
其對應之邊界條件為
於 0x = ：
16
2
2 0Lw wEI K
xx θ∂ ∂
− =∂∂
(2. 14)
2
2 0TLwEI K w
x x ∂ ∂
+ = ∂ ∂ (2. 15)
於 x L= ：
2
2 0wx
∂=
∂ (2. 16)
2
2 t LwEI m g F
x x ∂ ∂
= − + ∂ ∂ (2. 17)
其中， 1 28 2180 6L
H R H RFD D
= − [30] (2. 18)
方程式(2.18)右邊第一項是排斥力，第二項是凡得瓦力。Hi是
Hamaker 常數，D 是探針-樣品間距離，R 是探針頭半徑。
接下來會對統御方程式與邊界條件無因次化，使用變數變換法處理先
非線性非齊次邊界，再分別求出四個基本解表示 V 型樑的第一段和第二
段的解，然後利用連續條件求得整個系統的撓度正解，就可以得到 V 型
樑撓度和探針-樣品距離之間兩個直接簡單的關係。
17
圖 2.2 靜態問題下原子力顯微鏡 V 型探針的物理模型
18
2.2.1 無因次化的統御方程式及邊界條件
以下是所使用的無因次參數：
( ) ( )( ) ,(0) (0)
E x I xbE I
ξ = 3
11 9
0(0) (0)vH RLc
E I L= ,
32
2 30(0) (0)v
H RLcE I L
=
00
0
DDL
= , 3
0,
(0) (0)t
bm gLf
E I L=
( ) ( )1 2
8 20 0180 6v v
Lc cf
D w D w= −
− −,
4
0
( )( ) ,(0) (0)P x Lp
E I Lξ =
0
( )( ) ,w xWL
ξ = 1 ,(0) (0)K L
E Iθβ =
3
2 ,(0) (0)
TK LE I
β =
111
11βγ
β=
+, 12
1
11
γβ
=+
, 221
21βγ
β=
+,
222
11
γβ
=+
, ,xL
ξ = (2. 19)
因此統御方程式(2.13)和邊界條件(2.14~17)無因次化成：
微型樑之統御方程式為：
2 2
2 2( ) ( )d d Wb pd d
ξ ξξ ξ
=
(0,1)ξ ∈ (2. 20)
相對應之邊界條件為：
於 0ξ = ：
19
2
12 112( ) 0d W dWbdd
γ ξ γξξ
− = , (2. 21)
2
22 212( ) 0d d Wb Wd d
γ ξ γξ ξ
+ =
, (2. 22)
於 1ξ = ：
2
2 0d Wdξ
= , (2. 23)
2
2( ) b Ld d Wb f f
d dξ
ξ ξ
= − +
, (2. 24)
其中 fb是探針重量的無因次參數， fL 是 Lennard-Jones 力的無因次參
數。Lennard-Jones 力包含排斥力和凡得瓦力(van der Waals force)[30]。
cv1是無因次排斥力參數，cv1是無因次吸引力參數。L0是特徵長度，是為
了避免程式數值處理出錯而多使用的工具。
2.2.2 變數變換法
一般來說，對一個含有非線性邊界條件的系統，要求出其解析解是
很困難的。在 AFM 的探針振動中，探針和被測物件之間的作用力是高度
之非線性，因而無法以一般方法解得確切解，用線性彈簧方式近似或是
使用微擾法，則無法全面性之求解與探討，因此提出了以下的解法。
20
由於邊界條件上的非齊次非線性項，所以使用變數變換[31]來求解
( )( ) ( ) ( )b LW v f f sξ ξ ξ= − − , (2. 25)
其中 ( )v ξ 是轉換函數 (transformed function)， s(ξ)是移位函數 (shifting
function)， fb是個常數，fL在 1ξ = 時也是個定值。令 s(ξ)滿足以下條件
統御方程式為：
2 2
2 2( ) 0d d sbd d
ξξ ξ
=
(2. 26)
相對應之邊界條件為：
於 0ξ = ：
2
12 112 0d s dsdd
γ γξξ
− = , (2. 27)
2
22 212( ) 0d d sb sd d
γ ξ γξ ξ
+ =
, (2. 28)
於 1ξ = ：
2
2 0d sdξ
= , (2. 29)
2
2( ) 1d d sbd d
ξξ ξ
=
. (2. 30)
將方程式(2.26~30)代入(2.20~24)，因此得到以下邊界無非性線項的 v(ξ,τ)
統御微分方程式
21
2 2
2 2( ) ( )d d vb pd d
ξ ξξ ξ
=
, (2. 31)
相對應之邊界條件為：
於 0ξ = ：
2
12 112 0d v dvdd
γ γξξ
− = , (2. 32)
2
22 212( ) 0d d vb vd d
γ ξ γξ ξ
+ =
, (2. 33)
於 1ξ = ：
2
2 0d vdξ
= , (2. 34)
2
2( ) 0d d vbd d
ξξ ξ
=
. (2. 35)
v(ξ)和 s(ξ)的正解在下一小節求出後，代入關係式(2.25)，再加上
Lennard-Jones 力，就可以得到真正的解探針撓度 W(ξ)。但是由於 fL是以
探針頭撓度 W(1)為變數的函數，換句話說，得到的解如果滿足以上條件，
確切解 W(ξ)就獲得了。
22
2.2.3 V 型探針
由 V 型探針的幾何形狀圖 2.5(b)，微型樑的材料性質和厚度假設為
定值，寬度變化為 V 型樑，因此有以下無因次參數
( ) ( )( )
1
21
1 2
1, 0 ,1
, 1,1
bξ ξ
ξ ξ ξξ ξ
ξ ξ
≤ ≤= − ≤ ≤ −
(2. 36)
( ) ( )( )
0 1
0 21
1 2
, 0 ,1
, 1,1
pp p
ξ ξξ ξ ξ
ξ ξξ ξ
≤ ≤= − ≤ ≤ −
(2. 37)
其中 40 0 0/[ (0) (0) ]p A gL E I Lρ= ， A0=2wbhb
2.2.4 移位函數
方程式(2.26)中的移位函數 s(ξ)可以寫成
2
12( )d d sb cd d
ξξ ξ
=
,
2
1 22d sb c cd
ξξ
= + ,
1 23( )
ds c c d cd b
ξ ξξ ξ
+= +∫ , 1 2
3 4( )c cs d c c
bξ ξ ξ
ξ+
= + +∫∫ (2. 38)
其中 ci從邊界條件(2.27~30)決定，所以移位函數為
23
12 11 22 2111 210 0
1 1 1 1 1( ) ( ) ( )
s d d db b bξ ξ
ξ ξ ξξ γ γ ξ ξ γ γ ξξ γ ξ γ ξ= =
− − −= − + − +
∫∫ ∫ ∫∫
(2. 39)
V 型樑第一段和第二段的移位函數分別為
3 21 21 3 4 1 0
6 2c cs c cξ ξ ξ ξ ξ= + + + ≤ ≤ (2. 40)
( ) ( ) [ ]21 1 22 1 2 1 2 2 22
2 2 2
3 4 1
(1 )1 1 ln(1 ) 12
1,
c cs c
c c
ξ ξξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ ξ ξ
ξ ξ ξ
−= − − + − + − −
+ + ≤ ≤
(2. 41)
將上兩式代入邊界條件，求出移位函數
3 2 12 221 1
11 21
1 1 06 2
s γ γξ ξ ξ ξ ξγ γ
= − − − ≤ ≤ (2. 42)
( ) ( ) [ ]
( )
2 22 1 2 1 2 22
2 2 2
12 221 2 12
11 21 22
1 1 (1 )1 1 1 ln(1 ) 12
1 11 1 1,
s ξ ξξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ ξ ξ
γ γξ ξ ξ ξ ξγ γ ξξ
−= − − + − − + − −
− − + − − + ≤ ≤
(2. 43)
2.2.5 轉換函數
方程式(3.31~35))的轉換函數表示成
4
1( ) ( ) ( )p i i
iv V DVξ ξ ξ
== + ∑ , (2. 44)
其中是 Vp(ξ)特解， Di 是待定常數。Vi(ξ), i = 1, 2, 3, 4 為方程式(2.31)
24
的四個線性獨立基本解，滿足以下正規化條件。
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
(0) (0) (0) (0)(0) (0) (0) (0)(0) (0) (0) (0)(0) (0) (0) (0)
V V V VV V V VV V V VV V V V
′ ′ ′ ′
′′ ′′ ′′ ′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′
=
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
, (2. 45)
此特解和基本解可以很容易地以 Lin [32]提出的方法解得。
將方程式(2.36)(2.37)代入(2.25)，得到轉換後的統御微分方程式
4
0 14 , 0 ,d v pd
ξ ξξ
= ≤ ≤ (2. 46)
( ) ( )2 2
2 0 2 12 21 1 , 1,d d v pd d
ξ ξ ξ ξ ξ ξξ ξ
− = − ≤ ≤
(2. 47)
假設上面兩個統御方程式(2.46)、(2.47)的解分別為
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,3
1,4 1,4 1, 1 , 0p
v D V D V D V
D V V
ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ
= + +
+ + ≤ ≤ (2. 48)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 1 2,1 2,1 1 2,2 2,2 1 2,3 2,3 1
2,4 2,4 1 2, 1 1 + , 1p
v D V D V D V
D V V
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ ξ ξ
− = − + − + −
− + − ≤ ≤ (2. 49)
方程式(2.46)、(2.47)的特解容易地求出
401, 1, 0 ,
24ppV ξ ξ ξ= ≤ ≤ (2. 50)
3 40 02, 1
2, 1,
18 72pp pV ξ ξ ξ ξξ
−= + ≤ ≤ . (2. 51)
前三個線性獨立基本解也容易地推導出
25
10 ,ξ ξ≤ ≤ 1,1( ) 1V ξ = , 1,2( )V ξ ξ= , 21,3
1( )2
V ξ ξ= , 31,4
1( )6
V ξ ξ= , (2. 52)
1 1,ξ ξ≤ ≤ 2,1 1( ) 1V ξ ξ− = , ( )2,2 1 1 1( )V ξ ξ ξ ξ ξ− = + − ,
( ) ( )222,3 1 1 1 1 1
1 1( )2 2
V ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ− = + − + − (2. 53)
齊次微分方程式(2.47)以下形式表示
4 3
2 24 3(1 ) 2 0,d v d vd d
ξ ξ ξξ ξ
− − = (2. 54)
假設第四個線性獨立基本解為
( )2,4 10
( ) ,ii
iV ξ α ξ ξ
∞
== −∑ 0 1 2 30, 1/ 6α α α α= = = = , (2. 55)
這四個線性獨立基本解(2.52)、(2.53)和(2.55)滿足正規化條件(2.45)。將
方程式(2.55)代入(2.54)，整理多項式ξ的係數，求得以下遞迴公式
( )24 3
2, 0,1,2,
( 4)j jj
jj
ξα α+ +
+= =
+ (2. 56)
從遞迴公式可以得到第四個線性獨立基本解。
目前為止，分別得到了V型樑第一段和第二段的四個齊次基本解和特解。
26
2.2.6 連續條件
由V型樑的上視圖2.5(b)，樑的第一段和第二段在ξ=ξ1處交會，因此有
以下四個基本解的連續條件
位移: ( ) ( )1 1v vξ ξ− +=
斜率: ( ) ( )1 1dv dv
d d
ξ ξ
ξ ξ
− +
=
力矩: ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1
1 12 2
d v d vb b
d d
ξ ξξ ξ
ξ ξ
− +− +=
剪力: 1 1
2 2
2 2d d v d d vb b
d dd dξ ξξ ξξ ξ− +
=
(2. 57)
在方程式(2.44)已經假設整個系統的解為
( ) 1 1 2 2 3 3 4 4 0 1pv DV D V D V D V Vξ ξ= + + + + ≤ ≤ (2. 58)
另外再假設第一段和第二段的解分別為
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,3
1,4 1,4 1, 1 , 0p
v D V D V D V
D V V
ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ
= + +
+ + ≤ ≤ (2. 59)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 1 2,1 2,1 1 2,2 2,2 1 2,3 2,3 1
2,4 2,4 1 2, 1 1 + , 1p
v D V D V D V
D V V
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ ξ ξ
− = − + − + −
− + − ≤ ≤ (2. 60)
其中，第一段的四個線性獨立基本解滿足正規化條件(2.45)，第二段的四
個線性獨立基本解滿足以下正規化條件
27
1
2,1 2,2 2,3 2,4
2,1 2,2 2,3 2,4
2,1 2,2 2,3 2,4
2,1 2,2 2,3 2,4
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
V V V VV V V VV V V VV V V V
ξ ξ=
′ ′ ′ ′ =
′′ ′′ ′′ ′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′
, (2. 61)
將v1(ξ)和v2(ξ)代入上面的連續條件(2.57)，D2,j可以推導出
( ) ( )2,1 1 1 2, 0pD v Vξ= −
( ) ( )2,2 1 1 2, 0pD v Vξ′ ′= −
( ) ( )2,3 1 1 2, 0pD v Vξ′′ ′′= −
( ) ( ) ( )22,4 1 1 1 1 2,
1 20
1 pD v v Vξ ξ ξξ ξ
′′ ′′′ ′′′= + −−
(2. 62)
可以用整段的解來涵蓋第二段的解
( ) ( )2 1v vξ ξ ξ− = (2. 63)
( ) ( ) ( ) ( )( )
2,1 2,1 1 2,2 1,2 1 2,3 1,3 1 2,4 2,4 1
2, 1 1 1 2 2 3 3 4 4 p p
D V D V D V D V
V DV D V D V D V V
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ
− + − + − + −
+ − = + + + + (2. 64)
係數(2.62)帶回方程式(2.64)，得
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
1
1 1 2 2 3 3 4 4 2, 2,1 1
1 1 2 2 3 3 4 4 2, 2,2 1
1 1 2 2 3 3 4 4 2, 2,3 1
21 1 2 2 3 3 4 4
1 2
1
p p
p p
p p
p
DV D V D V D V V V V
DV D V D V D V V V V
DV D V D V D V V V V
DV D V D V D V V
ξ
ξ
ξ
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ
ξξ ξ
+ + + + − −
′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + + + − −
′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′+ + + + + − −
′′ ′′ ′′ ′′ ′′+ + + + + −
( )
( ) ( ) ( )1
11 1 2 2 3 3 4 4 2, 1 2,4 1 2, 1
( )p p pDV D V D V D V V V V V
ξ
ξξ ξ ξ ξ ξ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′+ + + + + − − + −
(2. 65)
28
1 1 2 2 3 3 4 4 pD V D V D V D V V= + + + +
比較係數 Dj後，得到整個系統的基本解和特解
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1, 1 2,1 1 1, 1 2,2 1 1, 1 2,3 1
21, 1 1, 1 2,4 1
1 2
1
i i i i
i i
V V V V V V V
V V V
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ ξξ ξ
′ ′′= − + − + −
′′ ′′′+ + − −
(2. 66)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1
1
1, 2, 2,1 1
1, 2, 2,2 1 1, 2, 2,3 1
21, 1 1, 1 2, 2,4 1 2, 1
1 2
1
P P P
P P P P
P P P P
V V V V
V V V V V V
V V V V V
ξ
ξ ξ
ξ
ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ ξ
= − −
′ ′ ′′ ′′+ − − + − −
′′ ′′′ ′′′+ + − − + − −
(2. 67)
將整段的解代入邊界條件(2.32~35)，線性獨立基本解的係數 Dj可推導出
於 0ξ = ：
12 3 11 2 12 11(0) (0)p pD D V Vγ γ γ γ′′ ′− = − + , (2. 68)
22 4 21 1 22 21(0) (0)p pD D V Vγ γ γ γ′′′+ = − − , (2. 69)
於 1ξ = ：
1 1 2 2 3 3 4 4(1) (1) (1) (1) (1)pDV D V D V D V V′′ ′′ ′′ ′′ ′′+ + + = − , (2. 70)
[ ]4
1(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)i i i p p
iD b V b V b V b V
=
′′′ ′ ′′ ′′′ ′ ′′+ = − −∑ . (2. 71)
將 Dj的四個方程式以矩陣方式表示
29
12 11111 12
22 21221 22
1 2 3 4 3
1 2 3 4 4
(0) (0)0 0(0) (0)0 0
(1) (1) (1) (1) (1)
(1) (1) (1) (1)
p p
p p
p
p p
V VDV VD
V V V V D VU U U U D b V b V
γ γγ γγ γγ γ
′′ ′− + − ′′′− − = ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ − ′′′ ′ ′′− −
(2. 72)
其中
(1) (1) (1) (1), 1,2,3,4i i iU b V b V i′′′ ′ ′′= + = (2. 73)
將矩陣(2.72)簡化成
1111 12
2221 22
1 2 3 4 3
1 2 3 4 4
0 00 0
(1)(1) (1) (1) (1)(1) (1) (1) (1) (1)
p
p
DD
VV V V V DV V V V VD
αγ γαγ γ
− = ′′− ′′ ′′ ′′ ′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′−
(2. 74)
其中
1 12 11
2 22 21
(0) (0)
(0) (0)p p
p p
V V
V V
α γ γ
α γ γ
′′ ′= − +
′′′= − − (2. 75)
由(2.74)先解出 D1和 D2
22 21 4
21 21,D Dγ α
γ γ−
= + (2. 76)
12 12 3
11 11,D Dγ α
γ γ= + (2. 77)
將 D1和 D2代入(2.74)解出 D3和 D4
30
12 22 1 22 3 1 4 2 13
11 21 11 21
12 22 1 22 3 1 4 2 14
11 21 11 21
(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)
(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)
p
p
V V V V V V VD
V V V V V V VD
γ γ α αγ γ γ γγ γ α αγ γ γ γ
− ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′+ + − − − = − ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′+ + − − −
(2. 78)
3C B CBDA B AB
′ ′−=
′ ′− (2. 79)
4A C ACDA B AB′ ′−
=′ ′−
(2. 80)
12 122 3 2 3
11 11
22 221 4 1 4
21 21
1 2 1 22 1 2 1
11 21 11 21
(1) (1), (1) (1)
(1) (1), (1) (1)
(1) (1) (1), (1) (1) (1)p p
A V V A V V
B V V B V V
C V V V C V V V
γ γγ γ
γ γγ γ
α α α αγ γ γ γ
′′ ′′ ′ ′′′ ′′′= + = +
−′′ ′′ ′ ′′′ ′′′= − + = +
′′ ′′ ′′ ′ ′′′ ′′′ ′′′= − − − = − − −
(2. 81)
將解代入關係式(2.25)，令ξ =1 得到樑尖端的撓度。要注意的是，
Lennard-Jones 力是探針頭與樣品表面距離的函數。
( )( ) ( )
( ) ( )
1 22 8 2
0 0
1 1 2 2 3 3 4 4 1
1 22 8 2
0 0
(1) 1 (1)180 (1) 6 (1)
(1)180 (1) 6 (1)
v vb
p
v vb
c cW V s fD W D W
DV D V D V D V V
c cs fD W D W
ξ =
= − − + − −
= + + + +
− − + − −
(2. 82)
其中
( ) ( )1 2,1 1V Vξ ξ ξ= −
31
( ) ( ) ( )2 1 2,1 1 2,2 1V V Vξ ξ ξ ξ ξ ξ= − + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 23 1 2,1 1 1 2,2 1 2,3 1 2,4 1
1 2
12 1
V V V V Vξξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ ξ
= − + − + − + −−
( ) ( ) ( )3 24 1 2,1 1 1 2,2 1
1 16 2
V V Vξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ = − + −
( ) ( )1 2,3 1Vξ ξ ξ+ − ( )21 2,4 1
1 21
1Vξ ξ ξ ξ
ξ ξ
+ + − −
( ) ( ) ( ) [ ]
( )
22 1 2 1 2 22
2 2 2
12 221 22
11 21 22
1 1 (1 )1 1 1 1 ln(1 ) 12
1 1 1 1
s ξξ ξ ξ ξ ξξ ξ ξ
γ γ ξ ξγ γ ξξ
−= − − + − − + − −
− − + − − +
(2. 83)
使用由 Lee and Lin [33]提出的數值方法和方程式(2.52~53)，確切解 w(1)
可以容易求得。已知由凡得瓦力及探針自重產生的探針頭撓度後，探針
頭和樣品表面的距離可以從關係式(2.82)得到。
方程式(2.82)中探針撓度是由 Lennard-Jonse 力和探針自重所產生
的，如果將 Lennard-Jonse 力這項效應移除，即得到探針自重所產生的
撓度 Ws
( ) 21 (1)s bW V f s= − . (2. 84)
因為(2.82)求出尖端的撓度，所以可得整個系統的撓度為
32
( )( ) ( )
( ) ( )
1 22 8 2
0 0
1 1 2 2 3 3 4 4
1 22 8 2
0 0
( ) ( )180 (1) 6 (1)
( )180 (1) 6 (1)
v vb
p
v vb
c cW V s fD W D W
DV D V D V D V V
c cs fD W D W
ξ ξ ξ
ξ
= − − + − −
= + + + + − − + − −
(2. 85)
其中
( ) ( )1 2,1 1V Vξ ξ ξ= −
( ) ( ) ( )2 1 2,1 1 2,2 1V V Vξ ξ ξ ξ ξ ξ= − + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 23 1 2,1 1 1 2,2 1 2,3 1 2,4 1
1 2
12 1
V V V V Vξξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ ξ
= − + − + − + −−
( ) ( ) ( ) ( )3 24 1 2,1 1 1 2,2 1 1 2,3 1
1 16 2
V V V Vξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ= − + − + −
( )1 22,4 1
1 21
1Vξ ξ ξ ξ
ξ ξ
+ + − −
( ) ( )
( ) ( )
( )
4 31 1 0 2,1 1
2
3 2 21 1 0 2,2 1 1 1 0 2,3 1
2 2
23 41 2
1 0 2,4 1 1 1 01 2 2 2
1 136 18
1 1 1 1 9 6 3 3
1 2 1 1 1 2 1 3 3 18 72
PV p V
p V p V
p V p
ξ ξ ξ ξ ξξ
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ ξ
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ ξ ξ ξ
= + −
+ + − + + − −
+ + + − + + −
( ) ( ) [ ]
( )
2 22 1 2 1 2 22
2 2 2
12 221 2 12
11 21 22
1 1 (1 )1 1 1 ln(1 ) 12
1 11 1 1,
s ξ ξξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ ξ ξ
γ γξ ξ ξ ξ ξγ γ ξξ
−= − − + − − + − −
− − + − − + ≤ ≤
(2. 86)
33
圖 2.3 微型探針與樣品表面之關係
2.3 動態問題
本小節討論空氣薄膜阻尼作用下的物理模型的自然共振頻率。因此
34
圖 2.1 樑右邊端點所受的作用力 RF 模擬為線性位移彈簧力 TRK w。探針自
重 ( )P x 也不納入討論，探針頭加速度因此為探針頭撓度的加速度2
2w
t∂∂
。
因此得到動態系統的物理模型如圖 2.3。經由以上條件，從方程式(2.1~5)
得到︰
動態系統之統御方程式
2 2 2
2 2 2( , )( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) w x tE x I x w x t x A x
x x tρ
∂ ∂ ∂+
∂ ∂ ∂
( , )( ) ( ) ( ) 0w x tx x A xt
γ ρ ∂+ =
∂ (0, ),x L∈ (2. 87)
其對應之邊界條件為
於 0x = ：
2
2 0Lw wEI K
xx θ∂ ∂
− =∂∂
(2. 88)
2
2 0TLwEI K w
x x ∂ ∂
+ = ∂ ∂ (2. 89)
於 x L= ：
2
2 0wx
∂=
∂ (2. 90)
2 2
2 2TR tw wEI K w m
x x t ∂ ∂ ∂
− = ∂ ∂ ∂ (2. 91)
35
接下來會對統御方程式與邊界條件無因次化，將解假設為複數形
式。求出 V 型樑第一段和第二段的八個基本解，再以連續條件得到系統
的解，帶入頻率方程式中，求出阻尼共振頻率和衰減速率。
圖 2.4 動態問題下原子力顯微鏡 V 型探針的物理模型
36
2.3.1 無因次化的統御方程及邊界條件
將統御方程式式與邊界條件式無因次化。採用下列之無因次化參數：
( ) ( )( ) ,(0) (0)
E x I xbE I
ξ = ( ) ( )( ) ,(0) (0)x A xm
Aρξρ
=
( , ) ,w x tWL
= ,(0) (0)
tmMA Lρ
=
2(0) (0) ,(0) (0)
t E IAL
τρ
= ,xL
ξ =
( )0 1
31
0 12 1
2 0
11/
a
aa
ξ ξ
ξ ξ ξ ξ ξξ ξ
< <
= −< < −
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 0 00 0
E Ia r x L
Aξ
ρ= 1 ,
(0) (0)LK L
E Iθβ =
3
2 ,(0) (0)
TLK LE I
β = 3
3 ,(0) (0)
TRK LE I
β =
111
11r β
β=
+ 12
1
11
rβ
=+
221
21r β
β=
+ 22
2
11
rβ
=+
331
31r β
β=
+ 32
3
11
rβ
=+
(2. 92)
可以得到無因次統御方程式：
37
2 2 2
2 2 2( , ) ( , )( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) 0W Wb W m a mξ τ ξ τξ ξ τ ξ ξ ξ
τξ ξ τ
∂ ∂ ∂ ∂ + + = ∂∂ ∂ ∂ (2. 93)
其對應之邊界條件為
於 0ξ = ：
2
12 112( , ) ( , )( ) 0W Wr b rξ τ ξ τξ
ξξ∂ ∂
− =∂∂
(2. 94)
2
22 212( , )( ) ( , ) 0Wr b r Wξ τξ ξ τ
ξ ξ
∂ ∂+ = ∂ ∂
(2. 95)
於 1ξ = ：
2
2( , ) 0W ξ τξ
∂=
∂ (2. 96)
2 2
32 31 322 2( , ) ( , )( ) ( , )W Wr b r W r Mξ τ ξ τξ ξ τ
ξ ξ τ
∂ ∂ ∂− = ∂ ∂ ∂
(2. 97)
2.3.2 V 型樑之無因次參數
由於 V 型樑的幾何形狀圖 2.5(b)，因此有以下之幾何形狀參數定義，
( )1 21 12
bwB
ξ ξ= − (2. 98)
11
LL
ξ= (2. 99)
20
LL
ξ= (2. 100)
38
部分重要的無因次參數也因為 V 型樑幾何形狀的關係，分別在 V 型樑的
第一段和第二段有以下定義。
( )1
01
0
2 , 0 ,
, ,
b b
b
w h x LA L x Bh L x L
Lξ
≤ ≤= − ≤ ≤
(2. 101)
( )
31
31
0
1 , 0 ,6
1 1 , ,12
b b
b
w h x LI
x Bh L x LL
ξ
≤ ≤= − ≤ ≤
(2. 102)
( ) ( )( )
1
21
1 2
1, 0 ,1
, 1,1
bξ ξ
ξ ξ ξξ ξ
ξ ξ
≤ ≤= − ≤ ≤ −
(2. 103)
( )( )
1
21
1 2
1, 0 ,( ) 1
, 1,1
mξ ξ
ξ ξ ξξ ξ
ξ ξ
≤ ≤= − ≤ ≤ −
(2. 104)
2.3.3 統御方程式及邊界條件
在求解方面，把變數分離成位置和時間兩獨立部分，並且以自然對數的
形式來表現系統的衰減現象，假設樑的撓度為
( , ) ( )W W eλτξ τ ξ= (2. 105)
W 為複數形式的函數，而且 λ為複數的頻率，可以表示成
39
( ) ( )R IW W jWξ ξ= + (2. 106)
jλ ζ ω= − + (2. 107)
當衰減速率(decay rate)ζ 是正值，系統是穩定的。相反的，如果ζ 是負值，
系統將會變成不穩定。ω 是阻尼自然頻率(damped natural frequency)。將
( , ) ( )W W eλτξ τ ξ= 帶入統御方程式(2.93)和邊界條件(2.94~97)，並且整理
成實數部分和虛數部分，可以得到以下偶合的統御方程式
( )2 2
2 22 2( ) ( ) ( ) ( )R Rb W m a m Wξ ξ ζ ω ξ ξ ζ
ξ ξ
∂ ∂ + − − ∂ ∂
( )( ) 2 ( ) ( ) 0Im a m Wξ ζω ξ ξ ω+ − = (2. 108)
( )2 2
2 22 2( ) ( ) ( ) ( )I Ib W m a m Wξ ξ ζ ω ξ ξ ζ
ξ ξ
∂ ∂ + − − ∂ ∂
( )( ) 2 ( ) ( ) 0Rm a m Wξ ζω ξ ξ ω− − = (2. 109)
對應的邊界條件
於 ξ = 0:
( )2
12 112 0R Rd W dWbdd
γ ξ γξξ
− =
( )2
12 112 0I Id W dWbdd
γ ξ γξξ
− =
40
3 2
22 22 213 2( )( ) 0R R
Rd W db d Wr b r r W
dd dξξξξ ξ
+ + =
3 2
22 22 213 2( )( ) 0I I
Id W db d Wr b r r W
dd dξξξξ ξ
+ + = (2. 110)
於 ξ = 1:
2
2 0RWξ
∂=
∂
錯誤! 尚未定義書籤。
( )3 2
2 232 32 31 32 323 2
( )( ) 2 0R RR I
d W db d Wr b r r r M W r M Wdd d
ξξ ζ ω ζωξξ ξ
+ − + − − =
( )3 2
2 232 32 31 32 323 2
( )( ) 2 0I II R
d W db d Wr b r r r M W r M Wdd d
ξξ ζ ω ζωξξ ξ
+ − + − + =
(2. 111)
2.3.4 頻率方程式
將特徵微分方程式(2.108)、(2.109)的齊次解假設成
( )( )
8,
,1
( )( )
R iRi
I iI i
WWC
WWξξξξ =
=
∑ (2. 112)
其中，這八個線性獨立基本解 ( ) ( ), , T
R i I iW Wξ ξ , i = 1,2, …, 8, 令他們
滿足在座標原點的正規化條件：
41
,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8
,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8
,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8
,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8
,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6
R R R R R R R R
R R R R R R R R
R R R R R R R R
R R R R R R R R
I I I I I I
W W W W W W W WW W W W W W W WW W W W W W W WW W W W W W W WW W W W W W
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′
,7 ,8
,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8
,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8
,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 0
1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0
I I
I I I I I I I I
I I I I I I I I
I I I I I I I I
W WW W W W W W W WW W W W W W W WW W W W W W W W
ξ =
=
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′
′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′
1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1
(2. 113)
其中，上標的微分符號是指對空間變數ξ 微分，接著將齊次解(2.113)代入
邊界條件，可以求得系統的頻率方程式：
8 8
0ijδ×
= , (2. 114)
其中
11 14 15 16 17 18 0δ δ δ δ δ δ= = = = = = ,
12 11δ γ= − 13 12 (0)bδ γ= ,
21 22 23 24 25 28 0δ δ δ δ δ δ= = = = = = ,
26 11δ γ= − 27 12 (0)bδ γ= ,
32 35 36 37 38 0δ δ δ δ δ= = = = = , 31 21δ γ= ,
( )33 22 0bδ γ ′= , 34 22 (0)bδ γ= ,
41 42 43 44 46 0δ δ δ δ δ= = = = = , 45 21δ γ= ,
( )47 22 0bδ γ ′= , 48 22 (0)bδ γ= ;
42
( )5 , 1i R iWδ ′′= ( )6 , 1i I iWδ ′′= ,
( )3 2
, , 2 27 32 32 31 32 , 32 ,3 2
1
( )( ) 2R i R ii R i I i
d W d Wdbr b r r r M W r M Wdd d
ξ
ξδ ξ ζ ω ζωξξ ξ
=
= + − + − −
( )3 2
, , 2 28 32 32 31 32 , 32 ,3 2
1
( )( ) 2I i I ii I i R i
d W d Wdbr b r r r M W r M Wdd d
ξ
ξδ ξ ζ ω ζωξξ ξ
=
= + − + − +
1, 2, , 8i =
(2. 115)
2.3.5 第一段確切基本解
在上一小節，用八個正規化的基本解來表示頻率方程式。一般來說，
係數包含變數的兩個偶合微分方程式沒有辦法求出其閉合基本解。但是
假如方程式的係數包含材料性質或是幾何參數，就可以用矩陣多項式形
式表示，然後以級數解表示的基本解就可以由修正後的 Frobinius 方法得
到，在李和林[33]裡面有推導過四階統御方程式的基本解。然而，廣義矩
陣的 Frobinius 方法目前並不多見。
由於V型樑的幾何形狀，使得系統的無因次參數有兩段的變化，造成
統御方程式的係數在這兩段有不同的值，因此必須分開討論第一段和第
二段的確切基本解，然後再利用連續條件，求出可以代表整根樑的基本
通解。
43
V型樑第一段的統御微分方程式(2.108)和(2.109)的形式可以表示為：
4 3 21 1 1
1 1 1 1 1 1 14 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0R R RR I
d W d W d WA B C D W E Wd d d
ξ ξ ξ ξ ξξ ξ ξ
+ + + + = ,
1(0, )ξ ξ∈ (2. 116)
4 3 21 1 1
1 1 1 1 1 1 14 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0I I II R
d W d W d WA B C D W E Wd d d
ξ ξ ξ ξ ξξ ξ ξ
+ + + + = ,
1(0, )ξ ξ∈ (2. 117)
以上兩個微分方程式(2.109)和(2.110)的係數以多項式形式表示：
1
1 10
nk
kk
A a ξ=
= ∑ , 6
1 10
nk
kk
A a ξ=
= ∑ ,
2
1 10
nk
kk
B b ξ=
= ∑ , 7
1 10
nk
kk
B b ξ=
= ∑ ,
3
1 10
nk
kk
C c ξ=
= ∑ , 8
1 10
nk
kk
C c ξ=
= ∑ ,
4
10
nk
kk
D d ξ=
= ∑Ⅰ,
9
1 10
nk
kk
D d ξ=
= ∑ ,
5
1 10
nk
kk
E e ξ=
= ∑ , 10
1 10
nk
kk
E e ξ=
= ∑ , (2. 118)
其中ni, i =1, 2, …, 10，代表級數的項數。
44
將第一段的無因次參數(2.11)、(2.103)和(2.104)代入系統的統御方程式
(2.108)、(2.109)，得到第一段的統御方程式係數如下
( )1 1A b ξ= =
( )1 2 0B b ξ′= =
2
1 2( ) 0d bC
dξ
ξ= =
( ) ( )2 2 2 21 0( ) ( ) ( ) 2D m a m aξ ζ ω ξ ξ ζ ζ ω ζ= − − = − −
( )1 0( ) 2 ( ) ( ) 2 2E m a m aξ ζω ξ ξ ω ζω ω= − = − (2. 119)
1 1A A=
1 1B B=
1 1C C=
1 1D D=
1 1E E= − (2. 120)
則可以令V型樑第一段的統御方程式(2.116)和(2.117)的八個基本解為
1 ,1 ,
1 , 0 1 ,
kj kR j
kI j k j k
W
W
α ξ
β ξ
∞
=
=
∑ , 1, 2, , 8j = (2. 121)
45
並且因為這八個基本解滿足在座標原點的正規化條件(2.113)，所以得
到以下係數
For 1 ,1RW : 11,0 1,α = 11,1 11,2 11,3 0α α α= = = ,
For 1 ,2RW : 12,1 1,α = 12,0 11,2 12,3 0α α α= = = ,
For 1 ,3RW : 13,2 1/ 2,α = 13,0 13,1 13,3 0α α α= = = ,
For 1 ,4RW : 14,3 1/ 6,α = 14,0 14,1 14,2 0α α α= = = ,
For 1 ,5RW : 15,0 15,1 15,2 15,3 0,α α α α= = = =
For 1 ,6RW : 16,0 16,1 16,2 16,3 0,α α α α= = = =
For 1 ,7RW : 17,0 17,1 17,2 17,3 0,α α α α= = = =
For 1 ,8RW : 18,0 18,1 18,2 18,3 0,α α α α= = = = ;
For 1 ,1IW : 11,0 11,1 11,2 11,3 0,β β β β= = = =
For 1 ,2IW : 12,0 12,1 12,2 12,3 0,β β β β= = = =
For 1 ,3IW : 13,0 13,1 13,2 13,3 0,β β β β= = = =
For 1 ,4IW : 14,0 14,1 14,2 14,3 0,β β β β= = = =
For 1 ,5IW : 15,0 1,β = 15,1 15,2 15,3 0,β β β= = = ,
For 1 ,6IW : 16,1 1,β = 16,0 16,2 16,3 0,β β β= = = ,
46
For 1 ,7IW : 17,2 1/ 2,β = 17,0 17,1 17,3 0,β β β= = = ,
For 1 ,8IW : 18,3 1/ 6,β = 18,0 18,1 18,2 0,β β β= = = (2. 122)
將假設的解(2.122)代入方程式(2.116)和(2.117)，並且整理成ξ的多項式，
得到以下的遞迴方程式
( )( )( )( )1 , 4 1 1 ,0 0
14 3 2 1
m
j m k j m kk
ea m m m m
α β+ −=
−= + + + +
∑Ⅰ
( )( )1 1 , 1 1 , 20 0
2 1m m
k j m k k j m kk k
d c m k m kα α− − += =
+ + − + − +∑ ∑
( )( )( )1 1 , 30
3 2 1m
k j m kk
b m k m k m k α − +=
+ − + − + − +∑
( )( )( )( )1 1 , 41
4 3 2 1m
k j m kk
a m k m k m k m k α − +=
+ − + − + − + − +
∑ ,
(2. 123)
( )( )( )( )1 , 4 1 1 ,10 0
14 3 2 1
m
j m k j m kk
ea m m m m
β α+ −=
−= + + + +
∑
( )( )1 1 , 1 1 , 20 0
2 1m m
k j m k k j m kk k
d c m k m kβ β− − += =
+ + − + − +∑ ∑
( )( )( )1 1 , 30
3 2 1m
k j m kk
b m k m k m k β − +=
+ − + − + − +∑
( )( )( )( )1 1 , 41
4 3 2 1m
k j m kk
a m k m k m k m k β − +=
+ − + − + − + − +
∑
(2. 124)
47
有了這個遞迴方程式，就可以得到V型樑第一段的微分方程式和八個
正規化基本解。
2.3.6 第二段確切基本解
V型樑第二段的統御微分方程式(2.108)、(2.109)的形式可以表示為：
4 3 22 2 2
2 2 2 2 2 2 24 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0R R RR I
d W d W d WA B C D W E Wd d d
ξ ξ ξ ξ ξξ ξ ξ
+ + + + = ,
1( ,1)ξ ξ∈ (2. 125)
4 3 22 2 2
2 2 2 2 2 2 24 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0I I II R
d W d W d WA B C D W E Wd d d
ξ ξ ξ ξ ξξ ξ ξ
+ + + + = ,
1( ,1)ξ ξ∈ (2. 126)
以上兩個微分方程式(2.126)和(2.127)的係數以多項式形式表示：
( )11
2 2 10
nk
kk
A a ξ ξ=
= −∑ , ( )16
2 2 10
nk
kk
A a ξ ξ=
= −∑
( )12
2 2 10
nk
kk
B b ξ ξ=
= −∑ , ( )17
2 2 10
nk
kk
B b ξ ξ=
= −∑
( )13
2 2 10
nk
kk
C c ξ ξ=
= −∑ , ( )18
2 2 10
nk
kk
C c ξ ξ=
= −∑
48
( )14
2 2 10
nk
kk
D d ξ ξ=
= −∑ , ( )19
2 2 10
nk
kk
D d ξ ξ=
= −∑
( )15
2 2 10
nk
kk
E e ξ ξ=
= −∑ , ( )20
2 2 10
nk
kk
E e ξ ξ=
= −∑ (2. 127)
其中ni, i =11, 18, …, 20，代表級數的項數。
將第一段的無因次參數(2.11)、(2.103)和(2.104)代入系統的統御方程式
(2.108)、(2.109)，得到第一段的統御方程式係數如下
( ) ( )( )
22
1 2
11
A bξ ξ
ξξ ξ
−= =
−
( ) 22
1 2
221
B b ξξξ ξ
−′= =−
2
2 2( ) 0d bC
dξ
ξ= =
( )2 22 ( ) ( ) ( )D m a mξ ζ ω ξ ξ ζ= − −
( )( ) ( )
32 22 1
01 2 2 1
11 1/
aξ ξ ξ ξζ ω ζξ ξ ξ ξ
− − = − − − −
( )2 ( ) 2 ( ) ( )E m a mξ ζω ξ ξ ω= −
( )( )
32 1
01 2 2 1
12
1 1/a
ξ ξ ξ ξζω ωξ ξ ξ ξ
− − = − − − (2. 128)
2 2A A=
49
2 2B B=
2 2C C=
2 2D D=
2 2E E= − (2. 129)
則可以令V型樑第二段的統御方程式(2.126)和(2.127)的八個基本解為
( )
( )2 , 12 ,
2 , 0 2 , 1
kj kR j
kI j k j k
W
W
α ξ ξ
β ξ ξ
∞
=
− = −
∑ , j = 1, 2, …, 8 (2. 130)
並且因為這八個基本解滿足在座標原點的正規化條件(2.133)，所以得
到以下係數
For 2 ,1RW : 21,0 1,α = 21,1 21,2 21,3 0α α α= = = ,
For 2 ,2RW : 22,1 1,α = 22,0 21,2 22,3 0α α α= = = ,
For 2 ,3RW : 23,2 1/ 2,α = 23,0 23,1 23,3 0α α α= = = ,
For 2 ,4RW : 24,3 1/ 6,α = 24,0 24,1 24,2 0α α α= = = ,
For 2 ,5RW : 25,0 25,1 25,2 25,3 0,α α α α= = = =
For 2 ,6RW : 26,0 26,1 26,2 26,3 0,α α α α= = = =
For 2 ,7RW : 27,0 27,1 27,2 27,3 0,α α α α= = = =
50
For 2 ,8RW : 28,0 28,1 28,2 28,3 0,α α α α= = = = ;
For 2 ,1IW : 21,0 21,1 21,2 21,3 0,β β β β= = = =
For 2 ,2IW : 22,0 22,1 22,2 22,3 0,β β β β= = = =
For 2 ,3IW : 23,0 23,1 23,2 23,3 0,β β β β= = = =
For 2 ,4IW : 24,0 24,1 24,2 24,3 0,β β β β= = = =
For 2 ,5IW : 25,0 1,β = 25,1 25,2 25,3 0,β β β= = = ,
For 2 ,6IW : 26,1 1,β = 26,0 26,2 26,3 0,β β β= = = ,
For 2 ,7IW : 27,2 1/ 2,β = 27,0 27,1 27,3 0,β β β= = = ,
For 2 ,8IW : 28,3 1/ 6,β = 28,0 28,1 28,2 0,β β β= = = (2. 131)
其中，這八個基本解滿足在座標原點ξ =ξ1的正規化條件(2.133)。
2 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2 ,5 2 ,6 2 ,7 2 ,8
2 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2 ,5 2 ,6 2 ,7 2 ,8
2 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2 ,5 2 ,6 2 ,7 2 ,8
2 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2 ,5 2 ,6 2 ,7
R R R R R R R R
R R R R R R R R
R R R R R R R R
R R R R R R R
W W W W W W W WW W W W W W W WW W W W W W W WW W W W W W W
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ 2 ,8
2 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2 ,5 2 ,6 2 ,7 2 ,8
2 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2 ,5 2 ,6 2 ,7 2 ,8
2 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2 ,5 2 ,6 2 ,7 2 ,8
2 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2 ,5 2 ,6
R
I I I I I I I I
I I I I I I I I
I I I I I I I I
I I I I I I
WW W W W W W W WW W W W W W W WW W W W W W W WW W W W W W
′′′
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′
12 ,7 2 ,8
1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1I IW W
ξ ξ=
=
′′′ ′′′
(2. 132)
將假設解(2.131)代入方程式(2.126)和(2.127)，並且整理成ξ 的多項式，
得到以下的遞迴方程式
51
( )( )( )( )2 , 4 2 2 ,20 0
14 3 2 1
m
j m k j m kk
ea m m m m
α β+ −=
−= + + + +
∑
( )( )2 2 , 2 2 , 20 0
2 1m m
k j m k k j m kk k
d c m k m kα α− − += =
+ + − + − +∑ ∑
( )( )( )2 2 , 30
3 2 1m
k j m kk
b m k m k m k α − +=
+ − + − + − +∑
( )( )( )( )2 2 , 41
4 3 2 1m
k j m kk
a m k m k m k m k α − +=
+ − + − + − + − +
∑ ,
(2. 133)
( )( )( )( )2 , 4 2 2 ,20 0
14 3 2 1
m
j m k j m kk
ea m m m m
β α+ −=
−= + + + +
∑
( )( )2 2 , 2 2 , 20 0
2 1m m
k j m k k j m kk k
d c m k m kβ β− − += =
+ + − + − +∑ ∑
( )( )( )2 2 , 30
3 2 1m
k j m kk
b m k m k m k β − +=
+ − + − + − +∑
( )( )( )( )2 2 , 41
4 3 2 1m
k j m kk
a m k m k m k m k β − +=
+ − + − + − + − +
∑
(2. 134)
2.3.7 連續條件
由(2.112)整個系統的基本解為
52
( )( )
8,
,1
( )( )
R iRi
I iI i
WWC
WWξξξξ =
=
∑ (0,1)ξ ∈ (2. 135)
並且系統的第一段基本解為
( )( )
81 ,1
11 ,1 1
( )( )
R iRi
I iI i
WWC
WWξξξξ =
=
∑ 1(0, )ξ ξ∈ (2. 136)
系統的第二段基本解為
( )( )
82 , 12 1
22 , 12 1 1
( )( )
R iRi
I iI i
WWC
WWξ ξξ ξξ ξξ ξ =
− −= −−
∑ 1( ,1)ξ ξ∈ (2. 137)
這兩段的基本解都必須滿足方程式(2.113)和(2.133)的正規化條件。
從V型樑上視圖2.5(b)可以發現這兩段的基本解必須滿足以下連性條
件：
位移： ( ) ( )1 1R RW Wξ ξ− +=
( ) ( )1 1I IW Wξ ξ− +=
斜率： ( ) ( )1 1R RdW dW
d d
ξ ξ
ξ ξ
− +
=
( ) ( )1 1I IdW dW
d d
ξ ξ
ξ ξ
− +
=
力矩： ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1
1 12 2R Rd W d W
b bd d
ξ ξξ ξ
ξ ξ
− +− +=
53
( ) ( ) ( ) ( )2 21 1
1 12 2I Id W d W
b bd d
ξ ξξ ξ
ξ ξ
− +− +=
剪力：
1 1
2 2
2 2R Rd d W d d Wb b
d dd dξ ξξ ξξ ξ− +
=
1 1
2 2
2 2I Id d W d d Wb b
d dd dξ ξξ ξξ ξ− +
=
(2. 138)
將第一段和第二段解(2.137)、(2.138)代入連續條件(2.139)得到係數 2iC
21 1 1( )RC W ξ=
22 1 1( )RC W ξ′=
23 1 1( )RC W ξ′′=
224 1 1 1 1
1 2( ) ( )
1 R RC W Wξ ξ ξξ ξ
′′ ′′′= +−
25 1 1( )IC W ξ=
26 1 1( )IC W ξ′=
27 1 1( )IC W ξ′′=
228 1 1 1 1
1 2( ) ( )
1 I IC W Wξ ξ ξξ ξ
′′ ′′′= +−
(2. 139)
系統的基本解可以分別等於第一段或第二段的基本解
1 ( ) ( )R RW Wξ ξ= 10 ξ ξ≤ ≤ (2. 140)
2 1( ) ( )R RW Wξ ξ ξ− = 1 1ξ ξ≤ ≤ (2. 141)
54
所以
2 1( ) ( )R RW Wξ ξ ξ− = (2. 142)
( ) ( )8 8
2 2 , 1 ,1 1
i R i i R ii i
C W C Wξ ξ ξ= =
− =∑ ∑ (2. 143)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1
1
1
1
1 ,1 2 ,2 8 ,8 2 ,1 1
1 ,1 2 ,2 8 ,8 2 ,2 1
1 ,1 2 ,2 8 ,8 2 ,3 1
21 ,1 2 ,2 8 ,8
1 2
1 ,1
1
R R R R
R R R R
R R R R
R R R
R
C W C W C W W
C W C W C W W
C W C W C W W
C W C W C W
C W
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξξ ξ
ξ
+ + + −
′ ′ ′ + + + + −
′′ ′′ ′′ + + + + −
′′ ′′ ′′ + + + + −
′′′+ ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1
1
1
2 ,2 8 ,8 2 ,4 1
1 ,1 2 ,2 8 ,8 2 ,5 1
1 ,1 2 ,2 8 ,8 2 ,6 1
1 ,1 2 ,2 8 ,8 2 ,7 1
21 ,1 2
1 21
R R R
I I I R
I I I R
I I I I
I I
C W C W W
C W C W C W W
C W C W C W W
C W C W C W W
C W C W
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξξ ξ
′′′ ′′′ + + + −
+ + + + −
′ ′ ′ + + + + −
′′ ′′ ′′ + + + + −
′′ ′′+ +−
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1
,2 8 ,8
1 ,1 2 ,2 8 ,8 2 ,8 1
1 ,1 2 ,2 8 ,8
I
I I I R
R R R
C W
C W C W C W W
C W C W C W
ξ
ξ
ξ ξ
ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
′′ + +
′′′ ′′′ ′′′ + + + + −
= + + +
(2. 144)
比較上面方程式的係數 1,2, ,8iC i = 之後，可以得到整個系統的基本解
, ( ) 1,2, ,8R jW jξ =
1 , 1 2 ,1 1( ) ( )R j RW Wξ ξ ξ= − 1 , 1 2 ,2 1( ) ( )R j RW Wξ ξ ξ′+ − 1 , 1 2 ,3 1( ) ( )R j RW Wξ ξ ξ′′+ −
55
21 1 1 1 2 ,4 1
1 2( ) ( ) ( )
1 R R RW W Wξ ξ ξ ξ ξξ ξ
′′ ′′′+ + − −
1 , 1 2 ,5 1( ) ( )I j RW Wξ ξ ξ+ −
1 , 1 2 ,6 1( ) ( )I j RW Wξ ξ ξ+ − 1 , 1 2 ,7 1( ) ( )I j RW Wξ ξ ξ′+ −
21 1 1 1 2 ,8 1
1 2( ) ( ) ( )
1 I I RW W Wξ ξ ξ ξ ξξ ξ
′′ ′′′+ + − −
(2. 145)
同理，可以求出整個系統的基本解 , ( )I jW ξ 。
1 ( ) ( )I IW Wξ ξ= 10 ξ ξ≤ ≤ (2. 146)
2 1( ) ( )I IW Wξ ξ ξ− = 1 1ξ ξ≤ ≤ (2. 147)
所以
2 1 1( ) ( )I IW Wξ ξ ξ− = (2. 148)
( ) ( )8 8
2 2 , 1 ,1 1
i I i i I ii i
C W C Wξ ξ ξ= =
− =∑ ∑ (2. 149)
比較係數 1,2, ,8iC i = 之後，可以得到整個系統的基本解 , ( )I jW ξ
, ( ) 1,2, ,8I jW jξ =
1 , 1 2 ,1 1( ) ( )R j IW Wξ ξ ξ= − 1 , 1 2 ,2 1( ) ( )R j IW Wξ ξ ξ′+ −
1 , 1 2 ,3 1( ) ( )R j IW Wξ ξ ξ′′+ − 21 1 1 1 2 ,4 1
1 2( ) ( ) ( )
1 R R IW W Wξ ξ ξ ξ ξξ ξ
′′ ′′′+ + − −
1 , 1 2 ,5 1( ) ( )I j IW Wξ ξ ξ+ − 1 , 1 2 ,6 1( ) ( )I j IW Wξ ξ ξ+ − 1 , 1 2 ,7 1( ) ( )I j IW Wξ ξ ξ′+ −
56
21 1 1 1 2 ,8 1
1 2( ) ( ) ( )
1 I I IW W Wξ ξ ξ ξ ξξ ξ
′′ ′′′+ + − −
(2. 150)
然後就可以將這些基本解代入頻率方程式(2.115)，求出V型樑的自然振動
頻率。
57
(a)
(b)
圖 2.5 微型樑與剛性壁示意圖: (a) 側視圖﹔(b) 上視圖
58
第三章 數值分析與討論
上面章節分別對 V 型 AFM 微探針作動態和靜態的研究，本章中將
利用之前所提出之解法，對 V 型微探針作數值分析，探討在不同參數下
微探針之共振頻率之偏移現象，還有對系統靈敏度的影響。此外，也探
討阻尼係數對樑之影響。
3.1 V 型微探針之靜態分析
為了解釋怎麼應用本篇論文靜態方面提出的方法，還有找出某些參數
對系統靈敏度和自然頻率的影響，因此有以下研究報告。所使用的所使
用的微型樑尺寸及其他材料係數等，附在表 3.1 上。
在前面章節已經推導出，含探針頭質量均勻厚度 V 型微懸壁樑的撓
度，和探針尖端離樣品表面距離的關係。探針材料為矽。接下來，探討
微型樑的幾何形狀係數ξ1 所產生相關的影響。在表 3.2 和表 3.3，探討ξ1
對探針尖端撓度與探針樣品間距離的關係的影響。微型樑重量所產生的
撓度 Ws在幾何形狀係數ξ1為 0 和 0.5 時，分別為 0.0491 nm 和 0.0388 nm。
當 Lennard-Jonse 作用力接近零，探針尖端撓度 W(1)接近樑自重所產生的
59
撓度 Ws。當作用力為排斥力，一個探針尖端撓度會對應到一個探針尖端
離樣品表面距離。然而，當作用力為吸引力，會對應到兩個探針尖端離
樣品表面距離[7]。ξ1 = 0 的微型樑受到吸引力作用下，探針尖端撓度範圍
從 0.0492 到 10.084 nm。ξ1 = 0.5 的微型樑受到吸引力作用下，探針尖端
撓度範圍從 0.0388 到 7.5649 nm。ξ1 = 0 的微型樑受到排斥力 0 到
81 .2 10 −× N 作用下，探針尖端撓度範圍從–3.2318 到 0.0489 nm。ξ1 = 0.5
的微型樑受到排斥力 0 到 81 .2 10 −× N 作用下，探針尖端撓度範圍從–3.0
到-0.1 nm。因此得到結論，ξ1 = 0 的微型樑靈敏度比ξ1 = 0.5 明顯高許多。
另外，可以發現，將微型樑重量所造成的撓度跟探針尖端撓度相比較，
探針自重對靈敏度的效應非常小。
在探針的靜態分析中，同樣的條件下，不同的探針與樣品距離會產
生不同的探針尖端撓度，但是其中會有一個最大的探針尖端撓度。接下
來就是探討幾何形狀係數ξ1和ξ2，對探針尖端最大撓度的影響。表 3.4、
3.5 和 3.6 列出在ξ2= 0.2、ξ1從 0.0 到 0.7 時，最大探針尖端撓度的範圍從
7.8768 到 9.1919 nm。在ξ1 = 0.5 、ξ1從 0.0 到 0.7 時，最大探針尖端撓度
的範圍從 6.5414 到 10.0838 nm。在ξ2= 0.8 、ξ1從 0.0 到 0.7 時，最大探
針尖端撓度的範圍從 5.0180 到 11.4189 nm。將數據以圖 3.1 比較容易看
出，幾何形狀係數ξ1越小時，最大探針尖端撓度越大。在ξ1<0.3 時，幾何
形狀係數ξ2越大時，最大探針尖端撓度越大。在ξ1>0.3 時，幾何形狀係數
60
ξ2 越小時，最大探針尖端撓度越大。所以可得到結論，若要增加系統靈
敏度，就使ξ1減小，至於如何決定ξ2要依當時ξ1大小而定。
探討幾何形狀係數ξ1 和ξ2，對探針重量造成撓度的影響。表 3.4、3.5
和 3.6 列出在ξ2 = 0.2、ξ1從 0.0 到 0.7 時，探針重量所造成的撓度的範圍
從 0.0246 到 0.0615 nm。在ξ2 = 0.5 、ξ1從 0.0 到 0.7 時，最大探針尖端撓
度的範圍從 0.0188 到 0.0491 nm。在ξ2 = 0.8 、ξ1從 0.0 到 0.7 時，最大探
針尖端撓度的範圍從 0.0090 到 0.0349 nm。所以，可從圖 3.2 看出，形狀
係數ξ1 或ξ2 越小時，探針重量所造成的撓度會越大。但是與上面結果比
較後可以發現，探針重量所造成的撓度遠小於最大探針尖端撓度。
61
表 3.1 微懸臂樑之材料與幾何形狀
Material Young’s ModulusE(GPa)
Density
ρ ( 3 310 /kg m )
2iS O 70.3 2.5
Kinematic Viscosity μ
( 2 /m s )
Mass of tip
tm (kg)
51.79 10−× 133.18 10−×
Length of
beam
L( mµ )
Width of
beam
B ( mµ )
bw ( mµ ) Thickness of beam
bh ( mµ )
140 140 18 0.6
62
表 3.2 ξ1 = 0.0 對探針尖端撓度與探針樣品間距離的關係的影響
[R = 71 .5 10 m−× , H1 = 7610 Jou le− , H2 = 1910 Jou le− , E = 70.3×109 Pa, ρ
= 2.5×103 kg/m3, 2wb = 45 µm, ξ1 = 0, ξ2 = 0.5, hb = 3.5 µm, L = 200 µm, mt =
3.18 1310 kg−× ,Ws = 0.0491 nm],
W(1) (nm) D1(nm) F11210 ( )N−× D2(nm) F2
1210 ( )N−×
-3.2318 0.17533 12000 - -
-1.7802 0.17701 6690.6 - -
-0.2801 0.17894 1204.32 - -
0.0399 0.17938 33.930 - -
0.0489 0.17940 1.0120 - -
0.0492 0.17940 -0.0820 172.08 -0.0820
0.0499 0.17940 -2.6440 30.746 -2.6440
0.1199 0.17950 -258.67 3.1088 -258.67
0.2199 0.17964 -624.42 2.0009 -624.42
1.2199 0.18113 -4281.9 0.76404 -4281.9
2.2199 0.18278 -7939.4 0.56085 -7939.4
3.2199 0.18462 -11597 0.46352 -11597
4.2198 0.18669 -15254 0.40326 -15254
5.2199 0.18908 -18912 0.36083 -18912
6.2198 0.19190 -22569 0.32837 -22569
7.2198 0.19536 -26227 0.30187 -26227
9.2199 0.20679 -33542 0.25656 -33542
10.084 0.22603 -36702 0.22603 -36702
63
表 3.3 ξ1 = 0.5 對探針尖端撓度與探針樣品間距離的關係的影響
[R = 71 .5 10 m−× , H1 = 7610 Joule− , H2 = 1910 Jou le− , E = 70.3×109 Pa, ρ =
2.5×103 kg/m3, 2wb = 45 µm, hb = 3.5 µm, L = 200 µm, mt =
3.18 1310 kg−× ,Ws = 0.0388200 nm],[ ξ1 = 0.5, ξ2 = 0.5]
W(1) (nm) D1(nm) F11210 ( )N−× D2(nm) F2
1210 ( )N−×
-3.0000 0.174503 14819.2 - -
-2.0000 0.175958 9942.60 - -
-1.0000 0.177554 5065.96 - -
-0.1000 0.179138 676.975 - -
0.03884 0.179396 -0.0965687 160.077 -0.0975618
0.04000 0.179398 -5.75467 20.8433 -5.75467
0.04200 0.179402 -15.5082 12.6968 -15.5082
0.04500 0.179408 -30.1375 9.10783 -30.1375
0.06000 0.179436 -103.288 4.91979 -103.288
1.0000 0.181308 -4687.33 0.730229 -4687.33
2.0000 0.183571 -9563.98 0.510790 -9563.98
3.0000 0.186204 -14440.6 0.414715 -14440.6
4.0000 0.189364 -19317.3 0.356831 -19317.3
5.0000 0.193336 -24193.9 0.316029 -24193.9
6.0000 0.198761 -29070.6 0.283731 -29070.6
7.564872 0.22603 -36702 0.22603 -36702
64
表 3.4 ξ2= 0.2 對探針尖端撓度與探針樣品間距離的關係的影響
[E = 70.3×109 Pa, ρ = 2.5×103 kg/m3, 2wb = 45 µm, hb = 3.5 µm, L=200 µm,
R = 71 .5 10 m−× , H1 = 7610 Jou le− , H2 = 1910 Jou le− ,
133.18 10tipm kg−= × , L0 = 10 nm , ξ2 = 0.2]
ξ1 Ws
(nm)
W(1) (nm) 83 .6702 10LF N−= − ×
0.00 0.061513 9.191987
0.10 0.061403 9.009268
0.20 0.060713 8.825968
0.30 0.058814 8.641459
0.40 0.055023 8.455058
0.50 0.048605 8.266031
0.60 0.038770 8.073587
0.70 0.024672 7.876879
65
表 3.5 ξ2 = 0.5 對探針尖端撓度與探針樣品間距離的關係的影響
[E = 70.3×109 Pa, ρ = 2.5×103 kg/m3, 2wb = 45 µm, hb = 3.5 µm, L=200 µm,
R = 71 .5 10 m−× , H1 = 7610 Jou le− , H2 = 1910 Jou le− ,
133.18 10tipm kg−= × , L0 = 10 nm , ξ2 = 0.5]
ξ1 Ws
(nm)
W(1) (nm) 83 .6702 10LF N−= − ×
0.00 0.049136 10.08387
0.10 0.049023 9.582023
0.20 0.048468 9.079731
0.30 0.046974 8.576501
0.40 0.043975 8.071765
0.50 0.038820 7.564872
0.60 0.030746 7.055062
0.70 0.018849 6.541428
66
表 3.6 ξ2= 0.8 對探針尖端撓度與探針樣品間距離的關係的影響
[E = 70.3×109 Pa, ρ = 2.5×103 kg/m3, 2wb = 45 µm, hb = 3.5 µm, L=200 µm,
R = 71.5 10 m−× , H1 = 7610 Jou le− , H2 = 1910 Jou le− , 133.18 10tipm kg−= × ,
L0 = 10 nm , ξ2 = 0.8]
ξ1 Ws
(nm)
W(1) (nm) 83 .6702 10LF N−= − ×
0.00 0.034909 11.41896
0.10 0.034769 10.50810
0.20 0.034239 9.596846
0.30 0.032893 8.684775
0.40 0.030261 7.771419
0.50 0.025824 6.856258
0.60 0.018996 5.938705
0.70 0.009087 5.018071
67
0
2
4
6
8
10
12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
W(1
) (nm
)
.
=0.2 =0.5 =0.8
圖 3.1 ξ1對探針尖端撓度的影響
1ξ
2ξ2ξ2ξ
68
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0 0.2 0.4 0.6 0.8
Ws(
nm)
.
=0.2 =0.5 =0.8
圖 3.2 ξ1對探針自重造成撓度的影響
1ξ
2ξ2ξ2ξ
69
3.2 無阻尼 V 型微探針之分析與討論
在第二章求出了非時變邊界條件下 V 型微探針之正解和共振頻率，
作數值分析求出理論的共振頻率值，在表 3.1 的微型樑尺寸下，以等效剛
性及等效質量的單自由度理論比較[34]，其中等效質量隨著樑尺寸而改變
[35]。以沒有阻尼具探頭集中質量的 V 型樑，把本論文推導計算出來的
自然頻率值與文獻的公式計算出來的值在表 3.7 做比較，兩者差異很小。
另外，做了 Limit case 的討論﹕
已知 V 型樑的截面積為
( ) ( )1
2 1
2 , 01 , 1
b b
b
w hA
Bhξ ξ
ξξ ξ ξ ξ
≤ ≤= − ≤ ≤
(3. 1)
在以下兩種情況下，都可將 V 型樑轉變成矩形樑
1
1 2
1. 12. 0, 0
ξξ ξ
== =
(3. 2)
在無探頭質量的情形下，將本論文推導計算出的無因次自然頻率，跟文
獻[36]做比較，如表 4.3。結果，兩者的數據差異非常小，不到 0.01%。
對無阻尼的 V 型樑作數值分析，研究其基本的振動特性。所使用的
微型樑尺寸及其他材料係數等，列在表 3.1。首先，研究在ξ1為 0.3 之下，
長寬比與自然頻率的關係。由圖 3.3 可知長寬比越大，自然頻率越高，符
70
合一般均勻樑的現象。
圖 3.4 為在長寬比為 1 的情形下，幾何參數ξ1對系統自然頻率的影響。
ξ1 越小自然頻率越高，可以得到結論，V 型樑的共振頻率比均勻樑高，
所以在進行 AFM 量測時，使用 V 型探針可以提高系統的共振頻率，避
免外界低頻的雜訊干擾。
71
表 3.7 共振頻率值之比較
理論[33]
(kHz) 本論文(kHz) error(%)
33.4 33236.3333 0.55128
表 3.8 無因次自然頻率值的比較
模態 本論文 文獻[36]
1 3.51601 3.51562
2 22.03449 22.03363
3 61.69721 61.70102
72
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4B/L
freq
uenc
y(kH
z)
1 mode 1mode 2mode 3mode 4
圖 3.3 1 0.3ξ = 時，不同長寬比對自然頻率之影響
73
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
freq
uenc
y sh
ift (k
Hz)
damped mode 1damped mode 2undamped mode 1undamped mode 2
圖 3.4 ξ1對系統自然頻率的影響
1ξ
74
3.3 具阻尼 V 型微探針之數值分析與討論
考慮一 V 型均勻厚度微型樑，一端固定在彈性基台，另一端為自由
端，且承受薄膜阻尼力。所使用的微型樑尺寸及其他材料係數等，也是
使用表 3.1 的數值，除了 20bw mµ= ，但是多考慮空氣薄膜厚度 10μm，
所對應的阻尼係數 0 0.102a = ，圖 3.4 比較在有阻尼與無阻尼況態下共振
頻率變化的情形。可以發現沒有阻尼的樑自然頻率比較大。挖空比率ξ1
越小，自然頻率下降越多，這是因為阻尼效應造成的。原因是阻尼係數
跟幾何參數ξ1有關聯，圖 3.5 可以看出ξ1越大， 0a 越小，也就是說 V 型
樑面積越大，薄膜阻尼越大。
圖 3.6 顯示樑前四個共振頻率，在薄膜阻尼係數 0a 變化時，頻率偏
移之情形。圖中可看出 0a 愈大，則頻率偏移也愈大，同時也顯示出， 0a 的
變化對較低模態之共振頻率的影響較為明顯。這也表示說，薄膜阻尼對
系統自然頻率的影響，在低模態的時候比較顯著。
在 AFM 探針振動中，如果衰減速率ζ越大，系統會越快達到穩定狀
態。由於阻尼跟衰減速率成正比，阻尼越大振幅衰減越快，但是阻尼係
數跟面積成正比，也就是跟幾何參數ξ1有關。由圖 3.7 中，可以看到在第
一振動模態時，ξ1 越小衰減速率越大，也就是面積越大衰減速率越大。
但是在較高模態就比較不符合這個規則，衰減速率最大值出現在 X 軸中
75
間。
另外在圖 3.8 中，發現長寬比越大，衰減速率越大。這是因為在圖
3.9 中，長寬比增加就是面積增加，使得阻尼係數提高。所以會造成長寬
比越大、衰減速率越大的情形。而且，越高的振動模態，衰減越快。
76
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
圖 3.5 ξ1對阻尼係數 0a 的影響
0a
1ξ
77
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10
freq
uenc
y sh
ift (k
Hz)
1
mode 1mode 2mode 3mode 4
圖 3.6 0a 對頻率偏移之影響
0a
78
0
2
4
6
8
10
12
14
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
deca
y ra
te ζ mode 1mode 2mode 3mode 4
圖 3.7 ξ1對衰減速率ζ的影響
1ξ
79
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
B/L
deca
y ra
te ζ
1
.
mode 1mode 2mode 3
圖 3.8 長寬比對衰減速率ζ的影響
80
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
B/L
圖 3.9 B/L 對阻尼係數 0a 的影響
0a
81
第四章 結論
本篇論文推導出 AFM 均勻厚度之 V 型探針正解，得到其自然共振頻
率受薄膜阻尼與探針尺寸的影響情形。另外，也求出具有根部彈性拘束
與非線性邊界條件的 AFM 非均勻探針的正解，得到探針尖端撓度和探針
尖端與樣品表面距離的關係，還有參數對系統靈敏度的影響。以下是最
後的結論﹕
(1) 在沒有阻尼的時候，ξ1減少會提昇系統的靈敏度和自然頻率，有
助於避免量測時外在多餘的激振。
(2) 在有阻尼的時候，ξ1減少，樑截面積增加，也就是阻尼效應增大，
自然頻率會明顯地下降。
(3) 不論是有阻尼或無阻尼，降低ξ1可以提高自然頻率。
(4) 薄膜阻尼係數 0a 愈大，則共振頻率偏移量也愈大。
(5) 在第一模態，ξ1越小衰減速率越大。較高模態下，衰減速率最大
值出現在中間。
(6) 探針自重對靈敏度的效應非常小。
(7) 在ξ1 <0.3 時，幾何形狀係數ξ2越大時，系統的靈敏度越大。在ξ1
>0.3 時，幾何形狀係數ξ2越小時，系統的靈敏度越大。
82
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工程學系碩士論文, 2003
87
自 述
姓名：陳炳勳
籍貫：台灣省屏東縣
出生日期：民國 69 年 11 月 1 日
學歷： 民國 87 年省立台南一中畢業
民國 91 年國立成功大學造船與船舶機械工程學系畢業
民國 93 年國立成功大學機械工程學系碩士畢業
住址：台南縣新營市育德街 39 號
電話：(06) 6563435
