A

e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com

คำเตอน

คมอตวเลมนไดจดทาขนเพอ ใชประกอบการเรยนการสอน ผานเวบไซทเดกทาเลนท.

คอม (www.DekTalent.com) หากนกเรยนนาไปอานโดยไมไดสมครเรยนเอง จะไมไดผลลพธ

ในการเรยนสงสดหากยงไมไดสมครเรยนสมครเรยนเถอะคะทเวบไซทเดกทาเลนท.คอม

(DekTalent.com)

สงวนลขสทธ 2553 โดย อ. โต วชรา โอภาสวฒนา

หามนาสวนใดสวนหนงของเอกสารนไป ทาซา ลอกเลยนแบบ ทาสาเนา เผยแพรทางอนเตอรเนตหรอสอ

อนๆ ไมวารปแบบใด ยกเวนไดรบการอนญาตเปนลายลกษณอกษรจากผ เขยนเทานน

เอกสาร Version 15 พค. 2553

B

e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com

ÊÒú a­

eà èo§ ˹ �Ò จานวนจรงเบองตน 1

โครงสรางของระบบจานวนจรง 1

จานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะ 1

การแปลงคาระหวางเศษสวนและทศนยม 3

สมบตเกยวกบจานวนจรง 4

ทฤษฎบทเศษเหลอ 5

การแกสมการ 6

ทบทวนการแยกตวประกอบสองวงเลบ 6

ทบทวนการหารสงเคราะห 7

สมบตการไมเทากน 8

ชวง 9

การแกอสมการ 11

คาสมบรณ 13

การแกสมการคาสมบรณ 13

การแกอสมการคาสมบรณ 14

1

e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com

¨íҹǹ¨Ãi§ สรปสาระสาคญ 1. โครงสรางของระบบจานวนจรง

2. จานวนตรรกยะ

จานวนตรรกยะ คอ จานวนทสามารถเขยนใหอยในรปเศษสวน เมอ a, b เปนจานวนเตม \

และ b ≠ 0 สญลกษณ แทนดวย Q

ตวอยาง 2 เปนจานวนตรรกยะ 3. จานวนอตรรกยะ

จานวนอตรรกยะ คอ จานวนจรงทไมสามารถเขยนใหอยในรปเศษสวนของจานวนเตมได พบใน

สามแบบ ดงน

1. ตดเครองหมายราก และถอดรากไมลงตว เชน √2, √3, √−6

2. เปนทศนยมแบบไมซา เชน 1.232332333…

3. เปนสญลกษณพเศษ เชน π, e 4. เปรยบเทยบจานวนตรรกยะ และ จานวนอตรรกยะ

จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ 1. เขยนเปนเศษสวนของจานวนเตมได 1. เขยนเปนเศษสวนของจานวนเตมไมได

2. ถาตดเครองหมายราก จะถอดไดลงตว 2. ตดเครองหมายราก และถอดไมลงตว

3. ถาเปนทศนยม จะเปนทศนยมซา เชน

2.353535…

3. ถาเปนทศนยมจะเปนทษนยมไมซา เชน

2.353353335…

4. ใชเปนคาประมาณของ π คอ 4. ใชเปนสญลกษณพเศษ คอ π , e

2

e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com

ตวอยางท 1 พจารณาวาจานวนทกาหนดใหวาเปนจานวนตรรกยะ หรอ จานวนอตรรกยะ

1. √196 2. −√2025 .................................................................... ...................................................................

.................................................................... ...................................................................

3.√0.0025 4. 3.1414

.................................................................... ...................................................................

.................................................................... ...................................................................

5. 4.999… 6. 4.232232223

.................................................................... ...................................................................

.................................................................... ...................................................................

7. 1.454554555… 8. √3 − √2 (√3 + √2)

.................................................................... ...................................................................

.................................................................... ...................................................................

.................................................................... ...................................................................

9. (√5 − √2) 10. √18 − 3√2

.................................................................... ...................................................................

.................................................................... ...................................................................

.................................................................... ...................................................................

3

e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com

ขอสงเกต จานวนตรรกยะ + , − , ×, ÷ จานวนตรรกยะ ผลทได จานวนตรรกยะเสมอ

จานวนอตรรกยะ + , − , ×, ÷ จานวนอตรรกยะ ผลทได ไมแนนอน

จานวนตรรกยะ + , − จานวนอตรรกยะ ผลทได จานวนอตรรกยะเสมอ

จานวนตรรกยะ ×, ÷ จานวนอตรรกยะ ผลทได ไมแนนอน

5. การเปลยนเศษสวนเปนทศนยม

การเปลยนเศษสวนเปนทศนยม ทาไดโดยการตงหาร

ตวอยาง 1. = 2.375 2. = 0.6

6. การเปลยนทศนยมซาเปนเศษสวน กรณท 1 ทศนยมซาศนย เชน 5.23

กรณท 2 ทศนยมซาเลขอนๆ

เชน 1) 2.333333… =

2) 6.89898989… =

3) 1.4525252… =

4) 1.235235235… =

ตวอยางท 1 จงเปลยนทศนยมเปนเศษสวน

1. 0.35 =..........................

2. 2.435 =..........................

3. 0. 4 =..........................

4. 0. 345 =..........................

5. 0.345 =..........................

6. 0.345 =..........................

4

e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com

7. 1. 63 =..........................

8. 2.045 =..........................

7. สมบตเกยวกบจานวนจรง

การเทากนของจานวนจรง ให a, b, c เปนจานวนจรงใดๆ

สมบตสะทอน จะได a = a

สมบตสมมาตร จะได a = b แลว b = a

สมบตถายทอด จะได ถา a = b และ b = c แลว a = c

สมบตการบวกดวยจานวนทเทากน จะได a = b แลว a + c = b + c

สมบตการคณดวยจานวนทเทากน จะได a = b แลว ac = bc

สมบตเกยวกบการบวกจานวนจรง ให a, b, c เปนจานวนจรงใดๆ

สมบตปดของการบวก จะได a + b เปนจานวนจรง

สมบตสลบทของการบวก จะได a + b = b + a

สมบตเปลยนกลมของการบวก จะได a + (b + c) = (a + b) + c

เอกลกษณการบวก จะได 0 เปนเอกลกษณการบวก

เพราะ a + 0 = 0 + a

อนเวอรสการบวก จะได –a เปนอนเวอรสการบวกของ a

เพราะ a + (-a) = (-a) + a = 0

สมบตเกยวกบการคณจานวนจรง ให a, b, c เปนจานวนจรงใดๆ

สมบตปดของการคณ จะได ab เปนจานวนจรง

สมบตสลบทของการคณ จะได ab = ba

สมบตเปลยนกลมของการคณ จะได a (b c) = (a b) c

เอกลกษณการคณ จะได 1 เปนเอกลกษณการคณ

เพราะ a × 1 = 1 × a = a

อนเวอรสการคณ จะได a-1 เปนอนเวรสการคณของ a

เพราะ a × a-1 = a-1 × a = 1

e ç¡·

8. ทฤษ

จากสมก

ดงนน

ตวอยาง

1. x3 - 2

............

............

............

............

............

ÒeÅ �¹· �.¤oÁ

สมบตการแจa ×

สมบตการตดถา a

ถา a

สมบตการตดถา a

ถา a

ฎบทเศษเหเมอตวตงคอ

การ

จะได

แทน X = c จ

ดงนน

ท 1 จงหาเศษ

x2 -5x + 6 ห

...................

...................

...................

...................

...................

Á

จกแจง ให a,

(b + c) = (a

ดออกสาหรบa + c = b +

a + b = a +

ดออกสาหรบa c = b c แล

a b = a c แล

ลอ P(x) เปนพห

จะได

ษจากการหาร

หารดวย x + 3

...................

...................

...................

...................

...................

, b, c เปนจา

a × b) + (a ×

บการบวก c แลว a = b

c แลว b = c

บการคณ ละ c ≠ 0 แลว

ละ a ≠ 0 แลว

หนามดกรสงก

P(x) = ผลลพ

P(c) = 0 + เ

P(X) ÷ (X -

รพหนามตอไ

3

.................

.................

.................

.................

.................

5

นวนจรงใดๆ

× c)

b

c

ว a = b

ว b = c

กวา 1 ตวหาร

พธ × (X – c)

เศษ = เศษ

- c) จะไดเศ

ไปน

แลว

รคอ x-c จะห

) + เศษ

ษเทากบ P(

2. 2x3 + x2+

..................

..................

..................

..................

..................

ww

าเศษจากกา

c)

+ x + 3 หารด

...................

...................

...................

...................

...................

ww.dekta

รหารไดดงน

ดวย 2x + 1

...................

...................

...................

...................

...................

alent.com

............

............

............

............

............

m

6

e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com

ตวอยางท 2

1. ถา 2x3 - x2 + 5x + k หารดวย x + 2 แลว 2. ถา x + 3 หาร 2x3 - 3x2 + mx + 7 เหลอเศษ

เหลอเศษ 5 จงหาคา K เทากบเศษทไดจากการนา x - 3 ไปหาร

x4 - 5x3 + 2x2 – x + 2 จงหาคา m

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

9. การแกสมการ

สงทตองทราบ

-วธการแยกตวประกอบของพหนาม

-สตรการแกสมการสาหรบ สมการกาลงสอง

วธการแยกตวประกอบของพหนาม 1. การดงตวรวม

2. การแยกตวประกอบสองวงเลบ

3. กาลงสองสมบรณ

4. ผลตางกาลงสอง

5. ผลบวก หรอ ผลตางกาลงสาม

6. วธเพมเขา-ลบออก

7. จบค ดงตวรวม

8. การหารสงเคราะห

7

e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com

ทบทวนการแยกตวประกอบสองวงเลบ

ตวอยางท 1 จงหาคา x จากสมการ

1. x2 + 7x + 10 = 0 2. x2 - 15x + 36 = 0

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

3. x2 + 5x – 24 = 0 4. x2 - 4x – 12 = 0

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

5. 2x2 + 13x – 24 = 0 6. 6x2 -12x + 6 = 0

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

ทบทวนการหารสงเคราะห ตวอยางท 1 จงหาคา x จากสมการ

1. x3 + x2 - 8x - 12 = 0 2. 3x3 + 2x2 - 12x - 8 = 0

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

8

e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com

ÊÙµÃการแกสมการ สาหรบสมการกาลงสอง + + = 0

= −b ± √b − 4ac2a

ตวอยางท 1 จงหาคา x

1. x2 + 8x + 6 = 0 2. 2x2 + 4x = 1

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

.................................................................. ...................................................................

10. สมบตการไมเทากน

สมบตไตรวภาค ถา a, b เปนจานวนจรงใดๆ แลวความสมพนธระหวาง a กบ b จะเปนอยางใดอยางหนง คอ

1. a < b

2. a = b

3. a > b

สมบตของการไมเทากน 1. สมบตของการถายทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c

2. สมบตของการบวก ถา a > b แลว a + c > b + c

3. สมบตของการลบ ถา a > b แลว a - c > b - c

4. สมบตของการคณ

• ถา a > b และ c > 0 แลว จะได ac > bc

• ถา a > b และ c = 0 แลว จะได ac = bc

• ถา a > b และ c < 0 แลว จะได ac < bc

9

e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com

5. สมบตของการหาร

• ถา ac > bc และ c > 0 แลว จะได a > b

• ถา ac > bc และ c > 0 แลว จะได a > b

11. ชวง (Interval) นยาม เมอเอกภพสมพทธเปนจานวนจรงและ a < b แลว 1) ชวงเปด หมายถง {x | a < x < b} สญลกษณ คอ (a , b)

เขยนกราฟ

2) ชวงปด หมายถง {x | a ≤ x ≤ b} สญลกษณ คอ [a , b]

เขยนกราฟ

3) ชวงครงเปด ม 2 แบบ ดงน

3.1 [a ,b ) หมายถง {x | a ≤ x < b}

เขยนกราฟ

3.2 (a ,b ] หมายถง {x | a < x ≤ b}

เขยนกราฟ

4) ชวงอนนต ม 2 แบบ ดงน

4.1 (a, ∞) หมายถง {x | x > a}

เขยนกราฟ

10

e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com

4.2 (-∞, a) หมายถง {x | x < a}

เขยนกราฟ

ตวอยางท 1 จงหาผลลพธของชวงตอไปน

ถา A = )2, 6(

B = )4, 8]

C = [-2, 5]

D = [0, 7(

จงหา

1. A ∪ B 2. B ∩ (C ∪ D)

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

3. (A′ ∩ D)′ 4. A - (B ∪ C)′ ..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

ตวอยางท 2

ให A = {x | -3 < x ≤ 5}

B = {x | -8 ≤ x ≤ 2}

C = {x | -1 < x < 8}

จงหา

1. A - (B ∩ C) 2. (A′∩ B)′ ..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

11

e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com

3. (B ∪ C) - A′ 4. (A – B)′ ∪(C - A)′ ..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

12. การแกอสมการ ขนตอนการแกอสมการ

1. แยกตวประกอบ

2. ตเสนจานวน

3. เลอกชวงของคาตอบ

ตวอยางท 1 จงแกอสมการตอไปน

1. (x - 3)(x - 2) > 0 2. (x - 4)(x + 3) < 0

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

3. x(x + 1)(x - 4) ≤ 0 4. x(3 - x)(x + 2) ≤ 0

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

5. (x - 2)2(x - 4)3(x + 5) < 0 6. ( )( )( ) ≥ 0

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

12

e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com

7. ( )( )( ) ≤ 0

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

ตวอยางท 2 จงแกอสมการตอไปน

1. x2 + 6x + 9 > 0 2. x2 - 4x + 12 < 0

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

3. − 1 ≤ 0 4. − > 0

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

5. > 6 . ≤

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

7 .3 + − 4 ≥ 0

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

13

e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com

13. คาสมบรณ (Absolute value) คาสมบรณของจานวนจรง a ใดๆ หมายถง ระยะหางระหวาง 0 (ศนย) กบจด a บนเสนจานวน

สญลกษณ คอ | a |

นยาม

| | = เมอ > 00 เมอ = 0− เมอ > 0

สมบตของคาสมบรณ

1. | | ≥ 0 เสมอ 5. | | = | || |

2. | | = |− | 6. = | || |

3. | − | = | − | 7. | + | ≤ | | + | |

4.| | = | | = 8. | − | ≥ | | − | |

การแกสมการคาสมบรณ ตวอยางท 1 จงแกสมการ

1. |2x - 5| = 13 2. |x + 6| = x

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

14

e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com

3. |x + 2| = |x – 4| 4. |2x + 5| = |x – 5| + 3

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

การแกอสมการคาสมบรณ ทฤษฎบท เมอ a เปนจานวนจรงบวก

1. ถา |x| < a หมายถง –a < x < a

2. ถา |x| ≤ a หมายถง –a ≤ x ≤ a

3. ถา |x| > a หมายถง x < -a หรอ x > a

4. ถา |x| ≥ a หมายถง x ≤ -a หรอ x ≥ a

ตวอยางท 1 จงแกอสมการ 1. | 2x + 7 | < 15 2. | 2x – 3 | ≤ 9

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

3. | 3x – 6 | > 12 4. | x – 2 | ≥ 3x + 3

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

15

e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com

ตวอยางท 2 จงแกอสมการ

1. | x – 1 | ≥ | 2x – 3 | 2. ≤ 2

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

..................................................................... ....................................................................

3. − 1 ≤

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................