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师说新语-数量关系篇

讲师：李委明

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目 录

数字特性 ................................................................................................................................... 3

十字交叉 ................................................................................................................................... 4

极端构造 ................................................................................................................................... 5

方程问题 ................................................................................................................................... 6

参数方程 ................................................................................................................................... 7

极值求解 ................................................................................................................................... 8

角度长度 ................................................................................................................................... 9

相似比例 ................................................................................................................................. 11

面积比例 ................................................................................................................................. 12

几何行程 ................................................................................................................................. 14

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数字特性

【例 01】（吉林 2016乙-89）万圣节即将到来，哥哥给艾丽一些钱让她去商店买节日小装饰

品，艾丽来到商店，南瓜灯 18元一个，小怪兽 14元一个，如果单买南瓜灯钱正好用完，如

果单买小怪兽钱也正好用完。那么，哥哥给艾丽的钱数可能为( )。

A. 266元

B. 342元

C. 459元

D. 504元

【例 02】（深圳 2016-52）甲、乙两辆车分别从 P、Q两地同时出发，相向而行。相遇时，甲

车比乙车多行驶 36千米，乙车所行驶路程为甲车所行驶路程的 4/7，则 P、Q两地相距( )

千米。

A. 72

B. 96

C. 112

D. 132

【例 03】（深圳 2016-48）某中学高一至高三年级的学生参加某项社区服务，如果高三年级

与高一年级、高三年级与高二年级参加此活动的人数之比分别为 5∶3、8∶5，则该中学高

一至高三年级最少共有( )人参加该项社区服务。

A. 40

B. 55

C. 79

D. 89

【例 04】（广州 2016-38）市总工会举行工会知识竞赛，每位选手作答 25题，答对一题得 3

分，不答得 1分，答错扣 1分。某单位派出 7名选手参赛，由四位记分员分别统计该单位选

手的总得分，结果分别为 539 分、490 分、469 分、434 分。经核查，其中有一位记分员的

4

统计结果正确，则该单位 7名选手的平均分为( )分。

A. 77

B. 70

C. 67

D. 62

【例 05】（山东 2016-62）高校的科研经费按来源分为纵向科研经费和横向科研经费，某高

校机械学院 2015年前 4个月的纵向科研经费和横向科研经费的数字从小到大排列为 20、26、

27、28、31、38、44和 50万元。如果前 4个月纵向科研经费是前 3个月横向科研经费的 2

倍，则该校机械学院 2015年第 4个月的横向科研经费是多少万元？

A. 26

B. 27

C. 28

D. 31

十字交叉

【例 06】（广州 2016-26）某单位为全体员工进行体检，平均体重是 57.5公斤。其中，男员

工的平均体重是 62.5公斤，女员工的平均体重是 55.5 公斤。则该单位的男、女员工人数比

为( )。

A. 2∶5

B. 2∶7

C. 7∶2

D. 5∶2

【例 07】（陕西 2016-65）甲、乙两个相同的杯子中分别装满了浓度为 20%和 30%的两种溶液。

将甲杯中倒出一半溶液，用乙杯中的溶液将甲杯加满混合，然后再将已经加满的甲杯中的溶

液全部倒入一杯清水中且未溢出，溶液浓度变为 20%。若该溶液密度与水完全相同，问原甲

杯中溶液的质量是这杯清水质量的多少倍？

5

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

E. 5 F. 6

G. 7 H. 8

【例 08】（春联 2016-43）某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数

占总人数的 30%，且音乐系男女生人数之比为 1∶3，美术系男女生人数之比为 2∶3，问音

乐系和美术系的总人数之比为多少？

A. 5∶2

B. 5∶1

C. 3∶1

D. 2∶1

【例 09】一只松鼠采松籽，晴天每天采 24 个，雨天每天采 16 个，它一连几天共采 168 个

松子，平均每天采 21个，这几天当中晴天有几天？

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

【例 10】（山西，四川 2014-62）学校体育部采购一批足球和篮球，足球和篮球的定价分别

为每个 80元和 100元。由于购买数量较多，商店分别给予足球 25%、篮球 20%的折扣，结果

共少付了 22%。问购买的足球和篮球的数量之比是多少？

A. 4∶5

B. 5∶6

C. 6∶5

D. 5∶4

极端构造

6

【例 11】（上海 2016A-72）现有 21 本故事书要分给 5 个人阅读，如果每个人得到的数量均

不相同，那么得到故事书数量最多的人至少可以得到( )本。

A. 5

B. 7

C. 9

D. 11

【例 12】（陕西 2016-69）有 100人参加五项活动，参加人数最多的活动的人数不超过参加

人数最少活动人数的两倍，问参加人数最少的活动最少有多少人参加？

A．10 B. 11

C．12 D. 13

E．14 F. 15

G．16 H. 17

方程问题

核心提示

同样列出方程，有考生可以很快解得答案，有考生看着方程就头痛，求解方程（组）本

身就有很多的技巧，包括但不限于：

1.当方程中因为有小数或分数而计算复杂时，应首先考虑两边乘以一个数以化为整数；

2.有时候方程可以提取一个共同的因子，从而简化计算；

3.方程组中若存在多个未知数，尽量消去无关未知数，保留我们关心的未知数；

4.方程组中有一些无关的未知数，完全可以作为整体直接消去；

【例 13】（河北 2016-41）三个连续的奇数，后两数之积与前两数之积的差为 2004，则

这三个数中最小的数为多少？( )

A. 497

B. 499

C. 501

7

D. 503

【例 14】（广东 2016-27）某服装店有一批衬衣 76 件，分别卖给了 33个顾客，每位顾客最

多买了 3件，衬衣定价 100 元，买一件按原价，买两件总价打九折，买 3件打八折，最后卖

完这批衬衣收入 6460元，则买了 3件的顾客有( )位。

A. 4

B. 8

C. 14

D. 15

【例 15】（广东 2016-26）一批零件如果全部都交由甲厂加工，正好在计划时间完成，如果

全部交由乙厂加工，要超过计划时间 5天才能完成，如果甲乙两厂合作加工 3天，再由乙厂

单独加工，正好也是在计划时间完成，则加工完这批零件的计划时间是( )天。

A. 5

B. 7

C. 7.5

D. 8.5

参数方程

核心提示

有一类不定方程组（一般是三个未知数，两个方程），方程组的解确实是不确定的，但

题目并不关心未知量的具体大小，而是关心其范围，譬如问“最多”或“最少”是多少。这

时候我们往往可以将其中的一个未知数看成已知（即看成参数），把其他的未知数用这个参

数来表示，从而确定范围。

如果某个未知数在题干中就有确定的范围，那么可以将这个未知数看成参数；否则，可

以将题目关心的那个未知数看成参数。

【例 16】（重庆 2016下-68）足球比赛的积分规则为：胜一场积 3分，平一场积 1分，输一

8

场积 0分。某球队共进行了 8 场比赛，积 10分。假设该球队最多输 2场，则其最多胜( )。

A.1场

B.2场

C.3场

D.4场

【例 17】（江苏 2016A-65）某志愿服务小组购买一批牛奶到一敬老院慰问老人。如果送给每

位老人 4盒牛奶，那么还剩 28 盒；如果送给每位老人 5盒牛奶，那么最后一位老人又不足

4盒，则该敬老院的老人人数至少是( )。

A. 27

B. 29

C. 30

D. 33

【例 18】（江苏 2016B-66）某学校举办知识竞赛，共设 50 道选择题，评分标准是：答对 1

题得 3分，答错 1题扣 1分，不答的题得 0分。若王同学最终得 95分，则他答错的选择题

最多有( )。

A. 12道

B. 13道

C. 14道

D. 15道

极值求解

核心提示

均值不等式法： 2a b ab ， ab £ (

a + b

2)2，

abc £ (

a + b+ c

3)3，各数相等时取等号。

【例 19】（陕西 2016-66）某种商品原价 25元，成本为 15元，每天可销售 20个。现在每降

9

价 1元就可以多卖 5个，为获得最大利润，需要按照多少元来卖？( )

A．23 B. 22

C．21 D. 20

E．19 F. 18

G．17 H. 16

【例 20】（重庆 2016下-67）某粮油店只有一台不等臂的天平和一个 5千克的砝码。顾客要

买 10 千克大米，店员先将砝码放在左盘，大米放在右盘，平衡后将称得的大米给顾客；再

将砝码放在右盘，大米放在左盘，平衡后又将第二次称得的大米给顾客。请问这种做法对谁

更有利？

A.顾客

B.店主

C.都一样

D.不确定

【例 21】（四川 2013-55）某报刊以每本 2元价格发行，可发行 10万份，若该报刊单价提高

0.2元，发行量减少 5000份，则该报刊可能的最大销售收入为多少万元?

A.24

B.23.5

C.23

D.22.5

角度长度

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平面图形角度与长度重要性质

1.在直角三角形中（见图一），“斜边”是“30°对应的直角边”长度的 2倍，另外一条

直角边是“30°对应的直角边”长度的√3倍；

2.在等腰直角三角形中（见图二），斜边是直角边长度的√2倍；

3.对于一个三角形（见图三），外角等于与其不相邻的两个内角之和；

4.对于一个三角形（见图四），等边对等角，即：AB=AC⇔∠B=∠C；

5.正 N边形的内角之和为(N-2)×180°，单个内角为 180°-360°/N。

【例 22】（河北 2014-52）科技馆为某机器人编制一段程序，如

果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所

走的总路程为多少米？

A.20米

B.15米

C.12米

D.10米

【例 23】（吉林 2014甲-53）文化广场举行放风筝比赛，老年组老王、老侯、老黄三位选手

同场竞技，评委测量各人放出的风筝线长分别为 60米、50米、40米，风筝线与地平面所成

角分别为π/6、π/4、π/3，假设风筝线看做是拉直的，则三位选手放风筝最高的是？

A.老王

B.老侯

C.老黄

D.不能确定

11

【例 24】（重庆 2016 下-66）游乐场的摩天轮半径为 10 米，匀速旋转一周需要 2 分钟。小

浩坐在最底部的轿厢(距离地面 0.1 米)，当摩天轮启动旋转 40 秒时小浩距离地面的高度是

多少米？

A.15

B.12.1

C.11

D.15.1

【例 25】（重庆 2016 下-69）小张在路上匀速行走，观测到前方垂直

悬挂的一条彩色灯带，其底部和顶部的仰角分别为 60°和 75°。他沿

直线继续往前走，5 秒后恰好走到灯带的正下方。若小张行走的速度

为 3.6千米/小时，那么这条灯带长( )。

A.5米

B.10米

C.18米

D.36米

【例 26】（春联 2016-45）老王围着边长为 50米的正六边形的草地跑步，他从某个角点出发，

按顺时针方向跑了 500米，距出发点直线距离多少米？

A. 50√2

B. 50√3

C. 25(√2＋1)

D. 50(√3－1)

相似比例

相似三角形有以下三条判定法则（也是其重要性质）：

1.三个角分别相等；

2.三条边成比例；

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3.两条边成比例，夹角相等；

下图显示了常见的两类相似三角形出现的形式，AB与 CD平行。对应角都是相等的。如

果△OCD有一条边是△OAB 所对应边的 a倍，那么另外两条边也应该是其对应边的 a 倍，并

且前者面积是后者的 a2倍。

【例 27】（吉林 2014 甲级-59）蓝天幼儿园小朋友在做剪纸

活动，有一张如图所示的等腰三角形纸片，底边长 15 厘米，

底边上的高为 22.5厘米，现在沿底边依次从下往上裁剪宽度

均为 3厘米的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，

则这张正方形纸条是第几张？

A.4

B.5

C.6

D.7

面积比例

13

两个三角形，如果高相等，那么其面积之比就等于其底边长之比。

连接任意一个四边形各边中点，所得的四边形叫做中点四边形，不管原四边形的形状怎

样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形，并且其面积是原四边形的一半。

【例 28】（江苏 2014B-37）如图，在梯形 ABCD中，AB与 CD平行，O为 AC与 BD的交点，CO=2AO，

则梯形 ABCD与三角形 AOB的面积之比？

A.6:1

B.7:1

C.8:1

D.9:1

【例 29】（江苏 2015B-40）如图，在△ABC中，已知 BD=2DC，EC=2AE，则△BFD与△AEF面

积的比值为

A. 4

B. 6

C. 8

D. 9

【例 30】（秋季联考 2014-40）如图 ABCD是一个梯形，E是 AD的中点，直线 CE把梯形分成

甲、乙两部分，其面积之比是 15∶7。问上底 AB与下底 CD的长度之比是（ ）。

A. 5∶7

B. 6∶7

C. 4∶7

14

D. 3∶7

【例 31】（北京 2016-76）小王近期正在装修新房，他计划将长 8米、宽 6 米的客厅按右图

所示分别在各边中点连线形成的四边形内铺设不同花色的瓷砖，则需要为最里侧的四边形铺

设多少平方米的磁砖？( )

A. 3

B. 6

C. 12

D. 24

【例 32】（国考 2017-69）一块种植花卉的矩形土地如图所示，AD

边长是 AB的 2倍，E为 CD边的中点，甲、乙、丙、丁、戊区域分别

种植白花、红花、黄花、紫花、白花。问种植白花的面积占矩形土

地面积的：

A. 3/4

B. 2/3

C. 7/12

D. 1/2

几何行程

【例 33】（春联 2016-55）如下图，正方形 ABCD边长为 10厘米，一只小蚂蚁 E从 A 点出发

匀速移动，沿边 AB、BC、DC 前往 D 点。问哪个图形反映了三角形 AED的面积与小蚂蚁行走

时间的关系？

【例 34】（国考 2017-73）一正三角形小路如右图所示，甲乙两人从 A 点同时出发，朝不同

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方向沿小路散步，已知甲的速度是乙的 2倍。问以下哪个坐标图能准确描述两人之间的直线

距离与时间的关系（横轴为时间，纵轴为直线距离）？