EDUCATIONAL BROADCASTING SYSTEM › ebs › lms › lmsk › bkAnsMngFLdown.ebs?file_path=... ·...
Transcript of EDUCATIONAL BROADCASTING SYSTEM › ebs › lms › lmsk › bkAnsMngFLdown.ebs?file_path=... ·...
정답과풀이 1
EDUCATIONAL BROADCASTING SYSTEM정답과풀이
Ⅰ.수열의극한
수열의극한01본문 6~11쪽
유형� ① 1€ +1, 2€ +2, 3€ +3, 4€ +4, …`이므로발산한다.
(발산)
②2, 0, 2, 0, 2, 0, …`이므로진동(발산)한다. (발산)
③ 2, 2€ , 2‹ , 2› , …`이므로발산한다. (발산)
④ 0, ;4#;, ;9*;, ;1!6%;, ;2@5$;, …`이므로 1에수렴한다. (수렴)
⑤ 1+1, ;2!;-1, ;3!;+1, ;4!;-1, ;5!;+1, …`이므로진동(발
②산)한다. (발산)
따라서수렴하는수열은④`이다.
답⃞④
01 다음그림에서n의값이한없이커질때, (-1 ) « ±⁄ ;n!;의값은0에한없이가까워지므로이수열의극한값은 0이다.
즉, [(-1 ) « ±⁄ ;n!;]=0
답⃞③
02 ① , , , , …`이므로 0에수렴한
①다. (수렴)
② ;3$;, ;;¡9º;;, ;2@7*;, ;8*1@;, …`이므로 1에수렴한다. (수렴)
③ 0, 1, 0, ;2!;, 0, ;3!;, 0, ;4!;, …`이므로 0에수렴한다. (수렴)
④ cos 60˘, 2 cos 60˘, 3 cos 60˘, 4 cos 60˘, …`에서
14€ +1
13€ +1
12€ +1
11€ +1
limnڦ
y
O
-12
n
1
1 32 4
① ;2!;, 1, ;2#;, 2, …`이므로발산한다. (발산)⑤ 2+;2!;, 2+;3!;, 2+;4!;, 2+;5!;, …`이므로2에수렴한다.
①(수렴)
따라서발산하는수열은④`이다.
답⃞④
03 ㄱ. 수열 2-1, 2-;2!;, 2-;3!;, 2-;4!;, …`은 2에수렴하므로
ㄴ. 주어진수열은 log 2에수렴한다. (수렴)
ㄴ. 4€ , , , , , …`이므로발산한다. (발산)
ㄷ. -;3!;, -;3@;, -1, -;3$;, -;3%;, -2, …이므로발산한
ㄷ. 다. (발산)
따라서수렴하는수열은ㄱ이다.
답⃞①
유형� a«=¶이고 a«b«=7이므로
b«= =0
( a«b« € -a«b«-b«+1)
= {a«b«( b«-1)-(b«-1)}
= {( a«b«-1) (b«-1)}
= ( a«b«-1)_ ( b«-1)
=(7-1)_(0-1)=-6
답⃞③
04 2b«= { (a«+2b«) -a«}
2b«= ( a«+2b«) - a«
2b«=10-(-2)=12
이므로 b«=6
답⃞①
05 = { _ }
= _
=5_2=10
이므로 =
이므로 = =5
답⃞⑤
5+2_105+0
5+2a«n
5+;n!;limnڦ
5n+2a«5n+1
limnڦ
2n+3n
limnڦ
a«2n+3
limnڦ
2n+3n
a«2n+3
limnڦ
a«n
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
a«b«a«
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
4fl5
4fi4
4›3
4‹2
유형� ④ 01 ③ 02 ④ 03 ①
유형� ③ 04① 05 ⑤ 06 72
유형� ③ 07 ① 08 ② 09 ③ 10①
유형� ① 11④ 12③ 13④
유형� ⑤ 14 ;8!; 15② 16 3-2'217① 18④ 19④ 20③
유형� ③ 21⑤ 22② 23③ 24 ;2ª0ª0;유형� ② 25② 26⑤ 27④
[서술형+고난이도]
28 8 29 9 30-2…x<-1 또는 0<x…1
31② 32 ;2!; 33 ;2#4%;
정답과풀이
정답과풀이2
06 =3, =6이므로
= { _ }
= _
=3_6=18
= _
=18_4=72
답⃞72
유형� ㄱ. a«=0이므로
ㄴ. a«€ = a«_ a«=0 (참)
ㄴ. (반례) a«=n, b«=;n!;일때, ㄴ. a«=¶이고 b«=0이지만
ㄴ. a«b«=1이므로 a«b«=1이다. (거짓)
ㄷ. ;n!;(na«+1)= {a«+;n!;}=0에서
ㄴ. b«=a«+;n!;이라고하면 b«=0
ㄴ. a«=b«-;n!;이므로
ㄴ. a«= {b«-;n!;}= b«- ;n!;=0
ㄴ. 그러므로 (a«+1)= a«+1=0+1=1 (참)
따라서옳은것은ㄱ, ㄷ이다.
답⃞③
07 ㄱ. a«=a, b«=b이므로
ㄴ. (a«+2b«)= a«+ 2b«
ㄴ. (a«+2b«)= a«+2 b«
ㄴ. (a«+2b«)=a+2b (참)
ㄴ. (반례) a«=n, b«=n€이면 a«=¶, b«=¶
ㄴ. 이지만 = = ;n!;=0이다. (거짓)
ㄷ. (반례) a«=;n!;, b«=n이면
ㄴ. a«=0, a«b«= ;nN;=1이지만
ㄴ. 수열 {b«}은발산한다. (거짓)
따라서옳은것은ㄱ이다.
답⃞①
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
nn€
limnڦ
a«b«
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
(2n+1)(4n-3)2n€ +1
limnڦ
a«b«(2n+1)(4n-3)
limnڦ
a«b«2n€ +1
limnڦ
b«4n-3
limnڦ
a«2n+1
limnڦ
b«4n-3
a«2n+1
limnڦ
a«b«(2n+1)(4n-3)
limnڦ
b«4n-3
limnڦ
a«2n+1
limnڦ
08 ㄱ. (반례) a«=(-1) « 이면a« € =(-1)€ « =1이므로
ㄴ. a« € =1이지만 수열 {a«}의 극한값은 존재하지 않
ㄴ. 는다. (거짓)
ㄴ. a«=a, ( a«-b«)=b(a, b는상수)라고하면
ㄴ. b«= {a«-(a«-b«) }
ㄴ. b«= a«- (a«-b«)
ㄴ. b«=a-b (참)
ㄷ. (반례) a«=2+;n!;, b«=(-1) « 이면 a«=2이고
ㄴ. |b«|<a«이지만 b«은 발산(진동)한다. (거짓)
따라서옳은것은ㄴ이다.
답⃞②
09 ㄱ. a«+b«=c«이라고하면
ㄴ. c«=0이고 b«=c«-a«이므로
ㄴ. b«= ( c«-a«) = c«- a«
ㄴ. b«=- a«
ㄴ. 그러므로 a«=- b« (참)
ㄴ. (반례) a«=1, b«=n이면
ㄴ. a«=1, = ;n!;=0이지만
ㄴ. b«= n=¶ (거짓)
ㄷ. a«-b«=c«이라고하면 b«=a«-c«이므로
ㄴ. = = {1- }=1 (참)
따라서옳은것은ㄱ, ㄷ이다.
답⃞③
10 ㄱ. a«=a, b«=b(a, b는상수)라고하면
ㄴ. a«b«= a«¥ b«=ab (참)
ㄴ. (반례) a«=1일때, =0으로수렴하지만
ㄴ. a«= 1=1(수렴) (거짓)
ㄷ. (반례) a«=n-;n!;, b«=n+;n!;, c«=n에서
ㄴ. a«<c«<b«, ( b«-a«) = ;n@;=0이지만
ㄴ. c«=¶ (거짓)
따라서옳은것은ㄱ이다.
답⃞①
유형� -1…f ( n )…1이므로
-1-3n'n… f(n)-3n'n…1-3n'n… …
1-3n'n"√n‹ +2
f(n)-3n'n"√n‹ +2
-1-3n'n"√n‹ +2
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
a«n
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
c«a«
limnڦ
a«-c«a«
limnڦ
b«a«
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
a«b«
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
www.ebs i.co.kr
정답과풀이 3
그런데 =-3, =-3
이므로수열의극한값의대소관계에의하여
=-3
답⃞①
11 2n-1<na«< 에서
<a«< 이므로
… a«… 이고,
=2, =2이므로
a«=2
답⃞④
12 9n € <a«<(3n+1)€ 이므로
11n€ <a«+2n€ <11n€ +6n+1
< <
그런데 =11, =11
이므로수열의극한값의대소관계에의하여
=11
답⃞③
13 9n€ <9n€ +5n+1<9n€ +6n+1이므로
(3n)€ <9n€ +5n+1<(3n+1)€
즉, 3n<"√9n€ +5n+1<3n+1
"√9n€ +5n+1의정수부분이 3n이므로
소수부분a«은 a«="√9n€ +5n+1-3n
a«= ( "√9n€ +5n+1-3n)
a«=
a«=
a«= =;6%;답⃞④
유형�
=( 'ƒn+2k-'n ) ('ƒn+2k+'n ) ('ƒn+1+'n )( 'ƒn+1-'n ) ('ƒn+1+'n ) ('ƒn+2k+'n )
limnڦ
'ƒn+2k-'n'ƒn+1-'nlim
nڦ
53+3
limnڦ
5n+1
"√9n€ +5n+1+3nlimn⁄¶
limnڦ
limnڦ
a«+2n€
"√n› +3limn⁄¶
11n€ +6n+1
"√n› +3limn⁄¶
11n€"√n› +3
limnڦ
11n€ +6n+1
"√n› +3a«+2n€
"√n› +311n€"√n› +3
limnڦ
2n€ +3n+1n€
limnڦ
2n-1n
limnڦ
2n€ +3n+1n€
limnڦ
limnڦ
2n-1n
limnڦ
2n€ +3n+1n€
2n-1n
2n€ +3n+1n
f(n)-3n'n"√n‹ +2
limnڦ
1-3n'n"√n‹ +2
limnڦ
-1-3n'n"√n‹ +2
limnڦ =
=
= =6
에서 2k=6이므로k=3
답⃞⑤
14 주어진수열의일반항을a«이라고하면
a«=
a«=
a«=
이므로
a«=
a«=
a«= =;8!;
답⃞ ;8!;
15 (n+a-"√n€ +3n+1)
=
=
=
= =0
이므로
a=;2#;답⃞②
16
=
=(n+1) €
n ('ƒ2n+1+'n) €limn⁄¶
( 'ƒ2n+1-'n) € ('ƒ2n+1+'n) €n ('ƒ2n+1+'n) €lim
nڦ
( 'ƒ2n+1-'n) €n
limnڦ
2a-32
limnڦ
(2a-3)n+a€ -1
n+a+"√n€ +3n+1limn⁄¶
(n+a-"√n€ +3n+1)(n+a+"√n€ +3n+1)
n+a+"√n€ +3n+1limn⁄¶
limnڦ
limnڦ
n€ +n8n€ -8n+2
limnڦ
n(n+1)2(2n-1)€
limnڦ
limnڦ
n(n+1)2(2n-1)€
n(n+1)2
(2n-1) €
1+2+3+y+n(2n-1) €
limnڦ
2k ('ƒn+1+'n )'ƒn+2k+'nlim
nڦ
(n+2k-n)('ƒn+1+'n )(n+1-n)('ƒn+2k+'n )
limnڦ
5+1n
8- +2n€
8n
1+1n
1+ +æ≠1+ +1n€
3n
an
2a-3+a€ -1n
2k{æ≠1+ +1}1n
æ≠1+ +12kn
æ≠9+ + +31n€
5n
정답과풀이
정답과풀이4
=
=
=
= =3-2'2답⃞3-2'2
[다른풀이]
(주어진식)= { } €
(주어진식)= {Æ…2+ -1} €(주어진식)= ('2-1)€ =3-2'2
17 다항식 f ( x )를 3x-n으로나눈나머지는 f{;3N;}이므로R(n )=f{;3N;}=3{;3N;} € +;3N;+3
=
=
=;9!;답⃞①
18 f ( n )이일차함수이고, =4이므로
f (n )=;2!;n+a(a는상수)로놓을수있다.
이때, ( f Á f ) (n )=;2!;{;2!;n+a}+a=;4!;n+;2#;a이므로
= =8
답⃞④
19 ㄱ. =
ㄱ. = =¶ (발산)
ㄴ. = = {2-;n#;}=2 (수렴)
ㄷ. =2n-"√n€ -1
nlimnڦ
a«'nlim
nڦ
limnڦ
2n-3n
limnڦ
a«'nlim
nڦ
'nlimnڦ
n€'n(n-1)
limnڦ
a«'nlim
nڦ
2n+1
;4!;n+;2#;alimnڦ
2n+1(f Á f ) ( n )
limnڦ
2n+1f ( n )
limnڦ
limnڦ
3n€ +n+3limn⁄¶
R (n )f ( n )
limnڦ
1n
limnڦ
'ƒ2n+1-'n'nlim
nڦ
13+2'2
limnڦ
n€ +2n+1
3n€ +n+"√8n› +4n‹limn⁄¶
(n+1) €
n(3n+1+"√8n€ +4n)limn⁄¶ ㄷ. = =1 (수렴)
따라서 이수렴하는것은ㄴ, ㄷ이다.
답⃞④
20 n단계에서 (n+1)단계로올라갈때마
다그림과같이선분 6개가늘어나므로
a«≠¡=a«+6, a¡=4
즉, 첫째항이 4, 공차가 6인 등차수열
이므로일반항a«은
a«=6n-2
한편, 정사각형의개수가각단계마다 2개씩늘어나므로넓
이는첫째항이 1, 공차가 2인등차수열이고일반항 b«은
b«=2n-1
따라서 = =12
답⃞③
유형� =
유형� =
유형� = =2
답⃞③
21 =
=
= =6
답⃞⑤
22 a«=a(a는상수)라고하면
= =-4a
-4a=12이므로a=-3
따라서 a«=-3
답⃞②
23 ⁄ x=-2일때, 주어진수열은수렴한다.
limnڦ
{;4#;} « +4a«
{;4#;} « a«-1limn⁄¶
3« +4« ±⁄ a«3« a«-2€ «
limnڦ
limnڦ
61-2_0
6
1-2¥{;9@;} «limn⁄¶
6¥9«9« -2¥2«
limnڦ
2¥3€ « ±⁄3€ « -2« ±⁄
limnڦ
;2!;;4!;
;2!;+9¥{;4#;} «;4!;
limnڦ
;2!;¥4« +9¥3«
;4!;¥4«limn⁄¶
2€ « —⁄ +3« ±€
4« —⁄limn⁄¶
(6n-2)(2n-1)
n€limn⁄¶
a«b«
n€limn⁄¶
a«'nlim
nڦ
1limnڦ
3+ +æ≠8+ 4n
1n
1+ +1n€
2n
+ +3n3
n€3
1-1n
2-æ≠1- 1n€
+ +3n€
13n
13
3+ +3n€
1n
www.ebs i.co.kr
정답과풀이 5
€ x+-2일때
€ =(x+2){ } «이므로
€등비수열 [( x+2 ){ } « ]이수렴하려면
€-1< …1, -5<2x-1…5
€즉, -2<x…3
⁄, €에서-2…x…3
따라서구하는정수 x는-2, -1, 0, 1, 2, 3이므로이들의
합은 3이다.
답⃞③
24 a«=10« —⁄ +(10« —⁄ +1)+(10« —⁄ +2)+y+(10« -1 )
이므로수열 {a«}은공차가 1인등차수열의합이고
항의개수는 ( 10« -1)-10 « —⁄+1=9¥10« —⁄
a«=
a«=;2(;¥10« —⁄ (11¥10« —⁄ -1)
이므로
= ;2(;¥ ( 11¥10« —⁄-1)
= ;2(;{11¥ - }
= ;2(;{ - }=답⃞ ;2ª0ª0;
유형� ⁄ 0<r<1일때
€ r« =0이므로
€ =r+1=;3%;에서
€r=;3@;€ r=1일때
€ ` = =;2#;+;3%;‹ r>1일때, r« =¶이므로
€ = =r
€즉, r=;3%;⁄, €, ‹에서구하는 r의값의합은`
;3@;+;3%;=;3&;답⃞②
limnڦ
r« ±⁄ +r+1r« +1
limnڦ
limnڦ
1+1+11+1
r« ±⁄ +r+1r« +1
limnڦ
r« ±⁄ +r+1r« +1
limnڦ
limnڦ
99200
1
10« ±⁄1110€
limnڦ
1
10« ±⁄
10€ « —€
10€ «limn⁄¶
10« —⁄
10€ «limn⁄¶
a«
10€ «limn⁄¶
9¥10« — ⁄ (10« —⁄ +10« -1 )2
2x-15
2x-15
2x-15
(x+2)(2x-1) «5«
25 ⁄ 0<r<1일때, r« =0이므로
€ ` =;1!;=1에서p=1
€ r>1일때, r« =¶이므로 =0
€ ` = =;2!;에서 q=;2!;
따라서p+q=1+;2!;=;2#;답⃞`②
26 양수a에대하여a+1>a이므로 0< <1이고
{ } « =0이므로
=
=a+1=6
즉, a=5
답⃞`⑤
27 = 이므로
⁄ 0<a<1일때, a« =0이므로
⁄ =-;8!;+;5@;€ a=1일때, a« =1이므로
⁄ =;5@;‹ a=2일때, a« = 2« =¶이므로
⁄ = =¶
› a>1(a+2 )일때, a« =¶이므로
⁄ =
⁄ = = =;5@;⁄에서 2a-4=5이므로
⁄ a=;2(;따라서구하는a의값은 1, ;2(;이므로그합은` ;;¡2¡;;이다.
답⃞④
1a-2
a+2a€ -4
limnڦ
(a+2)a « -1(a€ -4)a« +8
limnڦ
limnڦ
4¥2« -18
limnڦ
(a+2)a « -1(a€ -4)a« +8
limnڦ
limnڦ
limnڦ
(a+2)a « -1(a€ -4)a« +8
limnڦ
limnڦ
(a+2)a « -1(a€ -4)a« +8
limnڦ
limnڦ
(a+2)a « -1(a€ -4)a« +8
a« ±⁄ +2a« -1a« ±€ -4a« +8
limnڦ
(a+1) « ±⁄ +a« ±⁄(a+1) « +a«
limnڦ
aa+1
limnڦ
aa+1
limnڦ
r« +1
1+2r«limn⁄¶
1
r«limn⁄¶
limnڦ
r« +1
1+2r«limn⁄¶
limnڦ
r+ +1r«
1r« —⁄
1+1r«
a+1+a{ } «aa+1
a+2-1a«
a€ -4+8a«
1+{ } «aa+1
+21r«
1+1r«
정답과풀이
정답과풀이6
[서술형+고난이도]
28 수열 {a«}의첫째항을a라고하면공차가6이므로
a«=a+(n-1)6=6n+(a-6)
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (가)
=
= {8+ }=8
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (나)
답⃞ 8
29 |na«-3n|<3에서-3<na«-3n<3이고
3n-3<na«<3n+3이므로
3-;n#;<a«<3+;n#;yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (가)
이때, {3-;n#;}= {3+;n#;}=3이므로
a«=3이고 a«≠¡=3
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (나)
( 2a«+a«≠¡)=2 a«+ a«≠¡
( 2a«+a«≠¡) =2_3+3=9
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (다)
답⃞ 9
30 수열 {r« }은-1<r…1일때, 수렴하므로
-1<x€ +x-1…1
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (가)
⁄ x€ +x-1>-1에서x€ +x>0
⁄ x(x+1)>0이므로
⁄ x<-1또는x>0
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (나)
€ x€ +x-1…1에서x€ +x-2…0
⁄ (x-1) (x+2)…0이므로
⁄-2…x…1
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (다)
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
a-6n
limnڦ
8n+(a-6)n
limnڦ
a«+2nn
limnڦ
⁄, €에서-2…x<-1또는 0<x…1
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (라)
답⃞-2…x<-1 또는 0<x…1
31 a«={1-;2!;}{1-;3!;}{1-;4!;}y{1- }
a«=;2!;¥;3@;¥;4#;¥y¥ =
이므로
a« ‹ (1€ +2€ +y+n€ )=
a« ‹ (1€ +2€ +y+n€ )=
a« ‹ (1€ +2€ +y+n€ )=
a« ‹ (1€ +2€ +y+n€ )
=
=;3!;답⃞②
32 P« {n, }, Q« {n, }에서
P«Q« ”= -
P«≠¡{n+1, }, Q«≠¡{n+1, }에서
P«≠¡Q«≠¡ ”= -
이므로사다리꼴P«Q«Q«≠¡P«≠¡의넓이S«은
S«=;2!;[{ - }+{ - }]
S«=;2!;{ - }
S«=
n€ S«= =;2!;답⃞ ;2!;
2n€(2n-1)(2n+3)
limnڦ
limnڦ
2(2n-1)(2n+3)
12n+3
12n-1
12n+3
12n+1
12n+1
12n-1
12n+3
12n+1
12n+3
12n+1
12n+1
12n-1
12n+1
12n-1
n(n+1)(2n+1)6(n+1) ‹
limnڦ
limnڦ
n(n+1)(2n+1)6(n+1) ‹
n(n+1)(2n+1)6
(n+1) ‹
1€ +2€ +y+n€(n+1) ‹
1n+1
nn+1
1n+1
채점기준단계 배점
수열 {a«}의일반항을구한경우
극한값을구한경우
총 점
(가)
(나)
40%
60%
100%
채점기준단계 배점
a«의범위를구한경우
수열 {a«}의극한값을구한경우
극한값을구한경우
총 점
(가)
(나)
(다)
30%
30%
40%
100%
채점기준단계 배점
공비를구하여범위를나타낸경우
x€ +x-1>-1을만족하는해를구한경우
x€ +x-1…1을만족하는해를구한경우
공통의범위를구한경우
총 점
(가)
(나)
(다)
(라)
10%
40%
40%
10%
100%
www.ebs i.co.kr
정답과풀이 7
33 35« =5« ¥7«이므로
S«=(1+5+5€ +y+5« )(1+7+7€ +y+7« )
S«= _
S«=;2¡4;( 5 « ± ⁄ -1)(7« ±⁄ -1)
= ;2¡4;{5- }{7- }=;2¡4;_5_7
=;2#4%;답⃞`;2#4%;
17«
15«
limnڦ
S«35«
limnڦ
7« ±⁄ -17-1
5« ±⁄ -15-1 본문 12~17쪽
유형� ① 01 ② 02 ⑤ 03 ② 04 8
유형� ⑤ 05 ① 06 ⑤ 07 ①
유형� ② 08 ④ 09 ②
유형� ② 10② 11② 12①
유형� ② 13⑴ ;3@; ⑵ ;2%; 14③ 15②
유형� ④ 16⑤ 17 6 18①
유형� ① 19③ 20②
유형� ② 21③ 22 12 23 6+4'324 '3-1 25 ;2¢1;
[서술형+고난이도]
26 4 27 28 3 29 8 30'36
'23
유형� = - 이므로
= { - }
= [{ - }+{ - }
+y+{ - }]
= { - }=답⃞①
01 a«= =;2!; {;n!;- }이므로
S«=;2!;[{1-;3!;}+{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}+
y+{ - }+{;n!;- }]
S«=;2!;{1+;2!;- - }
S«=;2!;{1+;2!;}=;4#;답⃞②
02 a«=a¡+a™+a£+a¢+y= S«이므로
S«=
S«=;2K;=5
kn€ +7n-52n€ +1
limnڦlim
nڦ
limnڦ
¶¡n=1
limnڦ
1n+2
1n+1
1n+2
1n+1
1n-1
1n+2
1n(n+2)
'22
1'ƒn+2
1'2lim
nڦ
1'ƒn+2
1'ƒn+1
1'4
1'3
1'3
1'2lim
nڦ
1'ƒk+2
1'ƒk+1
n¡k=1
limnڦ
'ƒn+2-'ƒn+1'ƒ(n+1) (n+2)
¶¡n=1
1'ƒn+2
1'ƒn+1
'ƒn+2-'ƒn+1'ƒ(n+1) (n+2)
Ⅰ.수열의극한
급수02
정답과풀이
정답과풀이8
에서k=10
답⃞⑤
03 수열 {a«}의첫째항부터제n항까지의합을S«이라고하면
S«=a¡+a™+a£+y+a«
S«={log™ ;2#;-log™ ;1@;}+{log™ ;3$;-log™ ;2#;}+y+{log™ -log™ }
S«=-log™ 2+log™
이때, log™ =log™1=0이므로
a«= S«= {-log™ 2+log™ }a«=-1+0=-1
답⃞②
04 수열 {a«}의공차를d라하면a«≠¡-a«=d이므로
=
=;d!; { - }
=;d!; [{ - }+{ - }
+y+{ - }]
=;d!; { - }한편, a«=1+(n-1)d이고공차d가양수이므로
= =0
=;d!; { - }=;d!;=2이므로
d=;2!;따라서a«=1+(n-1)_;2!;이므로a¡∞=1+(15-1)_;2!;=8
답⃞8
유형� { -2}=3이므로, { -2}=0
즉, = [{ -2}+2]=0+2=2
= limnڦ
n€ +na«+12n€ +a«
limnڦ
a«n
limnڦ
a«n
limnڦ
a«n
limnڦ
a«n
¶¡n=1
1a«≠¡
1a¡
limnڦ
1a«a«≠¡
¶¡n=1
11+nd
limnڦ
1a«≠¡
limnڦ
1a«≠¡
1a¡
limnڦ
1a«≠¡
1a«
1a£
1a™
1a™
1a¡
limnڦ
1a˚≠¡
1a˚
n¡k=1
limnڦ
1a˚a˚≠¡
n¡k=1
limnڦ
1a«a«≠¡
¶¡n=1
n+2n+1
limnڦlim
n⁄¶¶¡
n=1
n+2n+1
limnڦ
n+2n+1
n+1n
n+2n+1
∴ = =;2#;답⃞⑤
05 {a«- }이수렴하므로
{a«- }=0
즉, a«= [{a«- }+ ]=;2!;답⃞①
06 (n€ a«-3)=10이므로
(n€ a«-3)=0
n€ a«= { (n€ a«-3)+3}=0+3=3
=
= =10
답⃞⑤
07 주어진급수가수렴하므로
= =a=0
이때급수의합 b는
b=
b=
b= { - }
b= [{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+y+{ - }]
b= {;2!;- }=;2!;따라서a+b=0+;2!;=;2!;
답⃞①
유형� ㄱ. = =1+0
ㄴ. 이므로 은발산한다. (발산)
ㄴ. (cos « 30˘+sin« 30˘)¶¡
n=1
nn+1
¶¡n=1
1
1+;n!;limnڦ
nn+1
limnڦ
1n+2
limnڦ
1n+2
1n+1
limnڦ
1k+2
1k+1
n¡k=1
limnڦ
1(k+1) (k+2)
n¡k=1
limnڦ
1n€ +3n+2
¶¡n=1
limnڦ
an€ +1n€ +3n+2
limnڦ
8+4_32
limnڦ
8n-1+4n‹ a«2n+1
limnڦ
limnڦlim
nڦ
limnڦ
¶¡n=1
n-12n-1
n-12n-1
limnڦlim
nڦ
n-12n-1
limnڦ
n-12n-1
¶¡n=1
1+2+02+0
1+ +1n€
a«n
2+a«n€
8- +4n€ a«1n
a+1n€
1+ +2n€
3n
2+1n
www.ebs i.co.kr
정답과풀이 9
ㄴ. =(cos 30˘+sin 30˘)+(cos€ 30˘+sin€ 30˘)
+(cos‹ 30˘+sin‹ 30˘)+y
ㄴ. =(cos 30˘+cos€ 30˘+cos‹ 30˘+y)
+(sin 30˘+sin€ 30˘+sin‹ 30˘+y)
ㄴ. =[ +{ } € +{ } ‹ +y]
+[;2!;+{;2!;}€ +{;2!;} ‹ +y]
ㄴ. = + =4+2'3 (수렴)
ㄷ. =
ㄷ. =
ㄷ. = ( 'ƒk+1-'k )ㄷ. = ( 'ƒn+1-1)=¶ (발산)
따라서수렴하는것은ㄴ이다.
답⃞②
08 ㄱ. 주어진급수의제n항까지의부분합을S«이라고하면
ㄱ. S™«–¡=;n!;, S™«=0이므로
ㄱ. S™«–¡= S™«=0
ㄱ. 그러므로 a«= S«=0 (수렴)
ㄴ. 주어진급수의제n항까지의부분합을S«이라고하면
ㄱ. S«= ('2-1)+('3-'2 )+ ('4-'3 )+y+ ('ƒn+1-'n )
ㄱ. S«=-1+'ƒn+1
ㄱ. 그러므로 S«= ( 'ƒn+1-1)=¶ (발산)
ㄷ. a«=- + 이므로
ㄱ. S«= a˚= {- + }
ㄱ. S«=;2!;+{-;2!;+;3@;}+{-;3@;+;4#;}+y+{- + }
ㄱ. S«=
ㄱ. 그러므로 a«= S«= =1 (수렴)
따라서수렴하는것은ㄱ, ㄷ이다.
답⃞④
09 ㄱ. a«= 이므로 에서'∂2n'ƒn+1
¶¡n=1
'∂2n'ƒn+1
nn+1
limnڦlim
n⁄¶¶¡
n=1
nn+1
nn+1
n-1n
kk+1
k-1k
n¡k=1
n¡k=1
nn+1
n-1n
limnڦlim
nڦ
limnڦ
¶¡n=1
limnڦlim
nڦ
limnڦ
n¡k=1
limnڦ
'ƒk+1-'k( 'ƒk+1+'k ) ('ƒk+1-'k )
n¡k=1
limnڦ
1'ƒk+1+'k
n¡k=1
limnڦ
1'ƒn+1+'n
¶¡n=1
;2!;1-;2!;
'32
'32
'32
ㄱ. ='2+0이므로
ㄱ. 급수 은발산한다.
ㄴ. a«= = -
ㄱ. S«= a˚= { - }
ㄱ. S«={;3!;- }+{ - }+{ - }
+y+{ - }
ㄱ. S«=;3!;-
ㄷ. 그러므로 S«= {;3!;- }=;3!; (수렴)
ㄷ. a«=nÆ…1+;n!;-n이므로
ㄷ. a«= {nÆ…1+;n!;-n}
ㄷ. a«= ( "√n€ +n-n) (∵n>0)
ㄷ. 그런데a«= ( "√n€ +n-n)
ㄷ. 그런데a«=
ㄷ. 그런데a«=
ㄷ. 그런데a«= =;2!;+0
ㄷ. 이므로급수 ( "√n€ +n-n)은발산한다.
따라서수렴하는것은ㄴ이다.
답⃞②
유형� 3a«+2b«=c«이라고하면 c«=40이다.
이때, b«=;2!;c«-;2#;a«이므로
b«= {;2!;c«-;2#;a«}
b«=;2!; c«-;2#; a«
b«=;2!;_40-;2#;_2=17
답⃞②
10 ( 5a«-2b«) = 5a«- 2b«
( 5a«-2b«) =5 a«-2 b«¶¡
n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
1
Æ…1+;n!;+1
limnڦ
n
"√n€ +n+nlimn⁄¶
( "√n€ +n-n)("√n€ +n+n)
"√n€ +n+nlimn⁄¶
limnڦ
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
13« ±⁄
limnڦlim
nڦ
13« ±⁄
13« ±⁄
13«
13›
13‹
13‹
13€
13€
13˚ ±⁄
13˚
n¡k=1
n¡k=1
13« ±⁄
13«
3« ±⁄ -3«3€ « ±⁄
'∂2n'ƒn+1
¶¡n=1
'∂2n'ƒn+1
limnڦ
'32
1-'32
정답과풀이
정답과풀이10
( 5a«-2b«) =5_2-2_3=4
답⃞②
11 두급수 ( a«+2b«) , ( b«-2c«)이수렴하므로
( a«+4b«-4c«)
= ( a«+2b«)+2 ( b«-2c«)
=3+2_(-2)=-1
답⃞②
12 두급수 ( a«+4), ( b«-1)이수렴하므로
( a«+4)= ( b«-1)=0에서
a«=-4, b«=1
또한, ( a«+4b«) = ( a«+4)+4 ( b«-1)
또한, ( a«+4b«) =2+4_3=14
이므로
2a«b«+ ( a«+4b«)
=2_(-4)_1+14=6
답⃞①
유형� + + +y
=[;4!;+{-;4#;}]+[{;4!;}€ +{-;4#;}€ ]
+[{;4!;}‹ +{-;4#;}‹ ]+y=[;4!;+{;4!;} € +{;4!;}‹ +y]
+[{-;4#;}+{-;4#;}€ +{-;4#;}‹ +y]
= +
=;3!;+{-;7#;}=-;2™1;답⃞②
13 ⑴ = {;5@;}«이고, 수열 [{;5@;} « ]은첫째항이 ;5@;,⑴공비가 ;5@;이므로
⑴ = =;3@;
⑵ = +(-1) € «
3«
¶¡n=1
2«3«
¶¡n=1
2« +(-1)€ «3«
¶¡n=1
;5@;1-;5@;
2«5«
¶¡n=1
¶¡n=1
2«5«
¶¡n=1
-;4#;1-{-;4#;}
;4!;1-;4!;
1‹ +(-3)‹4‹
1 € +(-3)€4€
1+(-3)4
¶¡n=1
limnڦ
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
limnڦlim
nڦ
limnڦlim
nڦ
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
⑵ = {;3@;} « + {;3!;}«
⑵ = +
⑵ =2+;2!;=;2%;답⃞⑴ ;3@; ⑵ ;2%;
14 a«≠¡a«= 에서a«≠¡= 이므로
a¡=1
a™= = =;2!;, a£= = =;2!;
a¢= = =;4!;, a∞= = =;4!;
a§= = =;8!;, a¶= = =;8!;
⋯
a«=1+;2!;+;2!;+;4!;+;4!;+;8!;+;8!;+y
a«=1+2{;2!;+;4!;+;8!;+y}
a«=1+2¥ =3
답⃞③
15 a«=ar« —⁄으로놓으면
a«= ar« —⁄ = =2 ……`㉠
(-1 )« ±⁄ a«
= (-1 )« ±⁄ ar« —⁄
=a-ar+ar€ -ar‹ +y
=
= =;3%; ……㉡
㉠에서a=2(1-r)이므로㉡에대입하면
=;3%;, 6-6r=5+5r
따라서 r=;1¡1;답⃞②
유형� 주어진등비급수의공비가 2"ç'x-5이므로
수렴하려면-1<2"ç'x-5<1에서
2(1-r)1+r
a1+r
a1-(-r)
¶¡n=1
¶¡n=1
a1-r
¶¡n=1
¶¡n=1
;2!;1-;2!;
¶¡n=1
1
64¥;8!;1
2fl ¥a§1
32¥;4!;1
2fi ¥a∞
1
16¥;4!;1
2› ¥a¢1
8¥;2!;1
2‹ ¥a£
1
4¥;2!;1
2€ ¥a™12¥1
12a¡
12« ¥a«
12«
;3!;1-;3!;
;3@;1-;3@;
¶¡n=1
¶¡n=1
www.ebs i.co.kr
정답과풀이 11
4<2"ç'x<6
2<"ç'x<3이므로 2<x <3
즉, 2› <x<3›
따라서정수x의개수는 (3› -2› )-1=64이다.
답⃞④
16 공비가 이므로-1< <1이어야한다.
59<2x<65이므로
;;∞2ª;;<x<;;§2∞;;따라서구하는자연수x는 30, 31, 32이므로
그합은 30+31+32=93
답⃞⑤
17 등비급수 {;4{;} « (x-3)« 의공비가 ;4{;( x-3)이므로
수렴하기위해서는-1<;4{;(x-3)<1이어야한다.
즉, -4<x(x-3)<4, -4<x€ -3x<4
x€ -3x>-4에서x€ -3x+4>0
{x-;2#;}€ +;4&;>0이므로x는모든실수이다.
x€ -3x<4에서x€ -3x-4<0, (x-4)(x+1)<0
이므로-1<x<4
따라서구하는정수x는 0, 1, 2, 3이므로그합은 6이다.
답⃞6
18 두등비급수가모두수렴하기위해서는
-1<x+a<1, -1<;;Å6”;;<1
이어야한다. 즉,
-1-a<x<1-a, -;a^;<x<;a^;(∵ a>0)
두범위를모두만족하는실수x의값이존재하려면-1-a
는 0보다작으므로
-;a^;<1-a, a€ -a-6<0
(a-3)(a+2)<0 ⋯ ⋯
-2<a<3
그런데a는양수이므로 0<a<3
답⃞①
유형� ㄱ. ( a«-1)이수렴하므로 ( a«-1)=0
ㄱ. a«=1+0이므로 a«은발산한다. (참)
ㄴ. (반례) a«=0, b«=1이면
ㄱ. a«=0, a«b«=0으로수렴하지만¶¡
n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
limnڦ
limnڦ
¶¡n=1
¶¡n=1
2x-623
2x-623
14
ㄱ. b«=1+0이므로 b«은발산한다. (거짓)
ㄷ. (반례) a«={-;2!;} «이면
ㄱ. a«= =-;3!;=a (수렴)
ㄱ. |a«|= |{-;2!;} « |= =1+|a| (거짓)
따라서옳은것은ㄱ이다.
답⃞①
19 ㄱ. a«=0, b«=0이므로
ㄱ. ( a«+b«) = a«+ b«=0 (참)
ㄴ. (반례) 수열 {a«}을
ㄱ. 1, 0, 1, 0, 1, 0, y, , y
ㄱ. 이라고하면 a™«=0으로수렴하지만 a«은발산
ㄱ. 한다. (거짓)
ㄷ. a«=a, ( a«+b«) =b (a, b는상수)라고하면
ㄱ. b«= { (a«+b«) -a«}
ㄱ. b«= ( a«+b«) - a«
ㄱ. b«=b-a (참)
따라서옳은것은ㄱ, ㄷ이다.
답⃞③
20 두등비수열 {a«}, {b«}의공비를각각 r, r'이라고하면수열
{a«b«}은공비가 rr'인등비수열이다.
ㄱ. (반례) a«={;2!;} « —⁄일때,
ㄱ. a«=1+;2!;+{;2!;}€ +y= =2=a
ㄱ. 라고하면
ㄱ. a«€=1+{;2!;} €+{;2!;} ›+y
ㄱ. a«€=
ㄱ. a«€=;3$;+a € (거짓)
ㄴ. a«, b«이모두발산하면 |r|æ1, |r'|æ1이므
ㄴ. 로 |rr'|=|r||r'|æ1이다.
¶¡n=1
¶¡n=1
1
1-{;2!;}€
¶¡n=1
1
1-;2!;¶¡
n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
1+(-1) « ±⁄2
limnڦlim
nڦlimnڦ
limnڦlim
nڦ
;2!;1-;2!;
¶¡n=1
¶¡n=1
-;2!;1-{-;2!;}
¶¡n=1
¶¡n=1
limnڦ
정답과풀이
정답과풀이12
ㄴ. 즉, a«b«은발산한다. (참)
ㄷ. (반례) r=;4!;, r'=2이면 rr'=;2!;이므로 a«b«이수
ㄴ. 렴하지만수열 {b«}은발산한다. (거짓)
따라서옳은것은ㄴ이다.
답⃞②
유형� 사분원OA¡B¡의반지름의길이
를 r¡이라 하고, 점 O에서 선분 AB
에내린수선의발을 H라고하면직
각이등변삼각형OBH에서OB”=1이
므로
OH”=OB¡”= , 즉 r¡=
따라서 l¡=;4!;_2p_ = p
사분원 OA«B«의반지름의길이를 r«이라고하면
r«≠¡= r«이므로 r«={ } «
즉, l«=;4!;_2p_{ } «=;2“;{ } «= { } « —⁄
l«=
l«= =
답⃞②
21 정사각형모양의종이P¡의넓이가a이고,
S«≠¡=;2!;S«이므로
S¡=a, S™=;2!;a, S£={;2!;} € a, S¢={;2!;} ‹ a, yS«=S¡+S™+S£+y
S«=a+;2!;a+{;2!;}€ a+{;2!;} ‹ a+yS«=a[1+{;2!;}€ +{;2!;} ‹ +y]S«= =2a
따라서 2a=150이므로 a=75
답⃞③
22 A«B« ”:A«≠¡B«≠¡”=2:1이므로 l«:l«≠¡=2:1
에서 l«≠¡=;2!;l«l¡=2_2+1_2=6이므로
l«=l¡+l™+l£+y¶¡
n=1
a
1-;2!;
¶¡n=1
( '2+1)p2
2p4 ('2-1)
'2 p4
1-1'2
¶¡n=1
1'2
'2p4
1'2
1'2
1'2
1'2
'24
1'2
1'2
1'2
A
A¡
A™
O BB™
H
B¡
¶¡n=1
¶¡n=1
l«=6+3+;2#;+y
l«= =12
답⃞ 12
23 Q¡D”='3이고,∠Q¡DB=∠Q™DQ¡=∠Q£DQ™=y=30˘이므로
Q™D”='3_cos 30˘=;2#;Q£D”='3_cos 30˘_cos 30˘=
Q’«≠¡ ”D”= Q«D”에서
수열 { Q«D” }는첫째항이'3, 공비가 인등비수열이
므로
Q«D”= = = =6+4'3
답⃞ 6+4'3
24 n번째 정사각형의 한 변의 길이
를a«이라고하면그림에서
tan h=
즉, a«≠¡= a«
수열 {S«}은공비가
r= 인등비수열이다.
또, S«= =;2#;S¡에서
r=;3!;이므로 =;3!;1+tan h='3tan h='3-1
답⃞'3-1
25 두점A«, B«의좌표는각각
A«{2« , }, B«( 2« , 2€ « )이므로
A«B« ”=2€ « -2€ « —€ =2€ « —€ (2 € -1)=3¥2€ « —€
한편, 점C«의 y좌표는 2€ « 이므로C« (k , 2€ « )으로놓으면
;4!;k€=2€ « 에서k€ =2€ « ±€
k>0이므로k=2« ±⁄
따라서C«( 2« ±⁄ , 2€ « )이므로
B«C« ”=2« ±⁄ -2« =2« (2-1)=2«
2€ «4
1( 1+tan h) €
S¡1-r
¶¡n=1
1(1+tan h) €
11+tan h
a«-a«≠¡a«≠¡
h
h
an+1
an-an+1
an
an
O
2'3(2+'3 )4-3
2'32-'3
'31-
'32
¶¡n=1
'32
'32
3'34
6
1-;2!;
www.ebs i.co.kr
정답과풀이 13
=
=
=;3!; {;2!;} ‹ « —€
=;3!;_ =;2¢1;
답⃞ ;2¢1;
[서술형+고난이도]
26 급수 { +a«}이수렴하므로
{ +a«}=0
이어야한다.
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (가)
= = =-4
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (나)
이므로
a«= [{ +a«}- ]a«=0-(-4)=4
따라서 a«=4
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (다)
답⃞ 4
27 "√2⁄ —› « = '2¥2—€ «
"√2⁄ —€ « = '2 {;4!;}«yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (가)
"√2⁄ —€ « = =
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (나)
'23
"24
1-;4!;
¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
limnڦ
2« ±⁄ +4«2« —⁄ -4« —⁄
2« ±⁄ +4«2« —⁄ -4« —⁄
limnڦlim
nڦ
0+40-1
4{;2!;}« —⁄ +4
{;2!;}« —⁄ -1limn⁄¶
2« ±⁄ +4«2« —⁄ -4« —⁄
limnڦ
2« ±⁄ +4«2« —⁄ -4« —⁄
limnڦ
2« ±⁄ +4«2« —⁄ -4« —⁄
¶¡n=1
;2!;1-;8!;
¶¡n=1
13¥2€ « —€ _2«
¶¡n=1
1
A«B« ”_B«C« ”
¶¡n=1
1S«
¶¡n=1
답⃞
28 = = { } «이므로이등비급수가수렴할조건은
-1< <1
-3<x€ -2x<3
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (가)
⁄ x€ -2x>-3일때
⁄ x€ -2x+3=(x-1)€ +2>0
⁄ 이므로x는모든실수
€ x€ -2x<3일때
⁄ x€ -2x-3<0, (x+1)(x-3)<0
⁄ 이므로-1<x<3
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (나)
⁄, €에의하여-1<x<3
따라서정수x는 0, 1, 2로 3개이다.
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (다)
답⃞3
29 수열 {a«}은공차가3인등차수열이므로첫째항을a라고하면
S«= =
이수렴하므로 =0
즉, =0이어야하므로
다항식 f ( x )는이차항의계수가-3인 x에대한이차식이
고, f (0)=0이므로
f(x)=-3x€ +px (단, p는상수)
f (k )= (-3k€ +pk)
f ( k )=-3_ +p_
f ( k )=-165+15p=0
에서p=11이므로 f(n)=-3n€ +11n
5¥62
5_6_116
5¡k=1
5¡k=1
3n€ +(2a-3)n+f(n)n€
limnڦ
2S«+f(n )n€
limnڦ
2S«+f(n )n€
¶¡n=1
3n€ +(2a-3)n2
n{2a+ (n-1)¥3}2
x€ -2x3
x€ -2x3
¶¡n=1
{x(x-2)} «3«
¶¡n=1
x« (x-2)«3«
¶¡n=1
'23
채점기준단계 배점
조건을구한경우
극한값을구한경우
{a«}의극한값을구한경우
총 점
(가)
(나)
(다)
20%
50%
30%
100%
채점기준단계 배점
등비급수로나타낸경우
급수의합을구한경우
총 점
(가)
(나)
40%
60%
100%
채점기준단계 배점
수렴할조건을구한경우
x의값의범위를구한경우
공통의범위를구하여정수 x의개수를구
한경우
총 점
(가)
(나)
(다)
30%
50%
20%
100%
정답과풀이
정답과풀이14
따라서 f(1)=-3+11=8
답⃞ 8
30 원 x€ +y€ =2€의 반지름과
접선이이루는각의크기는
90˘이고두개의접선이이
루는 각의 크기는 60˘이므
로 그림에서 두 접선의 교
점 P¡과원점 O 사이의거
리는 2_2=4이다.
점 P¡의좌표를 ( x, y )라고하면도형 C¡이나타내는도형
은 x€ +y€ =4€이다. 원점 O에서선분 P¡Q¡에내린수선의
발을H¡이라고하면직각삼각형P¡OH¡에서
P¡Q¡”=2P¡H¡”=2"√4€ -2€ =4'3같은방법으로도형C™는중심이 ( 0, 0 )이고반지름의길이
가 2_4=8인원이다.
원점O에서선분P™Q™에내린수선의발을H™라고하면직
각삼각형P™OH™에서
P™Q™ ”=2P™H™ ”=2"√8€ -4€ =8'3따라서도형 C«은원을나타내고이원의반지름의길이를
r«이라고하면 r«≠¡=2r«이므로
P«≠¡Q«≠¡ ”=2P«Q« ”
따라서수열 [ ]은첫째항이 = 이고,
공비가 ;2!;인등비수열이다.
= + + +y
= =
답⃞'36
'36
1
4"31-;2!;
1P£Q£”
1P™Q™”
1P¡Q¡”
1P«Q« ””
¶¡n=1
14'3
1P¡Q¡”
1P«Q« ”
x
y
O
P¡(x, y)
H¡
Q¡
C¡
230˘
-2
-2 24
01
=
=분모, 분자를각각`n으로나누면
=;3$;답⃞④
02 분모, 분자를각각 3«으로나누면
=
=
=
=3˚
3˚ =9에서k=2
답⃞④
03 (3n+1)a«=b«이라고하면
b«=2이고a«= 이므로
(4n-3)a«= { _b«}
(4n-3)a«= _ b«
(4n-3)a«=;3$;_2=;3*;답⃞⑤
limnڦ
4-;n#;3+;n!;
limnڦ
4n-33n+1
limnڦlim
nڦ
b«3n+1
limnڦ
3˚ +0+01+0
3˚ +2˚ ¥{;3@;} « +{;3!;}«
1+2¥{;3@;}«limn⁄¶
limnڦ
3« ± +2« ± +13« +2« ±⁄
limnڦ
3limnڦ
2 ("√n€ +2n+"√n€ +2n-3)3n
limnڦ
2 ("√n€ +2n+"√n€ +2n-3)
n{( "√n€ +2n)€ -("√n€ +2n-3 )€ }limn⁄¶
2
n ("√n€ +2n-"√n€ +2n-3 )limn⁄¶
01 ④ 02 ④ 03 ⑤ 04 ② 05 ② 06 ④
07 ① 08 ④ 09 ① 10③ 11④ 12①
13① 14④ 15④ 16① 17③ 18⑤
19④ 20⑤
[서술형] 21 0 22수렴 23 ;2(; 24 ;4!;[고난이도] 25④ 26② 27⑤
[이것이수능이다!]
28② 29② 30 20
대단원종합문제 본문 18~23쪽
2{æ≠1+;n@;+æ≠1+;n@;- }3n€
3˚ +2˚ ¥ +13«
2«3«
1+2¥2«3«
www.ebs i.co.kr
정답과풀이 15
04 0<b<a에서 0<;aB;<1이므로
주어진식의분모, 분자를각각a€ « 으로나누면
=
=4a=c
c=4a이므로
= =-;3%;답⃞②
05 |a«+a«≠¡|<2이므로
-2<a«+a«≠¡<2 ……㉠
㉠에서- < < , - < <
이고
{- }= =0, {- }= =0
이므로 =0, =0
따라서
=
= =;2!;답⃞②
06 1+2+3+y+n<a«<1+2+3+y+n+ (n+1)에서
<a«<
따라서
< a˚<
{ + }< a˚< { + +1}
< a˚<
따라서수열의극한의대소관계에의하여
… …
6… …6
따라서 =6
답⃞④
n‹a¡+a™+a£+y+a«
limnڦ
n‹a¡+a™+a£+y+a«
limnڦ
6n‹n‹ +3n€ +2n
limnڦ
n‹a¡+a™+a£+y+a«
limnڦ
6n‹n‹ +6n€ +11n
limnڦ
n‹ +6n€ +11n6
n¡k=1
n‹ +3n€ +2n6
3k2
k€2
n¡k=1
n¡k=1
k2
k€2
n¡k=1
(k+1) (k+2)2
n¡k=1
n¡k=1
k(k+1)2
n¡k=1
(n+1) (n+2)2
n(n+1)2
1+02+0
1+a«+a«≠¡
n€
2+a«+a«≠¡
n
limnڦ
n€ +a«+a«≠¡2n€ +na«+na«≠¡
limnڦ
a«+a«≠¡n€
limnڦ
a«+a«≠¡n
limnڦ
2n€
limnڦ
2n€
limnڦ
2n
limnڦ
2n
limnڦ
2n€
a«+a«≠¡n€
2n€
2n
a«+a«≠¡n
2n
a+4aa-4a
a+ca-c
4a-2b{;aB;} € «
1-{;aB;} € «limn⁄¶
4a€ « ±⁄ -2b€ « ±⁄a€ « -b€ «
limnڦ
07 a«=¶, ( a«+b«)=2에서
=0이므로 {1+ }=0
= [{1+ }-1]=-1이므로
{ + }=
=
= ( a«+b« )_
=2_ =-6
답⃞①
08 =;2!;, =;3!;이므로
= ¥ =;2!;¥;3!;=;6!;
따라서 =c«이라고하면
a«b«=c«(2n+3)(5n+1)
= c«¥
=;6!;_10=;3%;답⃞④
09 등차수열 {a«}, {b«}의 공차를각각d¡, d™라고하면
S«= ,
T«= 이므로
=
=
=
따라서 =;7!;에서d™=7d¡
a«=d¡n+p, b«=d™n+q (p, q는실수)로놓으면
a«+b«=(d¡+d™)n+(p+q)
a«+b«=8d¡n+p+q
a«-b«=(d¡-d™)n+(p-q)
a«-b«=-6d¡n+p-q
d¡d™
d¡d™
d¡n+(2a¡-d¡)d™n+(2b¡-d™)
limnڦ
n{2a¡+(n-1)d¡}n{2b¡+(n-1)d™}
limnڦ
S«T«
limnڦ
n{2b¡+(n-1)d™}2
n{2a¡+(n-1)d¡}2
(2n+3)(5n+1)n€ +1
limnڦ
a«b«n€ +1
limnڦ
a«b«(2n+3)(5n+1)
b«5n+1
limnڦ
a«2n+3
limnڦ
a«b«(2n+3)(5n+1)
limnڦ
b«5n+1
limnڦ
a«2n+3
limnڦ
1-(-1)+(-1) €-1
)}0
({9
limnڦ
( a«+b«) ( a« € -a«b«+b« € )a«b«
limnڦ
a« ‹ +b« ‹a«b«
limnڦ
b« €a«
a« €b«
limnڦ
b«a«
limnڦ
b«a«
limnڦ
b«a«
limnڦ
a«+b«a«
limnڦ
limnڦlim
nڦ
1- +{ } €b«a«
b«a«b«a«
정답과풀이
정답과풀이16
따라서
=
=-;4#;답⃞①
10 ㄱ. a«이수렴하고 ( a«-b«)=0이므로
b«= {a«- (a«-b«) }
b«= a«- ( a«-b«)
b«= a« (참)
ㄴ. ( a«+b«) =a, ( a«-b«) =b (a, b는상수)
라고하면
a«=
a«=;2!;[ ( a«+b«) + ( a«-b«) ]a«=;2!;( a+b)b«=
b«=;2!;[ ( a«+b«) - ( a«-b«) ]b«=;2!;( a-b) (참)
ㄷ. (반례) {a«} : 1, 0, 1, 0, 1, 0, …
ㄷ. (반례) {b«} : 0, 1, 0, 1, 0, 1, …`이면
ㄷ. (반례) {a«b«} : 0, 0, 0, 0, 0, 0, …`이므로
a«b«=0이지만 a«, b«의값은존재하
지않는다. (거짓)
따라서옳은것은 ㄱ, ㄴ이다.
답⃞③
11 주어진수들의총합은T«=2a¡+3a™+4a£+y+(n+1)a«
T«=n(n+1)(n+2)(n+3)
T«–¡=2a¡+3a™+4a£+y+na«–¡
T«–¡=(n-1)n(n+1)(n+2)(næ2 )
T«-T«–¡에서
(n+1)a«=4n(n+1)(n+2)이므로
a«=4n(n+2)(næ2 )
= =4
답⃞④
12 급수 ( a«+1)이수렴하므로
( a«+1)=0에서 a«=-1limn⁄¶lim
nڦ
¶¡n=1
4n‹ (n+2)n(n+1)(n+2)(n+3)
limnڦ
n€ a«T«
limnڦ
limnڦlim
nڦlimnڦ
limnڦlim
nڦ
( a«+b«)- ( a«-b«)2
limnڦlim
nڦ
limnڦlim
nڦ
( a«+b«)+ ( a«-b«)2
limnڦlim
nڦ
limnڦlim
nڦ
limnڦ
limnڦlim
nڦ
limnڦlim
nڦ
limnڦlim
nڦ
-6d¡n+p-q8d¡n+p+q
limnڦ
a«-b«a«+b«
limnڦ
( 2a«-1)=2 a«-1
( 2a«-1)=2_(-1)-1=-3
답⃞①
13 오른쪽그림과같은사분원A«OB«에서반지름의길이를
r«이라고하면현A«B«의중
점 M에 대하여 △A«OM은
직각이등변삼각형이다.
r«≠¡=OM”=A«M”이므로
2r«≠¡ € =r« €에서
r«≠¡= r«
S«= (사분원A«OB«의넓이) - (삼각형A«OB«의넓이)
S«=;4!;pr« € -;2!;r« €S«≠¡=;4!;pr«≠¡ € -;2!;r«≠¡ €S«≠¡=;8!;pr« € -;4!;r« €S«≠¡=;2!; {;4!;pr« € -;2!;r« € }=;2!;S«S¡=;4!;p_1€ -;2!;_1€ =;2!; {;2“;-1}따라서
S«=S¡+S™+S£+y
S«= =;2“;-1
답⃞①
14 a˚=10에서급수 a«이수렴하므로
a«=0이다.
= =;;™9¶;;=3
답⃞④
15 직선 y=-;2!;x+{;4#;} « 과x축, y축이만나는점을각각
A, B라고하면
A{2{;4#;}« , 0}, B{0, {;4#;}« }이므로삼각형OAB의넓이S«은
S«=;2!;_2{;4#;}« _{;4#;} « ={;4#;}€ «
S«= {;4#;}€ «= {;1ª6;}«¶¡n=1
¶¡n=1
¶¡n=1
limnڦ
2a«+3€ « ±‹ -3«a«+9« ±⁄
limnڦ
limnڦ
¶¡n=1
n¡k=1
limnڦ
;2!;{;2“;-1}1-;2!;
¶¡n=1
1'2
limnڦlim
nڦ
An Bn
An+1 rn rn+1Bn+1
M
O
+27-13«
2a«9«
+9a«9«
www.ebs i.co.kr
정답과풀이 17
S«= =;7(;
답⃞④
16 log(S«+1)=n에서S«=10« -1
næ2일때, a«=S«-S«–¡=10« -10« —⁄ =9¥10« —⁄
n=1일때, a¡=S¡=9
이므로a«=9¥10« — ⁄ (næ1 )
= + + + +y
= =;8!1);
답⃞①
17 2« +1…x+y…3« +2«
2«…xy…3« _2«
이므로a«=3« +2« , b«=3« _2« =6«
=
= [{;2!;} «+{;3!;} « ]
= +
=1+;2!;
=;2#;답⃞③
18 주어진급수는첫째항이a, 공비가 ;b!;인등비급수이다.등비급수가`수렴하므로
-1<;b!;<1에서 b>1또는 b<-1 ……㉠
a {;b!;} « —⁄ = = =;2%;에서
2ab=5b-5
(5-2a)b=5
a, b는정수이고㉠에의하여
b=5, 5-2a=1또는 b=-5, 5-2a=-1
a=2또는a=3
따라서구하는정수 a의값의합은 5이다.
답⃞⑤
19 수열 [{ } « ]은공비가 인등비수열이므로x-13
x-13
abb-1
a
1-;b!;¶¡
n=1
;3!;1-;3!;
;2!;1-;2!;
¶¡n=1
3« +2«6«
¶¡n=1
a«b«
¶¡n=1
;9!;1-;1¡0;
19¥10‹
19¥10€
19¥10
19
1a«
¶¡n=1
;1ª6;1-;1ª6;
등비수열이수렴하려면
-1< …1에서-3<x-1…3이므로
-2<x…4 ……㉠
급수 (x+1){ } « 은첫째항이 ,
공비가 인등비급수이므로
등비급수가수렴하려면
=0또는-1< <1
x=-1또는-1<x<5
즉, -1…x<5 ……㉡
㉠, ㉡`에서-1…x…4
따라서정수x는-1, 0, 1, 2, 3, 4의 6개이다.
답⃞④
20 ㄱ. 수열 {a«}의공비를 r(r>1)라고하면
수열 [ ]은공비가 ;r!;인등비수열이고
0<;r!;<1이므로 은수렴한다. (참)
ㄴ.수열 {a«}의공차를d(d+0 )라고하면
a«=dn+q (q는실수)
로놓을수있다.
= { - }
= ;d!;{ - }
=;d!; [{ - }+{ - }+
y+{ - }]
=;d!; { - }
=;d!; [ - ]
=;d!;_
즉, 은수렴한다. (참)
ㄷ. a«이수렴하므로
a«= a«≠¡=0
( a˚≠¡-a˚)=a«≠¡-a¡이므로
( a«≠¡-a«)= ( a«≠¡-a¡)=-a¡
즉, ( a«≠¡-a«)은수렴한다. (참)¶¡
n=1
limnڦ
¶¡n=1
n¡k=1
limnڦlim
nڦ
¶¡n=1
1a«a«≠¡
¶¡n=1
1a¡
1d(n+1)+q
1a¡
limnڦ
1a«≠¡
1a¡
limnڦ
1a«≠¡
1a«
1a£
1a™
1a™
1a¡
limnڦ
1a«≠¡
1a«
¶¡n=1
1a«≠¡
1a«
1a«≠¡-a«
¶¡n=1
1a«a«≠¡
¶¡n=1
1a«
¶¡n=1
1a«
x-23
(x+1) (x-2)3
x-23
(x+1) (x-2)3
x-23
¶¡n=1
x-13
정답과풀이
정답과풀이18
따라서옳은것은ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
답⃞⑤
[서술형]
21 S«≠¡=;2!;S«+1 ……㉠
S«=;2!;S«–¡+1 (næ2) ……㉡
㉠, ㉡에서S«≠¡-S«=;2!;(S«-S«–¡)
이때, S«≠¡-S«=a«≠¡, S«-S«–¡=a« (næ2)이므로
a«≠¡=;2!;a« (næ2)
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (가)
따라서a¡=3, a«=a™¥{;2!;}« —€ (næ2)이므로
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (나)
a«=a™ {;2!;}« —€ =0
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (다)
답⃞0
22 ⁄ |r|<1일때, r€ « =0이므로
= =2 (수렴)
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (가)
€ r=1일때, = =;2#; (수렴)
‹ r=-1일때, = =;2!; (수렴)yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (나)
› |r|>1일때, r€ « =¶이므로
=
= =;r!; (수렴)yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (다)
따라서수열 [ ]는수렴한다.답⃞`수렴
r€ « —⁄ +2r€ « +1
;r!;+0
1+0
limnڦ
r€ « —⁄ +2r€ « +1
limnڦ
limnڦ
-1+21+1
r€ « —⁄ +2r€ « +1
limnڦ
1+21+1
r€ « —⁄ +2r€ « +1
limnڦ
0+20+1
r€ « —⁄ +2r€ « +1
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
23 첫째항을a, 공비를 r라고하면-1<r<1이고
a¡+a™+a£+y= =3 ……㉠
a™+a¢+a§+y= =;4#; ……㉡
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (가)
㉠, ㉡에서 =;4!; ……㉢
㉠, ㉢`에서a=2, r=;3!;yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (나)
a« € =a€ +a€ r€ +a€ r› +y
a« € =
a« € = =;2(;
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (다)
답⃞` ;2(;
24 원x€ +y€ =2n위의점 ( 'n, 'n )에서의접선의방정식은
'nx+'ny=2n, 즉x+y=2'n이므로yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (가)
접선과x축, y축과의교점의좌표는각각
( 2'n, 0 ), ( 0, 2'n )
이다. 따라서
S«=;2!;_2'n_2'n=2n
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (나)
=
=;4!; { - }1n+1
1n
¶¡n=1
12n¥2(n+1)
¶¡n=1
1S«S«≠¡
¶¡n=1
4
1-;9!;
a€1-r€
¶¡n=1
r1+r
ar1-r€
a1-r
채점기준단계 배점
합을 이용하여 일반항을 구하는 식을 구한
경우
일반항을구한경우
극한값을옳게구한경우
총 점
(가)
(나)
(다)
50%
30%
20%
100%
채점기준단계 배점
|r|<1일때극한값을구한경우
r=1일 때와 r=-1일 때 극한값을 구한
경우
|r|>1일때극한값을구한경우
총 점
(가)
(나)
(다)
40%
20%
40%
100%
+2r€ «
1r
1+1r€ «
채점기준단계 배점
주어진식을첫째항과공비로나타낸경우
첫째항과공비를구한경우
급수의합을옳게구한경우
총 점
(가)
(나)
(다)
40%
30%
30%
100%
www.ebs i.co.kr
정답과풀이 19
=;4!; [{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y+{ - }]
=;4!; {1- }=;4!;yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (다)
답⃞ ;4!;
[고난이도]
25 S¡=-1
S™=-1+1=0
S£=-1+1-1=-1
S¢=-1+1-1+1=0
yy
이므로S™˚–¡=-1, S™˚=0 (k=1, 2, 3, y)
T™μ= (-1 ) S˚
T™μ= (-S¡+S™-S£+S¢-S™«–¡+y+S™μ)
T™μ= (1+0+1+0+y+1+0)
T™μ= =;4!;
T™μ–¡= (-1 )˚ S˚
T™μ–¡= (-S¡+S™-S£+S¢-y-S™μ–¡)
T™μ–¡= (1+0+1+0+y+1)
T™μ–¡=
T™μ= T™μ–¡=;4!;이므로T«=;4!;
답⃞④
26 BC”=a«, AC”=b«이라고하면
a« € +b« € =n€
선분CD는∠C의이등분선이므로a«:b«=1:2n이다.
즉, b«=2na«
a« € +(2na«) € =(1+4n€ )a« € =n€이므로
a« € =n€
1+4n€
limnڦ
limmڦ
limmڦ
m4m-2
14m-2
14m-2
2m-1¡k=1
12(2m-1)
m4m
14m
14m
2m¡k=1
12¥2m
1n+1
limnڦ
1n+1
1n
limnڦ
채점기준단계 배점
접선의방정식을구한경우
삼각형의넓이를구한경우
의값을옳게구한경우1
S«S«≠¡
¶¡n=1
총 점
(가)
(나)
(다)
20%
30%
50%
100%
따라서 a«= æ≠ =;2!;직각삼각형ABC의넓이는
;2!;a«b«=;2!;r«(n+a«+b«)
2na« € =r«(n+a«+2na«)
r«=
r«=
r«= = =;4!;
답⃞②
27 두수열 {a«}, {b«}에대하여다음관계식이성립한다.
a«≠¡=0.7a«+0.4b« ……㉠
b«≠¡=0.3a«+0.6b« ……㉡
이지역의전체가구수를N이라고하면
㉠, ㉡에서a«≠¡+b«≠¡=a«+b«
즉, a«≠¡+b«≠¡=a«+b«=y
즉, a«≠¡+b«≠¡=a¡+b¡=N ……㉢
㉠, ㉢에서
a«≠¡=0.7a«+0.4b«=0.7a«+0.4(N-a«)
a«≠¡=0.3a«+0.4N ……㉣
a«=a(a는상수)라고하면㉣에서
a«≠¡= (0.3a«+0.4N)
a=0.3a+0.4N, a=
또, b«= (N-a«)=N- =
= = =;4#;
답⃞⑤
[이것이수능이다!]
28 =2+ , =1이므로
수열 [ ]은첫째항이 1, 공차가 2인등차수열이다.
=1+(n-1)¥2=2n-1
즉, a«=
(n+1) (a«+a«≠¡)limn⁄¶
12n-1
1a«
1a«
1a¡
1a«
1a«≠¡
3N74N7
b«a«
limnڦ
3N7
4N7
limnڦ
limnڦ
4N7
limnڦ
limnڦ
limnڦ
2_{;2!;}€1+0+2_;2!;
2a« €limn⁄¶
2na« €n+a«+2na«
limnڦ
limnڦ
2na« €n+a«+2na«
n€1+4n€
limnڦ
limnڦ
b«limn⁄¶
a«limn⁄¶
1+ +2a«a«n
정답과풀이
정답과풀이20
= (n+1){ + }
= { + }
=;2!;+;2!;=1
답⃞②
29 급수 [ -(bn+2)]가수렴하므로
[ -(bn+2)]
= =0
이어야한다.
따라서a=2, b=1이다.
S«=bn€ +an=n€ +2n이므로
a«=S«-S«–¡
a«=(n€ +2n)-{(n-1) € +2(n-1)}
a«=2n+1 (næ2 )
a¡=S¡=3이므로a«=2n+1 (næ1 )이다.
=
= { - }= [{;3!;-;5!;}+{;5!;-;7!;}+{;7!;-;9!;}
+y+{ - }]
= {;3!;- }=;3!;답⃞②
30 원x€ +y€ = 위의점 { , }에서의접선 l«의방정식은
x+ y= , 즉x+'2y=;n!;접선 l«이x축, y축과만나는점의좌표는각각
{;n!;, 0}, {0, }이므로구하는도형의넓이S«은
S«=;2!;_;n!;_ =
= =4=a이므로
5a=20
답⃞20
12'2n€1
8'2n€limn⁄¶
S«S™«
limnڦ
12'2n€
1'2n
1'2n
13n€
'23n
13n
'23n
13n
13n€
12n+3
limnڦ
12n+3
12n+1
limnڦ
12n+3
12n+1
¶¡n=1
2(2n+1)(2n+3)
¶¡n=1
2a«a«≠¡
¶¡n=1
(1-b)n‹ +(a-2)n€n€
limnڦ
n‹ +an€n€
limnڦ
n‹ +an€n€
¶¡n=1
n+12n+1
n+12n-1
limnڦ
12n+1
12n-1
limnڦ
Ⅱ.함수의극한과연속
함수의극한03본문 24~29쪽
유형� ㄱ. x→ 2일때, (x-2) € → 0
ㄱ.이므로
ㄱ. (x-2)€ =0 (참)
ㄴ. x→¶일때, →0이므로
ㄱ. =0 (참)
ㄷ. =‡ 이므로
ㄱ. +1 (거짓)
따라서옳은것은ㄱ, ㄴ이다.
답⃞③
01 x→ 0일때, 2x€ -1→-1이므로
(2x€ -1)=-1
x→¶일때, → 0이므로
=0
(2x€ -1)-
=-1-0=-1
답⃞④
02 ㄱ. x→ 1일때, 2x-3→-1이므로
ㄱ. (2x-3)=-1 (참)limx ⁄1
2x
limx ڦ
limx ⁄0
2x
limx ڦ
2x
limx ⁄0
|x|x
limx ⁄0
1 (x>0)
-1 (x<0)|x|x
1x-1
limx ڦ
1x-1
limx ⁄2
유형� ③ 01 ④ 02 ③ 03 10
유형� ② 04⑤ 05 ② 06 ②
유형� ③ 07 2 08 ① 09 ③
유형� ⑤ 10③ 11④ 12②
유형� ④ 13③ 14⑤ 15① 16④
유형� ③ 17① 18③ 19 1 20①
유형� ⑤ 21② 22③ 23 18
유형� ② 24④ 25④
유형� ① 26④ 27③
[서술형+고난이도]
28 3 29 5 30② 31②
yy=(x-2)¤
xO 2
yy= 1
x-1
xO
1
y
xO
1
-1
y=|x|x
yy=2x™-1
xO
-1
yy=
2x
xO
y y=2x-3
xO 1
-1
-3