EDO de 2ª ordem Linear
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EDO de 2ª ordem LinearMatemática para Economia III
2013.2
EDO de 2ª ordem linearUma equação diferencial de segunda ordem tem a forma
onde f é alguma função dada. A equação (1) é dita linear se a função f tem a forma
Ou seja,
onde p,q e g:(a,b)→IR.
dt
dyytf
dt
y,,
d2
2
(1)
ytqdt
dytptg
dt
dyytf )()()(,,
(2))()()(2
2
tgytqdt
dytp
dt
yd
Um P.V.I é constituido por (2) e uma par de condições
y(t0)=y0 e y’(t0)=y’0
onde y0 e y0’ são números dados.
Uma equação linear de segunda ordem é dita homogênea se a função g(t) é igual a zero para todo t.
EDO de 2ª ordem linear
EDO de 2ª ordem linear homogênea
Então uma EDO 2ª ordem linear homogênea é da forma:
y’’+p(t)y’+q(t)y=0 (3)
Vamos estudar as soluções de (3) com as funções p e q constantes.
Exemplo 1: Resolva a equação y” – y = 0.
Temos neste caso p = 0 e q = - 1.
Isto significa procurar uma função cuja derivada segunda é igual a ela mesma.
EDO de 2ª ordem linear homogênea
Facilmente identificamos que
y1(t) = e t e y2 (t) = e -t servem. Também servem
c1 y1 (t) = c1 e t e c2 y2 (t) = c2 e -t
E mais
y = c1 y1 (t)+c2 y2 (t) = c1 e t + c2 e –t,
para c1 e c2 quaisquer.
Teorema: (Princípio da Superposição) Se y1 e y2 são soluções da equação diferencial
y’’ + p(t) y’ + q(t) y = 0,
então a combinação linear
c1y1(t) + c2y2(t)
também é solução , quaisquer que sejam os valores das constantes c1 e c2 .
EDO de 2ª ordem linear homogênea
Wronskiano
Vamos verificar as condições para que uma solução da forma
c1y1(t) + c2y2(t)
satisfaça o P.V.I.
y(t0)=y0 e y’(t0)=y’0
(quadro)
O Wronskiano e a independência linear das soluçõesDefinição: Duas funções y1, y2:(a,b)→IR são L. D. se existe uma
constante k tal que
y2(t)=k y1(t). Duas funções y1, y2:(a,b)→IR são L. I. se a condição
c1y1(t) + c2y2(t)=0
implicar que c1=c2=0.
Teorema: Se y1 e y2 são soluções da equação diferencial
y’’ + p(t) y’ + q(t) y = 0
num intervalo (a,b) e se W[y1,y2](t0)≠0 num ponto do intervalo então y1 e y2 são L. I. sobre (a,b). De outra forma, se y1 e y2 forem L. D. sobre (a,b) então W[y1,y2](t)=0 para todo t em (a,b).
Pode-se concluir que o espaço das soluções das EDO’s de 2ª ordem lineares homogêneas tem dimensão....
EDO de 2ª ordem linear homogênea
EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes
Vamos reescrever (3) da seguinte forma:
y’’+p y’+q y=0 (3’)
Candidato a solução: y(t)=eλt. Vamos testar!
Substituindo em (3’) obtemos
λ2 eλt+p λ eλt+q eλt=0 eλt (λ2+p λ+q)=0
Derivada de 2ª ordem
Derivada de 1ª ordem
Derivada de ordem zero (a própria função)
EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes
Para que y(t)=eλt seja solução devemos
λ2+p λ+q=0 (4)
que é conhecida como equação característica auxiliar da EDO (3’). Como (4) é uma equação do 2º grau temos três possibilidades para suas raízes
EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes
Caso 1: (p2-4q>0) Duas raízes reais distintas: λ1 e λ2.
Candidatos a solução:
Calculando o Wronskiano dessas soluções temos que:
Portanto as soluções y1 e y2 dadas são L.I. e neste caso a solução geral é da forma
Exemplo: Encontre a solução geral da equação ordinária
y’’ – 5y’ +6 y = 0.
)(0)(
)(')('
)()()](,[
2112
2121
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21
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