Ecuatii cu derivate partiale de ordin II - math.etti.tuiasi.romath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS...
Transcript of Ecuatii cu derivate partiale de ordin II - math.etti.tuiasi.romath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS...
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificare. Aducerea la forma canonica
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Clasificare. Aducerea la forma canonica
1 Clasificarea ecuatiilor
2 Ecuatii hiperbolice
3 Ecuatii eliptice
4 Ecuatii parabolice
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Clasificarea ecuatiilor
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordinul al doileaeste de forma
a11(x , y)∂2u∂x2 + 2a12(x , y)
∂2u∂x∂y
+ a22(x , y)∂2u∂y2 +
+ f(
x , y ,u,∂u∂x,∂u∂y
)= 0, (1.1)
u = u(x , y) este functia necunoscuta,aij = aij(x , y), i , j = 1,2 sunt continue pe D ⊆ R2
f : D × R3 7→ R este continua.Presupunem ca aij nu se anuleaza simultan. Fara a restrângegeneralitatea putem presupune a11 , 0.Daca a11 = 0 si a22 , 0 prin schimbarea variabilelor între elex ′ = y si y ′ = x noua ecuatie va avea a′
11 , 0.Daca a11 = a22 = 0 atunci a12 , 0 si schimbarea de variabilex ′ = x + y , y ′ = x − y conduce la o ecuatie în care noulcoeficient al derivatei partiale de ordin doi în raport cu x ′ estenenul.
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Definitia 1.1
Numim solutie a ecuatiei (1.1), pe domeniul D ⊆ R2, o functieu = u(x , y) de clasa C2 pe D, care satisface
a11(x , y)∂2u∂x2 (x , y) + 2a12(x , y)
∂2u∂x∂y
(x , y) + a22(x , y)∂2u∂y2 (x , y)
+f(
x , y ,u(x , y),∂u∂x
(x , y),∂u∂y
(x , y)
)= 0,
în orice punct (x , y) ∈ D.
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Ecuatiei (1.1) îi asociem forma patratica h : R2 → R
h(p1,p2) = a11(x , y)p21 + 2a12(x , y)p1p2 + a22(x , y)p2
2, (1.2)
si matricea corespunzatoare
S =
(a11(x , y) a12(x , y)a12(x , y) a22(x , y)
)
ce are determinantul
∆ =
∣∣∣∣∣ a11(x , y) a12(x , y)a12(x , y) a22(x , y)
∣∣∣∣∣ = a11(x , y)a22(x , y)− a212(x , y).
(1.3)
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
(E) daca ∆ > 0, atunci ecuatia (1.1) este eliptica (formapatratica (1.2) este pozitiv definita daca a11 > 0 saunegativ definita daca a11 < 0),
(H) daca ∆ < 0, atunci ecuatia (1.1) este hiperbolica (formapatratica (1.2) este nedegenerata dar nedefinita ca semn),
(P) daca ∆ = 0, atunci ecuatia (1.1) este parabolica (formapatratica (1.2) este degenerata).
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Efectuam o schimbare de variabile cu intentia de a aduceecuatia (1.1), în functie de tipul sau, la forma canonica. Fieschimbarea de variabile independente{
α = α(x , y),β = β(x , y),
(1.4)
astfel caD(α, β)
D(x , y)=
∣∣∣∣∣∣∣∣∂α
∂x∂α
∂y∂β
∂x∂β
∂y
∣∣∣∣∣∣∣∣ , 0 pe un domeniu D0 ⊆ D.
Notamu(α, β) = u(x(α, β), y(α, β)).
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Teorema 1.1
Natura unei ecuatii cvasiliniare, cu derivate partiale de ordinulal doilea este invarianta la o schimbare de variabile.
Transformam (1.1) folosind formulele de derivare partialapentru functii compuse
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
∂u∂x
=∂u∂α
∂α
∂x+∂u∂β
∂β
∂x,
∂u∂y
=∂u∂α
∂α
∂y+∂u∂β
∂β
∂y,
∂2u∂x2 =
∂2u∂α2
(∂α
∂x
)2+ 2
∂2u∂α∂β
∂α
∂x∂β
∂x+∂2u∂β2
(∂β
∂x
)2+
+∂u∂α
∂2α
∂x2 +∂u∂β
∂2β
∂x2 ,
∂2u∂y2 =
∂2u∂α2
(∂α
∂y
)2+ 2
∂2u∂α∂β
∂α
∂y∂β
∂y+∂2u∂β2
(∂β
∂y
)2+
+∂u∂α
∂2α
∂y2 +∂u∂β
∂2β
∂y2 ,
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
∂2u∂x∂y
=∂2u∂α2
∂α
∂x∂α
∂y+
∂2u∂α∂β
(∂α
∂x∂β
∂y+∂α
∂y∂β
∂x
)+∂2u∂β2
∂β
∂x∂β
∂y+
+∂u∂α
∂2α
∂x∂y+∂u∂β
∂2β
∂x∂y.
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Ecuatia transformata este:
a11 (α, β)∂2u∂α2 +2a12 (α, β)
∂2u∂α∂β
+a22 (α, β)∂2u∂β2 +f
(α, β, u,
∂u∂α
,∂u∂β
)= 0,
(1.5)unde coeficientii sunt dati de relatiile
a11 = a11
(∂α
∂x
)2+ 2a12
∂α
∂x∂α
∂y+ a22
(∂α
∂y
)2,
a12 = a11∂α
∂x∂β
∂x+ a12
(∂α
∂x∂β
∂y+∂α
∂y∂β
∂x
)+ a22
∂α
∂y∂β
∂y,
a22 = a11
(∂β
∂x
)2+ 2a12
∂β
∂x∂β
∂y+ a22
(∂β
∂y
)2.
(1.6)
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
∆ = ∆ ·(
D(α, β)
D(x , y)
)2
,
deci sign(
∆)
= sign (∆).
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Pentru a determina α si β potriviti aducerii ecuatia (1.1) laforma canonica punem conditia ca în ecuatia transformata (1.5)o parte dintre coeficienti sa se anuleze.Impunem a11 = 0 sau a22 = 0.Problema revine la determinarea solutiilor ecuatiei cu derivatepartiale de ordinul întâi de forma
a11
(∂z∂x
)2+ 2a12
∂z∂x· ∂z∂y
+ a22
(∂z∂y
)2= 0. (1.7)
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Teorema 1.2
Fie functia z = z(x , y) de clasa C1 pe domeniul D ⊆ R2, astfel
încât∂z∂y
(x , y) , 0 pentru orice (x , y) ∈ D. Daca z este o
solutie a ecuatiei (1.7) si relatia z(x , y) = C defineste implicitecuatia unei curbe y = y(x), atunci y ′ este solutie a ecuatiei degradul al doilea
a11(x , y) · (y ′)2 − 2a12(x , y) · y ′ + a22(x , y) = 0. (1.8)
Reciproc, daca y = y(x) este functie de clasa C1 a careiderivata satisface ecuatia (1.8), atunci z(x , y) = C este solutiepentru (1.7).
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Ecuatia (1.8) se numeste ecuatie caracteristica iar curbelez(x , y) = C, unde z satisface (1.7) se numesc curbecaracteristice.Ecuatia caracteristica (1.8) este ecuatie de gradul al doilea înnecunoscuta y ′ iar discriminantul ecuatiei este −4∆, decinatura radacinilor acestei ecuatii depinde de semnul lui ∆. Înfunctie de tipul ecuatiei (1.1), adica de semnul lui ∆, se alegnoile variabile α, β dupa cum urmeaza.
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Ecuatii hiperbolice
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Ecuatii hiperbolice
Daca ∆ < 0, atunci ecuatia caracteristica (1.8), ca ecuatie degradul al doilea în necunoscuta y ′, are doua are solutii realedistincte
y ′(x) =a12 ±
√−∆
a11.
Prin integrare se obtin doua familii de curbe caracteristice{z1(x , y) = C1,z2(x , y) = C2,
C1,C2 ∈ R. Facem schimbarea de variabile{α = z1(x , y),β = z2(x , y).
(2.1)
Deoarece z1 si z2 satisfac (1.7), iar coeficientii ecuatieitransformate (1.5) se calculeaza cu formulele (1.6), rezultacoeficientii a11 = a22 = 0 si a12 , 0.
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
forma canonica a ecuatiei hiperbolice:
∂2u∂α∂β
= f
(α, β, u,
∂u∂α
,∂u∂β
). (2.2)
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Daca facem schimbarea {α = ξ + η,β = ξ − η, (2.3)
si notam u(ξ, η) = u(α(ξ, η), β(ξ, η)), avem
∂u∂α
=12
(∂u∂ξ
+∂u∂η
),∂u∂β
=12
(∂u∂ξ− ∂u∂η
)si
∂2u∂α∂β
=14
(∂2u∂ξ2 −
∂2u∂η2
).
Obtinem astfel o alta forma canonica a ecuatiei de tiphiperbolic:
∂2u∂ξ2 −
∂2u∂η2 = f
(ξ, η, u,
∂u∂ξ
∂u∂η
). (2.4)
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Exemplul 1.
Sa se aduca la forma canonica ecuatia
x∂2u∂x2 − (x + y)
∂2u∂x∂y
+ y∂2u∂y2 = 0.
Solutie. Avem
∆ =
∣∣∣∣∣∣∣x −1
2(x + y)
−12
(x + y) y
∣∣∣∣∣∣∣ = −14
(x − y)2.
Într-un domeniu D ⊂ R2 ce nu intersecteaza dreapta y = xavem ∆ < 0, deci ecuatia data este de tip hiperbolic.
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Ecuatia caracteristica este
x(y ′)2 + (x + y)y ′ + y = 0,
cu solutiile y ′ = −yx
si y ′ = −1.Prin integrare, obtinem curbele caracteristicexy = C1, C1 ∈ Rx + y = C2, C2 ∈ R.Facem schimbarea de variabile{
α = xy ,β = x + y ,
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
∂u∂x
= y∂u∂α
+∂u∂β
,∂u∂y
= x∂u∂α
+∂u∂β
,
∂2u∂x2 = y2∂
2 u∂α2 + 2y
∂2u∂α∂β
+∂2u∂β2 ,
∂2u∂y2 = x2 ∂
2u∂α2 + 2x
∂2u∂α∂β
+∂2u∂β2 ,
∂2u∂x∂y
= xy∂2u∂α2 + (x + y)
∂2u∂α∂β
+∂2u∂β2 +
∂u∂α
.
forma canonica este
∂2u∂α∂β
− β
4α− β2∂u∂α
= 0.
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Exemplul 2.
Sa se aduca la forma canonica ecuatia
x∂2u∂x2 − 4x3∂
2u∂y2 −
∂u∂x
= 0
si sa se determine solutia problemei care satisface conditiile{u(x , x2) = f (x),u(x ,−x2) = g(x),
f ,g ∈ C2(R), cu f (0) = g(0). Sa se deduca solutia în cazulparticular f (x) = x4, g(x) = −x4.
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Solutie. Avem
∆ =
∣∣∣∣∣ x 00 −4x3
∣∣∣∣∣ = −4x4 < 0.
Ecuatia data este de tip hiperbolic într-un domeniu ce nuintersecteaza dreapta x = 0.Ecuatia caracteristica:
x(y ′)2 − 4x3 = 0, y ′ = ±2x
y ′ = 2x ⇒ y − x2 = C1, C1 ∈ Ry ′ = −2x ⇒ y + x2 = C2, C2 ∈ R.Facem schimbarea de variabile{
α = y − x2,
β = y + x2.
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Obtinem forma canonica
∂2u∂α∂β
= 0
∂
∂α
(∂u∂β
)= 0 de unde, prin integrare în raport cu α se obtine
∂u∂β
= f (β)
si integrând acum în raport cu β deducem solutia generala:
u(α, β) =
β∫β0
f (β)dβ + ϕ(α) = ϕ(α) + ψ(β),
unde ϕ,ψ ∈ C1(R).Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
u(x , y) = ϕ(y − x2) + ψ(y + x2),
unde ϕ,ψ ∈ C1(R).Impunem conditiile date:{
ϕ(0) + ψ(2x2) = f (x)ϕ(−2x2) + ψ(0) = g(x).
Rezulta:
ψ(x) = f
(√x2
)− ϕ(0)
si
ϕ(−x) = g
(√x2
)− ψ(0).
Pentru x = 0 rezulta ϕ(0) + ψ(0) = f (0) = g(0).Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Deducem
u(x , y) = ϕ(−(x2 − y)) + ψ(x2 + y)
u(x , y) = g
√x2 − y2
+ f
√x2 + y2
− f (0)− g(0).
Pentru f (x) = x4, g(x) = −x4, gasim solutia
u(x , y) = −(
x2 − y2
)2
+
(x2 + y
2
)2
= x2y .
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Ecuatii eliptice
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Ecuatii eliptice
Daca ∆ > 0, atunci ecuatia caracteristica (1.8) are doua aresolutii complexe conjugate
y ′(x) =a12 ± j
√∆
a11.
Prin integrare se obtine z(x , y) = α(x , y)± jβ(x , y) = C, C ∈ R.Facem schimbarea de variabile{
α = Re z(x , y),β = Im z(x , y),
(3.1)
Obtinem forma canonica a ecuatiei eliptice
∂2u∂α2 +
∂2u∂β2 = f
(α, β, u,
∂u∂α
,∂u∂β
). (3.2)
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Exemplul 3.
Sa se aduca la forma canonica ecuatia
y2∂2u∂x2 + 2xy
∂2u∂x∂y
+ 2x2∂2u∂y2 + y
∂u∂y
= 0.
Solutie. Avem
∆ =
∣∣∣∣∣ y2 xyxy 2x2
∣∣∣∣∣ = x2y2.
Într-un domeniu D ⊂ R2 ce nu interseacteaza axele decoordonate, avem ∆ > 0, deci ecuatia data este de tip eliptic.
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Ecuatia caracteristica
y2(y ′)2 − 2xyy ′ + 2x2 = 0
are solutiile y ′ =x ± jx
y.
Prin integrare rezulta y2 − (1± j)x2 = C, adicay2 − x2 ∓ jx2 = C, C ∈ C.Efectuam schimbarea de variabile
{α = y2 − x2,
β = x2.
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
∂u∂x
= −2x∂u∂α
+ 2x∂u∂β
,∂u∂y
= 2y∂u∂α
,
∂2u∂x2 = 4x2∂
2 u∂α2 − 8x2 y2
x2∂2u∂α∂β
+ 4x2 y2
x4∂2u∂β2 − 2
∂u∂α
+ 2yx3∂u∂β
,
∂2u∂x∂y
= −4xy∂2u∂α2 + 4xy
∂2u∂α∂β
,
∂2u∂y2 = 4y2 ∂
2u∂α2 + 2
∂u∂α
.
Forma canonica
∂2u∂α2 +
∂2u∂β2 −
α− ββ(α + β)
∂u∂α
+1
2β∂u∂β
= 0.
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Ecuatii parabolice
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Ecuatii parabolice
Daca ∆ = 0, atunci ecuatia caracteristica (1.8) are doua solutiireale egale
y ′(x) =a12
a11.
Prin integrare se obtine o singura familie de curbecaracteristice z(x , y) = C, C ∈ R.Efectuam schimbarea de variabile{
α = z(x , y)β = x .
(4.1)
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Forma canonica
∂2u∂β2 = f
(α, β, u,
∂u∂α
,∂u∂β
). (4.2)
sau
∂2u∂α2 = f
(α, β, u,
∂u∂α
,∂u∂β
). (4.3)
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Exemplul 4.
Sa se aduca la forma canonica ecuatia
x2∂2u∂x2 − 2xy
∂2u∂x∂y
+ y2∂2u∂y2 + x
∂u∂x
+ y∂u∂y
= 0
si sa se determine solutia problemei care satisface conditiile u(1, y) = 1− cos y ,∂u∂x
(1, y) = 2y ,
Solutie. Avem
∆ =
∣∣∣∣∣ x2 −xy−xy y2
∣∣∣∣∣ = 0,
deci ecuatia data este de tip parabolic în R2.Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Ecuatia caracteristica este
x2(y ′)2 + 2xyy ′ + y2 = 0,
si are solutia dubla reala y ′ = −yx
, sau echivalentdyy
= −dxx
.
Prin integrare obtinem xy = C, C ∈ R.Efectuam schimbarea de variabile{
α = xyβ = x .
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
∂u∂x
= y∂u∂α
+∂u∂β
,∂u∂y
= x∂u∂α
,
∂2u∂x2 = y2∂
2 u∂α2 + 2y
∂2u∂α∂β
+∂2u∂β2 ,
∂2u∂x∂y
= xy∂2u∂α2 + x
∂2u∂α∂β
+∂u∂α
,
∂2u∂y2 = x2 ∂
2u∂α2 .
Forma canonica
β∂2u∂β2 +
∂u∂β
= 0.
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Notam∂u∂β
= w si atunci ecuatia precedenta devine
β∂w∂β
+ w = 0, adicadww
= −dββ
.
Prin integrare (considerând pe α constant) rezultaln |w | = − ln |β|+ ln |f (α)|, f ∈ C1(R).
Deci w =f (α)
βsi deci
∂u∂β
=f (α)
β, de unde obtinem solutia
generalau(α, β) = f (α) ln |β|+ g(α),
unde f ,g ∈ C1(R).Revenind la variabilele (x , y) gasim solutia generala a ecuatieidate:
u(x , y) = f (xy) ln x + g(xy), f ,g ∈ C1(R), x > 0.
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II
Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice
Ecuatii elipticeEcuatii parabolice
Punem conditiile din enunt. Calculam
∂u∂x
= yf ′(xy) ln x + f (xy)1x
+ yg′(xy).
Conditia u(1, y) = 1− cos y implica g(y) = u(1, y) = 1− cos y .
Din∂u∂x
(1, y) = 2y deducem f (y) + yg′(y) = 2y si gasimf (y) = 2y − y sin y .
Solutia problemei este:
u(x , y) = (2xy − xy sin xy) ln x + 1− cos xy .
Ecuatii cu derivate partiale de ordin II