Transformaciones Trigonométricas. Ecuaciones Trigonométricas y Aplicaciones

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

TRANSFORMACIÓN A PRODUCTO

Son expresiones que permiten transformar a producto

las sumas y diferencias de funciones.

Si : x > y se cumple :

a) Sen x + Sen y = 2 Sen

b) Sen x - Sen y = 2 Cos

c) Cos x + Cos y = 2 Cos

d) Cos y - Cos x = 2 Sen

PROPIEDADES:

1. Si : A + B + C = 180°, se cumple

SenA + SenB+SenC = 4Cos Cos Cos

CosA+CosB+CosC-1 = 4 Sen Sen Sen

Si A + B + C = 360° se cumple :

2.SenA + SenB + SenC =4Sen Sen Sen

CosA + CosB + CosC + 1= - 4 Cos Cos Cos

TRANSFORMACIÓN A SUMA O DIFERENCIA

Son expresiones que permiten transformar a sumas o

diferencias los productos de funciones.

Si : x > y se cumple :

a) 2Sen x . Cos y = Sen (x + y)+Sen(x–y)

b) 2Cos x . Sen y = Sen (x+y) – Sen(x–y)

c) 2Cos x . Cos y = Cos (x+y) + Cos(x–y)

d) 2Sen x . Sen y = Cos (x-y) - Cos(x+y)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Son los arcos correspondientes a una función

trigonométrica dada.

Así: sen = N entonces:

= arco cuyo seno es N = arc sen N

I. I. FUNCIÓN SENO INVERSO

F(x) = Arc Sen x

F(x) = Sen -1 x

II. FUNCIÓN COSENO INVERSO

F(x) = Arc Cos x ó

F(x) = Cos -1x

279

Dominio Rango[ -1 ; 1 ]

Dominio Rango[ -1 ; 1 ] [ 0 , ]

TRANSFORMACIONES TRIGONOMTRICAS - ECUACIONES TRIGONOMETRICAS Y APLICACIONES CAPÍTULO XI

OBJETIVOS:Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de :

Enunciar y aplicar las transformaciones trigonométricas.

Resolver las ecuaciones trigonométricas.

Resolver problemas con triangulo oblicuángulos.

III.- FUNCIÓN TANGENTE INVERSO

F(x) = Arc Tan x

F(x) = Tan-1x

IV. FUNCIÓN COTAGENTE INVERSO

F(x) = Arc Cot x

F(x) = Cot-1x

V. FUNCIÓN SECANTE INVERSO

F(x) = Arc Sec x

F(x) = Sec-1 x

VI. FUNCIÓN COSECANTE INVERSO

F(x) = Arc Csc x

F(x) = Csc-1 x

PROPIEDADES

1. F [F-1(x)] = x x DOM (F-1)

a) Sen (Arc Sen x) = x

b) Cos (Arc Cos x) = x

c) Tan (Arc Tan x) = x

d) Cot (Arc Cot x) = x

e) Sec (Arc Sec x) = x

f) Csc (Arc Csc x) = x

2. F-1[F(x)] = x x RAN (F-1)

a) Arc Sen (Sen x) = x

b) Arc Cos (Cos x) = x

c) Arc Tan (Tan x) = x

d) Arc Cot (Cot x) = x

e) Arc SEC (SEC x) = x

f) Arc CSC(CSC x) = x

3. x DOM (F-1)

a) Arc Sen (-x) = -Arc Sen x

b) Arc Cos (-x) = - Arc Cos x

c) Arc Tan (-x) = -Arc Tan x

d) Arc Cot (-x) = -Arc Cot x

e) Arc Sec (-x) = -Arc Sec x

f) Arc Csc (-x) = -Arc Csc x

280

Dominio Rango

R

Dominio RangoR < 0 ; >

Dominio RangoR - < -1 ; 1 >

[ 0 ; ] -

Dominio RangoR -< -1 ; 1 >

-

{0}

4. x Dom(F )

a) Arc Sen x = Arc Csc

b) Arc Cos x = Arc Sec

c) Arc Tan x = Arc Cot

d) Arc Cot x = Arc Tan

e) Arc Sec x = Arc Cos

f) Arc Csc x = Arc Sen

5. x Dom(F )

a) Arc Sen x + Arc Cos x =

b) Arc Tan x + Arc Cot x =

Arc Sec x + Arc Csc x =

5. x Dom(F )

a) Sen (Arc Cos x) =

b) Cos (Arc Sen x) =

c) Tan (Arc Sec x) =

d) Sec (Arc Tan x) =

e) Cot (Arc Csc x) =

f) Csc (Arc Cot x) =

7. Sea

Arc Tan a + Arc Tan b = ArcTan + K

a) Si a.b < 1 entonces K = 0

b) Si a.b > 1 entonces:

1) a > 0 entonces K = 1

2) a < 0 entonces K = -1

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICA

Ecuación trigonométrica, es una igualdad que se cumple

para determinados valores de la variable angular.

Sen x = A x = K + (- 1 ) K arcSen A

Cos x = B x = 2K arc Cos B

Tan x = C x = K + arc Tan C

Cotg x = D x = K + arc Cotg D

Sec x = E x = 2K arc Sec E

Csc x = F x = K + (- 1 ) K arc Csc F

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

I. LEY DE SENOS :

En todo triángulo los lados son directamente

proporcionales a los senos de los ángulos

opuestos.

* Con el Circunradio

281

II. LEY DE COSENOS

A

a2 = b2 + c2 – 2bc Cos A

b2 = a2 + c2 – 2ac Cos B

c2 = a2 + b2 – 2ab Cos C

III. LEY DE TANGENTES

IV. LEY DE PROYECCIONES

a = b Cos C + c Cos B

b = a Cos C + c Cos A

c = a Cos B + b Cos A

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE LOS

SEMIÁNGULOS INTERNOS

1) SENO :

P : semiperímetro P =

Sen

2) COSENO

P : Semiperímetro P =

Análogamente :

CUADRILÁTEROS

LEY DE COSENOS PARA UN CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE

282

Cos A =

Como : A + C = 180° Cos C = Cos A :

Cos C =

Análogamente

Cos B =

Como : B + D = 180° Cos D = -Cos B :

Cos D =

EJERCICOS DE RESUELTOS

PROBLEMA Nº 01

Reducir:

M = Cos4 Cos2 - Cos7 Cos

Sen9 Cos - Sen6 Cos4

SOLUCION

Transformando a sumatoria y diferencia:

M = 2Cos4 Cos2 - 2Cos7 Cos

2Sen9 Cos - 2Sen6 Cos4

M = Cos6 + Cos2 - Cos8 - Cos6

Sen10 + Sen8 - Sen10 - Sen2

M = Cos2 - Cos8

Sen8 - Sen2

M = 2Sen5 Sen3

Sen3 Cos5

M = Tg 5

PROBLEMA Nº 02

Calcular “ ” si:

Tg arc Cos Sen ( + 30) = 1

SOLUCION

Arc Cos Sen ( + 30) = 45

Sen ( + 30) = /2

Arc Sen Sen ( + 30) = arc Sen /2

( + 30) = 45

= 15

EJERCICOS

PROBLEMA Nº 01

Calcular:

E = arc Tg1/3 + arc Tg3/2 + arc Ctg8

a) 30 b) 45 c) 60 d) 75 e) 90

PROBLEMA Nº 02

Resolver:

4Sen2 3x = Tg 3x

a) 5º b) 10º c) 11º d) 20º e) 25º

PROBLEMA Nº 03

Calcular el perímetro de un triángulo si un lado mide

10m y los ángulos adyacentes son 37º y 16º .

a) 15m b) 17m c) 21m d) 23m e) 25m

283

¡APRENDIENDO A RESOLVER ………………………………………… RESOLVIENDO!