Msc. Juan Carlos Briceño

Asignatura: Matemática III

Ejercicio Resuelto de Ecuaciones Exacta

y’ + P(x)y = Q(x)

ECUACIONES EXACTAS

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

M (x,y)dx + N(x,y) dy =0

en donde las derivadas parciales de las funciones M y N : Y son iguales. Esto es : =

Donde = M( x,y) y = N( x,y)

Para resolver una ecuación exactas es importante tener en cuenta los siguientes pasos:

1.) Debe tener esta forma: M(x,y) ∂x + N (x,y) ∂y = 0

2.) Se debe comprobar si es homogénea o no.

3.) =

De cumplirse el paso (1), (2) y (3) se garantiza que es una ecuación exacta y por lo tanto se aplica el algoritmo exacto. 4.) Introducimos una función auxiliar: F =x , C = f(y)

5.) Derivamos en ambos miembros con respecto a y :

6.) Igualamos : = N( x,y)

7.) ∫

a) ( 4Y+ 2X- 5) + ( 6y + 4x – 1 )

b.) ( + y) x + ( 2 + x + y = 0

Solución al ejercicio a:

1) Observemos que el ejercicio tiene la forma: M(x,y) ∂x + N (x,y) ∂y =0

esto es: (4y + 2x - 5) ∂x + (6y + 4x - 1) ∂y = 0

2) Determinar si es o no homogénea M(x,y) = 4y + 2x - 5 ; N(x,y) = 6y + 4x -1 M(kx,ky) = 4ky + 2kx -5 ; N(kx,ky) = 6ky 4kx -1

Observa que en las expresiones anteriores, no se pudo extraer la k como factor común, por lo tanto la ecuación diferencial no es homogénea.

EJERCICIOS DE ECUACIONES EXACTA

3.) Se deriva la función con M(x,y ) y N(x,y) , una con respecto a ¨y¨ , la otra con respecto a ¨x¨

=

Por lo tanto, de lo anterior se tiene:

En base al paso (1), (2) y (3), aplicamos algoritmo exacto.

= + -

Recuerda: que al derivar , la ¨x¨ se convierten en constante y

al derivar , la ¨y¨ es constante

=

= 4

= 4 = 4

=

4.) Se introduce una función auxiliar F =x , C= f(y)

Aplicamos Algoritmo Exacta

Esto es: F =x

F = x

F = Recuerda que en este caso:la letra ¨y¨, son constante

F = + C

F = + f(y) Recuerda que: C = f(y)

5.) A continuación, derivamos a ¨ F ¨ con respecto a y :

=

= + +

= 4x+

Recuerda que al derivar: , es cero

= 4x+ Observa que en este caso:la letra ¨y¨, son constante

6.) Siguiendo el algoritmo exacto, se tiene: = N( x,y)

= 4x+ y N(x,y) = 6y + 4x – 1

Igualando 4x+ = 6y + 4x – 1

= 6y – 1 Simplificamos 4x en ambos miembros

7.) Por último integramos en ambos miembros: ∫

Para ello, tomamos inicialmente la expresión anterior: = 6y – 1

= (6y – 1 ) dy

=

=

=

= 3

Aplicando teorema de integración:

∫ ( 𝑓 (𝑥 )+𝑔 (𝑥 ) )𝑑𝑥=∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥+∫𝑔 (𝑥 )𝑑𝑥

Sustituyendo la expresión anterior en:

F = + f (y)

Se tiene: F = + 3

Despejamos

Integramosenambosmiembros

Solución del ejercicio 2: 1) Debe tener esta forma: M(x,y) ∂x + N (x,y) ∂y =0 ( + y) x + ( 2 + x + y = 0 2) Determinar si es o no homogénea

M( x,y) = + y ; N(x,y) = 2 + x + y M(kx,ky) = + ky ; N(kx,ky) = 2 + kx + ky. = + Ky ; = 2 + kx + ky Observa, que en las expresiones anteriores no se pudo extraer la k, como factor común, por lo tanto la ecuación diferencial no es homogénea.

∂M ( x,y ) = ∂ ( + y) ; ∂N (x,y) = ∂ (2+ x+ y ) ∂y ∂y ∂x ∂x

3.) Se deriva la función con M(x,y ) y N(x,y) , una con respecto a ¨y¨ , la otra con respecto a ¨x¨

= + = + + )

= 1 = Por lo tanto: =

4) Introducimos una función auxiliar: F =x , C = f(y)

Recuerda: que al realizar las derivadas en los términos: , 2,

F = x

y es constante

+ y.x + C

+ y.x + f(y) Recuerda que debemos sustituir C por f(y)

5.) Derivamos en ambos miembros con respecto a y :

+ y.x + f(y)

+ y.x + f(y))

+ y.x + f(y))

+ x +

x + = 0, = 1

6.) Ahora debemos igualar : = N( x,y)

x + Como: N(x,y) = 2 + x + yy

Entonces al igualar en: = N( x,y)

x + = 2 + x + y Luego simplificamos la x

= 2 + y

7.) A continuación debemos integrar ∫

= 2 + y

Para ello procedamos de manera análoga como en la lamina 8, correspondiente al primer ejercicio. Seguramente te quedaran dos integrales, una con constante y otra relacionada a una por sustitución, la cual tiene solución a través de alguno de los teoremas presente en los formularios, será inmediata.

Propuesto

Agradecimientos

Este material, fue elaborado en conjunto con los estudiantes de la 3M1ES

Aldana Yenismar C.I: 22.092.861

Pérez María F. C:I 23.481.691

Valera Dorenny C.I: 22.092.860

MATEMATICAS III