Ecuaciones Diferenciales Variables Separables-pr (Nxpowerlite)

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1 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA

JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI MATEMÁTICA PARA INGENIEROS

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

DEFINICIONES Y CONCEPTOS BÁSICOS Una ecuación diferencial es una ecuación en la que interviene una función incógnita y una o varias de sus derivadas. Este tipo de ecuaciones aparece en el estudio de numerosos fenómenos físicos y químicos: desintegración radiactiva, crecimiento de poblaciones, reacciones químicas, problemas gravitatorios, etc. No es exagerado afirmar que la naturaleza se describe por medio de ecuaciones diferenciales, de modo que un conocimiento de esta última materia nos ayudará a entender mejor los fenómenos naturales. Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar, básicamente, atendiendo a dos criterios: (1) TIPO: Si la función incógnita contiene una única variable independiente, entonces la ecuación se denomina ecuación diferencial ordinaria, abreviadamente E.D.O. En otro caso, cuando la función incógnita contiene dos o más variables independientes, la ecuación se dice que es una ecuación diferencial en derivadas parciales. (2) ORDEN: Es la derivada de orden más alto que aparece en la ecuación diferencial. Es innecesario decir que el estudio de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales requiere unas técnicas matemáticas que están fuera del alcance del alumno, por lo que nos restringiremos al análisis de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Consideremos una ecuación diferencial ordinaria ( , , , ,...) 0f x y y y′ ′′ = Diremos que una función y = f(x) es una solución de la ecuación diferencial si la ecuación se satisface al sustituir en ella y y sus derivadas por f(x) y sus derivadas respectivas. La solución general de una ecuación diferencial ordinaria es una función 1 2( , , ...)y f x c c=

dependiente de una o varias constantes tal que cualquier solución de la ecuación diferencial se obtiene dando valores específicos a una o más de las constantes. Cuando damos valores concretos a todas las constantes de la solución general, surge una solución particular. Geométricamente, la solución general de una ecuación diferencial de primer

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orden representa una familia de curvas, denominadas curvas solución, una para cada valor concreto asignado a la constante arbitraria. En la práctica, la determinación de las constantes que aparecen en la solución general se realiza a partir de las condiciones iníciales del problema. Las condiciones iníciales del problema son los valores que adquiere la función solución o sus derivadas en determinados puntos. Por ejemplo, para una ecuación diferencial de primer orden ( , )F x y′ , una condición inicial se expresaría en la forma 0 0( )y x y= , En

consecuencia, ( )y f x= es solución si ( ) ( , ( ))f x F x f x′ = para todo valor de x en cierto

intervalo, 0 0( )f x y= ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación de la forma

( , )y F x y′ = , donde F es una función que depende de las variables x e y. Esta clase de ecuaciones diferenciales son de las más sencillas, y su resolución se puede realizar utilizando diversas técnicas. Describimos a continuación las más importantes.

EL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES

Suponga que se nos da una ecuación diferencial de primer orden

( ),dy f x ydx

= (1)

Entonces, considerando dydx

como un cociente diferéncieles, esto también puede ser

escrito en la forma

( ) ( ), , 0x y dx x y dyΜ +Ν = (2)

Así, por ejemplo, 3

2 5dy x ydx y x

−=

− (3)

Puede también ser escrita ( ) ( )3 5 2 0x y dx x y dy− + − = (4)

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Donde 3 , 5 2x y x yΜ ≡ − Ν ≡ − El problema de resolver ecuaciones diferenciales de primer

orden está vinculado con la solución de la ecuación (1) o (2).

Un tipo especialmente simple de ecuación que ocurre a menudo en la práctica es aquella

que puede ser escrita en la forma

( ) ( ) 0f x dx g y dy+ = (5)

Donde un término involucra sólo a X mientras el otro involucra sólo a Y. Esta ecuación

puede ser resuelta inmediatamente por integración. Así, la solución general es

( ) ( )f x dx g y dy c+ =∫ ∫ (6)

Donde c es la constante de integración. Nosotros podemos por supuesto regresar a la

ecuación (5) tomando la diferencial en ambos lados de (6), y así eliminar a c; esto es,

( ) ( ) ( )d f x dx d g x dy d c+ =∫ ∫ ó ( ) ( ) 0f x dx g y dy+ =

Puesto que el método de solución depende de la posibilidad de escribir (1) o (2) en la

forma (5), donde las variables son “separadas” en dos términos, éste es llamado el

método de separación de variables, y las variables se dice que son separables. Esta

situación afortunada en la cual las variables son separables, para nuestro pesar, no ocurre

todas las veces. Por ejemplo, no hay manera de que la ecuación (4) pueda ser escrita en la

forma (5). En tales casos estaremos forzados a buscar otros métodos. La búsqueda de

tales métodos será estudios realizados en los temas posteriores.

EJEMPLO 1. Encuentre la solución general de 2 1

2dy xdx y

+=

− y (b) determine la solución

particular para la cual 4y = cuando 3x = − . Solución: Separando las variables podemos escribir la ecuación dada en la forma ( ) ( )2 1 2 0x dx y dy+ + − = (7)

La integración da la solución general requerida

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( ) ( )2 1 2x dx y dy c+ + − =∫ ∫ Esto es, 3 2

23 2x yx y c+ + − = (8)

(a) Colocando 3x = − , 4y = en (8) da 12c = − . La solución particular requerida es

3 2

2 123 2x yx y+ + − = − (9)

Observación. La solución puede, si se desea, obtenerse explícitamente en este caso al

despejar y de la ecuación (9)

EJEMPLO 2. Resolver 22dyx y x ydx

− =

Solución Podemos escribir la ecuación (multiplicando por dx ) como

22xdy ydx x ydx− = o ( ) ( )2 22 0 2 1 0x y y dx xdy y x dx xdy+ − = ⇒ + − =

Dividiendo por xy

2 222 1 2 10 ln | | ln | | 0x dy x dydx dx c x x y

x y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +

− = ⇒ − = ⇒ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫

Esto también puede escribirse en una forma libre de logaritmos escribiendo sucesivamente como

2 22 2ln ln c x c xx x xx c c x e e ey y y

− −+ = ⇒ = − ⇒ = =

*Se debe notar que ln 0dx x xx= ⇔ >∫

2 2 2c x c x xx e e y e xe y xe

y− −= ± ⇒ = ± ⇒ = Α

Chequeo. Colocando 2xy xe=Α en la ecuación diferencial dada, tenemos

( ) ( )2 2 2 22 22 2x x x xx x e e xe x xeΑ +Α −Α = Α o 2 23 32 2x xx e x eΑ = Α

EJEMPLO 3. Resolver el problema de valor inicial ( ), 4 3.dy xdx y

= − =

Solución Partimos de y para obtener dy x dx= −

2 2

1.2 2y xydy xdx c= − ⇒ = − +∫ ∫

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Esta solución se puede escribir en la forma 2 2 2 ,x y c+ = si sustituimos la constante 12c

con 2 ,c Vemos que la solución representa una familia de círculos concéntricos.

Cuando 4, 3,x y= = de modo que 216 9 25 .c+ = = Así, el problema de valor inicial

determina que 2 2 25.x y+ = , es el único círculo de la familia que pasa por el punto ( )4,3

Se debe tener cuidado al separar las variables por que los divisores variables podrían ser cero en algún punto.

EJEMPLO 4. Resolver ( )4 2 32 0.xxy dx y e dy−+ + =

SOLUCION Al multiplicar la ecuación por 3xe y dividirla entre 4y obtenemos

En el primer término integramos por partes y 3 3 3 1 31

1 1 23 9 3

x x xxe dx xe e y y c− −= − − − +∫

En el segundo término integramos por teoremas ( )2 43

1 223

y y dyy y

− − −+ = −∫

La familia mono perimétrica de soluciones también se puede escribir en la forma

( )33

9 63 1 ,xe x cy y

− = + +

EJEMPLO 5 Resolver el problema de valor inicial ( )2 4, 0 2.dy y ydx

= − = −

Solución Pasamos la ecuación a la forma 2 4dy dx

y=

−

Y empleamos el método de fracciones parciales en el lado izquierdo. Entonces

( )2

3 3 2 44

2 0 2 0 x xyxe dx dy xe dx y y dyy

− −++ = ⇒ + + =

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1 14 4

12

41 2

4

4

1 1ln 2 ln 24 ( 2)( 2) 2 2 4 4

1 1 2 2ln 2 ln 2 ln 44 4 2 2

2(1 )1

x

x

x

dy dy y y cy y y y y

y yy y c x c x c cey y

ceyce

⎡ ⎤−= = + = − + + − +⎢ ⎥− − + + −⎣ ⎦

− −− + + − + = + ⇒ = + ⇒ =

+ +

+=

−

∫ ∫

Si sustituimos 0; 2x y= = − se presenta el dilema matemático

Al llegar a la última igualdad vemos que debemos examinar con más cuidado la ecuación diferencial. El hecho es que la ecuación

Sin embargo, no hay valor finito de C que pueda producir la solución 2.y = − esta última función constante es la única solución al problema de valor inicial

Observación: Se puede dar con facilidad el caso de que dos personas lleguen a expresiones distintas de la misma respuesta al resolver en forma correcta la misma ecuación; por ejemplo, separando variables se puede demostrar que familias de

soluciones de ( ) ( )2 21 1 0y dx x dy+ + + =

arctan arctan 1x yx y c o bien c

xy+

+ = =−

Al avanzar en las siguientes secciones, el lector debe tener en cuenta que las familias de soluciones pueden ser equivalentes, en el sentido de que una se puede obtener de otra, ya sea por redefinición de la constante o por transformaciones algebraicas o trigonométricas.

2(1 )2 1 0 1

c c ó cc+

− = ⇒ = − =−

( )( )2 2dy y ydx

= + −

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EJERCICIOS RESUELTOS Nota: En la mayoría de los ejercicios no se resolverán las integrales, por favor revisar MÉTODOS DE INTEGRACIÓN, en página del autor

1) Resolver ( )1 0.x dy y dx+ − =

SOLUCION: Dividimos entre ( )1 x y+ y escribimos ( )1

dy dxy x=

+ de donde

( )( )

1 1

1 1

ln 1 ln 11ln ln 1

11 1 , 1

1 1 1 1 , 1

x c x c

c c

dy dx y x c y e y e ey x

x x xy x e y e x

x x x

+ + + ⋅= ⇒ = + + ⇒ = ⇒ =+

⎧ + = + ≥ −⎪= + ⇒ = ± + ← ⎨+ = − + < −⎪⎩

∫ ∫

Definimos C como 1 ,ce± con lo que llegamos ( )1 .ay c x= +

SOLUCIÓN ALTERNATIVA como cada integral da como resultado un logaritmo, la

elección más prudente de la constante de integración es ln ,c en lugar de C:

( ) ( )ln ln 1 ln , o bien ln ) ln 1 1y x c y c x y c x= + + = + ⇒ = +

2) Resolver 3 2x ydy edx

+=

3 2 3 2 32

3 3 23 2

2

12 3 3 2

x y x y xy

x x ux y

y

dy dy dye e e e dxdx dx e

dy e e ee dx e c lasolucióngeneral es Ce

+

−−

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒− + = ⇒ + =∫ ∫

3) Resolver 3 2 (1 )dy xy xdx

= +

3

3 32 2 2

23 2 2

22

1 1 1

1 ; 12 1

1: 12

1 30, 1 12 2

dy xy dy xdx dy xdxdx y yx x x

dy xdxc x cy y x

solucion general x Cy

cuando x y C C

= ⇒ = ⇒ =+ + +

= + = + +− +

= + +−

= = ⇒ − = + ⇒ = −

∫ ∫

∫ ∫

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4) Resolver ( )21 0xydx x dy+ + =

( )

22 2

12 2 22

1 ln 1 ln1 1 2

ln 1 ln ln 1

x dy x dydx dx x y cx y x y

x y c x y c

= ⇒ = ⇒ + = − ++ +

+ + = ⇒ + =

∫ ∫

5) Resolver ( )( )1 1xydy y x dx= + −

( ) ( )

1 11 1

1 11 1 ln 1 ln1

ln 1 1y x

y x y xdy dx dy dxy x y x

dy dx y y x x cy x

y x y xc e y xc+

− −= ⇒ =

+ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − ⇒ − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠+ = + ⇒ = +

∫ ∫

∫ ∫

6) Resolver2 1

y

dy x xdx ye

+=

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

2232 2

32 2

11 1 1

3

:3 1 1

y y y

y

xye dy x x dx ye dy x x dx e y c

solución y e x c

+= + ⇒ = + ⇒ − = +

− = + +

∫ ∫

7) Resolver 3

ln xyxy xy

′ =+

( ) ( )3 33

2 4 22 4 4

ln ln ln

ln 2 ln2 4 2

x x xy y y dy dx y y dy dxxy xy x x

y y x c y y x c

′ = ⇒ + = ⇒ + =+

⇒ + = + ⇒ + = +

∫ ∫

8) Resolver 2

31

dy ty tdx t

+=

+cuando ( )2 2y =

( )( )

( )

2 2 2

2

2 2

31 3 1 3 1

3 3 5ln 3 ln 1 ln : 2 251 1

dy ty t dy t dy tdt dtdt t y t y t

y yy t c c si yt t

+= ⇒ = ⇒ =

+ + + + ++ +

⇒ + = + + ⇒ = = ⇒ =+ +

∫ ∫

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9) Resolver ( )cos 0dy y tdt

+ =

( ) ( ) ( ) ( )cos cos ln sen tdy dyt dt t dt y sen t c ce yy y

−=− ⇒ = − ⇒ =− + ⇒ =∫ ∫

10) Resolver2 1x ydy e

dx+ +=

( ) ( ) ( )1 1 12 1 2 2 22y y yx y x x xdy e e e dy e dx e dy e dx e e cdx

− + − + − ++= ⇒ = ⇒ = ⇒− = +∫ ∫

11) Resolver 22 1dyx ydx

= −

( )2 22 21 1dy dx dy dx arcseny x c y sen x c

x xy y= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = +

− −∫ ∫

12) Resolver 2 2 2 2 21x y x y x y′ = − + −

( ) ( ) ( )( )

( )

2 2 2 2 2 2 22 2

2 2

11 1 1 1 11

1 1 11 arctan tan1

dy dy dyx x y x x x y dxdx dx y xdy dx y x c y x c

y x x x

⎛ ⎞= − + − ⇒ = − + ⇒ = − ⇒⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⇒ =− − + ⇒ = − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

13) Resolver ( ) ( )2 tan sec 0x y dx x dy− =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2

2 cos 22

cos ctg cos ctg

2 cos 2 ln x sen x x x sen x c

x x dx y dy x x dx y dy

x sen x x x sen x sen y c e sen y+ + +

= ⇒ =

+ + = + ⇒ =

∫ ∫

14) Resolver2

2

1dy xdx y

−=

2 2 2 2

3 333

1 2

( 1) ( 1)

33 3

y dy x dx y dy x dx

y x x C y x x C

= − ⇒ = −

= − + ⇒ = − +

∫ ∫

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15) Resolver (2 sen )dy y xdx

= +

2 cos(2 sen ) (2 sen ) ln 2 cos x xdy dyx dx x dx y x x C y Key y

−= + ⇒ = + ⇒ = − + ⇒ =∫ ∫

16) Resolver 3

1dydx xy

=

43 3 4

1 2ln 4ln4

dx dx yy dy y dy x C y x Cx x

= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = +∫ ∫

17) Resolver23dy x y

dx=

32 2 31 23 3 ln .xdy dyx dx x dx y x C y C e

y y= ⇒ = ⇒ = + ⇒ =∫ ∫

18) Resolver 2 23 (1 )dy x ydx

= +

2 3 32 3 tan tg

1dy x dx arc y x C y (x C).

y= ⇒ = + ⇒ = +

+

19) Resolver2dy y y

dx+ =

2

1

2 2 2 2 2

(1 ) (1 ) 1(1 ) ( ) Con 1 1

1 (1 ) (1 )( ) 1ln ln ln

(1 ) 1 1 1

(1 )1

x x x x

dy dy dy A By y dx dy dy dxdx y y y y y y

A B A y By A y B Ady dy dy dy A ; By y y y y yA y B A dy dy ydy y x x C

y y y y y yy C e y y C e C e y C e y y C

y

= − ⇒ = ⇒ = + =− − −

− + + −+ = = = =

− − −+ −

= + ⇒ + = ⇒ = +− − − −

= ⇒ = − = − ⇒ +−

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

2

22 2

2

(1 )1

x x

xx x

x

e C e

C ey C e C e y .C e

=

+ = ⇒ =+

Realizando la comprobación de este resultado:

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2 2 2 2 22 2

2 2

2

22 2 2

2 22 2 2

22 2 2

22 2

2 2 2 2 22

2 2 2 2

(1 )´(1 ) (1 )

;

( ) ;(1 ) (1 ) 1

( ) ;(1 ) 1

(1 ) .(1 ) 1 1 1

x x x x x

x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x x x x

x x x x

C e C e C e C e C eyC e C e

dy y ydx

C e C e C eC e C e C e

C e C e C eC e C e

C e C e C e C e C eC e C e C e C e

+ − ⋅= =

+ +

+ =

+ =+ + +

+=

+ +

+= ⇒ =

+ + + +

20) Resolver21 4

3dv vxdx v

−=

83

8 83 3

2 2

223 3

8 82

32 2 2 33 8

1 28

2 54 14

3 31 4 1 4

1 43 3 3 ln ln 1 4 ; 1 4 8 88

ln ln 1 4 ln 1 4 1 4

1 4

vdv dx vdv dxv x v x

v zvdv dz dz z vv z zv dv dz

Cdx x v x C v C x vx x

CC v v .x x

−

= ⇒ =− −

− = −⇒ ⇒ = − = − = − −

− − =

= ⇒ − − = + ⇒ − = ⇒ − =

+ = ⇒ = +

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

21) Resolver2

2

sec1

dy ydx x

=+

22 2 2

2

2 2

2 2 21

2 1 122 2

cossec 1 1

cos cos ; sen ; cos ; sen

cos cos sen sen

cos cos sen cos 2 cos cos sen

cos cos sen

dy dx dxy dyy x x

y dy y u y dy du y dy dv y v

y dy y y y dy

y dy y y dy y dy y dy y y y C

y dy y y y C

= ⇒ =+ +

⇒ = − = = =

= +

= + − = = + +

= + +

∫ ∫

∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫

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1 11 13 2 22 cos sen tg

1dx tg x C y y y x C

x− −= + ⇒ + = +

+∫

22) Resolver cos 1sen 0xy x e dx y dy−+ =

cos 1 cos 2 cos 2

cos cos cos cos2 2

2 cos1 cos

sen sen sen

sen ; sen

1 1 1

x x x

x x x x

xx

y x e dx y dy x e dx y dy x e dx y dy

x e dx e u x e dx du du u C e C

y dy C e C yy y C -e

− − −

−

= − ⇒ = − ⇒ =−

⇒ = − = ⇒− = − + = − +

− = + ⇒ =− + ⇒ =

∫ ∫∫ ∫

∫

23) Resolver22( ) 0xx xy dx e y dy+ + =

2 2

2

2 2 2

2 22

1 22

( ) (1 ) ;1

1 1 1 1ln ln 11 2 22 2

x xx

x x x

x dx dyx xy dx e y dy x y dx e y dyye

x dx dy C y C y Cye e e

+ = − ⇒ + = − ⇒− =+

− = ⇒ + = + ⇒ = + ++∫ ∫

24) Resolver2 2

1dx x ydy x

=+

( )2 2 2 22 2 2

3 13 3

3

1

3 3 ln 3 3 ln 3 3ln3 1

( 1)3 ln 3

x dx xdx dxy dy dx y dy y dy x dxx x x x

y x x x cx x x cxx c y yx x x

cxy xx

−

−

+= ⇒ = + ⇒ = +

− + + −= + + ⇒ = ⇒ = +

−−

= +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

25) Resolver2 23 3

dy xy y xdx xy y x

+ − −=

− + −

( 2)( 1) ( 1) ( 2)( 2)( 1) ( 3)( 1)( 3)( 1) 1 3

2 51 1 2 5 2 51 3 1 3: 1; 3; ;

2ln 5ln 2ln(

dy x y y dy x dxx y dx x y dydx x y y x

dy dx du dvdy dx dy dx dy dxy x y x u v

cambios u y v x du dy dv dx

y u x v c y

+ − + += ⇒ + − = − + ⇒ =

− + − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + ⇒ + = + ⇒ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠⎝ ⎠= − = − = =

+ = + + ⇒

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1) 5ln( 3)y x x c− + = − + +

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26) Resolver ( )2 2 1x y dy y dx= + 2 2

22 2

2 2

2 1 2 2

111 1 1

11

1 1ln ln 1 ln 12 1 2 2

y dx y dxdy dy y dy x dxy x y x y

dy duydy dy x dx ydy dy x dxy u

u y du dyy x y yy u c y y c y y c

x x

−

− −

−

⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ − + =⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

− + = ⇒ − + =+

= + ⇒ =

−− + = + ⇒ − + + = + ⇒ + + − = −

−

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

27) Resolver 2sec csc 0xdy ydx+ =

2 22 0 cos 0 cos 0

csc sec1 1 1 1cos 2 , 2 2 .cos cos .cos2 4 2 2

1 1cos .cos2 2

dy dx senydy xdx senydy xdxy x

y x sen x c como sen x senx x y x senx x c

y senx x x C

+ = ⇒ + = ⇒ + =

− + + = = ⇒− + + =

= + =

∫ ∫

28) Resolver2

2

(1 )y (1 )

ydyxdx x

+=

+

2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

(1 )

(1 ) 1 1 1 1

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 .

yydy ydy xdx ydy xdxxdx x y x y x

u y u y udu ydy udu ydy

v x v x vdv xdx vdv xdxudu vdv du dv u v c y x c

u v

+= ⇒ = ⇒ =

+ + + + +

= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =

= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = + ⇒ + = + +

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

29) Resolver 3 (3 ) 2 cos (3 ) 0sen x dx y x dy+ =

3 3

23 2 2

3 2

2 22 2

3 32 0 2 , cos3 3 3 3cos 3 cos 3 3

1 1 12 2 2 3 3 3 2 6

1 1 6cos 3 6cos 3

sen x sen x dudx ydy dx ydy c u x du sen xdx sen xdxx x

du uydy c u du ydy c y c y cu u

y c y cx x

−−

+ = ⇒ + = = ⇒ =− ⇒− =

−+ = ⇒− + = ⇒− + = ⇒ + =

−

+ = ⇒ = −

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

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30) Resolver 3 0xdx e dy+ =

3 -33

3 3

0 0 , -33

1 1 1 1( ) .3 3 3 3 3

x xx

u u u x x

dx dudy e dy e dx dy c u x dxe

due dy c e du dy c e y c e y c y e c

−

− −

+ = ⇒ + = ⇒ + = = ⇒− =

− + = ⇒− + = ⇒− + = ⇒− + = ⇒ = +

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

31) Resolver 2 cos 2y sen x y x′ =

cos(2 )2 cos 2 (2 ) cos(2 )(2 )

1cot 2 cot(2 ) ln ln (2 )2

dy dy xsen x y x sen x dy y x dx dxdx y sen xdy dyxdx x dx y sen x cy y

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = +∫ ∫

32) Resolver 2 1y y′ + =

2 2 22

2

1 1 0 ( 1) 0 01

1 1 1ln ln 1 ln 11 2 1 2

1 1ln 1 ln 12 2

dy dy dyy y dy y dx dxdx dx y

dy ydx c x c y y x cy y

y y x c

+ = ⇒ + − = ⇒ + − = ⇒ + =−

−+ = ⇒ + = ⇒ ⎡ − − + ⎤ + =⎣ ⎦− +

− − + + =

∫ ∫

33) Resolver 2 2cosh 0 (0)4

y x sen y si y π′ + = =

2 2 2 22 2

2 2

cosh 0 cosh 0 0cosh

csc sec cot tanh cot tanh

( 1) cot tanh

:

tanh cot cotx x x x

x x x x

dy dy dxx sen y xdy sen ydxdx sen y x

ydy h xdx c y x c y c x

multiplicamos por y x c

Por tabla tenemos

e e e ex y c ye e e e

− −

− −

+ = ⇒ + = ⇒ + =

+ = ⇒ − + = ⇒ − = −

− ⇒ = −

− −= ⇒ = − ⇒

+ +

∫ ∫

2

2

1 1

cot1 1

xx

x x

xx

x x

eee ec y c

eee e

−−

= − ⇒ = −++

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( )

( )

( ) ( )

2 22

2 2

2(0) 2(0)

2(0)

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

1 11cot cot1 1

1 11 1Condicion: (0) cot( ) 14 4 1

1 1 1 ( 1) 1Sustituyendo en: cot cot

1 11 1 2cot cot

1 1

x xx

x x

x x x x

x x

x x x

x x

e c eey c ye e

e c ey c

ee c e e e

y ye e

e e ey ye e

π π

− − +−= − ⇒ =

+ +− − +

= ⇒ = ⇒ = −+

− − + − − − += ⇒ =

+ +− + +

= ⇒ =+ +

34) Resolver21 2dx y

dy ysenx+

=

2 22

2 2

(1 2 ) (1 2 )(1 2 )

2 ln cos ln cos

y yy dy ysenxdx dy senxdx dy senxdxy y

dy ydy senxdx y y x c y y c xy

+ ++ = ⇒ = ⇒ = ⇒

+ = ⇒ + = − + ⇒ + = −

∫ ∫

∫ ∫ ∫

35) Resolver3 . 32 4 8

dy xy x ydx xy x y

+ − −=

− + −

3 3 ( 1)( 3) ( -2) ( 1)

2 4 8 ( 4)( 2) ( 3) ( 4)( -2) ( 1) 5 5(1 ) (1 )( 3) ( 4) 3 4

5 5 3 , 4 , 3 4

dy xy x y dy x y y xdy dxdx xy y y dx x y y x

y xdy dx dy dxy x y x

dy dxdy dx haciendo u y du dy v x dv dx sustituyendy x

+ − − − + −= ⇒ = ⇒ =

− + − + − + +−

= ⇒ − = −+ + + +

− = − ⇒ = + ⇒ = = + ⇒ =+ +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

] ]

] ]

5 5 5ln 5ln 5ln 3 5ln 4

: 5ln 3 5ln 4

o

du dvdy dx y u x v c y y x x cu v

solución general y y x x c

⎡ ⎡− = − ⇒ − = − + ⇒ − + = − + +⎣ ⎣

⎡ ⎡+ − = + − −⎣ ⎣

∫ ∫ ∫ ∫

36) Resolver 2( 1) dyx xy xdx

+ + =

2 2 311 222 2 2

1 1ln ln 1 1 11 1 1 1 1 1 1

Cdy xdx dy xdx x C C x y .y x y x y y x= ⇒ = ⇒ = + + ⇒ = + ⇒ = +

− + − + − − +∫ ∫

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EJERCICIOS PROPUESTOS.

Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios, sujetos a las condiciones donde se den.

( ) ( ) ( )

( )

2 2

23 2

2 2 2 20

0

) ; 2; 1; ) ; 1 3; )3 1 2 0

) 2 0; ) ; 1 0; ) 14

) cos 0; ( ) ; ) 1 1 ) 8 34 4

) 2 cos 3 0; ( ) 2 ) 5 102

x

dy x dy ya y x b y c x x dx y x dydx y dx x

x xy dd ydx e dy e y y f ry dr

g sen ydx xdy y h x y dx y x dy i y xy y

dlj y xdx senxdy y k ldt

φ φ

π π

π

−

= − = = = − = + + + =

+′+ = = = = +

′+ = = + = + = +

+ = = + = ( ); 0 0 )l l=

Resuelva las siguientes ecuaciones diferencial es por separación de variables.

( )

( )

2 3 2

3 2 2 2

2

3 3 2

1) 5 ; 2) 1 ; 3) 0; 4) 0

5) 1 6; 6) 2 ; 7) ' 4 ; 8) 2 0

1 1 29) ; 10) ; 11) ; 12)1

13) ; 14) ; 1

x

x

x y x y x y

dy dysen x x dx e dy dx x dydx dx

dy dy dyx x e x xy y xydx dx dx

dy y dy y dx x y dx ydy x dx x dy x dy ysenxdy dye e y e edx dx

+ − − −

= = + + = − =

+ = + = = + =

+ += = = =

+

= = ⋅ ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

2 2

2 2 2 2 2

22 2

2

5) 4 2 0

16) 1 ; 17)2 1

1 2 318) 1 ; 19) ln ; 20)4 5

21) ; 22) 70 23)

24

y yx dy x xy dx

x y x y dy y dx y x dy xdx

dx y dy yx y dy y dx y xdy x dx x

ds dQ dPkS k Q p pdr dt dt

+ − + =

+ + + = + =

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= = − = −

( )( ) ( )

1 2

3 2

2 3

) ; 25)sec csc 0

26) 3 2 cos 3 0; 27) 2 cos 0;

28)sec cot ; 29) 1 1 0

t

y y

y y x x

dN N Nte x dy y dxdtsen x dx y x dy e sen x dx x e y dy

x dy x y dx e e dx e e dy

+

− −

+ = + =

+ = + − =

= + + + =

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( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 1 2 22 2 2

2

dy30) 1 1 ; 31) 1

3 3 2 232) ; 33) 2 4 8 3 3

34) cos 2 cos ; 35) sec

36) x 1

y dyx y y yx yx dx dxdy xy x y dy xy y xdx xy x y dx xy y xdy dysen x y y y sen x y sen x ydx dx

−= + + − = +

+ − − + − −= =

− + − − + −

= − + − = +

− ( ) ( )( ) ( )

1 2 1 22 2 2

2

; 37) 4 4

38) 39) x x

y dx dy y x dy y dx

dy dye e y x x y ydx dx

−

= − = +

+ = + = +

DÁMASO ROJAS

JULIO 2011

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