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Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogeneas Juan Manuel Rodríguez Prieto a d 2 y dx 2 + b dy dx + cy = F ( x ) Ya sabemos Vamos a aprenderlo hoy
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Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogeneas
JuanManuelRodríguezPrieto
a d2ydx2
+ b dydx
+ cy = F(x)
Yasabemos Vamosaaprenderlohoy
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 1
d 2ydx2
+ 5 dydx
+ 6y = 1
d 2ydx2
+ 5 dydx
+ 6y = 0
Consideremoslaecuaciónhomogénea
Elpolinomiocaracterís@codelaecuaciónhomogéneaes:
r2 + 5r + 6 = 0
Lasolucióndelpolinomiocaracterís@coes
r1,2 =−5 ± 52 − 4 *6
2= −3,−2
Lasolucióndelaecuaciónhomogéneapuedeserescritacomo
yh (x) = C1e−3x +C2e
−2x
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 1
d 2ydx2
+ 5 dydx
+ 6y = 1
Dedondeobtenemosque
yp (x) = A
dyp (x)dx
= 0 d 2yp (x)dx2
= 0
Siguiendolatabladeladiaposi@va2,proponemosunasoluciónpar@culardelaforma
6A = 1A = 1
6Finalmentelasolucióndelaecuacióndiferencialnohomogéneasepuedeexpresarcomo:
yh (x) = C1e−3x +C2e
−2x + 16
Elvalordelasconstantessedeterminaapar@rdelascondicionesiniciales
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 1
d 2ydx2
+ 5 dydx
+ 6y = 1
Engeogebra
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 2
d 2ydx2
+ 5 dydx
+ 6y = 3x + 4
Lasoluciónhomogéneaes:
yh (x) = C1e−3x +C2e
−2x
Lasoluciónpar@cularesdelaforma:
yp (x) = Ax + Bdyp (x)dx
= A d 2yp (x)dx2
= 0
Remplazandoenlaecuacióndiferencialinicialtenemos:
5A + 6(Ax + B) = 3x + 46Ax + 5A + 6B = 3x + 46A = 3
A = 12
5A + 6B = 414= B
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 2
d 2ydx2
+ 5 dydx
+ 6y = 3x + 4
Lasoluciónhomogéneaes:
yh (x) = C1e−3x +C2e
−2x
Lasoluciónpar@culares:
yp (x) =12x + 1
4
yh (x) = C1e−3x +C2e
−2x + 12x + 1
4
Finalmentelasolucióndelaecuacióndiferencialestadadapor:
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 2
d 2ydx2
+ 5 dydx
+ 6y = 3x + 4
Engeogebra
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 3
d 2ydx2
+ 5 dydx
+ 6y = 2sen(5x)
yp (x) = Asin(5x)+ Bcos(5x)
Proponemosunasoluciónpar@culardelaforma
dyp (x)dx
= 5Acos(5x)− 5Bsin(5x)
d 2yp (x)dx2
= −25Asin(5x)− 25Bcos(5x)−19A − 25B = 225A −19B = 0
−25Asin(5x)− 25Bcos(5x)+25Acos(5x)− 25Bsin(5x)+6Asin(5x)+ 6Bcos(5x)= 2sen(5x)
−25A − 25B + 6A = 225A − 25B + 6B = 0
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 3
d 2ydx2
+ 5 dydx
+ 6y = 2sen(5x)
yp (x) = − 25493
sin(5x)− 19493
cos(5x)
Proponemosunasoluciónpar@culardelaforma
y(x) = yh (x)+ yp (x) = C1e−3x +C2e
−2x − 25493
sin(5x)− 19493
cos(5x)
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 3
d 2ydx2
+ 5 dydx
+ 6y = 2sen(5x)
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 4
d 2xdt 2
+ 5 dxdt
+ 4x = 20cos(2t)+10sin(2t)
x(0) = 0.5x '(0) = −4
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 4
d 2xdt 2
+ 5 dxdt
+ 4x = 20cos(2t)+10sin(2t)x(0) = 0.5x '(0) = −4
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 4
d 2xdt 2
+ 5 dxdt
+ 4x = 20cos(2t)+10sin(2t)x(0) = 0.5x '(0) = −4
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 4 d 2xdt 2
+ 5 dxdt
+ 4x = 20cos(2t)+10sin(2t)x(0) = 0.5x '(0) = −4
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 5
LinductanciaRresistenciaCcapacitanciaEfuentedevoltaje
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 5
LinductanciaRresistenciaCcapacitanciaEfuentedevoltaje
0.5 d2qdt 2
+ 6 dqdt
+ 10.02
q = 48sin(10t)
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 5
0.5 d2qdt 2
+ 6 dqdt
+ 10.02
q = 48sin(10t)
