Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales-2

8/10/2019 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales-2

1/41

METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y PARCIALES

1. Resuelva en forma analtica el problema de valores iniciales siguientes en el intervalo de

x= 0 a 2: 2 1.1dy

yx ydx

, donde y(0)=1. Grafique la solucin.

2. Utilice el mtodo de Euler con h=0.5 y 0.25, para resolver el problema anterior. Grafique

los resultados en la misma grafica para comparar en forma visual la exactitud de los dostamaos de paso.

3. Emplee el mtodo de Heun con h=0.5 para resolver el problema 1. Itere el corrector hasta

que 1%s

4. Use el mtodo de RK clsico de cuarto orden con h=0.5 para resolver el problema 1

5. Repita los problemas 1 ,2,3, 4, pero para el problema de valores iniciales siguiente, en el

intervalo de x=0 a 1, 1 2 , 0 1dy

x y ydx

6. Utilice los mtodos de a) Euler, b) Heun (sin iteracin) para resolver:

2

2 0.5 0

d yt y

dt ,donde y(0)=2 y (0)=0

Resuelva de x= 0 a 4, con h= 0.1. Compare los mtodos por medio de graficar las

soluciones.

7. Resuelva el problema siguiente con el mtodo de RK de cuarto orden:

2

2 0.6 8 0

d y dyy

dxdx .Donde y(0) = 4 y y(0) = 0. Resuelva de x = 0 a 5 con h = 0.5.

Grafique sus resultados.

8. Resuelva la ecuacin que se presenta a continuacin, de t = 0 a 3, con h = 0.1, con los

mtodos de a) Heun (sin corrector), b) RK de cuarto orden: 3 , 0 1dy

ysen t ydt

9. Solucione numricamente el problema de t = 0 a 3, 2 0 1dy

y t ydt

Utilice el mtodo RK de cuarto orden, con un tamao de paso de 0.5

10. Use los mtodos de a) Euler y b) RK de cuarto orden para resolver:

2

2 4

3

xdy y edx

dz yz

dx

En el rango de x= 0 a 1, con un tamao de paso de 0,2, con y(0) = 2, y z(0) = 4

11. Investigue sobre el enfoque de RK Fehlbergpara llevar a cabo el mismo clculo del

ejemplo 25.12, de x= 0 a 1, con h= 1.

12. Haga un programa amistoso para el usuario para el mtodo de Heun con corrector

iterativo. Prubelo para el problema 8


2/41


13. Desarrolle un programa de computadora para el usuario para el mtodo clsico de RK

de cuarto orden. Pruebe el problema 9.

14. Realice un programa de computadora para el usuario para sistema de ecuaciones, con

el empleo del mtodo RK de cuarto orden. Use este programa en el problema 10.

15. El movimiento de un sistema acoplado masa resorte (vase la figura) esta descrito por

la ecuacin diferencial ordinaria que sigue:2

2 0

d x dxm c kx

dt dt

Donde x = desplazamiento desde la posicin de equilibrio (m) , t = tiempo (s), m = 20 kg

masa, y c = coeficiente de amortiguacin (N.s/m). El coeficiente de amortiguamiento c

adopta tres valores, 5 (subamortiguado), 40 (amortiguamiento critico), y 200

(sobreamortiguado). La constante del resorte es k = 20 N/m. La velocidad inicial es de

cero y el desplazamiento inicial es x = 1 m. Resuelva esta ecuacin con el uso de un

mtodo numrico durante el periodo de tiempo 0< t < 15 . Grafique el desplazamiento

versus el tiempo para cada uno de los tres valores del coeficiente de amortiguamiento

sobre la misma curva.

16. Si se drena agua desde un tanque cilndrico vertical por medio de abrir una vlvula en

la base, el lquido fluir rpido cuando el tanque este lleno y despacio conforme se

drene. Como se ve, la tasa a la que el nivel del agua disminuye es:

dyk y

dt , donde k es una constante que depende de la forma del agujero y del

rea de la seccin transversal del tanque y agujero drenaje. La profundidad del agua y

se mide en metros y el tiempo en minutos. Si k = 0.06, determine cuanto tiempo se

requiere para vaciar el tanque si el nivel del fluido se encuentra en un inicio a 3m.

Resuelva con la aplicacin de la ecuacin de Euler y escriba un programa de

computadora en Excel. Utilice un paso de 0.5 minutos.

17. El siguiente es una ecuacin diferencial de segundo orden con valor inicial:


3/41


2

2 5 7 0

d x dxx x sen t

dt dt

Donde:

0 1.5 0 6dx

y xdt

Observe que 1 . Descomponga la ecuacin en dos ecuaciones diferenciales de

primer orden. Despus de la descomposicin. Resuelva el sistema de t = 0 a 15, y

grafique sus resultados.

18. Si se supone que el arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, se puede

modelar la velocidad de un objeto que cae, como un paracaidista, por medio de la

ecuacin diferencial siguiente:

2dcdv g v

dt m

Donde v es la velocidad (m/s), t = tiempo (s), g es la aceleracin de la gravedad

(9.81m/s2), cd = coeficiente de arrastre de segundo orden (kg/m), y m= masa (kg).

Resuelva para la velocidad y distancia que recorre un objeto de 90 kg con coeficiente de

arrastre de 0.225 kg/m. Si la altura inicial es de 1 km, determine en que momento choca

con el suelo. Obtenga la solucin con a) el mtodo de Euler, y b) el mtodo de RK de

cuarto orden.

19. Un tanque esfrico tiene un orificio circular en el fondo a travs del cual fluye lquido

(vase la figura ). La tasa de flujo a travs del agujero se calcula como:

2salQ CA gH

Donde salQ = flujo de salida (m3/s), C = coeficiente obtenido en forma emprica, A = rea

del orificio (m2), g = constante gravitacional (=9,81 m/s2) y H = profundidad del lquido

dentro del tanque. Emplee alguno mtodos numricos a fin de determinar cunto tiempo

tomara que el agua fluyera por completo de un tanque de 3m de dimetro con altura

inicial de 2.75 m. Observe que el orificio tiene un dimetro de 3 cm y C= 0.55.


4/41


20. Para simular una poblacin se utiliza el modelo logstico:

max1 /gmdp

k p p pdt

Donde p= poblacin, kgm= tasa mxima de crecimiento en condiciones ilimitadas, y pmax

es la capacidad de carga. Simule la poblacin mundial entre 1950 y 2000, con el empleo

de algn mtodo numrico.

21. El balance de calor de estado estacionario de una barra se representa como:

2

2 0.15 0

d TT

dx

Investigue una solucin analtica para una barra de 10 m con T(0) = 240 y T(10) = 150

22. Use el enfoque de diferencias finitas con 1x para resolver el problema 21

23. Emplee el mtodo de diferencias finitas para resolver:

2

27 2 0d y dy y x

dx dx

Con las condiciones de frontera y(0) = 5 y y(20) = 8, 2x

24. Utilice el mtodo de diferencias finitas para solucionar

2

47

2 1 10 273 4 150 0

d Tx T T

dx

.. (*)

Obtenga una solucin para las condiciones de frontera T(0) = 200 y T(0.5)= 100

0.01x 25. Es frecuente que las ecuaciones diferenciales como la del ejercicio 24 se puedan

simplificar si se linealizan los trminos no lineales. Por ejemplo, para linealizar el

trmino a la cuarta potencia de la ecuacin (* , ejercicio 24), se puede usar una

expansin en series de Taylor de primer orden; as:

4 4 37 7 71 10 273 1 10 273 4 10 273b b bx T x T x T T T

Donde Tb es la temperatura base acerca de la que se linealiza el trmino. Sustituya

esta relacin en la ecuacin (* ejercicio 24) y luego resuelva la ecuacin lineal resultante

con el enfoque de diferencias finitas. Emplee 150 0.01bT y x para obtener

su solucin.

26. a) Use menores para expandir el determinante de:

2 8 10

8 4 5

10 5 7

b) Investigue y emplee el mtodo de potencias para determinar el valor propio ms altoy el vector propio correspondiente, para el inciso a)


5/41


27. Investigue y emplee el mtodo de potencias para determinar el valor propio ms bajo y

el vector propio correspondiente para el problema 26.

28. Desarrolle un programa de computadora amigable para el usuario para implantar el

enfoque de diferencias finitas para resolver una EDO lineal de segundo orden. Prubelo

con la duplicacin del ejercicio 24.

29. Desarrolle un programa amistoso para el usuario para encontrar el valor propio ms altocon el mtodo de la potencia. Prubelo con la duplicacin del ejercicio 26.

30. Desarrolle un programa amistoso para el usuario a fin de resolver el valor propio ms

pequeo con el mtodo de la potencia. Prubelo con la duplicacin del ejemplo 27

31. Emplee la herramienta Solver de Excel para solucionar directamente (es decir, sin

linealizacion) el problema 27.6 con el uso del enfoque de diferencias finitas. Emplee

0.1x para obtener su solucin.

32. Use MATLAB para integrar el par siguiente de EDO, de t= 0 a 100

1 21 1 2 1 2 2

0.35 1.6 0.04 0.15dy dyy y y y y ydt dt

Donde y1= 1 y y2= 0.05 en t= 0. Desarrolle una grfica de espacio estacionario (y 1

versus y2) de sus resultados.

33. La ecuacin diferencial que sigue se utiliza para analizar la vibracin de un

amortiguador de un auto:

26 7 9

21.2(10 ) 10 1.5(10 ) 0

d x dxx

dtdt

Transforme esta ecuacin en un par EDO. a) use Matlab para resolver las ecuaciones,

de t=0 a 0.4, para el caso en que x=0.5, y dx/dt = 0 en t = 0. b) Emplee Matlab para

determinar los valores y vectores propios para el sistema.

34. Use algn cdigo de Matlab para integrar:

a)

dxax bxy

dt

dycy dxy

dt

Donde a = 1.5, b = 0.7, c = 0.9 y d = 0.4. Emplee las condiciones iniciales de x = 2 y y =

1 e integre de t = 0 a 30

b)

dxx y

dt

dyrx y xz

dt

dzbz xy

dt

Donde 10 , b = 2.666667 y r = 28. Utilice las condiciones iniciales de x = y = z = 5 e

integre de t = 0 a 20.


6/41


35. Utilice diferencias finitas para resolver la ecuacin diferencial ordinaria con valores en la

frontera :2

2 6 2

d u duu

dx dx

Con condiciones de frontera u(0) = 10 y u(2) = 1. Grafique los resultados u versus x.

Utilice 0.1x

36. Resuelva para la EDO no dimensionada, por medio del mtodo de diferencias finitas,que describa la distribucin de la temperatura en una barra circular con fuente interna

de calor S.

2

2

10

d T dT S

dr r dr

En el rango 0< r < 1, con las condiciones de frontera

01 1 0rdT

T rdr

ParaS= 1, 10 y 20 k/m2. Grafique la temperatura versus el radio

37. Obtenga el conjunto de ecuaciones diferenciales para un sistema de cuatro resortes y

tres masas (figura inferior) que describa su movimiento en el tiempo. Escriba las tres

ecuaciones diferenciales en forma matricial.

/ 0vector deaceleracin matriz k m vector dedesplazamiento

Observe que cada ecuacin ha sido dividida entre la masa. Resuelva para los valores

propios y frecuencias naturales para los valores siguientes de masa y constantes de los

resortes: k1= k4= 15N/m, k2= k3= 35 N/m, y m1= m2= m3= 1.5 kg

38. Considere el sistema masaresorte que se ilustra en la figura de la parte inferior. Las

frecuencias para las vibraciones de la masa se determinan con la solucin para los

valores propios y con la aplicacin de 0Mx kx , que da como resultado:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0 0 2 0

0 0 2 0

0 0 2 0

m x k k k x

m x k k k x

m x k k k x

Al elegir0

mx x e como solucin se obtiene la matriz siguiente:

2

1 01

2

2 02

2

3 03

2 0

2 0

2 0

m

k m k k x

k k m k x e

k k k m x


7/41


39. Hombeck (1975) propuso la siguiente EDO parsita no lineal:

21 15dy

y tdt

Si la condicin inicial es 1(0) 0.08y , obtenga una solucin de t=0 a t=5:

a) Analtica

b) Con RK-4 con tamao de paso constante de 0.03125

c) Investigue el uso de la funcin ODE45 de Matlab y aplquelo al problema

40. Un balance de masa para un producto qumico completamente mezclado en un reactor

se escribe as

2dcV F Qc kVcdt

Donde V = volumen (12m3), c = concentracin (g/m3), F = tasa de alimentacin (175

g/min), Q = tasa de flujo (1 m3/min), y k = tasa de reaccin de segundo orden (0.15

m3/g/min). Si c(0) = 0. Resuelva la EDO hasta que la concentracin alcance un nivel

estable. Use el mtodo de Euler (h = 0.5) y grafique sus resultados.Pregunta adicional: Si se ignora el hecho de que las concentraciones iniciales deben

ser positivas, encuentre un rango de condiciones iniciales de modo que se obtenga una

trayectoria muy diferente de la que se obtuvo con c(0) = 0. Relacione sus resultados con

las soluciones de estado estable.

41. S 0.121 ten bc c e ; calcule la concentracin en el flujo de salida de una sustancia

conservativa (no reactiva) para un reactor nico mezclado completamente, como

funcin del tiempo. Use el mtodo de Heun (sin iteracin) para efectuar el clculo.

Emplee valores de340 /bc mg m , Q = 6 m

3/min, V = 100 m3, y c0= 20 mg/m3. Haga el

clculo de t = 0 a 100 min con h = 2. Grafique sus resultados junto con la concentracin

del flujo de entrada versus tiempo

42. Se bombea agua de mar con una concentracin de 8000 g/m3 hacia un tanque bien

mezclado, a una tasa de 0.6 m3/h. Debido al diseo defectuoso, el agua se evapora del

tanque a una tasa de 0.025 m3/h. La solucin salina abandona el tanque a una tasa de

0.6 m3/h.

a) Si originalmente el tanque contiene 1 m3

de la solucin que entra, cunto tiempodespus de que se enciende la bomba de salida quedara seco el tanque?


8/41


b) Use mtodos numricos para determinar la concentracin de sal en el tanque como

funcin del tiempo.

43. Un cubo de hielo esfrico (una esfera de hielo) que mide 6 cm de dimetro es retirada

de un congelador a 0oC y colocada en una pantalla de malla a temperatura ambiente To

= 20oC. Cul ser el dimetro del cubo de hielo como funcin del tiempo fuera del

congelador (si se supone que toda el agua que se funde gotea de inmediato a travs dela pantalla)?. El coeficiente de transferencia de calor h para una esfera en un cuarto

tranquilo es alrededor de 3 W/(m2.K). El flujo calorfico de la esfera de hielo al aire est

dado por:

oq

Flujo h T TA

Donde q = calor y A = rea superficial de la esfera. Use un mtodo numrico para hacer

el clculo. Observe que el calor latente de la fusin es de 333 kJ/kg, y la densidad del

hielo es aproximadamente de 0.917 kg/m3

.44. Las ecuaciones siguientes definen la concentracin de tres reactivos:

10

10

10 2

aa c b

ba c b

ca c b c

dcc c c

dt

dcc c c

dt

dcc c c c

dt

Si las condiciones iniciales son de ca = 50, cb = 0 y cc = 40, encuentre las

concentraciones para los tiempos de 0 a 3 s.

45. El compuesto A se difunde a travs de un tubo de 4 cm de largo y reacciona conforme

se difunde. La ecuacin que gobierna la difusin con la reaccin es:

2

2 0

d AD kA

dx

En un extremo del tubo se encuentra una fuente grande de A con concentracin de 0.1

M. En el otro extremo del tubo esta un material que absorbe con rapidez cualquier A y

hace que la concentracin sea 0 M. Si D = 1.5x10 -6 cm2/s y k=5x10-6s-1, Cul es la

concentracin de A como funcin de distancia en el tubo?

46. En la investigacin de un homicidio o de una muerte accidental, con frecuencia es

importante estimar el tiempo que ha transcurrido desde la muerte. De observaciones

experimentales, se sabe que la temperatura superficial de un objeto cambia con una

tasa proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la del ambiente

circundante, o temperatura ambiente. Esto se conoce como ley de Newton del

enfriamiento. As, si T(t) es la temperatura del objeto al tiempo t, y Taes la temperatura

ambiente constante:


9/41


10/41


49. El sistema siguiente es un ejemplo clsico de EDO rgidas que ocurre en la solucin de

una reaccin qumica cintica:

11 1 3

22 3

31 1 3 2 3

0.013 1000

2500

0.013 1000 2500

dcc c c

dt

dcc c

dt

dcc c c c c

dt

Resuelva las ecuaciones de t = 0 a 50, con condiciones iniciales c 1(0) = c2(0) = 1, y c3(0)

= 0. Si usted tiene acceso al software de MATLAB, INVESTIGUE sobre el uso tanto la

funcin estndar (por ejemplo, ode 45) como la rgida (por ejemplo, ode 23s) para

obtener sus soluciones.

50. Los modelos depredador presa se desarrollaron de manera independiente en la primera

parte del siglo XX, gracias al trabajo del matemtico Vito Volterra y del bilogo

norteamericano Alfred Lotka. El ejemplo ms simple es el siguiente sistema EDO:

dxax bxy

dt

dycy dxy

dt

Donde x,y =numero de presas y depredadores, respectivamente, a=razn de

crecimiento de la presa, c=razn de muerte del depredador, b y d= razn que

caracteriza el efecto de la interaccin depredador presa sobre la muerte de la presa y el

crecimiento del depredador , respectivamente. Los trminos que se multiplican (es decir,

los que involucran xy) hacen que las ecuaciones sean no lineales.

Resolver el sistema de Lotka-Volterra pero utilice el mtodo de a) Euler , b) Heun (sin

iterar el corrector), c) RK de cuarto orden, y d) la funcin ode 45 de MATLAB. En todos

los casos use variables de precisin sencilla, tamao de paso de 0.1, y simule de t = 0 a

20. Elabore graficas de estado-espacio para todos los casos.(a=1.2, b=0.6, c=0.8,

d=0.3) , condiciones iniciales x=2, y=1 en t=0

51. Un modelo sencillo basado en las dinmicas del fluido atmosfrico son las ecuaciones

de Lorenz:

dxx y

dt

dyrx y xz

dt

dzbz xy

dt

Lorenz desarroll estas ecuaciones para relacionar la intensidad del movimiento de

fluido atmosfrico, x, con las variaciones de temperatura, y z en las direcciones


11/41


horizontal y vertical, respectivamente. Analizar el sistema con 10, 2.6667, 28b r .

Emplee como condiciones iniciales 5x y z , en t=0

Resuelva las ecuaciones de Lorenz usando el mtodo de a) Euler, b) Heun (sin iterar el

corrector), c) RK de cuarto orden, y d) la funcin ode 45 de MATLAB. En todos los

casos emplee variables de precisin sencilla y un tamao de paso de 0.1 y simule de t =

0 a 20. Para todos los casos desarrolle graficas de estado espacio.

52. La ecuacin siguiente se utiliza para modelar la deflexin de mstil de un bote sujeto a

la fuerza del viento : 2

2

2 2

d y fL z

dz EI

Donde f = fuerza del viento, E = mdulo de elasticidad, L = longitud del mstil, e I =

momento de inercia. Calcule la deflexin si y = 0 y dy/dz = 0 en z = 0. Para su clculo

utilice valores de parmetro de f = 60, L = 30, E = 1.25 x 10 8, e I = 0.05.

53. Efecte el mismo calculo que en el problema 52, pero en vez de usar una fuerza del

viento constante, emplee una fuerza que vari con la altura de acuerdo con la ecuacin

2 /30200

5

zzf z ez

54. Un ingeniero ambiental est interesado en estimar la mezcla que ocurre entre un lago

estratificado y una baha adyacente (vase la figura inferior). Un trazador conservativo

se mezcla instantneamente con el agua de la baha y despus se monitorea la

concentracin del trazador durante el periodo que se muestra a continuacin en los tres

segmentos. Los valores son:

t 0 2 4 6 8 12 16 20

c1 0 15 11 7 6 3 2 1

c2 0 3 5 7 7 6 4 2

c3 100 48 26 16 10 4 3 2

Con el empleo de balances de masa, el sistema puede modelarse con las EDO

simultneas siguientes:

11 1 12 2 1 3 3 1

22 2 1 2

33 3 1 3

i

i

i

dcV Qc E c c E c cdt

dcV E c c

dt

dcV E c c

dt

Donde V1= volumen del segmento i, Q = flujo y Eij= la tasa de mezcla difusiva entre los

segmentos i y j. utilice los datos y las ecuaciones diferenciales para estimar las E si V1=

1 x 107, V2= 8 x 106, V3= 5 x 10

6 y Q = 4 x 106. Para su anlisis, emplee el mtodo de

Euler con tamao de paso de 0.1.


12/41


55. Las dinmicas del crecimiento de la poblacin son importantes en varios estudios de

planeacin tales como el transporte y la ingeniera de los recursos hidrulicos. Uno de

los modelos ms simples de dicho crecimiento incorpora la suposicin de que la tasa de

cambio de la poblacin p es proporcional a la que existe en cualquier momento r.

dpGp

dt

.(55.1)

Donde G = tasa de crecimiento (anual). Este modelo tiene sentido intuitivo porque entre

mayor sea la poblacin ms grande ser el nmero de padres potenciales. Al tiempo t =

0, una isla tiene una poblacin de 6000 personas. Si G = 0.075 por ao, emplee el

mtodo de Heun (sin iteracin) para predecir la poblacin en t = 20 aos, con el uso de

un tamao de paso de 0.5 aos. Grafique p versus t, en papel estndar y

semilogartmico. Determine la pendiente de la lnea sobre la grfica semilogartmica.

Analice sus resultados.

56. Aunque el modelo del problema anterior funciona en forma adecuada cuando elcrecimiento de la poblacin es ilimitado, falla ante la existencia de factores tales como

falta de comida, contaminacin y falta de espacio, los cuales inhiben el crecimiento. En

tales casos, la tasa de crecimiento se considera que es inversamente proporcional a la

poblacin. Un modelo de esta relacin es:

maxG G p p .(56.1)

Donde G = tasa de crecimiento dependiente de la poblacin (por persona-ao) y pmax=

poblacin mxima sostenible. As cuando la poblacin es pequea (p


13/41


0.5 aos. Emplee valores de G = 10-5 por persona-ao y pmax = 20000 personas. Al

tiempo t = 0, la isla tiene una poblacin de 6000 personas. Grafique p versus t e

interprete la forma de la curva.

57. El parque nacional Isla Royal es un archipilago de 210 millas cuadradas compuesto de

una sola isla grande y muchas pequeas, en el lago Superior. Alrededor de 1900

llegaron alces y hacia 1930, su poblacin se acercaba a 3000, por lo que devastaban lavegetacin. En 1949, los lobos cruzaron un puente de hielo desde Ontario. Desde

finales de la dcada de 1950, se registran los nmeros de alces y lobos, como se

muestra a continuacin. (Un guion indica que no hay datos).

Ao Alces Lobos Ao Alces Lobos

1960 700 22 1972 836 23

1961 - 22 1973 802 24

1962 - 23 1974 815 30

1963 - 20 1975 778 41

1964 - 25 1976 641 43

1965 - 28 1977 507 33

1966 881 24 1978 543 40

1967 - 22 1979 675 42

1968 1000 22 1980 577 50

1969 1150 17 1981 570 30

1970 966 18 1982 590 13

1971 674 20 1983 811 23

a) Integre las ecuaciones de Lotka-Volterra de 1960 a 2020, determine los valores de

los coeficientes que arrojan un ajuste ptimo. Compare su simulacin con los datos que

usan un enfoque de series de tiempo y comente los resultados.

b) Grafique la simulacin de a) pero emplee un enfoque de estado-espacio.

c) Despus de 1993, suponga que los administradores de la vida silvestre atrapan un

lobo por ao y lo llevan fuera de la isla. Pronostique cmo evolucionara tanto la

poblacin de lobos como de alces hacia el ao 2020. Presente sus resultados tanto

como una serie de tiempo como una grfica de estado-espacio. Para este caso, as

como para el inciso d) use los coeficientes que siguen: a = 0.3, b = 0.01111, c = 0.2106,

d = 0.0002632.

58. Un cable cuelga de dos apoyos en A y B (vase la figura inferior). El cable sostiene una

carga distribuida cuya magnitud vara con x segn la ecuacin.

12

o

A

xw w sen

l


14/41


Donde wo= 1000 lbs/ft. La pendiente del cable (dy/dx) = 0 en x = 0, que es el punto ms

bajo del cable. Tambin es el punto donde la tensin del cable alcanza un mnimo de To.

La ecuacin diferencial que gobierna el cable es:

2

2 1

2

o

o A

wd y xsen

dx T l

Resuelva esta ecuacin con el uso de un mtodo numrico y grafique la forma del cable

(y versus x). Para la solucin numrica se desconoce el valor de T o, por lo que la

solucin debe utilizar una tcnica iterativa, similar al mtodo del disparo, para converger

en un valor correcto de hApara distintos valores de To

59. La ecuacin diferencial bsica de la curva elstica para una viga volada (vase la figura

en la parte inferior) est dada por:

2

2

d yEl P L x

dx

Donde E = mdulo de elasticidad e I = momento de inercia. Resuelva para la deflexin

de la viga con el empleo de un mtodo numrico. Se aplican los valores siguientes de

parmetro: E = 30000 ksi, I = 800 in4, P = 1 kip, L = 10ft. Compare sus resultados

numricos con la solucin analtica.

2 3

2 6

PLx Px

y EI EI

60. La ecuacin diferencial bsica de la curva elstica para una viga con carga uniforme

(vase la figura en parte inferior) est dada por:


15/41


16/41


62. Los ingenieros y cientficos utilizan modelos masa-resorte para entender la dinmica

de las estructuras sujetas a la influencia de disturbios, tales como terremotos. En la

figura de la parte inferior se ilustra una representacin como estas para un edificio de

tres plantas. En este caso, el anlisis se limita al movimiento horizontal de la

estructura. Los balances de fuerza que se desarrollan para este sistema son los

siguientes.

21 2 21 2

1 1

22 3 321 2 3

2 2 2

23 32 3

3 3

0

0

0

k k kw X X

m m

k k kkX w X Xm m m

k kX w X

m m

Determine los valores y vectores propios y represente en forma grfica los modos de

vibracin de la estructura por medio de dibujar las amplitudes versus la altura para

cada uno de los vectores propios. Normalice las amplitudes de modo que el

desplazamiento del tercer piso sea igual a uno.

.63. Son comunes los circuitos elctricos en los que la corriente varia con el tiempo, enlugar de permanecer constante. Cuando se cierra sbitamente el interruptor, se


17/41


establece una corriente transitoria en el lado derecho del circuito que se muestra en

la figura inferior.

Las ecuaciones que describen el comportamiento transitorio del circuito de la figura ,

se basa en las leyes Kirchohoff, que establecen que la suma algebraica de las cadas

de tensin alrededor de un ciclo cerrado es cero. Asi: ( ) 0di q

L Ri E t

dt c

,

(63.1)dondedi

Ldt

es la cada de voltaje a travs del inductor , L=inductancia,

R=resistencia, q= carga del capacitor, C=capacitancia, E(t)= fuente de voltaje

variable en el tiempo , ademsdq

idt

(63.2).

Las ecuaciones (63.1) y (63.2) son un sistema de ecuaciones diferenciales lineales

de primer orden que se pueden resolver analticamente, por ejemplo si

0( ) , 0E t E sen t R , la solucion exacta es:

0 0

2 22 2( )

( )

E Eq t sen pt sen t

p L pL p

Donde 1/p LC , los valores de q y dq/dt son cero para t=0. Use un

procedimiento numrico para resolver las ecuaciones (63.1) y (63.2) y compare los

resultados con la solucin analtica, suponga que L=1, E0=1, C=0.25 ,2 3.5

Resuelva el sistema anterior de t = 0 a 0.5, si q = 0.1 e i = -3.281515 en t = 0. Utilice

un valor de R = 50 y los mismos parmetros indicados.

64. Para un circuito sencillo RL, la ley de Kirchoff del voltaje requiere que (si se cumple la

ley de ohm).

0di

L Ridt

Donde i = corriente, L = inductancia y R = resistencia. Resuelva para i, si L = 1, R =

1.5 e i(0) = 0.5. Resuelva este problema en forma analtica y con algn mtodo

numrico. Presente sus resultados en forma grfica.

65. En contraste con el problema 64, las resistencias reales no siempre siguen la ley de

ohm. Por ejemplo, la cada del voltaje quiz sea no lineal y la dinmica del circuito

quede descrita por una relacin como la siguiente.

3

0di i i

L Rdt I I

Donde todos los dems parmetros se definen como el problema 64 e I es una

corriente conocida de referencia e igual a 1. Resuelva para i como funcin del tiempo

en las mismas condiciones que se especifican para el problema 64.


18/41


66. Los ingenieros mecnicos a menudo presentan problemas relacionados con el

movimiento peridico de los cuerpos libres. Para abordar tales problemas se requiere

conocer la posicin y velocidad de un cuerpo en funcin del tiempo. Tales funciones

son invariablemente la solucin de EDOs y se basan en el movimiento de Newton.

Considere el pndulo simple cuyo peso W est suspendido de un cable sin peso de

longitud l. Las nicas fuerzas que actan sobre esta partcula son su peso y latensin R en el cable. La posicin de la partcula en cualquier instante est

completamente especificada en trminos del ngulo y l . El diagrama del cuerpo

libre muestra las fuerzas que actan sobre la partcula y la aceleracin. Es

conveniente aplicar las leyes del movimiento de Newton en la direccin x, tangente

a la trayectoria de la partcula:

WF Wsen a

g

donde: g= constante gravitacional (32.2 ft/s2) y a=aceleracin en la direccin x . La

aceleracin angular de la particula ( ) es:a

l .

En coordenadas polares: 2 2/d dt :

2 2

2 2 0

W l W l d d gWsen sen

g g ldt dt

Esta ecuacin es no lineal de segundo orden. En general, es difcil o imposible

resolverla analticamente. Se tienen dos opciones para resolverla: reducirla a unaforma donde sea posible resolverla analticamente o aplicar una tcnica de

aproximacin numrica para resolverla directamente.

Solucin analtica: Usando expansin en serie de potencias para sen , se tiene:

3 5 7

...3! 5! 7!

sen

Para desplazamientos angulares pequeos sen cuando se expresa en

radianes , por tanto, para desplazamientos pequeos la ecuacin se convierte en:

2

2 0

d g

ldt

que es una ecuacin diferencial lineal de segundo orden. Esta aproximacin es muy

importante pues es fcil de resolver analticamente. La solucin analtica tiene la

forma:0( ) cos

gt t

l


19/41


donde0

es el desplazamiento en t=0, y se supone la velocidad ( d

vdt

) es cero

en t=0. Al tiempo requerido por el pndulo para un ciclo completo de oscilacin se le

llama periodo y esta dado por: 2 l

Tg

Solucin numrica: Las suposiciones hechas en la solucin analtica de la EDO, nos

llevan a concluir que no es una solucin exacta, para alcanzar la exactitud debemos

usar un mtodo numrico. Para resolverla se puede usar el mtodo de Euler o RK-4

previamente convirtiendo la ecuacin en un sistema EDO:

dv

dt

dv gsen

dt l

Resuelva el sistema EDO con0

24

l ft para un pndulo de 1 m de longitud y

luego compare con la solucion numrica del problema lineal con las mismas

condiciones iniciales usando el mtodo RK-4 y Euler, 0.2t

67. En la seccin 8.4 se presenta una ecuacin diferencial de segundo orden que se

utiliza para analizar las oscilaciones no forzadas de un amortiguador de auto. Dado

que m = 1.2 x 106 g, c = 1 x 10 7 g/s, y k = 1.25 x 109 g/s2, use algn mtodo

numrico para resolver cual es el caso en que x(0) = 0.4 y dx (0)/dt = 0.0. Resuelva

para ambos desplazamientos y la velocidad de t = 0 a 0.5 s

68. La tasa de enfriamiento de un cuerpo se expresa como :

adT

k T Tdt

Donde T = temperatura del cuerpo (oC), Ta= temperatura del medio circundante (oC)

y k = constante de proporcionalidad (min-1). As, esta ecuacin especifica que la tasa

de enfriamiento es proporcional a la diferencia de la temperatura del cuerpo y del

ambiente circundante. Si una bola de metal se calienta a 90 oC y se sumerge en

agua que se mantiene a un valor constante de Ta= 20oC, utilice un mtodo numrico

para calcular el tiempo que toma que la bola se enfri a 40 oC, si k = 0.25 min-1.

69. La tasa de flujo calorfico (conduccin) entre dos puntos de un cilindro calentado por

un extremo est dada por:

dQ dT A

dt dx

Donde = una constante, A = rea de la seccin transversal del cilindro, Q = flujo

calorfico, T = temperatura, t = tiempo, y x = distancia a partir del extremo calentado.

Debido a que la ecuacin involucra dos derivadas, la ecuacin se simplificara

haciendo que


20/41


100 20100

L x tdT

dx xt

Donde L es la longitud de la barra. Combine las dos ecuaciones y calcule el flujo de

calor de t = 0 a 25 s. La condicin inicial es Q(0) = 0 y los parmetros son 0.5

cal.cm/s, A = 12 cm2, L = 20 cm, y x = 2.5 cm. Grafique sus resultados.

70. La ecuacin diferencial ordinaria siguiente describe el movimiento de un sistemaamortiguado resortemasa (vase la figura en la parte inferior):

23

2 0

d x dx dxm a bx

dt dt dt

Donde x = desplazamiento a partir de la posicin de equilibrio, t = tiempo, m = 1 kg

masa, y a = 5N/(m/s)2. El trmino de amortiguamiento es no lineal y representa el

amortiguamiento del aire.

El resorte es un resorte cubico y tambin es no lineal con b = 5 N/m3. Las

condiciones iniciales son:

Velocidad inicial 0.5dx

dt m/s

Desplazamiento inicial 1x m

Resuelva esta ecuacin con algn mtodo para el periodo de tiempo o < t < 8 s.

Grafique el desplazamiento y la velocidad versus el tiempo, y grafique el retrato fase

plano (velocidad versus desplazamiento) para todos los casos siguientes.

a) Ecuacin lineal similar

2

2 2 5 0

d x dxm x

dt dt

b) La ecuacin no lineal con solo un trmino de resorte no lineal

23

2 2 0

d x dxbx

dt dt

c) La ecuacin no lineal con solo un trmino de amortiguamiento no lineal

2

2 5 0

d x dx dxm a x

dt dt dt

d) La ecuacin por completo no lineal en la que tanto el trmino de amortiguamiento

como el de resorte son no lineales.

23

2 0

d x dx dxm a bx

dt dt dt


21/41


71. Un sistema amortiguado y forzado resorte-masa (vase la figura en la parte inferior)

tiene la ecuacin diferencial ordinaria siguiente para su movimiento:

2

2 o

d x dx dxm a kx F sen t

dt dt dt

Donde x = desplazamiento a partir de la posicin de equilibrio, t = tiempo, m = 2 kg

masa, a = 5 N/(m/s)2 y k = 6 N/m. El trmino de amortiguamiento es no lineal y

representa el amortiguamiento del aire. La funcin de la fuerza F osen(wt) tiene

valores de Fo= 2.5 N y w = 0.5 rad/s. Las condiciones iniciales son

Velocidad inicial 0dx

dt m/s

Desplazamiento inicial 1x m

Resuelva esta ecuacin con el empleo de algn mtodo numrico durante el periodo

de tiempo 0 < t < 15 s. Grafique el desplazamiento y la velocidad versus el tiempo,y grafique la funcin de fuerza sobre la misma curva. Asimismo, desarrolle una

grfica separada de la velocidad versus el desplazamiento.

72. La distribucin de temperatura en una aleta de enfriamiento cnica y ahusada (vase

la figura en la parte inferior) esta descrita por la ecuacin diferencial siguiente, que a

sido no dimensionada.

2

2

20

d u dupu

dx x dx


22/41


Donde u = temperatura (0 < u < 1), x = distancia axial (0 < x < 1), y p es un parmetro

no dimensional que describe la transferencia de calor y la geometra.

2

41

2

hLp

k m

Donde h = coeficiente de transferencia de calor, k = conductividad trmica, L =

longitud o altura de cono, y m = pendiente de la pared del cono. La ecuacin tiene las

condiciones de frontera siguientes.

0 0 1 1u x u x

Resuelva esta ecuacin para la distribucin de temperatura con el empleo de

mtodos de diferencias finitas. Para las derivadas utilice diferencias finitas exactas

de segundo orden anlogas, escriba un programa de computadora para obtener la

solucin y grafique la temperatura versus la distancia axial para distintos valores de p

= 10, 20, 50 y 100.

73. Las dinmicas de un sistema forzado resorte masa amortiguador se representa

con la EDO de segundo orden siguiente:

2

1 3 32 cos

d x dxm c k x k x P wt

dt dt

Donde m = 1 kg, c = 0.4 N. s/m, P = 0.5 N, y w = 0.5/s. Utilice un mtodo numrico

para resolver cual es el desplazamiento (x) y la velocidad (v = dx/dt) como funcin del

tiempo del tiempo con condiciones iniciales x = v = 0. Exprese sus resultados en

forma grfica como graficas de series de tiempo (x y v versus t) y grafica de plano-

fase (v versus x). Haga simulaciones para un resorte a) lineal (k1 = 1; k3 = 0) y b) no

lineal (k1 = 1; k3 = 0.5).

74. La ecuacin diferencial para la velocidad de alguien que practica el salto de Bungee

es diferente segn si el saltador ha cado una distancia en la que la cuerda est


23/41


extendida por completo y comienza a encogerse. As, si la distancia recorrida es

menor que la longitud de la cuerda, el saltador solo est sujeto a las fuerzas

gravitacionales y de arrastre. Una vez que la cuerda comience a encogerse, tambin

deben incluirse las fuerzas del resorte y del amortiguamiento de la cuerda. Estas dos

condiciones se expresan con las ecuaciones siguientes:

2dcdv g sign v v x Ldt m

2dcdv k

g sign v v x L v x Ldt m m m

Donde v = velocidad (m/s), t = tiempo (s), g = constante gravitacional (= 9.81 m/s 2),

signo (x) = funcin que devuelve -1, 0 y 1, para x negativa, cero y positiva, cero y

positiva, respectivamente, cd =coeficiente de arrastre de segundo orden (kg/m), m =

masa (kg), k = constante de resorte de la cuerda (N/m), = coeficiente de

amortiguamiento de la cuerda (N.s/m), y L = longitud de la cuerda (m). Determine la

posicin y velocidad del saltador dadas por los parmetros siguientes: L = 30 m, m =

68.1 kg, cd= 0.25 kg/m, k = N/m, y = 8 kg/s. haga el clculo de t = 0 a 50 s y

suponga que las condiciones iniciales son x(0) = v(0) = 0

75. En los problemas 15, resuelva la ecuacin diferencial usando el mtodo de Heun.

a) Tome h = 0.1 y de 20 pasos con el programa 9.2. Luego tome h = 0.05 y de 40

pasos con el programa 9.2

b) Compare la solucin exacta y(2) con las dos aproximaciones obtenidas en el

apartado (a).

c) Se comporta el error global final de las aproximaciones obtenidas en el apartado

(a). como se espera cuando h se divide entre dos?

d) Dibuje las aproximaciones y la solucin exacta en una misma grfica.

1. 2 2 0 1, 2 2ty t y con y y t e t t

2. 34 1

3 3 0 1,3 3

ty y t con y y t e t

3. 2

/ 2 0 1, ty ty con y y t e

4. 2 2 21 1

2 0 ,10 10

t t ty e y con y y t e te

5. 2 2 2 0 1, 1/ 1y ty con y y t t

76. Consideremos un proyectil que dispara hacia arriba y luego cae siguiendo una

trayectoria rectilnea. Si la resistencia del aire es proporcional a la velocidad,

entonces el problema de valor inicial para la velocidad v(t) es:

0 10 0Kv v con v vM


24/41


Siendo vo la velocidad inicial, M la masa y K el coeficiente de resistencia del aire.

Supongamos que vo= 40 m/s y K/M = 0.1. Use el mtodo de Heun con h = 0.5 para

resolver el problema de valor inicial

10 0.1 0,4 0 40v v en con v

Dibuje su solucin y la solucin exacta /10140 100tv t e en una misma grfica.

(Observe que la velocidad lmite es -100 m/s)

77. En psicologa, la ley de estmulo-respuesta de Wever-Fechner establece que la tasa

de variacin dR/dE de la reaccin R ante un estmulo E es inversamente proporcional

al estmulo. Si llamamos valor umbral al mnimo nivel de estmulo So que es posible

detectar, entonces el problema de valor inicial que modela esta situacin es:

0ok

R con R SS

Supongamos que 0.1oS y que 0.1 0R . Use el mtodo de Heun con 0.1hpara resolver

1

0.1, 5.1 0.1 0.1R en con RS

78. y pruebe que cuando se utiliza el Investigue sobre el mtodo de Taylor de orden N

para resolver EDOs mtodo de Taylor de orden N con tamaos de paso h y h/2,

entonces el error global final se reduce, aproximadamente, en un factor de 2 N

79. Investigue sobre el mtodo de Taylor para EDOsy pruebe que el mtodo de Taylor

falla cuando queremos aproximar la solucin 3/ 2y t t del problema de valor inicial

1/3 , 1.5 0 0y f t y y con y . Justifique su respuesta. Cul es el problema?

80. a) Verifique que la solucin del problema de valor inicial 2 , 0 1y y y en el

intervalo 0,1 es 1/ 1y t t .

b) Verifique la solucin del problema de valor inicial 2 1 , 0 1y y y en el intervalo

0, / 4 es

tan / 4y t t

c) Use los resultados de los apartados (a) y (b) para deducir que la solucin del

problema de valor inicial 2 2 , 0 1y t y y tiene una asntota vertical entre

/ 4 1y (localizada cerca de 0.96981t )

81. Consideremos el problema de valor inicial 2 1 , 0 1y y y .

a) determine las expresiones de 2 3 4,y t y t e y t .

b) Evalu las derivadas en 0t y selas para calcular los cinco primeros trminos del

desarrollo de Maclaurin de tan t .


25/41


82. En los problemas 15, resuelva la ecuacin diferencial usando el mtodo de Taylor.

a) Tome h = 0.1 y de 20 pasos con el programa 9.3. Luego tome h = 0.05 y de 40

pasos con el programa 9.3

b) Compare la solucin exacta y(2) de las aproximaciones obtenidas en el item (a).

c) Se comporta el error global final de las aproximaciones obtenidas en el apartado

(a). Como se espera cuando h se divide entre dos?d) Dibuje las aproximaciones y la solucin exacta en una misma grfica.

1. 2 2 0 1, 2 2ty t y con y y t e t t

2. 34 1

3 3 0 1,3 3


3. 2 / 2 0 1, ty ty con y y t e

4. 2 2 21 1

2 0 ,

10 10

t t ty e y con y y t e te

5. 2 2 2 0 1, 1/ 1y ty con y y t t

83. En los ejercicios 1 a 5 resuelva la ecuacin diferencial usando el mtodo de Runge

Kutta de orden N=4.

a) Tome h = 2 y d dos pasos calculando los valores a mano. Luego, tome h = 0.1 y d

cuatro pasos calculando los valores a mano.

b) Compare la solucin exacta y(0.4) con las dos aproximaciones calculadas en el

apartado (a).

c) Se comporta el error global final de las aproximaciones obtenidas en el apartado a)

como se espera cuando h se divide entre dos?

1. 2 2 0 1, 2 2ty t y con y y t e t t

2. 34 1

3 3 0 1,3 3


3. 2 / 2 0 1, ty ty con y y t e

4. 2 2 21 1

2 0 ,10 10

t t t

y e y con y y t e te

5. 2 2 2 0 1, 1/ 1y ty con y y t t

84. Pruebe que cuando se usa el mtodo de Runge - Kutta de orden N = 4 para resolver el

problema de valor inicial y f t en ,a b con 0y a el resultado es:

1

1/ 2 1

0

4 ,6

M

k k k

k

hy b f t f t f t

85. Resuelva el sistema 2 3 , 2x x y y x y con la condicin inicial

0 2.7 0 2.8x e y en el intervalo 0 1.0t . La curva poligonal formada por


26/41


27/41


88. Resuelva el sistema 4 , x y x y x y con la condicin inicial 0 1 0 1x e y

en el intervalo 0 1.2t usando como tamao de paso 0.05h . La curva poligonal

formada por las coordenadas de la solucin numrica obtenida se muestra en la figura

y puede compararse con la solucin exacta

29 / 2 29 / 2 29 / 2 29 / 2

3 / 23 / 2

29 / 2 29 / 2 29 / 2 29 / 2

3 / 23 / 2

3 3

22 29

7 7

22 29

t t t t

tt

t t t t

tt

e e e e

x t ee

e e e ey t

ee

89. En los ejercicios siguientes:

a) Compruebe que la funcin x(t) es la solucin

b) Reformule la ecuacin diferencial de segundo orden como un sistema de dos

ecuaciones de primer orden

c) Use el mtodo de Euler con tamao de paso h = 0.1 para calcular a mano 1 2x y x

d) Use el mtodo de RungeKutta con tamao de paso h = 0.05 para calcular a mano

1x

1) 22 5 3 45 0 2 0 1tx t x t x t e con x y x

/ 2 3 24 7 9t t tx t e e e

2) 6 9 0 0 4 0 4x t x t x t con x y x

3 3

4 8t t

x t e te

3) 6cos 0 2 0 3x t x t t con x e x


28/41


2cos 3 3x t t sen t tsen t

90. Resuelva , 0 4 0 1 0,8x x xy y y xy con x e y en tomando h = 0.1.

Las trayectorias de este sistema son curvas cerradas y la trayectoria poligonal obtenida

con la solucin numrica es una de las curvas de la figura

91. Resuelva 2 3 3 2 2 , 2 2x x y xy y x y y con 0 0.8 0 0.6 0,4x e y en

tomando 0.1h . De acuerdo con la teora cualitativa, el origen se clasifica, para este

sistema, como un foco asintticamente estable. La trayectoria poligonal obtenida con la

solucin numrica es una de las curvas de la figura .

92. Resuelva2 2 , 2x y x y xy con 0 2.0 0 0.1 0.0,1.5x e y en tomando h =

0.05. De acuerdo con la teora cualitativa, el origen se clasifica, para este sistema, como

un punto de silla inestable. La trayectoria poligonal obtenida con la solucin numrica es

una de las curvas de la figura


29/41


93. Resuelva2 2 1 , x y y x y con 0 1.2 0 0.0 0,5x e y en tomando h =

0.1. De acuerdo con la teora cualitativa, el punto (1,1) se clasifica, para este sistema,

como un foco asintticamente estable. La trayectoria poligonal obtenida con la solucin

numrica es una de las curvas de la figura .

94. Resuelva3 2 2 3

2 , 2x x xy y x y y con 0 1.0 0 0.2 0,2x e y en tomando

h = 0.025. Este sistema tiene un punto crtico inestable en el origen. La trayectoria

poligonal obtenida con la solucin numrica es una de las curvas de la figura.

95. Resuelva2 2 , 2x x y y xy con 0 2.0 0 0.6 0.0,1.6x e y en tomando h =

0.02. Este sistema tiene un punto crtico inestable en el origen. La trayectoria poligonal

obtenida con la solucin numrica es una de las curvas de la figura .


30/41


31/41


0 1.0 0.0000 1.0000 1.0000

1 -0.9514 0.8450 0.8773 1.0629

2 0.8102 0.9135 0.5372 1.3653

3 -0.5902 0.1412 0.3042 1.8926

4 0.3128 -0.7540 0.1763 2.5589

5 -0.0050 -0.9589 0.1035 3.297899. Resuelva las siguientes ecuaciones para o < t < 5 utilizando el mtodo de Euler

modificado:

4 3 7 2 , 0 1y y z t y

7z =-2y+8z, z(0)=0

Utilice tanto h= 0.01 como h = 0.001

100. Un tanque cnico contiene agua hasta una altura de 0.5 m desde el fondo. El tanque

tiene un agujero de 0.02 m de radio en el fondo. El radio del tanque en y est dado por

r = 0.25y, donde r es el radio y y es la altura medida desde el fondo. La velocidad del

agua que sale por el agujero est dada por2v 2gy , donde g = 9.8 m/s2. Utilice el

mtodo de Euler hacia adelante (con h = 0.001s) para averiguar cuantos minutos

tardara el tanque en vaciarse.

101. Un circuito que se muestra en la figura inferior, tiene una autoinductancia de L = 100

mH, una resistencia R = 20 k y una fuente de voltaje de DC de 10 V. Si el

interruptor se cierra en t = 0, la corriente I(t) cambia segn:

dI t

L . (0) 0I t R E Idt

a) Determine la corriente I en t = 1, 2, 3, 4 y 5 ms por el mtodo de Euler hacia

adelante con h = 0.01 ms.

b) Evale el error comparando la solucin numrica con la solucin analtica dada por

I t / 1 exp / .E R Rt L

c) Investigue el efecto de h repitiendo los clculos anteriores con h = 0.1 ms

102. Un tubo en U de 0.05 m de radio est lleno inicialmente con agua, pero separado con

una particin de modo que el nivel del agua en la rama vertical izquierda esta 0.2 m

ms alto que el nivel de agua en la rama vertical derecha. En t = 0 la particin se


32/41


retira repentinamente. El nivel de agua en la rama vertical izquierda, yA, medido

desde el plano medio entre dos superficies, satisface

ALy 2 Agy

Donde L es la longitud total de agua en el tubo (se supone que es 1 m) y g = 9.8

m/s2. Ignore la friccin en el tubo y calcule el nivel del agua por el mtodo de Euler

hacia adelante para 0 < t < 10 s y encuentre en que momentos yAalcanza mnimos y

mximos. Utilice h = 0.1 s.

103. Repita el problema anterior suponiendo que hay friccin en el tubo, de modo que la

ecuacin del movimiento est dada por.

ALy 2 A Agy y

Donde = 0.8m/s . Utilice h = 0.001 s

104. La densidad numrica (nmero de tomos por cm3) del radioistopo yodo 135

satisface

i

dNi i

tN t

dt

Donde N(t) es la densidad numrica del yodo 135 yi es su constante de

desintegracin, igual a 0.1044 h-1. Si Ni(0) = 105tomos /cm3en t = 0, calcule Ni(t)

en t = 1 h por el mtodo de Euler modificado (Heun). Utilice h = 0.05 h.

105. El producto de la desintegracin del yodo-135 (considerado en el problema anterior)

es xenn-135, que tambin es radiactivo. La constante de desintegracin del Xenon-

135 es 1x 0.0753h . La densidad numrica del xenn satisface:

x

dNx x i i

tN t N t

dt

Donde Nxes la densidad numrica del xenn y N ies la densidad numrica del yodo

definida en el problema anterior. Suponiendo que Nx(0)=0, escriba un programa para

calcular Niy Nxcon base en el mtodo de Euler modificado (Heun). (Puesto que las

ecuaciones diferenciales son lineales, utilice soluciones de forma cerrada para cada

incremento de tiempo). Encuentre la solucin para 0 < t < 50 h y grafique. Utilice h =0.1 h

106. Investigue el mtodo de Runge Kutta de 2 orden, encuentre y(1) para la siguiente

ecuacin empleando el mtodo de RungeKutta de segundo orden con h = 0.5:

2v

y=- , 0 1t+y

y

107. Investigue el mtodo de Runge Kutta de 2 ordenCalcule y(2) para la siguiente

ecuacin utilizando el mtodo de Runge - Kutta de segundo orden con h = 1:

y +0.2y+0.003ysen t 0, 0 0, 0 1y y


33/41


108. Investigue el mtodo de Runge Kutta de 2 orden Encuentre el valor de y(1)

resolviendo: y - 0.05y +0.15y = 0, y 0 0 , considere h = 0.5

109. Resuelva la siguiente ecuacin diferencial 2

2y + y 0, 0 0, 0 1y y y

Por el mtodo de RungeKutta de segundo orden con h = 0.5 y evalu y(1) y y(1)

110. Un problema de valor inicial de una ecuacin diferencial ordinaria est dado por:

y = - y, y 0 0 0y

Utilice el mtodo de RungeKutta de cuarto orden con h = 0.2 para calcular y(0.4).

111. a) Un tanque de 50 gal lleno de agua contiene sal a una concentracin de 10 oz/gal.

Con objeto de reducir el contenido de sal, se agrega agua dulce a razn de 2 gal/min.

Si el tanque se mezcla bien y el agua sale del tanque con la misma velocidad de

flujo, el contenido de sal satisface:

1 1y 2 /50t y

Donde 1y t es la concentracin de sal en onz/gal y t es el tiempo en minutos.

Aplique el mtodo de Runge Kutta de cuarto orden con h=1 min para averiguar

cunto tardara la concentracin de sal en llegar a 1/10 de su valor inicial.

b) El agua que sale del tanque ingresa en otro con capacidad de 20 gal, en el cual

tambin se vierte agua dulce con una velocidad de 3 gal/min. Mezclndose bien. La

concentracin de sal en este tanque satisface:

2 2 1y 5/ 20 2 / 20 0 0t y t y

Donde y1(t) es la concentracin de sal en el tanque de 50 gal del inciso anterior.

Utilice el mtodo de RungeKutta de cuarto orden para averiguar en qu momento

la concentracin de sal en el tanque de 20 gal llega a su mximo. Suponga que el

agua del segundo tanque es dulce en t = 0

112. Calcule y(1) resolviendo la siguiente ecuacin por el mtodo de Runge Kutta de

cuarto orden con h = 1, 2y= - y / t+y , 0 1y

113. Encuentre la solucin de : 2y t 1/ 1 , 0 1y y

Para t = 1 y t = 2 empleando el mtodo de Runge Kutta de cuarto orden con h = 0.5

y h = 1

114. Se dispara una bala al aire con un ngulo de 45 grados respecto del suelo a

150 /u v m s , donde u y v son las velocidades horizontal y vertical,

respectivamente. Las ecuaciones del movimiento estn dadas por:

, 0 150 /

, 0 150 /

u cVu u m s

v g cVv v m s

(A)

Donde u y v son funciones del tiempo, u = u (t) y v = v (t), y


34/41


V2= u2 + v2 , c = 0.005 m-1 (coeficiente de arrastre) , g = 9.8 m/s2 (aceleracin

debida a la gravedad)

Las ecuaciones del movimiento pueden resolverse por uno de los mtodos de Runge

Kutta. La trayectoria de la bala puede calcularse integrando.

x u y y v

O bien:

0

0

t

t

x u t dt

y v t dt

(B)

A continuacin listamos un guion basado en el mtodo de Euler hacia adelante que

resuelve la ecuacin (A) y evala la ecuacin (B)

clear; clg

u=150; v=150; h=1; c=0.005; t=0;

ub=u; vb=v;

y=0; x=0; n=1;

u_rec(1)=u; v_rec(1)=v; t_rec(1)=t;

x_rec(1)=x; y_rec(1)=y;

while y>=0

vel1=sqrt(ub*ub+vb*vb);

k1=h*(-c*vel1*ub);

l1=h*(-9.8-c*vel1*vb);

u=ub+k1; v=vb+11;

x=x+h*(ub+u)/2; y=y+h*(vb+v)/2;

ub=u; vb=v;

n=n+1; t=t+1;

u_rec(n)=u; v_rec(n)=v; t_rec(n)=t;

x_rec(n)=x; y_rec(n)=y;

end

plot(x_rec, y_rec)

xlabel(x); ylabel(y)

a) Ejecute el guion y grafique la trayectoria de la bala. b) Reescriba el guion

utilizando el mtodo de Runge Kutta de cuarto orden en una forma vectorial.

Encuentre, con un error de menos del 0,1%, la distancia horizontal que alcanza la

bala.

115. Se muestra la solucin de 2y= 1 1 y por el mtodo de Runge Kutta de

segundo orden para dos valores de h distintos:

h=0.1 h=0.2

t Y y


35/41


0.0 1.0000000 1.0000000

0.1 0.9487188

0.2 0.8946720 0.8947514

a) Estime el error local de y(0.2) con h = 0.1.

b) Estime el valor ms exacto de y (0.2)

c) Si el error local debe satisfacer 0.00001hE , estime h.

116. Para la ecuacin dada por: 3 exp 1 , 0 1y y t y

Encuentre un incremento de tiempo ptimo para el mtodo de Runge Kutta de

cuarto orden que satisfaga 0.0001hE . (Ejecute el mtodo de Runge Kutta de

cuarto orden para un intervalo con un valor de h y vuelva a ejecutarlo para dos

intervalos con h/2)

117. La temperatura inicial de una pieza de metal es de 25oC. La pieza se calienta

internamente mediante una corriente elctrica a razn de Q = 3000 W. La ecuacin

para la temperatura es:

4 41

298 298 , 0 298cdT

Q A T h A T T K dt V c

Donde T esta en kelvin y

k=60 W/mk (conductividad elctrica)

= 5.67x10-8W/m2K4(Constante de Stefan-Boltzmann)

A = 0.25 m2(rea superficial)

118. Deduzca ecuaciones de diferencia para el siguiente problema de valor en la frontera:

0.22 ''( ) ( ) xy x y x e , con las condiciones de frontera:

(0) 0.1 , '(10) (10)y y y , suponga que la retcula tiene espacio unitario.

119. Deduzca ecuaciones de diferencia para i = 1 e i = 10 en el problema anterior,

suponiendo que las condiciones de frontera cambian a

1 1 10 0y y y y y

118. Deduzca ecuaciones de diferencia para:

' ' , 0p x x q x x S x x H

119. La ecuacin diferencial para un cable flexible de 50 m de longitud, fijo en los dos

extremos, est dada por

/ , 0 50 0y x w x T y y

Donde x esta em metros, y(x) es el desplazamiento del cable medido desde el nivel

de los extremos est dada por:

20 1 exp / 25 /w x x kg m


36/41


Determine la forma del cable. (Utilice 10 intervalos de retcula)

120. Considere una aleta de enfriamiento con rea de seccin transversal variable y

permetro variable. Suponiendo que la temperatura a travs de cualquier seccin

transversal perpendicular al eje es uniforme, la temperatura en la direccin axial es la

solucin de la ecuacin

' ' c ckA x T x P x h T x P x h T Donde k es la conductividad trmica, P(x) es el permetro, A(x) es el rea de seccin

transversal y T

es la temperatura del entorno. Las condiciones de frontera estn

dadas por : T(0)=100oC

ckT H h T H T

Donde H es la longitud de la aleta y hc es el coeficiente de transferencia de calor por

conveccin. Resuelve el problema anterior suponiendo las siguientes constantes:

230 /ch w m K

0.1 , 100 / , 20oH m k w mK T C

2( 0.005 0.05 0.25 )A x x m

/ 0.005 0.01xP A x m

(Utilice 10 intervalos de retcula).

121. Considere una celda unitaria cilndrica en un reactor nuclear de agua ligera que

consiste en una varilla de combustible y moderador, como se muestra en la figura .

El flujo trmico de neutrones en la celda satisface la ecuacin de difusin de

neutrones dada por

1

a

d dDr r r S r

r dr dr

Donde D es el coeficiente de difusin.a Es la seccin transversal de absorcin y

S es la fuente de neutrones. Las constantes para el UO2y el H2O se muestran en la

figura. Las condiciones de frontera son:

0 1 0

a) Utilice cinco puntos de retcula para todo el dominio con un intervalo constante de

0.25 cm y deduzca ecuaciones de diferencia por cada punto de retcula.

b) Resuelva las ecuaciones de diferencia deducidas en (a) por la solucin tridiagonal.


37/41


122. Se tiene un material en plancha con espesor de 0.2 cm. El lado izquierdo est

perfectamente aislado, pero la temperatura de la superficie derecha esta fija en 0oC.

La plancha tiene una fuente de calor distribuida. La ecuacin de temperatura est

dada por / .T x q x k Elabore un programa para calcular la distribucin de

temperatura empleando 10 intervalos de retcula. Suponiendo que la conductividad

trmica es k=30 W/m2K, ejecute el programa para las dos siguientes distribuciones

de la fuente de calor:

a) 3200 /q x kW m

b) 3100exp 10 /q x x kW m

Compare los resultados con las siguientes soluciones analticas:

a) 210 / 3 0.04T x x

b) 2 10

0.033 2 10

x

T x e x e

123. La ecuacin de difusin para una geometra cilndrica est dada por

1

p r r r q r r S rr

Considerando los tres puntos de retcula que se muestran en la figura 11.10,

podemos deducir ecuaciones de diferencia integrando la ecuacin desde el punto

medio entre i 1 e i hasta el punto medio entre i e i+1. Suponiendo que los

coeficientes son constantes, como se ilustra en la figura, y el espaciado de la retcula

no es uniforme, deduzca las ecuaciones de diferencia integrando el volumen entre a

y b.

123. La ecuacin para el desplazamiento de una membrana circular sometida a unapresin constante P (vase la figura) est dada por.

1

/ , 0.2 0.5y r y r P T m r mr

Donde r es la coordenada radial, y es el desplazamiento de la membrana (positivo

hacia abajo), T es la tensin (400kg/m) y la presin se da como P=800kg/m2. Las

condiciones de frontera son y(0.2) = y(0.5) = 0. Determine el desplazamiento de la

membrana, y (r).


38/41


124. El cuerpo esfrico de un material de radio 0.05 m se calienta con una fuente de calor

distribuida por

300exp 20 0.05S r r

Donde r es el radio en metros y las unidades de S son W/m3. La superficie de la

esfera est expuesta al aire. El calor escapa al aire circundante por conveccin con

el coeficiente de transferencia de calor 220 /ch W m K . En el estado estacionario, la

distribucin de la temperatura es la solucion de la ecuacin.

221 d d

r k T r s r r dr dr

Las condiciones de frontera son:

0 0

, 20

o

c

T

k h T T R T C

a) Escriba las ecuaciones de diferencia para la temperatura utilizando cuatro

intervalos de retcula equiespaciados.

b) Resuelva las ecuaciones de diferencia por la solucin tridiagonal.

125. Un extremo de una aleta de enfriamiento rectangular de longitud H=0.1 m est

conectada a una fuente de calor a 200 oC. La aleta transfiere calor tanto por radiacin

como por conveccin al entorno que est a 20 oC. Suponiendo que tanto la aleta

como el entorno son cuerpos negros, la temperatura de la aleta satisface la ecuacin

de difusin no lineal.

4 4 0c oAkT x Ph T x T P T x T

Donde

k=120W/mK (conductividad trmica)

A=1.5x10-4m2 (rea de seccin transversal de la aleta)

P=0.106 m (permetro de la aleta)

hc=100W/m2K (coeficiente de transferencia de calor por conveccin)

=5.67x10-8

W/m2

K4

(constante de Stefan-Boltzmann)

T

=293 K (temperatura del entorno)


39/41


Las condiciones de frontera estn dadas por

0 500 273

0

T K

T H

Si se supone que el extremo derecho de la aleta est perfectamente aislado.

a) Deduzca una ecuacin de diferencia para la ecuacin diferencial anterior

empleando 10 intervalos de retcula igualmente espaciados

b) Resuelva la ecuacin de diferencia mediante sustituciones sucesivas.

c) Repita (b) utilizando la iteracin de Newton.

126. En los ejercicios siguientes use el mtodo de diferencias finitas para calcular las tres

filas de la solucin aproximada de la ecuacin de la onda a mano o con calculadora.

a) ( , ) 4 ( , ), 0 1, 0 0.5tt xxU x t U x t x t con las condiciones de contorno:

(0, ) 0 , (1, ) 0 , 0 0.5

( ,0) ( ) ,0 1

( ,0) 0 ,0 1t

U t U t t

U x sen x x

u x x

tome h=0.2 , k=0.1 , r=1

b) ( , ) 4 ( , ), 0 1, 0 0.5tt xxU x t U x t x t

(0, ) 0 , (1, ) 0 , 0 0.5

5 3, 0

2 5( ,0)

15 15 3, 14 5

( ,0) 0 ,0 1t

U t U t t

xx

U xx

x

u x x

tome h=0.2 , k=0.1 , r=1

127. En los problemas siguientes use un programa numrico para resolver la ecuacin de

las ondas2( , ) ( , ), 0 , 0tt xxU x t c U x t x a t b , con las condiciones de contorno:

(0, ) 0 , ( , ) 0 , 0

( ,0) ( )

( ,0) ( ) ,0t

U t U a t t b

U x f x

u x g x x a

empleando los valores dados en cada caso

a) a=1, b=1, c=1, ( ) ( ) , ( ) 0f x sen x g x , tome h=0.1, k=0.1

b) a=1, b=1, c=1,2( ) , ( ) 0f x x x g x , tome h=0.1, k=0.1

c) a=1, b=1, c=1,2 , 0 0.5

( ) , ( ) 02 2 0.5 1

x xf x g x

x x

, tome h=0.1, k=0.1

d) a=1, b=1, c=2, ( ) ( ) , ( ) 0f x sen x g x , tome h=0.1, k=0.05


40/41


128. En los problemas siguientes use el mtodo de las diferencias progresivas para calcular

las tres primeras filas de la malla que se construye para la ecuacin del calor que se

da. Realice las operaciones a mano o calculadora.

a) ( , ) ( , ), 0 1, 0 1t xxU x t U x t x t , con la condicin inicial

( ,0) ( ) , 0 , 0 1U x sen x para t x , y las condiciones de contorno:

(0, ) 0 , 0 , 0 0.1

(1, ) 0 , 1 , 0 0.1

U t x t

U t x t

b) ( , ) ( , ), 0 1, 0 1t xxU x t U x t x t , con la condicin inicial

( ,0) 1 2 1 , 0 , 0 1U x x para t x y las condiciones de contorno:

(0, ) 0 , 0 , 0 0.1

(1, ) 0 , 1 , 0 0.1

U t x t

U t x t

130. Resuelva la ecuacin del calor2

( , ) ( , ), 0 1, 0 1t xxU x t c U x t x t con lacondicin inicial ( ,0) ( ) , 0 , 0 1U x f x para t x , con las condiciones de

contorno:

(0, ) 0 , 0 , 0 0.1

(1, ) 0 , 1 , 0 0.1

U t x t

U t x t

para los valores que se dan:

a) ( ) ( ) (2 ) , 0.1 , 0.01 1f x sen x sen x h k r

b) ( ) 3 3 1 3 2 , 0.1 , 0.01 1f x x x h k r

131. Determine el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incgnitas p1, p2,p3,p4que se

usa para calcular las aproximaciones a la funcin armnica ( , )U x y en el cuadrado

, :0 3, 0 3R x y x y , los valores en la frontera son:

( ,0) 10 , ( ,3) 90, 0 3

(0, ) 70 , (3, ) 0 , 0 3

U x U x x

U y U y y

resuelva el sistema de ecuaciones para hallar p1, p2,p3,p4

132. Determine el sistema de seis ecuaciones con seis incgnitas q1, q2,,q6 que se usa

para calcular las aproximaciones de la funcin armnica ( , )U x y , en el cuadrado:

, :0 3, 0 3R x y x y , los valores en la frontera son:

( ,3) 90 , ( ,0) 90, 0 3

(0, ) 70 , (3, ) 0 , 0 3

yU x U x x

U y U y y

Resuelva el sistema para hallar q1, q2,,q6

133. Use un programa para calcular aproximaciones a la funcin armnica ( , )U x y en el

cuadrado , :0 1.5, 0 1.5R x y x y . Tome h=0.5 y los valores en lafrontera:


41/41

4 4 2

4 4 2

( ,0) , ( ,1.5) 13.5 5.0625, 0 1.5

(0, ) , (1.5, ) 13.5 5.0625 , 0 1.5

U x x U x x x x

U y y U y y y y

Dibuje la solucin aproximada y comprela con la solucin exacta4 2 2 4( , ) 6U x y x x y y

134. Use una malla de orden 5x5 para determinar un sistema de nueve ecuaciones connueve incgnitas p1, p2,p3,,p9 para calcular aproximaciones de la funcin ( , )U x y

que es armnica en el cuadrado , :0 4, 0 4R x y x y y verifica lascondiciones de contorno:

( ,0) 10 , ( , 4) 120, 0 4

(0, ) 90 , (4, ) 40, 0 4

U x U x x

U y U y y

calcule p1, p2,p3,,p9

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales-2

Documents

Transcript of Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales-2