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Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias

Cristian j. P. Castillo U.

ÍNDICE GENERAL

PRESENTACIÓN 1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 4

1.1 Definición de ecuación diferencial 5

1.2 Clasificación de ecuaciones diferenciales 5

1.2.1 Clasificación según su tipo 6

1.2.2 Clasificación según su orden 6

1.2.3 Clasificación según su linealidad o no 7

1.3 Solución de una ecuación diferencial 8

1.4 Problema de valor inicial 11

1.5 Modelos matemáticos 13

ÍNDICE GENERAL

Cristian Castillo

CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 15

2.1 Ecuaciones diferenciales en variables separables 16

2.2 ecuaciones diferenciales homogéneas 21

2.2.1 Funciones homogéneas 21

2.2.2 Resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas 23

2.3 Ecuaciones diferenciales exactas 28

2.4 Factores integrantes 35

2.5 Ecuación diferencial lineal 42

2.6 Ecuación diferencial de Bernoulli 48

CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 53

3.1 Introducción a las ecuaciones diferenciales de orden superior 54

3.1.1 Principio de superposición 54

3.1.2 Dependencia e independencia lineal 54

3.1.3 Wronskiano 55

3.1.4 Ecuación diferencial homogénea 56

3.1.5 Ecuación diferencial no homogénea 57

3.2 Reducción de orden 58

3.3 Ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes 63

3.3.1 Ecuaciones de segundo orden 64

3.3.2 Ecuaciones de orden superior 69

3.4 Método de coeficientes indeterminados 75

3.4.1 Enfoque de superposición 76

3.4.2 Enfoque anulador 89

ÍNDICE GENERAL

Cristian Castillo

3.4.2.1 Operadores diferenciales 89

3.4.2.2 Coeficientes indeterminados 93

3.5 Método de variación de parámetros 100

3.5.1 Ecuaciones de segundo orden 101

3.5.2 Ecuaciones de orden superior 108

3.6 Ecuaciones de Cauchy-Euler 112

3.6.1 Ecuaciones homogéneas 113

3.6.2 Ecuaciones no homogéneas 120

CAPÍTULO 4. APLICACIONES CON ECUACIONES DIFERENCIALES 124

4.1 Trayectorias ortogonales 125

4.2 Crecimiento y decrecimiento exponencial 128

4.3 Ley de Newton del enfriamiento 134

4.4 Mezclas 137

4.5 Circuitos eléctricos en serie 140

4.5.1 Circuitos RL 140

4.5.2 Circuitos RC 143

4.6 Absorción de drogas en órganos o células 146

4.7 Crecimiento logístico 151

APÉNDICE I. Números complejos 155

APÉNDICE II. Tabla de derivadas 161

APÉNDICE III. Tabla de integrales 163

BIBLIOGRAFÍA 175

PRESENTACIÓN

En diferentes áreas de la ciencia, y sobre todo en la ingeniería, se desarrollan

modelos matemáticos para ayudar a comprender la fenomenología o el origen de

ciertos problemas físicos, biológicos, sociales, etc. Estos modelos, por lo general,

pueden ser expresados a partir de ecuaciones que contiene ciertas derivadas de una

función desconocida. A una ecuación de este tipo se le denomina ecuación

diferencial.

La historia de las ecuaciones diferenciales comenzó en el siglo XVI, donde los

matemáticos Newton, Leibniz y los hermanos Bernoulli resolvieron las primeras

PRESENTACIÓN

Cristian Castillo 2

ecuaciones diferenciales sencillas a partir de unos problemas de Mecánica y

Geometría. De hecho, según Nápoles y otros (2002), a finales del siglo XVII James y

Johan Bernoulli, introducen término como el de “Integrar” una ecuación diferencial,

así como la técnica de variables separables para resolver una ecuación diferencial.

Estos primeros descubrimientos abrieron al mundo un universo de ecuaciones

nuevas, así como también a una serie de procedimientos que nos permiten la

resolución de algunos tipos de ecuaciones diferenciales que se presentan en

problemas de modelado.

Actualmente, las ecuaciones diferenciales y los modelos matemáticos se han

convertido en un tema fundamental e indispensable para ser incluido en el pensum de

estudio de cualquier carrera de ingeniería a nivel mundial. Es por ello que la

asignatura Matemática IV (0082824 – 0322144) que cursan las carreras de ingeniería

y afines en la Universidad de Oriente, trata sobre los tipos de ecuaciones

diferenciales, las técnicas como resolverlas y modelos matemáticos que las incluyen.

Este módulo de Matemática IV (0082824 – 0322144) que se presenta, se

ajusta en su totalidad a las unidades 1 y 2 de su programa vigente, tanto en el orden

en que son presentados los objetivos como en la profundidad con que son tratados. En

él, se ha querido exponer todos los temas de este material en una forma muy clara y

sencilla, de manera que el lector pueda comprenderlos en forma inmediata. Además

no se ha hecho demasiado énfasis en las demostraciones de los teoremas, en lugar de

ello se ha preferido crear un material haciendo hincapié en la parte práctica, para lo

PRESENTACIÓN

Cristian Castillo 3

cual se han incluido una gran cantidad de ejercicios resueltos y además se han

propuesto una serie de ejercicios con respuestas al finalizar cada tema.

Por lo tanto este módulo se ha estructurado 4 capítulos, en los cuales se

estudiarán las ecuaciones diferenciales ordinarias incluyendo teoremas y técnicas para

la resolución de las mismas.

El capítulo 1, es una introducción al mundo de las ecuaciones diferenciales,

donde se darán definiciones, conceptos y teoremas sobre estas ecuaciones, además de

incluir los problemas de valor inicial e introducir la definición de los modelos

matemáticos y como formularlos.

En el capítulo 2, se desarrollan una serie de técnicas y procedimientos para

resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.

En el capítulo 3, se presentan primero unas definiciones necesarias para el

estudio de ecuaciones diferenciales de orden superior, para luego desarrollar técnicas

que permitan resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes ya

sean homogéneas o no y por último se presenta las ecuaciones diferenciales de

Cauchy-Euler y cómo resolverlas.

En el capítulo 4, se presentan una serie de problemas de aplicación que se

pueden resolver mediante modelos matemáticos que incluyan ecuaciones

diferenciales utilizando las técnicas que presentadas en los capítulos anteriores.

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Este capítulo es un preámbulo a todo el mundo de las ecuaciones diferenciales

ordinarias. Se desarrollaran conceptos básicos para la mejor comprensión de este tipo

de ecuaciones, así como también una breve introducción a como enunciar un modelo

matemático a partir de un problema de la vida real.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Cristian Castillo 5

1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL.

Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene derivadas de una

función desconocida con respecto a una o más variables independientes.

Por ejemplo la ecuación dx

kxdt

es una ecuación diferencial, que por cierto

representa la desintegración radioactiva de una sustancia a través del tiempo.

Así mismo, la ecuación 4

4

d yEI w x

dx , es una ecuación diferencial que

modela la desviación que experimenta una viga con respecto a su eje de simetría.

Por último, la ecuación 2 2 2

2 2 24 , ,

u u ux y z

x y z

, también es una

ecuación diferencial, llamada ecuación de Poisson, la cual satisface, por ejemplo, el

potencial del campo electrostático.

Como se ve, existen diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, por lo que se

hace necesario realizar una clasificación de ellas. A continuación se presentarán

diferentes formas de clasificar las ecuaciones diferenciales.

1.2 CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse según su tipo, orden o

linealidad.


Cristian Castillo 6

1.2.1 Clasificación según el tipo

Cuando una ecuación diferencial contiene una o más derivadas de una

función desconocida con respecto a una sola variable, es decir solo derivadas

ordinarias, entonces se está en presencia de una ecuación diferencial ordinaria, por

ejemplo:

cosdy

y y xy x yxdx

En cambio si la ecuación posee una o más derivadas de una función

desconocida con respecto a dos o más de una variables, entonces es una ecuación

diferencial en derivadas parciales, por ejemplo:

2 2

2 20

z z

x y

Cabe destacar que en este módulo está basado solo en el estudio de ecuaciones

diferenciales ordinarias.

1.2.2 Clasificación según su orden.

El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que

tiene la ecuación, por ejemplo:

22

2

dy d yx

dx dx , es de segundo orden


Cristian Castillo 7

0y y , es de tercer orden

4 3

3tan

dy d yx

dx dx

, es de tercer orden

De este último ejemplo, cabe destacar que es importante no confundir el orden

con el grado (potencia del término).

1.2.3 Clasificación según su linealidad o no.

Una ecuación diferencial es lineal, si se puede escribir de la forma:

1

1 2 1 0

n n

n na x y a x y a x y a x y a x y g x

Esto implica que debe cumplir con las siguientes condiciones:

a. La función desconocida y sus derivadas son a lo sumo de primer grado, es

decir, de potencia 1.

b. Los coeficientes de la función desconocida y sus derivadas dependen solo

de la variable independiente.

En caso de que no se cumpla alguna de estas condiciones, se dice que la

ecuación diferencial es no lineal. Por ejemplo:

2 1y xy x , es lineal

2 1y y y x , es no lineal, ya que el coeficiente de y depende de y


Cristian Castillo 8

4

4cos 0

d y dyx y

dx dx , es lineal

3

2

30

d y dyx y

dx dx , no es lineal, ya que el término y, no es de primer grado.

1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL.

Toda función que al sustituirla en la ecuación diferencial, cumple con la

igualdad, es considerada como una solución de ella. Por lo tanto, se puede decir que

2xy e es solución de ecuación 2 0y y , ya que, como 2xy e , entonces

22 xy e , por lo tanto al sustituir en la ecuación diferencial se tiene:

2 22 0 2 2 0 0 0x xy y e e

Por lo tanto podemos definir como solución de una ecuación diferencial a

toda función que satisface a la ecuación, es decir que al sustituirla la reduce a una

identidad.

Existen varias formas de clasificar las soluciones de las ecuaciones

diferenciales, una de ellas es en explícitas e implícitas.

Una solución explícita, es aquella que se puede escribir de la forma y f x

, es decir que la solución este expresada solo en función de la variable independiente

y constantes. Por ejemplo 2xy e es una solución explícita de la ecuación


Cristian Castillo 9

2 0y y . Un tipo solución explícita es la solución trivial o nula y es aquella que

tiene la forma 0y .

Ahora, una solución implícita, es la que tiene la forma ,f x y C , es decir,

toda solución que involucre tanto a la variable dependiente como a la independiente.

Por ejemplo 3 34 1y x , es una solución explícita la ecuación diferencial

3 21 0x dy x ydx .

Otra manera de clasificar las soluciones de las ecuaciones diferenciales es en

generales, particulares y singulares.

Una solución o relación que satisfaga a una ecuación diferencial y además

involucre en su estructura una o más constantes arbitrarias, se denomina solución

general. Cabe destacar, que una ecuación diferencial de orden n, tendrá una solución

general compuesta por n funciones multiplicadas por n constantes arbitrarias. Por

ejemplo 1 2cos siny x C x C x es solución general de la ecuación diferencial

0y y . Geométricamente, una solución general de la forma ,y C x ,

representa una familia de curva en el plano xy. Estas curvas se llaman curvas

integrales.

En la figura 1.1, se muestran las curvas integrales de la solución general

2y x C .


Cristian Castillo 10

Figura 1.1

Ahora bien, una solución particular, es la que no está en función de

constantes arbitrarias, y esto se logra particularizando las constantes de la solución

general, a partir de unas condiciones iniciales que presenta el problema. Por ejemplo

la función 2cos 3siny x x x , es una solución particular de 0y y . Más

adelante veremos que una solución particular es la que se obtiene de un problema de

valor inicial.

Por último una solución singular, es aquella que no se obtener a partir de la

solución general de la ecuación diferencial. Por ejemplo, la función 22y Cx C es

la solución general de la ecuación 2

2y Cy y , sin embargo la función

2 8 0x y también es solución de la ecuación diferencial ya que la satisface, por lo

tanto ésta es una solución singular, ya que es imposible obtenerla a partir de la

solución general.

x

y

-4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

-3

-2

-1

0

1

2

3



1.4 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL

Un problema de valor inicial es toda ecuación diferencial que se encuentra

acompañada por unas condiciones iniciales. Es importante destacar que en un

problema de valor inicial, el número de condiciones iniciales necesarias debe ser

igual al orden de la ecuación diferencial, es decir, una ecuación diferencial de tercer

orden necesita tres condiciones iniciales. En forma general, una ecuación diferencial

de orden n, debe estar sujeta a n condiciones iniciales, es decir:

1, , , , , 0n nF x y y y y y sujeta a

1

0 0 0 1 0 1, , ,n

ny x y y x y y x y

Cabe destacar, que la solución de un problema de valor inicial siempre genera

una solución del tipo particular.

Ahora bien, cuando se considera un problema de valor inicial, surgen las

siguientes preguntas:

¿El problema tiene solución?

De existir solución, ¿es ésta la única solución del problema?

La respuesta a estas interrogantes viene dada en el siguiente teorema.

Teorema de existencia y unicidad. Sea R una región rectangular en el plano xy,

definida por ,a x b c y d , que contiene al punto 0 0,x y en su interior.



,o ox y

x

y

c

d

a b

R

I

Si f y df

dy son continuas en R, entonces existe un intervalo abierto I, con centro 0x

contenido en ,a b y una única función y x , que satisface el problema de valor

inicial ,y f x y , sujeta a 0 0y x y ,

Para toda x de I. (ver figura 1.2)

Figura 1.2

A continuación se presentarán unos ejemplos para aclarar el teorema anterior.

Ejemplo1. Demuestre que el problema de valor inicial 3y x y sujeta a 1 2y ,

tiene solución única.

De acuerdo al teorema de existencia y unicidad, primero se comprobará que

cumple con la hipótesis. Como 3,f x y x y , y 23

dfy

dy , ambas son continuas

en todo rectángulo R del plano xy. Ahora la condición inicial 1 2y , implica que



0 1x , y además 0 2y . Es obvio que 1,2 está contenido en alguna región

rectangular R. Entonces, todas las hipótesis del teorema se cumplen, con lo cual se

puede concluir que existe una solución única.

Ejemplo 2. Verifique si la ecuaciónl 21y y sujeta a 1 1y , tiene solución

única.

Al igual que el problema anterior, primero se comprobará que cumple con la

hipótesis del teorema de existencia y unicidad. Entonces se tiene que

2, 1f x y y , y 21

df y

dy y

, sin embargo en 1,1

df

dy no es continua. Por

lo tanto el punto 1,1 no debe estar incluido en una región rectangular R, donde las

hipótesis que satisfaga el teorema. Con lo cual no se puede concluir del teorema de

existencia y unicidad que exista una solución única. Esto no significa que el problema

no tenga solución o que tenga varias soluciones. Cabe destacar que si un problema

de valor inicial no satisface las condiciones del teorema de existencia y unicidad,

entonces las curvas integrales se interceptan.

1.5 MODELOS MATEMÁTICOS.

Un modelo matemático, es una descripción matemática de un sistema o

fenómeno físico, sociológico, económico, entre otros, que ocurre en la vida real.



Para la formulación de un modelo matemático es necesario:

Identificar las variables que afectan al sistema, es decir, las que producen

cambios en éste. Mientras más variables tenga el modelo será más ajustado a

la realidad, sin embargo mucho más complejo para resolver.

Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que se trata

de describir. Las hipótesis del problema implican con frecuencia, la razón o

tasa de cambio de las variables involucradas. El enunciado del modelo

matemático de estas hipótesis, puede estar conformado por una o más

ecuaciones en donde intervienen derivadas, es decir, ecuaciones diferenciales.

Luego de formulado el modelo matemático, es necesario resolverlo, es decir

hallar una solución a la ecuación diferencial o al sistema de ecuaciones diferenciales,

lo cual no es nada fácil. Al determinar la solución se deberá comprobar que el

modelo sea razonable, lo que implica verificar si su solución es consistente con los

datos experimentales o con los hechos conocidos acerca del comportamiento del

sistema. Sin embargo, si las predicciones que se basan en la solución son deficientes,

se puede aumentar el nivel de resolución del modelo o elaborar hipótesis alternativas

sobre los mecanismos del cambio del sistema; entonces, se repiten los pasos del

proceso de modelado.

En el capítulo 4 se desarrollarán ejemplos de algunos modelos matemáticos

con ecuaciones diferenciales de primer orden y orden superior.

CAPÍTULO 2

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

En este capítulo por fin empezaremos a resolver ecuaciones diferenciales, sin

embargo por los momentos solo de primer orden. A pesar de que veremos muchas

técnicas, realmente son tres las fundamentales, variables separables, exactas y

lineales, el resto mediante una sustitución se transforman en alguna de estas tres.

CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN


2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES EN VARIABLES SEPARABLES

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se dice que es separable o

que es en variables separables si se puede escribir de la forma:

h y dy g x dx

Donde h y es una función continua que depende solamente de la variable x,

y g x es una función que depende solo de la variable y.

Los pasos necesarios para resolver ecuaciones de este tipo son:

Expresar la ecuación diferencial de la forma: h y dy g x dx

Integrar la ecuación diferencial para encontrar la solución general, es decir:

h y dy g x dx c

De ser posible, escribir la solución en forma explícita: ,y f x y c

Ejemplos 1. Resuelva y xy

Primero se escribe la ecuación en forma diferencial, sabiendo que dy

ydx

,

dy dyxy xdx

dx y

Integrando la ecuación se obtiene,



2

1ln2

xy C , con 0y

Donde 1C es una constante real, aplicando exponencial para escribir la

solución en su forma explícita, se tiene

21

1

2x C

y e

, y entonces se tiene que 2

1

1

2x

Cy e e

De la igualdad anterior, se verifica que y no se anula, y por lo tanto no

cambia de signo, con lo cual, se concluye que la solución general de la ecuación

diferencial viene dada por:

21

2x

y Ce

Donde C es una constante real que es igual a 1Ce .

Ejemplo 2. Resuelva 2

2

2

1

3 1

dy xx

dx y

Primero se reescribe la ecuación separando las variables con sus respectivos

diferenciales:

2

2

2

13 1

xy dy dx

x



Acomodando la ecuación para luego integrar ambos miembros:

2

2

13 1 1y dy dx

x

Con lo cual luego de integrar obtenemos:

3 1y y x x C

En este ejemplo se puede apreciar que a veces no es posible o práctico

expresar la solución en su forma explícita.

Ejemplo3. Resuelva 2 21 1x y x y

Primero se reescribe la ecuación en forma diferencial, sabiendo que dy

ydx

,

y separando las variables con sus respectivos diferenciales a cada miembro de

la ecuación.

2

2 2

21 1

1 1

dy dy xx x y dx

dx y x

Realizando división de polinomios en la función que depende de la variable x,

se tiene,

2

11

1 1

dydx

y x

Integrando la ecuación se obtiene la solución general, la cual viene dada por:

ln 1 arctany x x C



Ejemplo 4. Resuelva 3 21 0x dy x ydx con 1 2y

Primero se reescribe la ecuación separando las variables con sus respectivos

diferenciales:

2

31

dy xdx

y x

Con lo cual luego de integrar la ecuación, se obtiene la solución general

3 3 3 3

1

1ln ln 1 3ln ln 1 ln 1

3y x C y x C y C x

Luego como, si 1x entonces 2y , se tiene

3 32 1 1 4C C

Por lo tanto la solución particular de la ecuación diferencial es:

3 34 1y x

Ejercicios Propuestos.

1. 2 24 2 0y yx dy x xy dx

Rta. 2 22 4y C x

2. 2 sin 0y y x

Rta. 1

cosy

x C



3. cos 1 sin 0xydx e ydy con 04

y

Rta. 1 sec 2 2xe y

4. 23 tan 2 sec 0x xe ydx e ydy

Rta. 3

2 tanxe C y

5. sin lny x y y con 2

y e

Rta. ln csc coty x x

6. 21 cot 0dx x ydy

Rta. 2 1sin

1

xy C

x

7. 3 3

2 4 8

dy xy x y

dx xy x y

Rta.

53

4

y xyCe

x

8. 2x y y xy con 1 1y

Rta. 1

ln ln 1y xx

9. 2 2 22 0x y y dx x yx dy

Rta. 1 ln 2x x y y C

10. y K y a y b

Rta.

1K b a x

b ay a

Ce



2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS.

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se dice que es homogénea

si se puede escribir de la forma:

, , 0M x y dx N x y dy

Donde ,M x y y ,N x y son funciones homogéneas del mismo grado. Este

tipo de ecuación diferencial mediante un cambio de variable se transforma en una

ecuación en variables separables.

2.2.1 Funciones homogéneas.

Se dice que ,f x y es una función homogénea de grado n, si para toda t, se

cumple que:

, ,nf tx ty t f x y

Ejemplos 1. Verifique si las siguientes funciones son homogéneas:

a. 3 2 3( , ) 2 5 4f x y x xy y

En este caso se tiene que:

3 2 3

, 2 5 4f tx ty tx tx ty ty

Resolviendo las potencias, se obtiene:

3 3 3 2 3 3, 2 5 4f tx ty t x t xy t y



Factor común 3t

3 3 2 3, 2 5 4f tx ty t x xy y

Y por lo tanto:

3, ,f tx ty t f x y

Con lo cual se concluye que 3 2 3( , ) 2 5 4f x y x xy y es una función homogénea

de tercer grado.

b. 5 55( , )f x y x y

Aquí se tiene que,

5 5

5( , )f tx ty tx ty

Con lo cual se obtiene,

5 5 55( , )f tx ty t x y

Por propiedades de radicales, se tiene

5 5 5 55 5 5( , ) ( , )f tx ty t x y f tx ty t x y



Y por lo tanto,

, ,f tx ty t f x y

Lo cual demuestra que 5 55( , )f x y x y es una función homogénea de

grado 1.

2.2.2 Resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas

Los pasos necesarios para resolver una ecuación diferencial homogénea son:

Expresar la ecuación diferencial de la forma: , , 0M x y dx N x y dy

Verificar que ,M x y y ,N x y son funciones homogéneas del mismo

grado.

Transformar la ecuación diferencial homogénea en una de variables

separables, utilizando cualquiera de las siguientes sustituciones: y ux ó

x uy , con sus respectivos diferenciales.

Resolver la ecuación diferencial en variables separables, para luego regresar el

cambio de variable realizado.

Ejemplos 2. Resuelva 2 2 0xdy y x y dx

Al examinar ,M x y x y 2 2 , y yN xx y se verifica que las dos

funciones son homogéneas de grado 1.



Si se utiliza el cambio de variable y ux , entonces dy udx xdu , y

sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene:

22 0x xdu udx ux x ux dx

Resolviendo se tiene,

2 2 21 0x du uxdx uxdx x u dx

Simplificando y aplicando propiedades de radicales, se obtiene

2 2 21 0x du x u dx

Separando las variables con sus respectivos diferenciales,

21

du dx

xu

Con 1u

Luego de integrar ambos miembros de la igualdad, se obtendrá la solución

general,

arcsin lnu x C

Pero como y ux , implica que y

ux

, con lo cual se obtiene la solución

general a la ecuación diferencial, la cual viene dada por:

arcsin lny

x cx



Ejemplo 3. 2 22x xy dy y dx

La cual es una ecuación diferencial homogénea de grado 2. Por lo tanto se

utilizará el cambio de variable x uy , y además dx udy ydu . Sustituyendo en la

ecuación se obtiene:

2 22uy uy y dy y udy ydu

Resolviendo se tiene:

2 2 2 2 32 2u y dy uy dy y udy y du

Agrupando diferenciales y aplicando factor común en ambos miembros,

2 2 32 2y u u u dy y du

Separando las variables con sus respectivos diferenciales,

2

2dy du

y u u

Integrando ambos lados de la ecuación, se obtiene:

ln 2 2 1y ln u ln u C

Donde 2

2du

u u se resolvió utilizando la técnica de fracciones parciales.

Aplicando las propiedades de logaritmo en la solución obtenida, se tiene:

21

ln lnu

y Cu



Aplicando exponencial a la ecuación, se obtiene:

21u

y Cu

Luego como x uy , entonces x

uy

, con lo cual se tiene,

2

1x

yy C

x

y

Con lo cual luego de operaciones algebraicas se obtiene la solución general:

2x y

y Cx


1. cot 0y

y x dx xdyx

Rta. cosy

x Cx

2. 2x y xy dy ydx con 1 1y

Rta. 2ln 4

y xy

y

3. cos cos 0y y

x y dx x dyx x

Rta. ln siny

x Cx



4. 2 22 0x y dx xydy

Rta. 4 2 2x C x y

5. 0y y

x xx ye dx xe dy

con 1 0y

Rta. ln 1 lny x x

6. 2y

xxy y xe

Rta. 1

ln2

yC

xx e

7. 6 0xy y dx xdy con 1 4y

Rta. 1

9 6y xx

8. 0x y dx x y dy

Rta. 2 2ln arctany

x y cx

9. ln lnxy y y x

Rta. 1Cxy xe

10. 2 2

2

x yy

x

Rta. 1 2 3tan 3 ln

3

y xx C

x



2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS.

Una ecuación diferencial se dice que es exacta si se puede escribir de la

forma:


Y además cumple con:

, ,M x y N x y

y x

Si se tiene una función de dos variables de la forma ,z f x y , cuyas

derivadas parciales son continuas en una región rectangular R del plano xy, entonces

su diferencial total, se define como:

f f

df dx dyx y

Ahora bien si ( , )f x y C , donde C es una constante real, al aplicar el

diferencial total, se tiene:

0f f

dx dyx y

Pero como bien se sabe f

x

y

f

y

son funciones de dos variables, es decir,

funciones que dependen de x y y. Por lo tanto asumiendo que:



,f

M x yx

y ,f

N x yy

Se tiene que:


Luego:

2M f f

y y x y x

y

2N f f

x x y x y

Y como las derivadas cruzadas de una función de varias variables son siempre

iguales,

2 2f f

y x x y

Se concluye que:

, ,M x y N x y

y x

Los pasos necesarios para resolver una ecuación diferencial exacta son:

Luego de escribir la ecuación de la forma: , , 0M x y dx N x y dy se

verifica que cumpla con: , ,M x y N x y

y x

Se determina ,f x y , luego de integrar la relación

,

,f x y

M x yx

,



, ,f x y M x y dx g y

Donde g y es la constante de integración debido a que se está integrando con

respecto a la variable x.

Se deriva la ecuación (3) con respecto a la variable y, con lo cual se tiene:

,

,f x y

M x y dx g yy y

Como

,

,f x y

N x yy

, entonces sustituyendo en la ecuación anterior y

despejando g y , se tiene:

, ,g y N x y M x y dxy

Luego se integra con respecto a y. Es importante verificar que esta ecuación

debe ser una función que debe depender solo de la variable y (o constante),

entonces,

, ,g y N x y M x y dx dy Cy

Por último se sustituye g y en la solución ,f x y , con lo cual se obtendrá

la solución general de la ecuación diferencial, recordando que es del tipo

implícita, es decir, ,f x y C , por la solución es:



, , ,M x y dx N x y M x y dx dy Cy

En caso de que al iniciar este procedimiento, se halla decidido empezar por la

relación

,

,f x y

N x yy

, estos se deben seguir estos mismos pasos pero en forma

análoga, es decir, en vez de integrar con respecto a x se hace con respeto a y, en lugar

de derivar con respecto a y, se deriva con respecto a x, y así sucesivamente, hasta

llegar a la solución que debe tener la forma:

, , ,N x y dy M x y N x y dy dx Cx

Cabe destacar, que en cualquiera de los dos casos, no se debe memorizar estas

fórmulas, sino más bien seguir los pasos antes descritos.


2 22 4 03

xyx xy dx x dy

Como la ecuación tiene la forma 0Mdx Ndy , entonces implica que:

2, 2M x y yx xy y 3

2, 43

xN x y x

De aquí se verifica si cumple con la condición de exactitud, es decir,

M N

y x



2 2M

x xy

y 2 2

Nx x

x

Lo cual implica que la ecuación diferencial es exacta, ahora se debe decidir

con que ecuación comenzar, en este caso se hará con:

2 2f

yx xyx

La cual al integrarla con respecto a x, se obtiene:

3 21,

3f x y x y x y

Luego se deriva con respecto a la variable y.

32

,

3

f x y xx g y

y

Como f

Ny

, entonces se tiene:

3 3

2 243 3

x xx x g y

Se integra con respecto a y, para obtener g y

4 4g y g y y C

Con lo cual, por último se determina la solución de la ecuación diferencial la

cual viene dada por:



3 214

3x y x y y C

Ejemplo 2. Resuelva 2cos sin 2 0x x x y dx xydy con 2 1y

Se comprueba que la ecuación diferencial es exacta,

,2

M x yy

y

y

,2

N x yy

x

En este caso parece más sencillo comenzar con:

,2

f x yxy

y

La cual se integra con respecto a la variable y.

2,f x y xy g x

Se deriva con respecto a x,

2

,f x yy g x

x

Como ,f x y

Mx


2 2cos sinx x x y y g x

Se integra con respecto a x, para obtener g x

cos sin cosg x x x x g x x x C



Por lo tanto se determina la solución general de la ecuación diferencial, la cual

vienen dada por:

2 cosxy x x C

Luego como se tiene una condición inicial, tal que 2 1y , entonces:

2

2 1 2 cos2 4C C

Por último la solución particular de la ecuación diferencial es:

2 cos 4xy x x


1. tan sin sin cos cos 0x x y dx x ydy

Rta. cos sin ln cosx y x C

2. 2 0x y dx xdy

Rta. 31

3xy x C

3. 2 21 1x y y xy con 0 1y

Rta. 2 211

2x y x y

4. 2 3 4 3 4 5 0x y dx x y dy

Rta. 2 23 2 4 5x xy y x y C



5. 22 1 0xy x dy con 1 3y

Rta. 2 6 0x y y

6. 3 3 4 21 1

4 3 0x y dx x y dyx y

Rta. 4 3 ln

xx y C

y

7. 2 2 2 22 2 2 0x xx ye y xy y e con 0 1y

Rta. 2 2 2 1xx y y e

8. cos sin 0x y x dx xdy

Rta. 2 2 sinx y x C

9. 2 2 22 0x xy dx x y dy

Rta. 3 2 32 3x x y y C

10. cos 2 sinx ydy x y dx con 2 0y

Rta. 2 sin 4x x y

2.4 FACTORES INTEGRANTES

Si una ecuación diferencial de la forma , , 0M x y dx N x y dy no es

exacta, puede existir una función ,x y , tal que al multiplicarla por la ecuación



diferencial, esta se transforme en exacta. Esta función ,x y se denomina factor

integrante de la ecuación diferencial.

Es importante acotar que la solución de la ecuación diferencial luego de

aplicar el factor integrante es la misma de la ecuación diferencial inicial, así como

también, recalcar que no es fácil encontrar un factor integrante para una ecuación

diferencial no exacta. Sin embargo, si ,M x y y ,N x y cumplen ciertas

condiciones necesarias, es posible hallar de una manera sencilla el factor integrante.

A continuación se presentarán 2 casos de factores integrantes, los cuales son

los más comunes, y pueden ser utilizados de acuerdo a las características de la

ecuación diferencial.

CASO I. Factor Integrante dependiente de x.

Ocurre si al resolver

M N

y x

N

Se obtiene una función que depende solo de la variable x. En este caso el

factor integrante x viene dado por:

h x dx

x e Donde x



Ejemplo 1. Resuelva la ecuación diferencial 2

12 1 0

ydx lnxy dy

x x

Esta ecuación diferencial no es exacta, ya que:

2 2

1 1

dM dNlnxy

dy x dx x

Por lo tanto, se verifica si es posible conseguir un factor integrante que

transforme la ecuación diferencial en exacta, por lo tanto se comprueba si

M N

y x

N

es una función que depende solo de la variable x,

2 22

1 11 1

11

1

11

M N M N M N

y x y x y xx x

N N

lnxy lnxyx

lnxy lnxyx x

N x

Con lo cual es posible determinar el factor integrante, que viene dado por:

1

lndx

xxx e x e x x

Entonces al multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante se

tiene:

2

12 1 0

ydx lnxy dy x

x x



En consecuencia,

2 1 0y

x dx lnxy dyx

Ahora esta ecuación diferencial es exacta, ya que

1M

y x

y

1N

x x

Por lo tanto ahora es necesario resolver la ecuación diferencial exacta, para

ello comenzamos con:

2f y

xx x

Entonces se tiene:

2, lnf x y y x x g y

Ahora derivando con respecto a y,

,ln

f x yx g y

y

Como ,

,f x y

N x yy


1 ln lnxy x g y

Se integra con respecto a y, con lo cual se obtiene g y ,

1 ln lng y y g y y C



Con lo cual se determina la solución general de la ecuación diferencial,

2ln lny x x y C

CASO II. Factor Integrante dependiente de y.

Ocurre si al resolver

N M

x y

M

Se obtiene una función que depende solo de la variable y. En este caso el

factor integrante y viene dado por:

h y dy

y e Donde

N M

x yh y

M

Ejemplo 2. Resuelva la ecuación diferencial 2 22 2 3 4 0xy y dx x y x dy

Esta ecuación diferencial no es exacta, ya que:

4 2 6 4dM dN

xy xydy dx



Por lo tanto se verifica que

N M

x y

M

es una función que dependa solo de la

variable y,

2

6 4 4 2 2 2 1

2 2 2 2

N M N M N M

xy xy xyx y x y x y

M xy y M y xy M y

Con lo cual se determina el factor integrante,

1

lndy

yyy e y e x y

Entonces al multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante se

tiene:

2 22 2 3 4 0xy y dx x y x dy y

En consecuencia,

3 2 2 22 2 3 4 0xy y dx x y xy dy

La cual ahora esta ecuación diferencial es exacta, ya que:

2 26 4 6 4dM dN

xy y xy ydy dx



La cual tiene como solución general:

2 3 22x y y x C

Problemas propuestos.

1. 2 2 0x y x dx xydy

Rta. 4 3 2 23 4 6x x x y C

2. 4 3 2 4 2 22 2 3 0y yxy e xy y dx x y e x y x dy

Rta. 2

2

3

y x xx e C

y y

3. 3 3 0ydx x y dy

Rta.

43 3

4

yxy y C

4. 2 2 0y x dx ydy

Rta. 2 1 xy x Ce

5. 4 2 32 3 6 0xy y dx x xy dy

Rta. 2 3 6 0x y xy

6. 2 0y xy dx xdy

Rta. 21

2

xx C

y



2.5 ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL

Una ecuación diferencial lineal de primer orden es aquella que tiene la forma:

1 0a x y a x y Q x (1)

Sin embargo al dividir (1) por 1a x , se obtiene una forma más útil de escribir

la ecuación diferencial lineal, llamada forma estándar, y viene dada por:

y P x y Q x (2)

Donde P y Q son funciones continuas definidas en un intervalo.

Los pasos necesarios para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer

orden son:

Luego que la ecuación diferencial este escrita como (2), multiplicarla por el

factor integrante P x dx

x e , con lo cual se obtiene:

P x dx P x dx P x dx

y e P x e y Q x e

La cual es equivalente a la ecuación:

P x dx

P x dxd e y

Q x edx

Con lo cual al integrar se obtiene la solución general de la ecuación

diferencial,



P x dx P x dx

ye Q x e dx C

Es importante no tratar de memorizar la solución general, sino más bien seguir

paso a paso el procedimiento antes descrito.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación 32 xy y e

La cual es una ecuación lineal con 2P x y 3xQ x e

De manera que:

2 2 2 2dx x C C x xx e x e x e e x Ke

Ahora se tiene una familia de factores integrantes, de la cual se escogerá a

2xx e , y entonces multiplicamos a ambos miembros la ecuación diferencial,

2 2 3 22x x x xy e ye e e

En consecuencia,

2 5x xdye e

dx

Luego integrando la ecuación se tiene:

2 51

5

x xye e C



Por último la solución general es:

3 21

5

x xy e Ce

Ejemplo 2. Resolver la ecuación diferencial cosy

y xx

Esta ecuación diferencial es lineal con 1

P xx

y cosQ x x

De manera que el factor integrante es:

ln

dx

xxx e x e x x

Ahora se multiplica el factor integrante por la ecuación diferencial, de modo

que:

cosy x y x x

En consecuencia se obtiene:

cosd

yx x xdx

Luego de integrar con respecto a x, se obtiene:

sin cosyx x x x C

Con lo cual la solución general de la ecuación diferencial es:

1sin cosy x x C x



Cabe destacar que es muchos casos es conveniente acomodar la ecuación

diferencial de tal manera que x f y para que esta sea lineal, es decir, de la forma:

x P y x Q y

La cual tendrá como factor integrante P y dy

y e , y se resolverá igual que

los casos anteriores pero de forma análoga, tal como lo ejemplifica el siguiente

ejercicio.

Ejemplo 3. Resolver la ecuación diferencial 22

dxy x y

dy con 1 5y

Primero debe multiplicarse toda la ecuación diferencial por y, para que tenga

la forma de una ecuación lineal,

12 2

dx xy x x y

dy y y

La cual es una ecuación diferencial lineal con 1

P yy

y 2Q y y

De manera que el factor integrante es:

ln 1dy

yyy e y e yy

Ahora se multiplica el factor integrante por la ecuación diferencial,



2

12

xx

y y

En consecuencia se obtiene:

2d x

dy y

Luego de integrar con respecto a y, se obtiene:

2x

y Cy

Con lo cual la solución general de la ecuación diferencial es:

22x y Cy

Pero como existen unas condiciones iniciales tal que 1 5y , entonces

2 49

1 2 5 55

C C

En consecuencia la solución particular a la ecuación diferencial es:

2 492

5x y y


1. 0y xy x

Rta.

2

2 1x

y Ce

2. 22 xy y xe x con 0 5y

Rta. 2 2 2 2 3x xy x e x x e



3. yy e x y

Rta. yxy e C

4. 22 0x xx ye dx e dy con 0 1y

Rta. 32

13

xy x e

5. 2

2 5 8 4x y y xy

Rta. 4 35

2 23

y x x C

6. 2 ydy dyy x y e

dx dx

Rta. yx

e Cy

7. dy y

dx y x

con 5 2y

Rta.

2

82

yxy

8. 32

11

y y xx

Rta. 2 21

1 12

y x C x

9. 26 2 0xy y y con 0 1y

Rta. 22

2x yy



10. 2 0yydx xy x ye dy

Rta. 2 2

2

1 1 1

2 2 4

yye

x y y Cey

2.6 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI.

Una ecuación diferencial de Bernoulli es aquella que se puede escribir de la

forma:

ny P x y Q x y

Donde n, es un número real.

Cabe destacar que n debe ser distinto de 0 y 1, ya que si 0n la ecuación

diferencial es lineal, pero si 1n es una ecuación diferencial en variables separables.

Toda ecuación diferencial de Bernoulli, mediante un cambio de variable se

convierte en una ecuación diferencial lineal.

Los pasos necesarios para resolver una ecuación diferencial de Bernoulli son:

Luego de que la ecuación diferencial tenga la forma ny P x y Q x y ,

multiplicarla por ny

-

1n n n n n ny y P x yy Q x y y y y P x y Q x



Realizar el cambio de variable de la forma 1 nz y , con lo cual al derivar

también se tiene que 1 nz n y y , y al sustituir en la ecuación diferencial

se obtiene,

1 11

zP x z Q x z n P x z n Q x

n

Suponiendo que 1P x n P x y 1Q x n Q x , la ecuación

diferencial se transforma en una ecuación lineal

z P x z Q x

La cual al resolver se obtendrá la solución general de la ecuación diferencial

de Bernoulli, recordando que al final se debe sustituir 1 ny

por z


2 2

y xy

x y

Se acomoda la ecuación diferencial de la forma ny P x y Q x y

211

2 2

xy y y

x

Con lo cual se verifica que es una ecuación de Bernoulli con 1n , entonces

se procede a multiplicar toda la ecuación diferencial por 1

y

, es decir, por y.

2 21 21 1

2 2 2 2

x xyy yy y y yy y

x x



Ahora se realiza el cambio de variable 1 1

z y

, es decir, 2z y con su

respectiva derivada 2z yy , por lo tanto se tiene:

221 1

2 2 2

z xz z z x

x x

La cual es una ecuación diferencial lineal con 1

P xx

y 2Q x x , cuya

solución general es:

3

2

xz Cx

Sin embargo como 2z y , entonces la solución general es:

32

2

xy Cx


62

xy xy

y

Primero acomodando la ecuación diferencial, se tiene que:

22 6y xy xy

Por lo tanto es una ecuación de Bernoulli con 2n , entonces se procede a

multiplicar la ecuación diferencial por 2

y

, es decir, por 2y .

2 2 2 2 2 32 6 2 6y y xyy xy y y y xy x



Luego se realiza el cambio de variable 1 2

z y

, es decir, 3z y con su

respectiva derivada 23z y y , por lo tanto se tiene:

2 6 6 183

zxz x z xz x

La cual es una ecuación diferencial lineal con 6P x x y 18Q x x ,

cuya solución general es:

233 xz Ce

Sin embargo como 3z y , entonces la solución general de la ecuación

diferencial es:

23 33 xy Ce


1. 2

2y x

yx y

con 1 1y

Rta. 3 2 33 4y x x

2. 2

3

3

1

xy

x y

Rta. 3 2 yx y Ce

3. 2 3

xy

x y y

Rta. 22 2 1 yx y Ce



4. 4 3xy y x y

Rta. 2 4 2y x Cx

5.

3

2

2

2 xx x y

y y

con 1 1y

Rta. 3y x

6. 2 3 cos xxy y y

x

Rta. 3 3 3 sin 3cosx y x x x C

7. 2 3 2 0x y y xy

Rta. 2 42

5y Cx

x

8. 4y

y x yx

Rta. 21

ln2

y x C x

9. 4tan cosy y x y x

Rta. 3 33tan cosy C x x

10. 26 1 2 0y y x dx xdy

Rta. 2

6 x

xy

Ce

CAPÍTULO 3

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Este capítulo está destinado a presentarnos las técnicas para resolver

ecuaciones diferenciales de orden superior, no importando si son homogéneas o no

homogéneas, pero si teniendo en cuenta que siempre sean lineales.

CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR


3.1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN

SUPERIOR.

Una ecuación diferencial lineal de orden superior que tienen la forma:

1

1 2 1 0

n n


En donde sí 0g x , la ecuación diferencial se denomina homogénea, pero

si 0g x , entonces la ecuación se llama no homogénea.

Sin embargo, antes de estudiar cada una de estas ecuaciones diferenciales,

primero se desarrollará una teoría preliminar necesaria para comprender este

capítulo.

3.1.1 Principio de Superposición

Sean 1 2 3 1, , , ,n ny y y y y soluciones de una ecuación diferencial homogénea

de orden n, entonces la combinación lineal de estas,

1 1 2 2 3 3 1 1n n n ny x C y C y C y C y C y

También es solución de dicha ecuación diferencial.

3.1.2 Dependencia e independencia lineal.

Un conjunto de funciones 1 2 3 1, , , , ,

n nf x f x f x f x f x

, es

linealmente independiente si para



1 2 3 11 2 3 1, , 0n nn n

C f x C f x C f x C f x C f x

Se cumple que 1 2 3 1 0n nC C C C C .

Si el conjunto de soluciones no es linealmente independiente, entonces se dice

que es linealmente dependiente, es decir, si al menos alguna de las constantes

1 2 1, , , ,n nC C C C es no nula.

Para entender mejor este concepto, supongamos que 1y y 2y , son funciones

linealmente dependientes, entonces existen las constantes 1C y 2C no nulas tale que:

1 1 2 2 0C y C y

Entonces como 1 0C , es posible escribir la ecuación de la forma:

21 2

1

Cy y

C

Por lo tanto si 1y y 2y , son funciones linealmente dependientes si y solo si

una función es múltiplo constante de la otra. Y por consiguiente, esto nos lleva a

concluir, que dos funciones son linealmente independientes, si ninguna función no es

múltiplo constante de la otra.

3.1.3 Wronskiano.

Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-

Wronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. El



Wronskiano se obtiene al resolver el determinante que está conformado por un

conjunto de funciones y sus derivadas. Supongamos que las funciones

1 2 1, , , ,

n nf x f x f x f x

poseen al menos n-1 derivadas, entonces el

wronskiano viene dado por:

2 11

2 11

2 111 2 1

1 1 11

2 11

, , , ,

n n

n n

n nn n

n n nn

n n

f f ff

f f ff

f f ffW f f f f

f f ff

Uno de los usos más importantes que se le da al wronskiano en las ecuaciones

diferenciales, es el de verificar si un conjunto de soluciones es linealmente

independiente o no.

Dado un conjunto de soluciones 1 2 3 1, , , ,n ny y y y y de una ecuación

diferencial homogénea de orden n. Entonces dicho conjunto de soluciones es

linealmente independiente si y solo si, en algún punto de un intervalo se cumple que

1 2 3 1, , , , , 0n nW y y y y y

3.1.4 Ecuación diferencial homogénea.

Como se dijo al principio del capítulo una ecuación diferencial homogénea es

aquella que tiene la forma:

1

1 2 1 0 0n n

n na x y a x y a x y a x y a x y



Este tipo de ecuación diferencial tiene como solución general:

1 1 2 2 3 3 1 1n n n ny x C y C y C y C y C y

Donde 1 2 3 1, , , ,n ny y y y y es un conjunto fundamental de soluciones

linealmente independientes.

Cabe destacar que el número de funciones que conformarán el conjunto de

soluciones es igual al orden de la ecuación diferencial homogénea, de este modo, una

ecuación diferencial de segundo orden tendrá un conjunto de soluciones conformado

por dos funciones.

Otra característica de las ecuaciones diferenciales homogéneas, es que la

solución trivial siempre la satisface, sin embargo en el estudio de estas ecuaciones la

despreciaremos.

3.1.5 Ecuación diferencial no homogénea.

Una ecuación diferencial lineal no homogénea tiene la forma:

1

1 2 1 0

n n


Con 0g x .

La solución de este tipo de ecuación está conformada por la suma de dos

soluciones, llamadas solución complementaria cy y solución particular py .

La solución complementaria, es la solución que se obtiene luego de

transformar la ecuación diferencial no homogénea en una ecuación homogénea.



La solución particular, es una solución dada de la ecuación diferencial no

homogénea, la cual dependerá de la acción de la función g x sobre la ecuación.

En conclusión la solución general de una ecuación diferencial no homogénea

de orden n viene dada por:

c py x y y

Una ecuación diferencial no homogénea debe tener un conjunto de soluciones

formado por al menos n+1 funciones, las cuales deben ser linealmente independientes

entre sí.

En este capítulo, más adelante, se presentarán técnicas para determinar la

solución particular de la ecuación diferencial no homogénea.

3.2 REDUCCIÓN DE ORDEN

El método de reducción de orden consiste en construir una segunda solución

de una ecuación diferencial a partir de una solución conocida.

Dada la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden,

2 1 0 0a x y a x y a x y



Con 2 0a x , y además 2a x , 1a x y 0a x continuas en I, si se divide

por 2a x y haciendo

1

2

a xP x

a x y

0

2

a xQ x

a x , se tiene la forma estándar

o canoníca

0y P x y Q x y

Esta ecuación tiene como solución general 1 1 2 2y x c y c y , donde 1y x y

2y x , deben ser linealmente independientes, esto implica que 2 1y x u x y x .

Por lo tanto es posible hallar una segunda solución 2y x , a partir de una solución ya

conocida 1y x , para toda u x diferente de una constante.

Entonces si se tiene como posible solución a 2 1y x u x y x , implica que

debe satisfacer a la ecuación, por lo tanto primero se deriva dos veces a 2y x

2 1 1y uy y u y 2 1 1 12y uy u y y u

Se sustituyen la derivadas de 2y x en la ecuación diferencial

1 1 1 1 1 12 0uy u y y u P x uy y u Q x uy

Aplicando propiedad distributiva y agrupando en función de u x , se tiene:

1 1 1 1 1 12 0y u y P x y u y P x y Q x y u



Pero de acuerdo a la ecuación diferencial de segundo orden, se tiene que

1 1 1 0y P x y Q x y , por lo tanto:

1 1 12 0y u y P x y u

Como z u , y además z u , entonces:

1 1 12 0y z y P x y z

La cual es una ecuación diferencial de variables separables. Por lo tanto

llevándola a su forma diferencial y separando las variables se tiene:

1

1

2ydzP x dx

z y

Ahora integrando la ecuación anterior se obtiene,

2

1 1ln 2ln lnz y P x dx C zy P x dx C

Por consiguiente

2

1 1

P x dx

zy C e

Despejando z, para luego regresar el cambio z u

1 1

2 2

1 1

P x dx P x dx

C e C ez u

y y



Escribiendo la ecuación en su forma diferencial y volviendo a integrar:

1 22

1

P x dx

eu C dx C

y

Tomando a 1 1C y 2 0C , además como 2 1y x u x y x , entonces:

2 1 2

1

P x dx

ey x y x dx

y

Ejemplo 1. Sea 1 sen lny x x x una solución de la ecuación diferencial

2 2 0x y xy y , halle una segunda solución que satisfaga la ecuación.

Lo primero que se debe hacer es escribir la ecuación diferencial en su forma

canónica, es decir, dividimos la ecuación por 2x :

2

1 20y y y

x x

Por lo tanto de acuerdo a (3) una segunda solución para la ecuación

diferencial viene dada por:

1

2 2sen ln

sen ln

dxxe

y x x x dxx x

Resolviendo la integral del numerador, se tiene:



ln

2 22 2 2 2sen ln sen ln

sen ln sen ln

xe xy x x x dx y x x x dx

x x x x

Ahora simplificando y utilizando un cambio de variable, se obtiene:

2 22 2

ln

sen ln sen lnsen ln sen

z xdx du

y x x x y x x xdxx x udz

x

Acomodando e integrando, se tiene:

2

2 2sen ln csc sen ln coty x x x udu y x x x u

Por último regresando el cambio de variable lnz x ,

2 sen ln cot lny x x x x

Ejercicios propuestos.

Utilice el método de reducción de orden para obtener una segunda solución.

1. 2 7 16 0x y x y con 4

1y x

Rta. 4

2 lny x x

2. 2 2 6 0x y xy y con 2

1y x

Rta. 2 3

1

5y

x



3. 0xy y con 1 lny x

Rta. 2 1y

4. 2 2 0x y xy y con 1 sen lny x x

Rta. 2 cos lny x x

5. 0y y con 1 coshy x

Rta. 2 sinhy x

6. 1 2 4 4 0x y xy y con 2

1

xy e

Rta. 2y x

7. 2 5 9 0x y xy y con 3

1 lny x x

Rta. 3

2y x

8. 2 1 4 1 4 0x y x y y con 1 1y x

Rta. 2

2

xy e

9. 9 12 4 0y y y con 2

31

x

y e

Rta. 2

32

x

y xe

3.3 ECUACIÓN LINEAL HOMOGÉNEA CON COEFICIENTE CONSTANTE

Se dice que una ecuación diferencial lineal es homogénea con coeficientes

constantes si esta tiene la forma:



1 2

1 2 2 1 0 0n n n

n n na y a y a y a y a y a y

Donde 0 1 2 1, , , , ,n na a a a a son constantes reales con 0na .

Este tipo de ecuación diferencial tiene como característica fundamental que

todas sus soluciones son funciones exponenciales de la forma mxe o, al menos, están

formadas a partir de funciones exponenciales.

Para mostrar cómo se resuelven las ecuaciones diferenciales homogéneas de

coeficiente constante, primero se comenzará por el caso especial de la ecuación

diferencial de segundo orden, para luego describir cómo resolver ecuaciones de orden

superiores en general.

3.3.1 Ecuaciones de segundo orden.

Una ecuación diferencial de segundo orden viene dada por:

0ay by cy

Como se dijo antes, la solución de esta ecuación tiene la forma mxy e ,

entonces al derivar dos veces dicha solución y sustituirla en la ecuación, se tiene:

2 20 0mx mx mx mxam e bme ce e am bm c

De esta última ecuación, se sabe que mxe nunca puede ser cero, mientras x

tenga valor real, por lo tanto la única forma de que pueda ser cero es que:

2 0am bm c



Esta ecuación se denomina ecuación auxiliar o ecuación característica de la

ecuación diferencial. Ahora bien como se observa, esta ecuación es cuadrática, y una

forma de determinar las raíces (resolver), es a través de la ecuación:

2 4

2

b b acm

a

De la cual, como ya se sabe, se puede obtener tres casos, de acuerdo al tipo de

raíces que tenga la ecuación, los cuales se analizarán a continuación:

CASO I. Raíces reales diferentes. 2 4 0b ac

Ocurre cuando la ecuación auxiliar tiene dos raíces reales diferentes, es decir,

1 2m m con lo cual se obtienen las soluciones 1

1

m xy e y 2

2

m xy e . Como estas

soluciones son linealmente independientes, se puede concluir que la solución general

de la ecuación diferencial es:

1 2

1 2

m x m xy x C e C e

Ejemplo 1. Resuelva 3 10 0y y y .

Como se sabe este tipo de ecuación tiene como solución general mxy e , la

cual al derivar y sustituir en la ecuación diferencial se tiene:

2 23 10 0 3 10 0mx mx mx mxm e me e e m m



Entonces la ecuación auxiliar es 2 3 10 0m m y sus raíces 1 5m y

2 2m , por lo cual se puede concluir que la solución general de la ecuación

diferencial es:

5 2

1 2

x xy x C e C e

CASO II. Raíces reales iguales. 2 4 0b ac

Ocurre cuando la ecuación auxiliar tiene dos raíces reales iguales, es decir,

1 2m m con lo se obtendrá una sola solución 1

1

m xy e , donde al resolver 12

bm

a .

Sin embargo una ecuación diferencial de segundo orden debe tener dos soluciones,

por lo tanto utilizando el método de reducción de orden, se puede determinar 2y x ,

a partir de la ya conocida 1y x , esto es:

1

1

2 2

P x dx

m x

m x

ey e dx

e

Como al escribir la ecuación en su forma canónica se obtiene

0b c

y y ya a

, entonces b

P xa

, y además como 12

bm

a , se puede concluir

que 12P x m , por lo tanto:

11

1 1

11

2 2

2 22 2

m dx m xm x m x

m xm x

e ey e dx y e dx

ee



Con lo cual se obtiene:

1 1

2 2

m x m xy e dx y xe

Por lo tanto la solución general viene dada por:

1 1

1 2

m x m xy x C e C xe

Ejemplo 2. Resuelva. 6 9 0y y y .

Como la solución general mxy e , la cual al derivar y sustituir en la ecuación

se tiene:

2 26 9 0 6 9 0mx mx mx mxm e me e e m m



diferencial es:

3 3

1 2

x xy x C e C xe

CASO III. Raíces complejas conjugadas. 2 4 0b ac .

Ocurre cuando la ecuación auxiliar tiene dos raíces complejas, es decir,

1m i y 2m i , donde y son números reales con 0 y además

que 2 1i . Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es:



1 2

i x i xy x k e k e

Sin embargo, por lo general es preferible trabajar con funciones reales y no

con exponenciales complejas. Por lo tanto:

1 2 1 2

x i x x i x x i x i xy x k e e k e e y x e k e k e

Luego utilizando la formula de Euler, la cual viene dada por:

cos senie i

Se tiene:

cos seni xe x i x y cos seni xe x i x

Entonces:

1 2cos sen cos senxy x e k x i x k x i x

Con lo cual:

1 2 1 2cos senxy x e k k x k k x

Luego asumiendo que 1 1 2C k k y 2 1 2C k k , concluimos que la solución

general es:

1 2cos senxy x e C x C x



Ejemplo 3. Resuelva 0y y y

Como la solución general mxy e , la cual al derivar y sustituir en la ecuación

se tiene:

2 20 1 0mx mx mx mxm e me e e m m

Entonces la ecuación auxiliar es 2 6 9 0m m , con lo cual luego de

aplicar la ecuación (5), se obtienen las raíces: 1

1 3

2 2m i y 2

1 3

2 2m i ,

por lo tanto se tiene que 1

2 y

3

2 , por consiguiente se puede concluir que la

solución general de la ecuación diferencial es:

21 2

3 3cos sen

2 2

x

y x e C x C x

3.3.2 Ecuaciones de orden superior.

Ahora, de manera más general, se estudiará la ecuación diferencial

homogénea de orden superior,

1 2

1 2 2 1 0 0n n n

n n na y a y a y a y a y a y

Que, como se dijo antes, tiene como solución general la función mxy e , por

lo tanto su ecuación auxiliar, viene dada por:



1 2 2

1 2 2 1 0 0n n n

n n na m a m a m a m a m a

Este tipo de ecuación puede general muchas combinaciones de soluciones,

sobre todo combinaciones de los casos que se vieron para ecuaciones homogéneas de

segundo grado, por ejemplo una ecuación diferencial de cuarto orden, puede tener

cuatro raíces diferentes, cuatro raíces iguales, dos raíces reales iguales y dos

complejas, dos complejas y dos reales diferentes, o cualquier otra combinación, sin

embargo a continuación se presentarán tres casos que ayudarán en la resolución de las

ecuaciones diferenciales de orden superior:

Caso I. Múltiples raíces diferentes.

Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales diferentes,

es decir 1 2 1n nm m m m , entonces la solución general tiene la forma:

3 11 2

1 2 3 1n nm x m x m xm x m x

n ny x C e C e C e C e C e

Caso II. Múltiples raíces iguales.

Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales e iguales,


1 1 1 1 12 2 1

1 2 3 1

m x m x m x m x m xn n

n ny x C e C xe C x e C x e C x e



Caso III. Múltiples raíces complejas conjugadas iguales.

Si todas las raíces de la ecuación diferencial son conjugadas complejas

iguales, es decir, si 1m i es una raíz compleja de multiplicidad k, y su raíz

conjugada 2m i también es una raíz de multiplicidad k, entonces con base en

las 2k soluciones complejas, se tiene como solución general:

1 2 3 4

1

2 1 2

cos sen cos sen

cos sen

x

n

n n

C x C x x C x C xy x e

x C x C x

Ejemplo 4. Resuelva 4 5 0y y y

Esta ecuación diferencial tiene como ecuación auxiliar:

3 24 5 0m m m

La cual luego de factorizar se hallan sus raíces:

1

2

3

0

5 1 0 5

1

m

m m m m

m

Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es:

5

1 2 3

x xy x C C e C e

Ejemplo 5. Resuelva 3 3 0y y y y

La cual tiene como ecuación auxiliar:

3 23 3 1 0m m m



Por lo tanto luego de factorizar se hallan sus raíces:

3

1 2 31 0 1m m m m

Entonces la solución general de la ecuación diferencial es:

2

1 2 3

x x xy x C e C xe C x e


4 4 0y y y

Esta ecuación diferencial tiene como ecuación auxiliar:

4 24 4 0m m

Con lo cual luego de factorizar se hallan sus raíces:

2 1 32 2 2

2 4

0 22 0 2 2 0

0 2

m m im m m

m m i

Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es:

1 2 3 4cos 2 sen 2 cos 2 sen 2y x C x C x x C x C x


81 0y y


6 281 0m m

Por lo tanto luego de factorizar se hallan sus raíces:



1 2

2 2

3 4

5 6

0

3 3 9 0 3, 3

0 3, 0 3

m m

m m m m m m

m i m i

Entonces la solución general de la ecuación diferencial es:

3 3

1 2 3 4 5 6cos3 sen3x xy x C C x C e C e C x C x

Ejemplo 8. Resuelva 0y y con 0 0y y 22

y


2 1 0m

Y sus raíces son: 1 0m i y 1 0m i , por lo tanto la solución general


1 2cos seny x C x C x

Luego como 0 1y , entonces se tiene:

1 2 11 cos 0 sen 0 1C C C

Y además como 2y , entonces:

1 2 1 2 2sen cos 2 sen cos 2y x C x C x C C C

Con lo cual podemos determinar la solución particular, la cual viene dada por:



cos 2seny x x x


1. 2 3 0y y y

Rta. 3

1 2

x xy x C e C e

2. 2 3 0y y y con 0 0y , 0 4y

Rta. 3

2

x xy x e C e

3. 6 9 0y y y

Rta. 3 3

1 2

x xy x C e C xe

4. 4 4 0y y y con 0 1y y 0 1y

Rta. 2 2x xy x e xe

5. 2 2 0y y y

Rta. 1 2cos senxy x e C x C x

6. 416 0y y

Rta. 2 2

1 2 3 4cos2 sen 2x xy x C e C e C x C x

7. 681 0y y

Rta. 3 3

1 2 3 4 5 6cos3 sen3x xy x C C x C e C e C x C x

8. 48 16 0y y

Rta. 1 2 3 4cos2 sen 2 cos2 sen 2y x C x C x C x x C x x



3.4. MÉTODOS DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

El método de coeficientes indeterminados es utilizado para determinar la

solución particular py de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de

coeficiente constante, es decir para ecuaciones que tengan la forma:

1

1 2 1 0

n n

n na y a y a y a y a y g x

Con 1 2 1 0, , , , ,n na a a a a constantes reales.

Sin embargo este método solo es posible utilizarlo si la función g x es del

tipo:

Polinómica 2

0 1 2

n

na a x a x a x

Exponencial xe

Seno ó coseno cos senx o x

Sumas y/o producto finito de las anteriores.

Algunos ejemplos de funciones para g x permitidas en este método son:

3 4 35, 4 8, 4 , 5 , 2 4x xg x g x x g x x x g x e g x x e

2 4 3

2 4 , 2sen 5 ,

6 cos 4 , sen 2

x

x x

g x x e g x x

g x x x x g x xe xe



Caso contrario, algunos ejemplos de funciones que para g x no están

permitidas:

2 3

1ln , , ,

2

4, , arccos

cos sen

xg x x g x g x

x x x

xg x g x g x x

x x

Este método lleva el nombre de coeficientes indeterminados debido a que

inicialmente la solución particular que se determina tiene coeficientes desconocidos,

luego parte de este método es determinar el valor de dichos coeficientes.

El método de coeficientes indeterminado presenta dos enfoques, uno llamado

superposición y otro anulador. A continuación se describirá cada uno de estos

enfoques.

3.4.1 MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS. Enfoque de

superposición.

Este enfoque consiste en proponer una solución particular py , que contenga

uno o más coeficientes desconocidos. Esta solución particular debe ser de forma

semejante a la función g x de la ecuación diferencial no homogénea.

Es importante resaltar, una vez más, que la solución general de una ecuación

diferencial no homogénea debe contener funciones linealmente independientes entre



sí. Por lo tanto se debe verificar que la solución particular propuesta no sea múltiplo

de ninguna de las funciones que conforman la solución complementaria, de así serlo,

la solución particular debe ser multiplicada por nx , donde n indica el número de

repeticiones que presente yp.

Además, si la función g x , está conformada por una suma de funciones

1 2 ng x g x g x g x , la solución particular también estará conformada

por una suma de soluciones 1 2p p p pny y y y , donde 1py es la posible

solución particular de 1g x , y así sucesivamente. En este caso se debe verificar que

sean linealmente independientes pero de forma individual.

En la tabla 3.1, se presentan algunos ejemplos de posibles soluciones

particulares a partir de una función g x dada. Cabe destacar que en esta tabla se

asume que no existe repetición de funciones entre el yp asumido y la solución

complementaria.

A continuación se presenta los pasos necesarios para resolver una ecuación

diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes, usando el enfoque de

superposición:

Se verifica que la función contenida en g x , se encuentre entre las

permitidas por el método de coeficientes indeterminados.

Se determina la solución complementaria cy .



Se escribe una posible solución particular py , de acuerdo a la función g x

Se verifica que la solución particular planteada sea linealmente independiente

con respecto a las funciones que conforman la solución particular.

Se sustituye la solución particular en la ecuación diferencial, para de este

modo determinar los coeficientes desconocidos de py

Se escribe la solución general de la ecuación diferencial no homogénea.

g x py Sugerida

2 A

4 3x Ax+B

22 6x 2Ax Bx C

3 24x x 3 2Ax Bx Cx D

2xe 2xAe

sen 4x sen 4 cos4A x B x

cos3x sen3 cos3A x B x

2 24 xx e 2 2xAx Bx C e

5 sen3xe x 5 sen3 cos3xe A x B x

4 cos2x x sen 2 cos2Ax B x Cx D x

2 34 sen 2xx x e x 2 3 2 3sen 2 cos2x xAx Bx C e x Dx Ex F e x

Tabla 3.1



Ejemplo 1. Resuelva 4 3 7 2y y y x

Primero se determina la solución complementaria, transformando la ecuación

diferencial en homogénea, es decir: 4 3 0y y y

Su ecuación auxiliar es:

2 4 3 0 3 1 0m m m m

Con lo cual las raíces de la ecuación auxiliar son: 3

1

m

m

Por lo tanto la solución complementaria viene dada por:

3

1 2

x x

cy C e C e

Ahora se asume una solución particular de acuerdo a la función contenida en

g x , entonces como 7 2g x x , se propone como solución particular a:

py Ax B

Inmediatamente debe verificarse si Ax B es linealmente independiente con

respecto a las funciones que conforman la solución complementaria, es decir, si es

múltiplo de 3xe o xe . En este caso, como no hay multiplicidad, se concluye que la

solución particular a utilizarse es la asumida, por lo tanto se confirma que

py Ax B .



Se deriva yp dos veces debida a que es una ecuación diferencial de segundo

orden:

0p p py Ax B y A y

Sustituyendo la solución particular y sus derivadas en la ecuación diferencial

se tiene:

4 3 7 2 0 4 3 7 2y y y x A Ax B x

En consecuencia

4 3 3 7 2 3 4 3 7 2A Ax B x Ax A B x

Con lo cual

3 7 4 3 2A y A B

Por lo tanto se tiene que: 7

3A y

22

9B , entonces la solución particular

es:

7 22

3 9py x

Por último se concluye que la solución general de la ecuación diferencial es:

3

1 2

7 22

3 9

x x

cy C e C e x



Ejemplo 2. Resuelva 1y y x

Se determina la solución complementaria de 0y y , primeo se construye

la ecuación auxiliar y se determinan sus raíces:

1

3 2 2

2

3

0

0 1 0 0

1

m

m m m m m

m

Lo que implica que la solución complementaria de la ecuación dada es:

1 2 3

x

py C C x C e

Ahora se asume una solución particular de acuerdo a la función que contiene

g x

Como 1g x x entonces se asume py Ax B

Sin embargo al verificar si yp es linealmente independiente con respecto a yc,

se comprueba que si hay multiplicidad, por lo tanto se multiplica la solución

particular por 2x , con lo cual se tiene que la nueva solución particular es:

3 2

py Ax Bx

Es importante cotejar que si se hubiese multiplicado la solución particular por

x, todavía seguiría siendo linealmente independiente.



Entonces se deriva la solución particular tres veces porque es una ecuación

diferencial de tercer orden, con lo cual se tiene:

3 2 23 2 6 2 6p p p py Ax Bx y Ax Bx y Ax B y A

Sustituyendo la solución particular y sus derivadas en la ecuación diferencial,

se tiene:

1 6 6 2 1y y x A Ax B x

En consecuencia

6 6 2 1 6 6 2 1A Ax B x Ax A B x

Con lo cual

6 1 6 2 1A y A B


6A y 1B , entonces la solución particular

es:

3 21

6py x x

Con lo cual se concluye que la solución general de la ecuación diferencial es:

3 2

1 2 3

1

6

xy x C C x C e x x



Ejemplo 3. 2 seny y x x

Se determina la solución complementaria de 0y y , construyendo primero

la ecuación auxiliar y determinando sus raíces:

1

2

20

1 00

m i

m im


1 2cos sency C x C x

Ahora se asume una solución particular de acuerdo a la función que contiene

g x

Como 2 seng x x x entonces se asume cos senpy Ax B x Cx D x

Sin embargo al verificar si yp es linealmente independiente con respecto a yc,

se comprueba que si hay multiplicidad, por lo tanto se multiplica la solución

particular por x , con lo cual se tiene que la nueva solución particular es:

2 2cos senpy Ax Bx x Cx Dx x

Entonces se deriva la solución particular dos veces porque es una ecuación

diferencial de segundo orden, con lo cual se tiene:

2 22 cos 2 senpy Ax B Cx Dx x Ax Bx Cx D x



2 22 4 2 cos 4 2 2 senpy Ax A Bx Cx D x Ax B Cx C Dx x

Sustituyendo la solución particular y sus derivadas en la ecuación diferencial,

se tiene:

2 2

2 2

2 4 2 cos 4 2 2 sen

cos sen 2 sen

Ax A Bx Cx D x Ax B Cx C Dx x

Ax Bx x Cx Dx x x x

En consecuencia

2 4 2 cos 4 2 2 sin 2 senA Cx D x Ax B C x x x

4 cos 2 2 cos 4 sen 2 2 sen 2 senCx x A D x Ax x B C x x x

Con lo cual

4 0, 2 2 0, 4 2, 2 2 0C A D A B C


2A , 0B , 0C y

1

2D , entonces la

solución particular es:

21 1cos sen

2 2py x x x x


2

1 2

1 1cos sen cos sen

2 2y x C x C x x x x x



Ejemplo 4. 2 24 4 4 xy y y x e

Se determina la solución complementaria de 4 4 0y y y , construyendo

primero la ecuación auxiliar y determinando sus raíces:

1

3 2

2

3

0

4 0 2 2 0 24

2

m

m

m m m m m m

m


2 2

1 2 3

x x

cy C C e C xe

Ahora se asume que una solución particular de acuerdo a la función que

contiene g x.

Como 2 24 xg x x e , se verifica que está compuesta por la suma de dos

funciones, es decir, 1 2g x g x g x , con 2

1g x x y 2

2 4 xg x e . Lo que

implica que la solución particular tendrá la forma: 1 2p p py y y .

Entonces, para 2

1g x x se asume 2

1y Ax Bx C y además para

2

2 4 xg x e se asume 2

2

xy De , con lo cual la solución particular a priori seria:

2 2x

py Ax Bx C De



Sin embargo, todavía falta verificar si la solución particular que se está

asumiendo es linealmente independiente con las funciones que conforman la solución

complementaria. En este caso, se debe hacer en forma individual, por consiguiente:

Primero se compara 2

1y Ax Bx C con 2 2

1 2 3

x x

cy C C e C xe , con lo

cual se comprueba que existe multiplicidad, ya que en la solución complementaria

hay una función polinómica constante representada por 1C , por lo tanto debe

multiplicarse 1py por x, de esta manera se tendrá como primera solución particular a:

3 2

1py Ax Bx Cx

Ahora se compara, 2

2

xy De con 2 2

1 2 3

x x

cy C C e C xe , y se verifica

que también existe multiplicidad pero esta vez, debe multiplicarse 2py por 2x , con

lo cual se tendrá como segunda solución particular a:

2 2

2

xy Dx e

Por consiguiente se tiene que la solución particular a utilizarse es:

3 2 2 2x

py Ax Bx Cx Dx e

Derivando la solución particular tres veces, se tiene:

3 2 2 2 2 2 23 2 2x x

p py Ax Bx Cx Dx e y Ax Bx C x x De



Con lo cual al sustituir en la ecuación diferencial se tiene:

2 2 2 2

2 2 2 2 2

6 6 12 4 2 4 6 2 1 4 2 2

4 3 2 2 4

x x

x x

A x x De Ax B x x De

Ax Bx C x x De x e

Acomodando un poco la ecuación queda:

2 2 2 212 8 24 6 4 8 4 4x xAx B A x A C B De x e

Con lo cual

12 1, 8 24 0, 6 4 8 0, 4 4A B A A C B D

En consecuencia: 1

12A ,

1

4B ,

3

8C , 1D y la solución particular es:

3 2 2 21 1 3

12 4 8

x

py x x x x e


2 2 3 2 2 2

1 2 3

1 1 3

12 4 8

x x xy x C C e C xe x x x x e




Resuelva usando el enfoque de superposición del método de coeficientes

indeterminados

1. 8 64y y x

Rta. 1 2 4cos 5senx xy x C e C xe x x

2. 34 3 4 18 15xy y y e x

Rta. 3 3

1 2 2 6 3x x xy x C e C e xe x

3. 2 2 1y y y x

Rta. 1 2

1cos sen

2

xy x e C x C x x

4. 2 2cos xy y x e x

Rta. 3 2

1 2

1 5 1 1 1sen 2 cos 2

3 2 2 20 10

x xy x C C e x x x e x x

5. 36 9 6 9 50senxy y y xe x

Rta. 3 3 3 3

1 2 1 4sen 3cosx x xy x C e C xe x e x x

6. 1y y

Rta. 2

1 2 3

1

2

xy x C C x C e x

7. 4 216x

y y e

Rta. 2 2 21 2 3 4cos sen 2

2 2

x x xx x

y x C e C e C C xe



8. 25 20sen5y y x

Rta. 1 2cos5 sen5 2 cos5y x C x C x x x

9. 5 6y y x con 0 0, 0 10y y

Rta. 25200 200 3 30x

y x e x x

10. 52 2 24 40x xy y y e e con 1 5 9

0 , 0 , 02 2 2

y y y

Rta. 2 5111 11 9 2 12

2

x x x xy x e xe x x e e

3.4.2 MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS. Enfoque de anulador.

Este enfoque al igual que el de superposición es utilizado para resolver

ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de coeficientes constantes, sin

embargo en este caso se utiliza operadores diferenciales.

3.4.2.1 Operadores diferenciales

El operador diferencial, denotado por una D mayúscula, está definido por:

dyDy

dx

Si se desea escribir una derivada de orden enésimo utilizando operadores

diferenciales, se tendría:



nn

n

d yD y

dx

Donde la potencia del operador diferencial indica el orden de la derivada.

Por lo tanto una ecuación diferencial de la forma:

1

1 2 1 0

n n


Puede escribirse como:

2

1 2 0

1

1

n n

n ny ya D a D a D y a Dy a y g x

O también de la forma:

2

1 2

1

1 0n

n n

nD a D a D a D a y g xa

La expresión 1 2

1 2 1 0n

n n

nP D a D a D a Da aD

, se llama

operador diferencial de orden n.

El operador diferencial de orden n, presentan las siguientes características:

P D se puede factorizar como el producto de operadores

diferenciales de primer orden y operadores diferenciales de segundo

orden que no son posibles reducirlos a primer orden.

Los factores de P D pueden conmutarse.

P D f g P D f P D g , para cualquier función f y g

siempre que sean derivables al menos n veces.



Por ejemplo la ecuación diferencial 3 4 0y y y , se puede reescribir

con operadores diferenciales de la forma:

3 23 4 0D y D y Dy

Y por consiguiente

3 23 4 0 4 1 0D D D y D D D y

Cuando un operador diferencial anula una función f, la cual es suficientemente

diferenciable, se denomina operador anulador.

Por ejemplo si se tiene la función 4 2f x x , su operador anulador sería

2D , ya que:

24 2 4 4 2 0D x D x

A continuación se presentará en forma general, una serie de operadores

anuladores que podrán ser utilizados en este enfoque.

a. El operador diferencial 1nD , anula a cualquier polinomio de la forma:

1

1 2

2 1 0n n

n na x x xa a a ax

b. El operador diferencial D , anula a cualquier exponencial de la forma:

xe

c. El operador diferencial 1n

D

, anula a cualquier función de la forma:

1 2

1 2 1 0n

n

n

n xa x x xa a eaxa



d. El operador diferencial 2 2D , anula cualquier función de la forma:

sina x ó cosa x

e. El operador diferencial 1

2 2 22n

D D

, anula cualquier función

de la forma:

2

2 1 0 senn

n

xe a x x xa a a x ó

2

2 1 0 cosn

n

xe a x x xa a a x

En la tabla 4.2 se presentan algunas funciones con sus respectivos operadores

anuladores.

g x Operador anulador

2 D

4 3x 2D

3 24x x 4D

2xe 2D

sen 4x 2 16D

2 24 xx e 3

2D

5 sen3xe x 2 10 36D D

4 cos2x x 2

2 4D

2 34 sen 2xx x e x 3

2 6 13D D

Tabla 4.2



Ahora muchas veces se puede presentar que la función que se desea anular

tiene la forma:

1 2 ng x g x g x g x

Es decir, la función a anular, está compuesta por dos o más funciones. En este

caso, el operador anulador de g x , será el producto de todos los operadores

anuladores de las funciones que componen g x , por lo tanto, si 1L D es el

operador que anula a 1g x , 2L D es el operador que anula a 2g x y así

sucesivamente hasta nL D que es el operador que anula ng x , entonces:

1 2 0nL D L D L D g x

3.4.2.2 Coeficientes indeterminados.

Dada la ecuación diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes:

P D y g x

Donde 1 2

1 2 1 0n

n n

nP D a D a D a Da aD

y como se dijo

anteriormente para este método la función g x es del tipo:

Polinómica 2

0 1 2

n

na a x a x a x

Exponencial xe

Seno ó coseno cos sinx o x



Sumas y/o producto finito de las anteriores.

Entonces existe un operador diferencial 1P D que anule a g x , con lo cual

se tiene:

1 0P D P D y

Con lo cual, la ecuación diferencial no homogénea se transforma en una

homogénea, y de ella se podrá obtener la solución particular py de la ecuación

diferencial no homogénea.

A continuación se presentan los pasos necesarios para resolver una ecuación

diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes usando el enfoque

anulador:

Determinar la solución complementaria.

Escribir la ecuación diferencial utilizando los operadores diferenciales.

Determinar el operador anulador de g x , y multiplicarlo por toda la

ecuación diferencial.

Determinar la ecuación auxiliar, factorizarla y determinar sus raíces

Escribir la solución general con los coeficientes indeterminados.

Extraer de la solución general la solución particular py , verificando no

haber incluido un término que pertenezca a la solución complementaria cy



Sustituir la solución particular py en la ecuación diferencial para

determinar sus coeficientes desconocidos.

Escribir la solución general definitiva.

Ejemplo 5. Resuelva 24 4y y y x x

Primero tal como se especificó en el procedimiento, se hallará la solución

complementaria, para ello primero transformamos la ecuación en homogénea

4 4 0y y y , para luego determinar su ecuación auxiliar con sus respectivas

raíces

2 12

2

24 4 0 2 0

2

mm m m

m

Con lo cual la solución complementaria es:

2 2

1 2

x x

cy C e C xe

Ahora se reescribe la ecuación diferencial utilizando operadores diferenciales,

2 2 2 24 4 4 4D y Dy y x x D D y x x

Luego como 2g x x x su operador anulador es 3D , entonces:

3 2 3 2 3 24 4 4 4 0D D D y D x x D D D y



Por consiguiente se tiene:

2 1 2 33

4 5

02 0

2

m m mm m y

m m

Por lo tanto una aproximación a la solución general sería:

2 2 2

1 2 3 4 5

x xy x C C x C x C e C xe

Sin embargo como 2 2

4 5

x xC e C xe pertenecen a la solución complementaria,

entonces la solución particular viene dada por:

2 2

1 2 3p py C C x C x y A Bx Cx

Ahora para conseguir los coeficientes desconocidos, primero derivamos la

solución particular para luego sustituirla en la ecuación diferencial dada:

2 2 2p p py A Bx Cx y B Cx y C

2 2 2 22 4 2 4 4 8 4 2 4 4C B Cx A Bx Cx x x Cx C B x C B A x x

Con lo cual

4 1, 8 4 1, 4 2 4 0C C B A C B

En consecuencia: 1

8A ,

1

4B y

1

4C la solución particular es:



21 1 1

8 4 4py x x


2 2 2

1 2

1 1 1

8 4 4

x xy x C e C xe x x

Ejemplo 6. Resuelva 22 2 xy y y y e x

Primero se hallará la solución complementaria, para ello primero

transformamos la ecuación en homogénea 2 2 0y y y y , para luego

determinar su ecuación auxiliar con sus respectivas raíces

1

3 2

2

3

1

2 2 0 1 1 2 0 1

2

m

m m m m m m m

m

Con lo cual la solución complementaria es:

2

1 2 3

x x x

cy C e C e C e

Reescribiendo la ecuación diferencial con operadores diferenciales,

3 2 2 3 2 22 2 1x xD y D y Dy y e x D D D y e x

Luego como 2xg x e x , entonces su operador anulador es 3 1D D ,

debido a que para xe el operador anulador es 1D y para 2x , el operador anulador

es 3D , por lo tanto:



3 3 2 3 2

3 3 2

1 2 1 1

1 2 1 0

xD D D D D y D D e x y

D D D D D y


1 2 3

23

4 5

6 7

0

1 1 2 0 1

1, 2

m m m

m m m m m m

m m

Por lo tanto una aproximación a la solución general sería:

2 2

1 2 3 4 5 6 7

x x x xy x C C x C x C e C xe C e C e

Sin embargo como 2

4 6 7

x x xC e C e C e pertenecen a la solución

complementaria, entonces la solución particular viene dada por:

2 2

1 2 3 5

x x

py x C C x C x C xe y A Bx Cx Exe

Esta vez, no se ha utilizado la letra D, para no confundirlo con el operador

diferencial. Entonces, luego de derivar y sustituir en la ecuación diferencial, tal como

se ha realizado en todos los ejercicios anteriores, se obtiene que:

5 1 1 1, , ,

4 2 2 6A B C E

En consecuencia la solución particular es:

25 1 1 1

4 2 2 6

x

py x x xe




2 2

1 2 3

5 1 1 1

4 2 2 6

x x x xy x C e C e C e x x xe


Resuelva usando el enfoque anulador del método de coeficientes indeterminados

1. 22 xy y y x e

Rta. 4

1 2 112x x xy x C e C xe x e

2. 2 5xy y x e

Rta. 2 3

1 2 14 14 16x x x x xy x C e C e xe x e x e

3. 24 cosy y x

Rta. 1 2

1 1cos 2 sen 2 sen 2

8 8y x C x C x x x

4. seny y y x x

Rta. 21 2

3 3cos cos cos 2cos sen

2 2

x

y x e C x C x x x x x

5. 25 6seny y x

Rta. 1 2cos5 sen5 14seny x C x C x x

6. 2 5 senxy y y e x

Rta. 1 2cos2 sen 2 13 senx x xy x C e x C e x e x



7. 5 2y y x con 0 0, 0 1y y

Rta. 5 241 41 1 9

125 125 10 25

xy x e x x

8. 34 8y y y x con 0 2, 0 4y y

Rta. 2 2 3 23 1 3 32 cos 2 sen 2

64 8 16 32

x xy x e x e x x x x

9. 52 2 24 40x xy y y e e con 1 5 9

0 , 0 , 02 2 2

y y y

Rta. 2 5111 11 9 2 12

2

x x x xy x e xe x x e e

3.5 MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS

Hasta ahora se han resuelto ecuaciones diferenciales no homogéneas de

coeficiente constante usando el método de coeficientes indeterminados, sin embargo

como se dijo antes este método solo es efectivo para algunas funciones contenidas en

g x . Debido a esto, es necesario conocer otro método que ayude a resolver

ecuaciones que no tengan esa restricción. Afortunadamente el matemático Joseph

Lagrange, descubrió un método muy ingenioso y poderoso para resolver ecuaciones

diferenciales no homogéneas, sin importar el tipo de función que se encuentre del

lado derecho de la igualdad en la ecuación diferencial.

Es importante aclarar, que éste método es posible utilizarlo tanto en

ecuaciones diferenciales con coeficiente constante como variable.



Al igual que en el método para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas

de coeficientes constantes, primero se realizará el estudio con las ecuaciones de

segundo orden y luego se generalizará para ecuaciones diferenciales de orden n.

3.5.1 Ecuaciones de segundo orden.

Dada ecuación diferencial no homogénea de segundo orden:

2 1 0a x y a x y a x f x

Al dividirla por 2a x , se obtiene su forma reducida o canónica:

y P x y Q x y g x

La cual tiene como solución complementaria

1 1 2 2cy C y C y

Con 1y y 2y funciones linealmente independientes.

Entonces el método de variación de parámetros indica que la solución

particular py , tendrá la misma forma de la solución complementaria pero

sustituyendo las constantes arbitrarias por dos funciones, es decir,

1 1 2 2 1 1 2 2p py u x y x u x y x y u y u y

Por lo tanto para poder obtener la solución particular es necesario determinar

las funciones 1u x y 2u x .



Antes de comenzar a trabajar se debe establecer una condición que luego será

utilizada:

1 1 2 2 0y u y u

Ahora, comencemos primero derivando dos veces la solución particular,

1 1 1 1 2 2 2 2py u y u y u y u y

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2py u y u y u y u y u y u y u y u y

Entonces sustituyendo en la ecuación diferencial en su forma reducida se

tiene:

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 2 2

u y u y u y u y u y u y u y u y P x u y u y u y u y

Q x u y u y g x

Agrupando términos se tiene:

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 2 2 2 2 1 1

u y P x y Q x y u y P x y Q x y u y u y u y u y

P x u y u y u y u y g x

Como 1y y 2y , son funciones que conforman la solución complementaria,

significa que satisfacen la ecuación diferencial homogénea en su forma reducida, por

lo tanto:

1 1 1 0y P x y Q x y y 2 2 2 0y P x y Q x y



Entonces se tiene que:

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1u y u y u y u y P x u y u y u y u y g x

Pero, 1 1 1 1 1 1

du y u y u y

dx del mismo modo 2 2 2 2 2 2

du y u y u y

dx ,

entonces:

1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1

d du y u y P x u y u y u y u y g x

dx dx

Además por diferenciación 1 1 2 2 1 1 2 2

d d du y u y u y u y

dx dx dx , por lo

tanto:

1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1

du y u y P x u y u y u y u y g x

dx

Como ya se había establecido la condición 1 1 2 2 0y u y u , entonces queda:

2 2 1 1u y u y g x

Con lo cual se formará un sistema de dos ecuaciones con 1u x y 2u x

como incógnitas

1 1 2 2

2 2 1 1

0y u y u

u y u y g x



Al resolver este sistema por la regla de Cramer, se obtiene lo siguiente:

2

2

1

1 2

1 2

0 y

g x yu x

y y

y y

y

1

1

2

1 2

1 2

0y

y g xu x

y y

y y

Como 1 2

1 2

y y

y y , es el wronskiano de las soluciones 1y y 2y , y utilizando las

notaciones de la regla de Cramer, se puede escribir 1u x y 2u x como

11

Wu x

W y 2

2

Wu x

W

Con lo cual se puede definir las funciones incógnitas 1u y 2u , de la solución

particular como:

11

Wu x dx

W

y 2

2

Wu x dx

W

Es importante recordar que como 1y y 2y son las funciones que conforman

la solución complementaria, ellas son linealmente independientes, por lo tanto, su

wronskiano siempre es diferente de cero.

Por último la solución general viene dada por:

1 21 1 2 2 1 2

W Wy x C y C y y dx y dx

W W



En resumen los pasos necesarios para resolver una ecuación diferencial no

homogénea por el método de variación de parámetros son:

Escribir la ecuación diferencial en su forma reducida

Determinar la solución complementaria 1 1 2 2cy C y C y

Determinar las funciones 1u y 2u , de acuerdo a 11

Wu x dx

W

y

22

Wu x dx

W

Sustituir 1u y 2u , en la solución particular 1 1 2 2py u y u y

Escribir la solución general de la ecuación diferencial, que viene dada por:

c py x y y

Ejemplo 1. Resuelva tany y x

Como la ecuación ya está en su forma reducida, entonces procedemos a

determinar la solución complementaria, de 0y y , construyendo primero la

ecuación auxiliar y determinando sus raíces:

1

2

20

1 00

m i

m im


1 2cos sincy C x C x



Por lo tanto como 1 cosy x y 2 seny x , entonces la solución particular

es:

1 2cos senpy u x u x

Ahora se determina los valores de W , 1W y 2W :

2 2cos sen

cos sen 1sen cos

x xW W x x W

x x

2

1 1 1

0 sen sentan sen

tan cos cos

x xW W x x W

x x x

2 2 2

coscos tan sen

sen tan

x oW W x x W x

x x

Con lo cual ahora se puede determinar las funciones incógnitas:

22

1 1 1

1 cossenln sec sen

cos cos

xxu x dx u x dx u x x x

x x

2 2sen cosu x xdx u x x

Por lo tanto la solución particular viene dada por:

ln sec sen cos cos sen cos ln secp py x x x x x y x x

Entonces se puede concluir que la solución general a la ecuación dada es:

1 2cos sen cos ln secy x C x C x x x



Ejemplo 2. Resuelva 2 3 2xy y y e x


determinar la solución complementaria, la cual viene dada por:

3

1 2

x x

cy C e C e

Por lo tanto como 3

1

xy e y 2

xy e , entonces la solución particular es:

3

1 2

x x

py u e u e


3

3 3 2

33 4

3

x x

x x x x x

x x

e eW W e e e e W e

e e

1 1 1

02 1 2

2

x

x x x

x x

eW W e e W e

e e

3

3 4 3

2 2 23

02 2

3 2

x

x x x x

x x

eW W e e W e e

e e


2 3 2 3

1 1 12

1 2 1 1 1 1

4 4 2 8 6

x

x x x x

x

eu x dx u x e e dx u x e e

e



4 3

2 2

2 2 22

2 1 1 1 1

4 4 2 8 2

x x

x x x x

x

e eu x dx u x e e dx u x e e

e


2 3 3 21 1 1 1 1 2

8 6 8 2 4 3

x x x x x x x

p py e e e e e e y e


3

1 2

1 2

4 3

x x xy x C e C e e

Nótese que cada vez que se resolvieron las integrales para hallar las funciones

1u y 2u , se obvió la constante de integración, y esto se debido a que si se utilizará, al

multiplicarla por las soluciones 1y y 2y se repetiría la solución complementaria.

3.5.2 Ecuaciones de orden superior.

Este método de variación de parámetros es posible generalizarlo para

ecuaciones diferenciales no homogéneas de orden n. Para ello primero se debe

escribir la ecuación en su forma reducida:

1

1 1 0

n n

ny P x y P x y P x y g x

La cual tiene una solución complementaria de la forma:

1 1 2 2 3 3c n ny C y C y C y C y



Entonces su solución particular es:

1 1 2 2 3 3p n ny u y u y u y u y

Que al sustituir en la ecuación diferencial, generaría el siguiente sistema de

ecuaciones:

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1 1

1 1 2 2 3 3

0

0

n n

n n

n n n n

n n

y u y u y u y u

y u y u y u y u

y u y u y u y u g x

Con lo cual, luego de emplear la regla de Cramer e integrar se tiene:

Ejemplo 3. Resuelva 2 2 xy y y y e


determinar la solución complementaria, la cual viene dada por:

2

1 2 3

x x x

cy C e C e C e

Por lo tanto como 3

1

xy e , 2

xy e y 3

xy e , entonces la solución

particular es:

3

1 2 3

x x x

py u e u e u e

31 21 2 3, , , n

n

W WW Wu dx u dx u dx u dx

W W W W



Ahora se determina los valores de W , 1W , 2W y 3W :

3

3 2 2 2 2

3

3 2 2 6 6

9

x x x

x x x x x x x

x x x

e e e

W e e e W e e e W e

e e e

1 1 1

0

0 2

x x

x x x x x x x x

x x x

e e

W e e W e e e e e W e

e e e

3

3 3 3 5

2 2 2

3

0

3 0 3 2

9

x x

x x x x x x x x

x x x

e e


e e e

3

3 3 3 3

3 3 3

3

0

3 0 3 4

9

x x

x x x x x x x x

x x x

e e


e e e


1 1 12

2 1 1

6 3 3

xx x

x

eu x dx u x e dx u x e

e

5

3 3

2 2 22

2 1 1

6 3 9

xx x

x


e

3

3 3 32

4 2 2

6 3 3

xx x

x


e




3 3 21 1 2 10

3 9 3 9

x x x x x x x

p py e e e e e e y e


3 2

1 2 3

10

9

x x x xy x C e C e C e e

Problemas propuestos.

1. 2 1sen 2 cosy y x x x x

Rta. 1 2cos sen ln seny x C x C x x x

2. 2 25 6 sec 1 2tanxy y y e x x

Rta. 3 2 2

1 2 tanx x xy x C e C e e x

3. 2 lnxy y y e x

Rta. 2

2

1 2

3ln

2 4

x x x xxy x C e C xe e x x e

4. 16 csc4y y x

Rta. 1 2

1 1cos 4 sen 4 cos 4 sen 4 ln sen 4

4 16y x C x C x x x x x

5. secy y x

Rta. 1 2cos sen sen cos ln cosy x C x C x x x x x



6. 2 5 sec2xy y y e x

Rta. 1 2

1 1cos 2 sen 2 sen cos 2 ln cos 2

2 4

xy x e C x C x x x x x

7. sen cosx x xy y e e e

Rta. 1 2 senx x x xy x C e C e e e

8. 3secy y x

Rta. 1 2

1cos sen sec

2y x C x C x x

9. seny y x

Rta. 1 2 3

1cos

2

x xy x C C e C e x

10. 22 8 2 x xy y y e e con 0 1, 0 0y y

Rta. 4 2 24 25 1 1

9 36 4 9

x x x xy x e e e e

3.6 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER.

Hasta ahora hemos visto técnicas para resolver, con relativa facilidad,

ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Ahora cuando en una

ecuación diferencial sus coeficientes son variables es realmente complicado obtener

una solución y para ello se utilizan las series de potencia. Sin embargo existe una

ecuación diferencial de coeficientes variables que es posible aplicarle las técnicas que

hemos visto hasta ahora, y se llama ecuación diferencial de Cauchy-Euler.



La ecuación de Cauchy-Euler, es toda ecuación diferencial que tenga la forma:

1 2

1 2

1 2 1 01 2

n nn n

n nn n

d y d y d y dya x a x a x a x a y f x

dx dx dx dx

Donde 1 2 1 0, , , , ,n na a a a a son coeficientes constantes.

Así como las ecuaciones diferenciales de coeficiente constante tenían como

solución general a mxy e , las ecuaciones de Cauchy-Euler tienen como solución

general a my x .

Para aprender a resolver ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler, primero

realizaremos el estudio cuando las ecuaciones son homogéneas.

3.6.1 Ecuaciones homogéneas

Para aprender a resolver ecuaciones de Cauchy-Euler homogéneas primero

empecemos analizando las de segundo orden para luego generalizar a cualquier

orden.

Una ecuación de Cauchy-Euler homogénea de segundo orden tiene la forma:

2 0ax y bxy cy

Como la solución general de esta ecuación tiene la forma my x , entonces al

derivar dos veces dicha solución y sustituirla en la ecuación, se tiene:

2 1 21 0 0m m m mam m x bmx cx x am b a m c



Con lo cual se obtiene la ecuación auxiliar de la ecuación diferencial.

2 0am b a m c

Ahora bien como se observa, que esta es una ecuación cuadrática, de la cual,

como ya se sabe, se puede obtener tres casos, de acuerdo al tipo de raíces que tenga la

ecuación, los cuales se analizarán a continuación:

CASO I. Raíces reales diferentes.

Ocurre cuando la ecuación auxiliar tiene dos raíces reales diferentes, es decir,

1 2m m con lo cual se obtienen las soluciones 1

1

my x y 2

2

my x . Como estas

soluciones son linealmente independientes, se puede concluir que la solución general


1 2

1 2

m my x C x C x

Ejemplo 1. Resuelva 2 3 8 0x y xy y .

Como se sabe este tipo de ecuación tiene como solución general my x , la

cual al derivar y sustituir en la ecuación diferencial se tiene:

2 2 1 21 3 8 0 2 8 0m m m mx m m x xmx x x m m





diferencial es:

2 4

1 2y x C x C x

CASO II. Raíces reales iguales.

Ocurre cuando la ecuación auxiliar tiene dos raíces reales iguales, es decir,

1 2m m con lo se obtendrá una sola solución 1

1

my x , donde

1

2

b am

a

. Sin

embargo una ecuación diferencial de segundo orden debe tener dos soluciones, por lo

tanto utilizando el método de reducción de orden, se puede determinar 2y x , a partir

de la ya conocida 1y x , esto es:

1

1

2 2

P x dx

m

m

ey x dx

x

Como la ecuación en su forma canónica se obtiene 2

0b c

y y yax ax

,

entonces b

P xax

, y además como ln

ln

b

a

b bx

xa ae e x

se tiene:

1 1 1

1 11

ln

2 2 22 2 2

b b bdx xax a a

m m m

m mm

e e xy x dx y x dx y x dx

x xx



Luego como

12

b am

a

entonces

12

b am

a

, por lo tanto:

1 1 1 12

2 2 2

b b b a b b a

m m m ma a a ay x x x dx y x x x dx y x x dx

Por consiguiente:

1 1 11

2 2 2

1ln

m m my x x dx y x dx y x x

x

Por lo tanto la solución general viene dada por:

1 1

1 2 lnm my x C x C x x

Ejemplo 2. Resuelva. 2 3 4 0x y xy y .

Como la solución general my x , la cual al derivar y sustituir en la ecuación

se tiene:




diferencial es:

2 2

1 2 lny x C x C x x



CASO III. Raíces complejas conjugadas.

Ocurre cuando la ecuación auxiliar, tiene dos raíces complejas, es decir,

1m i y 2m i , donde y son números reales con 0 y además

que 2 1i . Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es:

1 2

i iy x k x k x

Sin embargo, por lo general es preferible trabajar con funciones reales y no

con exponenciales complejas. Por lo tanto:

1 2 1 2

i i i iy x k x x k x x y x x k x k x

Luego como ln xx e , entonces se tiene:

ln ln

1 2

i x i xy x x k e k e

Ahora utilizando la formula de Euler, la cual viene dada por:

cos senie i

Se tiene:

ln cos ln sen lni xe x i x y ln cos ln sen lni xe x i x

Entonces:

1 2cos ln sen ln cos ln sen lny x x k x i x k x i x



Con lo cual:

1 2 1 2cos ln sen lny x x k k x k k x

Luego asumiendo que 1 1 2C k k y 2 1 2C k k , concluimos que la solución

general es:

1 2cos ln sen lny x x C x C x

Ejemplo 3. Resuelva 2 9 0x y xy y


se tiene:

2 2 1 21 9 0 9 0m m m mx m m x xmx x x m

Entonces la ecuación auxiliar es 2 9 0m , y sus raíces: 1 0 3m i y

2 0 3m i , por lo tanto se tiene que 0 y 3 , por consiguiente se puede

concluir que la solución general de la ecuación diferencial es:

1 2cos 3ln sen 3lny x C x C x

Ahora bien de manera más general, una ecuación diferencial de Cauchy-Euler

homogénea de orden superior tiene la forma:

11 2

1 2 1 0 0n nn n

n na x y a x y a x y a xy a y



Para esta ecuación se presentará tres casos que ayudarán en su resolución:

Caso I. Múltiples raíces diferentes.

Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales diferentes,

es decir,

1 2 1n nm m m m , entonces la solución general tiene la forma:

11 2

1 2 1n nm mm m

n ny x C x C x C x C x

Caso II. Múltiples raíces iguales.

Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales e iguales,


1 1 1 12 1

1 2 3ln ln lnnm m m m

ny x C x C x x C x x C x x

Caso III. Múltiples raíces complejas conjugadas iguales.

Si todas las raíces de la ecuación diferencial son conjugadas complejas

iguales, es decir, si 1m i es una raíz compleja de multiplicidad k, y su raíz

conjugada 2m i también es una raíz de multiplicidad k, entonces con base en

las 2k soluciones complejas, se tiene como solución general:

1 2 3 4

1

2 1 2

cos ln sen ln ln cos ln sen ln

ln cos ln sen lnn

n n

y x x C x C x x C x C x

x C x C x



Ejemplo 4. Resuelva 3 25 7 8 0x y x y xy y


se tiene:

3 3 2 2 1 3 21 2 5 1 7 8 0 2 4 8 0m m m m mx m m m x x m m x xmx x x m m m

Entonces se tiene como ecuación auxiliar a 3 22 4 8 0m m m , y sus

raíces: 1 2m , 2 0 2m i y 3 0 2m i , por consiguiente se puede concluir que la

solución general de la ecuación diferencial es:

2

1 2 3cos 2ln sen 2lny x C x C x C x

3.6.2 Ecuaciones no homogéneas.

Debido a que el método de coeficientes indeterminados solo se aplica a las

ecuaciones diferenciales de coeficiente constante, no es posible emplearlo en las

ecuaciones de Cauchy-Euler, por lo tanto el método que se utilizará para resolver

ecuaciones diferenciales no homogéneas será el de variación de parámetros.

Ejemplo 5. Resuelva 2 43 3x y xy y x

Sabiendo que la solución general es my x , entonces derivando y

sustituyendo en la ecuación diferencial luego de transformarla en homogénea, se

tiene:




Por lo tanto la ecuación auxiliar y sus raíces de la ecuación diferencial son:

12

2

32 3 0 3 1 0

1

mm m m m

m

Entonces la solución complementaria de la ecuación diferencial es:

3

1 2cy C x C x

Ahora se determina la solución particular por medio del método de variación

de parámetros. Sin embargo, es importante antes de empezar a utilizar este método,

verificar que la ecuación diferencial esté escrita en su forma reducida, con lo cual en

este caso, primero se debe dividir la ecuación diferencial por 2x

2 2 4 2

2

3 33 3x y xy y x x y y y x

x x

Luego, como las funciones 3

1y x y 2y x conforman a la solución

complementaria, entonces se tiene que la solución particular viene dada por:

3

1 2py u x u x


3

3 4 3

43 4

3 1

x xW W x x x W x

x



2 3

1 1 12

00

1

xW W x x W x

x

3

3 2 1

2 2 24 2

00

3

xW W x x W x

x x


3

6 7

1 1 13

1 1

4 4 28

xu x dx u x x dx u x x

x

1

2 3

2 2 23

1 1

4 4 12

xu x dx u x x dx u x x

x

Por lo tanto la solución particular es:

7 3 3 41 1 1

28 12 84p py x x x x y x

Con lo cual se concluye que la solución general de la ecuación diferencial

dada es:

3 4

1 2

1

84y x C x C x x


1. 2 2 lnx y xy y x x

Rta. 1 2cos ln sen ln lny x C x x C x x x x



2. 2 3lnx y xy y x x

Rta. 5

1 2

1ln ln

20y x C x C x x x x

3. 2 24 6 lnx y xy y x

Rta. 3 3

1 2 3

1ln ln

27y x C C x C x x

4. 3

2 2 21

xx y xy y

x

Rta. 2 2

1 2 ln 1 ln 1y x C x C x x x x x

5. 2

3

59 10x y xy y

x

Rta. 2 10 3

1 2

1

7y x C x C x x

6. 3 2 33 5x y x y y x

Rta. 2 3

1 2 3

1ln ln

27y x C C x C x x

7. 3 23 4 sen 3 lnx y x y xy x

Rta. 1 2 3

1cos 3 ln sen 3 ln ln sen 3 ln

6y x C C x C x x x

8. 2 3 0x y xy con 1 0, 1 4y y

Rta. 12 2y x x

CAPÍTULO 4

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Este capítulo está destinado a la presentación de diferentes problemas de

aplicaciones que puedan expresarse a través de modelos matemáticos en los que estén

involucradas ecuaciones diferenciales. Estos modelos podrán ser resueltos con las

técnicas vistas en los capítulos anteriores.

CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES


4.1 TRAYECTORIAS ORTOGONALES.

Dada dos familias uniparamétricas de curvas,

1, , 0f x y C y 2, , 0g x y C

Se dicen que son trayectorias ortogonales, si todas las curvas de una familia

cortan perpendicularmente a todas las curvas de la otra familia.

Con lo cual si f y g son ortogonales, entonces deben cumplir con la condición

de perpendicularidad entre dos curvas, la cual viene dada por:

1

,,

f x yg x y

En la figura 4.1 se observa como en ese caso la familia de curvas de la elipse

son ortogonales a la familia de curvas de la hipérbola.

Figura 4.1



Los pasos necesarios para calcular la familia de trayectorias ortogonales a la

familia uniparamétrica 1, , 0f x y C , son:

Se deriva la función 1, , 0f x y C

Si la derivada de f también está en función de C1, despejar de

1, , 0f x y C la constante C1, y sustituirla en f .

Construir la ecuación 1

,,

g x yf x y

, con la f encontrada en

el paso anterior.

Por último, al integrar la ecuación obtenida se determinará la función

2, , 0g x y C , cuyas curvas son ortogonales a las curvas de

1, , 0f x y C .

Ejemplo1. Determinar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas 2y Cx

Primero de la ecuación dada se obtiene:

2

yC

x con 0x

Luego se deriva la ecuación dada:

22 2 2

y yy Cx y x y

x x



Entonces según la condición de perpendicularidad, se tiene:

1 1

1

2

xy y

y y

Por consiguiente, resolviendo por variables separables

2

222 2

dy x xydy xdx y k

dx y

Por lo tanto la familia de curvas ortogonales a 2y Cx es:

2 2

12y x C


1. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia 2 3y Cx .

Rta. 2 2

12 3x y C

2. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de hipérbolas equiláteras

xy C

Rta. 2 2

1x y C

3. Determinar las trayectorias ortogonales de 2 2x y Cx

Rta. 2 2

1x y C y



4.2 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIAL

Quizás uno de los problemas sobre los cuales se han realizados mas estudios

son aquellos que involucran la predicción del crecimiento o decrecimiento de una

población. Este tipo de problema se consigue comúnmente en las ciencias de la salud,

con el estudio de crecimiento de bacterias, células, plantas, entre otros, pero también

los demógrafos al estudiar la cantidad de población en una zona determinada. Es

obvio que se trata de una predicción, y que para ello se pueden utilizar diferentes

modelos, sin embargo en este apartado se desarrollará el crecimiento exponencial, por

ser el más sencillo y versátil.

Todo problema de crecimiento y decrecimiento exponencial, tiene como

ecuación diferencial

0 0, dx

kx x t xdt

Donde x es la población por unidad de tiempo, t representa el tiempo y k es

una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos

en los que intervienen crecimiento, decaimiento o desintegración y por último 0x es

la población existente en cierto instante inicial 0t .

Entonces como:

dx

kxdt



Resolviendo mediante el método de variables separables, se tiene:

1

1 lnkt C ktdx

k dt x kt C x e x Cex

Ahora como se tiene unas condiciones iniciales tal que 0 0x t x , entonces:

0

0 0

0 00

kt kt

kt kt

x xx Ce C x e

e e

Suponiendo, como en casi todos los problemas, que 0 0t , entonces se tiene

la solución general:

0

ktx x e

Cabe destacar que si 0k , el problema es de crecimiento, del mismo modo si

0k , el problema será de decrecimiento, tal como lo muestra la figura 4.2

Figura 4.2

x

y

0k

0k

kty e



Ejemplo 1. Crecimiento poblacional.

Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una rapidez

proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento t. Si la

población se duplicó en 5 años, ¿En cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará?

La ecuación diferencial a utilizar es:

dx

k dtx

Cuya solución general ya sabemos que es:

0

ktx x e

De acuerdo al problema, se tiene como condiciones iniciales 05 2x x


5

0 0

12 ln 2

5

kx x e k

Con lo cual obtenemos la solución:

1

ln 25

0

t

x t x e

Ahora se determina en cuanto tiempo se triplicará la población, es decir

03x t x



Entonces:

1 1ln 2 ln 2

5 5

0 0

5ln33 3

ln 27,92

t t

x x e e t t

Y para determinar en cuanto tiempo se cuadruplicará la población, es decir

04x t x , se tiene:

1 1ln 2 ln 2

5 5

0 0

5ln 44 4 10

ln 2

t t

x x e e t t

Por consiguiente se concluye que se necesitan 7,92 años para triplicar la

población y 10 años para cuadruplicarla.

Ejemplo 2. Crecimiento bacteriano.

La población de una comunidad de bacterias crece a razón proporcional a su

población en cualquier momento t. Al cabo de 3 horas se observa que hay 400

individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 bacterias. ¿Cuál era la cantidad inicial de

bacterias?

Como este problema es de crecimiento, ya se sabe que su solución viene dada

por:

0

ktx t x e



En este caso las condiciones iniciales son 3 400x y 10 2000x , con

lo cual:

10

0

3

0

2000

400

k

k

x e

x e

Del sistema anterior se obtiene 0,22992k y 0 200x

Por lo tanto se concluye que la población inicial de bacterias era de 200.

Ejemplo 3. Antigüedad de un fósil.

Luego de analizar un hueso fosilizado, se verificó que poseía la centésima

parte de la cantidad original de C-14. Determine la edad del fósil sabiendo que el

período medio (tiempo en desintegrarse la mitad del compuesto) del C-14 es

aproximadamente 5600 años.

Como se sabe la ecuación a utilizar para este tipo de problema es:

0

ktx t x e

De acuerdo a lo planteado en el problema 056002

xx , por lo tanto se tiene:

5600 560000

10,00012378

2 2

k kxx e e k



Por consiguiente se obtiene la solución general:

0,00012378

0

tx t x e

Ahora como actualmente se tiene una centésima parte de la cantidad inicial de

C-14, entonces 0

100

xx t , por lo tanto:

0,00012378 0,0001237800

137204,48

100 100

t txx e e t

Con lo cual se concluye que el fósil tenía una edad aproximada de 37.204.


1. Cuando se produce cierto alimento, se estima en N el número de organismos

de una cierta clase presentes en el paquete. Al cabo de 60 días el número N ha

aumentado a 1000N. Sin embargo, el número 200N es considerado como el

límite saludable. A cuantos días, después de elaborado, vence el alimento.

Rta. 46.02 días

2. Se ha determinado que el 0,5 por ciento del radio desaparece en 12 años.

Determine: ¿Qué porcentaje desaparecerá en 1000 años? y ¿Cuál es la vida

media del radio?

Rta. 43,2%; 1.660 años



4.3 LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO.

Según la ley de Newton, en un cuerpo que esta enfriándose, la tasa de cambio

de la temperatura con respecto al tiempo, es proporcional a la diferencia de la

temperatura del cuerpo (T) y la temperatura del medio ambiente que lo rodea mT ,

esto se traduce en:

m

dTk T T

dt con 00T T

Donde k es la constante de proporcionalidad, y 0T es la temperatura inicial

del cuerpo.

Este tipo de ecuación diferencial puede ser resuelta por la técnica de variables

separables, con lo cual se tiene:

ln m

m

dTkdt T T kt C

T T

Como el problema es de enfriamiento siempre se cumple que mT T entonces

m mT T T T

Por consiguiente se tiene que:

kt C kt

m mT T e T T Ce

Cabe destacar que si el cuerpo se enfría entonces siempre 0k , pero caso

contrario si el cuerpo se calienta entonces 0k .



Ejemplo 1. Una cabilla de acero es sacada de un horno a una temperatura de 1000°C,

y es llevaba a un espacio cuya temperatura ambiente es de 30°C. Si luego de 1 horas

la temperatura de la cabilla es de 60°C. Determine, ¿Qué temperatura tendrá la

cabilla luego de 30 minutos de haber salido del horno? y ¿en cuánto tiempo la

temperatura de la cabilla será de 40°C?

De acuerdo a los datos del problema se tiene que la temperatura del medio

ambiente es de 30°C, con lo cual de acuerdo a la solución de todo problema de

enfriamiento se tiene:

30kt kt

mT t T Ce T t Ce

Además de acuerdo a las condiciones iniciales del problema 0 1000T °C,

se tiene:

030 1000 30 970

kktT t Ce Ce C

Por lo tanto se obtiene:

30 970 ktT t e

Ahora como luego de 1 hora la temperatura que experimenta la cabilla es de

60°C, entonces 1 60T °C, se tiene:

160 30 970 3,4761

ke k



Entonces la solución general del problema es:

3,476130 970 tT t e

Para determinar la temperatura de la cabilla luego de 30 minutos (0,5 horas)

de haber salido del horno, se tiene:

3,4761 0,50,5 30 970 0,5 133,46T e T

°C

Por último, el tiempo transcurrido para que la cabilla esté a 40°C, es:

3,476140 30 970 1,316te t h.


1. Un cuerpo se calienta a 1100°C y se expone al aire libre a una temperatura de

100°C. Si al cabo de una hora su temperatura es de 600°C. ¿Cuánto tiempo

adicional debe transcurrir para que se enfríe a 300 C?

Rta. ln 5

ln 2t

2. Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone en un refrigerador a una

temperatura constante de 1°F. Si después de 20 minutos la temperatura del

cuerpo es de 40°F y 40 minutos mas tarde la temperatura del cuerpo es de

20°F. Determinar la temperatura inicial de este.

Rta. 81°F



4.4 MEZCLAS.

Una mezcla o solución es la unión de un soluto (gaseoso, líquido o sólido) con

un solvente (líquido o gaseoso).

Se tienen dos tipos de mezclas:

Gaseosas, cuando se disuelve un gas en otro gas

Líquidas, cuando se disuelve un sólido o líquido en un líquido o gas.

No importando el tipo de mezcla que se presente, todo problema de mezclado

viene dado por la ecuación diferencial:

e s

dAR R

dt

Donde A(t) es la cantidad de soluto presente en la mezcla en un tiempo

determinado, eR la tasa de entrada de la mezcla y sR la tasa de salida de la mezcla.

Figura 4.3

Mezcla

Entrada

Salida



Ejemplo1. Un tanque está lleno con 20 gal. de salmuera (solución de sal en agua), en

la cual están disueltas 10 lb. de sal. Entra al tanque a 2 gal/min salmuera con una

concentración de 4 lb. de sal por gal. Sale del tanque una mezcla a la misma tasa que

la que entra. Determinar, ¿Cuánta sal está presente en el tanque luego de 12 min? y

¿Cuánta sal está presente en el tanque luego de un tiempo largo?

De acuerdo a la ecuación diferencial que modela las mezclas, primero es

necesario determinar tanto las tasas de entrada como de salida. Entonces para la

entrada se tiene:

2 4 8min min

e e

gal lb lbR R

gal

Ahora para la tasa de salida se tiene:

2min 20 10 min

s e

gal Alb A lbR R

gal

Entonces se tiene que:

810

dA A

dt

Entonces usando el método de variables separables, se obtiene:

10ln 80 8080 10 10

tCdA dt t

A C A eA



Por consiguiente:

1080t

A t Ce

Pero como según las condiciones iniciales se tiene que para 0t están

contenidas en el tanque 10 lb de sal, es decir 0 10A , entonces:

0

1010 80 70Ce C

Con lo cual se obtiene la solución general del problema:

1080 70t

A t e

Se determinar la cantidad de sal presente en el tanque a los 12 min, se tiene:

12

1012 80 70 12 58,92A e A

lb

Por último para determinar l cantidad presente en el tanque luego de mucho

tiempo, se tiene:

10lim lim 80 70 lim 80t

t t tA t e A t


1. Un tanque contiene 100 galones de salmuera; 3 galones de salmuera la cual

contiene 2 libras de sal/galón de salmuera entran al tanque cada minuto. La

mezcla asumida uniforme sale a una velocidad de 2 gal/min. Si la



concentración es de 1,8 libras de sal/galón de salmuera al cabo de 1 hora.

Calcular las libras de sal que habían inicialmente en el tanque.

Rta. 118,08 libras

2. Un tanque tiene inicialmente 100 galones de agua pura. Una salmuera que

contiene 12 libra de sal/galón de salmuera fluye al interior del tanque a una

rapidez de 2 gal/min. y la mezcla bien homogenizada sale del tanque con la

misma velocidad. Después de 10 minutos el proceso se detiene y se introduce

al tanque agua pura con una rapidez de 2 gal/min, abandonando el tanque a la

misma velocidad. Determinar la cantidad de sal en el tanque cuando han

pasado un total de 20 minutos.

Rta. 7,34 libras

4.5 CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN SERIE.

Un circuito en serie es un conjunto de elementos activos y pasivos por los

cuales circula la misma intensidad de corriente i t . En este apartado estudiaremos

los circuitos RL y RC, para los cuales se crearán modelos matemáticos mediante el

uso de la segunda ley de Kirchhoff.

4.5.1 Circuito RL.

Es un circuito en serie que está conformado por un voltaje aplicado E t , un

resistor o resistencia R y un inductor L, tal como lo muestra la figura 4.4.



Aplicando la segunda ley de Kirchhoff y sabiendo que RV iR y L

diV L

dt ,

se tiene:

L R

diE t V V E t L iR

dt

Figura 4.4

Con lo cual luego de dividir por L, se obtiene:

E tdi Ri

dt L L

Que es una ecuación diferencial lineal, la cual se debe resolver como tal, sin

embargo si el voltaje aplicado E t es constante es posible resolver la ecuación

utilizando la técnica de variables separables.

Ejemplo 1. Un generador con una fuerza electromagnética de 100 voltios se conecta

en serie con una resistencia de 10 ohmios y un inductor de 4 henrios. Determine una

ecuación la corriente que circula por el circuito a los 2 s . Suponga que el circuito

inicialmente se encuentra abierto.



De acuerdo a los datos del problema y a la ecuación diferencial que modela un

circuito en serie RL, se tiene:

10 100 525

4 4 2

E tdi R di dii i i

dt L L dt dt

Entonces resolviendo la ecuación obtenida como una lineal de primer orden,

se determina primero el factor integrante, el cual viene dado por:

5 5

2 2dt t

t e t e

Por consiguiente:

5 5 5 5

2 2 2 25

25 252

t t t tdi di e e e i e

dt dt

En conclusión se obtiene que la intensidad de corriente viene dada por:

5

210t

i t Ce

Como el circuito inicialmente está abierto, entonces para un instante 0t , no

circula corriente por el circuito, es decir 0 0i , por lo tanto:

5 50

2 210 0 10 10t

i t Ce Ce C



Por lo tanto se tiene la ecuación de la corriente en función del tiempo para este

circuito:

5

210 10t

i t e

Entonces la corriente que circula por el circuito a los 2 microsegundos es:

65

2 106 6 522 10 10 10 2 10 5 10i e i

A

4.5.2 Circuitos RC.

Es un circuito en serie que está conformado por un voltaje aplicado E t , un

resistor o resistencia R y un capacitor C, tal como lo muestra la figura 4.5.

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff y sabiendo que RV iR y c

qV

C ,

donde q es la carga del capacitor, entonces se obtiene que:

C R

qE t V V E t iR

C

Ahora como dq

idt

, y además dividiendo toda la ecuación por R se obtiene:

1 E tdqq

dt RC R



Que es una ecuación diferencial lineal, la cual se debe resolver como tal, sin

embargo al igual que el circuito RL en serie, si el voltaje aplicado E t es constante

es posible resolver la ecuación utilizando la técnica de variables separables.

Figura 4.5

Ejemplo 2. Una fuerza electromotriz 5200 tE t e , se conecta con una resistencia

de 20 ohmios y un capacitor de 0,01 faradios. Asumiendo que el capacitor

inicialmente se encuentra descargado. Determine la carga y la corriente en cualquier

tiempo. Calcule la carga máxima y determine cuando se obtiene.

De acuerdo al problema se tiene:

551 1 200

5 1020 0,01 20

tt

E tdq dq e dqq q q e

dt RC R dt dt

La cual se resuelve como una ecuación lineal de primer orden, por lo tanto

primero se obtiene el factor integrante:

5 5dt tt e t e



Por consiguiente:

5 5 5 5 55 10 10 10t t t t tdq dq e e e qe q t t C e

dt dt

Ahora como inicialmente el capacitor esta descargado 0 0q , entonces se

tiene:

5 00 10 0 0C e C

Entonces se concluye que la carga para cualquier instante de tiempo es:

510 tq t te

Luego como dq

idt

, entonces la corriente para cualquier instante de tiempo

es:

5 5 510 10 50t t tdi t te i t e te

dt

Por último para determinar la carga máxima y el instante en que ocurre, es

necesario derivar la carga e igualar a cero, por lo tanto:

5 5 50 10 50 0 10 50 0 0,2t t tdqe te t e t

dt

s



Por consiguiente:

5 0,20,2 10 0,2 0,2 0,736q e q

culombios


1. Un generador con una fuerza electromotriz de 10sen 7E t t se conecta en

serie con una resistencia de 6 ohmios y un inductor de 2 henrios. Si para 0t

no circula corriente por el circuito. Determine la corriente para cualquier

instante de tiempo.

Rta. 35 353sen 7 7cos7

58 58

ti t t t e

2. Una resistencia R varía con respecto al tiempo de acuerdo a 1 0,01R t . Se

conecta en serie con un capacitor de 0,1 faradios y un generador con una

fuerza electromotriz de 100 voltios. Si la carga inicial en el condensador es de

5 culombios. Determine la carga y la corriente en función del tiempo y

además la carga máxima del condensador.

Rta. 1000

10 5 1 0,01q t t

; 1001

50 1 0,01i t t

; 10 culombios.

4.6 ABSORCIÓN DE DROGAS EN ÓRGANOS O CÉLULAS

En muchos estudios en la salud, en ocasiones es conveniente considerar un

organismo, como lo es un humano, un animal o planta, como una colección de



componentes individuales llamados Comportamientos. Dicho comportamiento puede

estar representado por un órgano, tal como lo es el estómago, el riñón, el pulmón,

entre otros; o un grupo de células las cuales actúan como una unidad.

Una problema importante consiste en la absorción de químicos (como por

ejemplo la droga), por un órgano o por células. Esto tiene aplicación en el campo de

la medicina, ya que puede ocurrir que ciertas drogas fatales se acumulen en un

órgano o un grupo de célula, y por consiguiente lleva a la destrucción parcial o total

de los mismos.

El caso más simple de situación o problema trata solamente con un

comportamiento. Pero cabe destacar que se puede estar en presencia de un sistema

que involucre dos o más comportamientos, por lo tanto, esto implica que la dificultad

de un ejercicio viene dado por el número de comportamientos.

Supongamos que un líquido transporta una droga dentro de un órgano de

volumen V cm 3 a una tasa de a cm 3 /seg, y sale a una tasa de b cm 3 /seg, tal como lo

muestra la figura 4.6. La concentración de la droga en el líquido es c g/cm. Entonces

si x, representa la concentración de la droga en el órgano (esto es el número de

gramos de la droga por cm), la cantidad de droga en el órgano en cualquier tiempo t

está dado por xV . Además el número de gramos por segundo que entran al órgano

en un tiempo t, está dado por ac , y el número de gramos por segundo que salen del

órgano viene dado por bx .



Figura 4.6

Ahora , la tasa de cambio de la cantidad de droga en el órgano es igual a la

tasa a la cual entra la droga menos la tasa a la cual sale, así que podemos decir que:

d

xV ac bxdt

La forma como se resolverá la ecuación diferencial dependerá de cuáles de los

elementos que intervienen en la ecuación son constantes y cuales variables.

Asumiendo que a, b, c y V son constantes, entonces resolvemos utilizando la

técnica de variables separables con la condición inicial es 00x x :

0

bt

Vdx ac ac

V ac bx x x edt b b

De acuerdo a los datos se nos pueden presentar dos casos:

Caso I: cuando a sea igual a b, tendríamos que la tasa de entrada es igual a la tasa de

salida, por lo tanto nuestra solución se convierte en.

0

bt

Vx c x c e

Volumen V a cm3/s b cm3/s



Caso II: cuando a sea igual a b, y 0x igual a cero (0), nuestro solución es:

1b

tVx c e

Ejemplo 1. Un líquido transporta una droga dentro de un órgano de 500 cm3 de

volumen, a una tasa de 10 cm3/seg y sale a la misma tasa. La concentración de la

droga en el líquido es de 0,08g/cm3. Asumiendo que inicialmente la droga no está en

el órgano encuentre:

a) La concentración de la droga en el órgano después de 30 segundos.

b) ¿Cuánto tiempo demoraría para que la concentración de la droga en el órgano

alcance 0,04 g/cm3 a los 30 segundos?

c) La concentración de la droga en el organismo a los 30 segundos, si la

concentración inicial es de 0,20 g/cm3.

De acuerdo a los datos del problema y como ya es conocida la solución de la

ecuación diferencial que modela este tipo de problema, entonces:

10

5000

10 0,08 10 0,080

10 10

tbt

Vac ac

x x e x eb b

Por consiguiente:

0,020,08 0,08 tx t e



Entonces la concentración de la droga luego de 30 segundos es:

0,02 3030 0,08 0,08 30 0,0361x e x

Ahora para determinar el tiempo que demoraría para que la concentración de

la droga en el órgano alcance 0,04g/cm3 se tendría que:

0,02 0,020,08 0,040,04 0,08 0,08 34,65 .

0,08

t te e t s

Por último para calcular la concentración de la droga en el organismo a los 30

segundos, si el órgano presenta una concentración inicial de 0,2 gr/cm3, se tiene:

10

3050030 0,08 0,20 0,08 30 0,146x e x

Ejercicio propuesto.

1. Suponga que un líquido de una droga entra a un órgano con una

concentración constante c, de tal manera que la tasa de entrada a es mayor que

la tasa de entrada b, lo que implica que el volumen del órgano se expande a

una tasa constante m de modo que 0V V mt . Si la concentración inicial de

la droga en el organismo es 0x , Determine la concentración en cualquier

tiempo.

Rta.

00

0

b m m

Vac acx t x

b m b m V mt



2. Suponga que se tiene el mismo anterior pero que el volumen varía de acuerdo

a 0 senV V m t , con 0 ,V m y constantes. Determine la concentración

de la droga está dada por el problema de valor inicial

Rta. 0 0

cos

sen sen

dx b m t bax

dt V m t V m t

con 0 0x

4.7 CRECIMIENTO LOGÍSTICO.

El modelo logístico está comprobado que es más preciso para el estimar el

crecimiento de algunos tipos de población en especifico. Por ejemplo las curvas

logísticas predicen con bastante exactitud el crecimiento de ciertas bacterias,

protozoarios, pulgas de agua y moscas de la fruta en un espacio predeterminado. Sin

embargo este tipo de modelo no es muy confiable cuando la población es muy

grande.

El modelo logístico viene dado por supones que la tasa per cápita de

crecimiento 1 dP

P dt

es igual a la tasa promedio de nacimiento, la cual se supondrá

que es constante, menos la tasa promedio de defunción, que es proporcional a la

población. Con lo cual se tiene:

1 dPa bP

P dt

Donde a y b son constantes.



Este tipo de ecuación diferencial puede ser resuelta por la técnica de variables

separables, por lo tanto:

dP dP dPP a bP dt dt

dt P a bP P a bP

El lado izquierdo de la ecuación debe ser resuelto por fracciones parciales con

lo cual se obtiene luego de integrar:

1

1 1ln ln ln atP P

P a bP t C at aC C ea a a bP a bP

Despejando, se obtiene:

1 1

1 11

at

at at

aC e aCP t P t

bC e e bC

Como 00P P y además 0a

Pb


01 1

0 10

1 01

at a

PaC aCP t P C

e bC a bPe bC

Con lo cual luego de sustituir, se obtiene la solución la cual viene dada por:

0

0 0

at

aPP t

bP a bP e

Ejemplo 1. La cantidad de supermercados que emplean cajas computarizadas en un

país, denotado por C t , está definida por el problema de valor inicial:



1 0,05dC

C Cdt

con 0 1C

Donde t expresada en años. Entonces determine: ¿cuántos supermercados

utilizan las cajas computarizadas luego de 10 años? y ¿Cuántos lo adoptarán después

de mucho tiempo?

Lo primero que hacemos es resolver la ecuación diferencial, mediante la

técnica de variables separables, entonces:

1 0,0005

1 0,0005 1 0,0005

ln ln 1 0,0005

dCdt dC dt

C C C C

C C t K

Luego como se tiene que 0 1C , entonces:

4ln 1 ln 1 0,0005 1 0 5,00125 10K K

Por consiguiente:

4 4ln ln 1 0,0005 5,00125 10 ln 5,00125 101 0,0005

CC C t t

C

Y además:

4

4

4

5,00125 105,00125 10

5,00125 101 0,0005 1 0,0005

tt

t

C ee C t

C e

Ahora se determinará el número de supermercados que utilizarán cajas

computarizadas luego de 10 años, entonces:



4 4

4 4

5,00125 10 10 5,00125 10

5,00125 10 10 5,00125 1010 10

1 0,0005 1 0,0005

t

t

e eC C

e e

Por consiguiente

10 1833C

Ahora luego de tanto tiempo se tiene:

0,0513

0,05132000

1 0,0005

t

tt t t

eLimC t Lim LimC t

e

APÉNDICE I

NÚMEROS COMPLEJOS

Existen infinitas ecuaciones que no tienen soluciones reales. Un ejemplo

característico de ello es la ecuación cuadrática

2 4 0x

La cual no posee raíces reales, debido a que ningún número real al ser

sustituido en la variable x puede satisfacer la ecuación. Esta problemática fue razón

suficiente para que matemáticos hayan creado un nuevo sistema que utiliza la unidad

imaginaria i, la cual viene definida por:

APÉNDICE I. NÚMEROS COMPLEJOS


. 1i donde 2 1i

Entonces de acuerdo a lo anterior si se tiene la ecuación cuadrática 2 4 0x ,

sus raíces se obtienen de la siguiente forma:

4 4 1 4 1 2x x x x i

A partir de la definición de la unidad imaginaria, se tiene que:

2 1i

iiiii )1(23

4 2 2 2( ) ( 1) 1i i

5 4 1i i i i i

6 4 2 1( 1) 1i i i , y así para cualquier potencia entera de i.

Raíz cuadrada de un número negativo.

Si m es un número positivo, la raíz cuadrada del número negativo –m viene

dada por:

m mi

Es importante ser precavido al aplicar ciertas propiedades de los números

reales, debido a que por ejemplo se puede pensar que:



416)4)(4(44 , lo cual es incorrecto.

Esto es debido a que la propiedad ab a b , no es válida si a y b son

valores reales negativos. Para evitar estos errores, es conveniente utilizar m mi ,

con lo cual:

44)2)(2(1414)1(4)1(444 2 iii ,

lo cual es correcto.

Número complejo.

Es un número que puede escribirse de la forma a bi , siendo a y b números

reales y 0b . En todo número complejo a bi , a recibe el nombre de parte real y

bi el de parte imaginaria. Si 0a , el número complejo se llama imaginario puro.

Todo número complejo a bi se puede representar como un punto ,a b en

un plano coordenado, llamado plano complejo. El eje horizontal de este plano se

llama eje real y al eje vertical se le denomina eje imaginario, tal como se muestra en

la figura A.1.

Conjugado de un número complejo.



Todo número complejo a bi tiene como conjugado al número a bi , y

viceversa. Por ejemplo el número conjugado de 4 3i es el número 4 3i .

Figura A.1

Operaciones con números complejos.

Dados dos números complejos 1z a bi y 2z c di , entonces las

siguientes operaciones son permitidas:

a. Suma 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )z z a bi c di z z a c b d i

b. Resta 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )z z a bi c di z z a c b d i

c. Multiplicación 1 2 1 2( )( ) ( ) ( )z z a bi c di z z ac bd ad bc i

d. División

1 1 1

2 2

2 2 2

ac bd bc ad iz z za bi a bi c di

z c di z c di c di z c d

r

b

a

Eje

imaginario

Eje real

,a b



Forma polar de un número complejo.

La forma polar de todo número complejo z, donde z a bi , es:

cos senz r i

Donde cosa r , senb r y 2 2r a b , esto se puede apreciar en la

figura A.1. Aquí al parámetro r, se le denomina módulo de z, y a se le llama

argumento de z.

Fórmula de Euler.

La fórmula de Euler viene dada por la identidad:

cos senie i

Esto permite escribir la forma polar de un número complejo como:

iz re

A continuación se presenta a partir de la ecuación iz re , otra forma mucho

más sencilla de multiplicar y dividir los números complejos.

Multiplicación de números complejos.

Dados dos números complejos 1

1 1

iz re y 2

2 2

iz r e , entonces el producto

de 1z y 2z , viene dado por:



1 21 2

1 2 1 2 1 2 1 2

ii iz z re r e z z rr e

División de números complejos

Dados dos números complejos 1

1 1

iz re y 2

2 2

iz r e , entonces el cociente

entre 1z y 2z , viene dado por:

1

1 21 2

2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

iii i

i

z re z r z re e e

z r e z r z r

APÉNDICE II

TABLA DE DERIVADAS

APÉNDICE II. TABLA DE DERIVADAS

Cristian Castillo

162

1. uDnuuD x

nn

x

1)(

2. vDuDvuD xxx )(

3. uvDvuDuvD xxx )(

4. 2v

vuDuvD

v

uD xx

x

5. uDeeD x

uu

x )(

6. uDaaaD x

uu

x ln)(

7. uDu

uD xx

1)(ln

8. uDuusenD xx cos)(

9. uDusenuD xx )(cos

10. uDuuD xx

2sec)(tan

11. uDuuD xx

2csc)(cot

12. uDuuuD xx tansec)(sec

13. uDuuuD xx cotcsc)(csc

14. uDu

uarcsenD xx21

1)(

15. uDu

uD xx21

1)(arccos

16. uDu

uD xx 21

1)(arctan

17. uDu

uarcD xx 21

1)cot(

18. uDuu

uarcD xx

1

1)sec(

2

19. uDuu

uarcD xx

1

1)csc(

2

20. uDuusenhD xx cosh)(

21. uDusenhuD xx )(cosh

22. uDuhuD xx

2sec)(tanh

23. uDuhuD xx

2csc)(coth

24. uDuuhuhD xx tanhsec)(sec

25. uDuuhuhD xx cothcsc)(csc

APÉNDICE III

TABLA DE INTEGRALES

APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES

Formas elementales

1. cudu

2. caudua

3. duugduufduuguf )()()]()([

4. )1(1

1

ncn

uduu

nn

5. cuu

du ln

Formas racionales que contienen bua

6.

cbuaabuabbua

duuln

12

7. cbuaabuaabuabbua

duu

ln)(22

11 22

3

2

8.

cbua

bua

a

bbua

duuln

122

9.

cbuaa

bua

abua

bbua

duuln2

1 2

32

2

10.

cbuabua

a

bbua

duu

1

2

1223

11.

c

bua

u

abuau

duln

1



12.

c

u

bua

a

b

aubuau

duln

122

13.

cbua

u

abuaabuau

du

ln

1122

Formas que contienen bua

14. cbuaabub

dubuau 23

323

15

2

15. cbuaaabuubb

dubuau 23222

3

2 81215105

2

16.

dubuau

nb

an

nb

buaudubuau n

nn 1

23

32

2

32

2

17.

cbuaabubbua

duu2

3

22

18. cbuaaabuubbbua

duu

222

3

2

84315

2

19.

bua

duu

nb

an

nb

buau

bua

duu nnn 1

12

2

12

2

20.

1ln 0

2arctan 0

a bu ac si a

a a bu adu

u a bu a buc si a

aa

21.

buau

du

na

nb

una

bua

buau

dunnn 11 12

32

1



22.

buau

duabua

u

dubua2

23.

11

23

12

52

1 nnn u

dubua

na

nb

una

bua

u

dubua

Formas que contienen 22 ua

24. ca

u

aua

du

arctan1

22

25. 2 2

1arctan

1ln

12coth

uh c si u a

du u a a ac

ua u a u aarc c si u a

a a

26. 2 2

1arctan

1ln

12coth

uh c si u a

du u a a ac

uu a a u aarc c si u a

a a

Formas que contienen 22 au

27. cauuau

du

22

22ln

28. cauua

auu

duau 22

22222 ln

22

29. cauua

auauu

duauu 22

42222222 ln

82

8

30. cu

auaaau

u

duau

22

22

22

ln



31. ca

uarcaau

u

duau

sec22

22

32. cauuu

au

u

duau

22

22

2

22

ln

33. cauua

auu

au

duu

222

22

22

2

ln22

34. cu

aua

aauu

du

22

22ln

1

35. ca

arcaauu

du

1sec

1

22

36. cua

au

auu

du

2

22

222

37. cauua

auauu

duau 22

422222

322 ln

8

352

8

38.

caua

u

au

du

222

23

22

Formas que contienen 22 ua

39. ca

uarcsen

ua

du

22

40. ca

uarcsen

aua

uduua 22

22222

41. ca

uarcsen

auaau

uduuau 8

28

42222222



42. 2 2

2 2 arccosa u du a

a u a h cu u

43. ca

uarcsen

u

ua

u

duua

22

2

22

44. ca

uarcsen

aua

u

ua

duu

22

222

22

2

45. cu

ah

ac

u

uaa

auau

du

arccos

1ln

122

22

46. cua

ua

uau

du

2

22

222

47. ca

uarcsen

auaau

uduua 8

352

8

422222

322

48.

cuaa

u

ua

du

222

23

22

Formas que contienen 22 uau

49. cau

auau

auduuau

11arccos2

22

222

50. ca

uauau

aauuduuauu

1arccos

22

6

322

32

222

51. ca

uauau

u

duuau

1arccos2

22

2

52. ca

u

u

uau

u

duuau

1arccos

222 2

2

2



53. ca

u

uau

du

1arccos

2 2

54. ca

uauau

uau

duu

1arccos2

2

2

2

55.

ca

uauau

au

uau

duu

1arccos

2

32

2

3

2

22

2

2

56. cau

uau

uauu

du

2

2

2

2

57.

cuaua

au

uau

du

22

23

2 22

58.

cuaua

u

uau

duu

2

23

2 22

Formas que contienen funciones trigonométricas

59. cuduusen cos

60. cusenduu cos

61. cuduu seclntan

62. cusenduu lncot

63. cucuuduu 21

41tanlntanseclnsec

64. cucuuduu 21tanlncotcsclncsc

65. cuduu tansec2



66. cuduu cotcsc2

67. cuduuu sectansec

68. cuduuu csccotcsc

69. cusenuduusen 24

1

2

12

70. cusenuduu 24

1

2

1cos 2

71. cuuduu tantan2

72. cuuduu cotcot 2

73.

duusenn

nuusen

nduusen nnn 21 1

cos1

74.

duun

nusenu

nduu nnn 21 cos

1cos

1cos

75.

duuu

nduu nnn 21 tantan

1

1tan

76.

duuu

nduu nnn 21 cotcot

1

1cot

77.

duu

n

nuu

nduu nnn 22 sec

1

2tansec

1

1sec

78.

duu

n

nuu

nduu nnn 22 csc

1

2cotcsc

1

1csc

79.

cnm

unmsen

nm

unmsendunusenmusen

22



80.

c

nm

unmsen

nm

unmsendunumu

22coscos

81.

cnm

unm

nm

unmdunumusen

2

cos

2

coscos

82. cuuusenduusenu cos

83. cusenuuduuu coscos

84. cuuusenuduusenu cos22 22

85. cusenuuuduuu 2cos2cos 22

86. duuunuuduusenu nnn coscos 1

87. duusenunusenuduuu nnn 1cos

88.

duuusen

nm

m

nm

uusenduuusen nm

nmnm cos

1coscos 2

11

Formas que contienen funciones trigonométricas inversas

89. cuuarcsenuduuarcsen 21

90. cuuuduu 21arccosarccos

91. cuuuduu 21lnarctanarctan

92. cuuarcuduuarc 21lncotcot

93. cuuuarcuduuarc 1lnsecsec 2



94. cuuuarcuduuarc 1lncsccsc 2

Formas que contienen funciones exponenciales y logarítmicas

95. cedue uu

96. ca

adua

uu ln

97. cueduue uu 1

98. dueuneudueu ununun 1

99. duau

a

n

a

auduau un

unun 1

lnln

100.

11 1

1

1 n

u

n

u

n

u

u

due

nun

e

u

due

101.

11 1

ln

1 n

u

n

u

n

u

u

dua

n

a

un

a

u

dua

102. cuuuduu lnln

103.

cunn

uduuu

nn

1ln11

ln2

1

104. cuuu

du lnln

ln

105. cnunnusenana

edunusene

auau

cos

22

106. cnusennnuana

edunue

auau

coscos

22



Formas que contienen funciones hiperbólicas

107. cuduusenh cosh

108. cusenhduu cosh

109. cuduu coshlntanh

110. cusenhduu lncoth

111. cusenhduuh arctansec

112. cuduuh 21tanhlncsc

113. cuduuh tanhsec 2

114. cuduuh cothcsc 2

115. cuhduuuh sectanhsec

116. cuhduuuh csccothcsc

117. cuusenhduusenh 2

12

4

12

118. cuusenhduu 2

12

4

1cosh 2

119. cuuduu tanhtanh2

120. cuuduu cothcoth2

121. cusenhuuduusenhu cosh



122. cuusenhuduuu coshcosh

123. cnunnusenhana

edunusenhe

auau

cosh

22

124. cnusenhnnuana

edunue

auau

coshcosh

22

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Zill, D. (1997) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta

edición. International Thomson Editores. México.

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