ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Esp. Maestrante. Daniel Sáenz C.
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ECUACIONES DIFERENCIALES
EXACTAS
Esp. Maestrante. Daniel Sáenz C
Sea una función continua para la cual existen sus derivadas parciales, la expresión
Se denomina la diferencial total
DIFERENCIAL TOTAL
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 2
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 3
Encuentre la diferencial total de
Buscamos las derivadas parciales
Como la diferencial total es
Ejemplo 1.
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 4
Reemplazando se tiene
Ejemplo 1.
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 5
Encuentre la diferencial total de
Buscamos las derivadas parciales
Remplazando en la diferencial total
Ejemplo 2.
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 6
Encuentre la diferencial total de
Ejemplo 3.
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 7
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 8
Si la función es constante, ,la diferencial total es igual a cero
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Una ecuación diferencial de la forma
Se denomina EXACTA , si es la diferencial total de una función constante. Es decir si
Definición
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.
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Por el teorema de las segundas derivadas parciales tenemos que las derivadas cruzadas
son iguales, es decir
Criterio para verificar si una E.D es EXACTA
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.
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Como
Entonces
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.
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Con lo que se tiene
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.
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Verificar si la ecuación diferencial dada es exacta.
Ejemplo
𝑴 (𝒙 , 𝒚 ) 𝑵 (𝒙 , 𝒚 )
𝑴 𝒚=𝟐 𝒙 𝑵 𝒙=𝟐 𝒙
𝑴 𝒚=𝑵𝒙 𝑬 .𝑫 .𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 14
Verificar si la ecuación diferencial dada es exacta.
Ejemplo
𝑴 (𝒙 , 𝒚 ) 𝑵 (𝒙 , 𝒚 )
𝑴 𝒚=𝟒 𝒙+𝟒 𝒚 𝑵 𝒙=𝟒 𝒙+𝟐 𝒚
𝑴 𝒚≠𝑵 𝒙 𝑬 .𝑫 .𝑵𝑶 𝑬𝑺𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨
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Diga cuales de las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas
ACTIVIDAD
0)12(2 22 dyeyxdxyexy xx
0)2(23 322 dyyLnxySenxdxxyxCosxy
0)(2 2 dyxSecyxdxTanyxy
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Sea la ecuación diferencial EXACTA
Para encontrar la solución, se tienen en cuenta lo siguiente.1. Hacemos
SOLUCION DE LA ECUACION DIFERENCIAL EXACTA
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2. Integramos con respecto a x, tomando la constante de integración como una función de y (g(y) )
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.
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3. El resultado de la integral lo derivamos con respecto a y, e igualamos a la función
4. Simplificamos e integramos con respecto a y, para determinar la función .
5. Hacemos la función , y reemplazamos la función en el resultado de la primer integral, para obtener la solución
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Solucionar la ecuación diferencial exacta
1. Hacemos
Ejemplo
𝑴 (𝒙 , 𝒚 ) N
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ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 20
2. Integramos con respecto a x.
3. El resultado anterior lo derivamos con respecto a y e igualamos a N(x,y)
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Simplificando
Integrando con respecto a y
La solución es:
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.
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1. Hacemos
2. Integramos con respecto a x.
SOLUCIONAR 0)12(2 22 dyeyxdxyexy xx
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.
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3. Derivamos con respecto a y
4. Integrando con respecto a y
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 24
La solución es
𝑥2𝑦 2+𝑦 𝑒𝑥− 𝑦=𝐶
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Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales exactas
ACTIVIDAD
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.
26ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.
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Buscar parejas de diferenciales que sean la diferencial de un termino
Ejemplo solucionar
Eliminamos signos de agrupación
Otra forma de solución es
(2 𝑥 𝑦2+4 𝑦 )𝑑𝑥+(2 𝑥2𝑦+4 𝑥 )𝑑𝑦=0
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Agrupamos el primer con el tercer termino, y el segundo con el cuarto
Se derivó con respecto a x, la contante es
Se derivó con respecto a y, la contante es
Se derivó con respecto a x, la contante es
Se derivó con respecto a x, la contante es
Se derivó una
constante
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Con los términos constantes de cada diferencial, se forma el termino que buscamos al cual se le calculo el diferencial total
𝑑 (𝑥2 𝑦2 )+¿ = 𝑑 (𝐶 )
𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 :𝑥2 𝑦2+4 𝑥𝑦=𝐶
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Solucionar
¿(8𝑥 𝑦2+6 𝑦 𝑒2𝑥𝑦+6 )𝑑𝑥+ (8 𝑥2 𝑦+6 𝑥𝑒2𝑥𝑦−8 )𝑑𝑦=0
¿
(6 𝑥𝑦+4 𝑦2+2 𝑦 )𝑑𝑥+(3𝑥2+8 𝑥𝑦+2 𝑥 )𝑑𝑦=0
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.
31ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.