ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

Para una ecuación diferencial lineal, un problema de valores iniciales de orden n es:

En donde las ai, i=0, l,..., n son constantes reales, debemos resolver una ecuación polinomial de grado n:

Si todas las raíces de la ecuación anterior son reales y distintas, la solución general de la ecuación diferencial lineal de orden n es:

Por ejemplo, una ecuación de quinto grado podría tener cinco raíces reales distintas, o tres raíces reales distintas y dos complejas, o una real y cuatro complejas, cinco reales pero iguales, cinco reales pero dos iguales, etcétera. Cuando m1 es una raíz de multiplicidad k de una ecuación auxiliar de grado n (esto es, k raíces son iguales a ml), se puede demostrar que las soluciones linealmente independientes son:

Y que la solución general debe contener la combinación lineal

Por último, recuérdese que cuando los coeficientes son reales, las raíces complejas de una ecuación auxiliar siempre aparecen en pares conjugados. Así, por ejemplo, una ecuación polinomial cúbica puede tener dos raíces complejas cuando mucho.

Ejemplo:Ecuación diferencial de tercer ordenResolver y’’’ + 3y” - 4y = 0.Al examinar m3 + 3m2 - 4 = 0 debemos notar que una de sus raíces es m1 = 1.Si dividimos m3 + 3m2 - 4 entre m - 1, vemos que:

m3 + 3m2 - 4 = (m - 1)(m2 + 4m + 4) = (m - l)(m + 2)2.y entonces las demás raíces son rn2 = m3 = -2. Así, la solución general es

Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea

Debemos pasar por dos etapas:

i) Determinar la función complementaria, yc.ii) Establecer cualquier solución particular, yp, de la ecuación no homogénea.

Varios sistemas dinámicos lineales en donde cada modelo matemático es una ecuación diferencial con coeficientes constantes.

La función g es la entrada (función de entrada o función forzada) del sistema. La salida o respuesta del sistema es una solución de la ecuación diferencial en un intervalo que contiene a to que satisface las condiciones iniciales prescritas y(to) = yo, y’(to) =y1.

Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguadoLey de Hooke Supongamos que, como en la figura (b), una masa m1 está unida a un resorte flexible colgado de un soporte rígido. Cuando se reemplaza rn1 con una masa distinta m2, el estiramiento, elongación o alargamiento del resorte cambiará.

Según la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución, F, opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento s. En concreto, F = Rs, donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. Aunque las masas con distintos pesos estiran un resorte en cantidades distintas, este está caracterizado esencialmente por su numero k; por ejemplo, si una masa que pesa 10 libras estira 1/2 pie un resorte, entonces 10 = k(1/2) implica que k = 20 lb/ft. Entonces, necesariamente, una masa cuyo peso sea de 8 libras estirará el resorte 2/5 de pie.

Segunda ley de Newton Después de unir una masa M a un resorte, ésta lo estira una longitud s y llega a una posición de equilibrio, en la que su peso, W, está equilibrado por la fuerza de restauración ks. Recuérdese que el peso se define por W = mg, donde la masa se expresa en slugs, kilogramos o gramos y g = 32 ft/s2, 9.8 m/s2 o 980 cm/s2, respectivamente.

Como se aprecia en la figura anteriormente (b), la condición de equilibrio es mg = ks o mg - ks = 0. Si la masa se desplaza una distancia x respecto de su posición de equilibrio, la fuerza de restitución del resorte es k(x + s). Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que actúen sobre el sistema y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento libre), entonces podemos igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta, o resultante, de la fuerza de restitución y el peso:

El signo negativo de la ecuación (1) indica que la fuerza de restitución del resorte actúa en la dirección opuesta del movimiento. Además, podemos adoptar la convención que los desplazamientos medidos abajo de la posición de equilibrio son positivos.

Ecuación diferencial del movimiento libre no amortiguado Si dividimos la ecuación (1) por la masa m, obtendremos la ecuación diferencial de segundo orden d2xldt2 + (k/m) x = 0, 0 sea

donde w2 = k/m. Se dice que la ecuación describe el movimiento armónico simple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias asociadas con la ecuación son:x(O) = α, la cantidad de desplazamiento inicial, y x’(O) = β, la velocidad inicial de la masa. Por ejemplo, si α> 0, β< 0, la masa parte de un punto abajo de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba. Si α < 0, β = 0, la masa se suelta partiendo del reposo desde un punto ubicado |α| unidades arriba de la posición de equilibrio, etcétera.

Solución y ecuación del movimiento Para resolver la ecuación anterior observemos que las soluciones de la ecuación auxiliar m2 + w2 = 0 son los números complejos m1= wi,

m2 = -wi. Así, la solución general es:

x(t) = cl cos wt + c2 sen wt.

El periodo de las vibraciones libres que describe es T = 27π/w, y la frecuencia es f = l/T =w/2π.

Por ejemplo, para x(t) = 2 cos 3t - 4 sen 3t, el periodo es 2π/3 y la frecuencia es 3/2π.

El número anterior indica que la gráfica de x(t) se repite cada 2π/3 unidades y el ultimo numero indica que hay tres ciclos de la gráfica cada 27r unidades o, lo que es lo mismo, que la masa pasa por 3/2π. Vibraciones completas por unidad de tiempo. Además, se puede demostrar que el periodo 2π/w es el intervalo entre dos máximos sucesivos de x(t). Téngase en mente que un máximo de x(t) es el desplazamiento positivo cuando la masa alcanza la distancia máxima abajo de la posición de equilibrio, mientras que un mínimo de x(t) es el desplazamiento negativo cuando la masa llega a la altura máxima arriba de esa posición. Ambos casos se denominan desplazamiento extremo de la masa. Por último, cuando se emplean las condiciones iniciales para determinar las constantes c1 y c2 en la ecuación, se dice que la solución particular que resulta es la ecuación del movimiento.Ejemplo.Resuelva e interprete el problema de valor inicialEl problema equivale a tirar hacia abajo.una masa unida a un resorte 10 unidades de longitud respecto de la posición de equilibrio, sujetarla hasta que t = 0 y soltarla desde el reposo en ese instante. Al aplicar las condiciones iniciales a la solución

x(t) = C1 cos 4t + C2 sen 4tse obtiene x(0) = 10 = C1 1 + C2 . 0, y entonces c1 = 10; por consiguientex(t) = 10 cos 4t + c2 sen 4t.

Como x’(t) = -40 sen 4t + 4c2 cos 4, entonces x’ (0) = 0 = 4c2 . 1, así que c2= 0; por consiguiente, la ecuación del movimiento es x(t) = 10 cos 4t.Está claro que la solución indica que el sistema permanece en movimiento una vez puesto en movimiento y la masa va y viene 10 unidades a cada lado de la posición de equilibrio x = 0. Como se advierte en la figura, el periodo de oscilación es 2π/4 = π/2.

Movimiento críticamente amortiguadoUna masa de 8 Ib de peso estira 2 ft un resorte. Si una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 2 veces la velocidad instantánea actúa sobre el contrapeso, deduzca la ecuación del movimiento si la masa se suelta de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba de 3 ft/s.

SOLUCIÓN De acuerdo con la ley de Hooke, 8 = k(2) da k = 4 lb/ft. Entonces W = mg dam = 8/32 = 1/4 slug. Entonces la ecuación diferencial del movimiento es:

La ecuación auxiliar es m2 + 8m + 16 = (m + 4)2 = 0, de forma que m1 = m2 = -4.Luego el sistema es críticamente amortiguado yx(t) = c1e-4t

+c2te-4t

Al aplicar las condiciones iniciales x(O) = 0 y x’(O) = -3 vemos, a su vez, que c l

= 0 y c2 = -3.Así, la ecuación del movimiento esx(t) = -3te-4t.De x’(t) = -3e-4t ( 1 - 4t) tenemos que x’(t) = 0 cuando t = 1/4. El desplazamiento extremo correspondiente es x(1/4) = -3(1/4)e-1=-0.276 ft. En la figura vemos que podemos interpretar este valor como el punto en que el contrapeso alcanza una altura máxima de 0.276 ft sobre su posición de equilibrio.

Deflexión y pandeo de vigasConsideremos una viga de longitud L situada en posición horizontal y cuyos extremos están fijos. La deformación que sufre dicha viga puede modelizarse mediante el siguiente problema de contorno:

donde y(x) representa el desplazamiento o deflexión de la viga respecto de la horizontal en el punto x є [0, L], E es el módulo de elasticidad de Young, I denota el momento de inercia y w es el peso por unidad de longitud de la viga. Las condiciones de contorno establecen que los extremos de la viga permanecen fijos.

En este caso la ecuación diferencial puede resolverse mediante una doble integración.

Si llamamos α=−w2EI

, resulta que

siendo C1 una constante de integración. De nuevo integramos para obtener:

donde C2 es otra constante de integración. Las constantes C1 y C2 pueden determinarse imponiendo las condiciones de contorno:

Por tanto, la única solución del problema de contorno viene dada por

En particular, podemos determinar la deflexión máxima que, por simetría, se da en el punto xmax = L/2:

En general, la teoría de elasticidad determina que, para deflexiones relativamente pequeñas de una viga horizontal uniforme, la curva de deflexión y(x) viene determinada por la ecuación diferencial.

EI y4 ( x )=ω,x∈[0 , L]

donde E es el módulo de Young del material, I es el momento de inercia, w es el peso de la viga y L es su longitud. La solución de esta ecuación diferencial puede obtenerse por integración directa. En efecto, si integramos una vez obtenemos

EI y3 ( x )=ωx+C1Integrando de nuevo, resulta:

EI y ' ' ( x )=12ωx2+C1 x+C2

Una nueva integración nos lleva a:

EI y ' (x )=16ω x3+1

2C1ωx

2+C2 x+C3Y la última integración nos da:

EIy ( x )= 124ωx 4+ 1

6ωx3C1+

12C2ωx

2+C3 x+C4

Para determinar las constantes arbitrarias C1, C2, C3 y C4, debemos imponer condiciones de contorno adecuadas en los extremos x = 0 y x = L de la viga.Dependiendo del tipo de soporte, en cada extremo de la viga puede considerarse una de las siguientes condiciones:

Sostenida simplemente: y = y’’ = 0.Empotrada o fija en el extremo: y = y’ = 0.Extremo libre: y’’ = y (3) = 0.

Por ejemplo, si consideramos una viga en voladizo, con el extremo x = 0 fijo y el extremo x = L libre, tendríamos las siguientes condiciones de contorno:y(0) = 0, y’(0) = 0, y’’(L) = 0, y(3)(L) = 0.Imponiendo estas condiciones en la solución general, se obtiene la siguiente curva de deflexión:

¿Cuál será la deflexión máxima en este caso? Para determinar dicho valor, igualamos la derivada de y(x) a cero:

Es decir, la derivada sólo se anula en x = 0, que es el extremo fijo. Esto nos indica que la función y(x) es estrictamente creciente, por lo que la deflexión máxima se producirá en el extremo x = L y será:

Para ello, consideremos una viga situada en vertical y fijada por sus extremos, a la que se aplica una carga P en uno de ellos. En tal caso, la forma de la viga y(x) puede obtenerse como solución del problema de contorno

Llamando α= PEI

, la ecuación diferencial puede escribirse como

y ' '=αy=0Al ser α > 0, las raíces de la ecuación característica λ2+α=0 son complejas λ=±√−α=±i √α. En tal caso, la solución general tendrá la forma

y ( x )=C1 cos (√α x )+C2 sen (√α x )

Imponiendo las condiciones de contorno, obtenemos:

Si C2 = 0, obtenemos la solución trivial: y (x )≡0. Esto significa que la viga no se deforma, cosa que sucede cuando la carga P aplicada es pequeña. Para obtener una solución no trivial del problema hemos de suponer C2 ≠ 0, lo que implica que √α L=0.Es decir, los únicos valores de a para los que hay soluciones no triviales del problema de contorno son aquellos que verifican la condición

De este modo, la viga no se deforma a menos que

donde n es un natural arbitrario. Sin embargo, como estamos interesados en el valor mínimo para el que se produce el pandeo, tomaremos n = 1.

Observación. A la primera carga que provoca la deformación de la viga,

se le conoce con el nombre de primera carga crítica o carga de pandeo de Euler. El problema de contorno posee pues infinitas soluciones, de la forma

En este caso, la amplitud C de pandeo permanece indeterminada.Sistemas análogosCircuitos en serie LRC Diversos sistemas físicos se pueden describir con una ecuación diferencial lineal semejante a la de las oscilaciones forzadas con amortiguamiento:

Si i(t) representa la corriente en el circuito elhtrico en serie LRC de la figura, las caídas de voltaje a través del inductor, resistor y capacitor.De acuerdo con la segunda ley de Kirchhoff, la suma de esas caídas es igual al voltaje E(t) aplicado al circuito; esto es,

Pero i = dq/dt relaciona la corriente i(t) con la carga del capacitor q(t), de manera que la ecuaciónanterior se transforma en la ecuación diferencial lineal de segundo orden

La nomenclatura que se emplea en el análisis de circuitos es similar a la que se usa en los sistemas de resorte y masa. Si E(t) = 0, las vibraciones electricas del circuito se llaman libres. Como la ecuación auxiliar es Lm2 + Rm + l/C = 0, habrá tres formas de la solución cuando R ≠0, dependiendo del valor del discriminante R2 - 4L/C. Se dice que el circuito es:

En cada uno de esos tres casos, la solución contiene el factor e−Rt2 L , así que

q(t)0 cuando t∞. En el caso subamortiguado, cuando q(O) = qo, la carga en el capacitar oscila según decrece; en otras palabras, el capacitar se carga y descarga cuando t∞. Cuando E(t) = 0y R = 0, se dice que el circuito es no amortiguado, y las vibraciones eléctricas no tienden a cero cuando t aumenta sin límite; la respuesta del circuito es armónica simple.

Circuito en serie subamortiguado

Determine la carga q(t) en el capacitor de un circuito en serie LRC, cuando L = 0.25 henry (h), R = 10 ohms (Q), C = 0.001 farad (f), E(t) = 0, q(O) = qo coulombs (C) e i(O) = 0 amperes (A).

SOLUCIÓN Como 1/C = 1000, la ecuación se transforma en14q ' '+10q'+1000q=0

Entonces:q ' '+40 q'+4000q=0

Al resolver esta ecuación homogénea, tenemos que el circuito es subamortiguado y que q(t) = e−20 t (c1 cos 60t + c2 sen 60t). Aplicamos las condiciones iníciales y obtenemos que c l = qo y c2 = qo/3. Entonces:

podemos escribir la solución anterior en la forma:

Cuando hay un voltaje E(t) aplicado en el circuito, se dice que las vibraciones eléctricas son forzadas. Cuando R ≠ 0, la íunción complementaria qc(t) de

se llama solución transitoria. Si E(t) es periódico o una constante, la solución particular, ap(t) de

es una solución de estado estable.