Ecuaciones Diferenciales para Noveles

Preparado por: José Acevedo Jiménez

Dedicado a: Adela Acevedo.

“Si la gente no piensa que las matemáticas son simples, es sólo porque no se dan cuenta de lo

complicada que es la vida.”

John Von Neumann.

Querido lector, el siguiente material ha sido elaborando pensando en aquellos

estudiantes que por una u otra razón enfrentan problemas para poder adentrarse

en el maravilloso universo del cálculo y más específicamente al mundo de las

ecuaciones diferenciales.

De antemano quiero que sepas que no existe nada que no puedas lograr siempre

y cuando te lo propongas. Muchos piensan que el cálculo es una asignatura difícil,

no voy a decir lo contrario, pero, si otros pueden aprenderlo, entonces: ¿Por qué

tu no?

Todo lo verdaderamente bueno en la vida tiene su costo. Se podría decir que

nada que realmente valga la pena es fácil de conseguir; pero al final, si ponemos

todo nuestro empeño en alcanzar eso que tanto deseamos, nuestros esfuerzos

habrán valido la pena.

Quiero que sepas que tengo fe en tu persona, de no ser así jamás me habría

tomado el tiempo para escribir este material.

¡Ánimos, tu puedes lograrlo!

Antes de iniciar nuestro viaje, es importante conocer algunos conceptos.

Ecuación: palabra que se deriva del latín aequare, que significa igualar. En

matemáticas, una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas,

cuyos miembros aparecen tanto a la derecha como a la izquierda del signo de

igualdad (=). Toda ecuación tiene una o más variables desconocidas llamadas

incógnitas, las constantes son los datos conocidos que pueden aparecer en la

ecuación.

Ejemplo:

Ahora que sabemos que es una ecuación, es más fácil definir lo que es una

ecuación diferencial.

Ecuación Diferencial: es una ecuación en la que figuran derivadas, que están

relacionadas con una o más funciones incógnitas.

Ejemplo:

Recordemos que:

En general:

Clasificación de las ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden o linealidad.

Según su tipo.

ED. Ordinarias: son las que contienen derivadas afines a una única variable

independiente.

Ej.:

ED. En Derivadas parciales: son las que contienen derivadas afines a dos o más

variables.

Según su orden.

Viene dado por el orden de la derivada más alta de la ecuación. Así tenemos que

la ecuación:

Es de segundo orden puesto que:

es su derivada más alta.

Según su linealidad.

Una ecuación diferencial es lineal si tiene la siguiente forma:

Esto implica que:

1) Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de

uno o cero.

2) En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable

independiente.

Ej.

Es una ecuación lineal

Si no se cumple una de las condiciones mencionadas, entonces podemos afirmar

que la ecuación diferencial es no lineal.

Es no lineal, puesto que el coeficiente de depende de

Es no lineal, puesto que el término , no es de primer grado.

Dada una ecuación diferencial en su forma polinómica, se dice que su grado es la

potencia de la derivada de mayor orden presente en la ecuación.

Solución de una ecuación e.d.

Es una función que al ser cambiada o sustituida en la ecuación diferencial, en cada

caso con las derivaciones correspondientes, satisface la ecuación.

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Al llegar a esta parte, aprenderemos a resolver ecuaciones diferenciales de primer

orden. Existen diferentes técnicas para resolver ecuaciones diferenciales, sin

embargo son tres las fundamentales: variables separables, exactas y lineales, el

resto puede, mediante una sustitución, ser transformado en una de las tres antes

mencionadas.

Ecuaciones diferenciales en variables separables

Una e.d. es de variable separable si se puede expresar de la siguiente manera:

Una vez identificada esta ecuación, se procede a resolverla siguiendo los

siguientes pasos:

a) Expresar la e.d. de la forma:

b) Integrar la e.d. : c

c) Si se puede, expresar la solución de manera explícita:

Ejemplos:

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.

1) Recordando:

Separando las variables tenemos:

Integramos ambos miembros de la ecuación:

Una vez llegado a este punto, es importante tener una noción de las integrales, a modo de reforzamiento

incluimos el siguiente enlace: www.inetor.com/

Al resolver las integrales tenemos:

Despejando tenemos:

2)

Separando variables, tenemos:

Integrando ambos miembros de la ecuación, nos queda:

Y finalmente despejamos a

Es posible que se estén preguntando, ¿de dónde sale la ?

Recordemos que la derivada de cualquier constante es igual a 0, supongamos que

tenemos la siguiente función: x) = . Si la derivamos nos

queda: x) = .

Si queremos volver a la función original debemos integrar a x)

Como se puede ver, el 2 no figura en la función; de ahí que se agregue una

constante de integración para evitar ambigüedad.

3)

Al resolver las integrales de ambos miembros nos queda:

Puesto que en este caso la variable no puede ser despejada, conviene dejar la

ecuación como está.

Ejercicio:

Resolver la siguiente ecuación diferencial usando el método de separación

de variables.

Es bueno tener presente:

Para identificar y resolver ecuaciones diferenciales separables, resulta de

gran ayuda repasar los diferentes casos de factorización, aprendidos en

cursos anteriores de algebra.

A continuación incluimos un enlace de la UNAM (autor: Dr. José Manuel Becerra

Espinosa) donde se explican los diferentes casos de factorización.

http://www.google.com.do/url?sa=t&rct=j&q=los+10+casos+de+factorizacion+con+ejemplos+pdf&source=web&cd=5&cad=rja&ved=0CFAQFjAE&url=http%3A%2F

%2Fwww.fca.unam.mx%2Fdocs%2Fapuntes_matematicas%2F07.%2520Factorizacion.pdf&ei=_dokUZKgFOmW0QHwqoCgDg&usg=AFQjCNEEQhr8jgO-

W9E9fbMKqyvWR7Z4bA

Ejemplo de ecuación diferencial no separable:

Una ecuación diferencial como la que se muestra a continuación es no separable,

pues las variables correspondientes no se pueden expresar en función de su

derivada.

E.d. no separable

Método de cambio de variables

Ecuaciones diferenciales homogéneas: se dice que una ecuación diferencial

ordinaria de primer orden es homogénea si se puede expresar de la siguiente

manera:

En estas, y representan funciones homogéneas del mismo

grado. Para resolver este tipo de ecuaciones usamos el método de cambio de

variables para luego transformarla en una ecuación en la que se pueden separar

sus variables.

Ejemplo:

1)

Como se observa, no podemos separar las variables en términos de sus derivadas

correspondientes. Para resolver la ecuación, hacemos lo siguiente:

Luego, derivando tenemos:

Ahora podemos sustituir a y a en:

Para obtener:

Como se puede ver, la ecuación original ha sido transformada a una ecuación

diferencial de variables separables.

Integrando ambos miembros de la igualdad tenemos:

Al resolver las integrales, nos queda:

Como:

Al despejar tenemos que:

Finalmente sustituimos a , en la última igualdad, tenemos:

Ecuaciones diferenciales exactas.

Una ecuación diferencial es exacta si tiene la siguiente forma:

En estas se debe cumplir siempre que:

Ejemplo:

1)

Hacemos y

Si derivamos respecto a tenemos:

Si derivamos respecto a tenemos:

Por lo tanto:

y podemos decir que la ecuación diferencial es exacta.

Obsérvese que hemos introducido una nueva nomenclatura para indicar las

derivadas. Usamos

en vez de

, esto nos indica que estamos trabajando con

derivadas parciales.

Solución 1

Solución 2

Nota: El ejemplo ha sido tomado de la siguiente página: http://www.wikimatematica.org/

Para ampliar más el tema, se recomiendan los siguientes enlaces:

www.aprendematematicas.org.mx/formularios/ti.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Integración

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_diferencial

http://www.aprendematematicas.org.mx/buscador.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

http://www.google.com.do/url?sa=t&rct=j&q=clasificacion+de+las+ecuaciones+diferenciable+or

dinarias&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CC8QFjAA&url=http%3A%2F%2Fudomatematica.f

iles.wordpress.com%2F2010%2F02%2Fecuaciones-diferenciales-

ordinarias1.pdf&ei=Uv0fUYKtCMXU0gHi6oHoAw&usg=AFQjCNGKMcKkaiJDz78xSJWJaWPH

EN0FRw

www.aprendematematicas.org.mx/obras/AMDGB5.pdf

Agradecimiento a:

William Méndez, sin su apoyo e insistencia este documento jamás habría sido

escrito.