ECUACIONES DIFERENCIALES...

ECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIAS

Introducci on y m etodos elementales deresoluci on

7.1. Generalidades

Llamamosecuacion diferencial a toda ecuacion que relacione una o mas varia-bles independientes, una funcion de dichas variables y una o varias de sus deriva-das con respecto a ellas. Cuando solo hay una variable independiente se denominaecuacion diferencial ordinaria (EDO), mientras que si hay mas de una variableindependiente y derivadas parciales respecto de ellas recibe el nombre deecuaciondiferencial en derivadas parciales(EDP). En este curso solo nos ocuparemos delas EDOs.

La importancia de las ecuaciones diferenciales reside en el hecho de que mu-chas leyes de la naturaleza, tanto en fısica, como en quımica o como en biologıa,encuentran su expresion mas natural en terminos de ecuaciones diferenciales. Susaplicaciones se extienden incluso a la matematica (sobre todo a la geometrıa), laingenierıa, la economıa, la sociologıa. . . La razon ultima de esta ubicuidad delas ecuaciones diferenciales es que las derivadas expresan tasas de cambio,y unabuena parte de las leyes que encontramos en las mencionadas disciplinas expresanrelaciones entre una funcion y sus tasas de cambio. Por ejemplo, la segunda ley de

128 7 Introduccion y metodos elementales de resolucion

Newton,

md2x

dt2= F,

expresa la relacion de proporcionalidad (con constantem) que existe entre la fuer-za y la aceleracion (o variacion de la velocidad en el tiempo); la ley de Malthus,

dN

dt= κN,

expresa la proporcionalidad entre la velocidad de crecimiento de una poblacion yla propia poblacion; la ecuacion de Laplace,

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0,

expresa la propiedad deu(x, y) de ser una funcion armonica (parte real o imagi-naria de una funcion analıtica); etc.

Formalmente, expresamos una EDO como

F(

x, y, y′, . . . , y(n))

= 0,

dondey = y(x) es la funcion y las primas denotan sus derivadas. El orden de laderivada maxima involucrada define elorden de la EDO. Sin poner restriccionessobreF , la ecuacion anterior es excesivamente general y muy poco puede decir-se de ella. Cuando se restrige la forma deF se pueden definir clases de EDOs,muchas de las cuales son resolubles.

Una solucion de una EDO es una funcion y(x) que sustituida en la ecuacionanterior la convierte en una identidad. Por ejemplo, la ecuacion de segundo orden

y′′ − 5y′ + 6y = 0

tiene como soluciones

y(x) = e2x, y(x) = e3x,

o cualquier combinacion lineal arbitraria de ellas:

y(x) = c1e2x + c2e

3x.

La solucion a veces se obtiene como una ecuacion implıcita que relacionay y x;por ejemplo,

xy = ln y + c

7.1 Generalidades 129

es una ecuacion implıcita que determina la soluciony(x) de la ecuacion

y′ =y2

1 − xy

para toda constantec (lo que se puede verificar derivando implıcitamente y des-pejandoy′). Las curvas que describen las soluciones de una EDO se denominancurvas integrales.

Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto el hecho de que las soluciones delas EDOS dependen de constantes indeterminadas, de manera que hay familias pa-rametricas de funciones que resuelven una misma EDO. Esto es bastante general,aunque no necesariamente ocurre siempre; por ejemplo, la ecuacion

(y′)2+ 1 = 0

carece de solucion real, y la ecuacion

(y′)2+ y2 = 0

no tiene mas solucion quey = 0.Ası como, en general, la solucion de una EDO es una familia de curvas, dada

una familia parametrica de curvas se puede hallar (en condiciones muy generales)la ecuacion diferencial de la que son curvas integrales. Por ejemplo, si la familiaesta dada por la ecuacion

f(x, y, c) = 0,

con c el parametro que describe la familia, derivando implıcitamente se puedehallar otra ecuacion

g (x, y, y′, c) = 0.

Despejandoc en una de las ecuaciones y sustituyendo en la otra se llega a la EDO

F (x, y, y′) = 0.

Ejemplo7.1. Sea la familia de circunferencias descrita por

x2 + y2 = 2cx.

Derivando respecto ax,

2x + 2yy′ = 2c ⇒ x + yy′ = c.

Comoc esta despejada en esta ecuacion, sustituimos en la otra y obtenemos

x2 + y2 = 2x(x + yy′) = 2x2 + 2xyy′ ⇒ y′ =y2 − x2

2xy.

Esta es la ecuacion diferencial cuyas curvas integrales son las circunferencias anteriores.


Una observacion interesante al hilo de la busqueda de la EDO que verifica unafamilia de curvas, es que podemos hallar tambien una EDO para la familia decurvas ortogonal a la primera. El motivo es que si en un punto dado

(

x, y(x))

lapendiente de la curva esm = y′(x), un vector tangente a la curva en ese puntoes (1, m). Entonces, si(1, m′) es el vector tangente a la curva ortogonal en esemismo punto,

(1, m) · (1, m′) = 1 + mm′ = 0 ⇒ mm′ = −1.

Ası que la pendiente de la curva ortogonal sera

m′ = − 1

y′= −dx

dy.

No tenemos mas que cambiardy/dx por−dx/dy en la EDO de la familia originalde curvas y tendremos la EDO de su familia ortogonal.Ejemplos7.2.

(1) En el ejemplo anterior obtuvimos

dy

dx=

y2 − x2

2xy

como la EDO cuyas curvas integrales sonx2 + y2 = 2cx. La de la familia ortogonal sera,pues,

dx

dy=

x2 − y2

2xy.

Como esta ecuacion es identica a la anterior intercambiandox e y, la familia ortogonal decurvas serax2 + y2 = 2cy.

(2) La familia de circunferencias centradas en el origenx2 + y2 = c satisface la EDO

2x + 2yy′ = 0 ⇒ dy

dx= −x

y.

Su familia ortogonal verificarady

dx=

y

x,

que podemos tambien escribird

dxln y =

1

xy que, por lo tanto, tiene como solucion

ln y = ln x + ln c ⇒ y = cx.

Es decir, las curvas ortogonales a las circunferencias concentricas con el origen son las rectasque pasan por el origen.

7.2 Ecuaciones de primer orden 131

7.2. Ecuaciones de primer orden

Para empezar de lo simple a lo complicado partiremos del orden mas bajo parauna EDO. Ademas, nos restringiremos a aquellos casos en los quey′ se puededespejar como

dy

dx= f(x, y). (7.1)

Incluso una ecuacion tan sencilla comoesta no puede resolverse en todos los ca-sos, ası que limitaremos nuestro estudio a una serie de tipos canonicos para losque se dispone de una tecnica mecanica de resolucion. Para el resto de los casos,encontrar una solucion es un arte, y no hablemos de hallar un metodo general deresolucion de un tipo nuevo de ecuaciones.

En lo que a aspectos generales de la ecuacion (7.1) se refiere, veamos el siguien-te argumento acerca de sus soluciones. Supongamos quef(x, y) es una funcioncontinua en un rectanguloR del plano. Partamos del punto(x0, y0) ∈ R; entonces,por (7.1) sabemos que la pendiente de la curvay = y(x) que pasa por ese puntoesf(x0, y0). En un pequeno intervalo∆x la curva no se separa mucho de la rectay = y0 + f(x0, y0)(x − x0), ası que podemos tomar el punto cercano

(x1, y1) =(

x0 + ∆x, y0 + f(x0, y0)∆x)

,

que estara practicamente sobre la curva, y observar que la pendiente en ese nuevopunto seraf(x1, y1). Repitiendo el argumento construimos una aproximacion a lasolucion y = y(x), tanto mejor cuanto mas pequenos sean los “pasos”∆x. Estopodemos hacerlo desde cada punto del rectanguloR, de modo que, a la vista deeste razonamiento, el siguiente teorema resultara plausible:

Teorema 7.1(de Piccard). Si f(x, y) y ∂f/∂y son funciones continuas en unrectangulo cerradoR, por cada punto(x0, y0) del interior deR pasa unauni-ca curva integral de la ecuaciony′ = f(x, y).

La solucion generalde la ecuacion (7.1) es una familia uniparametrica de cur-vasy = y(x, c). Si consideramos la curva integral que pasa por(x0, y0), tendremosque

y0 = y(x0, c)

determina la constantec para esa curva concreta. El teorema de Piccard afirmaque se puede obtener una y solo una constantec para cada punto del rectanguloR.


Llamemosc0 al valor que resulta para la constantec. En ese caso, la curva integralque pasa por(x0, y0) sera

y = y(x, c0).

A esta solucion se la conoce comosolucion particular de la ecuacion que satis-face lacondicion inicial y = y0 cuandox = x0, y el problema que acabamos deresolver se denominaproblema de valores inicialesde la ecuacion (7.1).

En lo que sigue nos vamos a centrar en hallar la solucion general de los tiposcanonicos de la ecuacion (7.1) que pueden resolverse. En aras de la claridad, omiti-remos de la discusion todas las cuestiones relativas a la continuidad, derivabilidad,anulacion de denominadores, etc.

7.2.1. Ecuaciones de variables separadas

El tipo mas simple de ecuacion (7.1) es laecuacion de variables separadas,cuya forma es

dy

dx= g(x)h(y).

La manera de resolverla es escribirla como∫

dy

h(y)=

∫

g(x) dx + c

y hallar las correspondientes primitivas. Estoultimo no siempre puede hacerse,pero se considera que una EDO esta esencialmente resuelta cuando el problemase ha transformado en uno de hallar primitivas, como en este caso.Ejemplo7.3. Vamos a resolver la ecuacion

dy

dx=

x − 5

y2.

Como tiene variables separadas, la solucion sera∫

y2 dy =

∫

(x − 5) dx + c ⇒ y3

3=

(x − 5)2

2+ c,

de donde

y =3

√

3

2(x − 5)2 + k,

siendok = 3c una constante arbitraria.

Evidentemente, las funciones constantesy = c, tales quec es una raız deh(y),son soluciones de la ecuacion diferencial. Estas soluciones se pierden en el procesode resolucion al dividir porh(y), y eso es algo que hay que tener en cuenta alescribir la solucion general.


Ejemplo7.4. Considerese la ecuacion

dy

dx=

y − 1

x + 3.

Separando variables,∫

dy

y − 1=

∫

dx

x + 3+ ln c ⇒ ln |y − 1| = ln |x + 3| + ln c, c > 0.

Tomando exponenciales,

|y − 1| = c|x + 3| ⇒ y − 1 = ±c(x + 3),

donde el signo es el que corresponda, segun el dato inicial. Pero±c con c > 0 arbitraria es lomismo quec′ 6= 0 arbitraria, luego

y = 1 + k(x + 3).

Y, finalmente, comoy − 1 = 0 tiene por solucion y = 1, que serıa la solucion de la ecuaciongeneral conk = 0, eliminamos la restriccionk 6= 0 y tomamosk ∈ R arbitraria.

Por otro lado, esta claro que, salvo para algunas elecciones sencillas deh(y),la solucion de una ecuacion de variables separadas estara dada por una ecuacionimplıcita. Esto afecta en gran medida al dominio de las solucionesEjemplo7.5. Sea la ecuacion

dy

dx= xy3.

Separando variables,

∫

dy

y3=

∫

x dx + c ⇒ − 1

2y2=

x2

2+ c ⇒ 1

y2+ x2 = k > 0,

conk = −2c. En este caso se puede despejar

y =±1√k − x2

, .

pero es evidente de estas soluciones que su dominio esta limitado a(−√

k,√

k).Otra cosa ostensible de esta solucion general es quey = 0 es tambien solucion de la ecuacion,

y no esta englobada en la famila de curvas

1

y2+ x2 = k

para ningun valor de la constantek > 0, aunque sı la podemos incluir si escribimos la ecuacion

y2

1 + x2y2= k′, k′ ≥ 0.


Una ultima observacion relativa a la unicidad: aunque el teorema de Piccarddescriba una situacion muy general, a veces encontramos excepciones, y en ellasla unicidad de las soluciones no esta garantizada.Ejemplo7.6. Consideremos el problema de valores iniciales

dy

dx= y1/3 y(0) = 0.

Su solucion sera∫

dy

y1/3= x + c′ ⇒ 3

2y2/3 = x + c′,

de donde, tomandoc = 2c′/3,

y =

(

2x

3+ c

)3/2

.

Si imponemos la condicion inicial obtendremosc = 0, luego la solucion es, supuestamente,

y =

(

2x

3

)3/2

,

y efectivamente lo es, salvo por el detalle de que no es launica:y = 0 es tambien una solucion delproblema de valores iniciales. Notese quef(x, y) = y1/3 no es derivable eny = 0.

7.2.2. Ecuaciones lineales

La ecuacion lineal de primer orden es una ecuacion diferencial que puede es-cribirse en la forma

a1(x)dy

dx+ a0(x)y = b(x),

dondea1(x), a0(x), b(x) son funciones solo dex, no dey (de lo contrario la ecua-cion no serıa lineal).

Hay dos situaciones en las que es muy facil resolver esta ecuacion. La primeraes cuandoa0 = 0. Entonces la ecuacion se reduce a

a1(x)dy

dx= b(x),

y su solucion es, sencillamente,

y(x) =

∫

b(x)

a1(x)dx + c.

La segunda es menos trivial, y consiste en quea0(x) = a′1(x). Es este caso

a1(x)dy

dx+ a′1(x)y =

d

dx

[

a1(x)y]

= b(x),


con lo que

y(x) =1

a1(x)

[∫

b(x) dx + c

]

.

Claro que este caso rara vez se da. Sin embargo, vamos a tomarlo como base pararesolver el caso general.

Empecemos por llevar la ecuacion a la forma canonica

dy

dx+ P (x)y = Q(x),

dondeP (x) = a0(x)/a1(x) y Q(x) = b(x)/a1(x). Para llevar esta ecuacion ala forma anterior vamos a introducir lo que se denominafactor integrante. Unfactor integrante es una funcion µ(x) a la que se le exige que si se multiplica laecuacion por ella,

µ(x)dy

dx+ µ(x)P (x)y = µ(x)Q(x),

se convierta en una del caso anterior, es decir,

µ′ = µP (x).

Esta es una ecuacion de variables separadas, cuya solucion es

µ(x) = e∫

P (x) dx.

Con esta eleccion deµ(x),

µ(x)dy

dx+ µ(x)P (x)y = µ(x)

dy

dx+ µ′(x)y =

d

dx

[

µ(x)y]

= µ(x)Q(x),

con lo que

y(x) =1

µ(x)

[∫

µ(x)Q(x) dx + c

]

.

Ejemplos7.7.

(1) Vamos a hallar la solucion general de

1

x

dy

dx− 2y

x2= x cos x, x > 0.

Escrita en la forma canonica, esta ecuacion es

dy

dx− 2y

x= x2 cos x, x > 0.


ComoP (x) = −2/x,∫

P (x) dx = −2 ln |x|,

de modo que

µ(x) = e−2 ln |x| =1

x2.

Entonces

y(x) = x2

(∫

cos x dx + c

)

= x2 sen x + cx2.

(2) Consideremos ahora el problema de valores iniciales

y′ + y =√

1 + cos2 x, y(1) = 4.

El factor integrante seraµ(x) = e

R

1 dx = ex,

de modo que la solucion general de la ecuacion es

y(x) = e−x

(∫

ex√

1 + cos2 x dx + c

)

.

El inconventiente de esta expresion es que no hay una primitiva de la funcion integrandoexpresable en terminos de funciones elementales, ası que escribiremos mejor

y(x) = e−x

(∫ x

1

et√

1 + cos2 t dt + c

)

,

ya que de este modo, imponiendo la condicion inicial, resulta

y(1) = e−1c = 4 ⇒ c = 4e,

y, por lo tanto, la solucion del problema de valores iniciales es

y(x) = e−x

(∫ x

1

et√

1 + cos2 t dt + 4e

)

.

Para cada valor dex la integral debe ser evaluada numericamente.

Para acabar, daremos un teorema de existencia y unicidad para las ecuacioneslineales de primer orden:

Teorema 7.2.SeanP (x) y Q(x) dos funciones continuas en(a, b) y seax0 ∈(a, b). Entonces, para cualquiery0 ∈ R existe unaunica solucion en(a, b) alproblema de valores iniciales

dy

dx+ P (x)y = Q(x), y(x0) = y0,


y esta dada por la expresion

y(x) =1

µ(x)

(∫ x

x0

µ(t)Q(t) dt + µ(x0)y0

)

,

siendoµ(x) el factor integrante

µ(x) = e∫

P (x) dx.

7.2.3. Ecuaciones exactas

Consideremos las curvas de nivel de una funcion deF : R2 → R:

F (x, y) = c.

Estas curvas forman una familia uniparametrica, de modo que podemos buscarla ecuacion diferencial que verifican, tal como estudiamos en la introduccion delcapıtulo. Para ello derivamos implıcitamente respecto dex, y obtenemos

Fx + Fyy′ = 0,

dondeFx denota∂F/∂x y lo mismo paray. Como no hay rastro del parametrocen esta ecuacion, despejandoy′ obtenemos

dy

dx=

−Fx

Fy,

o, en la forma en que mas comunmente se expresa,

Fxdx + Fydy = 0.

Una ecuacion diferencial como esta recibe el nombre deecuacion exacta.El problema esta en que, dada una ecuacion diferencial, hay multiples maneras

de escribirla en la forma

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0,

y la cuestion, entonces, consiste en averiguar si, para alguna de esas formas, ocurreque

M(x, y) = Fx(x, y), N(x, y) = Fy(x, y).

En ese caso sabremos inmediatamente que las curvas integrales de la ecuacionestan dadas porF (x, y) = c.


Ejemplo7.8. Sea la ecuacion diferencial

dy

dx= −2xy2 + 1

2x2y.

Algunas de las formas de expresarla comoMdx + Ndy = 0 son

(2xy2 + 1) dx + 2x2y dy = 0,

2xy2 + 1

2x2ydx + dy = 0,

dx +2x2y

2xy2 + 1dy = 0.

Con un poco de vista nos daremos cuenta de que la primera es de laformaFxdx + Fydy = 0, si

F (x, y) = x2y2 + x.

Entonces, las curvas integrales son

x2y2 + x = c ⇒ y = ±√

c − x

x.

Cuando las funcionesM(x, y) y N(x, y) tienen derivadas parciales continuas,un criterio para saber siM = Fx y N = Fy es hallar las derivadas segundascruzadas de la supuestaF y comprobar si son iguales:

Fxy = Fyx ⇒ My = Nx.

Si son iguales sabemos a ciencia cierta que tal funcion existe.Ejemplos7.9.

(1) En el ejemplo anterior,

My(x, y) =∂

∂y(2xy2 + 1) = 4xy, Nx(x, y) =

∂

∂x2x2y = 4xy.

Entonces,Fx = 2xy2 + 1,

de dondeF (x, y) = x2y2 + x + g(y),

siendog una funcion arbitraria solo dey. Como por otro lado,

Fy = 2x2y = 2x2y + g′(y),

deducimos queg′(y) = 0 y por tantog(y) es una constante, que podemos elegir aribitraria-mente como0.


(2) Sea ahora la ecuacion(

2xy − 1

cos2 x

)

dx + (x2 + 2y)dy = 0.

La ecuacion es exacta porque

∂

∂y

(

2xy − 1

cos2 x

)

= 2x =∂

∂x(x2 + 2y).

Entonces,

Fx = 2xy − 1

cos2 x⇒ F (x, y) = x2y − tan x + g(y),

yFy = x2 + 2y = x2 + g′(y) ⇒ g′(y) = 2y ⇒ g(y) = y2.

Las curvas integrales seran, pues,

F (x, y) = x2y − tan x + y2 = c.

7.2.4. Factores integrantes

Consideremos la ecuacion

(x + 3x3 sen y)dx + x4 cos y dy = 0.

La ecuacion no es exacta porque

∂

∂y(x + 3x3 sen y) = 3x3 cos y 6= 4x3 cos y =

∂

∂x(x4 cos y).

Sin embargo, multipliquemosla porx−1; ahora

∂

∂y(1 + 3x2 sen y) = 3x2 cos y =

∂

∂x(x3 cos y),

con lo que la ecuacion resultante es exacta.Lo que ocurre en este ejemplo es general: una ecuacion dada en la forma

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

se puede multiplicar por una funcionµ(x, y) de manera que la ecuacion resultante,

µ(x, y)M(x, y)dx + µ(x, y)N(x, y)dy = 0

sea exacta. Una funcion ası se denominafactor integrante.


La idea del factor integrante es similar a la que ya utilizamos en las ecuacioneslineales, solo que ahora la busqueda de ese factor es mas difıcil, al tratarse de unafuncion de dos variables. De hecho, no hay una manera sistematica que funcionesiempre de hallar dichos factores integrantes; sin embargo, podemos encontrarlosen algunos casos. Para ver cuando, impongamos la condicion de integrabilidad dela ecuacion:

∂

∂y

[

µ(x, y)M(x, y)]

=∂

∂x

[

µ(x, y)N(x, y)]

,

que se convierte enMµy − Nµx = (Nx − My)µ.

Esta ecuacion es mas difıcil de resolver que la original, puesto que se trata de unaecuacion en derivadas parciales. Sin embargo, hay dos casos en los que se puedeencontrar la solucion:

(a) µ = µ(x). En este caso la ecuacion se reduce a

dµ

dx=

(

My − Nx

N

)

µ,

y para que tenga sentido, el cociente(My − Nx)/N debe ser funcion solo dex. Entonces,

µ(x) = exp

{∫

My − Nx

Ndx

}

.

(b) µ = µ(y). En este caso la ecuacion se reduce a

dµ

dy=

(

Nx − My

M

)

µ,

y para que tenga sentido, el cociente(Nx − My)/M debe ser funcion solo dey. Entonces,

µ(y) = exp

{∫

Nx − My

Mdy

}

.

Ejemplo7.10. Sea la ecuacion

(2x2 + y)dx + (x2y − x)dy = 0.

Claramente,My = 1 6= 2xy − 1 = Nx,


por lo que no es exacta. Ahora bien,

My − Nx

N=

1 − (2xy − 1)

x2y − x=

2(1 − xy)

−x(1 − xy)=

−2

x,

de modo que hay un factor integrante

µ(x) = e−2 ln |x| =1

x2.

Multiplicando la ecuacion por dicho factor obtenemos(

2 +y

x2

)

dx +

(

y − 1

x

)

dy = 0,

de la que resulta la solucion

2x − y

x+

y2

2= c.

Observese que hay, ademas, otra solucion de la ecuacion original: x = 0, que se ha perdido,logicamente, al multiplicar porx−2.

7.2.5. Sustituciones y transformaciones

Aunque toda ecuacion tiene un factor integrante, en la mayorıa de los casos esmuy difıcil hallarlo. Por eso vamos a identificar en este apartado una serie de tiposde ecuaciones que se pueden resolver mediante un adecuado cambio de variables.

Ecuaciones homog eneas de grado 0

Se dice que una funcionf(x, y) es homogenea de grado0 si para todot 6= 0 secumple

f(tx, ty) = f(x, y).

Si tomamost = 1/x econtramos la interesante propiedad de que una funcionhomogenea de grado0 verifica tambien la relacion

f(x, y) = f(1, y/x),

es decir, es una funcion de la variablev = y/x.Dada una ecuacion diferencial

dy

dx= f(x, y),

dondef(x, y) es una funcion homogenea de grado0 y, por lo que acabamos dever,f(x, y) = g(v). Comoy = vx,

dy

dx= v + x

dv

dx= g(v)


y, por lo tanto,

xdv

dx= g(v) − v,

es decir, la ecuacion se transforma, al escribirla en terminos dev = y/x y x, enuna de variables separadas.Ejemplo7.11. Sea la ecuacion

(xy + y2 + x2)dx − x2dy = 0.

Podemos escribirdy

dx=

xy + y2 + x2

x2=

y

x+

(y

x

)2

+ 1,

por lo que cambiando av = y/x,

v + xdv

dx= v + v2 + 1 ⇒ x

dv

dx= v2 + 1.

Entonces,∫

dv

1 + v2=

∫

dx

x+ c ⇒ arctan v = ln |x| + c ⇒ v = tan(ln |x| + c),

por lo tantoy = x tan(ln |x| + c).

Ecuaciones de la forma y′ = g(ax + by)

Supongamos que la ecuacion diferencial es de la forma

dy

dx= g(ax + by).

Entonces el cambio de variable natural esz = ax + by. Con este cambio,

dz

dx= a + b

dy

dx= a + bg(z),

de nuevo una ecuacion de variables separadas.Ejemplo7.12. Sea la ecuacion

dy

dx= y − x − 1 +

1

x − y + 2.

Podemos definirz = x − y, y entonces,

dz

dx= 1 − dy

dx= 2 + z − 1

z + 2,


de modo que∫

z + 2

(z + 2)2 − 1dz =

∫

dx + c′ ⇒ 1

2ln |(z + 2)2 − 1| = x + c′,

de donde, denotandoc = ±e2c′ ,

(z + 2)2 = ce2x + 1 ⇒ x − y + 2 = ±√

ce2x + 1 ⇒ y = x + 2 ±√

ce2x + 1.

Si incluimos el0 entre los posibles valores dec (con lo quec ∈ R arbitrario), la solucion generalincluye las solucionesy = x + 1 ey = x + 3 de la ecuacion original.

Ecuaciones de Bernoulli

Las ecuaciones de la formady

dx+ P (x)y = Q(x)yα, α 6= 1,

con P (x) y Q(x) dos funciones continuas en(a, b), se denominan ecuacionesde Bernoulli. Cuandoα = 0 o 1 la ecuacion es lineal y se resuelve como yasabemos. Para el resto de los valores deα se emplea la transformacion v = y1−α.Despejandoy = v1/(1−α) y sustituyendo en la ecuacion,

1

1 − αvα/(1−α) dv

dx+ P (x)v1/(1−α) = Q(x)vα/(1−α),

y dividiendo por(1 − α)−1vα/(1−α),

dv

dx+ (1 − α)P (x)v = (1 − α)Q(x),

que es una ecuacion lineal.Ejemplo7.13. Vamos a resolver la ecuacion

dy

dx= 5y − 5

2xy3.

Como se trata de una ecuacion de Bernoulli conα = 3, hacemos el cambiov = y−2 y obtenemosla ecuacion

dv

dx+ 10v = 5x.

Dado que el factor integrante de esta ecuacion lineal esµ(x) = e10x, la solucion general sera

v(x) = e−10x

(∫

5xe10x dx + c

)

=x

2− 1

20+ ce−10x.

Por tanto, la solucion de la ecuacion de Bernoulli sera

y(x) =±1

√

x2− 1

20+ ce−10x

,

que no incluye la soluciony = 0, perdida en el proceso de dividir por−1/(2y2).


Ecuaciones de Riccati

Las ecuaciones de Riccati son ecuaciones de la forma

dy

dx= P (x)y2 + Q(x)y + R(x).

No hay un metodo general de resolver una ecuacion comoesta, pero si por algunprocedimiento hallamos una solucion particularu(x), entonces la transformacion

y(x) = u(x) +1

v(x)

convierte la ecuacion de Riccati en una lineal env. Para verlo, no hay mas quesustituir:

y′ = u′ − v′

v2= P (x)

(

u2 + 2u

v+

1

v2

)

+ Q(x)

(

u +1

v

)

+ R(x),

pero comou′ = Pu2 + Qu + R, por ser solucion de la ecuacion de Riccati,

− v′

v2=

1

v2P (x)

(

2u(x)v + 1)

+Q(x)

v,

que se convierte en

dv

dx+

[

Q(x) + 2P (x)u(x)]

v = −P (x).

Ejemplo7.14. Sea la ecuaciondy

dx= x3(y − x)2 +

y

x,

que es una ecuacion de Riccati porque el termino de la derecha es un polinomio cuadratico enycon coeficientes dependientes dex. Una solucion evidente esu(x) = x, con lo cual, el cambio quevamos a hacer es

y(x) = x +1

v(x).

Sustituyendo,

1 − v′

v2=

x3

v2+ 1 +

1

xv,

de donde

v′ +1

xv = −x3.

El factor integrante de esta ecuacion es

µ(x) = eR

dx

x = eln |x| = |x|,


por lo que

v(x) =−1

|x|

(∫

|x|x3 dx + c′)

.

Como∫

|x|x3 dx = |x|x4/5,

v(x) = −x4

5− c′

|x| ,

y en consecuencia,

y(x) = x − 5|x||x|5 + c

,

siendoc = 5c′.Notese que esta ecuacion tiene infinitas soluciones que pasan porx = 0.

Ecuaciones con coeficientes lineales

Supongamos que tenemos una ecuacion de la forma

(a1x + b1y + c1)dx + (a2x + b2y + c2)dy = 0,

dondeai, bi, ci, i = 1, 2, son constantes. Sia1b2 = a2b1, entonces la ecuaciones de la formay′ = g(ax + by), cuya resolucion ya hemos estudiado. Ası pues,consideraremos el casoa1b2 6= a2b1.

En primer lugar estudiaremos el caso particularc1 = c2 = 0. En ese caso,

dy

dx= −a1x + b1y

a2x + b2y= −a1 + b1(y/x)

a2 + b2(y/x),

que es una ecuacion homogenea resoluble por el metodo que ya hemos visto ante-riormente.

En el caso general definimos

x = u + h, y = v + k,

conh y k constantes. Sustituimos y obtenemos[

a1u + b1v + (a1h + b1k + c1)]

dx +[

a2u + b2v + (a2h + b2k + c2)]

dy = 0.

Ahora elegimosh y k de manera que

a1h + b1k + c1 = 0,

a2h + b2k + c2 = 0.

Este sistema tiene solucion unica porquea1b2 6= a2b1, y esa eleccion deh y kreducen el problema al caso anterior dondec1 = c2 = 0.


Ejemplo7.15. Resolvamos la ecuacion

(−3x + y + 6)dx + (x + y + 2)dy = 0.

Comoa1b2 = −3 6= 1 = a2b1, k y h estaran dados por

−3h + k = −6,

h + k = −2,

cuya solucion esh = 1, k = −3. Definimos

x = u + 1, y = v − 3

y comodx = du y dy = dv la ecuacion queda

dv

du=

3 − (v/u)

1 + (v/u).

Definimos ahoraz = v/u y transformamos la ecuacion en

z + udz

du=

3 − z

1 + z⇒ u

dz

du=

3 − 2z − z2

1 + z.

La solucion de esta ecuacion es∫

z + 1

z2 + 2z − 3dz = −

∫

du

u+ c′,

o sea,1

2ln |z2 + 2z − 3| = − ln |u| + c′.

Tomando exponenciales,

z2 + 2z − 3 =c

u2,

dondec = ±ec′. Deshacemos elultimo cambio y(v

u

)2

+ 2v

u− 3 =

c

u2⇒ v2 + 2uv − 3u2 = c,

y deshaciendo el primero,

(y + 3)2 + 2(x − 1)(y + 3) − 3(x − 1)2 = c,

de dondey = −x − 2 ±

√

c + 4(x − 1)2.

7.2.6. Ecuaciones de segundo orden incompletas

La ecuacion diferencial general de segundo orden es de la forma

F (x, y, y′, y′′) = 0.

Hay, sin embargo, dos casos en que esta ecuacion es reducible a una de primerorden: cuandoF no depende dey y cuando no depende dex.


F no depende de y

Nos encontramos en este caso con la ecuacion

F (x, y′, y′′) = 0;

si definimosp = y′, entoncesp′ = y′′ y la ecuacion se reduce a una de primerorden:

F (x, p, p′) = 0.

Ejemplo7.16. Sea la ecuacionxy′′ − y′ = 3x2. Con el cambio de variable resulta la ecuacion

xdp

dx− p = 3x2 ⇒ dp

dx− p

x= 3x,

que es lineal. El factor integrante es

µ(x) = e− ln |x| =1

|x| ,

con lo que la solucion es

p(x) = y′(x) = |x|(

∫

3x

|x| dx + c

)

= 3x2 + c′|x|.

Entonces

y(x) = x3 + cx3

|x| + d,

conc = c′/2.

F no depende de x

En este caso la ecuacion se reduce a

F (y, y′, y′′) = 0.

De nuevo definimosp = y′, pero ahora, usando la regla de la cadena,

y′′ =dp

dx=

dp

dy

dy

dx= p

dp

dy,

con lo que la ecuacion se transforma en

F (y, p, pp′) = 0.


Ejemplo7.17. Se la ecuaciony′′ + k2y = 0. Hacemos la transformacion y obtenemos

pdp

dy= −k2y,

que tiene variables separadas. Entonces

p2 + k2y2 = c ≥ 0.

Comoc es una constante no negativa arbitraria, vamos a tomarla de la formac = k2a2, cona ∈ R

arbitraria. Entonces

p =dy

dx= ±k

√

a2 − y2,

otra ecuacion de variables separadas, cuya solucion es∫

dy√

a2 − y2= ±kx + b ⇒ arc sen(y/a) = ±kx + b.

Y definiendoA = ±a y ϕ = ∓b,y = A sen(kx + ϕ),

que puede escribirse tambieny = A1 sen kx + A2 cos kx,

siendoA1 = A cos ϕ y A2 = A sen ϕ.

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