Ecuaciones de MaxwellLas ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen por completo los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético.1

Contenido 1 Desarrollo histórico de las ecuaciones de Maxwell 2 Detalle de las ecuaciones o 2.1 Ley de Gauss o 2.2 Ley de Gauss para el campo magnético o 2.3 Ley de Faraday o 2.4 Ley de Ampère generalizada 3 En medios materiales 4 Ecuaciones de Maxwell 5 Potencial escalar y potencial vector 6 Consecuencias físicas de las ecuaciones o 6.1 Principio de conservación de la carga 7 Ecuaciones originales de Maxwell 8 Expresión de las ecuaciones en relatividad o 8.1 Primer par de ecuaciones de Maxwell 8.1.1 Obtención de las ecuaciones o 8.2 Segundo par de ecuaciones de Maxwell 8.2.1 Obtención de las ecuaciones 9 Expresión de las ecuaciones para una frecuencia constante 10 Véase también 11 Referencias y Notas 12 Enlaces externos Desarrollo histórico de las ecuaciones de Maxwell Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que aparecieron de manera separada en la publicación de 1861 On Physical Lines of Force por parte del científico James Clerk Maxwell. El trabajo en sí no era obra sólo de Maxwell, en las ecuaciones notamos la ley de Faraday (ecuación 54 en su trabajo), la ecuación 56, div B = 0, de su autoría, la ley de Ampère con correcciones hechas por él (ecuación 112) y la ley de Gauss (ecuación 113). Éstas expresan respectivamente como el cambio de los campos magnéticos producen campos eléctricos, la ausencia experimental de monopolos magnéticos, cómo una corriente eléctrica y el cambio en los campos eléctricos producen campos magnéticos y cómo cargas eléctricas producen campos eléctricos. En el

trabajo original de Maxwell se podían encontrar muchas otras ecuaciones pero se llegó a simplificarlas a estas cuatro.2

El aspecto más importante del trabajo de Maxwell en el electromagnetismo es el término que introdujo en la ley de Ampère; la derivada temporal de un campo eléctrico, conocido como corriente de desplazamiento. El trabajo que Maxwell publicó en 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, modificaba la versión de la ley de Ampère con lo que se predecía la existencia de ondas electromagnéticas propagándose, dependiendo del medio material, a la velocidad de la luz en dicho medio. De esta forma Maxwell identificó la luz como una onda electromagnética, unificando así la óptica con el electromagnetismo.3

Exceptuando la modificación a la ley de Ampère, ninguna de las otras ecuaciones era original. Lo que hizo Maxwell fue reobtener dichas ecuaciones a partir de modelos mecánicos e hidrodinámicos usando su modelo de vórtices de líneas de fuerza de Faraday.En 1884, Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agrupó estas ecuaciones y las reformuló en la notación vectorial actual. Sin embargo, es importante conocer que al hacer eso, Heaviside usó derivadas parciales temporales, diferentes a las derivadas totales usadas por Maxwell, en la ecuación (54). Ello provocó que se perdiera el término vxB que aparecía en la ecuación posterior del trabajo de Maxwell (número 77). En la actualidad, este término se usa como complementario a estas ecuaciones y se conoce como fuerza de Lorentz.La historia es aún confusa, debido a que el término ecuaciones de Maxwell se usa también para un conjunto de ocho ecuaciones en la publicación de Maxwell de 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, y esta confusión se debe a que seis de las ocho ecuaciones son escritas como tres ecuaciones para cada eje de coordenadas, así se puede uno confundir al encontrar veinte ecuaciones con veinte incógnitas. Los dos tipos de ecuaciones son casi equivalentes, a pesar del término eliminado por Heaviside en las actuales cuatro ecuaciones.Detalle de las ecuaciones [editar]

Ley de Gauss [ editar ]

Artículo principal: Ley de Gauss

Flujo eléctrico de una carga puntual en una superficie cerrada.La ley de Gauss explica la relación entre el flujo del campo eléctrico y una superficie cerrada. Se define como flujo eléctrico ( ) a la cantidad de fluido eléctrico que atraviesa una superficie dada. Análogo al flujo de la mecánica de fluidos, éste fluido eléctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la cantidad

de campo eléctrico ( ) que pasa por una superficie.4

Matemáticamente se la expresa como:

La ley dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y la permitividad eléctrica en el vacío (ε0), así:5 6

La forma diferencial de la ley de Gauss es

donde ρ es la densidad de carga. Esta expresión es para una carga en el vacío, para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de

flujo eléctrico ( ) y nuestra expresión obtiene la forma:

Ley de Gauss para el campo magnético [editar]Artículos principales: Ley de Gauss y Monopolo magnético

Las líneas de campo magnético comienzan y terminan en el mismo lugar, por lo que no existe un monopolo magnético.Experimentalmente se llegó al resultado de que los campos magnéticos, a diferencia de los eléctricos, no comienzan y terminan en cargas diferentes. Esta ley primordialmente indica que las líneas de los campos magnéticos deben ser cerradas. En otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual sea ésta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto expresa la no existencia del monopolo magnético.7 Matemáticamente esto se expresa así:6

donde es la densidad de flujo magnético, también llamada inducción magnética.Su forma integral equivalente:

Como en la forma integral del campo eléctrico, esta ecuación sólo funciona si la integral está definida en una superficie cerrada.Ley de Faraday [ editar ] Artículo principal: Ley de FaradayLa ley de Faraday nos habla sobre la inducción electromagnética, la que origina una fuerza electromotriz en un campo magnético. Esta ley es muchas veces llamada como ley de Faraday-Lenz, debido a que Heinrich Lenz descubrió ésta inducción de manera separada a Faraday pero casi simultánea.8

Lo primero que se debe introducir es la fuerza electromotriz ( ), si tenemos un campo magnético variable con el tiempo, una fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito eléctrico; y esta fuerza es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético, así:9

, como el campo magnético es dependiente de la posición tenemos que el flujo magnético es igual a:

. Además, el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo eléctrico que se representa como:

con lo que finalmente se obtiene la expresión de la ley de Faraday:6

Lo que indica que un campo magnético que depende del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico, del que su circulación por un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivada

temporal del flujo magnético en cualquier superficie limitada por el camino cerrado.La forma diferencial de esta ecuación es:

Esta ecuación relaciona los campos eléctrico y magnético, pero tiene también muchas otras aplicaciones prácticas. Esta ecuación describe cómo los motores eléctricos y los generadores eléctricos funcionan. Más precisamente, demuestra que un voltaje puede ser generado variando el flujo magnético que atraviesa una superficie dada.Ley de Ampère generalizada [ editar ]Artículo principal: Ley de Ampère generalizadaAmpère formuló una relación para un campo magnético inmóvil y una corriente eléctrica que no varía en el tiempo. La ley de Ampère nos dice que la

circulación en un campo magnético ( ) a lo largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de corriente ( ) sobre la superficie encerrada en la curva C, matemáticamente así:6

donde es la permeabilidad magnética en el vacío.Pero cuando esta relación se la considera con campos que sí varían a través del tiempo llega a cálculos erróneos, como el de violar la conservación de la carga.10 Maxwell corrigió esta ecuación para lograr adaptarla a campos no estacionarios y posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente. Maxwell reformuló esta ley así:6

En el caso específico estacionario esta relación corresponde a la ley de Ampère, además confirma que un campo eléctrico que varía con el tiempo produce un campo magnético y además es consecuente con el principio de conservación de la carga.10

En forma diferencial, ésta ecuación toma la forma:

En medios materiales [editar]Para el caso de que las cargas estén en medios materiales, y asumiendo que éstos son lineales, homogéneos, isótropos y no dispersivos, podemos encontrar una relación entre los vectores intensidad e inducción a través de dos parámetros conocidos como permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética:11

Pero estos valores también dependen del medio material, por lo que se dice que un medio es lineal cuando la relación entre E/D y B/H es lineal. Si esta

relación es lineal, matemáticamente se puede decir que y μ están representadas por una matriz 3x3. Si un medio es isótropo es porque esta matriz ha podido ser diagonalizada y consecuentemente es equivalente

a una función ; si en esta diagonal uno de los elementos es diferente al otro se dice que es un medio anisótropo. Estos elementos también son llamados constantes dieléctricas y, cuando estas constantes no dependen de su posición, el medio es homogéneo.12

El valor de y μ en medios lineales no dependen de las intensidades del campo. Por otro lado, la permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas están en medios homogéneos e isótropos. Los medios heterogéneos e isótropos dependen de las coordenadas de cada punto por lo que los valores, escalares, van a depender de la posición. Los medios anisótropos son tensores.11 Finalmente, en el vacío tanto como son cero porque suponemos que no hay fuentes.En la siguiente tabla encontramos a las ecuaciones como se las formula en el vacío y en la forma mas general.13

En el vacío Caso general

Ecuaciones de Maxwell Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla:Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican cualquier tipo de fenómeno electromagnético. Una fortaleza de las ecuaciones de Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades, salvo de pequeñas excepciones, y que son compatibles con la relatividad especial y general. Además Maxwell descubrió que la cantidad

era simplemente la velocidad de la luz en el vacío, por lo que la luz es una forma de radiación electromagnética. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz, la permitividad y la

permeabilidad magnética se resumen en la siguiente tabla:

Símbolo

Nombre Valor numérico

Unidad de medida SI

Tipo

Velocidad de la luz en el vacío

metros por segundo

definido

Permitividad

faradios por metro

derivado

Permeabilidad magnética

henrios por metro

definido

Potencial escalar y potencial vector [editar]Artículo principal: Potencial vector magnéticoComo consecuencia matemática de las ecuaciones de Maxwell y además con el objetivo de simplificar sus cálculos se han introducido los conceptos de potencial

vector ( ) y potencial escalar ( ). Este potencial vector no es único y no tiene significado físico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de

corriente da lugar a una contribución paralela a la corriente.14 Este potencial se obtiene como consecuencia de la ley de Gauss para el flujo magnético, ya que se conoce que si la divergencia de un vector es cero, ese vector como consecuencia define a un rotacional, así:15

A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse un potencial escalar así:13

donde el signo menos ( − ) es por convención. Estos potenciales son importantes porque poseen una simetría gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos.13 El campo eléctrico en función de los potenciales:

Hallamos que con la introducción de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell quedan reducidas solo a dos, puesto que, la ley de Gauss para el campo magnético y la ley de Faraday quedan satisfechas por

definición. Así la ley de Gauss para el campo eléctrico escrita en términos de los potenciales:

y la ley de ampère generalizada

Notese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo orden. Sin embargo, estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada elección del gauge.Consecuencias físicas de las ecuaciones [editar]Principio de conservación de la carga [ editar ]Artículo principal: CargaLas ecuaciones de Maxwell llevan implícitas el principio de conservación de la carga. El principio afirma que la carga eléctrica no se crea ni se destruye, ni global ni localmente, sino que únicamente se transfiere; y que si en una superficie cerrada está disminuyendo la carga contenida en su interior, debe haber un flujo de corriente neto hacia el exterior del sistema. Es decir la densidad de carga y la densidad de corriente satisfacen una ecuación de continuidad.A partir de la forma diferencial de la ley de Ampère se tiene:

que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta

que (para cualquier vector ), se obtiene:

o bien en forma integral: Ecuaciones originales de Maxwell [editar]En el capítulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, titulado "Ecuaciones generales del campo electromagnético", Maxwell formuló ocho ecuaciones que las nombró de la A a la H.16 Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como "las ecuaciones de Maxwell", pero ahora este epíteto lo reciben las ecuaciones que agrupó Heaviside. La versión de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene solo una ecuación de las ocho originales, la ley de Gauss que en el conjunto de ocho sería la ecuación G. Además Heaviside fusionó la ecuación A de Maxwell de la corriente total con la ley circuital de Ampère que en el trabajo de Maxwell era la ecuación C. Esta fusión, que Maxwell por si mismo

publicó en su trabajo On Physical Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampère para incluir la corriente de desplazamiento de Maxwell.Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma vectorial así:

Denominación

Nombre Ecuación

A

Ley de corrientes totales

B

Definición de vector potencial magnético

C

Ley circuital de Ampère

DFuerza de Lorentz

E

Ecuación de electricidad elástica

F Ley de Ohm

G Ley de Gauss

H

Ecuación de continuidad de carga

donde : es el campo magnético (llamado por

Maxwell como intensidad magnética), es la

densidad de corriente eléctrica y es la corriente

total incluida la corriente de desplazamiento, es el campo desplazamiento (desplazamiento eléctrico), es la densidad de carga libre (cantidad libre de

electricidad), es el vector potencial magnético

(impulso magnético), es el campo eléctrico (fuerza electromotriz (no confundir con la actual definición de

fuerza electromotriz)), es el potencial eléctrico y es la conductividad eléctrica (resistencia específica, ahora solo resistencia).Maxwell no consideró a los medios materiales en general, esta formulación inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales, isotrópicos y no dispersos, a pesar que también se las puede usar en medios anisotrópicos.

Maxwell incluyó el término en la expresión de la fuerza electromotriz de la ecuación D, que corresponde a la fuerza magnética por unidad de carga en un conductor que se mueve a una velocidad

. Esto significa que la ecuación D es otra formulación de la fuerza de Lorentz. Esta ecuación primero apareció como la ecuación 77 de la publicación On Physical Lines of Force de Maxwell, anterior a la publicación de Lorentz. En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de Maxwell pero se la considera una ecuación adicional fundamental en el electromagnetismo.Expresión de las ecuaciones en relatividad [editar]En la relatividad especial, las ecuaciones de Maxwell en el vacío se escriben mediante unas relaciones geométricas, las cuales toman la misma forma en cualquier sistema de referencia inercial. Éstas están escritas en términos de cuadrivectores y tensores covariantes, que son objetos geométricos definidos en M4. Estos objetos se relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geométricas que al expresarlas en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para el campo electromagnético.La cuadricorriente esta descrita por una 1-forma y lleva la información sobre la distribución de cargas y corrientes. Sus componentes son:

Que debe cumplir la siguiente relación geométrica para que se cumpla la ecuación de continuidad.

Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda:

Para poner en correspondencia objetos del mismo rango, se utiliza el operador de Laplace-Beltrami o laplaciana definida como:

Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial, que lleva la información del potencial eléctrico y el potencial vector magnético.

O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que:

Expresión que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales electromagnéticos.La 1-forma A lleva la información sobre los potenciales de los observadores inerciales siendo sus componentes:

Para obtener el objeto geométrico que contiene los campos, tenemos que subir el rango de A mediante el operador diferencial exterior obteniendo la 2-forma F campo electromagnético. En forma geométrica podemos escribir:

Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que:

Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagnetico.

Primer par de ecuaciones de Maxwell [editar]La siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes, relacionamos la cuadricorriente con el tensor campo electromagnético mediante la forma geométrica:

O bien en coordenadas Lorentz:

Obtención de las ecuaciones [editar]Para un observable en S partiendo de expresión en coordenadas Lorentz podemos obtener: Para tenemos que:

, entonces:

Por tanto:

Para podemos obtener de la misma forma que:

Segundo par de ecuaciones de Maxwell [editar]Corresponden a las ecuaciones homogéneas. Escritas en forma geométrica tenemos que:

Que corresponde con la expresión en los sistemas coordenados Lorentz:

Donde el tensor es el tensor dual de F. Se obtiene mediante el operador de Hodge.Obtención de las ecuaciones [editar] Para :

Por tanto:

Para se obtiene la ecuación vectorial:

La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas, que se puede expresar como , que se puede escribir en los sistemas coordenados Lorentz como:

Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que describen el campo electromagnético en la siguiente tabla. La primera columna son las relaciones geométricas, independientes de cualquier observador; la segunda columna son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz; y la tercera es la descripción de la relación y la ley que cumple.(*) Existe una confusión habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge. Las primeras ecuaciones en las que aparece tal condición (1867) se deben a Ludvig V. Lorenz, no al mucho más conocido Hendrik A. Lorentz. (Véase: J.D. Jackson: Classical Electrodynamics, 3rd edition p.294)Finalmente el cuadrigradiente se define así:

Los índices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumación de Einstein. De acuerdo con el cálculo tensorial, los índices pueden subirse o bajarse por medio de la matriz fundamental g.El primer tensor es una expresión de dos ecuaciones de Maxwell, la ley de Gauss y la ley de Ampère generalizada; la segunda ecuación es consecuentemente una expresión de las otras dos leyes.Se ha sugerido que el componente de la fuerza de

Lorentz se puede derivar de la ley de

Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invarianza de la carga eléctrica.17 18

Expresión de las ecuaciones para una frecuencia constante [editar]En las ecuaciones de Maxwell, los campos vectoriales no son solo funciones de la posición, en general son funciones de la posición y del tiempo, como por

ejemplo . Para la resolución de estas ecuaciones en derivadas parciales, las variables posicionales se encuentran con la variable temporal. En la práctica, la resolución de dichas ecuaciones pueden contener una solución armónica (sinusoidal).Con ayuda de la notación compleja se puede evitar la dependencia temporal de los resultados armónicos,

eliminando así el factor complejo de la expresión . Gran parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas, además de no ser solo función de la posición. En lugar de la derivación parcial en el tiempo se tiene la multiplicación del factor imaginario , donde es la frecuencia angular.En la forma compleja, las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma:11

Ley de GaussEn física y en análisis matemático, la ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie. De esta misma forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga.Contenido[ocultar] 1 Flujo del campo eléctrico o 1.1 Flujo para una superficie cilíndrica colocada en un campo uniforme o 1.2 Flujo para una superficie esférica con una carga puntual en su interior 2 Forma integral de la ley de Gauss 3 Forma diferencial de la ley de Gauss 4 Ley de Coulomb 5 Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb 6 Interpretación 7 Ley de Gauss para el magnetismo 8 Analogía gravitacional 9 Aplicaciones o 9.1 Distribución esférica de carga 10 Véase también Flujo del campo eléctrico [editar]

El flujo (símbolo ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo

eléctrico, el flujo ( ) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.

Para definir a con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo eléctrico.La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales , cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado plano. Estos elementos de área pueden

ser representados como vectores , cuya magnitud es la propia área, la dirección es normal a la superficie y el sentido hacia afuera.En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.

y caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados.El flujo, entonces, se define como sigue:

O sea:

Flujo para una superficie cilíndrica colocada en un campo uniforme [editar]Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro

de un campo uniforme tal como muestra la figura:

El flujo puede escribirse como la suma de tres términos, (a) una integral en la tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la superficie cilíndrica y (c) una integral en la tapa derecha:

Para la tapa izquierda, el ángulo , para todos los puntos, es de π, tiene un valor constante y los vectores son todos paralelosEntonces:

siendo el área de la tapa. Análogamente, para la tapa derecha:

Finalmente, para la superficie cilíndrica:

Por consiguiente: da cero ya que las mismas lineas de fuerza que entran, después salen del cilindro.

Flujo para una superficie esférica con una carga puntual en su interior [editar]

Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en su centro tal como muestra la

figura. El campo eléctrico es paralelo al vector

superficie , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica.En consecuencia:

Forma integral de la ley de Gauss [editar]Su forma integral utilizada en el caso de una distribución extensa de carga puede escribirse de la manera siguiente:

donde Φ es el flujo eléctrico, es el campo eléctrico,

es un elemento diferencial del área A sobre la cual se realiza la integral, QA es la carga total encerrada dentro del área A, ρ es la densidad de carga en un punto de V y εo es la permitividad eléctrica del vacío.Forma diferencial de la ley de Gauss [editar]Tomando la ley de Gauss en forma integral.

Aplicando al primer termino el teorema de Gauss de la divergencia queda

Como ambos lados de la igualdad poseen diferenciales volumétricas, y esta expresión debe ser cierta para cualquier volumen, solo puede ser que:

Que es la forma diferencial de la Ley de Gauss (en el vacío).Esta ley se puede generalizar cuando hay un dieléctrico presente, introduciendo el campo de

desplazamiento eléctrico . de esta manera la Ley de Gauss se puede escribir en su forma más general como

Finalmente es de esta forma en que la ley de gauss es realmente útil para resolver problemas complejos de maneras relativamente sencillas.Ley de Coulomb [editar]Este teorema aplicado al campo eléctrico creado por una carga puntual es equivalente a la ley de Coulomb de la interacción electrostática.

Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb [editar]La ley de Gauss puede deducirse matemáticamente a través del uso del concepto de ángulo sólido, que es un concepto muy similar a los factores de vista conocidos en la transferencia de calor por radiación.El ángulo sólido ΔΩ que es sostendido por ΔA sobre una superficie esférica, se define como:

siendo r el radio de la esfera.como el área total de la esfera es 4πr2 el ángulo sólido para ‘’toda la esfera’’ es:

la unidad de este ángulo es el estereorradián (sr)Si el área ΔA no es perpendicular a las líneas que salen del origen que subtiende a ΔΩ, se busca la proyección normal, que es:

Si se tiene una carga "q" rodeada por una superficie cualquiera, para calcular el flujo que atraviesa esta

superficie es necesario encontrar para cada elemento de área de la superficie, para luego sumarlos. Como la superficie que puede estar rodeando a la carga puede ser tan compleja como quiera, es mejor encontrar una relación sencilla para esta operación:

De esta manera ΔΩ es el mismo ángulo sólido subentendido por una superficie esférica. como se mostró un poco más arriba ΔΩ = 4π para cualquier esfera, de cualquier radio. de esta forma al sumar todos los flujos que atraviesan a la superficie queda:

que es la forma integral de la ley de Gauss. La ley de Coulomb también puede deducirse a través de Ley de Gauss.Interpretación [editar]

La ley de Gauss puede ser utilizada para demostrar que no existe campo eléctrico dentro de una jaula de Faraday sin cargas eléctricas en su interior. La ley de

Gauss es la equivalente electrostática a la ley de Ampère, que es una ley de magnetismo. Ambas ecuaciones fueron posteriormente integradas en las ecuaciones de Maxwell.Esta ley puede interpretarse, en electrostática, entendiendo el flujo como una medida del número de líneas de campo que atraviesan la superficie en cuestión. Para una carga puntual este número es constante si la carga está contenida por la superficie y es nulo si esta fuera (ya que hay el mismo número de líneas que entran como que salen). Además, al ser la densidad de líneas proporcionales a la magnitud de la carga, resulta que este flujo es proporcional a la carga, si está encerrada, o nulo, si no lo está.Cuando tenemos una distribución de cargas, por el principio de superposición, sólo tendremos que considerar las cargas interiores, resultando la ley de Gauss.Sin embargo, aunque esta ley se deduce de la ley de Coulomb, es más general que ella, ya que se trata de una ley universal, válida en situaciones no electrostáticas en las que la ley de Coulomb no es aplicable.Ley de Gauss para el magnetismo [editar]

Al igual que para el campo eléctrico, existe una ley de Gauss para el magnetismo, que se expresa en sus formas integral y diferencial como

Esta ley expresa la inexistencia de cargas magnéticas o, como se conocen habitualmente, monopolos magnéticos. Las distribuciones de fuentes magnéticas son siempre neutras en el sentido de que posee un polo norte y un polo sur, por lo que su flujo a través de cualquier superficie cerrada es nulo.En el hipotético caso de que se descubriera experimentalmente la existencia de monopolos, esta ley debería ser modificada para acomodar las correspondientes densidades de carga, resultando una ley en todo análoga a la ley de Gauss para el campo eléctrico. La Ley de Gauss para el campo magnético quedaría como

donde ρm densidad de corriente , la cual obliga a modificar la ley de Faraday.Analogía gravitacional [editar]Dada la similitud entre la ley de Newton de la gravitación universal y la ley de Coulomb, puede deducirse una ley análoga para el campo gravitatorio, la cual se escribe

siendo G la constante de gravitación universal. El signo menos en esta ley y el hecho de que la masa siempre sea positiva significa que el campo gravitatorio siempre es atractivo y se dirige hacia las masas que lo crean.Sin embargo, a diferencia de la ley de Gauss para el campo eléctrico, el caso gravitatorio es sólo aproximado y se aplica exclusivamente a masas pequeñas en reposo, para las cuales es válida la ley de Newton. Al modificarse la teoría de Newton mediante la Teoría de la Relatividad general, la ley de Gauss deja de ser cierta, ya que deben incluirse la gravitación causada por la energía y el efecto del campo gravitatorio en el propio espaciotiempo (lo que modifica la expresión de los operadores diferenciales e integrales).Aplicaciones [editar]Distribución esférica de carga [editar]

Considérese una esfera uniformemente cargada de radio R. La carga existente en el interior de una superficie esférica de radio r es una parte de la carga total, que se calcula multiplicando la densidad de carga por el volumen de la esfera de radio r:

Si Q es la carga de la esfera de radio R, entonces, se tiene:

Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones y operando apropiadamente:

Como se demostró en una sección anterior

y teniendo en cuenta que según la

ley de Gauss , se obtiene:

Por lo tanto, para puntos interiores de la esfera:

Y para puntos exteriores:

En el caso de que la carga se distribuyera en la superficie de la esfera, es decir, en el caso de que fuera conductora, para puntos exteriores a la misma la intensidad del campo estaría dada por la segunda expresión, pero para puntos interiores a la esfera, el valor del campo sería nulo ya que la superficie gaussiana que se considerara no encerraría carga alguna. Teorema de la divergencia Ley de Faraday La Ley de inducción electromagnética de Faraday (o simplemente Ley de Faraday) se basa en los experimentos que Michael Faraday realizó en 1831 y establece que el voltaje inducido en un circuito cerrado es directamente proporcional a la rapidez con que cambia en el tiempo el flujo magnético que atraviesa una superficie cualquiera con el circuito como borde:

donde es el campo eléctrico, es el

elemento infinitesimal del contorno C, es la densidad de campo magnético y S es una superficie arbitraria, cuyo borde es C. Las direcciones del

contorno C y de están dadas por la regla de la mano izquierda. La permutación de la integral de superficie y la derivada temporal se puede hacer siempre y cuando la superficie de integración no cambie con el tiempo. Por medio del teorema de Stokes puede obtenerse una forma diferencial de esta ley:

Ésta es una de las ecuaciones de Maxwell, las cuales conforman las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo. La ley de Faraday, junto con las otras leyes del electromagnetismo, fue incorporada

en las ecuaciones de Maxwell, unificando así al electromagnetismo. En el caso de un inductor con N vueltas de alambre, la fórmula anterior se transforma en:

donde e es la fuerza electromotriz inducida y dΦ/dt es la tasa de variación temporal del flujo magnético Φ. La dirección de la fuerza electromotriz (el signo negativo en la fórmula) se debe a la ley de Lenz.Ley de AmpèreDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda

Una corriente eléctrica produce un campo magnético, siguiendo la Ley de Ampère.En física del magnetismo, la ley de Ampère, también conocida como efecto Oersted, relaciona un campo magnético estático con la causa que la produce, es decir, una corriente eléctrica estacionaria. Es análoga a ley de Gauss.Contenido[ocultar] 1 Ley de Ampère original o 1.1 Forma integral o 1.2 Forma diferencial 2 Ley de Ampère-Maxwell o 2.1 Forma integral o 2.2 Forma diferencial 3 Ejemplos de Aplicación o 3.1 Hilo Conductor Infinito 4 Forma del ángulo sólido 5 Véase también 6 Referencias Ley de Ampère original [editar]Forma integral [editar]Dada una superficie abierta S por la que atraviesa una corriente eléctrica I, y dada la curva C, curva contorno de la superficie S, la forma original de la ley de Ampère para medios materiales es:

donde

es el campo magnético, es la corriente encerrada en la curva C,

Y se lee: LA CIRCULACION DEL CAMPO a lo largo de la curva C es igual al flujo de la densidad de corriente sobre la superficie abierta S, de la cual C es el contorno.En presencia de un material magnético en el medio, aparecen campos de magnetización, propios del material, análogamente a los campos de polarización

que aparecen en el caso electrostático en presencia de un material dieléctrico en un campo eléctrico.Definición:

donde

es la densidad de flujo magnético, es la permeabilidad magnética del vacío, es la permeabilidad magnética del medio

material, Luego, es la permeabilidad magnética total.

es el vector magnetización del material debido al campo magnético.

es la suceptibilidad magnética del material.

Un caso particular de interés es cuando el medio es el

vacío ( o sea, ):

Forma diferencial [editar]A partir del teorema de Stokes, esta ley también se puede expresar de forma diferencial:

donde es la densidad de corriente que atraviesa el conductor.Ley de Ampère-Maxwell [editar]La ley de Ampère-Maxwell o ley de Ampère generalizada es la misma ley corregida por James Clerk Maxwell debido a la corriente de desplazamiento y creó una versión generalizada de la ley, incorporándola a las ecuaciones de Maxwell. Este término introducido por Maxwell del campo eléctrico en la superficie.Forma integral [editar]

siendo el último término la corriente de desplazamiento.Forma diferencial [editar]Esta ley también se puede expresar de forma diferencial, para el vacío:

o para medios materiales:

Ejemplos de Aplicación [editar]

Hilo Conductor Infinito [editar]Campo magnético creado por un hilo conductor de longitud infinita por el que circula una corriente , en el vacío.

El objetivo es determinar el valor de los campos ,

y en todo el espacio.Escribimos la Ley de Ampère:

. Utilizamos coordenadas cilíndricas por las características de simetría del sistema. Definimos una curva alrededor del conductor. Es conveniente tomar una circunferencia de radio ρ. El diferencial de longitud de la curva será

entonces Para este caso, la corriente encerrada por la curva es la corriente del conductor:

. Como el sistema posee simetría radial (Es indistinguible un punto cualquiera de la circunferencia

de otro que esté en otro ángulo sobre la misma

curva), podemos decir que el campo y el radio ρ

son independientes de la coordenada . Por lo tanto pueden salir fuera de la integral. Integramos para toda la circunferencia, desde 0 a 2π.

. La integral que queda no es más que el

perímetro de la circunferencia: .

Despejamos y nos queda en función de ρ.

La dirección es en , por la regla de la mano derecha:

Como estamos trabajando en el vacío, μ = μ0, por lo tanto:

Y por la misma razón, en ausencia de materiales magnéticos:

Forma del ángulo sólido [editar]Si c es un lazo cerrado por el cual circula una corriente i, y Ω es el ángulo sólido formado por el circuito y el punto en el que se calcula el campo, entonces la intesidad de campo magnético está dada por:

Véase también [editar]

Campo magnético André-Marie Ampère Ecuaciones de Maxwell Teorema de la divergencia Ley de conservaciónDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsquedaLas leyes de conservación se refieren a las leyes físicas que postulan que durante la evolución temporal de un sistema aislado ciertas magnitudes tienen un valor constante. Puesto que el universo entero constituye un sistema aislado pueden aplicársele diversas leyes de conservación.Contenido[ocultar] 1 Leyes de conservación en física clásica 2 Leyes de conservación en física cuántica 3 Leyes de conservación aproximadas 4 Leyes de conservación y teorema de Noether Leyes de conservación en física clásica [editar]Las leyes de conservación más importantes en mecánica y electromagnetismo clásicos son: Conservación de la energía. Conservación del momento lineal. Conservación del momento angular. Conservación de la carga eléctrica. Leyes de conservación en física cuántica [editar]En mecánica cuántica y física nuclear a las anteriores se les añaden estas otras: Conservación del número leptónico. Conservación de la carga de color. Conservación de la probabilidad. Simetría CPT. Leyes de conservación aproximadas [editar]Además de las anteriores tanto en mecánica clásica (MC) como en mecánica cuántica (MQ) se usan en ciertos contextos leyes de conservación aproximadas, es decir, que no son universales para todos los procesos aunque sí una buena parte de los procesos físicos conocidos: Conservación de la masa o cantidad de materia (MC). Conservación del número bariónico, ver anomalía quiral (MQ). Conservación de aroma, violada en algunas interacciones débiles (MQ). Conservación de paridad (MC y MQ). Simetría CP (MQ). Leyes de conservación y teorema de Noether [editar]En las teorías físicas que admiten un formalismo lagrangiano puede probarse que las leyes de conservación están ligadas a simetrías del sistema físico. Más concretamente el teorema de Noether para las teorías clásicas establece que si existe una simetría abstracta del lagrangiano asociada a un grupo uniparamétrico existe una magnitud que permanece constante a lo largo de la evolución del sistema, es

decir, existe una ley de conservación asociada a esa simetría.Más aún la magnitud observada funcionalmente puede construirse a partir de los momentos conjugados del lagrangiano y del elemento del álgebra de Lie del grupo uniparamétrico de la simetría.Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_conservaci%C3%B3n"

Carga eléctricaDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda

Interacciones entre cargas de igual y distinta naturaleza.En física, la carga eléctrica es una propiedad intrínseca de algunas partículas subatómicas (perdida o ganancia de electrones) que se manifiesta mediante atracciones y repulsiones que determinan las interacciones electromagnéticas entre ellas. La materia cargada eléctricamente es influida por los campos electromagnéticos siendo, a su vez, generadora de ellos. La interacción entre carga y campo eléctrico origina una de las cuatro interacciones fundamentales: la interacción electromagnética.La carga eléctrica es de naturaleza discreta, fenómeno demostrado experimentalmente por Robert Millikan. Por razones históricas, a los electrones se les asignó carga negativa: –1, también expresada –e. Los protones tienen carga positiva: +1 o +e. A los quarks se les asigna carga fraccionaria: ±1/3 o ±2/3, aunque no se han podido observar libres en la naturaleza.1

Contenido[ocultar] 1 Unidades 2 Historia 3 Naturaleza de la carga o 3.1 Carga eléctrica elemental 4 Propiedades de la carga o 4.1 Principio de conservación de la carga o 4.2 Cuantización de la carga o 4.3 Invariante relativista 5 Densidad de carga eléctrica o 5.1 Densidad de carga lineal o 5.2 Densidad de carga superficial

o 5.3 Densidad de carga volumétrica 6 Formas para cambiar la carga eléctrica de los cuerpos 7 Referencias 8 Véase también 9 Enlaces externos Unidades [editar]En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de carga eléctrica se denomina culombio (símbolo C). Se define como la cantidad de carga que pasa por la sección transversal de un conductor eléctrico en un segundo, cuando la corriente eléctrica es de un amperio, y se corresponde con la carga de 6,24 × 10^18 electrones aproximadamente.Historia [editar]Artículo principal: Historia del electromagnetismo

Experimento de la cometa de Benjamín Franklin.Desde la Antigua Grecia se conoce que al frotar ámbar con una piel, ésta adquiere la propiedad de atraer cuerpos ligeros tales como trozos de paja y pequeñas semillas. Su descubrimiento se le atribuye al filósofo griego Tales de Mileto, quién vivió hace unos 2500 años.2

El médico inglés William Gilbert (1540 - 1603) observó que algunos materiales se comportan como el ámbar al frotarlos y que la atracción que ejercen se manifiesta sobre cualquier cuerpo, aún cuando no fuera ligero. Como el nombre griego correspondiente al ámbar es elektron, Gilbert comenzó a utilizar el término eléctrico para referirse a todo material que se comportaba como aquél, lo que originó los términos electricidad y carga eléctrica. Además, en los estudios de Gilbert se puede encontrar la diferenciación de los fenómenos eléctricos y magnéticos.2

El descubrimiento de la atracción y repulsión de elementos al conectarlos con materiales eléctricos se atribuye a Stephen Gray. El primero en proponer la existencia de dos tipos de carga es Charles du Fay, aunque fue Benjamin Franklin quién al estudiar estos fenómenos descubrió como la electricidad de los cuerpos, después de ser frotados, se distribuía en ciertos lugares donde había más atracción; por eso los denominó (+) y (-).2

Sin embargo, fue solo hacia mediados del siglo XIX cuando estas observaciones fueron planteadas formalmente, gracias a los experimentos sobre la electrólisis que realizó Michael Faraday, hacia 1833, y que le permitieron descubrir la relación entre la electricidad y la materia; acompañado de la completa descripción de los fenómenos electromagnéticos por James Clerk Maxwell.Posteriormente, los trabajos de Joseph John Thomson al descubrir el electrón y de Robert Millikan al medir su carga, fueron de gran ayuda para conocer la naturaleza discreta de la carga.2

Naturaleza de la carga [editar]

La carga eléctrica es una propiedad intrínseca de la materia que se presenta de dos tipos. Éstas llevan ahora el nombre con las que Benjamin Franklin las denominó: cargas positivas y negativas.3 Cuando cargas del mismo tipo se encuentran se repelen y cuando son diferentes se atraen. Con el advenimiento de la teoría cuántica relativista, se pudo demostrar formalmente que las partículas, además de presentar carga eléctrica (sea nula o no), presentan un momento magnetico intrínseco, denominado "spin", que surge como consecuencia de aplicar la teoría de la relatividad especial a la mecánica cuántica.Carga eléctrica elemental [editar]Las investigaciones actuales de la física apuntan a que la carga eléctrica es una propiedad cuantizada. La unidad más elemental de carga se encontró que es la carga que tiene el electrón, es decir alrededor de 1.6 x 10-19 culombios y es conocida como carga elemental. El valor de la carga eléctrica de un cuerpo, representada como q o Q, se mide según el número de electrones que posea en exceso o en ausencia.4

En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de carga eléctrica se denomina culombio (símbolo C) y se define como la cantidad de carga que a la distancia de 1 metro ejerce sobre otra cantidad de carga igual, la fuerza de 9x109 N.Un culombio corresponde a 6,24 × 1018 electrones.5 El valor de la carga del electrón fue determinado entre 1910 y 1917 por Robert Andrews Millikan y en la actualidad su valor en el Sistema Internacional de acuerdo con la última lista de constantes del CODATA publicada es:6

Como el culombio puede no ser manejable en algunas aplicaciones, por ser demasiado grande, se utilizan también sus submúltiplos:

1 miliculombio =

1 microculombio = Frecuentemente se usa también el sistema CGS cuya unidad de carga eléctrica es el Franklin (Fr). El valor de la carga elemental es entonces de aproximadamente 4.803 x 10–10 Fr.Propiedades de la carga [editar]Principio de conservación de la carga [editar]En concordancia con los resultados experimentales, el principio de conservación de la carga establece que no hay destrucción ni creación neta de carga eléctrica, y afirma que en todo proceso electromagnético la carga total de un sistema aislado se conserva.En un proceso de electrización, el número total de protones y electrones no se altera y sólo hay una separación de las cargas eléctricas. Por tanto, no hay

destrucción ni creación de carga eléctrica, es decir, la carga total se conserva. Pueden aparecer cargas eléctricas donde antes no había, pero siempre lo harán de modo que la carga total del sistema permanezca constante. Además esta conservación es local, ocurre en cualquier región del espacio por pequeña que sea.3

Al igual que las otras leyes de conservación, la conservación de la carga eléctrica está asociada a una simetría del lagrangiano, llamada en física cuántica invariancia gauge. Así por el teorema de Noether a cada simetría del lagrangiano asociada a un grupo uniparamétrico de transformaciones que dejan el lagrangiano invariante le corresponde una magnitud conservada.7 La conservación de la carga implica, al igual que la conservación de la masa, que en cada punto del espacio se satisface una ecuación de continuidad que relaciona la derivada de la densidad de carga eléctrica con la divergencia del vector densidad de corriente eléctrica, dicha ecuación expresa que el cambio neto en la densidad de carga ρ dentro de un volumen prefijado V es igual a la integral de la densidad de corriente eléctrica J sobre la superficie S que encierra el volumen, que a su vez es igual a la intensidad de corriente eléctrica I:

Cuantización de la carga [editar]Gracias a los trabajos de Millikan al medir la carga eléctrica del electrón, se demostró que la carga eléctrica no es continua, o sea, no es posible que tome valores arbitrarios, sino que los valores que puede adquirir son múltiplos enteros de una cierta carga eléctrica mínima.8 Esta propiedad se conoce como cuantización de la carga y el valor fundamental corresponde al valor de carga eléctrica que posee el electrón y al cual se lo representa como e. Cualquier carga q que exista físicamente, puede escribirse como

siendo N un número entero, positivo o negativo.Por convención se representa a la carga del electrón como -e, para el protón +e y para el neutrón, 0. La física de partículas postula que la carga de los quarks, partículas que componen a protones y neutrones, toman valores fraccionarios de esta carga elemental. Sin embargo, nunca se han observado quarks libres y el valor de su carga en conjunto, en el caso del protón suma +e y en el neutrón suma 0.9

Aunque no tenemos una explicación suficientemente completa de porqué la carga es una magnitud cuantizada, que sólo puede aparecer en múltiplos de la carga elemental, se han propuestos diversas ideas: Paul Dirac mostró que si existe un monopolo magnético la carga eléctrica debe estar cuantizada. En el contexto de la teoría de Kaluza-Klein, Oskar Klein encontró que si se interpretaba el campo

electromagnético como un efecto secundario de la curvatura de un espacio tiempo de topología

, entonces la compacidad de comportaría que el momento lineal según la quinta dimensión estaría cuantizado y de ahí se seguía la cuantización de la carga. La existencia de cargas fraccionarias en el modelo de quarks, complica el panorama, ya que el modelo estándar no aclara porqué las cargas fraccionarias no pueden ser libres. Y sólo pueden ser libres cargas que son múltiplos enteros de la carga elemental.

Invariante relativista [editar]Otra propiedad de la carga eléctrica es que es un invariante relativista. Eso quiere decir que todos los observadores, sin importar su estado de movimiento y su velocidad, podrán siempre medir la misma cantidad de carga.4 Así, a diferencia de la masa o el tiempo, cuando un cuerpo o partícula se mueve a velocidades comparables con la velocidad de la luz, el valor de su carga no variará. El valor de la carga no varía de acuerdo a cuán rápido se mueva el cuerpo que la posea.Densidad de carga eléctrica [editar]A pesar de que las cargas eléctricas son cuantizadas y, por ende, múltiplos de una carga elemental, en ocasiones las cargas eléctricas en un cuerpo están tan cercanas entre sí, que se puede suponer que están distribuidas de manera uniforme por el cuerpo del cual forman parte. La característica principal de estos cuerpos es que se los puede estudiar como sí fueran continuos, lo que hace mas fácil, sin perder generalidad, su tratamiento. Se distinguen tres tipos de densidad de carga eléctrica: lineal, superficial y volumétrico.10

Densidad de carga lineal [editar]Se usa en cuerpos lineales como, por ejemplo hilos.

Donde Q es la carga del cuerpo y L es la longitud. En el Sistema Internacional de Unidades (SI) se mide en C/m (culombios por metro).Densidad de carga superficial [editar]Se emplea para superficies, por ejemplo una plancha metálica delgada como el papel de aluminio.

donde Q es la carga del cuerpo y S es la superficie. En el SI se mide en C/m2 (culombios por metro cuadrado).Densidad de carga volumétrica [editar]Se emplea para cuerpos que tienen volumen.

donde Q es la carga del cuerpo y V el volumen. En el SI se mide en C/m3 (culombios por metro cúbico).

Formas para cambiar la carga eléctrica de los cuerpos [editar]Artículo principal: ElectrizaciónSe denomina electrización al efecto de ganar o perder cargas eléctricas, normalmente electrones, producido por un cuerpo eléctricamente neutro. Los tipos de electrificación son los siguientes:1. Electrización por contacto: Cuando ponemos un cuerpo cargado en contacto con un conductor se puede dar una transferencia de carga de un cuerpo al otro y así el conductor queda cargado, positivamente si cedió electrones o negativamente si los ganó. 2. Electrización por fricción: Cuando frotamos un aislante con cierto tipo de materiales, algunos electrones son transferidos del aislante al otro material o viceversa, de modo que cuando se separan ambos cuerpos quedan cargados. 3. Carga por inducción: Si acercamos un cuerpo cargado negativamente a un conductor aislado, la fuerza de repulsión entre el cuerpo cargado y los electrones de valencia en la superficie del conductor hace que estos se desplacen a la parte más alejada del conductor al cuerpo cargado, quedando la región más cercana con una carga positiva, lo que se nota al haber una atracción entre el cuerpo cargado y esta parte del conductor. Sin embargo, la carga neta del conductor sigue siendo cero (neutro). 4. Carga por el Efecto Fotoeléctrico, 5. Carga por Electrólisis, y 6. Carga por Efecto Termoeléctrico. Referencias [editar]1. ↑ Eric W. Weisstein (2007). Charge (en inglés). Consultado el 12/02/2008. 2. ↑ a b c d Profs. Casatroja - Ferreira. Electrostática. Consultado el 21/02/2008. 3. ↑ a b Willians Barreto (2006). Carga eléctrica. Consultado el 26/02/2008. 4. ↑ a b Electromagnetismo y Óptica. Consultado el 27/02/2008. 5. ↑ La carga eléctrica. Consultado el 21/02/2008. 6. ↑ The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty: elementary charge (2006). Consultado el 28/02/2008. 7. ↑ María Lourdes Dominguez Carrascoso (2005). Simetría y leyes de conservación. Consultado el 26/02/2008. 8. ↑ Constantino Utreras (1999). Electrificación por Conducción. Consultado el 27/02/2008. 9. ↑ Particle Data Group. Los graciosos quarks. Consultado el 27/02/2008. 10. ↑ Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (2007). Densidad de carga eléctrica. Consultado el 28/02/2008. Véase también [editar] Campo electrostático. Electroscopio.

Electromagnetismo. Generador de Van de Graaff. Interacción electromagnética. Ley de Coulomb Conservación de la energíaDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda

Sistema mecánico en el cual se conserva la energía, para choque perfectamente elástico y ausencia de rozamiento.La ley de la conservación de la energía constituye el primer principio de la termodinámica y afirma que la cantidad total de energía en cualquier sistema aislado (sin interacción con ningún otro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energía puede transformarse en otra forma de energía. En resumen, la ley de la conservación de la energía afirma que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo se puede cambiar de una forma a otra, por ejemplo, cuando la energía eléctrica se transforma en energía calorífica en un calefactor.Contenido[ocultar] 1 Conservación de la energía y termodinámica 2 El principio en mecánica clásica 3 El principio en mecánica relativista o 3.1 Conservación en presencia de campo electromagnético o 3.2 Conservación en presencia de campo gravitatorio 4 El principio en mecánica cuántica 5 Véase también 6 Referencias Conservación de la energía y termodinámica [editar]Dentro de los sistemas termodinámicos, una consecuencia de la ley de conservación de la energía es la llamada primera ley de la termodinámica, la cual establece que, al suministrar una determinada cantidad de energía térmica (Q) a un sistema, esta cantidad de energía será igual a la diferencia del incremento de la energía interna del sistema (ΔU) menos el trabajo (W) efectuado por el sistema sobre sus alrededores:

(ver Criterio de signos termodinámico)Aunque la energía no se pierde, se degrada de acuerdo con la segunda ley de la termodinámica. En un proceso irreversible, la entropía de un sistema aislado aumenta y no es posible devolverlo al estado termodinámico físico anterior. Así un sistema físico aislado puede cambiar su estado a otro con la misma energía pero con dicha energía en una forma menos aprovechable. Por ejemplo, un movimiento con fricción es un proceso irreversible por el cual se convierte energía mecánica en energía térmica. Esa

energía térmica no puede convertirse en su totalidad en energía mecánica de nuevo ya que, como el proceso opuesto no es espontáneo, es necesario aportar energía extra para que se produzca en el sentido contrario.Desde un punto de vista cotidiano, las máquinas y los procesos desarrollados por el hombre funcionan con un rendimiento menor al 100%, lo que se traduce en pérdidas de energía y por lo tanto también de recursos económicos o materiales. Como se decía anteriormente, esto no debe interpretarse como un incumplimiento del principio enunciado sino como una transformación "irremediable" de la energía.El principio en mecánica clásica [editar] En mecánica lagrangiana la conservación de la energía es una consecuencia del teorema de Noether cuando el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo. El teorema de Noether asegura que cuando se tiene un lagrangiano independiente del tiempo, y por tanto, existe un grupo uniparamétrico de traslaciones temporales o simetría, puede construirse una magnitud formada a partir del lagrangiano que permanece constante a lo largo de la evolución temporal del sistema, esa magnitud es conocida como hamiltoniano del sistema. Si además, la energía cinética es una función sólo del cuadrado de las velocidades generalizadas (o lo que es equivalente a que los vínculos en el sistema sean esclerónomos, o sea, independientes del tiempo), puede demostrarse que el hamiltoniano en ese caso coincide con la energía mecánica del sistema, que en tal caso se conserva. En mecánica newtoniana el principio de conservación de la energía, no puede derivarse de un principio tan elegante como el teorema de Noether, pero puede comprobarse directamente para ciertos sistemas simples de partículas en el caso de que todas las fuerzas deriven de un potencial, el caso más simple es el de un sistema de partículas puntuales que interactúan a distancia de modo instantáneo. El principio en mecánica relativista [editar]Una primera dificultad para generalizar la ley de conservación de la energía de la mecánica clásica a la teoría de la relatividad está en que en mecánica relativista no podemos distinguir adecuadamente entre masa y energía. Así de acuerdo con esta teoría, la sola presencia de un partícula material de masa m en reposo respecto observador implica que dicho observador medirá una cantidad de energía asociadada a ella dada por E = mc2. Otro hecho experimental contrastado es que en la teoría de la relatividad no es posible formular una ley de conservación de la masa análoga a la que existe en mecánica clásica, ya que esta no se conserva. Así aunque en mecánica relativista no existan leyes de conservación separadas para la energía no asociada a la masa y para la masa, sin embargo, sí es posible

formular una ley de conservación "masa-energía" o energía total.Dentro de la teoría de la relatividad especial, la materia puede respresentarse como un conjunto de campos materiales a partir de los cuales se forma el llamado tensor de energía-impulso total y la ley de conservación de la energía se expresa en relatividad especial, usando el convenio de sumación de Einstein, en la forma:

(1) A partir de esta forma diferencial de la conservación de la energía, dadas las propiedades especiales del espacio-tiempo en teoría de la relatividad especial siempre conduce a una ley de conservación en forma integral. Esa integral representa precisamente una mangitud física que permanece invariable a lo largo de la evolución del sistema y es precisamente la energía. A partir de la expresión (1), escrita en términos de coordenadas galileanas

, y usando el teorema de la divergencia tenemos:

(2) Si la segunda integral que representa el flujo de energía y momentum se anula, como sucede por ejemplo si extendemos la integral a todo el espacio-tiempo para un sistema aislado llegamos a la conclusión de que el primer miembro de la expresión anterior permanece invariable durante el tiempo. Es decir:

(3)

La componente "temporal" es precisamente la energía total del sistema, siendo las otras tres la componentes del momento lineal en las tres direcciones espaciales.Conservación en presencia de campo electromagnético [editar]En presencia de campos electromagnéticos la energía cinética total de las partículas cargadas no se conserva. Por otro lado a los campos eléctrico y magnético, por el hecho de ser entidades físicas que evolucionan en el tiempo según la dinámica propia de un lagrangiano, puede asignárseles una magnitud llamada energía electromagnética dada por una suma de cuadrados del módulo de ambos campos que satisface:

(4) El término encerrado en el primer paréntesis es precisamente la integral extendida a todo el espacio de la componente T00, que de acuerdo con la sección precedente debe ser una magnitud conservada para

un campo electromagnético adecuadamente confinado.Conservación en presencia de campo gravitatorio [editar]El campo gravitatorio dentro de la mecánica relativista es tratado dentro de la teoría general de la relatividad. Debido a las peculiaridades del campo gravitatorio tal como es tratado dentro de esta teoría, no existe una manera de construir una magnitud que represente la energía total conjunta de la materia y el espacio-tiempo que se conserve. La explicación intuitiva de este hecho es que debido a que un espacio-tiempo puede carecer de simetría temporal, hecho que se refleja en que no existen vectores de Killing temporales en dicho espacio, no puede hablarse de invariancia temporal de las ecuaciones de movimiento, al no existir un tiempo ajeno al propio tiempo coordenado del espacio-tiempo.Otra de las consecuencias del tratamiento que hace la teoría de la relatividad general del espacio-tiempo es que no existe un tensor de energía-impulso bien definido. Aunque para ciertos sistemas de coordenadas puede construirse el llamado pseudotensor de energía-impulso, con propiedades similares a un tensor, pero que sólo puede definirse en sistemas de coordenadas que cumplen ciertas propiedades específicas.Por otro lado, aún en la teoría de la relatividad general para cierto tipo de sistemas muy especiales, puede construirse una magnitud asimilable a la energía total del sistema. Un ejemplo de estos sistemas son los espacio-tiempos asintóticamente planos caracterizados por una estructura causal peculiar y ciertas condiciones técnicas muy restrictivas; estos sistemas son el equivalente en teoría de la relatividad de los sistemas aislados.Finalmente cabe señalar, que dentro de algunas teorías alternativas a la relatividad general, como la teoría relativista de la gravitación de Logunov y Mestvirishvili, sí puede definirse unívocamente la energía total del sistema de materia. Esta teoría totalmente equivalente a la teoría de la relatividad general en regiones desprovistas de materia, y predice desviaciones de la misma sólo en regiones ocupadas por materia. En particular la teoría de Logunov y Mestvirishvili, predice la no ocurrencia de agujeros negros,1 y esa es una de las principales predicciones que la diferencian de la teoría general de la relatividad de Albert Einstein.El principio en mecánica cuántica [editar]En mecánica cuántica aparecen algunas dificultades al considerar la cantidad de energía de un sistema a lo largo del tiempo. Así la energía total en ciertos sistemas aislados no está fijada para algunos estados cuánticos sino que puede fluctuar a lo largo del tiempo. Sólo los estados llamados estacionarios que son autovectores del operador hamiltoniano tienen

una energía bien definida, cuando además el hamiltoniano no depende del tiempo.Sin embargo, en sistemas aislados aún para estados no estacionarios, puede definirse una ley de conservación de la energía en términos de valores medios. De hecho para un sistema cuántico cualquiera el valor medio de la energía de un estado puro viene dado por:

(1) ,Y por tanto cuando el hamiltoniano no depende del tiempo, como sucede en un sistema aislado el valor esperado de la energía total se conserva. Aunque para algunos estados se observen fluctuaciones oscilantes de la energía cuya desviación estándar se relacionan con el principio de indeterminación de Heisenberg mediante:

(2) ,

Donde: Cantidad de movimientoDe Wikipedia, la enciclopedia libre(Redirigido desde Momento lineal)Saltar a navegación, búsquedaLa cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o momentum es una magnitud vectorial, unidad SI: (kg m/s) que, en mecánica clásica, se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. En cuanto al nombre Galileo Galilei en su Discursos sobre dos nuevas ciencias usa el término italiano impeto, mientras que Isaac Newton usa en Principia Mathematica el término latino motus y vis.Contenido[ocultar] 1 Introducción 2 Cantidad de movimiento en mecánica clásica o 2.1 Mecánica newtoniana o 2.2 Mecánica lagrangiana y hamiltoniana o 2.3 Cantidad de movimiento de un medio continuo 3 Cantidad de movimiento en mecánica relativista 4 Cantidad de movimiento en mecánica cuántica 5 Conservación o 5.1 Mecánica newtoniana o 5.2 Mecánica lagrangiana y hamiltoniana o 5.3 Mecánica relativista o 5.4 Mecánica cuántica 6 Véase también 7 Enlaces externos

Introducción [editar]En Mecánica Clásica la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento es mediante definición como el producto de la masa (Kg) de un cuerpo material por su velocidad (m/s), para luego analizar su relación con la ley de Newton a través del teorema del impulso y la variación de la cantidad de movimiento. No obstante, después del desarrollo de la Física Moderna, esta manera de hacerlo no resultó la más conveniente para abordar esta magnitud fundamental.El defecto principal es que esta forma esconde el concepto inherente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria para describir las interacciones. Los modelos actuales consideran que no sólo los cuerpos masivos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un atributo de los campos y los fotones.La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.En el enfoque geométrico de la mecánica relativista la definición es algo diferente. Además, el concepto de momento lineal puede definirse para entidades físicas como los fotones o los campos electromagnéticos, que carecen de masa en reposo. No se debe confundir el concepto de momento lineal con otro concepto básico de la mecánica newtoniana, denominado momento angular, que es una magnitud diferente.Finalmente, se define el impulso recibido por una partícula o un cuerpo como la variación de la cantidad de movimiento durante un periodo de tiempo dado:

siendo pf la cantidad de movimiento al final del intervalo y p0 al inicio del intervalo.Cantidad de movimiento en mecánica clásica [editar]Mecánica newtoniana [editar]Históricamente el concepto de cantidad de movimiento surgió en el contexto de la mecánica newtoniana en estrecha relación con el concepto de velocidad y el de masa. En mecánica newtoniana se define la cantidad de movimiento lineal como el producto de la masa por la velocidad:

La idea intuitiva tras esta definición está en que la "cantidad de movimiento" dependía tanto de la masa como de la velocidad: si se imagina una mosca y un camión, ambos moviéndose a 40 km/h, la experiencia cotidiana dice que la mosca es fácil de detener con la mano mientras que el camión no, aunque los dos

vayan a la misma velocidad. Esta intuición llevó a definir una magnitud que fuera proporcional tanto a la masa del objeto móvil como a su velocidad.Mecánica lagrangiana y hamiltoniana [editar]En las formulaciones más abstractas de la mecánica clásica, como la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana, además del momento lineal y del momento angular se pueden definir otros momentos, llamados momentos generalizados o momentos conjugados, asociados a cualquier tipo de coordenada generalizada. Se generaliza así la noción de momento.Si se tiene un sistema mecánico definido por su lagrangiano L definido en términos de las coordenadas generalizadas (q1,q2,...,qN) y las velocidades generalizadas, entonces el momento conjugado de la coordenada qi viene dado por:

Cuando la coordenada qi es una de las coordenadas de un sistema de coordenadas cartesianas, el momento conjugado coincide con una de las componentes del momento lineal, y, cuando la coordenada generalizada representa una coordenada angular o la medida de un ángulo, el momento conjugado correspondiente resulta ser una de las componentes del momento angular.Cantidad de movimiento de un medio continuo [editar]Si estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por ejemplo, un fluido que se mueve según un campo de velocidades es necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partícula del fluido, es decir, de cada diferencial de masa o elemento infinitesimal, es decir

Cantidad de movimiento en mecánica relativista [editar]La constancia de la velocidad de la luz en todos los sistemas inerciales tiene como consecuencia que la fuerza aplicada y la aceleración adquirida por un cuerpo material no sean colineales en general, por lo cual la ley de Newton expresada como F=ma no es la más adecuada. La ley fundamental de la mecánica relativista aceptada es F=dp/dt.El Principio de Relatividad establece que las leyes de la Física conserven su forma en los sistemas inerciales (los fenómenos siguen las mismas leyes). Aplicando este Principio en la ley F=dp/dt se obtiene el concepto de masa relativista, variable con la velocidad del cuerpo, si se mantiene la definición clásica (newtoniana) de la cantidad de movimiento.En el enfoque geométrico de la mecánica relativista, puesto que el intervalo de tiempo efectivo percibido

por una partícula que se mueve con respecto a un observador difiere del tiempo medido por el observador. Eso hace que la derivada temporal del momento lineal respecto a la coordenada temporal del observador inercial y la fuerza medida por él no coinciden. Para que la fuerza sea la derivada temporal del momento es necesario emplear la derivada temporal respecto al tiempo propio de la partícula. Eso conduce a redefinir la cantidad de movimiento en términos de la masa y la velocidad medida por el observador con la corrección asociada a la dilatación de tiempo experimentada por la partícula. Así, la expresión relativista de la cantidad de movimiento de una partícula medida por un observador inercial viene dada por:

donde v2,c2 son respectivamente el módulo al cuadrado de la velocidad de la partícula y la velocidad de la luz al cuadrado y γ es el factor de Lorentz.Además, en mecánica relativista, cuando se consideran diferentes observadores en diversos estados de movimiento surge el problema de relacionar los valores de las medidas realizadas por ambos. Eso sólo es posible si en lugar de considerar vectores tridimensionales se consideran cuadrivectores que incluyan coordenadas espaciales y temporales. Así, el momento lineal definido anteriormente junto con la energía constituye el cuadrivector momento-energía o cuadrimomento P:

Los cuadrimomentos definidos como en la última expresión medidos por dos observadores inerciales se relacionarán mediante las ecuaciones suministradas por las transformaciones de Lorentz.Cantidad de movimiento en mecánica cuántica [editar]La mecánica cuántica postula que a cada magnitud física observable le corresponde un operador lineal autoadjunto , llamado simplemente "observable", definido sobre un dominio de espacio de Hilbert abstracto. Este espacio de Hilbert representa cada uno de los posibles estados físicos que puede presentar un determinado sistema cuántico.Aunque existen diversas maneras de construir un operador asociado a la cantidad de movimiento, la forma más frecuente es usar como espacio de Hilbert

para una partícula el espacio de Hilbert y usar una representación de los estados cuánticos como funciones de onda. En ese caso, las

componentes cartesianas del momento lineal se definen como:

Resulta interesante advertir que dichos operadores son autoadjuntos sólo sobre el espacio de funciones

absolutamente continuas de que constituyen un dominio denso de dicho espacio. Cuidado con esto, pues los autovalores del operador momento, salvo

que nos limitemos a , no tienen por qué ser reales. De hecho, en general pueden ser complejos.Conservación [editar]Mecánica newtoniana [editar]En un sistema mecánico de partículas aislado (cerrado) en el cual las fuerzas externas son cero, el momento lineal total se conserva si las partículas materiales ejercen fuerzas paralelas a la recta que las une, ya que en ese caso dentro de la dinámica newtoniana del sistema de partículas puede probarse que existe una integral del movimiento dada por:

Donde son respectivamente los vectores de posición y las velocidades para la partícula i-ésima medidas por un observador inercial.Mecánica lagrangiana y hamiltoniana [editar]En mecánica lagrangiana «si el lagrangiano no depende explícitamente de alguna de las coordenadas generalizadas entonces existe un momento generalizado que se mantiene constante a lo largo del tiempo», resultando por tanto esa cantidad una integral del movimiento, es decir, existe una ley de conservación para dicha magnitud. Pongamos por caso que un sistema mecánico tiene un lagrangiano tiene n grados de libertad y su lagrangiano no depende una de ellas, por ejemplo la primera de ellas, es decir:

En ese caso, en virtud de las ecuaciones de Euler-Lagrange existe una magnitud conservada que viene dada por:

Si el conjunto de coordenadas generalizadas usado es cartesiano entonces el tensor métrico es la delta de Kronecker gij(q2,...,qn) = δij y la cantidad coincide con el momento lineal en la dirección dada por la primera coordenada.

En mecánica hamiltoniana existe una forma muy sencilla de ver determinar si una función que depende de las coordenadas y momentos generalizados da lugar o no a una ley de conservación en términos del paréntesis de Poisson. Para determinar esa expresión calculemos la derivada a lo largo de la trayectoria de una magnitud:

A partir de esa expresión podemos ver que para «un momento generalizado se conservará constante en el tiempo, si y sólo si, el hamiltoniano no depende explícitamente de la coordenada generalizada conjugada» como se puede ver:

Mecánica relativista [editar]En teoría de la relatividad la cantidad de movimiento o cuadrimomento se define como un vector P el producto de la cuadrivelocidad U por la masa (en reposo) de una partícula:

En relatividad general esta cantidad se conserva si sobre ella no actúan fuerzas exteriores. En relatividad general la situación es algo más compleja y se puede ver que la cantidad de movimiento se conserva para una partícula si esta se mueve a lo largo de una línea geodésica. Para ver esto basta comprobar que la derivada respecto al tiempo propio se reduce a la ecuación de las geodésicas, y esta derivada se anula si y sólo si la partícula se mueve a lo largo de una línea de universo que sea geodésica:

En general para un cuerpo macroscópico sólido de cierto tamaño en un campo gravitatorio que presenta variaciones importantes de un punto a otro del cuerpo no es posible que cada una de las partículas siga una línea geodésica sin que el cuerpo se fragmente o perdiendo su integridad. Esto sucede por ejemplo en regiones del espacio-tiempo donde existen fuertes variaciones de curvatura. Por ejemplo en la caída dentro de un agujero negro, las fuerzas de marea resultantes de la diferente curvatura del espacio-tiempo de un punto a otro despedazarían un cuerpo sólido cayendo dentro de un agujero negro.Mecánica cuántica [editar]Como es sabido en mecánica cuántica una cantidad se conserva si el operador autoadjunto que representa a dicha magnitud u observable conmuta con el hamiltoniano, de modo similar a como en mecánica hamiltoniana una magnitud se conserva si el paréntesis de Poisson con el hamiltoniano se anula.

Tomando como espacio de Hilbert del sistema de una partícula dentro de un potencial una representación

de tipo . Se tiene que:

Por tanto si el potencial no depende de las coordenada xi entonces la cantidad de movimiento de la partícula se conserva, además, la expresión anterior es exactamente la misma que para el caso clásico. Teniendo en cuenta claro está, que éste es el hamiltoniano cuántico, y que las cantidades físicas, no son las mismas que en la mecánica clásica, sino operadores que representan las cantidades clásicas (Observables).ENUNCIADO:"La carga eléctrica total en un sistema aislado (la suma algebraica de la carga positiva y negativa presente en un cierto instante) no varía nunca".CARGA QUE ATRAVIESA ds EN LA UNIDAD DE TIEMPO:Si los portadores de carga (q) se mueven con

velocidad , en tiempo dt, atraviesa la superficie ds toda la carga contenida en el paralelepípedo de la figura:

Siendo n el número de portadores de carga por unidad de volumen, esa carga es:

por lo tanto:

CARGA QUE ATRAVIESA UNA SUPERFICIE CERRADA:

]

q = carga neta dentro de S en un instante dado Pérdida de carga = flujo de carga saliente - flujo de carga entrante =flujo neto de carga saliente.

Como en una superficie cerrada siempre sale de la superficie, resulta que:

donde el signo negativo se debe a que consideramos que q disminuye. Nos queda, por tanto:

EXPRESIÓN MATEMÁTICA DEL PRINCIPIO:Recordando la ley de Gauss:

por lo tanto:

quedando finalmente:

Nótese que si el campo es estacionario, resulta

es decir, no hay acumulación ni pérdida de carga en ninguna región del espacio.El conjunto de ecuaciones vectoriales que permitieron describir la mayor parte de los fenómenos electromagnéticos concoidos, se conoce como las "ecuaciones de Maxwell", y son las siguientes:(1) div E = ro (2) div B = 0 (3) rot B = J + dE / dt (derivada parcial)(4) rot E = - dB / dt (derivada parcial)Así como un vector está caracterizado por tres números (componentes según un sistema de coordenadas), las ecuaciones del cálculo vectorial, utilizado en electromagnetismo, agrupan varias ecuaciones del cálculo diferencial, de ahí que da lugar a nuevas operaciones matemáticas, como las indicadas.

El cálculo vectorial permite describir a los campos de fuerzas asociando un vector a cada punto del espacio. Por ejemplo, si consideramos el caso de un río que lleva cierto caudal de agua, en cada punto del cauce podemos asociar el vector velocidad y así tendremos un campo vectorial de velocidades. Mediante una pequeña rueda exploradora podremos saber si existen torbellinos que tiendan a hacerla girar. El sentido del giro, la velocidad angular y la orientación del eje de la ruedita exploradora constituirán otro campo vectorial que será el rotor del campo de velocidades. Si no se forman torbellinos, caracterizaremos a ese campo de velocidades diciendo que rot v = 0. Cuando se destapa la salida ubicada en el fondo de un recipiente con agua, tendremos un rotor no nulo cuyo vector resultante será coincidente con el centro de la abertura. El gradiente de un campo vectorial es la máxima derivada direccional en un punto de la misma. Para comprender su significado consideremos al campo vectorial constituido por la fuerza de gravedad. Además, consideremos una pequeña bolita que es abandonada en la ladera de una montaña. El movimiento de esa bolita exploradora determinará la máxima pendiente. Así, en cada punto de la montaña podremos asociar un vector y tendremos al campo vectorial gradiente. Para saber cuántas líneas de fuerza eléctrica parten (o entran) de una carga eléctrica, podemos encerrarla con una esfera imaginaria y así podremos "contar" las líneas mencionadas. Si, con la esfera medidora, encerramos a una carga positiva, la divergencia tendrá un valor distinto de cero, mientras que si encerramos igual cantidad de cargas positivas como negativas, la divergencia será nula. La divergencia se aplica a los campos vectoriales, pero su resultado no es un vector, sino un número (magnitud escalar). Respecto de las ecuaciones de Maxwell, podemos interpretarlas de la siguiente manera: la primera indica que las cargas eléctricas (cuya densidad volumétrica se indica en el miembro derecho de la igualdad) producen un campo vectorial eléctrico E, cuyas líneas de fuerza tienen origen y fin. La segunda indica que un campo magnético estático está constituido por líneas de fuerzas cerradas (sin origen ni fin). Estas ecuaciones se justifican mediante el teorema de Gauss (por Carl Gauss (1777-1855) ). La tercera es la ecuación de Ampere-Maxwell e indica que a un campo magnético B lo produce la circulación de una densidad de corriente eléctrica J y también una variación temporal del campo eléctrico E, tal como se vio antes. La cuarta indica que a un campo eléctrico dinámico E lo produce un campo magnético variable B, lo que constituye la ley de inducción electromagnética de Faraday. Hendrk Lorentz (1853-1928) agrega a estas ecuaciones una quinta, la que expresa a la fuerza de

Lorentz y que se utiliza en la descripción del movimiento de partículas cargadas eléctricamente moviéndose en campos eléctricos y magnéticos.