ecuaciones 3x3
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CAP ´ ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 125 7.11. EJERCICIOS 1. Discutir y, en su caso, resolver los sistema siguiente, dando la interpretaci´ on geom´ etrica adecuada: a) x + y + z =0 y + z =2 2y +2z = a b) 6x +4y +2λz =2 λx + y − z =2 5x +3y +3z =2λ c) x − y =5 ax +2y = −3 3x + y =2 d) x + y + z =0 kx +2z =0 2x − y + kz =0 e) x + my + z =2 mx +2z =4 x + y + z =2 f) x − y + z =1 2x + y + λz = λ x + y − λz =0 g) ax − y =2 − a 2x − (a + 1)y =2 h) x + y =2 2x − y =1 3x + ay =6 2. Resuelve y clasifica, usando el m´ etodo de Gauss: a) x − 2y − 3z =3 2x − y − 4z =7 3x − 3y − 5z =8 b) 2x + y =3 4x − y =3 −x + y =3 ¿C´omo se interpreta geom´ etricamentela soluci´on? 3. Dados los planos: π 1 ≡ 3x − y +2z = −1 π 2 ≡ mx − y = −6+ m π 3 ≡ x − z =0 Calcular el valor del par´ ametro m para que los planos se corten en un punto y calcularlo. 4. Una refiner´ ıa compra petr´ oleo a dos pa´ ıses A y B. Comprando 500 barriles al pa´ ıs A y 15500 al pa´ ıs B resulta un precio medio de 19’875 d´ olares. comprando 1000 barriles al pa´ ıs A y 1000 al pa´ ıs B el precio medio es de 18 d´olares por barril. ¿Cu´ anto cuesta el barril de crudo en cada pa´ ıs?. 5. Encontrar un polinomio de segundo grado que se verifique para los tres pares de valores: (0,3), (3,1) y (1,2). 6. Resuelva, clasifique e interprete geom´ etricamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales. Cambie la tercera ecuaci´on para que el sistema sea incompatible. x − 2y − 3z = −2 2x − 4y + z = −4 3x + y + z =1 7. Un almac´ en distribuye cierto producto que fabrican tres marcas distintas A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gr. y su precio es de 1 ; la marca B lo envasa en cajas de 500 gr. a un precio de 1’8 y la marca C lo hace en cajas de 1kg. a un precio de 3’3 . El almac´ en vende a un cliente 2’5 kg de este producto por un importe de 8’9 . Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, se pide: a) Calcular cu´ antos envases de cada tipo se han comprado. b) De qu´ e tipo es el sistema de ecuaciones resuelto en el apartado anterior. 8. Invirtiendo 10000 en acciones de tipo A y 20000 en acciones de tipo B, obtendr´ ıamos unos intereses totales anuales de 2800 , y si invertimos 20000 en A y 10000 en B, obtenemos 2600 . ¿Cu´ ales ser´ ıan los intereses si se invirtiesen 30000 euros en A y 50000 en B? 9. Tres amigos, Marcos, Luis y Miguel, son aficionados a la m´ usica. entre los tres poseen un total de discos compactos (Cd) comprendidos entre 16 y 22. Marcos presta 4 Cd a Miguel, Luis presta 1 Cd a Marcos y Miguel presta 2 Cd a Luis, con lo cual los tres amigos tienen ahora el mismo n´ umero de Cd. ¿Cu´antos Cd pueden tener en total?
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CAPITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 125
7.11. EJERCICIOS
1. Discutir y, en su caso, resolver los sistema siguiente, dando la interpretacion geometrica adecuada:
a)
x + y + z = 0y + z = 22y + 2z = a
b)
6x+ 4y + 2λz = 2λx+ y − z = 25x+ 3y + 3z = 2λ
c)
x − y = 5ax + 2y = −33x + y = 2
d)
x + y + z = 0kx + 2z = 02x − y + kz = 0
e)
x + my + z = 2mx + 2z = 4x + y + z = 2
f)
x − y + z = 12x+ y + λz = λ
x + y − λz = 0
g)
{ax − y = 2− a
2x − (a+ 1)y = 2h)
x + y = 22x − y = 13x + ay = 6
2. Resuelve y clasifica, usando el metodo de Gauss:
a)
x − 2y − 3z = 32x − y − 4z = 73x − 3y − 5z = 8
b)
2x + y = 34x − y = 3−x + y = 3
¿Como se interpreta geometricamente la solucion?
3. Dados los planos:
π1 ≡ 3x − y + 2z = −1π2 ≡ mx − y = −6 + m
π3 ≡ x − z = 0
Calcular el valor del parametro m para que los planos se corten en un punto y calcularlo.
4. Una refinerıa compra petroleo a dos paıses A y B. Comprando 500 barriles al paıs A y 15500al paıs B resulta un precio medio de 19’875 dolares. comprando 1000 barriles al paıs A y 1000al paıs B el precio medio es de 18 dolares por barril. ¿Cuanto cuesta el barril de crudo en cadapaıs?.
5. Encontrar un polinomio de segundo grado que se verifique para los tres pares de valores: (0,3),(3,1) y (1,2).
6. Resuelva, clasifique e interprete geometricamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales.
Cambie la tercera ecuacion para que el sistema sea incompatible.
x − 2y − 3z = −22x − 4y + z = −43x + y + z = 1
7. Un almacen distribuye cierto producto que fabrican tres marcas distintas A, B y C. La marca Alo envasa en cajas de 250 gr. y su precio es de 1 ¿; la marca B lo envasa en cajas de 500 gr. a unprecio de 1’8 ¿ y la marca C lo hace en cajas de 1kg. a un precio de 3’3 ¿. El almacen vende aun cliente 2’5 kg de este producto por un importe de 8’9 ¿. Sabiendo que el lote iba envasadoen 5 cajas, se pide:
a) Calcular cuantos envases de cada tipo se han comprado.
b) De que tipo es el sistema de ecuaciones resuelto en el apartado anterior.
8. Invirtiendo 10000 ¿ en acciones de tipo A y 20000 en acciones de tipo B, obtendrıamos unosintereses totales anuales de 2800 ¿, y si invertimos 20000 ¿ en A y 10000 en B, obtenemos 2600¿. ¿Cuales serıan los intereses si se invirtiesen 30000 euros en A y 50000 en B?
9. Tres amigos, Marcos, Luis y Miguel, son aficionados a la musica. entre los tres poseen un totalde discos compactos (Cd) comprendidos entre 16 y 22.
Marcos presta 4 Cd a Miguel, Luis presta 1 Cd a Marcos y Miguel presta 2 Cd a Luis, con locual los tres amigos tienen ahora el mismo numero de Cd.
¿Cuantos Cd pueden tener en total?
CAPITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 126
10. a) Dado el sistema de ecuaciones lineales:
x + y = 10000
x − 23y − 200 = 0
expresarlo en forma matricial AX = B, calcular la matriz inversa de A y resolverlo.
b) Un tanque de un camion de 10000 litros de volumen se lleno con agua procedente de dosdepositos de almacenamiento, A y B. El agua del deposito A se bombeo a dicho tanque a razonde 20 litros por minuto. el agua del deposito B se bombeo a dicho tanque a razon de 30 litrospor minuto. Ambas operaron al mismo tiempo; sin embargo, a causa de un fusible fundido, labomba A estuvo parada 10 minutos.
¿Cuantos litros de cada deposito de almacenamiento se utilizaron para llenar el tanque delcamion?.
11. Tres familias van a una heladerıa. La primera familia pide dos helados grandes, uno medianoy uno pequeno; la segunda familia pide uno grande, dos medianos y dos pequenos, y la tercerafamilia pide dos grandes y tres pequenos.
a) Escribe una matriz 3x3 que exprese el numero de los helados grandes, medianos y pequenosque pide cada familia.
b) Si la primera, la segunda y la tercera familia han gastado en total en la heladerıa 7, 8 y 7’75¿, respectivamente, calcula el precio de un helado grande, mediano y pequeno.
12. De tres amigos, Antolın, Jesus y Pancho, se sabe lo siguiente:
El doble de la edad de Antolın mas el triple de la edad de Jesus es tres anos superior a cuatroveces la edad de Pancho. El triple de la edad de Pancho menos el doble de la edad de Jesus essiete anos inferior al doble de la edad de Antolın. El doble de la edad de Antolın mas el doblede la edad de Pancho es tres anos inferior a cinco veces la edad de Jesus.
Calcula la edad de cada uno de los tres amigos.
13. Se mezclan tres clases de vino de la siguiente manera:
a) 5 litros de vino de Bembibre, 6 de Cacabelos y 3 de Camponaraya, resultando una mezcla de1’2 ¿ litro.
b) 1 litro de vino de Bembibre, 3 de Cacabelos y 6 de Camponaraya, resultando una mezcla de1’11 ¿ litro.
c) 3 litros de vino de Bembibre, 6 de Cacabelos y 6 de Camponaraya, resultando una mezcla de1’16 ¿ litro.
Halla el precio por litro de cada clase de vino.
14. Considerar la matriz A =(1 0 −12 1 1
). Resolver por el metodo de Gauss:
a) El sistema de ecuaciones lineales homogeneo cuya matriz de coeficientes es AtA.
b) El sistema de ecuaciones lineales homogeneo cuya matriz de coeficientes es AAt.
15. En una tienda, un cliente se ha gastado 150 ¿ en la compra de 12 artıculos entre discos, librosy carpetas. Cada disco le ha costado 20 ¿ , cada libro 15 ¿ y cada carpeta 5 ¿. Se sabe queentre discos y carpetas hay el triple que libros. Determina cuantos artıculos ha comprado decada tipo.
