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61 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

제 장 행렬식2 : [determinant]

여인수 전개에 의한 행렬식2.1

행렬식의 성질2.2

크래머 규칙2.3 (Cramer’s rule), !"# 의 공식화 행렬식의 응용 ,

고유값 고유벡터2.4 (eigenvalue), (eigenvector)

62


여인수 전개에 의한 행렬식2.1

정의 : !)=

>? @

AB&## &#.

&.# &..는 . × . 정사각형행렬이다 . ! 의 행렬식은 다음처럼 정의된다 .

det1!3 ) n!n )? ?&## &#.&.# &..

) &## &.. " &#.&.#

우리는 이 것을 행렬 ! 의 . × . 행렬식 이라고 부른다 [determinant] .

예제 : !)=>? @AB# .

C I이 때 det1!3 ) n!n )? ?# .C I ) 1#31I3 " 1.31C3 )I " F ) " .

정의 : !) P&67Q 는 - × - 정사각형행렬이라고 하자 . ! 의 성분 (entry) &67 의 소행렬식 (minor) �67 는 행렬 ! 로부터 6"행 과 7"열을 제거함으로써 얻어진

1- " #3 × 1- " #3 행렬의 행렬식으로 정의된다 그리고 . ! 의 성분 (entry) &67 의

여인수 (cofactor) !67 는 다음처럼 정의된다 .

!67 )1" #36' 7�67

주목 정사각형행렬의 행렬식을 계산할 때 행렬의 어느 행 어느 열을 따라서 계산하든 행렬식은 : 동일하다 .

- × -행렬의 계산 방법 : - × - → 1- " #3 × 1- " #3 → ⋯ → . × .

예제 : !)=

>?

@

AB

&## &#. &#C&.# &.. &.C&C# &C. &CC

는 C × C 행렬이다 .

det1!3 ) n!n )? ?&## &#. &#C&.# &.. &.C&C# &C. &CC

)&##!## ' &#.!#. ' &#C!#C

↑

!의 #행을따라서전개

)&##1" #3#' #? ?&.. &.C&C. &CC

' &#.1" #3#'.? ?&.# &.C&C# &CC

' &#C1" #3#'C? ?&.# &..&C# &C.

)&##1&..&CC " &.C&C.3 " &#.1&.#&CC " &.C&C#3 ' &#C1&.#&C. " &..&C#3

)&##&..&CC ' &#.&.C&C# ' &#C &.# &C. " &## &.C&C. " &#.&.#&CC " &#C&..&C#

63


따라서 det1!3 ) &##!## ' &#.!#. ' &#C!#C [!의 행을 따라서1 ]

) &.#!.# ' &..!.. ' &.C!.C [!의 행을 따라서2 ]

) &C#!C# ' &C.!C. ' &CC!CC [!의 행을 따라서3 ]

) &##!## ' &.#!.# ' &C#!C# [!의 열을 따라서1 ]

) &#.!#. ' &..!.. ' &C.!C. [!의 열을 따라서2 ]

) &#C!#C ' &.C!.. ' &CC!CC [!의 열을 따라서3 ]

예제 :

!)=

>

?@

A

B. ; ; E" # . I #C ; ; CG F ; ;

일 때

det1!3 )1;3!#C ' 1I3!.C ' 1;3!CC ' 1;3!IC ) 1I31" #3. ' C? ?.;EC;CGF;

) 1" I3 1" F3? ?.ECC )1.I31F " #E3 ) " .#F

주목 행렬식의 효과적인 계산은 행렬의 행과 열을 선택할 때 가장 많은 : ; 성분을 가진 행이나 열 을 선택한다 .

정리 행렬 : ! 의 한 행 또는 한 열의 성분이 모두 ; 이면 det1!3 ); 이다 .

정리 행렬 : ! 가 - × -삼각행렬이면 det1!3 )�6)#

-

&66 )&## ∙&.. ∙ ⋯ ∙&-- 이다 .

주대각선상에 놓인 모든 성분의 곱 [ ]

64


문제 다음 행렬의 행렬식을 계산하시오: .

!)

=

>

?@

A

BI ; ; # ;C C C " # ;# . I . CH I F . C. . I . C

65


문제 다음 방정식의 해를 구하시오: .

? ?$ " #C # " $

) ? ?# ; " C. $ " F# C $ " E

66


문제 평면상의 세 점 : 1$# 0 %#30 1$. 0 %.3 0 1$C 0 %C3 이 한 직선위에 놓이기 위한 필요충분조건은

? ?$# %# #$. %. #$C %C #

) ;

임을 증명하시오 .

67


행렬식의 성질2.2

정리 : ! 가 정사각형행렬이면 det1!3 )det1!_3 이다 .

정리 : !)P&67Q 는 - × - 행렬이라고 하자 .

행렬 (1) W 가 행렬 ! 의 한 행 또는 한 열 의 스칼라 9 를 곱해서 얻어진 행렬이면 det1W3 )9 det1!3

이다 .

행렬 (2) W 가 행렬 ! 의 두 행 또는 두 열을 교환해서 얻어진 행렬이면 det1W3 ) " det1!3 이다 .

행렬 (3) W 가 행렬 ! 의 한 행에 스칼라를 곱하여 다른 행에 더해서 얻어진 행렬이거나 행렬 ! 의 한 열의 스칼라를 곱하여 다른 열에 더해서 얻어진 행렬이면 det1W3 ) det1!3 이다 .

행렬 (4) ! 의 두 행 또는 두 열 이 같으면 det1!3 ); 이다 .

행렬 (5) ! 의 두 행 또는 두 열 이 비례하면 det1!3 ); 이다 .

(6) det19!3 )9-det1!3

증명 :

68


예제 여인수 확장 을 이용하여 다음 행렬식을 계산하시오: (cofactor expansion) .

!)=

>

?@

A

BC E " . F# . " # #. I # EC D E C

풀이 : det1!3 )? ?; " # # C# . " # #; ; C C; # G ;

) " ? ?" # # C; C C# G ;

) " ? ?" # # C; C C; H C

) " 1" #3? ?C CH C ) H " .D) " #G

문제 여인수 확장 을 이용하여 다음 행렬식을 계산하시오: (cofactor expansion) .

!)

=

>

?@

A

B; # # #

K.

#K.

## K.

#

KC

.KC

#KC

#;

" KC

#KC

.; ;

69


정리 정사각형행렬 : ! 가 가역행렬이기 위한 필요충분조건은 ,,UN1!3 ≠; 이다 .

증명 :

정리 행렬 : !0 W 가 같은 크기의 정사각형행렬이면 det1!W3 )det1!3 det1W3 이다 .

증명 :

70


주목 : det1!-3 ) Pdet1!3Q-

정리 정사각형행렬 : ! 가 가역행렬이면 det1!"#3 )Kdet1!3# 이다 .

증명 : !!"#)b 이므로 정리에의하여 det1!3det1!"#3 )det1!!"#3 )det1b3 )# 이다 .그러므로

det1!"#3 )Kdet1!3# 이다 . Q.E.D.

정리 역행렬의 동치명제[ ] : ! 는 - × - 정사각형행렬이라고 하자 이 때 다음 명제는 동치이다 . .

(1) ! 는 가역행렬이다 역행렬을 가진다 .( .)(2) ! 의 기약행 사다리꼴 기약 가우스 행렬 은 단위행렬 ( ) b- 이다 .

(3) ! 는 기본행렬의 곱으로 표현될 수 있다 .

연립선형방정식 (4) !^); 은 자명해 영 해 즉 ( , ^)

=

>

?@

A

B;;⋮;

1- × # 행렬3 만 가진다) .

모든 (5) - × # 행렬 ( 에 대하여 !^)( 는 항상 해를 가진다 .모든 (6) - × # 행렬 ( 에 대하여 !^)( 는 오직 하나의 해를 가진다 .

(7) ! 의 열벡터들은 #차독립이다.(8) ! 의 행벡터들은 #차독립이다.(9) det1!3 ≠;

증명 :

71


문제 행렬식을 증명하시오 힌트 수학적 귀납법 이용: Vandermonde . [ : ]

!)

=

>

?@

A

B# $#$#

.⋯$#

-"#

# $.$..⋯$.

-"#

# $C$C.⋯$C

-"#

⋮⋮⋮ ⋮

# $-$-.⋯$-

-"#

) �#≤6r7≤-

1$7 " $63

72


문제 다음 행렬의 행렬식을 계산하시오: .

!)=

>

?@

A

B&( ( (( &( (( ( &(( ( ( &

73


문제 다음 행렬의 : ��"분해를 구하고 이를 이용하여 행렬식을 계산하시오, .

!)=

>

?@

A

B" . . " I " F" C F C " #EE " G " # #D# # ## D

74


크래머 규칙2.3 (Cramer’s rule), !"# 의 공식화 행렬식의 응용 ,

정의 : !)P&67 Q 는 - × - 행렬이고 , !67 는 성분 &67 의 여인수이다 .

Y)

=

>

?@

A

B!##!#.⋯!#-!.#!..⋯!.-⋮ ⋮ ⋮!-#!-.⋯!--

는 행렬 ! 의 여인수들의 행렬이다 .

! 의 수반행렬 [adjoint] &,71!3 는 다음처럼 정의된다 .

&,71!3 )Y_)

=

>

?@

A

B!##!.#⋯!-#!#.!..⋯!-.⋮ ⋮ ⋮!#-!.-⋯!--

주목 : !&,71!3 )=

>

?@

A

Bdet1!3 ; ⋯ ;; det1!3⋯ ;⋮ ⋮ ⋮; ; ⋯det1!3

)det1!3 b

정리 : ! 가 가역행렬이면

!"# )Kdet1!3#&,71!3

증명 : !&,71!3 )det1!3 b → !"#1!&,71!33 )!

"#1det1!3b3

→ &,71!3 ) det1!3!"# → !

"#)Kdet1!3#&,71!3 Q.E.D.

75


예제 : !)=

>?

@

AB

C . " ## F C. " I ;

→ !## )#.0 !#. )F0 !#C ) " #F

!.# )I0 !.. ).0 !.C )#F

!C# )#.0 !C. ) " #;0 !CC )#F

Y)=

>?

@

AB#. F " #F

I . #F#. " #; #F

→ &,71!3 )Y_)=

>?

@

AB#. I #.

F . " #;" #F #F #F

det1!3 )FI [check it out] → !"#)

=

>

?@

A

BKFI

#.KFI

IKFI

#.

KFI

FKFI

." KFI

#;

" KFI

#FKFI

#FKFI

#F

정리[Cramer’ rule]

- 개의 방정식과 - 개의 미지수를 가지는 연립선형방정식 !$)( 가 유일한 해를 가지기 위한 필 요충분조건은

$# )Kdet1!3det1!#3

0 $. )Kdet1!3

det1!.30 ⋯ 0 $- )Kdet1!3

det1!-3

이다 여기서 . !7 는 ! 의 7"번째 열을 열벡터 ( 로 교체함으로써 생성된 행렬이다 .

증명 :

$ )!"#( )Kdet1!3

#&,71!3( )Kdet1!3

#

=

>

?@

A

B!##!.#⋯!-#!#.!..⋯!-.⋮ ⋮ ⋮!#-!.-⋯!--

=

>

?@

A

B(#(.⋮(-

그러므로 $ 의 7" 번째 행의 성분

$7 )Kdet1!3

(#!#7 ' (.!.7 ' ⋯ ' (-!-7)Kdet1!3

det1!7317)#0 .0 ⋯0 -3 Q.E.D.

76


예제 크래머 규칙을 이용하여 다음 연립선형방정식의 해를 구하시오: .

$# ' ' .$C )F" C$# ' I$. ' F$C )C;" $# " .$. ' C$C )G

풀이 : !)=

>?

@

AB# ; .

" C I F" # " . C

0 !# )=

>?

@

ABF ; .

C; I FG " . C

0 !. )=

>?

@

AB# F .

" C C;F" # G C

0 !C )=

>?

@

AB# ; F

" C I C;" # " . G

det1!3 )II0 det1!#3 ) " I;0 det1!.3 )D.0 det1!C3 )#E.

그러므로 $# )KII" I;

)K##

" #;0 $. )KII

D.)K##

#G0 $C )KII

#E.)K##

CG

문제 크래머 규칙을 이용하여 다음 연립선형방정식의 해를 구하시오: .

.$ ' .% " + ' O)II$ ' C% " + ' .O)FG$ ' E% " C+ ' IO)#.C$ ' C% " .+ ' .O)F

77


정리 행렬식의 기하학적 의미[ ]

(1) ! 가 . × . 행렬이면 n det1!3 n 는 평행이동에의해 ! 의 두 열벡터의 시점을 일치시킴으로써 결정된 평행사변형의 넓이를 나타낸다 .

(2) ! 가 C × C 행렬이면 n det1!3 n 는 평행이동에의해 ! 의 세 열벡터의 시점을 일치시킴으로써 결정된 평행육면체의 부피를 나타낸다 .

증명 :

78


예제 네 점 : z#1" #0 .3 0 z.1#0 D30 zC1D0 G30 zI1E0 C3 에 의해서 결정된 평행사변형의 넓이를

구하시오 .

풀이 : KVz#z. ) r.0 Ed 0KVz#zI ) rF0 #d 이므로

평행사변형의 넓이 ) ndet1!3 n ) n ? ?. FE #

n ) n. " C;n) .G .

정리 : $%" 평면 안에 놓인 삼각형이 세 점 z#1$# 0 %#3 0 z.1$. 0 %.3 0 zC1$C 0 %C3 에 의해서 결

정된다 이 때 .

∆z#z.zC 의 넓이 )K.

#n ? ?$# %# #$. %. #$C %C #

n

증명 :

79


문제 세점 : z#1" E0 I3 0 z. 1C0 .3 0 zC1" .0 " C3 에 의해서 결정된 삼각형의 넓이를 구하시오 .

주목 : $" 좌표가 다른 - 개의 점

1$# 0 %#3 0 1$. 0 %.30 ⋯ 0 1$- 0 %-3

이 $%"평면안에 놓인다 이 때 . - 개의 점을 지나는 차수가 - " # 보다 작거나 같은 다항함수가 유일하게 존재한다.

풀이 : %)&; ' &#$ ' &.$. ' ⋯ ' &-" #$- "# 가 - 개의 점

1$#0 %#30 1$. 0 %.3 0 ⋯ 0 1$- 0 %-3

을 지나는 다항함수라고 하자 그러면 다음 연립선형방정식을 얻는다. .

&; ' &#$# ' &.$#. ' ⋯ ' &-"#$#

-"# )%#

&; ' &#$. ' &.$.. ' ⋯ ' &-"#$.-"# )%.

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

&; ' &#$- ' &.$-. ' ⋯ ' &-"#$--"# )%-

이 연립선형방정식이 유일한 해를 가지기 위한 필요춘분조건은

=

>

?@

A

B# $# $#

.⋯$#-"#

# $. $..⋯$.

-"#

# $C $C.⋯$C

-"#

⋮⋮⋮ ⋮

# $-$-.⋯$-

-"#

≠;

이다.한편,

80


=

>

?@

A

B# $# $#

.⋯$#-"#

# $. $..⋯$.

-"#

# $C $C.⋯$C

-"#

⋮⋮⋮ ⋮

# $-$-.⋯$-

-"#

) �#≤6r7≤-

1$7 " $63

이고, $"좌표 값은 서로 다르므로

=

>

?@

A

B# $# $#

.⋯$#-"#

# $. $..⋯$.

-"#

# $C $C.⋯$C

-"#

⋮⋮⋮ ⋮

# $-$-.⋯$-

-"#

) �#≤6r7≤-

1$7 " $63≠;

이다. Q.E.D.

문제 네 점 : z#1#0 " #3 0 z.1" #0 #3 0 zC 1.0 #3 0 zI1" .0 " #3 을 지나는 C차 이하의 다항함수

를 구하시오 .

81


고유값 고유벡터2.4 (eigenvalue), (eigenvector)

정의 : ! 가 - × - 정사각형행렬이고 $ 가 - × # 열벡터이고 !$)$ 이면 $ 를 행렬 ! 의 고 정점이라고 부른다 .

이 것은 다음 관계를 의미한다 .

!$)$) b $ ↔ 1b " ! 3$ );

정리 : ! 는 - × - 정사각형행렬이다 다음 세 명제는 동치이다 . .

(1) ! 는 영벡터가 아닌 고정점을 가진다 .(2) b " ! 가 특이행렬이다 .(3) det1b " !3 );.

증명 :

예제 다음 행렬의 고정점을 구하고 고정점들의 공간을 : $%"좌표평면위에 나타내시오.

!)=>? @AB; .

; #

풀이 : 1b " !3$) ; ↔ =>? @

AB# " .

; ;

=>? @AB$%)=>? @AB;;↔ $).N0 %)N 1자유변수3 ↔ $ )=>

? @AB.NN

∴ $)=>? @AB.#N 즉 고정점들의 공간은 , $%"좌표평면위의 점 1.0 #3 과 원점 1;0 ;3 을 통

과하는 직선이다 .

정의 : ! 는 - × - 정사각형행렬이다 스칼라 . � 에 대하여 영벡터가 아닌 열벡터 $ 가 존재하여 !$)�$ 를 만족시키면 � 를 ! 의 고유값 이라 부르고 영벡터가 아닌 [eigenvalue] ,

82


열벡터 $ 는 � 에 대응하는 ! 의 고유벡터 라고 부른다 [eigenvector] .

정리 : det1�b " !3 ); 은 ! 의 특성방정식 이라고 불리어 [ characteristic equation]진다 .

정의 : � 가 ! 의 고유값이면 선형연립방정식 1�b " !3$ ); 은 영벡터와 영벡터가 아닌 벡터들 로 이루어지는 해공간을 가지는 데 우리는 이 해공간을 고유값 � 에 대응하는 행렬 ! 의 고유공간 이라고 부른다 [eigenspace] .

정리 : ! 는 - × - 정사각형행렬이다 . � 는 스칼라이다 다음 세 명제는 동치이다 . .

(1) � 는 ! 의 고유값이다 .(2) � 는 특성방정식 det1�b " !3 ); 의 해이다 .

연립선형방정식 (3) 1�b " !3$ ) ; 영벡터가 아닌 해를 가진다 .

증명 :

83


예제 다음 행렬의 고유값과 각 고유값에 대응하는 고유벡터들을 구하고 고유공간을 : $%"좌표평면 위에 나타내시오 .

!)=>? @AB# C

I .

풀이 : ; )det1�b " !3 )? ?� " # " C" I � " .

↔ �. " C� " #; ); ↔ 1� ' .31� " E3 );

=>? @

AB� " # " C

" I � " .

=>? @AB$%)=>? @AB;;

고유값 (1) �) " . 인 경우

=>? @

AB" C " C

" I " I

=>? @AB$%)=>? @AB;;↔ $) " N 0 %)N ↔ $)

=>? @AB" NN)=>? @

AB" ##N 고유벡터 ( )

고유공간은 원점을 포함한 원점과 점 1" #0 #3을 통과하는 직선이다.

고유값 (2) � )E 인 경우

=>? @

ABI " C

" I C

=>? @AB$%)=>? @AB;;↔ $)KI

CN 0 %)N ↔ $)

=>? @AB$%)=

>?@

ABKIC

#N 고유벡터 ( )

고유공간은 원점을 포함한 원점과 점 1KIC0 #3을 통과하는 직선이다.

84


문제 다음 행렬의 고유값들을 구하시오: .

!)=

>?

@

AB; " # ;

; ; #" I " #D G

85


삼각행렬들의 고유값들

! 는 - × - 삼각형행렬 상삼각행렬 하삼각행렬 대각행렬 이다 여기서 주대각선상 위에 있는 성 [ , , ] . 분들은 &## 0 &.. 0 ⋯ 0 &-- 이다 .

;)det1�b " !3 )1� " &##31� " &..3 ⋯ 1� " &--3

그러므로 ! 의 고유값들은

�)&## 0 �)&.. 0 ⋯ 0 �)&--

이다.

정리 : ! 는 - × - 삼각형행렬 상삼각행렬 하삼각행렬 대각행렬 이다 [ , , ] . ! 의 고유값들은 ! 의 주대각선상에 있는 성분들이다 .

86


문제 직접 : ! 의 고유값들이 ! 의 주대각선상에 있는 성분들임을 보이시오 .

!)

=

>

?@

A

BK.

#; ; ;

" # " KC

.; ;

D KG

EF ;

KH

I" I C F

87


정리 : � 가 ! 의 고유값이고 $ 가 � 에 대응하는 고유벡터이고 9 가 임의의 양의 정수이면 �9 는 행렬 !9 의 고유값이고 $ 는 고유값 �9 에 대응하는 행렬 !9 의 고유벡터이다 .

증명 :

정리 역행렬의 동치명제[ ] : ! 는 - × - 정사각형행렬이라고 하자 이 때 다음 명제는 동치이다 . .

(1) ! 는 가역행렬이다 역행렬을 가진다 .( .)(2) ! 의 기약행 사다리꼴 기약 가우스 행렬 은 단위행렬 ( ) b- 이다 .

(3) ! 는 기본행렬의 곱으로 표현될 수 있다 .

연립선형방정식 (4) !^); 은 자명해 영 해 즉 ( , ^)

=

>

?@

A

B;;⋮;

1- × # 행렬3 만 가진다) .

모든 (5) - × # 행렬 ( 에 대하여 !^)( 는 항상 해를 가진다 .모든 (6) - × # 행렬 ( 에 대하여 !^)( 는 오직 하나의 해를 가진다 .

(7) ! 의 열벡터들은 #차독립이다.(8) ! 의 행벡터들은 #차독립이다.(9) det1!3 ≠;.(10) �); 은 ! 의 고유값이 아니다 .

증명 :

88


문제 다음 행렬의 고유값을 구하시오: .

!)=>? @

AB" . " #

E .

대수적승[Algebraic Multiplicity]

! 는 - × - 정사각형행렬이라고 하자 이 때 .

e1�3 )det1�b " !3 )�- ' *#�-"# ' *.�

-". ' ⋯ ' *- 1� 에 관한 -차 다항함수3

우리는 e1�3 )�- ' *#�-"# ' *.�

-". ' ⋯ ' *- 를 행렬 ! 의 특성다항함수 라고 부른다[characteristic polynomial] .

그리고

e1�3 )�- ' *#�-"# ' *.�

-". ' ⋯ ' *- )1� " �#35#1� " �.3

5. ⋯1� " �9359 1인수분해3

여기서 지수 56 16)#0.0 ⋯0 93를 행렬 ! 의 고유값 �6 의 대수적승이라고 부른다 .

예제 : ! 는 F × F 행렬이고 특성다항함수가

�F " C�I ' .�C )�C1� " #3.1� ' .3

이면 �); 의 대수적승은 C, �)# 의 대수적승은 .이고 그리고 , �) " . 의 대수적승 은 # 이다 .

89


기하적승[Geometric Multiplicity]

! 는 - × - 정사각형행렬이고 , � 는 ! 의 고유값이다 .

연립선형방정식 1�b " !3$ ) ; 의 해공간 즉 ( , � 의 고유공간 의 차원을 ) � 의 기하적승이라고 말 한다.

주목 : 대수적승 ≥ 기하적승

정리 : ! 는 - × - 정사각형행렬이라고 하자 이 때 . ! 의 특성다항함수는 다음처럼 표현될 수 있다 .

e1�3 )det1�b " !3)1� " �#35#1� " �.3

5. ⋯1� " �9359

여기서 고유값 , �#0 ⋯ 0 �ㅏ 는 서로 다르고 그리고 ,

5# ' 5. ' ⋯ ' 59 )- 이다 .

. × . 행렬의 고유값 분석

!)=>? @

AB& (

* ,

;)det1�b " !3 )? ?� " & " (" * � " ,

)�. " 1& ' ,3� ' 1&, " (*3

)�. " Na1!3� ' det1!3 [� 의 이차방정식 ]

판별식 |)Na1!3. " Idet1!3 이다 .

(1) |d; 인 경우 : ! 는 서로 다른 실수 고유값을 가진다

(2) |); 인 경우 : ! 는 하나의 중첩된 실수 고유값을 가진다

(3) |r; 인 경우 : ! 는 서로 다른 순허수 고유값을 가진다

90


문제 다음 행렬의 고유값들을 구하시오: .

!)=>? @

AB. .

" # E0 W)

=>? @

AB; " #

# .0 Y)

=>? @

AB. C

" C .

정리 : ! 가 실수 성분들을 가지는 . × . 대칭행렬이면 ! 의 고유값들은 실수들이다 특히 . ,

!)=>? @

AB& ;

; &는 하나의 중첩된 실수 고유값을 가진다 .

따라서

!)=>? @AB& (

( *1( ≠;3 는 서로 다른 두 개의 실수 고유값을 가진다 .

증명 :

91


문제 다음 행렬의 고유공간을 : $%"좌표평면위에 나타내시오.

!)=>? @ABC .

. C

92


정리 : ! 는 - × - 정사각형행렬이고 , �# 0 �. 0 ⋯ 0 �- 1중복허용3 은 행렬 ! 의 고유값들이

라고 하자 .

(1) det1!3 )�6)#

-

�6 )�#�. ⋯ �-

(2) Na1!3 )Z6)#

-

�6 )�# ' �. ' ⋯ ' �-

증명 :

93


문제 다음 행렬의 고유값 대수적승 기하적승을 구하시오: , , .

!)=

>?

@

AB# # " C

. ; F# " # E

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