ECONOMIA POLITICA – ESERCIZI SVOLTI

1. Elasticità

1.1) Si consideri il seguente mercato delle palle da golf, in cui domanda ed offerta sono

rispettivamente:

𝑌𝑑 = 90 − 2 𝑃 − 2 𝑇

𝑌𝑠 = −9 + 5 𝑃 − 2,5𝐺

dove T è il prezzo del titanio, un metallo utilizzato per costruire palle da golf, P è il prezzo delle palle

da golf e G è il prezzo della gomma.

a) Se G = 2 and T = 10, calcolare il prezzo e le quantità di equilibrio.

b) Ai valori di equilibrio, calcolare l'elasticità al prezzo della domanda e l'elasticità al prezzo

della offerta.

Soluzione

a) Una volta effettuate le opportune sostituzioni con i valori assegnati di G e T, le funzioni di

domanda e offerta diventano:

𝑌𝑑 = 70 − 2 𝑃

𝑌𝑠 = −14 + 5 𝑃

Aggiungiamo inoltre la condizione di equilibrio alle due equazioni precedenti, ovvero:

𝑌𝑑 = 𝑌𝑠

per cui eguagliando domanda e offerta otteniamo:

70 − 2 𝑃 = −14 + 5 𝑃

84 = 7 𝑃

quindi,

𝑃∗ =84

7= 12

e, sostituendo nella funzione di domanda o di offerta, Y* = 70 – 2 (12) = 46

b) L’elasticità al prezzo della domanda è definita dalla seguente equazione:

휀𝑑 =𝜕%𝑌𝑑

𝜕%𝑃=

𝜕𝑌𝑑 𝑌𝑑⁄

𝜕𝑃 𝑃⁄=

𝜕𝑌𝑑

𝜕𝑃

𝑃

𝑌𝑑

Pertanto, 휀𝑑 = −2 (12

46) = −

24

46= −0,52

L’elasticità al prezzo della domanda è definita dalla seguente equazione:

휀𝑠 =𝜕%𝑌𝑠

𝜕%𝑃=

𝜕𝑌𝑠 𝑌𝑠⁄

𝜕𝑃 𝑃⁄=

𝜕𝑌𝑠

𝜕𝑃

𝑃

𝑌𝑠

Pertanto, 휀𝑠 = 5 (12

46) =

60

46= 1,3

1.2) Supponete che la curva di domanda di mercato del bene Y sia Y = 10 - P.

a) Disegnare la curva di domanda, specificandone le intercette.

b) Calcolare l'elasticità della domanda al prezzo in due punti distinti della curva di domanda,

ipotizzando che il prezzo di mercato sia P = 4 (punto A) e P = 8 (punto B).

Soluzione

a) Per rappresentare la curva di domanda ponendo il prezzo in ordinata e la quantità in ascissa,

occorre invertire la funzione di domanda diretta in forma, appunto, inversa:

P = 10 – Y

Graficamente:

Con intercette P, Y = (10, 10)

b) Se il prezzo è pari a 4 (quindi la quantità domandata è pari a 6) l’elasticità della domanda al

prezzo in tale punto sarà:

휀𝑑 =𝜕%𝑌𝑑

𝜕%𝑃=

𝜕𝑌𝑑 𝑌𝑑⁄

𝜕𝑃 𝑃⁄=

𝜕𝑌𝑑

𝜕𝑃

𝑃

𝑌𝑑= −1 (

4

6) = −0,66

Se il prezzo è pari a 8 (quindi la quantità domandata è pari a 2) l’elasticità della domanda al

prezzo in tale punto sarà:

휀𝑑 =𝜕%𝑌𝑑

𝜕%𝑃=

𝜕𝑌𝑑 𝑌𝑑⁄

𝜕𝑃 𝑃⁄=

𝜕𝑌𝑑

𝜕𝑃

𝑃

𝑌𝑑= −1 (

8

2) = −4

1.3) Calcolare il valore dell’elasticità della domanda al prezzo, per la seguente funzione: 𝑌 =30

𝑃

Soluzione

L’elasticità al prezzo della domanda è definita dalla seguente equazione:

휀𝑑 =𝜕%𝑌𝑑

𝜕%𝑃=

𝜕𝑌𝑑 𝑌𝑑⁄

𝜕𝑃 𝑃⁄=

𝜕𝑌𝑑

𝜕𝑃

𝑃

𝑌𝑑

Pertanto,

휀𝑑 = −30

𝑃2

𝑃

𝑌𝑑= −

30

𝑃2

𝑃

30𝑃

= −1

1.4) Calcolare il valore delle elasticità della domanda rispetto a P1, P2, I (I = reddito), data la funzione

di domanda:

Y = 2000 – 5 P1 + 2 P2 + 0,02 I con P1 = 300, P2 = 250, I = 5000

Soluzione

Con i dati dell’esercizio, la quantità domandata è pari a:

𝑌𝑑 = 2000 − 5(300) + 2(250) + 0,02(5000) = 1100

L’elasticità al prezzo della domanda è pari a:

휀𝑌𝑑/𝑃1 =𝜕𝑌𝑑

𝜕𝑃1

𝑃1

𝑌𝑑= −5

300

1100= −

1500

1100= −1,36

L’elasticità incrociata della domanda è pari a:

휀𝑌𝑑/𝑃2 =𝜕𝑌𝑑

𝜕𝑃2

𝑃2

𝑌𝑑= 2

250

1100=

500

1100= +0,45

e i beni sono sostituti tra loro.

L’elasticità della domanda al reddito è pari a:

휀𝑌𝑑/𝐼 =𝜕𝑌𝑑

𝜕𝐼

𝐼

𝑌𝑑= 0,02

5000

1100=

100

1100= +0,09

e il bene è normale.

1.5) Un bene inferiore ha una elasticità della domanda rispetto al reddito pari a 0,5 in valore assoluto.

Partendo da un punto in cui il reddito I = 10 e la quantità Y = 20, si ipotizzi una variazione positiva

del reddito pari a 5. Quale è il nuovo valore di Y?

Soluzione

L’elasticità della domanda al reddito è pari a:

휀𝑌𝑑/𝐼 =𝜕𝑌𝑑

𝜕𝐼

𝐼

𝑌𝑑

Un bene inferiore è caratterizzato da una elasticità al reddito negativa, perché se il reddito aumenta,

il consumatore abbandona questa tipologia di beni, ad esempio perché può permettersi l’acquisto di

altri beni o semplicemente perché si ha la possibilità di accedere ad altri beni. Pertanto, per i beni

inferiori, 휀𝑑1/𝐼 < 0 = −0,5. Utilizzando i dati dell’esercizio:

휀𝑑1/𝐼 = 0,5 =Δ𝑌

5

10

20

Δ𝑌 = −0,5(10) = −5

Quindi il nuovo valore del bene è Y = 15.

2. Funzioni di utilità - Curve di Indifferenza - Saggio Marginale di Sostituzione

2.1) Data una funzione Cobb Douglas 𝑈(𝑌1, 𝑌2) = 𝑌1𝛼𝑌2

𝛽

a) Calcolare il saggio marginale di sostituzione (SMS).

b) Nel caso in cui 𝛼 = 𝛽 = 1, quindi 𝑈(𝑌1, 𝑌2) = 𝑌1𝑌2, trovare l'equazione che definisca le

curve di indifferenza.

Soluzione

a) Il Saggio Marginale di sostituzione indica il coefficiente angolare della curva di indifferenza ed è

pari al rapporto tra la variazione del consumo del bene 2 (ΔY2) e la variazione del consumo del bene

1 (ΔY1). Lungo una curva di indifferenza, dove l’utilità totale di diversi, infiniti, panieri di beni è la

stessa, le due variazioni, di segno opposto, si compensano esattamente. La variazione di utilità,

conseguente alla riduzione (aumento) del consumo del bene 2 è esattamente compensata

dall’incremento (riduzione) del consumo del bene 1:

𝑆𝑀𝑆 =Δ𝑌2

Δ𝑌1

Poiché l’utilità marginale del bene 1 è pari alla variazione di utilità totale che deriva dalla variazione

del consumo del bene 1, ossia: 𝑈𝑀1 =ΔU

Δ𝑌1 e, allo stesso modo, l’utilità marginale del bene 2 è pari

alla variazione di utilità totale che deriva dalla variazione del consumo del bene 2, ossia: 𝑈𝑀2 =ΔU

Δ𝑌2,

possiamo scrivere che la variazione dell’utilità totale è pari alla variazione della quantità consumata

del bene 1 moltiplicata per la variazione di utilità che ne consegue, ΔU = 𝑈𝑀1Δ𝑌1 e, allo stesso modo

per il bene 2 ΔU = 𝑈𝑀2Δ𝑌2.

Muovendoci lungo una curva di indifferenza, l’utilità totale non cambia, quindi ΔU = 0, pertanto la

somma di queste due variazioni è nulla:

0 = 𝑈𝑀1Δ𝑌1 + 𝑈𝑀2Δ𝑌2

Con semplici passaggi algebrici possiamo quindi indicare il Saggio Marginale di Sostituzione

alternativamente come il rapporto tra le variazioni di quantità o come il rapporto (inverso) fra le

variazioni di utilità:

𝑆𝑀𝑆 =Δ𝑌2

Δ𝑌1= −

𝑈𝑀1

𝑈𝑀2

Ora, data una funzione di utilità generica 𝑈 = 𝑓(𝑌1, 𝑌2), l’utilità marginale corrisponde alla derivata

parziale di questa funzione rispetto al bene oggetto di analisi:

𝜕𝑈

𝜕𝑌1=

𝜕𝑓(𝑌1, 𝑌2)

𝜕𝑌1

Nel caso del nostro esercizio, la funzione di utilità è 𝑈(𝑌1, 𝑌2) = 𝑌1𝛼𝑌2

𝛽, quindi le derivate parziali di

questa funzione rispetto a Y1 e a Y2 sono rispettivamente pari a:

𝑈𝑀1 =𝜕𝑓(𝑌1,𝑌2)

𝜕𝑌1= 𝛼𝑌1

𝛼−1𝑌2𝛽

𝑈𝑀2 =𝜕𝑓(𝑌1,𝑌2)

𝜕𝑌2= 𝛽𝑌1

𝛼𝑌2𝛽−1

Il rapporto tra queste due derivate parziali corrisponde al saggio marginale di sostituzione (SMS):

𝑆𝑀𝑆 = −𝛼𝑌1

𝛼−1𝑌2𝛽

𝛽𝑌1𝛼𝑌2

𝛽−1

E, con semplici operazioni algebriche sugli esponenti otteniamo:

𝑆𝑀𝑆 = −𝛼

𝛽

𝑦2

𝑦1

b) Nel caso in cui α = β = 1, il 𝑆𝑀𝑆 = −𝑌2

𝑌1. L’equazione che descrive la curva di indifferenza indica

un livello di utilità costante pari a k per le diverse combinazioni dei due beni, pertanto otteniamo:

𝑌1𝑌2 = �̅�

Esplicitando l’equazione per Y2, l’equazione diventa:

𝑌2 =�̅�

𝑌1 .

2.2) Data una funzione Cobb Douglas 𝑈(𝑌1, 𝑌2) = 𝑌11 3⁄

𝑌22 3⁄

a) Calcolare il saggio marginale di sostituzione (SMS).

b) Trovare l'equazione che definisca le curve di indifferenza.

Soluzione

a) Ripetendo il ragionamento dell’esercizio precedente, il SMS è:

𝑆𝑀𝑆 = −1

2

𝑌2

𝑌1

b) La curva di indifferenza Cobb-Douglas ha equazione:

𝑌11 3⁄

𝑌22 3⁄

= �̅�

che, esplicitata per Y2 diventa:

𝑌2 = �̅�3 2⁄

𝑌1−1 2⁄

2.3) Un consumatore ha una funzione 𝑈(𝑌1, 𝑌2) = 𝑌1 + 2𝑌2

a) Come definiamo i beni Y1 e Y2?

b) Trovare l'equazione che definisca le curve di indifferenza e fornire una

rappresentazione grafica.

c) Calcolare il saggio marginale di sostituzione.

Soluzione

a) In questo caso i beni sono perfetti sostituti e sono rappresentati da una curva di indifferenza

che evidenzia una relazione di sostituibilità costante (lineare) fra i due beni.

b) L’equazione che descrive la curva di indifferenza indica un livello di utilità costante k per le

combinazioni dei due beni: 𝑌1 + 2𝑌2 = �̅� . Esplicitando l’equazione per Y2 diventa:

𝑌2 =�̅�

2−

1

2𝑌1

Come detto, questa equazione (di primo grado) indica una relazione lineare tra Y1 e Y2, ovvero

le preferenze del consumatore esprimono una sostituibilità costante tra i due beni.

La rappresentazione grafica delle curve di indifferenza, con valori di utilità rispettivamente

pari a �̅� = 10 e �̅� = 20 è:

c) il Saggio Marginale di Sostituzione corrisponde al coefficiente angolare della retta espressa

al punto precedente, ed è:

𝑆𝑀𝑆 =𝜕𝑌2

𝜕𝑌1= −

1

2

2.4) Un consumatore ha una funzione del tipo 𝑈(𝑌1, 𝑌2) = 𝑚𝑖𝑛{2𝑌1, 𝑌2}

a) Quali sono le caratteristiche dei beni 𝑌1 𝑒 𝑌2?

b) Calcolare il SMS della funzione.

c) Rappresentare graficamente la generica curva di indifferenza.

Soluzione

a) In questo caso i beni sono perfetti complementi e sono rappresentati da una curva di

indifferenza che evidenzia la relazione di complementarietà tra i due beni. Qualsiasi paniere

che contenga una quantità maggiore di uno dei due beni, non offre utilità maggiore al

consumatore. Ad esempio, nel caso in cui l’individuo desideri due cucchiaini di zucchero per

ogni tazza di caffè, avere a disposizione una quantità maggiore di zucchero, dato che dispone

di un’unica tazza di caffè, non aumenta l’utilità dell’individuo e rappresenta uno spreco.

Quindi il rapporto con cui utilizzerà i due beni (zucchero e caffè) è costante.

b) L'utilità marginale del bene 1 è: 𝑈𝑀1 = {0 𝑠𝑒 2𝑦1 > 𝑦2

2 𝑠𝑒 2𝑦1 < 𝑦2

L'utilità marginale del bene 2 è: 𝑈𝑀2 = {1 𝑠𝑒 2𝑦1 > 𝑦2

0 𝑠𝑒 2𝑦1 < 𝑦2

Il SMS è: 𝑆𝑀𝑆 = {0 𝑠𝑒 2𝑦1 > 𝑦2

∞ 𝑠𝑒 2𝑦1 < 𝑦2

c) Le curve di indifferenza hanno forma ad L:

3. Effetto Prezzo, Effetto Sostituzione, Effetto Reddito

3.1) Le preferenze di un consumatore sono rappresentate dalla funzione di utilità di tipo Cobb

Douglas 𝑈(𝑌1, 𝑌2) = 𝑌11 2⁄

𝑌21 2⁄

. Il reddito disponibile è I = 100 ed i prezzi dei beni 1 e 2 sono P1 = 10

e P2 = 10.

a) Si calcolino le generiche funzioni di domanda;

b) Si calcoli il paniere ottimo con i dati forniti;

c) Si calcoli il nuovo paniere ottimo nel caso P1’ = 5;

d) Nel passaggio dal paniere ottimo del punto b) al paniere ottimo del punto c) si calcoli

l'effetto prezzo e lo si scomponga nell’effetto di sostituzione e di reddito

e) Rappresentare graficamente l’esercizio

Soluzione

a) Le generiche funzioni di domanda si ottengono risolvendo il problema di massimizzazione

vincolato del consumatore, dove la scelta ottima deve consentire il massimo livello di utilità

derivante dal consumo dei beni che possiamo acquistare con un dato reddito a disposizione e

con prezzi di mercato dei beni che l’individuo non può modificare. In altri termini occorre

risolvere il seguente problema:

𝑀𝐴𝑋 𝑈(𝑌1, 𝑌2) = 𝑌1𝛼𝑌2

(1−𝛼)

𝑠𝑢𝑏 𝐼 = 𝑃1𝑌1 + 𝑃2𝑌2

Dalla prima espressione ricaviamo la curva di indifferenza, mentre la seconda esprime il

vincolo di bilancio. Se uguagliamo l’inclinazione della curva di indifferenza con quella del

vincolo di bilancio e poniamo a sistema questa uguaglianza con il vincolo di bilancio, stiamo

rispettando la condizione di equilibrio per cui le preferenze relative del consumatore nella

scelta dei due beni, indicate dal saggio marginale di sostituzione, debbano eguagliare il saggio

di sostituzione fra i due beni per il mercato, dato dal rapporto tra i prezzi dei beni. Poiché i

prezzi dei beni sono dati (e quindi è fissato anche il loro rapporto), nel caso in cui P1 = 2 e P2

= 1 (quindi −𝑃1

𝑃2= −2), il consumatore troverebbe conveniente modificare la combinazione

prescelta, se ad esempio fosse disposto a rinunciare a 4 unità di Y2 per ottenere una unità

aggiuntiva di Y1 (quindi 𝑆𝑀𝑆 =∆𝑌2

∆𝑌1= −4). Infatti, rinunciare ad acquistare 4 unità di Y2

permette di risparmiare 4 euro, con cui poter comprare 2 unità di Y1 (più di quanto

accetterebbe in base alle sue preferenze). La corrispondenza grafica di questo ragionamento

consiste nel cosiddetto vincolo di tangenza, in cui la retta di bilancio e la curva di indifferenza

sono tangenti fra loro, cioè hanno lo stesso coefficiente angolare. Dobbiamo però aggiungere

anche il vincolo di bilancio come condizione di livello, perché tale vincolo rappresenta tutti i

panieri di beni che il consumatore può acquistare dati i prezzi dei beni e il reddito nominale

(la quantità di moneta) a disposizione. Il sistema di due equazioni e due incognite è quindi

dato da:

{𝑆𝑀𝑆 =

𝑃1

𝑃2

𝐼 = 𝑃1𝑌1 + 𝑃2𝑌2

{

𝛼

1 − 𝛼

𝑌1

𝑌2=

𝑃1

𝑃2

𝐼 = 𝑃1𝑌1 + 𝑃2𝑌2

e, risolvendo per sostituzione, ossia esplicitando Y1 dalla prima equazione e sostituendola

nella seconda otteniamo le funzioni di domanda:

𝑌1∗ = 𝛼

𝐼

𝑃1 𝑌2

∗ = (1 − 𝛼)𝐼

𝑃2

b) Con i dati a disposizione il paniere ottimo è:

𝑌1∗ = 0,5

100

10= 5 𝑌2

∗ = 0,5100

10= 5

c) Nel caso P1’ = 5, il paniere ottimo diventa:

𝑌1𝑃 = 0,5

100

5= 10 𝑌2

𝑃 = 0,5100

10= 5

d) L’effetto prezzo corrisponde alla variazione nel consumo del bene Y1 al variare del suo prezzo

P1:

EP = 𝑌1𝑃 − 𝑌1

∗ = 10 − 5 = 5

Al variare di P1, tuttavia, si modificano contemporaneamente sia il rapporto tra i prezzi dei

beni (𝑃1

𝑃2), sia il reddito reale (la quantità di beni che può essere acquistata con una data somma

monetaria). Pertanto ipotizziamo, seguendo il ragionamento di Slutzky, che il reddito

monetario del consumatore subisca una variazione tale da lasciare invariato il reddito reale.

In questo caso, dato che P1 diminuisce, passando da 10 a 5, il reddito monetario sufficiente ad

acquistare le quantità corrispondenti all’equilibrio iniziale diminuirà anch’esso. Il reddito

compensato (I’) sarà quindi pari a:

I’ = 5 * 5 + 10 * 5 = 75

Il livello di consumo ottimale di Y1 con P1’ = 5 e I’ = 75 sarà pari a:

𝑌1𝑆 = 0,5

75

5= 7,5

L’effetto sostituzione corrisponde alla variazione nel consumo del bene Y1 al variare del solo

prezzo relativo (𝑃1

𝑃2) ed è pari a:

ES = 𝑌1𝑆 − 𝑌1

∗ = 7,5 − 5 = 2,5

Dato l’effetto prezzo e l’effetto sostituzione possiamo trovare per differenza l’effetto reddito:

ER = EP – ES = 5 – 2,5 = 2,5

e)

3.2) Un consumatore ha una funzione 𝑈(𝑌1, 𝑌2) = 𝑌1 + 𝑌2. Il reddito disponibile è I=100 ed i prezzi

dei beni 1 e 2 sono P1=10 e P2=20.

a) Si calcolino le generiche curve di indifferenza generate da tale funzione;

b) Si calcoli il paniere ottimo con i dati forniti;

c) Si calcoli il nuovo paniere ottimo nel caso P1’ = 15;

d) Determinare l'effetto prezzo e la sua scomposizione in effetto sostituzione ed effetto

reddito

e) Si calcoli un nuovo paniere ottimo nel caso P1’ = 25;

f) Determinare l'effetto prezzo e la sua scomposizione in effetto sostituzione ed effetto

reddito

3.2)

a) Le generiche curve di indifferenza, nel caso di perfetti sostituti, sono date da:

𝑌2 =�̅�

𝛼−

1

𝛼𝑌1

in questo caso, la curva di indifferenza è data dalla funzione:

𝑌2 = �̅� − 𝑌1

con coefficiente angolare (SMS) pari a -1.

b) Qui la sostituibilità fra i due beni è costante non solo per il mercato ma anche nelle preferenze

del consumatore (questo individuo è ugualmente soddisfatto da una pallina di pistacchio o da

una pallina di malaga, per cui sarebbe indifferente di fronte ad un cono con due palline di

pistacchio o due palline di malaga o una di malaga e una di pistacchio). Quindi SMS = -1,

mentre 𝑃1

𝑃2= −

10

20= −

1

2, ossia Y1 costa la metà di Y2 e verrà acquistato solo Y1. Il paniere

ottimo è:

𝑌1∗ = 10, 𝑌2

∗ = 0

c) Con P1’ = 15, il rapporto tra i prezzi diventa 𝑃1

𝑃2= −

15

20= −

3

4, e ancora Y1, che il consumatore

è disposto a scambiare in rapporto uno ad uno con Y2, costa meno di Y2 per cui l’individuo

vorrà acquistare ancora solo Y1, pur potendone comprare una quantità inferiore. Il nuovo

paniere ottimo nel caso P1’ = 15 sarà pari a:

𝑌1𝑃 = 6,6, 𝑌2

𝑃 = 0

d) L’effetto prezzo corrisponde alla variazione nel consumo del bene Y1 al variare del suo prezzo

P1:

𝐸𝑃 = 𝑌1𝑃 − 𝑌1

∗ = 6,6 − 10 = 3,3

Come nel caso dell’esercizio precedente, il reddito compensato (I’) che consente di acquistare

il paniere iniziale con il nuovo livello dei prezzi sarà pari a:

I’ = 15 * 10 + 20 * 0 = 150

Il livello di consumo ottimale di Y1 con P1’ = 15 e I’ = 150 sarà pari a:

𝑌1𝑆 =

150

15= 10

L’effetto sostituzione corrisponde alla variazione nel consumo del bene Y1 al variare del solo

prezzo relativo (𝑃1

𝑃2) ed è pari a:

ES = 𝑋1𝑆 − 𝑋1

∗ = 10 − 10 = 0

Dato l’effetto prezzo e l’effetto sostituzione possiamo trovare per differenza l’effetto reddito:

Effetto reddito = Effetto prezzo – Effetto sostituzione = ER = -3,3

e) Con P1’ = 25, il rapporto tra i prezzi diventa 𝑃1

𝑃2= −

25

20= −

5

4, e adesso Y1, che il consumatore

è sempre disposto a scambiare in rapporto uno ad uno con Y2, dato il suo SMS, costa più di

Y2 per cui l’individuo vorrà acquistare ancora solo Y2, modificando la propria scelta e

sostituendo completamente Y1 con Y2. Il nuovo paniere ottimo nel caso P1’ = 25 è:

𝑌1𝑃 = 0, 𝑌2

𝑃 = 5

Ripetendo il ragionamento fatto in precedenza, l’effetto prezzo sarà pari a:

𝐸𝑃 = 𝑌1𝑃 − 𝑌1

∗ = 0 − 10 = −10

il reddito compensato (I’) che consente di acquistare il paniere iniziale con il nuovo livello

dei prezzi sarà pari a:

I’ = 25 * 10 + 20 * 0 = 250

Il livello di consumo ottimale di Y1 con P1’ = 25 e I’ = 250 sarà pari a:

𝑌1𝑆 = 0

L’effetto sostituzione è pari a:

𝐸𝑆 = 𝑌1𝑆 − 𝑌1

∗ = 0 − 10 = −10

L’effetto reddito, pari alla differenza tra effetto prezzo ed effetto sostituzione è quindi:

ER = 0

3.3) Un consumatore ha una funzione del tipo 𝑈(𝑌1, 𝑌2) = 𝑚𝑖𝑛{𝑌1, 2𝑌2}.

a) Si calcolino le generiche funzioni di domanda;

b) Si calcoli il paniere ottimo con reddito disponibile è I = 360 e prezzi dei beni 1 e 2,

rispettivamente, P1 = 80 e P2 = 20

c) Si calcoli il nuovo paniere ottimo nel caso I’ = 450

d) Si calcoli il nuovo paniere ottimo nel caso I’ = 450 e P1’ = 65

e) Si calcoli l'effetto prezzo e lo si scomponga nell’effetto di sostituzione e di reddito nel caso in

cui I’ = 360, P1 = 80, P2’ = 80

Soluzione

a) Nel caso di beni complementari, dove la funzione di utilità è:

𝑈(𝑌1, 𝑌2) = 𝑚𝑖𝑛{𝑌1, 𝛼𝑌2}

il consumatore sceglierà una combinazione costante di beni, dove 𝑌1 = 𝛼𝑌2, perché ogni unità

di Y1 si accompagna sempre con α unità di Y2. La scelta ottima di un consumatore che voglia

massimizzare la propria utilità si trova ponendo a sistema questo rapporto costante tra i due

beni con il vincolo di bilancio:

{𝑌1 = 𝛼𝑌2

𝐼 = 𝑃1𝑌1 + 𝑃2𝑌2

e, risolvendo per sostituzione, troviamo le generiche funzioni di domanda per i due beni:

𝑌1∗ =

𝛼𝐼

𝛼𝑃1+𝑃2 𝑌2

∗ =𝐼

𝛼𝑃1+𝑃2

Data la funzione di utilità dell’esercizio:

𝑈(𝑌1, 𝑌2) = 𝑚𝑖𝑛{𝑌1, 2𝑌2}

le generiche funzioni di domanda per i due beni sono quindi pari a:

𝑌1∗ =

2𝐼

2𝑃1+𝑃2 𝑌2

∗ =𝐼

2𝑃1+𝑃2

b) Sostituendo i valori del reddito disponibile (I = 360) e dei prezzi dei beni (P1 = 80 e P2 = 20),

il paniere ottimo è dato da:

𝑌1∗ =

2(360)

2(80)+20=

720

180= 4 𝑌2

∗ =360

2(80)+20=

360

180= 2

c) Nel caso in cui il reddito aumenti e sia pari a I’ = 450, il paniere ottimo diventa:

𝑌1𝑅 =

2(450)

2(80)+20=

900

180= 5 𝑌2

𝑅 =450

2(80)+20=

450

180= 2,5

Entrambi i beni possono essere definiti beni normali perché all’aumentare del reddito,

aumenta il loro consumo.

d) Nel caso I’ = 450 e P1’ = 65, il paniere ottimo è:

𝑌1𝑅𝑃 =

2(450)

2(65)+20=

900

150= 6 𝑌2

𝑅𝑃 =450

2(65)+20=

450

150= 3

e) Considerando il caso rappresentato al punto b, e modificando il prezzo del bene 2, quindi con

I’ = 360, P1 = 80 P2’ = 80, il paniere ottimo diventa:

𝑌1𝑃 =

2(360)

2(80)+80=

720

240= 3 𝑌2

𝑃 =360

2(80)+80=

360

240= 1,5

L’effetto prezzo corrisponde alla variazione nel consumo del bene Y2 al variare del suo prezzo

P2:

𝐸𝑃 = 𝑌2𝑃 − 𝑌2

∗ = 1,5 − 2 = −0,5

il reddito compensato (I’) che consente di acquistare il paniere iniziale con il nuovo livello

dei prezzi sarà pari a:

I’ = 80 * 4 + 80 * 2 = 480

Il livello di consumo ottimale di Y2 con P1’ = 80 e I’ = 480 sarà pari a:

𝑌2𝑆 =

480

2(80) + 80=

480

240= 2

L’effetto sostituzione è pari a:

𝐸𝑆 = 𝑌2𝑆 − 𝑌2

∗ = 2 − 2 = 0

Nel caso di beni complementari, il consumatore non sostituisce i beni fra loro, ma li consuma

sempre in rapporto costante, pertanto l’effetto sostituzione è sempre nullo.

L’effetto reddito, pari alla differenza tra effetto prezzo ed effetto sostituzione è quindi:

𝐸𝑅 = 𝐸𝑃 − 𝐸𝑆 = −0,5 − 0 = −0,5

4. Massimizzazione del profitto / Minimizzazione di costo

4.1) Una piccola azienda agricola produce parmigiano, YP, che vende al prezzo PP=12, allevando

mucche da latte. Per nutrire le mucche utilizza foraggio (F) e (insilato di) mais (M). La funzione di

produzione di questa azienda è di tipo Cobb-Douglas e viene rappresentata come:

𝑌𝑃 = 0,5𝐹0,5𝑀0,5

Per rappresentare i costi di produzione, avendo a disposizione un budget di 2300 euro al mese,

l’azienda sostiene spese fisse pari a 500 euro, mentre Foraggio e Mais vengono acquistati con prezzi

rispettivamente pari a PF = 1 e PM = 4. Determinare:

a) la funzione di isocosto di questa azienda

b) il prodotto marginale dei due fattori produttivi

c) il saggio marginale di sostituzione tecnico

d) la quantità di foraggio e mais che deve essere acquistata per massimizzare il profitto

e) la quantità di parmigiano che l’azienda produce

f) il profitto complessivo ottenuto da questa azienda

Soluzione

a) la funzione di isocosto di questa azienda si ricava dal totale delle spese sostenute

dall’impresa che includono i costi fissi, che abbiamo ipotizzato pari a 500, e i costi

variabili dovuti all’impiego dei fattori produttivi (foraggio e mais) il cui costo unitario

è pari a PF = 1 e PM = 4. Pertanto:

2300 = 500 + F + 4 M

Costo totale = 2300

Costo fisso = 500

Costo variabile = PF F + PM M

1800 = F + 4M

𝑀 = 450 −1

4𝐹

b) Indicando con Y la quantità di un dato bene prodotta da un’impresa e con X1 e X2 le

quantità di fattori produttivi (input) che vengono impiegate per produrre il bene stesso,

il prodotto marginale del fattore produttivo foraggio è pari al rapporto tra la variazione

della produzione totale e la variazione dell’impiego del fattore, ossia: 𝑃𝑀𝐹 =ΔY

ΔF e,

allo stesso modo, il prodotto marginale del fattore produttivo mais è pari alla

variazione della produzione totale conseguente alla variazione dell’impiego del

fattore, ossia: 𝑃𝑀𝑀 =ΔY

ΔM. Data la funzione di produzione 𝑌𝑃 = 0,5𝐹0,5𝑀0,5, il

prodotto marginale corrisponde alla derivata parziale della funzione per il singolo

fattore, quindi:

𝑃𝑀𝐹 =1

4𝐹−0,5𝑀0,5

𝑃𝑀𝑀 =1

4𝐹0,5𝑀−0,5

c) Ipotizzando che l’impresa possa modificare liberamente (ossia senza incorrere in costi

dovuti al cambiamento del mix di tecniche produttive utilizzate) l’impiego dei suoi

input, possiamo costruire una relazione che rappresenti le diverse possibilità

produttive rispettando la condizione per cui ogni combinazione di input produca lo

stesso livello di output. Questa relazione viene chiamata isoquanto e, poiché la

metodologia utilizzata per descrivere la massimizzazione del profitto dell’impresa è la

stessa usata per il modello della scelta ottima di consumo, c’è corrispondenza con la

curva di indifferenza elaborata in precedenza per il consumatore. Il saggio marginale

di sostituzione tecnico indica pertanto il coefficiente angolare dell’isoquanto ed è dato

dal rapporto tra la variazione dell’impiego di un input (ΔF) e la variazione

dell’impiego dell’input alternativo (ΔM). Lungo uno stesso isoquanto le due

variazioni, di segno opposto, si compensano esattamente e il livello di produzione è

invariato, per cui possiamo rappresentare il saggio marginale di sostituzione tecnico

alternativamente come il rapporto tra le variazioni dei fattori produttivi oppure come

il rapporto (inverso) fra le variazioni dei prodotti marginali:

𝑆𝑀𝑆𝑇 =ΔM

ΔF= −

𝑃𝑀𝐹

𝑃𝑀𝑀

Nel nostro caso:

𝑆𝑀𝑆𝑇 = −

14 𝐹−0,5𝑀0,5

14 𝐹0,5𝑀−0,5

= −𝐹−1

𝑀−1= −

𝑀

𝐹

d) Dato il vincolo di costo, l’impresa acquisterà una quantità di input tale che la

combinazione tecnica dei fattori determinata dal saggio di sostituzione sia coerente

con il costo dei fattori produttivi determinati dal mercato. Deve cioè valere anche il

vincolo di tangenza tra il SMST e il rapporto tra i prezzi dei fattori, che graficamente

si rappresenta come tangenza tra curva di isoquanto e retta di isocosto. Risolvendo per

sostituzione il seguente sistema:

{𝑀

𝐹=

1

41800 = 𝐹 + 4𝑀

Otteniamo F* = 900, M* = 225

e) la quantità di parmigiano che l’azienda produce si ricava sostituendo i valori degli

input nella funzione di produzione ed è quindi pari a:

𝑌𝑃 = 0,5√225√900 = 225

f) il profitto complessivo ottenuto da questa azienda è pari a:

𝜋 = 12 ∗ 225 − 2300 = 2700 − 2300 = 400

4.2) Un’impresa è caratterizzata da una funzione di produzione Cobb-Douglas (α = 0,5):

𝑌 = 𝐿𝛼𝐾1−𝛼

Nel breve periodo lo stock di capitale è fisso e pari a �̅� = 400, il saggio di salario è pari a W = 10, il

prezzo di vendita del bene è P = 2 e il tasso di interesse che l’impresa deve corrispondere sui prestiti

bancari è r = 0,05. Calcolare:

a) la funzione del profitto di questa impresa

b) la quantità di lavoro che massimizza il profitto

c) la quantità di output prodotta in equilibrio

d) il livello di profitto

e) Rappresentare graficamente i risultati

Soluzione

a) Dato che un fattore produttivo, il capitale, è fisso, stiamo considerando un problema

di massimizzazione del profitto nel breve periodo, in cui l’impresa sceglie solo la

quantità ottimale dell’altro fattore produttivo, il lavoro. Si dovrà risolvere il seguente

problema di ottimo vincolato:

𝑀𝐴𝑋 𝜋 = 𝑃𝑌 − 𝑤𝐿 − 𝑟�̅�

𝑠𝑢𝑏 𝑌(𝐿, �̅�) = 𝐿𝛼�̅�1−𝛼

Inserendo il vincolo nella funzione del profitto otteniamo:

𝑀𝐴𝑋 𝜋 = 𝑃𝐿𝛼�̅�1−𝛼 − (𝑊𝐿 + 𝑟�̅�) = 2𝐿0,5√400 − [10𝐿 + 0,05(400)]

b) la quantità di lavoro che massimizza il profitto si ottiene derivando la funzione del

profitto per L e svolgendo alcune operazioni algebriche sugli esponenti delle potenze:

𝛿𝜋

𝛿𝐿= 40 ∗ 0,5𝐿−0,5 − 10 = 0

𝐿−0,5 =1

2

𝐿∗ = 4

c) la quantità di output prodotta in equilibrio si ottiene sostituendo L* nella funzione di

produzione:

𝑌 = 40,54000,5 = 40

d) il livello di profitto si ottiene sostituendo i valori trovati in precedenza:

𝜋 = 2√4√400 − [10 ∗ 4 + 0,05(400)] = 80 − 40 − 20 = 20

e) La rappresentazione grafica può combinare la funzione di produzione (che, per

costruzione ipotizziamo concava e con produttività marginale decrescente) con le rette

di isoprofitto (che indicano la relazione tra Y ed L che consente di ottenere lo stesso

livello di profitto). Quest’ultima sarà data da:

𝜋 = 𝑃𝑌 − (𝑊𝐿 + 𝑟�̅�)

𝑌 =�̅� + 𝑟�̅�

𝑃+

𝑤

𝑃

4.3) Un’impresa è caratterizzata da una funzione di produzione del tipo:

𝑌 = 2𝐿 + 𝐾

Il salario corrisposto ai lavoratori è pari a W = 1, il prezzo di vendita del bene è P = 2, il saggio di

interesse che l’impresa deve corrispondere sui prestiti bancari è r = 0,2, i costi totali sostenuti

dall’impresa nel processo produttivo sono pari a CT = 80. Determinare:

a) il prodotto marginale dei due fattori produttivi

b) il saggio marginale di sostituzione tecnico

c) la quantità di input che deve essere acquistata per massimizzare il profitto

d) la quantità di output prodotto dall’impresa

e) il livello di profitto complessivo

Soluzione

a) il prodotto marginale dei due fattori produttivi è:

𝑃𝑀𝐿 =∆𝑌

∆𝐿= 2

𝑃𝑀𝐾 =∆𝑌

∆𝐾= 1

b) il saggio marginale di sostituzione tecnico è:

𝑆𝑀𝑆𝑇 = −𝑃𝑀𝐿

𝑃𝑀𝐾= −2

c) dato che

𝑆𝑀𝑆𝑇 = −2 <𝑊

𝑟=

1

0,2= 5

l’impresa produrrà utilizzando solamente l’input K. La quantità di K utilizzata dall’impresa

sarà pari a 𝐶𝑇

𝑟=

80

0,2= 400.

d) la quantità di output prodotto dall’impresa è:

Y* = 400

e) il livello di profitto complessivo è:

𝜋 = 2 ∗ 400 − 0,2 ∗ 400 = 800 − 80 = 720

5. Mercati

5.1) In un mercato concorrenziale le curve di domanda e di offerta di breve periodo sono le seguenti:

𝑃𝑑 = 5000 − 1,25𝑌

𝑃𝑠 = 1,25𝑌

Nel mercato operano n piccole imprese, identiche, tutte con la funzione di costo:

𝐶𝑇(𝑦𝑖) = 250 + 250𝑦𝑖2, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

Calcolare:

a) i valori di equilibrio di mercato,

b) il surplus del consumatore corrispondente al prezzo di equilibrio,

c) la quantità prodotta dalla singola impresa in equilibrio,

d) i profitti che realizza ogni singola impresa,

e) il numero di imprese operanti nel mercato nel breve periodo,

f) rappresentate graficamente i risultati ottenuti,

g) il prezzo di equilibrio, la quantità prodotta da ogni singola impresa e il numero di imprese nel

lungo periodo.

Soluzione

a) l’equilibrio di mercato si ottiene eguagliando le funzioni di domanda e di offerta del mercato,

risolvendo cioè il seguente sistema:

{𝑃𝑑 = 5000 − 1,25𝑌

𝑃𝑠 = 1,25𝑌

𝑃𝑑 = 𝑃𝑠

Da cui:

5000 − 1,25𝑌 = 1,25𝑌

Quindi Y* = 2.000

E, sostituendo tale quantità in una delle due funzioni di domanda o di offerta, P* = 2.500

b) il surplus del consumatore (SC) è pari alla differenza fra quanto i consumatori sarebbero

disposti a spendere per ottenere 2000 unità di prodotto e quanto effettivamente spendono:

𝑆𝐶 =(5000 − 2500)2000

2= 2500000

c) la quantità prodotta dalla singola impresa in equilibrio si ottiene risolvendo il problema della

massimizzazione del profitto, considerando che in un mercato di concorrenza perfetta la

singola impresa è price-taker. Infatti, poiché la numerosità delle imprese che operano in

concorrenza è elevata e tutte producono un bene omogeneo, non vi sono differenze qualitative

fra i beni prodotti in questo mercato, il prezzo viene determinato dalla interazione impersonale

fra i (tanti) consumatori e le (tante) imprese che abbiamo rappresentato al punto a). Risolvendo

il seguente problema:

𝑀𝐴𝑋 𝜋𝑖 = 𝑃∗𝑦𝑖 − 𝐶𝑇(𝑦𝑖) = 2500𝑦𝑖 − (250 + 250𝑦𝑖2)

mediante l’uso della derivata parziale:

𝛿𝜋𝑖

𝛿𝑦𝑖= 2500 − 500𝑦𝑖 = 0

Otteniamo

𝑦𝑖∗ = 5

d) i profitti che realizza ogni singola impresa sono

𝜋𝑖 = 2500(5) − [250 + (250)2] = 6000

e) ogni impresa produce yi = 5, mentre la quantità complessiva prodotta nel mercato dalle n

imprese è pari a Y = 2000, quindi il numero di imprese nel breve periodo è:

𝑛 =𝑌∗

𝑦∗=

2000

5= 400

f) la rappresentazione grafica è data da:

g) nel lungo periodo, l’ingresso di altre imprese, attratte dall’extraprofitto ottenuto dalle imprese

già presenti sul mercato comporterà un incremento dell’offerta di beni (graficamente ciò

corrisponde ad uno spostamento verso destra della curva S) con una conseguente riduzione

del prezzo di vendita del bene e della domanda per la singola impresa. Questo processo

continua fino ad annullare l’extraprofitto, quando cioè il bene viene venduto ad un prezzo pari

al costo unitario di produzione. La condizione che deve essere rispettata in questo caso è che

il costo unitario sia minimo, oppure che il costo unitario uguagli il costo marginale. Data la

funzione di costo totale:

𝐶𝑇(𝑦𝑖) = 250 + 250𝑦𝑖2

Il costo marginale è:

𝐶𝑀 =∆𝐶𝑇(𝑦𝑖)

∆𝑦𝑖= 500𝑦𝑖

Il costo unitario è:

𝐶𝑈 =𝐶𝑇(𝑦𝑖)

𝑦𝑖=

250

𝑦𝑖+ 250𝑦𝑖

Pertanto, eguagliando le due funzioni:

500𝑦𝑖 =250

𝑦𝑖+ 250𝑦𝑖

𝑦𝑖2 = 1

𝑦𝑖 = ±1

𝑦𝑖𝐿𝑢𝑛𝑔𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜

= 1

il prezzo di equilibrio si ottiene sostituendo la quantità prodotta nel lungo periodo nella

funzione del costo unitario o del costo medio:

PLP = 500

La quantità domandata dal mercato sarà quindi pari a:

𝑃𝑑 = 5000 − 1,25𝑌

500 = 5000 − 1,25𝑌

𝑌𝐿𝑢𝑛𝑔𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 =4500

1,25= 3600

E il numero di imprese nel lungo periodo sarà:

𝑛 =𝑌𝐿𝑃

𝑦𝐿𝑃=

3600

1= 3600

5.2) Un’impresa ha costi di produzione rappresentati dalla seguente funzione:

CT(y) = 2y2 + 98

a) Ricavate il costo unitario (costo medio) e il costo marginale;

b) Se l’impresa vuole massimizzare i profitti quando p = 40, ricavare quantità e profitto

ottimali

c) Ricavare la combinazione efficiente di quantità e prezzo

Soluzione

a) il costo unitario è 𝐶𝑈 = 2𝑦 +98

𝑦

il costo marginale è 𝑀𝐶 = 4𝑦

b) Se l’impresa vuole massimizzare i profitti quando p = 40, la quantità di equilibrio è:

p = MC 40 = 4𝑦 y* = 10

e il profitto

𝜋 = 40(10) − 2(10)2 − 98 = 102

c) La combinazione efficiente prevede una quantità corrispondente al costo unitario minimo.

Questo valore viene ottenuto quando il costo unitario uguaglia il costo marginale:

2𝑦 +98

𝑦= 4𝑦

𝑦2 =98

2= 49

𝑦 = ±7

𝑦𝐸𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 7

Con prezzo pari al costo unitario:

𝑝 = 2𝑦 +98

𝑦= 2(7) +

98

7= 28

5.3) Un’impresa in monopolio fronteggia la seguente curva di domanda:

𝑝 = 120 − 10𝑌

Il costo marginale è pari a:

𝑀𝐶 = 10𝑌

a) Trovare il prezzo e la quantità prodotta dall’impresa tale che il profitto sia massimo

b) Trovare il prezzo e la quantità prodotta se il mercato fosse di concorrenza perfetta

c) Determinare la perdita secca subita dal mercato nel passaggio da un mercato di concorrenza

perfetta ad un mercato di monopolio.

Soluzione

a) L’impresa in monopolio rispetta la condizione di massimo profitto MR = CM (ricavo

marginale = costo marginale). Data una domanda lineare (come in questo caso) il ricavo

marginale si ottiene costruendo una funzione con pendenza doppia rispetto alla funzione di

domanda:

𝑀𝑅 = 120 − 20𝑌

Pertanto:

120 − 20𝑌 = 10𝑌

e la quantità che massimizza il profitto in monopolio sarà:

𝑌𝑀 =120

30= 4

Con prezzo:

𝑃𝑀 = 120 − 10(4) = 80

b) se il mercato fosse di concorrenza perfetta, la condizione di massimo profitto diventa P = CM

(prezzo = costo marginale), perché in concorrenza, il prezzo di vendita del bene è dato, non

varia con la quantità. Pertanto:

120 − 10𝑌 = 10𝑌

e la quantità che massimizza il profitto in monopolio sarà:

𝑌𝑀 =120

20= 6

Con prezzo:

𝑃𝑀 = 120 − 10(6) = 60

c) La perdita secca subita dal mercato nel passaggio da un mercato di concorrenza perfetta ad un

mercato di monopolio può essere ricavata graficamente considerando i due punti di equilibrio

trovati in precedenza:

La perdita di surplus del consumatore è pari a:

𝑃𝑆𝐶 =(80 − 60)(6 − 4)

2= 20

La perdita di surplus del produttore è pari a:

𝑃𝑆𝑃 =(60 − 40)(6 − 4)

2= 20

La perdita di surplus complessiva è quindi pari a 40.