Econom´etrie non-lin´eaire M´ethodes de moments...th´eor`eme de Slutsky appliqu´e `a θˆn =...
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Econométrie non-linéaire
Méthodes de moments
Bernard Salanié
Econométrie non-linéaireMéthodes de moments – p. 1/32
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Origine : méthode des moments classique
Problème : estimer les paramètres θ de la loi de Y
On observe Y1, . . . , Yn
On définit les moments théoriques ei(θ) = EθYi pour
i = 1, . . . , pθ
On suppose que
θ −→ (e1(θ), . . . , epθ(θ))
est bijective.
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Idée
on estime les moments théoriques par les momentsempiriques et on résout le système d’équations.
“Conditions de moments” : EY i − ei(θ0) = 0.
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Soit êi =1n
∑nj=1 Y
ij .
On résout en θ̂n :
êi = ei(θ̂n), i = 1, . . . , pθ
Convergence : triviale, quand n −→ ∞, êi −→ ei(θ0).Normalité asymptotique et écarts-types : se déduisent du
théorème de Slutsky appliqué à θ̂n = e−1(ê) et de la
normalité asymptotique jointe des êi.
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Généralisations
θ̂n est moins précis que le maximum de vraisemblance −→peut-on améliorer sa précision en rajoutant des conditionsde moments ?
peut-on tester le modèle sous-jacent ?
peut-on exploiter des conditions de moments plusgénérales ?
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Trois méthodes liées
GMM (méthode des moments généralisée)
vraisemblance empirique
MCA (moindres carrés asymptotiques).
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La méthode des moments généralisée
Modèle Pθ(y, x), échantillon (yi, xi)ni=1 i.i.d.
On écrit les conditions de moments
Eg(yi, xi, θ0) = 0
Idée : on estime Eg(yi, xi, θ) par son analogue empirique
Ĝn(θ) =1
n
n∑
i=1
g(yi, xi, θ)
et on essaie de rendre Ĝn(θ) aussi petit que possible.
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Si pg = pθ : on résout simplement Ĝn = 0.
Si pg > pθ, on ne peut pas annuler Ĝn(θ). On minimise enθ
∥
∥
∥Ĝn(θ)
∥
∥
∥
2
Sn= Ĝn(θ)
′SnĜn(θ)
où Sn est définie positive.
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On a donc un estimateur θ̂n qui dépend du choix de Sn.
convergence et normalité asymptotique ?
choix optimal de Sn ?
variance asymptotique ?
test du modèle ?
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Convergence
Si :
g est continue
Ĝn(θ) converge uniformément vers Eg(yi, xi, θ)
Sn converge vers S∞ définie positive
identification : si Eg(yi, xi, θ)′S∞Eg(yi, xi, θ) = 0, alors
θ = θ0.
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Normalité asymptotique
Ne pose pas de problème, avec des conditions de régularité enplus.
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Estimateur des GMM optimal
Dans le cas pg > pθ, le choix de la norme compte.
On montre qu’il faut choisir
S∞ = (V g(yi, xi, θ))−1
et qu’alors la variance asymptotique de θ̂n est
(
E∂g
∂θ′(yi, xi, θ0)S∞
∂g′
∂θ(yi, xi, θ0)
)
−1
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Méthode en deux étapes
on calcule un premier estimateur θ̃n avec Sn quelconque
on estime S∞ par
Ŝn =
(
1
n
n∑
i=1
g(yi, xi, θ̃n)g(yi, xi, θ̃n)′
)
−1
et on réestime avec Sn = Ŝn.
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Test de suridentification
Si pg > pθ, alors il y a plus de conditions de moments que
nécessaire, et on ne peut pas annuler Ĝn(θ).
On peut tester le modèle en regardant si Ĝn(θ̂n) est“petit”.
En pratique : on prend Sn comme pour l’estimateur GMMoptimal, et sous l’hypothèse nulle de bonne spécification,
n∥
∥
∥Ĝn(θ̂n)
∥
∥
∥
2
Snsuit asymptotiquement un χ2(pg − pθ).
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Exemple d’application : condition d’Euler
Problème d’optimisation sur le cycle de vie pour leconsommateur i
u′(cit, θ) = β(1 + rt+1)Etu′(ci,t+1, θ)
Si xit est un ensemble de variables connues de i en t, alorson a les conditions de moments
Exit(u′(cit, θ) − β(1 + rt+1)u′(ci,t+1, θ)) = 0
et si on a des données de panel (2 dates suffisent) on peutestimer β et θ, et tester le modèle.
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Développements récents des GMM
l’estimateur en une étape
la vraisemblance empirique (empirical likelihood).
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L’estimateur en une étape
on choisit simplement
Sn(θ) =
(
1
n
n∑
i=1
g(yi, xi, θ)g(yi, xi, θ)′
)
−1
qui dépend donc de θ
on minimise
‖Gn(θ)‖Sn(θ)L’estimateur résultant est asymptotiquement équivalent àl’estimateur GMM optimal.
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La vraisemblance empirique
Idée : on estime à la fois la loi inconnue de (y, x) et leparamètre θ
Pour estimer la loi de (y, x), on essaie de se rapprocher dela vraisemblance empirique= masses de Dirac 1/n surchaque (yi, xi)
mais on doit aussi prendre en compte les conditions demoments.
Econométrie non-linéaireMéthodes de moments – p. 18/32
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La vraisemblance empirique en pratique
soient πi les probas inconnues de (yi, xi), et e le vecteur(1/n, . . . , 1/n)
On minimise en π et θ une distance entre π et e sous lescontraintes
π ≥ 0 et∑n
i=1 πi = 1∑n
i=1 πig(yi, xi, θ) = 0
Econométrie non-linéaireMéthodes de moments – p. 19/32
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Intérêt de la vraisemblance empirique
on peut fonder un test de suridentification sur la valeurdes multiplicateurs de Lagrange des conditions demoments à l’optimum
Ce test a (peut-être) de meilleures propriétés à distancefinie que le test GMM habituel.
Méthode encore peu répandue en pratique mais rechercheactive.
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Les moindres carrés asymptotiques
estimateur de distance minimum
système de pg ≥ pθ équations estimantes reliantparamètres auxiliaires π0 et paramètres d’intérêt θ0 :
g(π0, θ0) = 0
Econométrie non-linéaireMéthodes de moments – p. 21/32
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On suppose que
on a un estimateur convergent et asymptotiquementnormal (CAN) de π0
√n(π̂n − π0) −→ N(0,Ω0)
θ0 est identifiable : si g(π0, θ) = 0, alors θ = θ0.
Econométrie non-linéaireMéthodes de moments – p. 22/32
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Exemple : la méthode des moments classique
Ici les moments e jouent le rôle de π
Ils sont estimés par les moments empiriques ê.
Et les équations estimantes sont e − e(θ0) = 0.
Econométrie non-linéaireMéthodes de moments – p. 23/32
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Idée : rendre g(π̂n, θ) aussi petit que possible.
Si pg = pθ : on résout simplement g(π̂n, θ̂n) = 0.
Si pg > pθ, on ne peut pas annuler g(π̂n, θ). On minimiseen θ
‖g(π̂n, θ)‖2Sn = g(π̂n, θ)′Sng(π̂n, θ)
où Sn est définie positive.
Econométrie non-linéaireMéthodes de moments – p. 24/32
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En général, on a donc un estimateur θ̂n qui dépend du choix deSn.
convergence et normalité asymptotique ?
choix optimal de Sn ?
variance asymptotique ?
Econométrie non-linéaireMéthodes de moments – p. 25/32
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Propriétés asymptotiques
θ̂n est convergent si :
g est continue
Sn converge vers S∞ définie positive
identification : si g(π0, θ)′S∞g(π0, θ) = 0, alors θ = θ0.
Pour la normalité asymptotique, il faut des conditions derégularité en plus (notamment : dérivées de g de plein rang).
Econométrie non-linéaireMéthodes de moments – p. 26/32
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Estimateur des MCA optimal
On montre qu’il faut choisir
S∞ =
(
∂g
∂π′(π0, θ0)Ω0
∂g′
∂π(π0, θ0)
)
−1
et qu’alors la variance asymptotique de θ̂n est
(
∂g
∂θ′(π0, θ0)S∞
∂g′
∂θ(π0, θ0)
)
−1
Econométrie non-linéaireMéthodes de moments – p. 27/32
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Méthode en deux étapes
on calcule un premier estimateur θ̃n avec Sn quelconque
on estime S∞ par
Ŝn =
(
∂g
∂π′(π̂n, θ̃n)Ω̂
∂g′
∂π(π̂n, θ̃n)
)
−1
et on réestime avec Sn = Ŝn.
Econométrie non-linéaireMéthodes de moments – p. 28/32
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Application pratique des MCA la plus courante
(attention aux changements de notation !)
Test d’une hypothèse mixte
∃a, g(θ0, a) = 0
avec pg > pa.
On suppose qu’on a un estimateur CAN de θ0 :
√n(θ̂n − θ0) −→ N(0, V0)
on estime a en minimisant
Gn(a) = g(θ̂n, a)′Sng(θ̂n, a)
Econométrie non-linéaireMéthodes de moments – p. 29/32
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Si on a choisi Sn de manière optimale, alors à l’optimum etsous l’hypothèse nulle,nGn(ân) suit asymptotiquement un χ
2(pg − pa)Donc on a à la fois un test et un estimateur de a sousl’hypothèse nulle.
Econométrie non-linéaireMéthodes de moments – p. 30/32
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Exemple : test d’un polynôme retard commun
On part d’un ARMA
Φ(L)Xt = Θ(L)εt
et on veut tester l’existence d’un monôme commun :
Φ(L) = (a − L)Φ0(L) et Θ(L) = (a − L)Θ0(L)
(si c’est le cas, on peut rendre le modèle plusparsimonieux).
Econométrie non-linéaireMéthodes de moments – p. 31/32
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Revient à tester
∃a, Φ(a) = Θ(a) = 0
Ici pg = 2 et pa = 1.
Donc on estime l’ARMA non contraint, puis on appliqueles MCA et on obtient un test du χ2(1) ainsi qu’unestimateur de a sous l’hypothèse nulle.
Econométrie non-linéaireMéthodes de moments – p. 32/32
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