ECONOMETRIA 1

Regressão Múltipla

ECONOMETRIA

• Regressão Múltipla Modelo com mais de uma variável independente. O modelo geral teria a seguinte configuração:

• Estimaremos por O.L.S, no entanto, reordenando a forma acima deixando-a similar à da regressão simples.

ikikiii XXXY ....33221

nnkknnn

kk

kk

XXXY

XXXY

XXXY

,33221

22,32322212

11,31321211

....

....

....

Econometria

• Essas n equações podem ser dispostas na forma matricial:

• Reduzimos essas matrizes a:

• Y Vetor (matriz Linha) que contem as observações de Y.

• X Matriz das variáveis independentes, onde 1= intercepto.

• β Vetor dos coeficientes a serem estimados.

• ε Vetor de erro.

1

2

1

1

2

1

32

23222

13121

1

2

1

1

1

1

nnkkknknnn

k

k

nn u

u

u

XXX

XXX

XXX

Y

Y

Y

XY

Econometria

• O estimador de OLS para β será parecido com o da regressão

simples:

• Com isso, notemos a analogia:

• da regressão simples.

•

• Como não existe divisão de matrizes, a multiplicação pela matriz

inversa faz o papel da divisão.

)()(ˆ 1 YXXX TT

)( YX T

XX T

xy

²x

Econometria

• Uma condição p/existência de , é que a matriz , seja inversível. Para

que isso ocorra, é necessário que nenhuma coluna da matriz X seja uma

combinação linear de outras, ou seja, X2 seja exatamente o dobro de X3.

• Além das hipóteses 1, 2, 3, 4 e 5, adicionamos 6, especificamente para a

regressão múltipla.

XX´

isr das demaação lineaser combin não pode pendente Xiável inde. Cada var i6

ECONOMETRIA

• Ex 1: Vamos estimar a regressão da variável Y em função de X1 e X2.

• Dados:

Y X1 X2

12 2 1

15 3 3

18 5 4

22 7 5

25 10 6

ECONOMETRIA

• Podemos dispor estas variáveis na seguinte forma matricial:

25

22

18

15

12

Y

6101

571

451

331

121

X

65431

107532

11111TX

ECONOMETRIA

• Sabemos que , assim podemos fazer:

• Começaremos fazendo :

• Portanto, temos:

)()(ˆ 1 YXXX TT

)( YX T

256225184153121

2510227185153122

251221181151121

25

22

18

15

12

65431

107532

11111

)(

15

53

YX T

389

563

92

)( YX T

ECONOMETRIA

• Da regra de Álgebra Matricial conhecemos:

• Isto é:

A de cofatores dos Transposta

11

ADJ

ADJDetA

A

332313

322212

312111

CCC

CCC

CCC

ADJ

ECONOMETRIA

• Para faremos:

35

53

6101

571

451

331

121

65431

107532

11111

XX T

1)( XX T

8712619

12618727

19275

A

362516916035209265431

60352092100492594107532

6543110753211111

ECONOMETRIA

• Devemos, então, a partir de A, acharmos seu determinante e sua adjunta para

encontrarmos a sua inversa:

• 67507 79380 63423 = (- 210.310)

• 81345 64638 64638 = 210.621

12619

18727

275

8712619

12618727

19275

A

311 ADET

ECONOMETRIA

• Para A :

• E a ADJ = (Cof A)T:

332313

322212

312111

CCC

CCC

CCC

AADJ

333231

232221

131211

8712619

12618727

19275

CCC

CCC

CCC

A

ECONOMETRIA

• Portanto,utilizando a teoria dos cofatores fazemos:

, ,

, ,

, ,

39387126

1261871 211

11

C

45187126

19271 312

21

C

151126187

187271 413

31

C

458719

126271 321

12

C

748719

1951

422

22

C

11712627

1951 523

32

C

15112619

187271

431

13

C

11712619

2751

532

23

C

20618727

2751

633

33

C

ECONOMETRIA

• Logo a Matriz dos cofatores de A:

• Sabemos o valor do Det A, sendo assim:

206117151

1177445

15145393

OF AC

311206

311117

311151

311117

31174

31145

311151

31145

311393

11

ADET

AADJXXA T

ECONOMETRIA

• Assim, a inversa , assume os seguintes valores:

•

1)( XX T

662.0376.0485.0

376.0237.0144.0

485.0144.0263.1

)( 11 XXA T

ECONOMETRIA

• E o estimador será dado, por:

389662.0563376.092485.0

389376.0563237.092144.0

389485.0563144.092263.1

389

563

92

662.0376.0485.0

376.0237.0144.0

485.0144.0263.1

218.1

41.0

6.8 Intercepto0

11 X de eCoeficient22 X de eCoeficient

ECONOMETRIA

• Ex 2: Estimemos a regressão de Y em função de X2 e X3 e façamos os testes

da regressão e de cada um dos parâmetros:

Y X2 X3

800 2 0.8

1160 4 0.7

1580 6 0.5

2010 8 0.4

1890 7 0.2

2600 12 0.2

2070 11 0.8

1890 10 0.7

1830 9 0.6

1740 8 0.1

1380 6 0.5

1060 4 0.4

ECONOMETRIA

• O modelo a ser estimado é:

• A matriz X é dada por:

• Onde a coluna preenchida pelo número 1, como

vimos,

se refere ao intercepto.

33221 XXY

4.041

5.061

1.081

6.091

7.0101

8.0111

2.0121

2.071

4.081

5.061

7.041

8.021

X

ECONOMETRIA

• A matriz X TX será dada por:

• E sua inversa:

53.3419.5

4173187

9.58712

XX T

67.103.004.1

03.001.009.0

04.109.025.11

XX T

ECONOMETRIA

• A matriz XTY será:

• O estimador será dado, por:

• E, o modelo estimado enfim:

9303

160810

20010

YX T

26,419

56,149

33,7891

YXXX TT

Intercepto1

22 X de eCoeficient

33 X de eCoeficient

32 26,41956,14933,789 XXY

ECONOMETRIA

• Substituindo os valores de X2 e X3 em

podemos encontrar os valores de Y explicados pela regressão ( ) , daí os

resíduos que são mostrados na tabela a seguir:

•

32 26,41956,14933,789 XXY

Y

46.95

65.91

102.94

191.89

137.60

99.81

-29.07

-101.44

-53.80

-203.87

-97.05

-159.86

ECONOMETRIA

• Considerando a forma matricial, os valores da tabela acima são os

componentes do vetor de resíduos .A soma dos quadrados dos resíduos

será dada por:

• Considerando y o vetor das variáveis Y centradas,a soma dos quadrados totais

será dada por yTy:

• E a parte explicada é calculada:

• Isto posto, podemos construir uma tabela ANOVA para essa regressão, da

mesma forma que fazíamos para a regressão simples.

e

98,580.575.2 SQRSQTSQE

02,444.173 eeSQR T

025.749.2 yySQT T

ECONOMETRIA

• Tabela ANOVA p/o Ex 2:

• Agora G.L dos quadrados explicados são 2 , pois há 2 regressores.

• O G.L dos quadrados dos resíduos são, então, nove (n – 3).

• O valor de F é calculado p/ 2 graus de liberdade no numerador e nove no

denominador. Para 5% de significância, esse valor é 4,26.

• Logo: Fcal = 66.82 > Ftab = 4.26, rejeitando a hipótese nula de que as variâncias

são iguais.

• O R² é calculado da seguinte forma:

Soma de quadrados G.L Quadrados Médios Teste F

SQE = 2.575.580,98 2 1.287.790,49 66.82

SQR =173.444,02 9 19.271,56

SQT = 2.749.025 11 249.911,36

9369.0025.749.2

8,580.575.22 R

Econometria

• Hipóteses sobre a Regressão

) acionadosautocorrel não são erros (os ,0)( .5

) (constante )( .4

) osestocástic (não fixos são .3

osdistribuíd enormalment são .2

0)( .1

2

ji

Var

x

ji

i

i

i

i

aisar das demnação line ser combi

não podependente Xiável inde. Cada var i6

Microsoft Equation 3.0

Econometria

• Em notação Matricial, as hipóteses 4 e 5 podem ser sintetizadas em:

• A matriz , é também chamada de matriz variância e covariância dos

erros. Nela a diagonal principal contém as variâncias dos erros, e os demais

elementos da matriz são as covariâncias entre os erros.

• Assim, o termo cobre as duas hipóteses, já que é o mesmo que

multiplica os uns da matriz identidade, e as covariâncias entre os erros

(autocovariâncias) valem zero, pois na matriz identidade os elementos fora

da diagonal principal são zero.

I²)var(

)var(

)ˆvar()ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov(

)ˆ,ˆcov()ˆvar()ˆ,ˆcov(

)ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov()ˆvar(

)ˆcov(var

21

2212

1211

kkk

k

k

I² ²

ECONOMETRIA

• Para testar a validade de cada um dos parâmetros, temos que encontrar a variância de

cada um deles. A variância do vetor de parâmetros será dada por:

• O raciocínio é o mesmo p/a variância de um escalar. O termo é uma

constante considerando que X é uma constante. Se fosse um escalar, extrairíamos da

variância elevando ao quadrado. Como é uma matriz, usamos a forma quadrática. Além

disso, sabemos que a variância de Y é :

• Nota:Para o conceito de Matriz inversa, é possível resolver a equação matricial: AX = Y. Basta, pré-multiplicar os dois

lados da equação pela inversa de A:

• A-1AX = A-1Y X = A-1Y.

• Vale a seguinte propriedade: A transposta da inversa = inversa da transposta.

• (MT)-1 = (M-1)T

YXXX TT 1

varvar

TT XXX 1

I²

112var

XXXXXX TTT

ECONOMETRIA

• Como é igual à identidade (matriz multiplicada por sua inversa),

temos:

•

• Cujo estimador será dado por:

• Em nosso exemplo:

• Os valores da diagonal principal são as variâncias dos parâmetros, enquanto os

demais valores representam as covariâncias:

XXXX TT 1

12var

XX T

122 XXSS T

12 56,271.19

XXS T

76,240.3285,57034,990.19

85,57034,20265,747.1

34,990.1965,747.199,104.242S

ECONOMETRIA

• Desse modo, as variâncias ( e os desvios-padrão) de cada parâmetro são:

• Podemos,então calcular as estatísticas t para cada parâmetro:

56,179 76,240.32

22,14 34,202

26,155 99,104.24

3

2

3

2

2

2

1

2

1

SS

SS

SS

33,2 56,17956,419

51,10 22,1456,149

08,5 26,155789,33

3

3

2

2

1

1

S

S

S

ECONOMETRIA

• Os valores tabelados p/distribuição t com 9 G.L:

• Como os valores calculados para o intercepto e para são superiores a

todos os valores, aqueles são significantes a 1%. O valor p/ é inferior ao

valor tabelado para 1% mas superior ao valor de 5%, dizemos, portanto, que

ele é significante a 5%

25,3

26,2

83,1

%1,9

%5,9

%10,9

t

t

t

1

2

3

ECONOMETRIA

• Ex 3. Finanças – Análise de Risco e Retorno

• Investidores normalmente não mantém ativos isolados; em vez disso, formam

carteiras por meio do agrupamento de ativos. O que ocorreria se

combinássemos dois ativos A e B com objetivo de diversificação?

• Para responder a essa pergunta, é necessário considerar que o risco de uma

carteira não é simplesmente a soma dos riscos (dp) individuais dos ativos; ele

depende também da proporção em que cada ativo participa da carteira e da

correlação entre os retornos desses ativos.

• Em outras palavras, para responder a essa pergunta é necessário levar em

conta a relação de dependência entre os ativos.

ECONOMETRIA

• 3.1- Retorno observado e retorno esperado de uma carteira de ativos

• O retorno observado de uma carteira de N ativos é uma média ponderada dos

retornos observados dos ativos individuais. O peso aplicado a cada

retorno corresponde à fração do valor da carteira aplicada naquele ativo:

• O retorno esperado da carteira é o valor esperado (expectância) da equação

anterior:

• Para 2 ativos(N = 2):

2211

2

1

RXRXRXRN

iiic

iR iX

N

iiic RXR

1

N

iii

N

iii

N

iiicc RXRXRXRR

111

ECONOMETRIA

• 3.2 Variância (risco) da carteira

• A variância de uma carteira de ativos é simplesmente a expectância dos

quadrados dos desvios dos retornos observados em torno do retorno esperado:

2

1

2

11

22

N

iiii

N

iii

N

iiiccc RRXRXRXRR

ECONOMETRIA

• Para o caso particular de 2 ativos:

• Onde:

• X1 = Fração investida no ativo 1

• X2 = Fração investida no ativo 2

• = variância do ativo 1

• = variância do ativo 2

• = covariância entre os ativos 1 e2

2,121

22

22

21

21

221121

2

2222

2

112

1

2

2

XXXX

RRRRXXRRXRRX

221121

2

2222

2

112

1

22

1

2

2 RRRRXXRRXRRX

RRXN

iiiic

2122

2,1

ECONOMETRIA

• Generalizando para o caso de N ativos, temos:

• Tomando o caso de 3 ativos:

• O símbolo indica que i deve ser diferente de j. Tem-se também que:

N

i

N

i

N

ijj

jijiiic XXX1 1 1

,222

3

1

3

1

3

1,

222 N

i

N

i

N

ijj

jijiiic XXX

23

23

22

22

21

21 XXX 3,2323,1312,121 222 XXXXXX

2,33,21,33,11,22,1 ; ;

ECONOMETRIA

• 3.3 Covariância e coeficiente de correlação entre ativos

• Na expressão da variância da carteira integrada por dois ativos, apareceu o

termo que se refere à covariância entre os retornos do ativo 1 e 2. Essa

covariância é o valor esperado do produto de dois desvios:

• Os desvios dos retornos dos ativos 1 e 2 em relação a seus retornos esperados

(em relação a média).

• Enfim, a covariância mede como os retornos dos ativos variam em conjunto.

• Se eles apresentarem desvios positivos e negativos nos mesmos momentos, a

covariância será um número positivo.

• Se os desvios positivos e negativos ocorrerem em momentos diferentes, a

covariância será negativa.

• Se os desvios positivos e negativos não estiverem relacionados, a cov. 0.

ECONOMETRIA

• A ordem não é importante no cálculo da covariância, portanto:

• Dividindo a covariância pelo produto dos dp por dois ativos, obtém-se uma

medida estatística c/as mesmas propriedades da covariância, mas situada num

intervalo -1 a + 1, que é o coeficiente de correlação, que é definido por:

• O coeficiente de correlação é representado pela letra grega , e apenas

normaliza as relações entre covariância e os desvios padrão.

ijji ,,

ji

jiji

,

,

ECONOMETRIA

• Correlação de retornos e ganhos por diversificação

• O risco (dp) de uma carteira não é uma médias dos riscos(dp) dos títulos que a

integram, pois a diversificação o reduz. Ela não é capaz, contudo, de eliminar

totalmente o risco, como veremos nesta seção. A seguir analisaremos como a

diversificação contribui para a diminuição do risco da carteira.

• Vimos que, para o caso de N ativos, a variância da carteira é dada por:

jijiji

N

i

N

i

N

ijj

jijijiiic XXX

,,

1 1 1,

222

:Onde

ECONOMETRIA

• A fim de entender como devem ser escolhidos os ativos e como essa escolha

influência o risco da carteira, analisemos o caso particular de 2 ativos (N=2).

Nesse caso, a variância da carteira é:

• Observe que a variância da carteira é função da correlação entre os retornos

dos ativos integrantes, medida pelo coeficiente de correlação , que varia entre

-1 e +1. No caso de os ativos sobem ou descem juntos e, quando

, um ativo cai quando o outro sobe. O caso de significa

independência entre os ativos.

212,12122

22

21

21

2 2 XXXXc

12,1

12,1 02,1

ECONOMETRIA

• Pode-se diminuir essa variância combinando os ativos de modo correto.

Dependerá basicamente da correlação entre os ativos que compões a carteira.

Por exemplo, uma correlação negativa perfeita ( ) implicará a maior

diminuição de variância possível, já que o último termo na expressão da carteira

será um valor negativo ( ).

• Para o termo é nulo e, para o termo é positivo. Logo a maior

diminuição de risco será conseguida quando a correlação entre os ativos for

igual a -1.

• No mercado de ações é muito difícil encontrar correlações perfeitamente

positivas, negativas ou nulas. Quase sempre elas são positivas ou ligeiramente

negativas. Assim, podemos concluir desta análise que o grau em que o risco de

uma carteira formada por dois ativos pode ser reduzido depende da correlação

entre os retornos dos ativos. Quanto mais negativa for essa correlação, maior

será a diminuição da variância da carteira.

12,1

02 212,121 XX

02,1 12,1

ECONOMETRIA

• 3.4 Diversificação de carteiras: risco diversificável e risco de mercado.

• Tal como visto, a variância de uma carteira c/2 ativos é:

• Podemos expressar matricialmente essa variância da seguinte maneira:

2,12122

22

21

21

2 2 XXXXc

2

22,2211,1

2

12

21,2

2,121

21

2

1

2,21,2

2,11,1212,121

22

22

21

21

2

; :Onde

2

X

XXX

X

XXXXXXXc

ECONOMETRIA

• Para o caso geral de N ativos:

• Matricialmente:

N

i

N

i

N

ijj

jijiiic XXX1 1 1

,222

NNNNN

N

N

N

Nc

X

X

X

XXX

2

1

23,2,1,

,3232,31,3

,23,2221,2

,13,12,121

212 ,...,,

j e i entre acovariânci

i ativo do variância

,

2

ji

i

ascovariânci-s variânciade Matriz

ECONOMETRIA

• A matriz de variâncias – covariâncias é uma matriz quadrada composta ao todo

por N² elementos. Como sua diagonal está formada pelas variâncias dos ativos

(N variâncias), o n° de covariâncias será igual ao n° total de elementos menos

de variâncias, isto é, N² - N elementos.

• Caso montantes iguais sejam aplicados em cada ativo, em uma carteira de N

ativos a proporção aplicada em cada um deles será igual a 1/N. Aplicando

essas proporções à equação da variância da carteira, obtemos:

N

i

N

i

N

ijj

jijiiic XXX1 1 1

,222

N

i

N

i

N

ijj

jii NNNN1 1 1,

2 1111

ECONOMETRIA

• Podemos remanejá-la da seguinte forma:

• Colocando essa expressão em um formato mais apropriado, temos:

N

i

N

ijj

ji

N

i

ic

ji

N

i

N

ji

N

i

NNN

N

NN

NNN

NNN

1 1,

1

22

,1 1

2

1

1

11

1

1

1

111

1

11

N

i

N

ijj

jiN

i

ic NNN

N

NN 1 1

,

1

22

1

1

1

ECONOMETRIA

• A soma de todas as variâncias da matriz (soma dos elementos da diagonal da

matriz) dividida pelo n° de variâncias (dividida por N) é igual à variância média

da carteira:

• Igualmente, a soma de todas as covariâncias da matriz dividida pelo número de

covariâncias – dividida por N(N -1) – é igual à covariância média da carteira:

• Logo, temos que a variância da carteira pode ser expressa da seguinte

maneira:

N

i

N

j

jii NN1 1

,2

1

N

i

ii N1

22

cov.média1

var.média1

1

1,

22

N

N

N

N

N

N jiic

ECONOMETRIA

• Onde e são, respectivamente, a variância e a covariância média da

carteira.

• O primeiro termo dessa expressão refere-se ao risco diversificável, que pode

ser eliminado no processo de diversificação, enquanto o segundo se refere ao

risco de mercado, que não pode ser diminuído pelo aumento progressivo do n°

de títulos na carteira.

• Se a quantidade de ativos da carteira é alta , a variância dela aproxima-

se (assintóticamente) da covariância, pois no limite e :

•

2i ji ,

N

01 N 1/1 NN

média acovariânci11

,22

jiiNc N

N

NLim

ECONOMETRIA

• A contribuição da variância dos ativos individuais à variância da carteira tende a

zero quando N é bastante elevado (ou seja, quando N tende ao infinito).

• Entretanto, quando N é elevado, a contribuição das covariâncias converge

p/covariância média. Isso mostra que o risco individual dos títulos pode ser

eliminado por meio da diversificação, mas a contribuição ao risco total causada

pelas covariâncias não pode ser eliminada da mesma maneira.

• Se mantivermos um n° grande o suficiente de ativos com retornos

independentes, a variância da carteira tenderá a zero.

• Na prática, ocorre que os preços das ações movem-se juntos, e não de forma

independente, isto é, têm covariâncias positivas que limitam os benefícios da

diversificação e impossibilitam a eliminação total do risco da carteira.

ECONOMETRIA

• A figura a seguir ilustra o princípio da diversificação:

carteira da ativos de n

2i

áveldiversific Risco

Risco

mercado de Riscoji ,

20 15 10 5 1

ECONOMETRIA

• Observa-se na figura que a redução do risco por meio da diversificação é

significativa para as primeiras adições de ativos, reduzindo-se em seguida até

que a adição de novos ativos praticamente não consegue mais reduzir o risco.

• Esse risco residual é chamado de risco de mercado. Podemos reduzir algum

risco no processo – o chamado risco diversificável ou risco único – porque os

riscos operacionais de uma empresa são específicos dela ou do setor em que

atua.

• O risco de uma carteira de mercado bem diversificada depende apenas do risco

de mercado dos ativos nela incluídos. Esse é um dos princípios fundamentais

de finanças, o princípio de diversificação, que mostra como eliminar o risco não

correlacionado aos movimentos gerais do mercado.

• Esse risco diversificável ou único é um risco específico aos ativos e tem

correlação zero com os movimentos do mercado.