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ECOLE POLYTECHNIQUE F ´ ED ´ ERALE DE LAUSANNE SECTION DE MATH ´ EMATIQUES CALCUL DIFF ´ ERENTIEL ET INT ´ EGRAL NOTES DE COURS Prof. Jacques Rappaz Ass. Dr Michel Fl¨ uck Edition 2010

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ECOLE POLYTECHNIQUE FEDERALE DELAUSANNE

SECTION DE MATHEMATIQUES

CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL

NOTES DE COURS

Prof. Jacques Rappaz

Ass. Dr Michel Fluck

Edition 2010

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AVERTISSEMENTS

Ce polycopie contient les notes de cours sur le calcul differentiel et integral

enseigne par le professeur Jacques Rappaz aux ingenieurs mathematiciens

et physiciens de l’EPFL sous le label “ANALYSE I et II”. Inspire des

livres de Jacques Douchet et Bruno Zwahlen 1 et du cours de ce dernier

enseigne pendant de nombreuses annees, ce polycopie a ete concu de

sorte a ce que chaque page presente un verso non imprime qui permettra

a l’etudiant de completer le texte par des figures, remarques et exercices

qui sont volontairement absents de ces notes et qui seront donnes au

cours. L’etudiant peut aussi utiliser les pages blanches ajoutees a la fin

de ce manuscrit dans le but de le completer.

Ces notes de cours n’auraient pu exister sans l’excellent travail de typo-

graphie que Mme Jacqueline Mosetti a bien voulu entreprendre ; qu’elle

en soit ici chaleureusement remerciee. Les auteurs de ces notes tiennent

a remercier aussi Chantal Landry, Gilles Steiner et Guillaume Jouvet

qui se sont donnes la peine de les lire, corriger et apporter quelques

ameliorations.

1. Calcul differentiel et integral, PPUR, Vol. 1 (ISBN 2-88074-196-3) et Vol. 2 (ISBN 2-88074-257-9)

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Table des matieres

1 Suites de nombres reels 2

1.1 Nombres reels (rappels sans demonstration) 2

1.2 Suites de nombres reels 5

1.3 Sous-suites de nombres reels 12

1.4 Suites de Cauchy 14

1.5 Suites de nombres et virgule flottante 16

2 Series numeriques 20

2.1 Definitions 20

2.2 La serie harmonique 21

2.3 Criteres de convergence 22

2.4 Series alternees 25

2.5 Series a termes de signe constant 26

2.6 Series absolument convergentes 26

3 Fonctions reelles d’une variable reelle 28

3.1 Generalites 28

3.2 Critere de Cauchy 35

3.3 Limite de fonctions composees 36

3.4 Limite de fonctions au voisinage de l’infini 37

3.5 Limite infinie d’une fonction 37

3.6 Limite a droite, limite a gauche 38

3.7 Fonctions continues 41

3.8 Fonctions lipschitziennes 47

3.9 Theoremes de points fixes 47

3.10 Suites de fonctions 49

3.11 L’espace C0([a, b]) 54

4 Calcul differentiel 57

4.1 Generalites 57

4.2 Interpretation geometrique de la derivee 58

4.3 Proprietes de la derivabilite 58

4.4 Quelques exemples 59

4.5 Les espaces Cm(D) 60

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4.6 Theoreme de Rolle, theoreme des accroissements finis 63

4.7 Regle de Bernoulli-L’Hospital 66

4.8 Developpements limites et formules de Taylor 69

4.9 Formule de Taylor 71

4.10 Relation “formule de Taylor” et “developpement limite” 72

4.11 Fonctions convexes 76

5 Series entieres 78

5.1 Generalites 78

5.2 Series de Taylor 83

6 Fonctions exponentielle et logarithme 86

6.1 Exponentielle et sa reciproque 86

6.2 Fonction puissance 88

6.3 Fonctions hyperboliques pour x ∈ R 88

7 Integration 89

7.1 Integrale d’une fonction continue 89

7.2 Proprietes de∫ baf(x)dx 90

7.3 Changement de variables 96

7.4 Integration par parties 96

7.5 Formule de Taylor avec reste integral 97

7.6 Decomposition en elements simples 98

7.7 Integration d’une fonction rationnelle 99

7.8 Quelques changements de variables 100

8 Integrales generalisees 101

8.1 Integrants singuliers sur des intervalles bornes 101

8.2 Integrales sur des intervalles non bornes 104

9 Equations differentielles 107

9.1 Introduction 107

9.2 Probleme a valeur initiale 108

9.3 Probleme de Cauchy 108

9.4 Equations differentielles a variables separees 112

9.5 Equations differentielles lineaires du premier ordre 114

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9.6 Equations differentielles lineaires du premier ordre a

coefficients constants 117

9.7 Equations differentielles lineaires du second ordre 120

9.8 Equations differentielles lineaires a coefficients constants 124

10 L’espace Rn 129

10.1 Generalites 129

10.2 Suites dans Rn 131

11 Fonctions reelles de plusieurs variables reelles 134

11.1 Definitions et resultats 134

11.2 Integrales qui dependent de parametres 139

11.3 Prolongement d’une fonction uniformement continue 141

12 Derivees partielles 143

12.1 Introduction 143

12.2 Derivee d’une integrale dependant d’un parametre 144

12.3 Derivees partielles d’une composition de fonctions 145

12.4 Derivee d’une integrale avec integrant et bornes qui

dependent d’un parametre 148

12.5 Gradient et theoreme des accroissements finis 149

12.6 Derivees partielles d’ordre superieur a un 150

12.7 Extrema de fonctions a plusieurs variables 153

12.8 Theoreme des fonctions implicites 156

12.9 Une generalisation du theoreme des fonctions implicites 158

12.10 Extrema lies. Methode des multiplicateurs de Lagrange159

13 Integrales multiples 164

13.1 Integrales doubles sur un rectangle ferme 164

13.2 Integrales doubles sur des domaines ouverts bornes de

R2 166

13.3 Changement de variables dans une integrale double 168

13.4 Integrale double sur un domaine infini 172

13.5 Integrales multiples 173

14 Nombres complexes 177

14.1 Rappel sur les nombres complexes 177

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14.2 Series entieres 179

14.3 La fonction exponentielle 180

14.4 La fonction logarithme 180

14.5 La fonction ”puissance” 182

14.6 Les fonctions trigonometriques 182

14.7 La fonction gamma 183

15 Integrales curvilignes. Differentielle totale 186

15.1 Arcs dans Rn 186

15.2 Formule de Green-Riemann 190

15.3 Differentielle totale 192

Index 195

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0. Les quantificateurs ∀ et ∃

Les quantificateurs utilises dans ce polycopie sont essentiellement ∀, ∃ et

∃! qui signifient :

• ∀ : ”pour tout”

Si S est un ensemble de nombres reels, ∀x ∈ S signifie ”pour tout

x appartenant a S” ;

• ∃ : ”il existe”

∃x ∈ S signifie ”il existe un x appartenant a S” ;

• ∃! : ”il existe un unique”

∃!x ∈ S signifie ”il existe un et un seul x appartenant a S”.

Exemple : Si S et T sont des ensembles de nombres reels,

pour tout x appartenant a S et pour tout nombre reel ǫ positif, il existe

y ∈ T tel que |x− y| ≤ ǫ sera ecrit :

∀x ∈ S, ∀ǫ > 0, ∃y ∈ T tel que |x− y| ≤ ǫ.

Remarque : La negation de cette affirmation s’ecrit :

∃x ∈ S et ∃ǫ > 0 tels que ∀y ∈ T on a |x− y| > ǫ.

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1. Suites de nombres reels

1.1. Nombres reels (rappels sans demonstration).

On admettra les notions et notations suivantes :

• N = 0, 1, 2, . . . = ensemble des entiers naturels,

• Z = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . = anneau des entiers relatifs,

• Q = pq: p, q ∈ Z, q 6= 0 = corps des nombres rationnels,

• R corps commutatif, ordonne, archimedien des nombres reels.

Ainsi, on a une relation d’ordre total sur R :

• x ≤ y et y ≤ z ⇒ x ≤ z,

• x ≤ y et y ≤ x est equivalent a x = y,

• ∀x, y ∈ R on a x ≤ y ou bien y ≤ x,

• x ≤ y et z ∈ R impliquent x+ z ≤ y + z,

• x ≥ 0 et y ≥ 0 impliquent xy ≥ 0.

Pour x ∈ R on definit la valeur absolue de x, notee |x|, par :• si x ≥ 0, |x| = x,

• si x < 0, |x| = −x,avec les proprietes :

• −|x| ≤ x ≤ |x|, ∀x ∈ R,

• |x+ y| ≤ |x|+ |y|, ∀x, y ∈ R,

• |x− y| ≥ | |x| − |y| | , ∀x, y ∈ R.

Archimedien (Archimede : -287 - -212 av. J.-C.) signifie : ∀x > 0, ∀y > 0,

il existe n ∈ N tq nx > y.

Notion de coupure. Richard Dedekind (1831-1916) definit de facon axio-

matique la notion de coupure des nombres reels.

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Soit E et F deux sous-ensembles non-vides de R qui verifient

1) E ∪ F = R ;

2) E ∩ F = ∅ ;

3) ∀x ∈ E, ∀y ∈ F , on a x ≤ y.

Alors il existe z ∈ R tel que x ≤ z, ∀x ∈ E et z ≤ y, ∀y ∈ F . On dit que

les sous-ensembles E et F forment une coupure de R.

On va identifier l’ensemble des nombres reels a la droite geometrique que

nous appellerons : droite numerique.

Si a < b on note :

• [a, b] = x ∈ R : a ≤ x ≤ b = intervalle [a, b] ferme,

• [a, b[= x ∈ R : a ≤ x < b = intervalle ferme a gauche, ouvert a

droite,

• ]a, b] = x ∈ R : a < x ≤ b = intervalle ferme a droite, ouvert a

gauche,

• ]a, b[ ou (a, b) = x ∈ R : a < x < b = intervalle ouvert.

On suppose connues les proprietes suivantes de R :

Propriete 1.1. Q est dense dans R, i.e. ∀x ∈ R, ∀ε > 0, on a

]x− ε, x+ ε[∩Q 6= ∅.

Notation 1.1. On definit les ensembles :

N∗ = 1, 2, 3, . . .,R+ = x ∈ R : x ≥ 0, R∗

+ = x ∈ R+ : x 6= 0,R− = x ∈ R : x ≤ 0, R∗

− = x ∈ R− : x 6= 0,R = R ∪ −∞,+∞.

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Definition 1.1. Soit S ⊂ R un sous-ensemble de R. On dit que S est

ouvert si pour tout x ∈ S, il existe δ > 0 tel que ]x − δ, x + δ[⊂ S. Si S

est vide, il est aussi ouvert.

S est dit ferme si R− S = x ∈ R : x /∈ S est ouvert.

S = R ou S = ∅ sont a la fois ouverts et fermes.

Definition 1.2. Soit S ⊂ R un sous-ensemble non vide de R. On dit que

M ∈ R est un majorant de S si ∀x ∈ S on a x ≤ M . On dit que m ∈ R

est un minorant de S si ∀x ∈ S on a m ≤ x. Si S admet un majorant, on

dit que S est majore ; s’il admet un minorant, on dit que S est minore ;

s’il est majore et minore, on dit que S est borne.

Soit S ⊂ R un sous-ensemble non vide de R que l’on suppose majore.

Ainsi il existe M ∈ R tel que x ≤ M , ∀x ∈ S. Evidemment, l’intervalle

semi-infini [M,+∞[ est un sous-ensemble de l’ensemble F des majorants

de S. On definit ainsi

F = majorants de SE = R \ F = x ∈ R : x /∈ F.

Bien evidemment, E et F sont non vides et E ∪ F = R, E ∩ F = ∅.

Verifions encore que si x ∈ E et y ∈ F , alors x ≤ y. Par l’absurde, si

x > y, alors x est un majorant de S puisque y l’est, et ainsi x ∈ F , ce

qui est contradictoire. Ainsi on a bien x ≤ y. Les sous-ensembles E et F

forment une coupure de R et il existe b ∈ R tel que

x ≤ b, ∀x ∈ E,

b ≤ y, ∀y ∈ F.

Si a ∈ S, alors a ≤ b. En effet, par l’absurde, si on avait a > b, il

existerait y ∈ R tel que a > y > b et ainsi y deviendrait un majorant de

S, ce qui est contradictoire avec a ∈ S, a > y. Ainsi b est un majorant

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de S. Remarquons encore que si x < b, alors x ∈ E et donc x ne peut

pas etre un majorant de S. On conclut que

b est le plus petit majorant de S que l’on appelle borne superieure de S.

Definition 1.3. Soit S ⊂ R un sous-ensemble non vide de R que l’on

suppose majore. On dit que b est la borne superieure de S si b est le plus

petit majorant de S. On note b = sup S (on dit que b est le supremum

de S) et on a les proprietes :

1) x ≤ b, ∀x ∈ S,

2) ∀ε > 0, ]b− ε, b] ∩ S 6= ∅.

De meme si S est minore, on dit que a est la borne inferieure de S si a

est le plus grand minorant de S. On note a = inf S (on dit que a est

l’infimum de S) et on a les proprietes :

3) x ≥ a, ∀x ∈ S,

4) ∀ε > 0, [a, a+ ε[ ∩ S 6= ∅.

Exemple 1.1. Si a < b, alors b = sup[a, b] = sup[a, b[ et a = inf[a, b] =

inf]a, b].

Exemple 1.2. Si S = q ∈ Q : e < q < π alors inf S = e, sup S = π.

1.2. Suites de nombres reels.

Definition 1.4. Une suite de nombres reels est une application f de N

dans R qui a tout entier n fait correspondre f(n) ∈ R.

Notation 1.2. Le nieme nombre f(n) sera note xn (ou yn ou kn,. . .).

La suite x0, x1, x2, . . . , xn, . . . sera notee (xn)∞n=0 .

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Definition 1.5. Soit une suite de nombres reels (xn)∞n=0 ⊂ R. On dit

que cette suite converge vers x (ou que x est la limite de la suite (xn)∞n=0)

et on note x = limn→∞

xn lorsque n tend vers l’infini si :

∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que |x− xn| < ε lorsque n > N.

Exercice : Montrer que la definition (1.5) est equivalente a :

∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que |x− xn| ≤ ε lorsque n ≥ N,

∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que |x− xn| < ε lorsque n ≥ N,

∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que |x− xn| ≤ ε lorsque n > N.

Exemple 1.3. xn = 1n+1

, n = 0, 1, 2, . . .. On a limn→∞

xn = 0. En effet, soit

ε > 0 donne. Il existe N > 0 tel que 1N< ε.

Ainsi, si n > N , on a 0 < 1n+1

< 1N+1

< ε.

Remarque 1.1. On dit qu’une suite (xn)∞n=0 est convergente s’il existe

x ∈ R tel que limn→∞

xn = x. On dit que (xn)∞n=0 ne converge pas (ou est

divergente) s’il n’existe pas un tel x. Ainsi, (xn)∞n=0 ne converge pas si

∀x ∈ R, il existe ε > 0 tel que ∀N ∈ N on a l’existence de n > N tel que

|x− xn| ≥ ε.

Remarque 1.2. De facon generale, si (xn)∞n=0 est convergente, alors la

limite est unique. En effet, supposons limn→∞

xn = x et limn→∞

xn = y. Ainsi,

∀ε > 0, il existe N ∈ N tq |x − xn| < ε2et |y − xn| < ε

2, ∀n > N . On a

|x − y| ≤ |x− xn| + |xn − y| < ε si n > N . Comme x, y sont fixes, on a

montre que ∀ε > 0, on a |x− y| < ε ce qui prouve que x = y.

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Exemple 1.4. x0 = 1, x1 = −1, x2 = 1, x3 = −1, . . ., xn = (−1)n.

La suite (xn)∞n=0 ne converge pas. En effet, si ε = 1

3, alors l’intervalle

]x − 13, x + 1

3[ a une longueur inferieure a 1 et ne peut pas contenir −1

et +1 a la fois et ceci ∀x ∈ R. Ainsi, il n’est pas possible de trouver N

satisfaisant |x− xn| < 13si n > N .

Definition 1.6. Une suite (xn)∞n=0 est majoree ou minoree ou bornee si

l’ensemble S = x0, x1, x2, . . . ⊂ R est majore ou minore ou borne. On

parle de majorant ou de minorant de la suite (xn)∞n=0 ⊂ R.

Exemple 1.5. xn = 1n+1

, n = 0, 1, 2, . . .. La suite (xn)∞n=0 est minoree

par a ≤ 0 et majoree par b ≥ 1.

Exemple 1.6. xn = (−1)n, n = 0, 1, 2, . . .. Alors a ≤ −1 est un minorant

de (xn)∞n=0 et b ≥ 1 est un majorant.

Definition 1.7. Une suite (xn)∞n=0 est dite croissante si xn+1 ≥ xn,

∀n = 0, 1, 2, . . .. (decroissante si xn+1 ≤ xn, ∀n = 0, 1, 2, . . .). Une suite

croissante ou decroissante est dite monotone.

Theoreme 1.1. Soit (xn)∞n=0 une suite monotone et bornee. Alors elle

converge.

Demonstration. Supposons que la suite (xn)∞n=0 soit croissante et bornee.

Puisqu’elle est bornee, elle admet un majorant. On sait que l’ensemble

S = x0, x1, x2, . . . admet une borne superieure b. Ainsi, ∀ε > 0, on a

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]b−ε, b]∩S 6= ∅. Soit donc ε > 0 et soit N ∈ N∗ tel que xN ∈]b−ε, b]∩S.Puisque la suite est croissante, on a xn ≥ xN , ∀n > N . Comme b est un

majorant de (xn)∞n=0 , on a xn ≤ b, ∀n ∈ N. Ainsi, xN ≤ xn ≤ b, ∀n > N .

Et puisque |b − xN | < ε, on obtient bien |b − xn| < ε, ∀n > N , ce qui

montre que limn→∞

xn = b.

Si (xn)∞n=0 est decroissante, on tient un raisonnement analogue.

Il est facile de voir que toute suite (xn)∞n=0 convergente est une suite

bornee. En effet, limn→∞

xn = x implique que ∀ε > 0, ∃N ∈ N tq |x−xn| < ε,

∀n > N . Ainsi, on a |xn| ≤ |xn − x| + |x| ≤ ε + |x| si n > N . Pour

m = 0, 1, 2, . . ., on aura |xm| ≤ max0≤j≤N

|xj |+ ε+ |x|. A l’inverse, une suite

bornee n’est pas necessairement convergente comme le montre la suite

definie par xn = (−1)n.

Proprietes des suites convergentes. Soient (xn)∞n=0 , (yn)

∞n=0 convergeant

vers x et y respectivement, i.e. limn→∞

xn = x, limn→∞

yn = y. Alors :

(1) limn→∞

(xn+yn) = x+y. En effet, soit ε > 0 et soit N tq ∀n > N , on ait

|x−xn| < ε2et |y−yn| < ε

2. On a |x+y−(xn+yn)| ≤ |x−xn|+|y−yn| < ε

si n > N .

(2) limn→∞

xnyn = xy. En effet, les suites (xn)∞n=0 et (yn)

∞n=0 sont bornees

et on a l’existence de C > 0 telle que |xn| ≤ C, |yn| ≤ C, ∀n ∈ N. Soit

ε > 0 et soit N tel que ∀n > N : |x − xn| < ε2C

, |y − yn| < ε2C

. On

a alors |xy − xnyn| ≤ |x(y − yn)| + |yn(x − xn)| ≤ |x| |y − yn| + |yn||x− xn| < C ε

2C+ C ε

2C= ε si n > N .

(3) Si xn 6= 0 ∀n et si x 6= 0, alors limn→∞

1

xn=

1

x. En effet, il existe N1 tq

∀n > N1, on a |x− xn| < |x|2. Ainsi |x| ≤ |x− xn|+ |xn| < |x|

2+ |xn| et

donc |xn| > |x|2

si n > N1. Soit ε > 0 et soit maintenant N2 ≥ N1

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tel que ∀n > N2 on ait |x − xn| < ε|x|22

. Pour n > N2 on aura

| 1x− 1

xn| = |xn−x

xxn| = |x−xn|

|x| |xn| ≤|x−xn|

|x|2

2

< ε ce qui prouve que limn→∞

1

xn=

1

x.

Corollaire de (2) et (3). limn→∞

ynxn

=y

xsi xn 6= 0 ∀n et x 6= 0.

(4) Si α, β ∈ R on a limn→∞

(αxn + βyn) = αx + βy (linearite de la limite

d’une suite).

(5) limn→∞

|xn| = |x|. En effet | |x| − |xn| | ≤ |x− xn|.

Quelques exemples.

(1) Soit la suite donnee par recurrence : xn+1 = 2 + 1xn, n = 0, 1, . . .

et x0 = 2. Cette suite est convergente. En effet, en supposant tout

d’abord qu’elle converge vers x, on trouve x = 2 + 1x, i.e. x = 1 +

√2.

Montrons donc que x = 1 +√2 est la limite de (xn)

∞n=0.

|xn − x| = |2 + 1xn−1

− (2 + 1x)| = | 1

xn−1− 1

x| = |xn−1−x|

|x| |xn−1| ≤ |xn−1−x|4

car xn ≥ 2 ∀n et x > 2. En utilisant cette inegalite recursivement, on

obtient

|xn − x| ≤ |x0 − x|4n

=−2 + 1 +

√2

4n≤ 1

4n→ 0 si n→ ∞.

(Pour ε > 0, il suffit de prendre N tq 14N

< ε).

(2) Soit p et q ∈ N∗ et soit xn = a0 + a1n + . . . + apnp avec ap 6= 0 et

yn = b0 + b1n+ . . .+ bqnq avec bq 6= 0. On suppose que yn 6= 0 ∀n.

Exercices : montrer

– si p < q alors limn→∞

xnyn

= 0

9

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– si p = q alors limn→∞

xnyn

=apbq

– si p > q alors limn→∞

xnyn

n’existe pas, la suite (xnyn)∞n=0 diverge !

(3) Si a > 0 et si xn = n√a, si n ≥ 1 avec x0 quelconque, on a lim

n→∞xn = 1

(Exercice).

(4) xn = 2n

n!, n = 0, 1, 2, . . . (ici 20 = 1, 0! = 1). On a xn =

n fois︷ ︸︸ ︷2 · 2 · · · 2

1 · 2 · 3 · · · n≤ 9 2n

3nsi n ≥ 3 et ainsi 0 ≤ xn ≤ 9(2

3)n. Si ε > 0, il existe N tq

n > N implique 9(23)n < ε et donc |xn| < ε ∀n > N , ce qui montre que

limn→∞

xn = 0.

Remarque 1.3. Si (yn)∞n=0 , (zn)

∞n=0 sont telles que lim

n→∞yn = lim

n→∞zn

= x et si yn ≤ xn ≤ zn pour n ≥ N , alors limn→∞

xn = x (regle des deux

gendarmes).

Regle de d’Alembert (Jean Le Rond dit d’Alembert (1717-1783), philo-

sophe et mathematicien).

Soit (xn)∞n=0 , xn 6= 0 ∀n telle que lim

n→∞|xn+1

xn| = ρ. Si ρ < 1 alors la suite

(xn)∞n=0 converge vers zero et si ρ > 1, elle diverge.

Demonstration. Supposons ρ < 1. Alors 0 < 12+ ρ

2< 1 et lim

n→∞(1+ρ

2)n = 0.

Puisque ρ = limn→∞

|xn+1

xn|, il existe N1 tel que n ≥ N1 implique |xn+1

xn| ≤ ρ

2+ 1

2

et donc |xn+1| ≤ 1+ρ2|xn|. Ainsi, si n ≥ N1 on a de facon recursive :

|xn| ≤(1 + ρ

2

)|xn−1| ≤

(1 + ρ

2

)2|xn−2| ≤ . . . ≤

(1 + ρ

2

)(n−N1)

|xN1 |

et donc limn→∞

|xn| = 0. Puisque −|xn| ≤ xn ≤ |xn|, on obtient par la regle

des deux gendarmes limn→∞

xn = 0.

Supposons maintenant ρ > 1. Il existe δ > 0 tel que ρ ≥ 1 + δ et

puisque limn→∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ = ρ, on a l’existence de N2 tel que si n ≥ N2 alors

|xn+1| ≥ (ρ− δ2)|xn|. Ainsi |xn| ≥ (ρ− δ

2)|xn−1| ≥ . . . ≥ (ρ− δ

2)n−N2 |xN2 |,

10

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si n ≥ N2. Mais ρ− δ2≥ 1 + δ

2et donc

|xn| ≥ (1 +δ

2)n−N2 |xN2 |,

ce qui prouve que (xn)∞n=0 n’est pas bornee, donc non convergente.

Exemple : xn = 2n

n!, n = 0, 1, 2, . . .. On a lim

n→∞

xn+1

xn= lim

n→∞

2n+1

(n+ 1)!

n!

2n=

limn→∞

2

n+ 1= 0, ce qui montre par la regle de d’Alembert que lim

n→∞xn = 0.

Remarque 1.4. Si ρ = 1 on ne peut pas conclure. En effet (xn)∞n=0

definie par xn = 11+n

tend vers zero alors que xn+1

xn= 1+n

2+n→ 1 si n→ ∞.

Par contre xn = (n + 1), n = 0, 1, . . . diverge alors que limn→∞

xn+1

xn= 1.

Limite superieure et limite inferieure.

Definition 1.8. Soit (xn)∞n=0 une suite bornee et pour tout n ≥ 0 posons

yn = supxk : k ≥ n (= borne superieure de xn, xn+1, xn+2, . . .). Ainsi(yn)

∞n=0 est une suite decroissante bornee et d’apres le theoreme 1.1 elle

converge. On pose y = limn→∞

yn qui est la limite superieure de (xn)∞n=0 et

on note y = lim supn→∞

xn.

De meme z = lim infn→∞

xn si z = limn→∞

zn avec zn = infxk : k ≥ n.

Theoreme 1.2. Soit (xn)∞n=0 une suite bornee. Alors (xn)

∞n=0 est conver-

gente si et seulement si lim supn→∞

xn = lim infn→∞

xn.

Demonstration.

1o Supposons que lim supn→∞

xn = lim infn→∞

xn et posons yn = supxk : k ≥ net zn = infxk : k ≥ n. Pour tout n ∈ N on a zn ≤ xn ≤ yn et comme

limn→∞

zn = limn→∞

yn, on a limn→∞

xn = limn→∞

zn = limn→∞

yn par le critere des

deux gendarmes. Ainsi limn→∞

xn = lim supn→∞

xn = lim infn→∞

xn.

11

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2o Supposons limn→∞

xn = x et posons yn = supxk : k ≥ n, zn = infxk :k ≥ n, y = lim

n→∞yn, z = lim

n→∞zn. On veut montrer que x = y = z.

Puisque limn→∞

xn = x et y = limn→∞

yn, ∀ε > 0, il existe N tel que ∀n ≥ N

on a

|x− xn| <ε

2et |y − yn| <

ε

4.

La suite (yn)∞n=0 est decroissante et converge vers y. En outre, de la

definition de yN , il existe k ≥ N tel que |xk− yN | < ε4. D’ou |xk− y| ≤

|xk − yN |+ |yN − y| < ε2et par suite |x− y| ≤ |x− xk|+ |xk − y| < ε.

On a montre que ∀ε > 0 on a |x− y| < ε ce qui prouve que x = y. On

fait de meme pour montrer que x = z.

1.3. Sous-suites de nombres reels.

Definition 1.9. Soit (xn)∞n=0 une suite donnee. On appelle sous-suite de

(xn)∞n=0 toute suite obtenue en supprimant dans la suite (xn)

∞n=0 certains

de ses termes (en nombre fini ou infini). Ainsi, soit nk∞k=0 une suite

strictement croissante d’entiers non-negatifs, la suite (xnk)∞k=0 est une

sous-suite (ou suite partielle) de la suite (xn)∞n=0 .

Il est facile de montrer que toute sous-suite d’une suite convergente est

elle-meme convergente. La question est maintenant la suivante : est-ce

qu’une suite divergente peut contenir des sous-suites convergentes comme

par exemple la suite xn = (−1)n ? La reponse est donnee par le

12

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Theoreme de Bolzano 2-Weierstrass 3 (1874). Toute suite (xn)∞n=0 bornee

contient au moins une sous-suite (xnk)∞k=0 convergente.

Demonstration. Soit (xn)∞n=0 une suite bornee et S = x ∈ R : xn > x

pour un nombre infini d’entiers n. On pose λ = sup S et soit ε > 0

quelconque. Par definition de λ on a λ+ε 6∈ S et donc il existe seulement

un nombre fini de xn pour lesquels xn > λ + ε. Par contre, il existe

x ∈ S tel x > λ− ε et ainsi il existe un nombre infini de xn qui satisfont

xn > λ − ε. Conclusion : il existe une infinite de xn dans l’intervalle

]λ − ε, λ + ε[. On choisit xn1 ∈]λ − 1, λ + 1[, xn2 ∈]λ − 12, λ + 1

2[ avec

n2 > n1, xn3 ∈]λ− 13, λ+ 1

3[ avec n3 > n2, . . . etc, . . . xnk

∈]λ− 1k, λ+ 1

k[

avec nk > nk−1 > nk−2 > . . . > n1. On obtient ainsi limk→∞

xnk= λ.

Definition 1.10. On dira que λ est un point d’accumulation de la suite

(xn)∞n=0 s’il existe une sous-suite (xnk

)∞k=0 de (xn)∞n=0 qui converge vers λ.

Remarque 1.5. La demonstration ci-dessus exhibe le plus grand point

d’accumulation de la suite. En fait on obtient λ = lim supn→∞

xn.

Corollaire du theoreme de Bolzano-Weierstrass.

Soit une suite bornee (xn)∞n=0 telle que toutes les sous-suites (xnk

)∞k=0

convergentes que l’on peut en extraire aient meme limite c. Alors on a

limn→∞

xn = c.

Demonstration. Si la suite converge, alors on a limn→∞

xn = c.

Supposons maintenant par l’absurde que (xn)∞n=0 diverge. Alors il existe

ε > 0 et une sous-suite (xnk)∞k=0 telle que |xnk

− c| > ε, ∀k. Cette sous-

suite etant bornee, par le theoreme de Bolzano-Weierstrass, il existe une

2. Bernard Bolzano (1781-1848)3. Karl Weierstrass (1815-1897)

13

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sous-suite (xnkℓ)∞ℓ=0 de la suite (xnk

)∞k=0 qui converge. Cette sous-suite

(xnkℓ)∞ℓ=0 est une sous-suite de (xn)

∞n=0 qui ne converge pas vers c, ce qui

est contradictoire avec nos hypotheses.

1.4. Suites de Cauchy.

(Augustin-Louis Cauchy (1789-1857))

Definition 1.11. La suite (xn)∞n=0 est une suite de Cauchy si pour tout

ε > 0 il existe N ∈ N tel que |xn − xm| < ε, ∀n,m > N .

Theoreme 1.3. (Theoreme de Cauchy) La suite (xn)∞n=0 est convergente

si et seulement si c’est une suite de Cauchy.

Remarque 1.6. Le theoreme 1.3 permet de donner un critere de conver-

gence sans donner ni connaıtre la limite.

Demonstration.

1) Demontrons que si (xn)∞n=0 converge alors (xn)

∞n=0 est une suite de

Cauchy. Si (xn)∞n=0 converge vers x et si ε > 0 est donne, alors il existe

N tel que |x − xn| < ε2, ∀n > N . On a si m,n > N : |xn − xm| ≤

|xn − x|+ |x− xm| < ε.

2) Demontrons que si (xn)∞n=0 est une suite de Cauchy alors (xn)

∞n=0

converge. Commencons par montrer qu’une suite de Cauchy est bornee.

En effet, en posant ε = 1 il existe r ∈ N tel que |xn − xm| < 1 si

n,m > r. Lorsque n > r on a |xn − xr+1| < 1 et donc |xn| ≤ 1 + |xr+1|si n > r. On conclut que pour tout n ∈ N on a |xn| ≤ max(1 +

|xr+1|, |x0|, |x1|, . . . , |xr|) et ainsi (xn)∞n=0 est bornee. Par le theoreme

de Bolzano-Weierstrass il existe une sous-suite (xnk)∞k=0 qui converge

14

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vers c ; i.e. limk→∞

xnk= c. Soit ε > 0 et soit N tel que pour tout p, q > N

on ait |xp−xq| < ε2. Soit maintenant k suffisamment grand fixe tel que

nk > N et |c− xnk| < ε

2. On aura alors pour n > N

|c− xn| ≤ |c− xnk|+ |xnk

− xn| < ε

ce qui prouve que limn→∞

xn = c.

Exemple 1.7. On definit x0 = 0 et xn+1 = 12(1 + sin(xn)) pour n =

0, 1, 2, . . .. On obtient ainsi

xn+1 − xn =1

2(sin(xn)− sin(xn−1)) = sin

(xn − xn−1

2

)cos

(xn + xn−1

2

).

Puisque | sin(x)| ≤ |x| et | cos(x)| ≤ 1, on obtient

|xn+1 − xn| ≤|xn − xn−1|

2pour n = 1, 2, 3, . . . .

Ainsi |x2 − x1| ≤ |x1−x0|2

, |x3 − x2| ≤ 12|x2 − x1| ≤ 1

22|x1 − x0|, . . . et

|xn+1 − xn| ≤ 12n|x1 − x0| = 1

2n+1 , pour n = 0, 1, 2, . . . . On conclut que

∀m > n ≥ 1 on a

|xm − xn| ≤ |xm − xm−1|+ |xm−1 − xm−2|+ . . .+ |xn+1 − xn|

≤(

1

2m+

1

2m−1+ . . .+

1

2n+1

)

=1

2n+1

1 +

1

2+

1

22+ . . .+

1

2m−n−1︸ ︷︷ ︸≤2

≤ 1

2n→ 0 si n→ ∞.

Soit maintenant ε > 0 et soit N tel que ∀n > N on ait 12n< ε. Alors si

n,m > N on obtient |xm−xn| < ε ce qui prouve que (xn)∞n=0 est une suite

de Cauchy. Ainsi elle converge. Si c = limn→∞

xn on aura c = 12(1 + sin(c)).

15

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1.5. Suites de nombres et virgule flottante.

Le calcul en nombres decimaux sur un ordinateur est necessairement

execute avec un nombre fini de chiffres. Par exemple, le nombre rationnel

c = 13en decimal devient c = 0, 3333333.

Definition 1.12. Nous dirons qu’un nombre c est donne avec M chiffres

significatifs (en representation decimale) s’il est donne avec M chiffres

comptes a partir du premier chiffre non nul.

Exemple 1.8. Les nombres suivants sont donnes avec 4 chiffres signifi-

catifs :

0, 3333 −→ 0, 3333 · 100

2, 434 −→ 0, 2434 · 10

0, 003256 −→ 0, 3256 · 10−2

Definition 1.13. Soit c ∈ R et soit c sa valeur approchee par un cal-

culateur travaillant en virgules flottantes avec M chiffres significatifs en

representation decimale. Alors la quantite |c− c| est appelee erreur d’ar-

rondis sur c.

Les erreurs d’arrondis jouent un role capital lorsqu’on calcule au moyen

d’une machine. Par exemple si on veut additionner les deux nombres

reels c1 = 13et c2 = 1

126avec un calculateur qui travaille avec 4 chiffres

significatifs, le calcul devient :

c1 =1

3−→ c1 = 0, 3333

c2 =1

126−→ c2 = 0, 007936 = 0, 7936 · 10−2

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et c1+c2 = 0, 3333+0, 0079 = 0, 3412. Le calcul avec 8 chiffres significatifs

donne 0, 34126984. Si c3 = 83126

, on aura, avec un calculateur a 4 chiffres

significatifs, c3 = 0, 6587 et (c1+c2)+c3 = 0, 9999 alors que c1+c2+c3 = 1.

Remarque 1.7.

1) Si, avec 4 chiffres significatifs, c4 = 0, 1000 · 10−4 on a c4 = c4 et

c1+ c4 = 0, 3333 = c1. On dira que la precision relative d’un calculateur

est η = 10−M ou M est le nombre de chiffres significatifs que peut

prendre le calculateur. Ainsi si deux nombres a, b ∈ R sont tels queab≃ 10−M , le calcul a+ b n’aura pas de sens avec ce calculateur. Si, au

contraire, ab≃ 10−p avec p < M , en executant a+ b avec ce calculateur

on va perdre environ M − p decimales sur le resultat de l’addition.

2) Si a, b, c ∈ R, on sait que l’addition est associative, i.e. (a + b) + c =

a+ (b+ c). Il n’en est pas de meme en principe sur un calculateur. On

peut avoir (a+ b) + c 6= a+ (b+ c).

Exemple avec M = 2 : a = 0, 33, b = 0, 0026, c = 0, 0086.

• a+ b = 0, 33, (a+ b) + c = 0, 33 ;

• b+ c = 0, 011, a+ (b+ c) = 0, 34.

Qu’en est-il alors avec les suites ? Prenons la suite suivante :

xn =

(1 +

1

n

)nsi n = 1, 2, . . . , et x0 = 0,

et posons-nous la question de sa convergence.

Propriete 1.2. La suite (xn)∞n=0 est croissante et bornee, donc conver-

gente.

Demonstration. Rappelons la formule du binome de Newton

(a + b)n =n∑

k=0

c(n, k)an−kbk

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ou c(n, k) = n!k!(n−k)! est le coefficient binomial qui est en fait le nombre

de combinaisons de n elements pris par k. En appliquant cette formule

avec a = 1, b = 1n, on verifie facilement que

(1 +

1

n

)n= 1 +

1

1!+

1

2!

(1− 1

n

)+

1

3!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)+ . . .

+1

n!

(1− 1

n

). . .

(1− n− 1

n

)

et par suite (1 + 1n)n ≤

∑nk=0

1k!

(0! = 1).

Puisque 1k!≤ 1

2k−1 , k ≥ 1 et que∑∞

m=012m

≤ 2, on obtient

(1 +

1

n

)n≤ 3,

ce qui prouve que la suite (xn)∞n=0 est bornee.

Montrons que (xn)∞n=0 est croissante. En reprenant l’expression de xn =

(1 + 1n)n developpee par le binome de Newton, on verifie que

xn ≤ 1 +1

1!+

1

2!

(1− 1

n + 1

)+

1

3!

(1− 1

n+ 1

)(1− 2

n+ 1

)

+ . . .1

n!

(1− 1

n+ 1

). . .

(1− n− 1

n+ 1

)+

1

(n+ 1)!

(1− 1

n+ 1

)

. . .

(1− n

n + 1

)

et ainsi xn ≤ xn+1. On conclut que (xn)∞n=0 est croissante et bornee ; par

le theoreme 1.1 elle est convergente.

La limite de (1 + 1n)n est un nombre important en analyse. On pose

e = limn→∞

(1 +

1

n

)n.

On a e = 2, 71828 . . ..

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On peut prendre un calculateur et executer, pour un nombre n ∈ N∗

donne, le calcul de (1 + 1n)n. En prenant n = 10 on obtient 2, 5937 . . ..

En prenant n = 50 on obtient 2, 6915 . . . et, avec n = 1000 on obtient

2, 7169 . . ., avec n = 106 on obtient 2, 71828 . . . . On constate que cette

suite converge tres lentement vers e.

Remarque 1.8. Si n = 108 et si le calculateur a une precision relative de

10−8(M = 8) alors xn = (1+ 1n)n donnera pour resultat xn = 1, 0000000 !

Definition 1.14. Soit (xn)∞n=0 une suite convergente et soit x = lim

n→∞xn.

On dira que la suite (xn)∞n=0 converge vers x a l’ordre O( 1

n)α lorsque n

tend vers ∞ ou α ∈ R+, s’il existe une constante C et un entier N tel

que |x− xn| ≤ C( 1n)α, ∀n > N . On dit encore que |x− xn| est un grand

O de ( 1n)α si n tend vers l’infini.

Exemple 1.9. Les deux suites xn = 1n+1

, n = 0, 1, 2, . . . et yn = 1n2+1

,

n = 0, 1, . . . tendent toutes les deux vers zero. On a

|0− xn| =1

n+ 1≤ 1

net |0− yn| =

1

n2 + 1≤ 1

n2.

Ainsi, la deuxieme suite (yn)∞n=0 converge plus vite vers zero (O( 1

n)2) que

la premiere qui est d’ordre O( 1n) lorsque n tend vers ∞.

19

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2. Series numeriques

2.1. Definitions.

Soit (xn)∞n=0 une suite de nombres reels et soit Sn =

∑nk=0 xk la somme de

ses (n+ 1) premiers termes. On dira que Sn est la nieme somme partielle

de la serie∑∞

k=0 xk.

• Si (Sn)∞n=0 converge vers c lorsque n tend vers l’infini, on dit que la

serie converge, que c est la somme de la serie et on note c =∑∞

k=0 xk.

• Si (Sn)∞n=0 est divergente, on dit que la serie diverge.

• Si la suite (Sn)∞n=0 tend vers +∞ lorsque n tend vers l’infini (i.e. ∀C >

0, il existe N tel que Sn > C, ∀n > N), alors la serie diverge mais on

note quand meme∑∞

k=0 xk = +∞.

• Si la suite (Sn)∞n=0 tend vers −∞ lorsque n tend vers l’infini (i.e. ∀C <

0, il existe N tel que Sn < C, ∀n > N), alors la serie diverge mais on

note quand meme∑∞

k=0 xk = −∞.

Definition 2.1. On dit que la serie∑∞

k=0 xk est absolument convergente

si la serie∑∞

k=0 |xk| est convergente.

Theoreme 2.1. Une serie absolument convergente est convergente.

Remarque 2.1. On dit qu’une condition suffisante pour que la serie

converge est qu’elle soit absolument convergente.

Demonstration. Supposons que∑∞

k=0 |xk| converge, c’est-a-dire la suite

Cn =∑n

k=0 |xk|, n = 0, 1, 2, . . . est convergente. Si Sn =∑n

k=0 xk, on a

20

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|Sm − Sn| = |∑m

k=n+1 xk| ≤∑m

k=n+1 |xk| lorsque m > n.

Puisque (Cn)∞n=0 converge, alors (Cn)

∞n=0 est une suite de Cauchy et donc

(Sn)∞n=0 l’est aussi. Ainsi, (Sn)

∞n=0 est convergente.

Theoreme 2.2. Une serie convergente a necessairement son terme general

xn qui tend vers zero lorsque n tend vers ∞, i.e. limn→∞ xn = 0.

Remarque 2.2. On dit qu’une condition necessaire pour que la serie

converge est que son terme general tende vers zero si n tend vers ∞.

Demonstration. Supposons∑∞

k=0 xk convergente, i.e. Sn =∑n

k=0 xk, n =

0, 1, . . . est une suite convergente. Alors (Sn)∞n=0 est une suite de Cauchy

et ∀ε > 0, ∃N tel que |Sn − Sm| < ε, ∀n,m > N . Ainsi |Sn+1 − Sn| =|xn+1| < ε si n > N ce qui prouve que lim

n→∞xn = 0.

2.2. La serie harmonique.

Posons x0 = 0 et xn = 1npour n = 1, 2, . . .. On a

∑∞k=0 xk =

∑∞k=1

1kqui

est dite serie harmonique.

Theoreme 2.3. La serie harmonique est divergente ; on a∑∞

k=11k=

+∞.

Demonstration. Montrons que Sn =∑n

k=11k, n = 1, 2, . . . n’est pas une

suite de Cauchy. On calcule S2n−Sn = 1n+1

+ 1n+2

+. . .+ 12n

≥ n· 12n

= 12ce

qui est en contradiction avec la definition d’une suite de Cauchy. Comme

(Sn)∞n=0 est une suite croissante et qu’elle diverge, on a

∑∞k=1

1k= +∞.

21

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Remarque 2.3. Soit n un entier positif et calculons avec un ordinateur

la quantite (. . . ((((1+ 12)+ 1

3)+ 1

4)+ . . .)+ 1

n) que nous definissons comme

Sn. La serie∑∞

k=11ketant divergente avec

∑∞k=1

1k= +∞, alors pour M

entier positif, il existe N tel que∑N

k=11k≥ 10M . On voit alors d’emblee

que si le calculateur execute les calculs avec M chiffres significatifs nous

aurons Sn = SN pour tout n > N . Cet exemple montre que si on veut

vraiment calculer Sn, il vaut mieux proceder ainsi (. . . (((( 1n+ 1

n−1) +

1n−2

) + 1n−3

) + . . .) + 1) pour eviter les erreurs d’arrondis trop grandes.

2.3. Criteres de convergence.

Le theoreme de Cauchy du chapitre 1 implique immediatement :

Theoreme 2.4. La serie∑∞

k=0 xk converge si et seulement si pour tout

ε > 0 il existe N tel que ∀n > N , ∀p ≥ 0 on a |xn+xn+1+. . .+xn+p| < ε.

En utilisant le theoreme 2.4, on montre immediatement :

Theoreme 2.5. (Critere de comparaison) Considerons les deux series∑∞

k=0 xk et∑∞

k=0 yk dont les termes generaux sont xk et yk. Alors

• si 0 ≤ xk ≤ yk, ∀k = 0, 1, . . . et si∑∞

k=0 yk converge, alors∑∞

k=0 xk

converge aussi ;

• si 0 ≤ xk ≤ yk, ∀k = 0, 1, . . . et si∑∞

k=0 xk diverge, alors∑∞

k=0 yk

diverge aussi.

Exemple 2.1. Considerons la serie∑∞

k=11kp

ou p est un entier ≥ 2. Pour

p = 2, on observe que

1

k2≤ 1

k − 1− 1

k, si k ≥ 2.

22

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Ainsi pour N ≥ 2 on a

1 +N∑

k=2

1

k2≤ 1 +

N∑

k=2

(1

k − 1− 1

k

)

= 1 + 1− 1

N−→N→∞

2.

Donc la serie∑∞

k=11k2

est convergente et ainsi pour p > 2 on obtient,

puisque 1kp

≤ 1k2, la convergence de la serie

∑∞k=1

1kp.

Theoreme 2.6. (Critere de d’Alembert).

Soit (xn)∞n=0 une suite d’elements de R∗ pour laquelle ρ = lim

n→∞|xn+1||xn|

existe. Alors

• si ρ < 1 la serie∑∞

k=0 xk converge absolument ;

• si ρ > 1 la serie∑∞

k=0 xk diverge.

Demonstration. Supposons ρ < 1. Alors il existe N > 0 tel que |xn+1||xn| ≤

ρ2+ 1

2, ∀n ≥ N . Ainsi |xn+1| ≤ (ρ+1

2)|xn| si n ≥ N et par suite |xn+m| ≤

(ρ+12)m|xn|, ∀n ≥ N et m ≥ 0. On obtient en posant r = ρ+1

2

n+m∑

j=n

|xj | = |xn|+ |xn+1|+ . . .+ |xn+m| ≤ (1 + r + r2 + . . .+ rm)|xn|.

Puisque r ∈]0, 1[, on a 1 + r + r2 + . . .+ rm = 1−rm+1

1−r ≤ 11−r .

Ainsi pour n ≥ N et m ≥ 0 on a∑n+m

j=n |xj | ≤ 11−r |xn|. Comme ρ < 1, on

a, par la regle de d’Alembert du chapitre 1, limn→∞

xn = 0 et ainsi ∀ε > 0,

il existe N ≥ N tel que |xn| < (1 − r)ε , si n > N . On obtient ainsi

pour n ≥ N et m ≥ 0 :∑n+m

j=n |xj | < ε ce qui prouve que∑∞

k=0 |xk| estconvergente en utilisant le theoreme 2.4.

Si maintenant ρ > 1, la regle de d’Alembert nous dit que (xn)∞n=0 est

une suite divergente et donc, par le theoreme 2.2, la serie∑∞

k=0 xk est

divergente.

23

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Remarque 2.4. La serie∑∞

k=0(−1)k est divergente et on a ρ = limn→∞

|xn+1||xn| =

1. Par contre, la serie∑∞

k=01

1+k2est convergente et on a aussi ρ =

limn→∞

|xn+1||xn| = lim

n→∞

1 + n2

1 + (n + 1)2= 1. Ainsi, si ρ = 1 on ne peut rien dire !

Theoreme 2.7. (Critere de la limite superieure).

Soit (xn)∞n=0 une suite de R et L = lim sup

n→∞n√

|xn|. Alors, si L < 1,∑∞

k=0 xk converge absolument ; si L > 1 la serie diverge.

Demonstration. Supposons que L < 1 ; alors il existe N > 0 tel que

∀n > N

n√

|xn| ≤1 + L

2< 1.

En posant r = 1+L2< 1 on obtient |xn| ≤ rn et ainsi si n > N,m ≥ 0 :

n+m∑

j=n

|xj | ≤ rn + rn+1 + . . .+ rm+n = rn(1 + r + r2 + . . . rm) ≤ rn1− rm+1

1− r

et donc pour n > N,m ≥ 0 :∑n+m

j=n |xj | ≤ rn

1−r . Le critere de Cauchy

nous permet de conclure.

Si L > 1, alors on n’a pas limn→∞ xn = 0 et donc la serie diverge.

Remarque 2.5. Comme dans le cas du critere de d’Alembert lorsque

L = 1 on ne peut rien dire.

Somme de deux series convergentes.

Soit∑∞

n=0 xn et∑∞

n=0 yn deux series convergentes vers x et y respective-

ment, i.e.∑∞

n=0 xn = x,∑∞

n=0 yn = y.

Alors on verifie que∑∞

n=0(xn + yn) = x+ y.

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2.4. Series alternees.

Theoreme 2.8. Soit (xn)∞n=0 une suite telle que lim

n→∞xn = 0. On suppose

qu’il existe un entier p > 0 tel que l’on ait lorsque n ≥ p :

|xn+1| ≤ |xn|

et

xn+1 xn ≤ 0 (xn a le signe oppose de xn+1).

Alors∑∞

k=0 xk est convergente.

Demonstration. Soit p ∈ N∗ tel que xn+1 xn ≤ 0 et |xn+1| ≤ |xn|, ∀n ≥ p.

Si m ≥ 1 et si n ≥ p on a, si xn ≥ 0 :≥0︷ ︸︸ ︷ ≥0︷ ︸︸ ︷ ≥0︷︸︸︷

• xn + xn+1 + xn+2 + . . . + xn+m−1 + xn+m ≤ xn,︸ ︷︷ ︸

≤0

︸ ︷︷ ︸≤0

si m est pair ;

≥0︷ ︸︸ ︷ ≥0︷ ︸︸ ︷• xn + xn+1 + xn+2 + . . . + xn+m−1 + xn+m ≤ xn,

︸ ︷︷ ︸≤0

︸ ︷︷ ︸≤0

︸︷︷︸≤0

si m est impair.

Donc si xn ≥ 0 on a 0 ≤ xn + xn+1 + . . .+ xn+m ≤ xn.

De la meme maniere, on montre que si xn ≤ 0, on a xn ≤ xn + xn+1 +

. . .+ xn+m ≤ 0. Puisque limn→∞

xn = 0, on a necessairement pour n ≥ p et

m ≥ 1 : |∑n+m

j=n xj | ≤ |xn| et a nouveau, en utilisant le critere de Cauchy,

on obtient la convergence de la serie∑∞

k=0 xk .

Exemple 2.2.∑∞

k=1(−1)k 1k= −1+ 1

2− 1

3+ 1

4− . . . . On a bien une serie

alternee qui repond aux hypotheses du theoreme 2.8. On en deduit que

la serie harmonique alternee est convergente.

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2.5. Series a termes de signe constant.

Theoreme 2.9. Soit (xn)∞n=0 une suite dont le signe reste constant, i.e.

xn ≥ 0, ∀n ∈ N ou xn ≤ 0, ∀n ∈ N. On suppose que la serie∑∞

n=0 xn

est convergente. Alors si σ : N → N est une bijection, on a∑∞

n=0 xn =∑∞

n=0 xσ(n), ce qui signifie que l’on peut permuter les termes de la serie

sans changer la limite.

Demonstration. Supposons que xn ≥ 0, ∀n ∈ N et que la serie∑∞

n=0 xn

converge vers x. Si Sn =∑n

k=0 xk, la suite Sn est croissante et bornee

(puisqu’elle converge). Posons x = limn→∞ Sn =∑∞

k=0 xk. On a x =

supS0, S1, S2, . . . , Sn, . . ..Si σ : N → N est une bijection et si Tn =

∑nk=0 xσ(k), on verifie facilement

que la suite (Tn)∞n=0 est croissante, bornee et donc convergente. Soit donc

y = limn→∞ Tn =∑∞

k=0 xσ(k) = supT0, T1, T2, . . . , . Il reste a montrer

que x = y.

Si on pose rn = maxσ(0), σ(1), σ(2), . . . , σ(n), on a bien evidemment

0, 1, 2, . . . , rn ⊃ σ(0), σ(1), . . . , σ(n). Ainsi Tn ≤ Srn ≤ x, ce qui

prouve que y ≤ x. De meme, il existe mn ∈ N tel que 0, 1, 2 . . . , n ⊂σ(0), σ(1), . . . , σ(mn), ce qui montre que Sn ≤ Tmn ≤ y, ce qui prouve

que x ≤ y. Il en resulte que x = y.

Si xn ≤ 0, ∀n ∈ N, il suffit de poser yn = −xn et d’utiliser ce qui precede

pour obtenir la conclusion du theoreme 2.9.

2.6. Series absolument convergentes.

Theoreme 2.10. Soit∑∞

n=0 xn une serie numerique absolument conver-

gente. Alors si σ : N → N est une bijection, on a∑∞

n=0 xn =∑∞

n=0 xσ(n),

ce qui signifie que l’on peut permuter les termes de la serie sans changer

la limite.

Demonstration. Si a ∈ R, on pose a+ = a si a ≥ 0 et a+ = 0 si a ≤ 0.

De meme, on pose a− = −a si a ≤ 0 et a− = 0 si a ≥ 0. Ainsi, on peut

ecrire a = a+ − a− et |a| = a+ + a− , a+, a− ≥ 0.

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Soit (xn)∞n=0 une suite telle que la serie

∑∞n=0 xn converge absolument.

On a ainsi la convergence de∑∞

n=0 |xn|.En remarquant que x+n ≤ |xn| et que S+

n =∑n

k=0 x+k est une suite crois-

sante, bornee, donc convergente, on a l’existence de x+ ∈ R+ tel que

∞∑

n=0

x+n = x+.

De meme, puisque x−n ≤ |xn|, S−n =

∑nk=0 x

−k est aussi croissante, bornee,

donc convergente et on a l’existence de x− tel que∑∞

n=0 x−n = x−.

En utilisant la propriete de sommation de series convergentes, on obtient :

∞∑

n=0

xn =

∞∑

n=0

x+n −∞∑

n=0

x−n = x+ − x−.

En utilisant la propriete des series a signe constant, on obtient bien

∞∑

n=0

xn =

∞∑

n=0

x+n −∞∑

n=0

x−n =

∞∑

n=0

x+σ(n) −∞∑

n=0

x−σ(n) =

∞∑

n=0

xσ(n).

Remarque 2.6. Lorsque la serie n’est pas absolument convergente, on ne

peut pas proceder a n’importe quelle permutation de ses termes sans en

changer sa limite. Par exemple, la serie harmonique alternee∑∞

n=1(−1)n 1n

est convergente mais non absolument convergente. On peut permuter des

termes pour la rendre divergente. Il suffit de creer des “sequences” dans

lesquelles on somme un grand nombre de termes positifs, par exemple

avant d’introduire un terme negatif.

Exemple 2.3.

−1 +1

2+

1

4︸ ︷︷ ︸≥ 1

4

−1

3+

1

6+

1

8+

1

10+

1

12︸ ︷︷ ︸≥ 1

4

−1

5+

1

14+

1

16+ . . .+

1

28︸ ︷︷ ︸≥ 1

4

−1

7+ . . . .

(On a∑2n

k=n

1

2k≥ n+ 1

4n≥ 1

4et dans la serie ci-dessus on regroupe

suffisamment de termes positifs ( n + 1 termes ) avant d’introduire un

terme negatif).

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3. Fonctions reelles d’une variable reelle

3.1. Generalites.

Soit D ⊂ R un ensemble non vide de nombres reels. A un nombre x ∈ D

on fait correspondre un nombre y ∈ R (et un seul) et on dit que cette

correspondance est une application definie sur D a valeurs dans R ou une

fonction definie sur D et a valeurs reelles. Dans la suite, on notera cette

application par f et sa valeur y en x par f(x) :

f : Dx⊂ R →

Rf(x)=y

.

Exemple 3.1. D = R, f(x) = x2.

Exemple 3.2. D = R, f(x) = 1 si x ∈ Q, f(x) = 0 si x ∈ R−Q.

Exemple 3.3. D = R− 0, f(x) = 1x.

On a les definitions suivantes (qui devraient etre des rappels !) :

• Image de f notee R(f) =def

y ∈ R : ∃x ∈ D tel que y = f(x) ;

• D = domaine de definition de f ;

• x est une variable independante, f est une variable dependante ;

• la representation graphique de f est reportee dans le plan euclidien

comme suit :

le graphe de f est defini par (x, f(x)) : x ∈ D =def

G(f).

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• f : D → R(f) est surjective.

Si (x1, x2 ∈ D tel que f(x1) = f(x2)) implique (x1 = x2), on dit que f

est injective.

• Si A ⊂ D, on note f(A) = y ∈ R : ∃x ∈ A tel que y = f(x) = image

de A par f . Si B ⊂ R(f), on note f−1(B) = x ∈ D : f(x) ∈ B =

image reciproque de B par f .

• Si f : D ⊂ R → R et g : D ⊂ R → R sont deux fonctions, on dit

que f = g si f(x) = g(x), ∀x ∈ D ; f ≥ g si f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ D. Si

α, β ∈ R, on dit que h = αf + βg si h(x) = αf(x) + βg(x), ∀x ∈ D ;

ℓ = f · g si ℓ(x) = f(x)g(x), ∀x ∈ D. Si g(x) 6= 0, ∀x ∈ D, on definit

k = f/g : D ⊂ R → R par k(x) = f(x)g(x)

, ∀x ∈ D.

• Si f : D ⊂ R → R et si g : E ⊂ R → R sont deux fonctions telles que

R(f) ⊂ E on definit la composee de g par f notee g f par

g f : D ⊂ R → R tel que (g f)(x) = g(f(x)), ∀x ∈ D.

• Si f : D ⊂ R → R est une fonction, la valeur absolue |f | de f est

definie par |f | : D ⊂ R → R+, |f |(x) = |f(x)|, ∀x ∈ D.

Definition 3.1. Soit f : D ⊂ R → R une fonction et soit A ⊂ D, A 6= ∅.

On dit que f est majoree sur A ou bornee superieurement si l’ensemble

f(A) est majore. Elle est minoree sur A ou bornee inferieurement si

l’ensemble f(A) est minore. On verifie donc que f est majoree sur A

(resp. minoree sur A) si et seulement s’il existe une constante M (resp.

une constante m) telle que f(x) ≤M , ∀x ∈ A (resp. f(x) ≥ m, ∀x ∈ A).

Si f est majoree sur A et minoree sur A, on dit que f est bornee sur A.

Dans ce cas, on definit

• supx∈A

f(x) =def

sup f(x) : x ∈ A appele supremum ou borne superieure

de f sur A ;

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• infx∈A

f(x) = inf f(x) : x ∈ A appele infimum ou borne inferieure de

f sur A.

Remarque 3.1. Si f n’est pas majoree sur A, on notera souvent supx∈A

f(x) =

+∞. Si f n’est pas minoree sur A, on notera infx∈A

f(x) = −∞.

Exemple 3.4. D = R − 0, A =]0,∞[, f(x) = 1xsi x ∈ D. On aura

supx∈A

f(x) = +∞, infx∈A

f(x) = 0.

Definition 3.2. Soit f : D ⊂ R → R une fonction, A ⊂ D, A 6= ∅

et supposons que f soit majoree sur A (resp. minoree sur A). S’il existe

x ∈ A tel que f(x) = supx∈A

f(x) (resp. f(x) = infx∈A

f(x)), on dit que f

restreinte a A prend son maximum sur A en x = x (resp. prend son

minimum sur A). On note f(x) = maxx∈A

f(x) (resp. f(x) = minx∈A

f(x)). Si

A = D, on dit tout simplement que f prend son maximum sur D (resp.

son minimum sur D). On dit aussi que f atteint son maximum en x = x

(resp. son minimum en x = x).

Definition 3.3. Soit f : D → R une fonction et soit x0 ∈ D. On dit que

f admet un maximum local au point x0 (resp. minimum local) s’il existe

δ > 0 tel que f restreinte a A =]x0 − δ, x0 + δ[∩D prend son maximum

sur A (resp. minimum) en x = x0. Un extremum local en x = x0 est soit

un maximum local soit un minimum local.

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Definition 3.4. Soit f : D ⊂ R → R une fonction, A ⊂ D, A 6= ∅.

• f est dite croissante sur A si ∀x1, x2 ∈ A avec x1 > x2 on a f(x1) ≥f(x2).

• f est dite strictement croissante sur A si ∀x1, x2 ∈ A avec x1 > x2 on

a f(x1) > f(x2).

• f est dite decroissante sur A si ∀x1, x2 ∈ A avec x1 > x2 on a f(x1) ≤f(x2).

• f est dite strictement decroissante sur A si ∀x1, x2 ∈ A avec x1 > x2

on a f(x1) < f(x2).

• f est dite monotone sur A (resp. strictement monotone sur A) si elle

est croissante sur A ou decroissante sur A (resp. strictement croissante

sur A ou strictement decroissante sur A).

• Si D est tel que ∀x ∈ D on a −x ∈ D, on dit que :

f est paire si f(x) = f(−x), ∀x ∈ D,

f est impaire si f(x) = −f(−x), ∀x ∈ D.

Remarque 3.2. Si D est tel que ∀x ∈ D, on a −x ∈ D et si

f : D ⊂ R → R est une fonction, alors en posant

g(x) =f(x) + f(−x)

2, h(x) =

f(x)− f(−x)2

, x ∈ D,

on constate que f = g+h et g est paire alors que h est impaire. Ainsi,

par exemple, toute fonction definie sur R est la somme d’une fonction

paire et d’une fonction impaire.

• Si D = R, on dit que f est periodique s’il existe P 6= 0 tel que f(x) =

f(x + P ), ∀x ∈ R. Dans ce cas, P est appele une periode. On verifie

que nP (n ∈ Z, n 6= 0) est aussi une periode.

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• f+(x) = max f(x), 0, x ∈ D est appelee partie positive de f , f−(x) =

−min f(x), 0, x ∈ D est appelee partie negative de f . On verifie que

f+ et f− sont ≥ 0 (ici 0 est la fonction identiquement nulle) et que

f(x) = f+(x)− f−(x), |f(x)| = f+(x) + f−(x), x ∈ D.

• Si f : D ⊂ R → R est une fonction et si g : E ⊂ R → R est une

autre fonction qui verifie E ⊃ D et f(x) = g(x), ∀x ∈ D, on dit que g

est un prolongement de f a E. Dans ce cas, on dit aussi que f est la

restriction de g a D.

Definition 3.5. Soit f : D ⊂ R → R une fonction et soit x0 ∈ R.

On dit que f est definie au voisinage de x0 s’il existe δ > 0 tel que

]x0 − δ, x0 + δ[⊂ D ∪ x0.

Exemple 3.5. D = R − 0, f(x) = sin(x)x

, x ∈ D, ou, autre exemple,

f(x) = 1x, x ∈ D. Posons x0 = 0 et soit δ > 0 quelconque. On a bien

] − δ,+δ[⊂ R. Ainsi f est definie au voisinage de x0 = 0 dans les 2 cas !

D’autre part ces deux fonctions sont definies au voisinage de n’importe

quel point x0 6= 0. Ainsi, ces deux fonctions sont definies au voisinage de

n’importe quel point de R.

Exemple 3.6. D = Q, f(x) = x, x ∈ D. Ici f n’est definie au voisinage

d’aucun point !

Definition 3.6. Soit D ⊂ R, D 6= ∅. On dit que x0 ∈ R est un point

adherent de D s’il existe une suite (an)∞n=0 ⊂ D telle que limn→∞ an = x0.

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Remarque 3.3. Si f est definie au voisinage de x0, alors x0 n’est pas

necessairement dans D, mais x0 est necessairement un point adherent de

D, i.e. ∃(an)∞n=0 ⊂ D une suite telle que limn→∞

an = x0. En effet, prenons

la suite an = x0 +1

M+n, n ∈ N avec M tel que 1

M< δ. La suite (an)

∞n=0

⊂ ]x0−δ, x0+δ[ et an 6= x0 pour tout n = 0, 1, . . . . Puisque ]x0−δ, x0+δ[⊂D ∪ x0, on a necessairement (an)

∞n=0 ⊂ D. De plus, lim

n→∞an = x0.

Definition 3.7. Soit f : D → R une fonction definie au voisinage de x0.

On dira que f admet pour limite ℓ lorsque x tend vers x0 si : ∀ε > 0, il

existe δ > 0 tel que pour x ∈ D, 0 < |x−x0| ≤ δ on a |f(x)− ℓ| ≤ ε. On

ecrit alors limx→

6=x0f(x) = ℓ.

Theoreme 3.1. Soit f : D → R definie au voisinage de x0. Alors f

admet pour limite ℓ si et seulement si pour toute suite (an)∞n=0 ⊂ D telle

que an 6= x0, ∀n et limn→∞

an = x0, on a limn→∞

f(an) = ℓ.

Demonstration. Soit f : D → R une fonction et soit x0 ∈ R. On suppose

que f est definie au voisinage de x0.

1) Montrons que si f admet pour limite ℓ lorsque x tend vers x0 et si

(an)∞n=0 est une suite dans D telle que an 6= x0 et lim

n→∞an = x0 alors on

a bien ℓ = limn→∞

f(an).

Soit pour ceci (an)∞n=0 ⊂ D, an 6= x0, ∀n et lim

n→∞an = x0. Soit encore

ε > 0. Comme f admet pour limite ℓ lorsque x tend vers x0, alors

∃δ > 0 tel que ∀x ∈]x0 − δ, x0 + δ[, x 6= x0 on a |f(x) − ℓ| ≤ ε.

Puisque limn→∞

an = x0 et an 6= x0, il existe N tel que an ∈]x0−δ, x0+δ[,an 6= x0, ∀n > N . Ainsi |f(an) − ℓ| ≤ ε, ∀n > N , ce qui prouve que

ℓ = limn→∞

f(an).

33

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2) Montrons maintenant l’implication inverse. Pour ceci, supposons que

∀(an)∞n=0 ⊂ D, an 6= x0 et limn→∞

an = x0 on a limn→∞

f(an) = ℓ. En

raisonnant par l’absurde, on suppose que f n’admet pas pour limite ℓ

lorsque x tend vers x0, ce qui signifie qu’il existe ε > 0 tel que pour

tout δ > 0 on a l’existence (puisque f est definie au voisinage de x0) de

x ∈ ]x0−δ, x0+δ[ ∩ D, x 6= x0 tel que |f(x)−ℓ| > ε. Construisons alors

une suite (an)∞n=1 ainsi : pour chaque n ∈ N∗, en prenant δ = 1

ndans

ce qui precede, on a l’existence de an ∈]x0 − 1n, x0 +

1n[∩D, an 6= x0 tel

que |f(an)− ℓ| > ε. Clairement on aura limn→∞

an = x0 et |f(an)− ℓ| > ε,

∀n, ce qui est contradictoire.

Remarque 3.4. Si f : D ⊂ R → R est definie au voisinage de x0 et

admet pour limite ℓ lorsque x tend vers x0, alors cette limite est unique

(ceci decoule de l’unicite de la limite d’une suite et du theoreme 3.1).

Remarque 3.5. Si f est definie au voisinage de x0 et si pour toute

suite (an)∞n=0 ⊂ D, an 6= x0, lim

n→∞an = x0 on a l’existence de lim

n→∞f(an),

alors f admet pour limite un nombre ℓ lorsque x tend vers x0. En effet,

prenons deux suites (an)∞n=0 , an 6= x0, lim

n→∞an = x0 et (bn)

∞n=0 , bn 6= x0,

limn→∞

bn = x0 qui satisfont limn→∞

f(an) = ℓ1 et limn→∞

f(bn) = ℓ2.

En posant cn = an si n est pair, cn = bn si n est impair, on verifie que

limn→∞

cn = x0. De plus, si ℓ1 6= ℓ2 alors la suite (f(cn))∞n=0 est divergente,

ce qui est une contradiction avec l’existence de limn→∞

f(cn). Ainsi ℓ1 = ℓ2

et par le theoreme 3.1, f admet la limite ℓ1 = ℓ2 lorsque x tend vers x0.

34

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3.2. Critere de Cauchy.

Theoreme 3.2. Soit f : D ⊂ R → R une fonction definie au voisinage

de x0. Alors f admet une limite lorsque x tend vers x0 si et seulement si

∀ε > 0, ∃δ > 0 tel que ∀x1, x2 satisfaisant x1, x2 ∈ D, 0 < |x1 − x0| ≤ δ,

0 < |x2 − x0| ≤ δ on ait |f(x1)− f(x2)| ≤ ε.

Demonstration.

1) Supposons que limx→

6=x0f(x) = ℓ et soit ε > 0. Alors il existe δ > 0

tel que ∀x ∈ D, 0 < |x − x0| ≤ δ on a |f(x) − ℓ| ≤ ε/2. Ainsi si

x1, x2 ∈ D, 0 < |x1 − x0| ≤ δ, 0 < |x2 − x0| ≤ δ on a |f(x1)− f(x2)| ≤|f(x1)− ℓ|+ |f(x2)− ℓ| ≤ ε.

2) Inversement, on suppose que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tel que ∀x1, x2 ∈ D,

0 < |x1 − x0| ≤ δ, 0 < |x2 − x0| ≤ δ on ait |f(x1) − f(x2)| ≤ ε.

Soit (an)∞n=0 ⊂ D, an 6= x0 une suite telle que lim

n→∞an = x0. Alors il

existe N > 0 tel que n ≥ N implique |an − x0| ≤ δ. On obtient ainsi

|f(an)− f(am)| ≤ ǫ pour tout n,m ≥ N , ce qui prouve que (f(an))∞n=0

est une suite de Cauchy et donc elle est convergente. Ainsi, grace a la

remarque 3.5 et le theoreme 3.1 lui-meme, on peut conclure que f a

une limite lorsque x tend vers x0.

Remarque 3.6. Les notions de limite de fonction lorsque x tend vers un

point x0 au voisinage duquel f est definie se laissent etudier au moyen

des connaissances que nous avons sur les suites. Ainsi, on obtient les

proprietes suivantes :

Si f, g : D ⊂ R → R sont deux fonctions definies au voisinage de x0 et

si limx→

6=x0f(x) = ℓ1, lim

x→6=x0g(x) = ℓ2, on a si α, β ∈ R :

35

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1) limx→

6=x0(αf + βg)(x) = αℓ1 + βℓ2,

limx→

6=x0(fg)(x) = ℓ1ℓ2,

limx→

6=x0(fg)(x) = ℓ1

ℓ2si ℓ2 6= 0 et g(x) 6= 0, ∀x ∈ D − x0 ;

2) ℓ1 ≥ ℓ2 si f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ D (ce resultat reste vrai meme si

f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ D, 0 < |x− x0| < ε avec ε > 0 “petit”) ;

3) limx→

6=x0|f |(x) = |ℓ1| ;

4) ℓ1 = ℓ2 si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), ∀x ∈ D et h est telle que

limx→

6=x0h(x) = ℓ1 (resultat valable encore si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x),

∀x ∈ D, 0 < |x − x0| < ε avec ε > 0 “petit” et si on ne suppose

pas a priori que g a une limite si x tend vers x0).

3.3. Limite de fonctions composees.

Soit f : D ⊂ R → R une fonction et soit g : E ⊂ R → R une autre

fonction avec R(f) ⊂ E. On considere h : D → R definie par h = g f .On suppose que f a une limite lorsque x tend vers x0 au voisinage duquel

elle est definie et on pose y0 = limx→

6=x0f(x). On suppose encore que g a une

limite lorsque y tend vers y0 au voisinage duquel g est definie. On suppose

enfin qu’il existe ε > 0 tel que ∀x ∈ D, 0 < |x− x0| < ε, on a f(x) 6= y0.

Alors h a une limite lorsque x tend vers x0 et on a limx→

6=x0h(x) = lim

y→6=y0g(y).

Demonstration. Soit une suite (an)∞n=0 , an 6= x0 et lim

n→∞an = x0. Alors

on a limn→∞

f(an) = y0. Par hypothese, on a f(an) ∈ R(f) et f(an) 6= y0

pour n ≥ N (ou N est suffisamment grand). Comme g a une limite

lorsque y → y0, on obtient limn→∞

g(f(an)) = ℓ ou ℓ = limy→

6=y0g(y). Ainsi

limn→∞

h(an) = ℓ, ce qui prouve par le theoreme 3.1 que h a pour limite ℓ

lorsque x tend vers x0.

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L’hypothese qu’il existe ε > 0 tel que ∀x ∈ D, 0 < |x− x0| < ε im-

plique f(x) 6= y0 est importante et elle est utilisee dans la demonstration

ci-dessus lorsqu’on dit que f(an) 6= y0, ∀n ≥ N . En effet, si on prend

D = R, E = R, f(x) = 1, ∀x ∈ R, g(x) = 0 si x 6= 1 et g(1) = 1,

on a h(x) = g(f(x)) = g(1) = 1, ∀x ∈ R. Ainsi limx→

6=0f(x) = 1

(x0 = 0), y0 = 1, limy→6=1g(y) = 0 et lim

x→6=0h(x) = 1. On remarque ici que

limy→6=y0g(y) 6= lim

x→6=x0h(x) et que l’hypothese f(x) 6= y0 n’est pas satisfaite

dans un voisinage de x0.

3.4. Limite de fonctions au voisinage de l’infini.

Soit f : D ⊂ R → R une fonction. On suppose qu’il existe a ∈ R tel que

]a,∞[⊂ D (on dit que f est definie au voisinage de +∞). On dira alors

que f admet pour limite ℓ lorsque x tend vers +∞ si ∀ε > 0, ∃b > a tel

que |f(x)− ℓ| ≤ ε, ∀x ≥ b. On ecrit

limx→+∞

f(x) = ℓ.

(Definition analogue pour limx→−∞

f(x)).

3.5. Limite infinie d’une fonction.

Si f : D ⊂ R → R est definie au voisinage de x0, on definit

• limx→

6=x0f(x) = +∞ si ∀M > 0 il existe δ > 0 tel que f(x) ≥M pour tout

x ∈]x0 − δ, x0 + δ[, x 6= x0.

• limx→

6=x0f(x) = −∞ si ∀M < 0 il existe δ > 0 tel que f(x) ≤M pour tout

x ∈]x0 − δ, x0 + δ[, x 6= x0.

• Si ]a,∞[⊂ D, on definit limx→+∞

f(x) = +∞ si ∀M > 0 il existe b > a tel

que f(x) ≥M , ∀x ≥ b. On definit de meme maniere limx→+∞

f(x) = −∞,

limx→−∞

f(x) = +∞, . . . .

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Theoreme 3.3. Soit a ∈ R et soit f :]a,+∞[→ R une fonction crois-

sante. Alors si f est majoree sur ]a,+∞[, on a :

limx→+∞

f(x) = supx∈]a,∞[

f(x).

Demonstration. Si f est majoree, alors il existe un ℓ ∈ R tel que ℓ =

supx∈]a,∞[

f(x). Soit ε > 0 fixe. Par definition du supremum, il existe un

α ∈]a,∞[ tel que ℓ − ε ≤ f(α) ≤ ℓ. Comme f est supposee croissante,

alors f(y) ≥ f(α), ∀y ∈ [α,∞[. Mais puisque ℓ = supx∈]a,∞[

f(x), on a

ℓ − ε ≤ f(y) ≤ ℓ, ∀y ∈ [α,+∞[. Ainsi |f(y) − ℓ| ≤ ε, ∀y ≥ α, ce qui

prouve que limx→+∞

f(x) = ℓ.

Remarque 3.7. Clairement si f n’est pas majoree dans le theoreme 3.3,

on aura limx→+∞

f(x) = +∞. On peut etablir le meme type de resultat

avec f decroissante minoree ( limx→+∞

f(x) = infx∈]a,∞[

f(x)) ou en prenant

−∞ au lieu de +∞ (par exemple f croissante, minoree sur ]−∞, a[ alors

limx→−∞

f(x) = infx∈]−∞,a[

f(x)).

3.6. Limite a droite, limite a gauche.

Soit f : D ⊂ R → R une fonction et soit x0 ∈ R. On dit que f est definie

a droite de x0 s’il existe α > 0 tel que ]x0, x0 + α[⊂ D. Dans ce cas, on

dit que f admet une limite a droite de x0 s’il existe ℓ tel que ∀ε > 0,

∃δ > 0 (δ < α) qui satisfait l’implication

x ∈ ]x0, x0 + δ[ ⇒ |f(x)− ℓ| ≤ ε.

Dans ce cas, on pose limx→

>x0f(x) = ℓ ou lim

x→x+0

f(x) = ℓ.

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Remarque 3.8. limx→

>x0f(x) = ℓ⇔∀(an)∞n=0 ⊂ D, an > x0 avec limn→∞ an =

x0, on a limn→∞ f(an) = ℓ.

On dit aussi que f tend a droite de x0 vers +∞ (resp. −∞) si pour

tout M > 0 il existe δ > 0 tel que f(x) ≥ M , ∀x ∈ ]x0, x0 + δ] (resp.

f(x) ≤ −M , ∀x ∈ ]x0, x0 + δ]).

On a des definitions analogues pour f definie a gauche de x0 et les limites

a gauche.

Remarque 3.9. Soit f : D ⊂ R → R une fonction definie au voisinage

de x0 ∈ R. Alors

limx→

6=x0f(x) = ℓ⇔ lim

x→>x0f(x) = lim

x→<x0f(x) = ℓ.

(ℓ peut etre un nombre reel ou ±∞ !)

Theoreme 3.4. Soit une fonction f : D ⊂ R → R croissante et definie

au voisinage de x0. Alors f admet une limite a droite de x0 et une limite

a gauche de x0 et on a limx→

>x0f(x) ≥ lim

x→<x0f(x).

Demonstration. Puisque f est definie au voisinage de x0, elle est definie

a gauche de x0. Il existe donc δ > 0 tel que [x0 − δ, x0[⊂ D.

Montrons maintenant que f est bornee sur [x0 − δ, x0[. En effet, puisque

f est croissante, f est minoree par f(x0 − δ) sur l’intervalle [x0 − δ, x0[.

De plus, si x1 ∈ D, x1 > x0 on a f(x) ≤ f(x1), ∀x ∈ [x0 − δ, x0[ ce qui

montre que f est majoree sur [x0 − δ, x0[ et donc finalement bornee sur

cet intervalle.

Puisque f est bornee sur [x0−δ, x0[ et f est croissante, alors limx→

<x0f(x) =

sup f(x) : x ∈ [x0 − δ, x0[. En effet, puisque f est majoree, alors

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ℓ = sup f(x) : x ∈ [x0 − δ, x0[ existe, ce qui veut dire que ∀ε > 0, il

existe α ∈ [x0 − δ, x0[ tel que ℓ − ε ≤ f(α) ≤ ℓ. Comme la fonction est

croissante et bornee par ℓ sur [x0 − δ, x0[, on obtient ℓ − ε ≤ f(x) ≤ ℓ,

∀x ∈ [α, x0[. Ainsi, on a montre que ℓ = limx→

<x0f(x) et on a bien le resultat

limx→

<x0f(x) = sup f(x) : x ∈ [x0 − δ, x0[. De meme on montre que

limx→

>x0f(x) = inf f(x) : x ∈ ]x0, x0 + δ] et on aura bien lim

x→<x0f(x) ≤

limx→

>x0f(x) puisque f est croissante.

Remarque 3.10. Si f est decroissante, definie au voisinage de x0, on

aura limx→

>x0f(x) ≤ lim

x→<x0f(x).

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3.7. Fonctions continues.

Definition 3.8. Soit f : D ⊂ R → R une fonction definie au voisinage

de x0 ∈ D. Cette fonction sera dite continue au point x0 si limx→

6=x0f(x) =

f(x0). Ainsi :

• f est continue au point x0 si et seulement si ∀ε > 0 il existe δ > 0 tel

que |f(x)− f(x0)| ≤ ε pour tout x ∈ D satisfaisant |x− x0| ≤ δ.

• f est continue au point x0 si et seulement si ∀(an)∞n=0 ⊂ D telle que

limn→∞

an = x0, alors limn→∞

f(an) = f(x0).

• f est continue au point x0 si et seulement si ∀ε > 0, il existe δ > 0

satisfaisant |f(x1)− f(x2)| ≤ ε, ∀x1, x2 ∈]x0 − δ, x0 + δ[∩D.

Definition 3.9. f est discontinue en x0 si elle n’est pas continue en x0.

Ainsi :

• f est discontinue en x0 si et seulement s’il existe ε > 0 tel que pour

tout δ > 0 il existe x ∈]x0−δ, x0+δ[∩D satisfaisant |f(x)−f(x0)| > ε.

• f est discontinue en x0 si et seulement s’il existe une suite (an)∞n=0 ⊂ D

telle que limn→∞

an = x0 et limn→∞

f(an) 6= f(x0) ou limn→∞

f(an) n’existe pas.

Remarque 3.11. On verifie que la composee de deux fonctions continues

(g f) (f continue en x0, g continue en f(x0)) est continue. Par contre,

la composee de deux fonctions discontinues n’est pas necessairement dis-

continue.

Par exemple :

f(x) =

0 si x ≤ 0

1 si x > 0et g(x) =

1 si x ≤ 0

x si x > 0

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sont deux fonctions definies sur R et discontinues en x = 0. On verifie

que h(x) = (g f)(x) = 1, ∀x ∈ R, qui est continue.

Definition 3.10. Soit f : D ⊂ R → R une fonction definie a droite de

x0 ∈ D. On dit alors que f est continue a droite de x0 si limx→

>x0f(x) =

f(x0).

De meme on definit la continuite a gauche et on verifie facilement que f

est continue en x0 ∈ D (f definie au voisinage de x0) si et seulement si

elle est continue a droite et a gauche de x0.

Definition 3.11. Soit a < b et f :]a, b[→ R. On dit que f est continue

sur ]a, b[ si elle est continue en tout point x0 ∈]a, b[. On note dans ce cas

f ∈ C0(]a, b[).

Si f est definie sur ]a, b] alors on dit que f est continue sur ]a, b] (on note

f ∈ C0(]a, b])) si f est continue sur ]a, b[ et si limx→

<bf(x) = f(b). (Idem

pour C0([a, b[) ou C0([a, b]) ).

Remarque 3.12. On montre que f ∈ C0(]a, b]) si et seulement si ∀x ∈]a, b] et ∀(xn)∞n=0 ⊂]a, b] telle que limn→∞ xn = x alors limn→∞ f(xn) =

f(x).

Definition 3.12. (Continuite uniforme). Soit f : I ⊂ R → R une fonc-

tion definie sur l’intervalle I. On dit que f est uniformement continue

sur I si ∀ε > 0, il existe δ > 0 tel que ∀x, y ∈ I satisfaisant |x− y| ≤ δ,

on a |f(x)− f(y)| ≤ ε.

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Exemple 3.7. Soit 0 < α < 1 et I = [α, 1]. Soit f : I → R la fonction

definie par f(x) =1

x. Pour x, y ∈ I, on a

∣∣∣∣1

x− 1

y

∣∣∣∣ =|x− y|xy

≤ |x− y|α2

.

Ainsi, pour ǫ > 0, il suffit de prendre δ < ǫα2 pour avoir |f(x)−f(y)| ≤ ǫ

des que x, y ∈ I avec |x − y| < δ. La fonction f est donc uniformement

continue sur [α, 1].

Exemple 3.8. Soit α > 0 et I = [−α, α]. Soit f : I → R la fonction

definie par f(x) = x2 . Pour x, y ∈ I, on a f(x) − f(y) = x2 − y2 =

(x − y)(x + y) et donc |f(x) − f(y)| ≤ (|x| + |y|)|x − y| ≤ 2α|x − y|.Ainsi, pour ǫ > 0, il suffit de prendre δ <

ǫ

2αpour avoir |f(x)−f(y)| ≤ ǫ

des que x, y ∈ I avec |x − y| < δ. La fonction f est donc uniformement

continue sur [−α, α].

Remarque 3.13. f : I ⊂ R → R n’est pas uniformement continue sur

I s’il existe ε > 0 tel que pour tout δ > 0 il existe x, y ∈ I satisfaisant

|x− y| ≤ δ et |f(x)− f(y)| ≥ ε.

Ou encore (en prenant δ = 1, 12, . . .) f n’est pas uniformement conti-

nue sur I s’il existe ε > 0 et deux suites (xn)∞n=1, (yn)

∞n=1 ⊂ I tels que

limn→∞

(xn − yn) = 0 avec |f(xn)− f(yn)| ≥ ε, ∀n ∈ N∗.

Exemple 3.9. On pose I =]0, 1[ et f donne par f(x) = 1x, ∀x ∈ I.

Posons xn = 1net yn = 1

n+1, pour n = 2, 3, . . .. On a xn − yn = 1

n(n+1)

et donc limn→∞

(xn − yn) = 0 ainsi que |f(xn) − f(yn)| = 1, ∀n = 2, 3, . . ..

Ce qui prouve que f , bien que continue sur I, n’est pas uniformement

continue sur I.

Exemple 3.10. On pose I = R et f donne par f(x) = x2, ∀x ∈ I.

Posons xn = n et yn = n + 1n, pour n ∈ N∗. On a bien evidemment

limn→∞

(xn − yn) = 0 et |f(xn)− f(yn)| = 2 + 1n2 ≥ 2, pour n ∈ N∗. Ce qui

prouve que f , bien que continue sur I, n’est pas uniformement continue

sur I.

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Theoreme 3.5. Une fonction definie sur un intervalle ferme borne (i.e.

compact) qui est continue est necessairement uniformement continue.

Demonstration. Ab absurdo supposons que f ne soit pas uniformement

continue. Alors ∃ε > 0 tel que ∀n = 1, 2, . . . il existe xn, yn ∈ [a, b],

|xn− yn| ≤ 1net |f(xn)− f(yn)| > ε. Puisque la suite (xn)

∞n=0 est bornee,

il existe une sous-suite (xni)∞i=1 qui converge vers x. Comme [a, b] est

ferme, on obtient x ∈ [a, b]. On a |yni− x| ≤ |yni

− xni| + |xni

− x| ≤1ni

+ |x − xni| → 0 si i → ∞. Ainsi lim

i→∞yni

= x. Puisque f est continue

sur [a, b], alors f est continue en x et on a limi→∞

|f(xni) − f(yni

)| = 0, ce

qui contredit |f(xn)− f(yn)| > ε pour tout n.

Theoreme 3.6. Une fonction continue sur un intervalle ferme, borne

prend son maximum et son minimum (on dit aussi atteint son maximum

et son minimum).

Demonstration. Supposons f : [a, b] → R continue et montrons tout

d’abord que f est bornee. En effet, ab absurdo, si f n’etait pas bornee,

alors ∀n > 0 il existerait xn ∈ [a, b] tel que |f(xn)| ≥ n. Puisqu’on peut

extraire une sous-suite (xni)∞i=1 de (xn)

∞n=0 qui converge vers x ∈ [a, b]

(theoreme de Bolzano-Weierstrass et I compact), on obtient :

|f(x)| ≥ | f(xni)︸ ︷︷ ︸

≥ni

| − | f(x)− f(xni)︸ ︷︷ ︸

→0i→∞

(continuite)

|,

ce qui est une contradiction.

Soit maintenant M = supx∈[a,b]

f(x). Il existe une suite (zn)∞n=0 ⊂ [a, b] telle

que limn→∞

f(zn) =M . A nouveau, on peut supposer que limn→∞

zn = z ∈ [a, b]

et par continuite f(z) =M , ce qui prouve que M = supx∈[a,b]

f(x) = f(z) =

maxx∈[a,b]

f(x). Idem pour le minimum.

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Theoreme 3.7. (Theoreme de la valeur intermediaire) .

Soit a < b deux nombres reels et f : [a, b] → R une fonction continue.

Alors R(f) = f([a, b]) = [ minx∈[a,b]

f(x), maxx∈[a,b]

f(x)]. En d’autres termes, f

prend toutes les valeurs entre minx∈[a,b]

f(x) et maxx∈[a,b]

f(x) lorsque x parcourt

l’intervalle ferme [a, b].

Demonstration. Soit x1 ∈ [a, b] tel que f(x1) = minx∈[a,b]

f(x) et x2 ∈ [a, b]

tel que f(x2) = maxx∈[a,b]

f(x) (x1, x2 existent ; cf. theoreme 3.6).

Si x1 = x2, la fonction f est constante sur [a, b] et le theoreme 3.7 est

demontre. Supposons que x1 < x2 et soit z ∈ [f(x1), f(x2)]. Il suffit alors

de montrer que g : [x1, x2] → R definie par g(x) = f(x) − z possede au

moins un zero dans [x1, x2]. On a par construction de g que g(x1) ≤ 0 et

g(x2) ≥ 0.

Supposons par l’absurde que g n’a pas de zero dans [x1, x2]. Alors g(x1)

est negatif et g(x2) est positif ce qui implique que g(x1)g(x2) < 0. Puisque

f est uniformement continue (c.f. theoreme 3.6), alors g est aussi uni-

formement continue sur [x1, x2]. Ainsi, si N > 0 est un entier positif,

il existe δ > 0 tel que |g(x) − g(y)| ≤ 1N

pour tout x, y ∈ [x1, x2] avec

|x − y| ≤ δ. Soit maintenant n ∈ N∗ tel que |x1−x2|n

≤ δ et posons

anj = x1 + j(x2−x1n

), j = 0, 1, 2, . . . , n. On a |anj+1 − anj | = x2−x1

n≤ δ

ce qui implique que |g(anj+1) − g(anj )| ≤ 1N, j = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Si

g(anj+1) avait le meme signe que g(anj ) pour tout j = 0, 1, 2, . . . , n − 1,

alors g(x2) aurait le meme signe que g(x1) ce qui serait une contradic-

tion avec g(x1)g(x2) < 0. Ainsi, il existe j ∈ 0, 1, . . . , n − 1 tel que

g(anj ) < 0 et g(anj+1) > 0. On obtient finalement |g(anj )| = −g(anj ) ≤−g(anj ) + g(anj+1) = |g(anj+1)− g(anj )| ≤ 1

Net donc 1

|g(anj )|≥ N . Puisque g

ne s’annule pas sur [x1, x2], la fonction 1gest une fonction uniformement

continue sur [x1, x2]. Par ce qui precede, on a maxx∈[x1,x2]

1

g(x)≥ N pour tout

N > 0 et donc 1gn’est pas bornee ce qui est absurde ! Cette contradiction

montre que g doit s’annuler en un point de [x1, x2].

On traite de la meme maniere le cas x1 > x2.

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Theoreme 3.8. Soit I un intervalle et soit f : I → R une fonction

injective et continue sur I. Alors f est strictement monotone sur I.

Demonstration. Supposons que I est l’intervalle compact I = [a, b] et

supposons que f(a) < f(b) (le cas f(a) > f(b) se traite de la meme

maniere !). On va montrer que f est strictement croissante.

Ab absurdo, si ce n’est pas vrai, alors il existe x1, x2 ∈ I, x1 < x2 tels

que f(x1) ≥ f(x2). L’injectivite de f implique que f(x1) < f(b) ou

f(x1) > f(b). De plus f(x1) > f(x2).

• Si f(x1) < f(b) alors f(x2) < f(x1) < f(b) et le theoreme 3.7 implique

qu’il existe y ∈ [x2, b] tel que f(y) = f(x1), ce qui est contradictoire

avec l’hypothese d’injectivite de f .

• Si f(x1) > f(b) alors on a f(a) < f(b) < f(x1) et donc il existe

z ∈ [a, x1] tel que f(z) = f(b), ce qui est encore une fois contradic-

toire. On a ainsi demontre que f est strictement croissante.

Remarquons que si I est un intervalle quelconque, il suffit de prendre

a < b, a, b ∈ I et de faire le raisonnement ci-dessus pour montrer la

stricte monotonie de f .

Corollaire du theoreme 3.8. Toute fonction f : I → R injective et continue

sur I admet une fonction reciproque f−1 : R(f) → I qui est continue et

strictement monotone.

Demonstration. Supposons I = intervalle ouvert et f injective et conti-

nue. D’apres le theoreme 3.8, elle est strictement monotone et de plus

f−1 : R(f) → I existe. Il est facile de voir que R(f) est un intervalle

ouvert (cf. exercice) et que f−1 est continue (cf. exercice).

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L’etude des fonctions sin, cos, tg et les fonctions reciproques Arcsin, Arccos,

Arctg est supposee connue. Par exemple la fonction sin : [−π2, π2] → R est

injective et continue sur [−π2, π2]. Elle admet donc une fonction reciproque

Arcsin : [−1, 1] → [−π2, π2].

3.8. Fonctions lipschitziennes.

Soit f : D → R une fonction. Elle est dite lipschitzienne de rapport k

(ou de constante k) si ∀x, y ∈ D on a

|f(x)− f(y)| ≤ k|x− y|.

Remarque 3.14. SiD = I = intervalle et si f : D → R est lipschitzienne

de rapport k, alors f est uniformement continue.

• Si k < 1, on dit que f est strictement contractante sur D.

• Si x ∈ D est tel que x = f(x), on dit que x est un point fixe de f .

3.9. Theoremes de points fixes.

Theoreme 3.9. (Theoreme de Brouwer (1881-1966) dans R).

Soit a < b et f : [a, b] → R une fonction continue. Si f([a, b]) ⊂ [a, b],

alors f a au moins un point fixe dans [a, b].

Demonstration. Considerons la fonction g : [a, b] → R definie par g(x) =

x− f(x). Bien evidemment g est continue sur [a, b].

De plus g(a)g(b) = (a− f(a)︸ ︷︷ ︸≤0

)(b− f(b)︸ ︷︷ ︸≥0

) ≤ 0. Ainsi, par le theoreme 3.7

de la valeur intermediaire, il existe c tel que g(c) = 0. D’ou c est un point

fixe de f .

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Theoreme 3.10. (Theoreme du point fixe de Banach (1892-1945)).

Soit f : R → R une fonction strictement contractante. Alors f admet un

et un seul point fixe dans R.

Demonstration. Soit a ∈ R et construisons la suite x0 = a, xn+1 = f(xn),

∀n ∈ N. Puisque f est strictement contractante, il existe k < 1 tel que

|f(x)− f(y)| ≤ k|x− y|, ∀x, y ∈ R.

On obtient |xn+1−xn| = |f(xn)− f(xn−1)| ≤ k|xn−xn−1| et en repetant

n fois cette inegalite : |xn+1 − xn| ≤ kn|x1 − x0| = kn|f(a)− a|.

Ainsi

|xn+m − xn| ≤ |xn+m − xn+m−1|+ |xn+m−1 − xn+m−2|+ . . .+ |xn+1 − xn|

≤ (kn+m−1 + kn+m−2 + . . .+ kn)|f(a)− a|

= kn(1 + k + k2 + . . .+ km−1)|f(a)− a|

= kn1− km

1− k|f(a)− a| ≤ kn

1− k|f(a)− a|.

Il resulte de cette inegalite que (xn)∞n=0 est une suite de Cauchy. Elle

est donc convergente. Soit c = limn→∞

xn. Par continuite de f , on a c =

limn→∞

f(xn−1) = f(c) et donc c est un point fixe de f .

Maintenant si d est un autre point fixe de f , on obtient si c 6= d :

|c− d| = |f(c)− f(d)| ≤ k|c− d| < |c− d|,

ce qui est une contradiction. Donc c = d.

Remarque 3.15. Si f : R → R est telle que |f(x) − f(y)| ≤ |x − y|,∀x, y ∈ R, alors f n’a pas necessairement un point fixe comme le montre

la fonction f(x) = 1 + x.

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3.10. Suites de fonctions.

Soit I un intervalle et soit C0(I) l’ensemble des fonctions continues sur

I, i.e. si I = [a, b[ par exemple et si f ∈ C0(I), alors f est continue sur

]a, b[ et f est continue a droite en a.

Definition 3.13. Si fn ∈ C0(I), n = 0, 1, 2, . . . definit une suite de fonc-

tions continues sur I, on dit que la suite (fn)∞n=0 converge ponctuellement

vers f : I → R (ou tout simplement converge vers f), et on note f =

limn→∞

fn, si ∀x ∈ I on a limn→∞

fn(x) = f(x).

Exemple 3.11. I = [0, 1]

fn(x) =

2(n + 2)x si x ≤ 12(n+2)

;

2− 2(n+ 2)x si x ∈ [ 12(n+2)

, 1n+2

];

0 si x ≥ 1n+2

.

On montre facilement que limn→∞

fn(x) = 0, ∀x ∈ I.

Exemple 3.12. I = [0, 1]

fn(x) =

0 si x ≤ 12;

(n+ 2)(x− 12) si x ∈ [1

2, 12+ 1

n+2];

1 si x ≥ 12+ 1

n+2.

On montre facilement que limn→∞

fn(x) = f(x) ou f(x) = 0 si x ∈ [0, 12] et

f(x) = 1 si x ∈ ]12, 1].

Remarque 3.16. L’exemple 3.11 montre que la suite (fn)∞n=0 converge

vers la fonction identiquement nulle alors qu’il existe un point xn ∈ I tel

que fn(xn) = 1 (i.e. xn = 12(n+2)

), ∀n = 0, 1, 2, . . . . L’exemple 3.12 montre

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que la suite (fn)∞n=0 de fonctions continues converge vers une fonction qui

n’est pas continue sur I.

Pour eviter les defauts des exemples 3.11 et 3.12, on introduit la definition

suivante :

Definition 3.14. On dit que la suite de fonctions (fn)∞n=0 ⊂ C0(I)

converge uniformement vers f : I → R si ∀ε > 0 il existe N tel que

∀n ≥ N on ait supx∈I

|f(x)− fn(x)| ≤ ε. On note dans ce cas : limn→∞

fn = f

uniformement.

Remarque 3.17. Si (fn)∞n=0 converge ponctuellement vers f , on a bien

evidemment : ∀ε > 0, ∀x ∈ I, il existe N tel que ∀n ≥ N on ait

|f(x)− fn(x)| ≤ ε. Ici N depend a priori de ε et x ∈ I.

Si (fn)∞n=0 converge uniformement vers f , on a bien evidemment : ∀ε > 0,

il existe N tel que ∀n ≥ N et ∀x ∈ I on ait |f(x)− fn(x)| ≤ ε. Ici N ne

depend pas de x ∈ I (mais depend de ε !).

La convergence uniforme implique la convergence ponctuelle.

Theoreme 3.11. Soit (fn)∞n=0 ⊂ C0(I) une suite de fonctions continues

qui converge uniformement vers f . Alors f ∈ C0(I) (i.e. f est aussi

continue sur I).

Demonstration. Soit ε > 0 et soit un entier n tel que |fn(x)− f(x)| ≤ ε3,

∀x ∈ I (ici n est fixe et il existe car limn→∞

fn = f uniformement).

Soit x0 ∈ I. Montrons que f est continue en x0. Puisque fn est continue

sur I, il existe δ > 0 tel que |fn(x0) − fn(x)| ≤ ε3, ∀x ∈ I, |x − x0| ≤ δ.

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On obtient ainsi pour |x− x0| ≤ δ, x ∈ I :

|f(x0)− f(x)| ≤ | f(x0)− fn(x0)︸ ︷︷ ︸≤ ε

3

|+ | fn(x0)− fn(x)︸ ︷︷ ︸≤ ε

3

|

+ | fn(x)− f(x)︸ ︷︷ ︸≤ ε

3

| ≤ ε,

ce qui prouve que f est continue en x0. Comme x0 ∈ I est quelconque, f

est continue sur I.

Remarque 3.18. Dans l’exemple 3.11, on n’a pas convergence uniforme

car supx∈I

|fn(x)− f(x)| = supx∈I

|fn(x)| = 1, ∀n ∈ N.

Dans l’exemple 3.12, on n’a pas convergence uniforme car la limite f

n’est pas continue.

Theoreme 3.12. (Permutation des limites).

Soit (fn)∞n=0 ⊂ C0(I) qui converge uniformement vers f : I → R. Soit

x0 ∈ I. On a limn→∞

( limx→x0

fn(x)) = limx→x0

( limn→∞

fn(x)).

Demonstration. Puisque (fn)∞n=0 converge uniformement vers f , on a

limx→x0

f(x) = limx→x0

limn→∞

fn(x).

De plus, comme f est continue par le theoreme 3.11, on obtient

f(x0) = limx→x0

f(x) = limx→x0

limn→∞

fn(x).

D’autre part, la convergence de fn(x0) vers f(x0) lorsque n tend vers

l’infini et la continuite de fn implique

f(x0) = limn→∞

fn(x0) = limn→∞

limx→x0

fn(x).

Ainsi on a bien limx→x0

limn→∞

fn(x) = limn→∞

limx→x0

fn(x).

51

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Remarque 3.19. Si fn n’est pas continue, mais si on suppose que fn a

une limite en x0 notee hn(x0) et si (hn(x0))∞n=0 est convergente, alors si

limn→∞

fn = f uniformement, on a encore

limn→∞

hn(x0) = limx→x0

f(x) (exercice).

Theoreme 3.13. (Theoreme de Dini (1845-1918) (Ulisse Dini de Pise)).

Soit a < b et soit (fn)∞n=0 une suite de fonctions dans C0([a, b]) . On

suppose que la suite est croissante (i.e. fn+1(x) ≥ fn(x), ∀x ∈ [a, b],

∀n ≥ 0) et que limn→∞

fn = f ponctuellement. Alors si f ∈ C0([a, b]) , on a

limn→∞

fn = f uniformement.

Demonstration. Ab absurdo, supposons que limn→∞

fn = f ne soit pas uni-

forme. Alors il existe une suite (xni)∞i=0 ⊂ [a, b] et ε > 0 telle que

|f(xni) − fni

(xni)| ≥ ε, avec ni+1 > ni, ∀i = 0, 1, 2, . . . . Comme la

suite (xni)∞i=0 est bornee, on peut en extraire une sous-suite convergente

et ainsi renumeroter les suites pour obtenir une suite (xn)∞n=0 telle que

limn→∞

xn = c et |f(xn)− fn(xn)| ≥ ε, ∀n ∈ N.

Puisque limn→∞

fn = f , il existe N tel que

|fN(c)− f(c)| ≤ ε

6.

Puisque f et fN sont continues, il existe M > N tel que ∀n ≥M :

|f(c)− f(xn)| ≤ε

6et |fN(c)− fN(xn)| ≤

ε

6.

Puisque la suite (fn)∞n=0 est croissante, on a lorsque n ≥M :

ε ≤ f(xn)− fn(xn) ≤ f(xn)− fN(xn)

≤ |f(xn)− f(c)|+ |f(c)− fN (c)|+ |fN(c)− fN(xn)|

≤ ε

6+ε

6+ε

6=ε

2,

ce qui est contradictoire.

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Remarque 3.20. On obtient la meme conclusion si on suppose (fn)∞n=0

decroissante au lieu de croissante dans le theoreme precedent.

Exemple 3.13. Les polynomes pn+1(x) = pn(x) +12(x − p2n(x)) avec

p0(x) = 0 sur l’intervalle [0, 1] forment une suite croissante qui converge

uniformement vers f(x) =√x sur [0, 1] (exercice).

Remarque 3.21. Les notions de convergence ponctuelle et de conver-

gence uniforme peuvent s’appliquer aussi a une suite de fonctions non

necessairement continues.

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3.11. L’espace C0([a, b]) .

Soit I = [a, b] un intervalle ferme avec a < b. On verifie facilement que

C0(I) est un espace vectoriel. Si f ∈ C0(I), on pose ‖f‖ = maxx∈I

|f(x)| eton verifie facilement les proprietes suivantes :

(i) ‖f‖ ≥ 0, ∀f ∈ C0(I) et ‖f‖ = 0 implique f(x) = 0, ∀x ∈ I ;

(ii) ‖αf‖ = |α| ‖f‖, ∀α ∈ R, ∀f ∈ C0(I) ;

(iii) ‖f + g‖ ≤ ‖f‖+ ‖g‖, ∀f, g ∈ C0(I).

Ainsi ‖·‖ : C0(I) → R+ est une norme sur C0(I). On dit que C0(I) muni

de ‖ · ‖ est un espace vectoriel norme.

Definition 3.15. Soit (fn)∞n=0 ⊂ C0(I) une suite de fonctions continues

sur I. On dit que la suite est :

• de Cauchy pour ‖ · ‖ si ∀ε > 0 il existe N0 tel que ∀n,m ≥ N0 on a

‖fn − fm‖ ≤ ε ;

• uniformement equicontinue si ∀ε > 0 ∃δ > 0 tel que ∀n ≥ 0, ∀x, y ∈ I

avec |x−y| ≤ δ, on a |fn(x)−fn(y)| ≤ ε. (Remarquez que δ ne depend

ni de n, ni de x, y).

Theoreme 3.14. Soit (fn)∞n=0 ⊂ C0(I) une suite de Cauchy pour la

norme ‖ · ‖. Alors la suite (fn)∞n=0 est uniformement equicontinue et elle

converge uniformement vers une fonction f ∈ C0(I).

Demonstration. Soit (fn)∞n=0 ⊂ C0(I) une suite de Cauchy pour la norme

‖ · ‖. Si ε > 0 est donne, il existe N > 0 tel que si m,n ≥ N on ait :

maxx∈I

|fn(x)− fm(x)| ≤ǫ

2.

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Ainsi, pour x ∈ I fixe, (fn(x))∞n=0 est une suite numerique de Cauchy,

donc convergente. On definit

f(x) = limm→∞

fm(x).

Il existe Nx ≥ N (Nx depend de x ∈ I) tel que

|f(x)− fm(x)| ≤ǫ

2si m ≥ Nx.

On obtient ainsi pour n ≥ N :

|f(x)− fn(x)| ≤ |f(x)− fNx(x)|+ |fNx(x)− fn(x)| ≤ ǫ.

On a donc montre, puisque N ne depend pas de x, que pour tout ǫ > 0,

il existe N tel que ∀x ∈ I et ∀n ≥ N , on a :

|f(x)− fn(x)| ≤ ǫ.

Ainsi supx∈I

|f(x) − fn(x)| ≤ ǫ si n ≥ N et donc la suite (fn)∞n=0 converge

uniformement vers f : I → R.

Le theoreme 3.11 implique que la fonction f est continue sur I. Comme

I est un intervalle compact, f est uniformement continue (voir theoreme

3.5).

Montrons encore que la suite (fn)∞n=0 est uniformement equicontinue.

Soit ǫ > 0 donne. Il existe δ > 0 tel que ∀x, y ∈ I, |x− y| ≤ δ, on a :

|f(x)− f(y)| ≤ ǫ

3.

Soit M > 0 tel que ∀n ≥M, ∀x ∈ I on ait :

|f(x)− fn(x)| ≤ǫ

3.

On aura ainsi, pour n ≥M et pour x, y ∈ I, |x− y| ≤ δ :

|fn(x)− fn(y)| ≤ |fn(x)− f(x)|+ |f(x)− f(y)|+ |f(y)− fn(y)| ≤ ǫ.

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Ainsi donc, pour n ≥ M et x, y ∈ I, |x− y| ≤ δ on a

|fn(x)− fn(y)| ≤ ǫ.

Si maintenant on prend k = 0, 1, 2, . . . ,M − 1, il existe δk > 0 tel que si

x, y ∈ I, |x− y| ≤ δk on ait, puisque fk est uniformement continue :

|fk(x)− fk(y)| ≤ ǫ.

Il suffit de definir δ = minδ0, δ1, . . . , δM−1, δ pour obtenir

|fn(x)− fn(y)| ≤ ǫ, ∀x, y ∈ I, |x− y| ≤ δ, ∀n ∈ N,

ce qui prouve l’uniforme equicontinuite de la suite (fn)∞n=0 .

Remarque 3.22. Un espace vectoriel X muni d’une norme ‖ · ‖ est dit

”espace de Banach”, si toute suite de Cauchy d’elements de X converge

vers un element de X (on dit que l’espace est complet). Ainsi, C0(I) muni

de la norme du maximum ‖ · ‖ est un espace de Banach.

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4. Calcul differentiel

4.1. Generalites.

Definition 4.1. Soit r : D ⊂ R → R une fonction definie au voisinage

de x0 ∈ R.

On dit que r est un grand O de |x − x0|α au voisinage de x0 lorsque x

tend vers x0 (on note r(x) = O(|x − x0|α) si x → x0), s’il existe des

constantes C et δ positives telles que x ∈ D, 0 < |x − x0| ≤ δ implique

|r(x)| ≤ C|x− x0|α (ici α ∈ R ; C depend de α mais non de x !).

On dit que r est un petit o de |x − x0|α au voisinage de x0 lorsque

x tend vers x0, α ≥ 0, (on note r(x) = o(|x − x0|α) si x → x0) si

limx→

6=x0

r(x)

|x− x0|α= 0.

Remarque 4.1.

1) Les symboles O et o peuvent etre facilement adaptes lorsque x→ ±∞.

2) De facon evidente, si r(x) = o(|x − x0|α) si x → x0, alors r(x) =

O(|x− x0|α) si x → x0, α ≥ 0.

Definition 4.2. Soit f : D ⊂ R → R definie au voisinage de x0 ∈ D.

On dit que f est derivable au point x0 si limx→

6=x0

f(x)− f(x0)

x− x0existe. La

quantite f ′(x0) = limx→

6=x0

f(x)− f(x0)

x− x0est alors appelee derivee de f en x0.

Remarque 4.2. Si f est derivable en x0 et si on pose pour x ∈ D :

r(x) = f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0),

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on obtient pour x au voisinage de x0, x 6= x0 :

r(x)

(x− x0)=f(x)− f(x0)

(x− x0)− f ′(x0).

Ainsi, par definition de f ′(x0), on obtient limx→

6=x0

r(x)

x− x0= 0. On a donc, si

f est derivable en x0 :

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + r(x), ou r(x) = o(|x− x0|),

si x→ x0. Cette relation montre que f doit necessairement etre continue

en x0. Si f verifie cette relation, on dit aussi que f est differentiable en

x0. Ici, les notions de differentiabilite et de derivabilite sont les memes.

4.2. Interpretation geometrique de la derivee.

En considerant le graphe G(f) de f , i.e. G(f) = (x, f(x)) : x ∈ D, onconstate que f ′(x0) est la tangente de l’angle que fait la droite d, tangente

a G(f) au point (x0, f(x0)), avec l’axe Ox.

Remarque 4.3. Si limx→

6=x0

f(x)− f(x0)

x− x0= ±∞, alors on obtient une tan-

gente d verticale au graphe (x, f(x)) : x ∈ D en x0.

4.3. Proprietes de la derivabilite.

• Soit f, g : D ⊂ R → R derivables en x0. Si α, β ∈ R, on a

a) (αf + βg)′(x0) = αf ′(x0) + βg′(x0) (linearite de la derivabilite).

b) (fg)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0) (facile a verifier).

58

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c) Si g(x0) 6= 0, alors

(1

g

)′(x0) = − g′(x0)

g2(x0).

Demonstration : g est continue en x0 et puisque g(x0) 6= 0, il existe

δ > 0 tel que g(x) 6= 0, ∀x ∈ ]x0 − δ, x0 + δ[. Ainsi :

1g(x)

− 1g(x0)

x− x0= −

g(x)−g(x0)x−x0

g(x)g(x0)→x→x0

− g′(x0)

(g(x0))2.

d) Si g(x0) 6= 0, alors

(f

g

)′(x0) =

f ′(x0)g(x0)− f(x0)g′(x0)

g(x0)2

(consequence de b) et c)).

• Si f : D → R est derivable en x0 ∈ D et si g : E → R est derivable en

f(x0), ou on a suppose E ⊃ R(f), alors la fonction g f : D → R est

derivable en x0 et on a

(g f)′(x0) = g′(f(x0))f′(x0).

(exercice)

• Si D est un intervalle ouvert, si f : D → R est injective et continue sur

D, alors f admet une fonction reciproque continue f−1 : R(f) → D.

Si f est derivable en x0 et f ′(x0) 6= 0, alors f−1 est derivable en f(x0)

et (f−1)′(f(x0)) =1

f ′(x0).

Demonstration : On montre que R(f) est ouvert (cf. exercices) ; on

pose g(x) = f−1(x) pour obtenir g(f(x)) = x dans un voisinage de x0 ;

par derivation, on a g′(f(x0))f′(x0) = 1.

4.4. Quelques exemples.

1) f(x) = xn definie pour x ∈ R. En posant ℓ(x) = x, k(x) = xn−1,

on a f(x) = ℓ(x) · k(x) et ensuite f ′(x) = ℓ′(x) · k(x) + ℓ(x)k′(x) =

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xn−1 + xk′(x). Si n = 1, on obtient f ′(x) = 1. Si n = 2, on obtient

f ′(x) = x + x = 2x. Si n = 3, on obtient f ′(x) = x2 + 2x2 = 3x2, . . .,

etc.

On obtient donc si f(x) = xn avec n ≥ 1, f ′(x) = nxn−1.

2) f(x) = x−n = 1xn, x ∈ D = R − 0, n ≥ 1. On a f ′(x) = −nxn−1

x2n=

−n 1xn+1 = −nx−n−1. Ainsi, dans tous les cas, si p ∈ Z, on a lorsque

f(x) = xp, f ′(x) = pxp−1.

3) f(x) = sin(x). Les formules trigonometriques impliquent

f(x)− f(y) = sin(x)− sin(y) = 2 cos

(x+ y

2

)sin

(x− y

2

).

On a limε→6=0

sin(ε)ε

= 1 et ainsi limy→x

f(x)−f(y)x−y = cos(x). La derivee de la fonc-

tion sin est la fonction cos. La derivee de la fonction cos est la fonction

− sin.

4) f(x) = tg(x) = sin xcos x

; f ′(x) = cos2 x+sin2 xcos2 x

= 1cos2 x

si x 6= π2+kπ, k ∈ Z.

5) f(x) = Arctg (x) pour x ∈] − π2,+π

2[. Etant donne que Arctg est la

fonction reciproque de tg, on verifie que la relation suivante est vraie :

f ′(x) = cos2(α) avec α = Arctg(x). Ainsi on a tg(α) = x et donc

cos(α) = 1√1+x2

. Ainsi f ′(x) = 11+x2

.

4.5. Les espaces Cm(D).

Definition 4.3. Soit D un ouvert de R et soit f : D ⊂ R → R . Si

f est derivable en tout point de D, on definit f ′ : D → R par f ′(x) =

limy→x

6=

f(y)− f(x)

y − x, ∀x ∈ D.

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• Si f ′ : D → R est continue, on dit que f est continument derivable

(ou continument differentiable) sur D. On note alors f ∈ C1(D). Si

f ′ : D → R est elle-meme derivable sur D, on note f ′′ : D → R la

derivee de f ′.

• Si f ′′ : D → R est continue, on dit que f est deux fois continument

derivable (ou deux fois continument differentiable) surD. On note alors

f ∈ C2(D).

• Plus generalement, on definit de la meme maniere des fonctions f n

fois continument derivable (ou differentiable) sur D et on note dans ce

cas f ∈ Cn(D), n ∈ N.

• Si f est n fois continument derivable sur D quel que soit n ∈ N, on

dit que f est indefiniment continument derivable sur D et on note

f ∈ C∞(D).

On a des inclusions du type :

C∞(D) ⊂ . . . ⊂ Cn+1(D) ⊂ Cn(D) ⊂ . . . ⊂ C0(D).

Remarque 4.4. La notion de derivee est a priori definie en un point

x0 ∈ D et la fonction doit etre definie au voisinage de ce point x0. Ainsi

f ′ : D ⊂ R → R est definie a priori si D est un intervalle ouvert.

Supposons maintenant que f : [a, b] → R est une fonction definie sur un

intervalle ferme. Si limx→

<b

f(x)−f(b)x−b existe, alors on dit que cette limite est

la derivee a gauche de f en b et on note f ′g(b). On definit de meme la

derivee a droite de f en a notee f ′d(a). Si la fonction g : [a, b] → R definie

par g(x) = f ′(x) si x ∈]a, b[, g(a) = f ′d(a), g(b) = f ′

g(b) est continue sur

[a, b], on dira que f admet une derivee continue sur [a, b] et on continuera

a noter g(x) = f ′(x), x ∈ [a, b]. On dira ainsi que f ∈ C1([a, b]).

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Remarque 4.5. Il peut arriver que f : D → R ne soit pas derivable

en x0 ∈ D mais par contre qu’il existe des derivees a droite et a gauche

de x0, i.e. f′d(x0) = lim

x→>x0

f(x)−f(x0)x−x0 et f ′

g(x0) = limx→

<x0

f(x)−f(x0)x−x0 existent. Par

exemple :

1) f(x) = |x|, x ∈ D = R n’a pas de derivee en x0 = 0 mais par contre

f ′g(x0) = −1, f ′

d(x0) = +1.

2) f(x) = x si x ≥ 0 et f(x) = 1xsi x < 0 n’a pas de derivee a gauche en

zero mais f ′d(0) = 1.

On verifie facilement que, si D ⊂ R est ouvert, alors f : D → R est

derivable en x0 ∈ D si et seulement si f ′d(x0) et f

′g(x0) existent et f

′d(x0) =

f ′g(x0).

Exemple 4.1. f : [0, 1] → R definie par f(x) = x2 sin( 1x) si x ∈]0, 1],

f(0) = 0. On verifie :

1) f est continue sur [0, 1] ;

2) f ′(x) = 2x sin 1x− cos 1

x, si x ∈]0, 1[ ;

3) f ′d(0) = lim

ε→0>

f(ε)− f(0)

ε= lim

ε→0>

ε2 sin 1/ε

ε= 0, f ′

g(1) = 2 sin 1− cos 1.

On a donc f ′(x) = 2x sin 1x−cos 1

x, si x ∈]0, 1] et f ′

d(0) = 0. Ainsi f ′ n’est

pas continue sur [0, 1] et donc f /∈ C1([0, 1]).

Exemple 4.2. f : [0, 1] → R definie par f(x) = x3 sin 1xsi x ∈]0, 1],

f(0) = 0. On verifie :

1) f est continue sur [0, 1] ;

2) f ′(x) = 3x2 sin 1x− x cos 1

x, si x ∈]0, 1[ ;

3) f ′d(0) = 0 = lim

x→>0f ′(x), f ′

g(1) = limx→

<1f ′(x).

Ainsi f ∈ C1([0, 1]) (mais f /∈ C2([0, 1])).

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4.6. Theoreme de Rolle, theoreme des accroissements finis.

Theoreme 4.1. Soit D ⊂ R un ouvert non vide et soit f : D ⊂ R → R

une fonction derivable en x0 ∈ D. Si f admet un extremum local en x0,

alors f ′(x0) = 0.

Demonstration. Supposons que f ait un maximum local en x0, i.e. ∃ε > 0

tel que f(x0) ≥ f(x), ∀x ∈]x0 − ε, x0 + ε[⊂ D. On a alors :

f ′d(x0) = lim

x→x0x>x0

f(x)− f(x0)

x− x0≤ 0 et f ′

g(x0) = limx→x0x<x0

f(x)− f(x0)

x− x0≥ 0.

Puisque f ′(x0) = f ′d(x0) = f ′

g(x0), on a necessairement f ′(x0) = 0.

Si f ′(x0) = 0, on dit que x0 est un point stationnaire de f . Les points

stationnaires de f ne sont pas necessairement des extrema locaux !

Theoreme 4.2. (Theoreme de Rolle (Michel Rolle (1652-1719)) ) Soit

a < b, f : [a, b] → R une fonction continue telle que f(a) = f(b). Si f est

derivable sur ]a, b[, alors il existe c ∈]a, b[ tel que f ′(c) = 0.

Demonstration. Si f(x) = f(a) = f(b), ∀x ∈ [a, b], le theoreme est

evident. Supposons donc que f ne soit pas constante et posons :

fM = maxx∈[a,b]

f(x), fm = minx∈[a,b]

f(x).

On a necessairement dans ce cas-la fm 6= fM et au moins une des deux

valeurs est differente de f(a) = f(b). Si c’est fM , alors il existe c ∈]a, b[tel que fM = f(c) = max

x∈[a,b]f(x) et donc f admet un maximum local c.

Par le theoreme 4.1, on obtient f ′(c) = 0. Meme raisonnement si c’est

fm qui est different de f(a) = f(b).

Remarque 4.6. On peut etendre ce theoreme au cas ou f :]a, b[→ R

est derivable sur ]a, b[ (donc continue sur ]a, b[ mais non necessairement

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avec extension continue sur [a, b]) et limx→ax>a

f(x) = limx→bx<b

f(x) = +∞ (resp.

−∞). Il existe encore c ∈]a, b[ tel que f ′(c) = 0.

Theoreme 4.3. (Theoreme des accroissements finis ).

Soit a < b, f : [a, b] → R continue sur [a, b], derivable sur ]a, b[. Alors il

existe c ∈]a, b[ tel que f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).

Demonstration. On considere g : [a, b] → R definie par

g(x) = f(x)− f(a)− f(b)− f(a)

b− a(x− a).

Clairement g est continue sur [a, b], g′(x) = f ′(x) − f(b)−f(a)b−a , ∀x ∈]a, b[,

et g(a) = g(b) = 0. Par le theoreme de Rolle, il existe c ∈]a, b[ tel queg′(c) = 0. On a donc f ′(c) = f(b)−f(a)

b−a , ce qui complete la preuve.

Corollaire 4.1. Soit a < b, f : [a, b] → R continue sur [a, b] et derivable

sur ]a, b[. On suppose que f ′ :]a, b[→ R est bornee. Alors f est lipschit-

zienne sur [a, b].

Demonstration. Soit k = supx∈]a,b[

|f ′(x)|. Si x, y ∈ [a, b] on a soit x < y, soit

x = y, soit x > y. Supposons x < y. Par le theoreme des accroissements

finis, il existe c ∈]x, y[ tel que f(y)− f(x) = f ′(c)(y− x) et ainsi |f(y)−f(x)| ≤ k|y−x|. Si x = y cette relation est evidemment vraie et si x > y

il suffit d’echanger les roles de x et y pour l’obtenir.

Corollaire 4.2. Soit a < b, f : [a, b] → R continue sur [a, b], derivable

sur ]a, b[ telle que f ′(x) = 0, ∀x ∈]a, b[. Alors f est une fonction constante

sur [a, b].

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Demonstration. Si on reprend la demonstration du corollaire 4.1, on ob-

tient k = 0. Ainsi f(x) = f(y), ∀x, y ∈ [a, b].

Remarque 4.7. Une consequence du corollaire 4.2 est que si f, g :

[a, b] → R sont continues sur [a, b], derivables sur ]a, b[ et f ′(x) = g′(x),

∀x ∈]a, b[, alors il existe une constante c ∈ R telle que f(x) = g(x) + c,

∀x ∈ [a, b].

Corollaire 4.3. Si f : [a, b] → R est continue sur [a, b], derivable sur

]a, b[, alors

• f est croissante sur [a, b] ⇔ f ′(x) ≥ 0, ∀x ∈]a, b[ ;

• f est decroissante sur [a, b] ⇔ f ′(x) ≤ 0, ∀x ∈]a, b[ ;

• f ′(x) > 0, ∀x ∈ ]a, b[ ⇒ f est strictement croissante ;

• f ′(x) < 0, ∀x ∈ ]a, b[ ⇒ f est strictement decroissante.

Les 2 dernieres implications n’ont pas de reciproques ! Par exemple,

f(x) = x3, x ∈ [−1,+1] est strictement croissante, mais on a f ′(0) = 0 !

Demonstration du corollaire 4.3. Immediate a partir du theoreme 4.3.

Theoreme 4.4. Soit a < b, f : [a, b] → R continue sur [a, b] et differentiable

sur ]a, b[. On suppose que limx→

>af ′(x) existe. Alors on a lim

x→>af ′(x) = f ′

d(a) =def

limx→

>a

f(x)−f(a)x−a . (Idem pour la derivee a gauche de b).

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Demonstration. Supposons que limx→

>af ′(x) = ℓ existe. Par le theoreme 4.3,

si x ∈]a, b[, on a l’existence de ξ = ξ(x) tel que ξ ∈]a, x[ et

f(x)− f(a)

x− a= f ′(ξ).

On obtient ainsi limx→

>a

f(x)−f(a)x−a = lim

x→>af ′(ξ(x)) = ℓ, ce qui montre que ℓ =

f ′d(a).

Corollaire 4.4. Soit I ⊂ R un intervalle ouvert contenant x0 et soit

f : I → R continue sur I, derivable sur I − x0. Alors si limx→

<x0f ′(x) =

limx→

>x0f ′(x) = ℓ, f est derivable en x0 et on a f ′(x0) = ℓ.

Soit f : [0, 1] → R definie par f(x) = x2 sin 1xsi x ∈]0, 1] et f(0) = 0.

On verifie que f est continue sur [0, 1]. De plus, f ′(x) = 2x sin 1x−cos 1

x

si x ∈]0, 1[, ce qui montre que limx→

>0f ′(x) n’existe pas. Pourtant si x ∈

]0, 1], f(x)−f(0)x−0

= x sin 1x

−→x→0+

0, ce qui montre que f ′d(0) = 0. On

obtient un exemple de fonction qui admet une derivee a droite en un

point sans que f ′ soit extensible continument en ce point.

4.7. Regle de Bernoulli-L’Hospital. (Jean Bernoulli (1667-1748) a

fait sa these sous la direction de son frere Jacques (1654-1705) ; Guillaume

de L’Hospital (1661-1704))

Lemme 4.1. Soit f, g : [a, b] → R deux fonctions continues sur [a, b], et

differentiables sur ]a, b[. Si g′ ne s’annule en aucun point de ]a, b[, alors il

existe c ∈]a, b[ tel que

f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=f ′(c)

g′(c).

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Demonstration. Si g′(x) 6= 0, ∀x ∈]a, b[, alors g(b) 6= g(a) (Theoreme de

Rolle). Soit h : [a, b] → R definie par

h(x) = f(x)− f(a)− (g(x)− g(a)) · f(b)− f(a)

g(b)− g(a).

On a h(a) = h(b) = 0 et donc ∃c ∈]a, b[ tel que h′(c) = 0.

En calculant h′ on a h′(x) = f ′(x) − g′(x)f(b)−f(a)g(b)−g(a) et donc h′(c) = 0

implique f ′(c) = g′(c)f(b)−f(a)g(b)−g(a) , d’ou le resultat puisque g′(c) 6= 0.

Theoreme 4.5. (Regle de Bernoulli-L’Hospital). Soit f, g :]a, b[→ R

deux fonctions derivables sur ]a, b[ et telles que g, g′ ne s’annulent en

aucun point de ]a, b[. On suppose

1) limx→

>af(x) = lim

x→>ag(x) = α avec α = 0 ou α = +∞ ou α = −∞ ;

2) limx→

>a

f ′(x)g′(x)

= µ avec µ ∈ R ∪ −∞,+∞.

Alors on a

limx→

>a

f(x)

g(x)= µ.

Demonstration.

1o Supposons α = 0 et µ ∈ R. En prolongeant f et g en a par zero, on

peut appliquer le lemme precedent sur l’intervalle [a, x]. Ainsi ∀x ∈]a, b[, il existe c = c(x) ∈]a, x[ tel que f(x)

g(x)= f ′(c)

g′(c)et en faisant tendre

x vers a on obtient le resultat desire.

2o Supposons α = +∞ et µ ∈ R. Par l’hypothese (2), ∀ε > 0, il existe

x0 ∈]a, b[ tel que | f′(x)g′(x)

−µ| ≤ ε2, ∀x ∈]a, x0[. Grace au lemme precedent,

si x ∈]a, x0[, il existe ξ = ξ(x) ∈]x, x0[ tel que

f(x)− f(x0)

g(x)− g(x0)=f ′(ξ)

g′(ξ).

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Ainsi

∣∣∣f(x)− f(x0)

g(x)− g(x0)− µ

∣∣∣ =∣∣∣f

′(ξ)

g′(ξ)− µ

∣∣∣ ≤ ε

2,

ou encore

∣∣∣f(x)− f(x0)

g(x)− g(x0)

∣∣∣ ≤ ε

2+ |µ|, ∀x ∈]a, x0[.

Puisque limx→

>af(x) = +∞, on peut choisir x0 “suffisamment proche de

a” pour que f(x) 6= f(x0) et f(x) > 0, ∀x ∈]a, x0[. Soit maintenant

h :]a, x0[→ R definie par h(x) =1− g(x0)

g(x)

1− f(x0)f(x)

. On a limx→

>ah(x) = 1 et donc il

existe d ∈]a, x0[ tel que ∀x ∈]a, d[ on ait |h(x)− 1| ≤ εε+2|µ| .

Ainsi, lorsque x ∈]a, d[, on a

|f(x)g(x)

− µ| =∣∣∣f(x)− f(x0)

g(x)− g(x0)h(x)− µ

∣∣∣

≤∣∣∣f(x)− f(x0)

g(x)− g(x0)

∣∣∣|h(x)− 1|+∣∣∣f(x)− f(x0)

g(x)− g(x0)− µ

∣∣∣

≤(ε2+ |µ|

) ε

ε+ 2|µ| +ε

2= ε,

ce qui implique que limx→

>a

f(x)g(x)

= µ.

3o α = 0 ou α = +∞ et µ = ∞. L’hypothese (2) avec limx→

>af(x) =

limx→

>ag(x) = α implique qu’il existe x0 ∈]a, b[ tel que f et f ′ ne s’annulent

en aucun point de ]a, x0[. Comme limx→

>a

g′(x)

f ′(x)= 0, on obtient par ce qui

precede limx→

>a

g(x)

f(x)= 0. Comme f et g ne s’annulent pas sur ]a, x0[, on

obtient limx→

>a

f(x)

g(x)= +∞.

4o Tous les autres cas se deduisent de la meme maniere.

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4.8. Developpements limites et formules de Taylor.

Definition 4.4. Soit f : D ⊂ R → R une fonction definie au voisinage

de x0 ∈ R. S’il existe (n+ 1) constantes a0, a1, a2, . . . , an et une fonction

ε : D → R qui satisfont :

1) f(x) = a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+ . . .+an(x−x0)n+ε(x), ∀x ∈ D ;

2) ε(x) = o (|x− x0|n) si x→6=x0,

on dit que (1) est le developpement limite d’ordre n autour de x0 de

la fonction f . La fonction polynomiale p : D → R definie par p(x) =∑n

j=0 aj(x − x0)j est dite partie principale du developpement limite et

ε(x) est dit le reste.

Proprietes.

1) Le developpement limite est unique. Si f(x) = b0 + b1(x− x0) + . . .+

bn(x − x0)n + δ(x) avec δ(x) = o (|x− x0|n) si x →

6=x0, alors on a

aj = bj , 0 ≤ j ≤ n. En effet, en posant cj = bj − aj , on obtient∑n

j=0 cj(x − x0)j + δ(x) − ε(x) = 0, ∀x ∈ D. Si on fait tendre x

vers x0, on obtient immediatement c0 = 0. Supposons maintenant que

c0 = c1 = c2 = ck = 0 si k < n. Il suffit alors de diviser l’expression par

(x− x0)k+1 et faire tendre x vers x0 pour montrer que ck+1 = 0. Ainsi

bj = aj , ∀j = 0, 1, 2, . . . , n. Il suit naturellement que ε(x) = δ(x).

2) Si f(x) =∑n

j=0 aj(x−x0)j + ε(x) est le developpement limite d’ordre

n autour de x0 de f , alors f(x) =∑p

j=0 aj(x− x0)j + δ(x) avec δ(x) =

∑nj=p+1 aj(x−x0)j+ε(x) devient le developpement limite d’ordre p < n

de f autour de x0 car δ(x) = o (|x− x0|p) si x→6=x0.

3) Au depart f n’est pas supposee definie en x0. Mais, si x →6=x0, on

obtient limx→

6=x0f(x) = a0. Ainsi, il n’est donc pas restrictif de supposer

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f(x0) = a0 et de poser ε(x0) = 0. Si f(x0) = a0 et si f est derivable en

x0, on obtient f ′(x0) = a1.

4) Si f : D → R est definie au voisinage de x0 = 0, et si, de plus, x ∈ D

implique −x ∈ D, et que f(x) =∑n

j=0 ajxj + ε(x) avec ε(x) = o (|x|n)

si x→6=

0 est le developpement limite d’ordre n de f autour de x0 = 0,

alors

• sif est paire alors a1 = a3 = a5 = . . . = 0 (indices impairs) ;

• si f est impaire alors a0 = a2 = a4 = . . . = 0 (indices pairs).

5) Si f, g : D → R sont deux fonctions admettant les developpements

limites d’ordre n autour de x0 suivants :

f(x) =n∑

j=0

aj(x− x0)j + ε(x); g(x) =

n∑

j=0

bj(x− x0)j + δ(x)

avec ε(x) et δ(x) etant o (|x− x0|n) si x →6=x0, et si α, β ∈ R, on a

(αf+βg)(x) =∑n

j=0(αaj+βbj)(x−x0)j+χ(x) ou χ(x) = αε(x)+βδ(x)

est o (|x− x0|n) si x →6=x0 (linearite).

6) Les proprietes des developpements limites de f · g, f/g, g f , . . .decoulent immediatement des exemples traites. Par exemple si n = 2,

on a f(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + ε(x), g(x) = b0 + b1(x −

x0) + b2(x− x0)2 + δ(x) avec ε(x) et δ(x) = o (|x− x0|2). En faisant le

produit, on obtient :

f(x)g(x) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)(x− x0)

+ (a2b0 + a1b1 + a0b2)(x− x0)2

+ (b1a2 + b2a1)(x− x0)3 + a2b2(x− x0)

4 + ε(x)δ(x) + ε(x)b0 + . . .︸ ︷︷ ︸o(|x−x0|2) si x→

6=x0

.

Ainsi

f(x)g(x) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)(x− x0)

+ (a2b0 + a1b1 + a0b2)(x− x0)2 + χ(x)

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avec χ(x) = o (|x− x0|2) si x →6=

x0. Remarquons que les termes

b0ε(x) + a0δ(x) a eux seuls nous montrent que l’on ne peut pas ob-

tenir un developpement limite d’ordre 3 de fg autour de x0 !

4.9. Formule de Taylor.

Theoreme 4.6. Soit I ⊂ R un intervalle ouvert, f : I → R une fonction

(n + 1) fois derivable sur I. Si a ∈ I alors ∀x ∈ I, ∃θx ∈]0, 1[ tel que

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +1

2!f ′′(a)(x− a)2 +

1

3!f ′′′(a)(x− a)3 + . . .

+1

n!f (n)(a)(x− a)n + f (n+1) (a+ θx(x− a))

(x− a)n+1

(n+ 1)!.

On notera

f(x) =

n∑

k=0

1

k!f (k)(a)(x− a)k +

1

(n + 1)!f (n+1) (a+ θx(x− a)) (x− a)n+1

et cette relation est appelee formule de Taylor (ou formule de Mac-Laurin

lorsque a = 0).

Demonstration. On pose pn(x) =

n∑

k=0

1k!f (k)(a)(x− a)k.

• Si y > a on definit g(x) = f(x) − pn(x) +pn(y)−f(y)(y−a)n+1 (x − a)n+1. On a

g(a) = g′(a) = g′′(a) = . . . = g(n)(a) = 0. D’autre part, g(y) = 0 et si

on applique le theoreme de Rolle, il existe y1 ∈]a, y[ tel que g′(y1) = 0.

On peut alors appliquer le theoreme de Rolle a g′ puisque g′(a) =

g′(y1) = 0. Il existe y2 ∈]a, y1[ tel que g′′(y2) = 0. Si on continue, on

obtient necessairement l’existence de yn ∈]a, y[ tel que

g(n)(yn) = 0.

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Comme g(n)(a) = g(n)(yn) = 0, on applique encore une fois le theoreme

de Rolle pour obtenir l’existence de θy tel que θy ∈]0, 1[ et

g(n+1)(a+ θy(y − a)) = 0.

Puisque pn est un polynome de degre n, on a p(n+1)n (x) = 0 et ainsi

g(n+1)(x) = f (n+1)(x) + (n+ 1)!pn(y)−f(y)(y−a)n+1 . Ainsi

f(y)− pn(y)

(y − a)n+1=

1

(n+ 1)!f (n+1)(a+ θy(y − a)),

ce qui implique bien

f(y) = pn(y) +1

(n+ 1)!f (n+1) (a + θy(y − a)) (y − a)n+1.

• Si y = a le resultat est evident.

• Si y < a on a la meme demonstration mais par exemple les points yj

sont dans ]y, a[ au lieu d’etre dans ]a, y[.

4.10. Relation “formule de Taylor” et “developpement limite”.

Theoreme 4.7. Soit I ⊂ R un intervalle ouvert, f : I → R une fonction

(n + 1) fois derivable sur I et soit a ∈ I. On suppose qu’il existe α > 0

et M > 0 tels que |fn+1(x)| ≤ M, ∀x ∈ [a − α, a + α]. Alors la formule

de Taylor fournit le developpement limite d’ordre n de f autour de a.

Demonstration. La formule de Taylor implique que ∀x ∈ I, ∃θx tel que

f(x) =

n∑

k=0

1

k!f (k)(a)(x− a)k +

1

(n+ 1)!f (n+1) (a+ θx(x− a)) (x− a)n+1.

Si maintenant x ∈ I et verifie |x− a| ≤ α, alors on a∣∣∣∣

1

(n + 1)!f (n+1) (a+ θx(x− a)) (x− a)n+1

∣∣∣∣ ≤1

(n+ 1)!M |x− a|n+1

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et en posant ε(x) = 1(n+1)!

f (n+1) (a+ θx(x− a)) (x − a)n+1, on obtient

bien

ε(x) = o (|x− a|n) si x→6=a

et f(x) =∑n

k=0 ak(x− a)k + ε(x) avec ak =1k!f (k)(a).

Remarque 4.8. Sous l’hypothese |fn+1(x)| ≤M, ∀x ∈ [a−α, a+α] on

obtient :

f(x) =n∑

k=0

1

k!f (k)(a)(x− a)k +O(|x− a|n+1) si x→ a

ou

f(x) =

n∑

k=0

1

k!f (k)(a)(x− a)k + o(|x− a|n) si x→

6=a.

Par contre, si f ∈ Cn+1(I), on obtient

f(x) =n+1∑

k=0

1

k!f (k)(a)(x− a)k + o(|x− a|n+1) si x→

6=a.

En effet, si f ∈ Cn+1(I), alors f (n+1) est continue sur I et il existe α > 0,

M > 0 tels que |fn+1(x)| ≤M, ∀x ∈ [a− α, a+ α].

On obtient ainsi

f(x) =

n+1∑

k=0

1

k!f (k)(a)(x− a)k

+1

(n+ 1)!

[f (n+1)(a+ θx(x− a))− f (n+1)(a)

](x− a)n+1.

Ainsi,∣∣∣f(x)−

∑n+1k=0

1k!f (k)(a)(x− a)k

∣∣∣|x− a|n+1

≤ 1

(n + 1)!

∣∣f (n+1)(a + θx(x− a))− f (n+1)(a)∣∣ si x 6= a.

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Par continuite de f (n+1), on a limx→

6=a

∣∣f (n+1)(a+ θx(x− a))− f (n+1)(a)∣∣ = 0

ce qui prouve que

f(x) =n+1∑

k=0

1

k!f (k)(a)(x− a)k + o(|x− a|n+1) si x→

6=a.

Applications.

1) Maximum ou minimum local. Supposons que f ∈ C2(I), a ∈ I et

f ′(a) = 0, f ′′(a) 6= 0. On sait que f ′(a) = 0 est une condition necessaire

pour avoir un extremum local, mais cette condition n’est pas suffisante.

On va montrer alors que f ′′(a) 6= 0 avec f ′(a) = 0 donne une condition

suffisante pour obtenir un extremum local en x = a.

Le developpement de Taylor a l’ordre 1 en a nous donne alors

f(x) = f(a) +1

2!f ′′ (a + θx(x− a)) (x− a)2.

Si par exemple f ′′(a) > 0, alors f(x)−f(a) = f ′′ (a + θx(x− a)) (x−a)2

et comme f ′′ ∈ C0(I), il existe α > 0 tel que x ∈ I, |x − a| ≤ α ⇒f(x)− f(a) ≥ 0, ce qui montre que f admet un minimum local en a.

Si f ′′(a) < 0 on montre de meme que f admet un maximum local en

a. Ce resultat se generalise a f ∈ C2n(I) avec f ′(a) = f ′′(a) = . . . =

f (2n−1)(a) = 0 et f (2n)(a) 6= 0 (ici n ≥ 1).

2) Point d’inflexion.

• Si f :]a, b[→ R et si c ∈]a, b[ est tel que f ′(c) existe, alors la fonction

t :]a, b[→ R definie par t(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) a pour graphe la

tangente au graphe de f au point c. Ainsi, si ψ(x) = f(x) − t(x)

change de signe au point c, nous dirons que (c, f(c)) est un point

d’inflexion du graphe de f au point c.

• Si f est (2n+1) fois continument derivable au point c (n = 1, 2, . . .)

et si f (j)(c) = 0, ∀j = 2, 3, . . . 2n et f (2n+1)(c) 6= 0, alors (c, f(c))

est un point d’inflexion. En effet, on a ψ(x) = f(x) − f(c) −

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f ′(c)(x−c) = 1(2n+1)!

f (2n+1) (c+ θx(x− c)) (x−c)2n+1 avec θx dans

]0, 1[. Ainsi, il existe ε > 0 tel que ∀x ∈]a, b[ avec 0 < |x− c| ≤ ε,

f (2n+1) (c+ θx(x− c)) (x − c)2n+2 a un signe (ce qui montre que

ψ(x)(x− c) a un signe) et donc ψ(x) change de signe en x = c.

Si f ∈ C2(I) et si f ′(c) = f ′′(c) = 0, on ne peut pas deduire

que l’on a un extremum local, ni meme un point d’inflexion. Si de

plus f ∈ C3(I) et f ′′′(c) 6= 0, alors on a un point d’inflexion. Si

f ′′′(c) = 0, il faut alors regarder les derivees d’ordre superieur. Si

f (4)(c) 6= 0, on aura un extremum local, etc... .

3) Emploi du developpement limite pour les formes indeterminees.

Exemple : calculer limx→

6=0

6 sin(x) + x3 − 6x

x5. Clairement, par la formule

de Taylor en x = 0, on a

sin(x) = x− x3

3!+ cos(θxx)

x5

5!, avec θx ∈]0, 1[.

Ainsi6 sin(x) + x3 − 6x

x5=

65!cos(θxx)x

5

x5→x→0

6

5!=

1

20.

75

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4.11. Fonctions convexes.

Soit I ⊂ R un intervalle non vide et soit f : I → R une fonction.

Definition 4.5. f est dite convexe si ∀a, b ∈ I, ∀λ ∈ [0, 1] on a

f(λa+ (1− λ)b

)≤ λf(a) + (1− λ)f(b).

Definition 4.6. f est dite concave si −f est convexe.

Theoreme 4.8. Soit I ⊂ R un intervalle ouvert non vide et soit f une

fois derivable sur I. Si f ′ est croissante dans I, alors f est convexe.

Demonstration. Soit a, b ∈ I avec a < b et soit x ∈ [a, b]. On a x =

λa+(1−λ)b avec λ ∈ [0, 1]. Le theoreme des accroissements finis implique

l’existence de x1, x2 tels que a < x1 < x < x2 < b et

f(x)− f(a) = f ′(x1)(x− a); f(b)− f(x) = f ′(x2)(b− x).

Ainsi on a

f(x)− λ (f(x)− f(a)) + (1− λ) (f(b)− f(x)) =

= f(x)− λf ′(x1)(x− a) + (1− λ)f ′(x2)(b− x),

et donc

λf(a) + (1− λ)f(b) = f(x)− λf ′(x1)(x− a) + (1− λ)f ′(x2)(b− x).

Puisque b− x = λ(b− a) et x− a = (1− λ)(b− a), on obtient

λf(a) + (1− λ)f(b)

= f(x)− λf ′(x1)(1− λ)(b− a) + (1− λ)f ′(x2)λ(b− a)

= f(x) + λ(1− λ)(b− a)

f ′(x2)− f ′(x1)︸ ︷︷ ︸

≥0

≥ f(x).

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Corollaire 4.5. Soit I ⊂ R ouvert non vide et f deux fois derivable sur

I. Si f ′′(x) ≥ 0 ∀x ∈ I, alors f est convexe.

Demonstration. Si f ′′ ≥ 0, on a f ′ croissante.

Remarque 4.9. Il existe beaucoup de resultats sur les fonctions convexes

dont certains feront l’objet d’exercices. Par exemple, on peut montrer que

si f : I → R est convexe, alors elle est necessairement continue sur I et

admet en tout point de I des derivees a droite et a gauche. Si de plus f

est derivable, alors necessairement f ∈ C1(I). Dans ce cas, le graphe de

f est toujours “au-dessus” de n’importe quelle tangente a ce graphe.

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5. Series entieres

5.1. Generalites.

Soit (an)∞n=0 une suite de nombres reels et soit x0 ∈ R. On appelle serie

entiere (ou serie de puissance) l’expression

∞∑

n=0

an(x− x0)n =a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)

2

+a3(x− x0)3 + . . .+ an(x− x0)

n + . . . .

La N ieme somme partielle de la serie entiere est donc

SN(x) =

N∑

n=0

an(x− x0)n.

Definition 5.1. On dit que la serie entiere converge sur I si la suite SN

est convergente vers une fonction f sur l’intervalle I, i.e. limN→∞

SN(x) =

f(x), ∀x ∈ I. Elle converge uniformement sur I si ∀ε > 0, ∃N0 > 0 tel

que ∀x ∈ I, ∀N ≥ N0, on ait |f(x)− SN(x)| ≤ ε.

La serie entiere generalise la notion de polynomes.

Dans la suite nous prendrons x0 = 0 pour simplifier l’ecriture, sachant

qu’il suffit de faire une translation de l’origine de l’axe Ox pour obtenir

des resultats analogues lorsque x0 6= 0.

Theoreme 5.1. Supposons qu’il existe x 6= 0 telle que la serie numerique∑∞

n=0 anxn soit convergente. Alors la serie entiere

∑∞n=0 anx

n converge

absolument sur I =] − x, x[ si x > 0 ou I =]x,−x[ si x < 0 et donc elle

est convergente.

Demonstration. Si∑∞

n=0 anxn converge, alors lim

n→∞|anxn| = 0 et ainsi il

existe une constante C telle que |anxn| ≤ C, ∀n = 0, 1, 2, . . . .

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Soit x ∈ I = x ∈ R : |x| < |x|. On a x = ξx avec |ξ| < 1. Ainsi

|anxn| = |an| |x|n = |an| |x|n |ξ|n ≤ C|ξ|n

et∑∞

n=0 |ξ|n < ∞, ce qui montre que∑∞

n=0 anxn converge absolument ;

donc converge sur I.

Remarque 5.1. Ce resultat justifie la definition suivante :

On appelle rayon de convergence de la serie entiere le nombre R = sup |x|tel que

∑∞n=0 anx

n converge. Ainsi, en supposant R > 0, si |x| < R, la

serie∑∞

n=0 anxn converge et si |x| > R, la serie diverge. Si |x| = R, la

situation est plus compliquee et on ne peut rien dire a priori.

Exemple 5.1. an = 1, ∀n donne lieu a la serie de puissance∑∞

n=0 xn.

On obtient R = 1 et la limite de la serie est f(x) = 11−x . La serie est

divergente pour |x| ≥ 1.

Exemple 5.2. a0 = 1, ak = 1ksi k = 1, 2, . . . . La serie entiere est donc

1+x+ 12x2+ 1

3x3+ 1

4x4+ . . .+ 1

nxn+ . . . qui a pour rayon de convergence

R = 1. Si x = 1 la serie diverge (serie harmonique), mais si x = −1 la

serie converge (serie harmonique alternee).

Exemple 5.3. an = 1n!, n = 0, 1, 2, . . . (par convention 0! = 1). Soit

x > 0 quelconque. On considere∑∞

n=0 anxn =

∑∞n=0

1n!xn. Si on suit le

critere de d’Alembert (theoreme 2.6)

ρ = limn→∞

1(n+1)!

xn+1

1n!xn

= limn→∞

1

n+ 1x = 0,

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on a ρ < 1 et donc la serie numerique∑∞

n=0 anxn converge absolument.

Ainsi la serie entiere∑∞

n=01n!xn converge sur R. On definit ainsi la fonc-

tion exponentielle par

ex =

∞∑

n=0

1

n!xn

et le rayon de convergence de la serie est R = +∞.

Exemple 5.4. an = n!, n = 0, 1, 2, . . .. Soit x 6= 0 quelconque. On

considere∑∞

n=0 anxn =

∑∞n=0 n! x

n. Le critere de d’Alembert donne main-

tenant

ρ = limn→∞

(n+ 1)! |x|n+1

n! |x|n = limn→∞

(n+ 1)|x| = +∞,

et donc la serie numerique∑∞

n=0 anxn diverge.

Ainsi la serie entiere∑∞

n=0 n! xn a un rayon de convergenve R = 0.

Theoreme 5.2. On considere la serie entiere∑∞

n=0 anxn de rayon de

convergence R > 0. Alors la serie entiere converge uniformement dans

l’intervalle [−r,+r] ou 0 < r < R.

Demonstration. Soit Sm(x) =∑m

n=0 anxn la mieme somme partielle de la

serie. On a si m > n et si x ∈ [−r, r] :

|Sm(x)− Sn(x)| ≤m∑

k=n+1

|ak| |x|k ≤m∑

k=n+1

|ak|rk.

On sait que pour x = r la serie numerique∑∞

k=0 akxk est absolument

convergente, et donc convergente, et donc de Cauchy. Ainsi (Sn)∞n=0 est

une suite de fonctions continues sur [−r,+r] et de Cauchy pour la norme

du maximum (cf. theoreme 3.14). Elle est donc convergente uniformement

vers une fonction f . Par unicite de la limite, le theoreme est demontre.

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Theoreme 5.3. (Theoreme d’Abel) Soit∞∑

n=0

anxn une serie entiere dont

le rayon de convergence est un reel R > 0. On pose

f(x) =

∞∑

n=0

anxn pour |x| < R.

Alors,

· si∞∑

n=0

anRn converge, alors lim

x→<Rf(x) =

∞∑

n=0

anRn ;

· si∞∑

n=0

an(−R)n converge, alors limx→

>−Rf(x) =

∞∑

n=0

an(−R)n.

Demonstration. Posons bn = anRn, n ∈ N et supposons que

∞∑

n=0

bn =

∞∑

n=0

anRn = s. Il n’est pas restrictif de supposer que s = 0 car il suffit de

changer b0 en b0 − s.

Si nous definissons la serie entiere suivante :

g(w) =∞∑

n=0

bnwn, |w| < 1,

dont le rayon de convergence est 1, il suffira alors de demontrer que

limw→

<1g(w) =

∞∑

n=0

bn = s = 0.

Posons pour cela sn =

n∑

k=0

bk, n ∈ N. On a bien sur, limn→∞

sn = s = 0.

D’autre part, on a

b0+b1w + b2w2 + . . .+ bnw

n

= s0 + (s1 − s0)w + (s2 − s1)w2 + . . .+ (sn − sn−1)w

n

= s0(1− w) + s1(w − w2) + . . .+ sn−1(wn−1 − wn) + snw

n

= (1− w)(s0 + s1w + s2w

2 + . . .+ sn−1wn−1)+ snw

n.

Ainsi, pour |w| < 1, on a limn→∞

snwn = 0 et donc

g(w) = (1− w)∞∑

n=0

snwn.

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Soit maintenant ǫ > 0. Puisque limn→∞

sn = 0,

∃N0 ∈ N tel que |sn| ≤ǫ

2, ∀n ≥ N0.

Il existe δ ∈ ]0, 1[ tel que :∣∣∣∣∣(1− w)

N0∑

n=0

snwn

∣∣∣∣∣ ≤ǫ

2, si w ∈ [1− δ, 1[.

Ainsi, si w ∈ [1− δ, 1[, on a :

|g(w)| ≤ ǫ

2+

∣∣∣∣∣(1− w)∞∑

n=N0+1

snwn

∣∣∣∣∣ ≤ ǫ

2+ (1− w)

ǫ

2

∞∑

n=N0+1

wn

2

(1 + wN0+1 1

1− w(1− w)

)=

ǫ

2(1 + wN0+1) ≤ ǫ.

On aura donc

|g(w)| ≤ ǫ, ∀w ∈ [1− δ, 1[

ce qui montre que limw→

<1g(w) = 0.

On procede de meme pour −R.

Ci-apres, nous enoncons quelques resultats sans demonstration :

Resultat 1: Si∑∞

n=0 anxn est une serie entiere de rayon de conver-

gence R > 0, alors

R =1

lim supk→∞

(|ak|)1/k.

Rappel : lim supk→∞

(|ak|)1/k = infn≥0

sup|ak|1/k : k ≥ n.

Resultat 2 (exercice): Soit f(x) =∑∞

k=0 akxk, x ∈] − R,+R[ la

limite d’une serie entiere qui a pour rayon de convergence R > 0.

Alors

82

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• f ∈ C∞(I) ou I =]−R,+R[,

• f ′(x) =∑∞

k=1 kakxk−1, et le rayon de convergence de sa serie

entiere est encore R,

• f ′′(x) =∑∞

k=2 k(k − 1)akxk−2, et le rayon de convergence de

sa serie entiere est encore R,

• . . . .

Resultat 3: On peut regrouper les termes de n’importe quelle maniere

•∑∞

k=0 akxk =

∑∞k=0 a2kx

2k +∑∞

k=0 a2k+1x2k+1,

lorsque |x| < R1, ou R1 est le rayon de convergence de la

serie.

•∑∞

k=0 akxk ·∑∞

k=0 bkxk =

∑∞k,j=0 akbjx

k+j ,

lorsque |x| < min(R1, R2) ou R1, R2 sont les rayons de conver-

gence des deux series.

Exercice : On a defini l’exponentielle par ex =∑∞

k=01k!xk. Montrer que

ex · ey = ex+y.

5.2. Series de Taylor.

Soit I =]a, b[ un intervalle ouvert avec a < b et considerons f ∈ C∞(I).

Si x ∈ I, on peut considerer la formule de Taylor autour de x

f(x) =

n∑

k=0

1

k!f (k)(x)(x− x)k +

1

(n + 1)!f (n+1)

(x+ θx(x− x)

)(x− x)n+1

avec θx ∈]0, 1[.

Cette formule nous incite a considerer la serie entiere

∞∑

k=0

1

k!f (k)(x)(x− x)k

83

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ou ici (x − x) joue le role de x (translation de zero en x). Cette serie

s’appelle serie de Taylor en x = x de la fonction f .

Si la serie de Taylor∑∞

k=01k!f (k)(x)(x−x)k de f en x = x a pour rayon

de convergence R > 0, alors cette serie converge vers g :]x−R, x+R[→ R

mais g n’a aucune raison d’etre egale a f sur ]x− R, x+R[.

Definition 5.2. Soit f : R → R une fonction C∞(R) et soit sa serie de

Taylor∑∞

n=01n!f (n) (x)(x − x)n en x = x. On suppose que le rayon de

convergence R = R(x) est non nul (donc > 0). S’il existe ε > 0, ε < R

tel que f(x) =∑∞

n=01n!f (n)(x)(x − x)n, ∀x ∈]x − ε, x + ε[, on dit alors

que f est analytique au voisinage de x. Elle est analytique sur R si elle

est analytique au voisinage de chacun des x ∈ R.

Exemple 5.5. f(x) = sin(x), x = 0. On a f ′(x) = cos(x), f ′′(x) =

− sin(x), . . . et ainsi la serie de Taylor de sin en x = 0 devient :

x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+x9

9!. . . =

∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!.

Soit x > 0 et considerons le critere de d’Alembert :

ρ = limn→∞

1(2n+1)!

x2n+1

1(2n−1)!

x2n−1= lim

n→∞

x2

(2n+ 1)2n= 0.

Ainsi la serie entiere∑∞

n=0(−1)n x2n+1

(2n+1)!converge absolument vers une

fonction g : R → R. En fait, on peut montrer que cette fonction g est la

fonction sinus, et donc cette derniere est analytique sur R.

Remarque 5.2. Il ne faut pas confondre C∞(R) et analytique sur R. On

peut montrer que la fonction ex =∞∑

n=0

1

n!xn est telle que lim

x→+∞xme−x = 0,

84

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∀m ∈ N. Ainsi, si on definit f : R → R par

f(x) =

0 si |x| ≥ 1

e− 1

1−x2 si |x| < 1

on a f(n)g (1) = f

(n)d (−1) = 0, ∀n = 0, 1, 2, . . . ou f

(n)g et f

(n)d denotent

les derivees niemes a gauche et a droite respectivement. On verifie ainsi

que f ∈ C∞(R) et que la serie de Taylor de f en x = −1 et en x = +1

est reduite a zero ; elle ne converge donc pas vers f dans un voisinage de

ces 2 points. La fonction f n’est pas analytique au voisinage de x = 1 et

x = −1. Par contre, f est analytique sur l’intervalle ouvert ]− 1,+1[ !

85

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6. Fonctions exponentielle et logarithme

6.1. Exponentielle et sa reciproque.

Nous avons vu la definition du nombre ex =∑∞

n=01n!xn, x ∈ R, ce qui

nous permet de definir la fonction

exp : R → R

x exp(x) = ex.

On peut montrer, en regroupant certains termes, que

∞∑

n,m=0

1

n!m!xnym =

∞∑

k=0

1

k!(x+ y)k,

i.e. ex · ey = ex+y, ∀x, y ∈ R (exercice). Il en decoule que :

1 = e0 = ex−x = ex · e−x,e−x = 1/ex,

et ex = ex/2+x/2 = (ex/2)2.

On a ainsi les proprietes suivantes de l’exponentielle :

1) exp(x+ y) = exp(x) · exp(y), ∀x, y ∈ R ;

2) exp(−x) = 1exp(x)

, ∀x ∈ R ;

3) exp(qx) = exp(x)q, ∀q fractionnaire (q = mn, m, n ∈ N, n 6= 0) ;

4) ddx

exp(x) =∑∞

k=01k!

ddxxk =

∑∞k=1

1k!· kxk−1 =

∑∞k=0

1k!xk = exp(x) et

ainsi exp(·) ∈ C∞(R) ; meme mieux, exp est analytique sur R ;

5) Si x > 0 : exp(x) =∑∞

k=01k!xk ≥ xp

p!→x→∞

∞ pour p ∈ N fixe et donc

limx→+∞

exp(x) = +∞ ; limx→−∞

exp(x) =1

limx→+∞

exp(x)= 0 ;

6) On a dm

dxmexp(x) = exp(x) 6= 0, ∀x ∈ R ⇒ exp est une fonction

convexe, strictement croissante, strictement positive ;

86

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7) limx→+∞

exp(x)

xn= +∞, ∀n ∈ N, car ∀p > n,

exp(x)

xn≥ 1

p!xp−n →

x→+∞∞ ;

8) Le logarithme neperien, note log (parfois aussi note ln), est la fonction

inverse de exp : R → R(exp) = R∗+= x ∈ R : x > 0. Ainsi, pour tout

x ∈ R∗+ :

y = log(x) ⇔ ey = x

et donc x = elog(x).

On a les proprietes suivantes de la fonction logarithme :

1) elog(xy) = xy = elog(x) · elog(y) = elog(x)+log(y), ∀x, y ∈ R∗+. Ainsi

log(xy) = log(x) + log(y).

2) Si on derive l’egalite x = elog(x), on obtient 1 = elog(x) · log′(x) ; d’ou1 = x log′(x) et par suite log′(x) = 1

x, ∀x ∈ R∗

+.

3) On a bien evidemment limx→

>0log(x) = −∞ et lim

x→+∞log(x) = +∞.

4) On alog(x)

xn−→x→∞

0 si n est un entier positif et limx→

>0xn log(x) = 0,

∀n ∈ N∗.

5) Si q = mn, m,n ∈ N et n 6= 0, on a si c ∈ R∗

+ :

cq = cm/n = n√cm

et donc cm = (cq)n. Ainsi m log(c) = log(cm) = log(cq)n = n log(cq)

et donc log(cq) = q log(c) qui est equivalent a cq = eq log(c).

Ainsi, pour tout nombre rationnel q et tout c ∈ R∗+, on a cq = eq log(c)

et on prolonge cette notion de “puissance rationnelle” a la notion de

“puissance reelle x” par

cx = ex log(c), ∀x ∈ R.

87

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6.2. Fonction puissance.

Soit α ∈ R et definissons f : R∗+→ R par

f(x) = xα =def

eα log(x).

Cette fonction a pour image R∗+et elle est C∞(R∗

+).

6.3. Fonctions hyperboliques pour x ∈ R.

• sh x = ex−e−x

2;

• ch x = ex+e−x

2;

• th x = sh xch x

= ex−e−x

ex+e−x ;

• coth x = ch xsh x

= ex+e−x

ex−e−x si x 6= 0.

88

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7. Integration

7.1. Integrale d’une fonction continue.

Soit a < b, σ = x0, x1, . . . , xn avec xj > xj−1, j = 1, 2, . . . , n, et x0 = a,

xn = b, une subdivision de [a, b]. On pose hj = xj − xj−1, j = 1, 2, . . . , n

et hσ = max1≤j≤n

hj . Si f ∈ C0([a, b]) et si Mj = maxxj−1≤x≤xj

f(x), mj =

minxj−1≤x≤xj

f(x), on pose :

Sσ(f) =n∑

j=1

Mjhj et S¯σ(f) =

n∑

j=1

mjhj

qui sont appelees somme de Darboux superieure (respectivement inferieure)

de f relativement a σ.

Si m = minx∈[a,b]

f(x) et M = maxx∈[a,b]

f(x), on a

m(b− a) ≤ S¯σ(f) ≤ Sσ(f) ≤M(b − a).

On pose

S(f) = infSσ(f) : σ = subdivision de [a, b],

S¯(f) = supS

¯σ(f) : σ = subdivision de [a, b].

Theoreme 7.1. Soit a < b et soit f ∈ C0([a, b]). Alors on a

S(f) = S¯(f).

Demonstration. Soit ε > 0. Puisque f ∈ C0([a, b]), alors f est uni-

formement continue sur [a, b] et il existe δ > 0 tel que ∀x, y ∈ [a, b]

avec |x − y| ≤ δ, on a |f(x) − f(y)| ≤ ǫ3

1b−a . En prenant hσ ≤ δ, on a

0 ≤Mj −mj ≤ ǫ3

1b−a , ∀j = 1, . . . , n et donc

0 ≤n∑

j=1

Mjhj −n∑

j=1

mjhj ≤ǫ

3

1

b− a

n∑

j=1

hj =ǫ

3.

89

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Ainsi, on a

0 ≤ Sσ(f)− S¯σ(f) ≤ ε

3

si σ est tel que hσ ≤ δ. De plus, la definition de S(f) et S¯(f) implique

qu’il existe σ1, σ2 telles que hσ1 ≤ δ, hσ2 ≤ δ et 0 ≤ Sσ1(f)− S(f) ≤ ε

3et

0 ≤ S¯(f)− S

¯σ2(f) ≤ ε

3. Si σ = σ1 ∪ σ2, on obtient necessairement hσ ≤ δ

et

0 ≤ Sσ(f)− S(f) ≤ ε

3; 0 ≤ S

¯(f)− S

¯σ(f) ≤ ε

3.

Ainsi |S(f)−S¯(f)| ≤ |S(f)−Sσ(f)|+|Sσ(f)−S

¯σ(f)|+|S

¯σ(f)−S

¯(f)| ≤ ε.

On pose :

∫ b

a

f(x)dx = S(f) = S¯(f).

Definition 7.1.

•∫ baf(x)dx est appelee integrale de f sur [a, b],

• a est la borne inferieure,

• b est la borne superieure,

• x est la variable d’integration,

• [a, b] est l’intervalle d’integration.

7.2. Proprietes de∫ baf(x)dx.

•∫ baf(x)dx ne depend pas de la variable d’integration. On dit que x est

une variable muette et on a∫ baf(x)dx =

∫ baf(t)dt.

• Si c ∈ [a, b], on a∫ baf(x)dx =

∫ caf(x)dx +

∫ bcf(x)dx avec, pour

convention,∫ ccf(x)dx = 0 et

∫ acf(x)dx = −

∫ caf(x)dx.

90

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•∫ baαf(x)dx = α

∫ baf(x)dx et

∫ ba(f(x) + g(x))dx =

∫ baf(x)dx +

∫ bag(x)dx si f et g ∈ C0[a, b]. L’integration est une operation lineaire

sur C0[a, b].

• m(b − a) ≤∫ baf(x)dx ≤ M(b − a) si m = min

x∈[a,b]f(x) et M =

maxx∈[a,b]

f(x). Ainsi si f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b], on a∫ baf(x)dx ≥ 0 et si

f(x) ≤ 0, ∀x ∈ [a, b], on a∫ baf(x)dx ≤ 0.

On deduit :

Theoreme 7.2. (Le theoreme de la moyenne). Il existe c ∈ [a, b] tel que∫ baf(x)dx = f(c)(b− a).

Demonstration. Si m = minx∈[a,b] f(x) et M = maxx∈[a,b] f(x), on a que

m ≤∫ baf(x)dx

b−a ≤ M . Puisque f est continue, il existe c ∈ [a, b] tel que

f(c) =∫ ba f(x)dx

b−a car f prend toutes ses valeurs entre m et M .

Definition 7.2. Si [a, b] est un intervalle ferme avec a < b et si

f : [a, b] → R est continue, on dit que F : [a, b] → R est une primitive de

f si F est continue sur [a, b] et si F ′(x) = f(x), ∀x ∈]a, b[.

Theoreme 7.3. Soit a < b et f : [a, b] → R continue. Alors F definie

par F (x) =∫ xaf(t)dt, x ∈ [a, b], est une primitive de f . De plus, si G est

une autre primitive de f , on a F (x)−G(x) = constante, ∀x ∈ [a, b].

Demonstration. Si x0 ∈]a, b[ est fixe et si x ∈]a, b[, on a, par le theoreme

de la moyenne, l’existence de c = c(x) dans l’intervalle d’extremites x0

et x tel que∫ xx0f(t)dt = f(c(x)) · (x− x0).

Ainsi :

F (x)− F (x0) =

∫ x

x0

f(t)dt = f(c(x))(x− x0)

91

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ce qui implique

F (x)− F (x0)

x− x0= f(c(x)).

Par continuite de f , on obtient limx→x0

6=

F (x)− F (x0)

x− x0= f(x0) et donc

F ′(x0) = f(x0).

Il reste a montrer que F est continue a droite en a et a gauche en b. En

prenant x0 = a, on a∫ xaf(t)dt = f(d(x))(x − a) ou d(x) ∈]a, x[, x > a.

Ainsi limx→

>aF (x) = 0 = F (a). Idem en b, on a F (x) = F (b)−

∫ b

x

f(t)dt

︸ ︷︷ ︸→0x→<

b

.

Si maintenant G est une autre primitive, en posant H(x) = F (x)−G(x),on a H ′(x) = 0, ∀x ∈]a, b[ et H est continue sur [a, b]. Si a ≤ t < s ≤ b,

on a l’existence de α ∈]t, s[ tel que H(s) − H(t) = H ′(α)(s − t) = 0,

ce qui prouve que H(t) = H(s). Comme H est continue sur [a, b], on a

H(x) = constante, ∀x ∈ [a, b].

Theoreme 7.4. (Theoreme fondamental du calcul integral ). Soit f :

[a, b] → R continue avec a < b et soit F : [a, b] → R une primitive de f

sur [a, b]. Alors on a∫ baf(x)dx = F (b)− F (a).

Demonstration. Par le theoreme 7.3, on sait que G(x) =∫ xaf(t)dt est

une primitive de f et F (x) = G(x) + C, ∀x ∈ [a, b], ou C est constante.

Puisque G(a) = 0 on a F (a) = C et donc F (x) = G(x) + F (a). On a

ainsi∫ b

a

f(t)dt = G(b) = G(b)−G(a)︸︷︷︸0

= F (b)− F (a).

92

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Theoreme 7.5. (Important !). Soit f : [a, b] → R continue avec a < b,

soit I ⊂ R un intervalle ouvert, soit g, h : I → R deux fonctions derivables

sur I. On suppose que R(g) et R(h) sont inclues dans [a, b] et on pose

K(x) =∫ g(x)h(x)

f(t)dt, ∀x ∈ I. Alors K est differentiable sur I et on a

K ′(x) = g′(x)f(g(x))− h′(x)f(h(x)), ∀x ∈ I.

Demonstration. Si F : [a, b] → R est une primitive de f , alors

K(x) = F (g(x))− F (h(x)).

Ainsi

K ′(x) = F ′(g(x))g′(x)− F ′(h(x))h′(x) = f(g(x))g′(x)− f(h(x))h′(x).

Theoreme 7.6. Soit f ∈ C0([a, b]) avec a < b. Alors∣∣∣∣∫ b

a

f(x)dx

∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(x)|dx.

Demonstration. En posant f+(x) = f(x) si f(x) ≥ 0, f+(x) = 0 si

f(x) ≤ 0 ; f−(x) = −f(x) si f(x) ≤ 0, f−(x) = 0 si f(x) ≥ 0, on a bien

sur f(x) = f+(x) − f−(x). Ainsi∫ baf(x)dx =

∫ baf+(x)dx −

∫ baf−(x)dx

et donc∣∣∣∣∫ b

a

f(x)dx

∣∣∣∣ ≤∫ b

a

f+(x)dx+

∫ b

a

f−(x)dx =

∫ b

a

|f(x)|dx.

Theoreme 7.7. (Inegalite de Cauchy-Schwarz (Cauchy (1789-1857), Her-

mann Schwarz (1843-1921)) ). Soit f, g ∈ C0([a, b]) avec a < b. Alors

∣∣∣∣∫ b

a

f(x)g(x)dx

∣∣∣∣ ≤(∫ b

a

f 2(x)dx

)1/2(∫ b

a

g2(x)dx

)1/2

.

93

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Demonstration. Si f ≡ 0, l’inegalite est triviale. Supposons f non iden-

tiquement nulle et soit λ ∈ R. On a

∫ b

a

(λf + g)2 (x)dx =

λ2∫ b

a

f 2(x)dx

︸ ︷︷ ︸6=0

+2λ

∫ b

a

f(x)g(x)dx

+

∫ b

a

g2(x)dx ≥ 0, ∀λ ∈ R.

Ainsi le discriminant verifie(∫ b

af(x)g(x)dx

)2−∫ baf 2(x)dx·

∫ bag2(x)dx ≤ 0.

Remarque 7.1. Si V = C0([a, b]), alors V est un espace vectoriel. Si on

pose (f ; g) =∫ baf(x)g(x)dx, on constate que (·; ·) est un produit scalaire

sur V dont la norme induite est ‖f‖0 =def

(∫ baf 2(x)dx

)1/2. L’espace V

muni de ‖ · ‖0 n’est pas complet car il existe des suites de Cauchy dans V

(pour la norme ‖ · ‖0) qui ne convergent pas dans V . On dit que V muni

de (·; ·) est un espace prehilbertien. Si on le complete, on aura affaire a

l’espace L2(a, b) ⊃ V (espace de fonctions Lebesgue mesurables, de carre

integrable !).

Theoreme 7.8. Soit (fn)∞n=0 ⊂ C0([a, b]) une suite de fonctions qui

converge uniformement vers f . Alors on a limn→∞

∫ bafn(x)dx =

∫ baf(x)dx.

Demonstration. Puisque (fn)∞n=0 converge uniformement vers f , alors on

a f ∈ C0([a, b]) et ∀ε > 0, ∃N0 tel que ∀n ≥ N0 : |f(x) − fn(x)| ≤εb−a , ∀x ∈ [a, b]. Ainsi

∫ b

a

|f(x)− fn(x)|dx ≤ ε, ∀n ≥ N0.

94

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On a |∫ baf(x)dx −

∫ bafn(x)dx| ≤

∫ ba|f(x) − fn(x)|dx ≤ ε, ∀n ≥ N0, ce

qui prouve que limn→∞

∫ bafn(x)dx =

∫ baf(x)dx.

Remarque 7.2. Le theoreme 7.8 nous enseigne que si la suite (fn)∞n=0

⊂ C0([a, b]) converge uniformement, alors on peut permuter ”limite” et

”integrale”, c’est-a-dire limn→∞

∫ bafn(x)dx =

∫ balimn→∞

fn(x)dx. Par contre, ce

resultat est en general faux lorsqu’on n’a que la convergence ponctuelle

comme le montre l’exemple suivant.

Exemple 7.1. Sur l’intervalle [0, 1] on definit les fonctions fn : [0, 1] → R

par fn(x) = 4n2x si x ∈ [0, 12n] , fn(x) = 4n − 4n2x si x ∈ [ 1

2n, 1n]

et fn(x) = 0 si x ∈ [ 1n, 1] , avec n = 1, 2, 3, . . .. Ici, ∀x ∈ [0, 1] on a

limn→∞

fn(x) = f(x) ≡ 0, (convergence ponctuelle mais non uniforme vers

zero !).

On a∫ 1

0fn(x)dx = 1 alors que

∫ 1

0f(x)dx = 0. Ainsi on ne peut pas

permuter ”limite” et ”integrale” car :

1 = limn→∞

∫ 1

0

fn(x)dx 6=∫ 1

0

limn→∞

fn(x)dx = 0.

Remarque 7.3. Si (fn)∞n=0 est une suite croissante de fonctions dans

C0([a, b]) qui converge ponctuellement vers f ∈ C0([a, b]) alors, par le

theoreme de Dini, on obtient la convergence uniforme de la suite et par

consequent limn→∞

∫ bafn(x)dx =

∫ baf(x)dx. On obtient ainsi, si (fn)

∞n=0

⊂ C0([a, b]) est une suite monotone et convergente ponctuellement vers

f ∈ C0([a, b]), le resultat suivant :

limn→∞

∫ b

a

fn(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx =

∫ b

a

limn→∞

fn(x)dx.

95

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7.3. Changement de variables.

Theoreme 7.9. Soit f ∈ C0([a, b]) et soit ϕ ∈ C1(I) ou I est un

intervalle ouvert. On suppose qu’il existe α < β, α, β ∈ I tel que

ϕ([α, β]) = [a, b], ϕ(α) = a, ϕ(β) = b. Alors

∫ b

a

f(x)dx =

∫ β

α

f (ϕ(t))ϕ′(t)dt.

Demonstration. Si t ∈ [α, β], on definit

G(t) =

∫ ϕ(t)

a

f(x)dx et g(t) = f(ϕ(t))ϕ′(t).

On verifie (c.f. theoreme 7.5 ) que G′(t) = f(ϕ(t))ϕ′(t) = g(t), ∀t ∈]α, β[et donc G est une primitive de g sur [α, β] car G ∈ C0([α, β]). On obtient

donc∫ β

α

g(t)dt = G(β)−G(α) =

∫ b

a

f(x)dx.

7.4. Integration par parties.

Theoreme 7.10. Soit f, g ∈ C1(I) ou I est un intervalle ouvert de R et

soit a < b deux elements de I alors on a∫ b

a

f(x)g′(x)dx = (f(b)g(b)− f(a)g(a))−∫ b

a

f ′(x)g(x)dx.

Demonstration. Puisque (fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x), on a

∫ b

a

f ′(x)g(x)dx+

∫ b

a

f(x)g′(x)dx =

∫ b

a

(fg)′(x)dx = |fg(x)|x=bx=a

ou la notation |h(x)|x=bx=a signifie h(b)− h(a).

96

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Application : Calculer

∫ π/2

0

x︸︷︷︸f

sin x︸ ︷︷ ︸g′

dx = | − x cos x|x=π/2x=0 −(−∫ π/2

0

cos x dx

)=

=

∫ π/2

0

cos x dx = | sin x|x=π/2x=0 = 1.

7.5. Formule de Taylor avec reste integral.

Theoreme 7.11. Soit f ∈ Cn+1(I) ou I ⊂ R est un intervalle ouvert.

Soit a ∈ I. Alors pour tout x ∈ I on a

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2!(x− a)2 + . . .

+f (n)(a)

n!(x− a)n +

1

n!

∫ x

a

(x− t)nf (n+1)(t)dt.

Demonstration. Clairement si n = 0 on a bien f(x) = f(a) +∫ xaf ′(t)dt.

Supposons que la formule de Taylor ci-dessus soit vraie et montrons que

si f ∈ Cn+2(I) on a

f(x) =

n+1∑

k=0

f (k)(a)

k!(x− a)k +

1

(n+ 1)!

∫ x

a

(x− t)n+1f (n+2)(t)dt.

On a donc :

f(x) =n∑

k=0

f (k)(a)

k!(x− a)k +

1

(n)!

∫ x

a

(x− t)nf (n+1)(t)dt.

En integrant par parties le second terme ci-dessus, on obtient :

1

(n)!

∫ x

a

(x− t)nf (n+1)(t)dt

=

∣∣∣∣−1

n!

(x− t)n+1

n+ 1f (n+1)(t)

∣∣∣∣t=x

t=a

+1

(n)!

∫ x

a

(x− t)n+1

n + 1f (n+2)(t)dt

=1

(n+ 1)!f (n+1)(a)(x− a)n+1 +

1

(n+ 1)!

∫ x

a

(x− t)n+1f (n+2)(t)dt.

Ainsi on obtient le resultat attendu.

97

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7.6. Decomposition en elements simples.

Soit P (x) et Q(x) deux polynomes n’ayant aucun diviseur commun. On

suppose que Q(x) est unitaire, i.e. le coefficient du plus haut degre est 1,

et soit a1, . . . , an les racines reelles de Q(x), ai 6= aj , i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n.

Le theoreme fondamental de l’algebre nous dit que

Q(x) =n∏

i=1

(x− ai)ki ·

m∏

j=1

(x2 + 2bjx+ cj

)ℓj ,

ou k1, k2, . . . , kn, ℓ1, ℓ2, . . . , ℓm sont des entiers positifs, les termes (x2 +

2bjx + cj) sont des diviseurs irreductibles de Q tous distincts. On peut

alors demontrer que le quotient P (x)/Q(x) peut toujours s’ecrire comme :

P (x)

Q(x)= R(x) +

k1∑

ℓ=1

α1ℓ

(x− a1)ℓ+

k2∑

ℓ=1

α2ℓ

(x− a2)ℓ+ . . .+

kn∑

ℓ=1

αnℓ(x− an)ℓ

+ℓ1∑

k=1

β1kx+ γ1k(x2 + 2b1x+ c1)k

+ . . .+ℓm∑

k=1

βmkx+ γmk(x2 + 2bmx+ cm)k

.

98

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7.7. Integration d’une fonction rationnelle.

Soit P (x), Q(x) deux polynomes n’ayant pas de diviseur commun et tels

que Q(x) ne s’annule pas sur l’intervalle ferme [x1, x2]. Pour calculer∫ x2x1

P (x)Q(x)

dx, il suffit de decomposer la fraction rationnelle en elements

simples. Ainsi, on a a integrer des termes du type 1(x−a)ℓ et βx+γ

(x2+2bx+c)k

entre a et b. On a :

• Primitive de1

(x− a)donnee par log |x− a| ;

• Primitive de1

(x− a)ℓavec ℓ > 1 donnee par

1

1− ℓ

1

(x− a)ℓ−1;

• Primitive deβx+ γ

(x2 + 2bx+ c)=β

2

2x+ 2b

(x2 + 2bx+ c)+

γ − bβ

(x2 + 2bx+ c)donnee

par

β

2log |x2 + 2bx+ c|+ γ − bβ√

c− b2Arctg

x+ b√c− b2

.

(Remarque : c− b2 est positif car sinon, si b2 − c ≥ 0, on aurait (x2 +

2bx+ c) = (x+ b+√b2 − c)(x+ b−

√b2 − c) et ainsi x2+2bx+ c serait

un diviseur reductible !).

• Primitive deβx+ γ

(x2 + 2bx+ c)kavec k > 1, on ecrit

βx+ γ

(x2 + 2bx+ c)k=β

2

2x+ 2b

(x2 + 2bx+ c)k+

γ − bβ

(x2 + 2bx+ c)k.

Ainsi une primitive de2x+ 2b

(x2 + 2bx+ c)kest donnee par

1

(1− k)(x2 + 2bx+ c)k−1.

Il reste a trouver une primitive de1

(x2 + 2bx+ c)k. Avec un changement

de variables fait comme ci-dessous :

• x2+2bx+c = (x+b)2+c−b2 = (c−b2)[(

x+b√c−b2

)2+1] et si t =

x+ b√c− b2

on a x2+2bx+c = (c−b2)(t2+1) ; il suffit de savoir integrer1

(t2 + 1)k.

99

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Exercice : Si In(x) =

∫ x

0

dt

(1 + t2)n, n entier positif, alors on a

2n In+1(x) =x

(x2 + 1)n+ (2n− 1)In(x).

Indication : Poser u(t) =1

(1 + t2)n, v(t) = t. Ainsi, In(x) =

∫ x

0

u(t)v′(t)dt

et utiliser la formule d’integration par parties.

7.8. Quelques changements de variables.

Posons R(s1, s2, . . . , sk) =P (s1, s2, . . . , sk)

Q(s1, s2, . . . , sk)ou P etQ sont des polynomes

a k variables reelles. Si on veut integrer

• R(ex,sh x,ch x,th x,cth x), on fait le changement x = log t, t > 0 ;

• R(sin x, cos x,tg x,cotg x), on fait le changement x = 2 Arctg t, t ∈ R ;

• R(x,√β2x2 + α2), on fait le changement x = α

βsh t, t ∈ R ;

• R(x,√α2 − β2x2), on fait le changement x = α

βsin t, t ∈ R

• R(x,√β2x2 − α2), on fait le changement x = α

βch t, t ∈ R ;

• etc...

On peut utiliser MAPLE ou MATLAB pour obtenir bon nombre de

resultats d’integration ! ! !

100

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8. Integrales generalisees

8.1. Integrants singuliers sur des intervalles bornes.

Soit f : [a, b[→ R une fonction continue sur l’intervalle [a, b[ ou a < b. Si

x ∈ [a, b[, on peut calculer :

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt.

Definition 8.1. Si limx→

<bF (x) existe, on dit que

∫ baf(t)dt existe (ou

converge) et on pose par definition∫ baf(t)dt = lim

x→<bF (x). Si lim

x→<bF (x)

n’existe pas, on dit que l’integrale∫ baf(t)dt diverge.

Remarque 8.1. Si f :]a, b] → R est une fonction continue, ou a < b, on

definit de la meme maniere F (x) =∫ bxf(t)dt avec x ∈]a, b] et si lim

x→>aF (x)

existe, on pose∫ baf(t)dt = lim

x→>aF (x).

Si f :]a, b[→ R est continue, on pose∫ baf(t)dt =

∫ caf(t)dt +

∫ bcf(t)dt si

c ∈]a, b[ et si ces 2 dernieres integrales existent.

Lemme 8.1. Soit F : [a, b[→ R une fonction uniformement continue sur

l’intervalle [a, b[ avec a < b. Alors limx→

<bF (x) existe.

Demonstration. Soit (xn)∞n=1 ⊂ [a, b[ telle que lim

n→∞xn = b. Comme F est

uniformement continue sur [a, b[, pour tout ε > 0 il existe δ > 0 tel que

∀x, y ∈ [a, b[, |x − y| ≤ δ, on a |F (x) − F (y)| ≤ ε. Soit donc N > 0 tel

que ∀n ≥ N on ait |xn− b| ≤ δ2. Ainsi, ∀n,m ≥ N , on aura |xn−xm| ≤ δ

et donc |F (xn)− F (xm)| ≤ ε. On a donc prouve que (F (xn))∞n=1 est une

101

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suite de Cauchy et on pose s = limn→∞

F (xn).

Soit M > 0 tel que ∀n ≥ M on a |s − F (xn)| ≤ ε. En prenant K =

max(M,N) on aura pour n ≥ K :

|b− xn| ≤δ

2et |s− F (xn)| ≤ ε.

Soit x ∈ [b − δ2, b[. On a ainsi |x− xK | ≤ |b − x| + |b − xK | ≤ δ et donc

|F (x)− F (xK)| ≤ ε. Il suit donc que

|s− F (x)| ≤ |s− F (xK)|+ |F (xK)− F (x)| ≤ 2ε,

ce qui montre que limx→

<bF (x) = s.

Corollaire 8.1. Si f : [a, b[→ R est continue et bornee, alors∫ baf(x)dx

existe.

Demonstration. Pour x ∈ [a, b[ posons F (x) =∫ xaf(t)dt. Alors on a pour

x, y ∈ [a, b[: |F (x) − F (y)| ≤ M |x − y| ou M = supt∈[a,b[

|f(t)|. Ainsi F est

uniformement continue et donc limx→

<bF (x) existe.

Definition 8.2. Soit f : [a, b[→ R continue. On dit que f est abso-

lument integrable sur [a, b[ ou que l’integrale generalisee∫ baf(x)dx est

absolument convergente si∫ ba|f(x)|dx est convergente.

Theoreme 8.1. Si l’integrale generalisee

∫ b

a

f(x)dx est absolument conver-

gente, alors elle est convergente.

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Demonstration. Supposons que limx→

<b

∫ x

a

|f(t)|dt existe et montrons que

limx→

<b

∫ x

a

f(t)dt existe. On pose F (x) =

∫ x

a

f(t)dt et on obtient pour tous

x, y ∈ [a, b[, y ≥ x :

|F (x)− F (y)| =∣∣∣∣∫ y

x

f(t)dt

∣∣∣∣ ≤∫ y

x

|f(t)|dt.

Si on pose G(x) =∫ xa|f(t)|dt, on obtient

|F (x)− F (y)| ≤ |G(x)−G(y)|, ∀x, y ∈ [a, b[. (8.1)

La fonction G est prolongeable sur [a, b] de facon continue, puisque par

hypothese limx→

<bG(x) existe. On note encore G(x) ce prolongement continu

sur [a, b] et ainsi G : [a, b] → R est continue et donc uniformement

continue. L’inegalite (8.1) montre que F est uniformement continue sur

[a, b[ et par le lemme 8.1, limx→

<bF (x) existe.

Exemple 8.1. Montrer que∫ 2π

0sinxx3/2

dx est absolument convergente (donc

convergente). Puisque | sin x| ≤ |x|, ∀x ∈ R on a pour x, y ∈]0, 2π]∣∣∣∣∫ y

x

|sin tt3/2

|dt∣∣∣∣ ≤

∣∣∣∣∫ y

x

t−1/2dt

∣∣∣∣ = |2(√y −√x)|.

Ce qui prouve que G(x) =∫ 2π

x| sin tt3/2

|dt est uniformement continue sur

]0, 2π] (Puisque√x est uniformement continue sur [0, 2π], G(x) l’est

aussi !). Ainsi limx→

>0G(x) existe et on conclut que sin t

t3/2est absolument

integrable sur ]0, 2π].

On donne ci-dessous deux resultats sans demonstration :

• Resultat 1 : Si f : [a, b[→ [0,∞[ est une fonction continue, alors

· soit limx→

<b

∫ xaf(t)dt existe,

103

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· soit limx→

<b

∫ xaf(t)dt = +∞ ; alors, on note

∫ baf(t)dt = +∞.

• Resultat 2 : Soient f, g : [a, b[→ [0,∞[ deux fonctions continues

telles que ∀t ∈ [a, b[, 0 ≤ f(t) ≤ g(t). Alors,

· si∫ bag(t)dt existe alors

∫ baf(t)dt existe ;

· si∫ baf(t)dt = +∞ alors

∫ bag(t)dt = +∞.

8.2. Integrales sur des intervalles non bornes.

Soit f : [a,+∞[→ R une fonction continue et considerons la fonction

F (x) =∫ xaf(t)dt ou x ∈ [a,+∞[. Si la fonction F admet une limite

lorsque x→ +∞, on dit que l’integrale generalisee∫ +∞a

f(t)dt existe ou

converge. On pose∫ +∞

a

f(t)dt = limx→+∞

∫ x

a

f(t)dt.

Dans le cas contraire, on dit que l’integrale n’existe pas ou qu’elle di-

verge. Si on remplace f(t) par |f(t)| dans les expressions ci-dessus, on

dit que l’integrale∫ +∞a

f(t)dt est absolument convergente (ou absolument

divergente).

Exercice :∫∞0

11+x2

dx est absolument convergente car F (x) =∫ x0

11+t2

dt =

Arctg(x) → π2si x→ +∞.

Exercice :∫∞1

sinxxdx est convergente. En effet, si F (x) =

∫ x1

sin ttdt, on

integre par parties pour obtenir

F (x) = − cos t

t

∣∣∣∣t=x

t=1

−∫ x

1

cos t

t2dt = cos 1− cosx

x−∫ x

1

cos t

t2dt.

104

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On verifie que∫∞1

cos tt2dt existe et cos x

x→

x→+∞0. Par contre, on peut mon-

trer que∫∞0

sinxxdx n’est pas absolument convergente !

Si f : [a,+∞[→ R est continue et si∫ +∞a

f(x)dx est absolument

convergente, f n’est pas necessairement bornee.

Pour n ≥ 1, on definit la fonction fn : [0,∞[→ R par :

fn(x) =

0, si 0 ≤ x ≤ n− 1n3 ,

(n− n5) + n4x, si n− 1n3 ≤ x ≤ n,

(n+ n5)− n4x, si n ≤ x ≤ n + 1n3 ,

0, si x ≥ n + 1n3 .

Si on pose f(t) =∑N

n=1 fn(t) ou N est un entier, N > t, on obtient

F (x) =∫ x0f(t)dt ≤

∑Nn=1

∫∞0fn(t)dt ou N > x et ainsi on obtient que

F (x) ≤∑∞

n=11n2 = π2

6. La fonction F (·) est croissante et bornee ; elle

est donc convergente. Ainsi∫ +∞0

f(x)dx est convergente et pourtant f

n’est pas bornee.

Exercice : Demontrer que si∫ +∞a

f(x)dx est absolument convergente,

alors∫ +∞a

f(x)dx est convergente.

Exercice : Demontrer que si∫ +∞a

f(x)dx est convergente et si limx→+∞

f(x)

existe, alors limx→+∞

f(x) = 0.

Si limx→+∞

f(x) = 0, la fonction n’est pas necessairement integrable.

Exemple : ∫ +∞

1

1

xdx = +∞.

105

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On donne ci-dessous deux resultats sans demonstration :

• Resultat 1 : Si f : [a,∞[→ [0,∞[ est une fonction continue, alors

· soit limx→+∞

∫ xaf(t)dt existe,

· soit limx→+∞

∫ xaf(t)dt = +∞ ; alors on note

∫ +∞a

f(t)dt = +∞.

• Resultat 2 : Soient f, g : [a,∞[→ [0,∞[ deux fonctions continues

telles que ∀t ∈ [a,∞[, 0 ≤ f(t) ≤ g(t). Alors,

· si∫ +∞a

g(t)dt existe alors∫ +∞a

f(t)dt existe ;

· si∫ +∞a

f(t)dt = +∞ alors∫ +∞a

g(t)dt = +∞.

Soit maintenant une fonction f :]a,+∞[→ R continue avec a ∈ R ou

a = −∞. Si c ∈]a,+∞[, on peut ecrire∫ +∞a

f(x)dx =∫ caf(x)dx +

∫ +∞c

f(x)dx si ces deux integrales sont convergentes. Il est facile de voir

que, dans ce cas-la, la somme de ces deux integrales est independante du

choix de c ∈]a,+∞[. On dira donc que∫∞af(x)dx est convergente (ou

absolument convergente) si les deux integrales∫ caf(x)dx et

∫ +∞c

f(x)dx

sont convergentes (ou absolument convergentes) et on pose∫∞af(x)dx =

∫ caf(x)dx+

∫ +∞c

f(x)dx.

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9. Equations differentielles

9.1. Introduction.

Soit I ⊂ R un intervalle borne ou non et soit encore f : I × R → R

une fonction donnee. On cherche une fonction u : I → Rt u(t)

differentiable et

telle que

u′(t) = f(t, u(t)), ∀t ∈ I, (9.1)

ou u′(t) = dudt(t). On notera parfois u′(t) ou u(t).

Definition 9.1. L’equation (9.1) est appelee equation differentielle. Une

solution u de (9.1) est appelee integrale de l’equation differentielle.

Exemple 9.1. I = R, f(t, x) = t2 + x. L’equation differentielle devient

u(t) = t2 + u(t), t ∈ R.

On verifie que u(t) = cet − (t2 + 2t + 2) ou c ∈ R est une integrale de

l’equation differentielle.

Exemple 9.2. I = [0,∞[, f(t, x) = x2. L’equation differentielle devient

u(t) = u2(t), t > 0.

On verifie que u(t) = 1c−t ou c < 0 est une integrale de l’equation

differentielle. On a aussi u ≡ 0.

Exemple 9.3. I = [0,∞[, f(t, x) = 3√x. L’equation differentielle devient

u(t) = 3√u(t), t ≥ 0.

107

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On verifie que u(t) = ±√(

23t+ c

)3ou c ≥ 0 est une integrale de

l’equation differentielle. On a aussi u ≡ 0.

9.2. Probleme a valeur initiale.

Supposons que I soit du type I = [0,∞[, et soit u0 ∈ R. Si on cherche

une integrale de l’equation differentielle u′(t) = f(t, u(t)), ∀t ∈ I qui

satisfait u(0) = u0, on dit que l’on a un probleme de Cauchy. La condition

u(0) = u0 est dite condition de Cauchy.

• Dans l’exemple 9.1, on a u(0) = c− 2 = u0 ; ainsi c est determine car

on trouve c = u0 + 2. Le probleme de Cauchy

u(t) = t2 + u(t), t > 0,

u(0) = u0,

a une solution unique qui est u(t) = (2 + u0)et − (t2 + 2t+ 2).

• Dans l’exemple 9.2, si u0 > 0, on n’a pas de solution sur tout I = [0,∞[

car on obtient u(t) = 1u−10 −t , t ∈ [0, u−1

0 [ qui “explose” lorsque t →<

1uo.

Si u0 = 0, on obtient seulement la solution u ≡ 0 et si u0 < 0, alors on

obtient une solution sur tout I = [0,∞[ qui est u(t) = 1u−10 −t .

• Dans l’exemple 9.3, si u0 = 0, on obtient trois solutions qui sont u ≡ 0,

u(t) = ±√

827t3.

On doit faire face aux problemes d’existence de solutions, d’unicite et de

proprietes des solutions !

9.3. Probleme de Cauchy.

Soit I ⊂ R un intervalle de la forme I = [t0, T [ ou [t0, T ] ou [t0,∞[

avec T > t0. Soit encore f : I × R → R une fonction donnee que l’on

108

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supposera continue (i.e. ∀ε > 0 et ∀(t, x) ∈ I × R, il existe δ > 0 tel que

si (t, x) ∈ I × R verifie |t− t|+ |x− x| ≤ δ, alors |f(t, x)− f(t, x)| ≤ ε).

Si u0 ∈ R est donne, on pose le probleme de Cauchy : trouver u ∈ C1(I)

telle que u(t) = f(t, u(t)), t ∈ I,

u(t0) = u0.(9.2)

Remarque 9.1. Si I est un intervalle quelconque et si t0 ∈ I n’est pas

l’extremite gauche de I, on peut separer I = I1 ∪ I2 ou I1 est de la

forme I1 =]T1, t0] ou I1 = [T1, t0] ou I1 =] − ∞, t0] et I2 de la forme

I2 = [t0, T2[ ou I2 = [t0, T2] ou I2 = [t0,∞[, et faire un “recollement” en

t0. Le probleme de Cauchy sur I1 est le meme que sur I2 si nous prenons la

peine de changer t en −t. C’est la raison pour laquelle nous ne prendrons

que des intervalles du ”type I2”.

Definition 9.2. On appelle solution locale du probleme de Cauchy (9.2)

le couple (J, u(t)) ou J est un intervalle du type [t0, t0 + ε[ ou [t0, t0 + ε]

avec ε > 0 ou [t0,∞[ et u ∈ C1(J) qui verifie u(t) = f(t, u(t)), ∀t ∈ J ,

u(t0) = u0.

On dit que la solution locale (K,w(t)) prolonge strictement la solution

locale (J, u(t)) si J ⊂ K, J 6= K et si u(t) = w(t), ∀t ∈ J .

Definition 9.3. On dit que la solution locale (J, u(t)) est maximale s’il

n’existe pas de solution locale qui la prolonge strictement.

Definition 9.4. On dit que la solution maximale (J, u(t)) est une solution

globale si J = I. On dit que cette solution globale est unique si toute

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solution locale (K,w(t)) est telle que w(t) = u(t), ∀t ∈ K. On parle

dans ce cas de solution globale unique u(t). Les trois resultats suivants

ne seront pas demontres dans ce cours.

Theoreme 9.1. (Cauchy-Peano) Si f : I × R → R est continue, le

probleme de Cauchy a toujours au moins une solution locale (J, u(t)). De

plus, si (J, u(t)) est une solution maximale mais non globale, alors J a

necessairement la forme J = [t0, β[⊂ I, J 6= I et limt→<β|u(t)| = +∞.

Theoreme 9.2. On suppose qu’il existe une fonction ℓ : I → R continue

telle que x · f(t, x) ≤ ℓ(t)(1 + x2), ∀x ∈ R, ∀t ∈ I. Alors le probleme de

Cauchy admet au moins une solution globale.

Theoreme 9.3. On suppose qu’il existe une fonction ℓ : I → R continue

telle que (f(t, x)− f(t, y))(x− y) ≤ ℓ(t)(x− y)2, ∀t ∈ I, ∀x, y ∈ R. Alors

le probleme de Cauchy a une solution globale unique.

Remarque 9.2. L’hypothese du theoreme (9.3) est plus forte que celle

du theoreme (9.2). En effet, supposons que (f(t, x) − f(t, y))(x − y) ≤ℓ(t)(x − y)2 , ∀t ∈ I, ∀x, y ∈ R et posons y = 0. On a alors, ∀t ∈ I,

∀x ∈ R : (f(t, x)− f(t, 0))x ≤ ℓ(t)x2. Ainsi,

xf(t, x) ≤ f(t, 0)x+ ℓ(t)x2

≤ |f(t, 0)||x|+ |ℓ(t)|x2

≤ |f(t, 0)|(1 + x2) + |ℓ(t)|(1 + x2)

= (|f(t, 0)|+ |ℓ(t)|) (1 + x2)

et donc la fonction f verifie l’hypothese du theoreme (9.2) avec la fonction

|f(t, 0)|+ |ℓ(t)|.

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Theoreme 9.4. (Cauchy-Lipschitz) On suppose que f : I × R → R est

continue et de plus qu’il existe une fonction continue ℓ : I → R telle que

|f(t, x)− f(t, y)| ≤ ℓ(t)|x− y|, ∀x, y ∈ R, ∀t ∈ I.

Alors le probleme de Cauchy a une solution globale unique.

Demonstration. C’est une consequence immediate du theoreme 9.3. En

effet pour tout t ∈ I et pour tout x, y ∈ R, on a

(f(t, x)− f(t, y)) (x− y) ≤ |f(t, x)− f(t, y)| · |x− y| ≤ ℓ(t)|x− y|2.

Remarque 9.3. Le theoreme 9.4 est evidemment plus faible que le

theoreme 9.3. Par exemple si I = [0,∞[ et f(t, x) = −x3, le probleme de

Cauchy devient u(t) = −u(t)3, t ∈ I, u(0) = u0. On verifie que

f(t, x)− f(t, y) = −x3 + y3 = −(x− y)(x2 + xy + y2)

= −(x− y)(1

2x2 +

1

2y2 +

1

2(x+ y)2)

et donc

(f(t, x)− f(t, y))(x− y) = −(x− y)2(1

2x2 +

1

2y2 +

1

2(x+ y)2)

≤ 0, ∀x, y ∈ R.

En posant ℓ(t) = 0, le theoreme 9.3 implique l’existence et l’unicite d’une

solution globale u(t) du probleme de Cauchy. On peut verifier que cette

solution est donnee par

u(t) =u0√

1 + 2 u20 t, t ∈ [0,∞[.

Par contre, le theoreme 9.4 ne peut s’appliquer dans ce cas-ci !

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Exemple 9.4. I = [0,∞[, f(t, x) = t2+x. On a (f(t, x)−f(t, y))(x−y) =(x− y)2 et on prend ℓ(t) = 1. Ainsi on a une solution globale unique du

probleme de Cauchy : u(t) = t2 + u(t), t > 0, u(0) = u0.

Exemple 9.5. I = [0,∞[, f(t, x) = x2, u0 = 1. J = [0, 1[, u(t) = 11−t

qui est une solution maximale.

Exemple 9.6. I = [0,∞[, f(t, x) = −x3+t2. On a alors (f(t, x)− f(t, y))

(x− y) = (−x3+ y3)(x− y) = −(x2+xy+ y2)(x− y)2 = −[( x√

2+ y√

2)2+

x2

2+ y2

2

](x− y)2 ≤ 0. On prend ℓ(t) ≡ 0. Ainsi le probleme de Cauchy

u(t) = t2 − u3(t), t ∈ I = [0,∞[,

u(0) = u0

a une unique solution globale.

9.4. Equations differentielles a variables separees.

Soit g : [0,∞[→ R et k : R → R deux fonctions continues. On pose

f(t, x) = g(t)k(x) et sur I = [0,∞[ on pose le probleme de Cauchy

u(t) = g(t)k(u(t)), t ∈ I,

u(0) = u0.(9.3)

Supposons k(u0) 6= 0. Ainsi il existe ε > 0 tel que k(x) possede un signe

pour x ∈]u0−ε, u0+ε[. On conclut que pour x ∈]u0−ε, u0+ε[ la fonction

F (x) =

∫ x

u0

1

k(s)ds

est bien definie et strictement monotone. On note alors F−1 son inverse

et on a F−1(0) = u0. Si G(t) =∫ t0g(s)ds, on va verifier que u(t) =

F−1(G(t)) est solution du probleme de Cauchy lorsque t ∈ [0, δ[ ou δ > 0

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est tel que G(t) ∈ F (]u0 − ε, u0 + ε[), ∀t ∈ [0, δ[. En effet, on a bien

u(0) = F−1(G(0)) = F−1(0) = u0.

D’autre part, on a F (u(t)) = G(t), ce qui implique

F ′(u(t))u′(t) = G′(t)

et donc 1k(u(t))

u′(t) = g(t). On a donc bien u(t) = g(t)k(u(t)). On verifie

que cette solution locale (J, u(t)) avec J = [0, δ[ et u(t) = F−1(G(t)) est

unique dans le sens ou si on a une autre solution locale (K,w(t)), alors

u(t) = w(t), ∀t ∈ K ∩ J .Si k(u0) = 0 on verifie aisement que la solution triviale u(t) = u0, ∀t ∈[0,∞[ est une solution globale du probleme de Cauchy (9.3). Dans ce cas,

il peut exister d’autres solutions comme on peut le voir dans l’exemple 9.3

ou k(x) = 3√x et g(t) = 1. Nous avons vu que dans cet exemple, lorsqu’on

prend u0 = 0, on obtient les trois solutions u ≡ 0 et u(t) = ±√

827t3.

Remarque 9.4. Si k : R → R ne s’annule pas, alors le probleme de

Cauchy ci-dessus a une unique solution maximale.

Exemple 9.7.u(t) = t2(1 + u2(t)), t ∈ [0,∞[,

u(0) = u0.

On a du(1+u2)

= t2dt qui, en integrant, donne Arctg (u) = t3

3+ c.

Pour t = 0 on a c = Arctg (u0). Ainsi u(t) = tg ( t3

3+ Arctg u0). Si on

pose β = 3

√3(π2− Arctg u0

)et J = [0, β[, on obtient la solution locale

(J, u(t)) qui est une solution maximale.

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9.5. Equations differentielles lineaires du premier ordre.

Soit g : [0,∞[→ R et p : [0,∞[→ R deux fonctions continues. On pose

f(t, x) = g(t)− p(t)x et le probleme de Cauchy devient

u(t) + p(t)u(t) = g(t), t ∈ [0,∞[,

u(0) = u0.(9.4)

Clairement (f(t, x) − f(t, y))(x − y) = −p(t)(x − y)2 ≤ |p(t)||x − y|2,∀x, y ∈ R, ce qui prouve, par le theoreme 9.3, que ce probleme de Cauchy

a une solution unique.

L’equation differentielle de (9.4) est dite equation differentielle lineaire

du premier ordre. L’equation

u(t) + p(t)u(t) = 0, ∀t ∈ [0,∞[

est dite equation differentielle lineaire du premier ordre homogene (ou

sans second membre : on notera s.s.m.). Si c ∈ R et si

P (t) =

∫ t

0

p(s)ds,

on verifie que u(t) = ce−P (t) est une solution de l’equation s.s.m.

On verifie facilement le principe de superposition suivant. Si g1 et g2 sont

deux seconds membres de (9.4), i.e.

u(t) + p(t)u(t) = g1(t), ∀t ∈ [0,∞[,

v(t) + p(t)v(t) = g2(t), ∀t ∈ [0,∞[,

alors w(t) =def

u(t) + v(t) verifie

w(t) + p(t)w(t) = g(t), ∀t ∈ [0,∞[

avec g(t) = g1(t) + g2(t). Ainsi, en prenant g2 = 0, on verifie que :

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Theoreme 9.5. Toute solution de u(t) + p(t)u(t) = g(t), t ∈ [0,∞[ est

de la forme

u(t) = w(t) + ce−P (t)

ou w est une solution particuliere de l’equation avec second membre et

ce−P (t) est la solution generale de l’equation s.s.m.

Exemple 9.8.u(t) + tu(t) = 1 + t2, t ∈ [0,∞[,

u(0) = u0.

Une solution particuliere de l’equation avec second membre est w(t) = t.

La solution generale de l’equation s.s.m. est ce−t2/2. Ainsi on aura u(t) =

ce−t2/2 + t. La condition u(0) = u0 donne c = u0.

Pour trouver la solution du probleme de Cauchy (9.4), on peut utiliser

une technique dite ”variation de la constante” qui consiste :

1o) A exprimer les solutions generales de l’equation sans second membre,

i.e.

u(t) = c e−P (t) ou P (t) =

∫ t

0

p(s) ds;

2o) A chercher une solution du probleme (9.4) sous la forme

u(t) = c(t)e−P (t)

ou c(·) est une fonction C1([0,∞[). En derivant cette relation, on

obtient :

u(t) = c(t)e−P (t) − c(t)p(t)e−P (t)

et par suite

u(t) + p(t)u(t) = c(t)e−P (t).

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Si u est solution du probleme (9.4), alors on a necessairement

c(t)e−P (t) = g(t)

et par suite, en integrant et en tenant compte de la condition

initiale :

c(t) =

∫ t

0

g(s)eP (s)ds+ u0.

Ainsi donc, l’unique solution globale du probleme (9.4) est fournie

par l’expression suivante :

u(t) =

(u0 +

∫ t

0

g(s)eP (s)ds

)e−P (t), t ∈ [0,∞[

ou P (t) =∫ t0p(s) ds.

Exemple 9.9. Si on considere a nouveau l’exemple 9.8 dans lequel p(t) =

t et g(t) = 1 + t2, on obtient :

P (t) =

∫ t

0

s ds =t2

2;

∫ t

0

g(s)eP (s)ds =

∫ t

0

es2/2ds+

∫ t

0

s2es2/2ds.

En integrant le premier terme de droite par parties, on obtient :∫ t

0

es2/2ds =

∫ t

0

1︸︷︷︸u′

· es2/2︸︷︷︸v

ds = t et2/2 −

∫ t

0

s2es2/2ds.

Ainsi, on a finalement∫ t

0

g(s)eP (s)ds = t et2/2

et par suite u(t) =(u0 + t et

2/2)e−t

2/2 = u0 e−t2/2 + t.

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9.6. Equations differentielles lineaires du premier ordre a coef-

ficients constants.

Dans ce paragraphe, on considere le probleme de Cauchy (9.4) lorsque

p(t) = a = constante, ∀t ∈ [0,∞[. Ainsi le probleme devient :

Trouver u : [0,∞[→ R derivable tel que :

u(t) + au(t) = g(t), t ∈ [0,∞[,

u(0) = u0.(9.5)

Si a = 0, on a bien sur u(t) =∫ t0g(s) ds + u0. Supposons donc dans la

suite a 6= 0.

En utilisant le theoreme (9.5), on verifie que les solutions de l’equation

differentielle

u(t) + au(t) = g(t), (9.6)

sont donnees par

u(t) = ce−at + w(t)

ou c ∈ R et w est une solution particuliere de (9.6). Ainsi la solution

globale du probleme de Cauchy (9.5) est donnee par :

u(t) = (u0 − w(0))e−at + w(t). (9.7)

Il suffit donc de trouver une solution particuliere w de (9.6) pour obtenir

la solution du probleme de Cauchy (9.5).

Dans la suite, on etudie trois cas particuliers.

1er cas : On suppose que g est une fonction polynomiale de degre

n, i.e.

g(t) = antn + an−1t

n−1 + an−2tn−2 + . . .+ a1t + a0

ou an, an−1, . . . , a1, a0 sont des nombres reels donnes et tels que

an 6= 0.

Cherchons alors une solution particuliere w de (9.6) sous la meme

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forme, i.e., w = polynome de degre n :

w(t) = αntn + αn−1t

n−1 + αn−2tn−2 + . . .+ α1t+ α0

ou les αj , j = 0, 1, 2, . . . , n sont a determiner.

En ecrivant w(t) + aw(t) = g(t) et en identifiant les deux po-

lynomes de degre n obtenus de chaque cote de cette egalite, on

obtient successivement :

αn =ana, αn−1 =

an−1 − nαna

, αn−2 =an−2 − (n− 1)αn−1

a,

. . . , α1 =a1 − 2α2

a, α0 =

a0 − α1

a.

Ainsi, si g est un polynome de degre n, il existe une solution

particuliere w de (9.6) sous la forme d’un polynome de degre n.

2e cas : On suppose que g est de la forme

g(t) = b sinωt+ c cosωt ou b, c, ω ∈ R (ω 6= 0)

sont donnes, et cherchons une solution particuliere de (9.6) sous

la forme

w(t) = β sinωt+ γ cosωt.

En remplacant dans l’equation w(t)+aw(t) = g(t) et en identifiant

le membre de gauche a celui de droite de cette egalite, on obtient :

aβ − γω = b, et aγ + ωβ = c,

et par suite :

β =ab+ ωc

a2 + ω2, γ =

ac− ωb

a2 + ω2.

Ainsi, si g est de la forme g(t) = b sinωt+ c cosωt avec ω 6= 0, il

existe une solution particuliere w de (9.6) de la meme forme, i.e.,

w(t) = β sinωt+ γ cosωt.

Remarque : Si g est un polynome trigonometrique d’ordre n, i.e.,

g(t) = a0+∑n

k=1(ak cos kt+bk sin kt) ou les coefficients a0, ak, k =

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1, 2, . . . , n sont donnes, on cherche une solution particuliere w de

la meme forme w(t) = α0 +∑n

k=1(αk cos kt+ βk sin kt).

3e cas : On suppose que g est de la forme

g(t) = eωt, ou ω ∈ R, ω 6= 0.

Si on cherche une solution particuliere de (9.6) sous la forme

w(t) = αeωt, on obtient

aα + ωα = 1,

c’est-a-dire α = 1a+ω

, si ω 6= −a.Par contre, si ω = −a, on verifie qu’une solution particuliere est

w(t) = te−at.

Ainsi, si g est de la forme g(t) = eωt avec ω 6= 0 et ω 6= −a,on obtient une solution particuliere w de (9.6) qui est donnee

par w(t) = (a + ω)−1eωt. Si ω = −a, on aura w(t) = te−at pour

solution particuliere.

Exemple 9.10. On considere le probleme de Cauchyu(t) + u(t) = t2 + sin t+ e−t, t ∈ [0,∞[,

u(0) = 0.(9.8)

1o) On cherche une solution particuliere w1 de

w1(t) + w1(t) = t2

sous la forme w1(t) = α2t2+α1t+α0. On obtient w1(t) = 2α2t+α1

et par suite

w1(t) + w1(t) = α2t2 + (α1 + 2α2)t+ α0 + α1 = t2.

Ainsi, α2 = 1, α1 = −2α2 = −2, α0 = −α1 = 2 et

w1(t) = t2 − 2t+ 2.

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2o) On cherche une solution particuliere w2 de

w2(t) + w2(t) = sin t

sous la forme w2(t) = β sin t + γ cos t. On obtient β − γ = 1 et

β + γ = 0. Ainsi β = 12, γ = −1

2et

w2(t) =1

2(sin t− cos t).

3o) Une solution particuliere de w3(t) + w3(t) = e−t est donnee par

w3(t) = te−t.

En resume, une solution particuliere de

u(t) + u(t) = t2 + sin t + e−t

sera donnee par w(t) = w1(t) + w2(t) + w3(t) et la solution generale de

(9.8) sera donnee par

u(t) = ce−t + t2 − 2t+ 2 +1

2(sin t− cos t) + te−t.

Si t = 0, on obtient u0 = c + 2 − 12= 0 et ainsi c = −3

2. La solution du

probleme de Cauchy propose dans cet exemple devient :

u(t) = −3

2e−t + t2 − 2t+ 2 +

1

2(sin t− cos t) + te−t.

Nous terminons ce chapitre avec les equations differentielles du deuxieme

ordre qui jouent un role important en physique.

9.7. Equations differentielles lineaires du second ordre.

Dans ce paragraphe, on pose I = [0, T [ ou T ∈ R∗ (ou T = ∞) et soit

a, b, c : I → R trois fonctions continues donnees.

Nous appelons equation differentielle lineaire du deuxieme ordre l’equation :

u(t) + a(t)u(t) + b(t)u(t) = c(t), t ∈ I (9.9)

120

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ou u(t) = d2

dt2u(t) et u(t) = d

dtu(t).

Nous dirons que l’equation differentielle est sans second membre (s.s.m.)

ou homogene si c ≡ 0, i.e.

u(t) + a(t)u(t) + b(t)u(t) = 0, t ∈ I. (9.10)

Nous admettons sans demonstration le resultat suivant :

Resultat :

Soit u0, v0 ∈ R deux nombres reels donnes. Alors il existe une et une

seule solution u(t) de l’equation differentielle du deuxieme ordre (9.9)

qui satisfait les deux conditions initiales

u(0) = u0 et u(0) = v0.

En particulier, si u0 = v0 = 0, alors l’equation differentielle du deuxieme

ordre sans second membre (9.10) admet l’unique solution u(t) = 0,

∀t ∈ I.

Definition 9.5. Soit u1, u2 deux solutions de l’equation s.s.m. Nous di-

rons que ces deux solutions sont lineairement independantes si

(αu1(t) + βu2(t) = 0, ∀t ∈ I) ⇒ α = β = 0.

Elles sont lineairement dependantes s’il existe α, β non tous les deux nuls

tels que αu1(t)+βu2(t) = 0, ∀t ∈ I. Si β 6= 0, on obtient u2(t) = −αβu1(t)

et si α 6= 0, on obtient u1(t) = −βαu2(t).

Theoreme 9.6. Soit u1 une solution de l’equation (9.10) s.s.m. telle que

u1(t) 6= 0, ∀t ∈ I. Alors u2(t) = γ(t)u1(t) ou γ(t) =∫ t0e−A(s)

u21(s)ds, avec

A(s) =∫ s0a(τ)dτ , est aussi une solution de l’equation s.s.m. De plus, u1

et u2 sont lineairement independantes.

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Demonstration. Si on pose u2(t) = γ(t)u1(t), on a :

u2(t) = γ(t)u1(t) + γ(t)u1(t),

u2(t) = γ(t)u1(t) + 2γ(t)u1(t) + γ(t)u1(t).

Calculons

u2(t) + a(t)u2(t) + b(t)u2(t) = γ(t)u1(t) + (2u1(t) + a(t)u1(t)) γ(t).

On a γ(t) = e−A(t)

u21(t)et γ(t) = −e−A(t)

u31(t)(a(t)u1(t) + 2u1(t)) et ainsi

γ(t) = − γ(t)u1(t)

(a(t)u1(t) + 2u1(t)).

On conclut que u2(t) + a(t)u2(t) + b(t)u2(t) = 0, ∀t ∈ I. De plus γ(t) est

strictement croissante (γ(t) > 0, ∀t ∈ I) et donc u1, u2 sont lineairement

independantes.

Definition 9.6. Soit u1, u2 deux solutions de l’equation differentielle du

deuxieme ordre s.s.m. Le wronskien W [u1, u2] de ces deux fonctions est

defini par W [u1, u2](t) = u1(t)u2(t)− u2(t)u1(t).

Theoreme 9.7. Deux solutions u1, u2 de l’equation s.s.m. sont lineairement

independantes si et seulement si W [u1, u2](t) 6= 0, ∀t ∈ I.

Demonstration.

1o) Pour montrer que (W [u1, u2](t) 6= 0, ∀t ∈ I) implique que u1, u2

sont lineairement independantes, il suffit de montrer que si u1, u2 sont

lineairement dependantes, alors il existe t ∈ I tel queW [u1, u2](t) = 0 ;

ce qui est evident si on a u1(t) = χu2(t) ou u2(t) = χu1(t) avec χ ∈ R.

2o) Montrons donc maintenant que si u1, u2 sont lineairement indepen-

dantes, alors W [u1, u2](t) 6= 0, ∀t ∈ I.

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Par l’absurde, s’il existe t ∈ I tel que W [u1, u2](t) = 0, on a

u1(t)u2(t)− u2(t)u1(t) = 0.

Considerons maintenant w(t) = u2(t)u1(t) − u1(t)u2(t). On a bien

evidemment w(t) + a(t)w(t) + b(t)w(t) = 0, ∀t ∈ I. De plus w(t) =

w(t) = 0, ce qui implique w(t) = 0, ∀t ∈ I (il suffit de prendre t comme

“temps initial” !). Ainsi, si u1(t) ou u2(t) est non nul, alors u1, u2 sont

lineairement dependantes, ce qui est contraire a l’hypothese.

Supposons u1(t) = u2(t) = 0. Alors u1(t) et u2(t) ne peuvent pas

etre les deux nulles a la fois car sinon on aurait u1 ≡ u2 ≡ 0, ce

qui est encore une fois absurde. Supposons donc u1(t) 6= 0 et posons

w(t) = u2(t)u1(t)

u1(t). On a bien evidemment w(t)+a(t)w(t)+b(t)w(t) = 0,

∀t ∈ I, w(t) = u2(t), w(t) = 0 = u2(t), et donc w(t) = u2(t), ∀t ∈ I.

Ainsi on obtient u2(t) = u2(t)u1(t)

u1(t), ∀t ∈ I, ce qui est encore une

fois contradictoire avec le fait que u1, u2 doivent etre lineairement

independantes.

Si u1(t) est une solution de l’equation s.s.m., nous savons construire une

solution u2(t) lineairement independante (pour autant que u1 ne s’annule

pas sur I !). L’idee est maintenant de construire, a partir de u1 et de u2,

une solution de l’equation avec second membre

u(t) + a(t)u(t) + b(t)u(t) = c(t), t ∈ I.

Cherchons une solution u(t) sous la forme u(t) = γ1(t)u1(t) + γ2(t)u2(t).

Si on calcule u(t) + a(t)u(t) + b(t)u(t) = c(t), on obtient :

c = γ1u1 + γ2u2 + a (γ1u1 + γ2u2) +d

dt(γ1u1 + γ2u2) .

On choisit encore de satisfaire l’equation γ1u1+γ2u2 ≡ 0 et nous obtenons

γ1u1 + γ2u2 = c.

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En resume donc :

Si nous connaissons deux solutions lineairement independantes de l’equation

s.s.m. u1(t) et u2(t) et si nous savons resoudre le systeme d’equations

differentielles du premier ordre pour γ1, γ2 :

γ1u1 + γ2u2 = 0,

γ1u1 + γ2u2 = c,

alors u(t) = γ1(t)u1(t) + γ2(t)u2(t) va satisfaire u+ au+ bu = c.

On obtient facilement

γ1 =−cu2

w[u1, u2]et γ2 =

cu1w[u1, u2]

et ainsi donc

γ1(t) =

∫ t

0

−c(s)u2(s)w[u1, u2](s)

ds+ c1

et

γ2(t) =

∫ t

0

c(s)u1(s)

w[u1, u2](s)ds+ c2

ou c1, c2 sont deux constantes d’integration. Ainsi on obtient u(t).

9.8. Equations differentielles lineaires a coefficients constants.

Supposons que a et b ∈ R et qu’on veuille trouver u1, u2 lineairement

independantes de l’equation

u(t) + au(t) + bu(t) = 0, ∀t ∈ I.

En remplacant u par r2, u par r et u par 1, on obtient une equation dite

caracteristique :

r2 + ar + b = 0.

1er cas : Si a2−4b > 0, l’equation caracteristique a deux racines reelles

distinctes qui sont λ1 =−a+

√a2−4b2

et λ2 =−a−

√a2−4b2

. Dans ce cas, on

verifie facilement que u1(t) = eλ1t et u2(t) = eλ2t sont deux solutions

lineairement independantes de u+ au+ bu = 0.

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2eme cas : Si a2 − 4b < 0, alors en posant λ =√4b−a22

, on verifie

que u1(t) = e−a2t sin(λt) et u2(t) = e−

a2t cos(λt) sont deux solutions

lineairement independantes de u+ au+ bu = 0.

3eme cas : Si a2 = 4b, on verifie que u1(t) = e−a2t et u2(t) = te−

a2t

sont aussi deux solutions lineairement independantes de l’equation ho-

mogene.

Exercice : Construire les solutions de u(t) + au(t) + bu(t) = c(t) dans les

trois cas ci-dessus.

Ici encore, lorsque c(t) prend la forme particuliere d’un polynome, ou

d’un polynome trigonometrique ou d’une exponentielle, on cherchera une

solution particuliere de l’equation

u(t) + au(t) + bu(t) = c(t), t ∈ I

sous la meme forme.

• Cas 1 : c(t) = tn. On pose u(t) = αntn+αn−1t

n−1 + . . .+α1t+α0

et on a, apres remplacement de cette expression dans l’equation :

bαn = 1,

bαn−1 + anαn = 0,

bαn−2 + a(n− 1)αn−1 + n(n− 1)αn = 0,

bαn−3 + a(n− 2)αn−2 + (n− 1)(n− 2)αn−1 = 0,

. . . etc.

Si b 6= 0, on obtient successivement αn = 1b, puis αn−1, αn−2, . . .

etc.

Si b = 0, l’equation differentielle se reduit a l’ordre 1 en posant

w = u.

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• Cas 2 : c(t) = sinωt, avec ω 6= 0 (idem pour cosωt). On pose

u(t) = α sinωt + β cosωt et on obtient, apres remplacement de

cette expression dans l’equation :(b− ω2)α− aωβ = 1,

aωα+ (b− ω2)β = 0.

On obtient un systeme de 2 equations a 2 inconnues qui sont α et

β. Si D est le determinant du systeme, on obtient :

D = (b− ω2)2 + a2ω2.

Si a 6= 0, ou/et b 6= ω2, ce systeme a une solution unique.

Si a = 0 et b = ω2, l’equation est reduite a

u(t) + ω2u(t) = sinωt.

En cherchant une solution de la forme u(t) = αt sinωt+βt cosωt,

on obtient α = 0, β = − 12ω.

• Cas 3 : c(t) = eωt, avec ω 6= 0. On pose u(t) = αeωt et, en rem-

placant dans l’equation, on obtient

α(ω2 + aω + b

)= 1.

Si ω2 + aω + b 6= 0, on obtient α = (ω2 + aω + b)−1.

Si ω2 + aω + b = 0, alors ω est une racine de l’equation ca-

racteristique. Deux sous-cas se presentent alors :

- Ou bien a2 − 4b > 0 et on a la solution particuliere

u(t) =1

a+ 2ωteωt.

- Ou bien a2−4b = 0 et dans ce cas, ω = −a2et on a la solution

particuliere

u(t) =1

2t2eωt.

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Exemple 9.11.

u(t) + 2u(t)− 8u(t) = t2 + 1 + et + e2t, t ∈ [0,∞[,

u(0) = u(0) = 0.

L’equation homogene est donnee par

w(t) + 2w(t)− 8w(t) = 0

et l’equation caracteristique devient :

r2 + 2r − 8 = 0

dont les deux racines sont r1 = 2 et r2 = −4 et on obtient

w(t) = c1e2t + c2e

−4t, ou c1, c2 ∈ R.

• Si on cherche une solution particuliere de l’equation

u1(t) + 2u1(t)− 8u1(t) = t2 + 1

sous la forme u1(t) = αt2+βt+γ, on obtient, apres remplacement

dans l’equation ci-dessus :

α = −1

8, β = − 1

16, γ = −11

64.

Ainsi,

u1(t) = − 1

64(8t2 + 4t+ 11).

• Si on cherche une solution particuliere de l’equation

u2(t) + 2u2(t)− 8u2(t) = et

sous la forme u2(t) = αet, on obtient, apres remplacement, α = −15

et donc

u2(t) = −1

5et.

• Si on cherche une solution particuliere de l’equation

u3(t) + 2u3(t)− 8u3(t) = e2t

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sous la forme u3(t) = αte2t, on obtient, apres remplacement, α = 16

et donc

u3(t) =1

6te2t.

La solution generale de l’equation differentielle de l’exemple est donnee

par

u(t) = c1e2t + c2e

−4t − 1

64(8t2 + 4t+ 11)− 1

5et +

1

6te2t.

Pour calculer c1 et c2, il suffit de considerer les conditions initiales u(0) =

u(0) = 0. On obtient alors

c1 =19

72, c2 =

311

2880.

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10. L’espace Rn

10.1. Generalites.

On notera Rn = R× R× . . .× R︸ ︷︷ ︸n fois

l’ensemble des n-uples x = (x1, x2, . . . , xn)

de nombres reels xj , j = 1, 2, . . . , n, muni des deux lois suivantes :

• si x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn et λ ∈ R, alors λx = (λx1, λx2, . . . , λxn) ;

• si x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn alors x + y = (x1 +

y1, x2 + y2, . . . , xn + yn).

Ainsi Rn est un espace vectoriel reel. L’element nul (0, 0, . . . , 0) est note

encore 0.

Definition 10.1. Une norme sur Rn est une application N : Rn → R+

qui satisfait les conditions suivantes :

1) N(x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn et N(x) = 0 ⇔ x = 0 ;

2) N(λx) = |λ|N(x), ∀x ∈ Rn, ∀λ ∈ R (homogeneite positive) ;

3) N(x+ y) ≤ N(x) +N(y), ∀x,y ∈ Rn (inegalite triangulaire).

Souvent N(x) est note ‖x‖.

Exemple 10.1. On peut montrer que si 1 ≤ p < ∞ alors ‖x‖p =(∑nj=1 |xj |p

)1/pest une norme sur Rn. De meme ‖x‖∞ = max

1≤j≤n|xj| est

aussi une norme sur Rn.

Definition 10.2. Un produit scalaire sur Rn est une application b :

Rn × Rn → R qui satisfait les conditions suivantes :

1) b est symetrique, c’est-a-dire b(x,y) = b(y,x), ∀x,y ∈ Rn ;

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2) b est bilineaire, i.e. lineaire dans chaque argument, i.e. b(αx+βy, z) =

αb(x, z) + βb(y, z), ∀α, β ∈ R, ∀x,y, z ∈ Rn ;

3) b(x,x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn et b(x,x) = 0 ⇔ x = 0.

Lemme 10.1. (Inegalite de Cauchy-Schwarz) Si b est un produit scalaire

sur Rn, alors |b(x,y)|2 ≤ b(x,x) · b(y,y), ∀x,y ∈ Rn.

Demonstration. Si α ∈ R, x,y ∈ Rn, on a 0 ≤ b(αx + y, αx + y) =

α2b(x,x)+2αb(x,y)+b(y,y). Cette inegalite etant vraie pour tout α ∈ R,

on a necessairement que le discriminant est negatif ou nul :

b(x,y)2 − b(x,x) · b(y,y) ≤ 0

et donc b(x,y)2 ≤ b(x,x) · b(y,y).

Theoreme 10.1. Si b : Rn × Rn → R est un produit scalaire sur Rn,

alors ‖ · ‖ : Rn → R defini par ‖x‖ = b(x,x)1/2 est une norme sur Rn.

Demonstration. Seule l’inegalite triangulaire n’est pas completement tri-

viale. Si x,y ∈ Rn, on a

‖x+ y‖2 = b(x + y,x+ y) = b(x,x) + 2b(x,y) + b(y,y)

= ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2b(x,y).

En tenant compte du lemme ci-dessus, on a bien evidemment :

‖x+ y‖2 ≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2‖x‖ · ‖y‖ = (‖x‖+ ‖y‖)2 .

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Nous ne demontrerons pas les resultats suivants :

• Sur Rn toutes les normes sont equivalentes, i.e. si ‖ · ‖ et ||| · ||| sont deuxnormes sur Rn, il existe deux constantes c1, c2 positives telles que

c1‖x‖ ≤ |||x||| ≤ c2‖x‖, ∀x ∈ Rn.

• Seule la norme euclidienne ‖x‖2 = (∑n

i=1 x2i )

1/2parmi toutes les normes

‖x‖p = (∑n

i=1 |xi|p)1/p

, 1 ≤ p < ∞ et ‖x‖∞ = max1≤i≤n

|xi|, est une

norme induite par un produit scalaire. Ce produit scalaire est le produit

scalaire euclidien note (x,y) =∑n

i=1 xiyi. On a, via notre lemme,

l’inegalite de Cauchy-Schwarz :

|(x,y)| ≤ ‖x‖2 · ‖y‖2, ∀x,y ∈ Rn.

Dans la suite, nous omettrons l’indice 2 pour la norme euclidienne, i.e.,

‖x‖ = (∑n

i=1 x2i )

1/2.

10.2. Suites dans Rn.

Definition 10.3. Soit (xk)∞k=0 ⊂ Rn une suite d’elements de Rn. On

dira que cette suite est convergente s’il existe x ∈ Rn tel que on ait

limk→∞

‖x − xk‖ = 0. On peut choisir n’importe quelle norme puisqu’elles

sont toutes equivalentes sur Rn. On dit alors que cette suite converge

vers x et on note limk→∞

xk = x.

Remarque 10.1. Comme toutes les normes sur Rn sont equivalentes,

limk→∞

‖x − xk‖ = 0 implique limk→∞

‖x − xk‖p = 0, ∀p ∈ [1,∞]. Ainsi, si

xk,i est la iieme composante de xk et xi est la i

ieme composante de x, on a

limk→∞

|xi − xk,i| = 0, ∀i = 1, 2, . . . , n.

Definition 10.4. La suite (xk)∞k=0 ⊂ Rn est une suite de Cauchy si

∀ε > 0, il existe N tel que ∀k, j ≥ N on a ‖xk − xj‖ ≤ ε.

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En utilisant la remarque ci-dessus et ce que nous savons dans R, il est

facile de montrer :

Theoreme 10.2. La suite (xk)∞k=0 ⊂ Rn est convergente si et seulement

si elle est de Cauchy.

En utilisant le theoreme de Bolzano-Weierstrass sur R, et en “travaillant

composante par composante”, on montre facilement :

Theoreme 10.3. Soit (xk)∞k=0 ⊂ Rn une suite bornee, i.e. ∃M telle

que ‖xk‖ ≤ M , ∀k = 0, 1, . . . . Alors il existe une sous-suite (xkj )∞j=0 ⊂

(xk)∞k=0 qui est convergente.

Definition 10.5. ∀x ∈ Rn, δ > 0 alors B(x, δ) = y ∈ Rn : ‖x−y‖ < δest appele boule ouverte centree en x et de rayon δ. L’ensemble S(x, δ) =

y ∈ Rn : ‖x − y‖ = δ est appele sphere centree en x et de rayon δ

et l’ensemble B(x, δ) = B(x, δ) ∪ S(x, δ) = y ∈ Rn : ‖x − y‖ ≤ δ est

appele boule fermee centree en x et de rayon δ.

Definition 10.6. Soit Ω ⊂ Rn un sous-ensemble de Rn. On dit que

• Ω est ouvert si ∀x ∈ Ω, ∃δ > 0 tel que B(x, δ) ⊂ Ω ;

• Ω est ferme si son complementaire Ωc =def

x ∈ Rn,x /∈ Ω est ouvert ;

• x est un point interieur de Ω s’il existe δ > 0 tel que B(x, δ) ⊂ Ω ; on

note Ω l’ensemble des points interieurs a Ω ;

• x est un point frontiere (ou un point du bord) de Ω si pour tout δ > 0

on a B(x, δ) ∩ Ω 6= ∅ et B(x, δ) ∩ Ωc 6= ∅ ; on note ∂Ω l’ensemble des

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points frontiere de Ω et on dit que ∂Ω est la frontiere ou le bord de Ω ;

• Ω = Ω ∪ ∂Ω est appele l’adherence de Ω ;

• Ω est borne s’il existe M tel que ‖x‖ ≤ M , ∀x ∈ Ω ;

• Ω est compact s’il est a la fois borne et ferme.

On peut montrer que

• Toute reunion (meme infinie) de sous-ensembles ouverts de Rn est un

sous-ensemble ouvert.

Une intersection d’une infinite de sous-ensembles ouverts n’est

pas necessairement ouverte !

• Toute intersection (meme infinie) de sous-ensembles fermes de Rn est

un sous-ensemble ferme.

Une reunion d’une infinite de sous-ensembles fermes n’est pas

necessairement fermee !

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11. Fonctions reelles de plusieurs variables reelles

11.1. Definitions et resultats.

Soit E ⊂ Rn un sous-ensemble de Rn, E 6= ∅ ; une application f de E

dans R, notee f : E → R, est appelee fonction de E a valeurs reelles. Si

x ∈ E, on note f(x) l’image de x par f . Comme x = (x1, x2, . . . , xn),

on note aussi f(x) = f(x1, x2, . . . , xn). On dit que x est une variable

independante alors que f est dependante. Le graphe de f est l’ensemble

(x, f(x)) ∈ E × R, l’image de f , notee R(f), est donnee par R(f) =

f(x) : x ∈ E.

Definition 11.1. On dit que f : E → R est bornee (ou bornee sur

F ⊂ E) s’il existe une constante M telle que |f(x)| ≤ M , ∀x ∈ E (ou

|f(x)| ≤M , ∀x ∈ F ).

On dit que f est definie au voisinage de x0 ∈ Rn s’il existe δ > 0 tel

que B(x0, δ) ⊂ E ∪ x0. On dit que si f est definie au voisinage de x0,

f admet pour limite ℓ lorsque x tend vers x0 si ∀ε > 0 il existe δ > 0

tel que ∀x ∈ B(x0, δ) ∩ E, x 6= x0, on a |f(x) − ℓ| ≤ ε. On ecrit alors

limx→

6=x0

f(x) = ℓ.

On peut voir que bien des definitions adoptees pour des fonctions a une

seule variable reelle f : D ⊂ R → R sont generalisables a des fonctions a

plusieurs variables reelles f : E ⊂ Rn → R. Il suffit de changer :

• D en E ;

• ]x0 − δ, x0 + δ[ en B(x0, δ) ;

• lim|x−x0|→0

x 6=x0

|f(x)− ℓ| = 0 en lim‖x−x0‖→0

x6=x0

|f(x)− ℓ| . . ., etc, etc.

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La seule ambiguıte est que lorsque nous avons pris une suite (xk)∞k=0

dans R, dans Rn nous prenons aussi une suite (xk)∞k=0 ⊂ Rn , mais

l’indice k ici n’est pas le numero de la composante. En fait ici xk =

(xk,1, xk,2, . . . , xk,n). Nous preciserons que k est l’indice se referant a

la suite s’il y a vraiment ambiguıte en ecrivant (xk)∞k=0. Nous pouvons

demontrer de la meme maniere que nous l’avons fait pour des fonctions

definies sur D ⊂ R, les resultats suivants :

Theoreme 11.1. Une fonction f : E ⊂ Rn → R definie au voisinage de

x0 admet pour limite ℓ lorsque x tend vers x0 si et seulement si pour toute

suite (ak)∞k=0 ⊂ Erx0 telle que lim

k→∞ak = x0, on a lim

k→∞|f(ak)−ℓ| = 0.

La limite est unique.

Definition 11.2. Si x0 ∈ E (x0 est un point interieur de E) alors f est

bien definie au voisinage de x0. Si f admet pour limite ℓ lorsque x tend

vers x0 et si f(x0) = ℓ, alors on dira que f est continue en x0 .

On montre ainsi que ∀ε > 0 il existe δ > 0 tel que ∀x ∈ B(x0, δ) on a

|f(x)− f(x0)| ≤ ε.

Soit E = R2, f : R2 → R definie par

f(x1, x2) =x1x2x21 + x22

si x = (x1, x2) 6= 0,

f(0, 0) = 0.

En prenant x1 = x2 6= 0, on obtient f(x2, x2) =x222x22

= 12ce qui montre

que f n’est pas continue en x0 = (0, 0). Par contre, si x1 ∈ R est fixe,

alors g(y) = f(x1, y) est bien definie ∀y ∈ R et est continue sur R. Idem

si on se fixe x2. Ainsi on retiendra :

135

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Une fonction a plusieurs variables (x1, x2, . . . , xn) peut tres bien etre

discontinue en x bien que la fonction a une seule variable xj lorsque

les autres sont fixees reste continue.

On demontre de la meme maniere que ce qui a ete fait pour des fonctions

definies sur R :

Theoreme 11.2. Soit x0 ∈ E. Une fonction f : E → R est continue en

x0 si et seulement si pour toute suite (ak)∞k=0 ⊂ E qui converge vers x0

la suite (f(ak))∞k=0 converge vers f(x0).

Theoreme 11.3. (Critere de Cauchy) Soit x0 ∈ E. Alors une fonction

f : E → R admet une limite ℓ lorsque x tend vers x0 si et seulement si

∀ε > 0, ∃δ > 0 tel que ∀x,y ∈ B(x0, δ)r x0 on ait |f(x)− f(y)| ≤ ε.

On voit donc que plusieurs notions et resultats introduits pour des fonc-

tions a une seule variable restent encore vrais pour des fonctions reelles a

plusieurs variables. Bien sur que les notions de croissance, decroissance,

monotonie, limites a gauche et a droite ne peuvent pas etre generalisees

a des fonctions a plusieurs variables car Rn n’est pas totalement or-

donne. Par contre, les notions de continuite, continuite uniforme, mini-

mum, maximum sont facilement generalisables a des fonctions a plusieurs

variables. Ainsi, on obtient :

Definition 11.3. Soit E ⊂ Rn, E 6= ∅ et soit f : E → R.

• On dit que f est continue sur E si ∀x ∈ E, ∀ε > 0 il existe δ > 0 tel

que |f(x)− f(y)| ≤ ε, ∀y ∈ B(x, δ) ∩ E.

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• On dit que f est uniformement continue sur E si ∀ε > 0 il existe δ > 0

tel que |f(x)− f(y)| ≤ ε, ∀x,y ∈ E satisfaisant ‖x− y‖ ≤ δ.

La difference entre la premiere et la deuxieme definition est que dans

la premiere, δ depend a priori de x et ε alors que dans la deuxieme, δ

est independant de x et y, et ne depend que de ε.

Remarque 11.1. Si f : E → R est continue au sens de la definition 11.3

alors f est continue en tout point x0 ∈ E au sens de la definition 11.2.

Remarque 11.2.

1) Une fonction continue n’est pas necessairement uniformement conti-

nue comme nous l’avons deja vu pour des fonctions de R dans R. Par

contre, il est facile de voir qu’une fonction uniformement continue sur

E est continue.

2) Dans la notion de continuite (ou continuite uniforme), on peut rempla-

cer les inegalites non strictes par des inegalites strictes. Par exemple,

une fonction f : E → R est continue si ∀x ∈ E, ∀ε > 0, il existe δ > 0

tel que |f(x)− f(y)| < ε, ∀y ∈ B(x, δ) ∩ E.

Theoreme 11.4. Soit f : E → R une fonction. Cette fonction est conti-

nue sur E si et seulement si ∀x ∈ E et ∀(ak)∞k=0 ⊂ E telle que limk→∞

ak = x

on a limk→∞

f(ak) = f(x).

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Definition 11.4. Soit E ⊂ Rn, E 6= ∅ et f : E → R.

• M = supx∈E

f(x) si M = supf(x) tel que x ∈ E. Si M <∞ alors on a

f(x) ≤ M , ∀x ∈ E et il existe (ak)∞k=0 ⊂ E tel que lim

k→∞f(ak) = M ;

dans ce cas, on dit que M est la borne superieure de f .

Si M = +∞ alors f n’est pas bornee.

On a une definition du meme type pour m = infx∈E

f(x). Si m > −∞alors f(x) ≥ m, ∀x ∈ E et ∃ (bk)

∞k=0 tel que lim

k→∞f(bk) = m.

• M = maxx∈E

f(x) siM est une borne superieure de f et s’il existe x0 ∈ E

tel que f(x0) =M .

De meme m = minx∈E

f(x) si f(x) ≥ m, ∀x ∈ E et ∃x1 ∈ E tel que

f(x1) = m.

Theoreme 11.5. Soit E 6= ∅ un sous-ensemble de Rn ferme, borne (on

dit qu’il est compact). Si f : E → R est une fonction continue, alors elle

est uniformement continue. De plus maxx∈E

f(x) et minx∈E

f(x) existent.

Demonstration. Elle est semblable a celle faite pour des fonctions conti-

nues sur des intervalles fermes bornes du chapitre 3.

Definition 11.5. Soit E ⊂ Rn, E 6= ∅. On dit que E est connexe ou

encore connexe par arcs si pour tout couple (x,y) ∈ E × E il existe

n applications continues γj : [0, 1] → R, j = 1, 2, . . . , n, telles que si

γ(t) = (γ1(t), γ2(t), . . . , γn(t)) on ait γ(0) = x, γ(1) = y et γ(t) ∈ E,

pour tout t ∈ [0, 1].

Theoreme 11.6. (Theoreme de la valeur intermediaire) Soit E ⊂ Rn,

E 6= ∅ un sous-ensemble de Rn compact et connexe. Si f : E → R est une

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application continue, alors f atteint son maximum M et son minimum

m sur E et R(f) = [minx∈E

f(x),maxx∈E

f(x)].

Demonstration. Puisque E est compact et f : E → R continue, on a

l’existence de x0 et x1 ∈ E tels que f(x0) = maxx∈E

f(x) et f(x1) =

minx∈E

f(x).

Puisque E est connexe, il existe γ : [0, 1] → E, γ(t) = (γ1(t), . . . , γn(t))

tel que γj : [0, 1] → R est continue ∀j = 1, 2, . . . , n et γ(0) = x0,

γ(1) = x1.

On pose g : [0, 1] → R definie par g(t) = f(γ(t)). On verifie facilement

que la composition g = f γ est continue sur [0, 1]. On a, grace au

theoreme de la valeur intermediaire des fonctions a une seule variable

reelle : g([0, 1]) = [ mint∈[0,1]

g(t), maxt∈[0,1]

g(t)] = [f(x1), f(x0)]. De plus, puisque

f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x0), ∀x ∈ E, on a bien R(f) = [minx∈E

f(x), maxx∈E

f(x)].

11.2. Integrales qui dependent de parametres.

Theoreme 11.7. Soit a, b ∈ R, a < b et soit E ⊂ Rn, E 6= ∅. Si

f : [a, b]× E → R est une fonction continue, on definit g : E → R par

g(x) =

∫ b

a

f(t,x) dt, ∀x ∈ E.

Alors g : E → R est continue.

Demonstration. Pour simplifier la demonstration, nous supposerons que

E est ouvert et montrons que g est continue en x0 ∈ E quelconque. Il

existe δ > 0 tel que B(x0, δ) ⊂ E et ainsi f : [a, b] × B(x0, δ) → R,

definie comme la restriction de f a [a, b]×B(x0, δ), i.e., f(t,x) = f(t,x),

∀t ∈ [a, b], ∀x ∈ B(x0, δ), est uniformement continue. Si ε > 0 est donne,

il existe δ ≤ δ tel que ∀t ∈ [a, b], ∀x ∈ B(x0, δ) on ait

|f(t,x)− f(t,x0)| ≤ε

b− a.

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Ainsi, si x ∈ B(x0, δ), on a :

|g(x)− g(x0)| =∣∣∣∣∫ b

a

(f(t,x)− f(t,x0)

)dt

∣∣∣∣

≤∫ b

a

|f(t,x)− f(t,x0)| dt

≤ ε,

ce qui prouve que g est continue en x = x0.

140

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11.3. Prolongement d’une fonction uniformement continue.

Soit E ⊂ Rn un sous-ensemble non vide.

Theoreme 11.8. Si f : E → R est une fonction uniformement continue

sur E alors il existe une unique fonction continue g : E → R qui coıncide

avec f dans E. De plus g est uniformement continue.

Demonstration. Soit ǫ > 0 fixe. Puisque f : E → R est uniformement

continue, il existe δ > 0 tel que ∀x,y ∈ E avec ‖x− y‖ ≤ δ, on a

|f(x)− f(y)| ≤ ǫ.

Soit a ∈ E, a 6∈ E. Par definition de l’adherence d’un ensemble, il existe

une suite (an)∞n=0 ⊂ E telle que

limn→∞

an = a.

Puisque (an)∞n=0 est une suite convergente, alors c’est une suite de Cauchy,

et ainsi, il existe N > 0 tel que ∀n,m ≥ N on ait :

‖an − am‖ ≤ δ.

On obtient ainsi |f(an)−f(am)| ≤ ǫ si n,m ≥ N ce qui prouve que la suite

(f(an))∞n=0 est une suite de Cauchy dans R ; donc, elle est convergente et

limn→∞

f(an) existe. Montrons que cette limite est independante de la suite

choisie. On pose

ℓ = limn→∞

f(an).

Si on prend une suite (bn)∞n=0 ⊂ E telle que lim

n→∞bn = a, on montre que

limn→∞

f(bn) existe et on pose

m = limn→∞

f(bn).

Soit maintenant N > N tel que si n ≥ N on ait

|ℓ− f(an)| ≤ ǫ, |m− f(bn)| ≤ ǫ, ‖an − bn‖ ≤ δ.

141

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On obtient lorsque n ≥ N :

|ℓ−m| ≤ |ℓ− f(an)|+ |f(an)− f(bn)|+ |m− f(bn)| ≤ 3ǫ

ce qui prouve que ℓ = m.

On definit g : E → R par g(x) = f(x) si x ∈ E et si a ∈ E est tel que

a 6∈ E : g(a) = limn→∞

f(an) ou (an)∞n=0 ⊂ E est telle que lim

n→∞an = a.

Pour montrer que g : E → R est uniformement continu, il suffit de

prendre x ∈ E et de montrer que g est continue en x. Soit y ∈ E tel que

‖x − y‖ ≤ δ3. Si (xn)

∞n=0 ⊂ E, (yn)

∞n=0 ⊂ E sont telles que lim

n→∞xn = x

et limn→∞

yn = y, alors ∃M > 0 tel que

‖x− xn‖ ≤ δ

3et ‖y − yn‖ ≤ δ

3si n ≥M.

On obtient ainsi ‖xn − yn‖ ≤ δ si n ≥ M et donc

|g(x)− g(y)| ≤ |g(x)− f(xn)|+ |f(xn)− f(yn)|+ |f(yn)− g(y)|

≤ |g(x)− f(xn)|+ |g(yn)− g(y)|+ ǫ,

si n ≥ M . Il suffit de prendre M ≥ M tel que ∀n ≥ M

|g(x)− f(xn)| ≤ ǫ et |g(y)− f(yn)| ≤ ǫ

pour obtenir

|g(x)− g(y)| ≤ 3ǫ.

Ainsi, si x,y ∈ E et ‖x−y‖ ≤ δ3, alors |g(x)− g(y)| ≤ 3ǫ, ce qui prouve

que g est uniformement continue sur E.

On dit que g est le prolongement continu de la fonction f .

142

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12. Derivees partielles

12.1. Introduction.

Soit E ⊂ Rn non vide et soit f : E → R une fonction. Si f est definie au

voisinage de x ∈ E, i.e. s’il existe δ > 0 tel que B(x, δ) ⊂ E, on note

∂f

∂xi(x) = lim

t→ xi6=

f(x1, x2, xi−1, t, xi+1, . . . , xn)− f(x)

t− xi

ou x = (x1, x2, . . . , xi, . . . , xn) si cette limite existe. On dit dans ce cas-la

que ∂f∂xi

(x) est la derivee partielle de f par rapport a xi en x. En fait, c’est

la derivee de g(t) = f(x1, x2, . . . , xi−1, t, xi+1, . . . , xn) au point t = xi.

Contrairement aux fonctions d’une seule variable, les fonctions reelles

a plusieurs variables peuvent avoir toutes leurs derivees partielles exis-

tantes en un point x sans qu’elles soient continues en ce point. Par

exemple, la fonction f(x1, x2) = x1x2x21+x

22si (x1, x2) 6= 0 et f(0, 0) = 0

n’est pas continue en x = 0 et pourtant ∂f∂x1

(0) = 0 et ∂f∂x2

(0) = 0.

Par contre, on peut montrer que si f a toutes ses derivees partielles

continues en x alors f est continue en x.

Definition 12.1. Soit E ⊂ Rn un ouvert non vide de Rn. On dit que

f : E → R est de classe C1, et on note f ∈ C1(E), si les n derivees

partielles ∂f∂xi

: E → R, i = 1, 2, . . . , n, existent en tout point de E et sont

continues. Si f ∈ C1(E), alors f : E → R est continue (f ∈ C0(E)).

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12.2. Derivee d’une integrale dependant d’un parametre.

Theoreme 12.1. Soit a < b, soit E ⊂ Rn un ouvert non vide et soit

f : (t,x) ∈ [a, b]×E → f(t,x) ∈ R une fonction continue telle que toutes

ses derivees partielles ∂f∂xj, 1 ≤ j ≤ n, soient des fonctions continues sur

[a, b]× E. Alors la fonction g : E → R definie par

g(x) =

∫ b

a

f(t,x) dt

est de classe C1(E) et on a

∂g

∂xj(x) =

∫ b

a

∂f

∂xj(t,x) dt, ∀x ∈ E, 1 ≤ j ≤ n.

Demonstration. Soit 1 ≤ j ≤ n, x = (x1, . . . , xj−1, xj , xj+1, . . . , xn) ∈ E.

Posons, pour s ∈ R, x(s) = (x1, . . . , xj−1, xj + s, xj+1, . . . , xn). On a bien

evidemment

lims→06=

x(s) = x et∂f

∂xj(t,x) = lim

s→06=

f(t,x(s))− f(t,x)

s.

Puisqu’on a suppose que ∂f∂xj

est continue sur [a, b]×E et puisque E est

ouvert, il existe δ > 0 tel que x(s) ∈ E pour |s| ≤ δ et la fonction (t, s) ∈[a, b]× [−δ,+δ] → ∂f

∂xj(t,x(s)) est continue sur le compact [a, b]× [−δ,+δ]

et donc uniformement continue. Si ǫ > 0 est donne, il existe δ < δ tel que∣∣∣∣∂f

∂xj(t,x(s))− ∂f

∂xj(t,x)

∣∣∣∣ ≤ǫ

b− asi t ∈ [a, b], |s| ≤ δ.

Par le theoreme des accroissements finis dans la variable s, on obtient

l’existence de θ = θ(t, s) ∈]0, 1[ tel que

f(t,x(s))− f(t,x) =∂f

∂xj(t, x1, x2, . . . , xj−1, xj + θs, xj+1, . . . , xn).s

=∂f

∂xj

(t,x(θs)

)s si t ∈ [a, b], |s| ≤ δ.

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Ainsi pour s 6= 0, |s| ≤ δ on obtient :∣∣∣∣g(x(s))− g(x)

s−∫ b

a

∂f

∂xj(t,x) dt

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∫ b

a

( ∂f∂xj

(t,x(θs))− ∂f

∂xj(t,x)

)dt

∣∣∣∣

≤∫ b

a

∣∣∣∣∂f

∂xj(t,x(θs))− ∂f

∂xj(t,x)

∣∣∣∣ dt ≤ ǫ,

ce qui prouve que

lims→06=

g(x(s))− g(x)

s=

∫ b

a

∂f

∂xj(t,x) dt .

On a ainsi∂g

∂xj(x) =

∫ b

a

∂f

∂xj(t,x) dt, pour 1 ≤ j ≤ n.

Comme ∂f∂xj

: [a, b]×E → R est suppose continu ∀j = 1, . . . , n, d’apres le

theoreme precedent, ∂g∂xj

: [a, b]×E → R est continu ∀j = 1, . . . , n. Ainsi

g ∈ C1(E).

12.3. Derivees partielles d’une composition de fonctions.

On considere f : Rn → R une fonction de classe C1 et n fonctions

gk : Rq → R, k = 1, 2, . . . , n aussi de classe C1. Ainsi, on peut definir

la fonction F : Rq → R definie par y = (y1, y2, . . . , yq) → F (y) =

f(g1(y), g2(y), . . . , gn(y)) ∈ R. On obtient ainsi :

Theoreme 12.2. Si f ∈ C1(Rn), gk ∈ C1(Rq), k = 1, 2, . . . , n, alors

F : Rq → R definie par F (y) = f(g1(y), g2(y), . . . , gn(y)) est de classe

C1. De plus si a ∈ Rq on a pour j = 1, 2, . . . , q :

∂F

∂yj(a) =

n∑

k=1

∂f

∂xk(g1(a), . . . , gn(a))

∂gk∂yj

(a).

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Demonstration. Soit a ∈ Rq, t ∈ R et y = (a1, a2, . . . , aj−1, t, aj+1, . . . , aq).

On veut calculer F (y)−F (a)t−aj et ensuite sa limite lorsque t→ aj . On a

F (y)− F (a) = f (g1(y), g2(y), . . . , gn(y))− f (g1(a), g2(a), . . . , gn(a))

= f (g1(y), g2(y), . . . , gn(y))− f (g1(a), g2(y), . . . , gn(y))

+ f (g1(a), g2(y), . . . , gn(y))− f (g1(a), g2(a), g3(y), . . . , gn(y))

+ f (g1(a), g2(a), g3(y), . . . , gn(y))

− f (g1(a), g2(a), g3(a), g4(y), . . . , gn(y))

+ . . .

=n∑

k=1

[f (g1(a), g2(a), . . . , gk−1(a), gk(y), gk+1(y), . . . , gn(y))

− f (g1(a), g2(a), . . . , gk−1(a), gk(a), gk+1(y), . . . , gn(y))].

En utilisant le theoreme des accroissements finis, on a l’existence de θk =

θk (g1(y), . . . , gn(y)) ∈]0, 1[ tel que

F (y)− F (a) =

n∑

k=1

∂f

∂xk(g1(a), g2(a), . . . , gk−1(a),

gk(a) + θk (gk(y)− gk(a)) ,

gk+1(y), . . . , gn(y)) (gk(y)− gk(a)) .

Clairement, puisque gk est continue en y = a, ∀k = 1, 2, . . . , n, on a

limt→aj

gk(y) = gk(a), k = 1, 2, . . . , n,

et puisque g est C1 on a limt→ aj

6=

gk(y)− gk(a)

t− aj=∂gk∂yj

(a). Ainsi

limt→ aj

6=

F (y)− F (a)

t− aj=

n∑

k=1

∂f

∂xk(g1(a), . . . , gn(a))

∂gk∂yj

(a).

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Remarque 12.1. Les hypotheses du theoreme 12.2 peuvent etre affai-

blies. Il suffit de supposer que a ∈ A ⊂ Rq, que les fonctions gk : A→ R

soient continues en a et que les derivees partielles ∂gk∂yj

existent en a,

1 ≤ j ≤ q, 1 ≤ k ≤ n. De plus, il faudra alors supposer que f : B ⊂Rn → R soit continue et que ses derivees partielles existent au point

(g1(a), g2(a), . . . , gn(a)) qui, lui, doit appartenir a B.

Notation 12.1. Dans la litterature, on verra souvent la notation f(x) =

f(x1, x2, . . . , xn) et xk(y) = xk(y1, y2, . . . , yq) au lieu de gk(y), k =

1, 2, . . . , n. Dans f(x), xk est une variable independante. Dans xk(y),

xk est une variable dependante (en l’occurrence de y). Ainsi, on notera

F (y) = f(x1(y), x2(y), . . . , xn(y))

et

∂F

∂yj(y) =

n∑

k=1

∂f

∂xk(x(y))

∂xk∂yj

(y)

ou x(y) = (x1(y), x2(y), . . . , xn(y)).

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12.4. Derivee d’une integrale avec integrant et bornes qui dependent

d’un parametre.

Theoreme 12.3. Soit I ⊂ R un intervalle ouvert, soit g, h, k ∈ C1(I) et

soit f : R2 → R une fonction continue, de derivee partielle par rapport a

la deuxieme variable continue. On definit F : I → R par

F (t) =

∫ g(t)

h(t)

f(x, k(t))dx.

Alors F ∈ C1(I) et de plus si t ∈ I on a

F ′(t) = g′(t)f(g(t), k(t))− h′(t)f(h(t), k(t)) + k′(t)

∫ g(t)

h(t)

∂f

∂y(x, k(t))dx

ou y est la deuxieme variable de f(x, y).

Demonstration. Soit a ∈ R et posons

F1(t) =

∫ g(t)

a

f(x, k(t)) dx et F2(t) =

∫ h(t)

a

f(x, k(t)) dx.

On obtient evidemment F (t) = F1(t) − F2(t) et F ′(t) = F ′1(t) − F ′

2(t).

Calculons F ′1(t) en t = t ∈ I. Si

L(t) =

∫ g(t)

a

(f(x, k(t))− f(x, k(t))

)dx

on a F1(t) = L(t) +

∫ g(t)

a

f(x, k(t)) dx et, en utilisant le theoreme (7.5),

nous avons

F ′1(t) = L′(t) + g′(t) f(g(t), k(t)).

Il suffit donc de calculer L′(t). Apres avoir remarque que L(t) = 0, on a

l’existence de θ = θ(x, t) ∈]0, 1[ qui satisfait :

L(t)− L(t) =

∫ g(t)

a

∂f

∂y

(x, k(t) + θ

(k(t)− k(t)

))(k(t)− k(t)

)dx

et donc si t 6= t :

L(t)− L(t)

t− t=k(t)− k(t)

t− t

∫ g(t)

a

∂f

∂y

(x, k(t) + θ

(k(t)− k(t)

))dx.

148

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En utilisant un raisonnement de continuite uniforme semblable a celui

utilise pour prouver le theoreme (12.1), on obtient :

L′(t) = limt→6=t

L(t)− L(t)

t− t= k′(t)

∫ g(t)

a

∂f

∂y(x, k(t)) dx

ce qui prouve que

F ′1(t) = k′(t)

∫ g(t)

a

∂f

∂y(x, k(t)) dx+ g′(t) f(g(t), k(t)).

En calculant de la meme facon F ′2(t) on obtient le resultat voulu.

Remarque 12.2. Dans le theoreme 12.3, f n’a pas besoin d’etre definie

sur tout R2 mais seulement sur I1 × I2 ou I2 ⊃ R(k) et I1 soit tel que

(g(t), h(t)) : t ∈ I ⊂ I1 × I1.

12.5. Gradient et theoreme des accroissements finis.

Soit E ⊂ Rn un ouvert non vide et soit f ∈ C1(E). Clairement les

fonctions ∂f∂xj

: E → R sont des fonctions continues sur E, j = 1, 2, . . . , n

et ainsi on peut definir une application continue

Df : E → Rn

par Df(x) =(∂f∂x1

(x), ∂f∂x2

(x), . . . , ∂f∂xn

(x))que l’on appellera gradient de

f au point x ∈ E. On note aussi Df = ∇f = gradf .

Si x,y ∈ Rn, x 6= y, on notera encore [x,y] le segment d’origine x et

d’extremite y, i.e. [x,y] = z ∈ Rn : z = x + t(y − x), t ∈ [0, 1].

Theoreme 12.4. Soit E ⊂ Rn un ouvert non vide, f ∈ C1(E) et soit

x,y ∈ E, x 6= y. On suppose que le segment [x,y] ⊂ E. Alors il existe

z ∈ [x,y], z 6= x, z 6= y tel que f(y)− f(x) = Df(z) · (y− x) ou · est leproduit scalaire euclidien dans Rn, i.e. α · β =

∑nj=1 αjβj si α,β ∈ Rn.

149

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Demonstration. On pose g(t) = f(x+t(y−x)) avec t ∈ [0, 1]. Clairement

g : [0, 1] → R est une fonction de classe C1 telle que g(0) = f(x),

g(1) = f(y) et g′(t) =∑n

k=1∂f∂xk

(x+ t(y− x))(yk − xk), t ∈ [0, 1]. Par le

theoreme des accroissements finis pour des fonctions a une seule variable,

il existe t ∈]0, 1[ tel que g(1)− g(0) = g′(t). Ainsi

f(y)− f(x) =

n∑

k=1

∂f

∂xk(x + t(y − x)) (yk − xk) = Df(z) · (y − x)

ou z = x+ t(y− x).

Definition 12.2. E ⊂ Rn est convexe si ∀x,y ∈ E, tels que x 6= y, on

a [x,y] ⊂ E.

Remarque 12.3. Un sous-ensemble convexe de Rn est connexe. Si E

est un ouvert convexe et si f ∈ C1(E), alors ∀x,y ∈ E, il existe z ∈ E

tel que

f(y)− f(x) = Df(z) · (y− x).

Remarque 12.4. Dans la demonstration ci-dessus on a

g′(t) = Df(x+ t(y − x)) · (y− x).

Puisque g(1)− g(0) =∫ 1

0g′(t)dt, on obtient la formule

f(y) = f(x) +

∫ 1

0

Df (x + t(y − x)) · (y − x)dt.

12.6. Derivees partielles d’ordre superieur a un.

Soit E ⊂ Rn et f : E → R admettant une derivee partielle par rapport

a xj en tout point x de E. Ainsi, on peut definir ∂f∂xj

: E → R. Si cette

nouvelle fonction admet une derivee partielle par rapport a xk en tout

150

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point x de E, on peut definir donc ∂∂xk

(∂f∂xj

): E → R. Nous noterons

cette deuxieme derivee ∂2f∂xk∂xj

. On peut demontrer le resultat suivant :

Si ∂2f∂xk∂xj

et ∂2f∂xj∂xk

existent et sont continues au point a ∈ E, alors on

a

∂2f

∂xk∂xj(a) =

∂2f

∂xj∂xk(a).

On dira maintenant que f : E → R est de classe C2(E) si toutes les

derivees partielles secondes ∂2f∂xi∂xj

: E → R, 1 ≤ i, j ≤ n, existent et sont

continues.

Soit E ⊂ Rn un ouvert non vide et p ≥ 1 un entier. On peut ainsi definir

par derivations partielles successives :

Cp(E) = f : E → R :∂pf

∂xi1∂xi2∂xi3 . . . ∂xip∈ C0(E),

pour tous entiers i1, i2, . . . , ip ∈ [1, n].

Ainsi, si f ∈ Cp(E), alors f ∈ Cq(E) ou q ∈ N, q ≤ p et on a

Cp(E) ⊂ Cp−1(E) ⊂ . . . ⊂ C0(E).

De plus, si f ∈ Cp(E), on peut effectuer les derivations par rapport aux

differentes variables jusqu’a l’ordre q ≤ p dans n’importe quel ordre.

On dit maintenant que α = (α1, α2, . . . , αn) est un multi-entier a n

variables d’ordre p si αj ∈ N, ∀j = 1, 2, . . . , n et∑n

j=1 αj = p. On

note encore |α| =∑n

j=1 αj et si f ∈ Cp(E) et |α| ≤ p :

∂|α|f

∂xα=

∂|α|f

∂xα11 ∂x

α22 . . . ∂xαn

n

ou ∂xαj

j signifie que l’on derive αj fois par rapport a xj .

151

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Nous avons demontre que si f ∈ C1(E) et si x,y ∈ E, x 6= y et [x,y] ⊂E, alors il existe t ∈]0, 1[ tel que

f(y) = f(x) +Df (x + t(y − x)) · (y − x),

c’est-a-dire f(y) = f(x) +∑n

k=1∂f∂xk

(x + t(y − x))(yk − xk).

De facon generale, on peut montrer le theoreme suivant :

Theoreme 12.5. (Formule de Taylor) Soit E ⊂ Rn un ouvert et soit

f ∈ Cp+1(E) ou p ∈ N. Si x,y ∈ E et si [x,y] ⊂ E, alors il existe

t ∈]0, 1[ tel que :

f(y) =∑

0≤|α|≤p

1

α!

∂|α|f

∂xα(x)(y − x)α

+∑

|α|=p+1

1

α!

∂p+1f

∂xα(x + t(y − x)) (y − x)α,

ou on note α! =

n∏

j=1

αj !, |α| =n∑

j=1

αj et (x− y)α =

n∏

j=1

(xj − yj)αj .

Exemple 12.1. n = 2, p = 1 ; f ∈ C2(E) et [x,y] ⊂ E, alors ∃t ∈]0, 1[tel que

f(y) = f(x) +∂f

∂x1(x)(y1 − x1) +

∂f

∂x2(x)(y2 − x2)+

+1

2

∂2f

∂x21(x + t(y − x)) (y1 − x1)

2

+∂2f

∂x1∂x2(x + t(y − x)) (y1 − x1)(y2 − x2)

+1

2

∂2f

∂x22(x + t(y − x)) (y2 − x2)

2.

Remarque 12.5. Si E ⊂ Rn est un ouvert, si f ∈ Cp+1(E) ou p ∈ N et

si a ∈ E, alors ∃δ > 0 tel que B(a, δ) ⊂ E et en prenant z ∈ B(0, δ) on

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a ∃t ∈]0, 1[ tel que :

f(a+ z) =∑

0≤|α|≤p

1

α!

∂|α|f

∂xα(a)zα +

|α|=p+1

1

α!

∂|α|f

∂xα(a+ tz)zα.

Ainsi on obtient

f(a+ z) =∑

0≤|α|≤p

1

α!

∂|α|f

∂xα(a)zα +R(a, z)

ou R(a, z) est tel que R(a, z) =∑

|α|=p+11α!

∂|α|f∂xα

(a)zα + ρ(a, z) avec

|ρ(a, z)| = o (‖z‖p+1) si ‖z‖ → 0.

On pourrait aussi demontrer la formule de Taylor avec reste integral :

Theoreme 12.6. On fait les memes hypotheses que pour le theoreme

12.5. Alors on a

f(y) =∑

0≤|α|≤p

1

α!

∂|α|f

∂xα(x)(y− x)α+

+∑

|α|=p+1

1

α!

∫ 1

0

(p+ 1)(1− t)p∂|α|f

∂xα(x+ t(y − x))(y − x)αdt.

12.7. Extrema de fonctions a plusieurs variables.

Definition 12.3. On dit que a ∈ E est un point stationnaire de la fonc-

tion f : E → R si f est definie au voisinage de a et si Df(a) = 0.

On dit que f admet un minimum local au point a ∈ E s’il existe δ > 0 tel

que ∀x ∈ B(a, δ)∩E on a f(a) ≤ f(x) (maximum local si f(x) ≤ f(a)).

On dit que f : E → R admet un extremum local en a ∈ E si f admet

un minimum local ou un maximum local en a.

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Theoreme 12.7. Soit E ⊂ Rn un ouvert non vide et soit f : E → R

admettant un extremum local en a ∈ E. Alors si Df(a) existe, a est un

point stationnaire de f , i.e. Df(a) = 0.

Demonstration. Si on pose a = (a1, a2, a3, . . . , an) et si on definit gi(x) =

f(a1, a2, . . . , ai−1, x, ai+1, . . . , an) on obtient par hypothese :

gi possede un extremum local en ai et gi est derivable en ai.

Ainsi, on a g′i(ai) = 0, ce qui implique ∂f∂xi

(a) = 0. Ceci etant vrai pour

tout i = 1, 2, . . . , n, on obtient bien Df(a) = 0.

Remarque 12.6. On vient de voir que si f a un extremum local

en a tel que Df(a) existe, alors Df(a) = 0. Si f est par exemple

C1(E) avec E ouvert, on dit qu’une condition necessaire pour avoir un

extremum de f en a ∈ E est que a soit stationnaire. Cette condition

n’est pas suffisante, comme le montre l’exemple suivant : f : R2 → R

definie par f(x1, x2) = x1x2 et a = (0, 0). On a bien Df(a) = 0 et

pourtant f n’a pas un extremum en a = (0, 0).

Definition 12.4. Soit f : E → R, a ∈ E et supposons que toutes

les derivees secondes de f en a existent. On pose alors sij =∂2f

∂xi∂xj(a),

1 ≤ i, j ≤ n. On dit alors que la matrice S de coefficients sij est la matrice

hessienne de f au point a. Si f ∈ C2(E), E ouvert, alors la matrice S

est symetrique, i.e. sij = sji, 1 ≤ i, j ≤ n.

Theoreme 12.8. (Condition suffisante pour obtenir un extremum local)

Soit E ⊂ Rn un ouvert non vide, f : E → R une fonction de classe

C2(E), a ∈ E un point stationnaire de f , i.e. Df(a) = 0. On suppose

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que la matrice hessienne de f en a est definie positive (respectivement

definie negative). Alors f a un minimum local en a (respectivement un

maximum local en a).

Demonstration. Rappelons que le produit scalaire euclidien dans Rn est

(x,y) =∑n

i=1 xiyi ou x = (x1, x2, . . . , xn) et y = (y1, y2, . . . , yn) que l’on

note aussi x · y. Si a ∈ E, on obtient par la formule de Taylor (theoreme

12.5 et la remarque 12.5) :

∃δ > 0 tel que ∀y ∈ B(a, δ) ⊂ E on a

f(y) = f(a) + (Df(a), (y− a)) +1

2(S(a)(y − a), (y − a)) + ρ(a,y − a),

ou S(a) est la matrice hessienne de f en a et ρ(a,y − a) est le reste qui

verifie |ρ(a,y − a)| = o(‖y − a‖2) lorsque y tend vers a. En supposant

que a ∈ E est un point stationnaire, nous avons

f(y)− f(a) =1

2(S(a)(y − a), (y − a)) + ρ(a,y − a)

pour tout y ∈ B(a, δ).

Supposons donc que S(a) soit definie positive, i.e. ∃β > 0 tel que (S(a)z, z) ≥β‖z‖2, ∀z ∈ Rn. On obtient ainsi

f(y)− f(a) ≥ β

2‖y − a‖2 + ρ(a,y − a) ≥ β

2‖y − a‖2 − |ρ(a,y − a)|.

Puisque |ρ(a,y− a)| = o(‖y− a‖2), i.e. ∀ε > 0, il existe δ > 0, δ < δ tel

que

|ρ(a,y − a)|‖y− a‖2 ≤ ε, ∀y ∈ B(a, δ),y 6= a,

on choisit ε = β4. Ainsi pour tout y ∈ B(a, δ) on a

f(y)− f(a) ≥ β

4‖y − a‖2,

ce qui montre que f possede un minimum local en a.

Si S(a) est definie negative, il suffit de faire la meme demonstration en

changeant f en −f .

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12.8. Theoreme des fonctions implicites.

Soit E ⊂ R2 un ouvert non vide et soit f : E ⊂ R2 → R une fonction

C1(E). Pour simplifier l’ecriture, on prendra les variables (x, y) au lieu

des variables (x1, x2), ce qui evitera de mettre des indices ! Ainsi un point

quelconque de E sera note (x, y).

Theoreme 12.9. Soit f : E → R de classe C1(E), soit (a, b) ∈ E. On

suppose que ∂f∂y(a, b) 6= 0 et f(a, b) = 0. Alors il existe δ > 0 et une

fonction ϕ :]a− δ, a+ δ[→ R de classe C1 qui verifie

f(x, ϕ(x)) = 0, ∀x ∈]a− δ, a + δ[,

ϕ(a) = b.

Demonstration. Puisque f ∈ C1(E) et ∂f∂y(a, b) 6= 0, il existe β1 > 0 et

β2 > 0 tels que ∂f∂y(x, y) 6= 0, ∀x ∈ [a − β1, a + β1], y ∈ [b − β2, b + β2].

Si x ∈ [a− β1, a+ β1] est fixe, la fonction gx(y) = f(x, y) definie lorsque

y ∈ [b− β2, b+ β2] est strictement monotone puisque g′x(y) 6= 0.

Lorsqu’on prend x = a, la fonction ga est strictement monotone sur

l’intervalle [b−β2, b+β2] et ga(b) = f(a, b) = 0. Ainsi pour γ > 0, γ < β2

on a ga(b− γ) · ga(b+ γ) < 0 et on obtient

f(a, b− γ) · f(a, b+ γ) < 0.

Puisque f est continue, il existe δ > 0, δ < β1 tel que ∀x ∈]a − δ, a + δ[

on a

f(x, b− γ) · f(x, b+ γ) < 0.

En remarquant que ∂f∂y(x, y) ne s’annule pas si y ∈ [b−γ, b+γ] pour tout

x ∈]a− δ, a + δ[, on conclut que

∀x ∈]a− δ, a + δ[, ∃!y ∈]b− γ, b+ γ[ tel que f(x, y) = 0.

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On pose ainsi ϕ(x) = y et on a defini une fonction

ϕ :]a− δ, a + δ[→]b− γ, b+ γ[⊂ R

tel que f(x, ϕ(x)) = 0, ∀x ∈]a− δ, a + δ[.

L’unicite de l’existence de y nous montre que ϕ(a) = b. Il reste a montrer

que ϕ ∈ C1 (]a− δ, a+ δ[).

Continuite de ϕ : La continuite de ϕ en x = a ressort de l’etude que l’on

vient de faire. En effet si ε > 0, ε < γ, il existe δ > 0, δ < δ tel que pour

tout x ∈ [a− δ, a+ δ] on a |ϕ(x)− b| = |ϕ(x)− ϕ(a)| ≤ ε.

Pour montrer la continuite de ϕ en c ∈]a− δ, a+ δ[, on pose d = ϕ(c) et

on a f(c, d) = 0. Puisque ∂f∂y(c, d) 6= 0, on recommence le raisonnement

precedent pour obtenir une fonction localement unique ψ :]c− δ, c+ δ[→]d− γ, d+ γ[ telle que f(x, ψ(x)) = 0, ∀x ∈]c− δ, c+ δ[ et ψ(c) = d. Cette

fonction est encore une fois continue en c. Mais l’unicite nous permet de

conclure que ψ(x) = ϕ(x) dans un voisinage de c.

Continuite de ϕ′ : Si x, x ∈]a− δ, a+ δ[ on a f(x, ϕ(x)) = f(x, ϕ(x)) = 0.

Ainsi

0 = f (x, ϕ(x))− f (x, ϕ(x))

=

∫ 1

0

∂f

∂x(sx+ (1− s)x, sϕ(x) + (1− s)ϕ(x)) (x− x)ds

+

∫ 1

0

∂f

∂y(sx+ (1− s)x, sϕ(x) + (1− s)ϕ(x)) (ϕ(x)− ϕ(x)) ds.

On obtient ainsi, si x 6= x :∫ 1

0

∂f

∂y(sx+ (1− s)x, sϕ(x) + (1− s)ϕ(x))

ϕ(x)− ϕ(x)

x− xds

= −∫ 1

0

∂f

∂x(sx+ (1− s)x, sϕ(x) + (1− s)ϕ(x)) ds.

157

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En tenant compte de la continuite de ϕ et du fait que f ∈ C1, on peut

verifier que si x tend vers x, on obtient

∂f

∂y(x, ϕ(x)) lim

x→x

ϕ(x)− ϕ(x)

x− x= −∂f

∂x(x, ϕ(x)).

Ainsi on obtient

ϕ′(x) =−∂f∂x

(x, ϕ(x))∂f∂y

(x, ϕ(x)),

ce qui montre que ϕ′(x) existe et est continue puisque f est C1 et ϕ est

C0.

Remarque 12.7. Ce resultat peut etre generalise lorsque

f : Rn × R → R

est de classe C1 sur un ouvert de Rn × R contenant (a, b) ou a ∈ Rn,

b ∈ R et f(a, b) = 0 et ∂f∂y(a, b) 6= 0. Il est meme generalisable pour

f : Rn × Rm → Rm et plus encore !

12.9. Une generalisation du theoreme des fonctions implicites.

Soit E ⊂ Rn×Rm un ouvert non vide et soit m fonctions f1, f2, . . . , fm :

E → R de classe C1(E). Si x ∈ Rn, y ∈ Rm, on notera fj(x,y) =

fj(x1, x2, . . . , xn; y1, y2, . . . , ym), 1 ≤ j ≤ m, la valeur de fj au point

(x,y) ∈ Rn+m. Si f(x,y) = (f1(x,y), f2(x,y), . . . , fm(x,y)) alors on a

f : E ⊂ Rn+m → Rm.

Notation 12.2. Si (x,y) ∈ E, on notera par Dyf(x,y) lam×m matrice

dite matrice jacobienne au point (x,y) des fonctions fj(x, ·), 1 ≤ j ≤ m

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Dyf(x,y) =

∂f1∂y1

(x,y)∂f1∂y2

(x,y) . . .∂f1∂ym

(x,y)

∂f2∂y1

(x,y)...

...

......

...

∂fm∂y1

(x,y)∂fm∂y2

(x,y) . . .∂fm∂ym

(x,y)

.

Le jacobien de ces m fonctions au point (x,y) est defini par

det (Dyf(x,y)) .

Theoreme 12.10. On suppose f : E ⊂ Rn×Rm → Rm de classe C1(E)

(i.e. fj ∈ C1(E), 1 ≤ j ≤ m). Si (a,b) ∈ E est tel que f(a,b) = 0 et

det ( Dyf(a,b) ) 6= 0, alors il existe δ > 0 et m fonctions

ϕj : B(a, δ) ⊂ Rn → R, j = 1, 2, . . . , m

de classe C1(B(a, δ)) qui verifient, si on note ϕ(x) = (ϕ1(x), ϕ2(x), . . . ,

ϕm(x)), les relations

ϕ(a) = b

et

f (x,ϕ(x)) = 0, ∀x ∈ B(a, δ).

12.10. Extrema lies. Methode des multiplicateurs de Lagrange.

Soit E ⊂ R2 un ouvert et f, g : E → R deux fonctions de classe C1(E)

et soit (a, b) ∈ E. On suppose que

g(a, b) = 0 et Dg(a, b) 6= 0.

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On considere alors l’ensemble

Ω = (x, y) ∈ E : g(x, y) = 0

et bien evidemment (a, b) ∈ Ω.

A ce stade, le probleme d’extrema lies que nous pouvons poser est le

suivant :

Est-ce que la restriction de la fonction f a Ω possede un extremum

local en (a, b) ? Cette question peut etre traduite par : existe-t-il ε > 0

tel que

f(a, b) ≥ f(x, y), ∀(x, y) ∈ B((a, b), ε) ∩ Ω?

ou bien

f(a, b) ≤ f(x, y), ∀(x, y) ∈ B((a, b), ε) ∩ Ω?

En posant cette question, nous dirons que l’on cherche des extrema locaux

de f sous la contrainte g(x, y) = 0. Nous n’allons pas repondre a cette

question, mais par contre nous allons donner une condition necessaire

sur f pour qu’elle possede un extremum local en (a, b) sous la contrainte

g(x, y) = 0.

Puisque nous supposons que Dg(a, b) 6= 0, alors ∂g∂x(a, b) ou/et ∂g

∂y(a, b)

est non nul. Supposons a ce stade que ∂g∂y(a, b) 6= 0. Puisque g(a, b) = 0,

le theoreme des fonctions implicites (theoreme 12.9) permet d’affirmer

qu’il existe δ > 0 et ϕ :]a− δ, a + δ[→ R de classe C1 telle que

g (x, ϕ(x)) = 0, ∀x ∈]a− δ, a + δ[

et

ϕ(a) = b.

Ainsi, dans un voisinage de (a, b), on cherche un extremum de f(x, y)

sous la contrainte y = ϕ(x) ; ce qui revient a chercher un extremum de

h(x) = f(x, ϕ(x)) dans un voisinage de a.

160

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Supposons donc maintenant que f ait un extremum local en (a, b) sous

la contrainte g(x, y) = 0. Alors on a h′(a) = 0. On calcule alors

h′(a) =∂f

∂x(a, ϕ(a)) +

∂f

∂y(a, ϕ(a))ϕ ′(a),

et donc∂f

∂x(a, b) +

∂f

∂y(a, b)ϕ ′(a) = 0.

D’autre part, la relation g(x, ϕ(x)) = 0, ∀x ∈]a − δ, a + δ[ nous permet

d’ecrire

∂g

∂x(a, b) +

∂g

∂y(a, b)ϕ ′(a) = 0.

Et puisqu’on a suppose ∂g∂y(a, b) 6= 0, on obtient ϕ ′(a) = −

∂g∂x(a, b)

∂g∂y(a, b)

, ce

qui implique

∂f

∂x(a, b)−

∂g∂x(a, b)

∂g∂y(a, b)

∂f

∂y(a, b) = 0.

On pose λ = −∂f∂y(a, b)

∂g∂y(a, b)

et nous obtenons avec cette definition :

∂f

∂x(a, b) + λ

∂g

∂x(a, b) = 0,

et bien sur, par definition de λ :

∂f

∂y(a, b) + λ

∂g

∂y(a, b) = 0.

Definissons maintenant F : R×E → R par

F (λ, x, y) = f(x, y) + λg(x, y).

On verifie donc que

∂F

∂λ(λ, a, b) = g(a, b) = 0,

∂F

∂x(λ, a, b) =

∂f

∂x(a, b) + λ

∂g

∂x(a, b) = 0,

∂F

∂y(λ, a, b) =

∂f

∂y(a, b) + λ

∂g

∂y(a, b) = 0.

161

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Si nous avions suppose que ∂g∂x(a, b) 6= 0, au lieu de ∂g

∂y(a, b) 6= 0, on

aurait pu faire le meme raisonnement en exprimant par le theoreme des

fonctions implicites x comme fonction de y. Dans tous les cas, on obtient :

Si f(x, y) possede un extremum en (a, b) sous la contrainte g(x, y) = 0

avecDg(a, b) 6= 0, alors (λ, a, b) est un point stationnaire de F (λ, x, y) =

f(x, y) + λg(x, y), ou λ = −(∂g∂y(a, b)

)−1 (∂f∂y(a, b)

)si ∂g

∂y(a, b) 6= 0

et λ = −(∂g∂x(a, b)

)−1 (∂f∂x(a, b)

)si ∂g

∂x(a, b) 6= 0. On dit que λ est un

multiplicateur de Lagrange et que F est le Lagrangien du probleme de

minimisation sous contrainte.

162

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On peut generaliser le resultat precedemment etabli en enoncant le theoreme

suivant :

Theoreme 12.11. Soit f : E ⊂ Rn × Rm → R une fonction C1(E) ou

E ⊂ Rn×Rm est un ouvert non vide et soit g1, g2, . . . , gm : E → Rm fonc-

tions de classe C1(E) et on ecrit g(x,y) = (g1(x,y), g2(x,y), . . . , gm(x,y))

si x ∈ Rn, y ∈ Rm. On suppose que (a,b) ∈ E est tel que

g(a,b) = 0 et det ( Dyg(a,b) ) 6= 0

et on pose Ω = (x,y) ∈ E : g(x,y) = 0. Alors une condition necessaire

pour que f restreinte a Ω prenne un extremum local au point (a,b)

est que (λ, a,b) ∈ Rm × E soit un point stationnaire de F (λ,x,y) =

f(x,y) + λ · g(x,y) ou λ · g(x,y) est le produit scalaire euclidien dans

Rm et λ = −Dyg(a,b)−T ∂f

∂y(a,b). Ici Dyg(a,b) est une m × m ma-

trice reguliere puisqu’on a suppose det ( Dyg(a,b) ) 6= 0 et ∂f∂y(a,b)

denote le vecteur(∂f∂y1

(a,b), . . . , ∂f∂ym

(a,b)). Les nombres λ1, λ2, . . . , λm

qui forment λ sont appeles les multiplicateurs de Lagrange.

163

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13. Integrales multiples

13.1. Integrales doubles sur un rectangle ferme.

On considere le rectangle D = [a, b]× [c, d] ⊂ R2 ou a < b, c < d et une

fonction f : D → R continue. Un point dans D est note (x, y). On a alors

le resultat suivant :

Theoreme 13.1. (Fubini (1879-1943))

∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx =

∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y)dx

)dy.

Idee de la demonstration de ce theoreme

Demonstration. Soit N > 0, M > 0 deux entiers et soit xj = a + j b−aN

,

j = 0, 1, . . . , N et yk = c+ k d−cM

, k = 0, 1, . . . ,M . Puisque f est continue

sur le rectangle ferme D, elle est uniformement continue et on pose pour

0 ≤ i ≤ N − 1, 0 ≤ j ≤M − 1 :

Mij = maxxi≤x≤xi+1yj≤y≤yj+1

f(x, y), mij = minxi≤x≤xi+1yj≤y≤yj+1

f(x, y).

Soit ε > 0 et soit M et N tels que

Mij −mij ≤ ε, ∀i = 0, . . . , N − 1, j = 0, . . . ,M − 1.

Si g(y) =

∫ b

a

f(x, y)dx =N−1∑

i=0

∫ xi+1

xi

f(x, y)dx on a

∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y)dx

)dy =

M−1∑

j=0

∫ yj+1

yj

g(y)dy

=

M−1∑

j=0

∫ yj+1

yj

(N−1∑

i=0

∫ xi+1

xi

f(x, y)dx

)dy

164

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et ainsi

M−1∑

j=0

N−1∑

i=0

mij(xi+1 − xi)(yj+1 − yj) ≤∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y)dx

)dy

≤M−1∑

j=0

N−1∑

i=0

Mij(xi+1 − xi)(yj+1 − yj).

On fait de meme avec∫ ba

(∫ dcf(x, y)dy

)dx et on obtient

∣∣∣∣∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y)dx

)dy −

∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx

∣∣∣∣ ≤

≤M−1∑

j=0

N−1∑

i=0

(Mij −mij) (xi+1 − xi)(yj+1 − yj)

≤ ε(b− a)(d− c).

Comme ε > 0 etait choisi arbitrairement petit, on obtient le resultat

voulu.

Definition 13.1. On note

∫∫

D

f(x, y)dx dy =

∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx

que l’on appelle integrale double de f sur D. On peut permuter les roles

de x et y.

On montre facilement les proprietes suivantes :

1) L’integrale double est lineaire, i.e.∫∫

D

(αf(x, y) + βg(x, y))dx dy

= α

∫∫

D

f(x, y)dx dy + β

∫∫

D

g(x, y)dx dy

pour tout α, β ∈ R et pour toutes f, g : D → R continues.

165

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2) Si D1, D2, . . . , Dκ sont des rectangles tels que D = ∪κj=1Dj et

aire(D) =

κ∑

j=1

aire (Dj), alors on a

∫∫

D

f(x, y)dx dy =κ∑

j=1

∫∫

Dj

f(x, y)dx dy.

3) Si f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D on a

∫∫

D

f(x, y)dx dy ≥ 0. De plus si∫∫

D

f(x, y)dx dy = 0, alors f(x, y) = 0, ∀(x, y) ∈ D.

4) Si f(x, y) ≤ g(x, y), ∀(x, y) ∈ D alors

∫∫

D

f(x, y)dx dy ≤∫∫

D

g(x, y)dx dy.

5)

∣∣∣∣∫∫

D

f(x, y)dx dy

∣∣∣∣ ≤∫∫

D

|f(x, y)|dx dy.

6) Theoreme de la moyenne : ∃(x0, y0) ∈ D tel que∫∫

D

f(x, y)dx dy = f(x0, y0) · aire (D).

13.2. Integrales doubles sur des domaines ouverts bornes de R2.

Nous ne ferons pas ici une theorie de l’integration qui depasse le propos

de ce cours. Les domaines ouverts bornes D de R2 peuvent avoir des

frontieres tres “compliquees”. Pour exemple

D = (x, y) ∈ R2 : x sin(1

x) < y < 2, 0 < x < 1.

Si f : D → R est une fonction continue et bornee, comment definir alors∫∫

D

f(x, y)dx dy ? On peut montrer qu’il existe une famille denombrable

de rectangles fermes (Dj)∞j=1 qui recouvrent D, i.e. Dj ∩ Dk = ∅ si j 6= k

et ∪∞j=1Dj = D.

166

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On peut alors definir

∫∫

D

f(x, y)dx dy =∞∑

j=1

∫∫

Dj

f(x, y)dx dy pour

autant que l’on ait montre que cette serie converge et que sa limite est

independante de la famille de rectangles qui recouvrent D. Nous n’allons

pas entrer ici dans de telles considerations qui necessitent une theorie

elaboree, laquelle ne permet pas souvent de faire des calculs concrets. Par

exemple, il n’est pas facile de donner un recouvrement en rectangles du

domaine D = (x, y) ∈ R2 : x sin( 1x) < y < 2, 0 < x < 1. Cependant,

si f : D → R est une fonction continue et bornee, nous calculerons

∫∫

D

f(x, y)dx dy =

∫ 1

0

(∫ 2

x sin( 1x)

f(x, y)dy

)dx

ou nous posons x sin( 1x) = 0 si x = 0. En utilisant MATLAB, nous pou-

vons voir que

∫∫

D

xy dx dy = 0.8962 apres avoir fait successivement ces

deux integrales.

Prenons un autre exemple. Soit le triangle D de sommets A1 = (0, 0),

A2 = (2, 0) et A3 = (1, 1). Clairement ce triangle D se laisse decrire par

D = (x, y) ∈ R2 : y < x < 2− y, 0 < y < 1 et on aura

∫∫

D

f(x, y)dx dy =

∫ 1

0

(∫ 2−y

y

f(x, y)dx

)dy.

On peut voir que les proprietes enoncees pour l’integrale double sur des

rectangles sont encore vraies ici.

Aire de D :

Il suffit de prendre f ≡ 1 et donc aire (D) =∫∫

Ddx dy. Par exemple,

l’aire du triangle ci-dessus est donnee par∫ 1

0

(∫ 2−y

y

dx

)dy =

∫ 1

0

(2− 2y)dy = |2y − y2|y=1y=0 = 1.

167

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On pourrait montrer les proprietes suivantes (voir quelques exercices) :

Si D est un ouvert borne de R2 et si f : D → R est une fonction continue

bornee, alors

•∣∣∣∣∫∫

D

f(x, y)dx dy

∣∣∣∣ ≤∫∫

D

|f(x, y)|dx dy ;

• si f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D alors

∫∫

D

f(x, y)dx dy ≥ 0 ;

• si f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D et si

∫∫

D

f(x, y)dx dy = 0, alors f(x, y) = 0,

∀(x, y) ∈ D ;

• si m = inff(x, y) : (x, y) ∈ D et M = supf(x, y) : (x, y) ∈ D,alors m aire (D) ≤

∫∫

D

f(x, y)dx dy ≤M aire (D) ;

•∫∫

D

|f(x, y)g(x, y)|dx dy ≤(∫∫

D

|f(x, y)|pdx dy)1/p

(∫∫

D

|g(x, y)|qdx dy)1/q

ou p et q sont tels que p, q > 1 et 1p+ 1

q= 1 et g : D → R est aussi une

fonction continue bornee (Inegalite de Holder) ;

•(∫∫

D

|f(x, y) + g(x, y)|pdx dy)1/p

≤(∫∫

D

|f(x, y)|pdx dy)1/p

+

(∫∫

D

|g(x, y)|pdx dy)1/p

ou p ≥ 1 (Inegalite de Minkowski).

13.3. Changement de variables dans une integrale double.

Soit D et E deux sous-ensembles ouverts bornes de R2 et soit F : E → D

une bijection de E sur D. En supposant que E est dans le plan Ouv et

168

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D dans le plan Oxy, on decrit F par

x = F1(u, v)

y = F2(u, v)(u, v) ∈ E.

Si on suppose que F1 et F2 sont de classe C1, on definit la matrice jaco-

bienne de F au point (u, v) par

D(u,v)F (u, v) =

∂F1

∂u(u, v)

∂F1

∂v(u, v)

∂F2

∂u(u, v)

∂F2

∂v(u, v)

ainsi que son determinant appele jacobien

J(u, v) = det(D(u,v)F (u, v)

).

Soit f : D → R une fonction continue et bornee et posons g(u, v) =

f(F1(u, v), F2(u, v)), (u, v) ∈ E. Ainsi g : E → R est une fonction conti-

nue et bornee sur E qui est telle que g(u, v) = f(x, y) lorsque (x, y) est

l’image par F du point (u, v) ∈ E. On ne demontrera pas le resultat

suivant, mais on y donnera une interpretation geometrique.

Theoreme 13.2. On suppose que le jacobien J(u, v) de F au point

(u, v) ∈ E ne s’annule pas dans E. Alors on a∫∫

D

f(x, y)dx dy =

∫∫

E

g(u, v)|J(u, v)|du dv.

Interpretation :

Supposons que E soit le carre unite, i.e. E = (0, 1)× (0, 1) et que D soit

le rectangle (a, b) × (c, d) = D. Soit maintenant F : E → D bijective

donnee par

F1(u, v) = a+ u(b− a),

F2(u, v) = c+ v(d− c),(u, v) ∈ E.

169

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On a∫∫

D

f(x, y)dx dy =

∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx

et en faisant le changement de variable y = c + v(d − c) avec v ∈ [0, 1],

on obtient dy = (d− c)dv et

∫∫

D

f(x, y)dx dy =

∫ b

a

(∫ 1

0

f(x, c+ v(d− c))(d− c)dv

)dx.

En faisant le changement de variable x = a+ u(b− a) avec u ∈ [0, 1], on

obtient finalement :∫∫

D

f(x, y)dx dy =

∫ 1

0

(∫ 1

0

f(a+ u(b− a), c+ v(d− c))(d− c)dv

)

· (b− a)du.

Mais D(u,v)F (u, v) =

[(b− a) 0

0 (d− c)

]et J(u, v) = (b− a)(d− c).

Ainsi, on voit dans ce cas-la que∫∫

Df(x, y)dx dy =

∫∫Eg(u, v)|J(u, v)|du dv

ou g(u, v) = f(a+ u(b− a), c+ v(d− c)), (u, v) ∈ E.

L’interpretation geometrique de ce changement de variables est le sui-

vant :

Si on se rapporte a la demonstration du theoreme de Fubini, on peut

voir que

∫∫

D

f(x, y)dx dy ≃N−1∑

i=0

M−1∑

j=0

f(xi, yj)(xi+1 − xi)(yj+1 − yj) ou

xi = a + i b−aN

, i = 0, 1, . . . , N , yj = c + j d−cM

, j = 0, 1, . . . ,M , N et M

etant des entiers positifs tels que

maxx∈[xi,xi+1]y∈[yj,yj+1]

f(x, y)− minx∈[xi,xi+1]y∈[yj,yj+1]

f(x, y)

soit plus petit qu’un ε > 0 donne, independant de i et j. Le changement

de variables (u, v) → F (u, v) est tel que ui = iN, vj = j

Msatisfait

(xi, yj) = F (ui, vj), i = 0, 1, . . . , N , j = 0, 1, . . . ,M . Ainsi, en posant

Dij = aire du rectangle (xi+1 − xi) × (yj+1 − yj) et Eij = aire du

170

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rectangle (ui+1 − ui) × (vj+1 − vj), on voit que |J(ui, vj)| = Dij

Eijou, si

on prefere Dij = |J(ui, vj)|Eij . Ainsi∑

i,j

f(xi, yj)Dij =∑

i,j

f (F (ui, vi)) |J(ui, vj)|Eij.

De facon generale, si F : E → D est une bijection C1, la valeur absolue

du jacobien | detD(u,v)F (u, v)| represente le rapport entre deux aires :

celle d’un rectangle “infinitesimal” et celle de son image par F−1.

Exemple 13.1. Calculer

∫∫

D

e−(x2+y2)dx dy ou D = (x, y) : x2 + y2 <

1. On choisit le changement de variables

F ≡x = u cos v

y = u sin v

ou u ∈ [0, 1[ et v ∈ [0, 2π[. Clairement E = [0, 1[×[0, 2π[ et F n’est pas

une bijection puisque u = 0, v ∈ [0, 2π[ donne F (0, v) = 0. Ceci dit, on

verra que ce n’est pas important ; il suffit de prendre 0 < ε < u < 1 et

de faire tendre ε vers zero !

On a donc

D(u,v)F (u, v) =

[cos v −u sin v

sin v u cos v

]et J(u, v) = u.

Ainsi∫∫

D

e−(x2+y2)dx dy =

∫ 2π

0

dv

∫ 1

0

e−u2

u du =

= 2π

(−1

2|e−u2 |u=1

u=0

)= π

(1− e−1

)= π

(1− 1

e

).

171

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13.4. Integrale double sur un domaine infini.

Soit D un domaine ouvert de R2, non borne et soit Dn ⊂ D, n = 1, 2, . . .

une suite de domaines ouverts bornes emboıtes, i.e. D1 ⊂ D2 ⊂ D3 . . .

telle que ∪∞j=1Dj = D.

Si f : D → R est une fonction continue telle qu’il existe M > 0 qui

satisfait

∫∫

D′

|f(x, y)|dx dy ≤ M , ∀D′ ⊂ D, D′ borne, alors on peut

decomposer f(x, y) = f+(x, y) − f−(x, y) ou f+(x, y) = max(f(x, y), 0)

et f−(x, y) = max(−f(x, y), 0). Ainsi on obtient∫∫

Dn

f(x, y)dx dy =

∫∫

Dn

f+(x, y)dx dy −∫∫

Dn

f−(x, y)dx dy.

Mais

∫∫

Dn

f+(x, y)dx dy est une suite croissante et bornee lorsque n →∞. Ainsi elle est convergente et on posera

∫∫

D

f+(x, y)dx dy = limn→∞

∫∫

Dn

f+(x, y)dx dy;

encore faut-il montrer que cette limite est independante de la suite (Dn)∞n=1

choisie ; ce qui est vrai !

De meme, on a limn→∞

∫∫

Dn

f−(x, y)dx dy =def

∫∫

D

f−(x, y)dx dy. On pose

ainsi∫∫

D

f(x, y)dx dy = limn→∞

∫∫

Dn

f+(x, y)dx dy − limn→∞

∫∫

Dn

f−(x, y)dx dy.

Exemple 13.2. D = R2, f(x, y) = e−(x2+y2). On a 1 ≥ f(x, y) ≥ 0,

∀(x, y) ∈ R2. Si Dn = (x, y) : x2 + y2 < n2, on a∫∫

Dn

f(x, y)dx dy = 2π

∫ n

0

e−r2

r dr

= 2π

(−1

2e−r

2

)r=n

r=0

= −π(e−n

2 − 1)=(1− e−n

2)π.

Ainsi

∫∫

Dn

f(x, y)dx dy → π si n→ ∞.

172

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13.5. Integrales multiples.

Les paragraphes qui precedent peuvent etre generalises a des domaines

ouverts de Rn.

Considerons par exemple un parallelotope de Rn donne parD = Πni=1[ai, bi]

ou ai < bi, 1 ≤ i ≤ n et soit f : D → R une fonction continue. On obtient

(Thm. de Fubini) :

∫ b1

a1

dx1

∫ b2

a2

dx2

∫ b3

a3

dx3 . . .

∫ bn

an

dxnf(x1, x2, . . . , xn) =

∫ bσ1

aσ1

dxσ1

∫ bσ2

aσ2

dxσ2

∫ bσ3

aσ3

dxσ3 . . .

∫ bσn

aσn

dxσnf(x1, x2, . . . , xn)

pour toute permutation (σ1, σ2, . . . , σn) des n premiers entiers (1, 2, . . . , n).

Ainsi ou peut definir

∫∫∫. . .

D︸ ︷︷ ︸n fois

f(x)dx =

∫ b1

a1

dx1

∫ b2

a2

dx2

∫ b3

a3

dx3 . . .

∫ bn

an

dxnf(x1, x2, . . . , xn).

On utilise aussi la notation simplifiee

D

f(x)dx pour l’integrale ci-dessus.

Les resultats enonces sur les integrales doubles se generalisent facilement

a ces integrales multiples. Nous prendrons seulement par exemple un

changement de variables dans un volume de R3.

Soit D et E deux sous-ensembles ouverts bornes de R3 et soit F : E → D

une bijection de E surD. Pour eviter de mettre des indices aux differentes

variables, nous supposons que E est dans R3 repere par Ouvw et D dans

R3 repere par Oxyz. On decrit F par :

x = F1(u, v, w),

y = F2(u, v, w),

z = F3(u, v, w),

, (u, v, w) ∈ E.

173

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En supposant F de classe C1 (i.e. Fi ∈ C1(E), i = 1, 2, 3) on definit la

matrice jacobienne :

D(u,v,w)F (u, v, w) =

∂F1

∂u(u, v, w) ∂F1

∂v(u, v, w) ∂F1

∂w(u, v, w)

∂F2

∂u(u, v, w) ∂F2

∂v(u, v, w) ∂F2

∂w(u, v, w)

∂F3

∂u(u, v, w) ∂F3

∂v(u, v, w) ∂F3

∂w(u, v, w)

et le jacobien :

J(u, v, w) = det(D(u,v,w)F (u, v, w)

).

Si f : D → R est une fonction continue et bornee et si g(u, v, w) =

f(F1(u, v, w), F2(u, v, w), F3(u, v, w)) nous obtenons :

∫∫∫

D

f(x, y, z) dx dy dz =

∫∫∫

E

g(u, v, w) |J(u, v, w)|du dvdw.

Exemple 13.3. D = (x, y, z) : 0 < z < 1 −√x2 + y2, x2 + y2 < 1 et

f(x, y, z) = x2 + y2. En definissant F (coordonnees cylindriques ) par

x = u cos(v),

y = u sin(v),

z = w,

avec 0 < w < 1− u, u ∈ [0, 1[, v ∈ [0, 2π], nous aurons

D(u,v,w)F (u, v, w) =

cos(v) −u sin(v) 0

sin(v) u cos(v) 0

0 0 1

et :

J(u, v, w) = u.

174

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Ainsi g(u, v, w) = u2 et

∫∫∫

D

f(x, y, z) dx dy dz =

∫ 1

0

du

∫ 2π

0

dv

∫ 1−u

0

dwu3

= 2π

∫ 1

0

u3(1− u)du

= 2π

∣∣∣∣u4

4− u5

5

∣∣∣∣u=1

u=0

= 2π

(1

4− 1

5

)=

π

10.

Remarquons encore que D est un tronc de cone et que son volume est

donne par

∫∫∫

D

dx dy dz =

∫ 1

0

du

∫ 2π

0

dv

∫ 1−u

0

u dw = 2π

∫ 1

0

u(1 −

u)du = 2π

(1

2− 1

3

)=π

3.

Exemple 13.4. D = (x, y, z) : x2 + y2 + z2 < 4 et f(x, y, z) =√x2 + y2 + z2. En definissant F (coordonnees spheriques) par

x = u sin v cosw,

y = u sin v sinw,

z = u cos v,

avec 0 ≤ u < 2, 0 ≤ v ≤ π, 0 ≤ w ≤ 2π, nous aurons

D(u,v,w)F (u, v, w) =

sin v cosw u cos v cosw −u sin v sinwsin v sinw u cos v sinw u sin v cosw

cos v −u sin v 0

et :

J(u, v, w) = u2 sin v.

Ainsi J(u, v, w) ≥ 0 car v ∈ [0, π] et on obtient

∫∫∫

D

f(x, y, z) dx dy dz =

∫ 2

0

du

∫ π

0

dv

∫ 2π

0

dw u3 sin v

= 2π

∣∣∣∣u4

4

∣∣∣∣u=2

u=0

|− cos v|v=πv=0 = 16π.

175

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Exemple 13.5. Si a, b, c ∈ R∗+ sont 3 nombres positifs donnes, on sait

que l’equation x2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 1 est l’equation d’un ellipsoıde de demi-axes

a, b et c respectivement suivant Ox,Oy et Oz.

Si D ⊂ R3 est le domaine admettant cet ellipsoıde pour frontiere, i.e.

D = (x, y, z) : x2

a2+y2

b2+z2

c2< 1,

on demande de calculer le volume de D. On a vol(D) =∫∫∫

Ddxdydz.

En faisant le changement de variables

x = au sin v cosw,

y = bu sin v sinw,

z = cu cos v,

ou u ∈ [0, 1[, v ∈ [0, π], w ∈ [0, 2π] on obtient

J(u, v, w) = abc u2 sin v

et donc

vol(D) =

∫ 1

0

du

∫ π

0

dv

∫ 2π

0

dw abc u2 sin v =abc

3.2π.2 =

3abc.

Remarque 13.1. Si D est la boule de rayon r > 0 centree en 0, i.e.,

a = b = c = r, on a vol(D) = 43πr3.

176

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14. Nombres complexes

14.1. Rappel sur les nombres complexes. Si z est un nombre

complexe, il peut etre represente par sa partie reelle notee Re(z) et

sa partie imaginaire notee Im(z). Ainsi, en posant x = Re(z) ∈ R et

y = Im(z) ∈ R, on a z = x + iy ou i est l’unite imaginaire. Si y = 0,

on dit que z est purement reel, si x = 0, on dit que z est purement

imaginaire.

Si z1 = x1 + iy1 et z2 = x2 + iy2 ou xj = Re(zj), yj = Im(zj), j = 1, 2,

on peut definir

• la somme z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) ;

• le produit z1 · z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1).

Si x1 = x2 = 0 et y1 = y2 = 1, on obtient i · i = i2 = −1. On verifie

que l’addition est commutative et associative et que la multiplication

est commutative et associative, et distributive par rapport a l’addition.

L’addition a pour element neutre 0 = 0+i0 et la multiplication 1 = 1+i0.

La difference et la division sont les operations inverses de l’addition et la

multiplication, i.e.

• la difference z1 − z2 = w ⇔ z1 = z2 + w ;

• la division z1 : z2 =z1z2

= w ⇔ z1 = z2 · w (definie pour z2 6= 0).

Ainsi, les nombres complexes peuvent etre traites comme les nombres

reels relativement aux operations : somme, difference, produit, division,

avec la seule regle supplementaire selon laquelle on remplace le carre de

i par −1.

Les nombres complexes forment un corps appele corps des complexes

et note C. De nombreuses formules etablies dans le cadre des nombres

reels restent encore valables pour les nombres complexes ; par exemple,

177

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la formule du binome de Newton. Si z = x + iy avec x, y ∈ R, alors le

conjugue complexe est note z = x− iy. On remarque que z · z = x2 + y2,

qui est un nombre reel, et qui est le module |z| de z au carre lorsqu’on

represente z = x+ iy dans le plan Oxy. On a donc

• module de z : |z| =√x2 + y2 ;

• argument de z : arg(z) = ϕ tel que x = |z| cos ϕ, y = |z| sin ϕ ;

l’argument de z est l’angle defini a k2π pres, forme avec l’axe reel

Ox et le vecteur reliant l’origine au point P lorsque le vecteur−→OP

represente z ∈ C (identification du plan complexe a R2).

On a donc

z = |z| (cos(arg(z)) + i sin(arg(z))) .

Rappelons encore que lorsque z est represente sous forme de vecteur dans

le plan Oxy (de composantes x et y selon les axes Ox, Oy respective-

ment), l’addition de z1+z2 est une addition vectorielle alors que le produit

de z1 par z2 a pour module le produit des modules et pour argument la

somme des arguments. On a donc si z1, z2 ∈ C :

z1 · z2 = |z1| |z2|[cos (arg(z1) + arg(z2)) + i sin (arg(z1) + arg(z2))].

Il en decoule immediatement la formule de Moivre

(cos ϕ+ i sin ϕ)n = cos(nϕ) + i sin(nϕ).

178

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14.2. Series entieres.

Si z ∈ C, on definit zn = z · z · z · · · z︸ ︷︷ ︸n fois

et par suite si a0, a1, a2, . . . , an, . . .

sont des coefficients donnes (reels ou complexes) et si z est une variable

complexe, on peut definir la serie entiere

∞∑

n=0

anzn = a0 + a1z + a2z

2 + . . .+ anzn + . . . .

Si SN est la nieme somme partielle, i.e. SN =∑N

n=0 anzn, et si w ∈ C est

tel que limN→∞

|w − SN | = 0, on dit que la serie∑∞

n=0 anzn est convergente

et qu’elle converge vers w.

Si An = |an| et r = |z|, alors la serie entiere∑∞

n=0Anrn est une serie

reelle et on a vu qu’il existe R (au besoin R = ∞) tel que si 0 ≤ r < R

la serie converge et pour r > R, elle diverge. On dit alors que si |z| < R,

la serie∑∞

n=0 anzn converge absolument. On peut montrer que si elle

converge absolument, alors elle converge. On peut aussi montrer qu’il

existe z ∈ C, |z| = R tel que la serie∑∞

n=0 anzn diverge. Il en va de meme

pour |z| > R. Si R < R, alors la serie∑∞

n=0 anzn converge normalement

dans le disque D = z ∈ C : |z| ≤ R, i.e.∑∞

n=0 |an|Rn est convergente.

Dans ce cas, on peut montrer que∑∞

n=0 anzn converge uniformement vers

f(z) =∑∞

n=0 anzn dans D, ce qui veut dire que pour tout ε > 0, il existe

N0 tel que∣∣∣∣∣f(z)−

N∑

n=0

anzn

∣∣∣∣∣ ≤ ε, ∀N ≥ N0, ∀z ∈ D.

Dans ce cas f : D → C est une fonction complexe dite analytique (ou

holomorphe) dans D. L’etude de telles fonctions fera l’objet du cours

Analyse IV. Pour l’instant, nous nous restreindrons a une seule fonction.

179

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14.3. La fonction exponentielle.

On definit l’exponentielle complexe par

ez =∞∑

n=0

1

n!zn.

On a vu que∑∞

n=01n!xn est convergente pour tout x ∈ R et definit ainsi

ex ; il en est de meme pour ez =∑∞

n=01n!zn qui converge donc absolument

pour tout z ∈ C (on a meme la convergence uniforme dans tout borne

de C). Cette definition implique les proprietes suivantes :

1) ez = ex si z = x ∈ R ;

2) ez1 · ez2 = ez1+z2 si z1, z2 ∈ C (demonstration identique a celle faite

dans les reels) ;

3) ez = ex · eiy si z = x+ iy ou x = Re(z), y = Im(z) ;

4) eiy =∑∞

n=01n!(iy)n = 1 + iy

1!− y2

2!− iy

3

3!+ y4

4!. . .

= 1− y2

2!+ y4

4!− y6

6!+ . . .+ i

(y − y3

3!+ y5

5!− . . .

)

= cos y + i sin y, lorsque y ∈ R.

Ainsi ez = ex(cos y + i sin y) si z ∈ C et x = Re(z), y = Im(z).

5) Puisque eiy = cos(y)+ i sin(y) et e−iy = cos(y)− i sin(y) ou y ∈ R,

on a

cos(y) =eiy + e−iy

2, sin(y) =

eiy − e−iy

2i, ∀y ∈ R;

ce sont les formules d’Euler.

14.4. La fonction logarithme.

La fonction exponentielle exp : C → C definie par exp(z) = ez =∞∑

n=0

1

n!zn est periodique de periode imaginaire 2πi car ez = ez+k2πi, ∀z ∈ C

180

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et ∀k ∈ Z. Elle n’est donc pas injective et n’a pas d’inverse a priori. Ce-

pendant, si nous desirons chercher une fonction f : C → C telle que

ef(z) = z, nous posons alors w = f(z) pour obtenir

ew = z.

Si w = w1 + iw2 avec w1 = Re(w), w2 = Im(w), nous obtenons

ew1 (cosw2 + i sinw2) = z

c’est-a-dire ew1 = |z| et w2 = arg(z) + k2π, k ∈ Z. Dans le but de

definir univoquement w a partir de z, nous definissons, si z ∈ C − R−,

Arg(z) = arg(z) + k2π ou k est choisi tel que Arg(z) ∈ ]− π,+π[. Ainsi,

si z ∈ C− R−, on choisit de facon univoque w2 = Arg(z), et on obtient

w1 = ln|z|, w2 = Arg(z).

La quantite w1 + iw2 = ln|z|+ iArg(z) sera ainsi appelee determination

principale du logarithme et sera notee Ln(z). On a donc finalement defini

la fonction

Ln : C− R− → C

par Ln(z) = ln|z|+ iArg(z) qui est telle que eLn(z) = z, ∀z ∈ C− R−.

Cette definition implique les proprietes suivantes :

1) Ln(z) = ln(x) si z = x ∈ R∗+ ;

2) Ln est injective et R(Ln) = w ∈ C : Im(w) ∈ ] − π,+π[. Lafonction exp restreinte a R(Ln) est la fonction inverse de Ln.

3) Si z = i3, on a Ln(i3) = Ln(−i) = ln(1) − iπ2= −iπ

2bien que

3Ln(i) = i3π2

ce qui montre que Ln(i3) 6= 3Ln(i). Ainsi les rela-

tions Ln(zα) = αLn(z) et Ln(z1z2) = Ln(z1)+Ln(z2) ne sont pas

necessairement vraies et donc a prohiber !

181

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14.5. La fonction ”puissance”.

Soit z ∈ C− R− et soit α ∈ C. On definit z a la puissance α par

zα = eαLn(z).

On obtient les proprietes suivantes :

1) Si z = e, α ∈ C, on obtient zα = eαLn(e) = eαln(e) = eα ;

2) Si z = x ∈ R∗+ et si α ∈ R, on obtient zα = eαln(x) = xα. De plus,

si α ∈ N∗ on obtient zα = xα = x.x.x . . . .x︸ ︷︷ ︸α fois

. ;

3) Si α = α1 + iα2 avec α1 = Re(α), α2 = Im(α) et si x ∈ R∗+ on a

xα = xα1 (cos(ln(xα2) + i sin(ln(xα2)) ;

4) Si z ∈ R∗+ et si α1, α2 ∈ C, on a zα1+α2 = zα1zα2 .

14.6. Les fonctions trigonometriques.

Si x ∈ R, on a vu que :

sin(x) = x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ . . . =

∞∑

n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n+1,

cos(x) = 1− x2

2!+x4

4!− x6

6!+ . . . =

∞∑

n=0

(−1)n

(2n)!x2n,

et que ces deux series convergent absolument sur R et uniformement sur

tout compact de R. Ainsi, on peut definir, lorsque z ∈ C,

sin(z) =∞∑

n=0

(−1)n

(2n+ 1)!z2n+1,

cos(z) =

∞∑

n=0

(−1)n

(2n)!z2n,

182

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qui sont deux series qui convergent uniformement sur tout borne de C.

On remarque alors que les formules d’Euler sont encore vraies dans C,

i.e. :

sin(z) =eiz − e−iz

2iet cos(z) =

eiz + e−iz

2, ∀z ∈ C,

et que lorsque z est un reel pur, on retrouve ce que l’on connaıt !

Prenons maintenant z = iy avec y ∈ R. On obtient

sin(iy) = iey − e−y

2et cos(iy) =

ey + e−y

2.

En definissant les fonctions hyperboliques sh : R → R et ch : R → R

par :

sh(y) =ey − e−y

2et ch(y) =

ey + e−y

2.

on constate que :

sh(y) = −i sin(iy) et ch(y) = cos(iy), ∀y ∈ R.

De meme la tangente hyperbolique devient :

th(y) =sh(y)

ch(y)= −i tg(iy), ∀y ∈ R,

ou tg(z) est definie par tg(z) = sin(z)cos(z)

, ∀z ∈ C.

14.7. La fonction gamma.

Soit z ∈ C tel que Re(z) > 0. On pose z = x + iy avec x = Re(z) > 0

et y = Im(z). Soit encore t ∈]0,∞[. En utilisant la propriete (3) du

paragraphe 14.5, on obtient :

tz−1e−t = t(x−1)e−t(cos(lnty) + i sin(lnty)).

183

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Si x est positif, on a tx−1e−t = O(tx−1) si t tend vers zero et donc∫ 1

0tx−1e−tdt <∞.

De plus∫∞1tx−1e−tdt <∞ et donc

∫∞0tz−1e−tdt a un sens si Re(z) > 0.

Definition 14.1. La fonction Γ (gamma) est definie sur le demi-plan

complexe droite z ∈ C : Re(z) > 0 par

Γ(z) =

∫ ∞

0

tz−1e−tdt.

Cette formule est une formule d’Euler (1707-1783).

Proprietes

1) Si x ∈ R, x > 0, on a Γ(x+ 1) = xΓ(x).

En effet, en integrant par partie, on obtient :

Γ(x+ 1) =

∫ ∞

0

txe−tdt = −|txe−t|t=∞t=0 +

∫ ∞

0

xtx−1e−tdt = xΓ(x).

2) Si n est un entier positif, on a Γ(n+1) = n! et la fonction Γ generalise

la notion de factorielle.

En effet, on verifie facilement que Γ(1) =∫∞0e−tdt = 1 et en utilisant

la premiere propriete :

Γ(n+ 1) = nΓ(n) = n(n− 1)Γ(n− 1) = . . . = n!

3) limn→∞

Γ(x+ n)

nxΓ(n)= 1.

(exercice obtenu a partir de la formule de Stirling (1692-1770) :

n! ≃√2πn(n

e)n ou lim

n→∞n!en√2πnnn = 1).

184

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4) Γ(x) = limn→∞

n!nx

x(x+ 1)(x+ 2) . . . (x+ n).

En effet, en utilisant la propriete (1), on a

Γ(x+ n+ 1) = (x+ n)Γ(x+ n)

= (x+ n)(x+ n− 1)Γ(x+ n− 1) =

= . . . = (x+ n)(x+ n− 1) . . . (x+ 1)xΓ(x).

Ainsi

Γ(x) =Γ(x+ n+ 1)

x(x+ 1)(x+ 2) . . . (x+ n)=

=n!nx

x(x+ 1) . . . (x+ n)

(Γ(x+ n+ 1)

(n + 1)x Γ(n+ 1)

)(n+ 1

n

)x

et donc

Γ(x) = limn→∞

n!nx

x(x+ 1)(x+ 2) . . . (x+ n).

185

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15. Integrales curvilignes. Differentielle totale

Dans ce chapitre, l’espace Rn est muni de sa base canonique e1, e2, . . . , en,

i.e.

ej = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0),↑jieme place

j = 1, 2, 3, . . . , n.

15.1. Arcs dans Rn.

Soit a < b deux nombres reels et soit r : [a, b] → Rn une application

continue de [a, b] dans Rn et non constante. Clairement r est donnee par

n fonctions continues rj : [a, b] → R, j = 1, 2, . . . , n, et on note

r(t) = (r1(t), r2(t), . . . , rn(t)) , t ∈ [a, b].

On a donc r(t) =∑n

j=1 rj(t)ej, t ∈ [a, b], qui va decrire une courbe

continue dans Rn, d’origine r(a), d’extremite r(b), et parcourue de r(a)

a r(b) lorsque t croıt de a a b. On dira alors que Γ =def

r(t) : t ∈ [a, b]est un arc oriente d’origine r(a) et d’extremite r(b).

Exemple 15.1. n = 2, a = 0, b = π, r1(t) = cos(t), r2(t) = sin(t). Ainsi

r(t) : t ∈ [0, π] represente un demi-cercle de rayon 1, centre a l’origine

et dans le demi-plan superieur du plan Ox1x2.

Exemple 15.2. n = 3, a = 0, b = π, r1(t) = cos(t), r2(t) = sin(t),

r3(t) = t. Ainsi r(t) : t ∈ [0, π] a pour representation une partie

d’helice dont la projection orthogonale sur le plan Ox1x2 est la courbe

de l’exemple 15.1.

Definition 15.1. On dira que Γ ⊂ Rn est un arc lisse oriente d’origine

P et d’extremite Q s’il existe une application r : [a, b] → Rn qui verifie

186

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(i) Γ = r(t) : t ∈ [a, b] avec P = r(a), Q = r(b) ;

(ii) r : [a, b] → Γ est bijective ;

(iii) rj ∈ C1[a, b], j = 1, 2, . . . , n et r ′(t) =def

∑nj=1 r

′j(t)ej 6= 0, ∀t ∈ [a, b].

Le vecteur r ′(t) est appele tangente au point r(t) ∈ Γ. L’application

t→ r(t), t ∈ [a, b] est appelee parametrisation lisse de Γ.

Soit Γ un arc lisse oriente et soit r : [a, b] → Γ et ρ : [α, β] → Γ deux

parametrisations lisses de Γ.

Si ρ−1 : Γ → [α, β] est l’application inverse de ρ, i.e.

ρ−1 (ρ(τ)) = τ, ∀τ ∈ [α, β],

on construit ϕ : [a, b] → [α, β] par

ϕ(t) = ρ−1(r(t)).

On a r(t) = ρ(ϕ(t)) et donc r ′(t) = ϕ′(t)ρ ′(ϕ(t)) ou r ′(t) = drdt(t) et

ρ ′(τ) = dρdτ

avec τ = ϕ(t). On constate immediatement que

ϕ′(t) > 0 ∀t ∈ [a, b].

Soit maintenant une fonction continue f : Rn → R. Si x = (x1, x2, . . . , xn)

est un point de Rn, alors f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) est un nombre reel. On

veut calculer∫ b

a

f (r(t)) |r ′(t)|dt

ou |r ′(t)| est la norme euclidienne de r ′(t), i.e.

|r ′(t)| =(

n∑

j=1

(r ′j(t))

2

)1/2

.

187

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Puisque |r ′(t)| = |ρ′(ϕ(t))|ϕ′(t), on obtient par changement de variables

τ = ϕ(t), t ∈ [a, b],

dτ = ϕ′(t)dt

et∫ b

a

f(r(t))|r ′(t)|dt =∫ β

α

f(ρ(τ))|ρ ′(τ)|dτ.

Definition 15.2. Si f : Rn → R est une fonction continue et si Γ ⊂ Rn

est un arc lisse oriente, on appelle integrale curviligne de f sur Γ la

quantite

∫ b

a

f(r(t))|r ′(t)|dt =notation

Γ

f dγ,

ou r : [a, b] → Γ est une parametrisation lisse de Γ.

Les calculs qui precedent montrent que cette definition est intrinseque,

i.e. independante de la parametrisation lisse choisie. Il est facile de voir

dans ce cas que∫Γf dγ ne depend pas de l’orientation de Γ. Il est facile

d’interpreter∫Γf dγ si on decoupe l’intervalle [a, b] en N parties et si on

pose

tk = a + kb− a

N, k = 0, 1, 2, . . . , N.

On a bien evidemment

r ′(tk) ≃r(tk+1)− r(tk)

∆tou ∆t =

b− a

N

et ainsi

∫ b

a

f(r(t))|r ′(t)|dt ≃N−1∑

k=0

f(r(tk)) |r(tk+1)− r(tk)| .

En particulier si f ≡ 1 on devrait trouver la longueur de Γ lorsqu’on

calcule∫Γdγ.

188

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Definition 15.3. Si Γ ⊂ Rn est un arc lisse, la longueur de Γ est definie

par |Γ| =∫Γdγ.

Definition 15.4. Si Γ ⊂ Rn est un arc lisse oriente et si τ (x), x ∈ Γ

est sa tangente unite orientee dans le sens du parcours de l’arc, alors on

pose∫

Γ

f dxj =def

Γ

fτj dγ

ou τj est la jieme composante de τ , j = 1, 2, . . . , n.

Remarque 15.1. Si r : t ∈ [a, b] → r(t) ∈ Γ est une parametrisation lisse

de Γ telle que Γ soit parcouru dans le sens croissant des t ∈ [a, b], alors

r ′(t) =∑n

j=1 r′j(t)ej est l’expression d’un vecteur tangent a Γ au point

r(t) et de meme orientation que Γ. Ainsi, τ = r′(t)

|r ′(t)| =1

|r ′(t)|∑n

j=1 r′j(t)ej

est la tangente unite a Γ au point r(t). On a donc

τj =r ′j(t)

|r ′(t)|et par suite

Γ

f dxj =

∫ b

a

f (r(t)) r ′j(t) dt.

Definition 15.5. Soit Γ1,Γ2, . . . ,ΓN ,N arcs lisses de Rn et soit P0, . . . , PN

(N + 1) points de Rn tels que Pj−1 et Pj soient respectivement l’origine

et l’extremite de Γj. L’union des Γj , 1 ≤ j ≤ N , est appelee un arc

lisse par morceaux et notee Γ = ∪Nj=1Γj. L’orientation des Γj donne une

orientation a Γ.

Si P0 = PN , on dit que l’arc Γ est ferme. Il est dit ferme simple si la

relation P ∈ Γi ∩ Γj avec i 6= j implique que j = i+ 1 et P = Pi ou bien

que i = 1, j = N et P = P0 = PN .

189

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Si f : Rn → R est une fonction continue et si Γ ⊂ Rn est un arc lisse par

morceaux (Γ = ∪Nj=1Γj ou les Γj sont lisses), alors on definit

Γ

f dγ =N∑

j=1

Γj

f dγ et

Γ

f dxk =N∑

j=1

Γj

f dxk, k = 1, . . . , n.

15.2. Formule de Green-Riemann.

Commencons par donner deux definitions dans Rn et ensuite nous nous

placerons plus specifiquement dans R2.

Definition 15.6. Un sous-ensemble non vide D ⊂ Rn est dit connexe

par arcs si ∀P,Q ∈ D, il existe un arc Γ ⊂ D d’origine P et d’extremite

Q (on dit que P,Q peuvent etre joints par un arc de E).

Definition 15.7. Un sous-ensemble non vide D ⊂ Rn est dit simplement

connexe par arcs (ou simplement connexe) si

(i) D est connexe par arcs ;

(ii) pour tout arc ferme simple Γ ⊂ D parametre par r(t), t ∈ [a, b], et

pour tout point P ∈ D, il existe une application continue

H : [a, b]× [0, 1] → D

telle que r(t) = H(t, 0) et P = H(t, 1), t ∈ [a, b] (H est appelee

homotopie qui envoie Γ sur P ).

Placons-nous pour la suite dans le plan Ox1, x2 que nous noterons pour

simplifier l’ecriture Oxy, (x = x1, y = x2). Soit Γ1 un arc lisse du plan

Oxy que nous supposerons parametre de facon lisse par t = x. Ainsi Γ1

190

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sera decrit par

r1(x) = (x, ϕ(x)), x ∈ [a, b]

ou ϕ : [a, b] → R est une fonction C1. L’origine de Γ1 est (a, ϕ(a)) et son

extremite est (b, ϕ(b)). Soit encore Γ2 un autre arc lisse dont l’origine est

l’extremite de Γ1 et l’extremite est l’origine de Γ1.

En notant −Γ2 le meme arc Γ2 mais oriente de facon a aller de l’extremite

a l’origine, alors −Γ2 est aussi un arc lisse que nous supposerons pa-

rametre par x ∈ [a, b]. Ainsi, −Γ2 sera decrit par

r2(x) = (x, ψ(x)), x ∈ [a, b]

ou ψ : [a, b] → R est une fonction C1. On a ϕ(a) = ψ(a), ϕ(b) = ψ(b).

On suppose que ϕ(x) < ψ(x), ∀x ∈]a, b[ et donc Γ = Γ1 ∪ Γ2 est un arc

lisse par morceaux du plan Oxy et ferme simple. On considere le domaine

ouvert simplement connexe :

D = (x, y) : ϕ(x) < y < ψ(x), a < x < b.

La frontiere de D est ainsi donnee par l’arc Γ.

Theoreme 15.1. Soit D decrit ci-dessus, D son adherence, D un ouvert

tel que D ⊂ D et soit f : D → R une fonction C1(D). Alors on a∫∫

D

∂f

∂y(x, y)dx dy = −

Γ

f dx.

Demonstration. On a

∫∫

D

∂f

∂y(x, y)dx dy =

∫ b

a

(∫ ψ(x)

ϕ(x)

∂f

∂y(x, y)dy

)dx

=

∫ b

a

(f(x, ψ(x))− f(x, ϕ(x))dx.

191

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Calculons maintenant l’integrale curviligne∫Γ1f dx. Par definition, on a

Γ1

f dx =

∫ b

a

f(x, ϕ(x))dx.

De meme, on aura

−Γ2

f dx =

∫ b

a

f(x, ψ(x))dx

et donc, puisque Γ2 et −Γ2 ont des orientations differentes∫

Γ1∪Γ2

f dx =

Γ1

f dx+

Γ2

f dx

=

Γ1

f dx−∫

−Γ2

f dx = −∫∫

D

∂f

∂ydx dy.

En echangeant les roles de x et y dans tout ce qui precede et en prenant

garde aux changements d’orientation, on obtient aussi∫∫

D

∂f

∂x(x, y)dx dy =

Γ

f dy.

On peut demontrer que ces resultats restent vrais lorsque D ⊂ R2 est un

ouvert borne simplement connexe dont la frontiere Γ est un arc ferme

simple lisse par morceaux.

15.3. Differentielle totale.

Definition 15.8. Soit E ⊂ Rn un ouvert non vide et soit f ∈ C1(E).

On appelle differentielle totale l’expression symbolique

df =∂f

∂x1dx1 +

∂f

∂x2dx2 + . . .+

∂f

∂xndxn.

On dit que dx1, dx2, . . . , dxn sont des accroissements infinitesimaux de

x1, x2, . . . , xn.

Pour l’instant, cette expression reste symbolique et permet de faire des

192

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calculs formels comme par exemple le produit scalaire du gradient de f au

point x ∈ E, note Df(x), avec le vecteur formel dx = (dx1, dx2, . . . , dxn).

On a ainsi df(x) = Df(x) · dx.

Theoreme 15.2. Soit E ⊂ Rn un ouvert non vide et soit Γ ⊂ E un arc

lisse d’origine P et d’extremite Q. Soit f ∈ C1(E) une fonction donnee.

Alors∫

Γ

df = f(Q)− f(P ).

Demonstration. Soit r : t ∈ [a, b] → r(t) ∈ Γ une parametrisation lisse

de Γ. On a ainsi r(t) =∑n

j=1 rj(t)ej et r′(t) =

∑nj=1 r

′j(t)ej. Ainsi

Γ

df =

n∑

j=1

Γ

∂f

∂xjdxj =

n∑

j=1

∫ b

a

∂f

∂xj(r(t)) r ′

j(t)dt.

Si on pose

g(t) = f(r(t)) = f (r1(t), r2(t), r3(t), . . . , rn(t)) ,

on obtient

g′(t) =n∑

j=1

∂f

∂xj(r(t)) r ′

j(t).

Ainsi, on a

Γ

df =

∫ b

a

g′(t)dt = g(b)− g(a).

Clairement, puisque P et Q sont l’origine et l’extremite de Γ, on obtient

g(b) = f(Q) et g(a) = f(P ), ce qui complete la preuve.

Corollaire 15.1. Si Γ est un arc lisse par morceaux dans E d’origine

P et d’extremite Q alors∫Γdf = f(Q) − f(P ). Si Γ est un arc lisse par

morceaux et ferme, on a∫Γdf = 0.

193

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Remarque 15.2. La notion de differentielles totales permet de proceder

a des calculs formels qui trouvent leur justification dans la theorie des

formes differentielles (c.f. cours Analyse III).

Soit par exemple f ∈ C1(E) dont la differentielle totale est

df =n∑

j=1

∂f

∂xjdxj .

Si les variables xj sont a leur tour fonctions de m variables y1, y2, . . . , ym,

c’est-a-dire s’il existe des applications rj ∈ C1(F ), j = 1, 2, . . . , n, ou

F ⊂ Rm est un ouvert non vide et r(y) = (r1(y), r2(y), . . . , rn(y)) ∈ E

pour tout y ∈ F , on peut ecrire

xj = rj(y1, y2, . . . , ym)

et

dxj =m∑

k=1

∂rj∂yk

dyk, j = 1, 2, . . . , n.

On obtient ainsi (du moins formellement)

df =n∑

j=1

m∑

k=1

∂f

∂xj

∂rj∂yk

dyk.

Si maintenant on compose f r, i.e., si on definit g ∈ C1(F ) par

g(y) = f(r1(y), r2(y), . . . , rn(y))

on obtient

dg =

m∑

k=1

∂g

∂ykdyk =

m∑

k=1

n∑

j=1

∂f

∂xj

∂rj∂yk

dyk

et par suite

df = dg.

Comme application, si on reprend la demonstration du theoreme 15.2 ou

ici on pose F ⊂ R, F ⊃ [a, b] et y1 = t, on obtient

dg = g′(t)dt

et on a bien f(Q)− f(P ) =

Γ

df =

∫ b

a

dg = g(b)− g(a).

194

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Index

Arc

ferme, 189

lisse dans Rn, 186

simple, 189

Archimedien, 2

Argument d’un nombre complexe, 178

Borne

inferieure d’un ensemble, 5

superieure d’un ensemble, 5

Boule

fermee, 132

ouverte, 132

Chiffres significatifs, 16

Condition initiale de Cauchy, 108

Convergence

absolue d’une serie, 20

absolue d’une serie entiere, 179

d’une suite, 6

normale d’une serie entiere, 179

ponctuelle d’une suite de fonctions, 49

uniforme d’une suite de fonctions, 50

Coordonnees

cylindriques, 174

spheriques, 175

Coupure de Dedekind, 2

Critere

de comparaison pour des integrales

generalisees, 103, 106

de comparaison pour des series, 22

de Cauchy pour une fonction continue, 35

de d’Alembert pour les suites, 10

de d’Alembert, pour les series, 23

de la limite superieure pour les series, 24

Decomposition en elements simples, 98

Derivee

d’une fonction, 57

partielle d’ordre >= 1, 151

partielle d’une fonction, 143

Determination principale du logarithme, 181

Developpement limite, 69

Differentielle totale, 192

Elements simples, 98

Ensemble

borne, 4

compact, 138

connexe, 138

connexe par arcs, 138, 190

dense dans R, 3

ferme, 4, 132

majore, 4

minore, 4

ouvert, 4, 132

simplement connexe par arcs, 190

Equation

caracteristique, 124

differentielle, 107

differentielle a variables separees, 112

differentielle lineaire a coefficients

constants, 124

differentielle lineaire du deuxieme ordre,

120

differentielle lineaire du premier ordre, 114

differentielle lineaire sans second membre,

121

Erreur d’arrondis, 16

Espace

Cp, 61, 151

C0([a, b]) , 54

Rn, 129

complet, 56

de Banach, 56

prehilbertien, 94

vectoriel norme, 54

Extremum

lie d’une fonction, 160

local d’une fonction, 153

Fonction

absolument integrable, 102

analytique, 84, 179

bornee, 134

concave, 76

continument derivable, 61, 144

continue, 41, 135

195

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convexe, 76

croissante, 31

decroissante, 31

definie au voisinage d’un point, 32, 134

derivable, 57

differentiable, 58

exponentielle, 86, 180

Gamma, 184

holomorphe, 179

hyperbolique, 88

injective, 29

lipschitzienne, 47

logarithme, 87, 180

puissance, 88, 182

rationnelle, 99

strictement contractante, 47

surective, 29

uniformement continue, 42, 137

Formule

d’integration par parties, 96

de changement de variables dans une

integrale, 96, 169

de derivation d’une integrale dont les

bornes et l’integrant dependent d’un

parametre, 148

de Green-Riemann, 191

de Moivre, 178

de Taylor, 71, 152

de Taylor avec reste integral, 97

du binome de Newton, 17

Formules

d’Euler, 180

Gradient d’une fonction, 149

Grand O, 57

Graphe d’une fonction, 134

Image

d’une fonction, 28

reciproque d’une fonction, 29

Inegalite

de Cauchy-Schwarz, 93, 130

de Holder, 168

de Minkowski, 168

triangulaire, 129

Infimum

d’un ensemble, 5

d’une fonction sur un ensemble, 29

Integrale

curviligne, 188

d’une equation differentielle, 107

d’une fonction continue, 89

double sur un ouvert borne, 166

double sur un rectangle, 165

generalisee, integrant singulier, 101

generalisee, intervalle non borne, 104

Intervalle ouvert, ferme, 3

Limite

a droite d’une fonction, 38

a gauche d’une fonction, 38

d’une suite, 11

de fonctions composees, 36

inferieure d’une suite, 11

infinie d’une fonction, 37

superieure d’une suite, 11

Majorant d’un ensemble, 4

Matrice

hessienne d’une fonction, 154

jacobienne, 158

Maximum local d’une fonction, 30, 153

Minimum local d’une fonction, 30, 153

Minorant d’un ensemble, 4

Module d’un nombre complexe, 178

Multiplicateurs de Lagrange, 162

Nombre complexe, 177

purement imaginaire, 177

purement reel, 177

Nombres entiers naturels, relatifs, rationnels,

reels, 2

Norme

euclidienne, 131

sur Rn, 129

Ordre de convergence d’une suite, 19

Petit o, 57

Point

d’accumulation, 13

196

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d’inflexion, 74

fixe d’une fonction, 47

frontiere, 133

interieur, 132

stationnaire, 63, 153

Primitive d’une fonction, 91

Probleme de Cauchy, 108

Produit scalaire sur Rn, 129

Prolongement d’une fonction unif. cont., 141

Regle

de Bernoulli-L’Hospital, 67

Regle des deux gendarmes, 10

Rayon de convergence d’une serie entiere, 79

Serie

absolument convergente, 20

alternee, 25

convergente, 20

de Taylor, 84

divergente, 20

entiere, 78, 179

harmonique, 21

numerique, 20

Solution

globale d’un probleme de Cauchy, 110

locale d’un probleme de Cauchy, 109

maximale d’un probleme de Cauchy, 109

Solutions lineairement independantes, 121

Somme

de Darboux, 89

partielle, 20

Sous-suite d’une suite, 12

Suite

equicontinue de fonctions , 54

bornee, 7

convergente, 6, 131

croissante, 7

decroissante, 7

dans Rn, 131

de Cauchy, 14, 131

de fonctions, 49

de nombres reels, 5

divergente, 6

majoree, 7

minoree, 7

monotone, 7

Supremum

d’un ensemble, 5

d’une fonction sur un ensemble, 29

Theoreme

d’integration par parties, 96

de Bolzano-Weierstrass, 13

de Cauchy pour les suites, 14, 132

de Cauchy-Lipschitz, 111

de Cauchy-Peano, 110

de changement de variables dans une

integrale, 96

de derivation d’une integrale, 92

de Dini, 52

de Fubini, 164

de la moyenne, 91, 166

de la valeur intermediaire, 45, 139

de permutation des limites (suite de

fonctions), 51

de Rolle, 63

des accroissements finis, 64, 149

des fonctions implicites, 156

du point fixe de Banach, 48

du point fixe de Brouwer, 47

fondamental du calcul integral, 92

sur les extrema lies (Lagrange), 162

Virgule flottante, 16

Wronskien, 122

197