保険研究特論（保険数理）アクチュアリー数学（第１３回）

多重脱退残存率死亡生存以外の給付

リスク理論

早稲田大学大学院商学研究科

２０１７年７月１９日

大塚忠義1

最終課題定期保険、終身保険の純保険料式責任準備金と解約返戻金を次の条件の下で計算せよ（経過０年から保険期間満了まで、ただし終身保険はｔ＝50まで）

加入年齢 30歳保険期間（定期） 10年保険料払込期間(終身) 30年維持費（払込満了後） 保険金対千1.00円(終身保険のみ)

解約控除 保険金対千定期保険 6.50 円終身保険 20.00 円解約控除期間 10 年期限 7月26日 提出はコースナビへ

2

多重脱退率(1)

・生命表は誕生と死亡の２つの要素のみによる人口の推移を示しているが、実社会ではありえない・国民表は死亡の状況を示す目的

・保険や年金の加入者の集団では誕生、死亡以外の増減要素も重要・多重脱退率：それぞれの減少要因の発生率

・多重脱退表：集団からの複数の離脱要因を勘案した表（生命表の一般化）

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多重脱退率(2)

用語の確認

・被保険者集団：保険・年金の対象となる所定の属性を持った人の集団 eg.加入者集団

・閉集団：新規加入がなく、離脱により減少していく集団

・開集団：離脱がある一方で、新規加入もあり、構成員が変化していく集団、新規加入は誕生に限らない

4

多重脱退率(3)

・閉集団の例：生命保険加入者集団：一定時期に加入した集団を集合として離脱の状況を観察する：加入年数別（保険年度別）の発生率が重要

・開集団の例：年金集団、特に、厚生年金、企業年金等の被用者集団：入社数、退社数は死亡数より多い：集団の規模の変化も重要な要素

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多重脱退率(4)

異なるモデルを用いる事例

死亡、解約（退職）：以下この例を言及する

・多重脱退率を用いる典型例

・離脱事由が独立と仮定（実はそうとはいえない：保険を解約するのは健康な人、重病により会社を退職etc.という傾向有）・離脱事由により給付が異なる・離脱上からの復帰を想定しない

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多重脱退率(5)死亡、高度障害（傷害１級水準）

・高度障害を死亡と同様に扱う：経済的な死・保険金を支払い契約が消滅・高度障害発生率を死亡率に上乗せ

死亡、重大疾病（介護等）

・健常、介護ｘｘ級、死亡の各ステージへの遷移確率を設定し、確率過程としてモデル化・復帰（回復）を仮定

・介護保険のプライシングで詳述7

脱退原因A,Bの脱退率

A：死亡、B:解約とすると、死亡数は解約後に死亡した人を含めていない

本来の脱退率（死亡率、解約率）を絶対脱退率としてそれらとの関係を考慮

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1

A

B

A B

x x x x

AA xx

x

BB xx

x

l l d d

dq

l

dq

l

： 脱退率

： 脱退率

絶対脱退率

証明省略近似は没理論だが実務で広く使用

下式の方が脱退残続表を作成のために使用されている

9

*

*1 11 1

2 2

A AA x xx

B B

x x

q qq

q q

* *1( )

2

A A B

x x x xq q l q

10

lapse supportedな保険料計算式

伝統的な生命保険

低・無解約返戻金型生命保険

11

0

1

0

nt

t x x t

t

nt

t x

t

Z q v

P

v

ｐ

ｐ

1 1* 1 * 1

1 1

0 0

1

0

n nt t

t x x t t t x

t t

nt

t x

t

Z q v W w v

P

v

*

ｐ ｐ

ｐ

死亡生存以外の給付

• 高度障害

• 災害死亡

• 就業不能、介護保障

• 特定疾病保障（３大疾病保障）

• 傷害、手術

• 災害入院、疾病入院

• がん保険（がん死亡、がん入院）

• がん罹患給付、高度先進医療給付11

高度障害給付

死亡保険金の支払事由

保険期間中に、被保険者が死亡、または高度障害状態に該当したばあい

二つの発生率の和

保険会社の死亡率調査では、高度障害も死亡としてデータを収集している

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D DD

x x xq q q

高度障害状態• 両眼の視力を全く永久に失ったもの• 言語またはそしゃくの機能を全く永久に失ったもの

• 中枢神経系・精神または胸腹部臓器に著しい障害を残し、終身常に介護を要するもの

• 両上肢（＝腕）とも、手関節以上（＝手首から先）で失ったかまたはその用を全く永久に失ったもの

• 両下肢（＝足）とも、足関節以上（＝足首から先）で失ったかまたはその用を全く永久に失ったもの

• 1上肢を手関節以上で失い、かつ、1下肢を足関節以上で失ったかまたはその用を全く永久に失ったもの

• 1上肢の用を全く永久に失い、かつ、1下肢を足関節以上で失ったもの

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災害死亡

死因別の死亡率

• 災害死亡、がん死亡

損保の傷害保険で災害死亡給付は認められている

災害死亡率は年齢、性別で異なることが知られているが、年齢一律で扱っている会社が多い災害割増給付：災害死亡に倍額給付

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就業不能、介護保障

確率過程を採用：脱退残存率は不使用

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健常者介護６級

↕介護１級

死亡

介護６級↕

介護１級

介護保障

ほしいのは、状態遷移確率存在する統計データは各状態の人数

⇒新介護状態者数＆要介護者死亡者数

介護年金を支払う場合は、要介護者死亡率：年齢別、介護状態期間別がほしいが、年齢別の要介護者数しか存在しない

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特定疾病保障（３大疾病保障）

生存給付：Living Benefit

生前給付:Accelerated Benefit

がん、脳卒中、心筋梗塞のいずれかに罹患した時点に保険金を支払い契約は消滅する重大な疾病に罹患した場合は死亡以前に死亡保険金を支払う。治癒して生存することとなっても返還する必要はない

１．死亡率を死因別に分解２．対象死因を罹患率に置き換える

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傷害、手術、災害入院、疾病入院

傷害・医療保険の代表的な給付生存保険の性格を有している

傷害保険：災害死亡、傷害、災害入院

災害を事由としている：年齢一律料率、１年満期、責任準備金がない

医療保険：災害入院、疾病入院、手術、傷害、成人病入院、高度先進医療

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傷害、手術、災害入院、疾病入院

19

1

2

1

2

11

2

0

11

2

0

1

1

accident

injury

i

n till

x x t x t

tx

n till ill

x x t x t x t

tx

P v q

P v q

P v q ll

P v q T ll

疾病入院

・患者調査:Patient survey

毎年大規模調査が行われている

新入院率、在院期間別退院者数、入院事由別退院者数、病名別入院事由、外来事由

・健康保険支払統計レセプト別のビッグデータが最近注目

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リスク理論の概括

ありそうでない 『リスク理論』

経済学、経営学「リスクマネジメント論」「リスク管理論」「リスクリターン論」

応用数学

「リスク理論」≈「破産理論」Risk Theory ≈ Ruin Theory損害保険数理の一分野

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「損保数理」

日本アクチュアリー会第２、７、８章

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リスク理論の目的

損害保険事業において生じる不規則な諸変動を数学的に分析し、不規則な諸変動によってもたらされる厄介な影響に抗するための様々な手段を検討することにあるクラメール

損害保険：実損填補生命保険：定額給付事故発生確率：二項分布、ポワソン分布

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不規則な諸変動(1)

事故発生確率：二項分布、ポワソン分布保有件数が十分に大きい、大数の法則⇒正規分布偶然に左右される諸変動

事故の発生に対し一定の給付を行う保険：正規分布の期待値と分散が基本⇒古典的な保険数学２００年前に確立された理論モデルによりコントロール可能であり、現在も広く活用

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不規則な諸変動(2)

クレーム額：個々の事故の発生に際し支払われる給付額（実損）：確率変数

一定期間内のクレーム額合計は一定期間内の件数による条件付き確率分布

クレーム分布、クレームモデル：複合確率分布の必要性クレーム額の標準偏差 vs母集団の大きさ

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ランダムウォーク

またはブラウン運動：微粒子の空間内の移動モデル微小時間に微小区間を移動(-1, +1)ベルヌーイ試行に基づく確率過程により説明一定時間後の位置は正規分布または対数正規分布に従い、モデル化が可能

物理から株価予測、経済モデルへと広く活用：オプションプライシングを含む金融工学理論に広く活用

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初期の破産確率(ruin theory)ランダムウォークの理論に基づく破産理論P(-1）=q, P(+1)=1-q=p

初期資産：𝑆0時刻ｔ における資産：𝑆𝑡確率変数時刻Tまでの期間の間で𝑆𝑡が0となる確率⇒破産確率T→∞ then 破産確率→１

２０世紀初頭の理論

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ランダムウォークの理論の活用

マルチンゲール：金融工学マルコフ過程：確率論微小期間における時系列に発生する事象の独立、同一分布を前提

物理、経済、金融工学の多くのモデルwhy?実績値をもとに母数を推計しやすい。。モデルの適合度の良しあし精緻？頑健？母数の選択？

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保険料算出原理(1)

純保険料率の算出原理

保険支払の期待値+ααには多くの名前がある：プロフィットローディング、プロフィットマージン、リスクプレミアム、リスクマージン

ただし、事業費分を加算を意味する付加保険料とは区別するべき

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保険料算出原理(2)1. 期待値原理

（1+ｈ）μもっとも使いやすい。収集したデータに基づく発生率にh% （10～100）を乗じる

2. 標準偏差原理（分散原理）μ+ｈσ実務で一般的な手法hは1.5、2.0、3.0

3. 期待効用原理の活用指数原理、エッシャー変換、ワン変換教科書以外でみたことはない少なくとも生命保険と公開されている損害保険の保険料算出で使用されたことはない

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保険料算出原理(3)

大数の法則：正規分布の適用が仮定できない空間（保険契約）に対しては理論的には前記の保険料算出原理は適用できない

プライシングは市場の状況に応じ。。。アクチュアリーの経験に基づき。。。経営判断により。。。。

つまり

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純保険料率に+α率を加える根拠

𝑆𝑡 = 𝑆𝑡−1 + 𝑃𝑡 − 𝐶𝑡𝑃𝑡 :t 期における保険料収入

𝐶𝑡 ∶t 期における保険金支払

＝クレーム額合計: 確率変数

十分に長い一定期間において破産確率が一定率以下になるPを保険料とする

P＝クレーム額合計の期待値+α＝純保険料+ α

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Creamel-Lundberg Model

一定期間のクレーム件数N：ポワソン分布

i 番目のクレームの額：𝑋𝑖

一定期間のクレーム合計額：𝑆 = 𝑋 1 + 𝑋2 + ・・・ + 𝑋𝑁 : 確率分布

複合ポワソン分布

再保険（excess of loss, cat cover)のプライシングで活用

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Lundberg 不等式

マルチンゲールを仮定: 大数の法則を仮定し、正規分布で近似

一定期間内に破産する確率を導出

⇒一定期間の破産確率を一定水準以下に定めるローディングを導出

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リーマンショック(2008)後の変化

金融工学：プライシング理論⇒リスク測定手法儲ける技術⇒損しないための技術

数理統計学：平均（期待値）周り⇒裾野(tail)の解析局面転換、極地理論、カタストロフ理論

例外は除外か、貴重なデータか巨人は存在するか

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Ruin Theory の発展

クレイムの分布の選択

Levy 過程：標準ブラウン運動に独立したジャンプを持つ確率過程を加えた測度

Gerber-Shiu Analysis：

破産の定義𝑆𝑡 < 0に加え、破産時のペナルティーを定義、悪化の過程での資本注入を考慮

⇒実際の企業の破産に近いモデル

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Question? お疲れ様でした

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