Econometria ApplicataTommasoProiettiDipartimentodiScienzeStatisticheUniversit`adiUdineIndice1 DescrizioneePrevisionediSerieTemporali 61.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Analisiesplorativadelleserietemporali . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Latrasformazionelogaritmicaeledierenzedellaserie . . . . 81.2.2 Lesintesidelladistribuzionedelfenomeno . . . . . . . . . . . 101.2.3 Autocorrelazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Ilmodelloclassicodiscomposizionediunaserietemporale . . . . . . 131.4 Stimadelmodello. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.1 Testdiipotesiedisignicativit`asuunsingolocoeciente . . 201.4.2 Misuradellabont` adelladattamento . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Previsionemediantemodellideterministici . . . . . . . . . . . . . . . 211.6 Previsionemediantelivellamentoesponenziale . . . . . . . . . . . . . 221.7 PrevisionemedianteilmetododiHolt-Winters. . . . . . . . . . . . . 231.8 ProceduradiHolt-Wintersstagionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 ImodelliARIMA 262.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Generalit`asuiprocessistocastici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Momenticampionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 IlteoremadiWold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5 Autocorrelazioneparziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6 LalgebradelloperatoreL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7 ProcessiAutoregressivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7.1 ProcessoAR(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.7.2 ProcessoAR(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.7.3 ProcessoAR(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.8 Processimediamobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.8.1 ProcessoMA(1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.8.2 ProcessoMA(q). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.9 Processimisti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.10 Nonstazionariet`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3612.11 Stagionalit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.12 LapprocciodiBoxeJenkins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.12.1 Identicazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.12.2 Stima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.12.3 Verica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.13 Previsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 Analisinonparametricadelleserietemporali 443.1 Lemediemobili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2 Eettofaseedeettoampiezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3 LeettodiSlutzky-Yule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4 Polinomilocali;ltridiMacaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4.1 Varianzaedistorsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5 Mediemobiliaritmetichesemplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5.1 Componentestagionalediperiodospari . . . . . . . . . . . . 503.6 Composizionedimmaritmetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.7 LisciamentoeltridiHenderson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.8 Iltrattamentodelleestremit`adellaserie . . . . . . . . . . . . . . . . 514 Ladestagionalizzazionedelleserietemporali 524.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2 LaproceduraX-12-ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3 Illtrodidestagionalizzazione(EnhancedX-11) . . . . . . . . . . . . 554.3.1 Primafase: stimeiniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.2 Secondafase: fattoristagionaliedestagionalizzazione . . . . . 574.3.3 Terzafase: stimanaledellecomponenti . . . . . . . . . . . . 594.4 Lepropriet`ateorichedelltro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.5 CorrezionedeivalorianomalinellX-11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.6 Lecomponentidicalendario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.7 Diagnostica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.7.1 Testdistagionalit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.7.2 Nuova diagnostica sustagionalit`a residua e leetto del n.giornilavorativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.7.3 Testdicasualit`adeiresiduiI(3)t. . . . . . . . . . . . . . . . . 644.7.4 Bont` adelladestagionalizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . 654.7.5 Diagnostichebasatesullastabilit`adellestime . . . . . . . . . 655 AnalisiEconometricadiDatinonStazionari 715.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2 Stazionariet`aedintegrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3 IltestdiDickeyeFuller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7525.4 IltestADF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.5 TrendeRWnelleserieeconomiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.6 Persistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.7 Integrazionestagionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.8 Testdiintegrazionestagionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.9 Criticheallapplicazionedeitestperradiciunitarie . . . . . . . . . . 875.10 Leimplicazionieconometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.10.1 Modelloneilivelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.10.2 Modellonelledierenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.10.3 Regressionetraseriedetrendizzate . . . . . . . . . . . . . . . 905.11 Modelliconmeccanismoacorrezionedellerrore . . . . . . . . . . . . 915.12 Cointegrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926 I Modelli Strutturali per lAnalisi delleSerieTemporali 996.1 Lapprocciomodellisticoelaclassedeimodellistrutturali. . . . . . . 996.2 Trend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.3 Lamodellazionedelcicloeconomico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.4 Componentestagionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.5 Iltrattamentostatisticodelmodelloelastimadellecomponenti . . . 1036.5.1 Larappresentazionenellospaziodeglistati . . . . . . . . . . . 1046.5.2 IlltrodiKalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.5.3 Verosimiglianzaeinizializzazionedelltro . . . . . . . . . . . 1066.5.4 Smoothing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.5.5 Diagnostica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.6 Componentidicalendario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.7 Altrespecicazionidellacomponentestagionale . . . . . . . . . . . . 1083Elencodelletabelle4.1 FiltrodiHenderson: pesihjperlem.ma9,13,17e23termini . . . 584Elencodellegure1.1 Gracodiquattroserietemporali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 DistribuzionedeirendimentisulmercatoazionariodiLondra(FTSE). 121.3 Correlogramma della trasformazione 12 ln ytdella serie delle vendite(variazionirelativesubaseannua). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.1 DestagionalizzazionedellaserieAirline. . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 PesiefunzioniditrasferimentoperilltroX-11default . . . . . . . 684.3 Pesi e funzioni di trasferimento per il ltro X-11 con ltro di Hender-sona17termini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4 SerieBDIGENGS: livellodegli ordini edelladomandadallinternoperiltotaleindustria(saldi),ISCO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705Capitolo1DescrizioneePrevisionediSerieTemporali1.1 IntroduzioneUnaserietemporalecostituisceunasequenzadi osservazioni suunfenomenoyef-fettuate in istanti o intervalli (rispettivamente per le variabili di stock e di usso) ditempoconsecutiviesolitamente,anchesenonnecessariamenteequispaziati(stock)o della stessa lunghezza (ussi). Un esempio di una variabile di stock `e costituito dalprezzodiunprodotto,mentreunesempiodiusso `erappresentatodallevenditediun particolare bene realizzate in un intervallo di tempo. Una tipologia intermedia `ecostituitadallemedietemporalidiunostock(prezzimediinunperiododitempo).Denotandocont=1, . . . , Til tempo, indicheremotalesequenzayt; il tempo`eilcriterioordinatorechenonpu`oesseretrascurato,percuioccorreconoscereanchelaposizionedellosservazionelungoladimensionetemporale. Generalmente,siusarappresentarelacoppiadi valori (t, yt)sudiagrammacartesiano, conungracoatrattocontinuo,comeseilfenomenofosserilevatoconcontinuit` a.Lanalisi univariatadelleserietemporali, oggettodel presentecapitolo, si pro-ponediinterpretareilmeccanismodinamicochehageneratolaserieediprevederelerealizzazioni futuredel fenomeno: inquesteoperazioni linformazionechevienesfruttatariguardaesclusivamentelacoppia(t, yt), t = 1, . . . , T. Ilpuntofondamen-tale`echeil passatoedil presentecontengonoinformazioni rilevanti perprevederelevoluzionefuturadelfenomeno.Si pu`oritenerechelanalisi univariatasiatroppolimitativa; solitamentesi di-spone di informazioni sufenomeni collegati aquellodaprevedere e che andreb-beroopportunamenteincorporateal nedi migliorarelaperformancedel modellodi previsione. Ci`ononostante, essa`eunutilebenchmarkcheconsentedi validarealternativepi` usosticate.61.2 AnalisiesplorativadelleserietemporaliLanalista aziendale `e interessato a seguire nel tempo levoluzione dei fenomeni eco-nomicidiinteresse,qualilaproduzioneelevendite,lescortedimagazzino,iussituristici, le quote di mercato etc. Molto spesso linteresse non `e incentrato sul valoreassolutodelfenomeno,mapiuttostosullevariazionirelative,valeadiresuitassidicrescita.Intal casolanalistapu`oassumereunistanteointervallotemporaledi riferi-mento (detto base),che viene mantenuto sso,evalutare la dinamicadelfenomenorelativamenteallabase. Siaades. y0ilvaloredellevenditediunparticolarebenealtempobase: ilnumeroindice(percentuale)dellevenditealtempot `efornitodai0t= 100yty0,mentreiltassodivariazionerelativo `edatodalcomplementoa100,i0t100;cos`,se i04= 105.2, il valore delle vendite nel periodo t = 4 `e superiore a quello del tempobaseperunaquotaparial5.2%.Altrevolte `eutilerarontareilvaloredelfenomenoconquellodeltempoprece-dente,considerandogliindiciabasemobileelevariazionipercentualiit1,t= 100ytyt1, it1,t100 = 100ytyt1yt1Unproblemasorgequandoil fenomeno`ecomplesso, valeadirerisultadallacombinazionedipi` ufenomenielementari; sipensiallacostruzionediunindicedeiprezzi di venditadi unimpresacheproducebeni dierenziati (ades. cioccolatini,caramelle,panettonietc.). UnasoluzionepraticaconsistenelcostruireunindiceditipoLaspeyres:I0t= 100

k pktqk0

k pk0qk0= 100

k(pkt/pk0)pk0qk0

k pk0qk0dovepktrappresentail prezzodel prodottokal tempoteqktlaquantit`avendutacorrispondente.Se il fenomeno `e stagionale, presentando delle oscillazioni ricorrenti e periodichenellarcodellanno(levenditesonopi` uelevatenelmesedidicembrepereettodelNatale), hasensocalcolarei tassi di variazionerelativaconriferimentoallostessoperiododellannoprecedente, al nedi ottenereunavalutazionenoninuenzatadallastagionalit`a. Nelcasodiosservazionimensili:it12,t= 100ytyt12, it12,t100 = 100ytyt12yt12Unodeipi` uecacistrumentiesplorativi`esenzadubbioilgracodellaserie(edelle sue trasformazioni), il quale pu`o immediatamente rivelare alcuni fatti stilizzati,7comelapresenzaelanaturadel trend, dellastagionalit`a, di uttuazioni di breveperiodo, di valori anomali orotture strutturali (si veda[?], cap. 3, per alcunequestionidistileconcernentilerappresentazionigrachedelleserietemporali).Lagura1.1metteinlucechefenomeni diversi possonomostrarecomporta-menti moltodierenziati: laprimaserie, formatada135misurazioni del diametrodi componenti di unpistoneprodotteadintervalli di temporegolari, si manifestapiuttostoirregolare, uttuandoattornoadunvaloremedio(lineatratteggiata)chepu`oessereassuntocostante. Laseconda`elaseriesemestraledei contratti pertelefoniacellulareepresentaunevidentetrenddi naturaesponenziale. Laterzariguardalevenditeeettuatedaunasociet`aanonimaedhaperiodicit`amensile; levenditemostranountrendcrescente, mailfattonuovo, nonosservabilenellealtreserie, `elapresenzadi unafortestagionalit`a, talecheil massimoannualesi haincorrispondenzadel mesedi novembreedil minimoinquellodi maggio. Inoltre,lampiezzadelleuttuazioni stagionali cresceal cresceredel trend. Lultimaserierappresentail logaritmodei prezzi giornalieri di chiusurasul mercatoazionariodiLondra(FTSE);torneremotrabrevesuquestaserie.1.2.1 Latrasformazionelogaritmicaeledierenzedellase-rieConriferimentoallultimaserieabbiamoutilizzatolatrasformazionelogaritmica;esistonoalmenoduebuoneragioni chepossonogiusticarnelimpiego. Inprimoluogoessastabilizzalavariabilit` adellaserie, quandoquestasi riveli crescentealcresceredel trend: questacircostanzasi vericaper laseriedellevendite, lacuitrasformazionelogaritmicanonpossiedepi` ulacaratteristicasegnalataprecedente-mente riguardo alle uttuazioni stagionali, che presenteranno ampiezza costante. Ineetti, se la serie pu`o essere pensata come il risultato dellinterazione moltiplicativadi pi` ucomponenti, mediantelatrasformazionelogaritmicasi rendetalerelazionepuramenteadditiva.Ingenerale, si consideri unavariabilecasualeytconmediatevarianza22t;si desidera determinare la trasformazione f(yt) tale che Var[f(yt)] sia costante.LapprossimazionediTaylordelprimoordineattornoatdellafunzionef(yt) `e:f(yt) f(t) + f

(t)(ytt)e,pertanto, Var[f(yt)] f

(t)22t2. Occorre dunquesceglierelafunzione inmodotaleche:f

(t) =1t,da cui discende che la trasformazione richiesta `e quella logaritmica (d ln y/dy= 1/y),percuif() = ln().8Figura1.1: Gracodiquattroserietemporali.Diametro pistone0 20 40 60 80 120354045Contratti Cellulari1986 1990 19940.0 e+001.5 e+073.0 e+07Vendite della compagnia X1965 1967 1969 1971200400600800UK FTSE1992 1994 1996 19987.88.08.28.48.69Lasecondaragioneattieneallimpiegodellatrasformazioneincongiunzionealledierenzedellaserie. Infatti,denendok ln yt= ln ytln ytk,si hache le dierenze k-esime costituisconounapprossimazione dellavariazionerelativadelfenomenodaltempot kaltempot,ovvero:kyt ytytkytk.Per comprendere la natura dellapprossimazione si prenda, senza perdita digeneralit`a,ilcasok = 1(dierenzeprimelogaritmiche):ln yt= ln_ytyt1_ = ln_1 +ytyt1_ = ln(1 +rt)dove rt= yt/yt1`e il tasso di variazione relativo rispetto al tempo precedente. LosviluppoinseriediTaylordellafunzioneln(1 +rt)attornoalpuntort= 0risulta:ln(1 +rt) = rt12r2t+13r3t+ ,per cui si pu`o aermare che lnyt rappresenta lapprossimazione di Taylor del primoordinedellavariazionerelativa. Labont` adellapprossimazionedipendedallordinedigrandezzadiquestultima.1.2.2 LesintesidelladistribuzionedelfenomenoLesintesidelfenomenoeettuatemediantelemedieelevarianzeMedia: y= T1

Tt=1ytVarianza: S2= T1

Tt=1(yt y)2oaltrestatistichedescrittive(asimmetria, curtosi, etc.), checonsideriamonel pro-sieguodelladiscussione,hannosignicatosolosesonostabilineltempo.Nel casodi variabili univariatesiamosoliti andareaguardareladistribuzionedei valori mediantelastimadelladensit`adellastessa(cfr. appendice??). Questasintesi potrebbe nonavere moltosensonel casodi serie temporali datalaforteinterdipendenza nel tempo, e sarebbe sicuramente non informativa per tutte le serieconsiderateadeccezionedellaprima. Ineetti, lostimadelladistribuzionedi unfenomeno assume che le osservazioni a nostra disposizione costituiscano un campionecasualeprovenientedaununicapopolazionedi valori, erisultaoltremododicileritenere che ladistribuzione del fenomenosiacostante nel casodellaserie delle10vendite,perilqualesiosservacheinmediailfenomeno `ecrescenteehamovimentistagionali.Ci`ononimplicachelostudiodelladistribuzionesiadel tuttoprivodi rilievoancheconriferimentoadunatrasformazionedellaserie. Si consideri, adesempio,laseriedeirendimenti(logreturn),rt= ln yt= ln ytln yt1,calcolataconriferimentoallaserieFTSEepresentatanel primopannellodella-gura1.2. Il gracodei rendimenti controi valori ritardati di unperiodomostra,nella sostanza, che rt `e incorrelato con rt1(questo implicherebbe che la conoscenzadel passatonon`edi aiutoperpredireil futuro); tuttavia, si osservanodei periodiincuilavolatilit` adellaserie`epi` upronunciata,edeettivamente,seconsideriamola distribuzione dei rendimenti mediante listogramma e una stima non parametricadella densit`a si nota la presenza del fenomeno noto come leptocurtosi: la distribuzio-ne presenta un addensamento delle frequenze sui valori centrali e sulle code rispettoal casonormale(lultimoriquadroriporta, accantoallastimanonparametrica, ladensit`adiunavariabilecasualenormaleconmediaevarianzaposteugualiaquelleosservateperi rendimenti rt); questoimplicachelapossibilit`adi osservareeventiestremi `emaggiore.Duemisuredi sintesi moltoutili al nedi caratterizzarelanaturadelladistri-buzionesonolindicediasimmetria:skewness =1TT

t=1_yt yS_3,edicurtosi:curtosi =1TT

t=1_yt yS_4.Se la distribuzione `e simmetrica il primo indice `e pari a zero, mentre il valore teoricodi riferimento per il secondo `e quello assunto sotto lipotesi di distribuzione normale,paria3;valorisuperioriindicanocheladistribuzione `eleptocurtica.Al nedi testaredal puntodi vistaformalelaconformit`aconladistribuzionenormale si pu`o utilizzare il test di Jarque e Bera [?], il quale `e basato sulla statistica:JB=T6_skewness2+14(curtosi 3)2_che, sottolipotesi nulladi normalit`a, hadistribuzione2con2gradi di libert`a.Un ausilio graco nalizzato alla valutazione di conformit`a con la distribuzione nor-male`eil cosiddettoqqplot checostituisceil diagrammaadispersionedei quantilidella distribuzione empirica della serie osservata con quelli teorici della distribuzionenormaleconstessamediaevarianza; essopu`oessereottenutoinRutilizzandolafunzione qqnorm(). Se la distribuzione del fenomeno `e normale i punti si dispongonolungounalinearetta.11Figura1.2: DistribuzionedeirendimentisulmercatoazionariodiLondra(FTSE).Rendimenti FTSE1992 1994 1996 19980.040.000.020.040.04 0.00 0.02 0.040.040.000.020.04rt versus rt1Distr. Rendimenti0.04 0.00 0.02 0.040102030405060700.04 0.00 0.02 0.04010203040506070Confronto distribuzione normale121.2.3 AutocorrelazioneI fenomeni aziendali presentano una cosiddetta dipendenza temporale, o autocorrela-zione, nel senso che il presente dipende dal passato; un semplice modo per vericarese la serie `e autocorrelata consiste nel rappresentare in un diagramma a dispersioneyteyt1(laserieritardatadi unperiodo-ingeneraledeniamolaserieritardatadikperiodislittandolaserieoriginariakperiodiinavanti,dimodochealtempotviene associato il valore ytk); se si ottiene una nuvola di punti che si muove attornoadunarettainclinatapositivamente,allorasidiceche ytpresentaautocorrelazionepositiva e che quanto pi` u il valore registrato nel periodo precedente `e elevato,tantopi` u `e lecito attendersi un valore positivo ed alto per il tempo corrente; viceversa nelcasodiautocorrelazionenegativa. Ilcoecientedicorrelazionetra yteyt1misuralintensit` adellegamedellaserieconilpassato. Siparlainoltrediautocorrelazionediordinekseyt`ecorrelatoconytk.Lautocovarianzacampionariaalag,oritardo,k`ecalcolatacomesegue:ck= T1T

t=1(yt y)(ytk y)si osservi cheastrettorigoregli scarti dallamediadelleosservazioni ritardatedo-vrebbero essere calcolati con riferimento alla media delle T k osservazioni ytk, t =k + 1, . . . , T; tuttavia, seT`esucientementeelevatoeil fenomenononpresentatendenza, questanondieriscedallamediaglobale. Il coecientedi autocorrela-zionealmedesimoritardo `efornitodak= ck/c0. Osserviamocheadenominatoredovremmoavereil prodottodegli scarti quadratici medi di yt, t =1, . . . , T, ediytk, t=k + 1, . . . , T; ancheinquestocaso, sottocertecondizioni, il secondonondierisceda c0= S.Latipologiadi rappresentazionegracachevienecomunementeimpiegataperrappresentare le autocorrelazioni `e il correlogramma, undiagrammaadaste checontiene in ascissa i valori consecutivi del ritardo ke in ordinata i valori delle auto-correlazioni corrispondenti. Un esempio `e fornito dalla gura 1.3 ed `e stato prodottodallafunzioneacf()dellalibreriatsdiR.Ladipendenzadel fenomenodal passato`efortementelegataallapossibilit`adiprevederelerealizzazionifuturedallaconoscenzadelcomportamentoneltempo.1.3 Il modello classico di scomposizione di unaserietemporaleLeserietemporali relativeafenomeni economico-aziendali presentanodellecarat-teristichecomuni, chesonostateidenticatecometrend, ciclo, stagionalit`a(per13Figura1.3: Correlogrammadellatrasformazione12 ln ytdellaseriedellevendite(variazionirelativesubaseannua).0.0 0.5 1.0 1.50.20.00.20.40.60.81.0Seriesdiff(log(sales), 12)14osservazionisubannuali); questisegnalipossonoesserecontaminatidaoscillazio-ni che a primavistaappaiono nonstrutturate e che possonoessere identicatecomepuramentecasuali. Lanalisiclassicaprendelemossedaquestanaturalecon-statazione, proponendoi seguenti modelli di scomposizionedellaserietemporale(rispettivamentemodelloadditivoemodellomoltiplicativo):yt= t + t + t + tyt= ttt

t(1.1)dove, in generale, le componenti hanno natura deterministica ad eccezione di quellairregolare;questultimavieneintesacomeunacomponentepuramentecasuale,nonprevedibiledallaconoscenzadellesuerealizzazioni passateechesi sovrapponeaisegnali senzaavereunasistematicit`a. Nel casoadditivo, unmodellostatisticopercatturarequestecaratteristichepostulachetsiaunasequenzadi realizzazioni divariabili casuali normali identicamenteedistribuiteinmanieraindipendenteconmedianullaevarianzacostante; insimboli, t NID(0, 2). Unaversionepi` udebole non richiede la normalit`a, ma si limita ad assumere che t, t = 1, . . . , Tsianovariabili causali incorrelateamedianullaevarianzacostante. Nel seguitofaremoriferimento esclusivo al modello di scomposizione additivo, al quale si pu`o ricondurreil modello moltiplicativo in seguito allapplicazione della trasformazione logaritmica.Il simbolotdenotalacomponentetendenziale (trend), espressione delladi-namicadi lungoperiododellaserie, generalmenterappresentatadaunafunzionedeterministica(ades. unpolinomio)deltempo,t:Trendcostante(digrado0): t= 0Trendlineare: t= 0 + 1tTrendquadratico: t= 0 + 1t +2t2Trendlogistico(perfenomenicaratterizzatidaunlivellodisaturazione):t=01 + 1 exp(2t)Trendesponenziale: t= exp(0 + 1t)La componente di breve periodo, detta anche ciclo, `e denotata conted`erappresentatadaunafunzionetrigonometrica:t= cos(t) + sin(t)dove [0, ] rappresenta la frequenza angolare, tale che il periodo delloscillazione`e pari a P= 2/ e e determinano lampiezza delloscillazione (A =2+ 2).La componente stagionale coglie le oscillazioni sistematiche della serie che hannoperiodougualeallanno;Hylleberg,[?]proponelaseguentedenizione:15Seasonalityis the systematic, althoughnot necessarilyregular, intra-year movement causedby the changes of the weather,the calendar,andtimingof decisions, directlyor indirectlythroughtheproductionandconsumptiondecisionsmadebytheagentsoftheeconomy. Thesedeci-sions are inuenced by endowments, the expectations and preferences oftheagents,andtheproductiontechniquesavailableintheeconomy.Harvey[?] fornisce unadenizione incentratasul problemadellaprevisione, cheindividualastagionalit`anellacomponentedellaseriecheestrapolatasi ripeteco-stantemente per ogni periodo di tempo pari allanno (periodicit`a) ed ha somma nullasu quel periodo. Sebbene vi sia suciente consenso attorno a queste denizioni, chelascianoapertalapossibilit`achelacomponentestagionaleevolvanel tempo, unaspettoaltrettantoimportante `elalorotraduzioneoperativa.Supponiamo che la serie temporale sia osservata con periodicit`a s (dove s denotail numero di stagioni in un anno, vale a dire s = 4 per dati trimestrali, s = 12 per datimensili,s = 52perdatisettimanali,etc.) edenotiamocontleettostagionalealtempo t. Ci sono due approcci equivalenti alla modellazione di un pattern stagionaledeterministico(valeadireinvarianteneltempo): neldominiotemporale,mediantelintroduzione di particolari variabili indicatrici dette dummy stagionali; nel dominiofrequenziale, mediante una combinazione lineare di funzioni trigonometriche, seno ecosenoinparticolare. Secondoilprimoapproccio,t=s

j=1jDjt(1.2)dove Djt`e unadummystagionale, Djt=1nellastagione j e 0altrimenti, e icoecienti jmisurano leetto associato al corrispondente periodo dellanno. Se laserie contiene anche una componente tendenziale e il modello di scomposizione `e deltipoyt= 0 + 1t +s

j=1jDjt + t,si incontra immediatamente una dicolt`a, consistente nel fatto che il modello non `eidenticato,poicheesistedipendenzalinearetrairegressori(infattilasommadellesdummystagionali`epariallunit`aequestoeettovieneconfusoconlintercetta).Ataleproblemasi rimediavincolandoi coecienti jadaveresommanulla; talerestrizione consente di identicare il modello(1.1) quando`e presente il terminedi intercettae, sottolipotesi chelacomponenteirregolaresiaabbiadistribuzione

t NID(0, 2), il modello(1.1)pu`oesserestimatomediantei minimi quadrati(MQ)vincolati(cfr. [?]).Invecedi vincolarei coecienti jadaveresommanulla, si possonoutilizzarestrategiealternativecherendonopraticabililestimedeiMQordinari.16Unaparametrizzazioneequivalentesi ottieneponendoDjt=1, t =j, mods,Djt=0, t =j mods,Djt= 1, t =s, mods(vale adire ponendoDjt= DjtDstperj= 1, . . . , s 1)estimandoilmodelloyt= 0 + 1t +s1

j=1j Djt + tLeettostagionaleassociatoallastagionessiottienecomesegue:s= s1

j=1jUnasoluzioneconsistenelleliminarelintercetta,stimandoilmodelloyt= 1t +s

j=1jDjt + tdove j= j+0, mediante i MQO. Ottenute le stime dei parametri, si ottiene0= 1/s

jej=j 0.Alternativamente, possiamomodellarelastagionalit`aintroducendosoltantos 1dummydeltipoDjt,ades. escludendolultima:yt= 0 + 1t +s1

j=1jDjt + tIntal caso, 0+ j=0+ j, j =1, . . . , s 1, e0=0+ s; sommandorispettoajsiottiene:0= 0 +1ss1

j=1jesuccessivamentesipossonoricavareglieettioriginarij.Il modello trigonometrico `e formulato nei termini di s1 eetti associati allampiezzadis/2ondeciclichedeniteallefrequenze2j/s, j= 1, 2, . . . , s/2: perspari,t=s/2

j=1[j cos(jt) + j sin(jt)] (1.3)Lapropriet`acondivisadatuttequesteparametrizzazioni`echelasommadeglieettistagionalisusunit`atemporaliconsecutive `eidenticamentenulla:s1

j=0tj= 0.171.4 StimadelmodelloIlmodellodiscomposizionedeterministicopu`oessererappresentatocomesegue:yt= b1xt1 + . . . + bkxtk +t= x

tb +t, t = 1, . . . , T,conx

t=[xt1, xt2, . . . , xtk] e b`e unvettore contenente i kcoecienti di regres-sione. Adesempio, il modellocontrendlineareesdummystagionali hax

t=[t, D1t, . . . , Dst] e b = [1, 1, . . . , s]

, mentre il modello trend quadratico pi` u irrego-lare,yt= 0 + 1t + 2t2+tpresentaxt= [1, t, t2]

eb = [0, 1, 2]

.LeTequazionilinearipossonoessereriscritteinformamatricialey= Xb +,cony=[y1, . . . , yt, . . . , yT]

eX=[x1, x2, . . . , xT]

. Il nostroobiettivo`estimareiparametri incogniti (i coecienti b e 2),fare inferenze,per vericare se soddisfanoleconoscenzeapriorioaltrivincoli,vericarecheilmodellocostituiscaunavalidainterpretazionedellarealt`aeprevedereleosservazionifuture.Siabunastimadib. Incorrispondenzapossiamodenireilvettoredeiresidui(oscartitraivaloriosservati,y,eivaloriinterpolati, y= Xb):e = y Xb.Lostimatoredeiminimiquadrati(ordinari)siottieneminimizzandolasommadeiquadratideiresidui:S(b) = e

e = (y Xb)

(y Xb) = y

y 2b

X

y + b

X

XbLecondizionidelprimoordine:S(b)b= 0fornisconolecosiddetteequazioninormali:X

Xb = X

y,lequali costituisconounsistemadi kequazioni inkincognitecheammetteunasoluzioneunicaselamatriceXharangok: intal casolamatrice(X

X)`enonsingolareelasoluzione `eb = (X

X)1X

y=_T

t=1xtx

t_1T

t=1xtyt.18Lecondizioni del secondoordine anchelasoluzione individui unminimodellafunzioneS(b)richiedonochelamatricehessianasiadenitapositiva: ci`osivericainquanto2S(b)bb

= 2(X

X) > 0.Il vettoredei valori predetti dal modellodi regressioneedei residui del sonoforniti rispettivamente da y =Xb, conelementogenerico yt=x

tb, e dae=y y= y Xb,conelementogenericoet= ytx

tb.y= Xb +e = y +eSostituendob = (X

X)1X

yinS(b)siottengonoleseguentiespressioniequi-valentiperlasommadeiquadratideiresidui:e

e = y

y b

X

Xb= y

(I X(X

X)1X

)y= y

y b

X

y= y

y y

XbSi osservi che se la prima colonna di X `e il vettore unitario, i (il modello contieneilterminediintercetta),leequazioninormaliX

e = X

(y Xb) = 0,implicanoche:i residui dei minimi quadrati hannosomma(media) nulla: i

e=0esonoortogonalirispettoallevariabiliindipendenti.Liperpianodiregressionepassaperilcentroide y= x

bLa media dei valori predetti, y =Xb, coincide con la media dei valoriosservati.Proprieta statistiche in campioni niti Se si assume che E() = 0, lo stimatoreb `ecorretto:E(b) = E[(X

X)1X

y] = b + E[(X

X)1X

] = b,ehamatricedicovarianza:Var(b) = 2(X

X)119Inoltre, sottolassunzionedi sfericit`adegli errori, E(

)=2I, si pu`odimostrareche essopresentavarianzaminimaallinternodellaclasse degli stimatori lineari.Talerisultato `enotocometeoremadiGauss-Markov.Lo stimatore `e inoltre una combinazione lineare di ye quindi di . Se si assumechesiadistribuitonormalmente,b N(b, 2(X

X)1). Talerisultatovieneuti-lizzatoperlacostruzionedistatistichetestperlavericadiipotesisuicoecientib. Senza lassunzione di normalit`a la distribuzione degli stimatori MQO non `e nota;tuttavia, incampioni di grandi dimensioni, si pu`oinvocareil teoremadel limitecentralepertrattarebcomeapprossimativamentenormale.Stimadi2edellavarianzadib Unostimatorecorrettodidi2`es2=e

eT k=

Tt=1e2tT k.Laradicequadrata, s,`edenominataerrorestandarddellaregressione. Il risultatoviene utilizzato per ottenere una stima della matrice di covarianza delle stime OLS:Var(b) = s2(X

X)1.1.4.1 Testdiipotesiedisignicativit`asuunsingolocoe-cienteSottolassunzionedi normalit`a`estatodesuntoil risultatob N(b, 2(X

X)1).Seaiidenotalelementoi-esimosulladiagonaleprincipaledi(X

X)1:bibiaii N(0, 1).Inoltre, si pu`o mostrare che (T k)s2/2 2nke che tale statistica `e distribuita inmaniera indipendente da b. Applichiamo ora il noto risultato per cui dividendo unavariabile casuale normale standardizzata per la radice di una v.c. 2nkindipendentedivisaperilnumerodeigradidilibert`asiottieneunav.c. tnk:t =bibisaii tnkIl risultatopu`oessereutilizzatopertestareipotesi suunsingolocoecienteepercostruireintervalli di condenza. Il testdi H0: bi=0`eanchedettotestdisignicativit`a.201.4.2 Misuradellabont`adelladattamentoQualorail modellocontengaunintercettapossiamoottenereunamisurasintetica(scalare)dellacapacit`aesplicativadel modellocheassumevalori compresi tra0e1; inparticolare, possiamocalcolarelaquotadi varianzadellaseriespiegatadallevariabili esplicative incluse nel modello di regressione. La misura in questione prendeilnomediR-quadroed `efornitadallaseguenteespressione:R2= 1

te2t

t(yt y)2.1.5 PrevisionemediantemodellideterministiciAl nedi illustrarelaprevisioneeettuatamedianteunmodellodeterministicodiscomposizionedellaserietemporale,consideriamoilseguentemodello:yt= 0 + 1t +t= b

xt + tdove b = (0, 1)

,xt= (1, t)

e t NID(0, 2). Sia inoltreb il vettore che contienelestimeMQO. Il valorepredettoal tempot =1, . . . , T, `eottenutocomesegue: yt= b

xt= E[yt|xt];laprevisionelperiodiinavanti `efornitada: yT+l= b

xT+ldovexT+l= (1, T+l)

.Taleprevisione `ecorrettanelsensochelerrorediprevisionehavaloreattesonullo:E[yT+l yT+l] = E[(b b)

xT+l + T+l] = 0ed ottimale, nel senso che minimizza lerrore quadratico medio di previsione (questa`eunaconseguenzadelteoremadiGauss-Markov). Inne,lavarianzadellerrorediprevisionerisultaparia:Var[yT+l yT+l] = E[(b b)

xT+l + T+l]2= 0= 2_1 +x

T+l(X

X)1xT+l_doveX`elamatriceT 2lacui rigat `edatadax

t. Essapu`oesserestimatasostituendo 2= SSE/(T 2)nellespressioneprecedente.Modellolivello+irregolare : nel casoparticolareincuiyt=0 + t, yT+l=0= y,dove y= T1

yt. Inoltre,Var(yT+l yT+l) = 2_1 +1T_21con 2= (T1)1

(yt y)2. Lintervallo di condenza all(1)% per la previsione yT+l`e: y t/2,T1 1 +1T ,dove t/2,T1 `e il percentile della distribuzione t di Student con T 1 gradi di libert`a.1.6 Previsionemediantelivellamentoesponenzia-leInambitoaziendale sonospessorichieste previsioni abreve termine di ungrannumero di serie (vendite disaggregate per tipo di bene prodotto) per la pianicazionedellaproduzioneedel magazzino. Uninsiemedi proceduredi previsioneadhoc`estatointrodottoinquestocontesto, caratterizzatedasemplicit`acomputazionaleedaimmediatezzainterpretativa, comedovrebbeesserepertecnichediapplicazioneroutinaria.Consideriamo un fenomeno che oscilla attorno ad un valore medio approssimati-vamente costante, e supponiamo di disporre di informazioni sino al tempo t incluso:{y1, y2, . . . , yt}. Ci proponiamooradi prevedereil valoredel fenomenounperiodoinavanti,altempot + 1.Unaprevisioneelementarepu`oesserecostruitaapartiredallamediaaritmeticasemplicedelleosservazionidisponibili: yt+1|t= y=1t(yt +yt1 + + y2 + y1)Si noti chetutteleosservazioni, anchelepi` ulontanenel tempo, ricevonounpesocostanteparia1/t.Potrebbeesseredesiderabileponderareleosservazioni inragionedellalorodi-stanzadal tempocorrente, assumendoche le osservazioni pi` urecenti presentinouncontenutoinformativopi` uelevatoani previsivi. Ci`oconduceaformularelaprevisionecomesegue: yt+1|t= w0yt + w1yt1 +w2yt2 + dovewj, j =0, 1, 2, . . . `euninsiemedi coecienti di ponderazionedecrescenti alcresceredijeasommaunitaria: j wj= 1. Alnediottenereleettodesideratosipu`oprenderewj= (1 )j,dove `eunacostantedilivellamentocompresatra0e1. Intalcasoipesiseguonounaprogressionegeometricadiragione(1 ):w0= , w1= (1 ), w2= (1 )2, . . .(ades. se=0.8, w0=0.8, w1=0.16, w2=0.032, percui il pesodatoallultimaosservazione `e molto pi` u elevato di quello assegnato alle osservazioni precedenti, che22diventamoltopiccologi`aapartiredallaterzultimaosservazione; nel casoincui = 0.1,ipesirisultanonellordine0.1,0.09,0,081,. . . ,presentandounavariazionemoltopi` ulimitata).Riscriviamooralaprevisionedopoaversostituitolespressioneperwj: yt+1|t= yt + (1 )yt1 + (1 )2yt2 + analogamente, se disponessimosoltantodelle osservazioni noal tempot 1siavrebbe: yt|t1= yt1 + (1 )yt2 + (1 )2yt3 + Moltiplicandoquestultimaespressioneper(1 )esottraendomembroamembrosiottiene: yt+1|t(1 ) yt|t1= yt,ovvero yt+1|t= yt + (1 ) yt|t1oequivalentemente yt+1|t= yt|t1 + (yt yt|t1)Si ottengonodueformulericorsivechefornisconolaprevisioneunperiodoinavanti infunzionedel valorecorrentedellaserie, yt, del valoreprevistoal tempoprecedente, yt|t1, edellacostante. Lasecondaespressioneindicachenel for-mularelaprevisioneal tempocorrentemodichiamolaprevisioneprecendenteinproporzioneallerroredi previsionecheabbiamocommessonel prevedereyt. Perlinizializzazionedelleformulericorsivesonostateavanzatediverseproposte: lepi` ufamosesono y1|0=y1, y1|0=s1

st=1yt, lamediadelleprimesosservazioni (es.s = 6).Questomododieettuareleprevisionivienedetto livellamentoesponenziale. Ilproblemafondamentalestanelladeterminazionedi . Essapu`oessereeettuataminimizzandolasommadeiquadratideglierroridiprevisione:minS() =T

t=1(yt yt|t1)2ci`opu`oessereeettuatomedianteunaricercaagriglianellintervallo(0,1). Si no-ti che per =1, yt+1|t=yte laprevisione coincide conlultimaosservazionedisponibile. Viceversa, per tendente a 0 si assegna lo stesso peso alle osservazioni.1.7 Previsione mediante il metodo di Holt-WintersUnfenomeno che presenta untrendlineare pu`o essere interpretato mediante ilmodellotrendpi` uirregolare:yt= + t +t, t = 1, 2, . . . , T.23I coecienti e possono essere stimati mediante il metodo dei minimi quadrati eilmodellopu`oessereutilizzatoperprevedereilfenomenounperiodoinavanti: yt+1|t= + (t + 1) = + t + ;ingenerale yt+l|t= + (t + l) = + t + l;Le previsioni si muovono lungo una retta, e il modello potrebbe rivelarsi scarsamenteessibile se il fenomeno presenta un trend locale. In tal caso ha senso estrapolare latendenzaindicatadaidatipi` uvicinialtempocorrente.Ora, ponendo mt= +t, si ha che mtrappresenta il livello del trend al tempot, mentrebt=rappresentalincremento(costante), valeadirelaquantit`acheoccorreaggiungereamtperottenere yt+1|t;pertanto, yt+1|t= mt +btSinotichemt(livello)ebt(incremento)possonoessereriscrittineiterminidiunaformularicorsiva:mt= mt1+ bt1bt= bt1con valori iniziali m0= e b0= . Risulta evidente che le osservazioni non giocanoalcunruolonellaggiornamentodeivaloridimtebt.Le formule precedenti possono essere generalizzate in maniera essibile medianteleformulediHolt&Winters: yt+1|t= mt + btmt= 0yt+ (1 0)(mt1 + bt1)bt= 1(mtmt1) + (1 1)bt1la prima equazione fornisce la nuova stima del livello come media ponderata dellul-timaosservazioneedellaprevisioneeettuataal tempoprecedenteed`epertantoanalogaallequazionedi aggiornamentodel livellamentoesponenziale; lequazioneperlaggiornamentodi btoperaunamediaponderatatrail valoreprecedenteeladierenzatraillivelloaltempotealtempot 1.Laprevisionelperiodiinavantigiacesuunaretta yt+1|t= mt + lbtcon origine in mte coeciente angolare bt. Quando una nuova osservazione si rendedisponibile,questequantit`avengonoaggiornate.24Le due costanti di livellamento, 0e 1, sono comprese tra 0 e 1 e possono esseredeterminateminimizzandolasommadeiquadratideglierroridiprevisioneS(0, 1) =T

t=2(yt yt|t1)2Dallarelazione mt1 +bt1= yt|t1,dopoqualchepassaggioalgebrico,possiamoriscrivere:mt= mt1+ bt1+ 0et|t1bt= bt1+ 01et|t1dove et|t1= yt yt|t1. La tecnica di previsione nota come livellamento esponenzialedoppio `e un caso particolare del metodo di Holt & Winters, per cui si fanno dipendere0e1daununicoparametro,:0= 1 2, 1=1 1 + Per quanto riguarda linizializzazione delle formule ricorsive, si possono prenderem2= y2eb2= y2y1.1.8 ProceduradiHolt-WintersstagionaleConsideriamooraunaserie stagionale di periodose prendiamoariferimentoilmodellodiscomposizionemoltiplicativo: yt= ytgt,dove ytdenotalaseriedestagio-nalizzataegt`eunfattorestagionalechemisuralespansioneolacontrazionedelfenomenonellestagionidellanno. Laprevisionel= 1, 2, . . . , s,periodiinavantialtempotsar`a: yt+l|t= (mt + btl)gt+ls,mt= 0(yt/gt) + (1 0)(mt1 + bt1)bt= 1(mtmt1) + (1 1)bt1gt= s(yt/mt) + (1 s)gtscons (0, 1). Linizializzazionepu`oavvenireal tempot =sprendendoms=s1

sk=1yk(inalternativasipu`o prenderelamediageometricadelleprime sosser-vazioni),bs= 0,gj= yj/ms,j= 1, 2, . . . , s.Nelcasoadditivosiavrannoleseguentiformulericorsive:mt= 0(ytgt) + (1 0)(mt1 + bt1)bt= 1(mtmt1) + (1 1)bt1gt= s(ytmt) + (1 s)gts25Capitolo2ImodelliARIMA2.1 PremessaPrenderemoinconsiderazionequelloche, forseconterminologiainappropriata, `econosciutocomeapprocciomodernodelleserietemporali, il cui elementodi dif-ferenziazionestanelconsiderarelaserieytcomerealizzazionenitadiunprocessostocastico. Ilproblemainferenziale`erisaliredaytalprocessogeneratoree,intalecontesto, lamodellisticaARIMAsemplicail problemamedianteunarestrizionedellaclassedei processi stocastici. Lapretesa`equelladi fornireunarappresenta-zioneunitariaadunavastagammadifenomenireali; ovviamente, lageneralit`avaascapitodellapossibilit`adi interpretareil modellointermini di variabili latenti,percui nellambitodellapprocciomoderno, si sonoaermati i cosiddetti approc-ci strutturali. Il riferimentobibliogracopi` urilevanteper questocapitolo`elamonograadiBox,JenkinseReinsel[?]2.2 Generalit`asuiprocessistocasticiUnprocessostocastico,{Yt}, pu`oesseredenitocomeunasuccessioneordinatadivariabilicasuali Ytindicizzate dalparametro tappartenente aduninsieme parame-trico T . Poiche nel seguito ci limiteremo a considerare la classe dei processi stocasticicontinuiaparametrodiscreto,avremo T = 1, 2, . . .e {Yt} = {Y1, Y2, . . .}.Ilp.s. `enotose`enotalafunzionediripartizioneP(Y1 a1, Y2 a2, . . . , YT aT) per ogni T-upla (a1, . . . , aT); in altre parole, se `e nota la densit`a congiunta di ognievento nello spazio reale a Tdimensioni. Nelle applicazioni si dispone, per ogni t, diunasingolarealizzazionedellav.c. yt,percuiilprocessoinferenzialepresenterebbecomplicazioni insuperabili senonvenisseroimpostedueclassi di restrizioni sullecaratteristichedelprocesso: lastazionariet`aelergodicit`a.Inparticolare,diremocheunprocessostocastico `estazionarioinsensofortese26ladistribuzionediprobabilit`acongiuntadi {Yt, Yt+1, . . . , Yt+r} `eindipendentedat,r. Condizionenecessariaesucientepercheci`osi verichi`echetutti i momentidella v.c. multipla {Yt, Yt+1, . . . , Yt+r} siano niti ed indipendenti da t. La strutturadinamica`edunqueinvariantenel tempo. Ora, per unp.s. gaussianoladensit`acongiunta dipende esclusivamente dal vettore delle medie delle v.c. Yt, Yt+1, . . . , Yt+re dalla loro matrice di covarianza; pertanto, esso `e stazionario se i suoi momenti noalsecondosononitiedindipendentidat,valeadireE(Yt) = E(Yt)2= (0) < E[(Yt)(Ytk)] = (k) < t, k,dove (k) denota lautocovarianza tra Yte Ytk,che si assume essere funzioneesclusivamente di k. Si noti che come conseguenza della stazionariet`a la funzione diautocovarianza`esimmetricarispettoak: (k)=(k). Unp.s. nongaussianoicuimomentie(k)sonoindipendentidatsidicestazionarioinsensodebole(incovarianza). Intal casolastazionariet`aincovarianzanonimplicaquellainsensoforte,ma `egeneralmentesucienteperottenereirisultatipi` urilevanti.Utili strumenti perlacaratterizzazionedi unprocessostazionarionel dominiotemporaleefrequenzialesonolafunzionedi autocorrelazione(FAC) eladensit`aspettrale;laprima `edenita(k) = (k)/(0), k = 0, 1, . . . ,mentrelasecondadaf() =12_(0) + 2

k=1(k) cos k_,dove `e la frequenza in radianti che assume valori in [0, ]. E immediato dimostrareche la FAC gode delle seguenti propriet`a: i) (0) = 1, ii) |(k)| < 1, iii) (k) = (k).WhiteNoise (WN). Il processo stazionario pi` u elementare `e costituito da una se-quenza di variabili casuali incorrelate a media nulla e varianza costante: esso `e deno-minato white noise, e viene indicato con t WN(0, 2), dove E(t) = 0, E(2t) = 2eE(ttk) = 0perk = 0.2.3 MomenticampionariDallasezioneprecedente`eemersocheunprocessostazionario(insensodebole)`ecompletamente caratterizzato dai parametri e (k). A partire da una realizzazionenita, {yt}Tt=1possiamocostruireleseguentistatistiche:Mediacampionaria: y= = T1

Tt=1ytVarianzacampionaria: (0) = T1

Tt=1(yt y)227Autocovarianzacampionariaalagk: (k) = T1

Tt=1(yt y)(ytk y)Seilp.s. `eergodicoquestestatisticheconvergono(inmediaquadratica)aimo-menti del processo, rispettivamente, (0)e(k). Lergodicit`arichiedeinvecechela memoria del processo sia limitata cos` che eventi distanti nel tempo abbiano unbassogradodidipendenza;sidimostracheunp.s. gaussianostazionario `eergodicose

k=0|(k)| < .Lafunzione di autocorrelazione viene stimatamediante il rapporto: (k) = (k)/ (0); il graco ad aste delle coppie (k, (k)) `e noto come correlogramma; comevedremo in seguito esso rappresenta uno degli strumenti cardine per lidenticazionedelprocessostocasticochehageneratolaserie.Per un processo WN, tale che (k) = 0, k= 0,vale inoltre il risultato che (k)hadistribuzioneasintoticanormaleconmedianullaevarianzapari aT1. Talerisultato viene solitamente utilizzato al ne di costruire bande di condenza appros-simateal95%attornoallozeropervalutarelasignicativit`adelleautocorrelazionistimate: queste sono giudicate non signicativamente diverse da zero se sono interneallintervallo[2/T, 2/T].2.4 IlteoremadiWoldAllaclassedeiprocessistazionarisiapplicaunimportanterisultatonotocome teo-remadi Wold: essoaermacheogni p.s. stazionario(insensodebole)pu`oesserescompostoindueprocessistocasticimutualmenteincorrelati,unodeiquali `elinea-redeterministico, c(t), mentrelaltro(indeterministico)`eunasequenzainnitadivariabilicausaliincorrelate(processolineare):Yt= c(t) + t + 1t1 + 2t2 + ,con |j| < eE[c(t)tj] = 0, t, j. Ilterminet`eWNerappresentalerrorediprevisione uniperiodale: t= YtE(Yt|Yt1, Yt2, . . .), ed `e anche detto innovazione.Unprocesso`edeterministicosepu`oessereprevistosenzaerroreapartiredaivalori passati di Yt; solitamentelapartedeterministicacorrispondeallamediadelprocesso, c(t) =. Comevedremo, il teoremaconsentedi derivarelaclassedeiprocessiARMA,imponendoparticolarirestrizionisullinsiemedeicoecientij.2.5 AutocorrelazioneparzialeIlcoecientediautocorrelazioneparziale `eunamisuradellassociazionelinearetraYteYtkdepuratadellacorrelazionedovutaallev.c. intermedie Yt1, . . . , Ytk+1.28ConsideriamounprocessostazionarioYt, assumendoc(t) =0nellarappresenta-zionedi Wold, eproponiamoci di costruireil migliorprevisorelinearenondistor-todi Ytsullabasedellaconoscenzadi Yt1, Yt2, . . . , Ytk; denotatoconXt1=[Yt1, Yt2, . . . , Ytk]

ilvettorecontenenteilsetinformativodiriferimento,sidimo-stracheilprevisoreottimale `e

Xt1= k1Yt1 +k2Yt2 + + kkYtk, (2.1)doveilvettoredeicoecientidellacombinazionelineare, = [k1, k2, . . . , kk]

,siottienedallarelazioneE[(Yt

Xt1)X

t1] = 0,chefornisce = E[Xt1X

t1]1E[Xt1Yt].Il coeciente associato a Ytk, kk, `e detto coeciente di autocorrelazione parzia-le a ritardo k, poiche fornisce una misura del legame lineare tra le v.c. al netto dellacorrelazioneesistenteconlev.c. intermedie. Taleinterpretazione`edovutaalfattochekk=Yt/Ytk. Analogamente, si denisceil coecientedi autocorrelazioneparzialecomeilcoecientedicorrelazionelinearetraYt E(Yt|Yt1, . . . , Ytk+1)eYtk.SinotichelamatriceE[Xt1X

t1]contieneleautocovarianzeed `eunamatricedi Toeplitz, taleche, cio`elelementodi posto(i, j)`epari a(|i j|), mentreilvettore E[Xt1Yt] = [(1), (2), . . . , (k)]

. Pertanto, i coecienti kjpossono essereottenutiinmanieraequivalentedalsistemadiequazioniseguente,dettosistemadiYule-Walker (si premoltiplica (2.1) per E[Xt1X

t1] e si dividono entrambi i membriper(0)):__(1)(2)...(k 1)(k)__=__1 (1) (k 2) (k 1)(1) 1 (k 3) (k 2)...............(k 2) (k 3) 1 (1)(k 1) (k 2) (1) 1____k1k2...k,k1kk__ovvero, = P. LasoluzioneperkksiottieneapplicandolaregoladiCramer:kk= |P||P|dovePsiottienesostituendolultimacolonnadiPcon.Il gracodei valori {00, 11, 22, . . . , kk}controk, vienedettocorrelogrammaparziale,mentrelasequenzakk`elafunzionediautocorrelazioneparziale(FACP).Ovviamente,00= 1e11= (1).292.6 LalgebradelloperatoreLUno strumento molto importante `e loperatore ritardo (lag), L, che, applicato ad Yt,produceilvaloreritardatodiunperiodoYt1:LYt= Yt1In generale, LkYt+r= Yt+rk, k = 0, 1, . . .. Un polinomio di ordine mnelloperatoreritardo `edenitocomesegue:(L) = 1 +1L + 2L2+ + mLmLeradici del polinomiosi ottengonoponendo(L)=0erisolvendorispettoaL.Leradicisarannorealiocomplesseconiugate: sidicecheessegiaccionoaldifuoridel (sul)cerchiodi raggiounitarioseil loromodulo`esuperiore(uguale)a1. Inparticolare,denendoilpolinomioinnito(L) = 1 + 1L + 2L2+ possiamo riscrivere la rappresentazione di Wold in maniera pi` u sintetica: Yt= c(t)+(L)t.Importanti operatori (ltri)lineari possonoesseredeniti infunzionedi L; diparticolarerilievo `eloperatoredierenza, = 1 L,talecheYt= YtYt1. Ledierenzedi ordinedsonodatedYt; adesempio, perd=2, 2Yt=(1 2L +L2)Yt=Yt 2Yt1 + Yt2. Nel casodi processi mensili, lavariazionerispettoallostessomesedellannoprecedentevienedettadierenzastagionale:12Yt= (1 L12)Yt= YtYt122.7 ProcessiAutoregressiviDal teorema di Wold abbiamo appreso che qualunque processo stazionario pu`o essereespressocomeunacombinazionelinearedi processi WN; tuttavia, lastrutturadeiritardiint`ediordineinnito,enonpossiamoambireastimareinnitiparametriapartiredaunarealizzazionenita. Inquestasezionemostreremochenotevoleparsimonianel numerodei parametri richiesti perdescriverelastrutturadinamicadelprocesso `eresapossibiledallintroduzionedeiprocessiautoregressivi.Unprocessoautoregressivodiordinep,AR(p), `edenitocomesegue:Yt= m +1Yt1 + 2Yt2 + + pYtp + tcont WN(0, 2). Nel seguitoassumeremom=0e riscriveremoil processo(L)Yt=t, dove(L) =1 1L pLp`eil polinomioautoregressivodiordinep.302.7.1 ProcessoAR(1)Il processo autoregressivo del primo ordine `e tale che Ytsi ottiene moltiplicando peruncoecienteilvaloreprecedenteYt1edaggiungendounp.s. t WN(0, 2):Yt= Yt1 + tIl processo `e stazionario se || < 1; infatti, mediante sostituzione successiva si ottienelarappresentazionediWold:Yt= t + t1 + + k

tk + ;lasuccessione(geometrica)dei pesij=jrisultaconvergenteseesolosevalegiacenellintervallo(1, 1). Infatti, ||j=1/(1 ||). Si noti cheintal casolerealizzazionipassatedellav.c. thannounpesogeometricamentedecrescentealcresceredellalorodistanzadaltempocorrente(funzionedirispostaallimpulso):Yttj= jj0La condizione di stazionariet`a pu`o essere riferita alle radici del polinomio (L) =1 L: inparticolare, il p.s. `estazionarioseesoloselaradicedel polinomio,ottenutarisolvendoperLlequazione1 L = 0, `einmodulosuperioreallunit`a.Deriviamooraimomentidelprocessoquando `enellaregionedistazionariet`a:E(Yt) = 0(0) = Var(Yt) = E(Y2t) = E[(Yt1 + t)Yt]= (1) + 2poicheE(Yt

t) = E[(t + t1 + )t] = 2.(1) = E(YtYt1) = E[(Yt1 + t)Yt1]= (0)poicheE(Yt1

t)=E[(t1 + t2 + )t]=0. Sostituendolespressioneper(1)inquellaper(0)siottiene:(0) =21 2(2) = E(YtYt2) = E[(Yt1 + t)Yt2]= (1)= 2(0)Ingenerale,(k) = k(0),e,ricordando la denizionediFAC, (k) = k. Pertantola FAC di un p.s. AR(1) `e una successione geometrica decrescente di ragione . PerquantoconcernelaFACP, bastarietteresufattoche, datoYt1, Yt`eincorrelatoconYt2, . . . ,percomprenderechekk= 0perk > 1. Inoltre,11= (1) = .31Note i) Se m = 0, E(Yt) = m/(1); ii) Per = 1 si ottiene il p.s. non stazionarioYt= Yt1 + t,notocomerandomwalk(passeggiataaleatoria). Efacilevederechele innovazioni passate hanno tutte peso unitario ed i momenti dipendono dal tempo:ades. lavarianza `elineareint,Var(Yt) = t2.2.7.2 ProcessoAR(2)Ilprocessoautoregressivodelsecondoordine `egeneratodallequazione:Yt= m + 1Yt1 + 2Yt2 + tPer processi di ordinesuperioreal primo`epi` usemplicedenirelacondizionedistazionariet`aconriferimentoalleradicidelpolinomio(L): sidimostrainfatticheYt`estazionarioseleradici di 1 1L 2L2=0sonoinmodulosuperiori ad1. Nel casoinquestionesi hache(L) =(L)1epertantoi coecienti dellarappresentazionedi Woldpossonoessereottenuti eguagliandoi termini associatiallepotenzedi Lin(L)(1 1L 2L2)=1. Neconseguecheessi sonofornitidalla formula ricorsiva j1j12j2= 0 con valori iniziali 0= 1 e 1= 1.Siverica,appunto,che j|j| `econvergenteseesolose(L) = 0per |L| > 1.La condizione di stazionariet`a impone i seguenti vincoli sullo spazio parametrico(1, 2): i) 1+2< 1 ii) 21< 1 e iii) 2> 1, per cui la regione di stazionariet`adeiparametri(1, 2) `einternaaltriangolodivertici(-2,-1),(2,-1),(0,1). Inoltre,siavr`aunacoppiadiradicicomplesseconiugatequando21 + 42< 0.SeYt`estazionario(egaussiano), esso`ecompletamentecaratterizzatodai mo-menti:Valoreatteso: E(Yt) = = m/(1 12).Lafunzionediautocovarianza `edatadallaformularicorsiva(k) = 1(k 1) + 2(k 2), k = 2, 3, . . .convaloriiniziali:(0) =(1 2)2(1 +2)([(1 2)221](2.2)e(1) = 1(0)/(1 2).LaFAC `edatadallaformularicorsiva(k) = 1(k 1) + 2(k 2), k = 2, 3, . . .con valori iniziali: (0) = 1 e (1) = 1/(12). Il comportamento della FAC`etaleche(k) 0perk ;seleradicidelpolinomioARsonocomplesselaFACpercorreunondaciclicasmorzata.32LaFACP`etalechekk= 0perk> 2;ci`o`eintuitivodalmomentoche,datiYt1eYt2,Yt`eincorrelatoconYt3,Yt4,etc.Ilrisultatoper(k) `ederivabilenellamanieraseguente: suppostom = 0,(0) = E[(1Yt1 + 2Yt2 + t)Yt]= 1(1) + 2(2) + 2(1) = E[(1Yt1 + 2Yt2 +t)Yt1]= 1(0) + 2(1)(2) = E[(1Yt1 + 2Yt2 + t)Yt2]= 1(1) + 2(0) (k) = E[(1Yt1 +2Yt2 +t)Ytk]= 1(k 1) +2(k 2)dallasecondaequazione si ricava(1), e sostituendonellaterzaequazione si fadipendere(2) soltantoda(0) (edai parametri AR); sostituendoleespressionitrovatenellaprimaequazionesiottieneilrisultato(2.2).Esempio: Consideriamoil processoAR(2) conm=0, 1=1.1, 2= 0.18e2= 1: leradici dellequazione(1 1.1L + 0.18L2)sonoreali edinmodulosuperioreaduno: L1=1.1eL2=5(L=(1.1 _1.124(.18))/(2 0.18)). Pereserciziosicalcoli(k)perk = 1, 2, 3.2.7.3 ProcessoAR(p)I risultati ottenuti precedentemente possono essere generalizzati al caso AR(p), (11L pLp)Yt= m + t,nelmodoseguente:Yt`estazionarioselepradici del polinomio(L) sonoinmodulosuperioriallunit`a.Ilvaloremediodelprocesso`e = m/(1),dove(1) = 1 1 p. Sipu`oriscrivereYt = 1(Yt1) + + p(Ytp) + t.La funzione di autocovarianza si ottiene moltiplicando lespressione precedenteper(Ytk)eprendendoilvaloreatteso.(k) = 1(k 1) + + p(k p), per k > 0(k) = 1(k 1) + + p(k p) + 2, per k = 0LaFACd`aluogoalsistemadiequazionidiYule-Walker:(k) = 1(k 1) + 2(k 2) + + p(k p), k = 1, 2, . . . , pLaFACPdiunprocessoAR(p) `eidenticamentenullaperk > p332.8 ProcessimediamobileI processi media mobile (MA) si ottengono dalla rappresentazione di Wold assumen-doj= j, j qej= 0, j> q. Pertanto,Yt= + t + 1

t1 + 2

t2 + + q

tqdovet WN(0, 2). IltermineMAvienedalfattoche Yt`eunasommaponderatadei valori pi` u recenti di t. Si noti che un processo MA soddisfa sempre la condizione

j|j| < ed `e dunque sempre stazionario. A dierenza del caso AR la parsimonianel numero dei parametri necessari per descrivere la struttura dinamica del processo`eottenutatroncandoicoecientijadunritardopressato.2.8.1 ProcessoMA(1)IlprocessoMAdelprimoordine `efornitodallespressione:Yt= + t +t1= + (1 +L)tE(Yt) = + E(t) + E(t1) = (0) = E[(Yt)2] = E[(t + t1)2] = E(2t) + 2E(t

t1) + 2E(2t1)= 2(1 +2)(1) = E[(Yt)(Yt1)] = E[(t + t1)(t1 + t2)]= 2(k) = 0, k > 1LaFAC `eidenticamentenullaapartiredak = 2:(0) = 1(1) =1+2(k) = 0, k > 1La FACP non si annulla mai, ma tende esponenzialmente a zero secondo landa-mentodettatodalparametro.Invertibilit`a Il MA(1) `e invertibile se || < 1. Nel seguito restringeremo la nostraattenzioneallaclassedei processi MA(q)invertibili, percui opereremoopportunerestrizioni nello spazio dei parametri MA. Per motivare la scelta, inizieremo col mo-strarecheperognirappresentazioneMA(1)invertibileesisteunarappresentazioneMA(1)noninvertibile, di parametro || >1, chepossiedegli stessi momenti. SiconsideridunqueilprocessoYt= +t + t134con = 1/ e t WN(0, 2). Si verica immediatamente che (0) e (1) sono egualia quelle del processo Yt= +t+t1 con 2=2 2; inoltre, (1) = 1/(1+2) =/(1 + 2). Idueprocessi hannoidentichepropriet`aedunquesarebbeimpossibilediscriminarli apartiredaunaseriestorica. Taleproblemadi identicazionevienerisoltoappuntovincolandoil parametronellintervallo(-1,+1). Il vincoloappa-rearbitrario, edhacomunqueunagiusticazionepratica. Il termineinvertibilit` aderivadallapossibilit`adi riscrivereil processocomeunAR()concoecienti jconvergenti:Yt + 1Yt1 + 2Yt2 + + kYtk + = m + t,

j=1|j| < Nelcasoinquestionelasequenzaj= ()j`econvergenteseesolose || < 1.2.8.2 ProcessoMA(q)IlprocessoYt= + t + 1

t1 + + q

tq`esemprestazionario; `einvertibileselesoluzionidellequazione(1 + 1L + 2L2+ + qLq) = 0sonoinmodulosuperioriad1.E(Yt) = (0) = E[(Yt)2] = E[(t + 1

t1 + + q

tq)2]= (1 +21 + + 2q)2(k) = E[(t + 1

t1 + +q

tq)(tk + 1

tk1 + + q

tqk)= (k +1k+1 + 2k+2 + + qkq)2(k) = 0, k > qPertanto, laFAC`eidenticamentenullaperk>q. LaPACFnonsi annullamai etendeazeroalcresceredik.Esercizio: calcolarelaFACper il processoMA(2): Yt=(1 + 2.4L + 0.8L2)ut,ut NID(.5, 1). Indicareinoltreseilprocesso `einvertibile.2.9 ProcessimistiIlprocessoYt= +

j=0j

tjpu`oessererappresentatoinmanieraparsimoniosadaunprocessoARMA(p, q),ilqualepu`oesserepensatocomeunageneralizzazione35diunp.s. AR(p)coninnovazionicheseguonounprocessoMA(q),ovverocomeunprocessoMA(q)chedipendeulteriormentedaisuoipvaloripassati.Yt= m + 1Yt1 + 2Yt2 + + pYtp +t +1

t1 + + q

tqovvero,(L)Yt= m+ (L)t.Lecondizioni sottolequali il processo`estazionariosonolestesseperlequaliil processoAR`e stazionario, vale adire le pradici del polinomio(L) devonoessere esterne al cerchio di raggio unitario. Il processo `e invertibile se le qradici delpolinomio(L)sonoesternealcerchiodiraggiounitario.LaFACelaFACPpresentanouncomportamentocherappresentaunamisturadi quelli che caratterizzano processi puramente AR e MA: in particolare, esse non siannullanomai;laFACtendea0apartiredallagq,mentrelaFACPapartiredallagp.Il processo ARMA stazionario ed invertibile `e identicabile se non esistono fattoricomuni: ades. il processoARMA(1,1), (1 L)Yt=(1 L)t, `eequivalenteaYt WN(0, 2).2.10 Nonstazionariet`aDenizione: Ordinediintegrazione. IlprocessoYt`eintegratodiordined,escrive-remoYt I(d),seledierenzed-esime,dYt,ammettonounarappresentazionediWoldstazionariaeinvertibile.Inaltreparoleapplicandodvolteloperatoredierenza, = 1 L,siottienedYt= + (L)t,

j=0|j| < Es.: Yt= 2Yt1Yt2 + t + t1,Yt I(2) || < 1;Lesempio pi` u elementare di p.s. non stazionario `e il randomwalk, denito dallarelazione Yt= Yt1 +t;esso `e tale che le sue dierenze prime sono WN. Il processoYt= + t`edettoRWcondrift. Mediantesostituzionesuccessivasiha:Yt= Y0 + t + t + t1 + + 1,chemostrachelinnovazionetkhaeetti persistenti sul livellodellaserie(vieneperinteroaccumulata,ointegrata,nellivello).Al ne di estendere la classe dei processi che possono essere trattati si introduce laclasse dei processi ARIMA(p, d, q), tali che le dierenze d-esime seguono un modelloARMA(p, q)stazionarioeinvertibile:(L)dYt= + (L)t362.11 Stagionalit`aSerie osservate con cadenza subannuale (mensile o trimestrale) possono manifestareuncomportamentoperiodico, conoscillazioni chehannocicloannuale. Tipico`eilcasodellaproduzioneindustriale, caratterizzatadaunacadutaincorrispondenzadel mese diagosto,e delle vendite alminuto,che hanno unimpennata indicembre.Lastagionalit`asiritrovanellafunzionediautocorrelazioneconvalorialtiaritardistagionali(k = 12, 24, 36...perseriemensili).Percatturaretalidinamicheoccorreestendereadeguatamentelaclassedeipro-cesssi ARIMA. Pu`o darsi il caso che le dierenze stagionali del processo, sYt= YtYts(s = 4, 12) siano non stagionali ed ammettano una rappresentazione ARIMA(p, d, q).Intal casosi dicecheYt`eintegratostagionalmentedi ordine1. Estendendotaleconcetto, Yt`eintegratostagionalmentedi ordineDseoccorreapplicareDvolteloperatores.UnprocessoARstagionaledelprimoordine `e:Yt= Yts +t, || < 1`efacilemostrarechelaFACassumelaforma: (k)=k/sperk=s, 2s, 3s, .., ed`ezeroaltrimenti. Lacondizionedi stazionariet`a`eovviamenteriferitaalleradicidelpolinomio(1 Ls)=(1 L)(1 + L + L2+ + Ls1). Ingenerale, ilmodello ARIMA pu`o essere generalizzato al ne di includere coecienti AR e MA aritardi stagionali. Tuttavia, la rappresentazione pi` u in auge ha natura moltiplicativaeconducealprocessoARIMA(p, d, q) (P, D, Q)s:(L)(Ls)dDsYt= +(L)(Ls)tdove (Ls) = 11Ls2L2s PLPs, `e il polinomio AR stagionale in LsdiordineP,e(Ls) = 1 +1Ls+2L2s+ +QLQs`e ilpolinomioMAstagionalediordineQ. Uncasodiparticolarerilevanza(perleserietemporalieconomiche)`eilcosidettoprocessoAirline: ARIMA(0, 1, 1) (0, 1, 1)s(1 L)(1 Ls)Yt= (1 + L)(1 + Ls)t,con || 0Infatti,quandoj> 0,ilmigliorprevisorelinearenondistortodeivalorifuturidit`elamediaincondizionata, T+j|T= E[T+j|FT] = 0.Lassunzione1implicachelintervallodi condenzaal 95%attornoal valoreprevisto `efornitoda:yT+l= yT+l|T 1.96[Var( yT+l|T)]1/2PrevisionedaunmodelloAR(1): yt= yt1 + t yT+1|T= E[yT+1|FT]= E[yT|FT] + E[T+1|FT]= yT; yT+2|T= E[yT+2|FT]= E[yT+1|FT] + E[T+2|FT]= E[(yT+ T+1)|FT] + E[T+2|FT]= 2yT;In generale, le previsioni seguono la formula ricorsiva yT+l|T= yT+l1|T, con va-lore iniziale (l = 0) pari allultimo valore osservato, yT. Nei termini di questultimo, yT+l|T= lyT.41Calcoliamooralavarianzadellerrorediprevisione:Var( yT+1|T) = E[(yT+1 yT+1|T)2]= E[(yT+T+1yT)2]= 2;Var( yT+2|T) = E[(yT+2 yT+2|T)2]= E[(2yT+ T+1 + T+2y2T)2]= 2(1 + 2);Var( yT+l|T) = E[(yT+l yT+l|T)2]= 2(1 + 2+ 4+ +2(l1));Pertanto,limlVar( yT+l|T) =21 2Previsione daunmodelloARIMA(0,1,1) Consideriamoil modelloyt=

t + t1: yT+1|T= E[yT+1|FT]= E[yT|FT] + E[T+1|FT] + E[T|FT]= yT+ t; yT+2|T= E[yT+2|FT]= E[yT+2|FT] + E[T+2|FT] + E[T+1|FT]= yT+1|T= yT+ t;Perl >1, yT+l|T= yT+l1|T=yT+ telafunzionedi previsione`ecostante. Siverica facilmente che se 1 < < 0 si eettua un livellamento esponenziale, vale adireilvaloreprevisto `eunamediaponderatadeivaloripassatidellaserie,conpesidecrescentisecondoiterminidiunaprogressionegeometricadiragione : yT+l|T= (1 +)T1

j=0()jyTjAnalogamentesidimostracheleprevisionidalmodello2yt= (1 + 1L + 2L2)tsono equivalenti a quelle dello schema di Holt & Winters, sotto particolari restrizionisuiparametri1e2.Esercizio: Calcolareleprevisionil = 1, 2, 3periodiinavantieettutateapartiredaimodellidiseguitoelencatiyt= 0.5 .7yt1 + t, t WN(0, .1)yt= 0.5 .7yt1 + t, t WN(0, .1)42yt= 0.2 + t + .4t1, t WN(0, .1)yt= 0.2 + t.4t1, t WN(0, .1)noto che yT= .40, yT1= .35 e T= 0.001, T1= 0.031. Calcolare inoltre la varian-za dellerrore di previsione.43Capitolo3Analisinonparametricadelleserietemporali3.1 LemediemobiliUna media mobile (mm) non `e altro che una media aritmetica semplice o ponderatadi k osservazioni consecutive della serie temporale. In maniera pi` u formale possiamodenirlacomeunatrasformazionelinearedellaseriechepu`oessererappresentatacomecombinazionelinearedellepotenzepositiveenegativedelloperatoreritardo,L.M=m2

i=m1wiLiPertanto,Myt= wm1ytm1 + + w0yt + + wm2yt+m2.Il numero delle osservazioni consecutive, m1 +m2 +1 `e denominato ordine dellamm. Unammsidicecentrataqualoram1= m2= m;intalcasoM= Lm(wm + wm+1L + +wmL2m) = Lmw(L)dovew(L)`eunpolinomiodi grado2minL, dettopolinomioassociatoallamm.Inoltre, unammcentrata`e simmetricase wi=wi, i =1, . . . , m; il polinomioassociato `esimmetricoeLmw(L) = Lmw(L1).Valgonoleseguentipropriet`a: a)lacomposizionediduemm `eancoraunamm;b) la composizione di due mm centrate `e ancora una mm centrata; c) linsieme dellemmsimmetriche `echiusorispettoallacomposizione.Nullit`adi unamediamobile Si chiamanullit` a(spazionullo) di unamediamobileMlinsiemedelleserietemporaliyttalicheMyt= 0:Myt= wmytm + + wmyt+m= 0, t44ovverow(L)yt=0. Gli elementi dellospazionullosonolesoluzioni dellequazionecaratteristica w(r) = 0. Esempio: si consideri la serie {1, 1, 1, 1, 1, 1}; la mediamobileasimmetrica(1 +L)ytgenera {NA, 0, 0, 0, 0, 0}.Invarianzaenucleo Unaserietemporale`einvarianterispettoallammMseesoloseMyt= yt;leserieinvariantisoddisfanoMyt= wmytm + + wmyt+m= ytesiottengonoasoluzionedellequazionealledierenzenite[w(L) Lm]yt= 0.Lammpreservaipolinomidigradononsuperioreapser=1`eunaradicedimolteplicit`a p+1 dellequazione caratteristica w(r)rm= 0. In tal caso il polinomio[w(L) Lm]contieneilfattorep+1.Si consideri adesempiom=2, wi=1/5, i =0, 1, 2; si ha[w(L) Lm] =(1/5)[(1 L2) +(L L2) +(L3L2) +(L4L2)] = (1/5)(1 L)2(1 +3L +L2),ilqualecontienelaradice1conmolteplicit`a2.Teorema Unammpreservaunaseriecostanteseesolosew(1) = 1,valeadirem

i=mwi= 1Teorema Unammsimmetricachepreservalacostantepreservaancheipolinomidiprimogrado. Siayt= a + bt;Myt= Ma + Mbt = a + bMt,maMt = wm(t m) + + w0t + wm(t + m) = t.Teorema Il nucleodi unacomposizionedi mediemobili `edatodallintersezionedei nuclei dellemmcomponenti. Pertantoil prodottodi duemmchepreservanoentrambeipolinomidigradononsuperioreappreservaancheessotalipolinomi.3.2 EettofaseedeettoampiezzaLapplicazionedi unamediamobileadunaseriedeterminadueeetti: si vieneamodicare lampiezzadelleuttuazioni (ades. i punti di massimoe di minimorisultano amplicati o attenuati) e si determina uno spostamento di fase, vale a direunospostamentodelloscillazionelungolassedeitempi.DatoilgenericoltrolineareW(L),sichiamafunzionedirispostafrequenzialeiltermineW(e)chesiottienesostituendoe= cos + sin aL.Leettorelativoallampiezza `emisuratodalguadagno(gain),ilcuiquadrato `edenominatofunzioneditrasferimento|W(ei)| = [W(ei)W(ei)]1/2.45Infatti, datalaserieyt, conspettrofy(), ladensit`aspettraledi W(L)yt`epari a|W(ei)|2fy(). Ilguadagno(olafunzioneditrasferimento)fornisceinformazioniimportanti sulloperativit`a del ltro;ad esempio se `e 1 attorno alle frequenze basse,la mm preserva il trend; se `e zero o prossimo a zero in un intorno di alcune frequenzeilltroeliminalecomponentioscillatoriecorrispondentiaquellefrequenze.Lafase `erappresentatadaPh() = arctan_W()W()_doveW() `elaparterealediW(e)mentreW() `elaparteimmaginaria.La categoria dei ltri bidirezionali simmetrici presenta limportante caratteristicadilasciareinalteratalaposizionedeipuntidisvoltadelleuttuazionidalmomentochelalorofase `enulla : infattiessiammettonolarappresentazioneW(L) = w0 +m

j=1wj(L + L1); W(e) = w0 + 2m

j=1wj cos jPertanto, la parte immaginaria della funzione di risposta `e nulla e la funzione di faseassume valore 0 (nessuno spostamento difase) o (inversione difase) se W(e) `enegativa (caso irrilevante). Il guadagno della media mobile `e in questo caso G() =|w0 + 2

mj=1wj cos j|.3.3 LeettodiSlutzky-YuleIl ltraggiodi unprocessot WN(0, 2) medianteunammMconduceadunprocessoMtconmedianullaevarianzaVar(Mt) = 2m

j=mw2jIl rapportoVar(Mt)/2rappresentail fattoredi inazionedellavarianza, cheseinferioreallunit`amisuraillisciamentoindottodallamm. IlprocessoMtsar`aoraautocorrelatoepresenter`aingenerale2mautocorrelazionidiversedazero.In relazione al ltro utilizzato possono prodursi ciclicit`a spurie evidenziate dallapresenza di un massimo relativo nella funzione di trasferimento del ltro. Ai ni delcalcoloapprossimatodel periodosi pu`outilizzarelaformula2/(arccos (1))dove(1)`elautocorrelazionearitardo1di Mt. Leettodi Slutzky-Yule`efunzionecrescentedelfattorediinazionedellavarianza.463.4 Polinomilocali;ltridiMacaulayUnaimportanteclassedimmsiottienedalladattamentodiunpolinomioa2h + 1termini consecutivi di unaserie; il polinomiostimatovieneutilizzatoper stima-re il trend nella modalit`a centrale. Dal momento che la stima dei coecientidel polinomio risulta lineare nelle osservazioni, anche la stima del trend linea-re. yt=m(t) + t, dovem(t + j) mt(j)(approssimazionepolinomialelocale),mt(j) = 0 + 1j + + pjp, j= h, . . . , h.Lobiettivo `e quello di ottenere un lisciamento (smoothing) della serie, rimuoven-doleuttuazioniirregolarieisolandounastimadeltrendovverodelvaloreattesodi yt. L idea di fondo `e che tale valore atteso varia debolmente nel tempo e che per-tantopossaessereapprossimato(nelsensodellapprossimazionediTaylordiordinep)localmentedaunpolinomio,checostituisceunafunzionedi tpiuttostolisciataeconderivatecontinuenoaduncertoordine.I coecienti wjdellammpossonoessereottenuti adattandoallaserieunpo-linomiolocale(suintervalli di lunghezza2h + 1)attraversolottimizzazionedi uncriteriochefariferimentoallafedelt`adellapprossimazione.minh

i=h[yt+j (0 + 1j + + pjp)]2Lastimadeltrendaltempotsiottienecome mt= b0,doveb0`elostimatoredi0edalmomentocheglistimatorideiMQsonolinearinelleosservazionisiha mt=h

j=hwjyt+j.Questaquantit`afornisceasecondomembroipesidiunammcentratachepreservalocalmenteunpolinomiodigradop. SesidenotaconClamatricedeldisegnoC=__1 h (h)2 (h)p1 (h 1) [(h 1)]2 [(h 1)]p......... ...1 0 0 0......... ...1 h 1 (h 1)2 (h 1)p1 h h2 hp__econy=[yth, . . . , yt+h]

, sottolipotesi t WN(0, 2), lostimatoredei minimiquadratiordinaridib = [b0, . . . , bp]

risultab = (C

C)1C

y;47icoecientidellammsonofornitidallaprimarigadellamatrice(C

C)1C

. mt= b0= e

1b = e

1(C

C)1C

y= w

ydovew

=e

1(C

C)1C

, e, denotandoconc(ij)il genericoelementodellamatrice(C

C)1siha mt=p

l=1c(1l)h

j=hjlyt+jdallaqualesievidenziac(11)= w0eingeneralewj= c(11)+ c(12)j + c(1p)jp=p

l=1c(1l)jlPertanto, mt= e

1b = e

1(C

C)1C

y= w

yPropriet`a:1. Lamediamobileottenutamediantequestoargomentopreservaovviamenteipolinomi di grado p: se infatti yt= m(t), con mt(j) = 0+1j + +pjp, j=h, . . . , h, allora mt=m(t): bastaporrey=C, =[0, . . . , p]

; segue mt= w

(Cb) = e1 = 0= yt. Sinotichew

C= e1implica:[h

j=hwj= 1,h

j=hjlwj= 0, l = 1, . . . , pepertantopreservatutti i polinomi di gradoinferioreap. Lasommadeicoecienti `eunitariaepertantovienepreservatalacostante.2. Simmetria: wj=wj; conseguedal disegnosimmetricodei punti temporalipresiinconsiderazione.3. I pesi giacciono su un polinomio di grado k. Si confronti la formula precedente,dovek= [p/2],dove[p/2] = p/2perpparie[p/2] = (p 1)/2perpdispari.Pertantosep = 0, 1ipesisonocostanti;perp = 2, 3giaccionosuunaretta4. Lemediecalcolateconriferimentoaipolinomidiordineparisonolestessediquellecalcolateperp + 1. Questodovutoalfattochelasommadellepotenzedisparidiieidenticamentenullapereettodellasimmetria.5.w

w =h

j=hw2j= e

1(C

C)1C

C(C

C)1e1= e

1(C

C)1e1= w0il primo elemento dellinversa che pari a w0 Il fattore di inazione della varianza`epariaw0(

w2i= w0)48Esercizio: dimostrarechesem=k, k=[q/2], dove[q/2] =q/2perqpari e= (q 1)/2perqdispari, (t) = ht(0) = yt.3.4.1 VarianzaedistorsioneDallateoriadei MQOVar( mt) =2w0dal momentocheil primoelementodellamatrice(CC)1corrispondeaw0. Perdatoq,sidimostrachelavarianzadecrescealcresceredim,mentreperdatomessacresceconk, k=[q/2], dove[q/2]=q/2perqparie=(q 1)/2perqdispari. Essapertantorimaneinalteratasesipassadal grado qpari al grado q +1. (questo si dimostra con il fatto che la mm e il trendestrattocoincidono).La distorsione `e nulla se E(yt) `e esattamente un polinomio di grado p, altrimentiE(ytmt) = h(t) m

i=mwih(t +i).Traladistorsioneelavarianzaesisteil trade-opercui allaumentaredi mdimi-nuiscelavarianzamaaumentaladistorsione.3.5 MediemobiliaritmetichesempliciUnammaritmeticasemplice`etalechewi=w=1/(2m + 1); essasi ottieneperp = 0, 1,valeadirequandoilpolinomiolocale `eunasemplicecostanteounaretta,nelqualcasoleequazioninormaliforniscono a0= (2m + 1)1

mi=myt+i.Le mm semplici possono essere anche derivate a soluzione del seguente problemadi ottimovincolato: minimizzareil coecientedi inazionedellavarianzasottoilvincolodisommaadunodeicoecienti:minm

i=mw2i, s.v.m

i=mwi= 1.Lasoluzionefornisceappuntowi= 1/(2m+ 1)(mediaaritmeticasemplice).Ilpolinomiocaratteristicoassociatoallamm `ew(L) =12m+ 1(1 + L + + L2m) =(1 L2m+1)(2m + 1)(1 L),elanullit` adellamm. `erappresentatadai processi periodici di periodo2m + 1(dispari).Il nucleodellamm`erappresentatodallesequenzecostanti elineari, manondaquellequadratiche: sesi considerainfatti yt=a + bt + ct2si hacheMyt=a + bt + ct2+ cm(m + 1)/3.49Ilguadagno `efornitodaG() =12m + 11 + 2m

i=1cos(i) =12m + 1sin(m+ 1/2)sin(/2)ed`enulloper =(2j)/(2m + 1), j =1, . . . , 2m. SeapplicataadunprocessoWN, il fattore di inazione dellavarianza`e pari a(2m+1)1e lafunzione diautocorrelazionediMt`eunalinearettainclinatanegativamente.3.5.1 ComponentestagionalediperiodospariLammaritmeticadiunnumeropariditermini(s = 4, 12)non`ecentratarispettoallamodalit`atemporalediriferimento. Possiamoinfatticostruireleduemm:y1t=12m(ytm + + yt+m1); y2t=12m(ytm+1 + +yt+m)conm = s/2. Alnediottenereunammcentrataintpossiamoprendereyt=12(y1t + y2t) =12m(.5ytm + yt+m+1 + +yt+m1 + .5yt+m)Ilpolinomioassociato `ew(L) = (2s)1(1 +L)S(L) = (2s)1(1 +L)s/(),conS(L) = 1 +L + +Ls1.3.6 ComposizionedimmaritmeticheLacomposizione di mmaritmetiche consente di derivare unafamigliadi mmdiagevolecalcolochecostituisconobuoneapprossimazioni di mmpi` usosticate. Adesempio, se desiderassimo una mm che preservi i polinomi di grado uno e che eliminiun pattern stagionale con ampiezza linearmente crescente, si pu`o applicare due volteunammastermini:M =1s(Ls+ + L + 1 + L1+ +Ls+1) 1s(Ls1+ + L + 1 + L1+ + Ls)=1s2(Ls+ 2Ls1+ + (s 1)L +s + (s 1)L1+ + 2Ls+1+ Ls)Ilpolinomiocaratteristico `eproporzionaleaS(L)2.Tuttavia, lemmaritmeticheconsentonodi preservarei polinomi di gradononsuperioreal primo. Lemmdi Spencersuperanoquestalimitazione. Inparticolareesse,puressendocaratterizzatedaunastrutturadicoecientimoltosemplice,eli-minanounacomponentestagionalediperiodosconampiezzavariabileinmanieralineare,etc..503.7 LisciamentoeltridiHendersonInunparagrafoprecedenteabbiamodesuntolemmaritmetichecomesoluzionedelproblemadimin w

wsottoilvincolow

i = 1. Uncriterioalternativo `ebasatosullaminimizzazione della forma quadratica w

w, dove w

= (wm, . . . , w0, . . . , wm e `euna matrice simmetrica e denita positiva. Nel caso delle medie mobili di Henderson = D3

D3,D`elamatricetalecheDw = (wm, wm+1wm, . . . , wmwm1)

.minm

i=m+3(3wi)2, s. v. C

w = cdoveivincolisonorelativiallapreservazionedeipolinomidiordinep.

iwi= 1,

ijwi= 0, j= 1, 2, . . . , p (3.1)Al nedi comprenderelanaturadei vincoli, consideriamounapolinomialediordinep:yt=p

j=1jttAnchesiaMyt=m

i=mwiyt+i=m

i=mwip

0j=1j(t + i)j,devonoesseresoddisfattelerelazioni(3.1). Illisciamentodellammvienemisuratodallasommadei quadrati delledierenzeterzedei coecienti; questaquantit`a`enullaseessisidispongonolungounaparabola.La soluzione `e fornita da w = 1C(C

1C)1c. Per p = 2, ponendo k = m+2:wi=315[(k + 1)2i2](k2i2)[(k + 1)2i2)(3k216 11i2)8k(k21)(4k21)(4k29)(4k225)Talimedienonelimininanolastagionalit`a,sebbeneperunasceltaopportunadimsenepu`oridurresignicativamentelampiezza.3.8 Iltrattamentodelleestremit`adellaserieIdueapprocci fondamentali peril trattamentodelleestremit`adellaseriesonodiseguitoschematizzati:1. Impiegodimediemobiliasimmetrichepert=T m + 1, . . . , Ta2m, 2m1, m + 1termini. Pertanto, gli ultimi mtermini dellaseriesonosoggetti arevisionequandounanuovaosservazionesirendedisponibile.2. Estrapolazione(eretropolazione)dellaserie: yT+l|T, l = 1, . . . , m.Seleprevisionisonolineariidueapproccisonoequivalenti.51Capitolo4Ladestagionalizzazionedelleserietemporali4.1 IntroduzioneLa stagionalit`a rappresenta una delle maggiori fonti di variabilit` a dei fenomeni azien-dali. Lasuarilevanzainducearitenerecheessasiadi autonomointeresse; tutta-via, esistonoargomenti sucientemente fondati edistituzionalmente riconosciutiche induconoadisolarlae rimuoverladaunaserie storicaal ne di evidenziaresegnali menoappariscenti, maaltrettantosignicativi dal puntodi vistainterpre-tativo,identicabiliconlacomponenteciclicaelacomponentedilungoperiodo,otendenziale.Unaproceduradi destagionalizzazione, comelaX-12-ARIMA, oggettodel pre-sentecapitolo, si fondasul presuppostochenonsussistanointerazioni tralecom-ponentidiunaserietemporale, edinparticolaretralastagionalit`aelealtrecom-ponenti; sottoquesteipotesi miraaeliminareunasovrastrutturadovutaafattoriistituzionali,dicalendarioeclimatici,legatiallalternarsidellestagioniediversidaquelli chepresiedonoallacomponentedi ciclo-trend, chepossonoesserelegati alleaspettative degli operatori, al clima economico prevalente, alla diusione delle inno-vazionitecnologiche,ecos`via. Ilgradodirealismoditaleassunzione`estatoed`etuttoraoggettodiunriccoedapprofonditodibattito.Unpuntofermorimanecomunqueil fattocheladisponibilit`adi informazionistatistico-economiche destagionalizzate costituisce unfabbisognoinformativodif-fuso, soprattuttodaparte degli utilizzatori menoesperti osemplicemente menointeressati allanalisi statisticadelleserietemporali, esanzionatodai regolamenticomunitari, cheinvitanogliIstitutidiStatisticadeipaesimembriaprodurreseriedestagionalizzateinmanieraroutinaria,secondodeterminatistandardqualitativi.Al ne di illustrare loperativit`a di una procedura di destagionalizzazione faremoriferimentoadunaseriemensilemoltofamosanellaletteratura, laserieAirline,52Figura4.1: DestagionalizzazionedellaserieAirline.50 55 60200300400500600Serie originaria50 55 6055.566.5Trasformazione logaritmica50 55 60200300400500Serie destagionalizzata50 55 60200300400500600Serie originaria e ciclo-trendairline TRairlinerelativaal numerodei passeggeri di unalineaaereanel periodoGennaio1941-Dicembre1961. Daessaprendeil nomeil modelloAirlineintrodottonel capitoloprecedente, dal momento che questo ben si adatta alla serie e in generale presenta unbuon adattamento per un ampio spettro di fenomeni economici che presentano trendestagionalit`a. Lagura4.1evidenzialapresenzadi untrendcrescenteedi unastagionalit`a abbastanza regolare, che tuttavia presenta un ampiezza delle oscillazionicrescenteal cresceredel trend: siamoinpresenzadi unasituazionetipicaincuilatrasformazionelogaritmicaeliminaquestaultimacaratteristica, comemostrailsecondopannello.IlmodellodellaclasseARIMAadattatoallaserierisulta:12 ln yt= (1 0.40L)(1 0.56L12)t,con 2=0.013, esuperatutti i testdiagnostici. Gli ulteriori pannelli dellagura4.1mostranorispettivamentelaseriedestagionalizzataottenutacomeoutputdellaprocedura X-12, che come vedremo usa il modello ARIMA soltanto strumentalmente,al ne di ottenere estensioni della serie mediante previsione, e la componente di ciclo-trend. Le due dieriscono dal momento che la prima contiene anche una stima dellacomponenteirregolare,fornendodunqueunsegnalemenolisciato.Quello che la serie destagionalizzata consente di evidenziare e che non era paleseaprimavista`elapresenzadi alcuneessioni cicliche, di naturatemporanea, inparticolarenellanno1958.534.2 LaproceduraX-12-ARIMALaproceduraX-12-ARIMA `estatasviluppatadalCensusBureaudegliStatiUniticonlintentodi sostituirelaversioneprecedente, notacomeX-11-ARIMA, cheharappresentatoalungolaproceduradi destagionalizzazioneimpiegatadasoggettiistituzionali. Essa,distribuitainviasperimentalemedianteilsitoftp://ftp.census.gov/pub/ts/x12a/,assiemealmanualeedalpaperillustrativo(Findleyetal.,1996),contieneelementidicontinuit` arispettoallaprecedenteversione,maanchefortipuntidirottura. Lanovit`aessenziale`erappresentatadal moduloRegARIMA, chevaasovrapporsi alnucleooriginaledellaproceduraX-11-ARIMAecheriportasubasi inferenziali iltrattamentodiaspetticheprecedentementericevevanosoluzioniadhoc.Inparticolare,RegARIMAconsentediadattareallaserieYtmodellideltipo(L)(Ls)dDs_ytK

k=1kxkt_ = (L)(Ls)t, (4.1)doveyt= f(Yt/dt) `elatrasformazionediBox-CoxdellaserieYtcorrettadeifattoridt(ades. perildiversonumerodeigiornilavorativi).Levariabiliesogenexksonoa)predenite;b)denitedallutente. Traleprimetroviamo,oltrealledummystagionali,quelleperladiversalunghezzadeimesi,perleettodegli anni bisestili, peril numerodei giorni lavorativi, distintamentepervariabili di ussoe di stock, per laPasquae altre festivit`amobili; per i valorianomali additivi, cambiamenti di livello, rampetemporanee. Inoltre, per quantoconcerneil trattamentoautomaticodei valori anomali, si assisteallintroduzionedelleprocedurediforwardadditionebackwarddeletion.Findleyet al. (1996)descrivonoleproceduredi selezionedellatrasformazionepreliminare della serie, del modello ARIMA (nel caso si usi lopzione automatica), distima dei parametri, etc.. Queste operazioni rientrano nella metodologia standard enon vengono discusse ulteriormente. In eetti, RegARIMA costituisce un pacchettoapplicativochepu`oessereutilizzatoautonomamenteperlidenticazione, stimaeverica di modelli ARIMAX secondo la metodologia di Box & Jenkins, trascendendodallimpiegofunzionaleallestrapolazionedellaserieperlapplicazioneinsequenzadelltroX-11-enhanced.Dopo aver realizzato laggiustamento preliminare e la previsione e retropolazionedellaserie, si applicaunaversionearricchitadel ltroX-11cheverr`adescrittainmanierapi` uapprofonditanei paragracheseguono. Larricchimentohariguarda-tolapossibilit`adi specicaremediemobili di Hendersonestagionali di qualsiasilunghezza, laridenizionedellemediemobili asimmetricheelintroduzionedellascomposizionepseudo-additiva.54Si noti che X-12, incorporandoil moduloX-11, consente limpiegodelle pre-esistenti tecniche di aggiustamento per i valori anomali e per le componenti dicalendario,seppureilloroimpiegoappareovviamentenonopportuno.La fase di diagnosi della bont`a della destagionalizzazione conclude la procedura.Inrealt`avieneevidenziatounfeedbackconlefasi precedenti, poichealcuni eettipotrebberoessereindividuati soltantoinquestasede. Gli strumenti diagnostici dinuovaintroduzione sono: sliding spans, revisionhistories, lastimadelladensit`aspettraledei residui del modelloregARIMAperlindividuazionedellastagionalit`aresiduaedellecomponentidicalendario.4.3 Illtrodidestagionalizzazione(EnhancedX-11)I modelli di scomposizione della serie storica Yt, t =1, . . . , T, utilizzati dallaprocedurasonoiseguenti:Modello Scomposizione SeriedestagionalizzataMoltiplicativo(default) Yt= TtStItAt= TtItAdditivo Yt= Tt + St + ItAt= Tt +ItLog-additivo ln Yt= Tt + St + ItAt= exp(Tt +It)Pseudo-additivo Yt= Tt(St + It1) At= TtItLa scomposizione pseudo-additiva `e applicabile nei riguardi di serie che assumonovaloricomunquenonnegativi, maprossimiallozeroinalcunestagioni. Ilmodellolog-additivo fornisce stime della componente tendenziale distorte verso il basso;pertalemotivosiapplicaunacorrezioneadhocattaadassicurarechelamediaannuadellaseriedestagionalizzatacoincidaconquelladellaserieoriginaria.Nellaschematizzazionedel ltrocheseguepresenteremounaesemplicazioneriferita ai modelli moltiplicativo (M) e additivo (A) applicati su dati mensili, s = 12.LaproceduraX-11risultadivisaintrefasied`eiteratatrevolte,(iterazioniB,C, D): le prime due iterazioni sono dedicate allidenticazione e alla stima nale deivalori anomali, nel casoincui laggiustamentopreliminarenonsiaeettuatoconregARIMA; lultimaalladestagionalizzazioneinsensostrettosullaseriecorretta1.Di seguitodescriveremoesclusivamenteliterazioneD; i riferimenti utilizzati sonoprevalentementeFindleyetal. (1996)eGhyselsetal. (1995).1In realt`a una prima iterazione, A, `e dedicata allaggiustamento preliminare della serie eettuatacon pesi a priori per i diversi giorni di calendario specicati dallutente.554.3.1 Primafase: stimeiniziali1. Stima iniziale del trend-ciclo, T(1)t, mediante media mobile centrata a 12termini(m.m. 2 12):T(1)t= C(L)Ytcon C(L) =124(1+L)S(L)L6=112_12L6+ L5+ + L1+ 1 +L + +L5+12L6_Yt.La media mobile in questione elimina una stagionalit`a deterministica diperiodoparia12mesi,preservandolealtrecomponenti.2. Stimainizialedellacomponentestagionale-irregolare, SI(1)t, (rapporti-odif-ferenze-SI):(M) SI(1)t=YtT(1)t(A) SI(1)t= YtT(1)t= SM(L)YtdoveSM(L) = 1 C(L).Ladivisioneosottrazionedellastimapreliminaredeltrendciclofornisceunastimainizialedellacomponentestagionale-irregolare.3. La serie SI(1)t`e suddivisa in 12 gruppi mensili. Si procede a perequare i rappor-ti applicandovi una media mobile a 5 termini (m.m. 3 3) separatamente perciascunmese,dandoluogoadunastimapreliminaredeicd. fattoristagionali(seasonal factors),S(1)t= M1(L)SI(1)tconM1(L) =19(L12+ 1 + L12)2=19L24+29L12+39+29L12+19L24.Le medie mobili mirano a eliminare la componente irregolare dalla componentestagionale-irregolare.4. Si ottengonoi fattori stagionali iniziali, S(1)t, lecui sommeannuali sonoparirispettivamentea12(M)eazero(A).(M) S(1)t=S(1)tC(L)S(1)t(A) S(1)t= SM(L)S(1)tQuestaoperazioneeettualacentraturadeifattoristagionali.565. Stimainizialedellaseriedestagionalizzata,A(1)t:(M) A(1)t=YtS(1)t(A) A(1)t= YtS(1)tLadivisione per i fattori stagionali (M) olasottrazione dei medesimi (A)generaunastimadellaseriedestagionalizzata.4.3.2 Secondafase: fattoristagionaliedestagionalizzazione1. Lastimaintermediadellacomponentetrend-ciclo,T(2)t,vienecalcolataappli-candounam.m. diHendersonallaserieA(1)t;T(2)t= Hm(L)A(1)tconHm(L) = hmLm+ +h1L1+ h0 + h1L + + hmLm.Il ltrodi Hendersonriproduceuntrendcubicoepu`oesserederivatoequi-valentemente: (a)minimizzandolavarianzadelledierenzeterzedellaserieltrata (3T(2)t); (b) minimizzando la somma dei quadrati delle dierenze ter-ze dei coecienti della media mobile;(c) adattando alla serie un trend cubicoconi minimi quadrati ponderati, minimizzandolasommadei quadrati delledierenze terze dei pesi. Cfr Kenny & Durbin, 1982, JRSS, A, 145. Vedi ancheKendall 1973. I valori tipici di m sono 4, 6 e 11, dando luogo a m.m. di 2m+1termini. Icoecientihjpossonoesserericavatidallapplicazionedellalgorit-mopresentatoinFindleyetal. (1996,AppendiceA):essisonoriportatinellatabella1peralcunivaloridim.La scelta di m`e resa automatica dalla procedura Variable Trend Cycle Routine:siconsiderainizialmentem = 6,T(2)t= H6(L)A(1)t;ilrapportoIt= A(1)t/T(2)t,oladierenzaIt= A(1)tT(2)t,rappresentaunastimapreliminaredellacom-ponenteirregolare. DenotandoconTlamediacampionariadi |Tt| econIquella di |It|, si costruisce il rapporto R =T/I, che rappresenta una misura,anche se abbastanza rozza, di lisciamento del trend (R1misura di roughness);laroutinescegliem = 4seR1< 1.0em = 6se1.0 R1< 3.5.2. NuovastimadeirapportiSI:(M) SI(2)t= Yt/T(2)t(A) SI(2)t= YtT(2)t3. Conriferimentoai 12gruppi mensili dei rapporti SIsi calcolanostimepreli-minarideifattoristagionali,S(2)t,mediantemediamobile3 5:S(2)t=115(L36+ 2L24+ 3L12+ 3 + 3L12+ 2L24+ L36)SI(2)t= M2(L)SI(2)t57Pesij m = 4 m = 6 m = 8 m = 110 .33114 .24006 .18923 .144061 .26656 .21434 .17639 .138322 .11847 .14736 .14111 .121953 -.00987 .06549 .09229 .097404 -.04072 .00000 .04209 .068305 -.02786 .00247 .038936 -.01935 -.01864 .013437 -.02037 -.004958 -.00996 -.014539 -.0156910 -.0109211 -.01453Tabella4.1: FiltrodiHenderson: pesihjperlem.ma9,13,17e23terminidoveM2(L) =115(L12+ 1 +L12)(L24+ L12+ 1 + L12+ L24)Lopzionedefaulteettualasceltadellamediamobile3 r, r=3, 5, 9, inmaniera`e automatica, mediante il sottoprogrammaSeasonal-Factor CurveRoutine:(a) Si calcola una m.m. a 7 termini dei rapporti SI(2)tmese per mese, S(p)t=M2(L)SI(2)t, considerandogli anni per i quali si dispone di unset dirapporticompleto.(b) Si ottienelastimadellacomponenteirregolare, I(p)t, dal rapportoodif-ferenzatraSI(2)teS(p)t.(c) Separatamente per ciascun mese si calcola il cd Moving Seasonality Ratio,MSR,fornitodalrapportotralamediaaritmeticadi |I(p)t|equelladi|S(p)t| (MSR rappresenta dunque una misura di roughness del patternstagionale), e la scelta di r `e eettuata come segue: r = 3 se MSR 2.5;r =5se 3.5 MSR 5.5; r =9se MSR 6.5; negli altri casisirideterminaMRSescludendolultimoannodiosservazioni;senessuncriterio `e applicabile si continua con lesclusione di un anno alla volta noad un massimo di cinque, e se non si ottiene una risposta si prende r = 5.584. Sieettualacentraturadeifattoristagionali:(M) S(2)t=S(2)tC(L)S(2)t(A) S(2)t= SM(L)S(2)t5. Destagionalizzazione:(M) A(2)t= Yt/S(2)t(A) A(2)t= YtS(2)tLastimapreliminaredellacomponenteirregolaresiconseguerispettivamentecomeI(2)t= A(2)t/T(2)teI(2)t= A(2)tT(2)t.4.3.3 Terzafase: stimanaledellecomponenti1. Lastimanaledellacomponentetendenzialevienecalcolataapplicandounam.m. diHendersonallaserieA(2)t;T(3)t= Hm(L)A(2)tLordine del ltro viene determinato ex novo dalla variable trend cycle routine,laqualeoraconsentelasceltam = 11qualoraR1 3.5.2. Lastimanaledellacomponenteirregolare `efornitaripettivamenteda I(3)t=A(2)t/T(3)teI(3)t= A(2)tT(3)t.Lascomposizionenalerisulta:(M) Yt= T(3)tS(2)tI(3)t(A) Yt= T(3)t+ S(2)t+ I(3)t4.4 Lepropriet`ateorichedelltroPrescindendo dal trattamento dei valori anomali e dalla limitazione temporale dellaserie,cherichiedelamodicadeiltrialleestremit`adellaserie,illtroX-11 `eunasequenzadi mediemobili ched`aluogoadunltrolineare2applicatoaYt, lecuipropriet`asonostateapprofonditeneldominiotemporaleefrequenziale.Sebbene dal punto di vista operativo la scomposizione moltiplicativa sia utilizzatapi` u di frequente, le propriet`a del ltro sono state investigate nel caso additivo (Wallis,2Per una diversa opinione si veda Ghysels et al. (1996).591974,GhyselsePerron,1993). Ovviamente,irisultatipossonoessereestesialcasomoltiplicativo,viailcasolog-additivo.SeguendolapprocciodiGhyselsePerron(1993),scriviamo:A(2)t= X11(L)YtdoveX11(L) = 1 SM(L)M2(L) +SM(L)M2(L)Hm(L) SM3(L)M1(L)M2(L)Hm(L)Analogamente,possonoesseredesuntiiltriperlestrazionedellecomponenti:T(3)t= Hm(L)X11(L)YtS(2)t= [1 X11(L)]YtI(3)t= [1 Hm(L)]X11(L)YtDa ciascuna di queste rappresentazioni `e possibile derivare i pesi applicati alla serieYt per estrarre la componente; inoltre, la funzione di trasferimento del ltro consentela comprensione degli aspetti principali delloperativit`a del ltro. Se wjrappresentail pesoassociatoal j-esimoritardo, il guadagnodel ltro`edatodaG()=w0 +2

Jj=1wj cos(j).Legure1e2mettonoinlucetreaspettifondamentalidelltro:il ltro `e relativamente insensibile a variazioni della lunghezza delle medie mo-bili fondamentali; il ltro `e pertanto adhoc e non si adatta alle caratteristichedellaserie,dandoluogoallapossibilit`adisovraosottoaggiustamento;illtronon`eidempotente: seapplicatoallaseriedestagionalizzatageneralacomponentestagionaleSt=[1 X11(L)]X11(L)Yt =[1 X11(L)]Yt=S(2)t;illtropu`oestrarrestagionalit`aspuria.Al ne di illustrare la scarsa essibilit`a del ltro, consideriamo il problema di de-stagionalizzarelaseriemensiledifonteISCOBDIGENGScherappresentaillivellodegli ordini e della domanda dallinterno per il totale industria (saldi). La serie vienepresentata nella gura 4.4 assieme allo pseudospetto in decibels (10log10f()) sti-mato con una nestra di Daniell, che mette in evidenza, tra laltro, la concentrazionedipotenzaattornoallefrequenzestagionali.LaggiustamentostagionalerealizzatodallaproceduraX-12vienemessoacon-frontoconquelloeettuatodaSEATSapartire dal modelloARIMA(3, 1, 0) (1, 0, 0)12. LasceltadellordinedelpolinomioARnonstagionale(p = 3) `eimpostadai limiti di SEATS; ladiagnosticaforniscecomunqueunquadrosostanzialmente60accettabile. Il coecienteARstagionale`epari a-.57esottintendeunmodellodistagionalit`astazionario. LaproceduraX12`estataapplicataconlaspecicazioneadditiva.Il graco delle serie destagionalizzate ed il loro pseudospettro sono riportate nel-lagura4.4; si noti cheil patternstagionaleestrattodaX12`enotevolmentepi` ustabiledi quelloestrattodaSEATS. Lopseudospettrometteinlucecheil primodominailsecondo, conlaconseguenzachelaseriedestagionalizzataconSEATSsipresenter`api` uliscia(FroebeKoyak, 1995)echeil fenomenodellasovraddieren-ziazione, percepibiledai minimi relativi allefrequenzestagionali, haunarilevanzaminoreperSEATS.4.5 CorrezionedeivalorianomalinellX-11La correzione dei valori anomali costituisce una delle fonti di non linearit`a del ltroX-11. Sebbenetaleoperazionepossaessereeettuatainviapreliminareallappli-