EC2 base.pdf

7/28/2019 EC2 base.pdf

1/154

30/11/2012

1

LaboratoireMatriaux etDurabilit desConstructions

INSA - Universit Paul Sabatier - Toulouse - France

135, Avenue de Rangueil 31077 Toulouse Cedex 4 France

BETON ARMEEurocode 2

S. Multon

Centre Gnie Civil

PLAN1. Gnralits et principe des vrifications2. Association Acier - Bton3. Traction Simple4. Compression Simple5. Flexion Simple

6. Effort tranchant7. Poutres en T8. Poutres continues9. Dalles10. Mthodes des bielles et des tirants (semelle

superficielle, poutre voile, console)11. Flexion Compose12. Flche


2/154

30/11/2012

2

Bibliographie

- Thorie et pratique du bton arm aux tats limites , M. Albigs et M.Mingasson, Eyrolles.- Pratique du BAEL 91, J. Perchat, J. Roux, Ed. Eyrolles- Prcis : Structures de Gnie-Civil (projets, dimensionnements, normalisation), D.Didier, M. Le Brazidec, P. Nataf, R. Pralat, G. Simon, J. Thiesset, Ed. Nathan.- Bton Arm : Guide de calcul, H. Renaud, J. Lamirault, Ed. Foucher.- Bton Arm, J-P. Mougin, Eyrolles.- Bton arm aux tats limites selon ladditif du BAEL 91, J. Ouin, EL Educalivre.

- Cours de Bton Arm de B. Capra, universit de Marne la Valle,

- Cours de J-L. Clment, ENS de Cachan,- Cours du CNAM de M. Lorrain et D. Morin.

Bibliographie

- Bton arm BAEL et Eurocode 2., J. Perchat, Techniques de lIngnieur.- Pratique de lEurocode 2, J. Roux, Eyrolles- Matrise de lEurocode 2, J. Roux, Eyrolles- Bton arm Thorie et applications selon lEurocode 2, J-L. Granju, Eyrolles

- Calcul des structures en bton, Eurocode 2, J-M. Paill, Eyrolles- Applications de lEurocode 2 : calcul des btiments en bton, J-A. Calgaro, J.Cortade, Presses de lcole nationale des Ponts et chausses.- Construction et calculs des structures de btiment, Tomes 3 et 7, H. Thonier,Presses de lcole nationale des Ponts et chausses.- Dimensionnement des constructions selon lEurocode 2 laide des modlesBielles et Tirants, J-L. Bosc, Presses de lcole nationale des Ponts et chausses.

- Travail de fin dtude ESTP : Document dapplication pratique de lEurocode 2,A. Delafond, Tuteur : J-L. Sellier (SOCOTEC)


3/154

30/11/2012

3

Juin 2012 Bton Arm - S. Multon 5

EUROCODE 2

Gnralits et principe desvrifications

6

PLAN

1. Prsentation des Eurocodes

2. Principe des justifications

3. Actions et sollicitations4. Matriaux

5. Hypothses de calcul ELU-ELS

6. Classes dexposition et enrobage


4/154

30/11/2012

4

7

1. Les EurocodesObjectifs :

- favoriser le dveloppement du march uniqueeuropen pour les produits et les services dingnierie(suppression des obstacles dus des pratiquesnationales codifies diffrentes)

- amliorer la comptitivit de lindustrie europenne

8

1. Les Eurocodes

10 textes :EN 1990 : Bases de calcul des structuresEN 1991 : Actions sur les structures (EC1)

EN 1992 : Structures en bton (EC2)EN 1993 : Structures en acier (EC3)EN 1994 : Structures mixtes acier-bton (EC4)EN 1995 : Structures en bois (EC5)EN 1996 : Structures en maonnerie (EC6)EN 1997 : Calcul gotechnique (EC7)EN 1998 : Rsistance au sisme (EC8)EN 1999 : Structures en aluminium (EC9)


5/154

30/11/2012

5

9

2. Principe des justifications Calcul aux tats Limites (EL)

tat Limite : tat dune structure au-delduquel sa fonction nest plus remplie.

2 types :

tat Limite de Service (ELS)tat Limite Ultime (ELU)

10

ELS : lis aux conditions normalesdexploitation, et de durabilit en service

Dformations Vibrations

Fissuration (corrosion)

Critres de calcul :

Vrification de contraintesadmissibles et douverturede fissures

Comportement linaire desmatriaux (lasticit) avecdes charges non pondres



6/154

30/11/2012

6

11

ELU : Capacit portante, scurit des bienset des personnes

Perte dquilibre statique

Rupture des sections

Instabilit de formes

Critres de calcul :

Vrification dedformations admissibles

Comportement non linairedes matriaux avec descharges pondres


12

Paramtres influenant la scurit : matriaux : incertitude sur la valeur des rsistances

(htrognit, dispersion)

charges : valeurs des actions sexerant surlouvrage, simultanit des diffrentes actions.

modles de calcul : calcul RdM en lasticit=> comportement rel diffrentdu comportement modlis

Mthode de calcul (aux EL) semi-probabilisteavec coefficients partiels de scurit



7/154

30/11/2012

7

13

ActionsFF : Action applique la structure

- actions permanentes reprsentes par une valeurcaractristique Gk(variabilit souvent faible reprsentationpar valeur moyenne)

- actions variables Qkreprsentes par une des 3 valeursreprsentatives : la valeur de combinaison : 0 Qk, la valeurfrquente 1 Qket la valeur quasi frquente 2 Qk


14

Rsistances

R : Rsistances des matriaux (fe,fcj,ftj)

RRk

N

R

5 %


rsistance caractristique dfini par un fractile de 5%(prconis par lEC0)


8/154

30/11/2012

8

15

Valeurs de calcul2. Principe des justifications

Valeur de calcul des actions :

Valeur de calcul des rsistances :Rd= Rk/R

Fd= F.Fk

16

Vrifications : la valeur de calcul de leffet des actionsdoit tre infrieure la valeur de calcul de la rsistancecorrespondante

( )

b

tj

b

cj

S

ediii

fffRFE

d

,,.



9/154

30/11/2012

9

17

3. ActionsDfinitions des actions dans les btiments EN 1991 Partie 1Partie 1-1 : actions permanentes G, exploitation QPartie 1-2 : actions sur les structures exposes au feuPartie 1-3 : charges de neigePartie 1-4 : actions du ventPartie 1-5 : actions thermiquesPartie 1-6 : actions en cours de constructionPartie 1-7 : actions accidentelles

18

3. ActionsActions permanentes G (NF-EN 1991-1-1) : intensitsfaiblement variables (poids propre, poids des superstructures,pousse des terres...) Annexe A EC1-1.


10/154

30/11/2012

10

19

3. ActionsCharges dexploitation des btiments Q (NF-EN 1991-1-1, 6.3) : prend en compte lusage normal, des objets mobiles,des vhicules, des vnements rares prvus (concentration depersonnes, empilage de mobilier)

La charge concentre Qk doit tre considre comme agissant en un pointquelconque du plancher, du balcon ou des escaliers, sur une surface de formeadapte (valeur recommande : aire carre de 50 mm de ct), en fonction del'usage et du type de plancher et gnralement non cumulable avec la chargerpartie.

Les surfaces charges doivent tre calcules en utilisant les valeurscaractristiques qk (charge uniformment rpartie) et Qk (charge concentre).

20

Charges courantes pour les planchers, aires de stockage et airesde circulation, en fonction de diffrentes catgories :

Nature des locaux Catgorie de la surface qk (kN/m) Qk (kN)

Habitation A

Planchers 1,5 2

Escaliers 2,5 2

Balcons 3,5 2

Bureaux B 2,5 4

Lieux de runion

C1 Espaces avec tables (coles, cafs) 2,5 3

C2 Espaces avec siges fixes 4 4

C3 Espaces sans obstacles lacirculation des personnes

4 4

C4 Espaces avec activits physiques 5 7

C5 Espaces avec foules importantes 5 4,5

CommercesD1 Commerces de dtail 5 5

D2 Grands magasins 5 7

3. Actions

cf. EC1-1 article 6.3 et AN pour complments


11/154

30/11/2012

11

21

aires de stockage (E) et garage (F et G)

NatureCatgorie de la surface qk

(kN/m)Qk(kN)

Aire de stockage E1Surfaces susceptibles de revoir uneaccumulation de marchandise, y comprisaires daccs

7,5 7

Aire de circulation et destationnement pourvhicules lgers

F PTAC < 30 kN, nb de places assises < 8 2,25 15

Aire de circulation et destationnement pourvhicules de poids moyen

G 30 kN < PTAC < 160 kN 2 essieux 5 90

3. Actions

22

Sur les toitures

NatureCatgorie de la surface qk

(kN/m)Qk(kN)

Toitures inaccessibles sauf pour entretien de

rparations courants H

Toitures de pente < 15%recevant une tanchit

0,8 1,5

Autres 0 1,5

Toitures accessibles pour les usages A D I Valeurs en fonction de leur usage

Terrasses accessibles pour usages particuliers K Valeurs en fonction de leur usage

Pour la catgorie K, on considre que la charge rpartie sapplique surune surface de 10 m.

3. Actions


12/154

30/11/2012

12

23

Coefficients de rduction horizontale A pour planchers ettoitures (EC1 6.3.1.2 et AN) :

17

5 00 +=

A

AA 177,0

0 +=A

AA

EC1 (expressionsrecommandes)

ANF

A0 = 10 m A0 = 3,5 m

3. Actions

0 : coefficient de combinaisondes actions variables

Surface de catgories A, B, C3, D1 et FSurface de catgories A E

24

Coefficients de rduction verticale n pour poteaux et murs(EC1 6.3.1.2 et AN) : ce coefficient sapplique toute la charge desniveaux situs au-dessus,n est le nombre dtage (>2) au-dessus des lmentsstructuraux chargs et de la mme catgorie

( )1

22 0 +

=n

nnn

nn

36,15,0 +=

EC1 (expressionsrecommandes) ANF

nn

8,07,0 +=

3. Actions

Surface de catgorie A

Surface de catgorie B et F

Surface de catgories A D

EC1 3.3.2(2) : Lorsque la charge d'exploitation est considre comme une actiond'accompagnement, un seul des deux facteurs et n doit tre appliqu.


13/154

30/11/2012

13

25

Combinaison daction lELU de rsistance

G = 1,35 si G dfavorable 1 si favorable

Q,1 = 1,5 (charge dominante et charge daccompagnement)

>

++1

ik,i0,1,k,11,k Q.QGi

QQG

3. Actions

26

>

++1

ik,i2,k,11,1k QQGi

Combinaisons daction lELS

>

++1

ik,i0,k,1k QQGi

caractristique :

frquente :

quasi permanente :

+1

ik,i2,k QGi

(valeur frquentes : 0 = 0,7 1111= 0,5= 0,5= 0,5= 0,5 2222= 0,3= 0,3= 0,3= 0,3 vrifierau cas par cas dans lEC0)

3. Actions


14/154

30/11/2012

14

27

EC2 retient 3 types dacier : Classe A : acier ductilit normale uk 2,5% (lamin froid ou

trfil)

Classe B : acier haute ductilit uk 5% (lamin chaud)

Classe C : acier trs haute ductilit uk 7,5%

EC2 se limite aux aciers de limite lastique infrieure ougale 600 MPa

4.1 Matriaux : Acier

28

Diagrammes contraintes - dformations

4.1 Matriaux : Acier

Diagramme palier inclin(pour aciers A et B)

Diagramme palier horizontal

s

s

fyd = fyk/s

Es

se = fyd/ Es

dformationnon limite

plus delimitation enpivot A

s

s

fyd = fyk/s

Es

se = fyd/ Es

Es = 200000 MPa

ud = 0,9uk

k.fyk/s

k donn enAnnexe C: 1,05 (A) et 1,08 (B)


15/154

30/11/2012

15

Tableau des sections dacier

30

a) Classe de rsistance dsigne par C 25 / 30 (fck sur cylindres etsur cubes)

4.2 Matriaux : Bton

b) Rsistance de calcul en compression : fcd = ccfck/c (c = 1,5)

c) Diagrammes contrainte-dformation : 3 types proposs pour lescalculs de section (parabole rectangle ou 2 diagrammes simplifis : bi-linaire ou rectangle EC2 3.1.7)

= 0,8 et = 1,0 pour fck 50 MPa

= 0,8 (fck 50)/400

= 1,0 (fck 50 )/200 pour 50


16/154

30/11/2012

16

31

avec fcm (t) = cc (t) fcm

o sest un coefficient qui prend les valeurs :

0,20 pour les ciments CEM 42,5 R, CEM 52,5 N, CEM 52,5 R ;0,25 pour les ciments CEM 32,5 R, CEM 42,5 N ;0,38 pour les ciments CEM 32,5 N.

(t en jour)

fcm : rsistance moyenne en compression 28 j

d) Rsistance caractristique la compression sur cylindres en fonctiondu temps : fck= fcm - 8 (EC2, 3.1) en MPa

4.2 Matriaux : Bton

( )

=

2/128

1expt

stcc

32

Valeur moyenne : Valeur infrieure de la rsistance caractristique : Valeur suprieure de la rsistance caractristique :

3/2.30,0 ckctm ff =

ctmctk ff .7,005,0 =

ctmctk ff .3,195,0 =

e) Rsistance caractristique la traction (fck < 50 MPa, EC2, 3.1) :

4.2 Matriaux : Bton

f) Module dlasticit :

Ecm = 2 2 [ (fcm )/10]0,3 (fcm en MPa) en GPa

valables pour un bton de granulats de quartzite g de 28 jours, valeurs rduire de 10 %pour des granulats calcaires, de 30 % pour des granulats issus de grs et augmenter de20 % pour des granulats issus de basalte (EC2 3.1.3(2))

module instantan :

module diffr : Ec, eff= Ecm/(1+(, t0))

voir le h) concernant le fluage pour la dfinition de


17/154

30/11/2012

17

33

g) Retrait (EC2, 3.1.4)

4.2 Matriaux : Bton

dans les btiments, les effets de la temprature et du retrait peuvent tre ngligsi (EC2, 2.3.3 et AN), des joints espacs de djoint sont prvus :

djoint 25 m : dpartements proches de la Mditerrane

djoint 30 35 m : Est, Alpes et massif central

djoint 40 m : rgion parisienne et Nord,

djoint 50 m : Ouest de la France

Le Tableau 3.1 de lEC2 donne directement les valeurs les diffrentescaractristiques du bton (traction, module, dformation limite) enfonction de sa classe.

34


4.2 Matriaux : Bton

La dformation totale de retrait cs est gale : cs = cd + ca

cd: retrait de dessiccation volue en fonction du temps :cd(t) =ds(t, ts) kh cd,0

kh : coefficient dpendant du rayon moyen h0 (Tableau 3.3)

cd,0 : retrait de dessiccation non gn (Tableau 3.2)

( )( )

( ) 3004,0,

htt

tttt

s

s

sds

+

=

test l'ge du bton l'instant considr, en joursts est l'ge du bton (jours) au dbut du retrait de dessiccation (en gnral la fin de la cure).h0 est le rayon moyen (mm) de la section transversale = 2Ac/uavec :Ac aire de la section du btonu primtre de la partie de la section expose la dessiccation.


18/154

30/11/2012

18

35


4.2 Matriaux : Bton

36


4.2 Matriaux : Bton

ca : retrait endogne volue en fonction du temps :

ca(t) =as(t) ca ()

ca () = 2,5 (fck 10).10-6

as(t) =1 exp ( 0,2.t0,5)ttant exprim en jours.


19/154

30/11/2012

19

37

h) Fluage (EC2, 3.1.4)

4.2 Matriaux : Bton

- Dformation de fluage du bton linstant t= , sous une contrainte decompression constante c 0,45fck(t0) applique lge du bton t0 (fluage linaire) :

cc(,t0) = (,t0). (c/Ec)

Ec : module tangent (peut tre pris gal 1,05Ecm)(,t0) Figure 3.1

- Dformation de fluage du bton linstant t= , sous une contrainte decompression constante c > 0,45fck(t0) applique lge du bton t0 (fluage nonlinaire) :

cc(,t0) = (, t0) exp (1,5 (c/fcm(t0) 0,45)) . (c/Ec)

Rem. : pour volution de la dformation de fluage en fonction du temps EC2, Annexe B

38

t0 : ge du bton au moment duchargement, en joursh0 : rayon moyen = 2Ac/u, oAc estl'aire de la section transversale dubton et u le primtre de la partie

expose la dessiccation

Classe R : CEM 42,5 R, CEM 52,5 N et CEM 52,5 RClasse N : CEM 32,5 R, CEM 42,5 NClasse S : CEM 32,5 N

( )0, tCalcul de


20/154

30/11/2012

20

39

Hypothses gnrales :

- Principe de Navier-Bernoulli : au cours des dformations, lessections droites restent planes et conservent leurs dimensions,

- La rsistance du bton tendu est nglige

- Adhrence parfaite entre lacier et le bton : au contact entrele bton et les armatures : s = c

5. Hypothses de calcul

40

Dfinition de classes dexposition (EC2 Tableau 4.1) / durabilitdu bton

Dsignation de la classe / aux conditions d'environnement : Exemplesinformatifs illustrant le choix des classes d'exposition

1. Aucun risque de corrosion ni d'attaque (X0)2. Corrosion induite par carbonatation (XC1, 2)3. Corrosion induite par les chlorures (XD1, 2)4. Corrosion induite par les chlorures prsents dans l'eau de mer (XS1, 2)5. Attaque gel/dgel (XF1, 2)6. Attaques chimiques (XA1, 2)

5.1 Vrification lELS


21/154

30/11/2012

21

41

1) Limitation de la compression du bton

0,6fck vrifier pour certaines classes dexposition (XD, XF, XS) faire sous la combinaison caractristique (G + Q + 0,7Q2)

2) Limitation de la contrainte dans lacier

pour viter une fissuration excessive du bton, EC2 recommande delimiter la contrainte dans les aciers 0,8fyk pour la combinaisoncaractristique

3) Matrise de la fissurationsous combinaison quasi permanente

(G + 0,3 Q)

5.1 Vrifications lELS

42

Adhrence parfaite, au niveau de lacier : s = c donc

soit

EC2 dfinit e : coefficient dquivalence acier - bton

cm

c

s

s

EE

=

e

ss

s

cmc

E

E

==

cm

se

E

E=

5.1 Vrification lELS

Ecm diffrent court et long terme (prise en compte du fluage) e diffregalement)


22/154

30/11/2012

22


Es = 200000 MPa,

pour fc28 = 30 MPa, Eij = 34180 MPa e = 5,85

et Evj = 11497 MPa e = 17,39

Lesrecommandations professionnelles publies par la FdrationFranaise du Btiment indique que si une grande prcision nest pas

ncessaire, on peut prendre e = n = 15 pour des btons courants et 9 pourdes BHP.

44

Dfinition de dformations limites des matriaux (EC2, fck < 50 MPa):

Le raccourcissement relatif du bton est limit :

En flexion 3,53,53,53,5

En compression 2222

Lallongement relatif de lacier :

nest pas limit si on considre un diagramme palier horizontal

dpend du type dacier utilis (ud)

5.2 Vrification lELU

Le dimensionnement lELU se fait en supposant que lediagramme des dformations passe par lun des trois pivotsA, B ou C.


23/154

30/11/2012

23


Pivot A : Allongement de lacier le plus tendu :s = 10.10-3

Ah

z

1

10 %%%%0000

pices soumises la traction simple ou une flexion simple ou compose

CompressionTraction

A



Pivot B : Raccourcissement de la fibre debton la plus comprime : bc = 3,5.10-3

Ah

z

B

3,5 %%%%0000

pices soumises une flexion simple ou compose

2

Traction Compression

0

0



24/154

30/11/2012

24


Pivot C : Raccourcissement de la fibre debton la distance de 3h/7 : bc = 2.10-3

Ah

z

C

2 %%%%0000

pices soumises la flexion compose ou la compression simple

3

Traction Compression

2 %%%%0000

3/7.h

0

0


48

Dfinition de classes dexposition (EC2 Tableau 4.1) / durabilitdu bton

Dsignation de la classe / aux conditions d'environnement : Exemplesinformatifs illustrant le choix des classes d'exposition

1. Aucun risque de corrosion ni d'attaque (X0)2. Corrosion induite par carbonatation (XC1, 2)3. Corrosion induite par les chlorures (XD1, 2)4. Corrosion induite par les chlorures prsents dans l'eau de mer (XS1, 2)5. Attaque gel/dgel (XF1, 2)6. Attaques chimiques (XA1, 2)



25/154

30/11/2012

25

49

Enrobage nominal (EC2 Tableau 4.4.1) / durabilit du bton

cnom = cmin +cdev

cnom : enrobage nominal respecter

cmin : enrobage minimal

cdev : tolrance dexcution = 10 mm

mmcccccc adddurstdurgdurdurb 10;;max ,,,min,min,min +=avec :


50

Enrobage nominal (EC2 Tableau 4.4.1)

cmin,b : enrobage minimal requis vis--vis de ladhrence

armature individuelle :

si 32 mm :cmin,b =

sinoncmin,b= + 5 mm

paquet :

diamtre quivalent mmnbn 55=



26/154

30/11/2012

26

51

Enrobage nominal (EC2 Tableau 4.4.1)

cmin,dur : enrobage minimal requis vis--vis des conditionsdenvironnement (Tableau 4.4.N)


52

Classe structurale (Tableau 4.3.NF, dans EC2-AN)

Classe structurale : permet de caractriser les critres lis ladurabilit de louvrage.

Classe S4 : recommande par lEC2, btiments et ouvrages degnie civil courants (durabilit vise de 50 ans)

La classe peut tre modifie en fonction de la dure de vie vise,de la classe du bton, de la nature du liant (Tableau 4.3.NF, AN).



27/154

30/11/2012

27

53


54

cdur, : marge de scurit (= 0 ; valeur recommande par EC2et AN)

cdur,st: rduction de l'enrobage minimal dans le cas d'acierinoxydable (= 0 en gnral)

cdur,add: rduction de l'enrobage minimal dans le cas deprotection supplmentaire (= 0 en gnral)



28/154

30/11/2012

28

55

Espacements horizontal et vertical entre barres (EC2, 8.2) : eh et ev

mmmmde gv 20;5;max max + eh ou

max : diamtre des barres

dg : dimension du plus gros granulat

paquet :

diamtre quivalent bn n =




29/154

30/11/2012

29

57

Association Acier Bton :

Ancrage des armatures(EC2, Section 8)

Juin 2012

58

Longueur dancrage conventionnelle de rfrence (8.4.3) :

bd

sdrqdb

fl

4, =

sd : contrainte de calcul de la barre dans la section partir delaquelle on mesure l'ancrage (=435MPa pour des aciers de 500 MPa et dansles conditions maximales, sinon on peut calculer la valeur exacte en fonction duchargement).

fbd: valeur de calcul de la contrainte ultime d'adhrence

Juin 2012


30/154

30/11/2012

30

59

fbd: valeur de calcul de la contrainte ultime d'adhrence

ctdbd ff 2125,2 =

1 = 1 si les conditions dadhrence sont bonnes, 0,7 sinon

2 = 1 si 32 mm ou (132 )/100 sinon (: diamtre de la barre)fctd= fctk,0.05/c

fctk ,0.05 : rsistance caractristique la traction avec un fractile de 5%ctmctk ff 7,005.0, =

Juin 2012

60

EC2, 8.4.2 dfinit les conditions dadhrence des armatures :

( moins quon puissemontrer que lesconditions sont bonnes)

Juin 2012


31/154

30/11/2012

31

61

rqdbbd ll ,54321 =

- les coefficients i 1, sont dfinis dans le Tableau 8.2 delEC2 (pour prendre en compte la forme des barres, lenrobage et leconfinement des aciers)

Longueur dancrage de calcul (8.4.4) :

- EC2, 8.4.4(2), par simplification, on peut considrer :

rqdbeqb ll ,1, = 1 = 0,7 sicd>3; 1 sinon

Juin 2012

62

Longueur dancrage minimale (8.4.4) :

mmll rqdbb 100;10;3,0max ,min,

Juin 2012


32/154

30/11/2012

32

63

Ancrages courbes (EC2, 8.4) : partir de la longueur dveloppe

Juin 2012

64

Ancrages des armatures deffort tranchant (EC2, 8.5)

Juin 2012


33/154

30/11/2012

33

Juin 2012 65

Armatures tendues lr

lr = lb

Recouvrement des barres

66

Recouvrement des barres (EC2, 8.7)

min,0,6543210 lll rqdb =

La longueur de recouvrement vaut :

mmll rqdb 200;15;3,0max ,6min,0 =avec :

et 6 = (1/25)0,5, compris entre 1 et 1,5, avec1, proportion de barres avecrecouvrement dont l'axe se situe moins de 0,65 l0 de l'axe du recouvrement

considr


34/154

30/11/2012

34

Juin 2012 67

Armatures transversales

As, fe

Recouvrement des barres (EC2, 8.7)

Armatures transversales dans les zones de recouvrement debarres tendues de diamtre

68

Recouvrement des barres (EC2, 8.7)Armatures transversales dans les zones de recouvrement debarres tendues de diamtre

si


35/154

30/11/2012

35

69

Recouvrement des barres (EC2, 8.7)Armatures transversales dans les zones de recouvrement debarres comprimes de diamtre

mmes rgles que les barres tendues

+ disposer une barre transversale de part et d'autre durecouvrement, une distance infrieure 4des extrmits

70

Recouvrement des treillis souds (EC2, 8.7.5)

Juin 2012


36/154

30/11/2012

36

71

Paquet de barres (EC2, 8.9)

Un paquet denb barres (rapport des diamtres < 1,7) peut tre considrcomme une barre :

- de mme section que le paquet

-de mme centre de gravit que le paquet

-et de diamtre :bn n =

Juin 2012

Juin 2012 72


37/154

30/11/2012

37

Juin 2012 73

Traction Simple

Juin 2012 74

Traction Simple

PLAN

1. Hypothses

2. Contraintes de calcul3. Dimensionnement des armatures

4. Armatures transversales


38/154

30/11/2012

38

Juin 2012 75

1. Hypothses

Rappel : La rsistance du bton tendu estnglige.

- Mme centre de gravit pour le bton etla section darmatures

Juin 2012 76

2.1 Limites lELU

Rsistance de lacier en traction :

fyd = fyk/s

s = 1,15


39/154

30/11/2012

39

Juin 2012 77

2.2 Limites lELSPour viter une ouverture de fissures excessive,

on limite la contrainte de traction sous lacombinaison caractristique des charges dansles aciers st :

st = 0,8fyk

Juin 2012 78

3. Principe de dimensionnement

N : Effort normal de traction,

A : Section daciers,

: Contraintes limites de calcul

Principe : N = A x

Calcul de A lELU et lELS


40/154

30/11/2012

40

Juin 2012 79

NEd et Nser : Efforts normaux de traction lELU et lELS,

Au et Aser : Sections daciers lELU et lELS,

fyd et st : Contraintes limites de calcul lELU et lELS

3. Principe de dimensionnement

ELU

NEd = 1,35.G + 1,5.Q

Condition dquilibre statique

NEd = Au x fyd

ELS

Nser = G + Q

Condition dquilibre statique :

Nser = Aser x st

La section darmatures du tirant est : A = sup (Au; Aser)

Juin 2012 80

3.3 Maitrise de la fissuration

Limitation de la section du bton vis--vis dela section dacier,

As,min.fyk > Ac.fctm

(As,min : section des aciers tendus, fyk : limite dlasticit delacier, Ac : section de bton tendu, fctm : rsistance

caractristique du bton la traction)

a) Matrise de la fissuration non requise


41/154

30/11/2012

41

Juin 2012 81

3.3 Maitrise de la fissuration

(As,min : section des aciers tendus, fyk : limite dlasticitde lacier, Ac : section de bton tendu, fctm : rsistancecaractristique du bton la traction)

b) Matrise de la fissuration requise

,

30

0,65.

80

Juin 2012 82


En zone courante :

t _ l/ 3

et t > 6 mm

cartement : st < plus petite dimension de la pice

En zone de recouvrement : voir chapitre prcdent


42/154

30/11/2012

42

83

Compression Simple

84

EC2 tout poteau est en compressioncompos (il existe toujours une excentricit

du fait des dfauts de construction) pas de mthode particulire pour la

compression simple

En France Mthode donne par lesRecommandations professionnelles

Rglementations


43/154

30/11/2012

43

85

Compression SimplePLAN

1. Longueur de flambement

2. Dimensionnement des armatures

3. Dispositions constructives

86

1. Longueur de flambement et lancement

En compression, risque de flambement :

l

longueur deflambement(dite efficace)

l0 = l

l l l l

l0 = 2.l l0 = 0,7.l l0 = l / 2 l0 = l

Pour des lments isols (pas de rle de contreventement)


44/154

30/11/2012

44

87

Longueurs de flambement :

Structure contrevente

++

++=

2

2

1

10

45,01

45,01.5,0

k

k

k

kll

++

++

++=

2

2

1

1

21

210

11

11;101max.

k

k

k

k

kk

kkll

Structure non contrevente

avec k1 et k2, les coefficients de souplesses des deux encastrements partielsdu poteau

l

EI

Mk

=


avec : rotation des lments sopposant la rotationpour un moment flchissantM

EIet l, la rigidit en flexion et la longueur de llmentcomprim (sil y a un lment comprim adjacent dansun nud, il faut remplacerEI/l par la somme desEI/ldes 2 poteaux)

88

l

EI

Mk

=

l

EIM

3=

avec : rotation des lments sopposant la rotationpour un moment flchissantM

Le rapport M / dpend de la nature de la liaison au niveau de lappui oppos celui tudi :

l

EIM

4=


M

M


45/154

30/11/2012

45

89

Longueurs de flambement :

Poutre,Ie2, le2

l

Poteau,I1, l1

1

2

Poteau,I2, l2

Poteau,I, l

Poutre,Iw2, lw2

Poutre,Iw1, lw1 Poutre,Ie1, le1


111111

111

//

//

eeewwwlIlI

lIlIk

+

+=

222222

222

//

//

eeewww lIlI

lIlIk

+

+=

avec :

w ou e i = 4 si lautre appui dela poutre est un encastrementou 3 si cest un appui simple

Rem. : Il faut tenir compte de lafissuration dans la rigidit deslments sopposant ladformation.

90

Longueur de flambement des poteaux de btiments(Recommandations professionnelles, clause5.8.3.2) :

- si leur raideur est non prise en compte dans lecontreventement

- sils sont correctement connects en tte et en pied des lments de raideur suprieure ou gale

la longueur de flambement peut tre prise gale 0,7.l



46/154

30/11/2012

46

91


lancement dun lment :

i

l0=

avec l0 : longueur de flambement (m),

i : rayon de giration (m).

B

Ii =

avec I : Inertie de llment dans leplan de flambement (m4),

B : Section de llment (m).


EC2 : il existe toujours une excentricit :

ei : excentricit additionnelle traduisant les imperfectionsgomtriques (aprs excution),

mhi 0=

200/10

=

lh /2=

( )mm /115,0 +=

compris entre 2/3 et 1 (l : la longueur de llment)

2/. 0le ii =

Cas dun lment isol (pas de rle de contreventement, sinon prise en compte

dun effort transversal supplmentaire cf. EC2 5.2)

m = 1 pour un poteau isol (poteau neparticipant pas au contreventement)

l0 : la longueur de flambement ou longueur efficace de llment


47/154

30/11/2012

47

EC2 : il existe toujours une excentricit :

93

30;2max

hcmei

Tout lment comprim est en flexion compos

Dimensionnement en flexion compos


94

Si les conditions suivantes sont respectes :

poteau bi articul sous charges centres

lancement 120

20 fck 50 MPa paisseur dans le sens du flambement h 0,15 m

distance d des aciers la paroi la plus proche min(0,30h ; 100 mm)

armatures symtriques par moiti sur chaque face

chargement au moins 28 jours

les Recommandations professionnelles de la FFB autorisentlemploi de la mthode suivante.



48/154

30/11/2012

48

95

Rsistance thorique en compression simple :

NEd = Nbt + Nacier = B.fbu + A.sc

Effort ultime de compression rglementaire (FFB) :

: permet de prendre en compte les risques de flambement

b = 1,5

s = 1,15

+=

s

yk

s

b

cksh

fA

fbhkk

.

..NN RdEd

Aire dacier dimensionner


96

ydscdshEd fAbhfkkN +=

Pour un poteau de section rectangulaire :

+

=2

621

86,0

3,132

=

si 60

si 60 < 120

hl 120=Pour une section rectangulaire h : paisseur du poteaudans le sens du flambt



49/154

30/11/2012

49

97

Pour un poteau de section rectangulaire :

( )( )615,075,0 += hkh

500

6,06,1

yk

s

fk =

= d / h, d : enrobage des aciers

=As/ (b.h)

pour h < 0,50 m sinon kh = 1

pourfyk> 500MPa et > 40 sinon ks = 1

siet inconnus, on peut prendre kh = 0,93 titre conservatif? cf. exe.


98

24,127

=

si 60

si 60 < 120

D

L0.4=

Pour un poteau de section circulaire :

+

= ydscdshRd fAf

DkkN

4

2

+

=2

521

84,0


pour une section circulaire :


50/154

30/11/2012

50

99

( )( )815,07,0 += Dkh

500

65,06,1

yk

s

fk =

= d / D, d : enrobage des aciers

=As/ (D/4)

pourD < 0,60 m sinon kh = 1

pourfyk> 500MPa et > 30 sinon ks = 1

Pour un poteau de section circulaire :


siet inconnus, on peut prendre kh = 0,93 titre conservatif? cf. exe.

100

As : section totale des aciers situs la distance d des parois,

disposs en 2 lits symtriques pour une section rectangulaire ouen 6 barres rparties pour une section circulaire

Recommandations professionnelles de la FFB



51/154

30/11/2012

51

101

diamtre minimal = 8 mm ferraillage minimum

= c

yd

Edss

Af

NAA .002,0;10,0maxmin,

Armatures longitudinales (EC2, 9.5.2)

ferraillage maximum

=c

c

ss

A

AAA

.08,0

.04,0maxmax,

hors zone de recouvrement

au droit des zones de recouvrement


102

diamtre minimal :- cadre et boucle : t max(6 mm; l_max/ 4)- treillis

t= 5 mm

espacement des cadres en zone courante :

Armatures transversales (EC2, 9.5.3)

b : plus petite dimension du poteau

st,max = min(20.l; 40 cm; b)



52/154

30/11/2012

52

103

Flexion Simple

104

Flexion SimplePLAN

1. Gnralits, dimensions, matriaux etarmatures minimales

2. quilibre des sections

3. Dimensionnement des armatures lELU

4. Vrification des contraintes lELS

5. Maitrise de la fissuration

6. Dispense de vrification de la flche


53/154

30/11/2012

53

Janvier 2007 Bton Arm - S. Multon 105

Poutre sollicite en flexion plane simple si le torseur descontraintes gnralises se rduit seulement :

M(x) et V(x)

Remarque : En Bton Arm, les effets de ces deux sollicitationssont traits sparment.

1. Gnralits Flexion Simple

Janvier 2007 Bton Arm - S. Multon 106

1.1 Hypothses

Hypothse : Pour le dimensionnement des armatures en flexionsimple lELU, on suppose que le diagramme des dformationspasse par lun des deux pivots de flexion simple (A ou B)

- Au cours des dformations, les sections droites restent planes etconservent leurs dimensions,

- La rsistance du bton tendu est nglige

- Adhrence parfaite acier - bton


54/154

30/11/2012

54

107

Porte considrer dans un calcul de flexion (EC2 5.3.2.2)

21 aall neff ++=

ln : porte libre entre nus dappuis

- Si la poutre (ou dalle) est solidaire des poteaux (ou voiles) qui la supportent,le moment de calcul peut tre pris gal au moment au nu dappui.

1.1 Hypothses : Porte

108

Acier :

Rsistance :

Bton : Rsistance :

c

ckcd

ff

= c = 1,5

s

yk

yd

ff

= s = 1,15

1.2 Rsistance des matriaux lELU


55/154

30/11/2012

55

109

1.2 Diagramme des 3 pivots

Pivot A : Allongement de lacier : ud = 0,9. uk valeur fonction de la nuance (Annexe C)

Pourfck 50 MPa et un diagramme parabole rectangle (sinon EC2, 3.1)Pivot B : Raccourcissement du bton : cu2 = 3,5.10-3 (flexion)

Pivot C : Raccourcissement du bton (1-c2/cu2).h de la fibre la plus comprime : c2 =2.10-3 (compression, flexion compose)

z

Ah

1A

ud

CompressionTraction

0

0

B

cu2

2

C

3

(1-c2/cu2).h

c2

110

EC2, 9.2 : La section darmatures longitudinale dunepoutre doit tre suprieure ou gale :

= dbdbf

f

A ttyk

ctm

s 0013,0;26,0maxmin,

bt: largeur moyenne de la zone tendue (pour une poutre en T dont lamembrure suprieure est comprime, seule la largeur de lme est priseen compte)

1.3 Section darmatures minimale


56/154

30/11/2012

56

111

2. quilibre des sections lELU

A

x x

s

c

c

x

yu

d

s

diagrammeparabolerectangle

EC2 3.1.7 Comportement du bton lELU

112


EC2 3.1.7(3) : simplification de la loi de comportement du bton :

A

x x

s

c

....fcd

x

x

ds

diagrammerectangulaire

simplifi

.x

b= 0,8 et = 1,0 pour fck 50 MPa

= 0,8 (fck 50)/400

= 1,0 (fck 50 )/200 pour 50


57/154

30/11/2012

57

113

quations dquilibre au centre de gravit des aciers tendus :

=

=+

Edc

sc

A MM

FF 0

=

=+

Edcd

scd

A Mxdfbx

Afbx

2....

0....

A

x x

s

c

fcd

x

x

ds

.x

b


Inconnues : s, x et A (A) Donnes : b, h (d), fcd, fyd, Mu

(I)

(II)

114

Ecriture adimensionnelle :

cd

Edu

fbd

M

d

y

d

x

.21

2

=

dx

u =cd

Edu

fbdM

.2 =

(II)

uuu

=

21 ( )

uu

2111

=


on pose et

(u est le moment rduit)

et en inversant :

pourfck 50 MPa = 0,8 et = 1,0 formules habituelles


58/154

30/11/2012

58

115

udcu

cuABAB

d

x

+==

3

3

Cas limites :1. Cas de la droite AB (section de poutre en Pivots A et B simultanment)

A

x x

ud

cu3

xAB

d

b


A

B

= ABABAB

21

pour fck 50 MPa et pour des aciers de :

nuance A :AB = 0,102

nuance B :AB = 0,056

nuance C :AB = 0,039

116

A

x x

uk = 10.10-3

cu

xAB

b

2. quilibre des sections

Siu AB u AB xu xAB

cd

Edu

fbd

M2

=

Le coefficientu dpend de la gomtrie du bton, des sollicitations et de larsistance du bton (quelle que soit la section dacier):

xu

A

B Poutre dimensionne pour ruptureen Pivot A

Siu AB u AB xu xAB

Poutre dimensionne pour ruptureen Pivot B

xu


59/154

30/11/2012

59

117

s

yd

cu

cuBEBE

E

fd

x

+

==

3

3

Cas limites :

2. Cas de la droite BE (section de poutre en Pivot B et acier la limite lastique)

A

x x

se = fyk/ Es

cu3

xBE

d

b

( ) 372,04,018,0 == BEBEBE


E

B

cas courant :fck 50 MPa, fyk = 500 MPa,s = 1,15 (ES = 200000 MPa)

Siu BExu xBE

besoin de A pour renforcer le bton en compression

118

3. Armatures de flexion

1. Calcul decd

Edu

fbd

M2

=

s

yd

BEBE

E

fd

x

+

==

3

3

10.5,3

10.5,3 ( )BEBElu 4,018,0 =

2. Calcul en fonction de la classe dexposition :

cas courant :fe = 500 MPa, s = 1,15 (ES= 200000 MPa) lu = 0,372

et

Pour fck 50 MPa et palier horizontal pour les aciers :

pas de limitation de la contrainte dans le bton lELS

Calculer :

2.1. X0 ouXC

2.2. XD, XF ouXS

limitation de la contrainte dans le bton lELS

Dterminerlu dans des abaques ou tableau en fonction de laclasse du bton et du rapportMEd/ Mser


60/154

30/11/2012

60

119

Dtermination de lu (abaque du

BAEL avec = 0,85)J. Perchat Techniques de lIngnieur

Pour EC2 : toujoursprendre = 0,85

ser

Ed

M

M=

.

fck////

120

3.1 Si u lu A = 0

( )uu 21125,1 =Calcul de yu = u.d(avec d = 0,9.h)

Equation (I) de lquilibre de la section de la poutre BA

et st entre le pivot A et le point E acier plastifi st= fyd

yd

cdu

f

fxbA

...8,0=

Remarque : Si on crit lquilibre de la section au centre de gravit du bton comprim, onobtient :

uydEd zAfM .=ydu

Ed

fz

MA =

avec uu xdz .4,0=

A

x x

st

bc

fcdx

xu

st

0,8.xu

b



61/154

30/11/2012

61

121

3.2 Si u > lu (abaque du BAEL avec = 0,85)

A 0


Lquilibre de la section au centre de gravit des aciers tendus scrit alors :

( ) ( )

=+=+

EdscBEcdBE

stsccdBE

A MddAxdfbxAAfbx

''4,0..8,00'..8,0

A

x x

st

bc

xu

b

sc

( )lulu 21125,1 =u

luluu

= 'xu = udOn imposexu tel que : avec

122

310.5,3.'

'' =

u

usc

x

dx

=

=

==

ydscs

yd

sesc

scssc

s

yd

sesc

fE

f

EE

f

.

( )[ ]

( ) ( )'

'

'

1'4,0'..8,0'

dd

MM

ddxdfxbMA

sc

EdEd

sc

ucduEd

=

=

[ ]sccduyd

Afxbf

A ''..8,01

+= + vrification ELS


d:position des acierscomprims / fibre sup.

'

EdM

A

x x

st

bc

xu

b

sc


62/154

30/11/2012

62

123

Pour fck 50MPa et palier inclin pour les aciers :

- limitation de la dformation de lacier au Pivot A

- contrainte dans lacier peut tre suprieure fyd

Pour 50 < fck 90MPa :

- dformation ultime du bton dpend de sa rsistance

- et = 0,8 (fck 50)/400

= 1,0 (fck 50 )/200


Variation de la mthode gnrale pour :

124


- dformation ultime du bton dpend de sa rsistance


s

yd

cu

cuBEBE

E

fd

x

+

==

2

2

== BEBEBElu

21


63/154

30/11/2012

63

125


= 0,8 (fck 50)/400

= 1,0 (fck 50 )/200


cd

Edu

fbd

M

.2 = ( )uu

211

1=et : soit :

Si u lu A = 0 yd

cdu

ffxbA ...8,0=

Si u > lu A 0 reprendre quations prcdentesavec et

126

EC2 9.2.1.2Pour une poutre formant une construction monolithique avecses appuis :Dimensionner la section sur appuis pour un moment flchissant

rsultant de l'encastrement partiel dau moins 0,15 fois lemoment flchissant maximal en trave (y compris lorsque desappuis simples ont t adopts dans le calcul)



64/154

30/11/2012

64

127

1) Limitation de la contrainte de compression du bton (EC2 7.2(2))

4. Vrifications lELS

limitation de la compression dans le bton 0,6fck pour les classes XD,XF et XS effectuer sous combinaison caractristique (G + Q + 0,7.Q2)

2) Limitation de la contrainte de lacier (EC2 7.2(5)) limitation de la contrainte dans les aciers 0,8fyk effectuer souscombinaison caractristique (G + Q + 0,7.Q2)

3) Matrise de la fissuration si elle est requise (EC2 7.3)XC2 4 (pour ouvrage hors catgories A, B, C, D) et XD, XF, XS louverture de la fissuration wmax doit tre limite (pour ne pas porterprjudice au bon fonctionnement de la structure Tableau 7.1N) effectuersous combinaison quasi-permanente (G + 0,3.Q)

4) Limitation de la flche

128

Pour gomtrie, sollicitations et matriaux connus : vrification des contraintesy

As1

bc

n

st

y

xn

sc

As2

d

d

=++

=+

serscstbc

scstbc

A MMMM

FFF

s

0

1

(I)

(II)

4. Vrifications des contraintes lELS


65/154

30/11/2012

65

129

1. Recherche de la position de laxe neutre y1 laide de lquationdes moments statiques de la section homognise rduite (S.Hb.R.)provenant de lquation de lquilibre des rsultantes de la section,de lhypothse de Bernoulli et de celle dadhrence parfaite :

02

121 =+ scsstsbc AAbx

( ) ( )0

'

2

121 =

+ bcsbcsbc

x

dxnA

x

xdnAbx

(I)

0.).'(.).(2 21

2=+

ss

AndxAnxdxb

0.).'(.).(2

. 212

=+== ssS

AndxAnxdxb

dsy


130

2. Calcul du moment dinertie quadratique I1 de la S.Hb.R. provenantde lquation de lquilibre des moments de la section par rapport laxe neutre :

( ) ( )212

2

3

1 '3

xdnAdxnAbx

I ss ++=

( ) ( ) serstsscsbc MxdAdxAxbx

=++

12 '

3

2

2

(II)

( ) ( ) serbc

sbc

sbc M

xxdnA

xdxnA

x

bx=

+

+

21

2

2

3

'3

serMIK =1.

avec



66/154

30/11/2012

66

131

3. Calcul des contraintes et vrification :

Dans le bton (XD, XF et XS effectuer sous combinaisoncaractristique ):

ckbcser

bc fxI

M6,0

1

max ==

Dans lacier ( effectuer sous combinaison caractristique) :

( ) ykstser

st fxdI

Mn 8,0

1==


132

EC2 7.3.2Si la matrise de la fissuration est requise, une quantit minimale darmatures estncessaire :

cteffctcss AfkkA ,min, =

As,min : section minimale d'armatures dans la zone tendueAct aire de la section droite de bton tendu (avant lapparition des fissures ct


67/154

30/11/2012

67

133

5. Matrise de la fissuration

Valeurs limites recommandes pour louverture des fissures wk

maxwwk

134

Aspects thoriques


Fissuration dun tirant

FF

< fct

0 0

ct

s

Tirant BA de section droite Ac ou zone debton entourant les armatures dune poutreflchie assimilable un tirant

Contraintesdans le bton

Contraintesdans les aciers

0 0sr

1ssctc AAF +=Etat homogne non fissur :


68/154

30/11/2012

68


Si la force dans le tirant F est constante :

csteAAF ssctc =+= 1

01 =+= ssctc dAdAdF

dxf

dxf

A

Ad

A

Ad bdbd

c

ss

c

sct

441 ===

1

2

14

..... ssbd ddAdxf

==Or, on a vu dans le cours sur ladhrence :

Sifbdest constant, on obtient en intgrant :

en posant= As/ Ac

xf

dxf

d bdx

bd

x

ctct

44

00

=== linarit des contraintes

136


Le distance minimale entre 2 fissures est telle que :

min

4r

bdctct s

ff

==

bd

ct

r f

f

s

4min =

Dans la ralit, lcartement des fissures sr : minmin 2 rrr sss

Les fissures apparaissent progressivement de manire alatoire,quand tous les cartements sont compris entre ces 2 valeurs cest ltat de fissuration complte , aucune nouvelle fissure nepeut apparatre

lexprience montre quen gnral sr 1,8 srmin


69/154

30/11/2012

69

137


LEC2 dfinit louverture de fissure de calcul partir delespacement maximal des fissuressr,max (rsultats de retourdexprience) afin de se placer en scurit.

Cette ouverture calcule a un caractre conventionnel (sanscomparaison possible avec des ouvertures mesurables surouvrages).

138


Ouverture de fissures dun tirant en bton arm

Aspects thoriques

Louverture moyenne wm dune fissure peut tre dtermin encalculant lallongement moyen dune armature par rapport

lallongement du bton sur la longueur comprise entre deuxfissures :

( )cmsmrmm sw =

FF

srm


70/154

30/11/2012

70

139


Pour une force F> Ffissuration lallongement relatif de lacier vaut :

= 2ssm

Allongement relatif de lacier nu sansparticipation du bton tendu

Rduction de la dformation de lacierpar participation du bton tendu entreles fissures

fissuration

s

s

Section BAnon fissure

acier nuEs

Comportement exprimentalidalis

Comportement simplifiEC2 (linarit)

140


1ssctcf AfAF +=

Considrons leffort causant la fissuration du tirant :

s

s

c

c

EE

1 =1sc =

Lhypothse dadhrence parfaite conduit :

lors de la fissuration :s

s

c

ct

EEf 1=

ctect

c

ss ff

E

E ==1 ( ) ctsecf fAAF +=

aprs fissuration, seul lacier reprend leffort dans le tirant dans lasection fissure, la contrainte dans lacier dans cette section est donc :

ctes

c

s

f

sf fA

A

A

F

+==


71/154

30/11/2012

71

141


( )

ctesff

+= 1 en posant= As/ Ac

( )sfts

s

sftscmsm kE

k == 221

LEC2 suppose que la dformation moyenne du bton estproportionnelle la dformation moyenne de lacier aumoment de la fissuration

( )

s

ect

ts

cmsmE

fk

+

=

12

142

Aspect rglementaire

( )cmsmrk sw = max,

( )xhsr = 3,1max,

effpr

kkkcks,

4213max,

+=

Si espacement des barres adhrentes 5(c+/2)

Si espacement des barres adhrentes < 5(c+/2)

x : distance de la fibre suprieure laxe neutre

: diamtre des barres ou diamtre quivalent

c : enrobage (en mm)

k1 = 0,8 pour la barres HA, 1,6 pour des aciers effectivement lisses

k2 = 0,5 en flexion, 1 en traction pure et valeur intermdiaire en traction excentre (7.13)

k3 = 3,4*(25/c)2/3 si c>25 mm et 3,4 sinon

k4 = 0,425

2211

2

22

2

11

nn

nneq

+

+=

p,eff=As/ Ac,effavecAc,eff=b*hc,effavec hc,eff= min(2,5(h-d);(h-x)/3;h/2)


Calcul de louverture des fissures wk :


72/154

30/11/2012

72

143

Calcul de :( )

s

s

s

effpe

effp

effct

ts

cmsmEE

fk

6,0

1 ,,

,

+

=

s : contrainte dans les aciers sous combinaison quasi-permanente (G + 0,3Q)en supposant la section fissure

kt= 0,4 pour un chargement de longue dure, 0,6 pour une courte dure

fct,eff: valeur moyenne de la rsistance en traction du bton au moment o lespremires fissures sont supposes apparatre

e : rapportEs/Ecm


144

EC2 7.3.3- Pour dalles dpaisseur 200 mm, aucune mesure particulire nest prendre(sauf dispositions constructives EC2 9.3).

- Les lments dont les fissures sont dues principalement aux charges et respectantles dispositions du Tableau 7.2N ou 7.3N peuvent tre dispenses de calcul direct.

- Les lments dont les fissures sont dues principalement aux dformations gnes etrespectant les dispositions du Tableau 7.2N peuvent tre dispenses de calcul direct.

cf. Notes 1 et 2 dans larticle 7.3.3 sur larestriction de lutilisation de ces tableaux



73/154

30/11/2012

73

145

3

0 10.

= ckf

bh

A

=

0

Il nest pas ncessaire de vrifier la flche dune poutre si :

0>

s

ckck ffKd

l

31012,35,111

2/3

00

++

Espacement maximal (EC2, 9.2.2) : st,max = 0,75d < 60 cm

1. Effort tranchant


77/154

30/11/2012

77

153

2.3 ancrage des armatures dabout (EC2, 6.2.3 et 9.2)

Au niveau des appuis dune poutre, il faut ancrer (MEdngatifsur appui) :

z

MVF EdEdtd += cot

2

EC2, 9.2.1.4 : Sur les appuis considrs comme faiblement oupas encastrs, il faut ancrer au moins 25% du moment en trave

1. Effort tranchant

154

2.4 vrification de la compression des bielles dabout

a

VEd

VEd.cot/ 2

sur appui, langle de la bielle dabout est :

cot= cot/ 2

1. Effort tranchant


78/154

30/11/2012

78

2.4.1 vrification de la compression des bielles dabout dunappuide rive (EC2, 6.5.4)

[ ]c

ckckRdRdRdRd

ff

==

250185,0;max max,21

avec a2 = (a1 + cot(2s0 + s))sin

avec :

a1 : largeur de la bielle sur appui(a1 = aappui cnom 2.s0)

s0 : distance entre le bas de la poutreet lentraxe de lacier le plus bas

s : entraxe entre les lits des aciers

1. Effort tranchant

1

1ab

V

w

EdRd = 'sin2

2

ab

V

w

EdRd =etappui de rive :

[ ]c

ckckRdRdRdRdRd

ff

==

2501;;max max,321

avec a2 = (a1 + cot(2s0 + s))sin

1. Effort tranchant2.4.2 vrification de la compression des bielles dabout dunappuiintermdiaire (EC2, 6.5.4)

1

1ab

VV

w

EdeEdwRd

+=

'sin22

ww

EdwRd

ab

V

=et

et'sin3

3

ew

EdeRd

ab

V

=

et a3 = (a1 + cote(2s0 + s))sine

avec

w = west

= gauche

e = east

= droite

appui intermdiaire :


79/154

30/11/2012

79

157

Hypothse : La zone centrale des sections napportentaucune contribution la rsistance la torsion

sur la base de rsultats dessais, les sections pleinespeuvent tre modlises directement par des sectionsfermes parois minces quivalentes (EC2, 6.3.1(3))

2. Torsion

158

k

Ediefit

A

Tt

2

,, =

Flux de cisaillement en torsion pure dans la paroi (EC2, 6.3.2) :

TEd : moment de torsionAk : aire intrieure au feuillet moyen des parois (partie creuse comprise)t,i : contrainte tangente de torsion dans la paroi itef,i : paisseur de la paroi fictive (peut tre prise gale A/u, ne doit pas treinfrieure deux fois la distance entre le parement extrieur et l'axe des armatureslongitudinales; dans le cas de sections creuses, elle est limite par l'paisseur relle de laparoi)

2. Torsion


80/154

30/11/2012

80

159

Rsistance des bielles de bton, il faut vrifier que :

1max,max,

+Rd

Ed

Rd

Ed

V

V

T

T

cossin2 ,max, iefkcdcwRd tAfvT =avec :

=

25016,0 ckfv

2. Torsion

160

cot2 k

Ed

k

ydsl

A

T

u

fA=

Section darmatures longitudinales de torsionAsl :

uk : primtre de la surfaceAk

fyd: limite dlasticit de calcul des armaturesAsl

: angle des bielles de compression

2. Torsion


81/154

30/11/2012

81

161

cot2 k

Ed

t

ydst

A

T

s

fA

1,,

+cRd

Ed

cRd

Ed

V

V

T

T

Pour les sections pleines rectangulaires, un ferraillage minimal(EC2, 9.2.1.1) est suffisant si :

sinon, il faut une aire daciers transversauxAsttelle que :

TRd,c : moment de fissuration en torsion pour t,i =fctd

2. Torsion



82/154

30/11/2012

82

163

Poutres en T

164

Introduction

Poutre

Dalle

Profiter de la dalle pour augmenter la section de bton comprimet ainsi diminuer la section dacier mettre en uvre

En trave, cette partie est comprime


83/154

30/11/2012

83

165

IntroductionPLAN

1. Largeur efficace

2. tude aux ELU

3. tude aux ELS


5. Cisaillement me-membrures

166

1. Largeur efficace

Largeur efficace : largeur de la dalle (ou table) participant larsistance de la poutre dpend de :

- la nature de la poutre (traves indpendantes ou continue),

- du mode dapplication des charges (rparties ou concentres),- des dimensions de la section.


84/154

30/11/2012

84

167

bbbb wieffeff += ,

00, 2,01,02,0 llbb iieff +=

Largeur participante dune poutre en T (EC2 5.3.2.1)

iieff bb ,

avec :

1. Largeur efficace

168

1. Largeur efficaceVue en plan

Appui Appui

poutre dimensionner

L : porte de la poutre

beff,i

EC2 5.3.2.1 4 : lanalyse peut tre faite en admettantune largeur de table constante sur toute la porte


85/154

30/11/2012

85

169

2. tude aux ELU

Notations :

ht

h

b

bp

d

170

a) Moment maximum repris par la poutre dans le cas o la tabletravaille entirement en compression

0,8.xux

fcd

d

2. tude aux ELU

=

2.. tcdt

T

Rd

hdfbhMAu centre de gravit des aciers

ht


86/154

30/11/2012

86

171

b) MEd MRdT la hauteur de bton comprim intervenantdans le calcul est dans la table de compression,

Puisque le bton tendu est nglig, la poutre se comportecomme une poutre rectangulaire fictive de section bx h, quilsuffit donc de dimensionner

h

b

2. tude aux ELU

172

utilisation du Principe de Superposition, en dcomposant la section en T, endeux sections rectangulaires

2. tude aux ELU

h

b

= +A A1 A2

b - bp bp

MEd = +M1 M2

bp

c)MEdMRdT, la hauteur de bton comprim intervenant dans lecalcul est dans la nervure (retombe de la poutre)


87/154

30/11/2012

87

173

c) Il suffit de dimensionner ces 2 poutres rectangulaires de dimensions(b - bp)x h et bpx h

2. tude aux ELU

A1 A2

b - bp bp

et A = A1 + A2

avec M1 = ht.(b - bp).fcd.(d - )2

th M2 = Mu - M1

174

Mme raisonnement aux ELS avec un diagramme de contraintelinaire

3. tude aux ELS

Pour une vrification ELS, on dtermine dabord la positionx de

laxe neutre

1) Si laxe neutre est dans la table, mmes calculs que pour unepoutre rectangulaire

2) Si laxe neutre est dans la retombe, calcul de linertie enconsidrant deux rectangles : celui de la table et celui de laretombe


88/154

30/11/2012

88

175

3. tude aux ELS

1) x ht, laxe neutre est dans la table de compression,

puisque le bton tendu est nglig, la poutre se comportecomme une poutre rectangulaire de section bx h

h

b

176

3. tude aux ELS

2) xr ht, laxe neutre est dans la nervure (retombe de lapoutre) rsolution exacte complexe

h

b

Calcul de I1puis des contraintes


89/154

30/11/2012

89

177


Vrifier la rsistance du bton dme et dimensionner lesarmatures dme comme pour une poutre rectangulaire

178

Cisaillement entre l'me et les membrures des sectionsen T (EC2 6.2.4) :



90/154

30/11/2012

90

179


Contrainte de cisaillement longitudinale la jonction entre unct de la membrure et l'me :vEd = la variation d'effort normal (longitudinal) dans la partie demembrure considre :

xh

Fv

t

dEd

=

ht : paisseur de la membrure la jonction

x : longueur de membrure considre,Fd : variation de l'effort normal dans la membrure sur lalongueurx.

( ) ( )[ ]xxxxxfbFuucdeffd

+=

=0,8 pour un bton ordinaire

180

EC2 6.2.4 (3) : x peut tre prise gale la moiti de la distanceentre la section de moment nul et la section de moment maximal

(soit un quart de la porte pour une poutre isostatique supportantune charge uniformment rpartie)



91/154

30/11/2012

91

181


Vrification de la compression des bielles :

ffcdEd fvv cossin

==

25016,01

ckfvv

2cot1 f

25,1cot1 f

: pour les membrures comprimes

: pour les membrures tendues

182


Armatures de couture :

fyd

tEd

f

sf

f

hv

s

A

cot

Asf : section dun cours darmature de liaison espace de sf

Asf, espacs de sf


92/154

30/11/2012

92

183


Si la membrure est une dalle flchie entre deux nervures parallleset si :

ctdEd fkv avec k = 0,4 recommand par lEC2ou 0,5 en cas de prsence de surface verticale dereprise de btonnage ou 1 en absence de surfaceverticale de reprise de btonnage pour lAnnexeNationale franaise.

alors il est inutile dajouter des armatures celles dj prvuespour reprendre la flexion de la dalle.

Dans le cas contraire, il faut prvoir (EC2 6.2.4 (5))

++

f

ss

fyd

tEd

fyd

tEd

f

sf

s

AA

f

hv

f

hv

s

A inf,sup,

cot2

1;

cotmax



93/154

30/11/2012

93

185

Poutres continues

186

Introduction

EC2 autorise diffrentes mthodes danalyse :- lastique linaire (ELS et ELU)

- lastique linaire avec redistribution limite des moments (ELU, pour lesbtiments, les recommandations professionnelles franaises les autorisent

galement lELS pour les btiments)- Plastique (ELU)

- Non linaire (mthode de calcul au flambement avec effet du 2me ordre)

Remarque: Les recommandations professionnelles franaises autorise lutilisationde la mthode de Caquot (BAEL), mais restreint la mthode forfaitaire (BAEL)au cadre du pr-dimensionnement.


94/154

30/11/2012

94

187

PLAN

1. Analyse lastique (EC2)

2. Analyse lastique avec redistribution (EC2)

3. Mthode forfaitaire (BAEL)

4. Mthode de Caquot (BAEL, EC2)

5. Rappel de RdM pour le trac des courbesenveloppes

Introduction

188

Lanalyse linaire, base sur la Thorie de llasticit, peut tre utilise auxELS et ELU.

Exemple : Equation des 3 moments donne pour une poutre continue dinertieconstante par trave soumise des charges uniformes sur toute la longueurdes portes

Les calculs sont rapidement complexes utilisation de linformatique ou demthodes simplifies issues du BAEL (forfaitaire avec vrification ou Caquot)

+=+

++

+

+++

+

+

+

+

1

3

11

3

1

1

1

1

11

4

12

i

ii

i

iii

i

ii

i

i

i

ii

i

i

I

Lp

I

LpM

I

LM

I

L

I

LM

I

L

1. Analyse lastique

Li, Ii etMi la porte, linertie et le moment sur lappui i


95/154

30/11/2012

95

189

Quest-ce que la redistribution du moment sur appui ?

Pour prendre en compte ltat fissur de la section de bton arm sur appuidans le cas de poutre continue, lEC2 autorise diminuer la valeur dumoment sur appui

Cela provoque une augmentation du moment en trave

Cest la redistribution des moments

LEC2 autorise la redistribution dans les conditions suivantes :

- rapport des portes comprises entre 0,5 et 2,- lments sollicits en flexion,

- le coef de redistribution = Maprs/ Mavant dpend de xu la hauteur debton comprime lELU

2. Avec redistribution

190

LEC2 limite la redistribution :

Pour fck 50 MPa etles aciers de classe A

8,0/21 + dxkk u

avec xu aprs redistribution

et k1 = 0,44et k2 = 1,25(0,6 + 0,0014 /cu2)

Pour fck 50 MPa : cu2 = 3,5


Les recommandations professionnelles franaises autorisent lutilisation des coefde redistribution calcules lELU pour la dtermination des sollicitations lELSpour les btiments.

(0,7 pour les aciersde classes B et C)


96/154

30/11/2012

96

191

La dtermination de la redistribution permise dpend de la redistributionutilise dans le calcul de la section traversxu

8,0/21 + dxkk u

avec xu aprs redistribution


( )uuu kdx 211

1/ 2 ==

Or

Dfinissons :

u_av : leu avant lapplication de la redistribution du moment

u_ap : leu aprs lapplication de la redistribution du moment

On peut donc crire : ( )apukk _21 211

1+

Et : avucd

avEd

apufbd

M_2

_

_.

==

192


On peut donc crire : ( )avukk _21 2111

+

soit :

2

_2

2

21 21

avu

kkk

soit :avu

kkkk

kk _

2

2

2

2

2

21

21

2 22

+

+

soit : 02

2

2

2

21_

2

221

2

++

+

++

kkk

kkk

avu

La redistribution permise est donc solution de cettequation du 2nd degr en ....


97/154

30/11/2012

97

193


Le discriminant de cette quation est :

2

2

2

21

2

_

2

221 442

+

+

+=

kkk

kkk avu

et les deux solutions :

2

_

2

2211

+

+= avu

kkk

2_

2

2212

+

+

+= avu

kkk

solution retenir pour

la redistribution

194

Pour fck 50 MPa etles aciers de classe A

= 0,8

( ) 2744,6005,48828125,4 2_ = avantu

8,0/21 + dxkk u

avec xu aprs redistributionet k1 = 0,44et k

2= 1,25(0,6 + 0,0014 /

cu2)

Pour fck 50 MPa : cu2 = 3,5


( )[ ] 8,0005,48828125,42

1_ avantu

peut scrire :

avec


98/154

30/11/2012

98

195

3. Mthode Forfaitaire

Domaine dapplication :

- Constructions courantes (charges dexploitationmodres), Q max(2G;5000 N/m)

- les portes successives sont dans un rapport comprisentre 0,8 et 1,25

- les moments dinertie des sections transversales sontles mmes dans les diffrentes traves en continuit,

- la fissuration ne compromet pas la tenue du BA et deses revtements.

196

Les recommandations professionnelles relatives lapplication de lEC2 en France indique que

lutilisation et le domaine de cette mthode ne sontpas du domaine du dimensionnement mais restent dudomaine du pr-dimensionnement et de celui de lavrification douvrages



99/154

30/11/2012

99

197

Principe : Soit une poutre continue

Li-1 Li Li+1

et la poutre isostatique associe la trave i dite trave decomparaison :

Li

valuer les valeurs des moments maximums en trave et sur appuispar rapport des fractions fixes forfaitairement de la valeur M0,moment maximum de la trave de comparaison

??

?

M0


198

Notations

- M0 : valeur maximale du moment flchissant dans la trave decomparaison de porte Li entre nus,

- Mw et Me, respectivement les valeurs absolues des moments

sur appuis de gauche et de droite et Mt, moment maximal entrave de la trave considre,

Li-1Li Li+1

LiMw

M0Mt

Me

- : rapport des charges dexploitation la somme des chargespermanentes et des charges dexploitation

QG

Q

+=



100/154

30/11/2012

100

199

Applications

Les valeurs de Mt, Mw et Me doivent vrifier les conditions suivantes :

1.MtMax ( 1,05.M0 ; (1 + 0,3 ) M0 ) -

2.

2

ewMM +

02

3,01MM

t

+ dans une trave intermdiaire

02

3,02,1MMt

+ dans une trave de rive

3. La valeur absolue des moments sur appui intermdiaire doit tre aumoins gale :0,6.M0 pour une poutre 2 traves,0,5.M0 pour les appuis voisins des appuis de rive dune poutre plus de 2 traves,0,4.M0 pour les autres appuis intermdiaires dune poutre plus de 3 traves


200

Pratique :a. Dtermination du moment isostatique des traves de comparaison M0,

b. Dtermination des moments sur appuis : application dun des 3 cas suivants :

Poutre 2 traves0,6.M0

Poutre 3 traves 0,5.M0 0,5.M0

Poutre plus de 3 traves

0,5.M0 0,5.M00,4.M0 0,4.M0

M0 est la valeur maximale des moments isostatiques des deux traves decomparaison voisines de lappui considr.

c. Dtermination des moments en trave Mt par application des conditions 1 et 2.



101/154

30/11/2012

101

201

3. Arrts de barres forfaitairesForfaitairement, si q < g et si les charges sont uniformmentrparties, on peut se passer de tracer la courbe enveloppe

l1 l2

At : armatures calcules en trave

a2 a210

2l

a1 a12t

A

101l

a1 a2

b1

= sl

llb ;

4;

4max 21

1

du ct de la trave de riveb2

=

sl

llb ;

5;

5max 21

2

du ct de la trave intermdiaire

202

4. Mthode de Caquot

Les recommandations professionnelles relatives lapplication de lEC2 en France (Clause 5.6.1)

recommande cette mthode pour les poutrelles etpoutres des planchers autres que ceux chargedexploitation modre.


102/154

30/11/2012

102

203

4. Mthode de CaquotDomaine dapplication :

- Constructions industrielles (charge dexploitation leve)

Q > inf (2G; 5000 N/m),

- Cette mthode sapplique galement aux planchers chargedexploitation modre lorsque que lune des conditions de lamthode forfaitaire nest pas remplie

204

Principe :

- Calcul forfaitaire du moment de flexion sur appui en ne prenant encompte que les charges appliques aux deux traves qui lencadrent

Map ?

- Calcul du moment de flexion dans la trave partir des chargesappliques cette trave et des moments aux appuis qui lencadrent.

g, q g, qg, q g, q g, q

Mt

g, q g, qg, q g, q g, q

Mw Me

4. Mthode de Caquot


103/154

30/11/2012

103

205

NotationsSoit lappui i dune poutre continue :

- Lw et Le, respectivement les portes entre nus gauche et droitede lappui,

- lw et le, les traves fictives respectivement gauche et droite delappui i,

l = l si la trave est simplement appuye sur lautre appui,l = 0,8.l si elle est continue au-del de lautre appui.

- pw et pe, les charges rparties uniformes de ces deux traves,- Pw et Pe, les charges concentres appliques des distances aw etae de lappui i

Lw/ lwi Le/ le

pw, PW, aw pe, Pe, ae

4. Mthode de Caquot

206

Application

pour des poutres inertie constante le long de la poutre continue,le moment dappui est gal en valeur absolue :

- dans le cas o le chargement est constitu de charges rparties :

- dans le cas o le chargement est constitu de charges concentre :

( )''3'3'

5,8ew

eeww

lllplp

++

''

2'

ew

ww

ll

lkP

+''

2'

ew

ee

ll

lkP

+ou

avec k qui peut scrire de manire analytique sous la forme :

=

'2

'1

'125,2

1

l

a

l

a

l

ak

4. Mthode de Caquot


104/154

30/11/2012

104

207

avec :- Iw et Ie, les moments dinertie des traves de gauche et de droite

- est le rapport

Application

pour des poutres inertie variable le long de la poutre continue, lemoment dappui est gal en valeur absolue :

( )

+

+

15,8

2'2'

eewwlplp

- dans le cas o le chargement est constitu de charges rparties :

- dans le cas o le chargement est constitu de charges concentres :

+1

'

ww lkP

+1

'

eelkP

ou

ew

we

Il

Il'

'

4. Mthode de Caquot

208

5. Courbes enveloppesPour tracer les courbes enveloppes :

Soit une partie dune poutre continue :

Li-1

Li

Li+1p

p Liet sa poutre isostatique associe

1. les mthodes forfaitaires et Caquot donnent les moments aux appuisMw et Me,2. ltude de la poutre isostatique donne le moment m0(x)p

m0(x) sous p


105/154

30/11/2012

105

209

Le moment M(x) le long de la trave de la poutre continue est donne

par :Mw Me

x

Mf(x)

( ) ( )l

xM

l

xMxmxM ewf +

+= 10

Pour obtenir le moment maximum en trave, il suffit alors de drivercette expression par rapport x, donc de rsoudre :

( ) ( )0

0

=+=l

M

l

M

dx

xdm

dx

xdMew

5. Courbes enveloppes

pour obtenir labscissexMax du maximum, et calculerMf(xMax)

210

De mme leffort tranchant est obtenu en drivantMf(x) :

( ) ( ) ( )l

Ml

MxVl

Ml

Mdx

xdmdx

xdMxV ewewf

+=+== 00

)(



106/154

30/11/2012

106

211

Poutre tudie :

trave L

A B


212

Les diffrents cas de charge ont donn la courbe enveloppesuivante :

A B

Mf

x



107/154

30/11/2012

107

213

EC2 9.2.1.3 : Pour valuer leffort agissant sur unemembrure tendue, il convient de dcaler la courbeenveloppe de la distance

al =z (cot cot)/2


dpend de lorientation choisie pour les bielles deffort tranchant

214

A B

Mf

Courbe enveloppe dcale dea1 :

a1x

a1

a1a1



108/154

30/11/2012

108

215

On en dduit la courbe des moments rsistants et donc larrt desbarres :

A B

Mf

MRd

MRd

Acier en trave en fibre infrieure

lbd lbd

lbdlbd

Acier sur appui en fibre suprieure


216

EC2 6.2.3(5) : Dans les parties sans discontinuit de VEd(chargement uniforme), la dtermination des armatures

d'effort tranchant sur une longueur lmentairel =z (cot+ cot)

peut tre effectue en utilisant la plus petite valeur de

VEd sur cette longueur.



109/154

30/11/2012

109

217

Dalles rectangulaires

218

PLAN

Introduction1. Portes

2. Poutres Dalles3. Dalles portant sur 4 cts articuls4. Dalles continues5. Section dacier minimale6. Effort tranchant

Dalles rectangulaires


110/154

30/11/2012

110

219

Introduction

Diffrents types de planchers :

- planchers poutres parallles rapproches,

- planchers avec dalle reposant sur des poutres secondaires etdes poutres principales,

- planchers hourdis creux,

- planchers champignons et planchers dalles.

220

- lx : porte la plus petite,

- ly : porte la plus grande,- : lancement du panneau,

- ed : paisseur de la dalle

lx

ly

y

x

l

l=

1. Portes

Si < 0,5 : la dalle est considre comme une poutre-dalle ne reposantque sur ses 2 grands cts (EC2 5.3.1 (5)),

Si 0,5 : le calcul doit prendre en compte que la dalle repose sur ses4 cts.

1. Dalle reposant sur 2 cts dimensionnement type poutre

2. Dalle reposant sur 4 cts :


111/154

30/11/2012

111

221

La dalle se comporte comme une poutre de porte lx,

Les armatures sont dimensionnes comme pour une poutre desection ed x 1 m et de porte lx.

Remarque : Dans le cas dune poutre-dalle continue, les mmesmthodes de calcul peuvent tre effectues.

2. Poutres Dalles

Dans lautre direction, il faut assurer le ferraillage minimum deflexion

222

Calcul thorique possible laide de la thorie des plaques

Rsolution complexe

Utilisation dabaques ou de calculs parlments finis

3. Dalles portant sur 4 cts articuls

Les recommandations professionnelles relatives lapplication delEC2 en France reconduisent les abaques dj prsents dans leBAEL qui donnent des rsultats similaires des calculs EF.


112/154

30/11/2012

112

223

Les moments flchissants dvelopps au centre dun panneauarticul sur son contour sont (BAEL Annexe E.3) :

a) dans le sens lx : Mx = x.p.lxb) dans le sens ly : My = y.Mx

avec p : charge uniformment rpartie par unit daire et couvrantentirement la dalle

X et Y : coefficients donns par desabaques en fonction de

3. Dalles portant sur 4 cts articuls

X Y

0,40 0,11

0,45 0,102

0,50 0,095

0,55 0,088

0,60 0,081 0,305

0,65 0,0745 0,3690,70 0,068 0,436

0,75 0,062 0,509

0,80 0,056 0,595

0,85 0,051 0,685

0,90 0,046 0,778

0,95 0,041 0,887

1,00 0,037 1,000

Remarque : Les valeurs de y < 0,25 (correspondant < 0,557 ) ne sont pas prendre en compte

224

Notations :

M0x et M0y : moments de la dalle isostatique associe dans les 2directions X et Y,

Mtx et Mty : moments en trave dans les 2 directions X et Y,

Max et May : moments sur appuis dans les 2 directions X et Y,

4. Dalles continues (autres que les poutres-dalles)


113/154

30/11/2012

113

225

Panneau courant :

Ce qui peut tre obtenu avec

Il faut respecter dans les deux directions larticle A.8.2,32 (BAEL) :

0.25,12

MMM

M ewt +

+

En trave Sur appui

Possibilit 1

Possibilit 2

Mtx > 0,85.M0x

Mty > 0,85.M0y

Mtx > 0,75.M0x

Mty > 0,75.M0y

MaX = May> 0,4.M0x

MaX = May> 0,5.M0x


226

Panneau de rive :

BAEL : appui de rive dune dalleMe etMw 0,15.M0

et respecter

exemple :

si le bord libre est le bord gauche : on peut prendreMt= 0,85M0,Ma =Mw = 0,3.M0 etMe = 0,5.M0

0.25,1

2

MMM

M ewt

++



114/154

30/11/2012

114

5. Section dacier minimale

EC2, 9.2 : Comme pour les poutres, la section darmatureslongitudinale dune dalle dans les deux directions doit tresuprieure ou gale :

= dbdb

f

fA

tt

yk

ctms

0013,0;26,0maxmin,

bt: largeur moyenne de la zone tendue

228

Si 0,5 Vx =p.lx

2

1

1 + /2

Vy =p.ly

3

6. Effort tranchant

Pour une dalle, portant sur 4 cts, on pourra utiliser lesformules suivantes :


115/154

30/11/2012

115

Les armatures deffort tranchant ne sont pas ncessaires si(EC2, 6.2.1 et 6.2.2) :

( ) dbkvfkCVV wcpcklcRdcRdEd 1min3/1

,, ;100max +=

Asl section des armatures tendues, prolonges sur plus de (lbd + d) au-del de la section considre, bw largeur de la section droite dans la

zone tendue (mm), cp =NEd/Ac < 0,2fcd en MPa,NEd effort normalagissant dans la section droite en newtons (NEd > 0 pour lacompression),AC section droite du bton (mm2)

0,2200

1 +=d

kfck en MPa, , den mm,l =Asl/bwd0,02

CRd,c = 0,18/c, k1 = 0,15 et, vmin = (0,34/c)fck1/2 (pour les dalles),

si des aciers deffort tranchant sont ncessaires, les calculer

comme pour une poutre

6. Effort tranchant



116/154

30/11/2012

116

231

Mthode bielles / tirants

232

Introduction

Mthode bielles / tirants : gnralisation du modle de treillis de Ritter-Mrsch etde la mthode des bielles applique aux semelles

utilisation dans des rgions de continuit des poutres etdes dalles dans ltat fissur (EC2, 6.1-6.4)

utilisation dans les rgions de discontinuits (EC2, 6.5)


117/154

30/11/2012

117

233

Introduction

La dfinition de modles Bielles-Tirants approprie chaque problme sappuie sur :- les distributions de contraintes donnes par la thorie lastiquelinaire

- la mthode du cheminement des charges

Les directions desbielles et destirants sont confondues aveccelles des rsultantes des efforts de compression et de traction

Lesnuds sont situs lintersection des bielles et des tirants

234

PLAN

1. Gnralits

2. Justifications3. Application aux semelles superficielles

4. Application aux poutres voiles

5. Application aux consoles courtes

Introduction


118/154

30/11/2012

118

235

1. Gnralits

Les modles Bielles-Tirants sont constitus de 3lments : bielles : soumises des contraintes donnes decompression,

tirants : reprsentant les armatures,

nuds : lments assurant la connexion.

les justifications sont menes lELU

236

Bielles en bton (EC2, 6.5.2)Il faut vrifier dans la bielle que :

avec ou sans compression transversale : la rsistance dunebielle en bton :

avec traction transversale (zones de compression fissure) : larsistance dune bielle en bton :

cdRd f=max,

2. Justifications

cdRd f'6,0max, =

2501' ck

f=avec :

max,Rdcc


119/154

30/11/2012

119

237

Tirants en acier (EC2, 6.5.3)

Dimensionner les aciers des tirants principaux(lments en traction dans le treillis) et les tirantssecondaires (empchant le fendage des bielles encompression)

rsis

EC2 base.pdf

Documents

Transcript of EC2 base.pdf