量纲分析建模 - sdut.edu.cn · 例2 :...
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量纲分析建模一、单位与量
1、单位
数学建模的目的是解决实际问题,而实际问题中的量都有
相应的单位。数学中纯粹的数在实际问题中不具有明确的含
如在实际问题中谈某个长度量,在关注其数值的同时还必须关
注其单位,否则,我们便没有把这个量完全弄清楚。但实际问
题中的诸多量并非全是相互独立的,其中一些量能起到基本量
的作用,其它量是这些基本量的符合某种规律的组合,如速度
是长度与时间这两个基本量的一种规定的组合。
如果规定了基本量的单位,其它量的单位也随之确
定义:一组物理
量,若彼此相
互独立,且其
它物理量均是
这些物理量的
合乎某种规律
的组合,则称
这些物理量为
基本物理量。
物理量 量纲 单位 符号
长度 L 米 m
质量 M 千克 kg
时间 T 秒 s
电流强度 I 安培 A
温度 开尔文 K
光强 J 坎得拉 cd
物质的量 N 摩尔 mol
基本量信息表
Θ
2、基本物理
.系统运动问题都是MLT
,TLM 三个基本量纲涉及许多物理问题的研究只 ,,
示成任一物理量的量纲可表系统中在 ,MLT
7654321 ααααααα NJITMLQ Θ=
3、量
.系统我们称这样的问题为MLT
定义:一物理量与基本物理量之间的规定关系,称为该量的
量纲。这种规定关系常以基本物理量的幂指乘积形式表示,
因此也称为量纲积。即任一物理量的量纲皆可表示成
cba TLMQ =
1−LT速度2−LT加速度
2−MLT力22 −TML、 功能量
32 −TML功率1−T频率
21 −− TML压强
系统中各物理量的量纲在MLTM质量
T时间L长度
2−MT表面张力
3−ML密度
22 −TML转矩
1−MLT动量
22 −TML熵
22 −− TML比重12 −TML角动量
22 −TML热量
2ML转动惯量
1−T角速度2−T角加速度
11 −− TML粘性
4、量纲与单位的关系
1)、量纲和单位都在反映物理量的特征,反映该物理量与基本物理量间的关系。
2)、任何物理量的量纲是唯一的,但单位可以有多个。
)./(),/()/(,1
hkmskmsmLT
还可以是也可以是
但其单位可以是如速度的量纲是 −
3)、有的量可以没有量纲,但它可能有单位。如角度
4)、物理量的量纲及其相互关系反映了各量之间的内在属性,这是量纲关系能用于建立数学模型的理论基础。
二、量纲齐次性定理
.0),,(
0),,,(,
),,2,1( ),,( 0
, ,,][A
),2,1( ][
,, ,)(,,0),,(,,,
21
211
21
1
2121
2121
等价
与且个相互独立的无量纲量为则
个基础解为的
若齐次线性方程组维向量对其秩为称为量纲矩阵矩阵
的量纲可表为是基本量纲
理定律是与量纲选取无关的物个物理量是设
=
=−=
−==
−=
=
==
≤
=
−=
×
=
∏
∏
m
rm
m
j
yjk
Tkmkkk
mnij
n
ii
mn
mm
qqqf
Frmq
rmkyyyyrmAy
ymra
mjXq
qqqmnXXXqqqfmqqq
kj
ij
ππππ
α
定
分析及符号:单摆运动是指用细线悬挂的小球离开其平衡位
置后在重力的作用下所做的平面往复运动。与运动过程
相关的主要因素有:
三、建模实例
例子.:建模描述单摆的运动周期
运动周期
摆线长度
摆球质量
重力加速度
单摆的振幅
tlm
g
θ
θ
模型假设:
1、小球运动过程中不考虑空气阻力。
2、忽略地球自转对单摆运动的影响。
3、摆线是刚体,在单摆运动过程中不发生形变。
4、忽略摆轴处的摩擦力影响。
建立模型:我们先找到在问题分析中所提各物理量的量纲,它们分别
为: .1][ ,][ ,][ ,][ ,][ 2 ===== − θLTgMmLlTt
单摆运动的规律必可表示为 0),,,,( =θgmltF由于等式右端是无量纲量,所以等式左端的项应具有形式
πθααααα =54321 gmlt.表示无量纲量式中π
1)(][ 53424154321 22 === +−− ααααααααααα θθπ MLTLTMLT
于是有
θππ === −2
212
1 lgtglt
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
===+=−
55
ααααααα
0002
3
32
41
该方程组的基础解系为: TT )1,0,0,0,0(,)0,1,0,1,2( 21 =−= ηη
于是有模
即 0),(),,,,( 21 == ππθ f0gmltF 等价于
gltkf )(),(),( 2121 θλππππ == 则有存在隐函数若
。, 定了该问题的模型就完全确若能确定 )(θλ
)( 定理定理量纲齐次性定理 −π,Buckingham
,xxxF n 是量纲齐次的方程 0),,,( 21 = 当且仅当它可表示成
0),,,( 21 =mf πππ
.,,2,1 为无量纲常数其中各 mii =π
.的幂指乘积均是各这里各 ii xπ
nan
aa xxx 11211211 =π
:例如
.:2 在管道内的稳定流动描述不可压缩粘性流体例
.1: 缩流体粘性均匀且不可压假设 、
相关因素: l管道长 v流速 ρ流体的密度
p管道两端的压强 µ粘性系数 g重力加速度
因素的量纲: ][ Ll =
齐次关系:1L][ απ =
.、2 力可以不计管道壁与流体间的磨擦
5436542654321 22-3 TL ααααααααααααα ++−−−+−−−+= M000TL M=
1][ −= LTv 3][ −= MLρ21][ −−= TMLp11][ −−= TMLµ2][ −= LTg
2)LT( -1 α 33 α)( −ML 4)( 21 α−− TML 5)( 11 α−− TML 6)( 2 α−LT
方程组由此得一六个未知量的
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−−=++=+−−−+
022 - 0
03
6542
543
654321
ααααααα
αααααα
100
010
001
6
5
4
,,,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ααα
令
,:
121 pv −−= ρπ
为的三个无量纲乘积分别于是与这六个参数有关
( )( )( ) 100021
010111 001120
T
3
2
T1
−=−−−=
−−=
eee
T得基础解系
,1112 µρπ −−−= vl glv 2
3 −=π0),,,,,( =gpvlF, µρ规律依据量纲齐次性原理
.0),,( 321 =πππf等价于
,p 量表示流动规律的结果变我们用流动中的压强
.),,( 321 即则可等价地写出 πππ h=
1 1 -3 -1 -1 10 0 1 1 1 0 0 -1 0 -2 -1 -2
A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
其系数矩阵为
22 3( , ).p v hρ π π=
量纲分析法建模的工作步骤
一、找出含目标因素在内的各主要相关因素。
二、写出含目标因素在内的各主要相关因素的量纲积。
。
、 i
常数该表达式的指数为待定量纲表达式
的纲量各主要相关因素的无量写出含目标因素在内的三
π
并求基础解系到齐次线性方程组利用量纲齐次性原理得四 ,、
的表达式各依据各基础解分别写出五 i、 π
.0),,,( 21 ikf、 ππππ 中解出含有目标因素的在六 =
烤火鸡:问题 分钟每磅烤烤炉设置到烤火鸡的规则定为 20400: F,°
?这条规则合理吗
:因素 ,t烘烤时间 ,l火鸡的尺寸 ,mT∆烤鸡与烤炉的温差
,cT∆熟肉与烤炉的温差 k烤鸡的热传导系数
( )长度温度
时间面积能量 ×=k
变量
量纲
mT∆cT∆ k l t
21 −− TML 21 −− TML 12 −TL L T
问题1 不允许缺货的存贮模型
配件厂为装配线生产若干种部件,轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费(与生产数量无关),同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已知某一部件的日需求量100件,生产准备费5000元,存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于需求,并且不允许出现缺货,试安排该产品的生产计划,即多少天生产一次(称为生产周期),每次产量多少,可使总费用最小。
问题分析若每天生产一次,每次100件,无存贮费,生产准备费5000元,每天费用5000元;
若10天生产一次,每次1000件,存贮费900+800+…+100=4500元,生产准备费5000元,总计9500元,平均每天费用950元;
若50天生产一次,每次5000件,存贮费4900+4800+…+100=122500元,生产准备费5000元,总计127500元,平均每天费用2550元;
寻找生产周期、产量、需求量、生产准备费和存贮费之间的关系,使每天的费用最少。
模型假设
1 连续化,即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量;
2 产品每日的需求量为常数 r ;
3 每次生产准备费 C1,每日每件产品存贮费 C2;
4 生产能力为无限大(相对于需求量),当存贮量
降到零时,Q件产品立即生产出来供给需求,即
不允许缺货。
设 t 时刻的存贮量为 q(t) ,t = 0时生产 Q 件,
存贮量 q(0) = Q , q(t) 以需求速率 r 线性递减,
直至q(T) = 0,如图。q(t) = Q- r t, Q = r T 。
ot
q
Q
T
rA
不允许缺货模型的存贮量q(t)
存贮量的计算
一个周期内存贮量 dttqT
∫0 )(
一个周期内存贮费 dttqcT
∫02 )(
2QT
= (A的面积)
一个周期的总费用
dttqccCT
∫+=021 )(
22
2
2121rTccQTcc +=+=
每天平均费用22
1 rTcTc
TCTC +==)(
2 2
1 rTcTcTCT +=)(min满足求
模型求解
用微分法 0222
1 =+−=′ rcTcTC )(
rccT2
12=
2
12c
rcrTQ ==
每天平均最小费用 rccC 212=
著名的经济订货批量公式(EOQ公式)。
结果解释
rccT2
12=
2
12c
rcrTQ == rccC 212=
当准备费 c1 增加时,生产周期和产量都变大;当存贮费 c2 增加时,生产周期和产量都变小;当日需求费 r 增加时,生产周期变小而产量变大。这些定性结果符合常识,而定量关系(平方根,系数2 等)凭常识是无法得出的,只能由数学建模得到。
敏感性分析
讨论参数 rcc ,, 21 有微小变化时对生产周期T 影响。
由相对变化量衡量对参数的敏感程度。
T 对c1 的敏感程度记为 ),( 1cTS
111 cc
TTcTS∆∆
=),(Tc
dcdT 1
1
≈Tc
rccrc 1
2
1
2
2
2
21
⋅=21
=
21
2 −=),( cTS21
−=),( rTS
意义是当准备费增加1%时,生产周期增加0.5% ;
而存贮费增加1%时,生产周期减少0.5% ;
日需求量增加1%时,生产周期减少0.5% 。
21
1 =),( cTS21
2 −=),( cTS21
−=),( rTS
当 rcc ,, 21 有微小变化对生产周期影响不太大。
模型假设
1 连续化,即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量;
2 产品每日的需求量为常数 r ;
3 每次生产准备费 C1,每日每件产品存贮费 C2;
4 生产能力为无限大(相对于需求量),允许缺
货,每天每件产品缺货损失费C3 ,但缺货数量需
在下次生产(订货)时补足。
问题2 允许缺货的存贮模型
因存贮量不足造成缺货,因此 q(t) 可取负值,
q(t) 以需求速率 r 线性递减,直至q(T1) = 0,如
图。q(t) = Q-r t, Q = r T1 。
ot
q
Q
T
rA
允许缺货模型的存贮量q(t)
RT1 B
一个周期内缺货损失费
一个周期内存贮费 dttqcT
∫1
02 )(2
12
QTc=
一个周期的总费用
rQrTc
rQccC
22
2
3
2
21)( −
++=
每天平均费用
dttqcT
T∫ 13 )(
21
3))(( TTQrTc −−
=
rQrTc
2
2
3)( −
=
rQc2
2
2=
rTQrTc
rTQc
TcQTC
22
2
3
2
21 )(),( −
++=
满足求 QT ,
模型求解
用微分法令
3
32
2
12c
ccrc
cT +⋅=′
32
3
2
12cc
cc
rcQ+
⋅=′
每天平均最小费用 ),( QTCC ′′=
rTQrTc
rTQc
TcQTC
22
2
3
2
21 )(),(min −
++=
0 0 =∂
∂=
∂∂
QQTC
TQTC ),(,),(
QRQQTT λλλ ==′=′ ,/,
结果解释
QRQQTT ><′>′> 1 ,,,λ 即允许缺货时,
周期和供货量增加,周期初的存贮量减少。
2)缺货损失费愈大, 愈小, 愈接近 ,
愈接近 。
1)
λ T ′ T RQ ,′
Q
3
32
ccc +
=λ
3) ,时,当 13 →∞→ λc QRQQTT →→′→′ ,,
不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。