EA-01 Introdução à Avaliação Operacionalhelcio/GE-814 ANOVA_Delineamento de um... ·...
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GE-814: Introdução à Avaliação Operacional
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Objetivo
Que a audiência se familiarize com a
Análise de Variância (ANOVA) e o
delineamento de um único fator.
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Roteiro
ANOVA
Delineamento de um único fator
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Roteiro
ANOVA
Delineamento de um único fator
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Definição
A análise de variância (ANOVA) é um
método para testar a igualdade de mais
de três médias populacionais, baseado
na análise de variâncias amostrais.
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Por que não usar teste-t?
Por que não fazer múltiplas
comparações usando o teste-t?
Chance de incorretamente identificar a
diferença das médias (erro tipo I) é
aumentada para 1-(1-α)n
Por exemplo: para 4 sistemas (n=6
[12,13,14,23,24,34], α=0.05), a proba-
bilidade de falsa rejeição é de 26%
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ANOVA
As hipóteses da ANOVA são as seguintes:
Um outro modo de se colocar estas hipóteses
é ( ):
0 1 2
1
: ...
: , para pelo menos um par ( , )
a
i j
H
H i j
0 1 2
1
: ... 0
: 0, para pelo menos um
a
i
H t t t
H t i
i it
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Notações
Tratamento
(nível) Observações Total Média
1 11y 12y ... 1ny 1y
1y
2 21y 22y ... 2ny 2y 2y
...
...
...
...
...
... ...
a 1ay 2ay ... any ay ay
Total 1y 2y ny y y
1
1 1
, 1, 2, ... ,
, ,
n
ii ij i
j
a n
ij
i j
yy y y i a
n
yy y y N an
N
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ANOVA
O nome Análise de Variância é devido ao fato
de que nós decompomos a variância total (SST)
em 2 partes.
Pode ser mostrado que:
2
1 1
( )a n
T ij
i j
SS y y
2 2 2
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )a n a a n
T ij i ij i
i j i i j
SS y y n y y y y
SSTratamentos
≠ entre média dos tratamentos e
média geral
SSErro
≠ entre obs dentro dos
tratamentos e a média
tratamentos
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ANOVA
SSErro
Variância devido ao acaso ou fatores
desconhecidos
SSTratamentos
Variância devido à fonte explicada ou fatores
conhecidos
2 2 2
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )a n a a n
T ij i ij i
i j i i j
SS y y n y y y y
SSTratamentos
≠ entre média dos tratamentos e
média geral
SSErro
≠ entre obs dentro dos
tratamentos e a média
tratamentos
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Média Quadrada dos Erros
Substituindo o modelo na
equação acima temos:
Que após desenvolvimentos nos mostra que:
2 2 2
1 1 1 1 1
1( )
ij i
a n a n a
ij i
i j i j iErrosErros
y y y ynSS
MSN a N a N a
ij i ijy t e
2
2
1 1 1 1
1 1( ) ( )
a n a n
Erros i ij i ij
i j i j
E MS E t e t eN a n
2( )ErrosE MS
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Média Quadrática dos Tratamentos
Através de uma abordagem similar à
anterior, podemos mostrar que:
2
1
2 1
( )
1
( )1
a
i
iTratamentos
a
i
iTratamentos
n y y
MSa
n t
E MSa
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Logo, se a hipótese nula for verdadeira, tanto
a Média Quadrática dos Erros quanto a
Média Quadrática dos Tratamentos irão ser
estimadores não tendenciosos da variância.
Média Quadrática dos Tratamentos
2 2 21 0( )
1 1
a
i
iTratamentos
n t
E MSa a
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Estatística F
Caso a hipótese nula seja verdadeira, a razão:
terá uma distribuição F.
Se:
Deveremos rejeitar H0
0Tratamentos
Erros
MSF
MS
0 , 1,a N aF F
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Efeitos da Variabilidade
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Efeitos da Variabilidade
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Estimativa dos parâmetros
Para se construir o modelo, utiliza-se a
seguinte fórmula:
i it y y
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Suposições
Valem as seguintes suposições quando testamos a hipótese de que três ou mais amostras provêm de populações com a mesma média:
1) as populações têm distribuições normais
2) as populações têm o mesmo desvio-padrão
3) as amostras são aleatórias e mutuamente independentes
4) as diferentes amostras provêm de populações classificadas em apenas uma característica
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Exemplo
Os resultados a seguir são de um experimento com
quatro tipos diferentes de caixas (“containers”) em
que foram comparadas suas resistências à
compressão (em lb):
tipo de
caixa força de compressão (lb)
média da
amostra
desvio-padrão
da amostra
1 655,5 788,3 734,3 721,4 679,1 699,4 713,00 46,55
2 788,3 772,5 786,9 686,1 732,1 774,8 756,78 40,19
3 734,3 639,0 696,3 671,7 717,2 727,1 697,60 36,62
4 721,4 628,7 542,4 559,0 586,9 520,0 593,07 73,27
grande média 690,11
J: quantidade de medidas
I: f
ato
res
(ou t
rata
mento
s)
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Variação entre amostras (MSTratamentos)
Variação dentro das amostras (MSErros)
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ANOVA do Exemplo
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Roteiro
ANOVA
Delineamento de um único fator
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Delineamento de um único fator
O EMAER solicitou que seu grupo
realize estudos para avaliar qual
aeronave a III FAE deva enviar para o
exercício Red Flag de modo a melhor
representar o povo brasileiro, ou seja,
qual aeronave do acervo da III FAE
possui melhor média no emprego de
bombas?
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Dados
AT-26 A-29 F-5M A-1
51 59 40 37 50 56 41 34 57 45 40 40 54 50 34 38 55 51 38 36
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Tabela da ANOVA
Fonte da
Variação
Graus de
Liberdade
Soma
Quadrada
Média
Quadrada
Estatís-
tica F
Trata-
mentos
Erro
Expe-
rimental
Total SSTra +
SSErro
2
1
( )a
i
i
n y y
2 2
1 1 1
1ij i
a n a
i j i
y yn
1a
N a
1N
2
1
( )
1
a
i
i
n y y
a
2 2
1 1 1
1ij i
a n a
i j i
y yn
N a
Tra
Erro
MS
MS
( 1, )F a N a
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Cálculos
2 2 2
1
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
( ) 5[(53,4 45,3) ... (37 45,3) ] 1135
1 1[51 50 ... 36 ] [267 ... 185 ]
5
42380 42176,8 203,2
ij i
a
Tra i
i
a n a
Erro
i j i
SS n y y
SS y yn
AT-26 A-29 F-5M A-1 Total
51 59 40 37 187 50 56 41 34 181 57 45 40 40 182 54 50 34 38 176 55 51 38 36 180
Total ( iy ) 267 261 193 185 906
Média ( iy ) 53,4 52,2 38,6 37 45,3
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Tabela da ANOVA
Fonte da
Variação
Graus de
Liberdade
Soma
Quadrada
Média
Quadrada
Estatística
F
Aeronave 3 1135 378,3 29,8 3,24
Erro
Expe-
rimental
16 203,2 12,7
Total 19 1138,2
0,05(3,16)F
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Tabela da ANOVA
Fonte da
Variação
Graus de
Liberdade
Soma
Quadrada
Média
Quadrada
Estatística
F
Aeronave 3 1135 378,3 29,8 3,24
Erro
Expe-
rimental
16 203,2 12,7
Total 19 1338,2
0,05(3,16)F
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Observe que
1 1
2 2
3 3
4 4
,
53, 4 45,3 8,1
52, 2 45,3 6,9
38,6 45,3 6,7
37,0 45,3 8,3
8,1 26
6,9 2945,3
6,7 5
8,3 1
ij i ij i i
ij
y t e t y y
t y y
t y y
t y y
t y y
se AT
se Ay
se F M
se A
1
0n
i
i
t
Modelo
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Conclusão parcial
Existe pelo menos uma aeronave cuja
média difere das demais!
Para se saber qual, o teste indicado é o
teste de Tukey.
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R
-5 0 5 10 15 20
Xa
v-A
29
Xa
v-F
5A
29
-F5
Xa
v-A
1A
29
-A1
F5
-A1
95% family-wise confidence level
Differences in mean levels of aeronave
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Conclusões
As aeronaves A-1 e F-5M não
possuem diferença estatística entre
si, sendo melhores que as
aeronaves A-29 e AT-26, que não
possuem diferença estatística entre
si.
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Exercício 1
O EMAER solicitou que seu grupo
realize estudos para avaliar qual
dos seguintes mísseis deve ser
adquirido pelo COMAER dados os
resultados da Miss Distance de 12
lançamentos realizados nas
campanhas de testes.
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Exercício 1
A-Darter Piranha Python 69,27 56,01 68,4 88,11 72,18 88 83,11 69,97 85,97
118,29 97,83 116,53 98,67 83,99 102,83
147,52 130,47 142,52 64,26 51,29 64,25 80,61 62,16 80,96 78,11 64,89 80,24
110,66 95,61 110,53 91,58 79,13 96,12
139,38 125,38 139,61
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Exercício 2
Abaixo encontram-se o número de erros feitos em cinco
sucessivos dias por mecânicos realizando manutenção na
turbina da aeronave A-1.
Teste, ao nível de significância α=0,05, se as diferenças entre
os mecânicos podem ser atribuídas ao acaso
Mecânico I
Mecânico II
Mecânico III
Mecânico IV
6 14 10 9 14 9 12 12 10 12 7 8 8 10 15 10 11 14 11 11
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Exercício 3
Abaixo, encontram-se listados as perdas de massa
nas engrenagens de 8 radares TRS-2230 durante o
período de um ano com o uso de três diferentes
lubrificantes.
Lub A: 12.2, 11.8, 13.1, 11.0, 3.9, 4.1, 10.3, 8.4
Lub B: 10.9, 5.7, 13.5, 9.4, 11.4, 15.7, 10.8, 14.0
Lub C: 12.7, 19.9, 13.6, 11.7, 18.3, 14.3, 22.8, 20.4
Teste, com um α=0,10, se as diferenças entre os
lubrificantes podem ser atribuídas ao acaso.
Estime os parâmetros do modelo utilizado na análise
deste experimento.
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Roteiro
ANOVA
Delineamento de um único fator
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Objetivo
Que a audiência se familiarize com a
Análise de Variância (ANOVA) e o
delineamento de um único fator.
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GE-814: Introdução à Avaliação Operacional