関数の凹凸と２階微分

戸瀬　信之

AhPa1 S_PC1*h

kyR3年 8月 U2K�i?kyR3V

戸瀬　信之 UAhPa1 S_PC1*hV 関数の凹凸と２階微分 kyR3 年 8 月 U2K�i?kyR3V R f R9

emath Lo 6 Part 0 1 .

1変数の場合

定理

開区間 (A, B)上の C2級関数 f : (A, B) �! R

前提： f00(t) > 0 (t 2 (A, B))

このとき不等式

f (t) > f (a)+ f0(a)(t�a) (t , a)

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各点で fiず がたたうち、すげか な点 で連続。

a ECA, 13 )ns y =J (t)が 下 に

.

接点、

tener nurEtT / • i =すけ)y = f

'cos (t a)

t fcaj Oteroに 9における 指 糸に T

「

証明（その１）

F(t) := f (t) � f (a) � f0(a)(t � a)とする。

F0(t) = f

0(t) � f0(a), F

00(t) = f00(t) > 0

G0(t) > 0 (t 2 (A, B))とすると

A < s < t < B ) G(s) < G(t)これを⽤いると A < s < a < t < B ) F

0(s) < F0(a) = 0 < F

0(t)

増減表t a

F0 � 0 +

F & 0 %から F(t) > 0 (t , a)

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こ、- T )で

いこう1磯だ。

(意で劄

別の証明（h�vHQ` の定理を⽤いる）

t , aとする。h�vHQ` の定理を⽤いるとf (t) = f (a) + f

0(a)(t � a) + 12 f00(c)(t � a)2

を満たす cが tと aの間に存在する

このとき f00(c) > 0と (t � a)2 > 0から

f (t) > f (a) + f0(a)(t � a)

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i._ftp.s 。

ぢくい > o

Theo剰余な

応⽤（極⼤・極小の判定）

定理

C2級の関数 f : (A, B) ! R

t = a 2 (A, B)において f0(a) = 0- f

00(a) > 0 U`2bTX f00(a) < 0Vと

する。

このとき f は t = aで極小（`2bTX 極⼤）

（証明の準備）G : (A, B) ! Rが連続とする。また a 2 (A, B)において G(a) > 0とする。このとき-ある正数 � > 0に対して

G(t) > 0 (t 2 (a � �, a + �))

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ザ : 連結、

日 sso

でいなrateas)-

Arnomerger

aresilico tた aBhs at S 後にコメント

。

証明

f00(t)が連続であるので、ある正数 � > 0に対して

f00(t) > 0 (a � � < t < a + �)

このとき、定理を区間 (a � �, a + �)において⽤いると t , aを満たすt 2 (a � �, a + �)に対して

f (t) > f (a) + f0(a)(t � a) = f (a)

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拡。 >of

」

-o

Jca)

-) J は t= aで極」 、 drill

2変数の場合

R2の開集合 U上の関数 f : U ! Rを考える。P0(a, b) 2 U、t(⇠ ⌘) , ~0に対してF(t) = f (a + t⇠, b + t⌘)

（*?�BM _mH2） G(t) = f (x(t), y(t))に対してG0(t) = fx(x(t), y(t))x

0(t) + fy(x(t), y(t))y0(t)

F0(t) = fx(Pt) · ⇠ + fy(Pt) · ⌘

F00(t) = ⇠

⇣fxx⇠ + fxy⌘

⌘+ ⌘

⇣fyx⇠ + fyy⌘

⌘

= fxx⇠2 + 2 fxy⇠⌘ + fyy⌘

2

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v-橤、鳶i な形式の 正定値いた

。乚湔う

とい なくなった (9で Iettz、

「 仡)

に 金倁分

/← 方向

と

熒〉能

ことが叨ln= (いいしていぼ )

HCJ) Hesse行子 (1

>2bb2行列

P 2 U に対して>2bb2行列

H( f )(P) =

fxx(P) fxy(P)fyx(P) fyy(P)

!

f が C2のとき fxy = fyxですから Hは対称行列

F(t) = f (a + t⇠, b + t⌘)に対して

F00(t) =

H( f )(Pt)

⇠⌘

!,

⇠⌘

!!

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Youngの定理 .

parts-

Los、

方向 を制し

2変数の（狭義）凸関数

R2の凸開集合 U上の C2級関数 f : U �! R

fxx(P) > 0, det (H( f )(P)) > 0 (P 2 U)とする。このとき(x, y) , (a, b)ならば

f (x, y) > f (a, b) + fx(a, b)(x � a) + fy(a, b)(y � b)

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u

凸 : P.AE U f_。 Q

定理⇒ 雨Uiifgmfet-もいい眺望剋 にいいの

○× !が、

'

呍でい た)における接平面

証明の準備

P

（証明の準備）P(x, y)と P0(a, b)に対して P , P0とする。そして

~v =

⇠⌘

!=

x � a

y � b

!, ~0

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R9

P キ P。

いく, y)

t.IT

、だい 1 1

吶

𠮟 ( at t S,ettそ)

証明

F(t) = f (a + t⇠, b + t⌘)に h�vHQ`の定理を適⽤F(1) � F(0) = F

0(0) · 1 + 12 F00(c) · 12

を満たす cが 0と 1の間に存在する。f (x, y) � f (a, b) = fx(a, b)⇠ + fy(a, b)⌘ + 1

2 (H( f )(Pc)~v,~v)

~v , ~0ですから (H( f )(Pc)~v,~v) > 0f (x, y) � f (a, b) > fx(a, b)⇠ + fy(a, b)⌘

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R9

(さら ) A 3 0, 1 1 s。 ⇒ A5年 2 C 3で Bで

> 。 (しき)が )

si~E.us0.

%には、

暍いが)で誰な別だいに せいついつい した信) )

極⼤・極小の判定

R2の開集合 U上の関数 f : U ! R

（復習）

f が (a, b) 2 Uで極小・極⼤ならば fx(a, b) = fy(a, b) = 0

このとき (a, b)を f の停留点という。停留点が極⼤・極小になる十分条件を与える。

定理

(a, b) 2 Uが fx(a, b) = fy(a, b) = 0を満たす。fxx(a, b) > 0- fxx(a, b) fyy(a, b) � fxy(a, b)2 > 0

UH( f )(a, b)は正定値）

このとき (a, b)で極小となる。

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R9

u

Part 0 1 C.

焱、(いが

興 5に、 yに つい_ y2

.

ne選

にしたか?品?痴してきたが

戦、

証明のために必要な連続関数の性質

R2の開集合 U上の関数 G : U �! Rは連続とする(a, b) 2 Uに対して G(a, b) > 0とする。このとき正数 � > 0が存在して

G(x, y) > 0 ((x, y) 2 B�(a, b))

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R9

薄

P.ca、e) EU で たいに なしの 二 °

-_-→ 水打 (のt

に) f.ca ( Per) > 0,da (Hけ」(M ) > O

< 大ii) f は Poで木出いり

det Hけ) (PS < 0 と する。

一

-) J は Poで 木山大で も 木丞小で も ないeee

H = Hが ( Per ) 実対称 固有値 の so.pe odet (y ) = の p かもす Hが 二の が

ももか ぼ =ぺ '

minaFit ) = JCP。

十 七 が )

F'et) = (P

,0 は) CEI)

だ。) - 0.

81蓮だし o) = ( け け ) (Po) が心 )

a.虎鷽・濼プ

.鼠G'( 0 ) = 0 )だが でも ) = p nano !\

P。 でも出た で も 不当小 でもない 革安定

、

証明

fxxと fxx fyy � f2xyは連続です。

fxx(x, y) > 0 ((x, y) 2 B�(a, b))fxx fyy � f

2xy> 0 ((x, y) 2 B�(a, b))

を満たす正数 � > 0が存在。凸性の定理を⽤いると (x, y) 2 B�(a, b)が (x, y) , (a, b)ならば

f (x, y) > f (a, b) + fx(a, b)(x � a) + fy(a, b)(y � b)= f (a, b)

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R9

りちゃ け* #5*# 連続 せ ず に糸目 が君だなた

Jawa,EI>° , dot けけ)Gen) >o

いす S*, 5*Firesが各点 で) s O 連続

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証明

fxxと fxx fyy � f2xyは連続です。

fxx(x, y) > 0 ((x, y) 2 B�(a, b))fxx fyy � f

2xy> 0 ((x, y) 2 B�(a, b))

を満たす正数 � > 0が存在。凸性の定理を⽤いると (x, y) 2 B�(a, b)が (x, y) , (a, b)ならば

f (x, y) > f (a, b) + fx(a, b)(x � a) + fy(a, b)(y � b)= f (a, b)

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R9