E STÁTICA Y DINÁMICA

Armaduras: Una armadura es un montaje de elementos delgados y rectos que soportan cargas principalmente axiales ( de tensión y compresión ) en esos elementos.

Los elementos que conforman la armadura, se unen en sus puntos extremos por medio de pasadores lisos sin fricción localizados en una placa llama "Placa de Unión”, o por medio de soldadura, remaches, tornillos, clavos o pernos en el caso de armaduras de madera, para formar un armazón rígido.

ESTÁTICA Y DINÁMICA

ESTRUCTURAS

Como los elementos o miembros son delgados e incapaces de soportar cargas laterales, todas las cargas deben estar aplicadas en las uniones o nodos.

Se dice que una armadura es rígida si está diseñada de modo que no se deformará mucho o se colapsará bajo la acción de una carga pequeña.


La mayoría de las estructuras reales están hechas a partir de varias armaduras unidas entre sí para formar una armadura espacial.

Las armaduras simple, son aquellas armaduras que se obtienen a partir de una armadura triangular rígida, agregándole dos nuevos elementos y conectándolos en un nuevo nodo.

Si a una armadura triangular rígida le agregamos dos nuevos elementos y los conectamos en un nuevo nodo, también se obtiene una estructura rígida.Las armaduras que se obtienen repitiendo este procedimiento reciben el nombre de armaduras simples. Se puede comprobar que en una armadura simple el número total de elementos es m = 2 n -3, donde n es el número total de nodos.


ARMADURAS SIMPLES


ARMADURAS SIMPLES

ARMADURAS PARA PUENTES


ARMADURAS PARA TECHOS


• Todos los elementos de una armadura son rectos y se pueden representar por medio de rectas.

• Los nodos en los extremos de los miembros se pueden representar por medio de puntos.

• Todos los nodos se forman por pasadores sin fricción.

• El peso de cada elemento se aplica en los extremos de éste, o bien, el peso de cada elemento es despreciable.

• A una armadura sólo se le pueden aplicar cargas concentradas, y estas se aplican en los nodos.


HIPÓTESIS SOBRE UNA ARMADURAS IDEAL

• A una armadura sólo se le pueden aplicar cargas concentradas, y estas se aplican en los nodos.

• Para una armadura plana ( bidimensional), todos los elementos y caras se encuentran en el mismo plano. Para una armadura espacial ( tridimensional), los elementos no son coplanares y las direcciones de las cargas son arbitrarias.

• Se asume que sobre un elemento individual de una armadura, pueden actuar fuerzas, como las que se muestran en la figura


HIPÓTESIS SOBRE UNA ARMADURAS IDEAL

En el primer caso tienden a estirar al elemento y éste está en tensión o tracción; en la segunda figura tienden a comprimir al elemento y el mismo está en compresión.


El método de los nodos nos permite determinar las fuerzas en los distintos elementos de una armadura simple. Consiste en:

1. Obtener las reacciones en los apoyos a partir del DCL de la armadura completa.

2. Determinar las fuerzas en cada uno de los elementos haciendo el DCL de cada uno de los nodos o uniones. Se recomienda empezar analizando aquellos nodos que tengan no más de dos incógnitas. Si la fuerza ejercida por un elemento sobre un perno está dirigida hacia el perno, dicho elemento está en compresión; si la fuerza ejercida por un elemento sobre el perno está dirigida hacia fuera de éste, dicho elemento está en tensión.


ANÁLISIS DE ARMADURAS POR EL MÉTODO DE LOS NODOS

1. Determinar las fuerzas axiales en los miembros de la armadura e indicar si están en tensión o en compresión.


EJEMPLOS

Diagrama de fuerzas sobre la estructura.


Solución

Diagrama de fuerza para los nodos A y B.


Solución

2. La armadura mostrada en la figura soporta una carga de 10 kN en C. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura y determine las reacciones en sus soportes. Determine las fuerzas axiales en las barras e indique si se encuentran en tensión o compresión.




Solución

Diagrama de fuerza para los nodos A y C.


Solución

2. Utilizar el métodos de los nodos para hallar las fuerzas en cada uno de los miembros de la armadura mostrada en la figura




Solución

Diagrama de fuerza para los nodos C y D.


Solución

Resultados


Solución

El hecho de que TAB y TAD resulten nulas es una peculiaridad de las cargas y no significa que los miembros AB y AD puedan eliminarse de la armadura. En caso de cargas ligeramente diferentes, las fuerzas en esos miembros no serían nulas.

Sucede a menudo que ciertos miembros de una armadura dada no soportan carga. Los miembros de fuerza nula de una armadura suelen deberse a una de dos causas generales. La primera causa ocurre cuando dos miembros no colineales forman un nodo y sobre este nodo no hay aplicada ninguna carga externa ni reacción de apoyo.

La armadura mostrada en la figura es un ejemplo de esta condición.


MIEMBROS DE FUERZA NULA O FUERZA CERO

Diagrama de fuerza para el nodo C.

Las ecuaciones de equilibrio para el nodo C da inmediatamente la solución.


Solución

0

0

cos30 0

30 0

0 0

x BC CD

y CD

CD BC

F T T

F T sen

T y T

La segunda condición de fuerza cero ocurre cuando tres miembros formen un nodo en el cual dos de los miembros sean colineales y el tercero forme ángulo con ellos, el miembro no colineal será de fuerza cero si en el nodo no hay aplicada fuerza externa ni reacción de apoyo. Los dos miembros colineales soportan cargas iguales ( ambos están sometidos a tensión o compresión).

La armadura mostrada en la figura es un ejemplo de esta condición.


Diagrama de fuerza para el nodo B.

Las ecuaciones de equilibrio para el nodo B son:


Solución

0

0

0

x AB BC

y BD

BD

F T T

F T

T

Diagrama de fuerza para el nodo D.

Las ecuaciones de equilibrio para el nodo D son:

Pero como TBD=0, entonces se tendrá además que:


Solución

0 0

0 0

cos 60 cos 60 0

60 60 0

x DE AD BD CD

y AD BD

F T T T T

F T sen T sen

0AD DE CDT y T T

1. En la armadura simple Fink de la figura, hallar los miembros de fuerza cero.

Diagrama de fuerza para el nodo E.

De donde se tiene que:


0

0

y BE

BE

F T sen

T

2. Identificar los miembros de fuerza cero de la armadura en tijera de la figura.


Diagrama de fuerza para el nodo B

El razonamiento aplicado para el nodo B no es aplicable al nodo D, ya que éste tiene aplicada una carga exterior.Por lo tanto, los miembros de fuerza nula para el estado de carga mostrado en la figura dado son BG, BH y DF.


0

0

x BH BG

BG

F T sen T sen

T

El método de las secciones para el análisis de armaduras se basa en el equilibrio de cuerpo rígido de una parte de la armadura.Pasos para analizar una armadura por el método de las secciones.

1. Realizar un diagrama de cuerpo libre sobre la armadura completa. Escribir las ecuaciones de equilibrio y resolver estas ecuaciones para determinar las reacciones en los apoyos.

2. Localice los miembros de la armadura para los cuales se desean encontrar las fuerzas. Marque cada uno de ellos con dos trazos cortos como se muestra en la figura.


MÉTODO DE LAS SECCIONES

3. Trace una línea ( corte) a través de la armadura para separarla

en dos partes. No es necesario que la línea sea recta, sino que debe separar a la armadura en dos partes apropiadas. Así mismo, se debe tener en cuenta que cada una de las partes de la armadura debe contener por lo menos un miembro completo ( sin cortar).

4. Seleccione una de las partes de la armadura seccionadas en el paso 3 y dibuje un diagrama de cuerpo libre de ella. A menos que se tenga otra información, suponga que las fuerzas desconocidas en los miembros son de tensión.



5. Escriba las ecuaciones de equilibrio para las partes

seleccionadas en el paso 4. Si en el paso 3 fue necesario cortar más de tres miembros con fuerzas desconocidas en ellos, es posible que se tenga que considerar partes adicionales de la armadura o nodos por separados. Para determinar las incógnitas.

6. Resuelva el conjunto de ecuaciones obtenidas en el paso 5 para determinar las fuerzas desconocidas.

7. Repita los pasos 3 a 6, según se requiera, para completar el análisis.



1. Determinar las fuerzas en los elementos FH, GH y GI, de la siguiente armadura:


EJEMPLOS

Diagrama de fuerza para toda la armadura

De (2) en (1) se tiene que:


Solución

0 20 0

20 (1)

yF Ay Ly kN

Ay Ly kN

(30 ) (6 )(5 ) (6 )(10 ) (6 )(15 ) (1 )(20 ) (1 )(25 ) 0

7.5 (2)

AM m Ly kN m kN m kN m kN m kN m

Ly kN

12.5Ay kN

Fuerza en el elemento GI. Se pasa la sección nn a través de la armadura como se muestra en la figura. Utilizando la porción HLI de la armadura como cuerpo libre, se puede obtener el valor de FGI.


0 (7.5 )(10 ) (1 )(5 ) (5.33 ) 0

13.13

H GI

GI

M kN m kN m F m

F kN

Fuerza en el elemento FH. Se mueve FFH a lo largo de su línea de acción hasta que actué en el punto F y se calcula el momento para la sección de la armadura con respecto a G.


0 (7.5 )(15 ) (1 )(10 ) (1 )(5 ) cos (8 ) 0

13.81 13.81

G FH

FH FH

M kN m kN m kN m F m

F kN F kN

Fuerza en el elemento GH. Se mueve FGH a lo largo de su línea de acción hasta que actué en el punto G y se calcula el momento para la sección de la armadura con respecto a L.


0 (1 )(10 ) (1 )(5 ) cos (15 ) 0

1.371 1.371

L GH

GH FH

M kN m kN m F m

F kN F kN

2. Una armadura Fink para techo se carga como se indica en la figura. Determine la fuerza presente en los elementos BD, CD y CE.


Diagrama de fuerza para toda la armadura.

Al resolver éste sistema de ecuaciones se tiene que:


0 3 6 6 6 6 6 3 0

(9 ) (9 )(3 ) (6 )(7.5 ) (6 )(6 ) (6 )(4.5 ) (6 )(3 ) (6 )(1.5 ) 0

y

A

F Ay Ky kN

M m Ky m kN kN m kN m kN m kN m kN m

kNKyykNAy 1818

A continuación se toma la sección aa que corte los miembros BD, CD y CE y se dibuja el Diagrama de Fuerzas de la parte izquierda de la armadura.


Figura para determinar los ángulos en la armadura.


2

2.1cos;

2

6.1;

2.1

6.1tan

6.15.4

4.2)3(tan

1.5

5.4cos;

1.5

4.2;

5.4

4.2tan

sen

mmDADD

sen

Sumando momento respecto al punto D.


2

2.1cos;

2

6.1;

2.1

6.1tan

6.15.4

4.2)3(tan

1.5

5.4cos;

1.5

4.2;

5.4

4.2tan

sen

mmDADD

sen

kNT

TmkNmkNmkNmM

CE

CED

5.22

0)6.1()6)(5.1()18)(3()3)(3(0

Sumando momento respecto al punto C.


2

2.1cos;

2

6.1;

2.1

6.1tan

6.15.4

4.2)3(tan

1.5

5.4cos;

1.5

4.2;

5.4

4.2tan

sen

mmDADD

sen

kNT

TmkNmkNmkNmM

senTmkNmkNmkNmM

BD

BDC

BDC

75.29

01.54.2

)8.1()6)(3.0()18)(8.1()3)(8.1(0

0)8.1()6)(3.0()18)(8.1()3)(8.1(0

Sumando momento respecto al punto A.


0 (1.8 ) (1.5 )(6 ) 0

1.60 (1.8 ) (1.5 )(6 ) 0

2

6.25

A CD

A CD

CD

M m T sen m kN

M m T m kN

T kN

2

2.1cos;

2

6.1;

2.1

6.1tan

6.15.4

4.2)3(tan

1.5

5.4cos;

1.5

4.2;

5.4

4.2tan

sen

mmDADD

sen

Así tenemos que las respuestas buscadas son:


)(5.22

)(25.6

)(75.29

TkNT

TkNT

CkNT

CE

CD

BD

3. Determinar las fuerzas en los miembros BC y BG de la armadura mostrada en la figura.


Diagrama de fuerza para toda la armadura

Al resolver éste sistema de ecuaciones se tiene que:


0

0

0 15 30 30 30 15 30 0

0 15 30 30 30 15 cos30 0

(41057 ) (6 )(5 ) (6 )(10 ) (12 )(30 ) (18 )(30 ) (24 )(15 ) 0

x

y

A

F Ax sen

F Ay E

M m E m kN kN m kN m kN m kN m

60 ; 69.28 ; 34.64x yA kN A kN E kN

Se corta una sección por la parte central de la armadura como se muestra en la figura, se toma una sección aa que corte los miembros CD, DG y FH y se dibuja el DF de la parte derecha de la armadura.

Sumando momento respecto a H.



0 0(27.72 )(34.64 ) (13.86 )(15cos30 ) (13.86 )( 30 ) 0H CDM m kN m kN m T Sen

112.58CDT kN

Diagrama de fuerza para el nodo C

En este caso se tiene que:


0 0

0 30 0

112.58 30

x CD BC

y CD

BC CD CD

F T T

F T

T T kN y T kN

Por último se toma una sección bb que corte los miembros BC, BG, GH y FH y se dibuja el DF de la parte izquierda de la armadura.

Sumando momento respecto a H.



0 0 0

0

(13.86 )(69.28 ) (13.86 )(15cos30 ) (6.93 )(30cos30 ) (13.86 )( 30 ) 6 0

H

BC BG

M

m kN m kN m kN m T sen T

30BGT kN

Así tenemos que las respuestas buscadas son:


112.6 ( )

30 ( )BC

BG

T kN C

T kN T

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