삼각함수의 Maclaurin 급수 - inha.ac.kr · 2010-10-15 · - 5 - Ⅱ. (xddx) n의 구체적...
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교육학 석사학위청구논문
삼각함수의 Maclaurin 급수
Maclaurin Series of the Trigonometric
Functions
2005년 8월
인하대학교 교육대학원
수학교육전공
김일철
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교육학 석사학위청구논문
삼각함수의 Maclaurin 급수
Maclaurin Series of the Trigonometric
Functions
2005년 8월
지도교수 정 상 태
이 논문을 석사학위 논문으로 제출함.
인하대학교 교육대학원
수학교육전공
김일철
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본 논문을 김일철의 석사학위 논문으로 인준함.
2005년 8월
주심
부심
부심
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국 문 요 약
이 논문에서는 sinx나 cosx를 포함한 삼각함수와 이와 연
관된 여러 가지 함수의 Maclaurin 급수에 대해서 알아보고자
한다.
이를 위해서 제 1장에서는 제 2종 Stirling number의 정의
와 세 가지 동치 조건을 살펴보겠다. 제 2장에서는 연산자
(x ddx )n
의 기본 확장 공식과 함수의 Stirling number를 이용
한 무한급수 표현에 대해서 알아보고, 무한급수에서 어떻게
이용되는지 알아보고자 한다.
마지막으로, 제 3장과 4장에서는 기본 공식을 이용하여 삼
각함수와 쌍곡함수의 Maclaurin 급수에 대해서 알아보도록
하겠다.
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Contents
Ⅰ. 제 2종 Stirling number의 세 가지 동치조건 ------ 1
Ⅱ. (x ddx )n
의 구체적 표현 ---------------------- 5
Ⅲ. 삼각함수의 Maclaurin 급수 ----------------- 10
Ⅳ. 쌍곡함수의 Maclaurin 급수 ----------------- 25
참고문헌 ----------------------------------- 31
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- 1 -
Ⅰ. Stirling number의 세 가지 동치조건
이 장에서는 제 2종 Stirling number의 정의와, 세 가지 동치조건에 대
해서 살펴보겠다.
[정의 1.1] n개의 원소로 이루어진 집합을 k개의 부분집합(≠∅)으로
분할하는 방법의 수를 제 2종 Stirling number라 하고, 이 수를 S(n,k)
로 나타내면,
S(n,k)={ nk}=∑k
j=0
(-1)k-jjn
j!(k-j)! 이다.
이후의 Stirling number는 모두 제 2종 Stirling number를 나타낸다.
[정의 1.2] 자연수 x,n,k 에 대하여
∑∞
n=0S(n,k)
xn
n!=(ex-1)
k
k! 로 정의된다.
[정의 1.3] 자연수 x,n,k 에 대하여
xn= ∑
n
k=0S(n,k)(x) k 로 정의된다.
(단, (x) k=x(x-1)(x-2)…(x-k+1) , (x) 0=1 )
[정의 1.4] 자연수 x,n,k 에 대하여
∑∞
n=0S(n,k)x
n = xk
(1-x)(1-2x)…(1-kx) 로 정의된다.
먼저 정의 1.2가 어떻게 나왔는지 살펴보자.
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- 2 -
정의 1.1 에서 S(n,k) = ∑k
j=1
(-1)k-jjn
j!(k-j)! = ∑
k
j=0
(-1)k-jjn
j!(k-j)!k!k!
= 1k!∑k
j=0(-1)
k-j
(k
j)jn = 1
k!∑k
j=0(-1)
k-j
(k
k-j)jn
k-j=i 로 치환하면
= 1k!∑k
i=0(-1)
i
(k
i)(k-i)n = 1
k!∑k
j=0(-1)
j
(k
j)(k-j)n
이 된다. 따라서,
∑∞
n=0S(n,k)
xn
n! = ∑
∞
n=0
1k!∑k
j=0(-1)
j ( kj)(k-j)n x
n
n!
= 1k!∑k
j=0(-1)
j ( kj) ∑∞
n=0(k-j)
n xn
n!
= 1k!∑k
j=0(-1)
j ( kj) ∑∞
n=0
{(k-j) x}n
n!
= 1k!∑k
j=0(-1)
j
(k
j)e(k-j)x
= 1k!∑k
j=0(k
j)(-1)j (ex)
k-j = 1
k!(ex-1)
k
이 되어 정의 1.2가 나온다.
다음으로, 정의 1.3이 어떻게 나왔는지 살펴보자.
∑∞
n=0
xntn
n! = ∑
∞
n=0
(xt)n
n! = e xt = (et) x = {(e t-1)+1}
x
= ∑x
k=0(x
k)(et-1)
k1x-k = ∑
x
k=0
(x) kk!(et-1)
k
정의 1.2에 의해
= ∑∞
n=0∑n
k=0(x) kS(n,k)
tn
n!
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- 3 -
이 된다. 따라서,
xn= ∑
n
k=0S(n,k)(x) k이 되어, 정의 1.3이 나온다.
마지막으로, 정의 1.4 를 살펴보자.
∑∞
n=0S(n,k)x
n = ∑∞
n=0
1k!∑k
j=0(-1)
k-j
(k
j)jnxn = ∑
k
j=0
(-1)k-j
k! ( kj) ∑∞
n=0jnxn
= ∑k
j=0
(-1)k-j
k! ( kj)11-jx
이 된다.
정의 1.4의 우변을
xk
(1-x)(1-2x)…(1-kx) = A 0+
A 11-x
+…+Ak1-kx
= ∑k
j=0Aj
11-jx
(1.1)
라 놓고
Aj = (-1)k-j
k! ( kj)가 됨을 보도록 하자.
0 과 k 사이에 있는 임의의 자연수 j 에 대하여 (식 1.1)의 양변에
(1-jx)를 곱하면
xk
(1-x)(1-2x)…(1-(j-1)x)(1-(j+1)x)…(1-kx)
= (1-jx) {A 0+A 11-x
+…+Ak
1-(j-1)x } + Aj
+ (1-jx) {A j+1
1-(j+1)x+…+
Ak1-kx }
양 변에 x=1j
를 대입하면
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- 4 -
1
jk
(1-1j)(1-
2j)…(1-
j-1j)(1-
j+1j)…(1-
kj)
= Aj
가 된다. 따라서
Aj = 1j(j-1)(j-2)…{j-(j-1)}․{j-(j+1)}…(j-k)
= 1
j!(-1)k-j(k-j)!
= (-1)k-j
k! ( kj)이 된다. 따라서, 정의 1.4가 만족됨을 알 수 있다.
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- 5 -
Ⅱ. (x ddx )n
의 구체적 표현
이 장에서는 삼각함수의 Maclaurin 급수를 구하는데 있어서 중요하게 사
용되는 공식에 대해서 살펴본 후, Stirling number를 연산자 (x ddx )n
를 통
해 유도해보도록 하겠다.
[보조정리 2.1] 임의의 식을 미분한 후 x를 곱한 것을 xddx
, 이것을
n번 시행한 것을 (x ddx )n
로 나타내면,
∑∞
k=0knxk=(x
ddx )
n
(11-x ) 이다. (단, x≠1)
(증명) 수학적 귀납법을 이용하자.
11-x
=1+x+x2+x
3+… 이다. 이 식의 양 변을 미분하면,
( 11-x )'=1+2x+3x
2+4x
3+… 이 되므로
n=1일 때,
(xddx )
1
(11-x )=x+2x
2+3x
3+4x
4…= ∑
∞
k=0kxk
가 성립한다. 임의의 양수 n에 대하여
∑∞
k=0knxk=(x
ddx )
n
(11-x )=1
nx+2
nx2+3
nx3+…+m
nxm+…
이 성립한다고 가정하자. 이 식의 양변을 미분하면,
{ (x ddx )n
( 11-x )}'=1n1+2
n2x+3
n3x2+…+m
nmx
m-1+…
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- 6 -
이 되고, 양변에 x를 곱하면
(xddx )
n+1
(11-x )=1
n+1x+2
nx2+1+…+m
nxm+1+…=∑
∞
k=0kn+1xk
이 된다. 따라서 n+1일 때도 ∑∞
k=0kn+1xk=(x
ddx )
n+1
(11-x ) 식이 성립하
므로 준 식은 성립한다. □
Stirling number는 다음과 같은 순환 점화식을 갖는다.
[보조정리 2.2] 자연수 n,k 에 대하여
{ n+1k }=k{ nk}+{ nk-1} 이 성립한다.
(증명) 정의 1.1에 의해
k{ nk} +{nk-1} =k∑
k
j=1
(-1)k-jjn
j!(k-j)!+ ∑
k-1
j=1
(-1)k-1-j
jn
j!(k-1-j)!
= k{ ∑k-1
j=1
(-1)k-jjn
j!(k-j)!+kn
k! } + ∑k-1
j=1
(-1)k-jjn(-1)(k-j)
j!(k-j)!
= { ∑k-1
j=1
(-1)k-jjnk
j!(k-j)!+kn+1
k! }-{ ∑k-1
j=1
(-1)k-jjnk
j!(k-j)!-∑k-1
j=1
(-1)k-jjn+1
j!(k-j)! }
= kn+1
k!+∑k-1
j=1
(-1)k-jjn+1
j!(k-j)! = ∑
k
j=1
(-1)k-jjn+1
j!(k-j)!
= { n+1k } . □
[정리 2.1] 무한 번 미분 가능한 함수 f(x)에 대하여
(x ddx )n
f(x)=∑n
k=1{nk}x
k dk
dxk f(x) 이다.
(단, { nk}=∑k
j=1
(-1)k-jjn
j!(k-j)! )
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- 7 -
(증명) 수학적 귀납법을 이용하자.
n=1이면, (x ddx )1
f(x)=∑1
k=1{1k}x
k dk
dxk f(x)
={ 1k}xddxf(x)=x
ddxf(x)
이므로 준 식이 성립한다.
n일 때, (x ddx )n
f(x)=∑n
k=1{nk}x
k dk
dxk f(x) 이 성립한다고 가정하자.
그러면, (x ddx )n+1
f(x)
= ∑n+1
k=1{n+1k }x
k dk
dxk f(x)
= x{ ∑n
k=1{nk}kx
k-1 dkf
dxk +{ nk}x
k dk+1f
dxk+1 }
= ∑n
k=1(k{nk}x
k dkf
dxk +{ nk}x
k+1 dk+1f
dxk+1 )
= (1{ n1}xdfdx+{ n1}x
2 d2f
dx2 )+(2{ n2}x
2 d2f
dx2 +{ n2}x
3 d3f
dx3 )
+(3{ n3}x3 d
3f
dx3 +{ n3}x
4 d4f
dx4 )+…+(n{ nn}x
n dnf
dxn +{ nn}x
n+1 dn+1f
dxn+1 )
= {n
1}xdfdx+({n
1}+2{n
2})x2 d
2f
dx2 +({
n
2}+3{n
3})x3 d
3f
dx3
+…+({n
n-1}+n{n
n})xn d
nf
dxn +{
n
n}xn+1 d
n+1f
dxn+1
= { n1}xdfdx+∑
n
k=2({nk-1}+k{
nk})x
k dkf
dxk +{ nn}x
n+1 dn+1f
dxn+1
보조정리 2.2 에 의해
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- 8 -
= { n1}xdfdx+∑
n
k=2{n+1k }x
k dkf
dxk +{ nn}x
n+1 dn+1f
dxn+1
= { n+11 }xdfdx+∑
n
k=2{n+1k }x
k dkf
dxk +{ n+1n+1}x
n+1 dn+1f
dxn+1
= ∑n
k=1{n+1k }x
k dkf
dxk 이다.
따라서, n+1일 때에도 성립하므로, 준 식은 성립한다. □
이제, Stirling number를 유도해보도록 하겠다.
f(x) =ex=∑
∞
j=0
xj
j!
라 놓고 정리 2.1 을 적용하면,
(x ddx )n
ex=∑
n
k=1{nk}x
k dk
dxk ex=∑
n
k=1{nk}x
kex 가 된다. (2.1)
(e x)'=11!x0+22!x1+33!x2…+
nn!xn-1+… 이므로
(x ddx )1
ex=∑
∞
j=1
jj!xj 가 된다.
(xddx )
2
ex=x(∑
∞
j=1
jj!xj)'=x{∑
∞
j=1
j2
j!xj-1}=∑
∞
j=1
j2
j!xj
이 된다. 마찬가지 방법으로 계속하면
(xddx )
n
ex=∑
∞
j=1
jn
j!xj (2.2)
가 된다. 따라서 (식 2.1), (식 2.2) 에 의해
ex∑n
k=1{n
k}xk=∑
n
k=1
jn
j!xn
가 성립한다. 이 식의 양 변에 e-x를 곱하면
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- 9 -
e-xex∑n
k=1{nk}x
k=e
-x∑n
k=1
jn
j!xn = ∑
∞
i=0
(-1)i
i!xi∑n
k=1
jn
j!xn
= ∑∞
i=0∑∞
j=1
(-1)ijn
i!j!xi+j
i+j=k 라고 치환하면
= ∑∞
k=1∑k
j=1
(-1)k-jjn
(k-j)!j!xk
가 된다. 따라서,
∑n
k=1{n
k}xk = ∑
∞
k=1∑k
j=1
(-1)k-jjn
(k-j)!j!xk 가 되므로,
{ nk}=∑k
j=1
(-1)k-jjn
(k-j)! j! 이 성립한다.
정리 2.1에서 f(x) =11-x
라 놓으면, f (k)(x) =k!
(1-x)k+1
가 되고,
보조정리 2.1에 의해
∑∞
k=0knxk = (x ddx )
n
( 11-x )
= ∑n
k=0{nk}x
k dk
dxk ( 11-x )
= ∑n
k=0{n
k}xk k!
(1-x)k+1
이 된다. 그러므로 무한급수
∑∞
k=0knxk = ∑
n
k=0{n
k}k!
(1-x)k+1 x
k
가 된다.
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- 10 -
Ⅲ. 삼각함수의 Maclaurin 급수
이 장에서는 sinx, cosx를 멱급수로 표현하고, 그 외 삼각함수를
Maclaurin 급수로 표현해보도록 하겠다.
[정리 3.1] (Taylor 정리)
점 a와 b를 포함하는 어떤 구간에서 함수 f(x)가 (n+1)번째 까지의
도함수들이 존재한다고 하자. 그러면, 모든 x∈[a, b] 에 대하여
f(x) =f(a)+f '(a) (x-a)+f''(a)2!(x-a)
2 +…+f(n)(a)n!
(x-a)n+Rn(x)
(단,Rn(x) = f(n+1)(z)
(n+1)!(x-a)
n+1)이 성립하는 z가 a와b 사이에 존재한다.
함수 f(x)가 점 a의 근방에서 모든 차수의 연속인 도함수를 가진다고
하자. 그러면 Taylor 공식은
f(x) =P n(x) +Rn(x)
를 준다. 여기서
P(x) =f(a)+f'(a) (x-a)+f''(a)2!(x-a)
2 +…+f(n)(a)n!
(x-a)n
이고, a와 x 사이의 어떤 수 z에 대하여
Rn(x) =f(n+1)(z)
(n+1)!(x-a)
n+1
이다. 만일 어떤 고정된 값 x에 대하여
limn→∞Rn(x) =0
이면,
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- 11 -
f(x) = limn→∞Pn(x) = lim
n→∞(∑n
k=0
f(k)(a)k!
(x-a)k)
가 되며, 따라서
f(x) = ∑∞
k=0
f(k)(a)k!
(x-a)k
=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)2!(x-a) 2 +…+
f(n)(a)n!
(x-a)n+…
이다. 이 무한급수를 x=a에서 함수 f(x)의 Taylor 급수라 한다.
특히, a=0에 대한 Taylor 급수
f(x) =∑∞
k=0
f(k)(0)k!
xk=f(0)+f '(0)x+
f''(0)2!x2 +…+
f(n)(0)n!
xn+…
를 함수 f의 Maclaurin 급수라 한다.
그러면 우선 삼각함수 sinx, cosx를 멱급수로 표현하는 법을 알아보도
록 하겠다. 만약 함수 f(x)가 멱급수 전개를 가진다고 가정하면,
f(x) = ∑∞
n=0
f(n)(0)n!
xn
이다. 따라서 만약 sinx 가 멱급수 전개를 가진다면 이는
S(x) = ∑∞
n=0
(-1)n
(2n+1)!x2n+1
와 같아야 한다. 마찬가지로 만약 cosx 가 멱급수 전개를 가진다면 이는
C(x)= ∑∞
n=0
(-1)n
(2n)!x2n
와 같아야 한다.
이제 멱급수함수 S(x)와C(x)가 실제로 sinx와 cos x 임을 보이겠다. 우
선 두 멱급수의 수렴반경은, 비율판정법에 의해 모두 무한대가 됨을 알
수 있다. 따라서 두 멱급수는 실수 전체에서 정의된 함수가 되고, 이때,
S'(x) =C(x) , C '(x) =-S(x)
가 된다. 한편 함수
![Page 17: 삼각함수의 Maclaurin 급수 - inha.ac.kr · 2010-10-15 · - 5 - Ⅱ. (xddx) n의 구체적 표현 이 장에서는 삼각함수의 Maclaurin 급수를 구하는데 있어서](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041820/5e5d48a4a72eee1dee140006/html5/thumbnails/17.jpg)
- 12 -
f(x) =(S(x) -sinx) 2+(C(x) -cosx) 2
는 도함수가
f'(x)=2(S(x)-sinx)(S'(x)-cosx)+2(C(x)-cosx)(C'(x)+sinx)
=2(S(x)-sinx)(C(x)-cosx)+2(C(x)-cosx)(-S(x)+sinx)
=0
이 되어 함수 f(x)는 상수함수가 된다. 그리고 원점에서의 함수 값이 또한
0 이므로, f(x)는 항상 0 이 된다. 그러므로 S (x) =sinx, C (x) =cosx
가 된다.
즉, sinx= ∑∞
n=0
(-1)n
(2n+1)!x2n+1=x-
x3
3!+x5
5!-x7
7!+…
cosx=∑∞
n=0
(-1)n
(2n)!x2n=1-
x2
2!+x4
4!-x6
6!+…
이 된다.
tanx의 Maclaurin 급수
tanx의 Maclaurin 급수를 알아보기 위해 tanx를 오일러 함수를 이용해
서 나타내면,
e x=cosx+ i sinx
이므로
cosx=eix+e
-ix
2, sinx=
eix-e
-ix
2i
가 되고,
![Page 18: 삼각함수의 Maclaurin 급수 - inha.ac.kr · 2010-10-15 · - 5 - Ⅱ. (xddx) n의 구체적 표현 이 장에서는 삼각함수의 Maclaurin 급수를 구하는데 있어서](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041820/5e5d48a4a72eee1dee140006/html5/thumbnails/18.jpg)
- 13 -
tanx=sinxcosx
=
eix-e
-ix
2i
eix+e
-ix
2
= eix-e
-ix
i(eix+e
-ix)
= -ie2ix-1
e2ix+1
= 2i
e2ix+1-i (3.1)
로 나타낼 수 있다.
따라서, tanx를 Maclaurin 급수로 표현하려면, 2i
e2ix+1
가 어떻게 표현
되는지를 알아보아야 하겠다. 이를 위해서 다음과 같은 정리가 필요하다.
[정리 3.2] dn
dzn (
1
ez+1 )| z=0 = ∑
n
k=1{nk}(-1)
kk!
2k+1
이다.
(단, z는 복소수, {nk}는 Stirling number )
(증명) ez=u 라 놓으면
dudz=ddz(ez)=e
z=u 이므로
dn
dzn (
1
ez+1 ) = (u ddu )
n
( 1u+1 )
정리 2.1 에 의해
= ∑n
k=1{nk}u
k dk
duk ( 1u+1 )
= ∑n
k=1{n
k}uk(-1)
kk!(u+1)
-(k+1)
= ∑n
k=1{n
k}(ez)k(-1)
kk!(e
z+1)
-(k+1) (3.2)
이 된다. 따라서
![Page 19: 삼각함수의 Maclaurin 급수 - inha.ac.kr · 2010-10-15 · - 5 - Ⅱ. (xddx) n의 구체적 표현 이 장에서는 삼각함수의 Maclaurin 급수를 구하는데 있어서](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041820/5e5d48a4a72eee1dee140006/html5/thumbnails/19.jpg)
- 14 -
dn
dzn (
1
ez+1 )| z=0 = ∑
n
k=1{n
k}(e0)k(-1)
kk!(e
0+1)
-(k+1)
= ∑n
k=1{nk}(-1)
kk!
2k+1
. □
정리 3.2을 tanx에 적용하기 위해 (식 3.1) 에서 z=2ix 로 치환하면
tanx = 2i
e2ix+1-i = 2i
ez+1-i 이므로
1
ez+1=12i(tanx+i)
가 된다. 그리고,
dn
dzn ( 1
ez+1 ) = d
n
dzn ( 12i (tanx+i)) = d
n
(2i dx)n ( 12i ( tanx+i))
= 1
(2i)n+1
dn
dxn (tanx+i)
가 되므로, (식 3.2) 에 의해
1
(2i)n+1
dn
dxn (tanx+i) = d
n
dzn (
1
ez+1 )
= ∑n
k=1{n
k}(e2xi)k(-1)
kk!(e
2xi+1)
-(k+1)
이 된다. ( tanx+i )를 미분하면 i 는 없어지므로
dn
dxn ( tanx+i) = d
n
dxn (tanx)
= (2i)n+1∑n
k=1{n
k}(e2xi)k(-1)
kk!(e
2xi+1)
-(k+1)
= (i)n+1∑n
k=1{nk}2
n+1(-1)
kk!
(e2xi)k
(e2xi+1)
k+1
가 된다. 따라서, tanx의 x=0 에서의 xn의 계수는
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- 15 -
dn
dxn ( tanx)| x=0 = (i)
n+1∑n
k=1{nk}2
n+1(-1)
kk!
(e0)k
(e0+1)
k+1
= (i)n+1∑n
k=1{n
k}(-1)kk!2
n-k (3.3)
가 된다. 그런데 tanx 는 실수이므로 허수부분은 0이 되어야 한다. 즉,
n이 짝수일 때 xn의 계수가 0이 되어야 하므로, n대신2n+1을 대입하
면 x 2n+1의 계수는
(-1)n+1∑2n+1
k=1 {2n+1
k }(-1)kk!2
2n-k+1
이 된다. 따라서, tanx의 Maclaurin 급수는
tanx = ∑∞
n=0∑2n+1
k=1
(-1)n+k+1
k!22n-k+1
(2n+1)! { 2n+1k }x2n+1 이 된다.
xcot x의 Maclaurin 급수
cotx 함수는 x=0에서 정의되지 않으므로 Maclaurin 급수를 갖지 않는
다. 반면에
xcotx=xcosxsinx
=1-12!x2+14!x4-…
1-13!x2+15!x4-…
이므로 xcotx는 x=0 에서 정의되고 1 값을 갖는다. 따라서 xcotx의
Maclaurin 급수를 구해보도록 하겠다.
xcotx = xcosxsinx
= x
eix+e
-ix
2
eix-e
-ix
2i
= 2xi
e2xi-1+ix 이다.
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- 16 -
따라서, xcotx의 Maclaurin 급수를 알기 위해서, 우선, 2xi
e2xi-1+ix가
어떻게 표현되는지 살펴보도록 하자. 이를 위해 필요한 몇 가지 정리들
에 대해 살펴보자.
[보조정리 3.1] 무한 번 미분 가능한 함수 f(z)에 대하여
dn
dzn (zf(z)) = z
dn
dzn f(z)+n
dn-1
dzn-1 f(z) 이 성립한다.
(단, z 는 복소수)
(증명) 수학적 귀납법을 이용하자.
n=1 일때, ddz(zf(z)) = f(z)+z
ddzf(z) 이므로 준 식이 성립한다.
n=k 일때, dk
dzk (zf(z)) = z
dk
dzk f(z)+k
dk-1
dzk-1 f(z)이 성립한다고 가정하자.
(z dk
dzk f(z)+k
dk-1
dzk-1 f(z))' = 1․
dk
dzk f(z)+z․
dk+1
dzk+1 f(z)+k
dk
dzk f(z)
= z․dk+1
dzk+1 f(z)+(k+1)
dk
dzk f(z)
= dk+1
dzk+1 (zf(z))
이므로 n=k+1 일 때도 성립한다. 따라서 준 식은 성립한다. □
[정리 3.3] limz→0
dn
dzn (
z
ez-1 ) = -n
2n-1
dn-1
dzn-1 (
1
ez+1 )| z=0 이다.
(단, z는 복소수)
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- 17 -
(증명) 2z
e2z-1
= z
ez-1-
z
ez+1
이므로
이 식의 양변을 n번 미분하면
dn
dzn (
2z
e2z-1 ) = d
n
dzn (
z
ez-1 )-
dn
dzn (
z
ez+1 )
이 된다. 2z=u 라 치환하면
dn
dzn ( 2z
e2z-1 ) = 2
n dn
dun ( u
eu-1 )
가 되므로,
limu→02n d
n
dun ( u
eu-1 ) = limz→0
dn
dzn ( 2z
e2z-1 )
= limz→0
dn
dzn (
z
ez-1 ) -
dn
dzn (
z
ez+1 )| z=0
이 되고
limz→0(2n-1)
dn
dzn ( z
ez-1 ) = -
dn
dzn ( z
ez+1 )| z=0
이 된다. 따라서,
limz→0
dn
dzn ( z
ez-1 ) = -1
2n-1
dn
dzn ( z
ez+1 )| z=0 (3.4)
이다. f(z)=1
ez+1
라 놓고 보조정리 3.1 을 적용하면
dn
dzn (
z
ez+1 ) = z
dn
dzn (
1
ez+1 )+n
dn-1
dzn-1 (
1
ez+1 ) 이 되고
dn
dzn ( z
ez+1 )| z=0 = n
dn-1
dzn-1 ( 1
ez+1 )| z=0 이 된다. (3.5)
따라서
limz→0
dn
dzn ( z
ez-1 ) = -1
2n-1ndn-1
dzn-1 ( 1
ez+1 )| z=0
![Page 23: 삼각함수의 Maclaurin 급수 - inha.ac.kr · 2010-10-15 · - 5 - Ⅱ. (xddx) n의 구체적 표현 이 장에서는 삼각함수의 Maclaurin 급수를 구하는데 있어서](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041820/5e5d48a4a72eee1dee140006/html5/thumbnails/23.jpg)
- 18 -
= -n
2n-1
dn-1
dzn-1 (
1
ez+1 )| z=0.
이 되어 정리가 성립한다. □
정리 3.3을 이용하여 xcotx의 Maclaurin 급수를 구해보자
xcotx의 xn의 계수를 구하기 위해 2xi=z로 치환하고, n≥2라 가정하면,
limx→0
dn
dxn (xcot x) = lim
z→0(2i)
n dn
dzn ( z
ez-1+z2 )
= (2i)nlimz→0
dn
dzn ( z
ez-1 )
정리 3.3에 의해
= (2i)n -n
2n-1
dn-1
dzn-1 (
1
ez+1 )| z=0
정리 3.2에 의해
= in(-n)2
n
2n-1
∑n-1
k=1
(-1)k-1k!
2k+1 { n-1k }
이 된다. xcotx는 실수이므로 위 식에서 n이 홀수일 때 xn의 계수가 0
이 되어야 한다. 그러므로 n대신 2n을 대입하면, xcotx의 x 2n의 계수는
(-1)n+1n2
2n
22n-1
∑2n-1
k=1
(-1)kk!
2k { 2n-1k }
이 된다. n=0일 때 xcot x| x=0=1, n=1일 때 xcotx| x=0=0 값을 갖
는다. 따라서 xcotx의 Maclaurin 급수는
xcotx=1+∑∞
n=1
(-1)n+1n2
2n
(2n)! (22n-1)
∑2n-1
k=1
(-1)kk!
2k { 2n-1k }x
2n이 된다.
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- 19 -
xcscx 의 Maclaurin 급수
cscx 함수는 x=0에서 정의되지 않는다. 따라서 Maclaurin 급수를 갖지
않는다. 반면에, xcscx = xsinx
= ix
eix-1+
ix
eix+1
이므로, xcscx는
x=0에서 정의되고 1값을 갖는다. 따라서 xcscx의 Maclaurin 급수를
구해보도록 하겠다.
xcscx = ix
eix-1+
ix
eix+1
이므로, ix
eix-1+
ix
eix+1
가 어떻게 표현되는
지 우선 살펴보자.
xcscx의 xn의 계수를 구해보면,
limx→0
dn
dxn (xcscx) = lim
x→0
dn
dxn (
ix
eix-1 ) +limx→0
dn
dxn (
ix
eix+1 )
ix=z 로 치환하면,
= limz→0in d
n
dzn ( z
ez-1 ) +i
n dn
dzn ( z
ez+1 )| z=0
(식 3.4)에 의해
= in -1
2n-1
dn
dzn (
z
ez+1 )| z=0 + i
n dn
dzn (
z
ez+1 )| z=0
= in(2n-2)
2n-1
dn
dzn (
z
ez+1 )| z=0
(식 3.5)에 의해
= in(2n-2)
2n-1
ndn-1
dzn-1 ( 1
ez+1 )| z=0
정리 3.2에 의해
= in(2n-2)n
2n-1
∑n-1
k=0
(-1)kk!
2k+1 { n-1k }
![Page 25: 삼각함수의 Maclaurin 급수 - inha.ac.kr · 2010-10-15 · - 5 - Ⅱ. (xddx) n의 구체적 표현 이 장에서는 삼각함수의 Maclaurin 급수를 구하는데 있어서](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041820/5e5d48a4a72eee1dee140006/html5/thumbnails/25.jpg)
- 20 -
이다. xcscx는 실수이므로, 위 식에서 n이 홀수일 때 xn의 계수가 0이
되어야 한다. 그러므로, n 대신 2n을 대입하면 xcscx의 x 2n의 계수는
(-1)n(22n-2)n
(22n-1)
∑2n-1
k=0
(-1)kk!
2k { 2n-1k }
이 된다. x=0 일 때, xcscx| x=0=1 값을 갖는다. 따라서, xcscx 의
Maclaurin 급수는
xcscx=1+∑∞
n=1
(-1)n(22n-2)n
(2n)! (22n-1)
∑2n-1
k=0
(-1)kk!
2k { 2n-1k }x
2n 이 된다.
secx의 Maclaurin 급수
secx를 오일러 함수를 이용해 나타내면
secx = 1cosx
= 2
eix+e
-ix =2eix
e2ix+1
이 된다. 따라서 secx의 Maclaurin 급수를 구하기 위해 2eix
e2ix+1
이 어떻
게 표현되는지 살펴보도록 하겠다. 이를 위해 필요한 몇 가지 정리에 대
해 살펴보자.
[보조정리 3.2] (이항계수의 역 공식)
임의의 수열 {v j}n
j=0 과 {wk}
n
k=0 에 대하여
wj=∑j
k=0(j
k)(-1)kv k ( j=0,1,2,…,n)
⇔ v k=∑k
j=0(k
j)(-1)jw j (k=0,1,2,…,n) 이 성립한다.
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- 21 -
(증명) wj와 vk는 서로 대칭관계에 있으므로 한쪽 방향의 증명만 보이
면 양방향이 모두 성립함을 알 수 있으므로, 한쪽 방향만 보이도록 하겠다.
wj = ∑j
k=0(j
k)(-1)kv k 이 성립한다고 가정하자. 그러면,
∑k
j=0(k
j)(-1)jwj = ∑
k
j=0(k
j)(-1)j∑j
i=0(j
i)(-1)iv i = ∑
k
j=0∑j
i=0(k
j)(j
i)(-1)j+iv i
ꀌ
ꀘ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
(k
j)(j
i) =k!
j!(k-j)!j!
i!(j-i)!=
k!(k-j)! i!(j-i)!
(k-j)!(k-j)!
=k!
(k-i)! i!(k-i)!
(k-j)! (j-i)!=(k
i)(k-j
j-i)
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
= ∑k
j=0∑j
i=0(k
i)(k-j
j-i)(-1)j+iv i
= ∑k
i=0∑k
j=i(k
i)(k-j
j-i)(-1)j+iv i
= v k+∑k-1
i=0 (k
i)v i∑k
j=i (k-j
j-i)(-1)j-i 이 된다.
∑k
j=i (k-j
j-i)(-1)j-i = ∑
k
j=i (k-j
j-i)(1)k-j(-1)
j-i = {1+(-1)} k-j = 0
이므로
∑k-1
i=0 (k
i)v i∑k
j=i (k-j
j-i)(-1)j-i = ∑
k-1
i=0(k
i)vi․0 = 0
이 된다. 따라서,
∑k
j=0(k
j)(-1)jwj=v k 이 성립한다. □
![Page 27: 삼각함수의 Maclaurin 급수 - inha.ac.kr · 2010-10-15 · - 5 - Ⅱ. (xddx) n의 구체적 표현 이 장에서는 삼각함수의 Maclaurin 급수를 구하는데 있어서](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041820/5e5d48a4a72eee1dee140006/html5/thumbnails/27.jpg)
- 22 -
[보조정리 3.3] gn(u) =(u ddu )n
(u
u2+1 ) 라 놓으면
g n(u) =∑∞
j=0(-1)
j(2j+1)
nu2j+1 이다.
(증명) u
u2+1
를 무한등비급수로 나타내면,
u
u2+1
= u
1-(-u2) = u(1-u 2+u 4-u 6+…)
= u∑∞
j=0(-1)
ju2j = ∑
∞
j=0(-1)
ju2j+1 이 되므로,
gn(u) = (u ddu )n
(u
u2+1 ) = (u
ddu )
n
(∑∞
j=0(-1)
ju2j+1)
를 이용하여 정리가 성립함을 보이겠다. 수학적 귀납법을 이용하면
n=1 일 때,
(u ddu )1
( u
u2+1 ) = u
ddu ( ∑
∞
j=0(-1)
ju2j+1) = u ∑
∞
j=0(-1)
j(2j+1)u
2j
= ∑∞
j=0(-1)
j(2j+1)u
2j+1 = g 1(u) 이 성립한다.
n=k 일 때,
g k(u) =∑∞
j=0(-1)
j(2j+1)
ku2j+1 이 성립한다고 가정하면,
uddu ( ∑
∞
j=0(-1)
j(2j+1)
ku2j+1) = u∑
∞
j=0(-1)
j(2j+1)
k+1u2j
= ∑∞
j=0(-1)
j(2j+1)
k+1u2j+1
= g k+1(u)
가 되어 n=k+1 일 때도 성립하므로 준 식은 성립한다. □
![Page 28: 삼각함수의 Maclaurin 급수 - inha.ac.kr · 2010-10-15 · - 5 - Ⅱ. (xddx) n의 구체적 표현 이 장에서는 삼각함수의 Maclaurin 급수를 구하는데 있어서](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041820/5e5d48a4a72eee1dee140006/html5/thumbnails/28.jpg)
- 23 -
[정리 3.4] gn(u) =(u ddu )n
(u
u2+1 ) 라 놓으면
g n(u) = ∑n
k=0a nku
2k+1(u2+1)
-k-1 이다.
(단, ank=∑k
j=0(-1)
j
(k
j)(2j+1)n,an0=1 )
(증명) (u 2+1) -k-1 = ∑∞
i=0(-k-j
i )u2i
ꀌ
ꀘ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
( -k-ii )=(-k-1)(-k-2)…(-k-i)
i!=(-1) i (k+1)(k+2)…(k+i)
i!
=(-1) i (k+i)…(k+2)(k+1)k!
i!k!=(-1) i
(k+i)!i!k!
= (-1) i ( k+ik )
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
= ∑∞
i=0(-1)
i
(k+i
k )u2i 이므로
gn(u) = ∑n
k=0a nku
2k+1(u2+1)
-k-1 = ∑n
k=0anku
2k+1∑∞
i=0(-1)
i
(k+i
k )u2i
= ∑n
k=0∑∞
i=0(-1)
i
(k+i
k )a nku2(k+i)+1
k+i=j 라 놓으면
= ∑n
j=0∑j
k=0(-1)
j-k
(j
k)a nku2j+1+ ∑
∞
j=n+1∑n
k=0(-1)
j-k
(j
k)a nku2j+1
이 된다. 위 식을 보조정리 3.3 과 비교해보면
(2j+1)n=∑
j
k=0(-1)
k
(j
k)ank임을 볼 수 있다. 보조정리 3.2 에 의해 wj=(2j+1)
n, v k=ank 라 놓으면,
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- 24 -
ank=∑k
j=0(-1)
j
(k
j)(2j+1)n
이 성립한다. 따라서, g n(u) = ∑n
k=0a nku
2k+1(u2+1)
-k-1 이 성립한다. □
secx =2eix
e2ix+1
이므로, secx 의 xn의 계수를 구하기 위해
gn(u)=(u ddu )n
( u
u2+1 )
이라 놓고, e ix=u 로 치환하면
dn
dxn (secx) = d
n
dxn ( 2e
ix
e2ix+1 ) = d
n
dxn ( 2․e
ix
(eix)2+1 )
= 2(iu)n d
n
dun ( u
u2+1 ) = 2i ngn(u) = 2i ngn(e
ix)
가 된다. 따라서,
dn
dxn (secx)| x=0 = 2i ngn(e
ix)| x=0
= 2in∑n
k=0a nk(e
ix)2k+1(e2ix+1)
-k-1| x=0
= in∑n
k=0ank2
-k
이다. secx 함수는 실수이므로, 위 식에서 n이 홀수일 때 xn의 계수가
0이 되어야 한다. 따라서, n 대신 2n을 대입하면, secx의 x 2n의 계수는
(-1)n∑2n
k=0a 2nk2
-k 이 된다. 따라서, secx 의 Maclaurin 급수는
secx=∑∞
n=0
(-1)n
(2n)!∑2n
k=0a 2nk2
-kx2n (단,a 2nk=∑
k
j=0(-1)
j
(k
j)(2j+1)2n)
이 된다.
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- 25 -
Ⅳ. 쌍곡함수의 Maclaurin 급수
이 장에서는 sinhx, coshx에 대해서 알아보고, 그 외 쌍곡함수를
Maclaurin 급수로 표현해보도록 하겠다.
sinh x, cosh x의 Maclaurin 급수
쌍곡코사인(hyperbolic cosine)과 쌍곡사인(hyperbolic sine)은 각각 실
수 x의 coshx, sinhx로 나타내는데
coshx=ex+e
-x
2 , sinhx=
ex-e
-x
2
로 정의한다. 그리고,
ex=1+x+
12!x2+13!x3+…+
1n!xn+…
이므로, 이 식을 정리하면
coshx= ∑∞
n=0
1(2n)!
x2n, sinhx= ∑
∞
n=0
1(2n+1)!
x2n+1 이 된다.
tanh x 의 Maclaurin 급수
tanhx의 Maclaurin 급수를 알아보기 위해 tanhx를 오일러 함수를 이용
해 나타내면
tanhx = sinhxcoshx
= 2
e-2x+1-1 이 된다.
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따라서, tanhx를 Maclaurin 급수로 표현하기 위해 2
e-2x+1
를
Maclaurin 급수로 나타낼 필요가 있다.
tanhx의 xn의 계수를 구하면,
dn
dxn ( tanhx) = d
n
dxn ( 2
e-2x+1-1)
-2x=z로 치환하면
= (-2)n d
n
dzn ( 2
ez+1-1)=(-1) n2 n+1 d
n
dzn ( 1
ez+1-1)
(식 3.2)에 의해
= (-1)n2n+1∑n
k=1{n
k}(ez)k(-1)
kk!(e
z+1)
-(k+1)
= (-1)n2n+1∑n
k=1{n
k}(e-2x)k(-1)
kk!(e
-2x+1)
-(k+1)
이 된다. 따라서, xn의 계수는
dn
dxn ( tanhx)| x=0 = (-1)
n2n+1∑n
k=1{n
k}(e0)k(-1)
kk!(e
0+1)
-(k+1)
= ∑n
k=1{n
k}(-1)n+kk!2
n-k
이 된다. 그러므로, tanhx의 Maclaurin 급수는
tanhx= ∑∞
n=0∑n
k=1
(-1)n+kk!2
n-k
n! { nk}xn이 된다.
x coth x 함수의 Maclaurin 급수
cotx와 마찬가지로 cothx함수도 역시 x=0에서 정의되지 않는다. 반면에
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- 27 -
xcothx = xcoshxsinhx
=
1+x2
2!+x4
4!+…
1+x2
3!+x4
5!+…
이므로, xcothx는 x=0에서 정의되고 1의 값을 갖는다. 따라서 xcothx
함수의 Maclaurin 급수를 구할 수 있다.
xcothx = -2x
e-2x-1-x
이므로 xcothx의 Maclaurin 급수를 구하기 위해 -2x
e-2x-1-x이 어떻게
표현되는지 살펴보도록 하자.
xcothx의 xn의 계수를 구하기 위해, z=-2x라 치환하고, n≥2라 가정
하면,
limx→0
dn
dxn (xcothx) = lim
x→0
dn
dxn (
-2x
e-2x-1-x)
= limz→0(-2)
n dn
dzn ( z
ez-1+z2 )
n≥2 이므로
= limz→0(-2)
n dn
dzn (
z
ez-1 )
정리 3.3에 의해
= (-2)n -n
2n-1
dn-1
dzn-1 (
1
ez+1 )| z=0
정리 3.2에 의해
= (-2)n -n
2n-1∑n-1
k=1
(-1)kk!
2k+1 { n-1k }
= (-1)n+1n2
n
2n-1
∑n-1
k=1
(-1)kk!
2k+1 { n-1k } 이 된다.
n=1일 때,
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limx→0
ddx(x cothx) = lim
x→0
ddx (
-2x
e-2x-1-x)
= limx→0(
-4xe-2x-2e
-2x+2
(e-2x-1)
2 -1) = lim
x→0(-4xe
-2x-e
-4x+1
e-4x-2e
-2x+1 )
= limx→0(
8xe-2x-4e
-2x+4e
-4x+1
-4e-4x+4e
-2x+1 ) = 1
이 되어 xcothx가 1값을 갖는다. 따라서 xcothx 의 Maclaurin 급수는
xcothx=1+x+∑∞
n=2
(-1)n+1n2
n
n!(2n-1)
∑n-1
k=1
(-1)kk!
2k+1 { n-1k }x
n이 된다.
x cschx의 Maclaurin 급수
cschx 함수는 x=0에서 정의되지 않는다. 따라서 Maclaurin 급수를 갖지
않는다. 반면에, xcschx는 x=0에서 정의되고 1값을 갖는다. 따라서
xcschx의 Maclaurin 급수를 구해보도록 하겠다.
xcschx = xsinhx
= -x
e-x-1+
-x
e-x+1
이다. 따라서, -x
e-x-1+
-x
e-x+1
값이 어떻게 표현되는지 알아보겠다.
xcschx의 xn의 계수를 구하기 위해 -x=z 로 치환하여 계산하면
limx→0
dn
dxn (xcschx) = lim
x→0
dn
dxn (
-x
e-x-1 ) + limx→0
dn
dxn (
-x
e-x+1 )
= limz→0(-1)
n dn
dzn (
z
ez-1 ) +(-1)
n dn
dzn (
z
ez+1 )| z=0
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(식 3.4)에 의해
= (-1)n -1
2n-1
dn
dzn (
z
ez+1 )| z=0+(-1)
n dn
dzn (
z
ez+1 )| z=0
= (-1)n(2n-2)
2n-1
dn
dzn ( z
ez+1 )| z=0
보조정리 3.1 에 의해
= (-1)n(2n-2)
2n-1 {z d
n
dzn (
1
ez+1 )+n
dn-1
dzn-1 (
1
ez+1 )}| z=0
= (-1)n(2n-2)n
2n-1
dn-1
dzn-1 (
1
ez+1 )| z=0
정리 3.2 에 의해
= (-1)nn(2
n-2)
2n-1
∑n-1
k=1
(-1)kk!
2k+1 { n-1k } 이 된다.
따라서 xcschx의 Maclaurin 급수는
xcschx=1+∑∞
n=1
(-1)nn(2
n-2)
n!(2n-1)
∑n-1
k=1
(-1)kk!
2k+1 { n-1k }x
n 이 된다.
sechx 함수의 Maclaurin 급수
sechx를 오일러 함수를 이용해서 나타내면
sechx = 1coshx
= 2e-x
e-2x+1
이다.
여기서, 2e-x
e-2x+1
가 어떻게 표현되는지 살펴보기 위해, secx와 마찬가지
로 gn(u)=(u ddu )n
( u
u2+1 ) 라 놓고, e-x=u 라 치환하여 xn의 계수를
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구하면,
dn
dxn (sechx) = d
n
dxn ( 2e
-x
(e-x)2+1 ) = (-u ddu )
n
(2u
u2+1 )
= (-1)n2(u ddu )
n
( u
u2+1 ) = (-1) n2gn(u)
= (-1) n2gn(e-x)
정리 3.4 에 의해
= (-1)n2 ∑n
k=0a nk(e
-x)2k+1(e-2x+1)
-k-1
이 된다. 따라서,
dn
dxn (sechx)| x=0 = (-1)
n2 ∑n
k=0a nk(e
0)2k+1(e0+1)
-k-1
= (-1)n∑n
k=0ank2
-k
이 된다. 그러므로 sechx의 Maclaurin 급수는
sechx=∑∞
n=0
(-1)n
n!∑n
k=0a nk2
-kxn (단, ank=∑
k
j=0(-1)
j
(k
j)(2j+1)n)
이 된다.
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- 31 -
참 고 문 헌
[1] P. M. Knopf, The Operater (x ddx )n
and Its Applications to
Series, Mathematics Magazine, vol.76, No.5, December 2003,
pp. 364-371
[2] L. Comtet, Advanced Combinatorics, D. Reidel publishing
company(1974) pp. 204-219
[3] 김주영, A study on stirling Numbers of the First and Second
kind, 2002
[4] 인하대학교 출판부, 미적분학, pp. 271-273, 306-308
[5] 서울대학교 출판부, 미적분학Ⅰ, pp. 72-73
![Page 37: 삼각함수의 Maclaurin 급수 - inha.ac.kr · 2010-10-15 · - 5 - Ⅱ. (xddx) n의 구체적 표현 이 장에서는 삼각함수의 Maclaurin 급수를 구하는데 있어서](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041820/5e5d48a4a72eee1dee140006/html5/thumbnails/37.jpg)
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감사의 글
제가 논문을 완성할 수 있도록 많은 가르침과 격려를 주신 정상태 교
수님께 깊이 감사드립니다. 매주 제게 시간을 허락하여 주시고 도움주신
것을 잊지 않겠습니다. 그리고 바쁘신 와중에도 본 논문을 심사해주신
정해원 교수님과 이윤원 교수님께도 감사드립니다.
2003년부터 2년간의 교육대학원 생활은 제게 많은 가르침과 얻음을
주었습니다. 저와 함께 교육대학원을 다니신 선생님들과, 선배님, 동기,
후배들에게도 고마운 마음을 전합니다.
다시 한 번 이렇게까지 논문을 완성할 수 있도록 지도해주신 정상태
교수님께 감사드리며, 저에게 아낌없는 후원을 해주시고 사랑해주시는
부모님께도 깊은 감사를 드립니다.